Benemérita Universidad Autónoma de Puebla

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas

Física Moderna Con Laboratorio

Reporte: Difracción de Electrones

Equipo α-Pulpo

Ernesto Benítez Rodríguez

Luke Goodman

Alma Elena Piceno Martínez

15-01-12

Introducción

La proposición de que la luz se comporta simultáneamente como onda y partícula ha sido difícil de entender, visualizar y explicar tanto para físicos y estudiantes de física como para el público en general, y cuando de Broglie propuso que en realidad, cualquier partícula se comporta como onda, eso no ayudó para aclarar las cosas, y en realidad va en contra de las observaciones cotidianas. Esta aparente contradicción con nuestras observaciones se aclara fácilmente viendo la ecuación de

de Broglie: λ= hmv . Para que un objeto macroscópico (con masa ≥ 10−3 kg) tenga una longitud de

onda visible (≥ 10−4m), tendría que moverse a una velocidad menor que 10−40m /s, lo cual es muy difícil (Figura 3). Por lo tanto, este comportamiento solo se nota en cuerpos muy pequeños. Entonces, ¿qué experimento podríamos hacer para convencernos de que esto realmente pasa? Una de las propiedades más características de una onda es su habilidad para difractarse e interferirse consigo mismo. Una forma de observar este fenómeno sería tomar una partícula pequeña, como un electrón, y acelerarlo hacia una red de grafito y luego hacia una pantalla fluorescente y fosforescente para ver la intensidad incidente. Si la pantalla marca anillos, es una clara señal de interferencia y por lo tanto, difracción, lo cual nos señala que efectivamente, los electrones son ondas. Bueno, eso es lo que hicimos.

Objetivos

1. ¡Disparar un cañón de electrones!2. Destruir naves extraterrestres.3. Verificar la ecuación de de Broglie

Materiales

1 tubo de difracción de electrones 1 vernier 1 controlador de voltaje 1 multimetro

Figura 1: Medidas del Tubo de Difracción de Electrones

Desarrollo

1. Primero, probamos que el acelerador de electrones y el controlador de voltaje estuvieran funcionando correctamente. Usamos el multimetro para determinar el voltaje máximo del controlador de voltaje (48.0 mV).

2. Medimos las dimensiones del tubo de difracción de electrones. Los resultados se ven en la figura 1. Para determinar el radio, medimos la circunferencia (40cm) y dividimos entre 2π.

3. Intentamos buscar varias maneras de medir la distancia entre el centro de la pantalla fosforescente a los anillos de máxima amplitud. Pensamos en comparar los anillos de amplitud con anillos físicos de diferentes radios conocidos, en marcar milímetros en un hilo y luego pegarlo al exterior de la esfera, o en simplemente usar un vernier. Al final utilizamos las últimas dos opciones.

4. Con el controlador de voltaje en 100%, lo conectamos al tubo de difracción de electrones, y encendimos el aparato. Los anillos verdes de difracción aparecieron sobre la pantalla fosforescente de la esfera y medimos la distancia entre el punto central y el primer anillo, mediante los dos métodos descritos en el paso 3. Con el hilo medimos la distancia sobre la superficie y con el vernier, la distancia recta. Hicimos este paso lo más rápido posible para evitar el desgaste innecesario del aparato.

5. Bajamos el voltaje 10% y hicimos las mediciones de nuevo, hasta llegar a 60%. Los resultados se ven en la Tabla 1.

Resultados

Voltaje Máximo: 48.0 mV

d=1.278×10−1m r=6.366×10−2m

Distancia Arco (mm) Distancia Recta (mm)Intensidad Anillo 1 Anillo 2 Anillo 1 Anillo 2

100% 13 21 11.7 19.795% 13 21 90% 13 21 12 21.980% 14 23 12.8 23.870% 16 25 14.8 24.660% 17 29 15.1 25.6

Tabla 1: Distancia entre Anillos de Difracción y Centro

Análisis

La ecuación de de Broglie dice:

λ= hmv

Tenemos todos los datos necesarios para verificar esta ecuación. Podemos encontrar la velocidad de los electrones por conservación de energía, suponiendo una velocidad inicial de 0 (no sé si esta suposición es válida)

U i=K f ⇔ qV=mv2

2 ⟹ v=√ 2qVm

Donde q=1.602×10−19C y m=9.109×10−31 kg son la carga y masa del electrón, respectivamente y V es el voltaje de aceleración.Intensidad Voltaje (V) Velocidad (m/s)

100% 0.0480 129,944.795% 0.0456 126,654.490% 0.0432 123,276.480% 0.0384 116,226.170% 0.0336 108,719.660% 0.0288 100,654.7

Tabla 2: Velocidad de Electrones

La longitud de onda λ es la distancia entre dos amplitudes máximas. Si encontramos la diferencia entre las distancias recorridas por los electrones en los dos anillos, esto nos dará la mitad de la longitud de onda, ya que los anillos verdes que vemos no representan los picos de la onda, sino los picos del cuadrado de la onda.

