Download - FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Transcript
Page 1: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

FUNGSI DAN

GRAFIK FUNGSI

Materi ke-4Materi ke-4

[email protected]

[email protected]

Page 2: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Materi

� Fungsi ( definisi, daerah asal dan daerah hasil )

� Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif danInversInvers

� Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi

� Grafik Fungsi Dalam Sistem KoordinatKartesius ( 1 )

Page 3: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Hubungan atau Relasi

� Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasiantara dua himpunan ( sering disederhanakanmenjadi variabel ) sering terjadi.

� Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikanoleh relasioleh relasi

� Definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabilasetiap berelasi R dengan tepat satu

maka R disebut fungsi dari A ke B.

3

3

4rV π=

Ax ∈By ∈

Page 4: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi

� Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.

� Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A → Bf : A → B

� Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan Bdinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.

Page 5: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Daerah Asal dan Nilai

� Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,

� Himpunan semua anggota B yang

{ })ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R∈=

� Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakanrange atau daerah nilai fungsi f, ditulisatau Im(f) → Perhatikan gambar berikut

fR

Page 6: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi : Daerah Asal dan Nilai

Page 7: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi

• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen • Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.

• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

Page 8: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Daerah Asal dan Nilai

� Daerah asal (Df)

{ }RxfRxD f ∈∈= )(:

{ })ikanterdefinis(ada)(xfxD f sehingga R∈=

� Daerah nilai (Rf)

{ })ikanterdefinis(ada)(xfxD f sehingga R∈=

{ }ff DxRxfR ∈∈= :)(

{ }ff DxsemuauntukRxfberapaR ∈∈= )(

Page 9: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Contoh mencari daerah asal

dan daerah nilai

1)( dan1)( 2 −−=+= xxgxxf

01

),(0akarbawah Di

∞<<∞−≥+=

∞−∞=≥= gf

xx

DD

[ ) ]1,(,0

1)(

11

1011

0

0),1[

01

2

2

2

2

−−∞=∞=−≤<∞−

−≤−−<∞−−≤−−<−∞−

≤−<∞−

∞<≤∞−=∞<<∞−≥+=

gf

f

RR

xg

x

x

x

xD

xx

Page 10: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Hubungan Df dan Rf

dengan Grafik Fungsi

Ilustrasi grafik fungsi f

Page 11: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Hubungan Dg dan Rg

dengan Grafik Fungsi

Ilustrasi grafik fungsi g

Page 12: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi Surjektif

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif

Page 13: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi Injektif

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif

Page 14: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi Bijektif

� Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1.

� Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.

Page 15: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi Invers

� Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga invers f juga merupakan fungsi.

� Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . 1−f

)()(1 xfyyfx =⇔= −

ffffDRRD == −− 11 dan

dengan

Page 16: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Operasi Pada Fungsi

Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :

,

Page 17: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Operasi Pada Fungsi

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisandomain f dan domain g, kecuali untuk gf

{ }0)(: ≠∩∈= xgDDxD gfgf

,

Page 18: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Operasi Pada Fungsi

Contoh

,

Page 19: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi Komposisi

foggof

Page 20: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi Komposisi

fog

Page 21: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Fungsi Komposisi

gof

Page 22: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Syarat Fungsi Komposisi

fog φ≠∩ fg DR

Page 23: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Syarat Fungsi Komposisi

gof φ≠∩ gf DR

Page 24: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Daerah asal dan daerah nilai

Fungsi Komposisi

{ }fggf DxgDxD ∈∈= )(:o

{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ),(:o

fog

{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ),(:o

{ }gffg DxfDxD ∈∈= )(:o

{ }fgfg RttgyRyR ∈=∈= ),(:o

gof

Page 25: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Contoh

� Daerah asal dan daerah nilaiFungsi Komposisi

1)(dan 1)( 2 −−=+= xxgxxf

a.

b.

1)(dan 1)( −−=+= xxgxxf

gfgf RDoo

dan

fgfg RDoo

dan

Page 26: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Contoh Daerah asal dan daerah nilai

Fungsi Komposisi

gfgf RDoo

dan

Page 27: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Contoh Daerah asal dan daerah nilai

Fungsi Komposisi

gfgf RDoo

dan

Page 28: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Contoh Daerah asal dan daerah nilai

Fungsi Komposisi

fgfg RDoo

dan

Page 29: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Contoh Daerah asal dan daerah nilai

Fungsi Komposisi

fgfg RDoo

dan

Page 30: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Selingan

Asal ulet yang Mustahil pasti bisaAsal ulet yang Mustahil pasti bisa

Page 31: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:

� Fungsi Aljabar

� Fungsi Transenden

� Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.

Page 32: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Contoh fungsi aljabar :

1

)1(3)(

2

322

+

+−=x

xxxxf

� Fungsi yang bukan fungsi aljabardisebut fungsi transenden.

� Beberapa contoh fungsi transendenadalah fungsi trigonometri, fungsilogaritma, dsb.

12 +x

Page 33: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Fungsi Aljabar meliputi :

� Fungsi rasional :

� Fungsi bulat (fungsi suku banyak)

� Fungsi pecah.� Fungsi pecah.

� Fungsi irasional.

Page 34: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius

� Fungsi suku banyak berderajat nmempunyai persamaan

f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xnf(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn

dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0.

Page 35: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Fungsi Suku Banyak

a. Fungsi konstan cxf =)(

b. Fungsi linear: f(x)= mx + n

Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .

c. Fungsi kuadrat 0,)( 2 ≠++= acbxaxxf

d. Fungsi kubik 0,)( 3012

23

3 ≠+++= aaxaxaxaxf

Page 36: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Fungsi Pecah

� Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak

nn xaxaa

xf+++

=...

)( 10

disebut fungsi pecah.

mm

n

xbxbb

xaxaaxf

+++

+++=

...

...)(

10

10

Page 37: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Fungsi Pecah

� Contoh grafik f(x) = 1

)(dan1

−=

x

xxf

x

Page 38: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Fungsi Irasional

� Contoh

Page 39: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Transenden

( Fungsi Trigonometri )

� Contoh

Page 40: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Grafik Transenden

( Fungsi Trigonometri )

Pelajari hubungan fungsi trigonometri

Page 41: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan

Kata inspirasi pertemuan ini

Berfikir

Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak sedikit yang bertindak. Ingat, tak

seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua

fikiran, harus diikuti oleh tindakan.