Formula Rio Di Analisi a - [Download PDF]

1

FUNZIONI A PIU’ VARIABILI Curve di livello: ( ) ( ) ky,xf:Iy,xL fk =∈=

Norma di P: ( ) =

==n

1i

2in1 xPx,...,xP

Limiti: ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

<−⇔<−+−

−∈∀>∃>∀⇔=

ℜ→ℜ⊂

→ εδ

δε

ly,xfyyxx

y,xDy,x:0,0ly,xflim

D:f

20

00

y,x)y,x(

2

00

Limiti iterati:

( )

( )( )

21

2xxyy

1yyxx

y,x)y,x(

yyxx

lll Allora

ly,xflimlim

ly,xflimlim se e ly,xflim

y,xflimlim

00

==

=

=∃=

→→

→

→→

Coord. Polari: ( )( )

+=+=

ϑρϑρ

senyy

cosxx

0

Limiti ( )ϑρ , : ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

=−++

=++⇔=

→

→ 0lseny,cosxfsup lim

lseny,cosxf lim ly,xflim

000

0,0)y,x( ϑρϑρ

ϑρϑρ

ϑρ

ρ

( )( )

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

+∞=++

+∞=++⇔+∞=

→

→ ϑρϑρ

ϑρϑρ

ϑρ

ρ

seny,cosxfinf lim

seny,cosxf lim y,xflim

000

0,0)y,x(

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

=−

=⇔=

+∞→

∞→ 0lsen,cosfsup lim

lsen,cosf lim ly,xflim

)y,x( ϑρϑρ

ϑρϑρ

ϑρ

ρ

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

+∞=++

+∞=++⇔+∞=

→

∞→ ϑρϑρ

ϑρϑρ

ϑρ

ρ

seny,cosxf inf lim

seny,cosxf lim y,xflim

000

)y,x(

Condizione necessaria affinché una funzione ( )y,xf abbia limite l per ( ) ( )00 y,xy,x → è che per ogni curva regolare di equazioni parametriche ( ) ( )tyy,txx == passanti per ( )00 y,x tali che ( ) ( )0000 tyy,txx == , risulti: ( ) ( )( ) lty,txflim

0tt=

→

2

La convergenza al limite l deve essere indipendente dalla curva scelta. Spesso si usa il fascio di rette passanti per ( )00 y,x di equazioni parametriche: ( ) ltxtx 0 += ( ) ltxtx 0 += Continuità: ( ) ( )0PP0 PfPflim se Pin continua f

0

=→

Derivate parziali:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )00

0000

0h

000000

0h

00

y,xyf

hy,xfhy,xf

lim

y,xxf

hy,xfy,hxf

lim

:limiti i finiti esistono se punto tale

in parziali drivate ammette y,x di intornoun in definita f funzione Una

∂∂=

−+∂∂=

−+

→

yxxyyxxy f f continue sono f f Se

:Schwarz di Teorema=

Differenziabilità:

.Pin continua è f allora Pin abiledifferenzi è f Se .

.Pin abiledifferenzi è f

allora P intornoun in continue parziali derivate ammette f Se .

.Pin continua sia che detto ènon Pin derivabile è f Se .

00

0

00

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0yyxx

yykxxhy,xfy,xflim

0PP

PPHPfPflim

:kh,H un vettore se Pin abiledifferenzi è f ,I a interno punto P

20

0000

y,xy,x

0

00

PP

0f0

00

0

=−+−

−−−−−

=−

−−−=∃

→

( ) ( ) ( )

( ) ( )

h vettoredel componenti le sono h dove

hPfhL :Pin f di aledifferenzi detta è L

0h

hLPfhPflim :che tale :L

lineare funzione aun se Pin abiledifferenzi è f ,I a interno punto P

i

n

1ii0x0

00

0h

n

0f0

i=

→

=

=−−+

ℜ→ℜ

∃

Gradiente: ( ) ( ) ( ) ( )( )

pendenza. massima di direzione la indica allora 0f vettoreil Se

Pf,PfPfP puntoun in derivabile yx,f Sia 0y0x00

≠∇

=∇

3

Derivate direzionali:

( )( ) ( )

( ) ( )

finito. esiste set

y,xfty,txflim

:è di direzione nella y,x puntoun in yx,f di ledireziona derivata La

1 :unitario modulo di vettoreun , Sia

002010

0t

00

22

2121

−++

=+=

→

λλλ

λλλλλ

Equazione del piano tangente al grafico della funzione in ( )( )00 Pf,P : ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )000y000x00000 yyy,xfxxy,xfy,xfPPPfPfz −+−+=−∇+= Equazione della retta tangente alla curva di livello passante per 0P :

( )( )( )

( )( ) ( )( )

−∇+==

=′

=−∇

000

0

00

PPPfPfz

Pfzr

0.z piano sul fnz. la e piano il traneintersezio r retta della proiezione la èr retta La

0PPPf

Studio dei massimi e minimi:

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

I.su f di erestrizion della relativo minimo e massimo punti i cercando I, zaparametriz si I, frontiera Sulla 3)

1. punto nel come procede si chiuso,:I Se 2)

fper sella di punto P0PH

fper relativo massimo di punto P0Pf0PH

fper relativo minimo di punto P0Pf0PH

PfPfPfPf

PH

0Pf aperto:I

:modo seguente nel procedere deve si critici punti i edeterminarPer )1ICf I:f :Sia

00

00xx0

0yy0yx

0xy0xx0

0

22

∂∂∂

<<∪>>∪>

=

=∇

∈ℜ→ℜ⊂

Parametrizzazione della frontiera:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) Iin trovatiquellicon confronto li e minimi i e massimi i cerco , Calcolo

critici. punti ottengo0rsen,rcosfy,xf

rsen yrcosx

:pone si nzacirconfere una è I Se

k

ϑϕϑϑϕ

ϑϕϑϑϑϑ

′′→=′

=→

==

∂

4

Studio dei massimi e minimi in caso di ( ) 0PH 0 =

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( )

relativi massimi dei ho 0yx,f : punti solo intorno questoin serelativi minimi dei ho 0yx,f : punti solo intorno questoin se

relativi estremi honon 0yx,f : punti e 0yx,f : punti intorno questoin se

:critici punti dei intornol' Guardo 3) xy.piano nel grafico il Disegno 2)

0yx,f dove e 0yx,f dove0yx,f dove Guardo 1)

:locale studio unocon procedere deve si 0PH Hessiano tedeterminan il Se 0

<∃>∃

<>∃

<>==

Applicazione del teorema di Dini:

( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) rel. max. di punto P0Pf ,0

PfPfPfPf

,0PH Se 2)

rel. min. di punto P0Pf ,0PfPfPfPf

,0PH Se 1)

:Allora

PfPfPfPfPfPfPfPfPf

PH

0Pf che taleeA ad ernointpuntoP ACf

A:f

zy,x,ff :Sia

00xx0yy0yx

0xy0xx03

00xx0yy0yx

0xy0xx03

0zz0zy0zx

0yz0yy0yx

0xz0xy0xx

03

0 0

2

3

<><

>>>

=

=∇∈

ℜ→ℜ⊂=

5

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni differenziali lineari del primo ordine:

( ) ( )xfyxay =+′

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]Cdxxfeexy :risulta generale egraleint'l Allora

,xa di primitiva una xA SiaI, intervallonell' contnue funzioni fa, Siano

xAxA += −

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

+

=

==+′

ℜ∈∀∈

−

dttfeyexyyxy

xfyxay

:del soluzione I in derivabile,xy soluzione sola una ed una esiste y Allora

I xSiaI, limitato e chiuso intervallonell' continue funzioni xf ,xa Siano

:

x

dssa

0

dtta

00

0

t

0x

x

0x

Cauchy di Teorema

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine:

0byyay =+′+′′

( ) ( ) ( )xycxycxy :risulta generale egraletin'l allora

c , c siano

ti,indipenden elinearment equazionedell' iparticolar soluzioni due y e y Siano :

2211

21

+=ℜ∈

Teorema

( )( )( ) ( ) ( )xsenecxcosecxy 0 )3

xececxy 0)2

ececxy 0 )1

0ba :ticacaratteris Equazione

x2

x1

x2

x1

x2

x1

2

21

ββ

λλ

αα

λλ

+=→<∆

+=→=∆

+=→>∆

=++

Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n: ( ) ( ) ( )xfyaya...yay n1n

1n1

n =+′+++ −−

( ) [ ] ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )xy~xyc...xycxy :risulta generale egraletin'l alloracompleta, della eparticolar soluzione xy~ e

