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ASIMOV – FISICA PARA EL CBC, Parte 1

FISICA Para el CBC

- Parte 1 -

ESTATICA y CINEMATICA

FISICA CERO

MATEMÁTICA NECESARIA PARA ENTENDER FÍSICA

ESTATICA

FUERZAS COPUNTUALES – SUMA DE FUERZAS – REGLA DEL PA-RALELOGRAMO - METODO ANALITICO PARA SUMAR FUERZAS - Σ FX Y Σ Fy - RESULTANTE - EQUILIBRIO - EQUILIBRANTE - FUERZAS NO COPUNTUALES - MOMENTO DE UNA FUERZA - ECUACION DE MOMENTOS - EQUILIBRIO - CENTRO DE GRAVEDAD

CINEMATICA

POSICION – VELOCIDAD – ESPACIO RECORRIDO - MRU – ACELE-RACION - MRUV – ECUACIONES HORARIAS - ENCUENTRO - ACELE-RACION DE LA GRAVEDAD - CAIDA LIBRE - TIRO VERTICAL - TIRO OBLICUO - CINEMATICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR - MOVIMIEN-TO RELATIVO – CINEMATICA VECTORIAL

Física para el CBC, Parte 1

- 2ª. edición. – Buenos Aires: Editorial Asimov, 2013

223 p.; 21 x 27 cm.

ISBN: 978-987-23462-2-5

Física para el CBC, Parte 1 - 2a ed. - Buenos Aires : Asimov, 2013 v. 1, 223 p. ; 21 x 27 cm. ISBN 978-987-23462-2-5 1. Fisica. Título CDD 530

Fecha de catalogación: Marzo de 2007

Derechos exclusivos

Editorial asociada a Cámara del Libro

2ª edición. Tirada: 50 ejemplares.

Se terminó de imprimir en Febrero de 2013

HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723 Prohibida su reproducción total o parcial

IMPRESO EN ARGENTINA

FISICA PARA EL CBC

– Permitida su reproducción total o parcial -

Hola. Lo que pongo acá es lo que yo doy en las clases de física para los chicos del CBC. Así como lo doy, así lo puse. No escribí esto para

un alumno teórico que en realidad no existe. Escribí este libro para el alumno verdadero que realmente cursa física. ( O sea, vos ).

Hay una primera cosa que tenés que saber si vas a cursar física: Esa

cosa es que la física es difícil. Te aclaro esto porque vas a ver que

tu profesor te va a decir cosas del estilo: "fíjense que fácil esto". " fíjense que fácil lo otro ". Falso. Tu profesor miente. Rara vez en

física algo es fácil.

¿ Por qué es difícil la física ? Rta: es difícil por 3 motivos básicos:

1er motivo - La física es difícil porque es difícil. O sea, en la vida

hay cosas fáciles y cosas difíciles. Te metiste con una difícil. Es así. En física todo el tiempo hay que pensar, todo el tiempo hay que ra-

zonar. No se puede estudiar de memoria... Todo el tiempo hay que andar haciendo dibujitos. Hay trampas... los problemas tienen tru-

cos... La física es un lío. La física es difícil. Y es difícil porque es di-fícil. No les creas a los que dicen que la física es fácil. Mienten.

( Que raro alguien mintiendo hoy en día, no ? ).

2do motivo - La física es difícil porque para saber física primero

tenés que saber matemática. Esto es todo un problema. La inmensa mayoría de la gente viene del secundario sin saber matemática. El

alumno empieza a cursar física y ve que no entiende nada. Cree que

el problema es la física. Error. El problema no es la física. El pro-blema es la matemática. Eso es exactamente lo que te está pasando

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a vos. Es hora de que lo sepas. No hay manera de saber física sin saber antes matemática.

3er motivo - El 3er motivo no lo puedo poner acá. En todo caso man-dame un mail y te lo digo. ( www.asimov.com.ar )

Conclusión: Es normal que al principio a uno le vaya mal en física. Uno

se rompe el alma tratando de entender la materia, pero no hay mane-ra. La cosa no va. Lo peor es que uno cree ser un tonto. Pero no es así.

¿ Es esta tu situación ? ( somos dos )

Si efectivamente este es tu caso, poné una cruz acá → ¿ Pero como ? ¿ Y entonces que hago ? ¿ No hay salida ? ¿ No la voy

a aprobar nunca ?! Rta: Tranquilo. El asunto tiene arreglo. La solución es simple: Hay

que estudiar. Y hay que estudiar mucho, por no decir que hay que

estudiar como un salvaje. Sobre todo, hay que hacer muchos pro-blemas. Saber física es saber hacer problemas. Eso es lo que tenés

que entender. Problemas es lo que ellos te van a tomar. ( Conste que te lo dije ).

Resumiendo, master, estás metido en un lío. Estás cursando una ma-teria difícil y sabés poca matemática. No hay manera de zafar. Hay

que estudiar. Sentate y estudiá. Atención, no hablo de pasarse ho-ras estudiando. Tampoco hablo de semanas. Hablo de meses. Concretamente, para el alumno normal, entender física de CBC lleva alrededor de 1 ( un ) año. Esto significa cursarla un cuatrimestre y

tener que volver a cursarla otra vez.

No me digas ahora "mi primo cursó física y la aprobó de primera con

8 ( Ocho )" . Ya sé que hay gente que la aprueba de entrada. Pero también hay gente que la cursa 3 veces. Para el alumno normal, apro-

bar física de CBC lleva un año.

No escribí este librito con grandes fines comerciales que digamos. Si querés podés comprarlo. Si querés podés fotocopiarlo. Si querés

podés bajarlo de Internet. ( www.asimov.com.ar ). Yo te doy permiso.

En el mundo moderno todo se compra y se vende. Me opongo. Permito que fotocopies este libro siempre que lo hagas para estudiar. No te

permito que lo fotocopies para venderlo a tres por cinco.

IMPORTANTE: Hay 2 cosas que este libro NO es :

1) – Este NO es el libro oficial de la cátedra de física del CBC.

Este libro lo escribí yo como a mi me parece.

2) – Este NO es un libro para profesores. Este es un libro para

alumnos. No busques acá rigurosidad rigurosa, ni demostra- ciones rarófilas, ni lenguaje rebuscado.

Por último, si el libro es malo o tiene errores... Disculpas. Entrá a la

página. Mandame un mail y lo corrijo. ( www.asimov.com.ar )

Saludos.

Aníbal

OTROS APUNTES ASIMOV

* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA Son los ejercicios de la guía de física del CBC resueltos y explicados. * PARCIALES RESUELTOS Son parciales del año pasado con los ejercicios resueltos y explicados. También hay parciales de años anteriores. OTROS LIBROS ASIMOV:

* QUÍMICA PARA EL CBC

* ANALISIS PARA EL CBC

* ALGEBRA PARA EL CBC

* BIOFISICA PARA EL CBC

Estos libros tienen lo que se da en clase en cada materia pero hablado en

castellano bien criollo.

LF-1

¿ Ves algo en este libro que no está bien ?

¿ Encontraste algún error ?

¿ Hay algo mal explicado ?

¿ Hay algo que te parece que habría que cambiar ?

Mandame un mail y lo corrijo.

www.asimov.com.ar

LF-1

Podés bajar teóricos y parciales viejos de www.asimov.com.ar

INDICE

Página

1 FISICA CERO

MATEMÁTICA NECESARIA PARA ENTENDER FÍSICA

20 ESTATICA

22............ FUERZAS COPUNTUALES 23 SUMA DE FUERZAS – RESULTANTE 25.............TRIGONOMETRIA. SENO, COSENO Y TANGENTE 28 PROYECCIONES DE UNA FUERZA 31............. SUMA DE FUERZAS ANALITICAMENTE 33 EQUILIBRIO 35..............EJEMPLOS

39............. FUERZAS NO COPUNTUALES 39 MOMENTO DE UNA FUERZA 39.............. SIGNO DEL MOMENTO 40 EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES 42.............. EJEMPLOS 44 TEOREMA DE VARIGNON

45.............. CENTRO DE GRAVEDAD 46 PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALES

CINEMATICA

MRU ( Movimiento Rectilíneo y Uniforme )

52 Posición, velocidad y aceleración. 53 ........... Sistema de referencia. Trayectoria. 55 Movimiento Rectilíneo y Uniforme 57........... Velocidad en el MRU 58 Ecuaciones horarias en el MRU 59 ........... Tg de un ángulo y pendiente de una recta. 61 Gráficos en el MRU

62............. Pendientes y las áreas de los gráficos 63 Un ejemplo de MRU

67.............Velocidad media

73 ........... ENCUENTRO 75 Problemas de encuentro. 81 ........... Encuentro cuando un móvil que sale antes que el otro

83 MRUV ( Movimiento Rectilíneo con aceleración )

84 ........... Aceleración. 86 Signo de la aceleración 87............ Ecuación de una parábola 88 Solución de una ecuación cuadrática 89 ........... Ecuaciones y gráficos en el MRUV

93 Ecuación complementaria. 95 ........... Velocidad instantánea. 96 Análisis de los gráficos del MRUV 98............. La velocidad y la aceleración son vectores

100 Como resolver problemas de MRUV 101..............MRUV, Ejercicios de parciales 105 Encuentro en MRUV 107............. Encuentro, Ejercicios de parciales

113 ............CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL 116 Como resolver problemas de Caída libre y Tiro vertical 123............Caída libre, ejercicios de parciales

127 ........... TIRO OBLICUO 129 Trigonometría 131.............Proyección de un vector 133 Principio de independencia de los movimientos de Galileo

136.............Ecuaciones en el Tiro Oblicuo. 137 Como resolver problemas de Tiro Oblicuo 138.............Ejemplos y problemas sacados de parciales

153 MOVIMIENTO CIRCULAR 154............. Movimiento circular uniforme 154 El Radián 156..............La velocidad angular omega ( ω ) 157 La velocidad tangencial ( VT ) 157..............Período T y frecuencia f 158 Aceleración centrípeta 159..............Relación entre ω y f 160 Algunos problemas de Movimiento circular

164 MOVIMIENTO RELATIVO 165..............Velocidades relativa, absoluta y velocidad de arrastre 167 Algunos problemas de Movimiento relativo

173 CINEMATICA VECTORIAL 174..............Vectores 175 Componentes de un vector 177............. Módulo de un vector 179 Vector Posición y vector desplazamiento 180..............Vector Velocidad Media 182 Velocidad instantánea 184............. Aceleración Media e instantánea 184 Ejemplos y problemas de cinemática Vectorial 192............. Cinemática Vectorial, problemas sacados de parciales

Pag 195 : Resumen de fórmulas de Estática y cinemática

FISICA 0

MATEMATICA QUE HAY QUE SABER PARA ENTENDER FISICA

TEMAS: FACTOREO - SACAR FACTOR COMUN - PASAR DE TERMINO - DESPEJAR - SUMAR FRACCIONES - ECUACION DE LA RECTA - UNA ECUACION CON UNA INCOGNITA - DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS - ECUACION DE UNA PARABOLA - ECUACION CUADRATICA - SOLUCION DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA.

ASIMOV FISICA CERO - 2 -

FISICA 0 Fórmulas y cosas de matemática que hay que saber para entender física

Hola. A mucha gente le va mal en física por no saber matemática. No es que el tipo no entienda física. Lo que no entiende es matemática. Entonces cuando le tiran un problema no sabe para dónde agarrar. Si vos sabés bien matemática dejá este apunte de lado. Ponete ya mismo a resolver problemas de física, te va a ser más útil. Si vos sabés que la matemática no te resulta fácil, lee con mucha atención lo que yo pongo acá. Hacete todos los ejercicios. Hacele preguntas a todos los ayudantes o incluso a mí sí me encontrás por ahí en algún pasillo. Yo sé perfectamente que nunca nadie te enseñó nada y ahora te exigen que sepas todo de golpe. Qué le vas a hacer. Así es la cosa. Bienvenido a la UBA. Ahora, ojo, Todos los temas que pongo acá son cosas QUE VAN A APARECER MIEN-TRAS CURSES LA MATERIA.No es que estoy poniendo cosas descolgadas que nunca vas a usar. Todo, absolutamente todo lo que figura va a aparecer y vas a tener que usarlo. Pero:

¡Alegría! Vas a ver que no es tan difícil ! PASAR DE TÉRMINO - DESPEJAR En física todo el tiempo hay que andar despejando y pasando de término. Tenés que saberlo a la perfección. No es difícil. Sólo tenés que recordar las siguientes reglas: 1 - Lo que está sumando pasa restando 2 - Lo que está restando pasa sumando 3 – Lo que está multiplicando pasa dividiendo 4 - Lo que está dividiendo pasa multiplicando 5 - Lo que está como

2 pasa como raíz 6 - Lo que está como raíz pasa como

2 Estas reglas se usan para despejar una incógnita de una ecuación. Despejar x significa hacer que esta letra incógnita x quede sola a un lado del signo igual. ( Es decir que a la larga me va a tener que quedar x = tanto ).

☺

VER

Reglas para pasar de término

ASIMOV FISICA CERO - 3 -

Veamos: Usando las reglas de pasaje de términos despejar X de las siguientes ecuaciones: 1) 2 = 5 – X X está restando, la paso al otro lado sumando: 2 + X = 5 El 2 está sumando, lo paso al otro lado restando: X = 5 – 2 Por lo tanto ⇒

2) X

84 =

X está dividiendo, la paso al otro lado multiplicando: 4 . X = 8 El cuatro está multiplicando, lo paso al otro miembro dividiendo: Es decir: 3) x2 = 25 La x está al cuadrado. Este cuadrado pasa al otro lado como raíz:

Por lo tanto ⇒ Resolvete ahora estos ejercicios. En todos hay que despejar X : 1) x + 5 = 8 Rta: x = 3 2) x + 5 = 4 Rta: x = -1 3) – x – 4 = - 7 Rta: x = 3

4) 42=

x Rta: x =

5) 1052=

x Rta: x =

251

6) 51

=− x

Rta: x = - 5

7) –7 = 4 - x2 Rta: x = 11

8) ( )

12 =

−x Rta: x = 2,5

9) ( )

=− 221 Rta: x = 21

8X4

x=2 ← Solución.

x=3 ← Solución.

x=5 ← Solución.

X= 25

ASIMOV FISICA CERO - 4 -

10) V = 0

X - Xt - t

Rta: X = X0 + V (t-t0)

11) Vf = 2 g x Rta: x = 2

fV2 g

SUMA DE FRACCIONES

Para sumar por ejemplo 45

23+ lo que hago es lo siguiente:

Abajo de la raya de fracción va a ir el mínimo común múltiplo. Esto quiere decir el número más chico que puede ser dividido por 2 y por 4 ( Ese número sería 4 ). El mínimo común múltiplo a veces es difícil de calcular, por eso directamente multiplico los dos n° de abajo

y chau. En este caso 2x4 da 8, de manera que en principio el asunto quedaría así: 8

............

Para saber lo que va arriba de la raya de fracción uso el siguiente procedimiento: Haciendo el mismo procedimiento con el 4 de la segunda fracción me queda:

81012

23 +

Es decir:

822

Simplificando por dos:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=+

411

Comprobá este asunto con algunas fracciones a ver si aprendiste el método:

1) 21

21+ Rta : 1

2) 41

21+ Rta :

← Resultado

ASIMOV FISICA CERO - 5 -

3) 1 + 21 Rta :

4) 32

21+ Rta :

5) 54

32+ Rta :

1522

6) 75

37+ Rta :

2164

7) ba11

+ Rta : b + aa.b

8) dc

ba+ Rta : a.d + b.c

b.d

DISTRIBUTIVA Suponé que tengo que resolver esta cuenta: 2 ( 3 + 5 ) = X. Se puede sumar primero lo que está entre paréntesis , y en ese caso me quedaría:

2 ( 8 ) = X ⇒ 16 = X Pero también se puede resolver haciendo distributiva. Eso sería hacer lo siguiente:

Practicalo un poco con estos ejemplos: 1) 3 ( 4 + 5 ) Rta : 27 2) 3 ( 4 – 5 ) Rta : -3

←Solución.

ASIMOV FISICA CERO - 6 -

3) a ( b + c ) Rta : ab + ac 4) a ( b + c + d ) Rta : ab + ac + ad 5) a ( m1 + m2 ) Rta : a m1 + a m2

6) µ ( m1 g + N2 ) Rta : µ m1 g + µ N2

SACAR FACTOR COMÚN Sacar factor común es hacer lo contrario de hacer distributiva. Por ejemplo si tengo la expresión: X = 7242 ⋅+⋅ Me va a quedar: X = 2 ( 4 + 7 )

A veces en algunos problemas conviene sacar factor común y en otros hacer distributiva. Eso depende del problema. Ejemplo: Sacar factor común en las expresiones: 1) F = m1 a + m2 a Rta : F = a ( m 1+ m2 ) 2) X = x0 + v t – v t0 Rta : X = x0 + v (t-t0) 3) Froz = µ m1 g + µ N2 Rta : µ ( m1 g + N2) 4) L = F1 d - F2 d Rta : d ( F1 - F2 ) ECUACIÓN DE UNA RECTA En matemática la ecuación de una recta tiene la forma y = m x + b. Se representa en un par de ejes x - y asi:

En esta ecuación hay varias que tenés que conocer que son:

← Saqué el 2 como factor común

Y = m x + b

ASIMOV FISICA CERO - 7 -

Fijate lo que significa cada una de estas cosas. Veamos primero qué son x e y. Si quiero representar en el plano el punto ( 3 , 2 ) eso significa que:

Veamos ahora qué es m. La m representa la pendiente de la recta. La pendiente da una idea de la inclinación que tiene la recta. Por ejemplo, la pendiente vale 2/3 eso significa que la inclinación de la recta tendrá que ser tal que:

2m=3

Si la pendiente es 4 puedo poner al Nro 4 como 14 y me queda:

Tengo muchos otros casos. Si la pendiente fuera m = 1 tendría esto ( Es decir, sería una recta a 45 ° ). Si m fuera 1,73, el asunto quedaría así:

Entonces, la pendiente de una recta es una función en donde:

117

Acá hay que avanzar 3

Acá hay que avanzar 2

1,73

La parte de arriba indica lo que hay que avanzar en Y

La parte de abajo indica lo que hay que avanzar en X

m=4

ASIMOV FISICA CERO - 8 -

Otra cosa: si la pendiente es negativa ( como 117

−=m ) pongo 11

7−=m y la cosa queda:

El valor b se llama ordenada al origen y representa el lugar donde la recta corta al eje Y. Por ejemplo, una recta así: tiene b = - 1 Otra recta así también tiene b = -1 Y las rectas que son así tienen b = 0. Es decir, salen del origen de coordenadas.

¿ CÓMO SE REPRESENTA UNA RECTA ? Si tengo una ecuación y = m x + b y quiero representarla, lo que hago es darle valores a X y obtener los de Y. Con estos valores formo una tablita y los represento en un par de ejes x-y. Fijate: Si tengo por ejemplo y = 2 x + 1 Le doy a x el valor 0 y obtengo ⇒ y = 2 . 0 + 1 = 1 Le doy a x el valor 1 y obtengo ⇒ y = 2 . 1 + 1 = 3 Le doy a x el valor –1 y obtengo ⇒ y = 2. ( -1 ) + 1 = -1 Puedo tomar todos los valores que quiera pero con tomar 2 alcanza. Poniendo todo esto en una tabla me queda:

x y 0 1 1 3 - 1 -1

Ahora represento los puntos ( 0 ; 1 ) ( 1 ; 3 ) y ( - 1 ; - 1 ) en el plano x-y. Uniendo los puntos tengo la recta

-7

11 Avanzar 11 Bajar 7

-1

Y = 2 x + 1

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Si quisiera ver si la recta está bien trazada puedo fijarme en los valores de m y de b: La recta corta al eje Y en 1, así que está bien. Veamos la pendiente:

La pendiente de y = 2 x + 1 es m = 2, así que el asunto verifica. Para entender esto mejor tendrías que hacerte algunos ejercicios. Vamos:

DADA LA ECUACIÓN DE LA RECTA: a) Ver cuánto valen m y b b) Graficar la recta dándole valores de x y sacando los de y c) Verificar en el gráfico que los valores de m y b coinciden con los de a)

1) y = x Rta: m = 1 , b = 0 2) y = x - 1 Rta : m = 1 , b = -1 3) y = 2 - x Rta: m = - 1 , b = 2

4) y = -2x + 1 Rta: m =

− , b = 1

5) y = 2 Rta: m = 0 , b = 2

-1

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6) y = 1.000 x + 1 Rta: m = 1.000 , b = 1 Acá van otro tipo de ejercicios que también son importantes: * DADO EL GRÁFICO, CALCULAR m Y b Y DAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA.

a) Rta: m =21 ; b = 0 y =

21 x + 0

b) Rta: m =65

− ; b = 5 y = 565

+− x

c) Rta: m = - 1 ; b = 1 y = - 1 x + 1

d) Rta: m= 21

− ; b = -1 y = - 121

−x

PARÁBOLA

Una parábola es una curva así ⇒ . Desde el punto de vista matemático esta curva está dada por la función: Y= a x2 + b x + c Fijate que si tuviera sólo el término y = b x + c tendría una recta. Al agregarle el término con x2 la recta se transforma en una parábola. Es el término cuadrático el que me dice que es una parábola. Ellos dicen que y = a x2 + b x + c es una función cuadrática porque tiene un término con x2. Una parábola típica podría ser por ejemplo:

Y = 2 x2 + 5 x + 8

En este caso a sería igual a 2, b a 5 y c sería 8. Los términos de la ecuación también pueden ser negativos como en:

Y = - x2 + 2 x -1 Acá sería a = - 1, b = 2 y c = -1. A veces el segundo o tercer término pueden faltar. ( El primero NO por que es el cuadrático ). Un ejemplo en donde faltan términos sería:

-1

2 1

-2

-1

← Ecuación de la parábola

Prácticamente son 90°

ASIMOV FISICA CERO - 11 -

Y= 0,5 x2 – 3 ( a = 0,5 , b = 0, C = -3 ) o también:

Y = x2- 3 x ( a = 1, b = - 3, c = 0 )

La ecuación también puede estar desordenada, entonces para saber quién es a, quién b, y quién c, tengo que ordenarla primero. Ejemplo:

Y = - 3 x - 1 + 5 x2

( Y = 5 x2 – 3 x -1 ⇒ a = 5, b = - 3, c = - 1)

REPRESENTACIÓN DE UNA PARÁBOLA Lo que hago es darle valores a x y sacar los valores de y. Con todos estos valores voy armando una tabla. Una vez que tengo la tabla, voy representando cada punto en un par de ejes x,y. Uniendo todos los puntos, obtengo la parábola. De acuerdo a los valores de a, b y c la parábola podrá dar más abierta, más cerrada, más arriba o más abajo, pero SÍ hay una cosa que tenés que acordarte y es que si el término cuadrático es negativo la parábola va a dar para abajo. Es decir, por ejemplo, si en el ejemplo anterior hubiese sido Y= - x2 en vez de Y = x2, la cosa habría dado así:

¿ Por qué pasa esto ? Rta : Porque a es negativo. ( En este caso a = - 1 )

ASIMOV FISICA CERO 12

Entonces conviene que te acuerdes siempre que: Dicho de otra manera: ¿ Y si a la ecuación cuadrática no le falta ningún término ? Rta: No pasa nada, el asunto es el mismo, lo único es que va a ser más lío construir la tabla por que hay que hacer más cuentas. Fijate:

Ejercicios: Representar las siguientes parábolas y decir cuánto valen los términos a, b y c:

Si en la ecuación Y = a x2 + b x + c el valor de a es negativo, entonces la parábola va a dar para abajo

ASIMOV FISICA CERO 13

Solución de una ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es la ecuación de una parábola igualada a cero. Es decir, si en vez de tener y = a x2 + b x + c tengo a x2 + b x + c = 0 , eso será una ecuación cuadrática. Por ejemplo, son ecuaciones cuadráticas:

X2 + 4 = 0 , 5 X2 – 3 X + 7 = 0 , 7 X – 3 X2 = 0

Lo que se busca son los valores de x que satisfagan la ecuación. ¿ Qué significa eso ? Significa reemplazar x por un valor que haga que la ecuación dé cero. Supongamos que tengo:

x2 – 4 = 0

¿Qué valores tiene que tomar x para que x2 – 4 de cero ? Bueno, a ojo me doy cuenta que si reemplazo x por 2 la cosa anda. Fijate:

22 – 4 = 0 ( Se cumple ) ¿Habrá algún otro valor? Sí. Hay otro valor es x = - 2. Probemos:

(-2)2 – 4 = 4 – 4 = 0 ( anda )

Este método de ir probando está muy lindo pero no sirve. ¿ Por qué ? Rta: Porque en este

caso funcionó por la ecuación era fácil. Pero si te doy la ecuación 30201010 2 −+−= xx ...

¿Cómo hacés? Acá no puede irse probando porque el asunto puede llevarte un año entero. ( Por ejemplo para esa ecuación las soluciones son: x = 1,51142 y x = 198,4885 ). A los valores de x que hacen que toda la ecuación de cero se los llama raíces de la ecuación o soluciones de la ecuación. Entonces, la idea es encontrar un método que sirva para hallar las raíces de la ecuación. Este método ya fue encontrado en el mil seiscientos y pico y se basa en usar la siguiente fórmula ( la demostración está en los libros ):

X1,2 = a

acbb2

42 −±−

¿ Cómo se usa esta fórmula ? Mirá este ejemplo: Encontrar las raíces de la ecuación Y = x2 – 4 x + 3. En este caso a = 1; b =-4 y c = 3. Entonces el choclazo queda:

x1,2 =( ) ( )

1231444 2

⋅⋅⋅−−±−−

Solución de una ecuación cuadrática

ASIMOV FISICA CERO 14

⇒ x1,2 =2

12164 −± x1,2 = 2

44 ±

⇒ x1,2 = 2

24 ±

Ahora, para una de las soluciones uso el signo + y para la otra el signo menos. La cosa queda así:

Entonces x = 3 y x = 1 son las soluciones de la ecuación. Quiero decirte una cosita más con respecto a este tema: una ecuación cuadrática podrá tener una solución, 2 soluciones o ninguna solución. ¿ Cómo es eso ? Fijate: ¿ Qué significa igualar la ecuación de una parábola a cero ? Rta: Bueno, una parábola es esto Preguntar para qué valores de x la y da cero, significa preguntar dónde corta la Parábola al eje de las x. Es decir, que las raíces de una ecuación cuadrática representan esto: El caso de una solución única va a estar dado cuando la parábola NO corta al eje de las x en dos puntos sino que lo corta en un solo punto. Es decir, voy a tener esta situación : La ecuación cuadrática puede no tener solución cuando la parábola No corta en ningún momento al eje de las x. Por ejemplo:

Una solución. Otra solución

Soluciones de una ecuación cuadrática

← Caso de raíz única.

ASIMOV FISICA CERO 15

Cuando te toque una ecuación de este tipo, te vas a dar cuenta porque al hacer acb 42 − te va a quedar la raíz cuadrada de un número negativo (como por ejemplo 4− ). No hay ningún número que al elevarlo al cuadrado, de negativo, de manera que este asunto no tiene solución. Acá te pongo algunos ejemplos:

Encontrar las soluciones de la ecuación usando la fórmula x =a

acbb2

42 −±−

( Podés verificar los resultados graficando la parábola ) 1) x2 – 2 x – 3 = 0 Rta: x1 = 3 ; x2 = -1 2) x2 – 7 x + 12 = 0 Rta: x1 = 4 x2 = 3 3) x2 – 2 x + 1 = 0 Rta: x = 1 ( Raíz doble ) 4) x2 – 18 x + 81 Rta: x = 9 ( Raíz doble ) 5) x2 + x + 1 = 0 No tiene solución. 6) x2 – x + 3 = 0 No tiene solución. SISTEMAS DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS

Una ecuación con una incógnita es una cosa así ⇒ x - 3 = 5. Esta ecuación podría ser la ecuación de un problema del tipo: “ Encontrar un número x tal que si le resto 3 me da 5 ”. ¿ Cómo se resolvería una ecuación de este tipo ? Rta: Muy fácil. Se despeja x y chau. Fijate :

x – 3 = 5 ⇒ x = 5 + 3 ⇒ x = 8

¿Qué pasa ahora si me dan una ecuación así ? : x + y = 6 . Esto es lo que se llama una ecuación con 2 incógnitas. Así como está, no se puede resolver. O sea, se puede, pero voy a tener infinitas soluciones. Por ejemplo, algunas podrían ser:

x = 6 ; y = 0 ó x = 7 ; y = - 1

ó x = 8 ; y = - 2

Creo que ves a dónde apunto. Si trato de buscar 2 números x e y tal que la suma sea 6, voy a tener millones de soluciones. ( Bueno... millones no... infinitas !!! )

ASIMOV FISICA CERO 16

Bueno, ahora distinta es la cosa si yo te digo: “dame dos números cuya suma sea 6 y cuya resta sea 4” Ahí el asunto cambia. Este problema SI tiene solución. Matemáticamente se pone así:

x + y = 6 x - y = 4

Esto es lo que ellos llaman sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. ¿Cómo se resuelve esto? Veamos. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS

Hay varios métodos para resolver 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Te recuerdo los 2 métodos más fáciles. Supongamos que tengo el sistema:

x + y = 6 x - y = 4

MÉTODO 1 : DESPEJAR Y REEMPLAZAR ( SUBSTITUCIÓN ) Se despeja una de las incógnitas de la primera ecuación y se reemplaza en la segunda. Por ejemplo, despejo x de la 1°. Me queda: x = 6 – y. Reemplazando esta x en la segunda ecuación. Me queda: ( 6 – y ) – y = 4 Ahora: 6 – y - y = 4 6 – 4 = 2 y

2 = 2 y ⇒ y = 1

Ya calculé el valor de y. Reemplazando esta Y en cualquiera de las 2 ecuaciones originales saco el valor de x. Por ejemplo, si pongo y = 1 en la 1ra de las ecuaciones:

x + 1 = 6

x = 6 – 1 ⇒ x = 5 MÉTODO 2 : SUMA Y RESTA Se suman o se restan las 2 ecuaciones para que desaparezca alguna de las incógnitas. Por ejemplo:

x + y = 6 x - y = 4

Sumo las ecuaciones miembro a miembro y me queda:

x + y + x – y = 6 + 4

ASIMOV FISICA CERO 17

Ahora la y se va. Me queda: 2 x = 10 ⇒ x = 5

Al igual que antes, reemplazando este valor de x en cualquiera de las 2 ecuaciones originales, obtengo el valor de y. Una cosa: Acá yo sumé las ecuaciones, pero también se pueden restar.Si las hubiera restado, el asunto hubiera sido el mismo ( se iba a ir la x ) Este segundo método viene perfecto para los problemas de dinámica. El 1er método también se puede usar, claro. A ellos no les importa qué método uses. Otra cosita: en realidad cada una de las ecuaciones del sistema, es la ecuación de una recta. Por ejemplo el sistema anterior se podría haber puesto así: ¿ Entonces cuál sería el significado geométrico de encontrar la solución de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas ? Rta: significa encontrar el punto de encuentro de las 2 rectas. Por ejemplo, en el caso de recién tendría esto: EJERCICIOS Resolver los siguientes sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. ( Podés representar las 2 rectas para verificar)

Solución de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas

ASIMOV FISICA CERO 18

MATEMÁTICA CERO – PALABRAS FINALES

Acá termina mi resumen de matemática. Pero atención, esta no es toda la matemática que existe. La matemática es gigantesca. Lo que puse acá es lo hiper-necesario y lo que seguro vas a usar. Hay otros temas que también vas a necesitar como vectores o trigonometría. Estos temas te los voy a ir explicando a lo largo del libro. Ahora, pregunta... ¿ Detestás la matemática ? Rta: Bueno, no sos el único. El 95 % de la gente la detesta. Es que la matemática es muy fea. Y encima es difícil. ¿ Hay alguna solución para esto ? Rta: Mirá,... no hay salida. Vas a tener que saber matemática sí o sí para entender física. Y te aclaro, más adelante ES PEOR. A medida que te internes en ingeniería o en exactas, vas a tener que saber más matemática, más matemática y más matemática. ( Me refiero a Análisis I, Análisis II, álgebra y demás ). Lo único que se puede hacer para solucionar esto es estudiar. ( Y estudiar mucho ). Es así. El asunto depende de vos. A veces los chicos dicen: che. Que mala onda tenés ?! Rta: No es mala onda. Esto es así. En todos lados del mundo estudiar exactas o ingeniería está en el límite con la locura. Encima vos elegiste la UBA, que es la Universidad de mayor nivel en Argentina... ¿ entonces qué querés ?! Resumiendo, el que quiere celeste, que le cueste. Nadie te obliga. Ahí afuera te están esperando los de Mc Donald´s para trabajar por do peso la hora. Creo que fui claro, no ? FIN MATEMÁTICA CERO

ASIMOV ESTATICA - 19 -

ESTATICA

ECUACIONES

QUE SE PLANTEAN

PESO DEL CARTEL

FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL CARTEL

ASIMOV ESTÁTICA - 20 -

ESTATICA La estática se inventó para resolver problemas de Ingeniería. Principalmente problemas de Ingeniería civil y problemas de Ingeniería mecánica. El primero que empezó con esto fue Galileo Ídolo. ( Año 1500, más o menos ). La idea de Galileo era tratar de calcular cuánto valía la fuerza que actuaba sobre un cuerpo. Ahora... ¿ Para que quiere uno saber qué fuerza actúa sobre un cuerpo ? Rta: Bueno, a grandes rasgos digamos que si la fuerza que actúa sobre un cuerpo es muy grande, el cuerpo se puede romper. Muchas veces uno necesita poder calcular la fuerza que actúa para saber si el cuerpo va a poder soportarla o no. Mirá estos ejemplos: Los carteles que cuelgan en las calles suelen tener un cable o un alambre que los sostiene. El grosor de ese alambre se calcula en función de la fuerza que tiene que soportar. Esa fuerza depende del peso del cartel y se calcula por estática.

En los edificios, el peso de toda la construcción está soportado por las columnas. El gro-sor de las columnas va a depender de la fuerza que tengan que soportar. En las repre-sas, el agua empuja tratando de volcar la pared. La fuerza que tiene que soportar la pa-red se calcula por estática. El grosor de la pared y la forma de la pared se diseñan de acuerdo a esa fuerza que uno calculó.

El cálculo de las fuerzas que actúan sobre un puente es un problema de estática. A grandes rasgos, cuando uno quiere saber como tienen que ser las columnas y los

EL ALAMBRE SE PUEDE ROMPER SI EL PESO DEL CARTEL ES MUY GRANDE

FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN EDIFICIO Y SO-BRE UNA REPRESA

ASIMOV ESTÁTICA - 21 -

cables que van a sostener a un puente, tiene que resolver un problema de estática. En las máquinas, el cálculo de fuerzas por estática es muy importante. Por ejemplo, en los trenes hay un gancho que conecta un vagón con otro. El grosor de ese gancho se saca resolviendo un problema de estática. Hoy en dia todos estos cálculos los hacen las computadoras. Pero lo que hace la máquina no es nada del otro mundo. Hace las mismas cuentas que vos vas a hacer al resolver los problemas de la guía. Solamente que ella las hace millones y millones de veces. ¿ QUÉ SIGNIFICA RESOLVER UN PROBLEMA DE ESTÁTICA ?

En estática a uno le dan un cuerpo que tiene un montón de fuerzas aplicadas. Resolver un problema de estática quiere decir calcular cuánto vale alguna de esas fuerzas. En es-tática todo el tiempo hablamos de fuerzas. Entonces primero veamos qué es una fuerza. FUERZA Es la acción que uno ejerce con la mano cuando empuja algo o tira de algo. Por ejemplo:

A esta acción uno la representa poniendo una flechita para el mismo lado para donde va la fuerza. Si un señor empuja una heladera, al empujarla ejerce una fuerza. Esta fuerza ellos la representan así:

LOS CABLES Y LAS COLUMNAS SOPORTAN TODA LA FUERZA EN UN PUENTE

ASIMOV ESTÁTICA - 22 -

Hay otro tipo de fuerza que siempre aparece en los problemas de estática que es la fuerza PESO. La Tierra atrae a las cosas y quiere hacer que caigan. A esta fuerza se la llama peso. Por ejemplo, si yo suelto un ladrillo, cae. En ese caso la fuerza peso está actuando de la siguiente manera: Vamos a este otro caso. Supongamos que cuelgo un ladrillo del techo con una soga. El ladrillo no se cae porque la soga lo sostiene. Ellos dicen entonces que la soga está ejer-ciendo una fuerza hacia arriba que compensa al peso. A esa fuerza se la llama tensión. ( Tensión, tensión de la soga, fuerza que hace la cuerda, es lo mismo ). La tensión de una soga se suele representar así: FUERZAS CONCURRENTES ( Atento )

Cuando TODAS las fuerzas que actúan sobre un mismo cuerpo PASAN POR UN MIS-MO PUNTO, se dice que estas fuerzas son concurrentes. ( = Que concurren a un mismo punto ). A veces también se las llama fuerzas copuntuales. Lo que tenés que entender es que si las fuerzas son copuntuales vos las podés dibujar a todas saliendo desde el mismo lugar. Por ejemplo, las siguientes fuerzas son concurrentes:

ASIMOV ESTÁTICA - 23 -

También las fuerzas pueden no pasar por el mismo lugar. En ese caso se dice que las fuerzas son no-concurrentes. Acá tenés un ejemplo: Los problemas de fuerzas copuntuales son los que se ven primero porque son más fáci-les. Después vienen los problemas de fuerzas no-copuntuales que son más difíciles. Ahí hay que usar momento de una fuerza y todo eso. SUMA DE FUERZAS - RESULTANTE.

Supongamos que tengo un cuerpo que tiene un montón de fuerzas aplicadas. Lo que es-toy buscando es reemplazar a todas las fuerzas por una sola. Esa fuerza actuando sola tiene que provocar el mismo efecto que todas las otras actuando juntas. Por ejemplo, suponé que un auto se paró. Se ponen a empujarlo 3 personas. Yo podría reemplazar a esas 3 personas por una sola que empujara de la misma manera. Hacer esto es “ hallar la resultante del sistema de fuerzas“ . Concretamente, hallar la resultante quiere decir calcular cuanto vale la suma de todas las fuerzas que actúan. Atención, las fuerzas no se suman como los números. Se suman como vectores. A la fuerza resultante de la llama así justamente porque se obtiene como “ resultado“ de sumar todas las demás. Hay 2 maneras de calcular la resultante de un sistema de fuerzas: Uno es el método gráfico y el otro es el método analítico. En el método gráfico uno calcula la resultante haciendo un dibujito y midiendo con una regla sobre el dibujito. En el método analítico uno calcula la resultante en forma teórica haciendo cuentas. SUMA DE FUERZAS GRAFICAMENTE – METODO DEL PARALELOGRAMO.

Este método se usa solo cuando tengo 2 fuerzas. Lo que se hace es calcular la diagonal del paralelogramo formado por las 2 fuerzas. Por ejemplo, fijate como lo uso para cal-cular gráficamente la resultante de estas dos fuerzas F1 y F2 de 2 kgf y 3 kgf que forman un ángulo de 30 grados:

ASIMOV ESTÁTICA - 24 -

Ojo, las fuerzas son vectores. Entonces para calcular la resultante va a haber que decir cuál es su módulo y cuál es el ángulo que forma con el eje x. Si estoy trabajando gráfica-mente, mido el ángulo y el módulo directamente en el gráfico. El módulo lo mido con una regla y el ángulo con un transportador. METODO DEL POLIGONO DE FUERZAS

Si me dan más de 2 fuerzas, puedo calcular la resultante usando el método del polígono de fuerzas. Este método se usa poco porque es medio pesado. Igual conviene saberlo porque en algún caso se puede llegar a usar. Lo que se hace es lo siguiente:

1 - Se va poniendo una fuerza a continuación de la otra formando un polígono. 2 – Se une el origen de la primera fuerza con la punta de la última. 3 – Este último vector es la resultante del sistema. NOTA: Si el polígono da cerrado es porque el sistema está en equilibrio. ( Es decir, la resultante vale cero, o lo que es lo mismo, no hay resultante ). Fijate ahora. Voy a calcu-lar la resultante de algunas fuerzas usando el método del polígono. EJEMPLO: Hallar la resultante del sistema de fuerzas F1, F2 y F3 Entonces voy poniendo una fuerza a continuación de la otra y formo el polígono. Hago una flecha que va desde la cola de la primera fuerza hasta la punta de la última. Esa flecha que me queda marcada es la resultante: Acá el valor de R es aproximadamente de 3,4 N y alfa R aproximadamente 58° . Los medí directamente del gráfico con regla y transportador.

ASIMOV ESTÁTICA - 25 -

Vamos a otro caso que muestra cómo se usa el método del polígono de fuerzas : EJEMPLO: Hallar la resultante de las fuerzas F1, F2 , F3 y F4. En este caso el polígono dio CERRADO. La resultante es CERO. Todas las fuerzas se compensan entre sí y es como si no hubiera ninguna fuerza aplicada.

NOTA: la deducción del método del polígono de fuerzas sale de aplicar sucesivamente la regla del paralelogramo. Para que entiendas el tema que sigue necesito que sepas trigonometría. Entonces va un pequeño repaso. Título:

TRIGONOMETRÍA

FUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un ÁNGULO

La palabra trigonometría significa medición de triángulos. A grandes rasgos la idea es poder calcular cuánto vale el lado de un triángulo sin tener que ir a medirlo con una regla. Todo lo que pongo acá sirve sólo para triángulos que tiene un ángulo de 90° ( Triángulo Rectángulo). El asunto es así: Los tipos inventaron unas cosas que se llaman funciones trigonométri-cas que se usan todo el tiempo en matemática y en física. Para cualquier triángulo que tenga un ángulo de 90° ( rectángulo ) ellos definen las siguientes funciones :

ASIMOV ESTÁTICA - 26 -

Estas funciones trigonométricas lo que hacen es decir cuántas veces entra un lado del triángulo en otro de los lados para un determinado ángulo alfa. Por ejemplo, si uno dice que el seno 30° = 0,5 , lo que está diciendo es que lo que mide en cm el cateto opuesto dividido lo que mide en cm la hipotenusa da 0,5. Esto significa que la hipotenusa entra media vez en el cateto opuesto. Lo interesante de este asunto es que el valor que tomen las funciones trigonométricas seno de alfa, coseno de alfa y tg de alfa NO dependen de qué tan grande uno dibuje el triángulo en su hoja. Si el triángulo es rectángulo y el ángulo alfa es 30°, el seno de alfa valdrá 0,5 siempre. ( Siempre ). Cada vez que uno necesita saber el valor de sen alfa o cos α se lo pregunta a la calcula-dora y listo. Ojo, la máquina tiene que estar siempre en grados ( DEG ). También si bien uno tiene la calculadora, conviene saber los principales valores de me-moria. Va acá una tablita que te puede ayudar : Ejemplo: Calcular el valor de las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. Escribo la expresión de sen α, cos α y tg α

Dibujo el triangulo de lados 3, 4 y 5.

3 cm

5 cm

4 cm

adyopα tg;

hipadyα cos ;

hipopαsen ===

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

ASIMOV ESTÁTICA - 27 -

Para calcular los valores de seno, coseno y tangente de alfa, hago las cuentas :

Es un poco largo de explicar las millones de cosas que se pueden hacer usando las fun-ciones trigonométricas. Puedo darte un ejemplo: Suponé que vos querés saber la altura de un árbol pero no tenés ganas de subirte hasta la punta para averiguarlo. Lo que se podría hacer entonces es esto: Primero te parás en un lugar cualquiera y medís la distancia al árbol. Suponé que te da 8 m. Después con un transportador medís al ángulo que hay hasta la punta del árbol. (Alfa ). Suponé que te da 30°. Esquemáticamente sería algo así:

De esta manera se pueden calcular distancias en forma teórica. Cuando digo " en for-ma teórica " quiero decir, sin tener que subirse al árbol para medirlo. Si uno quiere, puede dibujar el triángulo en escala en una hoja y medir todo con una regla. Se puede hacer eso pero es mucho lío y no da exacto.

8márbol del Altura 30 tg

:Entonces .adyop tg: ánguloun de tangentede fórmula la usando Ahora,

=°

= α

árbol. del Altura m 4,61Altura

30 tg 8 0,577

←=⇒

⋅=⇒ m Altura

0,6cm 5cm 3

hipotenusaopuestoαsen ===

0,75cm 4cm 3

adyacenteopuestoα tg

0,8cm 5cm 4

hipotenusaadyacenteα cos

===

ASIMOV ESTÁTICA - 28 -

Es más hay veces que hay distancias difíciles de medir. Por más que uno quiera, no puede ir hasta ahí y medirla. En esos casos, la única manera de calcular esa distancia es usar trigonometría. Por ejemplo acá te pongo un caso de esos: la distancia a una estrella… Te recuerdo que conocer la distancia a las estrellas fue el sueño de la humanidad durante muchos miles de años. ¿ Cómo harías para medir la distancia a una estrella ? Pensalo. A ver si este dibujito te ayuda un poco.

PROYECCIONES DE UNA FUERZA

Suponé que me dan una fuerza inclinada un ángulo alfa. Por ejemplo esta: Hallar la proyección de la fuerza sobre el eje x significa ver cuánto mide la sombra de esa fuerza sobre ese eje. Es decir, lo que quiero saber es esto: Hallar la proyección sobre el eje y es la misma historia:

F SOMBRA DE LA FUERZA EN X ( Fx )

SOMBRA DE LA FUERZA EN Y ( Fy )

ASIMOV ESTÁTICA - 29 -

hip 6

Para saber cuánto mide la proyección de una fuerza sobre un eje, en vez de andar midiendo sombras se usa la trigonometría. Fijate :

Es decir, si tengo una fuerza F, las proyecciones Fx y Fy van a ser: PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras sirve para saber cuánto vale la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo cuánto valen los 2 catetos. Si tengo un triángulo rectángulo se cumple que: Ejemplo: Tengo un triángulo de lados 6 cm y 8 cm. ¿ Cuánto mide su hipotenusa ? Rta.: hip2 = ( 6 cm ) 2 + ( 8 cm ) 2 h 2 = 100 cm 2

h = 10 cm VALOR DE LA HIPOTENUSA

Fx = F x cos α

FY = F x sen α

αsen hipop hipopαsen ⋅=⇒=

α coshipady hipadyα cos ⋅=⇒ =

hip op

ady

hip 2 = ady 2 + op 2

TEOREMA DE PITAGORAS

ASIMOV ESTÁTICA - 30 -

Ejemplo: HALLAR LAS PROYECCIONES EN EQUIS Y EN Y PARA UNA FUERZA DE 10 NEWTON QUE FORMA UN ÁNGULO DE 30 ° CON EL EJE X.

Tomando las cosas en escala, tengo un vector de 10 cm con alfa = 30 °. Es decir, algo así :

Entonces la proyección sobre el eje X mide 8,66 cm y la proyección sobre el eje Y mi-de 5 cm . Conclusión: FX = 8,66 Newton y FY = 5 Newton. Probá componer estas 2 pro-yecciones por Pitágoras y verificá que se obtiene de nuevo la fuerza original de 10 N. Aprendete este procedimiento para hallar las proyecciones de una fuerza. Se usa mu-cho. Y no se usa sólo acá en estática. También se usa en cinemática, en dinámica y después en trabajo y energía. Es más, te diría que conviene memorizar las formulitas Fx = F. cos α y Fy = F. sen α . Es fácil : La Fy es F por seno y la Fx es F por coseno. Atención, esto vale siempre que el ángulo que estés tomando sea el que forma la fuerza con el eje X. Van unos últimos comentarios sobre trigonometría: * Las funciones trigonométricas sen α , cos α y tg α pueden tener signo (+) o (-). Eso depende de en qué cuadrante esté el ángulo alfa . Fijate:

y seno x

tangente coseno

* Te paso unas relaciones trigonométricas que pueden serte útiles en algún problema. Para cualquier ángulo alfa se cumple que :

Además : sen 2 α + cos 2 α = 1

SIGNO POSITIVO DE LAS FUNCIONES SENO COSENO Y TANGENTE SEGÚN EL CUADRANTE. (RECORDAR)

αcosαsen =α tg

F= 10 cm cm 530sen cm 10F

0,5

y =°⋅=

cmcmFx 66,830 cos 10866,0

=°⋅=

Todas positivas

ASIMOV ESTÁTICA - 31 -

Y también: cos α = sen ( 90º - α ) ( Ej: cos 30º = sen 60º ) Hasta ahora todo lo que puse fueron cosas de matemática. Tuve que hacerlo para que pudieras entender lo que viene ahora. Título : SUMA DE FUERZAS ANALITICAMENTE

Lo que se hace para hallar la resultante en forma analítica es lo siguiente :

1 – Tomo un par de ejes x – y con el origen puesto en el punto por el que pasan todas las fuerzas.

2 – Descompongo cada fuerza en 2 componentes. Una sobre el eje x ( Fx ) y otra sobre el eje y ( Fy ).

3 – Hallo la suma de todas las proyecciones en el eje x y en el eje y Es decir, lo que estoy haciendo es calcular el valor de la resultante en x ( Rx ) y el valor de la resultante en y ( Ry ). Este asunto es bastante importante y ellos suelen ponerlo de esta manera : Esto se lee así : La resultante en la dirección x ( horizontal ) es la sumatoria de todas las fuerzas en la dirección x. La resultante en la dirección y ( vertical ) es la sumato-ria de todas las fuerzas en la dirección y. 4 – Componiendo Rx con Ry por Pitágoras hallo el valor de la resultante.

Haciendo la cuenta tg α R = Ry / Rx puedo calcular el ángulo alfa que forma la resul-tante con el eje X. Vamos a un ejemplo:

R2 = Rx2 + Ry

PITAGORAS

FIN RESUMEN DE TRIGONOMETRIA

Rx = Σ Fx ← SUMATORIA EN x Ry = Σ Fy ← SUMATORIA EN y

ASIMOV ESTÁTICA - 32 -

EJEMPLO HALLAR ANALÍTICAMENTE LA RESULTANTE DEL SIGUIENTE SISTEMA DEFUERZAS CONCURRENTES CALCULANDO R y αR .

Para resolver el problema lo que hago es plantear la sumatoria de las fuerzas en la dirección x y la sumatoria de las fuerzas en la dirección y . O sea:

Rx.= ∑ Fx y Ry = ∑ Fy

Calculo ahora el valor de Rx y Ry proyectando cada fuerza sobre el eje x y sobre el eje y. Si mirás las fórmulas de trigonometría te vas a dar cuenta de que la componente de la fuerza en la dirección x será siempre Fx = F.cos α y la componente en dirección y es Fy = F.sen α . (α es el ángulo que la fuerza forma con el eje x ).

Entonces:

Rx = ∑ Fx = F1 . cos α1 + F2 . cos α2 + F3 . cos α3

⇒ Rx = 2 N . cos 0º + 2 N . cos 45º - 2 N . cos 45 º

Fijate que la proyección de F3 sobre el eje x va así ← y es negativa. Haciendo la suma:

Haciendo lo mismo para el eje y:

Ry = ∑ Fy = F1 . sen α1 + F2 . sen α2 + F3 . sen α3

F1 = 2 N

Rx = 2 N Resultante en x

ASIMOV ESTÁTICA - 33 -

⇒ Ry = 2 N . sen 0º + 2 N . sen 45º + 2 N . sen 45º

O sea que lo que tengo es esto:

Aplicando Pitágoras:

Otra vez por trigonometría: tg α R = Ry / Rx ⇒ ⇒ tg α R = 1,414 ⇒ Para poder calcular αR conociendo tg αR usé la función arco tg de la calculadora . Atención, se pone : Nota: a veces en algunos problemas piden calcular la equilibrante. La equilibrante vale lo mismo que la resultante pero apunta para el otro lado. Para el problema anterior la fuerza equilibrante valdría 3,46 N y formaría un ángulo :

α E = 54,73º + 180º = 234,73º

EQUILIBRIO ( Importante)

Supongamos que tengo un cuerpo que tiene un montón de fuerzas aplicadas que pasan por un mismo punto (concurrentes).

R = 3,46 N Resultante

Ry = 2,828 N Resultante en y

²N) (2,828N)² (2 R +=

1 · 4 1 SHIFT TAN

Angulo que forma R con el eje x α R = 54,73º

2N2,82N tg R =α

ASIMOV ESTÁTICA - 34 -

Ellos dicen que el cuerpo estará en equilibrio si la acción de estas fuerzas se compensa de manera tal que es como si no actuara ninguna fuerza sobre el cuerpo. Por ejemplo:

Este otro cuerpo también está en equilibrio:

Vamos al caso de un cuerpo que NO está en equilibrio:

Es decir, F1 y F2 se compensan entre sí, pero a F3 no la compensa nadie y el cuerpo se va a empezar a mover para allá . Todos los cuerpos que veas en los problemas de estática van a estar quietos. Eso pasa porque las fuerzas que actúan sobre el tipo se compensan mutuamente y el coso no se mueve. Sin hilar fino, digamos un cuerpo esta en equilibrio si está quieto. En estática siempre vamos a trabajar con cuerpos que estén quietos. De ahí justamente viene el nombre de todo este tema. ( Estático: que está quieto, que no se mueve ). Pero ahora viene lo importante. Desde el punto de vista físico, ellos dicen que :

UN CUERPO ESTÁ EN EQUILIBRIO SI LA SUMA DE TODAS LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE ÉL VALE CERO.

Otra manera de decir lo mismo es decir que si un sistema de fuerzas copuntuales está en equilibrio, su resultante tiene que ser cero. Es decir, no hay fuerza neta aplicada. La manera matemática de escribir esto es:

∑ F = 0

condición de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes

OTRO CUERPO EN EQUILIBRIO

ASIMOV ESTÁTICA - 35 -

Esta fórmula se lee: la suma de todas las fuerzas que actúan tiene que ser cero . Esta es una ecuación vectorial. Cuando uno la usa para resolver los problemas tiene que ponerla en forma de 2 ecuaciones de proyección sobre cada uno de los ejes. Estas ecuaciones son ( atento ):

No te preocupes por estas fórmulas. Ya lo vas a entender mejor una vez que resuel-vas algunos problemas. Ahora van unos comentarios importantes. ACLARACIONES:

• Para hallar analíticamente la resultante de dos fuerzas se puede usar también el teorema del coseno. No conviene usarlo, es fácil confundirse al tratar de buscar el ángulo αlfa que figura en la fórmula.

• Por favor, fijate que las condiciones de equilibrio ∑ Fx = 0 y ∑ Fy = 0 garantizan que el sistema esté en equilibrio solo en el caso en de que TODAS LAS FUERZAS PASEN POR UN MISMO PUNTO. ( Esto no es fácil de ver. Lo vas a entender mejor más adelante cuando veas el concepto de momento de una fuerza ).

UN EJEMPLO

Dos fuerzas concurrentes, F1 de 60 N y F2 de 100 N forman entre sí un ángulo de 70º. Para obtener un sistema de fuerzas en equilibrio se aplica una fuerza F3 ¿ Cuánto deben valer, aproximadamente, el módulo de F3 y el ángulo que forma dicha fuerza con F1 ?

El problema no tiene dibujito. Lo hago :

∑ Fx = 0

Condición de equilibrio para el eje horizontal.

Condición de equilibrio para un sistema de fuerzas concurrentes (ec. de proyección)

∑ Fy = 0

Condición de equilibrio para el eje vertical.

ESQUEMA DE LO QUE PLANTEA EL ENUNCIADO

ASIMOV ESTÁTICA - 36 -

Tomé la fuerza de 60 N en el eje equis para hacer más fácil el asunto. Planteo la suma de fuerzas en x y en y para sacar la resultante

R2 = Fx

2 + Fy2 R2 = ( 94,02 N )2 + ( 93,969 N )2

R = 133 N VALOR DE LA RESULTANTE

Calculo el ángulo que forma la resultante con el eje x:

Ahora, la fuerza equilibrante tendrá el mismo módulo que la resultante pero irá para el otro lado. Quiere decir que el asunto queda así:

Entonces: E = 133 N VALOR DE LA EQUILIBRANTE

δ = 135 º ANGULO DE LA EQUILIBRANTE

OTRO EJEMPLO Hallar la tensión en cada una de las cuerdas de la figura. El peso que soportan es de 200 kgf.

P = 200 kgf

ASIMOV ESTÁTICA - 37 -

Empiezo por la parte de abajo. Hago un dibujito : Planteo las sumatorias en x y en Y. El cuerpo no se mueve. Está en equilibrio. Entonces la Σ Fx y la Σ Fy tienen que ser CERO. Me queda:

Σ Fy = 0

Tc . Sen 53º + Tc . Sen 53º - 200 kgf = 0

2.Tc . Sen 53º = 200 kgf

La sumatoria en equis queda Tc . Cos 53º - Tc . Cos 53º = 0. No tiene sentido que la plantee porque no puedo despejar nada de ahí. Vamos a las otras cuerdas. El dibujito sería algo así:

Otra vez planteo las sumatorias en x y en Y. Otra vez el cuerpo está en equilibrio, asi que Σ Fx y Σ Fy tienen que ser CERO. Me queda:

Σ Fy = 0

TA . Sen 37º - Tc . Sen 53º = 0

Tc ya la había calculado antes y me había dado 125,2 kgf. Entonces reemplazo:

VALOR DE LA TENSION EN LAS DOS CUERDAS C Tc = 125,21 N

P = 200 kgf

ASIMOV ESTÁTICA - 38 -

TA . Sen 37º - 125,2 kgf . Sen 53º = 0

TA . 0,6 = 125,2 kgf . 0,8

Ahora planteo la sumatoria de las fuerzas en equis. Me queda : Σ Fx = 0

TA . cos 37º - TB - Tc . cos 53º = 0

Los valores de TA y TC ya los conozco. Entonces reemplazo:

166,2 kgf . cos 37º - TB - 125,2 kgf . cos 53º = 0

TB = 166,2 kgf . cos 37º - 125,2 kgf . cos 53º

FIN FUERZAS COPUNTALES

TA = 166,2 kgf

VALOR DE LA TENSION EN LA CUERDA A

TB = 57,3 kgf VALOR DE LA TEN-SION EN LA CUERDA

ASIMOV ESTÁTICA - 39 -

FUERZAS NO COPUNTUALES

Hasta ahora teníamos problemas donde todas las fuerzas pasaban todas por un mismo punto. Para resolver este tipo de problemas había que plantear 2 ecuaciones. Estas ecuaciones eran la sumatoria de las fuerzas en dirección x y la sumatoria de fuerzas en dirección y. Ahora vamos a tener problemas donde las fuerzas no pasan por el mismo punto. ( Se dice que las fuerzas son NO CONCURRENTES o NO COPUNTUALES ). Entonces para resolver los ejercicios va a haber que plantear otra ecuación que es la ecuación del momento de las fuerzas. Entonces, título: MOMENTO DE UNA FUERZA

Para resolver el asunto de fuerzas que no pasan por un mismo punto se inventa una cosa que se llama momento de una fuerza. Ellos definen el momento de una fuerza con res-pecto a un punto ó como:

La distancia que va del punto a la fuerza se llama d y F es la componente de la fuerza en forma perpendicular a d (ojo con esto). La fuerza puede llegar a estar Inclinada En ese caso, el momento de la fuerza con respecto a O vale Mo = Fy . d . ( Fy vendría a ser la componente de la fuerza perpendicular a d ).

Mó = F . d

Momento de una fuerza con respecto al punto ó.

ASIMOV ESTÁTICA - 40 -

SIGNO DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

Una fuerza aplicada a un cuerpo puede hacerlo girar en sentido de las agujas del reloj o al revés. Entonces hay 2 sentidos de giro posibles, uno de los dos tendrá que ser posi-tivo y el otro negativo.

Para decidir cuál sentido es positivo y cuál es negativo hay varias convenciones. Una de las convenciones dice así: " el momento de la fuerza será positivo cuando haga girar al cuerpo en sentido contrario al de las agujas del reloj ".

La otra convención, dice: " el momento será positivo cuando la fuerza en cuestión haga girar al cuerpo en el mismo sentido que las agujas del reloj ". Yo te aconsejo que uses la siguiente convención: Antes de empezar el problema uno marca en la hoja el sentido de giro que elige como positivo poniendo esto: (+) ( giro antihorario positivo ) o esto: (+) ( giro horario positivo ). Esta última convención es la que suelo usar yo para resolver los problemas. Creo que es la mejor porque uno puede elegir qué sentido de giro es positivo para cada problema en particular. ¿ Cuál es la ventaja ? Rta: La ventaja es que si en un ejercicio la mayoría de las fuerzas tienen un determina-do sentido de giro, elijo como positivo ese sentido de giro para ese problema y listo. Si elijo el sentido al revés, no pasa nada, pero me van a empezar a aparecer un montón de signos menos. ( = Molestan y me puedo equivocar ) ¿ Puede el momento de una fuerza ser cero ?