Figura 2: La curva negra representa una onda y la roja su cuadrado.

Para encontrar la distancia viajada por los electrones incidentes en algún punto de la pantalla, vemos el siguiente diagrama:

En este diagrama, conocemos la distancia d=0.1278m, y los valores de y se encuentran en la Tabla 1 (Distancia Recta). Si conociéramos el ángulo θ, podríamos usar la ley de cosenos para encontrar x, lo cual representa la distancia viajada.

Para encontrar θ, utilizamos el triangulo arriba. Aquí se ve que

cosθ= y /2R

= y2 R

Regresando al primer diagrama y utilizando la ley de cosenos:

x2=d2+ y2−2dy cosθ=d2+ y2−2 d y2

2R=d2+ y2(1− dR )

⟹ x=√d2+ y2(1− dR )

Distancia Recta (m) Distancia Viajada (m)Intensidad Anillo 1 Anillo 2 Anillo 1 Anillo 2 Diferencia entre Picos (m)

100% 0.0117 0.0197 0.1272593 0.126261 0.00099890% 0.012 0.0219 0.1272311 0.1258954 0.00133680% 0.0128 0.0238 0.1271526 0.1255475 0.00160570% 0.0148 0.0246 0.1269337 0.125392 0.00154260% 0.0151 0.0256 0.1268981 0.1251902 0.001708

Tabla 3: Distancia Viajada por los haces de electrones incidentes a los anillos de máxima amplitud.

Ahora conocemos cada parte de la ecuación de de Broglie, así que la podemos verificar.

λ= hmv ⟹ λmv=h

Intensidad λ (m) m (kg) v (m/s) λmv (kgm2s)

100% 0.001996514 9.11×10−31 129944.7 2.363×10−28

90% 0.002671546 9.11×10−31 123276.4 3.000×10−28

80% 0.003210213 9.11×10−31 116226.1 3.399×10−28

70% 0.003083374 9.11×10−31 108719.6 3.054×10−28

60% 0.003415832 9.11×10−31 100654.7 3.132×10−28Tabla 4: “Verificación” de la constante de Planck según los datos obtenidos.

El valor aceptado para la constante de Planck es h=6.626×10−34 Js, pero obviamente están muy equivocados y el valor verdadero esta cerca de 3×10−28 Js.

Al final resulta que solo logramos el objetivo 1: disparar un cañón de electrones, pero lamentablemente, ninguna de las naves extraterrestres en la vecindad se encontraba dentro del tubo de alto vacio (obviamente, porque con una nave adentro, ya no sería de alto vacío), y la pantalla evitaba que les diéramos con la parte de mayor intensidad. Cuando intentamos dispararlos con los electrones que salían a ángulos suficientemente grandes para evitar la pantalla, las naves se ponían en posiciones donde, debido a la interferencia, había cero probabilidad de incidir un electrón. Después de varios intentos fallidos que nos costaron un ojo, dos piernas, un tigre de dientes de sable y 27 pesos y veinte centavos, por fin logramos meter una de sus naves en el tubo de alto vacio, y resultó que las naves tenían una carga neta negativa que repelaba electrones. Ojala tuviéramos un tubo de difracción de protones.

Con respecto al objetivo 3 y la inconsistencia del valor de h, se puede decir que si aceptamos que λmv=h y que los valores establecidos de la constante de Planck y la masa del electrón son correctos, entonces debe haber un error en el cálculo de v o λ. El cálculo de v se basó en la suposición de que la velocidad inicial del electrón era cero y por lo tanto su energía cinética también. Sin embargo, si le damos cualquier velocidad inicial real al electrón, eso solo aumentará

la energía cinética final y por lo tanto la velocidad final, lo cual resultará en un mayor valor de h, lo cual nos alejará mas del valor aceptado. Entonces el error debe ser en la obtención de la longitud de onda. En el procedimiento descrito arriba, ignoramos la red de grafito que produce la difracción y nos enfocamos en el haz de electrones que sale del centro de esa red, suponiendo que los electrones que chocan con diferentes capas de grafito forman un haz de electrones cuya probabilidad de existir en cierto lugar oscila con respecto su distancia viajada, pero quizás este concepto sea erróneo.

Figura 3: Ejemplo de cuerpo macroscópico intentando difractarse