,xf e a di edefinizion di intervallo ba,x 0x Wche talicioè

ti,indipenden elinearment omogenea eq.dell' iparticolar soluzioni y ,...,y Siano :

nn11

i

n1

+++=

∈∀≠

Teorema

6

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) x 0xW0x WSe

0xW:Ix0xW

xy...xyxy............

xy...xyxyxy...xyxy

x WSia

:

0

00

1nn

1n2

1n1

n21

∀≠≠=∈∃⇔=

′′′=

−−−

Louville diTeorema

( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

−=

+=

−=

+=−=

+=

≠≠≠

=++++=

−

−−

2ee

xsene

2ee

xcose

xsenixcosee

xsenixcosee:ottengono si cui da i coniugata

radice la ancha avrà essa ,i complessa radice una ha ticacaratteris eq.l' Se ex,...,xe,e r ordine di multipla è complesse) o (reale radice una se 2)

e,...,e... risultano complesse) o (reali radicin le se 1)

0aa...a P:ticacaratteris eq. dell' ioneDeterminaz -

:

xxx

xx

x1rxx

xxn21

n1n1n

1n

n1

λλα

αλ

λλλ

λλ

β

ββββ

βαλ

λλλλλλλ

omogenea equazionedell' Soluzione

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

=+

±=±+=

=+

≠±+=

==

≠=

km,maxm

xsenxsxcosxqex :

h tàmolteplicicon i 0iP

xsenxrxcosxpexf 4)

km,maxm

xsenxsxcosxqe :

0iP

xsenxrxcosxpexf 3)

xqe x:

h tàmolteplicicon 0P

xpexf 2)

xqe :

0P

xpexf 1)

:k grado di polinomioun r e m, grado di polinomio unp Siaxy~

mmxh

kmx

mmx

kmx

mxh

mx

km

λ

µλµλµµ

µλµµ

λλ

λ

soluzione

eparticolar soluzione della ioneDeterminaz

7

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) [ ]( ) [ ]

( )( )( )( )

eq.nell' osostituisc p2xy~

qpx2xy~rqxpxxy~

CBxAxxf

eq.nell' osostituisc

Aeaxy~aAexy~Aexy~

exf

eq.nell' osostituisc

xee2Axy~xeeAxy~

Axexy~

exf

eq.nell' osostituisc xcosBxsenAxy~

xsenBxcosAxy~xcosBxsenAxy~

xsenxf

:

2

ax2

ax

xx

x

=′′+=′

++=→++=

=′′=′

=

→=

+=′′+=′

=→=

−−=′′−=′+=

→=

Esempi

Equazioni differenziali lineari a coefficienti continui di ordine n in forma normale: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxayxa...yxay 01

1n1n

n =+′+++ −−

( )

( ) ( ) ( ) ( )xy~xyc...xycxy :è aledifferenzi equazione dell' generale integralel' Allora

:omogeneadell' tiindipenden elinearment iparticolar integralin y,...,y Sianocompleta, eq.dell' eparticolar soluzione la xy~ Sia

nn11

n1

+++=

:Teorema

Equazioni differenziali lineari a coefficienti continui di secondo ordine in forma normale: ( ) ( ) ( )xfyxbyxay =+′+′′

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xy~xycxycxy :è aledifferenzi equazione dell' generale integralel' Allora

:omogeneadell' tiindipenden elinearment iparticolar integrali xy, xy Sianocompleta, eq.dell' eparticolar soluzione la xy~ Sia

2211

21

++=

:Teorema

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eq.dell' eparticolar integraleun è xyxxyxxy~ :funzione la Allora

xfxyxxyx

0xyxxyx

:sistema il soddisfino prime derivate loro le che talifunzioni x , x Siano

omogenea,dell' tiindipenden elinearment iparticolar integrali xy, xy Sianoxy~ edeterminar a serve

2211

21

γγγγγγ

γγ

+=

=′′+′′=′+′

:Lagrange di costanti delle variazione di Metodo

8

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eq.dell' eparticolar integraleun è xyxxyxxy~ :funzione la Allora

dttW

tftyx

xW

xfxy0xy

x

dttW

tftyx

xW

xyxfxy0

x

0yyyy

xW , incognite nelle sistemaun Ho

xfxyxxyx

0xyxxyx

:sistema il soddisfino prime derivate loro le che talifunzioni x , x Siano

xycxycxy :è omogeneadell' generale integralel' Allora

omogenea,dell' tiindipenden elinearment iparticolar integrali xy, xy Siano

2211

12

1

2

21

2

1

21

2121

2211

21

2211

21

γγ

γγγγ

γγ

+=

=′

−=′

=′

≠′′

=′′

=′′+′′=′+′

+=

:Lagrange di metodo il con oSvolgiment

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di secondo ordine in forma normale: ( ) ( ) 0yxbyxay =+′+′′

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )xucxucxy :risulta generale integralel' Allora

equazione.dell' tiindipenden elinearment soluzioni siano xu , xu che modo in

xuxzxu: soluzione altraun' cerca si allora

I,x 0xu :soluzione una conosce si Se:intervallo I

IC xb , xa Siano

2211

21

12

1

0

+=

=∈∀≠

∈

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )xucxucxy :risulta generale integralel' Allora

,xu Determino

0xuxbxuxaxu:equazionel' ottenendo data equazionenell' risultati i onosostituisc Si

xuxzxuxzxuxzxuxzxu

xuxzxuxzxu

: voltedue deriviamo la e xuxzxu tipodel soluzione altraun' Cerchiamo

data, omogenea equazionedell' soluzione una xu Sia

2211

2

222

11112

112

12

1

+=

=+′+′′

′′+′′+′′+′′=′′′+′=′

=

:oSvolgiment

9

Equazioni differenziali lineari di Eulero:

( ) ( ) ( ) ( )

reali costanti a,...,a

xfyayxa...yxayxa

n0

n1n1n1n

1nn

0 =+′+++ −−−

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) t

0

t0

00

t

2ttt2t

tt

t

2ttt2t

tt

t

2

ex 0, xse

:yxy iniziale condizione eventualedall' dipende intervallodell' scelta La____________________________________________________________________

efczzbz-za : tipodel

cost. ticoefficien a lineare equazioneun' ottiene si data equazionenell' oSostituend

xyxyeyeeeytz

xyeeytz

yeytz

xytz , e xpongo

0,In -_____________________________________________________________________

efczzbz-za : tipodel

cost. ticoefficien a lineare equazioneun' ottiene si data equazionenell' oSostituend

xyxyeeyeeytz

xyeeytz

yeytz

xytz , e xpongo

0,In -xfcyybxyax

−=∞−∈

=+∞∈

=

−=+′+′′′

′+′′=−′−−′′=′′′=−−′=′

=−==−=

∞−

=+′+′′′

′+′′=′+′′=′′

′=′=′==

==

+∞=+′+′′:equazionedell' Soluzione

Sistemi differenziali lineari:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]ba,Iin continui xB , xA di elementi gli Conxxxx

=+=′ BYAY

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) Ix 0xWIin dipendenti elinearment sono soluzioni le Se

Ix 0xWIin tiindipenden elinearment sono soluzioni le Se

xy...xyxy............

xy...xyxyxy...xyxy

xW

:stesso dello soluzionin xY,...,xY e associato, omogeneo sistema il xYxAxY Sia

nnn21n

n22221

n11211

n1

∈∀=−∈∀≠−

=

=′:o Wronskiandel Teorema

10

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )[ ] ( )xWxdet

xy...xy.........

xy...xyx , costanti c,...,c

c...c

C

CxxY :è omogeneo sistema del generale integralel' Allora0I-Adet :da date sono soluzioni le costanti, ticoefficien a èA Se

ti.indipenden elinearment soluzionin xY,...,xY e associato, omogeneo sistema il xYxAxY Sia

nn1n

n111

n1

n

1

n1

=

=ℜ∈

=

==

=′

φ

φλ

:associato omogeneosistema del Soluzione

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xY~

CxxY :è sistema del generale integralel' Allora

arbitrario Icon x iparticolar soluzioni di sistemaun

dttBtxxY~

Sia

omogeneo, sistema del tiindipenden elinearment soluzionin xY,...,xY e assegnato, sistema il xBxYxAxY Sia

0

x

1

n1

0

+=

∈

=

+=′

−

φ

φφ

:completo sistema del generale Integrale

( )

( )( )

( )( )Adet

AA

aaaa

1A

..........................................