Puede. Para que M ( = F . d ) sea cero, tendrá que ser cero la fuerza o tendrá que ser cero la distancia. Si F = 0 no hay momento porque no hay fuerza aplicada. Si d es igual a cero, quiere decir que la fuerza pasa por el centro de momentos.

ASIMOV ESTÁTICA - 41 -

Quiero que veas ahora una cuestión importante que es la siguiente: ¿ qué tiene que pa-sar para que un sistema de fuerzas que no pasan por el mismo punto esté en equilibrio ? CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES

Supongamos el caso de un cuerpo que tiene aplicadas fuerzas que pasan todas por un punto. Por ejemplo, un cuadro colgado de una pared. Para estos casos, la condición para que el tipo estuviera en equilibrio era que la suma de todas las fuerzas que actuaban fuera cero. O sea, que el sistema tuviera resultante nula. Esto se escribía en forma matemática poniendo que ∑ Fx = 0 y ∑ Fy = 0 . Muy bien, pero si lo pensás un poco, el asunto de que R sea cero, sólo garantiza que el cuerpo no se traslade. Si las fuerzas NO PASAN POR UN MISMO PUNTO , puede ser que la resultante sea cero y que el cuerpo no se traslade... pero el objeto podría estar girando. Mirá el dibujito:

En este dibujito, la resultante es cero, sin embargo la barra está girando. Esto es lo que se llama CUPLA ( o par ). Una cupla son 2 fuerzas iguales y de sentido contrario separadas una distancia d. La resultante de estas fuerzas es cero, pero su momento NO. Al actuar una cupla sobre un cuerpo, el objeto gira pero no se traslada. El momento de las fuerzas que actúan es el que hace que la barra gire. Por eso es que cuando las fuerzas no pasan por un mismo punto hay que agregar una nueva condición de equilibrio. Esta condición es que el momento total que actúa sobre el cuerpo tiene que ser CERO. La ecuación es ∑ Mó = 0. Se la llama ecuación de momentos.

CUPLA ( O PAR )

ASIMOV ESTÁTICA - 42 -

Este asunto de " ∑ Mó = 0 " Se lee: " La sumatoria de los momentos respecto a un punto o es igual a cero ". Al igualar la suma de los momentos a cero, uno garantiza el equilibrio de rotación. Es decir, impide que la barra gire. ENTONCES:

CONCLUSIÓN ( LEER )

Para resolver los problemas de estática en donde las fuerzas NO pasan por un mismo punto hay que plantear tres ecuaciones. Estas ecuaciones van a ser una de momentos ( ∑Mó = 0 ) y dos de proyección ( ∑Fx = 0

y ∑Fy = 0 ) . Resolviendo las 3 ecuaciones que me quedan, calculo lo que me piden. ACLARACIONES:

• Recordar que el sentido positivo para los momentos lo elige uno.

• Siempre conviene tomar momentos respecto de un punto que anule alguna incógnita. Generalmente ese punto es un apoyo. • No siempre va a haber que usar las tres ecuaciones para resolver el problema. Depende de lo que pidan. Muchas veces se puede resolver el problema usando sólo la ecuación de momentos.

* Para resolver un problema no necesariamente uno está obligado a plantear ∑Fx , ∑Fy . A veces se pueden tomar dos ecuaciones de momento referidas a puntos distintos. ( Por ejemplo, los 2 apoyos de una barra ).

PARA QUE ESTÉ EN EQUILIBRIO UN CUERPO QUE TIENE UN MONTÓN DE FUERZAS APLICADAS QUE NO PASAN POR UN MISMO PUNTO, DEBE CUMPLIRSE QUE : ∑ Fx = 0 Garantiza que no haya traslación en x. ∑ Fy = 0 Garantiza que no haya traslación en y. ∑ Mó = 0 Garantiza que no haya rotación.

ASIMOV ESTÁTICA - 43 -

EJEMPLO

Una barra de longitud 2 m y 100 Kg de peso está sostenida por una soga que forma un ángulo alfa de 30˚ como indica la figura. Calcular la tensión de la cuerda y el valor de las reacciones en el apoyo A. Suponer que el peso de la barra está aplicado en el centro de la misma.

Bueno, primero hago un esquema de la barra poniendo todas las fuerzas que actúan:

Puse el par de ejes x–y . El sentido de giro lo tomé positivo en sentido de las agujas del reloj . Planteo las tres condiciones de equilibrio : ∑Fx = 0 , ∑Fy = 0 , ∑Mó = 0 . El centro de momentos ( punto O ) puede ser cualquier punto. En general conviene elegirlo de manera que anule alguna incógnita. En este caso me conviene tomar el punto A. ∑Fx = 0 ⇒ Rh – Tc . cos α = 0 ∑Fy = 0 ⇒ Rv + Tc . sen α - P = 0 ∑MA = 0 ⇒ P . L/2 - Tc . sen α . L = 0

Reemplazando por los datos: Rh – Tc . cos 30º = 0

Rv + Tc . sen 30º – 100 kgf = 0

100 kgf x 2m / 2 - Tc x sen 30º x 2 m = 0

α = 30˚ P = 100 kgf L = 2 m

ASIMOV ESTÁTICA - 44 -

De la última ecuación despejo TC : Reemplazando TC en las otras ecuaciones calculo las reacciones horizontal y vertical en el punto A : OTRO EJEMPLO

Una tabla AB que mide 4 m de longitud y que pesa 60 kgf está sostenida en equilibrio por medio de dos cuerdas verticales unidas a los extremos A y B. Apoyada sobre la tabla a 1 m de distancia del extremo A hay una caja que pesa 60 kgf. a) - Calcular la tensión en ambas cuerdas b) - Si la cuerda A resiste como máximo una tensión de 85 kgf, ¿Cuál es la distancia mínima x entre la caja y el extremo A ?

Hagamos un dibujito del asunto. Pongo las fuerzas que actúan y marco el sentido positi-vo para el momento de las fuerzas.

a) Planteo la sumatoria de las fuerzas en la dirección vertical y la sumatoria de momen-tos respecto al punto A. Me queda:

Haciendo las cuentas:

TC = 100 kgf

RHA = 86,6 kgf

RVA = 50 kgf

ASIMOV ESTÁTICA - 45 -

b) – Para calcular la distancia tomo momentos respecto del punto B. Me dicen que la máxima tensión en la cuerda A puede ser de 85 kgf. Quiere decir que TA = 85 kgf. Me queda: TEOREMA DE VARIGNON

El teorema de Varignon dice que el momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las fuerzas. Vamos a ver qué significa esto. Fijate. Suponete que tengo un sistema de varias fuerzas que actúan. Calculo la resultante de ese sistema y obtengo una fuerza R. Lo que dice el teorema es esto: supongamos que yo sumo el momento de todas las fuer-zas respecto al punto A y me da 10 kgf.m ( por ejemplo ). Si yo calculo el momento de la resultante respecto de A, también me va a dar 10 kgf.m. Eso es todo. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO

El centro de gravedad de un cuerpo es el lugar donde está aplicada la fuerza peso.

ASIMOV ESTÁTICA - 46 -

Si el cuerpo es simétrico, el C.G. va a coincidir con el centro geométrico del cuerpo. Por ejemplo para un cuadrado o para un círculo, el C.G. va a estar justo en el centro de la figura. ¿ Como se halla el centro de gravedad de un cuerpo ? Rta: Bueno, se hace así: Si el cuerpo está compuesto por varias figuras simétricas, se divide al cuerpo en varias figuras mas chicas. Ahora se calcula " el peso " de cada una de esas figuras. " El peso " es una manera de decir. Lo que uno hace es suponer que el peso de cada figura va a ser proporcional a la superficie. Esta fuerza peso se pone en el centro geométrico. Sería algo así: Después uno saca la resultante de todos esos pesos parciales. El centro de gravedad es el lugar por donde pasa la resultante de todos esos parciales.

FIN TEORIA DE ESTATICA

PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALES

Van acá unos problemas que saqué da parciales

PROBLEMA 1

La barra homogénea de la figura, de 50 kgf de peso se encuentra en equilibrio. Si el apoyo móvil contrarresta el movimiento perpendicular a la barra y no hay fuerzas de roce ni en C ni en D, siendo β = 37 º

a) ¿cuál es el valor de la fuerza que ejerce el apoyo fijo en C ? b) Si el apoyo móvil sigue restringiendo la traslación perpendicular a la barra, y ese esfuerzo es de 10 kgf, ¿cuál es el valor del ángulo β para que la barra esté en equilibrio ?

SOLUCIÓN En los ejercicios de estática donde hay fuerzas aplicadas a distintos puntos siempre se tiene que cumplir que las sumatoria de fuerzas y de momentos sean cero. Primero hagamos el dibujo de las fuerzas. El peso de la barra va en el centro geométrico. Las fuerzas paralelas a la barra están contrarrestadas por el apoyo móvil (D).

ASIMOV ESTÁTICA - 47 -

Planteemos la sumatoria de momentos desde C: 0=+=Σ

DFPC MMM , recordando que: M = F . d . sen α. Haciendo la descomposición de la fuerza peso, y reemplazando los datos tenemos: FD = 15 kgf. Planteemos las sumatorias de fuerzas: Fvx – Px = 0 y FD – Py + Fvy = 0. Esto da: Fvy = 40 kgf y Fvx = 15 kgf.

Para calcular el módulo de Fv usamos: ( ) ( )22vyvxv FFF += . Resulta: |Fv| = 42,72 kgf.

En la segunda parte tenemos que FD = 10 kgf, por lo que β deja de ser 37º. Llamemos δ al nuevo ángulo. Planteamos de nuevo la sumatoria de momentos: L

2yC DΣM =- P . + F .L = 0 ,

resulta: DP. sen δ = F

2, despejando δ, tenemos: δ = 23,57º.

PROBLEMA 2

Una barra de peso 150 kgf y longitud L puede girar alrededor del punto A. Está sostenida en la posición horizontal mediante la cuerda AC como se indica la figura. a) hallar la fuerza que realiza la cuerda en estas condiciones. b) calcular la reacción del vínculo A sobre la barra, en módulo, dirección y sentido.

SOLUCIÓN La sumatoria de momentos desde A es: ΣM|A = 150 kgf. ℓ/2 – T . cos 37º . ℓ = 0. De acá: T = 93,75 kgf. La sumatoria de fuerzas en x es: HA + T . sen 37º = 0, entonces: HA = -56,25 kgf (la fuerza tiene sentido contrario al marcado en el dibujo).

ASIMOV ESTÁTICA - 48 -

Finalmente, en la sumatoria de fuerzas en y: T. cos 37º + VA – 150 kgf = 0. Resulta: VA = 75 kgf (hacia arriba).

PROBLEMA 3

Una barra homogénea y de sección constante, cuyo peso es de 300 kgf, está sujeta en su extremo por un cable de acuerdo a la figura adjunta, colgando del extremo de la barra un peso de 4.500 kgf. Se pide hallar: a) La tensión que soporta el cable y las reacciones del vínculo en la articulación A b) El valor máximo que puede adquirir P, si el cable soporta una tensión máxima de 5.000 kgf.

SOLUCIÓN

Supongamos que el ángulo entre la barra y el cable es de 90º. ( No lo aclaran ). Hacemos la sumatoria de momentos desde A: 0=−+=Σ TPPA MMMM

Usando M = F . d . sen α, y teniendo en cuenta que como la barra es homogénea el peso se aplica en la mitad podemos calcular T. Resulta: T = 2.325 kgf

Ahora, las sumatorias de fuerzas:

FAx – Tx = 0 y FAy + Ty – P- PB = 0, donde FA es la fuerza de vínculo en A. Calculamos las componentes de FA, y tenemos:

FAX = 2.013,51 kgf y FAY = 3.637,5 kgf. Para la segunda parte volvemos a usar la sumatoria de momentos desde A y la defi-

ASIMOV ESTÁTICA - 49 -

nición de momento. Sabemos ahora que T = 5.000 kgf, y conocemos PB y el ángulo. Reemplazando y haciendo la cuenta tenemos:

P = 9.850 kgf

PROBLEMA 4

Sobre una tabla horizontal de longitud L y de peso despreciable, se coloca una caja peso P. Para que la reacción de vínculo en A sea la quinta parte de la reacción de vínculo en B, la caja deberá ubicarse a:

a) 1/6 de L a la derecha de A b) 1/5 de L a la izquierda de B c) 4/5 de L a la derecha de A d) 4/5 de L a la izquierda de B e) 1/5 de L a la derecha de A f) 1/6 de L a la izquierda de B

SOLUCIÓN Recordá que xA + xB = L. Tomamos momentos desde A: 0=+=Σ

vBFPA MMM , usando la definición de momento llegamos a: xA . P = L. FvB. Ahora hacemos lo mismo desde B:

0=+=ΣvAFPB MMM , tenemos: xB . P = L. FvA.

Además buscamos que se cumpla: FvA= 1/5 FvB. Usando esta relación en las ecuaciones que obtuvimos de las sumatorias de momentos llegamos a: xA= 1/5 xB.

Entonces, la respuesta correcta es la b).

PROBLEMA 5

En la figura, el cuerpo Q cuelga de una la barra AC. La misma se encuentra sostenida en A por un vínculo que le permite rotar y se mantiene en equilibrio debido a una cuerda que la sostiene perpendicularmente a la barra en B. Calcular :

ASIMOV ESTÁTICA - 50 -

a) La tensión que soporta la cuerda en B ? b) El módulo de la fuerza de vínculo en A.

DATOS: AC = 3 m, AB = 1 m, Q = 100 kgf, Pb= 10 kgf, α = 60º

SOLUCIÓN

Para calcular la tensión en B, tomamos la sumatoria de momentos desde A:

0=−−=Σ QPTA MMMMbB

Tenemos todos los datos, reemplazamos y llegamos a:

TB = 157,5 kgf

Para la segunda parte planteamos la sumatoria de momentos desde el extremo de donde cuelga el peso Q:

0=+−−=ΣbBA PTFQ MMMM

Para reemplazar fijate que el ángulo que forman las fuerzas con la barra es de 30º, que es la diferencia entre 90º y 60º. Haciendo las cuentas llegamos a:

|FA| = 205 kgf

FIN ESTATICA

MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME

ECUACIONES HORARIAS

ASI SE CALCULA LA VELOCIDAD EN EL MRU

GRÁFICOS PARA EL MRU

ASIMOV MRU - 52 -

CINEMÁTICA

CONCEPTOS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

En cinemática hay tres cosas que tenés que conocer porque se usan todo el tiempo. Fijate :

El lugar en donde está la cosa que se está moviendo se llama Posición. La rapidez que tiene lo que se está moviendo se llama velocidad. Si la velocidad del objeto aumenta o disminuye, se dice que tiene aceleración.

Ejemplo:

Para la posición se usa la letra x porque las posiciones se marcan sobre el eje x. Si el objeto está a una determinada altura del piso se usa un eje vertical y ( y la altura se indica con la letra y ). EJEMPLO: Supongamos que tengo algo a 5 metros de altura. Para dar su posición tomo un eje vertical Y. Con respecto a este eje digo: X e Y se llaman coordenadas del cuerpo. Dar las coordenadas de una cosa es una manera de decir dónde está el objeto en ese momento. ( Por ejemplo, un avión ). SISTEMA DE REFERENCIA

Cuando digo que la posición de algo es x = 10 m, tengo que decir 10 m medidos desde dónde. Vos podés estar a 10 m de tu casa pero a 100 m de la casa de tu primo.

LA POSICION DEL PATO ES Y = 5 metros .

POSICION Y VELOCIDAD

Xauto= 10 m

ASIMOV MRU - 53 -

De manera que la frase: “estoy a 10 m” no indica nada. Hay que aclarar desde dónde uno mide esos 10 m. Entonces en física, lo que ellos hacen es decir: En el lugar que elijo como cero pongo el par de ejes x-y. Estos dos ejes forman el sistema de referencia. Todas las distancias que se miden están referidas a él. Para resolver los problemas siempre hay que tomar un par de ejes x-y. Poner el par de ejes x-y nunca está de más. Si no lo ponés, no sabés desde dónde se miden las distancias. Las ecuaciones que uno plantea después para resolver el problema, van a estar referidas al par de ejes x-y que uno eligió. TRAYECTORIA ( Fácil )

La trayectoria es el caminito que recorre el cuerpo mientras se mueve. Puede haber muchos tipos de trayectorias. Acá en MRU es siempre rectilínea. La trayectoria no tiene por qué ser algún tipo de curva especial. Puede tener cualquier forma. Ejemplo:

POSICIÓNES NEGATIVAS ( Ojo )

Una cosa puede tener una posición negativa como x = - 3 m, ó x = - 200 Km. Eso pasa cuando la cosa está del lado negativo del eje de las equis. Esto es importante, porque a

ASIMOV MRU - 54 -

veces al resolver un problema el resultado da negativo. Y ahí uno suele decir: Huy, me dió X = - 20 m. No puede ser. Pero puede ser. La posición puede dar negativa. Incluso la velocidad y la aceleración también pueden dar negativas. Mirá en este dibujito como se representa una posición negativa : VELOCIDAD NEGATIVA ( leer )

Si una cosa se mueve en el mismo sentido que el eje de las x, su velocidad es ( + ). Si va al revés, es ( -).Atento con esto que no es del todo fácil de entender. A ver: Es decir, en la vida diaria uno no usa posiciones ni velocidades negativas. Nadie dice: “estoy a –3 m de la puerta”. Dice: “estoy 3 m detrás de la puerta”. Tampoco se usa decir: “ese coche va a – 20 km/h ”. Uno dice: “ese coche va a 20 Km por hora al revés de cómo voy yo. Pero atento porque acá en cinemática la cuestión de posiciones negativas y velocidades negativas se usa todo el tiempo y hay que saberlo bien. LA LETRA GRIEGA DELTA ( ∆ )

Vas a ver que todo el tiempo ellos usan la letra Delta. Es un triangulito así: ∆ . En física se usa la delta para indicar que a lo final hay que restarle lo inicial. Por ejemplo, ∆x querrá decir “ equis final menos equis inicial ”. ∆t querrá decir “ t final menos t inicial “, y así siguiendo. En matemática a este asunto de hacer la resta de 2 cosas se lo llama hallar la variación o diferencia. ESPACIO RECORRIDO ( ∆X )

El lugar donde el tipo está se llama posición. La distancia que el tipo recorre al ir de

ASIMOV MRU - 55 -

una posición a otra se llama espacio recorrido. Fijate que posición y espacio recorrido NO son la misma cosa. Pongámonos de acuerdo. Vamos a llamar: X0 = posición inicial ( lugar de donde el tipo salió ) Xf = posición final ( lugar a donde el tipo llegó ) ∆X = espacio recorrido. ( = Xf – Xo ) Si el móvil salió de una posición inicial ( por ejemplo X0 = 4 m ) y llegó a una posición final ( por ejemplo Xf = 10 m ) , el espacio recorrido se calcula haciendo esta cuenta:

∆x = xf - x0

Es decir, en este caso me queda: ∆X = 10 m – 4 m ∆X = 6 m TIEMPO TRANSCURRIDO o INTERVALO DE TIEMPO ( ∆t )

El intervalo de tiempo ∆t es el tiempo que el tipo estuvo moviéndose. Delta t puede ser 1 segundo, 10 segundos, 1 hora, lo que sea... Si el objeto salió en un instante inicial t0 ( por Ej. a las 16 hs ), y llegó en un determinado instante final ( por Ej. a las 18 hs), el intervalo de tiempo delta t se calcula haciendo la cuenta ∆t = tf – t0 , ( Es decir 18 hs – 16 hs = 2 hs ). MOVIMIENTO RECTILÍNEO y UNIFORME ( MRU )

Una cosa se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se mueve en línea recta y va con velocidad constante. Otra manera de decir lo mismo es decir que el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales. Esto lo dijo Galileo ( ídolo ! ).

ESPACIO RECORRIDO

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En el MRU la velocidad no cambia, se mantiene constante. Al ser la velocidad todo el tiempo la misma, digo que lo que se viene moviendo no acelera. Es decir, en el movimiento rectilíneo y uniforme la aceleración es cero ( a = 0 ). EJEMPLO DE CÓMO SE CONSTRUYEN GRÁFICOS EN EL MRU ( Leer esto )

Muchas veces piden hacer gráficos. ¿ Cómo es eso ? Fijate. Suponé que una cosa se viene moviendo a 100 por hora. Una hormiga, por ejemplo.

Después de una hora habrá recorrido 100 Km. Después de 2 hs habrá recorrido 200 Km y así siguiendo... Esto se puede escribir en una tablita:

POSICIÓN TIEMPO 0 Km 0 hs 100 Km 1 h 200 Km 2 hs

Ahora puedo hacer un gráfico poniendo para cada tiempo la posición correspondiente ( A 0 le corresponde 0, a 1 le corresponde 100, etc ).

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Uniendo todos los puntos tengo el gráfico de la posición en función del tiempo: A este gráfico se lo suele llamar abreviadamente X (t) , X = f (t) , o X = X (t). Todas estos nombres quieren decir lo mismo: Representación de la posición X en función del tiempo. Puedo dibujar también los gráficos de velocidad y aceleración en función del tiempo. ( Importantes ). Si lo pensás un poco vas a ver que quedan así: En estos 3 gráficos se ven perfectamente las características del MRU. O sea : El gráfico de x en función del tiempo muestra que la posición es lineal con el tiempo. ( Lineal con el tiempo significa directamente proporcional ). El gráfico de V en función de t muestra que la velocidad se mantiene constante. El gráfico de a en función de t muestra que la aceleración es todo el tiempo cero. CÁLCULO DE LA VELOCIDAD EN EL MRU

Para calcular la velocidad se hace la cuenta espacio recorrido sobre tiempo empleado. Esta misma cuenta es la que vos usás en la vida diaria. Supongamos que un tipo salió de la posición x0 y llegó a la posición xf .

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La velocidad va a ser: Por ejemplo, si una persona viaja de Buenos Aires a Mar del Plata ( 400 km ) en 5 horas, su velocidad será: Si el tipo salió inicialmente del kilómetro 340 ( X0 ) y llega al km 380 ( Xf ) después de 30 minutos, su velocidad será :

ECUACIONES HORARIAS EN EL MRU ( Importante ).

La definición de velocidad era: 0

ttxxv

−−

= . Si ahora despejo x – x o me queda :

→ v . ( t – to ) = x – x o

→ x = xo + v . ( t – to ) ← 1ra ECUACION HORARIA

Se la llama " horaria " porque en ella interviene el tiempo ( = la hora ). Como ( t - t0 ) es ∆t, a veces se la suele escribir como x = x0 + v x ∆t . Y también si t0 cero vale

cero, se la pone como x = x0 + vxt . ( Importante ). Pregunta: ¿ Para qué sirve la ecuación horaria de la posición ? Rta: Esta ecuación me va dando la posición del tipo en función del tiempo. O sea, yo le doy los valores de t y ella me da los valores de x. ( Atento ). Fijate : Suponete que lo que se está moviendo salió en t0

= 0 de la posición x0 = 200 Km. Si el objeto al salir tenía una velocidad de 100 Km/h, su ecuación horaria será:

X = 200 Km + 100 h

Km . ( t – 0 )

X = 200 Km + 100 h

Km t

∆x v = ∆t

f 0

x -xv = t -t

ASI SE CALCULA LA VELOCIDAD EN EL MRU

ASIMOV MRU - 59 -

Si en la ecuación voy dándole valores a t ( 1 h, 2 hs, 3 hs, etc) voy a tener la posición donde se encontraba el tipo en ese momento. En realidad siempre hay 3 ecuaciones horarias. La velocidad y la aceleración también tienen sus ecuaciones horarias. Para el caso del MRU, las ecuaciones de v y de a son : En definitiva, las tres ecuaciones horarias para el MRU son:

x = xo + v . ( t – to ) v = Cte a = 0 De las tres ecuaciones sólo se usa la primera para resolver los problemas. Las otras dos no se usan. Son sólo conceptuales. ( Pero hay que saberlas ). Recordá que casi siempre t cero vale cero, entonces la 1ra ecuación horaria queda como:

TANGENTE DE UN ÁNGULO

Calcular la tangente ( tg ) de un ángulo significa hacer la división entre lo que mide el cateto opuesto y lo que mide el cateto adyacente. Dibujo un ángulo cualquiera.

En este triángulo la tangente de alfa va a ser:

tg α = adyacenteopuesto ← Tangente de un ángulo.

Midiendo con una regla directamente sobre la hoja obtengo: Opuesto: 2,1 cm. Adyacente: 4,8 cm

Entonces: Fijate que el resultado no dió en cm ni en metros. La tangente de un ángulo es siempre un número sin unidades.

ECUACIONES HORARIAS PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORME

x = x0 + v t

Un triángulo De ángulo alfa

0,437cm 4,8cm 2,1α tg ==

0 ay ctev ==

ASIMOV MRU - 60 -

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta es una cosa parecida a la tg de un ángulo. Pero la pendiente no es un número. Tiene unidades. Hallar el valor de la pendiente de una recta significa hacer la división entre la cantidad que está representando el cateto opuesto y la cantidad que está representando el cateto adyacente. Veamos: supongamos que tengo la siguiente recta que proviene de la representación de la posición en función del tiempo para una cosa que se viene moviendo con MRU:

Para el ángulo alfa que yo dibujé, el cateto opuesto MIDE unos 1,8 cm si lo mido con una regla en la hoja. Pero REPRESENTA 160 m. De la misma manera, el cateto adyacente MIDE unos 3,8 cm; pero REPRESENTA 8 seg. De manera que el valor de la pendiente de la recta va a ser:

En este caso: Repito. Fijate que la pendiente no es sólo un número, sino que tiene unidades. En este caso esas unidades me dieron en metros por segundo. La pendiente puede darte en otras unidades también. Eso depende de qué estés graficando en función de qué. LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL GRÁFICO X=f(t) ES LA VELOCIDAD

No es casualidad que la pendiente del gráfico anterior haya dado justo en unidades de velocidad. La pendiente de la recta en el gráfico posición en función del tiempo SIEMPRE te va a dar la velocidad del movimiento. ¿ Por qué ?. Rta: Porque al hacer la cuenta “opuesto sobre adyacente” lo que estás haciendo es ∆x/∆t, y esto es justamente la velocidad (Atenti).

Cat.Ady. el representa que ValorOp. Cat. el representa que Valor Pendiente =

Pendiente de una recta

sm20pendiente

s8m 160pendiente =⇒=

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES HORARIAS ( Ver )

En cinemática se usan todo el tiempo 3 gráficos muy importantes que son los de posi-ción, velocidad y aceleración en función del tiempo. Cada gráfico es la representación de una de las ecuaciones horarias. Quiero que te acuerdes primero cómo se represen-taba una recta en matemática. La ecuación de la recta tenía la forma y = m.x + b. Eme era la pendiente y Be era la ordenada al origen ( = el lugar donde la recta corta al eje vertical ). Por ejemplo la ecuación de una recta podría ser y = 3 x + 4. Si tomo la 1ra ecuación horaria con t0 = 0 ( Que es lo que en general suele hacerse ), me queda x = x0 + v . t . Ahora fijate esta comparación:

Veo que la ecuación de X en función del tiempo en el MRU también es una recta en donde la velocidad es la pendiente y X0 es el lugar donde la recta corta el eje vertical. Para cada ecuación horaria puedo hacer lo mismo y entonces voy a tener 3 lindos gráficos, uno para cada ecuación. Los tres tristes gráficos del MRU quedan así:

POSICIÓN en función del tiempo ( Muestra que x aumenta linealmente con t ) VELOCIDAD en función del tiempo ( Muestra que v se mantiene constante).

ACELERACIÓN en función del tiempo. Muestra que la a es cero todo el tiempo.

LOS 3 GRÁFICOS

DEL MRU (IMPORTANTES)

ASIMOV MRU - 62 -

ANALISIS DE LAS PENDIENTES Y LAS AREAS DE LOS GRAFICOS DEL MRU

Los 3 gráficos del MRU son la representación de las ecuaciones horarias. Fijate que en algunos de estos gráficos, el área y la pendiente tienen un significado especial. LA PENDIENDIENTE DEL GRAFICO DE POSICIÓN ES LA VELOCIDAD

El grafico de posición en función del tiempo ya lo analicé antes. La pendiente de ese gráfico me da la velocidad. Quiero que lo veas de nuevo con más detalle porque es importante. Fijate. Agarro un gráfico cualquiera de un auto que se mueve con MRU. Por ejemplo, supongamos que es este: Este gráfico me dice que el auto salió de la posición inicial x = 4 m y llegó a la posición final x = 8 m después de 2 segundos. Quiere decir que el tipo recorrió 4 m en 2 seg. Entonces su velocidad es de 2 m/s. Esto mismo se puede ver analizando la pendiente del gráfico. Fijate que el cateto adyacente es el tiempo transcurrido ∆t. El cateto opuesto es el espacio recorrido ∆x. Entonces, si calculo la pendiente tengo :

EL AREA DEL GRAFICO DE VELOCIDAD ES EL ESPACIO RECORRIDO

Supongamos que un auto se mueve con velocidad 10 m/s. Su gráfico de velocidad sería así: Fijate que al ir a 10 m/s, en 2 segundos el tipo recorre 20 m .

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Esto mismo lo puedo calcular si miro la superficie del gráfico. Fijate qué pasa si hago la cuenta para el área que marqué: A veces es más fácil sacar las velocidades y los espacios recorridos calculando pen-dientes y áreas que haciendo las cuentas con las ecuaciones. Por ejemplo, fijate el ca-so de una persona que va primero con una velocidad v1 y después con otra velocidad v2: Para calcular la distancia total que recorrió directamente saco las áreas A1 y A2 del gráfico de velocidad.

PREGUNTA: Yo analicé solamente la pendiente del gráfico de posición y el área del gráfico de velocidad. Pero también se pueden analizar pendientes y áreas para los otros gráficos. Por ejemplo. ¿ Qué significa la pendiente del gráfico de velocidad ? ¿ Qué significa el área del gráfico de aceleración ? ( Pensalo ) Estos conceptos de pendientes y áreas son importantes. Necesito que los entiendas bien porque después los voy a volver a usar en MRUV.

UN EJEMPLO DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME

Un señor sale de la posición X0 = 400 Km a las 8 hs y llega a Xf = 700 Km a las 11 hs. Viaja en línea recta y con v = cte. Se pide:

a)- Calcular con qué velocidad se movió.(En Km/h y en m/s) b)- Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas. c)- Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs. d)- Dibujar los gráficos de x = f(t), v = v(t) y a = a(t).

Lo que tengo es esto :

ASIMOV MRU - 64 -

a) - Calculo con qué velocidad se movió. V era ∆x / ∆t , entonces: Para pasar 100 Km/h a m/s uso el siguiente truco: ( recordalo por favor ). A la palabra “Km” la reemplazo por 1.000 m y a la palabra “hora” la reemplazo por 3600 seg. Entonces :

Fijate en este “ tres coma seis”. De acá saco una regla que voy a usar :

Si no te acordás de esta regla, no es terrible. Lo deducís usando el mismo truco que usé yo y listo. ( O sea, 1 Km son mil metros, 1 hora son 3.600 segundos, etc ). b ) - Escribir las 3 ec. horarias y verificarlas. Bueno, en el movimiento rectilíneo y uniforme las ecuaciones horarias eran: x = xo + v . ( t – to )

v = Cte

a = 0 En este caso reemplazo por los datos y me queda:

0aconstantehKm 100v

hs) 8(t h

Km 100Km 400x

===

−+=

Para pasar de Km/h a m / s hay que dividir por 3,6.Para pasar de m /s a Km / h hay que multiplicar por 3,6.

Regla para pasar de Km /h a m/s y viceveversa

segm

hKm

segm

hKm

6,3100 100

36001000.100 100

=⇒

hs8hs11Km400Km700v

−−

hs3Km300v =

x xvt t−

=−

Velocidad del tipo V = 100 Km / h

ASIMOV MRU - 65 -

Verificar las ecuaciones horarias significa comprobar que están bien planteadas. Bueno, con la 2da y la 3 ra ( V = 100 Km / h, y a = 0 ) no tengo problema. Sé que el movimiento es rectilíneo y uniforme de manera que la velocidad me tiene que dar constante y la aceleración cero. ( Están bien ). Vamos a la verificación de la 1ra ecuación. Si esta ecuación estuviera bien planteada, reemplazando t por 8 hs (= t0 ), la posición me tendría que dar 400 Km ( = x0 ). Veamos si da:

Vamos ahora a la posición final. Para t = 11 hs la posición me tiene que dar x = 700 Km. Otra vez reemplazo tcero por 11 hs. Hago la cuenta a ver que da. X = 400 Km + 100 Km/h ( t - 8 hs ) X = 400 Km + 100 Km/h ( 11 hs - 8 hs ) X = 700 Km ( Dió bien ). c)- Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs. Hago lo mismo que lo que hice recién, pero reemplazando t por 9 hs y por 10 hs:

Para t = 10 hs :

d) - Dibujar los gráficos x = x (t), v = v (t) y a = a (t)

El gráfico más complicado de hacer es el de posición en función del tiempo. Con lo que calculé antes puedo armar una tabla y represento estos puntos en el gráfico x-t :

hs) 8(thKm 100400Kmx −+=

hs. 9 las aPosición Km 500(9hs)x

) 1h

hs 8hs 9 (h

Km 100Km 400 x

←=⇒

−+= 43421

hs 10 las aPosición Km 600(10hs)x

)2hs

hs 8hs 10 (h

Km 100Km 400(10hs)x

←=⇒

−+= 43421

434210

8hs)(8hshKm100400Kmx −+=

X = 400 Km ( Dió bien ).

ASIMOV MRU - 66 -

X ( Km ) t (hs ) 400 Km 8 hs 500 Km 9 hs 600 Km 10 hs 700 Km 11 hs

En realidad no hacia falta tomar tantos puntos. Con 2 hubiera sido suficiente ( Porque es una recta ). Finalmente el gráfico posición en función del tiempo X (t) queda así :

Los otros 2 gráficos quedarían así

Por último me gustaría verificar que la pendiente del gráfico de posición en función del tiempo es la velocidad del movimiento. Veamos si verifica : Fijate bien cómo consideré los catetos opuesto y adyacente. Siempre el cateto opuesto tiene que ser el espacio recorrido ( ∆x ) y siempre el cateto adyacente tiene que ser el tiempo empleado ( ∆t ). Por ejemplo, si la recta estuviera yendo para abajo en vez de para arriba :

ASIMOV MRU - 67 -

Este sería el caso de una cosa que tiene velocidad negativa. ( = está yendo para atrás). Para la verificación de la pendiente hago esto:

VELOCIDAD MEDIA

Cuando uno viaja, no va todo el tiempo a la misma velocidad. Va más rápido, más despa-cio, frena, para a tomar mate y demás. Entonces no se puede hablar de " velocidad " porque V no es constante. Para tener una idea de la rapidez del movimiento, lo que se hace es trabajar con la VELOCIDAD MEDIA. Si un tipo va de un lugar a otro pero no viaja con velocidad constante, su velocidad media se calcula así: ¿ Para qué se calcula la velocidad media ? ¿ Qué significa calcular la velocidad media ? Rta: La velocidad media es la velocidad CONSTANTE que tendría que tener el móvil para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo. Vamos a un ejemplo:

UN SEÑOR VA DE BUENOS AIRES A MAR DEL PLATA ( D = 400 KM ). LOS 1ros 300 Km LOS RECORRE EN 3 hs Y MEDIA. DESPUÉS SE DETIENE A DESCANSAR MEDIA HORA Y POR ÚLTIMO RECORRE LOS ÚLTIMOS 100 Km EN 1 HORA. CALCULAR SU VELOCIDAD MEDIA. HACER LOS GRÁFICOS DE POSICIÓN Y VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO

Hagamos un dibujito

adyacente opuesto

pendiente =

8hs-11hs400Km-700Kmpend. =

bien. Dio hKm100pend. ←=

ASIMOV MRU - 68 -

La distancia total recorrida es 400 km. El tiempo total que tardó va a ser 3,5 hs + 0,5 hs + 1 h. Entonces su velocidad media va a ser:

Si el tipo fuera todo el tiempo a 80 km/h, llegaría a Mar del Plata en 5 hs. Podés ver también este significado mirando los gráficos de posición y velocidad. Ahora fijate el significado hacer los gráficos con la velocidad media:

ASIMOV MRU - 69 -

OTRO EJEMPLO DE VELOCIDAD MEDIA

a)- ¿ Qué tiempo tardó en recorrer los 100 Km ? b)- ¿ A qué velocidad constante tendría que haber ido para recorrer los 100 Km en el mismo tiempo ? c)– Dibujar los gráficos: x(t),v(t) y a(t). Hago un esquema de lo que plantea el problema:

Me fijo que tiempo tardó en recorrer cada tramo. Como V era ∆x / ∆t , entonces ∆t = ∆x /v . Entonces calculo el tiempo que tardó en cada tramo :

El tiempo total que va a tardar va a ser la suma de estos 3 tiempos. Es decir:

∆t total = ∆t1 + ∆t2 + ∆t3

∆t total = 3 hs. Por lo tanto tarda 3 hs en recorrer los 100 Km. b) La velocidad constante a la que tuvo que haber ido para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo es justamente la velocidad media.

h 1hKm 10

Km 10∆t 1 ==

h 1hKm30

Km 30∆t 2 ==

h 1hKm60

60Km∆t 3 ==

Un señor tiene que recorrer un camino que tiene 100 Km. Los prime-ros 10 Km los recorre a 10 Km/h. Después recorre 30 Km a 30 Km por hora. Y, por último, recorre los 60 Km finales a 60 Km/h.

ASIMOV MRU - 70 -

Entonces:

VM = 33,33 Km/h Velocidad media

c) Fijate como quedan los gráficos:

Lo que quiero que veas es cómo en el primer gráfico las rectas se van inclinando más y más hacia arriba a medida que aumenta la velocidad. Más aumenta la velocidad, más aumenta la pendiente. Esto no es casualidad. La pendiente de la recta en el gráfico x (t) es justamente la velocidad. Por eso, al aumentar la velocidad, aumenta la inclinación. Esto es algo importante que tenés que saber. Otra cosa: Fijate que la velocidad media NO ES el promedio de las velocidades. PROBLEMA PARA PENSAR

UN AUTO RECORRE LA MITAD DE UN CAMINO A 20 km/h Y LA OTRA MITAD A 40 km/h. ¿ CUÁL ES SU VELOCIDAD MEDIA ? Ayudita 1: En este problema la distancia total no es dato. En realidad esa distancia no se necesita para resolver el problema. Entonces, como no la conocés, llamala " d ". ( Cada mitad será d/2 ). Hacé las cuentas trabajando con letras y vas a ver que da. Ayudita 2 : La velocidad media no depende de cuál sea el valor de la distancia d. Si el problema no te sale trabajando con letras, dale un valor cualquiera a d. Por ejemplo, 100 km. Calculá el tiempo que tardó en recorrer cada mitad ( = 50 km ) y calculá la velocidad media.

hs 3Km 100 v

∆t∆xv mm =⇒=

EL AUTO RECORRE CADA MITAD DEL CAMINO A DISTINTA VELOCIDAD

ASIMOV MRU - 71 -

Si resolvés el problema te va a dar VMEDIA = 26,66 Km/h. Fijate como da el gráfico de velocidad hecho en forma cualitativa. Notá que ∆t1 no vale lo mismo que ∆t2. Fijate también que la velocidad media NO ES el promedio de las velocidades. Si pensás un poco, te vas a dar cuenta de que el área debajo de la raya gruesa va a dar el espacio total recorrido. Y esa área tendrá que ser igual a la suma de las áreas A1 y A2 . Pregunta: ¿ Por qué la velocidad media dio más cerca de 20 km/h que de 40 km/h ? Ultima cosa : ¿ serías capaz de hacer el gráfico de posición en función del tiempo ? Tomá, acá te dejo el lugar para que lo pongas. NOTA SOBRE MRU :

No tengo ejercicios de parcial para poner de Movimiento Rectilíneo y Uniforme. Lo que pasa es que MRU rara vez es tomado en los examenes. A veces aparece algún problema de encuentro o de velocidad media. Pero no mucho más que eso. Pero atención, que no tomen MRU no quiere decir que no lo tengas que saber. Al revés, tenés que saber bien MRU porque es la base de toooooodo lo que sigue. A veces la gente se queja de que no entiende MRUV. En realidad lo más probable es que el tipo no entienda MRUV porque no entendió MRU.

ASIMOV MRU - 72 -

Y otra cosa, es bueno saber MRU. Es uno de los temas de física que más se aplica en la vida diaria. Cuando ellos calculan el retroceso del glaciar Perito Moreno debido al calentamiento global, usan MRU. Cuándo calcularon la velocidad de la ola del Tsunami del 2004 en Sumatra, usaron MRU. Cuando vos calculás cuanto vas a tardar en llegar a Mar del Plata sabiendo que vas a 80 por hora, usás MRU. Usando MRU se pueden calcular velocidades de todo tipo. Tanto sea la rapidez con que se mueven las estrellas o la velocidad de crecimiento de las uñas. Vamos a un ejemplo concreto. Vos sabés que los continentes se mueven. Al principio estaban todos juntos y después se fueron separando a medida que pasaron los millones de años. Entonces contestame esto: La velocidad de deriva continental de América es de unos 5 cm por año. ¿ Cuánto se ha movido el continente americano en los últimos 100 millones de años ?

Sugerencia: Primero tirá un número a ojo y después hacé la cuenta.

FIN MRU

ENCUENTRO

ASIMOV ENCUENTRO - 74 -

ENCUENTRO ( Importante )

Encuentro es un tema que les gusta bastante. Suelen tomarlo en los exámenes y hay que saberlo bien. No es muy difícil. Lee con atención lo que sigue. ¿ CUÁNDO DOS COSAS SE ENCUENTRAN ?

Dos cosas se encuentran cuando pasan por el mismo lugar al mismo tiempo. Fijate que esto último lo subrayé. Es que para que 2 cosas se encuentren no alcanza con que pasen por el mismo lugar. Tienen que pasar por el mismo lugar al mismo tiempo. El otro dia vos fuiste a lo de tu primo. Yo también fui a lo de tu primo pero no te vi. ¿ Cómo puede ser que no te haya visto si estuvimos en el mismo lugar ? Rta: Bueno, seguramente no habremos estado en el mismo momento. Es decir, los dos estuvimos en el mismo lugar pero NO al mismo tiempo. No te compliques. Esto que parece fácil, ES fácil. Una situación de encuentro podría ser la siguiente: Esto muestra una ruta vista de arriba. ( Típico problema de encuentro ). SISTEMA DE REFERENCIA

En algún momento los dos autos se van a encontrar en alguna parte de la ruta. Lo que va a pasar ahí es esto:

Este asunto del encuentro lo pongo en forma física así:

encuentro. de Condición !IMPORTANTE¡ ←== eBA t para t xx

ASIMOV ENCUENTRO - 75 -

Esta condición se cumple en todos los casos y en todos los problemas de encuentro. Es decir, puede ser que los coches estén viajando en el mismo sentido o en sentido contrario. Puede ser que uno vaya frenando y el otro acelerando. Puede uno ir con MRUV y el otro con MRU. Lo que sea. La historia es siempre la misma y la condición será xA = xB para t = te.

COMO RESOLVER PROBLEMAS DE ENCUENTRO:

Los problemas de encuentro son problemas en los que una cosa sale del lugar A y otra sale del lugar B. Pueden salir al mismo tiempo o no. Pueden moverse en el mismo sentido o no. Pueden ir con MRU o no. Lo que siempre te van a preguntar es: dónde se encuentran los tipos y después de cuánto tiempo. Para resolver esto conviene seguir estos pasos. Prestá atención: 1- Hago un dibujo de lo que plantea el problema. En ese dibujo elijo un sistema de re-ferencia. Sobre este sistema marco las posiciones iniciales de los móviles y la veloci-dad de c/u de ellos con su signo. Si la velocidad va en el mismo sentido del eje x es (+). Si va al revés, es (-) . ( ojo ! ). 2- Escribo las ecuaciones horarias para c/u de los móviles. ( xA = ..., xB = ... ) 3- Planteo la condición de encuentro que dice que la posición de A debe ser igual a la de B para t = te. 4- Igualo las ecuaciones y despejo te . Reemplazando te en la ecuación de xA o de xB calculo la posición de encuentro. 5- Conviene hacer un gráfico Posición en función del tiempo para los 2 mó- viles en donde se vea la posición de encuentro y el tiempo de encuentro. Ejemplo: Problema de encuentro en MRU

Un auto y un colectivo están ubicados como muestra el dibujo y se mueven a 60 y 20 Km/h respectivamente. a)- Calcular cuánto tiempo tardan en encontrarse. b)- Hallar el lugar donde se encuentran. c)- Hacer el gráfico de x(t) para los 2 móviles y verificar los puntos a) y b).

Bueno, empiezo haciendo un dibujito que explique un poco el enunciado.

ASIMOV ENCUENTRO - 76 -

0hKm60

thKm600

⋅+=

a auto v el

x Para

Para calcular lo que me piden sigo los pasos que puse antes. O sea:

1 - Hago un esquema. Elijo un sistema de referencia. Marco las posiciones y las velocidades iniciales:

Puse el sistema de referencia en el lugar donde estaba el auto al principio. Las dos velocidades son ( +) porque van en el mismo sentido del eje x. 2 - Planteo las ecuaciones horarias. ( Ojo. Esto hay que revisarlo bien, porque si las ecuaciones están mal planteadas todo lo que sigue va a estar mal... ).

3 - Planteo la condición de encuentro que dice que la posición de los 2 tipos debe coincidir en el momento del encuentro:

xA = xB para t = te

Las ecuaciones de la posición para A y B eran:

× A

×B

Kmx = 0 + 60 t h

Kmx = 0,1 Km + 20 th

0hKm20

Km20Km1,0

⋅+=

a v

x Para el bondi

ASIMOV ENCUENTRO - 77 -

4 - Igualo las ecuaciones y despejo lo que me piden:

Reemplazando este te en cualquiera de las ecuaciones horarias tengo la posición de encuentro. Por ejemplo, si reemplazo en la de xA :

Para verificar puedo reemplazar te en la otra ecuación y ver si da lo mismo. A mi me gusta verificar, porque si me da bien ya me quedo tranquilo. A ver : Es decir que la respuesta al problema es que el coche alcanza al colectivo en 9 seg después de recorrer 150 m. De la misma manera podría haber dicho que el encuentro se produce a los 9 segundos y después que el colectivo recorrió 50 m. Esto es impor-tante. Cuando uno dice que el encuentro se produce a los 150 metros tiene que aclarar desde dónde están medidos esos 150 metros. La situación final vendría a ser esta: AUTO ENCUENTRO

) m 150 ( 15,0

600

ENCUENTRO DE POSICION

hs 0,0025 e

←==⇒

⋅+=

Kmx

ENCUENTRO DE TIEMPO

:3600 por ndomultiplica entonces, segundos, 3600 son hora Una

0025,0 40 1,0

1,0 40

1,0 20 60

20 1,0

←=

==⇒

=⋅⇒

=⋅−⋅⇒

⋅+=⋅

seg

hshKm

Kmt

Kmth

KmKmth

dió.Bien, m) 150( 15,0

201,0 hs 0,0025

←==⇒

⋅+=

Kmx

ASIMOV ENCUENTRO - 78 -

c) Otra manera de verificar que lo que uno hizo está bien es hacer el gráfico x(t) representando c/u de las ecuaciones horarias. Lo que hago es ir dándole valores a t y calcular los de equis. Fijate. Es sólo cuestión de hacer algunas cuentas:

Auto xA t | xB t Colectivo xA = 60.t 0 0 | 100m 0 xB = 0,1 + 20.t

50m 3 seg | 116m 3 seg 100m 6 seg | 133m 6 seg 150m 9 seg | 150m 9 seg

La representación de las 2 rectas queda así:

POSICION DE ENCUENTRO TIEMPO DE ENCUENTRO El lugar donde se cortan las rectas indica el tiempo de encuentro sobre el eje horizon-tal y la posición de encuentro sobre el eje vertical. Siguiendo estos pasos se pueden resolver todos los ejercicios de encuentro. En este problema los móviles iban para el mismo lado. Fijate que pasa si los móviles van en sentido contrario. Ejemplo :

ENCUENTRO DE MOVILES EN DISTINTO SENTIDO

UN AUTO A Y UN AUTO B SE ENCUENTRAN SEPARADOS UNA DISTAN-CIA DE 100 Km. A SE MUEVE CON UNA VELOCIDAD DE 40 Km/h Y B SE MUEVE CON VB = 60 Km/ h. LOS 2 AUTOS VAN UNO AL ENCUENTRO DEL OTRO. CALCULAR A QUE DISTANCIA DEL AUTO A SE PRODUCE EL EN-CUENTRO Y DESPUES DE CUANTO TIEMPO. TRAZAR EL GRAFICO POSI-CIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO INDICANDO EL ENCUENTRO

ASIMOV ENCUENTRO - 79 -

SOLUCIÓN

Hago un dibujito del asunto. Los móviles viajan en sentido contrario. Voy a tomar el sistema de referencia así poniendo el cero en el auto A.

Para el auto A VA = 40 Km /h y X0A = 0 . Para el auto B VB = - 60 Km /h y X0B = 100 Km. Fijate por favor que la velocidad del auto B es NEGATIVA porque va a revés del sistema de referencia. El sistema de referencia que tomé va así y la velocidad de B va así . ( Atento ). Ojo con este signo menos. Es la causa de frecuentes erro-res. Si uno se equivoca y le pone signo positivo a la velocidad de B, le está diciendo al problema que el auto B va así . O sea, está todo mal. Planteo las ecuaciones para cada uno de los autos : Auto A : XA = 0 + 40 Km/h . t

Auto B : XB = 100 Km - 60 Km/h.t La condición para que los 2 autos se encuentren es que tengan la misma posición en el mismo momento. Es decir: XA = XB para t = te Entonces igualo las ecuaciones. Me queda :

40 Km/h . te = 100 Km - 60 Km/h.te

100 Km/h . te = 100 Km

Reemplazando este tiempo de encuentro en cualquiera de las 2 ecuaciones saco la posición de encuentro.

VER

100 Km

B VA VB

CONDI CIÓN DE ENCUENTRO

te = 1 h TIEMPO DE ENCUENTRO

ASIMOV ENCUENTRO - 80 -

XA = 0 + 40 Km/h . te XA = 40 Km/ h . 1 h

Respuesta: Los autos se encuentran después de 1 hora y a 40 km de la posición inicial del auto A. Hagamos el gráfico de posición en función del tiempo para los 2 autos : Fijate que las rectas se cortan. En el punto donde se cortan, tengo el encuentro. Una cosa: supongamos que yo me hubiera equivocado y hubiera puesto positiva la velocidad de B... ¿ qué hubiera pasado ? ¿ Dónde se encontrarían los móviles en ese caso ? Ojo con lo que vas a decir. No contestes cualquier cosa. Esto es física. En física no hay " yo creo que ", " me parece que ", " me da la impresión de que ". En física las cosas son blancas o negras. O sea, planteá las ecuaciones, hacé el análisis y fijate lo que pasa . Otra cosa: ¿ que hubiera pasado si el auto A no salía del origen de coordenadas ? Veamos como cambia el asunto resolviendo el mismo problema anterior pero cambiando la posición inicial del auto A Entonces supongamos que las velocidades son las mismas que antes pero la posición inicial de A ahora es 20 km. Entonces lo que tengo es esto:

Xe = 40 Km POSICION DE ENCUENTRO

GRAFICO DEL ENCUENTRO

AHORA LA POSICION INICIAL DE A NO ES CERO

ASIMOV ENCUENTRO - 81 -

NUEVO PROBLEMA DE ENCUENTRO

Entonces las ecuaciones quedan así: Si hacés las cuentas te va a dar: Y el gráfico va a quedar así: IMPORTANTE: PROBLEMAS DE ENCUENTRO DONDE LOS MOVILES NO SALEN AL MISMO TIEMPO.

Puede pasar que en un problema de encuentro uno de los tipos salga antes que el otro o después que el otro. Suponé por ejemplo que un auto A que va a 60 Km/ h sale 3 seg antes que el auto B. En ese caso lo que hago es calcular qué distancia recorrió el auto en esos 3 seg y plantear un nuevo problema de encuentro. Es decir, hago esto:

GRAFICO DEL ENCUENTRO

ASIMOV ENCUENTRO - 82 -

Este método de resolver problemas de encuentro para móviles que no salen en el mis-mo momento sirve para todos los casos de encuentro. Se puede aplicar SIEMPRE. Los objetos pueden estar moviéndose en el mismo sentido, en sentido contrario, con MRU, con MRUV, caída libre, tiro vertical. Lo que sea. Ahora bien ( y a esto apuntaba yo ): Hay OTRO método para resolver este tipo de problemas. Este método es el que generalmente usan ellos y por eso te lo explico. Sin embargo, este método es más difícil de usar y tiene sus complicaciones. La cosa es así: En realidad las ecuaciones horarias están escritas en función de “t me-nos t cero”. ( t – t0 ). Sería X = X0 + V x ( t – t0 ). De manera que si uno de los móviles sale 3 seg antes que el otro, lo único que hay que hacer es reemplazar “ te cero ” por 3 segundos y listo. Hasta acá todo muy lindo. Pero lindo, nada, porque el asunto es el siguiente:

1 - Las DOS ecuaciones horarias tienen el término ( t – t0 )... ¿ En cuál de las 2 tengo que reemplazar ? ( ¿ O reemplazo en las 2 ? ) 2 – Si el móvil salió 3 segundos ANTES... ¿ tecero vale 3 seg o -3 seg ? ( ¿ Y si salió 3 seg después ? ) 3 – Si uno de los objetos va con MRUV ( acelera ), entonces el paréntesis ( t – t0 ) tiene que ir al 2 . Eso súper-complica las cosas porque te va a quedar el cuadrado de un binomio.... ¿ Y ahora ? ¿ Quién resuelve las infernales cuentas que quedan ? Resumiendo: El método de reemplazar t0 = 3 seg en ( t – t0 ) sirve perfectamente. Como usar, se puede. El problema es que la posibilidad de equivocarse es muy grande por el asunto de los signos y de que uno se puede confundir de ecuación al reemplazar. Entonces te recomiendo que NO USES el método de poner t – t0. Usa el método que te expliqué yo que es más fácil y más entendible. Creo que fui claro, no ? Fin Encuentro

- 83 -

MRUV

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE

VARIADO

ASIMOV MRUV

- 84 -

MRUV - MOVIMIENTO RECTLÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Suponé un coche que está quieto y arranca. Cada vez se mueve más rápido. Primero se mueve a 10 por hora, después a 20 por hora, después a 30 por hora y así siguiendo. Su velocidad va cambiando (varía). Esto vendría a ser un movimiento variado. Entonces, Pregunta: ¿ Cuándo tengo un movimiento variado ? Rta: cuando la velocidad cambia. ( O sea, varía ). Ahora, ellos dicen que un movimiento es UNIFORMEMENTE variado si la velocidad cambia lo mismo en cada segundo que pasa. Mirá el dibujito :

Cuando el tipo ve al monstruo se pone a correr. Después de 1 segundo su velocidad es de 10 Km/h y después de 2 segundos es de 20 Km/h. Su velocidad está aumentando, de manera uniforme, a razón de 10 Km/h por cada segundo que pasa. Digo entonces que el movimiento del tipo es uniformemente variado aumentando ∆v = 10 Km/h en cada ∆t = 1 segundo. Atención, aclaro: en física, la palabra uniforme significa "Siempre igual, siempre lo mismo, siempre de la misma manera ". ACELERACIÓN ( Atento )

El concepto de aceleración es muy importante. Es la base para poder entender bien -bien MRUV y también otras cosas como caída libre y tiro vertical. Entender qué es la aceleración no es difícil. Ya tenés una idea del asunto porque la palabra aceleración también se usa en la vida diaria. De todas maneras lee con atención lo que sigue y lo vas a entender mejor. Fijate. En el ejemplo del monstruo malvado que asusta al señor, el tipo pasa de 0 á 10 Km/h en 1 seg. Pero podría haber pasado de 0 á 10 Km/h en un año. En ese caso estaría acelerando más despacio. Digo entonces que la aceleración es la rapidez con que está cambiando la velocidad.

ASIMOV MRUV

- 85 -

Más rápido aumenta ( o disminuye ) la velocidad, mayor es la aceleración. Digamos que la aceleración vendría a ser una medida de la "brusquedad" del cambio de velocidad. Si lo pensás un rato, vas a llegar a la conclusión de que para tener algo que me indique qué tan rápido está cambiando la velocidad, tengo que dividir ese cambio de velocidad

∆v por el tiempo ∆t que tardó en producirse. Es decir:

Suponé un auto que tiene una velocidad V0 en t0 y otra velocidad Vf al tiempo tf :

Para sacar la aceleración hago : Una cosa. Fijate por favor que cuando en física se habla de aceleración, hablamos de aumentar o disminuir la velocidad. Lo que importa es que la velocidad CAMBIE. ( Varíe ). Para la física, un auto que está frenando tiene aceleración. Atención porque en la vida diaria no se usa así la palabra aceleración. Por eso algunos chicos se confun-den y dicen: Pará, pará, hermano. ¿ Cómo puede estar acelerando un auto que va cada vez más despacio ?! Vamos a un ejemplo. EJEMPLO DE MRUV

Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado momento una velocidad de 30 m/s y 10 segundos después una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleración.

Para calcular lo que me piden aplico la definición anterior : Entonces :

a = 10 m/seg

∆t∆va = Definición de

aceleración

ttvv

a 0f

−−

= Así se calcula la aceleración

⋅−

=seg 10

m/s 30m/s 40a

f 0

v vat t−

= ⋅−

ASIMOV MRUV

- 86 -

Fijate que el resultado dio en m/s

2. Estas son las unidades de la aceleración: " metro dividido segundo dividido segundo ". Siempre se suelen poner las unidades de la aceleración en m/s

2. Pero también se puede usar cualquier otra unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado ( como Km/h

2 ). Ahora, pregunta: ¿ Qué significa esto de " 1 m/s

2 " ? Rta: Bueno, 1 m/s

2 lo puedo escribir como: Esto de " 1 m/seg dividido 1 segundo " se lee así: La aceleración de este coche es tal que su velocidad aumenta 1 metro por segundo, en cada segundo que pasa ( Atención ) Un esquema de la situación sería éste:

De acá quiero que veas algo importante: Al tener una idea de lo que es la aceleración puedo decir esto ( Importante ) : La característica del movimiento uniformemente variado es justamente que tiene aceleración constante. Otra manera de decir lo mismo ( y esto se ve en el dibujito ) es decir que en el MRUV la velocidad aumenta todo el tiempo ( o disminuye todo el tiempo ). Y que ese aumento ( o disminución ) de velocidad es LINEAL CON EL TIEMPO.

Fin del ejemplo

SIGNO DE LA ACELERACIÓN:

La aceleración que tiene un objeto puede Ser (+) o (-). Esto depende de 2 cosas:

1 – De si el tipo se está moviendo cada vez más rápido o cada vez más despacio. 2 – De si se está moviendo en el mismo sentido del eje x o al revés. ( Ojaldre ! )

La regla para saber el signo de la aceleración es esta:

}}ssm

11 Variación de velocidad.

Intervalo de tiempo.

LA ACELERACIÓN ES POSITIVA CUANDO EL VECTOR ACELE- RACIÓN APUNTA EN EL MISMO SENTIDO QUE EL EJE EQUIS

ASIMOV MRUV

- 87 -

Si el vector aceleración apunta al revés del eje equis, va a ser negativa. La cosa es que esto nunca se entiende bien y la gente suele decir: Bueno, no es tan difícil. Si el tipo va cada vez más rápido, su aceleración es positiva y si va cada vez más despacio, su aceleración es negativa. Hummmmm.... ¡ Cuidado ! Esto vale solamente si el tipo se mueve en el sentido positivo del eje x. Si el tipo va para el otro lado, los signos son exactamente al revés. No lo tomes a mal. Esto de los signos no lo inventé yo. Todo el asunto sale de reemplazar los valores de las velocidades en la ecuación:

MATEMÁTICA: ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA

En matemática, una parábola se representaba por la siguiente ecuación:

Por ejemplo, una parábola podría ser : Y = 4 x2 + 2x - 8. Dándole valores a x voy obteniendo los valores de Y. Así puedo construir una tabla. Representando estos valores en un par de ejes x-y voy obteniendo los puntos de la parábola. Eso puede dar una cosa así: La parábola puede dar más arriba: , más abajo ,más a la derecha:

, más a la izquierda: , más abierta: más cerrada:

Puede incluso dar para a bajo:

Una parábola puede dar cualquier cosa, dependiendo de los valores de a, b y c. Pero siempre tendrá forma de parábola. Atento con esto ! Las parábolas aparecen mucho en los problemas de MRUV. Es un poco largo de explicar. Pero en realidad, resolver un problema de MRUV es resolver la ecuación de una parábola. ( Una ecuación cuadrá-tica, en realidad )

PARABOLA. UNA DE ECUACION cb.xa.xy 2 ←++=

⋅−−

=0f

ttvva

ASIMOV MRUV

- 88 -

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=←=

086 ecuación 4 la de raíces las Son 22

x -xxx

Solución de una ecuación cuadrática

Se supone que esto también tuviste que haberlo visto en matemática. Por las dudas lo pongo, lo repasás un minuto y te quedás tranquilo. Una ecuación cuadrática es la ecuación de una parábola igualada a CERO. O sea, una ecuación del tipo: a X2 + b X + C = 0 Por ejemplo : X2 - 6 X + 8 = 0. Lo que uno siempre busca son los valores de equis tales que reemplazados en X2 - 6 X + 8 hagan que todo el choclo dé 0 ( Cero ). Esos valores se llaman soluciones de la ecuación o raíces ecuación. En este caso, esos valores son 2 y 4.

