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Fundamentos Matematicos IV

Clase VI: Optimizacion.-Simplex.-Solver

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Programacion Lineal

• Una funcion linear de una variable f:R->R tiene la forma f(x)=ax+b.

b

Tang(α)=a

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• En general, las funciones lineales no estan acotadas.

• Si la funcion esta acotada, el maximo y el minimo estaria en alguno de sus extremos.

Region Factible

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Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:

y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2

x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7

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Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:

y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2

x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7

x+y ≤ 8x+y ≤ 8

Page 6: Fundamentos Matematicos IV

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:

y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2

x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7

x+y ≤ 8x+y ≤ 8

Page 7: Fundamentos Matematicos IV

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:

y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2

x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7

x+y ≤ 8x+y ≤ 8

Page 8: Fundamentos Matematicos IV

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:

y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2

x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7

x+y ≤ 8x+y ≤ 8

(8,0)

(1,7)(0,7)

(0,2)

(2,0)

Page 9: Fundamentos Matematicos IV

Calcular el maximo y el minimo de la funcion f(x,y)=x+3y con las restricciones:

y ≤ 7x+y ≤ 8x + y≥2

x ≥0,y ≥0

Generalizacion a funciones de varias variables:

Y ≤ 7

x+y ≤ 8x+y ≤ 8

(8,0)

(1,7)(0,7)

(0,2)

(2,0)

f(1,7)=22

f(0,7)=21

f(8,0)=8

f(0,2)=6

f(2,0)=2

Max

Min

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Ejemplo B: Dada la funcion B(x,y)=3x+8y con las restricciones x+y ≤ 3 2x+y ≤ 5 0≤ x, 0 ≤y

(i) Determinar cual de los siguientes puntos pertenece a la region factible y calcular es el valor de la funcion B: (1,1),(1,4),(1,a),(2,1),(2,2),(2,a),(3,3),(6,6).(i) Encontrar el valor maximo de la funcion B sobre las restricciones del problema.

(1,1) pertenece ya que 1+1 ≤ 3 y 2+1 ≤ 5, B(1,1)=11(1,4) NO pertenece ya que 1+4 no es menor que 3(1,a) pertenece cuando 0 ≤ a ≤ 2 y el valor es 3 + 8a(2,1) pertenece ya que 2+1 ≤ 3 y 4+1 ≤5, el valor es 14(2,2) no pertenece ya que 2+2 no es menor que 3(2,a) pertenece cuando 0 ≤ a ≤ 1 y el valor es 6 +8a(3,3) no pertenece ya que 3+3 no es menor que 3(6,6) no pertenece ya que 6+6 no e menor que 3

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x+y ≤ 3 2x+y ≤ 5 0≤ x, 0 ≤y

(0,3)

(3,0)

(2,1)

(5/2,0)

(0,5)(0,3)24

(2,1)14

(2.5,0)7,5

Maximizar B(x,y)=3x+8y

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Una planta Industrial tiene tres tipos de maquinas M1, M2 y M3 que fabrican dos productos Pr1 y Pr2. Para producir una unidad de Pr1 se necesitan 2 horas de M1, 1 hora de M2 y 1 hora de M3. Para producir una unidad de Pr2 se necesita una hora de M1,1 hora de M2 y 3 horaw de M3. Si el numero de horas disponibles de M1 es 70, de M2 es 40 y de M3 es 90 y el beneficio de Pr 1 es 40 euros y el de Pr2 es 60 euros. ¿Cual es el numero de unidades de Pr1 y Pr2 que se necesitan para maximizar el beneficio?

Problema 1:

Maximizar X1*40+X2*60

2*X1+X2 ≤701*X1+X2 ≤401*X1+3*X2 ≤90

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Maximizar X1*40+X2*60

2*X1+X2 ≤701*X1+X2 ≤401*X1+3*X2 ≤90

(30,10)

(35,0)

(15,25)(0,30)

(0,0)

(0,30)->1800(15,25)->2100(30,10)->1800(0,0)->0(35,0)->1400

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Problema 2

Un fabricante de juegos produce dos juegos (Zip y Zap). El margen de los beneficios es de 30 euros y del segundo es 20 euros. Zip requiere 6 horas de elaboracion, 4 de ensamblaje y 5 de embalaje. Zap requiere 3 horas de elaboracion, 6 de ensamblaje y 5 de embalaje. Si se disponen de 54 horas de elaboracion, 48 de montaje y 50 de embalaje, ¿ Cuantas unidades de cada juego se deben producir para obtener el maximo beneficio?

Maximixar X1*30+X2*206*X1 +3*X2 ≤ 544*X1 +6*X2 ≤ 485*X1 +5*X2 ≤ 50

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Maximixar X1*30+X2*206*X1 +3*X2 ≤ 544*X1 +6*X2 ≤ 485*X1 +5*X2 ≤ 50

(0,8) (6,4)

(8,2)

(9,0)

(0,8)->160(6,4)->260(8,2)->280(9,0)->270(0,0)->0

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El metodo Simplex de optimizacion

Imaginemonos que queremos maximizar Z= 3x+5ySujeto a x≤42y ≤122x+3y ≤180 ≤x,0 ≤y

(0,6)

(2,6)

(0,0)

(4,3)

(4,0)

Page 17: Fundamentos Matematicos IV

(0,6)

(2,6)

(0,0)

(4,3)

(4,0)

Empezamos en (0,0) y miramos si la funcion crece cuando nos desplazamos por alguna de las dos aristas que son incidentes a (0,0)

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(0,6)

(2,6)

(0,0)

(4,3)

(4,0)

Iteracion 1:Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente)Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 0,6)

Page 19: Fundamentos Matematicos IV

(0,6)

(2,6)

(0,0)

(4,3)

(4,0)

Iteracion 2:Nos movemos a traves de la recta que crece mas rapido(mayor coeficiente)Nos detemos cuando llegemos a su frontera ( 2,6)

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Maximizar Z=2x1+4x2-x3 con las restricciones3x2-x3 ≤ 302x1-x2+x3 ≤ 104x1+2x2-2x3 ≤ 400 ≤x1, 0 ≤ x2, 0 ≤ x3

Primer Paso: Construir la matriz ampliada

Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Ejemplo Simplex:

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Segundo Paso: Construir la tabla asociada a lamatriz ampliada

Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 -4 1 0 0 0 0 X4 0 0 3 -1 1 0 0 30X5 0 2 -1 1 0 1 0 10X6 0 4 2 -2 0 0 1 40

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Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 -4 1 0 0 0 0 X4 0 0 3 -1 1 0 0 30X5 0 2 -1 1 0 1 0 10X6 0 4 2 -2 0 0 1 40

Iteracion I

Paso 1: Seleccionar la variable saliente (que tiene el coeficiente más negativo) x2

Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.

X4 30/3=10X5 10/-1=-10X6 40/2=20

(tiene el coeficiente positivo mas pequeño)

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Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 3 -1 1 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20

Iteracion I

Paso 3: Hacemos Gauss en la variable elegida

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Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20

Iteracion I

Paso 3: Hacemos que el pivote sea 1 para que luego seamas facil

Solucion iteracion 1: (0 10 0 0 20 20) Z=40

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Prueba de optimalidad: Existen valores negativos en la ecuacion principal?

Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 -2 0 -1/3 4/3 0 0 40 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 2 0 2/3 1/3 1 0 20X6 0 4 0 -4/3 -2/3 0 1 20

Iteracion II

Paso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente más negativo x1

Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.

X2 10/0=INFX5 20/2=10X6 20/4=5 (tiene el coeficiente positivo mas pequeño)

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Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 0 0 -1 1 0 1/2 50 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5

Iteracion II

Solucion iteracion 2: (5 10 0 0 10 0) Z=50

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Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 0 0 -1 1 0 1/2 50 X2 0 0 1 -1/3 1/3 0 0 10X5 0 0 0 4/3 2/3 1 -1/2 10X1 0 1 0 -1/3 -1/6 0 1/4 5

Iteracion II

Paso 1: Seleccionar la variable que tiene el coeficiente más negativo x3

Paso 2: Calculamos coeficientes para determinar qeu variable sale.

X2 10/(-1/3)=-30X5 10/(4/3)=30/4X1 5/(-1/3)=-15

(tiene el coeficiente positivo mas pequeño)

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Z-2x1-4x2+x3=03x2-x3+x4 = 302x1-x2+x3 +x5 = 104x1+2x2-2x3 +x6 = 40

Variable Basica Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 independientes

Z 1 0 0 0 3/2 3/4 1/8 230/4 X2 0 0 1 0 1/2 1/4 -1/8 50/4X3 0 0 0 1 1/2 3/4 -3/8 30/4X1 0 1 0 0 0 1/4 1/8 30/4

Iteracion III

Sol Final: (30/4, 50/4, 30/4, 0 0 0) Z=230/4