aaaa

1A

aaaa

1 A

AA

AdetA

:algebrici icomplement dei matrice la Considero

0Adet :A di tedeterminan il Calcolo

:A trovare vogliamoaaaaaaaaa

A Sia

T1

2221

12113333

3331

23212112

3332

23221111

332313

322212

312111

T

1-

333231

232221

131211

′=

−=

=′

≠

=

−

+

:matrice una di itàinvertibil di Criterio

11

Equazioni differenziali a variabili separabili:

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

=⋅=′

∃

≠ℜ→ℜ→

⋅=′

00

0yx

yxyybxay

:Cauchy di problema del soluzione la ! Allora

0yb continua, I:b continua, I:a__________________________________________________

ybxay

00

( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )dttaub

dudttadt

tybty

0ybxaxybxy

x

xy

ydttydutyu

x

x 000 0

= →=′

≠⇔=′

′==

:Soluzione

Equazione differenziale di Bernoulli:

( ) ( )( )

continui coeff. a lineare eq.1 ,0 ,ICb,a

yxbyxay0

→==ℜ∈∈

+=′

ααα

α

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )xb1zxa1z: ordine primo del lineare aledifferenzi equazioneun' ottiene si *in oSostituend

y-1z

y :Ottengo

xyxy1xz

xyxz :Pongo

* xbyxayy

0yper equazionel' divide Si

0xy soluzione una cerca Si

1

αα

α

αα

α

−+−=′

′=′

′⋅⋅−=′=

+=′

→≠

≠

−

:Soluzione

Equazioni differenziali della forma:

Iin continua f xy

fy

=′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) x

1xtxtf

xt :separabili variabilia equazionel' ottiene si cui Da

xtfxtxxt :ottengo equazionenell' oSostituend

xtxxtxyxtxxyxxy

x t:Pongo

=−

′=′⋅+

′⋅+=′⋅==

:Soluzione

12

Equazione differenziale di Riccardi:

( ) ( ) ( )

( ) intervallo:I ,ICc,b,a

xcyxbyxay0

2

∈

++=′

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) Bernoulli di eq.un cioè xzxbxuxa2xzxaxz :Ottenendo

xcxuxbxuxaxu

: terminii resemplifica possono si ipotesiper soluzione è xu Poichèxcxuxzxbxuxzxaxuxz

:ottiene si data equazionenell' tituendoSos

xuxzxyxuxzxy

xuxyxz :Pongo

costanti. le determinopolinomi dei identità di principio ilcon e data, equazionenell' u,u oSostituisc

:prima derivata sua la xu e data, equazionedell' soluzione una xu SiaBernoulli di eq.0xc Se

xa~

2

xb~

2

++=′

++++=′+′

′+′=′+=

−=

′′

=:Soluzione

Equazione differenziale del tipo:

( )y,yfy ′=′′

( ) ( )( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

==′

=∃

=

=′

=′′=⋅′

′′′=′⋅′′=′

′=′==∃=

<′>′≠′≠

=∃

=′=

′=′′∈∀ℜ∈∀ℜ⊂∈

′=′

0010

yy1

y

1

0

10

00

10021

yxyxypxy

ypp soluzione la ! yyp

ypyp,yf

yp

yp,yfxyypyp :ottiene Si

yy1

yyyyyyp

yyxyyp :Pongo.derivabile y xinversa funzione la localmente einvertibil è xyy allora

,localmente 0xy oppure 0xy localmente 0xy0y se

xdi intornoun in xyy soluzione la !

yxy

yxyy,yfy

:Cauchy di problema il

Dy,y , x , aperto D , DCf

:Sia

ϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ

:Soluzione

13

Equazione differenziale non normali del tipo: ( )( )xygx ′=

( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ℜ∈

+−⋅=−⋅=′⋅=

′=′⋅′=⋅=

=′=

==

=′ℜ→

c e tg di primitiva una è tG se

ctGttgdttgttgdttgtty

:partiper Integrando

tgttgxydtdx

dxdy

dtdy

:risulta Inoltre

tg xcui da y tparametro come sceglie Si

tyytxx

:aparametric formain soluzione la cerca si generaleIn

xgxy :ha si einvertibil è g Se

:continua drivatacon derivabile g aperto, intervallo I ,I:g Sia1-

:Soluzione

Equazione differenziale non normale del tipo: ( ) ( )( )xygxy ′=

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )0gxy aggiunta vasoluzioni precedenti alle allora 0,per t definita è tg se Quindi

.0gcygy equazionedell' soluzione è cxy caso In tal.intervalloun in 0yper

soluzioni le persoaver potremmo 0xy posto vendoA

tgty e ctGtxttg

di primitiva una è tG Se

ttg

xytg

dtdx

dxdy

dtdy

:risulta Inoltre

tgty cui da y tparametro come sceglie Si

tyytxx

:aparametric formain soluzione la cerca si generaleIn

yx xinversa funzione la intervallo J J,x 0xy Se:It 0tg continua, drivatacon derivabile g

,intervallo I ,I:g Sia

==

=⇔′===′

≠′

=+=′

′=

′′

=⋅=

=′=

===∃∈∀≠′

∈∀≠′ℜ→:Soluzione

Equazione differenziale del tipo: ( ) ( )( )xy,xfxy ′=′′

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )xy ottengo e integro , xz Ricavo

xz,xfxzxzxy

xzxy :Pongo =′

′=′′=′

:Soluzione

14

Equazione differenziale del tipo: ( ) ( )xfxy =′′

( )( )( )

( ) ( )

soluzioni. infinite avuto avremmo inziali condizioni le senza

dsdttfyyxy

dttfyxy

:soluzione la

unica ammetteCauchy di problema il y ,Ixintervallo Iin continua f

yxy

yxyxfy

x

s

x10

x

s

x10

x

x1

00

10

00

0 0

0

++=

+=−

=−′

ℜ∈∀∈∀

=′=

=′′:Cauchy di problema del Soluzione

Equazione differenziale del tipo: ( ) ( )( )xyfxy =′′

( )( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

→=

⋅′+−=′→<

⋅′+=′→>

⋅′=−′

⋅′=′′⋅′=′

⋅′=′′⋅′′∀≠

∃

ℜ∈∀∈∀ℜ∈∀

=

=′=

==′′

e.accettabil è costante soluzione la se e verificarbisogna 0y

xy ottengo integrando dttyfty2yxy0y

dttyfty2yxy :Integriamo

xyfxy2xyxy2xydxd

:derivata la cioè

yfy2yy2 :Otteniamo

xy2per equazionel' iamomoltiplich e ,xper 0xy supponendo RisolviamoCauchy di problema del soluzione la !

y ,Dy ,x

Din continua f derivatacon ,intervallo Din continua sff

yxy

yxysfxyfy

1

x

211

x

211

x

21

2

1

100

s

10

00

0

:Cauchy di problema del Soluzione

15

Equazione differenziale del tipo: ( ) ( )byaxgxy +=′

( ) ( )( ) ( )( )zgbaz

ybazxybaxxz

:nesostituzio la operando

separabili variabilia una ad ricondotta essere può equazioneL'ba, 0,ba, continua, g Sia

+=′

′+=′+=

ℜ∈≠:Soluzione

Equazioni differenziali riconducibili ad omogenee:

++++=′

=′111 cybxa

cbyaxfy ,

xy

fy

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

sep. var.a 1

czcz

ba

zczcz

baz :Ottengo

cxzcxz

xyxybaxzxbyaxxz

:Pongo

cbyaxcbyax

fy la scrivere posso Quindi

bb

aa:dipendenti elinearment Sono 0

baba

3

1 caso

uv

ba

uv

ba f

vbuabvau

fv :ottengo e oSostituisc

u...xv...y

0cybxa0cbyax

di soluzioni le sono v,u dove

vyvvyuux

Pongo 0baba

2

separabili variabilia x

xtxtfxt :data eq.nell' oSostituend

xtxxtxyxxtxy

xxy

x tPongo

omogenea eq,

xy

ba

xy

baf

ybxabyax

fy 0cc 1

:in assegnate costanti c,b,ac,b,a, continua, f:Siano

1

11

1111

111

11

1111

1

111

=

+++

′

+++=′

++=′

′+=′+=

++++=′

==

∃=→

+

+=

++=′

====

=++=++

′=′

+=+=

≠→

−=′

+⋅′=′⋅=

=

+

+=

++=′==→

ℜ

µµ

µ

µµ

µ

:Soluzione

16

Equazione differenziale non normale di Clairaut: ( )ygyxy ′+′=

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

rette. le tuttedi inviluppo o singolare egraleint

tgtxtgtgtty

y tPosto

0ygx2C di variareal rette di famiglia :mentegeometrica c cgxcxy

:ottengono si data eq.nell' osostituend cost.yintervalloun in 0y1

0ygxy xygxyxdxd

xydxd

:data eq.l' Deriviamo

t,sola della funzionein y la definiscenon tuttaviaquesta tgxtyy tPongo

tyytxx

:aparametric soluzione una Cerco

:derivabile ivi e eintervabilun in continua g Sia

′−=+′−=

′=

=′′+→ℜ∈+=

=′=′′→

=′′+′′′+′=

+=′=

==

:Soluzione

Integrazione grafica per equazioni del tipo: ( )y,xfy =′

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

<+ℜ∈<′′

>+ℜ∈>′′

⋅+=′+=′′

<ℜ∈<′>ℜ∈>′

0fff:yx, punti nei0xy

y,xfy,xfy,xfyy,xfy,xfy :convessità di Intervalli )2

0y,xf:yx, punti nei0xy

0y,xf:yx, punti nei0xy :monotonia di Intervalli )1

yx2

yxyx

2

:Soluzione

Equazioni del tipo: ( ) 0y,y,xg =′′′

( ) ( )( ) ( ) ( ) ordine 1 del aledifferenzi eq. 0z,z,xg

xyxzxyxz

:Pongo

:ordinel' abbassare può siy da enteesplicitam dipendenon g Poichè

°=′

′′=′′=

:Soluzione

Equazioni del tipo: ( ) 0y,y,yg =′′′

( )

( ) ordine 1 del aledifferenzi eq. 0zz,z,ygzzyz

dxdy

dydz

y

yyz :Pongo

: xda enteesplicitam dipendenon g Poichè

°=′

′=′′==′′

′=

:Soluzione

17

17

FUNZIONI IMPLICITE: La funzione implicita è del tipo: ( )( ) ( )( ) 0yx,gy,x,F oppure 0xy,xf ==

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )( )( )xy,xf

fyffffyfxy

F

yg

; FF

xg

yx,gy,x,F :in xy,xfxy,xf

xy

yxf : xdi funzionein espressa essere puòy cui in

y di V intornoun e

x Udiintornoun

0y,xyf

0y,xf Se

Iy,xICf

aperto :II:y,xf

implicita funzione la xyy Detta

2y

yyyxxyxyxx

z

y

z

x3

y

x

00

0

o0

1

2

′++′+−=′′

−=∂∂−=

∂∂

=ℜ−=′

=

∃

≠

∂∂

=

∈∈

ℜ→ℜ⊂

=

:seconda Derivata

:prima Derivata

:implicite funzioni leper Dini di Teorema

( ) ( )( )( ) ( )( )

>′′==′

<′′==′

0xy

0y,xf0xy : sey per relativo minimo di puntoun è x

0xy

0y,xf0xy : sey per relativo massimo di puntoun è x

0

00x00

0

00x00

:relativi minimi e massimi dei Studio

FUNZIONI VETTORIALI. Matrice Jacobiana, e determinante Jacobiano:

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )00F

n

0m

2

0m

1

0m

n

02

2

02

1

02

n

01

2

01

1

01

n1

m10F

0i

mm1

n

xFxJ0m Se

xxf

...x

xfxxf

............xxf

...xxf

xxf

...xxf

xxf

x,...,xf,...,f

xJ

: variabilile tuttea rispetto Ain x teparzialmen derivabili sono A:f funzioni le Se

A:f,...,fF

aperto A

∇==

∂∂

=∂∂

=

∈ℜ→

ℜ→=ℜ⊂

:Jacobiana Matrice

18

( )

( )[ ] ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )n

0n

2

0n

1

0n

n

02

2

02

1

02

n

01

2

01

1

01

n1

n10F

0i

nn1

n

xxf

...xxf

xxf

............xxf

...xxf

xxf

...xxf

xxf

x,...,xf,...,f

xJdet

: variabilile tuttea rispetto Ain x teparzialmen derivabili sono A:f funzioni le Se

A:f,...,fF

aperto A

∂∂

=∂∂

=

∈ℜ→

ℜ→=

ℜ⊂:Jacobiano teDeterminan

Campi conservativi:

( )

( ) ( ) fg ; fg cioè yx,Fyx,g:che taleF di potenziale detta A:g scalare funzione una se

:se dice si

A:F , f,fF

2y1x

2221

===∇ℜ→∃

ℜ→ℜ⊂=voconservatiF

( )

( ) ( ) [ ]

( )( ) ( ) 0dtttfF :se voconservati è F che ha si

connesso, ntesempliceme ènon

chiusa,b.a:y,x:yx,I ma chiuso, è F Se

chiusa I 0F :allora voconservati è F Se

voconservati è F

xf

yf

:chiuso F

connesso ntesempliceme I

ICF

b

a

n

1i11i

1n

12

21

2

1

=′=

=ℜ→∉ℜ∈=

∈∀=

∂∂

=∂∂

ℜ⊂

∈

ℜ

=

γγ

γ

: in viconservati Campi 2

( )

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

=

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂=

yf

xf

; xf

zf

; zf

yf

se 0Frot

kyf

xf

jxf

zf

izf

yf

fffzyx

kji

Frot

123123

321

:F di Rotore

19

( )

( )voconservati è F

0Frot :aleirrotazion Fconnesso ntesempliceme I

ICF3

1

3

=ℜ⊂

∈

ℜ : in viconservati Campi

−ℜ

−ℜ−ℜ

→ℜ

−ℜ

−ℜ−ℜ

−ℜ

→ℜ

connesso ntesempliceme è toro

connesso ntesempliceme ènon retta

connesso ntesempliceme è semispazio

connesso ntesempliceme è sfera

connesso ntesempliceme è 0,0,0

connesso ntesempliceme è semiretta

connesso ntesempliceme è retta

connesso ntesempliceme ènon crf.

connesso ntesempliceme ènon P

2

3

2

02

2

:connessi tesemlicemen Insiemi

Forma differenziale di un campo vettoriale:

( )

2y1x

21

fg , fg :g se esatta è w

dyfdxfw

:lediffernzia eq.un' associare può si esso ad e, vettorialcampoun f,fF Sia

==∃+=

=

Potenziale di un campo conservativo in 2ℜ :

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

0

02

0

01

x

x1

y

y022121

2

1

PgPgFdxvoconservati è F Se

.potenzialeun esprimere deve si insieme ogniper che visto

insieme, ogniper uno sceglierne dobbiamo e arbitrario è xpunto Il

xt x,yy

tx

yty ,ty

xx

dty,tfdtt,xfdyfdxfdyfdxfy,xg

fyg

:imponendo detrmina si y

ydxfy,xg

0021

−=

≤≤==

=

≤≤==

=

+=+++=

°

=∂∂

+=

°

γ

αα

ϕ

:Modo 2

:Modo 1

20

Potenziale di un campo conservativo in 3ℜ :

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) dtz,y,tfdtz,t,xfdtt,y,xfz,y,xg

z,y,xPz,y,xPz,y,xPz,y,xP

z,ydxfzy,x,g se fzg

e fyg

:imponendo detrmina si y

y,xˆdzfz,xdyfz,ydxfz,y,xg

x

x1

y

y02

z

z003

x02y001z0000

132

321

000

++=

=→=→=→=°

+==∂∂=

∂∂

+=+=+=

°

:Modo 2

:Modo 1

ϕ

ϕϕϕ

( )

IC regolare tegeneralmen chiusa curva ,0F che ha si

0F t.c.regolare tegeneralmen curva una Se

chiuso FICF

C

1

∈∀=

=∃

∈

γ

:Teorema

CURVE

( )( )

( )( )( )

=Ψ=

=→ℜ

Ψ==

→ℜ

==

tztytx

tytx

:aparametric formaIn )3

0yx,f :implicita formaIn )2xfy :cartesana formaIn 1)

3

2

χ

ϕ

21

1

INTEGRALI: Metodo di integrazione per parti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′⋅−⋅=⋅′ dx xgxfxgxf dx xgxf

Metodo della sostituzione: ( )( )

( )( )( )

( )[ ] ( )dt tgtgf dx xfb

a

bgag

dttgdxtgx

′⋅=

==′=

=

β

α

βα

Integrali impropri:

)( ] ( ]

( ) ( )

)[ ) [ )

( ) ( )

→ℜ∈→∞±

==

ℜ→→

→ℜ∈→∞±

==

ℜ→→

−

+

→

b

a

x

abx

b

a

b

xax

CONVERGElDIVERGE

dt tflimdx xf

ba,in continua b,a:f

2

CONVERGElDIVERGE

dt tflimdx xf

ba,in continua b,a:f

1

( ]

( )

[ )

( )

→≤∃→>

=

ℜ→+∞

→≥∃→<

+∞=

ℜ→

+∞→

→ +

diverge intgralel'1 improprio sensoin integralel' 1

ordinecon 0xflim

continua ,a:f

diverge integralel' 1improprio sensoin integralel' 1

ordinecon xflim

continua b,a:f

x

ax

αα

α

αα

α

:Teorema

Integrali con parametro: ( ) ( )( )

( )

=xq

xp

dy y,xfxg

( )

( )[ ]

[ ]

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )xxuxkdttuxkxxuxhdttuxhb

xa

ββααβ

α

′−=′=′=′=

′⋅−′⋅+=′∃′′∃∈

ℜ⊂×=

∈

, :NB

ba,in xq , xp , ACf Se

ba,in continua è g

Ib,aA

ACq , p

ACf

x

0x

2

0

xpxpx,f xqxqx,f dy yx,fxgxq

xpx

2

Integrali impropri con parametro: ( ) ( ) ( ) ( ) +∞

∞− ∞−

+∞

= dy y,xf ;dy y,xf ;dy y,xfxgc

c

( ) [ ] [ )

( ) ( ) [ ] [ ) ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∞+ ∞+

∞+

=′∃≤∃∈

+∞∈∀∈∀≤

+∞×=ℜ⊂∈

c cxx

0x

c

20

dy y,xfxg CONVERGE dy y eA in yyx,f che tale , ACf :Se

ba,in continua è g CONVERGE dy y :,cy , ba,x , yyx,f :Se

,cba,A ; A ; ACf

φφφ

ϕϕ

:integrale di segno il sotto ederivazion di Teorema

:continuità della Teorema

Trasformata di Laplace: ( )( )( ) +∞

−=0

sx dx esxf

( )( ) Laplace. secondo bile trasformaè f Mexf

che K tali, M costanti due esistono cioè leesponenzia ordine d e 0,in trattia continua è f Se:

kx ≤+∞

Teorema

INTEGRALI DOPPI:

Dominio normale: ( ) ( )( )

( )

=D

b

a

xq

xp

dy y,xfdxdy dx y,xf

( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ykxyh , dyc:y,xD

ykyh , d,cCyk,yh d,c , dc, Siano

xqyxp , bxa:y,xD

xqxp , b,aCxq,xp b,a , ba, Siano

2

0

2

0

≤≤≤≤ℜ∈≡

≤∈<ℜ∈

≤≤≤≤ℜ∈≡≤∈<ℜ∈

:y a rispetto normale Dominio

:x a rispetto normale Dominio

Formule di riduzione:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

=

D

d

c

yk

yh

D

b

a

xq

xp

dx y,xfdydy dx y,xf

:y a rispetto riduzione di Formula

dy y,xfdxdy dx y,xf

: xa rispetto riduzione di Formula

3

Proprietà uno:

( ) ( ) ( ) +=

∩=

21 DD D

21

dydx y,xfdydx y,xfdydx y,xf

DDD Se

Cambiamento di variabili in generale:

( )( )

( ) ( ) ( )[ ] dvdu

vu

vuvu, , v,u fdydx y,xf

y,u yv,u x

D D

∂∂

⋅=

==

ψψ

φφ

ψφ

Cambiamento di variabili in coordinate polari:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ρϑρρϑϑρρϑρϑρ

ϑρϑρ

ϑ

ρ

d , fdd d sen , cos fdydx y,xf

sen ycos x

2

1

2

1D D ⋅=⋅=

==

Area di un dominio normale piano:

( ) =D

dy dxD Area

:normale dominioun D Sia

Coordinate del baricentro di un dominio normale piano:

( )

( )D Area

dydx y

dydx

dydx yy

D Area

dydx x

dydx

dydx xx

D

DG

D

DG

==

Momenti di inerzia rispetto agli assi x, y e alla generica retta r:

( )( )[ ] dydx r , y,xdistI

dydx xI dydx yI

2

Dr

D

2y

D

2x

=

==

4

INTEGRALI CURVILINEI Forma parametrica di una curva:

[ ]

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )

[ ] [ ]i1-ik10

2n

22

21

nn

22

11

n

a , a intervallo ogniin regolare è che taleba...aaa : ba, di nesuddivisio una :se I è t

ba,t 0t...ttt

: se è t

tx

t

b,a:

Γ=<<<=∃Γ

∈∀>′++′+′=Γ′

Γ

=

==

=Γ

ℜ→Γ

TRATT AREGOLARE

REGOLARE

ϕϕϕ

ϕ

ϕϕ

Lunghezza di una curva:

( ) ( ) ( ) ( ) dt t...ttdsb

a

2n

22

21 ′++′+′==Γ

Γ

ϕϕϕL

Integrale curvilineo:

( ) [ ]

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) f. di graficoin e t tracompresa cilindrica superficie della Area ds f

dt t...ttt,...,tfds fIin continua acon tracci t

I:f

b,a:tb

a

2n

22

21n1

2

n

Γ=

′++′+′⋅=

Γℜ→ℜ⊂ℜ→Γ

Γ

ϕϕϕϕϕ

Coordinate del baricentro di una curva:

( )

Γ

Γ=

ds y1

y

ds x1

x

G

L

Momento di inerzia di una curva rispetto a una retta o ad un punto o a un piano:

calcolarlo cui da piano dal o retta dalla o punto dal p punto del distanza d

ds dI 2

Γ∈=

= Γ

FORMULE DI GAUSS-GREEN

T. di esternol' versoorientata e Con . normale un versore e tangenteun versore ammette T:regolare tegeneralmen curva una da costituita T frontieracon di regoare dominioun T Sia 2

ντνντ ⊥∂∂ℜ

5

Vettori ντ , :

( )( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

yx

x ,

yx

y

ba,t yx

y ,

yx

x

ba, ttyytxx

T

2222

′+′

′−′+′

′=

∈∀

′+′

′

′+′

′=

∈

==

=∂

ν

τ

Formule di Gauss-Green:

)

)( )

+−=+

−=

=

∂+

T Tyx

T Ty

T Tx

dy gdx fdydx fgdx fdydx f 2

dy gdydx g 1

Area di T:

) ( )

) ( )( ) dy xdx y

21

TAreadx ydydx TArea 2

dy xdydx TArea 1

T

T T

T T +−=

−==

==

∂+

FORMULE DI INTEGRAZIONE PER PARTI PER GLI INTEGRALI DOPPI

⋅∂∂−⋅−=

∂∂

⋅∂∂−⋅=

∂∂

∂+

TT T

dydx gyf

dx gfdydx yg

f

dydx gxf

dy gfdydx xg

f

INTEGRALI DI SUPERFICIE: Area di una superficie:

( )( )( )

( )

( )( )

=

∂∂=

++=

∈

===

=Γ

Γℜ→ℜ⊂ΓΓ

vvv

uuuS

D

222

32

zyxzyx

Jcon v,uy,x

C , v,ux,z

B , v,uz,y

A

dydx CBASArea

xy.piano sul S di proiezione la è D Dvu, v,u zzv,u yy v, uxx

di codominio il è S , D:

:S superficie una di aparametric azionerappresent la Sia

6

Integrali di superficie:

( )( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) dvdu CBA v, uz , v, uy , v, uxfd f

xy.piano sul S di proiezione la è D Dvu, v,u zzv,u yy v, uxx

di codominio il è S , D:

:S superficie una di aparametric azionerappresent la Sia

S D

222

32

++⋅=

∈

===

=Γ

Γℜ→ℜ⊂ΓΓ

σ

COORDINATE CILINDRICHE E SFERICHE:

( )( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

R. raggio e O centro di sfera R

sen,,z,y,x

cosz

sensenycossenx

z. asseall' intorno rotazione di circolare cilindro R

z,,z,y,x

zz

senycosx

2

=

=∂∂

===

=

=∂∂

===

ρ

φρϑφρ

φρϑφρϑφρ

ρ

ρϑρ

ϑρϑρ

:Sferiche

:eCilindrich

FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE:

( )

( )( )( )

( )

( )( )

[ ]

++=•=Φ

∂∂=

∈

===

=

++==

•=Φ

Φ

ℜ⊂=

D321

SS

222

SS

3221

dvdu CfBfAfd

v,uy,x

C , v,ux,z

B , v,uz,y

A

Dvu, v,u zzv,u yy v, uxx

S

CBA

C,B,ANN

d

:è S ad normale della versonel e direzione nella S attraverso di flusso il AlloraA.in contenuta superficie una S Sia

.A aperto insiemeun in definito e vettorialcampoun f,f,f Sia

σ

nF

n

nF

F

7

TEOREMA DI STOKES (circuitazione di F lungo una curva chiusa S∂ ):

( )( )

( )

( )( )( )( )

( )

( )( ) [ ]

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

[ ]

( )( ) ( )

dtttf

ba, ttv, tuzztv, tuyyt v, tuxx

S

ba, t tvvtuu

D

Dvu, v,u zzv,u yy v, uxx

S

di codominio il è S , D:

fffzyx

kji

d :è S attraverso di rotore del flusso Il

e. vettorialcampoun f,f,f Sia

b

a

n

1ii

S

32

321

SS

221

Ω− Ω+

=Ω=∂+

∂+

−=

Ω′Ω=

∈

===

=∂+

∈

==

=∂+

∈

===

=Γ

Γℜ→ℜ⊂Γ

∂∂

∂∂=

•=

=

FF

F

:vettoriale campo un di curvilineo Integrale

Frot

nFrotFF

F

σ

INTEGRALI TRIPLI:

Formula di riduzione: ( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

==y,x

yx,

xq

xp

b

aD A

y,x

yx,

dz z,y,xfdydxdz z,y,xfdy dx dzdy dx z,y,xfβ

α

β

α

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

==

≤≤≤≤≡≤≤∈≡

y,x

yx,

xq

xp

b

aD A

y,x

yx,

dz z,y,xfdydxdz z,y,xfdy dx dzdy dx z,y,xf

:allora Din continua è zy,x,f seba,in continue xq , xp xqyxp , bxa :yx,A

Ain continue yx, , yx, y,xzyx, , Ay,x:zy,x,D

β

α

β

α

βαβα

Formula generale di cambiamento di variabili:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ∂

∂⋅=

===

D D

dw dvdu w,v,uz,y,x

wv,u,z , wv,u,y , w,v,uxfdzdy dx z,y,xf

wv,u,zz wv,u,yy w,v,uxx

8

Formula di cambiamento di variabili in coordinate sferiche:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⋅=

===

D

2

D

d d d sen, ,fdzdy dx z,y,xf

cosz cos seny cos senx

ϕρϑφρφρϑ

φρϑφρϑφρ

Integrali tripli per sezioni:

( )

==D

b

a D

b

a

z,y

zq

zp

z

dx fdy dzdydx fdz dzdy dx f

:D di sezione opportunaun' D e oconsiderat volumeil D Siaβ

α

Volume: ( ) ==V V

dz d d dzdy dxDVol ϑρρ

Coordinate del baricentro di un solido:

( ) ( ) ( )VVolume

dzdy dx zz ,

VVolume

dzdy dx yy ,

VVolume

dzdy dx xx V

GV

G

===

DIVERGENZA:

( )

( )zf

yf

xf

div

e. vettorialcampoun f,f,f Sia

321

221

∂∂

+∂∂

=

F

Teorema della divergenza o di Gauss:

( )( ) σddzdy dx div

:chiusa superficieV , f,f,f :e vettorialcampoun Sia

Vesterna

V

321

∂

•=

=∂=

nFF

FF

Teoremi di Guldino:

)( ) ( ) ( )

)( ) ( ) ( )Γ⋅Γ=Γ

Γ

⋅=

G

SG

y2lSArearotazione di superficie una di area2

y2SAreaVVolumerotazione di solido un di volume1

π

: di baricentro dal descritta nzacirconfere laper meridiana curva della lunghezza della prodotto al uguale è S L'

:S di baricentro dal descritta nzacirconfere della lunghezza laper S meridiana sezione una di areadell' prodotto al uguale è V Il

Relazioni importanti:

( ) ( ) ( )( ) 0Frotdiv , fffffdiv , 0frot:e vettorialfunzione una F scalare, funzione una f Sia

zzyyxx =++=∆=∇=∇

9

LIMITI NOTEVOLI

1.

<<→>→∞+

=+∞→ 10 0

1

a

aalim x

x

2.

<<→∞+>→

=−∞→ 10

1 0

a

aalim x

x

3.

<→>→∞+

=+∞→ 0 0

0

b

bxlim b

x

4. ( ) +∞=

+∞→xloglim

x

5. ( ) −∞=

+→xloglim

x

0

6. ( ) ( )0 0 >=

+∞→b

xxlog

lim bx

7. ( ) ( )0 0

0>=

+→bxlogxlim b

x

8. ( )

=

>>=

−∞→

+∞→

0

0 , 1 0

b

x

b

x

xa

lim

baax

lim

9. 0 =⋅

−∞→

x

xexlim

10. ex

limx

x=

+±∞→

11

11. ( )

1 0

=→ x

xsenlimx

12. ( )0 0

0

>=→

aaalim xx

xx

13. ( )0 0

b0

0

>=→

xxxlim b

xx

14. ( ) ( ) ( )0 00

0

>=→

xxlogxloglimxx

15. ( ) ( ) 0

0

xsenxsenlimxx

=→

16. ( ) ( ) 0

0

xcosxcoslimxx

=→

17. ( ) ( )1 0 >=

+∞→a

axlog

lim xx

18. bx

xe

xb

lim =

+±∞→

1

19. ( ) ( )0 0

0>=

→b

xxlog

lim bx

20. ( ) 1

0alog

xa

limx

x=−

→

21. ( )

2

−∞=+

−→

xtglimx

π

22. ( )

2

+∞=−

→

xtglimx

π

23. ( )2

π−=

−∞→xarctglim

x

24. ( )2

π=

+∞→xarctglim

x

25. ( ) +∞=

+→xctglim

x

0

26. ( ) −∞=

−→xctglim

x

π

27. ( ) π=

−∞→xarcctglim

x

28. ( ) 0 =

+∞→xarcctglim

x

29. 1 =

+∞→

n

nnlim

30. e!n

nlim

nn=

+∞→

31. ( ) 0

0=−

→ +

xlog

xxlim

32. ( )

( ) 01

0

=++→ xlog

xloglimx

33. 0

0=

+→xlogxlim

x

34. ( ) 01

0=+−

→tlogxlim

x

35.

( ) ( )( ) non

00∃=

→ylogxlim

,y,x

36.

( ) ( ) non

00∃=

→

x

,y,xylim

37. ( )( )

0

ord.

0

>→∞>→=→

= → →

→βαβαβα

β

α o

l

xg

xflim

xx

LIMITI NOTEVOLI

1.

<<→>→∞+

=+∞→ 10 0

1

a

aalim x

x

2.

<<→∞+>→

=−∞→ 10

1 0

a

aalim x

x

3.

<→>→∞+

=+∞→ 0 0

0

b

bxlim b

x

4. ( ) +∞=

+∞→xloglim

x

5. ( ) −∞=

−∞→xloglim

x

6. ( ) ( )0 0 >=

+∞→b

xxlog

lim bx

7. ( ) ( )0 0

0>=

+→bxlogxlim b

x

8. ( )

=

>>=

−∞→

+∞→

0

0 , 1 0

b

x

b

x

xa

lim

baax

lim

9. 0 =⋅

−∞→

x

xexlim

10. ex

limx

x=

+±∞→

11

11. ( )

1 0

=→ x

xsenlimx

12. ( )0 0

0

>=→

aaalim xx

xx

13. ( )0 0

b0

0

>=→

xxxlim b

xx

14. ( ) ( ) ( )0 00

0

>=→

xxlogxloglimxx

15. ( ) ( ) 0

0

xsenxsenlimxx

=→

16. ( ) ( ) 0

0

xcosxcoslimxx

=→

17. ( ) ( )1 0 >=

+∞→a

axlog

lim xx

18.

1

SERIE NUMERICHE: Definizione di serie:

∞+

=

=∈

∈

=+++=

=

0nn

n

0kkn10Nnn

n10Nnn

n n

a :risulta data serie la Allora

aa...aas

a,...,a,aa

:che taliisuccession dues a Siano

Definizione di successione delle ridotte o somma parziale:

( )

±∞=+∞=

=ℜ∈=

=

∞+

=

∞+

=

+∞

=

0kknn

nn

n

0kkn

0nnnn

a : data serie la slim

Sa:serie della somma la S sia è data serie la lslim

è data serie la esistenon slim

:as con slim moconsideria a serie la Data

ntenegativame o ntepositivame o diverge

econvergent

ataindetermin

Definizione di resto della serie:

+∞

+=

=1nk

kn data serie della ntocomportame stesso lo ha ar

Teorema del CONFRONTO:

ntocomportame stesso lo hanno serie due le allora nn , ba :Nn che Supponiamo

b , a :serie le date Siano

nn

0n 0nnn

≥∀=∈∃

+∞

=

+∞

=

Teorema di CAUCHY:

( )esufficientnon ma necessaria condizione 0alim allora converge serie la Se.Oss

a a-assn m Se

.Oss

s-s risulta nnm, se t.c.Nn 0 :cioè

s ridotte delle esuccession laper Cauchy di condizione la vale convergeCauchy di serie La

nn

m

1nkk

m

0k

n

0knknm

mn

Nnn

=

<==−>

<>∈∃>∀

⇔

+∞→

+== =

∈

ε

εε

2

Serie GEOMETRICA: ragione x, x, x0n

n =ℜ∈+∞

=

( )( ) 1n

n

1n2nn

1n2n

n

0k

nkn

x1sx-1 :Ottengo

x...xxx...x1sx-1 :ottengo eq.2 la meno eq.1 la membro a membro Sottraendo

x...xx xs: x""per membri i ambo Moltiplicoeq.2

x...x1xs :ridotte delle esuccession la Consideroeq.1

+

=

−=

−−−−+++=°°

+++=→°

+++==→°

( ) ( )

( )

∞+

=

+

−=

≤∃>∞+

<−

=

<<−

−=→≠

+∞=+=+=++++=→=

pn

nn

1n

n

nnnn

x1x

x

.Oss

ATAINDETERMIN Serie -1 xse nonNTEPOSITIVAME DIVERGE 1 xse

CONVERGE1x se x1

1

s lim

frazione. una è 1x1-

limite il studio e x1

x1s ottengo e x-1per divido

1n lims limn11...111s

1x

Serie TELESCOPICA: ( )+∞

= +1n 1nn1

( )

CONVERGE 11n

11

1n1

n1

...31

21

11k

1k1

s

1n1

n1

1nn1

a

n

1kn

n

→+

−=+

−++−+−=

+−=

+=

+∞→=

Serie ARMONICA: +∞

=1n n1

NTEPOSITIVAME DIVERGE data serie la quindi2n

1lim poichè limitata ntesuperiorme ènon ridotte delle esuccession La

2n

1s

n

2n

+∞=

+

+>

+∞→

Serie ARMONICA GENERALIZZATA: +∞

=

>⇔1n

1 CONVERGE n1 αα

3

Osservazione:

( )onemaggiorazi s-Sr Se rs-S :Quindi

Nn ,rsS :ha si n, fermo lasciando e mper Allora

aram Se

asaaas :ha si esima-m ridotta lan m Preso

somma. la S sia , a ECONVERGENT serie una Data

nnnn

nn

0kkn

m

1nkk

m

0k

n

0k

m

1nk

m

1nkknkkkm

0nn

αα <<=∈∀+=+∞→

==+∞=

+=+==>

∞+

=+=

= = += +=

+∞

=

serie della Somma

CRITERI DI CONVERGENZA: ( )" nn :Nn" di ipotesil'con sostituita essere può N"ndi" ipotesiL' >∀∈∃∈∀ Criterio del CONFRONTO: (per serie non negative)

∈∀≤

∈∀≥≥

∞+

=

∞+

=

∞+

=

∞+

=

+∞

=

+∞

=

0n 0nnn

nn

0n 0nnnnn

NTEPOSITIVAME DIVERGE b NTEPOSITIVAME DIVERGE a serie la :se

CONVERGE a CONVERGE b serie la :se :Allora

N.n ba Supponiamo

Nn 0b , 0a che talib , a :serie le date Siano

Criterio del RAPPORTO:

=><

∈∀>

+

+∞

=

niente. conclude sinon 1lNTE.POSITIVAME DIVERGE serie la1l

CONVERGE. serie la1l:ha si l valee esiste Se

aa

lim :limite il consideri Si

Nn ,0a che talea :serie la data Sia

n

1n

n

0nnn

Criterio della RADICE:

( )

><

∞+≥

∈∀≥+∞

=

NTEPOSITIVAME DIVERGE serie la1lCONVERVE serie la 1l

:ha si oppure 0l l valee esiste Se

a lim :limite il consideri Si

Nn ,0a che talea :serie la data Sia

nnn

0nnn

4

Criterio INTEGRALE:

( ) [ )

( ) ( )

[ ) ( ) ( )

−→

∞+

=

∞+

=ℜ→

⇔

+∞

b

a

x

abx

0n 0

dttflimdxxgcontinua g

ba,:g

.Oss

CONVERGE dxxf CONVERGE essa nf :serie la consideri Si

.1, intervallonell' edecrescent e positiva continua, funzione una xf Sia

Corollario del criterio del CONFRONTO:

+∞=

=>ℜ∈

+∞

=

+∞

=

DIVERGE a DIVERGE b e l

CONVERGE a CONVERGE b e 0l

ntocomportame stesso lo hanno serie due le 0l , l

:l valee esiste limite il Se

ba

lim :limite il Considero

positivi. terminia b e a :serie le date Siano

nn

n

0n 0nnn

Criterio DELL’ORDINE DEGLI INFINITESIMI:

( )

≤⇔+∞=>⇔=

≤>

+∞∈

∈∀≥

+∞→

+∞

=

1DIVERGE data serie la l1CONVERGE data serie la 0l

DIVERGE data serie la 1CONVERGE data serie la1

0,l

:l valee esiste limite il Se

:allora

n1

alim : limite il Considero

Nn ,0a che talea :serie la data Sia

n

0nnn

αα

α

Teorema dell’ASSOLUTA CONVERGENZA: (per serie di segno qualunque)

. viceversail non vale ,NTEASSOLUTAME CONVERGE a CONVERGE a Se0n 0n

nn +∞

=

+∞

=

radice. della e rapporto del criterio ilper anche valeaconvergenz assolutadell' teoremail Allora

:qualunque segno di a a :serie la data Sia0n

nn+∞

=

5

Serie di segno alterno: ( ) ( ) +∞

=

+∞

=

+ ∈∀≥−0n 0n

nn1n

nn Nn ,0a , a1- oppure a1

Criterio di LEIBNITZ:

( )

=+

+

∞+

=

−=≤

ℜ∈∀≤

=

∈∀≥

n

0kk

kn1nn

n1n

nn

0nnn

n

a1s dove as-S

CONVERGE serie la Allora

n aa

0a lim

Nn 0a a1-

:che Supponiamo

SERIE DI FUNZIONI:

( )

( ) ( )

=

+∞

=

ℜ∈∀ℜ⊂ℜ→∈

n

0kkn

n0n

n

xfxs :Somma

.n I , I:f dove I x, xf è funzione di serie Una

Definizione: Insieme di convergenza: converge serie la cuiper x delle insiemel' E'

Serie GEOMETRICA: ℜ∈+∞

=

I , x0n

n

( ) ( ) 1 , 1-xin converge serie la 1 , 1- è aconvergenz di insiemeL'

1x TEPUNTUALMEN CONVERGE x serie La0n

n

∈∀

<⇔+∞

=

Serie TELESCOPICA: ( )+∞

=

+ +−1n

n1n 1xx

( ) ( )

( )

( ) continua. ènon n , xs somma la tuttaviacontinue, funzioni sono serie della terminii TuttiN.B.

-1 xse non 1 xse

1 xse 1

1x se 0

xlimxs lim

xxx...xx1x1xxxs

n

1n

nnn

n

0k

1nn1n2k1kn

+∞→

≤→∃>→∞+

=→<→

==

=−++−+−+=−=

+

=

+++

6

Definizione di CONVERGENZA UNIFORME:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=∈−

<∈−≥∈∃>∀•

<−≥∈∈∃>∀•

ℜ→

∈

0Ix:xfxfsup lim

:cioè Ix:xfxfsup :risulta nn se che tale, Nn 0

xfxf :risulta nn e I xse che tale x,da teindipenden n , Nn 0

:seconda la o prima la o verificasi se f a Iin ENTE UNIFORMEMCONVERGE f che dice si

x.da teindipenden I ,I:f

nn

n

Nnn

n

εεεε

Teorema sulla CONTINUITA’ di f in I:

[ ]

( )( )

( ) ( ) 0nn

000

nn

n

in x continua è f Allora Iin nteuniformeme Ix , xfxf lim

I x, xCf ,I:f

locale studio Oss.

I.in continua è f AlloraIin f a nteuniformeme converge f

continua ,b,aI:f

∈∀=

∈∈ℜ→

ℜ→=

Teorema di PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE su intervalli limitati per le successioni:

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ==

=ℜ→ b

a

b

annnn

ndxxfdxxflim Iin nteuniformeme , xfxf lim

Iba,in continua , b,a:f

Teorema di INTEGRAZIONE SU INTERVALLI LIMITATI per le serie:

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )

∞+

=

∞+

=

==

=ℜ→ b

a 0n

b

an

0nn

n

dxxfdxxS Iin nteuniformeme , xSxf

Iba,in continua , b,a:f

CRITERI DI CONVERGENZA: Criterio di CAUCHY per la CONVERGENZA UNIFORME - per succesioni di funzioni:

( ) ( ) Iin ENTE UNIFORMEMCONVERGE f Ix , xfxf :risulta

,nnm, se che, x taleda teindipenden Nn , 0 :cioè Cauchy, di condizione la a verificatE'

I , I.f

nmn

n

⇔∈∀<−≥∈∃>∀

ℜ⊂ℜ→

εε

Criterio di CAUCHY per la CONVERGENZA TOTALE - per serie di funzioni:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) εε <=−>≥∈∃>∀⇔ →

ℜ⊂ℜ→

+=

∞+

=

m

1nkknm

0nUNIFn

n

xfxSxS :ha si nm nnm, se che taleNn , 0xSxf

I , I.f

7

Criterio di WEIERSTRASS per la CONVERGENZA TOTALE - per serie di funzioni:

( )

∈∀∈∀≤∃

ℜ⊂ℜ→

∈

+∞

=

Iin menteuniformenì anche converge f converge ce

Nn , Ix cxf :che talenumerica esuccession c cioè Iin e totalmentconverge f :Se

I , I:f , xf

nn

nnNnnn

n1n

n

Teorema di CONVERGENZA UNIFORME - per serie a segni alterni:

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

Iin nteuniformeme converge data serie la

Iin nteuniformeme 0xf lim

xfxf

Iin 0xfcon xf1

nn

n1n

0nnn

n

=≤

≥−

+

+∞

=

Teorema di PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE su intervalli non limitati per le successioni:

[ ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

∞+∞+

∞+

=

∈∀∈∀≤∈∃=

∈ℜ→+∞=

aann

an

0nn

dx xfdx xf lim

converge dx xg se e Nn , Ix xgxf che taleICg Iin nteuniformeme ff lim

ICf , ,aI:f

Teorema di INTEGRAZIONE su intervalli non limitati per le serie:

[ )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∞+ ∞+

=

∞+

=∈∀

≤ℜ→∃ →

ℜ→+∞=

a 0n an

anUNIFn

n

dx xfdx xf :allora ,Ix

xgxS convegedt tg che taleI:g I,in contenuto limitato intervallo ogniin ff

continua , ,aI:f

Teorema di DERIVAZIONE per le successioni:

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

∈∀=′

∈∀=∃∈∀

→′

ℜ∈=∃∈∃∈ℜ→

Ix xxf :risulta e Iin derivabile è f Inoltre

Ix xf limxf

Ix converge xf

Iin f

lxf lim che taleIx

ICf ,intervallo I , I:f

nn

n

UNIFn

0nn0

1nn

ϕϕ

8

Teorema di DERIVAZIONE per le serie:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

∈∀=′

→′

∃∈∃

∈ℜ→

∞+

= Ix xxS :ha si serie della somma la xS DettaI di punti i in tutti converge data serie La

Iin f

converge xf che taleIx

ICf ,intervallo I , I:f

UNIFn

1n0n0

1nn

ϕϕ

Casi particolari di SERIE DI FUNZIONI:

( )

( ) ( )( )

∞+

=

+∞

=

+

−

1nnn

0

0n

n0n

nxsenbnxcosa2

a :

xxa :

ricatrigomomet Serie

potenze di Serie

Lemma fondamentale per le serie di potenze (con punto iniziale 0x 0 = )

xx punti nei nteassolutame anche converge serie la allora 0x certoun in converge serie la Se

xa0n

nn

<≠

+∞

=

Raggio di convergenza:

))) ℜ∈∀+∞=

><>==

∞+≥∃+∞

=

x nteassolutame converge serie la r 3

rx se convergenon serie la ,rx se nteassolutame converge serie la 0r 2

0per x solo converge serie la 0r 1

:che tale nteeventualme 0,r numeroun , xa :potenze di serie la Data0n

nn

Teorema della convergenza totale:

( )

[ ] ( )[ ]ba,in e totalmentconv. serie la Allora

r,rb,a che modoin rb, a Siano

nteeventualme 0r aconvergenz di raggiocon xa0n

nn

−⊂<

∞+>+∞

=

Teoremi importanti:

[ ] ( ) [ ]

∞+

=

−

∞+

=

−

+∞

=

−⊂

′=

′

1n

1nn

1n

1nn

0n

nn

ba,in nteuniformeme converge serie la allora e, totalmentconverge xna ;r,rba, Se

rrr aconvergenz di raggio ha xna

r aconvergenz di raggio ha xa

9

SVILUPPI IN SERIE NOTEVOLI:

1. ...n!x

...2!x

x1n2

+++++=xe

2. ( ) ( ) ( ) ...!12n

x...

3!x

x12n

n3

++

−++−=+

1xsen

3. ( ) ( ) ( ) ...!2n

x...

4!x

2!x

12n

n42

+−+−+−= 1xcos

4. ( ) ( ) ( ) ( )bx...xb!n

na...aa...xabb nn-a1aa <++−−+++=+ −

11axb

5. ( ) ( )( ) ( )( )...

!nalogx

...!alogx

alogxn

+++++=2

12

xa

6. ( ) ( )( ) ( )1

12264212531

7642531

54231

321 12753

<++⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+⋅

⋅+=+

x ...nn...xn...

...xxx

xn

xarcsen

7. ( ) ( ) ( ) ( )1 175

75

≤++

−++−+−=+

x ...12n

x...

xx3x

x12n

n3

xarctg

8. ( ) ( ) ...!12n

x...

3!x

x12n3

++

+++=+

xsenh

9. ( ) ( ) ...!2n

x...

4!x

2!x

12n42

+++++=xcosh

10. ( ) ( ) ( )( ) ( )1

12264212531

17642

531542

3132

12753

≤++⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅+⋅

−=+

x...nn...xn...

...xxx

xn

nxsenhsett

11. ( ) ( ) ( )1 75

75

<++

+++++=+

x ...12n

x...

xx3x

x12n3

xtghsett

12. ( ) ( ) ( )11 132

132

≤<+−+−+−=+ + x-...nx

...xx

xn

nx1log

13. ( )1x 1253

21253

<

+

+++++=

−+ +

...n

x...

xxx

n

x1x1log

14. ( ) ( )0 11

121

11

31

11

2123

>

+

+−

+++

+−+

+−=

+

x ...xx

n...

xx

n

xlog

15. ( ) ( )

+++=+ ...

!x

x95

295

xsenxsenh

16. ( ) ( )

+++=+ ...

!x

8412

84

xcosxcosh

17. ( )1x1- 1 5432 <<++++++=−

...xxxxxx1

1

18. ( ) ( )11- 112

5403

61

2753 <<−−−−−=− x...xxxx

πxcos 1

19. ( )

+++−=+− ...xxxx 32

8965

1603

21

12x1cosh 1

20. ( ) ...xxxxx

−−−−−= 753

47251

9452

451

311xcot

21. ( ) ...xxxxx ++−+−= −−−−−− 97531

91

71

51

31xcot 1

22. ( ) ...xxxxx +−+−+= − 7541

47251

9452

451

31xcoth

23. ( ) ( ) ( ) ...xxxlnln +−+−=+− 2

161

41

21

221x1coth 1

24. ( ) ...xxxxx +++++=− 9753

115235

1125

403

61xsin 1

25. ( ) ...xxxxx −+−+−=− 9753

115235

1125

403

61xsinh 1

26. ( ) ...xxxxx +++++= 9753

283562

31517

152

31xtan

27. ( ) ( )11 71

51

31 753 <<−+−+−=− x...xxxxxtan 1

28. ( ) ...xxxx +++−+=+− 532

401

121

41

21

4πx1tan 1

29. ( ) ...xxxxx ++−+−= 9753

283562

31517

152

31xtanh

30. ( ) 71

51

31 753 ...xxxx ++++=− xtanh 1

SERIE

∞

=

=− 0n

nxx1

1

( ) ( )( )

∞

=

−=0

2

21

n

nn

x!n

xcos

∞

=

=0

1

n

nx!n

xe

( ) ( )

∞

=

+−=+1

11

n

nn

xn

x1ln

( ) ∞

=

−

−=

−+

1

12

122

n

nxnx1

x1ln

( ) ( )( )

∞

=

−+

−−=

1

121

n

nn

x!n

xsen

( ) ( )( )

∞

=

−+

−

−−=

1

121

n

nn

xn

xtan 1

( ) ( ) ∞

=

−−

−=

1

12

121

n

nxn

xtan 1

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