Una ecuación cuadrática puede tener 2 soluciones ( como en este caso ); una sola solución ( las dos raíces son iguales ), o ninguna solución ( raíces imaginarias ). Para calcular las raíces de la ecuación cuadrática se usa la siguiente fórmula: Para el ejemplo que puse que era X2 - 6 X + 8 = 0 tengo: Nota: Algunas calculadoras tienen ya la fórmula para resolver la ecuación cuadrática metida adentro. Vos ponés los valores de a, b y c. Ella te hace la cuenta y te da los valores de las raíces X1 y X2. ( Ta güeno )

0 ec la de y

soluciones las obtengo esto Con 2

2,1 =++←⋅

⋅⋅−±−= c bxaxxx

acabbx

26 ; 42

814)6()6(2

:Entonces

0861

2,1

=−

==+

⋅⋅⋅−−±−−

=⋅

⋅⋅−±−=

=+−

acabbx

xxcba

OJO

ECUACION CUADRATICA

ASIMOV MRUV

- 89 -

ECUACIONES HORARIAS Y GRÁFICOS EN EL MRUV ( IMPORTANTE )

Las ecuaciones horarias son siempre las de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Quiero que veas cómo se representa cada ecuación en el MRUV. Voy a empezar por la 3ra ecuación que es más fácil de entender. 3ª Ecuación horaria ( a = f(t) )

La característica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la aceleración es constante. En el MRUV la aceleración no cambia. Es siempre igual. Vale siempre lo mismo. Esto puesto en forma matemática sería: El gráfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal. O sea, algo así:

2ª Ecuación horaria ( V = f(t) )

Otra manera de decir que la aceleración es constante es decir que la velocidad aumenta ( o disminuye ) linealmente con el tiempo. Esto sale de la definición de aceleración. Fijate. Era: Tonces, si despejo : Vf - V0 = a ( t – t 0 )

Vf = V0 + a ( t – t 0 ) Casi siempre tcero vale cero. Entonces la ecuación de la velocidad queda así:

Vf = V0 + a . t Esto es la ecuación de una recta. Tiene la forma y = eme equis + be. ( Y = m x + b). Acá el tiempo cumple la función de la variable equis. La representación es así:

horaria Ecuación 3 ra ← a = Cte

2da ECUACION HORARIA

⋅−−

=0f

ttvva

ASIMOV MRUV

- 90 -

Por ejemplo, una 2ª ecuación horaria típica podría ser: Vf = 10 sm + 2

sm t

El tipo que se mueve siguiendo la ecuación Vf = 10 m/s + 2 m/s . t salió con una velocidad inicial de 10 m/s y tiene una aceleración de 2 m /s 2. Esto lo vas a entender mejor cuando veas algún ejemplo hecho con números y cuando empieces a resolver problemas. ( Como siempre ). Ahora seguí. 1ra Ecuación horaria ( x = f(t) )

Esta es la ecuación importante y es la que hay que saber bien. La ecuación de la posición en función del tiempo para el movimiento uniformemente variado es ésta:

X = X0 + V0 t + ½ a t 2 ← 1ra ECUACION HORARIA. La deducción de esta ecuación es un poco larga. No la voy a poner acá. Puede ser que ellos hagan la demostración en el pizarrón. No sé. De todas maneras en los libros está. Lo que sí quiero que veas es que es la ecuación de una parábola. Fijate: VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO

Cada término de la ecuación X = X0 + V0 t + ½ a t 2 tiene su equivalente en la expresión Y = a x2 + b x + C. La representación de la posición en función del tiempo es esta: Este dibujito lindo quiere decir muchas cosas. Ellos suelen decirlo así : Este gráfico representa la variación de la posición en función del tiempo para un movimiento uniformemente variado. Este dibujito lindo es la representación gráfica de la función X = x0 + V0 t + ½ a t 2 . La ecuación nos da nada más ni nada menos que la posición del móvil para cualquier instante t. Esta función es una ecuación cuadrática. ( t está al cuadrado ). Esto es importante porque me da una característica fundamental del movimiento uniformemente variado. Esa característica es esta:

2 x. a xb c y

t. a .tvxx 200 2

+⋅+=

++=

ASIMOV MRUV

- 91 -

TABLA CON LOS VALO- RES DE LAS POSICIO- NES Y LOS TIEMPOS.

" EN EL MRUV LA POSICIÓN VARÍA CON EL CUADRADO DEL TIEMPO. X = f ( t 2 ) . EQUIS DEPENDE DE t CUADRADO "

Te decía entonces que la representación gráfica de X = X0 + V0 t + ½ a t 2 es una parábola. Esta parábola puede dar para la derecha, para la izquierda, muy cerrada, muy abierta.... Eso va a depender de los valores de equis cero, de ve cero y de a. Ahora, el hecho de que la parábola vaya para arriba o para abajo depende ÚNICA-

MENTE del signo de la aceleración. Si a es ( + ), la parábola irá para arriba ( ∪ ). Si a es ( - ) , la parábola irá para abajo ( ∩ ). Esto podés acordártelo de la siguiente manera: a = + a = - Conclusión: Hay que ser positivo en la vida ! No. Conclusión: mirá el siguiente ejemplo a ver si lo entendés mejor: Ejemplo. Supongamos que tengo la siguiente ecuación horaria para algo que se mueve con MRUV : Este sería el caso de algo que salió de la posición inicial 4 m con una velocidad de 1 m/s y una aceleración de 4 m/ s2. ( Ojo, es 4, no 2. Pensalo ). Para saber cómo es el gráfico le voy dando valores a t y voy sacando los valores de x. Es decir, voy haciendo las cuentas y voy armando una tablita.

x [m] t [seg] 4 0 7 1 14 2

Ahora represento esto y me da una cosa así:

La parábola positiva está contenta.

La parábola negativa está triste.

22 .t

sm2.t

sm 1m 4X ++=

ASIMOV MRUV

- 92 -

Este gráfico es la representación de la 1ra ecuación horaria. Me gustaría que notaras dos cosas:

1) - La parábola va para arriba ( ∪ ) porque a es positiva.

2) - Aunque uno vea sólo un arco así esto es una parábola. La parte que falta estaría a la izquierda y no la dibujé. La podría representar si le diera valores negativos a t ( como –1 seg, -2 seg, etc ). En ese caso el asunto daría así:

Fin Explicación Ec. Horarias UN EJEMPLO DE MRUV

Una hormiga picadorus sale de la posición X0 = 0 con velocidad inicial cero y comienza a moverse con aceleración a = 2 m/s2 .

a) - Escribir las ecuaciones horarias. b) - Hacer los gráficos x(t), v(t) y a(t).

Voy a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia:

Las ecuaciones horarias para una cosa que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente variado son: ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL. x0 y v0 valen cero. Reemplazando por los otros datos el asunto queda así:

Ahora, dando valores a t voy sacando los valores de equis y de v. Hago esta tabla:

sm2

hormiga la para sm20

horarias Ecuaciones

sm2 00

222

ctea

ttx

←⋅+=

⋅+⋅+=

ctea t av v

ta tvx x

221

=⋅+=

⋅+⋅+=

ASIMOV MRUV

- 93 -

t ta

221

avvvv

tatvxx

−=⇒⋅+=

⋅+⋅+=

X t V t a t 0 0 0 0 2 m/s2 0

1 m 1 s 2 m/s 1 s 2 m/s2 1 s 4 m 2 s 4 m/s 2 s 2 m/s2 2 s

Teniendo la tabla puedo representar las ecuaciones horarias.

Fin del Ejemplo

LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA ( leer )

Hay una fórmula más que se usa a veces para resolver los problemas. La suelen llamar ecuación complementaria. La fórmula es ésta: Vf

2 – V0 2 = 2 a ( Xf – X0 )

Esta ecuación vendría a ser una mezcla entre la 1ra y la 2da ecuación horaria. La deducción de esta ecuación es un poco larga. Pero te puedo explicar de dónde sale. Seguime. Escribo las 2 primeras ecuaciones horarias. Despejo t de la 2da y lo reemplazo en la 1ra.

REEMPLAZO

Si vos te tomás el trabajex

de reemplazar el choclazo y de hacer todos los pasos que siguen, termina quedándote la famosa ecuación complementaria. Sobre esta ecuación me gustaría que veas algunas cositas.

Primero: Las ecuaciones horarias se llaman así porque en ellas aparece el tiempo. ( El tiempo = la hora ). La ecuación complementaria NO es una ecuación horaria porque en ella no aparece el tiempo.

ECUACION COMPLEMENTARIA

ASIMOV MRUV

- 94 -

Segundo: Esta ecuación no es una nueva fórmula. Es mezcla de las otras dos ecuaciones

Tercero: Nunca es imprescindible usar la ecuación complementaria para resolver un problema. Todo problema de MRUV tiene que poder resolverse usando solamente la 1ª y la 2ª ecuación horaria. Lo que tiene de bueno la expresión Vf

2 – V0 2 = 2 a ( Xf – X0 ) es

que permite hallar lo que a uno le piden sin calcular el tiempo. Es decir, facilita las cuentas cuando uno tiene que resolver un problema en donde el tiempo no es dato. Resumiendo: La ecuación complementaria ahorra cuentas. Eso es todo.

Ejemplo: En el problema anterior, calcular la velocidad que tiene la hormiga picadorus después de recorrer 1 m.

Usando la ecuación complementaria:

Lo hago ahora sin usar la ecuación complementaria: Escribo las ecuaciones horarias:

VELOCIDAD FINAL

( )0f20

2f xx . a 2v v −=−

( )

sm2V

0m 1 .sm2 . 20 v

22f

=⇒

−=−⇒

(verifica) sm2 v

vms

sm1m

sm2v

sm21m :

sm2vpor t doReemplazan

22f

=⇒

⋅⋅=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

222

221

tsm2t001m

ta tvx x:era horaria . ec 1ª La

m 1recorrer en picadorus la tardóque Tiempo

sm2v t

avv

t . av v:horaria ecuación 2ª la De

⋅⋅+⋅+=⇒

⋅+⋅+=

←=⇒

−=⇒

ASIMOV MRUV

- 95 -

VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL MRUV ( leer )

En el movimiento uniformemente variado la velocidad va cambiando todo el tiempo. La velocidad instantánea es la que tiene el tipo justo en un momento determinado. ( = en ese instante ). El velocímetro de los autos va marcando todo el tiempo la velocidad instantánea.

Ahora quiero que le prestes atención a una cuestión importante. Suponé que agarro el gráfico de posición en función del tiempo y trazo la tangente a la parábola en algún lugar. La pendiente de esta recta tangente me va a dar la velocidad instantánea en ese momento. Fijate: Es decir, yo tengo la parábola. Ahora lo que hago es agarrar una regla y trazar la tangen-te en algún punto determinado de la curva ( por ejemplo en t1 = 3 seg ). Esa recta va a formar un ángulo alfa y va a tener una determinada inclinación. O sea, una determinada pendiente. ( Pendiente = inclinación ). Midiendo esa pendiente tengo la velocidad instan-tánea en ese momento ( a los 3 segundos ). Es un poco largo de explicar porqué esto es así, pero es así. Se supone que alguna vez tendrían que habértelo explicado en matemática. ( Derivada y todo eso).

De este asunto puedo sacar como conclusión que cuanto mayor sea la inclinación de la recta tangente al gráfico de posición, mayor será la velocidad del tipo en ese momento. Por favor prestale atención a esta última frase y mirá el siguiente dibujito:

VELOCIDAD INSTANTANEA

Velocímetro

ASIMOV MRUV

- 96 -

La idea es que entiendas esto:

En el gráfico la pendiente de la recta para t = 2 seg es mayor que la pendiente de la recta para t = 1 seg. Esto me dice la que la velocidad a los 2 seg es mayor que la velocidad en 1 seg . Esto es razonable. Este gráfico representa a un tipo que se mueve cada vez más rápido. Todo bien. Ahora, pregunto:... ¿ Cuál será la velocidad del tipo para t = 0 ? ( ojo ) Rta: Bueno, ahí la recta tangente es horizontal ( ). Y la pendiente de una recta horizontal es CERO. Entonces la velocidad tendrá que ser cero .

ANÁLISIS DE LA PENDIENTE y DEL ÁREA DEL GRÁFICO v = v(t)

Supongamos que tengo un gráfico cualquiera de velocidad en función del tiempo. Por ejemplo éste:

Este gráfico indica que lo que se está moviendo salió con una velocidad inicial de 4 m/s y está aumentando su velocidad en 2 m/s, por cada segundo que pasa. Pensemos: ¿ Qué obtengo si calculo la pendiente de la recta del gráfico ? Rta: Obtengo la aceleración. Esta aceleración sale de mirar el siguiente dibujito:

ASIMOV MRUV

- 97 -

En este caso el opuesto es ∆v ( la variación de velocidad ), y el adyacente es ∆t ( el intervalo de tiempo ). De manera que, hacer la cuenta opuesto sobre adyacente es Hacer la cuenta delta V sobre delta t ( ∆v / ∆t ). Y eso es justamente la aceleración ! En este caso en especial daría así:

¿ Y si calculo el área que está bajo la recta que obtengo ? Veamos: A ver si me seguís: El área del coso así va a ser la de este + la de este .

Ahora en el ejemplo que puse antes, el área va a ser:

op ∆v 8m s - 4 m sPend = = =ady ∆t 2 s - 0 s

m Pend = 2 Aceleracións

→ ←

Recordar recorrido Espacio

es Esto

tav

←=⇒

∆=

←⋅+⋅=⇒

∆⋅+⋅=

⋅+⋅=+=

⋅=∆

x-xtatvA

vttvhbhbAAA

recorrido Espacio 12

← =

⋅ +

⋅

) 4 s 8

s 2 4 A A

⇒

− = + =

s m m ( seg 2 m seg A

ASIMOV MRUV

- 98 -

LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN SON VECTORES

La velocidad y la aceleración son vectores. ¿ Qué quiere decir esto ? Rta: Quiere decir que puedo representar la velocidad y la aceleración por una flecha. Si por ejemplo, la velocidad va así , la flecha se pone apuntando así . La situación del dibujito es el caso de un tipo que se mueve con velocidad constante. Fijate ahora estas otras 2 posibilidades: Lo que quiero que veas es que si el auto va para la derecha, la velocidad siempre irá para la derecha, pero la aceleración NO. ( Es decir, puede que sí, puede que no. Esta cuestión es importante por lo siguiente: si la velocidad que tiene una cosa va en el mismo sentido que el eje x, esa velocidad será ( + ) . Si va al revés será ( - ) . Lo mismo pasa con la aceleración ( y acá viene el asunto ). Fijate :

Ejemplo: Un auto que viene con una velocidad de 54 Km/h frena durante 3 seg con una aceleración de 2m/s 2 .

¿ Qué distancia recorrió en ese intervalo ?.

Hago un esquema de lo que pasa. El auto viene a 54 por hora y empieza a frenar.

ASIMOV MRUV

- 99 -

54 km por hora son 15 m/seg. ( Dividí por 3,6 ). El dibujito sería este:

Ahora tomo un sistema de referencia. Lo tomo positivo para allá . Planteo las ecuaciones horarias. Me queda esto:

En la 1ª ec. horaria reemplazo t por 3 seg y calculo la posición final:

Conclusión: En los tres segundos el tipo recorre 36 metros. Si yo me hubiera equivocado en el signo de la aceleración y la hubiera puesto positiva, la cosa habría quedado así:

Lo mismo hubiera pasado si hubiera calculado la velocidad final después de los 3 seg:

.2 -a

horarias. Ecuaciones t 215v

2 150x

222

ctesm

tsmt

←⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅+=

( )

final Posición 36

3 1 3 15

ver

←=⇒

⋅−⋅=

segsmseg

smx

Xf = 54 m ( Nada que ver )

( ) 2f 3seg

sm 1 seg 3

sm 15x ⋅+⋅=

! HORROR sm 21 v

seg 3sm2

sm15v

←=⇒

⋅+=

ASIMOV MRUV

- 100 -

Esto no puede ser. La velocidad final tiene que dar menor que la inicial ! ( El tipo está frenando ).

Por eso: ojo con el signo de la aceleración. Si lo ponés mal, toooooodo el problema da mal.

CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE MRUV

Lo 1ro que hay que hacer es un dibujito de lo que el problema plantea y tomar un sistema de referencia. Una vez que uno tomó el sistema de referencia, escribe las ecuaciones horarias X = X0 + V0 t + ½ a t 2 y Vf = V0 + a.t. En las ecuaciones uno reemplaza por los datos y el problema tiene que salir. Si el tiempo no es dato y querés ahorrarte cuentas, podés usar la ecuación complementaria Vf

2 – V02 = 2 a ( Xf – X0 )

Por favor acordate de una cosa :

Aclaro esto porque a veces vos venís con MILES de ecuaciones de MRUV escritas en tu hoja de formulas. Está MAL. ¿ Miles de ecuaciones ? ¿ Por qué miles ? Las ecuaciones que permiten resolver un problema de MRUV son 2. O sea, te estás complicando. Repito: Hay sólo DOS las ecuaciones que permiten resolver cualquier problema de MRUV. En algún caso tal vez pueda convenir usar la ecuación complementaria si el tiempo no es dato. Pero, insisto, eso se hace para ahorrarse cuentas, nada más. Usando solamente la 1ª y la 2ª ecuación horaria el problema TIENE QUE SALIR. Tal vez sea más largo, pero usando solo 2 ecuaciones el problema tiene que salir.

Fin teoría de MRUV

Todo problema de MRUV tiene que poder resolverse usando la 1ra y la 2da ecuación horaria. NADA MAS. Puede ser que haya que usar primero una ecuación y después la otra. Puede ser que haya que combinar las ecuaciones. Puede ser cualquier cosa, pero todo problema tiene que salir de ahí.

ASIMOV MRUV

- 101 -

MRUV – EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES

PROBLEMA 1 Un móvil se desplaza en una trayectoria recta según el gráfico de la figura ¿ Cuál de los siguientes enunciados es correcto ?

La velocidad es cero en t1 y entre t2 y t3 La aceleración es positiva entre 0 y t2, y nula entre t3 y t4 La aceleración es negativa entre 0 y t1 y entre t3 y t4 La velocidad es positiva entre 0 y t2 y cero entre t3 y t4 La velocidad es positiva entre 0 y t2, y entre t2 y t3 La aceleración es negativa entre t1 y t2 y nula entre t3 y t4

SOLUCION: La velocidad es la pendiente del gráfico de posición en función del tiempo. Es positiva si va así y negativa si va así:

La aceleración es positiva si la parábola va a para arriba ( sonrie ).

Es negativa si la parábola va para abajo ( Está triste ) Fijate que al principio hasta llegar a t1 la posición crece cada vez más rápido con el tiempo. Es decir que el auto está yendo cada vez más rápido. Ahí la aceleración es positiva. La parábola está yendo para arriba. A partir de t1 la parábola es negativa. Está yendo para abajo hasta llegar a t2. Ahí la aceleración es negativa. La recta t2- t3 me dice que el auto está quieto entre t2 y t3. La recta t3- t4 me dice que el auto está yendo para atrás entre t3 y t4. ( Velocidad negativa, aceleracón es cero ).

Entonces, de todas esas afirmaciones, la única que es correcta es la última:

La aceleración es negativa entre t1 y t2 y nula entre t3 y t4.

PROBLEMA 2

Un montacargas parte del primer piso ( 4 m de altura ) acelerando durante 1 segundo con a = 2 m/s2. Luego continúa con velocidad constante durante 7 segundos y por último frena hasta detenerse en un tramo de 1 m. Confeccionar los gráficos de a = a (t); v = v (t); x = x (t) de este movimiento indicando los puntos característicos. Uso las ecuaciones horarias del MRU y el MRUV, porque el montacargas por momentos se mueve con velocidad constante y en otros acelera o desacelera.

t1 t2 t3 t4

ASIMOV MRUV

- 102 -

Las ecuaciones son: 22

10 attvyy o ++= (1)

atvv += 0 (2) y vtyy += 0 (3) Inicialmente el ascensor está en y0 = 4 m y se mueve con MRUV. Usando la ecuación (1) calculo la posición para t = 1 segundo. Resulta: y1 = 5 m. Después pasa a tener velocidad constante. Esa velocidad la calculo con la ecuación (2), teniendo en cuenta que sale con v0= 0. Me da: v = 2 m/s. Con este dato calculo la posición luego de 7 s (el tiempo que se mueve con MRU). Uso la ec (3). Me da: y2 = 19 m. En el último tramo frena, y lo que hay que hallar es la aceleración. Uso: xavv f ∆=− 22

02 .

Reemplazando con los datos, tenemos: a = - 2 m/s2. Sólo queda calcular el tiempo que tarda en frenar, utilizando (2). El tiempo es: t = 1 s. Con todos los datos que tenemos puedo hacer los tres gráficos. Quedan así:

PROBLEMA 3 El gráfico x = x(t) de la figura representa las ecuaciones horarias de dos móviles (1) y (2) que se mueven en la misma dirección. Hallar la veloc. del móvil (1) y la aceleración del móvil (2)

ASIMOV MRUV

- 103 -

El móvil 1 se mueve con MRU, por eso el gráfico de x(t) es una recta. Entonces,

para calcular la velocidad usamos: txv∆∆

=1 . En este caso, el móvil parte de los 500

m y llega a los 200 m, y tarda 20 s en hacerlo. Da: v1 = -15 m/s . Para el móvil 2, que se mueve con MRUV, utilizamos: atvv += 0 . El móvil parte del reposo, de los 0 m, llega a los 200 m y tarda 20 s en hacer el recorrido. Obtenemos: a2 = 1 m/s2 .

PROBLEMA 4

Eligiendo un sistema de referencia adecuado (origen y sentido positivo), indicar cuál de las afirmaciones es correcta.

a) En un movimiento uniformemente variado la velocidad nunca puede ser cero. b) Siempre que la velocidad sea positiva la aceleración debe ser negativa c) Siempre que la aceleración sea positiva aumenta el módulo de la velocidad d) En un movimiento rectilíneo y uniformemente desacelerado (el móvil está frenando), la aceleración siempre es negativa e) ninguna de las respuestas anteriores es correcta

a) FALSO. En el “tiro vertical”, por ejemplo, la velocidad es nula en el punto más alto de la trayectoria. b) FALSO. Depende del sistema de referencia: la velocidad es positiva si el móvil se dirige en sentido positivo, pero al tiempo que tiene velocidad positiva puede estar acelerando, y en ese caso la aceleración también es positiva. c) FALSO. También depende del sistema de referencia. Por ejemplo, si en un tiro vertical tomamos la aceleración (hacia abajo) como positiva, el módulo de la velocidad se reduce a medida que el móvil asciende. d) FALSO. Al igual que en los casos anteriores, depende del sistema de referencia. Entonces, la respuesta correcta es la e)

PROBLEMA 5

Las curvas trazadas en el gráfico de la figura corresponden a dos móviles que se desplazan con movimiento uniformemente variado. Entonces:

a) En el instante t1 los móviles tienen la misma velocidad. b) Ambos móviles se detienen en el mismo instante c) Inicialmente los móviles se desplazan en sentido contrario

ASIMOV MRUV

- 104 -

d) Los móviles se desplazan siempre en el mismo sentido e) Las aceleraciones de ambos móviles siempre tienen el mismo signo. f) Ambos móviles no se encuentran nunca

Recordemos algunas cosas: la velocidad en un gráfico de x(t) está relacionada con la pendiente de la recta tangente al gráfico. Si la pendiente es positiva, la velocidad también lo es, y sucede al revés si la pendiente es negativa. Si la pendiente es horizontal, v es nula. Si en un gráfico x(t) las curvas de dos móviles se cruzan, es porque los móviles se encuentran. Finalmente, si la curva de x(t) es curva hacia arriba (forma de U) la aceleración es positiva. Si no, a es negativa. Ahora veamos las afirmaciones: a) FALSO. Fijate que en t1 las pendientes de las tangentes a las curvas son: una positiva (la de B) y otra negativa (la de A), entonces no pueden tener igual velocidad. b) FALSO. Las velocidades de los móviles se anulan en momentos distintos. c) VERDADERO. En t0 las velocidades tienen signos opuestos, entonces los móviles se están moviendo en sentidos opuestos. d) FALSO. Ambas curvas tienen un punto donde la velocidad se hace cero y después cambian las pendientes de las rectas tangentes a dichas curvas, por lo que cambian los signos de sus velocidades, o (lo que es lo mismo) el sentido en que se mueven los móviles. e) FALSO. Si bien los móviles no cambian sus aceleraciones, la de A es negativa y la de B, positiva. f) FALSO. Los móviles se encuentran en t1.

ASIMOV MRUV

- 105 -

.-2a 0a

20v (MRUV) 10 (MRU) Bicho Caracol

20100x 100

2BC

222

ctesm

tsmcte

smv

tsmtmt

sm x

===

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+===

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⋅+=⋅+=

ENCUENTRO EN MRUV ( Lo toman )

Los problemas de encuentro en donde uno de los móviles ( o los 2 ) se mueven con acele-ración, se resuelven haciendo lo mismo que puse antes en la parte de MRU. Lo único que cambia ahora es que las ecuaciones en vez de ser las de un MRU son las de un MRUV. Te lo muestro con un ejemplo:

Dado el dibujo de la figura calcular: qué tiempo tardan en encontrarse los 2 móviles y el lugar donde se encuentran.

Este es un caso de encuentro entre un móvil que se mueve con velocidad constante (el caracol) y otro que se mueve con aceleración constante (el bicho). Para resolver esto hago: 1 - Esquema de lo que pasa. Elijo sistema de referencia. Marco posiciones iniciales y velocidades iniciales. 2 - Planteo las ecuaciones horarias para cada móvil.

3 - Escribo la famosa condición de encuentro:

xC = xB para t = te.

ASIMOV MRUV

- 106 -

encuentro. de Posición 8,61

10 10 seg. 6,18

←=⇒

⋅=⇒⋅=

tsmxt

smx

eeC

4 - Igualo las ecuaciones y despejo el tiempo de encuentro te : Esto es una ecuación cuadrática que se resuelve usando la fórmula que puse antes:

Es decir que el encuentro se produce a los 6,18 segundos. La solución negativa no va. Lo que me está diciendo el ( - ) es que los tipos se hubieran encontrado 16,18 segundos antes de salir. Como esta solución no tiene sentido físico, la descarto. ( Significa: no la tomo en cuenta ). Para calcular la posición de encuentro reemplazo 6,18 seg en la 1ª ec. horaria.

Para verificar puedo reemplazar te en la otra ecuación horaria y ver si da lo mismo. Tenía:

La solución del problema es: El encuentro entre el caracol y el bicho se produce a los 6,18 seg y a 61,8 m del caracol.

0 100 10 1 1 10010 2 2

2 2 =−⋅+⋅⇒⋅−=⋅ mt

smt

smmt

eeee

( )

) verifica ( 8,61

s 18,6 1 100

1 100

smmx

tsmmx

=⇒

⋅−=⇒

( )

. encuentro de Tiempo 1816186

50010

100141010

2,1

←==⇒

±−=⇒

⋅

−⋅⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−

=⇒

⋅⋅⋅−±−

seg,- t seg ; , t

msm

acabbt

ASIMOV MRUV

- 107 -

ENCUENTRO EN MRUV – PROBLEMAS SACADOS DE PARCIALES PROBLEMA 1

Un ratón pasa en línea recta por el costado de un gato que descansa, pero este decide en ese instante perseguirlo. Siendo las gráficas de la figura las velocidades de ambos en función del tiempo.

Veamos: los dos animales están haciendo un movimiento rectilíneo. El ratón va a velocidad constante: VR = 0,5 m/seg. Y el gato al principio está en reposo y después

se acelera con una aceleración de aG = 0,5 m/s2 s

= 0,25 m/s2.

Y estos son todos los datos que necesitamos para escribir las ecuaciones horarias de los movimientos, o sea la posición de cada uno en función del tiempo.

xG = ½ . a . t2 = 0,125 m/s2 . t2 y xR = VR . t = 0,5 m/s . t

Esas dos ecuaciones podemos representarlas en el mismo gráfico, y nos queda algo así: Si queremos saber cuándo se encuentran, todo lo que tenemos que hacer es resolver:

xG = xR ⇒ 0,125 m/s2 . t2 = 0,5 m/s . t

v (m/s)

t (s)

gato

ratón

0,50

a) ¿Cuánto recorrió el gato para alcanzar al ratón? b) En un mismo gráfico represente la posición de ambos en función del tiempo.

Gato

Ratón

t [seg]

x [m]

ASIMOV MRUV

- 108 -

⇒ t = 0 ó t = 4 seg

La solución t = 0 es bastante obvia, porque en ese momento el ratón pasó por al lado del gato y éste lo empezó a correr. La otra solución t = 4 segundos nos dice cuándo lo volvió a encontrar. Y si queremos saber a qué distancia, lo reemplazamos en:

xG = 0,125 m/s2 . (4 s)2 = 2 m y xR = 0,5 m/s . 4 s = 2 m Es decir que el gato alcanza al gato 4 segundos después, a 2m del lugar de donde salió.

PROBLEMA 2 El grafico adjunto muestra la velocidad en fución del tiempo para 2 móviles A y B que se

Tenemos el gráfico de la velocidad en función del tiempo para dos móviles, y nos dan un montón de opciones para responder sobre la posición. Bueno, entonces lo primero que hay que saber es cómo sacar información sobre la posición a partir de un gráfico de velocidad en función del tiempo.

Muy simple: la distancia recorrida por el móvil desde el instante inicial hasta un tiempo t es el área bajo la curva v = f(t) desde t = 0 hasta t = t.

Si tuviéramos el caso inverso, y quisieramos conocer la velocidad instantánea a partir del gráfico de posición en función del tiempo es más simple: es la pendiente de la curva x= f(t).

ASIMOV MRUV

- 109 -

Los dos móviles parten de la misma posición inicial. Entonces, se cruzarán cuando el área bajo las dos curvas sea la misma, o sea para t = 40 segundos. En el gráfico nos marcan el tiempo t = 20 segundos como un instante particular, pero en realidad no pasa nada especial, tan sólo se da la casualidad de que los dos móviles tienen la misma velocidad; pero la posición no es la misma; ya que el área bajo las dos curvas no es la misma. ⇒ Mas aún, la distancia recorrida por el móvil A es el triple que la recorrida por el móvil B para t = 20 segundos

PROBLEMA 3

El gráfico adjunto representa la velocidad en función del tiempo para dos autos que se mueven uno hacia el otro, por una carretera recta. Si en t = 0s los autos están distanciados 500 m: 1.a.- hallar la distancia que los separará transcurridos 20 segundos, 1.b.- graficar en un mismo par de ejes, posición en función del tiempo para ambos vehículos (indicar valores característicos sobre los ejes).

Tenemos dos autos moviéndose en una carretera recta. En palabras difíciles: tenemos dos móviles que realizan movimientos rectilíneos. La única diferencia entre los dos es que uno se mueve a velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme M.R.U.), y el otro presenta una aceleración constante (movimiento rectilíneo uniformemente variado M.R.U.V.).

Todos los datos que necesitamos los podemos sacar del gráfico de velocidad en función

15 t

-10

(m/s)

(s)

ASIMOV MRUV

- 110 -

del tiempo que nos dan. El auto 2 tiene una velocidad constante V2 = - 10 m/seg (va hacia atrás). Y la aceleración del auto 1 la podemos calcular como

a1 = 1Vt

∆∆

= 40 m/seg - 10 m/seg15 seg

= 30 m/seg15 seg

a1 = 2 m/s2

Toda la física del problema se termina una vez que encontramos las ecuaciones horarias para los movimientos de los dos autos. Después, son puras cuentas. Entonces, siempre lo primero que hay que hacer es buscar las ecuaciones horarias. Auto 1 = M.R.U.V.) x1(t) = x0,1 + V0,1 . t + ½ . a1 . t2 = 10 m/s . t + 1 m/s2 . t2

V1(t) = V0,1 + a1 . t = 10 m/s + 2m/s2 . t Auto 2 = M.R.U.) x2(t) = x0,2 + V2 . t = 500 m – 10 m/s . t V2 = - 10 m/s.

Ahora sí, con esto podemos responder cualquier pregunta. Veamos qué nos piden: a) La distancia que los separa a t = 20 seg. Bueno, con las ecuaciones anteriores podemos calcular la ubicación exacta de cada uno de los autos en ese instante. x1 = 10 m/s . 20 seg + 1 m/s2 . ( 20 s )2 = 600 m x2 = 500 m – 10 m/s . 20 s = 300 m Es decir que los separa una distancia de D = 600 m – 300 m

⇒ D = 300 m

b) Antes de dibujar el gráfico de posición en función del tiempo, pensemos un poco. El auto 2 se mueve a velocidad constante hacia atrás: entonces, el gráfico de su posición en función del tiempo va a ser una recta que decrece con el tiempo.

El gráfico de la posición del auto 1 deberá crecer con el tiempo, porque se está moviendo hacia adelante. Y se mueve cada vez más rápido (se está acelerando, la velocidad va aumentando), entonces el gráfico no será una recta, sino una parábola. Todo esto se puede ver en el gráfico de posición en función del tiempo para los 2 autos:

ASIMOV MRUV

- 111 -

También nos piden que señalemos valores importantes sobre ambos ejes. Un punto que parece importante es el instante en el cual se cruzan los dos autos, o sea, cuando x1 = x2. Y esto lo podemos calcular directamente resolviendo la ecuación:

x1(t) = x2(t) ⇒ 10 m/s . t + 1 m/s2 . t2 = 500 m – 10 m/s . t

⇒ 1 m/s2 . t2 + 20m/s . t - 500 m = 0 Esta es una ecuación cuadrática, y ya conocemos la fórmula para resolverla; así que te digo directamente el resultado: t = 14,5 seg ó t = - 34,5 seg. Obviamente, la segunda solución no tiene sentido, porque un tiempo negativo no nos interesa (eso es antes de que los autos empiecen a moverse, no tiene sentido). Entonces, los autos se cruzan en el instante t1 = 14,5 segundos. Y ahora que conocemos ese dato, podemos averiguar en qué posición se cruzan.

x1(t1) = 10 m/s . 14,5 seg + 1 m/s2 . (14,5 s)2 = 355,25 m

⇒ Se cruzan a los 355,25 m PROBLEMA 4

Dos móviles marchan hacia un mismo punto en la misma dirección y sentido contrario. Uno de ellos marcha hacia la derecha a una velocidad de 72 km/h constante, y en el mismo instante a 180 metros se encuentra otro móvil que tiene una velocidad de 54 km/h hacia la izquierda y acelera a 2 m/s2. Hallar la posición y velocidad de ambos en el instante de encuentro. Lo primero que hay que hacer es pasar los datos de velocidad a m/s: v1 = 20 m/s, v02 = - 15m/s (porque van en sentido contrario). Ahora, escribimos las ecuaciones horarias del encuentro para los dos móviles, recordando que el 1 va con MRU y el 2, con MRUV:

ASIMOV MRUV

- 112 -

Móvil 1: esm

e tx .20= Móvil 2: 22

12215180 es

mes

me ttmx −−=

Igualando las dos ecuaciones obtenemos una ecuación cuadrática, que resolvemos con la fórmula resolverte. Descartamos el valor negativo que obtenemos y resulta: te = 4,55 s. Reemplazando este valor en alguna de las dos ecuaciones horarias podemos calcular el valor de la posición del encuentro. Esta es: xe = 91 m. La velocidad del móvil 1 en el momento del encuentro es la misma que al principio, porque en el MRU la velocidad es constante. Para el móvil 2 usamos la ecuación: ee tavv .022 += Resulta: v2e = -24,1 m/s.

FIN MRUV

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 113 -

CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

Posición en función del tiempo

Velocidad en función del tiempo

ECUACIONES HORARIAS PARA CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 114 -

CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL

Suponé que un tipo va a la ventana y deja caer una cosa. Una moneda, por ejemplo.

Claro, el tipo tiene razón. Cuando uno deja caer una cosa, lo que cae, cae con MRUV. Toda cosa que uno suelte va a caer con una aceleración de 9,8 m/s2. Puede ser una moneda, una pluma o un elefante. Si suponemos que no hay resistencia del aire, todas las cosas caen con la misma aceleración. ¿ Quién descubrió esto ? Obvio. Galileo . ( IDOLO ! ). Este hecho es medio raro pero es así. En la realidad real, una pluma cae más despacio que una moneda por la resistencia que opone el aire. Pero si vos sacás el aire, la pluma y la moneda van a ir cayendo todo el tiempo juntas. ( Este es un experimento que se puede hacer). Esta aceleración con la que caen las cosas hacia la Tierra se llama aceleración de la gravedad. Se la denomina con la letra g y siempre apunta hacia abajo. En el caso de la moneda que cae yo puedo "acostar" al problema y lo que tendría sería un objeto que acelera con aceleración 10 m / s 2 . Vendría a ser algo así : 0 X

a = 10 m/s2 V0 = 0

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 115 -

Y si lo hubiera tirado para abajo, tendría velocidad inicial, es decir, esto: Es decir que un problema de caída libre no se diferencia para nada de un problema de MRUV. Es más, la caída libre ES un MRUV. Para resolver los problemas de caída libre o tiro vertical puedo aplicar los mismos razonamientos y las mismas ecuaciones que en MRUV. Todo lo mismo. La única diferencia es que antes todo pasaba en un eje horizontal. Ahora todo pasa en un eje vertical. Lo demás es igual. Vamos ahora a esto. Pregunta: ¿ Y qué pasa con el tiro vertical ?. Rta: Y bueno, con el tiro vertical es la misma historia. Tiro vertical significa tirar una cosa para arriba. Si yo acuesto una situación de tiro vertical, lo que voy a obtener va a ser esto: Es decir, tengo la situación de una cosa que sale con una determinada velocidad inicial y se va frenando debido a una aceleración negativa. ¿ Y esto qué es ? Rta: Y bueno, es un movimiento rectilíneo uniformemente variado. Si hiciera un esquema tomando un eje vertical y, tendría algo así:

V0a = 10 m/s2

Piedra

2 m 10 ) ( a ) (

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ← ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯

− = +

0 X

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 116 -

Conclusión: Tanto la caída libre como el tiro vertical son casos de movimiento rectilíneo unifor-memente variado. Los problemas se piensan de la misma manera y se resuelven de la misma manera. Las ecuaciones son las mismas. Los gráficos son los mismos. Caída libre y tiro vertical no son un tema nuevo, son sólo la aplicación del tema anterior. El que sabe MRUV, sabe caída libre y tiro vertical. ( Sólo que no sabe que lo sabe ). CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL 1 - Hago un esquema de lo que pasa. Sobre ese esquema tomo un eje vertical y. Este eje lo puedo poner apuntando para arriba o para abajo ( como más me convenga ) Puede ser algo así: SIGNOS EN UN TIRO VERTICAL

Sobre este esquema marco los sentidos de V0 y de g. Si V0 y g apuntan en el mismo sentido del eje y, serán (+) .Si alguna va al revés del eje y será (-) .( como en el dibujo). El eje horizontal x puedo ponerlo o no. No se usa en estos problemas pero se puede poner. 2 - La aceleración del movimiento es dato. Es la aceleración de la gravedad ( g ). El valor verdadero de g en La Tierra es 9,8 m/s2. Pero generalmente para los proble-mas se la toma como 10 m/s2. Para caída libre y tiro vertical tengo siempre 2 ecuaciones: La de posición y la de velocidad. Estas 2 ecuaciones son las que tengo que escribir.También puedo poner la ecuación complementaria que me puede llegar a servir si el tiempo no es dato.

SISTEMA DE REFERENCIA

PIEDRA

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 117 -

Si, por ejemplo en el dibujo V0 fuera 10 m/s, la aceleración de la gravedad fuera 10 m/s

2 y la altura del edificio fuera de 20 m, las ecuaciones horarias quedarían: 3 - Usando las primeras 2 ecuaciones horarias despejo lo que me piden. En los problemas de caída libre y T vertical suelen pedirte siempre las mismas cosas. Puede ser la altura máxima (hmax). Puede ser el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima. ( tmax ). Puede ser la velocidad inicial con la que fue lanzado. Puede ser el tiempo que tarda en caer (tcaída ). Siempre son cosas por el estilo.

EJEMPLO 1 : ( Tiro vertical ) Un señor tira una piedra para arriba con una velocidad inicial de 40 m / s . Calcular : a ) – La altura máxima. b ) – El tiempo tarda en llegar a la altura máxima. c ) -- Trazar los gráficos de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Bueno, lo primero que hago es un dibujito de lo que plantea el problema. Elijo mi siste-ma de referencia. En este caso lo voy a tomar positivo para arriba. g = (-) .

( ) ariaComplement Ec. yyg2vv

gcteaHorarias

tgvv Ecuaciones

tg tvyy

0f2

221

←−⋅⋅=−

==⋅+=

←⋅+⋅+=

DIBUJO SISTEMA DE REFERENCIA

ctesm 10 -a

Datos lospor t sm10-

sm10V

Reemplacé t

sm10- 2

1tsm 10m 20Y

←⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅+=

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 118 -

Las ecuaciones horarias para un tiro vertical son : Y = Y0 + V0y t + ½ g t2

Vf y = V0 y + g t

Reemplazo por los datos. Fijate que tomé el sistema de referencia para arriba. Quiere decir que g es negativa. La voy a tomar como 10 m / s2. Pongo el sistema de referencia exactamente en la mano del tipo. Me queda: Y = 0 + 40 m /s t + ½ ( - 10 m/s 2 ) .

t2 Vf = 40 m /s + ( - 10 m/s

2 ) . t

Fijate que cuando el cuerpo llega a la altura máxima su velocidad es cero. Entonces reemplazo Vf por cero en la ecuación de la velocidad. Me queda: 0 = 40 m/s + ( - 10 m/s2 ) . t max Despejo t max : t max = 4 seg Reemplazando tmax = 4 segundos en la ecuación de la posición, calculo la altura máxima: Ymax = 40 m/s . 4 s + ½ ( - 10 m/s 2 ) . ( 4 s ) 2 Ymax = 80 m Altura máxima Para construir los gráficos puedo dar valores o puedo hacerlos en forma cualitativa. Grafico cualitativo quiere decir indicar la forma que tiene sin dar todos los valores exactos. Podés hacerlos como quieras. En este caso quedan así:

Vf = 0

Tiempo que tarda en llegar a la altura máxima

2max m/s10m/s 40 t

−−

Posición en función del tiempo

Velocidad en función del tiempo

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 119 -

Fijate esto: El tiempo que la piedra tardó en llegar a la altura máxima dio 4 segundos. El tiempo que la piedra tarda en tocar el suelo da 8 segundos. ( El doble ). ¿ Es eso una casualidad ? ¿ Tendrías manera de comprobar que el tiempo que tarda la piedra en caer tiene que ser sí o sí 8 segundos ? ( Pensarlo )

Ejemplo 2 ( CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL )

Un señor está parado a 20 m de altura. Calcular qué tiempo tarda y con qué velocidad toca el suelo una piedra si : a)- La deja caer. b)- La tira para abajo con V0 = 10 m/s. c)- La tira para arriba con V0 = 10 m/s.

Hago un esquema de lo que pasa. Tengo el tipo arriba de la terraza que tira la piedra:

Voy al caso a) donde el tipo deja caer la piedra. Elijo mi sistema de referencia y marco v0 y g con su signo. En este caso Vo vale cero porque la piedra se deja caer.

Reemplazo por los valores. Voy a calcular todo con g = 10 m/s2 . Las ecuaciones del movimiento quedan así :

ctea

tmY

←⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

sm10 -

horarias

sm10- 0

Ecuaciones sm10- 20 2

ECUACIONES HORARIAS

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 120 -

El tiempo que la piedra tarda en caer lo despejo de la 1ª ecuación. Cuando la piedra toca el suelo su posición es y = 0. Entonces en la primera ecuación reemplazo y por cero. Me queda :

Reemplazando este tiempo en la segunda ecuación tengo la velocidad con que toca el piso :

El signo negativo de Vf me indica que la velocidad va en sentido contrario al eje y. Siempre conviene aclarar esto. b) - La tira para abajo con V0 = 10 m/s. Tomo el mismo sistema de referencia que tomé antes. Eje Y positivo vertical hacia arriba. Ahora la velocidad inicial es (-) porque va al revés del eje Y. ( Atento ).

Igual que antes, cuando la piedra toca el suelo, y = 0. Entonces:

Esto es una ecuación cuadrática. Fijate que te marqué los valores de a, b y c. Entonces reemplazo los valores de a, b y c en la fórmula de la ecuación cuadrática.

Velocidad de la piedraal tocar el suelo.

tardaque Tiempo seg 2t

sm5m 20 t m 20t

sm5

sm 10m 200

22 2

222

←=⇒

=⇒=⇒

−=

sm20 V

seg 2sm 10V

←−=

⋅−=

( )

0m 20t sm10 t

sm 5

tsm5t

sm10m 200 0 y

=−⋅+⋅⇒

−⋅−=⇒=

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 121 -

Taché la 1ª solución porque tiempos negativos no tienen sentido físico. Ahora voy a reemplazar este tiempo de 1,236 segundos en la otra ecuación que es Vf = Vo + g t y calculo la velocidad final. ( = al tocar el piso ). Me queda :

Vf = -10 m /s – 10 m/s2 . 1,236 seg

Vf = -22,36 m / s c) - Cuando el tipo la tira para arriba con V0 = 10 m/s. El signo de Vo cambia. Ahora V0 es positiva. Pero... Ojaldre ! El signo de g NO cambia ! El vector aceleración de la gravedad sigue apuntando para abajo ( como siempre ). Entonces el vector aceleración va al revés del eje Y SU SIGNO ES NEGATIVO. Las ecuaciones horarias quedan:

Y = 20 m + 10 m/s t - ½ 10 m/ s2 t2

Vf = 10 m/s - 10 m/s t Haciendo lo mismo que en el caso anterior me queda

( )

caida. de Tiempo seg 1,236 t; seg 3,236 t

sm10

sm22,36

sm10

:cuentas las Haciendo sm 5 . 2

m 20 . sm 5 . 4

sm10

a2ca4b b t

1,2

←=−=⇒

±−=⇒

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−

=⇒

⋅⋅⋅−±−

VELOCIDAD FINAL

( ) tsm5t

sm10m 200 0 y 2

2−⋅+=⇒=

ca4b b t

1,2 ⋅⋅⋅−±−

0m 20t sm10 t

sm 5

2 =−⋅−⋅⇒

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 122 -

tcaida = 3,236 seg Igual que antes, anulé la solución negativa porque no tiene significado físico. Para calcular la velocidad con que la piedra toca el piso hago: Vf = 10 m/s - 10 m/s x 3,236 s Vf = - 22,36 m/s Ahora fijate esto: en los casos b) y c) el tiempo de caída no dio lo mismo. Eso es lógico. En un caso estoy tirando la piedra para arriba y en el otro para abajo. Cuando la tiro para arriba tiene que tardar mas. Pero en los casos b) y c) la velocidad de la piedra al tocar el piso... ¡ dio lo mismo ! ( surprise ) Hummmmm.... ¿ Estará bien eso ? Esto me estaría diciendo que al tirar una piedra con una velocidad inicial "ve cero" para arriba o para abajo, la piedra toca el piso con la misma velocidad. ( Raro ). ¿ Podrá ser eso ?... Rta: Sí. No es que "puede ser que sea así". TIENE que ser así. ( Pensalo ).

Fin Teoría de Caída Libre y Tiro Vertical

( )

sm 5 . 2

m 20 . sm 5 . 4

sm10

1,2

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±

=⇒

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 123 -

PROBLEMAS SACADOS DE PARCIALES

1) - MARCAR LAS 2 AFIRMACIONES CORRECTAS. DESPRECIANDO LA INFLUENCIA DEL AIRE, CUANDO SE LANZA VERTICALMENTE HACIA ARRIBA UN CUERPO:

a) El tiempo de subida hasta la altura máxima es menor que el tiempo de caída hasta la posición inicial. b) La intensidad de la velocidad inicial es mayor que la intensidad de la velocidad cuando pasa bajando por la misma posición inicial. c) El tiempo de subida hasta la altura máxima es mayor que el tiempo de caída hasta la posición inicial. d) La intensidad de la velocidad inicial es igual que la intensidad de la velocidad cuando pasa bajando por la misma posición inicial. e) La aceleración es un vector vertical hacia abajo cuando el cuerpo sube y hacia arriba cuando baja. f) La aceleración es la misma cuando sube y cuando baja, pero es cero en la altura máxima. g) La aceleración es la misma cuando sube, cuando baja y en la altura máxima.

a y b d y e a y g b y f d y g c y f

Veamos algunas cosas sobre el tiro vertical: - Si despreciamos el efecto del aire, la única fuerza que actúa es el peso. Entonces, la aceleración es la de la gravedad hacia abajo, en todo instante. - Las ecuaciones horarias para este movimiento son:

0V(t) = V -g.t

y 2120h(t)=V .t- .g.t

Si elevamos la expresión para la velocidad al cuadrado y reemplazando, llegamos a: 2 2

0V =V -2.g.h . Es decir que la velocidad sólo depende de la posición: es la misma las dos veces que pasa por la posición inicial: cuando sube y cuando baja. Como la ace-leración es siempre la misma, el tiempo que tarda en frenarse desde la velocidad inicial V0 hasta 0 (tiempo de subida) es igual al que tarda en acelerarse de vuelta desde el reposo hasta V0, o sea hasta la posición inicial de vuelta (tiempo de caída. O sea que la combinación de respuestas correctas son la d y g

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 124 -

2) - UN PROYECTIL ES LANZADO VERTICALMENTE HACIA ARRIBA CON CIERTA VELOCIDAD INICIAL QUE LE PERMITE ALCANZAR UNA ALTURA MÁXIMA H. EN EL INSTANTE EN QUE SU VELOCIDAD SEA LA MITAD DE LA VELOCIDAD INICIAL HABRÁ ALCANZADO UNA ALTURA h TAL QUE:

h = ½ H h = ¼ H h = 3/4 H h = 1/3 H h = 4/5 H h = 7/8 H

SOLUCIÓN

En este problema los datos están todos con letras. Yo lo voy a resolver con letras. Si te resulta muy complicado podés darle valores. ( Por ejemplo, HMAX = 100 m ) Hagamos un dibujito.

Planteo la ecuación complementaria para la velocidad. VF2 – VO

2 = 2 a ( YF – Y0 ) La ecuación complementaria es de MRUV, pero un tiro vertical también es un MRUV, así que también se puede usar. Me queda :

Ahora hago algunas cuentas:

ESQUEMA DEL TIRO VERTICAL

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 125 -

3) - PARA MEDIR LA ATRACCIÓN GRAVITATORIA DE UN PLANETA SIN ATMÓSFERA SE DEJA CAER UN OBJETO DESDE CIERTA ALTURA h. ÉSTE TARDA 16 s EN LLEGAR AL SUELO, CON UNA VELOCIDAD DE 40 m/s. ENTONCES, LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN ESE PLANE-TA ES, EN m/s2:

a) 0,80 b) 0,40 c) 5,00 d) 10,00 e) 1,25 f) 2,50 El problema dice “se deja caer”. Quiere decir que es una caída “caída libre”, o sea, un MRUV con velocidad inicial CERO. Escribo las ecuaciones horarias, tomando y0 = 0, y sistema de referencia positivo hacia abajo:

( )22

1 16.. sgh = (1)

y sgsm 16.40 = (2).

Con la segunda ecuación me alcanza para calcular la aceleración de la gravedad. Ésta es: g = 2,5 m/s2. Entonces, la respuesta correcta es la f).

4 - SE DEJA CAER UNA PIEDRA A DESDE LA TERRAZA DE UN EDIFICIO. CUANDO LA PIEDRA PASA POR UNA VENTANA UBICADA A 60 m POR DEBAJO DEL NIVEL DE LA TERRAZA, SE ARROJA VERTICALMENTE DESDE EL PISO OTRA PIEDRA B CON UNA VELOCIDAD INICIAL DE 20 m/s. AMBAS PIEDRAS SE ENCUENTRAN CUANDO LA PIEDRA B, LLEGA A SU PUNTO MÁS ALTO. a) ¿ CUÁNTOS METROS DE ALTURA TIENE EL EDIFICIO ?

b) REPRESENTE LA ALTURA EN FUNCIÓN DEL TIEMPO PARA AMBAS PIEDRAS EN UN MISMO GRÁFICO, (EN m Y s), TOMANDO t = 0 CUANDO PARTE LA PIEDRA (A), Y UN EJE DE REFERENCIA VERTICAL CON ORIGEN EN EL PUNTO DE PARTIDA DE LA PIEDRA (A), CON SENTIDO POSITIVO HACIA ABAJO. INDICAR EN EL GRÁFICO LOS VALORES EN TODOS LOS PUNTOS SIGNIFICATIVOS.

Este es un problema de encuentro en Caída libre y tiro vertical. Hay que pensarlo un poco. Voy a tomar sistema de referencia positivo para abajo. Primero voy a calcular el tiempo que tarda A en alcanzar los 60 m:

22m1

2A sy = 10 .t

ASIMOV CAIDA LIBRE

- 126 -

Reemplazando es: t = 3,46 s. Calculemos la velocidad de la piedra en esa posición: tv s

mA .10 2= , resulta: vA = 3,46 m/s. Ahora vamos a tomar como punto de partida

para A los 60 m, y vamos a empezar a contar el tiempo desde que se tira B. Escribo las ecuaciones horarias de las 2 piedras:

21 .106,3460 2 tmy s

mA += y tv s

mA .106,34 2+= para A

21 .1020 2 thy s

mB +−= y tv s

mB .1020 2+−= para B

El enunciado dice que las piedras se encuentran cuando B llega a su altura máxima. Significa que en el momento del encuentro vB = 0. Calculemos el tiempo que tarda en suceder esto. Uso la segunda ecuación de B. Me da: te = 2 s. Ahora calculemos la altura a la que se encuentran, usando la primera ecuación de A: ye = 149,2 m. Con este dato y el del tiempo de encuentro puedo calcular h. Me da: h = 169 m. Hago el gráfico:

- 127 -

TIRO OBLICUO

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 128 -

TIRO OBLICUO – Advertencia. Tiro oblicuo es un tema medio complicado. Los conceptos no son fáciles de enten-der. Los ejercicios tienen sus vueltas. Las ecuaciones son largas. Para poder resol-ver los problemas hay que saber bien-bien tiro vertical, caída libre, MRUV y tam-bién MRU. Esto no es mala onda. Esto es así. ¿ Sugerencia ? Resolvé muchos problemas de problemas. Miles. ( ¡ Oh ! ¿ miles ?! ) Esa es toda la cuestión. Haciendo muchos problemas uno termina agarrándole la mano y el tema pasa a ser un tema más. Pero hay que hamacarse. ( Y eso lleva tiempo, que es lo que vos no te-nés ). Por ese motivo yo te voy a explicar tiro oblicuo ahora en un minuto y lo vas a entender perfectamente. Pero por favor, repito, no te pongas a hacer problemas de tiro oblicuo hasta que no hayas entendido perfectamente MRU, MRUV, Caída libre y tiro vertical. Esto constituye un gran error por parte de los chicos. ¿ Fui claro ? Por este motivo es que a ellos les encanta tomar tiro oblicuo en parciales y finales. Tiro oblicuo es un tema que combina los temas de MRU, MRUV, caída libre y tiro vertical. De manera que si el alumno resuelve bien el problema de tiro oblicuo, se puede considerar que sabe bien MRU, MRUV, caída libre y tiro vertical... Tiro oblicuo no es imposible. Lee con atención lo que sigue. ¿ QUÉ ES UN TIRO OBLICUO ?

Rta : Un tiro oblicuo es esto: V0

Es decir, en vez de tirar la cosa para arriba como en tiro vertical, ahora la tiro en forma inclinada, oblicua. Antes, el vector velocidad inicial iba así ↑ y ahora va inclinado así

TRAYECTORIA

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 129 -

Antes de seguir con esto necesito que veas 2 temas que son de matemática. Estos temas son trigonometría y proyección de un vector sobre un eje. Los pongo acá por-que probablemente no te los hayan explicado bien en el colegio. Muchos profesores saltean estos 2 temas cuando explican tiro oblicuo. Los dan por “ sabidos “ . Esto confunde a la gente. Por eso te recomiendo que leas lo que sigue con atención.

TRIGONOMETRÍA FUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un ÁNGULO

La palabra trigonometría significa medición de triángulos. A grandes rasgos la idea es poder calcular cuánto vale el lado de un triángulo sin tener que ir a medirlo con una regla. Para hacer esto, los tipos inventaron las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente de un ángulo. Estas funciones se usan cuando uno tiene un trián-gulo que tiene un ángulo de 90° (rectángulo). Para un triángulo rectángulo, se defi-nen las funciones seno, coseno y tg así:

Ejemplo: Calcular el valor de las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.

5 cm 3 cm

4 cm

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 130 -

Para calcular los valores de seno, coseno y tangente de alfa, hago las cuentas. Las funciones trigonométricas para el ángulo alfa valen:

Para cada ángulo alfa estas funciones toman distintos valores. Conviene recordar los valores que más se usan :

α α α α 0° 30° 45° 60° 90° Sen α α α α 0 0,5 0,707 0,866 1 Cos αααα 1 0,866 0,707 0,5 0 Tg αααα 0 0,577 1 1,732 ∞∞∞∞

Es un poco largo de explicar cuáles son todos los usos de las funciones trigonomé-tricas pero puedo darte un ejemplo: Suponé que vos querés saber la altura de un árbol pero no tenés ganas de subirte hasta la punta para averiguarlo. Lo que se po-dría hacer entonces es esto: 1ro te parás en un lugar y medís la distancia al árbol. Suponé que te da 8 m. Después con un buen transportador medís al ángulo αααα hasta la punta del árbol. Suponé que te da 30 °. Esquemáticamente sería algo así:

Ahora uso la fórmula de tangente: tg = Lado Opuesto / Lado adyacente

0,75cm 4

cm 3

adyacente

opuestoα tg

0,8cm 5

cm 4

hipotenusa

adyacenteα cos

0,6cm 5

cm 3

hipotenusa

opuestoαsen

===

}0,577

× Altura = 8 m tg 30⇒Altura del árbol tg 30 ° =

8 m

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 131 -

De esta manera se pueden calcular distancias ( = lados de un triángulo ) en forma teórica. Es decir, sin tener que dibujar el triángulo y medirlo. ( Se puede hacer, pero es mucho lío y no da exacto ). Es más hay veces que hay distancias difíciles de medir. Por más que uno quiera, no puede ir hasta ahí y medirla. En esos casos, la única forma de calcularla es usar trigonometría. Por ejemplo acá te pongo un caso difícil: la dis-tancia a una estrella. ¿ Cómo harías para medirla ? Rta: Pensalo. A ver si este dibujito te ayuda un poco. PROYECCIÓN DE UN VECTOR

Suponé que me dan un vector como éste: Hallar la proyección del vector sobre el eje x significa ver cuánto mide la sombra de ese vector sobre ese eje. Es decir, lo que quiero saber es esto:

Hallar la proyección sobre el eje y es la misma historia:

Altura = 4,61 m Altura del árbol⇒ ←

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 132 -

Para saber cuánto mide la proyección de un vector sobre un eje, en vez de andar midiendo sombras se usa la trigonometría:

Es decir, si tengo un vector v, las proyecciones vx y vy van a ser: Ejemplo: Hallar las proyecciones de un vector que mide 10 cm y forma un ángulo de 30 grados con el eje X. Tengo un vector de 10 cm con alfa = 30 °. Es decir, algo así :

Entonces la proyección sobre el eje X mide 8,66 cm y la proyección sobre el eje Y mide 5 cm . Aprendete este procedimiento. Lo vas a usar todo el tiempo para calcu-lar las velocidades iniciales en los ejes x e y. Es más, conviene memorizar las formu-litas que puse recién. ( Vx = ... , Vy =.... ). Es fácil : La Vy es V por seno y la Vx es V por coseno. Eso es todo. PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras sirve para saber cuánto vale la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo cuánto valen los 2 catetos.

opsen α = Op = hip sen α

hip

adycos α = Ady = hip cos α

hip

⇒

x x x yv = v cos α v = v sen α

hip op

ady

v = 10cm cmsencmVy 530 10

5,0

=°⋅=48476

cmcmvx 66,830 cos 10866,0

=°⋅= 43421

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 133 -

hip 6 c

Si tengo un triángulo rectángulo se cumple que: Ejemplo: Tengo un triángulo de lados 6 cm y 8 cm. ¿ Cuánto mide su hipotenusa ? Rta.: hip2 = ( 6 cm ) 2 + ( 8 cm ) 2

h 2 = 100 cm 2

h = 10 cm Hasta ahora todo lo que puse de tiro oblicuo fueron cosas de matemática. Ahora sí voy a empezar con el tema de tiro oblicuo propiamente dicho. Prestá atención : PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS

Este principio fue enunciado por el master Galileo. ( Ídolo ! ). Lo que Galileo dijo fue que un tiro oblicuo podía considerarse como si estuviera compuesto por dos movi-mientos: uno rectilíneo y uniforme sobre el eje x, y otro uniformemente variado sobre el eje y. Mirá el dibujo :

Cada movimiento actúa como si el otro no existiera, es decir, la sombra en el eje x no sabe ( ni le importa ) lo que hace la sombra en el eje y . Y viceversa, la sombra en el eje y no sabe ( ni le importa ) lo que hace la sombra en el eje x. Es decir ( y este es el truco ):

hip 2 = ady 2 + op 2 TEOREMA DE PITAGORAS

CADA MOVIMIENTO ACTÚA SIN ENTERARSE DE

LO QUE ESTÁ HACIENDO EL OTRO MOVIMIENTO

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 134 -

¿ Captás la idea ? Cada movimiento es INDEPENDIENTE del otro y la superposi-ción de estos 2 movimientos da el movimiento real. Es decir, tengo esto:

La sombra en el eje x se va moviendo todo el tiempo a la misma velocidad. Su movi-miento será rectilíneo y uniforme y su velocidad será la proyección de la velocidad inicial sobre el eje x, es decir, Vx valdrá V0 por cos α α α α . La sombra en el eje x se mueve todo el tiempo con velocidad Vx = V0 . cos α . Esta velocidad no se modifica en ningún momento. Es constante. Voy ahora al eje vertical. Bueno, en y la sombra se mueve como si hiciera un tiro vertical. Su velocidad inicial será la proyección de v0 sobre este eje: Es decir, lo que pasa en el eje y es que la sombra sale con una velocidad inicial que vale Voy = V0 . sen α . Sube, sube, sube, llega a la altura máxima y ahí empieza a bajar. Exactamente como si fuera un tiro vertical. ¿ Ves como es la cosa ? Galileo también se dio cuenta de que la trayectoria en el tiro oblicuo era una pará-bola. Es decir, si bien uno descompone el movimiento en dos para poder entenderlo, el movimiento en realidad es uno solo: la parábola de tiro oblicuo.

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 135 -

Ahora, este movimiento parabólico puede entenderse como si fuera la superposi-ción de los otros dos movimientos. Esto es todo lo que tenés que saber. Éste es todo el concepto. Dos movimientos independientes, uno sobre cada eje, tales que combinados, superpuestos, dan el movimiento original. ( O sea, la parábola de tiro oblicuo ).Quiero que veas ahora unos ejemplos ejemplosos. EJEMPLOS DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS (ver)

Imaginate un helicóptero que está quieto a una determinada altura y deja caer una cosa. Supongamos que la cosa tarda 20 segundos en caer ( por ejemplo ). Supongamos ahora que el tipo empieza a avanzar en forma horizontal moviéndose a 50 km por hora en dirección equis. Te pregunto... ¿ Qué pasa si ahora deja caer el objeto ? ¿ Va a tardar más o menos en tocar el piso ? Bueno la respuesta a esto parece fácil pero no es tan fácil. ( Atento ). El asunto es que teniendo el helicóptero velocidad horizontal, el paquete... ¡ Va a tardar lo mismo que antes en tocar el suelo ! ¿ Por qué pasa esto ? ( Esta es una buena pregunta ). Bueno, hay que tratar de imaginárselo un poco. El tiempo de caída es el mismo porque a lo que pasa en el eje y ( caída libre ), no le importa lo que pasa en el eje x ( MRU ). La caída libre se produce como si el movimiento en el eje x no existiera ( Atençao con esto ! ). Mirá esta otra situación. Supongamos que un tipo viene corriendo y se tira de un trampolín. ( Esto lo habrás hecho alguna vez ). Y también supongamos que en el mis-mo momento otro tipo se deja caer parado... Te pregunto: ¿ Cuál de los 2 llega primero al agua ?

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 136 -

Rta: Es lo mismo que antes. Los dos tocan el agua al mismo tiempo. ¿ Por qué esto es así ? Rta: Por lo mismo de antes. El movimiento rectilíneo y uniforme que tiene en el eje x el que viene corriendo no afecta para nada sobre lo que pasa en el eje y. Vayamos ahora a este otro ejemplo bien maldito conocido como “ ahí va la bala “ . Suponete que un tipo dispara un revolver en forma horizontal y la bala cae a 1 kiló-metro. Y supongamos también que exactamente en el mismo momento en que el tipo dispara, suelta con la otra mano una bala vacía. Te pregunto: ¿ Cuál de las 2 balas toca 1ro el suelo ?

La respuesta a esta pregunta es la misma de siempre. El tiempo que tardan las dos balas en tocar el suelo es el mismo. Las 2 llegan al mismo tiempo al piso. ¿ Por qué ? Rta: Por el principio de independencia de los movimientos de Galileo Ídolo.

ECUACIONES EN EL TIRO OBLICUO ( Leer )

Del principio de independencia de los movimientos surge que puedo descomponer el vector velocidad inicial en sus 2 componentes Vox y Voy . Entonces puedo decir que:

¿ CUAL DE LOS DOS LLEGA MAS RAPIDO AL AGUA ?

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 137 -

Tengo un tiro vertical en el eje y, de velocidad inicial Voy, y un MRU de velocidad Vox, en el eje x. Entonces las ecuaciones en el eje x van a ser las de MRU y las del eje y, van a ser las del tiro vertical. Es decir:

En la práctica estas 6 ecuaciones pasan a ser estas tres :

¿ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE TIRO OBLICUO ?

Supongamos que me dan un problema de tiro oblicuo en donde un tipo patea una pelota. ( Típico problema de parcial ). Para resolver un problema de este estilo, hay que seguir una serie de pasos. Lo que generalmente conviene hacer es lo siguiente : ( Atención ). 1-Tomo un sistema de referencia. Lo pongo donde yo quiero y como más me guste. ( En general yo siempre lo suelo tomar así: x ). Sobre este dibujo marco V0x, V0y y g , cada una con su signo. Si alguna de estas cantidades apunta al revés de como va el eje, es (-).

vertical) (Tiro (MRU) yeje el en sombra dela x eje el en sombra la de movimiento el para Ecuaciones movimiento el para Ecuaciones

0 yEje x Eje

↑↑

===

⋅+===

⋅+⋅+=⋅+=

gcteaa

tgv vctevvt gtvy ytvxx

y0fyx0x

221

y00x00

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 138 -

Por ejemplo, g apunta siempre así , de manera que si yo tomo el eje y así , g va a ser ( - ). Es decir que al poner g en las fórmulas tengo que poner – 10 m/s2 . 2 - Escribo las ecuaciones horarias para el eje X y para el eje Y :

3 - En las ecuaciones pongo g con su signo y Vx con su signo y V0y con su signo. ( Vx = V0 . cos α α α α y V0y = V0 . sen α α α α ), Si alguno de estos vectores va al revés de los ejes, va NEGATIVO en la ecuación ( Ojo ) 4 - Reemplazo por los datos y despejo lo que me piden. Con estas 3 ecuaciones se puede resolver cualquier problema. Atención: Sólo se usan TRES ecuaciones para resolver un tiro oblicuo. Tratar de in-ventar más ecuaciones es un error. Todo ejercicio de tiro oblicuo tiene que salir de ahí, de esas 3 ecuaciones.

EJEMPLOS DE TIRO OBLICUO

Un tipo que viene en moto a 90 por hora ( 25 m/s ) sube una rampa inclinada 30°. Suponiendo que la rampa es muy corta y no influye en disminuir su velocidad, Calcular:

a ) - A qué altura máxima llega. b ) - Cuánto tiempo está en el aire. c ) - A qué distancia de la rampa cae.

He aquí un típico problema de tiro oblicuo. Hagamos un dibujito aclarador :

MOTO RAMPA

Para resolver este problema sigo los pasos para resolver cualquier problema de Tiro

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 139 -

Oblicuo: 1 - Elijo el sistema de referencia. Marco en el dibujo todas las velocidades, la aceleración de la gravedad y todo eso. A la velocidad V0 la descompongo en las componentes horizontal y vertical. Descompongo la Vo en Vox Y en Voy .

Me queda :

En el eje X la sombra de la moto tiene un MRU. La velocidad de este movimiento es constante y vale V0x = 21,65 m/s. En el eje y la sombra de la moto se mueve haciendo un tiro vertical de V0y = 12,5 m/s. Las ecuaciones horarias quedan así: Para trabajar en el eje y voy a suponer g = 9,8 m/ s2 . En el eje vertical las cosas quedan de esta manera: ECUACIONES PARA EL EJE VERTICAL

0 MRU). ( horizontal eje x Eje

el para Ecuaciones

←==

⋅+=

x0x

asm65,21vv

tsm65,210x

x x

0x 0

0y 0

m mV = V cos α = 25 cos 30 ° = 21,65

s sm m

V = V sen α = 25 sen 30 ° = 12,5 s s

ctesma

tsm

sm V

tsmt

sm Y

=−=

⋅

−+=

⋅

−+⋅+=

8,9 (MRUV)

8,95,12 yEje

8,95,120 21

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 140 -

Todos los tiros oblicuos se resuelven usando solamente las primeras 2 ecuaciones en Y y la 1ª ecuación en X . ( Tres en total ). Las otras 3 ecuaciones igual las puedo poner porque son importantes conceptualmente. Lo que quiero decir es que:

a ) - Hallar la altura máxima

Cuando el tipo llega a la altura máxima, la sombra sobre el eje y ya no sigue subien-do más. ( Tratá de imaginártelo ). Exactamente en ese momento la velocidad en y tiene que ser cero. ( cero ). Atento, la que es CERO es la velocidad EN Y . En x el objeto sigue teniendo velocidad que vale Vx . ( = 21,65 m/ s ). Entonces reemplazando la velocidad final en y por cero : Vy = 0

b ) - ¿ Cuánto tiempo está la moto en el aire ?

Todo lo que sube tiene que bajar. Si el tipo tardó 1,275 seg para subir, también va a tardar 1,275 seg para bajar. Es decir, el tiempo total que el tipo está en el aire va a ser 2 veces el t de subida. Atención, esto vale en este caso porque la moto sale del piso y llega al piso.

tsm8,9

sm5,12v

tsm9,4t

sm5,12y

tsm65,21x

2fy

⋅−=

←⋅−⋅=

⋅=

usan. se ecuaciones

estas Sólo

x x tot max tott = 2 t t = 2 1,275seg x x tot max tott =2 t t = 2 1,275seg⇒

máxima. altura la a llegar en moto la tarda que Tiempo 275,1t

8,95,12t 5,128,9

8,95,120

max

←=

=⇒=⋅⇒

⋅−=

seg

smsm

smt

tsm

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 141 -

Esto mismo lo podés comprobar de otra manera. Cuando el tipo toca el suelo la posi-ción de la sombra sobre el eje y es y = 0. Entonces, si reemplazo y por cero en : Y = 12,5 m/s . t – 4,9 m/s2.t

2 , me queda :

c ) - Calcular a qué distancia de la rampa cae el tipo con la moto.

El tiempo total que el tipo tardaba en caer era 2,55 s. Para calcular en qué lugar cae, lo que me tengo que fijar es qué distancia recorrió la sombra sobre el eje x en ese tiempo. Veamos. La ecuación de la posición de la sombra en equis era X = 21,65 m/s .t , entonces reemplazo por 2,55 segundos y me queda:

OTRO EJEMPLO DE TIRO OBLICUO

El cañoncito de la figura tira balitas que salen horizontalmente con velocidad inicial 10 m/s. En el momento en que se dispara la balita sale el cochecito a cuerda que está a 8 m del cañón. ¿ A qué velocidad tendría que moverse el cochecito para que la balita le pegue ?

Este es un problema de de tiro horizontal. Los problemas de tiro horizontal son un

x x

2 x

m m 12,5 t - 4,9 t = 0

s sm m

4,9 t = 12,5 ts s

12,5 m/s t = = 2,55 seg ( verifica ).

4,9 m/s

⇒

tot t = 2,55seg TIEMPO TOTAL QUE LA MOTO ESTA EN EL AIRE

x caída

caída

m x = 21,65 2,55seg

s x = 55,2 m ⇒ DISTANCIA A LA

QUE CAE LA MOTO

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 142 -

fy 2

y 2

1 2m

Y= 1 m + 0×t + - 9,8 ×ts

m Eje y V =0 + (-9,8 ).t

a = - 9,8 = ctes

poco más fáciles porque inicialmente no hay velocidad en y. Voy a tomar este sis-tema de referencia: Este problema parece ser difícil pero no lo es. Tiene la pequeña trampa de parecer un problema de encuentro. Pero no es un problema de encuentro. Fijate. Empiezo dándome cuenta que la velocidad inicial es horizontal. Sólo tiene componente en equis. Entonces mirando el dibujo:

VX = 10 m/s Y V0y = 0

Este resultado también sale si planteás que VX= V0 Cos alfa y V0Y = V0 Sen alfa. La sombra de la balita en el eje x se mueve con un MRU. La sombra de la balita en el eje y se mueve en una caída libre. Las ecuaciones horarias para cada eje son: Para el eje vertical considero la aceleración de la gravedad como g = 9,8 m/s2

De todas estas ecuaciones que son las 6 de tiro oblicuo, siempre se usan 3, una en equis y 2 en Y. Entonces sólo voy a usar las siguientes:

tsmV

tsmmY

tsmX

fy . 8,9

usar. a voy que nes . 9,4 1 -ecuacio Unicas

. 10

−=

←−=

PROYECCION SOBRE EL EJE VERTICAL. ( MRUV, a = 9,8 m/s2 )

asm10vv

tsm100x

x0x

⋅+=

x Eje

PROYECCION SOBRE EL EJE HORIZONTAL ( MRU , VX = Constante)

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 143 -

Lo primero que necesito saber es el tiempo que tarda la balita en tocar el suelo. Eso lo saco de la ecuación en y. Cuando la balita toca el piso, y es cero, entonces: El lugar donde toca el suelo lo saco de la ecuación en x. Sé que llega al piso en 0,45 segundos. Entonces reemplazo t = 0,45 segundos en la ecuación de equis:

Es decir que si resumo lo que calculé hasta ahora tengo esto:

Entonces, en el tiempo que tarda la balita en caer ( 0,45 seg ), el cochecito tendrá que recorrer 3,5 m hacia la izquierda. Entonces su velocidad va a ser:

Fin teoría de Tiro Oblicuo.

seg 0,45t

1mt .

sm4,9

t .sm4,91m0 ) 0 Y (

CAER EN TARDA QUE TIEMPO

caída ←=⇒

=⇒

−=⇒=

m X = 10 ×0,45 seg

s Lugar donde

caída X = 4,5 m ¬ cae ⇒DISTANCIA A LA QUE CAE LA BALITA

∆x 3,5 m V = =

∆t 0,45 s

v = 7,77 m s

⇒

VELOCIDAD QUE TIENE QUE TENER EL AUTO ( HACIA LA IZQUIERDA )

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 144 -

TIRO OBLICUO - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES

Pongo acá algunos ejercicios que saqué de exámenes. PROBLEMA 1

Desde una torre de 40 m de altura se lanza una pied ra con una velocidad inicial de 30 m/s, formando un ángulo de 30 °°°° hacia arriba respecto a la horizontal.

Calcular: a) El módulo y dirección de la velocidad al cabo d e 1 segundo. b) ¿A qué distancia horizontal de la base de la tor re impactará la piedra?

Hago un dibujito de lo que plantea el problema. Tomo sistema de referencia positivo para arriba. La gravedad entonces es negativa. Si le llamamos x a la posición horizontal e y a la posición vertical, tenemos las siguien-tes ecuaciones horarias:

* Dirección horizontal: ( Eje x ) x(t) = x0 + VH . t ⇒ x(t) = VH . t VH(t) = VH ⇒ velocidad horizontal constante

* Dirección vertical: ( Eje Y ) y(t) = y0 + VV . t + ½ . a . t2

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 145 -

La gravedad vale – 10 m/s2. Entonces, reemplazando :

⇒ y(t) = 40 m + VV . t – 5 m/s2.t2 VV(t) = VV + a . t = VV – 10 m/seg2.t

Una vez que tenemos las ecuaciones horarias podemos resolver cualquier cosa que nos pidan, porque sabemos en que posición y la velocidad de la piedra a cada instante t. Todavía nos faltan la velocidad inicial: su componente vertical (VV) y la horizontal (VH). Eso no es tan grave, porque nos dicen que inicialmente la piedra sale con una velocidad de 30 m/seg y formando un ángulo de 30º hacia arriba. O sea, es algo así: VH = V . cos 30 = 30 m/seg . 0,866 = 25,98 m/seg

VY = V . sen 30 = 30 m/seg . 0,5 = 15 m/seg O sea, que tenemos: x(t) = 25,98 m/seg . t ; VH(t) = 25,98 m/seg y(t) = 40 m + 15 m/seg.t – 5 m/s2 . t2 VV(t) = 15 m/s – 10 m/s2 . t

Ahora veamos qué nos piden. Lo que sea, lo podemos calcular con estas 2 fórmulas:

a) La velocidad después de un segundo. Todo lo que hay que hacer es poner t = 1 seg. en las fórmulas de velocidad que vimos recién

VH(t = 1 seg) = 25,98 m/seg. VV(t = 1 seg) = 5 m/seg

Pero estas son las componentes horizontal y vertical. Nos piden el módulo y la direc-ción. Bueno, para eso todo lo que hay que hacer es formar el vector a partir de éstas dos:

30º

V = 30m/seg

α = ?

VH = 25,98 m/s

VV = 5m/s V = ?

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 146 -

V2 = VH2 + VV

2 = 52 + 25,982 V = 26,46 m/seg. tg α = VV / VH = 0,1924 ⇒⇒⇒⇒ αααα = 10,9º b) Si queremos saber cuando choca contra el piso la piedra, estamos buscando el tiempo t para el cual vale y = 0. Entonces, todo lo que hay que hacer es resolver esta ecuación:

y(t = ?) = 0

⇒ 40 m + 15 m/seg.t – 5 m/s2 . t2 = 0

Esta es una ecuación cuadrática (o sea de la forma at2 + bt + c = 0). Entonces :

t = 2 4

b b ac

− ± − = 215 15 4.( 5).40

2.( 5)

− ± − −−

⇒ t = - 1,7 seg. ó t = 4,7 seg.

Como casi todas las ecuaciones cuadráticas, tiene dos soluciones. Pero sólo una tiene sentido, porque no puede ser un tiempo negativo. Entonces, sabemos que la piedra choca contra el piso a los 4,7 segundos. Y ahora que conocemos ese tiempo, podemos calcular a qué distancia horizontal de la torre cae, así:

x(t = 4,7 seg) = D = 25,98 m/seg . 4,7 seg = 122,1 m

⇒⇒⇒⇒ la piedra cae a D = 122,1 m. PROBLEMA 2

Desde un buque se dispara un misil que a los 24 seg undos se encuentra a 9.600 m en dirección horizontal y a 4.320 m de altu ra sobre el nivel del mar.

Calcular: a) El alcance máximo sobre el mar b) La altura máxima alcanzada sobre el nivel del m ar.

SOLUCIÓN :

Este es un típico problema de tiro oblicuo: La única fuerza que actúa es el propio peso del misil, la aceleración será la de la gravedad. La gravedad va para abajo y vale g = - 10 m/s2. La velocidad horizontal se mantiene constante (M.R.U.), mientas que habrá un movimiento uniformemente variado en el eje vertical (M.R.U.V.).

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 147 -

El misil tiene una cierta velocidad horizontal inicial V0x hacia adelante y una velocidad vertical V0y hacia arriba. Tomo que la posición inicial es 0. Las velocidades, acelera-ciones y posiciones son positivas hacia arriba y hacia adelante. Mi sistema de referencia es este: Las ecuaciones horarias quedan: Dirección horizontal x) x(t) = x0 + V0x . t = V0x . t Vx = V0x

Dirección vertical y) y(t) = y0 + V0y . t + ½ . a t2 = V0y . t – 5 m/s2 . t2

Vy(t) = V0y + a . t = V0y – 10 m/s2 . t Hay un pequeño inconveniente: no conocemos las velocidades iniciales V0x y V0y. Bueno, pero para eso nos dicen el dato de donde se encuentra el misil a los 24 segundos. Si reemplazamos esos datos en las ecuaciones horarias:

X(t = 24 seg) = V0x . 24 seg = 9600 m

⇒ V0x = 400 m/s

Y(t = 24 seg) = V0y . 24 s – 5 m/s2 . (24 s)2 = 4320 m

⇒ V0y = 300 m/s

Ahora sí, con estos datos ya conocemos por completo las ecuaciones horarias y tenemos las herramientas para realizar cualquier cálculo que nos pidan:

a) El alcance máximo sobre el mar es la distancia horizontal máxima que puede

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 148 -

recorrer el misil antes de volver a caer al mar, o sea antes de llegar a y = 0. Para poder calcular esta distancia, antes necesitamos saber cuándo cae al mar:

y(t) = 300 m/s . t – 5 m/s2 . t2 = 0

⇒ t = 0 ó t = 60 segundos La solución t = 0 es bastante obvia, porque sabemos que en el instante inicial estaba al nivel del mar. Lo que nos interesa es la otra solución: el misil vuelve a caer al mar después de 1 minuto. Y la distancia horizontal que puede recorrer en ese tiempo de vuelo la calculamos directamente reemplazano en la ecuación horaria:

xmáx = X(t = 60 seg) = 400 m/s . 60 seg = 24.000 m

⇒ El alcance máximo del misil sobre el mar es de 24 km b) La altura máxima la alcanza cuando la velocidad vertical es cero; y esto se da para

Vy(t) = 300 m/s – 10 m/s2 . t = 0

⇒ t = 30 segundos. Y la altura que corresponde a este instante la calculamos así:

ymáx = y(t = 30 seg) = 300 m/s . 30 s – 5 m/s2 . (30s)2

� ymáx = y(t = 30 seg) = 4.500 m. ⇒ El misil alcanza una altura máxima de 4,5 km a los 30 segundos del disparo PROBLEMA 3

Desde el borde de un acantilado de 20 metros de alt ura se lanza una piedra en forma horizontal. Bajo el acantilado hay 30 metros de playa (medidos desde la base del acantilado hasta el agua ).

3.a.- Determinar su velocidad V 0 mínima para que alcance el agua. 3.b.- Hallar la velocidad (módulo y dirección) en e l instante del impacto.

Tiramos una piedra desde un acantilado en forma horizontal. Quiere decir que tengo

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 149 -

un tiro en donde V0Y = 0. Esto es lo que se llama TIRO HORIZONTAL. Hago un dibujito y pongo el sistema de referencia : La velocidad horizontal es constante en equis. En la dirección vertical la aceleración es la de la gravedad: g = - 10 m/s2. Las ecuaciones horarias quedan: Dirección horizontal ( M.R.U. ) x(t) = x0 + V0x . t = V0 . t Vx = V0

Dirección vertical ( M.R.U.V. ) y(t) = y0 + V0y . t + ½ . a . t2 = 20 m – 5 m/s2 . t2

Vy(t) = V0y + a . t = - 5 m/s2 . t Queremos saber cuál es la velocidad mínima V0 con que debemos lanzar la piedra para que alcance el agua (ubicada a 30 metros de distancia) antes de caer al suelo. Para eso, necesitamos conocer cuánto tiempo tarda en caer al suelo, o sea en llegar a y = 0.

y(t) = 0 = 20 m – 5 m/s2 . t2 ⇒ t = 2 segundos Y en ese tiempo recorre una distancia horizontal x(t = 2seg) = V0 . 2 Seg. Piden que esa distancia sea más grande que 30 metros, o sea:

V0 . 2s > 30 m ⇒ V0 > 30 m / 2s

⇒⇒⇒⇒ V0 > 15 m/seg Ahora, si tomamos V0 = 15 m/s, podemos calcular la velocidad en el momento del impacto; o sea a t = 2 seg ⇒ Vx = 15 m/s ; Vy = - 10 m/s

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 150 -

O sea que como vector, tenemos: V = 2 2

X YV V+ = 2 2(15 / ) ( 10 / )m s m s+ − ⇒ V = 18,07 m/s tang α = -Vy / Vx = 10/15 = 2/3 ⇒ α = 33,7° PROBLEMA 4

Un objeto se lanza desde el suelo con una velocidad inicial de 20 m/s que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Si se arroja un segundo objeto bajo un ángulo de 30 º. ¿ cuál debería ser el valor de la velocidad inicial, en m/s, para que alcance la misma altura máxima que el primero ?

a) 8,7 b) 10 c) 11,5 d) 17,3 e) 34,6 f) 20

SOLUCIÓN: Para que el objeto alcance la misma altura debe tener la misma velocidad inicial en “y”. Hallemos primero la velocidad v0y cuando v0 = 20 m/s y α = 60 º.

En el dibujo se ve que: v0y = v0 . sen 60º. Haciendo la cuenta: v0y = 17,3 m/s. Ahora cambiamos el ángulo, pero queremos que v0y se mantenga. Entonces es: 17,3 m/s = v’0 . sen 30º. Haciendo la cuenta nos queda: v’0 = 34,6 m/s Entonces, la respuesta correcta es la e).

PROBLEMA 5

Un misil es disparado en el mar con una velocidad Vo y un ángulo ββββ con respecto al plano horizontal mayor que cero. Al cabo de 6 seg. su velo-cidad es V = 80 m/s i, el alcance en el mar será de:

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 151 -

a) 80 m b) 960 m c) 180 m d) Se debe conocer el valor numérico de Vo e) Se debe conocer el ángulo ββββ con que fue disparado el misil.

SOLUCION

A los 6 s la velocidad es v = 80 m/s en i, o sea, en la dirección horizontal. En ese mo-mento la velocidad en “y” es cero, o sea, el tipo a los 6 seg está en la altura máxima. Hago un dibujito :

Sabemos que una parábola (como esta trayectoria) es simétrica respecto de una recta paralela al eje x que pase por el punto más alto. Entonces, si tardó 6 s en llegar al vértice, va a tardar otros 6 en volver al suelo. Además, en un tiro oblicuo la veloci-dad en “x” es siempre la misma. Por lo tanto, el alcance será: x = 80 m/s . ( 12 s ). Haciendo la cuenta es: x = 960 m.

Entonces, la respuesta correcta es la b).

PROBLEMA 6

Se dispara un proyectil desde la superficie (x = 0, y = 0) de modo que supere una valla de h = 8 m de altura situada a una distancia horizontal D = 25 m del punto de lanzamiento.

a) ¿ Cuál debe ser el ángulo de disparo para que el proyectil pase en forma rasante por encima de la valla justo en el instante en el que alcanza su altura máxima ? b) Calcular el módulo de la velocidad inicial del proyectil.

SOLUCION Las ecuaciones horarias son: tvx x .0= ( posición en x), 2

0 .10.. 2 ttvy sm

y −= ( posición y)

ASIMOV TIRO OBLICUO

- 152 -

La ecuación de velocidad en Y es tvvs

myy .10 20 −= . Hagamos un dibujito y ponga-

mos el sistema de referencia:

Sabemos que en la altura máxima vy = 0. En la última ecuación reemplazamos y tenemos: v0y = 10 m/s2. t. Reemplazando en la segunda ecuación, para y = 8 m, tenemos: t = 1,26 s. Usando este tiempo, calculamos v0y y v0x. Me da: v0y = 12,6 m/s y v0x = 19,84 m/s. Para calcular |v0| usamos:

( ) ( )220 1510 s

mv −+= , tenemos: |v0| = 23,5 m/s. Ahora, para calcular el ángulo alfa planteo :

vtg α =

v � αααα = 32,41º

FIN TIRO OBLICUO

CINEMATICA DEL

MOVIMIENTO CIRCULAR

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 154 -

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ( MCU )

Una cosa que da vueltas tiene movimiento circular. Por ejemplo, un trompo, una calesita o las agujas del reloj. Si lo qué está girando da siempre el mismo número de vueltas por segundo, digo que el movimiento circular que tiene es UNIFORME. ( MCU ) Podés encontrar muchas otras cosas que se mueven con movimiento Circular Uniforme. Por ejemplo un ventilador, un lavarropas, el plato de los viejos tocadiscos o la rueda de un coche que viaja con velocidad cte. También tenés el caso del planeta Tierra. La Tierra siempre da una vuelta sobre su eje cada 24 hs. Aparte de eso también gira alrededor del sol. Da una vuelta entera cada 365 días.

EL RADIAN

Si vos tenés un ángulo y querés saber cuanto mide, vas lo medís con el transportador. Esto te da el ángulo medido en grados. Este método viene de dividir la circunferencia en 360 º. Para usar la calculadora en grados tenés que ponerla en DEG ( Degrees, que quiere decir grados en inglés ). El sistema de grados sexagesimales es UNA manera de medir ángulos. Hay otros métodos. Por ejemplo, tenés el sistema francés que divide la circunferencia en 400 grados. Este sistema de Grados Franceses existe pero no se usa. Ahora quiero que veas el asunto de medir los ángulos en RADIANES. Este es el sistema nuevo que tenés que aprender porque es el que se usa acá en movimiento circular. Fijate. Para medir un ángulo en radianes se hace así: Se mide el largo del arco abarcado por el ángulo. Esto lo podés hacer con un centímetro, con un hilito o con lo que sea. Se mide el radio del círculo. Para tener el valor del ángulo medido en radianes hago esta cuenta:

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 155 -

Fijate que hacer la división del arco sobre radio significa ver cuantas veces entra el radio en el arco. Como el radio se mide en metros y el arco también, el radián resulta ser un número sin unidades. Si Juan mide 2 metros y yo mido uno, quiere decir que entro 2 veces en Juan. Este 2 es un número sin dimensiones, sólo me dice cuantas veces entro yo en Juan. Con los radianes lo mismo. Lo que me dice el ángulo en radianes es cuántas veces entra el radio en el arco. Por ejemplo, si alfa es 3 radianes, eso significa que el radio entra 3 veces en el arco abarcado por ese ángulo. ¿ Ves como es la cosa ? ¿ A cuántos grados equivale un radián ?

Veamos. Dibujo una circunferencia entera y hago una cuentita: Para una circunferencia entera, el arco es el perímetro, que vale 2 Pi por radio. Así que 360 ° equivalen a : Por lo tanto, 1 radian es un ángulo que es un poco mayor que una porción de una grande de muzzarella. ( Pregunta: ¿ Cuál es el ángulo exacto de una porción de una grande de muzzarella ? ¿ Cuál es el ángulo de una porción de una chica ? ) Para que tengas una idea, acá te dibujo un ángulo que tiene 1 radian. Para hacer que sea de un radián traté de dibujarlo de manera que el arco midiera lo mismo que el radio. Nota: Para usar la calculadora en radianes hay que ponerla en " RAD "

UN ANGULO DE 1 RADIAN

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 156 -

LA VELOCIDAD ANGULAR OMEGA ( ω )

Para tener una idea de la rapidez con que algo se está moviendo con movimiento cir-cular, ellos definen la velocidad angular ω como el Nro de vueltas que da el cuerpo por unidad de tiempo. Si un cuerpo tiene gran velocidad angular quiere decir que da muchas vueltas por segundo. Resumiendo: La velocidad en el movimiento circular es la cantidad de vueltas que un cuerpo da por segundo. Otra manera de decir lo mismo sería dar el ángulo girado por unidad de tiempo. Esto daría en grados por segundo o en rad por seg. Una misma velocidad angular se puede poner de varias maneras diferentes. Por ejemplo, para los lavarropas o para los motores de los autos se usan las revoluciones por minuto (RPM). También a veces se usan las RPS ( = Revoluciones por segundo ). También se usan los grados por segundo y los radianes por segundo. Es decir, hay muchas unidades diferentes de velocidad angular. Todas se usan y hay que saber pasar de una a otra. No es muy complicado el pasaje. Hay que hacer regla de 3 simple. Por ejemplo, fijate, voy a pasar una velocidad de 60 RPM a varias unidades diferentes:

La más importante de todas las unidades de velocidad angular es la de radianes por segundo. Esta unidad es la que se usa en los problemas. Ahora, una aclaración impor-tante: Los chicos dicen: Bueno entonces las unidades de la velocidad angular ω van a ser radianes sobre segundo. Esto es correcto. Pero hay un problema. Resulta que el radian es un número sin unidad. Y la palabra Radián suele no ponerse. De manera que las unidades que se suelen usar en la práctica son 1/seg . Conclusión:

Este 1/seg a veces también lo ponen así: 1/s o así: s-1. Muchas veces aparece en los parciales la velocidad angular en segundos a la

-1 y la gente no entiende lo que es.

[ ] 1 ω segundo

=UNIDADES DE LA VELOCIDAD ANGULAR

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 157 -

LA VELOCIDAD TANGENCIAL ( Vt)

Imaginate un disco que esta girando. Sobre el borde del disco hay un punto que da vueltas con movimiento circular uniforme. Ese punto tiene todo el tiempo una velocidad que es tg a la trayectoria. Esa velocidad se llama velocidad tangencial. Para calcular la velocidad tangencial se divide el espacio recorrido sobre la circunferencia por el tiempo empleado. El espacio recorrido es el arco recorrido, así que:

Fijate que ω se mide en 1/seg y el radio se mide en metros. Así que las unidades de la velocidad tangencial van a ser m/s. EL PERIODO T Es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta. Por ejemplo, el periodo de rotación de la tierra es 24 hs. El periodo de rotación de la aguja grande del reloj es de 1 hora. El período se mide en segundos. ( O en hs, minutos, etc ). LA FRECUENCIA f Es el Nro de vueltas por segundo que da el cuerpo. ( Por ejemplo, 3 vueltas por segundo, 5 vueltas por segundo.... etc.). Las unidades de la frecuencia son " 1 / seg " . A esta unidad se la llama Hertz. 1 Hertz = 1 / seg . A veces vas a ver puesto el Hz como seg

-1 o s

-1. La frecuencia es la inversa del período :

Fijate que si en vez de medir la velocidad angular ω en rad/seg o en grados/seg la medís en vueltas por segundo, la velocidad angular y la frecuencia coinciden. Por eso a la ω a veces se la llama " frecuencia angular ".

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 158 -

ACELERACION CENTRIPETA ( Ojo con esto !! )

En el movimiento circular uniforme, el largo de la flecha que representa al vector velocidad tangencial no cambia. Esto quiere decir que el módulo de la velocidad tangencial es constante. Pero ojo !, lo que sí cambia es LA DIRECCION del vector velocidad. ( Atento ). Esto es un problema, porque cuando hay un cambio de velocidad tiene que haber una aceleración. Esa aceleración se llama centrípeta, y lo que la provoca es el cambio de dirección del vector velocidad tangencial. Mirá el siguiente dibujito:

Esta aceleración centrípeta apunta siempre hacia el centro. Explicar por qué esto es así es un poco complicado. Aparte, confunde. Lo lógico sería decir que la acent apunta hacia fuera. Esto uno lo ve en la vida diaria, porque cuando un colectivo dobla uno tiende a irse " hacia afuera ", no hacia adentro.

Fijate como van los vectores Velocidad tangencial y aceleración centrípeta en este caso. Miremos todo desde arriba :

EL VECTOR VELOCIDAD TANGENCIAL CAMBIA DE DIRECCIÓN Y ESO PROVOCA LA APARICION DE UNA ACELERACION QUE SE LLAMA ACELERACION CENTRIPETA.

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 159 -

La velocidad tangencial siempre es tangente a la trayectoria. La aceleración centrípeta, siempre apunta hacia el centro. La aceleración centrípeta se calcula por cualquiera de las siguientes 2 fórmulas :

La demostración de cómo se deducen estas fórmulas también es algo complicada, así que tampoco la pongo. Resumiendo: Movimiento circular es un tema difícil. Básicamente lo que tenés que saber es que en un movimiento circular hay aceleración. Esta aceleración se llama " centrípeta " y apunta hacia el centro de la circunferencia. Explicar por qué esto es así es un poco complicado. Si te interesa entender mejor el asunto podés mirar un poco más adelante en el libro. Está un poco mejor explicado en la parte de dinámica del movimiento circular. O sea, no es que yo no quiera explicártelo. Vení a mi clase y te lo muestro con una piedra atada a un hilo. Pero acá no puedo, sería muy largo. Por cierto, no lo busques la explicación de esto en los libros porque no está. Tampoco se lo preguntes a tu primo porque no lo va a saber. OTRAS FORMULITAS QUE SE USAN EN MOVIMIENTO CIRCULAR

La velocidad angular w era el ángulo girado dividido el tiempo empleado. Cuando el tiempo empleado sea justo un período ( T ), el ángulo girado será 2 PI . ( = una vuelta). Entonces voy a poder calcular la velocidad angular w como: Pero como f = 1 / T, esta misma formula se puede poner como:

LA ACELERACION CENTRIPETA APUNTA SIEMPRE HACIA EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA

RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA FRECUENCIA

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 160 -

ALGUNOS PROBLEMAS RESUELTOS DE MOVIMIENTO CIRCULAR

1 - UN AUTOMÓVIL, CUYO VELOCÍMETRO INDICA EN TODO INSTANTE 72 km/h, RECORRE EL PERÍMETRO DE UNA PISTA CIRCULAR EN UN MINUTO. DETERMINAR EL RADIO DE LA MISMA. SI EL AUTOMÓVIL TIENE UNA ACELERACIÓN EN ALGÚN INSTANTE, DETERMINAR SU MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO.

Hagamos un dibujito. Visto desde arriba el asunto se ve así:

Si la punta es circular, la velocidad que tiene el auto es la velocidad tangencial. Si da una vuelta a la pista en un minuto, significa que su periodo es T es de un minuto. Ahora , w es 2 π sobre T , entonces: W = 2 π = 2 π = 0,104 1 Velocidad angular T 60 s s Por otro lado la velocidad tangencial es 20 m/s ( = 72 km/h ). Reemplazando: VT = w x R R= VR = 20 m/s W 0,104 1/s R = 191 m Radio de la pista Pregunta: ¿El automóvil tiene aceleración ? Rta: Sí, tiene aceleración centrípeta de modulo:

acp = w2 R acp = ( 0,104 1/s )2. 191 m acp= 2,09 m/s2 ( Apunta hacia el centro de la pista)

EL AUTO VISTO DESDE ARRIBA

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 161 -

2 - UN AUTOMÓVIL RECORRE LA CIRCUNFERENCIA DE 50 cm DE RADIO CON UNA FRECUENCIA DE 10 Hz. DETERMINAR:

A- EL PERIODO. B- LA VELOCIDAD ANGULAR. C- SU ACELERACIÓN.

Una frecuencia de 50 hz es una frecuencia de 50 1/s. Acá sólo es cuestión de aplicar formulas. A ver si me seguís. W era 2 π x f. Entonces: W = 2 π x f = 2 π x 10 1/s = 62,8 1/s velocidad angular

El período T era 1/frecuencia: T= 1 = 1 T = 0,1 s Período f 10 1/s Vt = w . R Vt = 62,8 1/s x 0.5 m Vr = 31,4 m/s Velocidad tangencial Su aceleración va a ser la aceleración centrípeta, que siempre esta apuntando hacia el centro de la circunferencia. El módulo de esta aceleración se puede calcular por cualquiera de las siguientes 2 formulas: acp = w2 R ó acp= Vr

2/ r. Usando la 1era: acp= (62,8 1/s )2 x 0,5m acp = 1973 m/s2

3 - CUÁL ES LA ACELERACIÓN QUE EXPERIMENTA UN CHICO QUE VIAJA EN EL BORDE DE UNA CALESITA DE 2m DE RADIO Y QUE DA VUELTA CADA 8 SEGUNDOS.

Para calcular la aceleración centrípeta es siempre lo mismo acp= w2. R. Si el tipo da una vuelta cada 8 segundos su velocidad angular va a ser : w = 2 π = 0,785 1/s 8 s Entonces:

acp= ( 0,785 1/s )2.2m acp = 1,23 m/s2 aceleración centrípeta del chico

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR - 162 -

4 - CALCULAR LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA FRECUENCIA CON QUE DEBE GIRAR UNA RUEDA PARA QUE LOS PUNTOS SITUADOS A 50 Cm DE SU EJE ESTÉN SOMETIDOS A UNA ACELERACIÓN QUE SEA 500 VECES LA DE LA GRAVEDAD.

Este problema no es difícil. Quiero que la aceleración centrípeta sea igual a 500 g. Para que tengas una idea 500 ge es el valor de una centrifugadora de laboratorio. acp = 500 . g = 500 x 10 m/s2

acp= 5.000 m/s2

La velocidad angular para la cual se cumpla esto va a ser: la frecuencia será: w = 2 π. f f = w/2π = 100 1/s / 2 π

f = 15,9 1/s

Ultima cosa sobre cinemática del Movimiento circular

Cinemática del movimiento circular no es un tema muy tomado en los parciales. Ellos prefieren tomar dinámica del movimiento circular. ( Fuerza centrípeta y todo eso ). El motivo es que Dinámica del circular abarca también cinemática del circular. O sea, para saber dinámica del circular tenés que saber primero cinemática del circular. Entonces tomando un problema de dinámica del circular, también se está tomando cinemática del circular... Es decir, 2 pájaros de un solo tiro. FIN CINEMATICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

MOVIMIENTO RELATIVO

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 164 -

MOVIMIENTO RELATIVO ( = Movimiento de cosas que se mueven sobre cosas que se mueven )

Acá uno dice que la velocidad del tipo es 5 km/h y no hay problema. Pero... ¿ Qué pasa si el tipo se mueve sobre algo que a su vez se mueve ? A ver si nos entendemos. Supongamos que el tipo sigue caminando a 5 por hora pero ahora está adentro de un tren que va a 50 por hora. Pregunto: ¿ Cuál es ahora la velocidad del hombre ? ¿ 5 por hora ? ¿ 50 por hora ? ¿ 55 por hora ?

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 165 -

La respuesta es la siguiente: La velocidad del hombre es 5 km/h con respecto al tren, y 55 km/h con respecto a la tierra.

Es decir, 2 de las respuestas pueden ser válidas: 5 por hora y 55 por hora. Todo depende desde dónde uno esté mirando las cosas. Si uno está sentado en el tren, ve que el tipo camina a 5 km por hora. Si uno está parado en el andén, lo ve moverse a 55 por hora. ¿ Ves como es la cosa ? El movimiento es algo RELATIVO. Cuando digo que la velocidad de un objeto vale tanto, tengo que indicar con respecto a qué estoy midiendo esa velocidad. Ese es el concepto y eso es lo que tenés que entender. Ahora vamos a poner todo en forma física que es como les gusta a ellos: Voy a tomar un sistema de referencia fijo a la tierra y otro fijo al tren. Los voy a llamar o y o' ( o prima ). El sistema de referencia fijo a la Tierra-Tierra se llama sistema fijo o sistema absoluto. El sistema de referencia fijo al piso del tren que se mueve se llama sistema móvil o sistema relativo. VELOCIDAD RELATIVA, VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD DE ARRASTRE

El sistema o' está pegado al tren, entonces se mueve con la misma velocidad que el tren, es decir a 50 km/h. Esta velocidad que tiene es sistema móvil se llama Velocidad de arrastre. Se la llama así porque es la velocidad con la que el tren "arrastra" al sistema o'. Ahora ellos dicen lo siguiente: la velocidad del hombre con respecto al sistema o' ( 5 km/h ) se llama Velocidad Relativa. La velocidad del hombre con respecto al sistema o ( 55 km/h) se llama Velocidad Absoluta.

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 166 -

Entonces:

Velocidad Absoluta: Es la velocidad del objeto respecto a la Tierra –Tierra. Velocidad Relativa: Es la velocidad del objeto respecto del móvil que lo arrastra. Velocidad de arrastre: Es la velocidad con la que es arrastrado el sistema móvil. Puedo decir que 55 km/h = 5 km/h + 50 km/h, o lo que es lo mismo:

De la misma manera, si quiero saber la posición del hombre ( el lugar donde está ) puedo decir:

Posición Absoluta = Posición Relativa + Posición de Arrastre.

La posición absoluta será la posición del objeto que se mueve referida al sistema o. ( O sea, la posición del objeto respecto del sistema de referencia que está pegado a la Tierra – Tierra ). La posición relativa será la posición del objeto referida al sistema o'. La posición de arrastre será la posición del sistema móvil ( o') respecto del sistema fijo ( o ).

Los problemas de Movimiento relativo se parecen más a problemas de ingenio que a problemas de física. Es más fácil resolverlos razonando y pensando un poco que plan-teando ecuaciones complicadas. O sea, hay fórmulas para resolver los problemas de movimiento relativo. Pero si yo te las pongo acá, ahí sí que no entenderías un pepino. Es más fácil de resolver los problemas de relativo pensando un poco que usando ecuaciones choclazas.

Fijate en los problemas que siguen y te vas a dar cuenta.

Si de todas maneras insistís y querés tener una fórmula para los problemas de movimiento relativo, entonces quedate con esta:

No hay otras fórmulas que te pueda servir. ( O sea, hay, pero creeme que esas ecuaciones pueden llegar a complicarte la existencia ). Vamos ahora a los problemas

Fin teoría de movimiento relativo

Velocidad Absoluta = Velocidad Relativa + Velocidad de Arrastre

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 167 -

MOVIMIENTO RELATIVO - PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1. Una avioneta, cuya velocidad respecto del aire es 205 km/h, pasa sobre la ciudad A, dirigiéndose hacia la ciudad B situada 400 km al Norte de A. La oficina meteoroló-gica en tierra le informa que sopla viento en dirección Este - Oeste, a 45 km/h a) - Determinar la dirección en que se desplaza la avioneta en estas condiciones b) - Hallar el ángulo que debe desviar su rumbo, para desplazarse efectivamente hacia B, suponiendo que se mantienen constantes las velocidades. c) - Hallar cuánto tarda en llegar

a) Hago un esquema para entender mejor lo que dice el enunciado: Me dicen que la velocidad de la avioneta es de 205 km/h respecto del aire. Esto significa que si el aire estuviera quieto su velocidad sería de 205 km/h respecto de la tierra. Esto es lo que pasaría si no hubiera viento. Pero hay viento. El viento sopla así: a 45 kilómetros por hora. De manera que lo que tengo es esto: Conclusión: La avioneta intenta volar así : ↑ , pero el viento la empuja así: Entonces en definitiva volará así: ↖ (inclinada). Calculo la velocidad real respecto de Tierra y el ángulo de inclinación. Hago un dibujito poniendo todos los vectores velocidad. Ojo, prestale atención a este esquema porque todos los problemas de Relativo se resuelven de la misma manera. Todos tienen un dibujito parecido. El diagrama vectorial de velocidades es la clave para entender este problema y todos los problemas de Movimiento Relativo. ( Conste que te lo dije ). Entonces:

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 168 -

Planteo Pitágoras: VABSOLUTA =

Para sacar el ángulo puedo usar la tangente:

Tg α = 45 / 205 = 0,2195 ⇒ b) Piden hallar el ángulo que tiene que desviarse el avión hacia la derecha para volar justo - justo hacia el norte. Uno podría decir que ese ángulo tiene que ser 12,38 º ... pero NO. Fijate por qué no. ( Atento ). El triángulo de velocidades quedaría así: Otra vez, el ángulo puedo calcularlo por trigonometría.

Sen β = 45/205 = 0,2195 ⇒ c) - ¿ Cuánto tardará en llegar de la ciudad A a la B ? Bueno, para calcular eso tengo que saber la velocidad total que tiene. Mirando el dibujito planteo Pitágoras: ⇒

VABS = 200 km/h

Como la distancia entre las ciudades A y B es de 400 km ⇒ Tardará 2 hs

2 2( 205 km/h ) + ( 45 km/h )

β = 12,68 º = 12 º 41'

2 2 2tv 45 205+ =

2 2tv 205 45= −

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 169 -

Problema 2 Entre los muelles A y B que están en la misma orilla de un canal rectilíneo hay una distancia de 400 m. Un bote de remos tarda 40 segundos en ir de A hasta B y 50 segundos en regresar. Considerando constante los módulos de las velocidades del bote respecto del agua y de la corriente respecto de la orilla, hallar el valor de las mismas.

Hago un esquema de la situación. El bote puede ir o volver navegando por el río a favor o en contra de la corriente. Cuando va a favor de la corriente tarda 40 segundos. Cuando va en contra, tarda 50. Llamo: Vrío = Velocidad del agua del río respecto a la orilla Vbote = Velocidad que tiene el bote respecto al agua de río. ( = velocidad que tendría el bote en un lago con agua quieta )

La velocidad absoluta del bote con respecto a la tierra será la suma de las velocidades cuando va a favor de la corriente, y la resta cuando va en contra. Por lo tanto:

Vabs bote (corriente a favor) = Vbote + Vrío

Vabs bote (corriente en contra) = Vbote - Vrio Como la distancia son 400 m, puedo escribir :

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 170 -

Esto es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Lo resuelvo por cualquier método. Por ejemplo, si sumo las ecuaciones:

18 m/s = 2 Vbote

⇒ Vbote = 9 m/s Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones:

10 m/s = Vrio + 9 m/s

⇒ Vrio = 1 m/s

Problema 3

En un día de verano que no hay viento se descarga un chaparrón, de modo tal que las gotas de agua siguen trayectorias verticales. El conductor de un automóvil que marcha a 10 km/h ve que las gotas llegan en dirección perpendicular al parabrisas. Sabiendo que el parabrisas forma un ángulo de 60 º con la horizontal, hallar la velocidad con que descienden las gotas de lluvia vistas desde tierra, y con qué velocidad golpean al parabrisas.

Hay que tratar de entender lo que dice el enunciado. Si el que maneja ve que las gotas pegan justo en forma perpendicular, lo que tengo es esto: Como el conductor esta quieto respecto al auto, él ve venir las gotas hacia él. En realidad, las gotas caen en forma perfectamente vertical ( respecto a tierra ). Desde el punto de vista del conductor, lo que ve es esto:

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 171 -

Mirando el triangulito, y aplicando la función seno:

⇒ Planteando la tangente en el mismo ángulo: ⇒ ⇒

Problema 4

Un bote cruza un río de 60 m. de ancho con una velocidad de 4 m/s respecto del agua, orientada de tal forma que, si las aguas estuvieran quietas, cruzaría perpen-dicularmente a las orillas. El bote parte de un punto A ubicado sobre una de las márgenes y llega a otro punto B en la margen opuesta, distante 100 m del punto que está enfrente de A. ¿Cuánto tarda en cruzar el río ? ¿ Cuál es la velocidad del bote respecto de tierra ?

opuestosen α =hipotenusa

total

10 km/hSen 60 º =V total

10 km/hV =sen 60º

caida

10 km/htg 60º =V caida

10 km/hV =tg 60º

ASIMOV MOVIM. RELATIVO - 172 -

Hallemos primero el tiempo que tarda el bote en recorrer los 60 m de distancia ente una orilla y la otra: Por otro lado, durante esos 15 seg, el bote se movió horizontalmente debido a la corriente del río. Hallemos la velocidad de la corriente del río con respecto a tierra sabiendo que el bote recorrió 100 m en 15 seg. ⇒ Vrt = 100 m / 15 seg ⇒ Vrt = 6,66 m/s Finalmente, el módulo de la velocidad es: |Vbt| = ⇒ Reemplazamos Vbr = 4 m/s y Vrt = 6,66 m/s ⇒ |Vbt| = = Hacemos la cuenta ⇒

2 2br rt V + V

2 2 ( 4m/s ) + ( 6,66m/s ) 2 2 2 216m /s + 44,39 m /s

|Vbt| = 7,76 m/s MÓDULO DE LA VELOCIDAD DEL BOTE RESPECTO A TIERRA

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 173 -

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 174 -

CINEMÁTICA VECTORIAL VECTORES. Un vector se representa por una flecha de la siguiente manera:

Cuando uno ve un dibujito de este tipo tiene que darse cuenta de que la flecha que llaman v es un vector. Para destacar esto, ellos le ponen una flechita arriba ( v

r). La

magnitud vr

se lee vector “vector ve” o “ve vector”. En física los vectores que vos vas a ver serán casi siempre posiciones, velocidades, aceleraciones y fuerzas. Hay otras cosas que también son vectores pero que se usan menos. Para saber si algo es vector, tenés que fijarte si apunta para algún lado. Si apunta para algún lado, es vector. Si no, no. Fijate por ejemplo el caso de la velocidad:

Al largo del vector se lo llama módulo. Más grande es el vector, mayor será su módulo. Por ejemplo, se supone que al vector V1= 20 Km/h habría que dibujarlo más largo que el vector V2 = 10 Km/h ( porque el módulo es mayor ). Al módulo del vector v

r se lo pone así l V l o así V (sin la flechita). Conviene siempre

ponerlo así l vr

l porque sino ellos pueden pensar que quisiste poner vr

y te olvidaste la flechita. Hay cosas que NO son vectores, se llaman escalares. Por ejemplo el tiempo es un escalar porque no apunta para ningún lado. El tiempo no va ni para allá → ni para acá ← . Así que no tiene dirección ni sentido, por lo tanto NO es un vector.

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 175 -

En algunos vectores se habla de punto de aplicación del vector. ( Caso de las fuerzas, por ejemplo ). El punto de aplicación de una fuerza es el lugar donde se ejerce esa fuerza. COMPONENTE DE UN VECTOR

Cuando un vector está inclinado se toma un par de ejes x-y y se lo pone así: Vx y Vy forman al vector y por eso se las llama componentes. Supongamos por ejemplo que el vector v

res una velocidad y que sus componentes son vx = 20 Km/h

y vy = 10 Km/h. En este caso, lo que tengo es:

Para poner esto en forma matemática ellos dijeron así: tenemos que dar a entender que es un vector que mide 20 Km/h en el eje x y 10 Km/h en el eje y. Vamos a escribir esto de alguna manera que el que lo lea lo pueda entender, por ejemplo: v

r = 20 Km/h en el eje x y 10 km/h en el eje y

Todo esto es muy lindo, pero es muy largo. De manera que reemplazaron la frase “en el eje x” por la letra i y a la frase “en el eje y” por la letra j. Estas 2 letras i y j

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 176 -

son arbitrarias. Eligieron dos letras cualquiera. Podrían haber elegido u y v ( Por ejemplo ). Así que el vector queda:

La letra “y” queda media fea así que la reemplazaron por un signo + que queda más matemático. El vector v

r queda finalmente:

= 20 Km/h i + 10 Km/h j

Los chicos se confunden cuando ven una cosa como vr

= 20 Km/h i + 10 Km/h j. Dicen: ¿ qué es la i ? ¿ qué es la j ? ¿ por qué están sumando ambas cantidades ? Repito: la letra i no significa nada. Sólo reemplaza a la frase “en el eje x”. Lo mismo para la letra j. En cuanto al asunto que las cantidades estén sumando... NO las cantidades no están sumando. El ⊕ se utiliza para separar la componente x de la componente y. Se podría poner una coma también, por ejemplo. Es más, a veces ellos ponen al vector v

rcomo v

r= ( 20 Km/h i ; 10 Km/h j ).

Trabajando en letras, que es lo que le gusta a ellos, te digo que todo vector de componentes vx y vy se puede poner como:

FORMA DE CALCULAR EL MÓDULO

Si me dan las componentes de un vector puedo calcular el modulo usando pitágoras. Acordate, cuando tenías un triángulo rectángulo de lados x e y, vos podías calcular el valor de la hipotenusa haciendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir:

Lo mismo se puede hacer acá. Ahora los catetos son los componentes vx , vy y la hipotenusa será el módulo de v

r. ¿ Me seguiste ?

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 177 -

Por ejemplo, para el vector que tenía antes era vr

= 20 Km/h i + 10 Km/h j. Su módulo será:

hkm 22,36

hkm10

hkm20 v

VECTORES EN EL ESPACIO

Los vectores que puse antes estaban todos en el plano. Pero uno podría tener también una cosa así:

( Medio complicado no ?) Este caso podría ser el de una mosca que está volando... ahora el vector tendría 3 componentes que serían vx, vy y vz . Por ejemplo, podría ser

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 178 -

algo así:

En el caso general un vector en el espacio se pone igual que antes:

Ahora la letra k, reemplaza a la frase “en el eje z”. No te preocupes por esto de vectores en el espacio.... Es sólo para que lo veas un poco. Vectores en el espacio no se toma. VECTOR POSICIÓN ( r

r )

La posición de una cosa es el lugar donde la cosa está. Por ejemplo, imaginate un bicho que camina sobre una pared:

Si las coordenadas del coso son x = 2 m e y = 1 m , puedo decir que el vector posición rr va a ser:

VECTOR DESPLAZAMIENTO ( ∆rr)

Suponé que una cosa pasa de una posición a otra. Al principio el tipo tiene una posición dada por el vector r

r1 y al final tiene una posición dada por el vector r

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 179 -

El vector desplazamiento va a ser el vector que va de la punta de rr

1 a la punta de rr

2 (se lo define así). Se lo llama vector desplazamiento o también delta erre (∆rr)

Se lo llama desplazamiento porque si el bicho hubiera caminado de r

r1 a r

r2 en línea

recta, el módulo del vector ∆rr

daría el espacio recorrido por el chobi, es decir, lo que se desplazó. Esto en realidad puede no pasar porque al coso se le puede ocurrir ir caminando siguiendo una trayectoria cualquiera. Por ejemplo, la curva punteada que puse en el dibujo anterior. Si uno tiene los vectores r

r1 y r

r2 el vector ∆r

r se calcula como la resta de los

vectores rr

2 menos rr

1 (esto también es una definición). Es decir:

Ejemplo: Un bicho camina de la posición x1 = 1 m; y2 = 2 m a la posición x2 = 5 m ; y2 = 4 m. Calcular el vector ∆r

Lo que tengo es esto :

Los vectores rr

1 y rr

2 van a ser :

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 180 -

El vector desplazamiento ∆rr va a ser la diferencia entre los 2 vectores :

Entonces : Lo que hice acá fue restarle el vector r

r1 al vector r

r2. Esto se hace restando

componente a componente. Es decir, todo lo que tiene la letra i, menos todo lo que tiene la letra i y todo lo que tiene la letra j menos todo lo que tiene la letra j. O sea, la cuenta que hice es :

5 i - 1 i = 4 i Y 4 j - 2 j = 2 j Supongo que todo esto no se entiende mucho, pero... qué le vas a hacer. La vida es así. Son definiciones. Hay que hacer lo que dice la definición y chau. Si la fórmula dice: a r

r2 réstele r

r1, hago r

r2 - r

r1 y listo.

VECTOR VELOCIDAD MEDIA

Si el bicho tardó un tiempo ∆t en ir de una posición a la otra, el vector velocidad media se calcula haciendo la cuenta ∆r

r sobre ∆t. No lo tomes a mal pero esto

también es una definición.

Ejemplo: Calcular el vector velocidad media del ejemplo anterior suponien- do que para ir de r

r1 a r

r2 el bicho tardó un tiempo ∆t = 2 seg.

El vector posición del ejemplo anterior había dado ∆rr= 4 m i + 2 m j. Si divido este

vector por ∆t = 2 segundos obtengo el vector velocidad media que es:

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 181 -

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

La velocidad vectorial media sería algo así como una especie de velocidad "pro-medio" que tiene el bicho al ir desde la posición inicial a la posición final. ( Ojo, la velocidad vectorial media no es el promedio. Es algo así como el promedio ).

Es decir, el vector velocidad media me dio Si yo hago el módulo de este vector tengo:

Esta es la velocidad media que tiene el bicho si camina de r

r1 a r

r2 en línea recta.

Pero el bicho puede tener una velocidad en rr

1 (por ejemplo sm 2 ) y otra velocidad

en rr

2 ( por ej 3 sm ). El dibujito correspondiente sería este:

M sm 1

sm 2 V

sm 2,23 V M =

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 182 -

Quiere decir que la velocidad vectorial media NO ES la velocidad que tiene el tipo al pasar por un punto determinado. Si yo quiero saber qué velocidad tenía el objeto exactamente al pasar por r

r1 (o por r

r2), tendría que conocer la velocidad que tenía

exactamente en ese instante. No antes ni después, sino justo en ese momento. A esa velocidad se la llama velocidad instantánea.

Algo importante que tenés que saber de la velocidad instantánea es que siempre es tangente a la trayectoria. Esto si tenés que acordártelo. Es decir: Resumiendo: si vos vas en un auto que está acelerando y en un momento dado el velocímetro marca 60 Km/h, esta sería la velocidad instantánea. ¿ Por qué ? Rta: Porque la velocidad instantánea es la velocidad que tiene el objeto justo en un momento determinado y eso es exactamente lo que marcan los velocímetros de los autos. Para poder calcular la velocidad instantánea de una cosa que se mueve tenés que poder obtener de alguna manera el vector velocidad en función del tiempo. Si no podés obtener V = V(t) no podés calcular la velocidad instantánea. Uno puede decir: “este de qué habla ?!!” . La cosa es que este asunto de las velocida-des medias e instantáneas no es fácil. Lo vas a entender mejor cuando hagas algunos ejercicios y también después cuando hagas movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente variado (MRU y MRUV). Ahora seguí que ya terminás con la teoría y podés empezar con los problemas. ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA

Si una cosa que se mueve tiene en un momento un vector velocidad 1Vr

y después otro

vector 2Vr

, quiere decir que su velocidad cambió. Al principio era 1Vr

y al final es 2Vr

. El vector que indica el cambio de velocidad va a ser la velocidad final menos la velocidad inicial. Es decir:

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 183 -

Suponiendo que este cambio de velocidad se hizo en un intervalo ∆t, ellos definen el vector aceleración media como:

Para entender bien qué es la aceleración vas a tener que esperar hasta que llegue-mos a MRUV. Ahí lo vas a ver mejor. Por ahora te recomiendo que si te piden calcular la aceleración media, te limites a usar la fórmula que recuadré. Es decir, agarrás el vector 2V

, le restás el vector 1Vr

y a todo esto lo divides por el tiempo que pasó. El resultado de esa cuenta choclaza va a ser el vector aceleración media.

Ejemplo: Un cuerpo pasa por los puntos 1 y 2 con las velocidades que se indican en la figura. Sabiendo que tardó 2 seg de ir de un punto al otro, calcular la aceleración media entre esos 2 puntos

¿ Se puede calcular la velocidad media en ese intervalo ? ¿ Se puede calcular la aceleración para t = 1 seg ?

Empecemos. Las velocidades en los puntos 1 y 2 son dato, por lo tanto la aceleración será:

ASIMOV CIN. VECTORIAL

- 184 -

La velocidad media se calcula como El tiempo lo tengo, son 2 segundos. Pero no tengo el vector desplazamiento ∆ r. O sea, no tengo los vectores posición de los puntos 1 y 2. Así que no tengo manera de calcular la velocidad media. Con respecto a la aceleración para t = 1 seg, la cuestión es esta: la aceleración para t = 1 seg es la aceleración que tiene el cuerpo en ese momento. Para poder calcularla hay que tener la función que me da la aceleración en función del tiempo. Si uno no tiene la aceleración en función del tiempo, no puede calcular la aceleración en t = 1 seg. NOTA: Cinemática Vectorial es un tema difícil. Probablemente te cueste bastante entender todo esto. Ojo, no es un problema personal tuyo. No es que seas un tonto. El error está en que ellos ponen cinemática vectorial ahora, cuando deberían ponerlo después, en física I. ( Opinión personal ).

FIN TEORÍA DE CINEMÁTICA VECTORIAL

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 185 -

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 186 -

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 187 -

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 188 -

Lo primero que tengo que hacer en este problema es ubicar las posiciones de

las casas de diego, de Silvia y del Cine.

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 189 -

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 190 -

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 191 -

PROBLEMAS DE PARCIALES PROBLEMA 1

Pedro sale de su casa (P) y camina 3 cuadras hacia

el norte con velocidad constante de 1,2 m/s y luego 4

cuadras hacia el este con velocidad constante de 0,8 m/s

( cada cuadra mide 100 m ). Entonces la velocidad vectorial

media será:

a) 0,8 m/s i + 1,2 m/s j b) 1,2 m/s i + 0,8 m/s j

c) 0,6 m/s i + 0,8 m/s j d) 0,53 m/s i + 0,35 m/s j

e) 0,53 m/s i + 0,4 m/s j

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 192 -

Veamos primero un gráfico del movimiento de Pedro. Recordá que la

velocidad media, vm, se define como: t

rvm ∆

∆=

Primero hay que calcular el tiempo que Pedro tarda en hacer todo el recorrido,

sabiendo que: v

∆=∆ (surge de reacomodar la ecuación anterior).

Reemplazando en esa ecuación los datos de desplazamiento y velocidad que da

el problema para cada tramo del recorrido, obtenemos ∆t1 y ∆t2: ∆t1 = 250 s y ∆t2 = 500 s. Ahora, reemplazando en la ecuación de velocidad media

tenemos:s

mjmivm 750

300400 += , me queda:

vm = 0,53 m/s i + 0,4 m/s j

Entonces, la respuesta correcta es la e).

PROBLEMA 2

Un automóvil se desplaza en un plano horizontal con aceleración cero.

Su posición inicial es 40 m i + 3 m j y su velocidad es 15 m/s i - 20 m/s j.

Su posición será 130 m i - 90 m j a los:

a) 6 s b) 3 s c) - 6 s d) 3,5 s e) 2 s f) 5s

SOLUCION

Nos dan la velocidad media, que se define: t

rvm ∆

∆= . El desplazamiento lo calculo

con los datos que nos dan. Haciendo la cuenta: ∆r = 90 m i – 120 m j.

Ahora reemplazamos los datos en la ecuación de velocidad media ( puedo tomar

sólo una componente, por ejemplo, la x, verificalo). Da: t = 6 s.

Entonces, la respuesta correcta es la a).

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 193 -

PROBLEMA 3

Un móvil se desplaza por una trayectoria

rectilínea. En el instante inicial se encuentra

en el punto A con velocidad de módulo 4 m/s,

y 5 segundos después se encuentra en el punto B ( distante 40 m de A ) con

velocidad de módulo 8 m/s. Entonces la aceleración vectorial media en este

intervalo será:

a) 1,2 m/s2 (- i) b) 0,8 m/s2 (-i) c) 1,2 m/s2 i d) 2,4 m/s2 i e) 2,4 m/s2 (-i)

SOLUCION

La aceleración vectorial media es: t

vam ∆

∆= . En este caso: vB = - 8 m/s i,

vA = 4 m/s i y ∆t = 5 s. Haciendo la cuenta: am = - 2,4 m/s2 i. O también:

am = 2,4 m/s2 (-i).

Entonces, la respuesta correcta es la e). FIN CINEMATICA VECTORIAL

ASIMOV CIN. VECTORIAL - 194 -

RESUMEN DE FORMULAS Pongo ahora un resumen de toda la teoría y de las principales ecuaciones que necesitás para resolver los problemas. Si ves que falta alguna fórmula o que algo no está claro, mandame un mail.

www.asimov.com.ar

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 196 -

FUERZAS CONCURRENTES o COPUNTUALES

Cuando TODAS las fuerzas que actúan sobre un cuerpo PASAN POR UN MISMO PUNTO, se dice que estas fuerzas son concurrentes o que son copuntuales. Fuerzas concurrentes son fuerzas que concurren a un mismo punto.

DESCOMPOSICION DE UNA FUERZA EN 2 DIRECCIONES Para calcular la proyección de una fuerza sobre el eje horizontal tomo el ángulo que forma la fuerza con el eje equis. Hago Fx = F. cos α . Para calcular la proyección de cada fuerza sobre el eje vertical hago Fy = F. sen α . METODO PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE FUERZAS COPUNTUALES

1 - Se descompone cada fuerza en 2 componentes Fx y FY .

2 – Se suma la proyección de cada fuerza sobre el eje horizontal y se calcula Rx. 3 – Se suma la proyección de cada fuerza sobre el eje vertical y se calcula RY.

4 - Saco el valor de la resultante componiendo Rx y Ry por Pitágoras.

SOMBRA DE LA

FUERZA EN Y ( Fy ) Fy

F SOMBRA DE LA

FUERZA EN X ( Fx )

Fx = F. cos α

FY = F x sen α

R2 = Rx2 + Ry

PITAGORAS

Rx = Σ Fx ← SUMATORIA EN x Ry = Σ Fy ← SUMATORIA EN y

RESUMEN DE ESTATICA

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 197 -

5 - Calculo el ángulo alfa que forma la resultante con el eje x haciendo la cuenta :

FUERZAS NO COPUNTUALES

Si las fuerzas aplicadas al cuerpo no pasan por el mismo punto se dice que son NO CONCURRENTES o NO COPUNTUALES.

MOMENTO DE UNA FUERZA

La distancia perpendicular que va del punto a la fuerza se llama d . F es la componente de la fuerza en forma perpendicular a d . Si la fuerza está inclinada el momento de la fuerza con respecto a O vale Mo = Fy . d ( Fy es la componente de la fuerza perpendicular a d ).

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES

Para los casos en donde las fuerzas NO PASAN POR UN MISMO PUNTO , puede ser que la resultante sea cero, pero el cuerpo podría estar girando.

Entonces cuando las fuerzas aplicadas no pasan por un mismo punto, hay que agregar una nueva ecuación.

tg α R = Ry / Rx

M ó = F x d

Momento de una fuerza con respecto al punto ó.

CUPLA ( O PAR

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 198 -

Esta ecuación es la que dice que el momento total que actúa sobre el cuerpo debe ser CERO. Se pone ∑ Mó = 0 y se la llama ecuación de momentos. ENTONCES:

Resumiendo, para resolver los problemas de estática en donde las fuerzas NO pasan por un mismo punto hay que plantear tres ecuaciones. Estas ecuaciones van a ser dos de proyección ( ∑Fx y ∑Fy ) y una de momentos ( ∑Mó = 0 ). Resolviendo las ecuacio-nes que me quedan, calculo lo que me piden. ACLARACIONES:

* Recordar que el sentido positivo para los momentos lo elige uno.

* Siempre conviene tomar momentos respecto de un punto que anule alguna incógnita. Generalmente ese punto es el apoyo.

* No siempre va a haber que usar las tres ecuaciones para resolver el problema. Depende de lo que pidan. Muchas veces se puede resolver el problema usando sólo la ecuación de momentos.

FIN RESUMEN DE ESTATICA

PARA QUE ESTÉ EN EQUILIBRIO UN CUERPO QUE TIENE UN MONTÓN DE FUERZAS APLICADAS QUE NO PASAN POR UN MISMO PUNTO, DEBE CUMPLIRSE QUE : ∑ Fx = 0 Garantiza que no hay traslación en x. ∑ Fy = 0 Garantiza que no hay traslación en y. ∑ Mó = 0 Garantiza que no hay rotación.

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 199 -

CINEMATICA - RESUMEN DE FORMULAS

MRU - MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME

El tipo se mueve en línea recta todo el tiempo a la misma velocidad. Recorre espacios iguales en tiempos iguales.

POSICIÓN ( x ): Lugar del eje equis donde se encuentra el objeto. VELOCIDAD ( v ): Rapidez con la que se mueve el objeto. Es Cte en el MRU.

ACELERACIÓN ( a ): Rapidez con la que cambia ( varía ) la velocidad del objeto. La aceleración siempre vale cero en el MRU .

ECUACIONES HORARIAS

GRÁFICOS PARA EL MRU MRUV - MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMENTE VARIADO

En el MRUV la velocidad aumenta ( o diminuye) lo mismo por cada segundo que pasa.

ECUACIONES HORARIAS Dan la posición, velocidad Y aceleración del objeto .

0actev

v.txx 0

221

ctea

tav v

ta tvx x

=⋅+=

⋅+⋅+=

MRU. el en Velocidad

empleado. Tiempo

recorrido. Espacio

←−−

∆∆=

ttxxv

txv

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 200 -

ECUACIÓN COMPLEMENTARIA : → Vf2 – Vo

2 = 2 . a . ( Xf – Xo ) GRAFICOS DEL MRUV

PENDIENTES Y ÁREAS

La pendiente del gráfico posición en función del tiempo X (t) me da la velocidad instantánea. ( Importante ). La pendiente del gráfico velocidad en función del tiempo me da la aceleración. El área bajo el gráfico de velocidad me da el espacio recorrido.

ENCUENTRO: Dos cosas se encuentran si pasan al mismo tiempo por el mismo lugar. Para resolver los problemas conviene seguir estos pasos:

1) - Hago un dibujo de lo que pasa. Elijo un sistema de referencia y marco las posiciones iniciales y las velocidades con su signo ( ojo ).

2) - Planteo las ecuaciones horarias para los móviles A y B. 3) - Escribo la condición de encuentro: xA = xB , si t = te 4) - Igualo las ecuaciones y despejo lo que me piden. 5) - Hago el gráfico de posición en función del tiempo. ( Conviene ).

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 201 -

CAÍDA LIBRE-TIRO VERTICAL

Caída libre y tiro vertical son casos de MRUV. Para resolver los problemas hay que aplicar todo lo mismo que en MRUV. Esto lo hago para un eje vertical que llamo y. Para resolver los problemas conviene hacer esto :

1- Tomo un sistema de referencia. Marco Y0, V0 y g con su signo .( ojo ! ). El eje y puede ir para arriba o p/abajo. Si va para arriba, g es negativa. 2 – Planteo las ecuaciones horarias: 3 - Reemplazo en las ecuaciones los valores de y0, v0 y g con sus signos y de ahí despejo lo que me piden.

TIRO OBLICUO

Cuando uno tira una cosa en forma inclinada tiene un tiro oblicuo. Ahora el vector velocidad forma un ángulo alfa con el eje x. ( Angulo de lanzamiento ).

Para resolver los problemas uso el principio de superposición de movimientos, que dice esto: La sombra de la piedra en el eje x hace un MRU. La sombra de la piedra en el eje y hace un tiro vertical. C/u de estos movimientos es independiente del otro. Lo que pasa en x no influye sobre y ( y viceversa ). Tomo un sistema de referencia. Sobre él marco V0x, V0y y g. C/u con su signo.

Sistema de referencia

Y = Yo + Vo t + ½ g t 2

Vf = Vo + g t a = Cte ( = g )

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 202 -

Calculo las velocidades iniciales en equis y en Y multiplicando por seno o por coseno. Planteo las ecuaciones horarias para las proyecciones ( = las sombras ) en cada uno de los ejes. En equis voy a tener un MRU y en Y un tiro vertical. EN X : EN Y: Despejando de estas ecuaciones calculo lo que me piden. Ojo. De las 6 ecuaciones solo se usan 3, la de X, la de Y y la de Vfy.. Todo problema de tiro oblicuo tiene que poder resolverse usando solamente esas 3 ecuaciones. ( Atención ).

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ( MCU )

El radián es un número sin unidades. Lo que me dice el ángulo en radianes es cuántas veces entra el radio en el arco. Por ejemplo, si alfa es 3 radianes, eso significa que el radio entra 3 veces en el arco abarcado por ese ángulo. Un radián equivale aproximadamente a 57,29578 grados

VELOCIDAD ANGULAR OMEGA (ω)

Es el Nro de vueltas que da el cuerpo por segundo. Si un cuerpo tiene gran velocidad angular quiere decir que gira muy rápido.

0 x

x x v .t

v cte

a 0

= +=

Y = Yo + Vo t + ½ g t 2

Vf = Vo + g t a = Cte ( = g )

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 203 -

Hay muchas unidades diferentes de velocidad angular. Todas se usan. La más importante es radianes por segundo. Esta unidad es la que se usa en los problemas. También se usan las revoluciones por minuto ( RPM ). A veces se usan las RPS ( = Revoluciones por segundo ). Como el radian es un número sin unidad, la palabra Radián suele no ponerse. De manera que las unidades que se suelen usar en la práctica son 1/seg . Este 1/seg a veces también lo ponen así: 1/s o así : s-1 VELOCIDAD TANGENCIAL ( Vt)

Si tengo un disco que esta girando, sobre el borde del disco habrá un punto que da vueltas con movimiento circular uniforme. La velocidad tangencial se calcula con:

Ese punto tiene todo el tiempo una velocidad que es tg a la trayectoria. Esa velocidad se llama velocidad tangencial. Las unidades son m/s. EL PERIODO T: Es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta. Por ejemplo, el periodo de rotación de la tierra es 24 hs. El período se mide en segundos. ( O en hs, minutos, etc ). LA FRECUENCIA f Es el Nro de vueltas por segundo que da el cuerpo. ( Por ejemplo, 3 vueltas por segundo, 5 vueltas por segundo.... etc.). Las unidades de la frecuencia son " 1 / seg " . A esta unidad se la llama Hertz. 1 Hz = 1 / seg . A veces vas a ver puesto el Hz como seg -1 o s -1 ). La frecuencia es la inversa del periodo : A veces a ω se le dice "frecuencia angular " cuando uno mide la velocidad angular ω en vueltas por segundo, la velocidad angular y la frecuencia coinciden.

[ ]segundo

Radianes ω =

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 204 -

ACELERACION CENTRIPETA

En el movimiento circular uniforme, el largo de la flecha que representa al vector velocidad tangencial no cambia. Esto quiere decir que el módulo de la velocidad tangencial es constante. Pero lo que sí cambia es LA DIRECCION del vector de la velocidad. Cuando hay un cambio de velocidad tiene que haber una aceleración. Esa aceleración se llama centrípeta. Lo que la provoca es el cambio de dirección del vector velocidad tangencial. La acentrípeta apunta siempre hacia el centro.

La aceleración centrípeta se calcula por cualquiera de las siguientes dos maneras: OTRAS FORMULITAS QUE SE USAN EN MOVIMIENTO CIRCULAR

Se puede calcular la velocidad angular w como: Pero como f = 1 / T, esta misma formula se puede poner como:

LA ACELERACION CENTRIPETA APUNTA SIEMPRE HACIA EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA.

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 205 -

MOVIMIENTO RELATIVO - RESUMEN

Tengo un problema de Movimiento Relativo cuando hay algo que se mueve sobre algo que se mueve. Ejemplo: Un señor que camina sobre un tren que avanza o una persona que camina sobre un barco que navega. También tengo movimiento relativo en el caso de un bote que es arrastrado por el agua. Lo mismo pasa para un avión que vuela y es arrastrado por el viento. Para plantear los problemas de relativo conviene tomar 2 sistemas de referencia: Uno es el sistema que está fijo a la tierra. ( Sistema fijo o absoluto ). El otro es el sistema que está fijo al objeto que se mueve. ( Sistema Relativo o móvil ). No hay ecuaciones para resolver estos problemas. Los ejercicios de Movimiento Relativo se resuelven pensando como si fueran problemas de ingenio. La única fórmula que se puede usar a veces es : En esta fórmula: Velocidad Absoluta: Es la velocidad del objeto respecto a la Tierra –Tierra. Velocidad Relativa: Es la velocidad del objeto respecto del móvil que lo arrastra. Velocidad de arrastre: Es la velocidad con la que es arrastrado el sistema móvil.

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 206 -

CINEMÁTICA VECTORIAL - RESUMEN Vectores Un vector se representa por una flecha de la siguiente manera: Cuando uno ve un dibujito de este tipo tiene que darse cuenta de que la flecha que llaman v es un vector. Para destacar esto, ellos le ponen una flechita arriba ( v

r ). La magnitud v

r se lee “vector ve” o “ve vector”. La posición, la velocidad y la aceleración son vectores. Mirá el dibujito:

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 207 -

El vector desplazamiento va a ser el vector que va de la punta de rr

1 a la punta de rr

2 Se lo llama vector desplazamiento o también delta erre (∆r) Al largo del vector se lo llama módulo. Más grande es el vector, mayor será su módulo. Componentes de un vector

Un vector V se puede descomponer en sus componentes en el eje x y en el eje y. Se las llama Vx y Vy . Con las componentes puedo sacar el módulo del vector usando Pitágoras.

Supongamos que tengo un vector velocidad que mide 20 Km/h en x y 10 Km/h en y. En forma vectorial esto se escribe así:

V = 20 Km/h i + 10 Km/h j

La letra " i " indica la componente sobre el eje x. La letra " j " indica la componente sobre el eje Y. También se puede escribir el vector con las componentes separadas por comas así:

V = ( 20 Km/h , 10 Km/h ) Vector velocidad media. Si el móvil tarda un tiempo ∆t en ir de una posición a la otra, el vector velocidad media se calcula haciendo la cuenta ∆ r

r sobre ∆t. OPERACIONES CON VECTORES

Los vectores se suman componente a componente. Es decir, si tengo el vector V1 = 10 i + 20 j y el vector V2 = 30 i + 40 j la suma de V1 + V2 va a dar 40 i + 60 j.

Para sumar vectores gráficamente se usa la regla del paralelogramo.

V2 = Vx2 + Vy

∆tr∆VM

= ← Vector velocidad media

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 208 -

VELOCIDAD INSTANTANEA

Es la velocidad que tiene el móvil en un momento determinado. La velocidad instantánea es la que marca el velocímetro del auto. IMPORTANTE: El velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria. Aceleración media e instantánea Si una cosa que se mueve tiene en un momento un vector velocidad 1V

r y después otro

vector 2Vr

, quiere decir que su velocidad cambió. Al principio es 1Vr

y al final es 2Vr

. El vector que indica el cambio de velocidad va a ser la velocidad final menos la velocidad inicial. Es decir:

2 1∆V = V - Vr r r

Suponiendo que este cambio de velocidad se realizó en un intervalo ∆t, ellos definen el vector aceleración media como:

m∆Va =∆t

FIN RESUMEN DE FORMULAS

← vector cambio de velocidad

← vector aceleración media

INDICE

Página

1 FISICA CERO

MATEMÁTICA NECESARIA PARA ENTENDER FÍSICA

20 ESTATICA 22............ FUERZAS COPUNTUALES 23 SUMA DE FUERZAS – RESULTANTE 25.............TRIGONOMETRIA. SENO, COSENO Y TANGENTE 28 PROYECCIONES DE UNA FUERZA 31............. SUMA DE FUERZAS ANALITICAMENTE 33 EQUILIBRIO 35..............EJEMPLOS 39............. FUERZAS NO COPUNTUALES

39 MOMENTO DE UNA FUERZA 39.............. SIGNO DEL MOMENTO 40 EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES 42.............. EJEMPLOS 44 TEOREMA DE VARIGNON

45.............. CENTRO DE GRAVEDAD 46 PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALES

CINEMATICA - MRU

52 POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN. 53 ........... SISTEMA DE REFERENCIA. TRAYECTORIA. 55 MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME 57........... VELOCIDAD EN EL MRU 58 ECUACIONES HORARIAS EN EL MRU 59 ........... TG DE UN ÁNGULO Y PENDIENTE DE UNA RECTA

ASIMOV INDICE - 210 -

61 GRÁFICOS EN EL MRU

62............. PENDIENTES Y LAS ÁREAS DE LOS GRÁFICOS 63 UN EJEMPLO DE MRU

67............. VELOCIDAD MEDIA 73 ........... ENCUENTRO

75 Problemas de encuentro. 81 ........... Encuentro cuando un móvil que sale antes que el otro 83 MRUV

84 ........... Aceleración. 86 Signo de la aceleración 87............ Ecuación de una parábola 88 Solución de una ecuación cuadrática 89 ........... Ecuaciones y gráficos en el MRUV

93 Ecuación complementaria. 95 ........... Velocidad instantánea. 96 Análisis de los gráficos del MRUV 98............. La velocidad y la aceleración son vectores

100 Como resolver problemas de MRUV 101..............MRUV, Ejercicios de parciales 105 Encuentro en MRUV 107............. Encuentro, Ejercicios de parciales

113 ............CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

116 Como resolver problemas de C. libre y Tiro vertical 123............Caída libre, ejercicios de parciales 127 ........... TIRO OBLICUO

129 Trigonometría 131.............Proyección de un vector 133 Principio de independencia de los movimientos de Galileo

136.............Ecuaciones en el Tiro Oblicuo. 137 Como resolver problemas de Tiro Oblicuo 138.............Ejemplos y problemas sacados de parciales

ASIMOV INDICE - 211 -

153 MOVIMIENTO CIRCULAR

154............. Movimiento circular uniforme 154 El Radián 156..............La velocidad angular omega 157 La velocidad tangencial 157..............Período T y frecuencia f 158 Aceleración centrípeta 159..............Relación entre ω y f 160 Algunos problemas de Movimiento circular 164 MOVIMIENTO RELATIVO

165..............Velocidades relativa, absoluta y velocidad de arrastre 167 Algunos problemas de Movimiento relativo 173 CINEMATICA VECTORIAL

174..............Vectores 175 Componentes de un vector 177............. Módulo de un vector 179 Vector Posición y vector desplazamiento 180..............Vector Velocidad Media 182 Velocidad instantánea 184............. Aceleración Media e instantánea 184 Ejemplos y problemas de cinemática Vectorial 192............. Cinemática Vectorial, problemas sacados de parciales Pag 195 : Resumen de fórmulas de Estática y cinemática

ASIMOV INDICE - 212 -

ASIMOV INDICE - 213 -

ECUACIONES HORARIAS PARA CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

ASIMOV INDICE - 214 -

OTROS APUNTES ASIMOV

* QUÍMICA PARA EL CBC

* MATEMATICA PARA EL CBC

* BIOFISICA PARA EL CBC

Tienen lo que se da en clase en cada materia pero hablado en castellano.

ASIMOV INDICE - 215 -

ASIMOV INDICE - 216 -

ASIMOV – FISICA PARA EL CBC, Parte 2

FISICA Para el CBC

- PARTE 2 -

DINAMICA - TRABAJO Y ENERGIA

DINAMICA

LEYES DE NEWTON - DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE - CUERPOS VIN-CULADOS - PLANO INCLINADO - ROZAMIENTO - DINAMICA DEL MO-VIMIENTO CIRCULAR - FUERZAS ELASTICAS – GRAVITACION .

TRABAJO Y ENERGIA

TRABAJO DE UNA FUERZA - SIGNO DEL TRABAJO - ENERGIA CINETICA - ENERGIA POTENCIAL - ENERGIA ELASTICA - ENERGIA MECANICA - CONSERVACION DE LA ENERGIA – FUERZAS NO CONSERVATIVAS - TRABAJO DE LA FUERZA DE ROZAMIENTO - POTENCIA

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Física para el CBC, Parte 2 - 2ª. edición. – Buenos Aires: Editorial Asimov, 2012 240 p. ; 21 x 27 cm. ISBN: 978-987-23462-3-2 Física para el CBC, Parte 2 - 2a ed. - Buenos Aires : Asimov, 2012 v. 1, 240 p. ; 21 x 27 cm. ISBN 978-987-23462-3-2 1. Física. Título CDD 530 Fecha de catalogación: Marzo de 2007 © 2007 Editorial Asimov Derechos exclusivos Editorial asociada a Cámara del Libro 2ª edición. Tirada: 50 ejemplares. Se terminó de imprimir en Noviembre de 2012 HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723 Prohibida su reproducción total o parcial IMPRESO EN ARGENTINA

FISICA Para el CBC

- 2da Parte -

DINAMICA – TRABAJO Y ENERGIA

LEYES DE NEWTON - DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE - CUERPOS VINCULADOS - PLANO INCLINADO - ROZA-MIENTO - DINAMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR - FUERZAS ELASTICAS – GRAVITACION – TRABAJO Y ENERGIA – CONSERVACION DE LA ENERGIA – FUERZAS NO CONSERVATIVAS - POTENCIA .

LF-2

OTROS APUNTES ASIMOV

* QUÍMICA PARA EL CBC

* ANALISIS PARA EL CBC

* ALGEBRA PARA EL CBC

* BIOFISICA PARA EL CBC

Estos libros tienen lo que se da en clase en cada materia pero hablado en castellano bien criollo. Están hechos para preparar los parciales, el final o para leer alguna clase que te hayas perdido.

ACA ESTOY Hola. Acá va la 2da parte del libro Física para el CBC. Abarca los temas de Di-námica y Trabajo y Energía. ( Agarrate ). Al final de cada tema puse un montón de problemas tomados en parciales. Así como los tomaron, así los puse. Al final del libro también puse varios parciales que fueron tomados. Algunos de estos parciales tienen temas que están en el 3er libro. Ejemplo: Impulso, cantidad de movimiento, choque, hidrostática, peso y empuje y demás. La gente suele preguntarme si el segundo parcial es más difícil que el primero. Rta: Ermmmm... Bueno, esto depende un poco de cada persona. A grandes ras-gos te puedo decir que si el primer parcial te pareció fácil, este te va a pare-cer más fácil. Pero si el primer parcial te pareció difícil, probablemente este te va a parecer más difícil. ( Bienvenido a Física ). Importante: Como siempre, el truco en física está en saber resolver proble-mas. Resolvé los ejercicios de la guía. Buscá otros problemas. Conseguite par-ciales viejos y resolvelos. Fijate que al final de cada tema yo pongo ejercicios y ejemplos. Muchos de esos ejercicios son problemas sacados de parciales. Mira-los bien. Para entender esta 2da parte también hay que saber bastante matemática. Otra vez muchas veces te va a parecer que no entendés física. En la mayoría de los casos, lo que te está pasando es que no estás entendiendo matemática. Y también igual que al principio, tus profesores te van a decir que esto es fácil. Falso. En física nada es fácil. Una cosa: ¿ Seguís ingeniería ? Entonces tenés que saber física. Date cuenta que la ingeniería es básicamente física. Casas, edificios, aparatos, máquinas, barcos, aviones, centrales nucleares... todo está hecho con física. La física es el instrumento que usa la ingeniería para construir cosas. Si seguís ingeniería tenés que saber esta materia a la perfección. Tratar de sacarse física de encima es un error. No es cuestión de zafar. Acá no hay "me la saco de encima y chau". Zafar ahora te va a traer problemas más adelante cuando quieras cursar física I y física II. ( Ahí sí vas a tener que agarrarte en serio ). Y también vas a tener problemas cuando quieras cursar las materias de ingeniería que en realidad son físicas encubiertas. ¿ Ejemplo ? Estabilidad I, Estabilidad II, Resistencia de materiales, Mecánica, Elementos de máquinas,

Termodinámica, transferencia de calor y masa, Mecánica de los fluidos, Máqui-nas térmicas y demás. La Ingeniería básicamente es física. Si la física no te gusta.... Bueno, probablemente lo tuyo no sea la Ingeniería. ( Pensalo ). ¿ Seguís Biología ? ¿ Seguís Licenciatura en Química ? Amiga, estás en proble-mas. Tenés que saber física. Fijate que más adelante en tu carrera volvés a tener otras físicas. Te digo lo mismo que le digo a la gente de Ingeniería: Para alguien que sigue exactas tratar de sacarse física de encima es un error. No es cuestión de zafar. Acá no hay zafar. Zafar ahora te va a traer problemas más adelante cuando quieras cursar Física I y Física II. ( Que son materias difíciles en serio ). Esto no es mala onda. Esto es así. ( Bienvenido a Exactas ) Los chicos dicen que las materias más difíciles del CBC son Análisis y álgebra. Es cierto, son materias difíciles. Pero son materias difíciles porque ellos van demasiado rápido. En realidad física es más difícil. Si yo diera física tan rápido como ellos dan Análisis o Álgebra, física sería una materia inaprobable. Tarde o temprano uno termina entendiendo Análisis y Álgebra. A la larga uno se da cuenta de que son materias relativamente mecánicas. Si la derivada da cero, pasa esto. Si la derivada da positiva, pasa esto otro. Para buscar el vec-tor perpendicular hay que hacer el producto vectorial. Para invertir una matriz se usa tal procedimiento. Uno tarda en aprenderlo. Pero a la larga es siempre igual. Física no es así. Acá no hay: "bueno, todos los problemas son iguales. Si sé uno, sé todos". La física es difícil en serio. Uno nunca termina de entender física. Parecen todas pálidas. Pero al final todo tiene su recompensa. La recompensa es que saber física te convertirá en un hombre nuevo. Te vas a dar cuenta de esto cuando hables con tus amigos del secundario. O con tu hermana. O con tu prima. Dirás: ¿ Estas son tontas o se hacen ?! Rta: No son tontas. Son lo que siempre fueron. Ellas están iguales. VOS sos el que cambiaste. Aprobaste física. Sos un hombre nuevo. Un ser pensante. El cerebro empezó a funcionar. ( Bienvenido ). Como siempre, ¿ Encontraste algún error en el libro ? ¿ Hay algo que te parece que está mal explicado ? ¿ Querés preguntarme algo ? Estoy del otro lado de la computadora. Mandame un mail ( www.asimov.com.ar )

Saludos. Aníbal

INDICE

PAGINA DINAMICA

2 Dinámica. Fuerza, masa y aceleración. 5..........Leyes de Newton. 13 Diagramas de cuerpo libre. 25.........Plano inclinado. 35 Problemas sacados de Parciales 45.........Rozamiento. 65 Método de la Bolsa de Gatos 72.........Problemas sacados de Parciales 82 Resortes - Fuerzas elásticas – Ley de Hooke. 96.........Dinámica del movimiento circular.

115 Gravitación. 130.........Problemas sacados de Parciales

TRABAJO Y ENERGIA

135........Trabajo de una fuerza. 142 Energía cinética - Teorema del trabajo y la energía. 147........ Potencia.

154 Gráficos de F en función de d. 162.........Energía potencial. 163 Energía elástica. 166.........Energía mecánica. 169 Fuerzas conservativas. 172.........Ejemplos de Problemas de conservación de la energía.

177 Problemas sacados de Parciales 189.........Fuerzas NO conservativas. 191 Teorema del trabajo y la Energ. Mecánica.

199.........Problemas sacados de Parciales Pag 211 -------- RESUMEN DE TEORÍA Y FÓRMULAS Pag 227 -------- Ejemplos de Parciales que fueron tomados.

L-F2

¿ Ves algo en este libro que no está bien ? ¿ Encontraste algún error ? ¿ Hay algo mal explicado ? ¿ Hay algo que te parece que habría que cambiar ? Mandame un mail y lo corrijo.

www.asimov.com.ar

Podés bajar parciales viejos de www.asimov.com.ar

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DINAMICA LEYES DE NEWTON

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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LEYES DE NEWTON

Hola ! Esto es una especie de resumen de toda la 1ra parte de Dinámica. La idea es que leas esto y te pongas a hacer problemas. Saber dinámica es saber resolver problemas. Nadie te va a pedir en un examen que repitas las leyes de Newton de memoria. De manera que: Tenés que hacer problemas y problemas hasta que veas que entendés cómo es el asunto. Antes nada. No busques la fácil en este libro porque no está. La cosa depende más de vos que de mí. Esto es sólo una especie de introducción teórica para que veas de qué se trata el tema. El resto tenés que ponerlo vos.

FUERZA, MASA y ACELERACIÓN

Hay tres conceptos que se usan todo el tiempo en dinámica. Estos conceptos son los de fuerza, masa y aceleración. Prestá atención a esto porque es la base para todo lo que sigue. Vamos.

¿ Qué es una fuerza ? Una fuerza es una cosa que hace que algo que está quieto se empiece a mover.

Esta situación de un cuerpo que tiene aplicado una fuerza la simbolizamos poniendo una flechita que representa a la fuerza. Vendría a ser algo así:

Un señor aplicando una fuerza

DINÁMICA

Inicialmente está quieto Ahora el tipo empuja y la

cosa se empieza a mover (acelera).

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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Cuando la fuerza empieza a actuar, el cuerpo que estaba quieto se empieza a mover. Si uno no deja que el cuerpo se mueva, lo que hace la fuerza es deformarlo o romperlo. Cuando uno empuja algo con la mano o cuando uno patea una cosa, uno ejerce una fuerza sobre la cosa. Lo que pasa es que este tipo de fuerzas no son constantes. Es decir, por ejemplo: La aguja no se va a quedar quieta todo el tiempo en el mismo lugar. Va a llegar hasta un valor máximo ( digamos 50 Kgf ). Después va a bajar. Esto indica que la fuerza aplicada sobre la balanza es variable ( no vale todo el tiempo lo mismo ). En la mayoría de los casos ellos siempre te van a dar fuerzas que valen todo el tiempo lo mismo. ( Constantes ).

Representación de una fuerza.

El cuerpo se deformó por la acción de la fuerza F.

El resorte se estiró por la acción de la fuerza peso.

Si uno le pega un pisotón a una balanza...

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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De ahora en adelante, cuando yo te diga que sobre un cuerpo actúa una fuerza F, vos podés que imaginarte esto: La fuerza está representada por la acción que ejerce la cañita voladora. Entonces, sin entrar en grandes detalles quedemos en que para imaginarse una fuerza convie-ne pensar que uno tiene una cañita voladora que está empujando a un objeto. Nota: En realidad una fuerza es algo un poco más complicado de lo que yo puse acá.

Te lo expliqué así para que tengas una idea del asunto.

MASA

Cuanto más masa tiene un cuerpo, más difícil es empezar a moverlo. ( Empezar a acelerarlo, quiero decir ). Y si el tipo viene moviéndose, más difícil va a ser frenarlo.

De manera que la masa es una cantidad que me da una idea de qué tan difícil es ace-lerar o frenar a un cuerpo. Entonces también se puede entender a la masa como una medida de la tendencia de los cuerpos a seguir en movimiento. Esto vendría a ser lo que en la vida diaria se suele llamar inercia. A mayor cantidad de materia, mayor masa. Si tengo 2 ladrillos del mismo material tendrá más masa el que tenga más átomos. ( Átomos, moléculas, lo que sea ). ESTE LADRILLO

TIENE MAS MASA

POCA MASA

A MAYOR CANTIDAD DE PARTICULAS, MAYOR MASA

Cañita voladora

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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Cuanta más materia tenga un cuerpo, más difícil va a resultar moverlo. Es como que la masa te dice " mi honor está en juego y de aquí no me muevo". la dificultad en acelerar o frenar un cuerpo está dada en por la cantidad de partícu-las que ese cuerpo tiene. Y la cantidad de partículas da una idea de la cantidad de materia. ( En realidad esto es un poco largo de explicar ). Sin entrar en grandes complicaciones, te resumo el asunto así:

Masa y fuerza son 2 conceptos que vas a entender mejor después de haber resuelto muchos problemas. Dinámica es así. Lleva tiempo. ACELERACIÓN

La aceleración es una cantidad que me dice qué tan rápido está aumentando o dismi-nuyendo la velocidad de un cuerpo. Esto ya lo sabés de cinemática. Digamos que si una cosa tiene una aceleración de 10 m/s2, eso querrá decir que su velocidad aumen-ta en 10 m /s por cada segundo que pasa. Si al principio su velocidad es cero, des-pués de un segundo será de 10 m/s, después de 2 seg será de 20 m/s, etc.).

LEYES DE NEWTON

1ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE INERCIA

Si uno tira una cosa, esta cosa se va a mover con movimiento rectilíneo y uniforme a menos que alguien venga y lo toque.Es decir, si un objeto se viene moviendo con MRU, va a seguir moviéndose con MRU a menos que sobre el actúe una fuerza. La forma matemática de escribir la primera ley es:

Si F = 0 → a = 0 ( v = cte ) Para entender esto imaginate que venís empujando un carrito de supermercado y de golpe lo soltás. Si no hay rozamiento, el carrito va a seguir por inercia.

La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que tiene MASA

1ra LEY

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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2ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE MASA

La ley que viene ahora es la que se usa para resolver los problemas, así que atención. La cosa es así: Si uno le aplica una fuerza a un cuerpo ( lo empuja, digamos ) el tipo va a adquirir una aceleración que va para el mismo lado que la fuerza aplicada. Esta aceleración será más grande cuanto mayor sea la fuerza que actúa. Es decir, a es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Esta aceleración será más chica cuanto más cantidad de materia tenga el cuerpo. Es decir, a será inversamente proporcional a la masa del objeto. Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, el tipo se empieza a mover con movimien-to rectilíneo uniformemente variado. La velocidad empieza a aumentar, y aumenta lo mismo en cada segundo que pasa. Mirá el dibujito:

Todo esto que dije antes se puede escribir en forma matemática como:

Si paso la masa multiplicando tengo la forma más común de poner la ley de Newton, que es como les gusta a ellos:

3ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Cuando dos cuerpos interactúan, la fuerza que el primer cuerpo ejerce sobre el segundo es igual y de sentido contrario a la fuerza que el 2do ejerce sobre el 1ro. Esto se ve mejor en un dibujito. Imaginate un señor que está empujando algo.

Cuando digo "cuerpos que interactúan" quiero decir cuerpos que se tocan, chocan, explotan, se atraen, se repelen, y cosas por el estilo. Interactuar vendría a querer decir " ejercerse fuerzas mutuamente ".

AL HABER

F, HAY a

a = F / m

F = m.a ← 2da Ley de Newton

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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El diagrama de las fuerzas que actúan sobre el placard y sobre la mano del tipo sería algo así:

Ojo, las fuerzas de acción y reacción son iguales y opuestas, pero la fuerza de ac-ción que el tipo ejerce actúa sobre el placard y la fuerza que ejerce el placard actúa sobre el tipo. Es decir, O.K, acción y reacción son iguales y opuestas, pero nunca pueden anularse porque están actuando sobre cuerpos distintos. ( Atento con esto ! ) ACLARACIONES SOBRE LAS 3 LEYES DE NEWTON

* Las fuerzas son vectores, de manera que se suman y restan como vectores. Quiero decir que si tengo 2 fuerzas que valen 10 cada una, y las pongo así:

, la suma de las dos fuerzas dará 20. Ahora, si una de las

fuerzas está torcida, la suma ya no vale 20. ( ). En este último caso habrá que elegir un par de ejes X-Y y descomponer c/u de las fuerzas en las direcciones X e Y. Después habrá que sumar las compo- nentes en x, en y, y volver a componer usando Pitágoras. * Recordar: Las fuerzas de acción y reacción actúan siempre sobre cuerpos distintos. Acción y reacción NUNCA pueden estar actuando sobre un mismo cuerpo. ( Si así fuera, se anularían ). * Encontrar una fuerza aislada en el universo es imposible. Una fuerza no puede estar sola. En algún lado tiene que estar su reacción. * De las 3 leyes de Newton, la 1ª y la 3ª son más bien conceptuales. Para resol- ver los problemas vamos a usar casi siempre la 2ª. ( F = m . a ). * La 2ª ley dice F = m . a. En realidad F es la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo . Entonces, si en un problema tenemos varias fuerzas que actúan sobre una cosa,

→→ 1010

→ 10 10

Fuerzas del tipo sobre el placard y del placard

sobre el tipo.

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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lo que se hace es sumar todas esas fuerzas. Sumar todas las fuerzas quiere decir hallar la fuerza resultante. Ahora pongo la 2da ley de newton como Σ F = m . a . Esto se lee : La sumatoria ( = la suma ) de todas las fuerzas que actúan igual a eme por a.

Ejemplo: 2 fuerzas de 5 y 10 N actúan sobre un cuerpo como indica la figura. Plantear la 2da ley de Newton.

Si tengo 2 fuerzas que actúan sobre el objeto, tengo que plantear que la suma de las fuerzas es "eme por a". Ahora. Ojo. La fuerza de 10 es positiva porque va como la aceleración, y la fuerza de 5 es negativa porque va al revés . Esto es así por la convención de signos que yo adopté. Me queda:

UNIDADES DE FUERZA, MASA y ACELERACIÓN

Aceleración: a la aceleración la vamos a medir en m /s2. ( igual que en cinemática ). A la unidad m /s2 no se le da ningún nombre especial. Masa: a la masa la medimos en Kilogramos. Un Kg masa es la cantidad de materia que tiene 1 litro de agua. Te recuerdo que 1 litro de agua es la cantidad de agua que entra en un cubo de 10 cm de lado ( o sea, 1000 cm

3 ). Fuerza: la fuerza la medimos en dos unidades distintas: el Newton y el Kilogramo fuerza. 1 Kgf es el peso de 1 litro de agua. Es decir ( y esto es importante ):

Una cosa que tiene una masa de 1 Kg pesa 1 Kgf. Una cosa que pesa 1 Kgf tiene una masa de 1 Kg.

Leer! Ojaldre!

.resultante fuerza am5N

la es derecha la

haciaNewton 5 am5N10N

⋅=⇒

←⋅=−

CONVENCIÓN DE SIGNOS EN DINÁMICA : SENTIDO POSITIVO COMO APUNTA LA ACELERACIÓN. CON ESTA CONVENCIÓN, LAS FUERZAS QUE VAN COMO LA ACELERACIÓN SON (+) Y LAS QUE VAN AL REVÉS, SON (-).

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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En los problemas suelen aparecer frases del tipo: Un cuerpo que pesa 2 Kgf... Levanta el alumno la mano y dice: Profesor, en este problema me dan el peso y yo necesito la masa... ¿ cómo hago ? ¿ La respuesta ? Bueno, no es muy complicado. El asunto es lo que te comenté antes: No hay que hacer ninguna cuenta. Si algo pesa 2 kilogramos fuerza, su masa será 2 kilogramos masa. Eso es todo. No hay que andar dividiendo por g ni nada por el estilo. ¿ Lo entendiste ? Bien. ¿ No lo entendiste ? Fuiste. Esto no hay otra manera de explicarlo. No es que " 1 kgf es igual a 1 kg masa ". Una cosa que pesa 1 kgf tiene una masa de 1 kg masa . Esto es así por definición, porque al inventar el kg masa se lo definió como la masa que tiene algo que pesa 1 kgf. ( Y viceversa ). Peor esta otra. Un enunciado típico de problemas de parcial suele ser: Un cuerpo de 3 kilogramos es arrastrado por una cuerda ... bla, bla, bla. Levanta la mano el alumno y dice: Profesor, en el problema 2 no me aclaran si los 3 kilogramos son Kg masa o Kg fuerza. Te pregunto a vos: Esos 3 kilogramos... ¿ Que son ? ¿ Masa o fuerza ? Rta: Igual que antes. Masa y peso NO son la misma cosa, pero en La Tierra, una masa de 3 Kg pesa 3 Kg fuerza. Así que es lo mismo. Podés tomarlos como 3 kg masa o como 3 kg fuerza. Esta coincidencia numérica solo pasa siempre que estemos en La Tierra, aclaro. La otra unidad de fuerza que se usa es el Newton. Un Newton es una fuerza tal que si uno se la aplica a un cuerpo que tenga una masa de 1Kg, su aceleración será de 1m/s 2.

Para que te des una idea, una calculadora pesa más o menos 1 Newton. ( Unos 100 gramos ). Para pasar de Kgf a Newton tomamos la siguiente equivalencia:

Salvo indicación en contrario, para los problemas ellos te van a decir que tomes la equivalencia 1 Kgf = 10 N. Esto se hace para facilitar las cuentas, porque en la realidad real, 1 kgf equivale a 9,8 N.

Nota: A veces 1 kilogramo fuerza se pone también así: 1 Kgr o 1 Kg

1 Newton = 1 kg x 1 m / s2 ←←←← 1 Newton

1 Kgf = 10 Newtons N.y fKg entre

iaEquivalenc ←

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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PESO DE UN CUERPO

La Tierra atrae a los objetos. La fuerza con que La Tierra atrae a las cosas se llama fuerza PESO. Antes la ley de Newton se escribía F = m ⋅ a. Ahora se va a escribir P = m ⋅ g. Esto sale de acá. Fijate.

En éste dibujo, la aceleración de caída vale g ( = 9,8 m/s2 ) y la fuerza que tira al cuerpo hacia abajo acelerándolo es el peso P. Fuerza es igual a masa por acelera-ción, F = m . a. En La Tierra la aceleración es la de la gravedad ( g ) y la fuerza F es el peso del cuerpo. Entonces reemplazo a por g y F por P en F = m . a y me queda:

Esta ecuación se lee " peso = masa por gravedad ". La equivalencia 1 Kgf = 9,8 N que puse antes sale de esta fórmula. Supongamos que tengo una masa de 1 Kg masa. Ya sabemos que su peso en Kilogramos fuerza es de 1 Kgf. Su peso en Newtons será de : P = 1 Kg x 9,8 m / s 2 ⇒ P ( = 1 Kgf ) = 9,8 N EJEMPLO DE CÓMO SE USA LA 2ª LEY DE NEWTON UN CUERPO TIENE VARIAS FUERZAS APLICADAS COMO INDICA EL DIBUJO. CALCULAR SU ACELERACIÓN.

Con este ejemplo quiero que veas otra vez este asunto de la convención de signos que te expliqué antes. Fijate. El cuerpo va a acelerar para la derecha porque la fuerza 20 N es mayor que la suma de las otras dos ( 15 N ). Planteo la 2da ley:

Diagrama de un cuerpo que está cayendo

debido a la fuerza PESO.

P = m . g FUERZA PESO

a.mN 10N 5N 20 amF =−−⇒⋅=∑

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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La aceleración va así: → . Entonces mi sentido positivo para las fuerzas también va a ser así →. Queda :

Importante: Fijate que al elegir sentido positivo en sentido de la aceleración, las fuerzas que apuntan al revés que son negativas. Esto es una convención. Podés to-mar la convención al revés pero te vas a complicar. ( Sería tomar positivo así ← )

). así (va cuerpo

deln Aceleració s

m 0,5a

a.gK 10s

m.Kg 5 aKg 10N 5

→←=⇒

=⇒⋅=⇒

ASIMOV LEYES DE NEWTON

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ASIMOV CUERPO LIBRE

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DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE

El diagrama de cuerpo libre es un dibujito que se hace para poder resolver los pro-blemas de dinámica. Siempre es imprescindible hacer el diagrama de cuerpo libre para resolver un problema de dinámica. Tenés que hacer el diagrama por tu propio bien. Si no hacés el diagrama vas a terminar equivocándote. Si lo querés ver de otra manera, te digo así: Muchas veces los chicos resuelven los problemas de dinámica así nomás, aplicando alguna formulita o algo por el estilo. Sin hacer dibujo, ni diagrama, ni nada. Pues bien, te advierto que en el parcial ellos te van a tomar un problema en donde te veas obligado a hacer el diagrama de cuerpo libre. Y si el diagrama está mal... ¡ Todo lo demás también va a estar mal ! Esto no es algo que inventé yo. Esto es así. La base para resolver los problemas de dinámica es el diagrama de cuerpo libre. Si el diagrama falta, básicamente todo lo que sigue va a estar mal. ¿ Qué es saber Dinámica ? Rta: Saber dinámica es saber hacer diagramas de cuerpo libre. Y si nadie te dijo esto antes, te lo digo yo ahora :

¿ CÓMO SE HACEN LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE ?

Cuerpo libre significa cuerpo solo, sin nada al lado. Eso es exactamente lo que se hace. Se separa al cuerpo de lo que está tocando ( imaginariamente ). Se lo deja solo, libre. En lugar de lo que está tocando ponemos una fuerza. Esa fuerza es la fuerza que hace lo que lo está tocando. Pongo acá algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre. Miralos con atención. Son muy importantes. Tenés que saberlos porque son la base para lo que viene después.

PRINCIPALES DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE QUE HAY QUE SABER

Van acá los principales diagramas de cuerpo libre que tenés que conocer. Son unos 10 diagramas en total. Cada problema que resuelvas va a tener alguno de estos dia-gramas de cuerpo libre. Por eso hay que conocerlos bien. Empecemos

ASIMOV CUERPO LIBRE

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* CONSTRUIR LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE EN LOS SI-

GUIENTES CASOS Y ESCRIBIR LAS ECUACIONES DE NEWTON

1) Cuerpo apoyado sobre el piso:

El ladrillo está en equilibrio. No se cae para abajo ni se levanta para arriba. La fuerza peso que tira el ladrillo para abajo, tiene que estar compensada ( equili-brada ) por la fuerza hacia arriba que ejerce el piso. Es decir:

Las fuerzas N y P son iguales y contrarias. El cuerpo está en equilibrio. Ahora ojo, son iguales y contrarias pero no son par acción-reacción. ¿ Por qué ? Rta : porque están aplicadas a un mismo cuerpo. Para que 2 fuerzas sean acción - reacción tienen que estar aplicadas a cuerpos distintos. En el caso del ladrillo apo-yado en el suelo, la reacción a la fuerza N está aplicada sobre el piso. Fijate : PISO

Ahora ¿ Dónde está aplicada la reacción a la fuerza peso ? Rta: Está aplicada en el centro de La Tierra.

Por ejemplo, si en este caso el peso del ladrillo fuera de 1 Kgf, todas las fuerzas valdrían 1 Kgf. ( P, N, P1, N1 ), La cosa está en darse cuenta cuáles de ellas son par acción - reacción. Acá P y P1 son un par acción-reacción, y N y N1 es otro. ¿ Lo ves ? ( No digas " sí " porque esto no es tan fácil de ver de entrada ).

N1 es la reacción de la fuerza N.

P1 es la reacción de la fuerza P.

Fuerza que el piso ejerce sobre el cuerpo. ( se llama normal )

Fuerza que ejerce La Tierra sobre el cuerpo. ( Se llama peso )

ASIMOV CUERPO LIBRE

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La ecuación de Newton planteada para este diagrama de cuerpo libre queda así:

2) Cuerpo que cuelga de una soga. SOGA En este caso el análisis es parecido al anterior. El cuerpo está en equilibrio porque no se cae para abajo ni sube para arriba. Esto quiere decir que la fuerza que hace la cuerda al tirar para arriba tiene que ser igual al peso del cuerpo tirando para abajo. Hagamos el diagrama de cuerpo libre:

La ecuación de Newton queda así:

T – P = m.a → T – P = 0 ( porque a = 0 )

→ T = P 3) Un cuerpo que está cayendo por acción de su propio peso.

Este ladrillo que cae no está en equilibrio. Se está moviendo hacia abajo con la aceleración de la gravedad. La fuerza peso es la que lo está haciendo caer. El diagrama de cuerpo libre es así:

La normal es = al peso para un cuerpo que está apoyado en el piso. ( )PN

0PN0a

=⇒

=−=

Diagrama de cuerpo libre.

Esta g la pongo para indicar que el cuerpo no está quieto sino que cae con aceleración g.

Diagrama de cuerpo libre para un ladrillo que está cayendo.

ASIMOV CUERPO LIBRE

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N. deEcuación g. mP ←=

La ecuación de Newton sería F = m.a. En este caso la fuerza F es el peso y la acele-ración es la de la gravedad. Entonces me queda : NOTA: Esta ecuación P = m.g la vas a usar mucho. Sirve para calcular el peso en Newtons teniendo la masa en kg y para calcular la masa en kg teniendo el peso en N.

4) Cuerpo que es empujado por 2 fuerzas.F1 > F2 . No hay rozamiento.

Hagamos el diagrama de cuerpo libre. Tengo F1 empujando así : → y F2 tirando para el otro lado. Como F1 es mayor que F2 la aceleración va para allá: → . Me queda : El peso y la normal se compensan y no tienen influencia en el movimiento en direc-ción horizontal. ( Quedaría N = P ). Tomo sentido positivo como va la aceleración. ( O sea así :→ ). La ecuación de Newton en x me queda :

F1 – F2 = m.a

Aclaración: Si F1 y F2 fueran para el mismo lado quedaría F1 + F2 = m.a NOTA : Esta situación parece fácil y es fácil, pero hay que saberla bien porque la vas a ver en muchos problemas en forma encubierta. Por ejemplo, es la situación típica de un cuerpo que es arrastrado con una soga por un piso con rozamiento. Fijate :

El diagrama parece diferente, pero en realidad es igual al anterior.

ASIMOV CUERPO LIBRE

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5) Dos cuerpos unidos por una soga que son arrastrados por una fuerza F En este ejemplo hay 2 cuerpos, entonces habrá 2 diagramas de cuerpo libre. Cada cuerpo tendrá su ecuación. Habrá 2 ecuaciones de Newton. Hago los diagramas y planteo las ecuaciones.

Ahora quiero que veas unas cosas interesantes sobre este ejemplo. Fijate :

* En la dirección vertical no hay movimiento de manera que los pesos se equilibran con las normales, es decir PA = NA y PB = NB .

* En el diagrama del cuerpo B, la fuerza F debe ser mayor que la tensión de la cuerda para que el tipo vaya para allá → . Si fuera al revés, ( F < T ) el cuerpo

B iría para el otro lado. * La fuerza F " no se transmite " al cuerpo A. F está aplicada sobre el cuerpo B. Lo que tira del cuerpo A es la tensión de la cuerda. ( únicamente ).

* La tensión de la cuerda es la misma para los dos cuerpos. No hay T1 y T2 . Hay sólo una tensión de la cuerda y la llamé T .

* Los dos cuerpos se mueven con la misma aceleración porque están atados por la soga y van todo el tiempo juntos.

* En B hice F − T = m ⋅ a, y NO T − F = m . a. Esto es porque la fuerza que va en sentido de la aceleración es F.

T = mA . a

F − T = mB . a

ASIMOV CUERPO LIBRE

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6) Cuerpo que cae por un plano inclinado con aceleración a. Fijate como queda el diagrama de cuerpo libre: La normal ahora es perpendicular al plano. La fuerza peso se descompone en dos, PX y PY . La componente del peso en equis se llama PX . Es paralela al plano. Esta PX vale P x Sen 30º. ( Esto hay que pen-sarlo un poco ). La componente del peso en Y se llama PY . Es perpendicular al plano. Esta PY vale P x Cos 30º. ( Esto también hay que pensarlo un poco ). El diagrama queda así :

Para plantear las ecuaciones de Newton hay que mirar bien el diagrama: En la direc-ción y la Normal se compensa con el peso. Queda : N – PY = 0. ( O sea, N = PY ). En la dirección equis la componente PX arrastra al cuerpo para abajo y lo hace caer con aceleración a. Queda : PX = m.a. Fijate que la aceleración en equis no es la de la gravedad. La aceleración en equis es MENOR que la de la gravedad. Después vamos a ver como se calcula esta aceleración cuando veamos específicamente el tema plano inclinado. 7) Cuerpo que sube en un ascensor con aceleración a.

Acá la idea es hacer el diagrama de cuerpo libre del cuerpo, no del ascensor.

ASIMOV CUERPO LIBRE

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Si te fijás un poco vas a ver que este problema tiene varias posibilidades: el ascen-sor podría estar subiendo o bajando. A su vez el ascensor podría estar yendo cada vez más rápido o cada vez más despacio. Incluso el ascensor podría estar subiendo o bajando a velocidad constante. ( O sea, sin aceleración ). En total son 6 posibilidades. De estas 6 posibilidades, voy a analizar una sola. Su-pongamos que el ascensor está subiendo ( v ↑ ) y va cada vez más rápido ( a ↑ ). En ese caso, el diagrama de cuerpo libre queda así : En este diagrama de cuerpo libre N es la fuerza normal que hace el piso. Es el piso del ascensor el que está empujando al cuerpo para arriba y lo obliga a subir. La fuerza que hace el piso sobre el cuerpo se llama Normal. La palabra "normal" en ma-temática significa " perpendicular ". La fuerza normal es siempre perpendicular al piso. De ahí viene su nombre. La ecuación de Newton sería : N – P = m.a Quiero que veas una cosa: Fijate que en el diagrama de cuerpo libre yo marqué la velocidad ( v ↑ ). Sin embargo, para plantear la ecuación de Newton no tuve en cuen-ta esta velocidad. La velocidad no aparece en la fórmula. Lo que quiero decir es que: Esto es algo importante que uno tarda bastante en entender. La velocidad puede ser de 2 por hora o de mil por hora. Da lo mismo. La ecuación de Newton es siempre N – P = m.a . Es más, yo supuse que la velocidad era para arriba. Pero la velocidad podría haber sido para abajo y el asunto no cambiaría. ( Es decir, la ecuación segui-ría siendo N – P = m.a ). Pregunta: ¿ Y si la velocidad hubiera sido CERO ? ¿ La ecuación seguiría siendo N – P = m.a ? Quiero que veas otra cosa. Para ver esto pongamos unos valores. Supongamos que la

La velocidad no interviene en los problemas de Dinámica

ASIMOV CUERPO LIBRE

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amPT ..=−

masa del cuerpo es de 10 kg y la aceleración es 2 m/s2 hacia arriba. Si la masa es de 10 kg el peso va a ser 100 Newtons ( P = m.g ). La ecuación quedaría :

N – 100 Newtons = 10 kg . 2 m/s2

→ N = 100 Newtons + 10 kg . 2 m/s2

→ N = 120 Newtons

Y acá está el asunto: Si te fijás un poco, vas a ver que la Normal dió mayor que el peso. El peso es 100. La Normal dió 120. La gente suele pensar que la Normal es siempre igual al peso. Error. Acá tenés un ejemplo donde eso no se cumple. Conclu-sión: ( importante ):

Es más, puede haber casos donde la Normal sea menor al peso. Esto es fácil de de-cir, pero... ¿ Podrías encontrar una situación donde la fuerza Normal sea MENOR al peso ? ( Hay que pensarlo un poco ). Última pregunta: Supongamos que en un choice aparece la afirmación: "La fuerza Normal es siempre igual al peso del cuerpo". ¿ La marcarías como correcta ? ( La gente suele marcarla como correcta ).

8) Cuerpo que es elevado hacia arriba con aceleración a.

GRUA → ← OJO CON

ESTE CASO En esta situación el cuerpo no está en equilibrio. La grúa lo está acelerando hacia arriba. Lo levanta con aceleración a. ( Atento ). El diagrama de cuerpo libre y la ecuación correspondiente quedan así:

a ↑

La Normal no es siempre igual al peso

ASIMOV CUERPO LIBRE

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Fijate que puse: " Tensión de la cuerda − Peso = m.a " y no: " P − T = m.a ". ¿ Por qué ? Bueno, porque según la convención que tomo yo, en la ecuación de Newton, a las fuerzas que van en sentido de la aceleración se le restan las fuerzas que van en sentido contrario. ( Y no al revés ). También fijate que la tensión de la cuerda tiene que ser mayor que el peso . Esto pasa porque el cuerpo tiene aceleración para arriba. Para que fuera P >>>> T el cuerpo tendría que tener aceleración para abajo. Acá pasa igual que con el ascensor, hay varias posibilidades: la grúa podría estar subiendo o bajando. Aparte de estar subiendo o bajando, podría estar yendo cada vez más rápido o cada vez más despacio. Y también podría estar subiendo o bajando a velocidad constante. ( O sea, sin aceleración ). En total son 6 posibilidades. De estas 6 posibilidades yo analicé una sola que fue con el cuerpo subiendo ( v ↑ ) cada vez más rápido ( a ↑ ).

9) Dos cuerpos que pasan por una polea. A este aparato se lo suele P2 > P1 llamar Máquina de Atwood.

En este caso todo el sistema acelera como está marcado porque 2 es más pesado que 1. Los diagramas de cuerpo libre son así : ( Mirar con atención por favor )

T– P1 = m1 ⋅ a P2 - T= m2 ⋅ a

10)- Sistema de dos cuerpos de masas m1 y m2 que están unidos por una Polea.Uno está en un plano horizon- tal y el otro cuelga de una soga. No hay rozamiento.

ASIMOV CUERPO LIBRE

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El peso 2 quiere caer y arrastra al cuerpo 1 hacia la derecha. El sistema no está en equilibrio. Los cuerpos se están moviendo. Todo el sistema tiene aceleración a. Para cada uno de los cuerpos que intervienen en el problema hago el diagrama de cuerpo libre. Es este caso serían 2 diagramas, uno para cada cuerpo. Me queda : DIAGRAMAS

Fijate que: La tensión de la cuerda ( T ) es la misma para el cuerpo 1 y para el cuerpo 2. Esto siempre es así en este tipo de problemas con sogas. No hay 2 tensiones. Hay una sola. ( Tamos ? ) El sistema, así como está, siempre va a moverse para la derecha. Sería imposible que fuera para la izquierda. ( El peso 2 siempre tira para abajo ). La fuerza P2 es mayor que la tensión de la cuerda. Por ese motivo el cuerpo 2 baja. Si fuera al re-vés, el cuerpo 2 subiría. La fuerza N1 es igual a P1. La normal es igual al peso si el plano es horizontal. ( Si el plano está inclinado no ). Pregunta tramposa: Para que el sistema se mueva… ¿ obligatoriamente el peso del cuerpo 2 tiene que ser mayor que el peso del cuerpo 1 ? ¿ Qué pasaría si m1 fuera mayor que m2 ? ¿ Habría movimiento ? ( Cuidado con lo que vas a decir ) Comentario:

Las leyes de Newton no son tan fáciles de entender como parece. Es más, en algu-nos casos, da la impresión de que la ley de Newton dice que tendría que pasar algo que es al revés de lo que uno cree que tendría que pasar. Ete, ¿ me plico ? A ver: Pongo acá dos problemas conceptuales que me gustaría que mires. Los 2 apuntan a tratar de entender la diferencia entre masa y peso. Fijate :

Una persona desea empujar una heladera que pesa 60 Kgf. ¿ Dónde le resultaría más fácil hacerlo ?

a) - En la Tierra, donde la heladera pesa 60 Kgf. b) - En la Luna, donde la heladera pesa 10 Kgf. c) - En una nave espacial donde no pesa nada.

a mT P a . mT

:Ecuaciones

. 221 =−=

ASIMOV CUERPO LIBRE

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Para entender el asunto conviene considerar que no hay rozamiento entre la helade-ra y el piso en ninguno de los casos. Hagamos un esquema de las 3 situaciones. Vea-mos primero lo que nos dice la intuición al respecto:

Intuición: bueno, este problema es muy fácil. Más difícil es mover una cosa cuanto más pesa. Por lo tanto en la Tierra me cuesta un poco, en la Luna me cuesta menos, y en el espacio no me cuesta nada. Incluso en el espacio cualquier cosa que uno toque ya sale volando.

Analicemos un poco lo que nos dice la intuición. ¿ Será así ? Rta: No. La intuición se equivoca. Más difícil es mover un cuerpo (acelerarlo) cuánto más masa tiene, y no cuanto más pesa. Lo que pasa es que en la Tierra, cuanto más masa tiene un cuerpo, más pesa. De ahí que uno relaciona el esfuerzo que uno tiene que hacer para mover el cuerpo, con el peso que tiene. Esto es verdad EN LA TIE-RRA. No es verdad en un lugar donde las cosas no tengan peso. Repito. Para el caso particular de la Tierra sí es cierto que hay que hacer más fuerza para mover un objeto pesado que uno liviano. Ahí la intuición no se equivoca. Pero eso no es así en el espacio donde no hay gravedad. Por lo tanto, la respuesta a este problema es: Si no hay rozamiento, en los tres casos va a costar lo mismo empujar la heladera ( acelerarla, quiero decir ). Vamos a otro ejemplo:

Una persona desea patear una pelota de plomo que pesa 60 Kgf. ¿ En donde le va a doler más el pie ? :

a) - En la Tierra. ( Peso de la pelota = 60 Kgf ) b) - En la Luna. ( Peso de la pelota = 10 Kgf ) b) - En una nave espacial donde la pelota no pesa nada.

UN SEÑOR QUE EMPUJA UNA HELADERA EN TRES LUGARES DIFERENTES DEL UNIVERSO

ASIMOV CUERPO LIBRE

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Si lo pensás un poco te vas a dar cuenta de que estamos en el mismo caso anterior. Patear una pelota significa acelerarla hasta que adquiera una determinada veloci-dad. En los tres casos el pie le va a doler lo mismo. Lo que importa es la masa del objeto, no su peso. Las cosas solo tienen peso en la Tierra o en los planetas. Pero la masa es la cantidad de materia que tiene el cuerpo y, lo pongas donde lo pongas, el objeto siempre tiene la misma masa. Siempre tiene la misma cantidad de partículas. El dolor que la persona siente depende de la masa de lo que quiera patear, y la masa de una cosa no depende de en qué lugar del universo esa cosa esté.

Fin Diagramas de Cuerpo Libre. Próximo tema: Plano inclinado.

ASIMOV PLANO INCLINADO

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PLANO INCLINADO

DESCOMPOSICIÓN DE LA FUERZA PESO

Suponé que tengo un cuerpo que está apoyado en un plano que está inclinado un ángulo α. La fuerza peso apunta para abajo de esta manera:

Lo que quiero hacer es descomponer la fuerza peso en 2 direcciones: una paralela al plano inclinado y otra perpendicular. Lo voy a hacer con trigonometría. Fijate:

En el dibujo descompuse al peso en las fuerzas " pe equis y Py " Ahora bien... ¿ Qué son Px y Py ?. Px es la componente del peso en la dirección del plano inclinado. Py es la componente del peso en la dirección ⊥⊥⊥⊥ al plano inclinado. Ahora bien, ¿ Cuánto valen Px y Py ? Es decir, ¿ Cómo las calculo ? Bueno, si inclino el triángulo para que el asunto se entienda mejor, me queda un lindo dibujito en donde puedo calcular por trigonometría los valores de Pex y Pey .

UN CUERPO APOYADO EN UN PLANO INCLINADO.

Este ángulo es igual al ángulo del plano inclina-do por alternos internos entre no se qué.

Descomposición de la fuerza peso en las direcciones X e Y

ASIMOV PLANO INCLINADO

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Este asunto de que las componentes del peso valen Px = P . sen α y Py = P . cos α, o lo razonás, o te lo acordás de memoria, pero tenés que saberlo porque se usa todo el tiempo en los problemas de plano inclinado. Vamos a un ejemplo a ver si me seguiste. PROBLEMA

CALCULAR CON QUÉ ACELERACIÓN CAE UN CUERPO POR UN PLANO INCLINADO DE ÁNGULO ALFA. ( NO HAY ROZAMIENTO ).

Lo que el problema plantea es esto: CUERPO CAYENDO POR EL PLANÍFERO INCLINADO.

Voy a descomponer la fuerza peso en las direcciones equis e y :

Fijate que la fuerza que lo tira al tipo para abajo es Px . Ni Py, ni N tienen influencia sobre lo que pasa en el eje x porque apuntan en la dirección del eje y. Por eso es que se descompone a P en una dirección paralela y en otra perpendicular al plano inclinado. Planteo la ley de Newton para el eje x. La sumatoria de las fuerzas en el eje equis va a ser la masa por la aceleración en el eje equis. Eso se pone :

Σ F en el eje X = m . a en el eje X

⇒ a = g x sen αααα

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.

ACELERACION

DE CAIDA

ASIMOV PLANO INCLINADO

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Por favor recordá la ecuación a = g x sen αααα porque la vas a necesitar muchas veces más adelante. Repito: Lo que calculamos es que : Ahora fijate. Vamos a hacer un análisis chiche - bombón de la fórmula a = g . sen αααα A ver si me seguís. No sé si te diste cuenta de que para llegar a la expresión a = g . sen αααα tuve que simplificar la masa. Eso quiere decir que la aceleración con la que el tipo cae por el plano inclinado... ¡ no depende de la masa ! ¿ Cómo que no depende de la masa ?... ¿ y de qué depende ? Rta: Depende sólo del ángulo alfa y de la aceleración de la gravedad ge . Es decir que si yo tengo una bajada que tiene un ángulo de 20 grados, todas las cosas que caigan por ahí, lo harán con la misma aceleración. Aclaro esto porque cuando hay una calle en bajada, la gente suele pensar que al sacar el pie del freno, un auto empieza a caer más rápido que un camión.

Sin hilar fino, por la bajada de una plaza, una pelota, una bicicleta y una patineta caen con la misma aceleración. Si se las deja caer en el mismo momento, ninguno le ganará al otro. Todos van a bajar con aceleración a = g . sen αααα .

LA ACELERACION QUE TIENE UN CUERPO QUE CAE POR UN PLANO INCLINADO QUE FORMA UN ANGULO ALFA VALE : a = g .sen αααα . ( Ojo, esto sólo vale cuando NO hay rozamiento )

ASIMOV PLANO INCLINADO

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Pregunta: ¿ Y si en la bicicleta va un tipo de 300 kilos ?... ¿ no va a ir cayendo más despacio ? Rta: No. ¿ Cae más rápido ?. - No. Eeeehhhh, ... ¿ cae igual ? - Exactamente. Ahora, analicemos esto otro caso : ¿ qué pasaría si alfa fuera cero ? Bueno, según la fórmula a = g . sen αααα , la aceleración daría cero. ( sen 0° = 0 ). ¿ Está bien eso ?. Rta: Sí, está bien, porque si el ángulo fuera cero, el plano sería horizontal:

¿ Y qué pasaría si el ángulo fuera 90° ? Bueno, sen 90° = 1, de manera que g . sen 90° me da g. Es decir, si el ángulo fuera de 90° , el tipo caería con la aceleración de la gravedad. Esto también está bien porque estaría en este caso:

Este análisis de lo que pasa cuando αααα es igual a cero o á 90° es importante porque lo ayuda a uno a darse cuenta si se equivocó o no. Por ejemplo, si me hubiera dado a = 10 m/s2 para αααα = 0, eso me estaría indicando que hice algo mal. MÉTODO PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE DINÁMICA

Los problemas de dinámica no son todos iguales pero suelen pedir calcular cosas pa-recidas. Generalmente, la tensión de la cuerda y la aceleración del sistema. Para ese tipo de problemas hay una serie de pasos que conviene seguir. Estos pasos son: 1 - Hago el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que intervienen en el problema. Si hay un solo cuerpo, habrá un solo diagrama. Si hay 2 cuerpos habrá 2 diagramas, etc.

Caso αααα = 0 ( ⇒ a = 0 ).

Situación para α = 90° ( a = g )

ASIMOV PLANO INCLINADO

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2 - De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, planteo la 2ª ley de Newton:

Σ F = m . a

3 - Para cada diagrama de cuerpo libre voy a tener una ecuación. De la ecuación ( o sistema de ecuaciones ) que me queda despejo lo que me piden. Este método para resolver problemas de dinámica sirve para cualquier tipo de problema, sea con rozamiento, sin rozamiento, plano horizontal, plano inclinado o lo que sea. Fijate cómo se usa el método en un problema.

Ejemplo : Para el sistema de la figura cal- cular la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda. ( No hay rozamiento ).

1 - Para resolver el problema hago el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que intervienen:

Fijate cómo puse el sentido de la aceleración. a no puede ir al revés, porque el cuerpo A no puede tirar para arriba y hacer que suba el B. 2 - Para cada diagrama planteo la ecuación de Newton: 3 - De las ecuaciones que me quedan voy a despejar lo que me piden.

El planteo del problema ya terminó. Lo que sigue es la parte matemática que es resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Para resolver este sistema de 2 x 2 podés usar el método que quieras. ( Sustitución, igualación, etc ).

× A

×B B

Para A: T = m a

Para B: Px -T = m a

ASIMOV PLANO INCLINADO

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cuerda. la en Tensión

←=⇒ .N6,16T)

Yo te recomiendo que para los problemas de dinámica uses siempre el método de suma y resta. El método consiste en sumar las ecuaciones miembro a miembro. Como la tensión siempre está con signo ( +) en una de las ecuaciones y con signo ( – ) en la otra, se va a simplificar. Apliquemos entonces suma y resta. Lo que tenía era esto: Sumo miembro a miembro las ecuaciones y me queda:

¿ Cómo calculo la tensión en la cuerda ? Rta: Bueno, lo que tengo que hacer es reemplazar la aceleración que obtuve en cual-quiera de las ecuaciones que tenía al principio. Por ejemplo : Puedo verificar este resultado reemplazando a en la otra ecuación y viendo si me da lo mismo. Probemos a ver si da:

PBx – T = mB . a

⇒ T = PBx – mB . a

⇒ T = P . sen 30° - mB . a

×A

×B B

T = m a

Px - T = m a

( )

B A B

S m , 1,66 a

a Kg 15 s

m Kg 5

a Kg 5 Kg 10 5 . 0 s

m 10 Kg 5

a m m 30 sen g m

a m m Px

a m a m T Px T

= ⇒

⋅ = ⇒

+ = ⋅ ⋅ ⇒

⋅ + = ⋅ ⇒

⋅ + = ⇒

⋅ + ⋅ = − +

×A

×2

T = m a

m T =10 Kg 1,6

s⇒

)

Aceleración con que se mue-ve el sistema.

ASIMOV PLANO INCLINADO

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T = 5 Kg . 10 2s

m . 0,5 – 5 Kg. 1,66 2s

→ T = 16,6 N ( Dió lo mismo, iupi ) Y ahora vamos al punto importante. Y esto sí quiero que lo veas bien. Fijate. Para resolver el problema yo plantee una serie de ecuaciones. ( 2 en este caso ). Ahora bien, estas ecuaciones fueron planteadas de acuerdo al diagrama de cuerpo libre. Ese es el truco. ¿A qué voy ? Voy a que si los diagramas de cuerpo libre están mal, las ecuaciones también van a estar mal. ⇒ Mal el planteo del problema ⇒ NOTA: 2 (dos) ¿ Una fuerza de más en el diagrama ? → Todo el problema mal. ¿ Una fuerza de menos en el diagrama ? → Todo el problema mal. ¿ Una fuerza mal puesta en el diagrama ? → Todo el problema mal. ¿ Una fuerza puesta al revés de como va ? → Todo el problema mal. Entonces, mi sugerencia para que tengas MUY en cuenta es : Otro ejemplo de plano inclinado:

( ATENCION : Problema en dónde no se sabe para dónde va la aceleración ).

Calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la soga para el sistema de la figura. ( No hay rozamiento ).

Acá tengo un problema. No sé si el sistema va para la derecha o para la izquierda. A es más pesado que B, pero el ángulo del plano inclinado es más chico, así que a ojo no se puede saber. ¿ Y ahora ? Bueno, Si no sé para dónde apunta la aceleración... ¿ Cómo sé qué fuerzas son posi-tivas y qué fuerzas son negativas ? ( Atenti ! )

Siempre revisar los diagramas de cuerpo libre antes de empezar a resolver el sistema de ecuaciones.

VER

ASIMOV PLANO INCLINADO

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A esto quería llegar. Fijate. Acá hay que usar un truco. Lo que se hace en estos casos es lo siguiente: Se supone un sentido para la aceleración y se ve qué pasa. ( Importante ). Al final, el problema dirá si la aceleración va en ese sentido o al revés. ¿ Cómo me doy cuenta de esto ? Rta: Por el signo. Si dá con signo menos es que va al revés. Ahora vas a ver. En este caso voy a suponer que el sistema va para allá →→→→, es decir, que el cuerpo A sube y el B baja. Los diagramas de cuerpo libre quedan así:

Las ecuaciones van a ser éstas:

Estas 2 ecuaciones forman un sistema de 2 por 2.

T – PA. sen 30 º = m A . a

P B. sen 45 º – T = m B . a

¿ Cómo resuelvo este choclazo ? RESPUESTA: sumando las ecuaciones.

T – P A . sen 30 º + P B. sen 45 – T = m A . a + m B . a Las tensiones se simplifican porque una es positiva y la otra es negativa. Entonces : – P A . sen 30 º + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a Despejo a :

× A A

× B B

Para A: T - Px = m a

Para B: Px - T = m a

Diagramas de cuerpo libre.

707,05,0a mmPP

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−

====⇒⇒⇒⇒

58707,01055,0108a

KgKgsmKgsmKg

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒

ASIMOV PLANO INCLINADO

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VER a = - 0,357

2sm

Ahora fijate esto: ¿ Qué pasa acá ? La aceleración me dio negativa ! ? ¿ Qué significa eso ? Y, nada, quiere decir que la aceleración va al revés de como yo la puse. Yo dije que iba para allá →→→→ , pues bien, me equivoqué y va para allá ←←←← . ( es decir, A baja y B sube ). Atento!. Este análisis de lo que pasa con el signo de la aceleración es importante!. Pero no te asustes. Es lo que te dije antes. Si a te da negativa , significa que el sistema se mueve al revés de lo que uno supuso. Eso es todo . Ahora calculo la tensión en la cuerda. Reemplazo la a que obtuve en cualquiera de las ecuaciones que puse al principio: T – PA . Sen 30 º = m A . a Ojo, reemplazo la aceleración pero con el signo que obtuve antes. ( Es decir, negati-vo ). Entonces reemplazo a por – 0,375 m/s2 y me queda :

Verifico reemplazando la aceleración en la otra ecuación:

PB. sen 45 – T = mB . a

T = PB x 0,707 – mB x a

� T = 50 N x 0,707 – 5 Kg x ( - 0,357 m/s2 )

� T = 37,14 N Disculpame que insista sobre una cosa: Fijate en los ejemplos anteriores. Todo el truco para resolver el problema consistió en hacer los diagramas de cuerpo libre. Una vez que los diagramas están hechos... ya está ! Ahora el planteo de las ecuaciones es fácil. Si un problema no te sale, revisá el diagrama de cuerpo libre. Antes de entregar la hoja volvé a mirar el diagrama de cuerpo libre.

cuerda la en Tensión ←=⇒

−⋅+⋅=⇒

N14,37T

sm357,0Kg85,0N80T 2

ACELERACION

DEL SISTEMA

ASIMOV PLANO INCLINADO

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Saber dinámica es saber hacer diagramas de cuerpo libre. Ellos lo saben y sobre eso van tomar los problemas. Por cualquier duda que tengas, fijate al principio don-de empieza lo de Dinámica. Ahí puse los diagramas de cuerpo libre más simples de todos. Los diagramas para casos más complicados son mezcla de estos más simples. Y si no, podés consultarlos a ellos. Pero no vayas con un papelito en blanco a decirle " éste no me salió ". Porque ante la frase: " no se cómo empezar " lo primero que te va a decir el tipo es: A ver, dibujame los diagramas de cuerpo libre. Y cuando vos le digas: " no, yo la verdad es que esto de los diagramas de cuerpo libre no lo entiendo muy bien... " ¡ ALPISTE, FUISTE ! No existe " no entender diagramas de cuerpo libre ". Si no entendés diagramas de cuerpo libre, no entendés dinámica. El diagrama de cuerpo libre es lo fundamental acá. ¿ Me seguiste ?. Creo que fui claro, no ?

Fin de la Teoría de Plano Inclinado. Próximo tema: Rozamiento.

ASIMOV PROBLEMAS

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DINÁMICA – PROBLEMAS SACADOS DE PARCIALES

Pongo acá algunos problemas que saqué de parciales que fueron tomados en los últimos años. Algunos ejercicios son choice, otros no. Algunos combinan dinámica con cinemáti-ca. ( Se puede ). También puede haber problemas de dinámica combinados con energía. Esos problemas los voy a poner después, al final de lo de Energía. Vamos primero a los problemas de dinámica común sin rozamiento

PROBLEMAS DE DINÁMICA SIN ROZAMIENTO

1 - El sistema de la figura donde m 1 = 6 kg y m 3 = 3 kg está inicialmente en reposo. Se lo suelta y se verifica que la masa m 1 tarda 2 seg en tocar el piso. Calcular :

a) La aceleración de m 2 durante el movimiento. b) El valor de m 2 c) La fuerza de contacto entre los cuerpos 2 y 3 durante el movimiento

Solución: a) - Dicen que m1 tarda 2 segundos en tocar el suelo. Puedo plantear :

Y = 4 m + 0 – ½ a ( 2 s )2 Ojo, fijate que la aceleración de caída no es la de la gravedad. Tomo el eje Y para arri-ba. Al llegar al suelo y = 0, entonces :

b) - Para facilitar las cosas voy a tomar a las masas 2 y 3 como un solo cuerpo. Este es un truco que conviene saber. No voy a calcular m2. Voy a calcular m2-3 .

m3 4 m

ASIMOV PROBLEMAS

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Hagamos los diagramas de Cuerpo Libre:

ASIMOV PROBLEMAS

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2 - En todo tiro oblicuo en el vacío en las proximi dades de las superficie terrestre se cumple que :

a) La fuerza neta ( resultante ) y la velocidad son siempre tangentes a la trayectoria b) La fuerza neta ( resultante ) y la aceleración s on siempre tangentes a la trayectoria c) No hay fuerza neta ( resultante ) y la velocidad es siempre tangente a la trayectoria d) La fuerza neta ( resultante ) y la aceleración s on siempre perpendiculares entre sí e) La fuerza neta ( resultante ) y la velocidad son siempre perpendiculares entre sí f) La fuerza neta ( resultante ) y la aceleración t ienen siempre dirección radial y el mismo sentido

Solución: En un tiro oblicuo la aceleración es todo el tiempo la de la gravedad. ( g ). La gravedad es vertical y apunta para abajo. La velocidad es siempre tangente a la trayectoria. La única fuerza que actúa es el peso del objeto que va para abajo ( El peso es la fuerza neta, o sea, la resultante ). Hagamos un dibujito de un tiro oblicuo: Conclusión ? Tanto el peso como la aceleración apuntan para abajo. Correcta la última opción ( f ).

3 - Una persona de masa M está parada sobre una bal anza dentro de un montacargas. Si la balanza marca menos que su peso, entonces el monta-cargas :

Solución: Hay un señor parado en una balanza que está dentro de un ascensor. Dicen que la balanza marca menos que su peso. Por empezar hay que entender que lo que marca la balanza es la fuerza normal. En realidad uno tendría que plantear todas las situaciones posibles y hacer los diagramas de cuerpo libre en cada caso y ver que pasa. Pero uno lo puede pensar un poco. Analicemos así:

g g g P

TRAYECTORIA

ASIMOV PROBLEMAS

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1 - La normal va a ser igual al peso en estas 3 situaciones: ascensor quieto, o ascensor que sube con velocidad constante o ascensor que baja con velocidad constante 2 - La normal va a ser mayor al peso si el ascensor sube acelerando o si baja frenando. 3 - La normal va a ser menor al peso si el ascensor sube frenando o si baja acelerando. O sea que estamos en la situación 3: el ascensor sube frenando o baja acelerando. Hagamos un dibujito y el diagrama de cuerpo libre : La ecuación de Newton queda P - N = m.a Correcta la anteúltima opción: Baja acelerando NOTA: Puesto que este problema es architomado en los parciales, conviene saber este truco: si el ascensor sube acelerando o si baja frenando la persona tiende a apre-tarse contra el piso. ( Esto pasa por inercia ). Entonces la balanza va a marcar más que el peso porque aumenta la normal. Si el ascensor sube frenando o si baja acelerando, la persona tiende a despegarse del piso. ( Inercia ). Entonces la balanza va a marcar menos que el peso porque la normal disminuye.

4- Un niño de 20 kg salta hacia arriba con una acel eración de despegue de 15 m/s 2. ¿ cuánto vale la fuerza que el piso ejerció sobre el niño durante el despegue ?

El enunciado no se entiende bien. Lo que están diciendo es que una persona salta para arriba impulsándose en el piso. Preguntan qué fuerza hace el piso sobre la persona.

ASIMOV PROBLEMAS

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Hagamos un dibujito y el diagrama de cuerpo libre : En base al diagrama de cuerpo libre planteo la ecuación de Newton. Me queda :

FPISO = 20 kg . 15 m/s2 + 20 kg . 10 m/s2

FPISO = 500 Newtons

Correcta la 2da

5 – Bajo la acción de una fuerza resultante, un cue rpo que parte del reposo, recorre una distancia D hasta alcanzar una velocida d V. si se repite la situa-ción aplicando el doble de fuerza, ¿ qué distancia aproximada recorrerá has-ta alcanzar el doble de velocidad V ?

SOLUCIÓN – Dicen que hay un carrito que es empujado por una fuerza F. El carrito recorre una distancia D. El enunciado está todo con letras. Se puede resolver así pero es un poco largo. Voy a dar algunos valores. Hagamos un dibujito :

Supongo F = 10 N, m = 2 kg y VF = 10 m/seg. Calculo la aceleración :

FUERZA QUE HACE EL PISO SOBRE LA PERSONA

ASIMOV PROBLEMAS

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Se puede sacar el tiempo que tarda en recorrer la distancia D, pero es más largo. Uso la ecuación complementaria para sacar D.

Planteo todo de nuevo pero con las nuevas condiciones : Me dio que D1 es 10 m y D2 es 20 m. Quiere decir que :

6 – En el sistema de la figura α = 30º y m A = 4 mB . Calcular :

a) - ¿ Con qué aceleración se moverá el sistema ? b) – Si se saca el cuerpo B y se aplica en la soga una fuerza F = m B.g ¿ cuánto valdrá la aceleración de A en este nuevo esquema ? Justifique.

Me dan 2 cuerpos. El A está en un plano inclinado. No me dan las masas de los cuerpos pero me dicen que mA es 4 veces mB . Hago el dibujito :

ASIMOV PROBLEMAS

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Necesito saber para que lado se va a mover el sistema. Calculo PXA y me da 2 mB.g . Este PXA es mayor que el PB que está del otro lado. Quiere decir que el sistema se va a mover como lo marqué en el dibujo. ( O sea, A baja y B sube ). Ahora para cada cuerpo hago los diagramas de cuerpo libre y planteo las ecuaciones de Newton. ( Atento ) :

Me dicen que mA es 4 veces mB. Tonces :

→ 2 mB.g – mB.g = 5 mB . a

→ mB.g = 5 mB . a

ASIMOV PROBLEMAS

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b) – Ahora saco el cuerpo B. Me queda esto : Me fijo si el cuerpo A sube o baja. Veamos. PXA vale 2 mB.g . Es mayor que la fuerza mB.g que tira para arriba. Quiere decir que la aceleración de A es hacia abajo ( La marqué en el dibujo ). La ecuación de Newton me queda :

Fijate que el enunciado del problema dice "justifique". La justificación es la cuenta que acabo de hacer y que dice que la aceleración da 2,5 m/s2. Si querés también podés justificar con palabras sin hacer cuentas. Pero ojo, la justificación con palabras tiene que ser concreta y clara. En el caso de que la explicación sea con palabras, habría que decir algo así como: la aceleración en la situación b) NO VA A DAR LO MISMO QUE EN EL CASO a). Esto pasa porque si bien la fuerza que está tirando de A que vale lo mismo que el peso de B que estaba antes, ahora PXA arrastra a un cuerpo solo que es mA. Antes PXA arrastraba a 2 cuerpos que eran mA y mB .

7 – Dos cuerpos M 1 = 9 kg y M 2 = 3 kg se encuen-tran inicialmente en reposo y se hallan unidos por una soga y una polea ideales como muestra la figura. a) – Calcule la aceleración de M 2 si se desprecia todo tipo de rozamiento. b) – Si se intercambian los cuerpos entre sí, ¿ cuál será la aceleración de M 1 ?

a) – Piden calcular la aceleración de m2 . No hay rozamiento.

ASIMOV PROBLEMAS

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Lo que tengo es esto. La aceleración de m2 = a la aceleración de m1 ( = aceleración del sistema ). Hago los diagramas de cuerpo libre y planteo las ecuaciones :

Las ecuaciones quedan : Reemplazo T = m1 .a en P2 – T = m2 . a � b) – Si se intercambian las masas tengo que usar la misma fórmula anterior, pero don-de dice m2 tengo que poner m1. Me queda :

ASIMOV PROBLEMAS

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8 – Una lamparita de 100 g está sujeta al techo de un ascensor mediante un cable de peso despreciable. En cierto instante, el ascensor está subiendo a 2 m/s de velocidad y frenando con a = 1 m/s 2. Entonces la fuerza que el ca-ble ejerce sobre la lamparita es de :

Tengo un cuerpo colgado del techo de un ascensor. El ascensor está yendo para arriba pero está frenando con aceleración a = 1 m/s2 . Piden calcular la tensión de la cuerda. Hago el diagrama de cuerpo libre y planteo la ecuación de Newton:

FIN PROBLEMAS DE DINAMICA SIN ROZAMIENTO

ASIMOV ROZAMIENTO - 45 -

ROZAMIENTO

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

ROZAMIENTO DINAMICO

ASIMOV ROZAMIENTO - 46 -

ROZAMIENTO

El rozamiento aparece cuando una cosa roza contra otra. Es la fuerza que hace que las cosas no se quieran mover. Es la fuerza que hace que las cosas se frenen. Los libros suelen llamarla "fuerza de frotamiento" o "Fuerza de fricción". ( Rozamiento. Fricción. Frotamiento. Es lo mismo ). Las máquinas se desgastan debido al rozamiento. Los autos pierden potencia por el rozamiento. Aparentemente el rozamiento es una fuerza que no sirve para nada, pero... ¿ Cómo harías para caminar si no hubiera rozamiento ? Patina-rías y te quedarías todo el tiempo en el mismo lugar, tipo Michel Jackson. ( Pobre. Ya murió. Era bueno el loco ). Ahora, si no hubiera rozamiento... ¿ Cómo harían los autos para frenar ? ( No tendrían forma de parar y seguirían de largo ). Como ves, todo tiene su pro y su contra en esta vida... ( ? ) En la realidad real, todas las cosas tienen rozamiento. Es imposible eliminarlo del todo. ( Imposible ). Vamos ahora a algo importante: ¿ HACIA DONDE APUNTA LA FUERZA DE ROZAMIENTO ? Suponete que tiro un ladrillo por el piso. El ladrillo va avanzando y se va frenando. Al principio el objeto se mueve con una determinada velocidad, pero después de reco-rrer unos metros se frena y se queda quieto. Pregunta: ¿ Por qué pasa esto ?. Rta : Por el rozamiento. Entre el ladrillo y el piso hay rozamiento, y esta fuerza maldi-ta es la que hace que el coso se frene. Si no hubiera rozamiento el ladrillo se seguiría moviendo por los siglos de los siglos y no se pararía nunca. ( Nunca ) . Fijate como es el diagrama de cuerpo libre: ( mirar con atención por favor ).

ASIMOV ROZAMIENTO - 47 -

Fijate que el tipo se mueve para allá →→→→, pero la aceleración va para allá ←←←← . Es decir, el cuerpo se está frenando. En el dibujo fROZ apunta al revés que la velocidad, esto pa-sa porque la fuerza de rozamiento se opone al movimiento. Si un cuerpo viene mo-viéndose, la fuerza de rozamiento trata de frenarlo. Ahora, una aclaración importante: La gente suele decir: Bueno, es fácil. La fuerza de rozamiento SIEMPRE se opone al movimiento. Froz SIEMPRE va al revés de la velocidad. Pero... Hummmm, esto no es del todo correcto. Es decir, efectivamente, en la mayoría de los casos la fuerza de rozamiento apunta al revés de la velocidad. Gene-ralmente Froz intenta frenar al cuerpo... ¡ Pero no siempre ! ( Esto no es fácil de ver ). Digamos que hay algunos casos malditos donde el rozamiento va en el mismo sentido que la velocidad. Es más, en estos casos el rozamiento no solo no lo frena al cuerpo sino que lo ayuda a moverse. Hay un par de problemas en la guía en dónde la fuerza de rozamiento apunta al revés del pepino. ( Es decir, repito, a favor de la velocidad ). Y si uno se equivoca al poner el sentido de Froz en el diagrama de cuerpo libre... ¡ Alpiste, fuiste !

Por eso ellos dicen que: LEYES DEL ROZAMIENTO

1 - La fuerza de rozamiento depende del material con el que estén hechas las superficies que están en contacto. Es más fácil caminar sobre piso de cemento que sobre piso de hielo. Eso pasa porque el rozamiento goma-cemento es distinto que el rozamiento goma-hielo.

La fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento RELATIVO de

las superficies que están en contacto

ASIMOV ROZAMIENTO - 48 -

2 - El valor de la fuerza de rozamiento NO depende del tamaño de la superficie que está apoyada. ( Superficie apoyada = Área de contacto )

Al arrastrar un ladrillo por el piso, la fuerza que tengo que hacer va a ser la misma, cualquiera sea la cara del ladrillo que esté apoyada.

De la misma manera:

3 - La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que el plano ejerce sobre el cuerpo.

Esta última ley del rozamiento es lo que usamos para resolver los ejercicios. ( Es la que da origen a la fórmula FROZ = mu x N )

Podés comprobar las del rozamiento ahora mismo con algún cuerpo que tenga forma tipo ladrillo. O sea, 3 caras planas con diferentes superficies. ( Por ejemplo, una goma de borrar ).

Atención: Las 3 leyes del rozamiento son leyes aproximadas. Esto quiere decir que se hizo el experimento y el asunto dió mas o menos así. Por ejemplo, hay casos donde FROZ puede no ser directamente proporcional a la normal. Hay casos donde FROZ puede llegar a depender del área de contacto. LA NORMAL NO SIEMPRE ES IGUAL AL PESO

¿ Qué era la fuerza normal ? Rta: La palabra "Normal" en física significa " perpendicu-lar ". La normal era la fuerza que el piso ejercía sobre el cuerpo. Esa fuerza era siem-pre ⊥⊥⊥⊥ al plano de apoyo, por eso se la llamaba normal. Veamos un dibujito de la Normal para un cuerpo apoyado en el piso :

ASIMOV ROZAMIENTO - 49 -

Hasta ahora la normal nunca se usaba en los problemas. Ahora en rozamiento va a haber que usarla todo el tiempo. ( Atento ! ) . Ahora, hay una tendencia de la gente a creer que la normal es siempre igual al peso. ( O sea, la gente dice: si un cuerpo pesa 10 Kgf, la Normal tendrá que ser 10 Kgf ). No. O sea, a veces sí, a veces no. A veces la Normal es igual al peso y a veces no. Eso de-pende del caso. En el ejemplo de un cuerpo apoyado en un plano horizontal, ahí sí la normal es igual al peso. Pero.... ¿ Qué pasa en un plano inclinado ? Fijate:

Ahora la normal ya no va a ser más igual al peso. ¿ De dónde sale eso ? Rta: � Del diagrama de cuerpo libre.

Ahora N no vale más P. Ahora N vale Py que es P x cos αααα. Lo mismo pasa si tengo un cuerpo en un plano horizontal pero alguien lo aprieta contra el piso.

La Normal tampoco es igual al peso para un cuerpo que esté subiendo o bajando en un ascensor con aceleración. ( Ojo que este caso también lo toman ).

ASIMOV ROZAMIENTO - 50 -

Entonces: ¿ La normal es siempre igual al peso ? Rta : En el caso general no. Es decir, a veces, sí. Pero siempre-siempre, NO.

ROZAMIENTO ESTÁTICO Y ROZAMIENTO DINÁMICO

Hay 2 tipos de rozamiento que tenés que conocer. Estos 2 tipos de rozamiento son el rozamiento estático y el rozamiento dinámico. A grandes rasgos digamos que tengo rozamiento estático cuando hay rozamiento pero el cuerpo está quieto. Ejemplo: una persona que quiere empujar un placard pero no puede moverlo. Hay rozamiento sobre el placard. Es rozamiento estático porque el placard no se mueve.

Tengo rozamiento dinámico cuando el cuerpo se mueve. Ejemplo: un esquiador que va por la nieve y patina . Ejemplo: Un auto que frena de golpe y patina. Ejemplo: Un cajón de manzanas que es arrastrado por el piso. Veamos qué pasa en cada caso. ROZAMIENTO DINÁMICO

Supongamos la situación de un cuerpo que avanza rozando contra el piso. Por ejemplo, podría ser una moneda que alguien tiró sobre una mesa. Fijate :

Mientras la moneda va deslizando la fuerza de rozamiento la va frenando. Tengo roza-miento dinámico.

Ugghhh...

ASIMOV ROZAMIENTO - 51 -

Me pregunto ahora lo siguiente: ¿ Cuánto vale la fROZ dinámico ? Bueno, te comenté antes que el valor de la fuerza de rozamiento era proporcional a la normal y que dependía del material con que estuvieran hechas las superficies que están en contacto. Eso se pone matemáticamente así:

El mu dinámico es un número sin unidades. Dá una idea de qué tan grande es el roza-miento que hay entre las superficies que se están tocando. Por ejemplo, si el piso es de cemento tendré un determinado valor de mu. Si el piso es de hielo, la superficie será más patinosa y el µµµµ será menor. Digamos que el coeficiente de rozamiento dinámico vendría a ser un número que me estaría indicando el "grado de patinosidad" de las superficies. ( ¿ Patinosidad ? ! ) Es decir: Superficies muy patinosas � Hay poco rozamiento � El mu es chico. Una aclaración: Generalmente tanto el mu estático como el mu dinámico son menores que 1. Pero atención, esto no es una regla general. Suele pasar para la mayoría de los materiales, pero no siempre es así.

Ejemplo

Un señor arrastra por el piso una caja que pesa 20 Kgf tirando de una soga con velocidad cte. Calcular la fuerza de rozamiento entre el piso y la caja. Dato: µµµµd piso-caja = 0,3.

Hagamos un dibujito

Calculo el valor de FROZ D con la ecuación FROZ D = µD x N

FROZ D = µD x N = 0,3 x 20 Kgf

ASIMOV ROZAMIENTO - 52 -

Acá el diagrama de cuerpo libre sería el siguiente:

La ecuación de Newton correspondiente sería: T – FROZD = 0 . Está igualada a cero porque no hay aceleración. ( Atento ). Con respecto a este ejemplo fijate que la fuerza de rozamiento vale 6 kgf. Este valor de la Froz es independiente de con qué velocidad camine el tipo. Podrá ir a 1 por hora o a 10 por hora. La fuerza de rozamiento dinámico no depende de la velocidad. ( Esto es lo que quería que vieras )

ROZAMIENTO ESTÁTICO

Tengo rozamiento estático cuando trato de empujar una cosa para moverla pero la cosa no se mueve. Sería este caso:

Es decir, el tipo ejerce una fuerza sobre el placard pero el maldito no quiere moverse. Pensemos. ¿ Cuánto vale la fuerza de rozamiento en este caso ? Rta: Bueno, los tipos demostraron que la fuerza de rozamiento máxima que uno puede hacer antes de que el tipo empiece a moverse vale mu estático x eNe. Quiero que veas bien cómo es esto de Fuerza de rozamiento estática máxima = a mu por ene. Supongamos que el placard pesa 30 kilos y el mu estático es 0,5. La fuerza de rozamiento máxima me da 15 Kgf ( = 0,5 x 30 ) .

ASIMOV ROZAMIENTO - 53 -

¿ Eso quiere decir que el rozamiento esté haciendo una fuerza de 15 kilos ? Rta: No, eso quiere decir que la fuerza máxima que uno puede hacer antes de que el placard se empiece a mover vale 15 kilos. ( Cuidado con esto por favor ). A ver, supongamos que una hormiga picadorus trata de empujar el placard haciendo una fuerza de 1 gramos-fuerza. ( 1 grf es lo que pesa un cm3 de agua ).

La hormiga no puede mover al coso porque sólo ejerce una fuerza de 1 gramo fuerza. Para poder moverlo tendría que ejercer una fuerza de 15 Kgf o más. A ver si entendés lo que quiero decir. Te pregunto: Cuando la hormiga empuja con una fuerza de 1 gramo fuerza , ... ¿ La fuerza de rozamiento vale 15 Kg fuerza ? Rta: No, la fuerza de rozamiento va a valer 1 gramo fuerza. Hagamos el diagrama de cuerpo libre para el placard. Quedaría así:

¿ Y si ahora la hormiga empuja con una fuerza de 100 gramos-fuerza ? Rta: La fuerza de rozamiento valdría 100 gramos-fuerza. ¿ Y si la fuerza fuera de 1.000 gramos-fuerza ? Entonces fROZ valdría 1.000 gramos-fuerza. ¿ Y si fuera de 10 Kilogramos fuerza ? - fROZ valdría 10 kilogramos fuerza. ¿ Y si fuera de 14,9 Kg ? - fROZ valdría justo 14,9 kilogramos fuerza. ¿ Y si fuera de 15,1 Kg ?. - Ahhh ! Ahí el cuerpo se empezaría a mover. En ese caso para calcular el valor de la

1 grf

FUERZA EJERCIDA POR LA PICADORUS

FUERZA DE ROZAMIENTO EJERCIDA POR EL PISO

LA FUERZA QUE HACE EL ROZAMIENTO ES IGUAL A LA QUE HACE LA HORMIGA

ASIMOV ROZAMIENTO - 54 -

fuerza de rozamiento tendría que usar el mu dinámico. ¿ Ves cómo es la cosa ? La fuer-za de rozamiento estático no vale siempre mu estático por ene. Lo que vale µµµµe por ene es la fuerza de rozamiento máxima, que puede existir antes de que el tipo empiece a moverse. ( Ahora sí ) . Vamos ahora a esto otro: Pregunta: ¿ El mu estático es siempre mayor que el mu dinámico ?

Bueno, generalmente sí. El asunto es este: Una vez que uno aplicó una fuerza mayor a 15 Kgf, el cuerpo se empieza a mover. Ahora, una vez que el tipo está en movimiento, ya no es necesario seguir aplicando una fuerza de 15 Kg para hacer que se siga movien-do. Va a alcanzar con aplicar una fuerza menor. ¿ Por qué pasa esto ? Rta: Pasa porque generalmente el mu dinámico es menor que el mu estático. Atención. Esto de que µµµµe > µµµµd vale para la mayoría de los materiales, pero tampoco es una ley general. Para algunos materiales no se cumple. Por ejemplo si en el problema del pla-card el µµµµe era de 0,5 , ahora el µµµµd podría ser de 0,4 o 0,3. ( Por ejemplo ). La fuerza de rozamiento dinámico valdría: Es decir, para hacer que el cuerpo empiece a moverse necesito una fuerza de 15 Kgf, pero para mantenerlo en movimiento alcanza con aplicar una fuerza de 12 Kgf. Hay un salto que pega la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo pasa de estar quieto a moverse. Lo grafico así:

En esta representación F es la fuerza que yo aplico para tratar de mover el cuerpo. Este hecho de que el mu dinámico sea menor que el mu estático es lo que hace que generalmente sea más fácil mantener un cuerpo en movimiento que empezar a moverlo. O sea, cuesta empezar a empujar un auto que se quedó parado. Pero una vez que el auto empezó a moverse, ya es más fácil seguir moviéndolo.

× × ROZ d df = µ N = 0,4 30 Kgf = 12 Kgf

ASIMOV ROZAMIENTO - 55 -

Dicho sea de paso, esto es un poco como una ley de la vida. Es difícil arrancar, pero una vez que uno arranca, arrancó. Es difícil ponerse a estudiar para un parcial. Pero una vez que uno empezó, ya es más fácil. Ejemplo

Un cuerpo de 5 kilogramos se mueve con velocidad 10 m/s por una zona sin roza-miento como indica la figura. Después entra en una zona con rozamiento. Calcular:

a)- La aceleración que tiene mientras se va frenando en la zona con rozamiento. b) - La fuerza de rozamiento estático una vez que se detuvo. c)- La fuerza mínima que hay que ejercer para volver a ponerlo en movimiento.

Hagamos un dibujito:

a) - Cuando entra en la región con rozamiento, el diagrama de cuerpo libre va a ser éste:

La fuerza de rozamiento dinámico vale mu dinámico por eNe. La calculo: Ahora puedo calcular la aceleración con la que está frenando. Como F = m.a, la acelera-ción de frenado va a ser a = F / m.

b) - Ahora calculemos la Fuerza de rozamiento estático cuando el cuerpo está quieto. Una vez que el tipo se frenó, el diagrama de cuerpo libre es éste:

× × × ROZ d d 2

mf = µ mg= 0,3 5Kg 9,8 = 14,7 N

2ROZ d

F 14,7 Kgm s a = =

m 5 Kg

a = 2,94 m s Aceleración de frenado←

ASIMOV ROZAMIENTO - 56 -

De lo que tenés que darte cuenta es que ahora el cuerpo esta quieto. No se mueve. Eso significa que... ¡ no hay fuerza de rozamiento ! Nadie trata de empujar al cuerpo para que se mueva, de manera que el rozamiento no va a aparecer. Entonces la respuesta a la pregunta b) es:

c) - Ahora, ¿ qué fuerza hay que hacer para ponerlo en movimiento ? Bueno, si el tipo está quieto y alguien lo empuja para tratar de moverlo tengo este dia-grama de cuerpo libre:

Para hacer que arranque voy a tener que hacer una fuerza un poquitito mayor a la fuerza de rozamiento estática máxima. Es decir, la fuerza F a ejercer tendrá que ser algo mayor a 24,5 N. Entonces la fuerza mínima para ponerlo en movimiento en el caso límite va a ser: Nota: En este problema la velocidad inicial no se usa y es un dato de más. Pregunta: en este problema el enunciado decía: Un cuerpo de 5 kilogramos se mueve...

Esos 5 kilogramos... ¿ son la masa del cuerpo o son el peso del cuerpo ? ( Atento ! ) Esto suele pasar en los parciales: Fijate que el enunciado del problema no dice " un cuerpo de masa 5 kg". Tampoco dice "un cuerpo de peso 5 kgf". Dice "un cuerpo de 5 kilogramos"... Entonces la gente se confunde, enseguida levanta la mano y pregunta: Perdón, en le problema 1, ¿ Los 5 kilogramos son la masa del cuerpo o son el peso del cuerpo ? Entonces: ¿ Son la masa o son el peso ?

ROZ ROZf = 0 f cuando el tipo está quieto←

2× × × ROZ e MAX e

ROZ e MAX

f = µ N = 0,5 5 Kg 9,8m s

F = 24,5 N

1442443

MINF = 24,5N Fuerza mínima para que se mueva.←

ASIMOV ROZAMIENTO - 57 -

Otro ejemplo

Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda. Datos: mA = 10 kg , mB = 5 kg , µd = 0,2

Hago un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos:

En base a los diagramas escribo las ecuaciones de Newton Ahora tengo que resolver el sistema de 2 x 2 que me quedó. Me conviene sumar las ecuaciones para que se vaya la tensión. Este es un truco que siempre conviene usar en los problemas de dinámica. Sumo y me queda :

� T – froz d + PB – T = mA. a + mB. a

� – froz d + PB = ( mA + mB ). a

49 N – 19,6 N = 15 kg . a 15 kg . a = 29,4 kg.m/s2 � a = 1,96 m/s2

¿ Cómo calculo ahora la tensión en la cuerda ? Bueno, sólo tengo que reemplazar esta aceleración en cualquiera de las ecuaciones del principio y despejar T. Por ejemplo:

× × B B B BP - T = m a T = P - m a⇒

( )2 25 9,8 0,2 10 9,8 10 5

m mKg Kg Kg Kg a

s s⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅

ASIMOV ROZAMIENTO - 58 -

Para verificar este resultado uno puede reemplazar la aceleración en la otra ecuación y ver si da lo mismo. No lo hago porque ya lo hice recién en un papelito acá al lado mío y dió. ( ⇒ chau ) . OTRO EJEMPLO

UN CUERPO CAE POR UN PLANO INCLINADO COMO INDICA LA FIGURA. CALCULAR SU ACELERACIÓN

DATOS: µcuerpo-plano= 0,4 . α = 30º

b) - ¿ QUÉ PASARÍA SI EL ANGULO FUERA DE 20º ?

Hago el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo en el plano inclinado: Planteo la ecuación de Newton en cada eje. Para el eje vertical me queda N = PY � N = P . Cos α. Para el eje equis me queda: PX vale P. sen α y la fuerza de rozamiento vale mu x N. A su vez N vale P . Cos α. Entonces :

Saco la masa factor común y simplifico:

ACELERACION DE CAIDA EN EL PLANO INCLINADO

( )

× × B B

× B

× 2 2

T = m g - m a

T= m g - a

m m T = 5 Kg 9,8 - 1,96

s s

T = 39,2 N Tensión

⇒

⇒ ← en la cuerda

ASIMOV ROZAMIENTO - 59 -

Haciendo la cuenta me da: a = 10 m/s2 ( sen 30º - 0,4 x cos 30º )

�� a = 1,53 m/s2

Fijate que en este problema la masa del cuerpo se simplificó. La aceleración de caída de un cuerpo por un plano inclinado no depende de la masa. b) – Si al ángulo del plano inclinado fuera de 20º la cuenta quedaría:

a = 10 m/s2 ( sen 20º - 0,4 x cos 20º )

� a = - 0,34 m/s2

¿ Qué pasó acá ? ¿ La aceleración me dio negativa ?! ¿ Cómo puede ser eso ? Rta: Algo está mal. La aceleración no puede ser negativa. Eso me estaría diciendo que el cuerpo " sube " por el plano inclinado. � el caso dado es imposible. Es decir, lo que pasa si el ángulo es de 20º es que el cuerpo no cae. Se queda quieto. Eso pasa porque la Froz D sería más grande que PX. ¿ COMO SE MIDE EL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ?

Vamos ahora a deducir un resultado especial para amantes de la física. Fijate lo siguiente: Pongo un cuerpo en un plano inclinado que tiene una bisagra que permite cambiar el ángulo alfa : Cuando el plano es horizontal, el cuerpo no se mueve. Voy subiendo el plano inclinado muy despacio. Veo que para cierto ángulo alfa el cuerpo está apunto de moverse. Hago el diagrama de cuerpo libre para ese ángulo límite:

El cuerpo todavía no se mueve. La velocidad es CERO y la aceleración también.

PLANO INCLINADO DE ANGULO VARIABLE

ASIMOV ROZAMIENTO - 60 -

Entonces puedo plantear que en el eje equis PX tiene que se = a la FROZ e MAX. Sé que la fuerza de rozamiento es la máxima posible porque si subo un poco más el plano inclinado, el cuerpo ya empezaría a moverse. Estoy planteando todo para el ángulo límite. Me queda:

PX = FROZ e MAX

Este resultado es muy lindo y es muy importante. La fórmula se lee así: Si uno quiere saber el coeficiente de rozamiento estático de un cuerpo, tiene que poner el cuerpo en un plano e ir inclinándolo de a poco. Se mide el ángulo de plano inclinado en el momento exacto en que el cuerpo empieza a moverse. Después se hace la cuenta mu estático = tg de alfa y se saca el mu.

Por ejemplo, supongamos que pongo un ladrillo sobre un tabón. Voy inclinando la tabla hasta que el ladrillo empieza a moverse. Mido el ángulo y me da 30º. Quiere decir que el coeficiente de rozamiento estático cuerpo – tablón vale:

Ya mismo podés poner sobre este libro cualquier objeto que tengas cerca y medir el coeficiente de rozamiento estático cuerpo – papel.

UN PROBLEMA PARA EXPERTOS

UNA CAJA DE 1 KILOGRAMO ES ARRASTRADA POR UNA CINTA DE SUPERMERCADO QUE SE MUEVE CON UNA VELOCIDAD CONSTANTE DE 50 cm / seg COMO INDICA LA FIGURA. LA CAJA NO PATINA SOBRE LA CINTA ¿ CUÁL ES EL VALOR DE LA FUERZA DE ROZAMIENTO ? DATOS: µe = 0,6 ; µd = 0,4 .

30º

0,577

ASIMOV ROZAMIENTO - 61 -

a) – FROZ = 0 b) – FROZ = 4 N, estática c) – FROZ = 4 N, dinámica d) – FROZ = 6 N, estática e) – FROZ = 6 N, dinámica f) No se puede calcular FROZ Este es un problema que saqué de un parcial. Vas a resolverlo si sos mago. Aparte de descubrir si la fuerza de rozamiento es estática o dinámica... ¿ Podrías decir si FROZ va para adelante o para atrás ?

UN PROBLEMA PARA AMANTES DE LA FISICA

UN AUTO QUE VIENE CON VELOCIDAD 20 m / seg FRENA HASTA DETENERSE. CALCULAR LA DISTANCIA DE FRENADO SI EL CONDUCTOR:

a) – BLOQUEA LAS RUEDAS b) – NO BLOQUEA LAS RUEDAS.

DATOS: µe = 0,8 ; µd = 0,4 . En este problema lo primero que hay que entender es que significa "frenar bloqueando las ruedas " y " frenar sin bloquear las ruedas ". Frenar bloqueando las ruedas significa frenar haciendo que las ruedas dejen de girar completamente y patinen sobre el piso. En ese caso, el rozamiento entre las ruedas y el piso es DINÁMICO. Frenar sin blo-quear las ruedas significa frenar de manera que las ruedas no se traben, si no que si-gan girando mientras el auto va frenando. Acá las ruedas no patinan sobre el piso, así que el rozamiento va a ser ESTÁTICO. Vamos al caso a) a) – El tipo frena bloqueando las ruedas. Tengo esta situación: El diagrama de cuerpo libre es: La fuerza de rozamiento es la única fuerza que actúa. Entonces planteo:

ASIMOV ROZAMIENTO - 62 -

Calculé la aceleración de frenado. Ahora puedo plantear la ecuación complementaria de cinemática para calcular la distancia de frenado. Me queda:

Ahora reemplazo la aceleración de frenado. Ojo, esta aceleración es negativa porque va así � mientras que el eje x va así: �. Entonces:

Hago la cuenta y me da:

d = ( 20 m/ s )2 . = 50 m 2 x 0,4 x 10 m/s2

b) – Ahora el auto frena sin bloquear las ruedas. Quiere decir que el rozamiento es estático. El planteo es igual que antes pero ahora tengo que usar mu estático en vez de mu dinámico. Si hago todo eso me quedaría:

Hago la cuenta y me da: d = ( 20 m/ s )2 . = 25 m 2 x 0,8 x 10 m/s2

Fijate la diferencia entre ambas maneras de frenar. La distancia de frenado se redu-ce a la mitad. Al hacer que las ruedas sigan girando mientras el auto frena. No está de más decir que esto es lo que pasa en la realidad real cuando un auto frena. Si el tipo salta de golpe sobre el pedal y clava los frenos, la frenada es menos eficien-te. El auto tarda más en frenar y recorre más distancia. No es recomendable hacer esto si uno quiere evitar un accidente. Unas preguntitas sobre este ejercicio: En este problema el auto venía con una veloci-dad de 20 m/seg. ¿ Qué hubiera pasado con la distancia de frenado si la velocidad hubiera sido el doble ( 40 m/seg ) ? ¿ Y con el tiempo de frenado ?

DISTANCIA QUE RECORRE EL AUTO HASTA FRENAR

ASIMOV ROZAMIENTO - 63 -

UNAS ACLARACIONES IMPORTANTES SOBRE ROZAMIENTO:

1 - En el caso de rozamiento dinámico la Fuerza de rozamiento se calcula SIEMPRE con la fórmula FROZd = µD . N. ( siempre ). En el caso de rozamiento estático NO. Es decir, la ecuación FROZe = µe . N no permite calcular la fuerza de rozamiento estática que actúa. ( Ojo ). Esta ecuación sólo permite calcular la fuerza de rozamiento

MAXIMA que puede llegar a actuar. Eso significa, la máxima fuerza que puede llegar a hacer el piso antes de que el cuerpo se empiece a mover. 2 – Generalmente se dice esto: Tengo rozamiento dinámico cuando el cuerpo se mueve y tengo rozamiento estático cuando el cuerpo no se mueve. Esto no es siempre así. Hay casos raros donde uno puede tener rozamiento estático y el cuerpo se está moviendo. Ejemplo: al caminar, cuando arranca un auto, al estar parado en una escalera mecánica, etc . También se puede tener rozamiento dinámico con un cuerpo "quieto" . Estos casos son un poco largos de explicar. Pero ojo porque a veces los toman. En la guía hay algunos ejercicios sobre este asunto. 3 – Generalmente se dice que la fuerza de rozamiento " intenta impedir el movimiento ". Esto tampoco es del todo así. Hay casos donde la fuerza de rozamiento PROVOCA el movimiento. Es decir, lo genera. Este asunto también es un poco difícil de explicar. Pa-sa por ejemplo cuando un auto arranca. Si lo pensás un poco, cuando un auto arranca y acelera, la fuerza de rozamiento sobre las ruedas va para adelante. El movimiento también es provocado por la fuerza de rozamiento cuando uno camina. Esto también hay que pensarlo un poco. 4 – En las formulas para calcular FROZ aparece la fuerza normal. La gente tiene tenden-cia a creer que la normal es el peso y vale m.g. Entonces, en la fórmula, donde dice " N " reemplaza por m.g y chau. Repito e insisto: Esto no es correcto. Es decir, no siempre es así. Hay casos donde la normal no es igual al peso del cuerpo. Por ejemplo, en un plano inclinado la normal es igual a PY . Y la fuerza PY no es igual al peso, sino que vale Pe por Coseno de alfa. Fijate :

La normal tampoco es igual al peso si el cuerpo está en un ascensor que acelera.

OJO, ACA LA NORMAL NO ES IGUAL AL PESO

ASIMOV ROZAMIENTO - 64 -

PREGUNTAS PARA EXPERTOS:

* La fuerza de rozamiento no depende del área de la superficie que esté apoyada. ¿ Entonces por qué hay autos que usan ruedas más anchas ? ( Patonas )

* ¿ Por qué dicen que para frenar bien hay que frenar " bombeando " ?

* ¿ Que es el sistema de frenos con ABS ? ¿ Sabés para qué sirve ?

* ¿ Para qué tienen ranuras las ruedas de los autos ?

* Si tuvieras que acelerar con tu auto tratando de lograr la máxima aceleración posible... ¿ Saldrías " arando " ?

* Un auto va sobre hielo. Pierde el control y empieza a patinar. ¿ Dobla el auto si uno mueve el volante ?

ROZAMIENTO, CONCLUSION.

Mirá, rozamiento es un tema que tiene sus vueltas. Alguna gente dice: bueno, rozamiento es como lo que vimos antes en dinámica sólo que ahora hay una fuerza más que se llama rozamiento. Pero el asunto no es tan así. Esta nueva fuerza complica las cosas porque a veces no es fácil darse cuenta si FROZ es estática o dinámica. A veces tampoco es fácil ver si va para la derecha o para la izquierda. Hasta agarrarle la mano a este tema vas a tener que resolverte algunos problemas, pero eso pasa siempre acá en física. Hacé los ejercicios de la guía y vas a empezar a entender mejor el asunto. Y si tenés dudas, bueno, yo siempre ando dando vueltas por los pasillos. Buscame y me lo preguntás.

Próximo Tema: FUERZAS ELASTICAS – RESORTES - LEY de HOOKE

ASIMOV - 65 -

METODO DE LA BOLSA DE GATOS

Este método sirve para calcular la aceleración de un sistema sin tener que hacer los diagramas de cuerpo libre. El método dice lo siguiente : La aceleración de un sistema de varios cuerpos puede calcularse suponiendo que todas las masas que son arrastradas forman una sola masa MTOTAL. El valor de esta MTOTAL es el de la suma de todas las masas. A su vez, la fuerza que tira de esta MTOTAL puede considerarse como una sola fuerza que es FTOTAL. Esta FTOTAL es la suma de todas las fuerzas que actúan. ¿ Conclusión ?

FTOTAL MTOTAL

Suma de todas las fuerzas que tiran Suma de todas las masas que son movidas

Fijate como se usa el método de la bolsa de gatos en estos ejemplos

1 - CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA. mA = 10 kg, mB = 20 kg. F = 60 N. ( No hay rozamiento ).

Solución: Puedo suponer que tengo los 2 cuerpos A y B en una bolsa. La fuerza F empuja a los 2 cuerpos. Entonces la situación sería esta: Entonces planteo : FTOTAL MTOTAL

La fuerza total que tira directamente es F ( = 60 N ). La masa total es mA + mB. Entonces :

F 60 N mA + mB 10 kg + 20 kg

Fijate que con el método de la bolsa de gatos podemos calcular la aceleración, pero no po-demos calcular las fuerzas de contacto entre los cuerpos A y B. Para calcular las fuerzas de contacto sí o sí tenemos que hacer los diagramas de cuerpo libre.

a =

a = METODO DE LA

BOLSA DE GATOS

a =

a = = = 2 m/s2

ASIMOV - 66 -

2- CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA. mA = 10 kg, mB = 20 kg. F = 60 N. ( No hay rozamiento ).

Solución: Otra vez puedo hacer el truco de suponer que tengo los 2 cuerpos A y B en una bolsa. La fuerza F tira de los 2 cuerpos. La situación sería esta: Entonces planteo : FTOTAL MTOTAL

La fuerza total que tira directamente es F ( = 60 N ). La masa total es mA + mB. Entonces :

F 60 N mA + mB 10 kg + 20 kg

El resultado dio lo mismo que el problema anterior. ¿ Casualidad ? No. Si lo pensás un poco, este problema es igual al anterior. En los 2 casos tengo una fuerza de 60 Newtons arras-trando una masa total de 30 kg. Fijate que no tengo manera de calcular la tensión de la cuerda. Para calcular la tensión, sí o sí tengo que hacer los diagramas de cuerpo libre.

3 - CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA. mA = 10 kg, mB = 20 kg, mC = 30 kg. F = 60 N. ( No hay rozamiento ).

Solución: supongo que tengo los 3 cuerpos A, B y C en una bolsa. La fuerza F tira de los 3 cuerpos. Planteo bolsa de gatos : FTOTAL MTOTAL

La fuerza total que tira directamente es F ( = 60 N ). La masa total es mA + mB + mC. Entonces :

a =

a = = = 2 m/s2

a =

ASIMOV - 67 -

F 60 N mA + mB + mC 10 kg + 20 kg + 30 kg

Fijate que con bolsa de gatos no tengo manera de calcular las tensiones de la cuerdas. Para calcular las tensiones, sí o sí tengo que hacer los diagramas de cuerpo libre. ( y en este caso son 3 diagramas y son un poco complicados ). Vamos a un caso que ha sido tomado millones de veces :

4- CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA. mA = 10 kg, mB = 20 kg. ( No hay rozamiento ).

Solución: Hay una sola fuerza que está tirando del sistema, es el peso del cuerpo B. Esta fuerza PB arrastra a los cuerpos A y B. Entonces la aceleración va a ser:

Suma de todas las fuerzas que tiran Suma de todas las masas que son movidas

Entonces: PB 200 N mA + mB 10 kg + 20 kg

Vamos a ir resolviendo problemas cada vez más complicados. Vamos a este:

5 – HALLAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA. ( NO HAY ROZAMIENTO )

Este problema también ha sido tomado millones de veces. Siempre causa muchas bajas en parciales y finales. Acá no hay rozamiento. La única fuerza que tira es el peso en equis del cuerpo B. Este PxB mueve a las masas mA y mB. Entonces el valor de la aceleración será :

PxB 50 N x sen 30º mA + mB 10 kg + 5 kg

a = = = 6,66 m/s2

a =

a = = = 1 m/s2

a = = = 1,66 m/s2

PxB

ASIMOV - 68 -

6 - CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA ( MAQUINA DE ATWOOD ). mA = 20 kg, mB = 10 kg. No hay rozamiento.

El cuerpo A quiere caer porque su peso lo tira para abajo. El cuerpo B también quiere caer pero como A es más pesado, B termina yéndose para arriba. ( Gana PA ). Quiere decir que la fuerza que tira es PA y a esa fuerza se le opone PB. Las masas movidas son mA y mB. La aceleración va a ser : PA - PB 200 N – 100 N mA + mB 20 kg + 10 kg

Fijate que la polea no tiene ninguna influencia acá. La polea se ocupa sólo de hacer que la soga se doble. Como siempre, para calcular la tensión en la cuerda, hay que hacer los dia-gramas de cuerpo libre.

La gente dice: ¿ Se puede usar el método de la bolsa de gatos cuando hay rozamiento ? Rta: Se puede. Compliquemos un poco más los ejemplos anteriores. Vamos a agregarles rozamiento. Fijate :

7 - CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA. mA = 10 kg, mB = 20 kg. F = 60 N. Suponer que el cuerpo A tiene una fuerza de rozamiento dinámico FrozdA y el cuerpo B tiene una fuerza de rozamiento dinámico FrozdB.

Ahora cada cuerpo tiene una fuerza de rozamiento dinámico que tira para atrás. Sería una cosa así :

La aceleración queda:

F - FrozdA - FrozdB 60 N - FrozdA - FrozdB mA + mB 10 kg + 20 kg

a = =

a = = = 3,33 m/s2

ASIMOV - 69 -

8 - CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA. mA = 10 kg, mB = 20 kg. F = 60 N. Suponer que el cuerpo A tiene una fuerza de rozamiento dinámico FrozdA y el cuerpo B tiene una fuerza de rozamiento dinámico FrozdB.

Si lo pensás un poco, vas a ver que este problema es igual al anterior. Los cuerpos están atados por sogas, pero eso no cambia el asunto. La fuerza tira en vez de empujar. Eso tampoco cambia el asunto. La aceleración da :

F - FrozdA - FrozdB 60 N - FrozdA - FrozdB mA + mB 10 kg + 20 kg

9 - CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA. Suponer que el cuerpo 2 tiene rozamiento dinámico con el plano

En este caso la fuerza que tira es P1 . A esta P1 se le opone la fuerza de rozamiento dinámico FROZ D 2. La suma de todas las fuerzas que tiran es P1 – FROZ D 2. La masa total es m1 + m2 . Me queda P1 – FROZ D 2 m1 + m2

Acá tenés un ejemplo medio complicadex :

10 - CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL SISTEMA DE LA FIGURA. Los cuerpos suben por acción de la fuerza F. Suponer que cada uno de los cuerpos tiene rozamiento dinámico

a =

a = =

ASIMOV - 70 -

La aceleración del sistema va a ser :

F - Px1 – FROZ D 1 – FROZ D 2 m1 + m2

Veamos un par de ejemplos mas. Acá tenés 2 cuerpos que están en planos inclinados. Los cuerpos son arrastrados por una fuerza F. Hay rozamiento. La situación es un poco complicada pero no es terrible. Las masas arrastradas son m1 y m2 . La fuerza que tira del sistema es F. A esta F hay que sumarle la fuerza que va en su mismo sentido ( que es Px2 ). Después hay que restar las fuerzas que van para el otro lado. ( O

sea : Px1 , FROZ D 1 y FROZ D 2 ). Si hacés todo eso te queda este choclín:

F + Px2 – Px1 - FROZ D 1 – FROZ D 2

m1 + m2

Pregunta para expertos : ¿ qué pasa si resolvés este problema pero al reemplazar por los valores la aceleración te da negativa ? ( Cuidado con lo que vas a contestar ). Veamos este último ejemplo : 3 cuerpos que son tirados hacia arriba por una fuerza F. Acá las masas arrastradas son 3. De estas 3 masas tira la fuerza F. Para abajo tiran los pesos de los 3 cuerpos. El asunto queda : F – PA – PB – PC mA + mB + mC

a =

ASIMOV - 71 -

METODO DE LA BOLSA DE GATOS – ACLARACIONES FINALES

* La gente pregunta: ¿ cualquier problema puede resolverse con el método de la bolsa de gatos ? Rta: Sí, cualquier problema de dinámica puede resolverse con el método de la bolsa de gatos. Puede haber rozamiento o no. Puede haber planos inclinados o no. Puede haber 2 cuerpos, 3 cuerpos o mil cuerpos. El problema puede ser de Física I o de física mil. Cual-quier problema de dinámica tiene que salir por el método de la Bolsa de Gatos. El inconve-niente es que en algunos casos puede haber tantas fuerzas y tantos cuerpos que el planteo puede ser complicado. * El nombre de "bolsa de gatos" proviene de que uno está metiendo todos los gatos ( = las masas ) dentro de la misma bolsa. Si lo pensás un poco, te vas a dar cuenta de que el mé-todo de bolsa de gatos es usar la ley de Newton F = m.a. Lo que pasa es que uno llama F a la suma de todas las eFes y llama m a la suma de todas las eMes. * Fijate que el método de la Bolsa de Gatos sirve sólo para calcular aceleraciones. Si te piden calcular alguna fuerza o alguna tensión, estás obligado a hacer el diagrama de cuer-po Libre. * Atención, algunos profesores no aceptan el método de la bolsa de gatos. No lo aceptan porque consideran que uno está haciendo trampa. ( Esto en parte es verdad, uno está cal-culando la aceleración sin hacer los diagramas de cuerpo libre ). Por eso no uses el método de la bolsa de gatos si el problema es a desarrollar. Pueden considerártelo como MAL. Se puede usar bolsa de gatos si el problema es choice. Lo que sí, si el problema es a desarro-llar podés usar Bolsa de Gatos para verificar el resultado que obtuviste por el método normal. ( O sea, con los diagramas de cuerpo libre ).

Algo parecido pasa con la ecuación complementaria en cinemática ( VF2 – V0

2 = 2 . a . d ). Algunos profesores no dejan usarla en los problemas a desarrollar. * Probá hacerle una pregunta de Dinámica a tu primo que estudia ingeniería. Te va a dar la respuesta en el momento. Te va a decir: En este problema la aceleración va a dar 3 m/s2 . ( Por ejemplo ). ¿ Cómo sabía tu primo cuánto iba a dar la aceleración ? Rta: Usó el método de la bolsa de gatos. Se imaginó mentalmente la situación y lo calculó en su cabeza. Vos también vas a poder hacer esto cuando tengas un poco de práctica.

ASIMOV PROBLEMAS - 72 -

PROBLEMAS DE ROZAMIENTO SACADOS DE PARCIALES

Problemas de rozamiento hay miles. Millones. Yo pongo acá algunos ejemplos para que veas más o menos como es la cosa. Pero para entender Rozamiento no alcanza con resolver "3 o 4 problemas". Rozamiento es difícil. Tiene sus vueltas. Tiene tram-pas.... Tenés que resolver 20 problemas para empezar a ver como viene la cosa. Estos son ejercicios que fueron tomados en parciales. Al final tenés un problema sacado verdaderamente del infierno. ( Agarrate ).

Solución: Me dan un cuerpo que tiene una fuerza aplicada. La fuerza está inclina-da un ángulo de 37º. Hay rozamiento. Hago el diagrama de cuerpo libre. A la fuerza F la descompongo directamente en 2 fuerzas FX y FY :

En este diagrama no marqué el sentido de la aceleración porque todavía no se si el cuerpo se mueve o no. La fuerza F me la dan, vale 20 N. Calculo las componentes de F en equis y en y :

Calculo FROZ. Veamos cuánto vale la normal :

ASIMOV PROBLEMAS - 73 -

Veo que la Fuerza de rozamiento estático máxima posible es de 19 N. Este valor es mayor que los 16 Newtons que vale la FX . Conclusión : EL CUERPO SE QUEDA QUIETO Y EL VALOR DE FROZ ES DE 16 N ( ESTÁTICO )

CORRECTA LA ÚLTIMA

2 – Para el sistema de la figura, describa la evolución del mismo y calcule la

aceleración en los siguientes casos:

a ) - Se lo libera a partir del reposo.

b) - Se lo impulsa imprimiendo una velocidad inicial al cuerpo A hacia abajo

Solución: Me dan este sistema de 2 cuerpos vinculados. Piden calcular la aceleración del sistema. Hay rozamiento porque dan los mu. Dicen que primero lo liberan a partir del reposo. ( → V0 = 0 ). El cuerpo B es más pesado que el A, así que el sistema ten-dería a evolucionar hacia la derecha. ( O sea, así : �� ). Digo "tendería" porque toda-vía no se si la fuerza de rozamiento lo frena o no. Hago los diagramas de cuerpo libre. Acá hay que tener un poco de cuidado de no ol-vidarse ninguna fuerza. Te olvidaste una fuerza... → Todo mal. Vamos : Puse FROZ para abajo porque sé que el sistema tiende a moverse hacia la derecha. Planteo las ecuaciones de Newton : PARA A : PARA B

ASIMOV PROBLEMAS - 74 -

Calculo el máximo valor de la fuerza de rozamiento estático para ver si existe la po-sibilidad de que el sistema no se mueva:

FROZ e MAX = µe x N = 0,4 x 500 N . cos 37°

� FROZ e MAX = 160 N PXA vale 300 N. Quiere decir que los 160 N de la Fuerza de rozamiento estática máxi-ma y los 300 N del peso en equis no logran dejar quieto al sistema. El sistema se mueve. Tengo que calcular la Fuerza de Rozamiento dinámica.

Entonces las ecuaciones quedan: �

Sumo las ecuaciones : La descripción del movimiento sería esta: al liberar el sistema partiendo del reposo los cuerpos son arrastrados hacia la derecha. El cuerpo A sube y el B baja. El siste-ma se mueve con una aceleración de 2,66 m/seg. Vamos ahora a la situación b), o sea, se lo impulsa al cuerpo A para abajo. Ahora la fuerza de rozamiento cambia de sentido. Los diagramas de cuerpo libre quedan así :

ASIMOV PROBLEMAS - 75 -

PARA A PARA B Fijate que los cuerpos se mueven hacia allá � pero la aceleración va para allá �. O sea, el sistema ESTÁ FRENANDO. Planteo las ecuaciones de Newton : PARA A : PARA B :

Sumo las ecuaciones :

La descripción del movimiento en la situación b) sería: al impulsar al cuerpo A para abajo, el sistema se mueve hacia la izquierda pero va frenando con una aceleración de 4 m/seg. El cuerpo A baja y el B sube. Los cuerpos se mueven con velocidad así : � pero la aceleración va al revés ( � ). El sistema ESTÁ FRENANDO. NOTA: La gran mayoría de la gente se olvidó de poner la descripción del movimiento en las situaciones a) y b). En la corrección esto se considera "incompleto".

3 – Se aplica una fuerza F a la caja 1 formando un ángulo α con la horizontal

como indica la figura de manera que el sistema se desplaza hacia la derecha.

Si P1 y P2 son los pesos de la caja y µD es el coeficiente de rozamiento dinámico

entre la superficie y las cajas, entonces la fuerza total de rozamiento que actúa

sobre el sistema es :

ASIMOV PROBLEMAS - 76 -

Solución: Hay que entender que hay rozamiento sobre las 2 cajas. El dibujito que me dan es este :

Descompongo la fuerza que actúa sobre el cuerpo 1 en 2 direcciones : Entonces los diagramas de cuerpo libre quedan así : ( Mucho cuidado con el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo 1 ) La fuerza de rozamiento dinámica sobre el cuerpo 2 vale : Para el cuerpo 1 la fuerza de rozamiento dinámico vale FROZ D1 = µD . N1 . Necesito calcular N1 . Del diagrama de cuerpo libre para el 1 :

ASIMOV PROBLEMAS - 77 -

Ahora, la fuerza de rozamiento dinámica total será la suma de las fuerzas de roza-miento FROZ D1 + FROZ D2. Entonces :

Correcta la 3ra de la izquierda, abajo.

UN PROBLEMA DEL INFIERNO

Acá tenés un problema para expertos. Miralo si te animás...

Solución: Bueno, acá tenemos un problema verdaderamente complicado. Ahora vas a ver por qué. Pero lo tomaron, así que hay que resolverlo. Empecemos. Veamos lo que nos dan: Tenemos un cuerpo 1 arriba del cuerpo 2. Los objetos 1 y 2 se mueven jun-tos porque hay rozamiento entre 1 y 2. No hay rozamiento entre 2 y el suelo. Piden calcular la fuerza de rozamiento que actúa entre los cuerpos 1 y 2. Hagamos un es-quema del asunto :

Los cuerpos 1 y 2 se mueven juntos. Entonces puedo considerar que 1 y 2 son un solo

4 -

ASIMOV PROBLEMAS - 78 -

cuerpo de masa m1 + m2 . Hago los diagramas de cuerpo libre : Fijate que en el dibujo que ellos dan los cuerpos 1 y 2 tienen distinto tamaño, pero en los datos dicen que tienen la misma masa ( 3 kg ). Reemplazo por los datos y me queda :

Sumo las ecuaciones y se me va la tensión. Me queda :

Ahora tengo que calcular la fuerza de rozamiento entre los cuerpos 1 y 2. Esto es un poco complicadex. Lo que tengo hasta ahora es esto : O sea, tengo 2 cuerpos que avanzan juntos tirados por una soga. Para calcular FROZ tengo que hacer los diagramas de cuerpo libre de cada cuerpo. Ojo, miralos bien porque son difíciles. Los hago con mucho cuidado. Quedan así :

ASIMOV PROBLEMAS - 79 -

Fijate que la fuerza de rozamiento que actúa entre los cuerpos es estática, porque el cuerpo 1 no patina sobre el 2. Las ecuaciones van a ser : Reemplazando en la ecuación 1 ya puedo calcular FROZe :

Se puede comprobar el valor de esta FROZe reemplazando los valores en la otra ecua-ción. Fijate que esta FROZe que calculé NO ES LA MÁXIMA. Para calcularla no se puede usar la fórmula mu x N. Este fue un típico error de mucha de la gente que in-tentó resolver el ítem a ). Vamos al punto b ) b) – Esta parte es difícil. Piden calcular el máximo valor que puede tener m3 para que los cuerpos 1 y 2 se muevan juntos. Vamos a ver qué significa esta frase. La cosa es así: Si la masa del 3 fuera muy grande, la tensión de la cuerda sería muy grande. Es-ta tensión pegaría una especie de tirón sobre los cuerpos 1 y 2. El tirón repentino haría que el cuerpo 1 patine sobre el 2. O sea, el 2 avanzaría con el 3 porque están atados por la cuerda. Pero el cuerpo 1 se iría para atrás respecto del 2. ( Esto hay que pensarlo un poco ). Para entender mejor la situación tratá de imaginarte que no hay rozamiento entre 1 y 2. Hagamos en diagrama de cuerpo libre del cuerpo de arriba suponiendo que la FROZ es la máxima posible. Me queda así :

ASIMOV PROBLEMAS - 80 -

Reemplazo por los valores :

Ahora hago el diagrama de cuerpo libre con esta máxima aceleración que calculé. Ojo, fijate que los cuerpos 1 y 2 siguen avanzando juntos. Los diagramas quedan :

Reemplazo por los valores en la 1ra ecuación : T = ( 3 kg + 3 kg ) . 4 m/s2

� T = 24 N Reemplazo este valor de 24 N en la ecuación para el cuerpo 3 y me queda :

P3 – T = m3 . a � m3 . g – 24 N = m3 . a

→ m3 . g – m3 . a = 24 N

→ m3 . ( g – a ) = 24 N

→ m3 . ( 10 m/s2 – 4 m/s2 ) = 24 N

→ m3 . ( 6 m/s2 ) = 24 N

ASIMOV PROBLEMAS - 81 -

Para comprobar los valores de aceleración siempre se puede usar el método de la bolsa de gatos. Este método dice que :

Hagamos un dibujo: Para el ítem a) la situación es esta : La fuerza total que tira es el peso de m3 ( = 10 N ). La masa total que es arrastrada es m1 + m2 + m3 = 3 kg + 3 kg + 1 kg = 7 kg. ( verifica ) Para el punto b) la fuerza total que tira es el peso de m3 que es de 40 N. La masa total arrastrada es m1 + m2 + m3 = 3 kg + 3 kg + 4 kg = 10 kg. Entonces : ( verifica )

NOTA : La parte a ) es difícil. Poca gente la hizo bien. La parte b) es mucho más difícil. Casi nadie la hizo bien. Para mi gusto este problema está por arriba del nivel de Física CBC. Más bien es un problema de Física I. Pero bueno, lo tomaron, lo toma-ron... Bienvenido a Física CBC.

arrastrada es que total masasistema del tira que total Fuerza

sistema del naceleració =

2sm 1,428

kg7 N 10 a ==

2sm 4

kg 10N 40 a ==

ASIMOV RESORTES - 82 -

FUERZAS ELASTICAS

( RESORTES – LEY DE HOOKE )

ASIMOV RESORTES - 83 -

TEORIA

¿ Alguna vez viste esos muñequitos con resorte que se cuelgan del techo ? Tienen un resorte que tiene cierta longitud. Al colgarle el muñequito o algún otro peso, el resorte se estira. Más pesado es lo que cuelgo, más se alarga el resorte. Sería algo así:

A lo que mide inicialmente el resorte ellos lo llaman " longitud natural ". Esta longitud natural es lo que mide el resorte sin estar ni comprimido ni estirado. La pregunta ahora es: Yo cuelgo un peso y el resorte se estira. Si cuelgo un peso doble... ¿ el estiramiento será el doble ? La respuesta es SÍ, y eso es justamente lo que dice la ley de Hooke. ¿ Cómo compruebo esto ? Rta: Muy fácil. Hago lo mismo que hizo Hooke. Voy a un negocio y me compro el muñe-quito con el resorte. Me compro también algunas cosas para colgarle. Por ejemplo, algunos alfajores que digan PESO NETO: 50 gr. Ahora saco el muñequito y voy colgando los alfajores así:

Con cada alfajor que voy colgando veo que el resorte se va estirando. Supongamos que cada vez que cuelgo un alfajor el estiramiento es de 10 cm.

Un resorte con un peso colgado.

RESORTE SIN NADA ( No se Estira )

RESORTE con 1 alfajor

FUERZAS ELÁSTICAS RESORTES - LEY DE HOOKE

ASIMOV RESORTES - 84 -

Si hago una tabla de valores me queda esto:

Objeto Colgado

Peso Total

Estiramiento Total

1 alfajor 50 g 10 cm 2 alfajores 100 g 20 cm 3 alfajores 150 g 30 cm 4 alfajores 200 g 40 cm

Fijate que este experimento es algo que vos podés hacer si te conseguís un resorte y unos alfajores. Esto mismo es lo que hizo Hooke en 1600 y pico. ( Es decir, fue a un negocio, compró los alfajores, el muñequito y etc, etc ).

La conclusión que sacó Hooke es que si uno cuelga un peso doble, el estiramiento es el doble. Si uno cuelga un peso triple, el estiramiento es el triple. ( Genio ) Ahora, hablando en forma física, ¿ Qué fue lo que hizo Hooke ? Rta: Comprobó que lo que se estira un resorte es proporcional al peso que uno le cuelga. Representemos esto. Si pongo los valores en un gráfico me da una recta. Fijate:

Dicho de otra manera, el estiramiento es directamente proporcional al peso colgado. Bueno, esto creo que más o menos se entiende. Ahora imaginate esta otra situación: pongo un resorte agarrado a un clavo sobre una mesa y tiro.

Voy a llamar F a la fuerza que yo hago sobre el resorte y x al estiramiento. Pongamos el resorte con la fuerza aplicada sobre él. El diagrama sería éste:

La mano tira del resorte y lo alarga.

Tabla con los pesos y el estiramiento.

ASIMOV RESORTES - 85 -

Si hago una fuerza F, tengo un estiramiento determinado. Si hago una fuerza doble, el estiramiento será el doble. ( Igual que cuando iba colgando los pesos ). Puedo decir que la fuerza aplicada va a ser proporcional a la elongación del resorte. ( Elongación = estiramiento ). O sea:

Quiere decir que la función que relaciona a F con X, tiene que ser una función lineal. ( Una recta ). Tipo y = m x + b o algo por el estilo. El gráfico que yo había obtenido era éste:

La recta sale del origen, porque para F = 0, el estiramiento es cero. Me queda enton-ces algo del tipo y = m . X. Algunos chicos dicen: ¿ No se puede poner directamente F = X ?. La respuesta es: no, porque eFe no es igual a equis. F es proporcional a X. Ahora mirá el dibujito de arriba. ¿ La pendiente de la recta, cuál es ? Y bueno, en el triangulito el cateto opuesto es F1 y el adyacente es x1. A la pendiente de la recta, la llamo K , ( constante del resorte ). Me queda: Y ahora sí tengo la expresión a la que llegó Hooke jugando con el muñequito y los al-fajores. ( El muñequito está en un museo, y los alfajores se los morfó ). Como es una recta, tiene que ser del tipo Y = m . X. Pero a la pendiente m yo la llamé K. Entonces la ecuación tiene que ser F = K . X .

Esquema con la fuerza y el estiramiento.

F es proporcional a X

Para una fuerza F1 tengo un

estiramiento x1.

resorte. del Constante estiró se que Distancia

tiraque FuerzaK ←=

ASIMOV RESORTES - 86 -

Fijate el significado de cada cosa en la fórmula F = K.X : Cuando yo digo F = K . X, quiero decir que si tengo un resorte de constante K y quiero mantenerlo estirado ( o comprimido) una distancia X, la fuerza que voy a tener que hacer va a valer K por X. Esto es la ley de Hooke. ¿ Me seguiste ? Bueno, vamos a esto otro: ¿ QUÉ ES LA CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE ?

La constante K es lo que me dice si el resorte es blando o duro. Cuanto mayor es K, más duro es el resorte. Cuanto menor es K, menos duro es el resorte. Cuando digo " resorte duro " quiero decir resorte difícil de estirar o difícil de comprimir. Por ejemplo, supongamos que tengo un resorte tal que si le hago una fuerza de 10 Newton, se estira 5 cm :

Si planteo la ley de Hooke F = K . X me queda: Ahora, fijate esto: ¿ Qué significa este resultado de K = 2 N/cm ?. Rta: Significa que tengo un resorte tal que para mantenerlo estirado una distancia de 1 cm, tengo que hacer una fuerza de 2 N. Pregunta: ¿ Un resorte que tuviera una constante doble sería más duro ? Rta: Sí, sería más duro, porque para tenerlo estirado 1 cm uno tendría que hacer una fuerza de 4 N. ( El doble ).

constante. la de Valor cmN2K

5cm

10NK cm 5kN10

←=⇒

=⇒⋅=

ASIMOV RESORTES - 87 -

VER

Resumiendo, la constante elástica es una medida de la facilidad o la dificultad para estirar a un resorte. Desde el punto de vista gráfico, la constante es la pendiente de la recta del gráfico fuerza en función del estiramiento. Sus unidades son las de una fuerza dividida por una distancia. La constante también puede estar en N/cm o Kgf / cm o alguna otra unidad parecida. Ahora un comentario: ACLARACIÓN SOBRE EL SIGNO MENOS

A veces ellos no ponen la ley de Hooke como F = K . X, sino como F = −−−− K . X ¿ Por qué es esto ? Bueno, la fuerza F que yo puse en la fórmula es la que

yo hago sobre el resorte. A su vez, el resorte ejerce sobre mi mano una fuerza igual y contraria. ( La reacción ). Esta fuerza que ejerce el resorte apunta al revés que el estiramiento. Es decir, si el estiramiento va así: ←, la fuerza va así: →. Entonces, si uno considera la fuerza que hace el resorte sobre la mano ( en vez de considerar la que la mano hace sobre el resorte ), tiene que poner un signo negativo. El signo menos viene de considerar que la fuerza que hace el resorte apunta al revés del estiramiento. ¿ Tendés como es la cosa ? Entonces... ¿ La Ley de Hooke se pone F = K.X o F = - K.X ? Rta: Es lo mismo. Se puede poner de las 2 maneras. Vos tenés que trabajar con el módulo de la fuerza. El signo no lo usás. A ver si con este dibujito lo ves mejor: MANO

La mano estirando el resorte

ASIMOV RESORTES - 88 -

Las fuerzas que actúan sobre la mano y sobre el resorte son:

Resumiendo: No es necesario poner el sigo menos. Vos poné la fórmula como F = K.X. La fuerza la usás en módulo y el sentido de F lo marcás vos después en tu dibujo. ACLARACIONES SOBRE LA LEY DE HOOKE:

* En la fórmula F = K . X suele decirse que equis es el estiramiento o elongación. Esto está bien, pero no te olvides que X también puede ser COMPRESIÓN. * A veces también se pone la Ley de Hooke como F = K . ∆ X. ( ∆ X = delta equis ). Es lo mismo. Podes poner F = K . X o F = K . ∆ X . Lo importante es que sepas que ∆X es la distancia que se estiró el resorte con respecto a su longitud natural de no estirado ni comprimido. ( Que se estiró o que se comprimió ). En principio, acá termina la teoría de fuerzas elásticas. No es muy difícil, como ves. Pero OJO por lo siguiente: Hooke es un tema que no suelen tomarlo así aislado. Es demasiado fácil. Es aplicar la fórmula F = K . X . Si lo toman, lo toman mezclado con alguna otra cosa. Por ejemplo, pueden tomarlo combinado con plano inclinado, con rozamiento, con cuerpos vinculados, con movimiento circular, con energía o algo así. Tenés que saber bien esto de fuerzas elásticas porque después se lo vuelve a ver en trabajo y energía. Ahí se parte de la ley de Hooke para explicar la energía elástica de un resorte.

EJEMPLO: SE CUELGA UN PESO DE MEDIO KILO DE UN RESORTE Y SE OBSERVA QUE EL RESORTE SE ESTIRA 10 cm. CALCULAR: a) - LA CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE. b) - LA FUERZA QUE SE EJERCE SI SE TIRA DEL RESORTE Y SE LO ALARGA 35 cm.

a) - Calculo K. Planteo ley de Hooke. Hago un dibujito de lo que dice el problema. Tengo esto:

Fuerzas que actúan sobre cada cuerpo.

ASIMOV RESORTES - 89 -

La constante del resorte va a ser: �

Esto que calculé me indica que para estirar a este resorte, tengo que hacer una fuerza de 50 gramos fuerza para alargarlo 1 cm. b) - Si el tipo estira el resorte 35 cm, x vale 35 cm. Entonces:

De este problema quiero que veas una conclusión importante: El tipo, al colgar un peso conocido ( 0,5 Kgf ) y calcular la constante está calibrando el resorte. Esto significa que ahora él ya sabe que por cada 50 gr que cuelgue, el resorte se va a estirar 1 cm.

Cuando uno tiene un resorte calibrado, puede usarlo para medir fuerzas. Por ejem-plo, si querés saber que fuerza estás haciendo con la mano, tirás del resorte y te fijás cuánto vale el estiramiento. Después calculás la fuerza que estás haciendo usando la fórmula F = K.X .

Con un resorte uno puede calcular cuanto pesa un cuerpo desconocido. Es la misma historia. Colgás el peso desconocido del resorte y medís el estiramiento. Esto es lo que se llama fabricar un dinamómetro, es decir: un resortito calibrado que se usa para medir fuerzas. Dicho de otra manera, con un resortito puedo fabricar una ba-lanza. En principio las balanzas funcionan así. Conclusión: Los resortes son cosas que me permiten medir fuerzas. Esto es impor-tante. La manera que tiene la física para medir una fuerza es usando un resorte.

resorte. del elástica constante

la de

Valor

← = ⇒

Κ =

gf 50

cm 10

gf 500

ΚΚΚΚ

ejerce. que Fuerza

← = ⇒

= ⋅ = ⇒ ⋅ =

Kgf 75 , 1 F

gf 1.750 cm 35 cm

gf 50 F x F ΚΚΚΚ

Esquema de lo que pasa.

F = K. X � K = F/X

ASIMOV RESORTES - 90 -

PROBLEMA DE PARCIAL

El cuerpo de la figura tiene una masa de 10 kg y existe rozamiento entre el mismo y la

superficie con coeficientes: µµµµe = 0,5 y µµµµd = 0,2. El cuerpo está en reposo. Se observa que la fuerza F es de 100 N y que el resorte, cuya constante elástica es K = 300 N/m, está alargado en 20 cm respecto a su posición inicial. Diga cuál de estas afirmaciones corres-ponde para el valor y el sentido de la fuerza de rozamiento:

a) 40 N con sentido contrario a la fuerza elástica b) 50 N con igual sentido que la fuerza elástica c) 40 N con igual sentido que la fuerza elástica d) 20 N con sentido contrario a la fuerza elástica e) 50 N con sentido contrario a la fuerza elástica f) 20 N con igual sentido que la fuerza elástica.

Dicen que el cuerpo está quieto. Entonces la fuerza de rozamiento que está actuando es la de rozamiento estática. El resorte está estirado 20 cm. Entonces la fuerza que hace vale: Ahora dicen que la fuerza F vale 100 N. quiere decir que tengo 100 N tirando así � y 60 N tirando así . La resultante de estas 2 fuerzas es una fuerza de 40 N así �. La fuerza de rozamiento estática debe equilibrar a esta fuerza. El diagrama de cuerpo libre sería este: Quiere decir que FROZe vale 40 N así: .

Este problema está hecho para que vos caigas en la trampa de decir: Calculás FROZe , te da 50 Newton y parecería que la b) o la e) fueran las correctas. Pero no. El error está en decir que FROZe = µe . N . FROZe no es igual a µe . N Lo que es igual a Mu estático por N es la fuerza de rozamiento MAXIMA que puede hacer el piso. En este caso hay rozamiento estático, pero la fuerza que actúa no es la máxima.

Por cierto, en este problema la masa no se usa. Es un dato de más. Lo dan para que caigas en el truco de calcular la fuerza de rozamiento usando Mu por eNe. ( Horror)

F = K . X = 300 N/m x 0,2 m = 60 N

Conclusión: correcta la c) 40 N con igual sentido que la fuerza elástica .

ASIMOV RESORTES - 91 -

PROBLEMA PARA EXPERTOS

SE CUELGA UN CUERPO DE 2 KILOGRAMOS DE UN RESORTE Y SE LO COLOCA EN UN ASCENSOR. CALCULAR EL ESTIRAMIENTO DEL RESORTE EN LOS SIGUIENTES CASOS :

a) - ASCENSOR QUIETO. b) - ASCENSOR SUBIENDO CON VELOCIDAD CONSTANTE 2 m/seg. b) - ¿ CUANTO VALE LA ACELERACIÓN DEL ASCENSOSR SI SE VERIFICA QUE EL RESORTE SE ESTIRA 15 cm ? DATO: K = 2 N / cm

a) Bueno, hagamos un dibujito. Dicen que el ascensor está quieto con el peso de 2 kg colgado del resorte:

Cuando el cuerpo no está colgado, el resorte tiene cierta longitud. Esto es lo que mide el resorte cuando no está ni comprimido ni estirado. Se la suele llamar " longi-tud natural " . Ahora, al colgar el cuerpo, el resorte se estira un cierto ∆X. Con el ascensor quieto, la fuerza que hace el resorte es igual al peso del cuerpo. El peso es 20 Newton y la constante del resorte es 2 Newton/cm. Entonces: b) – Ahora dicen que el cuerpo sube con velocidad constante 2 m/seg. Hay que

EL ASCENSOR ESTA QUIETO CON EL CUERPO COLGADO

a = 0 , v = 0

a = 0

ASIMOV RESORTES - 92 -

pensarlo un poco. Si el ascensor se mueve con velocidad constante, la aceleración sigue siendo CERO. Quiere decir que el resorte va a seguir estirado 10 cm, lo mismo que si el ascensor estuviera quieto. Fijate que no importa el valor de la velocidad ni tampoco si el cuerpo está subiendo o bajando. Lo único que importa es que la veloci-dad sea constante. c) – Ahora piden calcular la aceleración del ascensor sabiendo que el resorte se estira 15 cm. Esta es la pregunta del millón. Hagamos un dibujito: Con el ascensor acelerando planteo la ley de Newton de acuerdo al diagrama de cuerpo libre: Acá hay un problema. Me dicen que el resorte está estirado 15 cm. Pero... ¿ Esos 15 cm están medidos desde la longitud inicial del resorte o desde cuando el cuerpo ya estaba colgado del resorte ? El problema no aclara esto. Es decir, no sé si tomar x = 15 cm o x = 25 cm. Supongamos que el dato está dado desde la longitud natural del resorte. En ese caso: Aclaración: Me dio a = 5 m/s2. Esto no quiere decir necesariamente que el ascensor esté yendo para arriba. Podría estar yendo para abajo y estar frenando. ( Ojo ). Este tipo de cosas son las genialidades que tiene la física.

ASIMOV RESORTES - 93 -

RESORTES EN SERIE Y EN PARALELO

Supongamos que tengo 2 resortes de constantes K1 y K2 Uno puede conectar los 2 resortes entre sí. Si los pone uno a continuación del otro, tendría conexión en serie. Si los pone uno al lado del otro, tendría conexión en para-lelo. Sería esto:

Se pueden hacer algunos cálculos para saber cuánto vale la constante equivalente de 2 resortes puestos en serie o en paralelo. Esos cálculos no son muy difíciles pero son un poco largos. Por eso no los pongo. Los resultados son estos:

Entonces, para resortes en paralelo se suman las constantes y para resortes en serie se suman las inversas de las constantes. Por favor fijate esta fórmula que pongo aho-ra que es importante: Si despejás la constante equivalente para resortes en serie te da esto:

Atención, esta última fórmula vale sólo PARA 2 RESORTES. No se puede usar para 3 o más resortes. ¿ Estamos ? Para el caso particular de 2 resortes de constantes iguales, la KEQ del paralelo sería KEQ = 2 K y la constante equivalente para los 2 resortes en serie sería KEQ = k/2.

ASIMOV RESORTES - 94 -

PROBLEMA DE PARCIAL

Un resorte de constante k y de masa despreciable se encuentra colgado del techo. Del extremo libre se cuelga una masa de 4 kg que produce en el equilibrio un estiramiento de 10 cm como muestra la figura a. Determinar el estiramiento en el equilibrio cuando el mismo cuerpo se cuelga de dos resortes de la misma constante k como indica la figura b.

a) 12, 5 cm b) 15 cm c) 20 cm d) 5 cm e) 7,5 cm f) 10 cm

Me dicen que cuelgo un cuerpo de 4 kg de un resorte y el resorte se estira 10 cm. Hagamos un dibujito:

Calculo la constante del resorte: � K = 40 N . = 4 N . 10 cm cm

Ahora me dicen que cuelgo al cuerpo con 2 resortes de la misma constante que el primero. Quiere decir que tengo esto:

F = K. X � K = F/X

CUELGO AL CUERPO DE DOS RESORTES DE CONSTANTE K

= 10 cm

ASIMOV RESORTES - 95 -

Los resortes están el paralelo. Para calcular la constante equivalente hago: � KEQ = 4 N/cm + 4 N/cm = 8 N/cm

Ahora calculo el estiramiento usando la constante equivalente :

� X = 40 N . = 5 cm 8 N/ cm Correcta la opción d) NOTA: Resortes en serie y en paralelo es un tema que no deberían tomar... Más bien es un tema de física I. Pero bueno, bienvenido a Física CBC.

FIN FUERZAS ELASTICAS – LEY DE HOOKE

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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DINÁMICA DEL MOVIMIENTO

CIRCULAR

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Cuando empecé con la parte de dinámica te comenté que para resolver los problemas había que plantear la 2da ley de Newton que decía:

∑ F = m.a

Ahora lo que quiero hacer es plantear esta misma ecuación para algo que se mueve con movimiento circular. Imaginate algo que está girando, por ejemplo un bichito de luz sobre un disco. El tipo tiene aceleración centrípeta porque está dando vueltas. Eso ya lo viste antes en la parte de cinemática del movimiento circular.

Acá también vale la ecuación de Newton. El tipo tiene aplicada una fuerza sobre él que es la que hace que se mueva en círculos. Esta fuerza se llama centrípeta. Si la fuerza centrípeta no existiera, el cuerpo nunca podría moverse siguiendo una trayec-toria circular. Esto es porque la 1ra ley de newton dice que si una cosa no tiene nin-guna fuerza aplicada, obligatoriamente se va a mover siguiendo una línea recta . En el caso del bicho o de cualquier cosa que esté parada sobre un disco que gira, la fuerza centrípeta ( Fcp ) será la fuerza de rozamiento. Vas a entender esto mejor si mirás el diagrama de cuerpo libre:

Ahora, mirando el diagrama de cuerpo libre, planteo la ecuación de Newton. La única fuerza que actúa es la centrípeta. Entonces :

La aceleración del bicho apunta hacia el centro. ( Centrípeta)

Diagrama de cuerpo libre de un objeto que está girando. La Fcp en este caso, es la fuerza de rozamiento. (Ojo)

x CP CPF = m a

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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La Fcp puede ser cualquier fuerza. Por ejemplo, el peso, la tensión de la cuerda, la fuerza de un resorte o la fuerza de atracción gravitacional de Newton. ( Gravitación lo vamos a ver después ). Para el caso particular del bicho girando sobre el disco, la Fcp va a ser la fuerza de rozamiento. En conclusión, para cualquier cosa que esté dando vueltas, la ec. de Newton queda así: COMO RESOLVER PROBLEMAS DE MOVIMIENTO CIRCULAR:

Para resolver problemas de dinámica circular conviene que sigas estos pasos :

1) Hacés el diagrama de cuerpo libre poniendo todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Sobre el diagrama también tenés que poner que la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta. (Tenés que indicar para dónde apuntan).

2) De acuerdo al diagrama, planteás la ecuación de Newton para el movimiento circular.

∑ F en dirección radial = m . acp

La Ec. de Newton dice que la sumatoria de las fuerzas en la dirección del radio es igual a la masa por la aceleración centrípeta. 3) Reemplazás acp por 2ω R o por VT

2 / R y de la ecuación que te queda despe-

jás lo que te piden. ALGUNOS CASOS QUE SIEMPRE TOMAN

Prestale atención a los diagramas de cuerpo libre que pongo acá. Son casos que siem-pre suelen aparecer. Cuerpo en rotación

alrededor de un planeta Diagrama × ATRACC. CP

Ecuación :

F = m a

LEY DE NEWTON PARA EL MOVIMIENTO CIRCU-LAR

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Hay un montón de otras situaciones de cosas que giran con movimiento circular. Pero conviene que conozcas las que puse acá porque aparecen todo el tiempo.

Sí hay algo que tenés que saber: Movimiento circular no es un tema fácil de enten-der. El problema empieza cuando ellos te explican que cuando una cosa gira, hay una fuerza que tira para adentro llamada fuerza centrípeta. El asunto es que pese a la explicación, uno suele estar convencido de que la fuerza esa apunta para afuera y no para adentro. ( Es lógico que uno piense así, porque cuando un auto agarra una curva uno tiende a irse para afuera, no para adentro ). No pretendo que entiendas esto de entrada. Y no pretendo que lo entiendas de en-trada porque no es fácil de entender. Entonces, lo que tenés que darte cuenta es que la idea es que sepas resolver unos 20 problemas de movimiento circular y que entiendas el concepto principal que es que : No me vengas ahora con que por más que yo te lo diga, igual no lo entendés. Esto le llevó siglos a la humanidad, y si vos lo querés entender bien, también te va a llevar siglos. Bueno, siglos no, pero te va a llevar bastante. ¿Te imaginás un siglo estudiando física ? No te rías. Creo que ya te lo conté una vez. Un día tuve una alumna que se llamaba Marcela. Por las cosas que preguntaba se notaba que ya había cursado la materia. Finalmente un día le pregunté si estaba recursando física. Marcela me miró y me dijo:

Balde de agua que gira en un plano vertical.

CPamTP :Ecuación ⋅=+

LA FUERZA CENTRÍPETA APUNTA SIEMPRE PARA EL CENTRO

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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¡ Esta es la séptima vez que la curso ! ( Sí, así como lo oís: 7 veces física ). Pero bueno, te aclaro que la chica tenía problemas...Todo el mundo la conocía. Los ayudantes, los jefes, los profesores... Y claro: Marcelita había cursado en todos la-dos, en todos los horarios. Al parecer el único que no la conocía era yo. La cosa es que la tipa creía que había una confabulación de todos los docentes de física para no de-jarla aprobar la materia. ( En serio te lo digo ). Ella estaba convencida de que no que-rían dejarla entrar a la facultad. No había manera de sacarle esta idea de la cabeza. ( O sea, Marcela estaba Re-chapita = le chiflaba el moño ) En otro momento voy a comentarte cómo siguió la historia. Sólo te adelanto que un día ella me miró... yo la mire... y... y... y... bueno, nació el amor. Siete veces física, Marcelita... ¿ No está mal, eh ? Pero bueno, ahora sigamos con el asunto. Resumiendo, si vos no querés cursar física durante siglos tenés que saber que:

Es decir que:

La explicación de esto es la siguiente: suponé que revoleás una piedra así:

El diagrama de cuerpo libre de algo que se mueve con movimiento circular nunca puede ser algo así.

Tiene que ser siempre así. ( Es decir, con la fuerza centrípeta apuntando hacia el centro ).

LA FUERZA RESULTANTE DE TODAS LAS FUERZAS QUE ACTÚ-AN SOBRE UNA COSA QUE SE MUEVE CON MOVIMIENTO CIR-CULAR UNIFORME SE LLAMA FUERZA CENTRÍPETA Y APUNTA SIEMPRE HACIA EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA.

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Vos decís: al revolear la piedra, siento que ella quiere irse hacia afuera. Correcto.Eso es cierto. La fuerza que el hilo ejerce sobre tu mano apunta hacia afuera. Esa es la fuerza que uno siente. Uno siente que esa fuerza va para afuera y efectivamente va para afuera. El único problema es que la fuerza que uno siente sobre la mano de uno... NO ES LA FUERZA QUE VA EN EL DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ! La fuerza que va en el diagrama de cuerpo libre es la que tu mano ejerce sobre la piedra. Y esa fuerza SÍ apunta para adentro. Repito. La fuerza que uno siente sobre la mano de uno existe y va para afuera. Pero no es esta fuerza la que va en el diagrama de cuerpo libre. La fuerza que va en el diagrama es la que la mano de uno ejerce sobre la piedra. ( Y no al revés ). Esta es la fuerza que se llama fuerza centrípeta y va para adentro. El diagrama de cuerpo libre sería así:

Resumiendo, lo que tenés que entender es lo siguiente: la fuerza que vos sentís sobre tu mano sí va para afuera. Pero esa es la fuerza que actúa sobre tu mano. No sobre el cuerpo que gira. La fuerza que actúa sobre el cuerpo que gira ( = la piedra ) va para adentro. ¿Tendiste ? A ver si lo ves mejor en un caso concreto. Fijate el ejemplo del colectivo que dobla. Ejemplo 1

UN COLECTIVO QUE VA A 36 KM POR HORA ( 10 m/s) TOMA UNA CURVA DE RADIO 30 m. UN SEÑOR QUE VA SENTADO SE SIENTE TIRADO HACIA LA PA-RED. CALCULAR QUÉ FUERZA EJERCE LA PARED SOBRE EL TIPO. SUPONER QUE NO HAY ROZAMIENTO ENTRE LA PERSONA Y EL ASIENTO. DATO: MASA DEL HOMBRE: 60 Kg.

Lo que el enunciado quiere decir es lo siguiente: Cuando un colectivo dobla, toda la gente se va para el costado. Eso ya lo sabés. Lindos golpes te debés haber dado via-jando como ganado en los colectivos. Imaginate un tipo que está sentado. El hombre también siente que se va contra la ventanilla y que se pega a la pared.

Hagamos unos dibujitos que muestren un poco mejor lo que pasa:

Diagrama de cuerpo libre visto desde arriba

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Voy a simplificar todos estos dibujitos complicados haciendo los diagramas de cuerpo libre:

Hice los diagramas del tipo visto desde arriba y desde atrás para que el asunto se entienda mejor. Planteo la ley de Newton para el movimiento circular que dice que

En este caso hay una sola fuerza en dirección radial que es la que la pared ejerce sobre la persona. Es decir acá, ésta es la fuerza centrípeta. Por otro lado la acelera-ción centrípeta vale “ ve cuadrado sobre erre ”. Planteo:

Pongámonos de acuerdo. Esta fuerza que calculé es la que la pared ejerce sobre el tipo. Es la fuerza que lo está obligando a seguir una trayectoria curva. Si esta fuer-

Esquema del asunto visto desde atrás.

Diagrama de c. libre visto desde atrás.

Diagrama de c. libre visto desde arriba.

RvmF

CP ⋅=

( )

pared la ejerce que Fuerza N 200F

30m s m10

Kg 60F

←=⇒

⋅=

× CPEN DIRECCIÓNDEL RADIO

F = m a ∑

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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za no existiera, el tipo se movería en línea recta. Por otro lado, el tipo ejerce sobre la pared una fuerza igual y contraria. Podés comprobar lo que plantea este problema yendo a dar una vuelta en colectivo. Pero todo lo que tenés que entender con este ejemplo es que un tipo que va en un colectivo, efectivamente se siente tirado hacia afuera, pero la fuerza que sobre él actúa, apunta hacia adentro.

Ejemplo 2

Un señor revolea una piedra en un plano vertical haciéndola dar 1 vuelta por segundo. Calcular:

a) - La tensión de la cuerda cuando la piedra está en la parte de arriba. b) - La tensión en la cuerda cuando la piedra está en la parte de abajo. c) - ¿ Cuál es la velocidad de rotación mínima para que la piedra pueda girar sin que la cuerda se afloje ? Datos: mP = 100 gr , Rhilo = 1 m.

Dibujemos al hombre revoleando la piedra :

Para saber cuánto vale la tensión en la cuerda tengo que hacer el diagrama de cuerpo libre. Vamos primero a la parte de arriba.

a) Tensión en la parte superior.

Fijate que sobre el cuerpo actúan 2 fuerzas: el peso y la tensión de la cuerda.

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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T m.a P

T m ω R m.g

= −

⇒ = ⋅ −

PamT CP +⋅=

ABAJO

Tensión en la

T 4,94 N parte de abajo= ←

A ver, ¿ Cuál de las dos es la centrípeta ? Pensemos un poco. Fijate . En realidad ninguna de las dos por sí sola es la fuerza cen-

trípeta. LA SUMA DE LAS 2 es la fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta es siempre la resultante ( = la suma ) de las fuerzas que actúan en la dirección del radio.

Entonces, despejando T de la ecuación P + T = m ⋅ aCP :

Me dicen que la piedra da 1 vuelta por segundo. Eso quiere decir que la frecuencia vale f = 1 x 1/seg . Como ωωωω = 2ππππf, la velocidad angular será ωωωω = 2ππππ (1/seg) . La masa de la piedra es 0,1 Kg, el radio de la trayectoria es 1m. Si tomo g = 10m/s2 me queda:

b) Tensión en la parte inferior.

Cuando la piedra pasa por la parte de abajo el asunto queda así:

Despejando T y haciendo las cuentas con los datos anteriores:

Esta cuenta es la misma que hice para el punto a) pero tengo que sumar el peso en vez de restarlo. Eso da:

c) - Velocidad angular mínima para que la cuerda no se afloje.

Bueno, esta es la pregunta del millón. Acá hay que pensar. Fijate. Si el tipo empieza a

1 mT 0,1 Kg 2π 1 m 0,1 Kg 10

s s

Tensión cuando la

T 2,94 N piedra está arriba.

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

⇒ = ←

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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revolear la piedra más despacio, va a haber un momento en que al llegar a la parte de arriba el hilo va a dejar de estar tenso. Es decir, pasaría esto: La tensión en el punto a) me dio 2,94 N. Si ω empieza a disminuir, la tensión tam-bién va a disminuir. Va a llegar un momento en que la tensión va a ser cero. Eso es lo que estoy buscando. En ese momento la cuerda se va a empezar a aflojar. Entonces lo que tengo que hacer es agarrar la ecuación que puse para el caso a), poner T = 0 y despejar la velocidad angular. Vamos : La ecuación para la piedra en la parte de arriba era: P + T = m.aCP

Pero como T vale cero: ⇒ P = m.aCP

Ahora, P es mg, y la aceleración centrípeta es ω2⋅ R, entonces:

Esta es la velocidad angular mínima que tiene que tener la piedra para que la cuerda no se afloje cuando la cosa llegue a la parte de arriba. Pasando esto a vueltas por segundos:

Atención con este problema. Es importante y suelen tomar cosas de este estilo.

2π3,16f

2πωf f2πω ⋅=⇒=⇒⋅=

Rωmg m 2 ⋅⋅=

piedra. la de segrad 3,16ω

angular Velocidad

sm10ω

MÍN

←=⇒

=⇒=⇒

FRECUENCIA MINIMA PARA QUE LA CUERDA NO SE AFLOJE CUANDO LA PIEDRA LLEGA ARRIBA.

seg

vueltas 0,5 f

=⇒

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Ejemplo 3 :

UN AUTO DE 1000 kg TOMA UNA CURVA DE 200 m DE RADIO CON VELOCIDAD 20 m/s CALCULAR :

a) - EL VALOR DE LA FUERZA CENTRÍPETA. b) - EL MÍMIMO VALOR DEL COEFICIENTE DE ROZAMIENTO PARA QUE ESO SEA POSIBLE. INDICAR SI ES ESTÁTICO O DINÁMICO.

a) Calculo el valor de la fuerza centrípeta: FCP = m .aCP � � FCP = 1.000 kg x ( 20 m/s)2 / 200 m � FCP = 2.000 N b) – El auto puede doblar porque hay rozamiento. Debido al rozamiento el auto tiene con qué agarrarse al piso. Si no hubiera rozamiento, el auto no doblaría aunque el tipo moviera el volante. ( Imaginate un auto que va por una pista de hielo súper resbaloso ). El auto seguiría derecho pero con las ruedas torcidas. ( Eehhm.. Esto hay que pensar-lo un poquito. Tenés que tratar de imaginártelo ). Quiere decir que la situación que tengo es esta:

También puedo hacer el diagrama de cuerpo libre visto desde arriba. Sería una cosa así:

Ahora, fuerza de rozamiento hay... Pero... ¿ Es estática o dinámica ?

2tg

m . VF

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Rta: La fuerza de rozamiento que está actuando es ESTATICA. ¿ Por qué ? Bueno, esto es un poco difícil de ver. Pese a que el tipo se está moviendo, las ruedas . NO patinan sobre el piso. El auto no avanza derrapando. Quiere decir que NO HAY DESLIZAMIENTO RELATIVO ENTRE LAS RUEDAS Y EL PISO. La fuerza de rozamiento en este caso es la fuerza centrípeta. Vale lo mismo que lo que calculé en el punto a), es decir, 2.000 Newton. Entonces puedo plantear que : Atención: Este es el MÍNIMO valor de Mu para que el auto no patine. Con cualquier valor mayor a 0,2 el auto tampoco se iría de la pista.

MOVIMIENTO CIRCULAR - PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALES

1 – Una partícula de mas m está enhebrada en una barra rígida de longitud L de masa despreciable que tiene un tope. La barra gira por medio de un motor en un plano vertical con velocidad angular constante ω, sin rozamiento. Esta-blecer la posición en la cual la fuerza ejercida por el tope sea mínima

Solución: Este problema se lo ha tomado millones de veces y se lo seguirá tomando. Fijate que el enunciado no tiene dibujo. Entonces hagamos el dibujo del cuerpo de masa m que gira contra el tope. Hay que hacer los diagramas de cuerpo libre y ver que pasa. Los hago sólo arriba y abajo porque son los 2 puntos importantes :

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Los diagramas quedan así : Mirá el signo menos que aparece al calcular la fuerza del tope arriba. Esto me está diciendo que la fuerza que hace el tope sobre el cuerpo será mínima en la altura máxima ( O sea, arriba ). Incluso la fuerza que hace el tope en la altura máxima podría llegar a ser cero. Esto pasaría si m.aCP fuera igual a mg. Arriba de todo es como que el cuerpo quiere caer por sí solo y el tope no tiene que hacer tanta fuerza para empujarlo para abajo. Aba-jo la situación es al revés. Aparece un signo mas. El tope tiene que hacer mucha fuerza para arriba sobre el cuerpo para evitar que el objeto siga en línea recta. Aga-rrá un botella de Coca-cola, revoleala y vas a entender mejor como es el asunto.

2 – Una bolita atada a un hilo de 1 m gira en un plano vertical. Si P y T son los módulos del peso de la bolita y de la tensión del hilo, se puede asegurar que :

Solución: El problema no tiene dibujo. Entonces lo hago. Tengo una bolita girando en el plano vertical. Hago los diagramas de cuerpo libre para el punto más alto y para el punto más bajo. Escribo las ecuaciones de Newton :

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Fijate que según la ecuación de Newton, en el punto más alto la tensión podría llegar a ser menor, mayor o igual al peso del cuerpo. Incluso podría llegar a ser cero. Ahora hago el diagrama de cuerpo libre para el punto más bajo : ( Correcta la última )

3 – Una partícula de masa m gira dentro de una pista circular y vertical de radio R con velocidad constante v. cuando pasa por la posición A de la figura el módulo de la fuerza que la pista realiza sobre m es FA. Al pasar por B la fuerza es FB. Entonces el módulo de la diferencia FB – FA vale:

Es un movimiento circular vertical. Las fuerzas que actúan arriba y abajo son:

Arriba � FA + P = m aCP FB - P = m aCP �Abajo Fijate que la aceleración centrípeta es la misma arriba que abajo. Esto pasa porque la velocidad angular es constante. Como la aceleración centrípeta es m.v2/R :

FB = m V2/R + P y FA = m V2/R - P Me piden calcular la diferencia FB – FA . Entonces tengo que hacer la resta entre las

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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dos fuerzas que calculé. Me queda:

⇒ FB – FA = P + P

⇒ FB – FA = 2 m g

Respuesta correcta FB – FA = 2 mg

4 – El sistema de dos cuerpos gira en el plano vertical sin rozamiento .( MA = 10 kg y MB = 5 kg ). Los cuerpos se mantienen siempre alineados con el centro de giro, unidos por las varillas 1 y 2 de longitud L1 = L2 = 20 cm. Si el sis-tema realiza un movimiento circular uniforme a razón de 2 vueltas por segundo : a) – Cuál es la aceleración de cada cuerpo ? b) - ¿ cuál es la máxima fuerza que soporta la varilla 1 ?

Solución: Este problema es bastante tramposillo. Por empezar, fijate que los cuerpos están girando EN UN PLANO VERTICAL. ( No es horizontal ). Hagamos un dibujito :

a) – Para calcular la aceleración centrípeta tengo que hacer aCP = ω2 . R. Entonces primero calculo cuánto vale omega. Una vuelta son 2 Pi radianes. Entonces :

b ) – Ahora viene la parte realy complicated. Piden la MAXIMA fuerza que soporta la varilla 1. Pregunta: ¿ Por qué piden la máxima ?

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Rta: Porque el movimiento ocurre en un plano vertical. Las fuerzas en las varillas van variando punto a punto. Las fuerzas máximas pueden ocurrir arriba de todo o abajo de todo. Esos son los puntos críticos, digamos así. Si lo pensás un poco, te vas a dar cuenta de que las fuerzas máximas se dan cuando los cuerpos pasan por la parte de abajo. Entonces hagamos los diagramas de cuerpo libre abajo. Ojo con estos 2 diagramas de cuerpo libre ! Son para expertos. Hay que saber muy bien dinámica para no equivocarse. En base a estos 2 diagramas, las ecuaciones de Newton quedan :

Tengo que resolver el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que quedó. Me con-viene sumar las ecuaciones :

Hay que hacer las cuentas. Las aceleraciones centrípetas las tengo del punto a). Me queda :

NOTA: Poca gente hizo bien este ítem b). Todo el mundo se equivocó en los diagra-mas de cuerpo libre o se olvidó de poner una fuerza o simplemente no entendió lo que le pedían y lo hizo mal. Gran parte de la gente pasó por alto el hecho de que los cuer-pos estaban girando en un plano VERTICAL. ( Hicieron todo como si fuera un plano horizontal, o sea, como si los cuerpos estuvieran girando sobre una mesa ).

En realidad este problema es más bien de física I antes que de física de CBC.

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE EN LA PARTE DE ABAJO

MÁXIMA TENSIÓN EN LA VARILLA 1

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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5 – Un carrito de masa m = entra en una pista vertical de radio r = 1 m como indi-ca la figura. Calcular la mínima velocidad que tiene que tener el carrito en el pun-to A para que no se despegue de la pista.

Este es un problema que se puede tomar de varias maneras diferentes. La forma de resolverlo es siempre la misma, pero el enunciado del problema puede cambiar. Pue-den decirte que se revolea un balde con agua y que se quiere calcular la mínima velo-cidad en la parte superior para que el agua no se caiga. Pueden darte un avión que está haciendo un loop y pedirte la mínima velocidad que tiene que tener para que el piloto no ejerza fuerza sobre el asiento. Pueden decirte que se revolea una piedra en un plano vertical y quieren la mínima velocidad para que poder hacerlo sin que el hilo se arrugue... Parecen todos problemas diferentes, pero en realidad son el mismo. Por eso es importante que sepas resolverlo. Vamos. En este ejercicio que dan acá hay un carrito que viene moviéndose con cierta veloci-dad inicial v. El carrito entra a una pista vertical pasando por el punto A que está en la parte de arriba. Piden calcular la mínima velocidad con la que el carrito puede pa-sar por A para que no se caiga. Sería algo así : Dicen que el carrito pasa por el punto A con la menor velocidad posible. Uno podría pensar que la velocidad en A tiene que ser cero. Pero eso no puede ser. Si VA fuese cero, el carrito no lograría dar la vuelta y se caería. Hagamos el diagrama de cuerpo libre en A :

Diagrama de cuerpo libre en el punto A

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Voy a plantear la ecuación de Newton en el punto A. La fuerza que marqué como N es la normal. ( Normal o Fuerza de contacto ). La ecuación sería :

P + N = m . aCP Ahora hay que pensar lo siguiente: ( Ojo ). Si el carrito viene a mil por hora, la nor-mal va a ser muy grande. Si la velocidad con la que el carrito pasa por el punto A em-pieza a disminuir, la fuerza de contacto N va a disminuir. Cuánto menor sea la veloci-dad en A, menor será N. ( Pensarlo ). Si quiero ver cuál tiene que ser la velocidad mínima con la que puede el carrito puede pasar por A, tengo que darme cuenta de que la fuerza normal tiene que valer CERO . Esto es así porque estoy en la condición de que el carrito está a punto de despegar-se de la pista. En ese momento, el carrito no hace fuerza sobre la pista. Es como si no la tocara. ( Esto también hay que pensarlo un poco ). Entonces en la ecuación de Newton pongo N = 0 y me queda :

En principio acá termina el problema. Pero analicemos las diferentes posibilidades que podrían aparecer. Si te dijeran que un señor revolea una piedra, la situación sería esta:

Si la velocidad en la parte de arriba es la mínima, en la ecuación de Newton hay que hacer T = 0. Quedaría P + T = m . aCP � P = m . aCP � m . g = m . aCP � ( aCP = g ).

ASIMOV MOVIMIENTO CIRCULAR

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Si te dijeran que hay un balde con agua que se revolea, la situación sería esta: La ecuación a plantear en la parte de arriba volvería a ser P + T = m . aCP . Otra vez, si la velocidad que te piden es la mínima para que el agua no se caiga, habría que poner que T = 0. Y otra vez el resultado sería � aCP = g. Repito: Muy importante este problema. No lo pierdas de vista.

MOVIMIENTO CIRCULAR - EPÍLOGO

Dinámica del movimiento circular es un tema clave. Siempre se lo toma en los parcia-les. Siempre se lo toma en los en los finales. Por un lado, movimiento circular es difí-cil y les gusta tomarlo. Por otro lado, es un tema muy interesante para tomar porque se lo puede combinar con muchas cosas. Hay problemas de movimiento circular com-binado con rozamiento, con resortes, con gravitación... Incluso hay problemas de mo-vimiento circular combinados con energía.

Las máquinas y los motores tienen movimiento circular. Si seguís ingeniería civil o in-dustrial, el movimiento circular no será muy importante en tu vida. Pero si seguís in-geniería mecánica, o naval o eléctrica.... bueno, el movimiento circular será la base de millones de problemas que tendrás que resolver. Y para resolver esos problemas se usa dinámica del movimiento circular.

Balde de agua que gira en un plano vertical.

ASIMOV GRAVITACIÓN

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GRAVITACIÓN

FUERZA DE ATRACCIÓN ENTRE LA TIERRA Y EL SATELITE

ASIMOV GRAVITACIÓN

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GRAVITACIÓN

Cuando estábamos viendo cinemática, te comenté que todos los cuerpos caían con la aceleración de la gravedad. Sin embargo en ningún momento expliqué de donde venía esa aceleración. Cuando estábamos viendo dinámica, te dije que en realidad la acelera-ción de la gravedad era provocada por la fuerza PESO. Sin embargo, en ningún momento expliqué de dónde venía la fuerza peso. Como ahora estamos en gravitación, puedo aclararte un poco el asunto: la fuerza peso aparece porque la Tierra atrae a los objetos. Digamos que toda la Tierra se comporta como una especie de imán. Ahora, pregunta: ¿ por qué la tierra atrae a las cosas ? Rta: bueno, acá llegamos a un problema sin respuesta. La pregunta de por qué la Tierra atrae a los objetos no se puede contestar. O si querés, la respuesta es: porque así es el universo. Se pueden hacer experimentos y verificar que efectivamente, la Tierra atrae a los cuerpos. Pero no hay explicación de por qué los atrae. Eso sigue siendo un misterio. TODO OBJETO ATRAE A TODO OTRO OBJETO

En 1665 empezó una epidemia en Inglaterra. Newton que andaba por ahí, se encerró en su casa a estudiar este asunto de la gravitación. Supongo que conocerás toda la histo-ria de la manzana y todo eso. La pregunta principal era si la Tierra atraía solo a su man-zana o si atraía a cualquier objeto. Y otra pregunta era si la manzana también atraía a la Tierra.

El amigo Isaac pensó y pensó y llegó a la siguiente conclusión: La Tierra atraía a la man-zana. Correcto. Pero la manzana también atraía a la Tierra. Esto tenía que ser así por acción y reacción. Es más, en realidad Newton descubrió que todo cuerpo del universo atraía a todo otro cuerpo del universo. Después haciendo experimentos y cálculos llegó a la conclusión de que toda cosa que tuviera masa atraía a toda otra cosa que tuviera masa. Esa atracción entre los cuerpos era producida por una fuerza que dependía de la distancia que separaba a los cuerpos y de las masas de los cuerpos. Resumiendo: Entre 2 objetos cualesquiera existe una fuerza de atracción. Es decir, que entre vos y este papel hay una fuerza de atracción, entre vos y la pirámide de Keops también. De la misma manera, vos en este momento estás atrayendo al planeta Tierra, a la Luna, al sol y a las estrellas. Incluso me estás atrayendo a mí, dondequiera que yo esté.

ASIMOV GRAVITACIÓN

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A su vez, cada uno de estos cuerpos ejerce sobre vos una fuerza exactamente igual ( y opuesta ) a la que ejercés vos sobre él. Cuanto mayor son las masas, mayor es la fuerza de atracción entre ellas. Cuanto mayor es la distancia, menor es la fuerza de atracción. Newton resumió todos estos experimentos en una tremenda ley llamada Ley de Gravitación Universal. ( Ídolo Isaac ! ). Entonces, título: LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Supongamos que tengo 2 objetos de masas m1 y m2 separados por cierta distancia d .

Entre estos cuerpos aparecerá una fuerza de atracción que vale:

En esta fórmula, m1 y m2 son las masas de los cuerpos. Van en kg. A la distancia que los separa la llamo d. Va en metros. Esta distancia d se mide desde el centro de un cuerpo al centro del otro cuerpo y va en la formula al

SI LAS MASAS SON GRANDES, LA FUERZA DE ATRACCIÓN ES GRANDE.

Dos objetos de masas m1 y m2 separados por una distancia d.

mmGF

221 ⋅

⋅=

FUERZA DE ATRACCIÓN DE NEWTON

LEY DE NEWTON DE GRAVITACION UNIVERSAL.

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Ahora vamos al asunto de la G. La letra G representa a una constante. Se la llama constante de gravitación universal de Newton. El valor de G se determinó haciendo mediciones y experimentos. El valor que usamos para resolver los problemas es Fijate que G tiene unidades de fuerza multiplicadas por unidades de distancia al cuadrado divididas por unidades de masa al

2. Esto es así para que al multiplicar G por m1.m2 / d

2 la fuerza me dé en Newtons.

Un ejemplo :

CALCULAR CON QUÉ FUERZA SE ATRAEN DOS MANZANAS DE 50 gr Y 100 gr SEPARADAS UNA DISTANCIA DE 10 cm. ¿ QUÉ DISTANCIA RECORRERÍA LA MANZANA GRANDE EN UNA HORA SI SU ACELERACIÓN FUERA CONSTANTE Y NO HUBIERA ROZAMIENTO ?

Aplico la Ley de Newton para saber cuál es la fuerza de atracción entre las manzanas. Me dan las masas y me dan la distancia. Hagamos primero un dibujito :

F = 3,3 x 10 –11 N ¡ Fijate que esta fuerza es muy chica ! Vale 0,000000000033 Kgf. En la práctica sería imposible medir una fuerza así. Probablemente sea mayor la fuerza del viento que hace un mosquito volando a 100 metros.

Para calcular la distancia recorrida por la manzana grande en una hora, calculo su aceleración:

mN106,67G

211 ⋅

⋅= −

VALOR DE G, CONSTANTE DE GRAVITACION UNIVERSAL

( )

m0,1

Kg0,050,1Kg

mN106,67F 22

211 ⋅⋅⋅⋅=⇒

−

FUERZA DE ATRACCION

PAT

mmGF

⋅⋅=

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Si esta aceleración fuera constante y no hubiera rozamiento, en una hora ( 3.600 seg ) la manzana recorrería una distancia que valdría:

La idea de este problema era que notaras lo chiquititas que son las fuerzas que aparecen para objetos de tamaño normal. ¿ Lo notaste, no ?

LA ECUACION gSUP . RT

2 = G . MT

Voy a deducir ahora una fórmula que no es muy conocida. No es muy conocida pero es una ecuación que se usa bastante en los problemas. Es más, ha salvado numerosas vidas en parciales y finales. Tenela anotada por ahí. La fórmula es gsup . RT

2 = G . MT . La voy a deducir con un ejemplo:

Problema : CALCULAR LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA SUPERF ICIE DE

UN PLANETA CONOCIENDO LA MAS A DEL PLANETA M P Y SU RADIO Rp.

Imaginate un cuerpo de masa m colocado sobre la superficie de un planeta cualquiera.

UN CUERPO APOYADO SOBRE LA SUPERFICIE DE UN PLANETA.

11F m a F 3,3 10 N 0,1 Kg a−= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅

Diagrama de cuerpo libre.

m103,3a −⋅=⇒

( )2 -10 2 21 12 2x = a t = 3,3×10 m/s 3600 s

x = 0,002 m => D istancia recorrida por

=> x = 2 mm la manzana en una hora.

11F m a F 3,3 10 N 0,1 Kg a−= ⋅ = ⋅

ASIMOV GRAVITACIÓN

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El peso del objeto vale: P = m . gSUP . Cuando digo gSUP me refiero al valor de la acelera-ción de la gravedad en la superficie del planeta. Ahora, la fuerza peso es la fuerza con la que el planeta atrae al cuerpo. Según la ley de Newton de atracción de las masas, esa fuerza vale: La fuerza de atracción es también el peso que vale m.g. Entonces igualo la fuerza de atracción con m.g.

Me queda:

Simplifico la masa del cuerpo:

Me quedó la fórmula para calcular la aceleración en la superficie. Escribámosla de otra manera y aclaremos un poco qué es cada cosa. Fijate:

Esta ecuación se puede usar para cualquier planeta. Por ejemplo, La Tierra. Ojo, esta fórmula no es una ley nueva. Es solamente otra manera de expresar la ley de Newton. Fijate que en esta ecuación figura el valor de la gravedad en la superficie de un plane-ta. La gravedad en la superficie es un dato que muchas veces se conoce. Por ejemplo, en la superficie de La Tierra la gravedad es 10 m/s2. EJEMPLO:

CALCULAR EL VALOR DE LA GRAVEDAD EN LA SUPERFICIE DE LA LUNA. Datos: Masa de la Luna = 7,3 x 1022 Kg. Radio de la Luna = 1.720 Km.

Despejo gSUP de la fórmula gsup . RL2 = G . ML y me queda:

PAT 2

m MF G

⋅= ⋅

PSUP Atracción 2

m MP m g y F G

⋅= ⋅ = ⋅

Gravedad en la superficie del planeta

Radio del Planeta al2

Cte. de Grav. Universal

Masa del planeta.

2SUP P P g R G M⋅ = ⋅

PSUP 2

m M m g G

⋅⋅ = ⋅

MGg

LLUNASUP ⇒⋅=

PSUP 2

M g G

R= ⋅

Valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Este valor de aceleración es unas 6 veces menor que la gravedad en la Tierra. Por lo tanto, un tipo en la luna pesa 6 veces menos que en La Tierra. Si tu masa es de 60 Kg, pesás 60 Kgf acá en la Tierra y 10 kilogramos fuerza allá en la Luna.

Este valor de g en la Luna es muy importante. Necesitás conocer esta g para poder hacer aterrizar una nave en la Luna. ¿ Y cómo hizo la NASA para calcular g en la Luna ? Rta: Hizo la misma cuenta que hice yo recién. Por cierto... ¿ Ves la genialidad de la física ? Vos nunca fuiste a la Luna. Sin embargo podés calcular la gravedad en su superficie. Increíble.

ALGUNAS ACLARACIONES SOBRE LA LEY DE GRAVITACIÓN

* Si los objetos que tenés son chicos, las fuerzas de atracción son chicas y es difícil detectarlas. Por ejemplo la fuerza de atracción entre este libro y vos es de aproxima-damente 0,0000000001 Kgf. La fuerza con la que se atraen dos personas separadas 1 metro es aproximadamente 0,000000024 Kgf . * La ley de gravitación es universal, se cumple en todo instante en cualquier lugar del universo. Los planetas giran alrededor del sol siguiendo esta ley. Se comprobó también que el asunto se cumple para estrellas que están a miles de años luz de distancia. * La fuerza peso es la fuerza con la cual la Tierra y un objeto se atraen. Si vos te alejás de la Tierra, esa fuerza empieza a disminuir. Por eso es que la gravedad disminuye con la altura. Si en la superficie de la Tierra la gravedad vale 9,8 m/s2, arriba del Aconcagua va a valer algo así como 9,78 m/s2. * Las fuerzas que cada cuerpo ejerce sobre el otro son acción-reacción. O sea, son iguales y de sentido contrario. Es decir, la Tierra atrae a la Luna haciendo una fuerza sobre la Luna. A su vez, La Luna hace sobre La Tierra una fuerza que vale lo mismo pero apunta para el otro lado. Las 2 fuerzas son iguales en módulo. * Cuando digo “distancia de separación entre dos cuerpos”, me refiero a la distancia que va del centro del cuerpo 1 al centro de gravedad del cuerpo 2. Por ejemplo, cuando hablo de la distancia entre la Tierra y la Luna, me refiero a la distancia que va del centro de la Tierra al centro de la Luna.

m1,65g

2LUNASUP =⇒

( )1720000

Kg107,3

mN106,67g

211

LUNASUP

⋅⋅⋅⋅=⇒−

GRAVEDAD EN LA SUP. DE LA LUNA

ASIMOV GRAVITACIÓN

- 122 -

* Newton nunca pudo ver del todo su fórmula hecha realidad. O sea, la fórmula que él descubrió estaba bien. El asunto es que Newton no sabía cuánto valía la constante G. La constante G la midió Cavendish muchos años después. Esa fue la genialidad de Ca-vendish: Medir G. Una vez que uno conoce la constante G puede calcular lo que quiera.

OTRA FORMULA IMPORTANTE

Hay otra fórmula que a veces se usa que es la que permite calcular el valor de la aceleración de la gravedad a cierta altura sobre la superficie de La Tierra. Supongamos que tengo un cuerpo a cierta altura sobre la superficie. El valor de la gravedad en la superficie de La Tierra es

Si el cuerpo está a una altura h de la superficie, puedo reemplazar RT por ( RT + h ) y gsup por g a la altura h. Entonces me queda:

EJEMPLO

CALCULAR EL VALOR DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD ARRIBA DEL ACONCAGUA ( 7.000 m DE ALTURA ). ¿ CUÁNTO PESA AHÍ ARRIBA UNA PERSONA DE 70 KILOS ? DATO: Radio de la tierra = 6.400 km

Rta: La gravedad en la superficie de la Tierra vale . La gravedad a

7 km de altura vale: . Dividiendo las ecuaciones:

TSUP 2

M g G

R= ⋅

cuerpo

Cuerpo a cierta altura sobre la superficie de La Tierra

Valor de la aceleración de la gravedad a cierta altura h sobre la superficie de La Tierra

Th 2

M g G

(R +h )= ⋅

TSUP 2

M g G

R= ⋅

Th 2

M g G

(R +h )= ⋅

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Haciendo la cuenta:

El peso de la persona de 70 kg es m por la gravedad a esa altura. Entonces :

P = 70 kg x 9,78 m/s2 O sea que a 7 km de altura uno pesa alrededor de 150 gramos menos. Interesante.

Ahora tratá de calcular esto:

1 - ¿ A que altura sobre la superficie de La Tierra la aceleración de la gravedad vale la mitad de lo que vale en la superficie ? ( O sea, 5 m/s2

) 2 - ¿ A que altura sobre la superficie de La Tierra la gravedad vale CERO ?

Una pregunta para expertos: Las naves que están en órbita alrededor de La Tierra suelen estar a unos 200 o 300 km de la superficie. Ahí la gravedad es menor que en la superficie pero no es cero. ¿ Entonces por qué las cosas flotan en las naves que están en órbita ? ( Ojo con lo que vas a decir ).

LEY DE KEPLER

La ley de Kepler relaciona la distancia de un planeta al sol con su período de rotación. También se puede usar para un satélite que está orbitando la Tierra. Se la suele llamar " Ley cuadrado – cúbica ".

Valor de la aceleración de la gravedad a cierta altura h sobre la superficie de La Tierra

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Lo que dice la ley de Kepler es que para un planeta cualquiera orbitando alrededor del sol se cumple la relación T2

/ d3 = Cte.

Esta ecuación en realidad vale para cualquier cosa que esté orbitando alrededor de cualquier otra cosa. Por ejemplo, la Ley de Kepler se puede usar también para un satélite que está orbitando alrededor de la Tierra.

Quiero que veas otras maneras de poner la Ley de Kepler. Suponé dos planetas distintos que orbitan alrededor del sol a distancias d1 y d2 y con períodos T1 y T2

La constante de esta ecuación es el valor 4.π2 / G. MT. Es decir que el asunto queda así :

También podés reemplazar G . MT por gsup . RT2 . En ese caso la ley de Kepler te queda :

O directamente si relacionás los períodos y las distancias para los 2 planetas queda :

ASIMOV GRAVITACIÓN

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La deducción de esta fórmula es un poco larga. ¿ querés ver de dónde sale ? Mirá el siguiente ejercicio :

PROBLEMA

LOS SATÉLITES DE COMUNICACIONES TIENE ÓRBITAS APROXIMA-DAMENTE CIRCULARES A 400 km DE LA SUPERFICIE TERRESTRE. ¿CUAL ES SU PERÍODO?

DATOS: RADIO DE LA TIERRA ≈ 6.360 km. GRAVEDAD DE LA SUPERFICIE: |g0| = 9,8 m/s2

Lo que pregunta el problema es cuánto tarda en dar una vuelta a la Tierra un objeto que está en órbita a 400 km de altura. Voy a hacer un dibujito:

Planteo ley de Newton de atracción de masas entre La Tierra y el satélite. Me queda:

En esta ecuación dT-S es la distancia Tierra-Satélite que vale RT + 400 km. La fuerza de atracción vale ms . acp . Entonces:

La acp es la aceleración centrípeta que tiene el satélite a 400 km de altura. Puedo reemplazarla por acp = ω2

. R . Pero ojo, en este caso la distancia "R" ahora es dT-S. Entonces:

La velocidad angular omega la puedo poner como 2π/T. Y ω2 me va a quedar 4π2/T2

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Reemplazo:

Fijate que la distancia Tierra-satélite quedó al

3 porque pasé dividiendo la dT-S que tenía del otro lado de la ecuación. Despejando el período:

Recuadré esta expresión porque es importante. Y es importante por lo siguiente: El valor 4π2/G.MT es una constante. Es decir, yo podría poner todo el choclazo anterior así:

La cuestión ahora es esta: La fórmula T2/d3 = cte relaciona la distancia al centro de un planeta de algo que está en órbita con su período de rotación. Esto se puede hacer para cualquier distancia. Incluso el planeta no tiene que ser La Tierra. Puede ser Marte y una de sus lunas girando alrededor o puede ser el Sol y cualquiera de los planetas. Quiere decir que yo puedo plantear esta fórmula para 2 planetas que están en órbita alrededor del sol y relacionar sus períodos y sus distancias de esta manera: Como la constante es la misma para los 2 planetas, puedo igualar las 2 ecuaciones y me queda:

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Esta fórmula es lo que se llama Ley de Kepler. Es muy importante porque relaciona los períodos de rotación con la distancia entre el planeta y el sol.

La Ley de Kepler es una fórmula media rara que la gente no conoce muy bien. Pero tenela anotada por ahí. Ha salvado a mucha gente en parciales y finales. Voy a resolver ahora lo que pedía el ejercicio. Me piden cual es el período de un saté-lite que orbita a 400 km sobre la superficie terrestre. Entonces planteo la Ley de Kepler y me queda:

El valor G . MT no lo tengo. ( No conozco la masa de La Tierra ). Pero puedo usar el truco de poner que gsup . RT

2 = G.MT. Entonces reemplazo, despejo el período y me queda el siguiente choclazo:

Reemplazo por los valores :

Este es el período de rotación que tiene una cosa que orbita a 400 km de La tierra.

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Fijate que el período es independiente de la masa. Cualquier cosa que pongas a esa altura sobre la superficie de La Tierra va a tener el mismo período de rotación.

OTRO EJEMPLO

SE QUIERE PONER EN ÓRBITA UN SATÉLITE DE COMUNICACIONES QUE PAREZCA "FIJO" SOBRE UN PUNTO DEL ECUADOR TERRESTRE. ¿ A QUÉ ALTURA SOBRE LA SUPERFICIE DEBERÁ SITUARSE ?

DATO: RADIO DE LA TIERRA: 6.360 KM. Lo que el problema pregunta es a que altura sobre la Tierra hay que poner un satélite para que dé una vuelta en 24 hs. Aparentemente uno podría decir: yo lo pongo a la altura que quiero y le doy la velocidad angular que quiero para que dé una vuelta en 24 hs. Atento. Esto no se puede hacer. Sólo hay una determinada distancia a la que se puede poner el satélite para que se cumpla lo que me piden. Si la distancia es menor, el satélite va a ser atraído por la Tierra. (se cae). Si la distancia es mayor, se va a alejar y no va a volver más. Ojo, esto no lo digo yo, esto lo dicen las ecuaciones. Hagamos un dibujito. Fijate:

Voy a suponer que el satélite está a una distancia d del centro de la Tierra, girando con una velocidad angular de una vuelta por día. En ese caso su período es de 24 hs = 86.400 seg. Para calcular lo que me piden puedo aplicar la Ley de Kepler:

Si cambio G. MT por gsup × RT 2 y despejo la distancia me queda:

Reemplazo por los datos y me queda el siguiente choclazo:

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Si le resto el radio de la Tierra, tengo la altura medida desde la superficie. Eso me da: 42.448 km – 6.360 km

Cualquier cosa puesta a 36 mil km de altura desde la superficie de La tierra va a dar una vuelta en 24 hs. Es decir, siempre va a estar arriba de un punto fijo sobre la superficie. Esto es muy importante para los militares, que a veces quieren observar día y noche lo que pasa exactamente en un determinado lugar de La Tierra. Por ejemplo, un lugar donde se sospecha que hay bases de misiles o cosas así. Por este motivo, la altura 36.000 km está saturada de satélites. A estos satélites se los llama " satélites Geoestacionarios ".

Importante: Fijate que para que lo que pide el problema sea posible, el lugar a observar tiene que estar sobre el ecuador. Las cosas en órbita siempre dan vuelta alrededor de algún diámetro ecuatorial. Un satélite no puede orbitar más abajo o más arriba del ecuador. O sea, podría orbitar siguiendo algún meridiano, pero entonces la observación de un determinado punto sobre la superficie no se podría hacer 24 hs al día.

ASIMOV GRAVITACIÓN

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GRAVITACIÓN – PROBLEMAS TOMADOS EN PARCIALES

1 – FALSA. El peso del satélite nunca se hace cero. ( O sea, sería cero para h = infinito )

2 - ¿ La aceleración a esa altura es 2,5 m/s2 ? Podría llegar a ser. Hay que ver.

3 - ¿ La aceleración a esa altura es 5 m/s2 ? Podría llegar a ser. Hay que ver.

4 - ¿ El peso del satélite es su masa por 10 m/s2 ? No puede ser. Sería igual que el peso del satélite en La Tierra.

5 - ¿ El período es 24 hs ? No puede ser. Los satélites geosincrónicos tienen que estar a una altura de 36.000 km. ( Si no te acordás de este dato no te queda más remedio que hacer la cuenta )

6 - ¿ La fuerza que hace el satélite sobre La Tierra es distinta que la que La Tierra hace sobre el satélite ? No puede ser. Tienen que ser iguales. Son par acción reacción.

Entonces hay 2 opciones posibles, la 2da y la 3ra. Hay que hacer la cuenta con la fórmula: Como la fuerza de atracción es msat x asat

Me queda que la aceleración a una altura h es: No hace falta hacer cuentas: G x MT = gsup x RT

2. Así que queda gh = gsup x RT / 4 RT2

Entonces gh = 0,25 x gsup = 2,5 m/s2. Correcta la 2da.

h =RT

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Solución: Planteo la ley de Kepler : Hagamos un dibujo del asunto. Tengo la estación ISS orbitando alrededor de La Tierra una altura de 380 km. Quiere decir que la distancia al centro de La Tierra vale 380 km + 6.400 Km = 6.780 km.

ASIMOV GRAVITACIÓN

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Planteo la ley de Newton de Gravitación Universal :

La Fuerza de atracción es igual a la masa por la aceleración centrípeta a esa distancia. Entonces:

Reemplazo por los valores. Ojo, fijate que la distancia a dISS no vale 6.400 Km, vale 6.780 km.

Calculo el período de rotación de la estación espacial :

b) – Calculo la fuerza de atracción entre el astronauta y la estación espacial. Acá no hay trucos. Planteo la ley de atracción de Newton :

ASIMOV GRAVITACIÓN

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4 – Un satélite orbita alrededor de la Tierra dando una vuelta cada 24 hs.

Si llamamos RT al radIo terrestre y h a la altura sobre la superficie de la

tierra en que orbita, ¿ Cuál es el valor aproximado de h ?

Dicen que tengo un satélite que da una vuelta a La tierra en 24 hs. Bueno, hagamos un dibujito del satélite girando alrededor de la tierra y el diagrama de cuerpo libre :

Planteo la Ley de Newton para el movimiento circular que dice FCP = m . aCP. En este caso la fuerza centrípeta es la fuerza de atracción. Entonces : La fuerza de atracción vale . Reemplazo y me queda :

Omega es la velocidad angular. D es la distancia del satélite al centro de La Tierra. Queda : Reemplazo por los datos y me queda el siguiente choclazo :

ASIMOV GRAVITACIÓN

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El radio de La tierra me lo dan, vale 6.400 kilómetros. Entonces divido d por 6.400 km y me da :

Ahora, fijate que ellos no piden la distancia al centro de La Tierra, piden la altura h, que vendría a ser la distancia del satélite hasta la superficie de la tierra. Entonces : FIN GRAVITACIÓN

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

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TRABAJO Y ENERGIA

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

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TRABAJO Y ENERGIA

Trabajo de una fuerza

Uno suele pensar que una fuerza es la acción que uno ejerce con la mano al tirar o empujar una cosa. Por ejemplo, uno hace fuerza con la mano al empujar un auto. Esto no está mal, pero esta visión a veces complica el asunto. Para la física una fuerza es una cosa que empuja y hace acelerar a los objetos. Entonces conviene que te imagines una fuerza como " la acción que ejerce una cañita voladora ". Lo que quiero decir es que:

O sea, reemplazo la fuerza que empuja por la acción de la cañita voladora. Ahora vamos a esto: Imaginate un cuerpo que es empujado por una fuerza F. Por ejemplo, podría ser un carrito de supermercado.

¿ Quien empuja el carrito ? Rta : No importa. No sé. Alguien. Una fuerza eFe. Podrías ser vos, por ejemplo. Ahora quiero que te imagines que bajo la acción de esta fuerza el cochecito recorre una distancia d.

Durante todo el trayecto F se mantiene constante y el carrito va acelerando.

Esta es la distancia recorrida por la acción

de la fuerza.

UN CARRITO QUE ESTÁ SIENDO EMPUJADO POR UNA FUERZA EFE .

... es pensarlo así.

La mejor manera de entender este dibujo...

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

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Ellos dicen que la fuerza hace un trabajo al moverse la distancia d. Al trabajo se lo suele poner con la letra L. Se supone que esta L viene de " Laborum ". ( Trabajo en latín o algo así ). El trabajo de una fuerza se calcula con una definición. Esta definición dice: para cal-cular el trabajo realizado por una fuerza F que recorre una distancia d hay que hacer la cuenta efe por de. Es decir:

No recuadres L = F .d . Esta no es la fórmula definitiva que usamos para calcular el trabajo realizado por una fuerza. La definición L = F . d vale cuando la fuerza se mue-ve en la misma dirección que la velocidad. Pero podría pasar que la fuerza esté incli-nada. Fijate:

Lo que hago en este caso es descomponer a F en dos direcciones: una así � y otra así ↑↑↑↑. Veamos. Analicemos cuánto valen las componentes de la fuerza F. Si F forma un ángulo alfa con la velocidad, tengo que:

La fuerza así ↑↑↑↑ NO realiza trabajo. El cuerpo no se mueve en la dirección vertical. ( No se levanta del piso ). La componente que va así →→→→ hace trabajo, porque recorre la distancia d. Como esta componente vale F ⋅ cos α,α,α,α, el trabajo que realiza vale:

O, lo que es lo mismo:

Ahora la fuerza está inclinada.

dαcosFLhorizontal F

⋅ ⋅= 43421

TRABAJO DE UNA FUERZA.

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

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Atento. Esta es la fórmula que da el trabajo realizado por una fuerza efe. En esta expresión :

* F es la fuerza que actúa * d es la distancia que recorre la fuerza. * Alfa ( IMPORTANTE ) es el ángulo formado por la fuerza y la velocidad v. Ahora, fijate esto. El cuerpo se mueve una distancia d. Esta d apunta para donde se está moviendo el cuerpo. O sea, d siempre apunta para donde va la velocidad. Entonces, aprendete esta conclusión que es muy importante:

¿ EN QUÉ SE MIDE EL TRABAJO DE UNA FUERZA ?

El trabajo es F por d, de manera que L se medirá en unidades de Fuerza x unidades de distancia. La fuerza la pongo siempre en Newton. A la distancia la pongo en metros. Así que las unidades de trabajo que más se usan son:

[ L] = N x m ← Joule

A veces también se pone la fuerza en Kilogramos-fuerza. Entonces usa la unidad " Kilográmetro ":

[ L] = Kgf x m ← Kilográmetro

El Kilográmetro se usa poco. Pero de todas maneras sabelo porque lo podés llegar a ver por ahí. Como 1 Kilogramo fuerza son 9,8 Newton, 1 Kilográmetro equivaldrá a 9,8 Joule. Pregunta: ¿ Qué tan grande es un trabajo de 1 joule en la vida real ? Rta: Bueno, 1 Joule es el trabajo que realiza una fuerza de 1 Newton cuando se des-plaza 1 metro. Como 1 N son más o menos 0,1 kilogramos fuerza, si vos tenés algo que pese 100 gramos y lo elevás a 1 m de altura, el L que realizaste vale 1 Joule.

En la práctica una calculadora pesa más o menos 100 gramos. Entonces al levantar una calculadora a una altura de 1 metro, estás haciendo un trabajo aproximado de 1 Joule.

EL ANGULO ALFA QUE VA EN LA FORMULA L = F.d . COS α α α α ES EL ANGULO FORMADO ENTRE LA FUERZA Y LA DISTANCIA d.

ESTO ES LO MISMO QUE DECIR QUE ALFA ES EL ANGULO FORMADO ENTRE LA FUERZA Y LA VELOCIDAD QUE TIENE EL CUERPO.

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

- 139 -

ALGUNAS ACLARACIONES ( Leer )

* La fuerza es un vector. De manera que daría la impresión de que el producto F.d también tendría que ser un vector. Sin embargo el trabajo no es un vector. El trabajo de una fuerza no apunta para ningún lado. L no tiene dirección, ni sentido, ni módulo, ni nada de eso. No puedo explicarte por qué esto es así. Por ahora tomalo como que es así. Repito, el trabajo de una fuerza NO es un vector. Es un escalar. ( Escalar significa un número con una unidad )

* Sólo puede haber L cuando una fuerza se mueve. Una fuerza quieta no puede realizar trabajo. * Hay fuerzas que no realizan trabajo aún cuando se están moviendo. Es el caso de las fuerzas que se trasladan en forma perpendicular a la trayectoria.

Esto podés entenderlo viendo que en realidad, F no se está moviendo en la dirección vertical. No hay distancia recorrida en esa dirección ( ⇒ no hay L ). Visto de otra forma, puedo decir que el ángulo que forma F con d vale 90° y coseno de 90° es cero, así que F x d x cos 90° me da cero. * Para un cuerpo que cae por un plano inclinado, la normal es ⊥⊥⊥⊥ a la trayectoria. Así que la normal tampoco hace trabajo cuando un cuerpo cae por un plano inclinado.

F no hace trabajo.

Fácil, che !

La normal no hace trabajo en este caso.

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

- 140 -

Lo mismo pasa con la fuerza centrípeta en el movimiento circular. Fcp es todo el tiempo ⊥⊥⊥⊥ a la trayectoria y no hace trabajo.

* Una fuerza puede realizar trabajo negativo. Esto pasa cuando el cuerpo va para allá →→→→, y la fuerza va para allá ←←←←. Es decir, la fuerza va al revés del ∆x.

Esto se puede entender viendo que el ángulo que forma la fuerza es en realidad 180°. Coseno de 180° es −1, ⇒ el producto F x d x cos 180º da con signo negativo . Ahora, pensemos un poco: ¿ Qué fuerza suele ir al revés de la velocidad ? Rta: El rozamiento. Generalmente Froz apunta al revés de como se está moviendo el cuerpo. Por eso, casi siempre el trabajo de la Froz es negativo.Ojo,digo "casi siempre " porque hay casos raros donde el rozamiento apunta para el mismo lado que la veloci-dad y hace trabajo POSITIVO . ( Largo de explicar ).

* Una fuerza puede no ser perpendicular a la velocidad y hacer trabajo CERO. Es el caso de las fuerzas que están quietas, ( O sea, no recorren ninguna distancia d ). * Ultima aclaración: La palabra trabajo, en física no tiene el mismo significado que en la vida diaria. Uno puede decir: “Ufff , ¡ sostener esta bolsa me cuesta un trabajo terrible ! " Ojo, … para nosotros en física al sostener un cuerpo hay fuerza aplicada, pero esa fuerza no recorre ninguna distancia d... Es decir, no hay trabajo realizado.

F hace trabajo negativo.

Froz haciendo trabajo negativo

La fuerza centrípeta NO hace trabajo.

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

- 141 -

α cosdFL ⋅⋅=

Ejemplo PARA LOS DISTINTOS VALORES DEL ANGULO ALFA, CALCULAR EL TRABAJO DE LA FUERZA F AL RECORRER LA DISTANCIA d. EN TODOS LOS CASOS F = 10 N Y d = 10 m.

a) αααα= 60°, b) αααα = 60° hacia abajo, c) αααα = 90°, d) αααα = 180°.

Lo que hago es aplicar la definición de trabajo de una fuerza en cada uno de los casos. Tengo:

Caso a) Alfa = 60°

Caso b) Alfa = 60° con la fuerza apuntando para abajo : El ángulo α α α α es siempre el que forma la fuerza F con la distancia d. En este caso α α α α es 60° . Entonces:

Caso c) Fuerza formando 90°

Caso d) αααα = 180°

90 cosdFL0

=⇒

°⋅⋅= 43421

434211

180 cosm 10N 10L−

°⋅⋅=

α cosdFL ⋅⋅=

Joule 50 06 cosm 10N 10L0,5

=⋅⋅=⇒ 321

Joule 50 L =⇒

°⋅⋅=⇒ 60 cosm 10N 10L

� L = - 100 Joule

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

- 142 -

Inventemos un caso más. Pongamos ahora la F Fuerza apuntando de la siguiente manera: El ángulo que forma la fuerza F es de 120° Tonces: Otra manera de hacer este ejemplo es tomar el ángulo de 60° que la fuerza forma con la distancia pero poniéndole a todo signo ( - ). Le pongo de entrada el signo menos porque veo que la fuerza está frenando al cuerpo . L = - ( 10 N x 10 m x cos 60º ) � L = - 50 Joule Repito: Una fuerza hace trabajo negativo cuando apunta al revés de la velocidad. Este es el caso típico de la fuerza de rozamiento.

ENERGÍA CINÉTICA

Las cosas que se mueven tienen energía cinética. ¿ Qué quiere decir esto ? Rta : Quiere decir lo siguiente: Supongamos que tengo un cuerpo que está quieto. Lo empiezo a empujar y empieza a moverse. Ahora tiene velocidad y por lo tanto tiene energía cinética.

¿ De dónde salió esa energía que el tipo tiene ahora ? RTA: Salió del trabajo que hizo la fuerza F. Todo el trabajo F ⋅

d se transformó en energía cinética. Veamos cuánto vale esa Ec . El trabajo realizado por F vale F x d. Reemplazo a F por m x a. Entonces: L = F x d � L = m x a x d La aceleración que tiene el carrito la calculo con la ecuación complementaria:

120°

( )

Joule 50L

120 cos . m 10. N 10L

0,5

−=⇒

°=43421

⋅=⇒

da2vv2

f ⋅⋅=−

( Dio lo mismo ).

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

- 143 -

Reemplazando esto en L = m . a . d :

Pero este trabajo realizado es la energía cinética que el tipo adquirió. Entonces: No hace falta que anotes que la Energía Cinética es " un medio m Ve cuadrado " Lo vas a ver tantas veces de acá en adelante que ya no te lo vas a olvidar.

Ejemplo: Un objeto de m = 2 Kg se mueve con v = 1 m/s. Calcular su ECIN .

Fijate que las unidades de la energía cinética son Kg ⋅ m 2/s

2. Si lo pensás un poco te vas a dar cuenta de que Kg ⋅ m

2/s 2 es lo mismo que N ⋅ m, que es Joule. El trabajo y la

energía se miden en las mismas unidades. ( Joule ). ¿ Casualidad ? No. Justamente NO. Trabajo y energía son, en cierta medida, la misma cosa. Cuando una fuerza actúa a lo largo de una distancia d, ese trabajo se invierte en energía cinética. De la misma manera, cuando un cuerpo viene con una determinada energía cinética, se necesitará el trabajo de una fuerza para frenarlo. Aclaración: La palabra " Joules " se pronuncia " Yuls ". Los libros mejicanos ponen "Julios". ( ¡ Andale manito ! )

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA

Supongamos que un cuerpo se viene moviendo con velocidad inicial Vo . En ese momento se aplica una fuerza y el tipo empieza a acelerar.

f21 vmL ⋅=⇒d

vmL

f ⋅⋅

⋅=

EL CUERPO ACELERA POR ACCION DE LA FUERZA F.

moviendo. está se que cuerpoun tiene v. mEcque cinética Energía

21 ←=

( ) .Joule 1 sm1 . Kg 2.Ec2

21 ==

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

- 144 -

El carrito en su movimiento acelerado recorre una distancia d. El trabajo realizado por F vale L = F . d. Pero como por 2da ley de Newton F = m . a, me queda :

El cuerpo al ser empujado por una fuerza tiene un MRUV. Entonces puedo plantear la ecuación complementaria :

Reemplazando:

Esto se lee de la siguiente manera: Al principio el tipo tenía una energía cinética ini-cial que valía ½ m ⋅ V0

2. Después de actuar la fuerza, tiene una energía cinética final que vale = ½ m ⋅ Vf

2. La diferencia ( = la resta ) entre estas dos energías es igual al trabajo realizado por la fuerza F. Esta ecuación es bastante importante conceptualmente hablando. Básicamente lo que dice es que el trabajo realizado por una fuerza se invierte en Energía Cinética. Vamos a un ejemplo para que veas cómo se usa la ecuación.

Ejemplo SE TIRA UN LADRILLO AL SUELO CON VELOCIDAD V = 10 m/s. SABIENDO QUE SE FRENA DESPUÉS DE RECORRER 2 m, CALCULAR EL VALOR DE LA FUERZA DE ROZAMIENTO. m LADRILLO = 1 kg.

dFLF ⋅=

da2vv2

f ⋅⋅=−

damdF ⋅⋅=⋅⇒

vva

f −=⇒

LF Ecf Ec0

1 vmvmdF ⋅−⋅=⋅

Lo que tengo es esto.

Teorema del trabajo y la Energ.cinética.

dd2

vvmdF

f ⋅⋅−⋅=⋅

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

- 145 -

El ladrillo recorre 2 m hasta que se frena. Voy a ver qué fuerzas actúan mientras se está frenando. Hago el diagrama de cuerpo libre:

La fuerza de rozamiento es la que hace que el tipo se vaya frenando. El peso y la normal no hacen trabajo. Son perpendiculares a la velocidad. Entonces uso el teore-ma del trabajo y la energía cinética. Planteo que el trabajo de la fuerza de rozamien-to tiene que ser igual a la variación de la energía cinética. Veamos:

Fijate que: El trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo . Eso pasa porque la velocidad va para allá →→→→ y la fuerza de rozamiento va para el otro lado. A esta misma conclusión llego si hago este dibujito: Quiero que veas lo siguiente: Este problema también se podría haber resuelto combi-nando cinemática con dinámica:

FROZ 180° v

( )2m2

sm101KgF

ROZ ⋅⋅=⇒

0212

f21

roz vmvmdF ⋅−⋅=⋅−

Fuerza de rozamiento que actuó.

N 25F roz =⇒

vm F

0ROZ ⋅

⋅=⇒

( )48476 1

roz 180cosdFL

−

°⋅⋅=

cF ∆ELROZ

Ec. complementaria. da2vv2

f ⋅⋅=−

ASIMOV TRABAJO Y ENERGIA

- 146 -

� LROZ = - F x d

Como F = m . a :

Trabajo y energía me permite resolver problemas de cinemática y dinámica por otro camino. Es más, hay algunos problemas que sólo pueden resolverse usando L y Energía

Por ejemplo, este: → El teorema del trabajo y la energía cinética se usa sólo cuando tengo planos horizon-tales. Pero a veces puedo tener planos inclinados o montañas. En estos casos conviene usar el teorema del trabajo y la energía mecánica. ( Que viene después ). Aclaración: El teorema del trabajo y la energía fue deducido para un cuerpo que tiene 1 sola fuerza aplicada. ¿ Y si tengo más de una fuerza, qué hago ?

Rta : Bueno, en ese caso calculo la resultante de todas las fuerzas que actúan.

Por ejemplo, supongamos un caso donde actúa más de 1 fuerza: Ahora tengo un cuerpo que tiene una sola fuerza aplicada ( la resultante ). Al tener una sola fuerza puedo usar el teorema.

⋅−

=⇒

vm F

0ROZ ⋅

⋅−=⇒ Mismo resultado anterior.

ASIMOV POTENCIA

- 147 -

POTENCIA

Este tema a veces lo toman. Prestale atención que no es muy difícil. Supongamos que quiero levantar varias bolsas de arena hasta el piso de arriba. Pongamos algunos valores para que sea mas fácil entender el asunto: Tengo 10 bolsas de 20 kilogramos cada una y las quiero poner a una altura de 4 m. Contrato una topadora y le digo que me suba todas las bolsas hasta arriba.

Vamos a ver que trabajo está haciendo la máquina al levantar las 10 bolsas. Cada bolsa pesa 20 Kgf = 200 N. Entonces las 10 bolsas pesan 2.000 N. Ahora, el trabajo realizado es L = Peso x Altura. Si las pongo a 4 m de altura, el trabajo va a valer 2.000 N x 4 m = 8.000 Joule.

LTOTAL = 8.000 Joule Ahora fijate esto: en realidad no necesito traer a una topadora para hacer ese tra-bajito. Con un poco de ingenio puedo hacerlo yo. No es terrible. Agarro las bolsas y las voy subiendo una a una por la escalera. Fijate : Pregunto otra vez : ¿ qué trabajo hice al subir las bolsas ? Rta: Bueno, el trabajo tendría que valer lo mismo que antes, o sea, 8.000 Joule. Tiene que ser así porque subí la misma cantidad de bolsas a la misma altura. No importa que las haya subido de a una.

TRABAJO A REALIZAR PARA LE-VANTAR 10 BOLSAS DE ARENA DE 20 KG CADA UNA A UNA ALTURA DE 4 m

ASIMOV POTENCIA

- 148 -

Vamos ahora a una 3ra situación. Quiero que miles de hormigas suban las bolsas. En principio una hormiga no tiene fuerza suficiente para levantar 20 kilos. Pero yo puedo abrir las bolsas y decirle a las hormigas que cada una agarre un granito de arena y lo suba. ( Esto vendría a ser lo que se llama " trabajo hormiga " )

Pregunto otra vez : ¿ qué trabajo hicieron las hormigas al subir las bolsas ? Rta: Bueno, la cantidad de kilos de arena subidos es la misma que antes. Entonces el trabajo realizado tiene que valer lo mismo que antes, o sea, 8.000 Joule.

Conclusión: al levantar un peso a una altura h, siempre se hace el mismo trabajo. Esto es independiente de quién lo haga o de cómo se haga. Pero hay algo importante. Si a vos te dieran a elegir cualquiera de las 3 posibilidades, probablemente elegirías que el trabajo lo haga una topadora. ¿ Por qué ? Rta: Bueno, por el tiempo. Una topadora sube las bolsas en 1 minuto. Yo las puedo su-bir en media hora. Y las hormigas podrían llegar a subirlas en un día. Fijate. El factor TIEMPO es el truco acá. De las 3 formas estamos realizando el mismo trabajo. Pero la topadora lo hace más rápido que las hormigas y más rápido que yo. CONCLUSIÓN ? Cuando uno hace trabajo, no sólo importa el L realizado en sí. Importa también EL TIEMPO que uno tardó en hacer ese trabajo. Entonces ¿ cómo puedo hacer para tener una idea de qué tan rápido una cosa realiza trabajo ? Rta: lo que tengo que hacer es agarrar el trabajo que se hizo y dividirlo por el tiem-po que se usó para hacer ese trabajo. Es decir:

POTENCIA Al dividir el trabajo realizado por el tiempo empleado, lo que estoy haciendo es calcular LA VELOCIDAD A LA QUE SE REALIZA EL TRABAJO.

empleado Tiempo

∆t

efectuado Trabajo =

ASIMOV POTENCIA

- 149 -

Entonces, ¿ qué es la potencia ?

Calcular la potencia es importante porque uno puede tener una idea de qué tan rápi-do se está entregando energía. La cosa que hace el trabajo puede ser hombre, ani-mal o máquina. Sabiendo la potencia, uno puede comparar la utilidad de una máquina. 2 máquinas pueden hacer el mismo trabajo. Pero hay que comparar las potencias pa-ra ver cuál lo puede hacer más rápido. Un auto tiene una potencia de 100 caballos, más o menos. Un auto puede ir de acá a Mar del Plata, pero el que va más rápido es mejor. También podés ir a Mar del Plata en caballo, pero vas a tardar mil horas. O sea, un auto puede hacer el trabajo que hace un caballo, pero unas 100 veces más rápido. O dicho de otra manera, un auto puede realizar un trabajo equivalente al de 100 caballos. El auto y el caballo pueden hacer el mismo trabajo ( llevarte a Mar del Plata ). Pero uno lo puede hacer más rápido que el otro. ¿ ves como es el asunto ? OTRA FORMULA PARA LA POTENCIA: Pot = F x V

La potencia se calcula como el trabajo realizado sobre el tiempo empleado para rea-lizar ese trabajo. Ahora, si al trabajo lo pongo como fuerza por distancia me queda: Pot = F . d / ∆t . Pero fijate que el término d / ∆ t es la velocidad:

En esta fórmula de potencia como fuerza por velocidad, F es la fuerza que va en la dirección del movimiento. Si la fuerza está inclinada, hay que multiplicar todo por el coseno del ángulo formado entre F y V. ( Quedaría Pot = F . V . Cos α ). UNIDADES DE POTENCIA

Las unidades de potencia van a ser las unidades de trabajo divididas por las unida-des de tiempo. El trabajo realizado se mide en Joules ( N ⋅ m ) y el tiempo en seg.

LA POTENCIA ES LA VELOCIDAD A LA QUE SE REALIZA EL TRABAJO. POTENCIA

�== VELOCIDAD

d . F

L Pot

∆=

Pot = fuerza x Velocidad Otra manera de calcular la potencia

ASIMOV POTENCIA

- 150 -

Entonces:

Si una fuerza de 1 N recorre una distancia de 1 metro en 1 segundo, la potencia entregada por esa fuerza será de 1 Watt. Miralo en este dibujito. Si mido el trabajo en Kilogramos fuerza x metro, la potencia se medirá en Kilográ-metros por segundo ( Kgf x m/s ). Hay otra unidad que se usa y es el Horse Power ( caballo de fuerza = H.P. ). Las equivalencias son: Pregunta: ¿ Es 1 caballo de fuerza equivalente a la potencia que tiene un caballo de verdad ? RTA: Sí, aproximadamente sí. Por eso se la llamó caballo de fuerza. Por otro lado, la potencia que puede desarrollar un ser humano es de alrededor de 0,1 HP, es decir, 1 décimo de la potencia de un caballo. ( Ojo, esto es muy aproximado ). EL KILOWATT – HORA

La gente se confunde bastante con esto del Kw-hora. La cosa es así: 1000 Watts son 1 kilowatt. Ahora, la electricidad que consume una casa se mide en Kw-hora. ¿ Es esto equivalente a medir la potencia en Kilowatts ? RTA: No. Lo que se mide en una casa no es la potencia consumida, sino la energía eléctrica consumida. 1 Kw-hora no son 1000 Watt. Son 1000 Watt por hora. ( El " por " es por de multiplicar ). Busco la equivalencia entre Joule y Kilowatt-hora. Seguime:

Watt 9,8s

mKgf 1 =

⋅

Watt 745 s

mKgf 76 H.P. 1 =

⋅=

iasEquivalenc ←

A esta unidad se la llama Watt.

x1 Kw-h 1000 watt 1 hora=

[ ] [ ] seg

mN P ó

seg

Joule P

⋅==

xxJoule

1 Kw h 1000 3600 segseg

⇒ =

← 1 Watt.

ASIMOV POTENCIA

- 151 -

Es decir, EL KW-H ES UNA UNIDAD DE ENERGÍA, no de potencia. ( Atento con esto ). Por ejemplo, una plancha consume alrededor de 1 Kw. Si una casa gasta en 1 mes 100 Kw-h, eso quiere decir que la casa consumió una energía equivalente a la que hubiera consumido una plancha si hubiera funcionado 100 horas seguidas .

Ejemplo 1 SE LEVANTAN 10 BOLSAS DE ARENA DE 20 Kg CADA UNA A UNA ALTURA DE 4 METROS. CALCULAR LA POTENCIA UTILIZADA EN LOS SIGUENTES CASOS:

a) Las bolsas son levantadas por una topadora en 10 segundos b) Las bolsas son levantadas por una persona en media hora. c) Las bolsas son levantadas por hormigas en 1 día.

Solución: Vamos a ver que trabajo estoy haciendo al levantar las 10 bolsas. Cada bolsa pesa 200 N y las pongo a 4 m de altura. Entonces el trabajo realizado al levantar cada bolsa vale 200 N x 4 m = 800 Joule. ( L = Peso x Altura ). Para levantar las 10 bolsas, el trabajo total va a ser de 10 x 800 = 8.000 Joule. LTOTAL = 8.000 Joule Ahora, 1 hora son 3600 segundos, � media hora son 1800 segundos. 1 día tiene 24 horas, � 1 día = 86.400 seg. Conclusión:

La topadora usa una potencia de 8.000 N x m / 10 seg � Pot= 800 Watt. La persona usa una potencia de 8.000 N x m / 1800 seg � Pot= 4,44 Watt. Las hormigas usan una potencia de 8.000 N x m / 86.400 seg � Pot= 0,092 Watt. Ejemplo 2

UN SEÑOR QUE CAMINA CON V ==== 3,6 Km / h ARRASTRA UN BLOQUE-DE 50 Kilogramos UNA DISTANCIA DE 10 m. CALCULAR LA POTENCIA ENTREGADA POR EL HOMBRE SABIENDO QUE TIRA DE LA CUERDA CON UNA FUERZA DE 10 KGF

El diagrama de cuerpo libre para el bloque es éste:

6x 1 Kw-h 3,6 10 Joule 1 Kilowatt-hora⇒ = ←

TRABAJO A REALIZAR PARA LE-VANTAR 10 BOLSAS DE ARENA DE 20 Kg CADA UNA AUNA ALTURA DE 4 m

ASIMOV POTENCIA

- 152 -

La aceleración es igual a cero ( la velocidad es constante ). Entonces saco como conclusión que la fuerza que el tipo hace tendrá que ser igual a la de rozamiento. Planteo:

La potencia que el tipo entrega la calculo como fuerza por velocidad:

P = F . V NOTA: fijate que la distancia de 10 m no la utilicé para calcular la potencia. PREGUNTA: ¿ Y toda este trabajo que entrega el tipo, a dónde va ? RTA: No va a ningún lado. No se almacena en ninguna parte. Todo lo que el tipo entregó se lo comió el rozamiento. ¿ Y en qué se transformó ? Rta: En calor.

Algunas aclaraciones:

* Para poner la potencia se suele usar la letra P. Esto se confunde con Peso o con presión. Por eso yo suelo poner la palabra " Pot ". Alguna gente usa otras letras para la potencia.

* Las unidades de potencia más comunes son el Watt y el kilowatt. Para los motores de autos se usa el Horse power ( HP ). 1 HP = 745 Watt. A veces se usa también el caballo de vapor ( CV )

* Para la física hacer trabajo significa levantar un cuerpo a una altura h. En la vida diaria, si uno camina también realiza trabajo. Una locomotora que arrastra vagones también hace trabajo. Pero para entender el asunto es conveniente traducir ese trabajo a levantar un peso a una altura h. De la misma manera, también es conve-niente entender el concepto de potencia como levantar un peso a una altura h en cierto tiempo.

tipo.el hace N 100 Kgf 10F

que Fuerza TIPO ←==⇒

hombre. del Watt100 P

Potencia ←=⇒

Kgf 10FROZ =⇒

sm1 x N 0 10P =⇒

ASIMOV POTENCIA

- 153 -

* La potencia se aplica también a cosas que no sean "mecánicas". Ejemplo, se puede hablar de potencia eléctrica o potencia de sonido. Un parlante que tiene mucha potencia es un parlante que tira una gran cantidad de energía por segundo. ( Es energía en forma de sonido ). * La potencia se calcula como trabajo sobre tiempo. Pero en vez de hablar de trabajo realizado se puede hablar de energía consumida es lo mismo. Entonces puedo poner: Potencia = Energía tiempo � Uso esta fórmula en un ejemplo: Ejemplo 3

UNA LAMPARA DE 100 WATTS ESTÁ PRENDIDA DURANTE 10 hs. a) - CALCULAR QUE ENERGIA CONSUMIÓ EN ESE PERIODO. b) -¿ A QUÉ ALTURA SE PODRÍA HABER ELEVADO UN CUERPO DE 10 KILOS DE PESO CON ESA MISMA ENERGIA ?

Solución:

a) - Trabajo realizado o energía consumida es la misma cosa. Entonces puedo poner: Pot = Energía / tiempo � Energía = Pot x Tiempo � Energía = 100 Joule /seg x 10 x 3600 seg � Energ = 3,6 x 106 Joules b) - L = Peso x altura. � Con una energía de 3,6 x 106 Joules se podría haber levan-tado un peso de 100 N a una altura de 3,6 x 106 Joules / 100 N = 3,6 x 104 m � h = 36 Km

FORMA DE CALCULAR LA ENERGIA CONSUMIDA o EL L REALIZADO TENIENDO LA POTENCIA ENTREGADA

Energía = Pot x tiempo

ASIMOV GRAFICOS DE F - 154 -

EL AREA DEL GRAFICO DE F EN FUNCION DE d ES EL L REALIZADO

Suponete que tenés un carito que tiene una fuerza aplicada. La fuerza empuja y el carrito acelera. Al moverse la fuerza F está realizando un trabajo. Supongamos que te dan el grafico que muestra cómo varia la fuerza aplicada sobre el carrito en función de la distancia recorrida. Si la fuerza vale 10 Newtons y la distancia recorrida es de 20 m ( por ejemplo ), el gráfico va a dar algo así : Pensá esto: Quiero calcular el trabajo realizado por F... ¿ que puedo hacer ? Rta: Para calcular L tengo que multiplicar la fuerza por la distancia recorrida. Quiere decir que la cuenta que tengo que hacer es F x d. En este caso esa cuenta da 200 Nxm. Bárbaro. Pero si mirás un poco el gráfico te vas a dar cuenta que el valor F x d es el área del grafico.

El área del grafico ( = Base x altura ) también da 200 Joule. Este resultado de que el área del gráfico de F en función de d es el trabajo realizado vale en el caso de una fuerza constante. Pero si lo pensás un poco, vas a ver que este razonamiento también es válido para fuerzas variables. Por ejemplo, sería el caso de que tuvieras una fuerza que aumentara o disminuyera a medida que el carrito avanza :

EN ESTOS 2 CASOS EL

AREA DEL GRAFICO

TAMBIEN REPRESENTA

EL TRABAJO REALIZADO

ASIMOV GRAFICOS DE F - 155 -

Y si hilás un poco mas fino, se puede llegar a comprobar que esto es válido siempre, cualquiera sea el tipo de variación que la fuerza tenga con la distancia. Demostrar esto es un poco complicado porque para hallar el área bajo la curva habría que integrar. CONCLUSION ( IMPORTANTE )

Vamos a uno ejemplo:

UNA FUERZA EMPUJA UN CARRITO DE MASA 2 Kg A LO LARGO DE UNA DISTANCIA DE 20 m. PARA LOS SIGUIENTES CASOS CALCULAR:

a) - EL TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA. b) - LA VELOCIDAD DEL CARRITO LUEGO DE RECORRER ESOS 20 m c) - DESCRIBIR EL MOVIMIENTO DEL CARRITO EN SU RECORRIDO. SUPONER QUE EL CARRITO ESTA INICIALMENTE QUIETO

EL AREA DEL GRAFICO DE F EN

FUNCION DE d ES EL L REALIZADO

a) b)

d) c)

20 m

10 20

ASIMOV GRAFICOS DE F - 156 -

Solución: En cada caso el trabajo realizado por el carrito es el área del gráfico. Entonces calculo el área en cada uno de los casos: CASO a) Área = Base x Altura = 20 m X 10 N = 200 Joule El trabajo realizado por la fuerza es la variación de la energía cinética. Entonces: LF = ∆ ECIN = EC f - EC 0

Inicialmente el carrito está quieto, entonces ECIN Inicial = 0 � LF = ECIN final

� LF = ½ m VF

� 200 J = ½ 2 kg VF2

� VF = 14,14 m/s El movimiento del carrito será un MRUV. Partirá de V0 = 0 y empezará a acelerar hasta llegar a la velocidad final de 14,14 m/seg después de recorrer los 20 m.

CASO b) LF = Area

Area = Base x Altura / 2 = 20 m X 10 N / 2 = 100 Joule El trabajo realizado por la fuerza es la variación de la energía cinética. Entonces: LF = ∆ ECIN = EC f - EC 0

Inicialmente el carrito está quieto, entonces ECIN Inicial = 0 � LF = ECIN final

� LF = ½ m VF

� 100 J = ½ 2 kg VF2

� VF = 10 m/s

ASIMOV GRAFICOS DE F - 157 -

Ahora el movimiento del carrito NO será un MRUV. Partirá de V0 = 0 y empezará a acelerar cada vez con mayor aceleración hasta llegar a la velocidad final de 10 m/seg después de recorrer los 20 m. La aceleración en este caso no es constante. Es varia-ble. La aceleración aumenta a medida que el carrito avanza. Es una especie de movimiento " variado - variado ". CASO c) LF = Area Area = Base x Altura / 2 = 20 m X 10 N / 2 � � Area = 100 Joule El trabajo realizado por la fuerza es la variación de la energía cinética. Entonces: LF = ∆ ECIN = EC f - EC 0

Inicialmente el carrito está quieto, entonces ECIN Inicial = 0 � LF = ECIN final

� LF = ½ m VF

� 100 J = ½ 2 kg VF2

� VF = 10 m/s Otra vez el movimiento del carrito NO será un MRUV. Partirá de V0 = 0 y empezará a acelerar cada vez con menor aceleración hasta llegar a la velocidad final de 10 m/seg después de recorrer los 20 m. Otra vez la aceleración no es constante. