funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
Funciones armónicas. Problema de Dirichlet.Fórmulas de Green
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
7 de abril de 2011
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
laplaciano
Laplaciano
definición (Laplaciano)
f : Ω→ R3 función C2
Laplaciano de f
4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
laplaciano
Laplaciano
definición (Laplaciano)
f : Ω→ R3 función C2
Laplaciano de f
4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
laplaciano
Laplaciano
definición (Laplaciano)
f : Ω→ R3 función C2
Laplaciano de f
4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
laplaciano
Laplaciano
definición (Laplaciano)
f : Ω→ R3 función C2
Laplaciano de f
4f = ∇2f = ∇.∇f = fxx + fyy + fzz
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
funciones armónicas
funciones armónicas
definición (función armónica)
f función armónica si
4f = ∇2f ≡ 0
(ecuación de Laplace)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
funciones armónicas
funciones armónicas
definición (función armónica)f función armónica si
4f = ∇2f ≡ 0
(ecuación de Laplace)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
funciones armónicas
funciones armónicas
definición (función armónica)f función armónica si
4f = ∇2f ≡ 0
(ecuación de Laplace)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
funciones armónicas
funciones armónicas
definición (función armónica)f función armónica si
4f = ∇2f ≡ 0
(ecuación de Laplace)
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4
u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
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transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla corona
datos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:
u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
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transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0
cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
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transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0
cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
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transferencia del calor (solución estacionaria)
Ω corona 2 ≤ r ≤ 4u : Ω∗ → R temperatura enla coronadatos:u(4 cos θ,4 sin θ) =4 sin(5θ)
u(2 cos θ,2 sin θ) = 0cómo se transfiere el calorde un borde al otro?
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problema de dirichlet
problema de dirichlet
problema de dirichlet
encontrar u : Ω→ R tal que
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
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problema de dirichlet
problema de dirichlet
problema de dirichlet
encontrar u : Ω→ R tal que
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
problema de dirichlet
problema de dirichlet
problema de dirichlet
encontrar u : Ω→ R tal que
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
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teorema
teorema
teorema (unicidad soluciones (D))
si existe solución de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
entonces es única
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teorema
teorema
teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
entonces es única
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teorema
teorema
teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
entonces es única
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teorema
teorema
teorema (unicidad soluciones (D))si existe solución de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
entonces es única
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teorema
demostración
al final de esta clase
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fórmula de green 1
fórmula de green 1
fórmula de green 1
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
ds =
∫∫Ω∇2u dx dy
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fórmula de green 1
fórmula de green 1
fórmula de green 1
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω∇u.~nds =
∫∫Ω∇2u dx dy
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fórmula de green 1
fórmula de green 1
fórmula de green 1
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
∂u∂n
ds =
∫∫Ω∇2u dx dy
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fórmula de green 1
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = ∇u
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fórmula de green 1
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = ∇u
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fórmula de green 1
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = ∇u
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fórmula de green 2
fórmula de green 2
fórmula de green 2
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
u∂u∂n
ds =
∫∫Ω
(u∇2u + (∇u)2)dx dy
funciones armónicas aplicación fórmulas de green unicidad de soluciones PD
fórmula de green 2
fórmula de green 2
fórmula de green 2
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
u∂u∂n
ds =
∫∫Ω
(u∇2u + (∇u)2)dx dy
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fórmula de green 2
fórmula de green 2
fórmula de green 2
u : Ω∗ → R función C2
⇒ ∫∂Ω
u∂u∂n
ds =
∫∫Ω
(u∇2u + (∇u)2)dx dy
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fórmula de green 2
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = u∇u
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fórmula de green 2
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = u∇u
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fórmula de green 2
demostración
teo. divergencia (Gauss):∫∂Ω~X~nds =
∫∫Ω div ~X dx dy
considerar ~X = u∇u
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demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
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demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
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demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
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demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy
∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
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demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte
⇒ u∗ ≡ 0
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demostración
demostración unicidad soluciones (D)
sup u1,u2 soluciones de
(D)
4u = 0 enΩu = u0 en∂Ω
u∗ = u1 − u2
FG2:∫∂Ω u∗
∂u∗∂n ds =
∫∫Ω(u∗∇2u∗ + (∇u∗)2)dxdy
0 =∫∫
Ω(∇u∗)2dxdy∇u∗ ≡ 0⇒ u∗ = cte⇒ u∗ ≡ 0
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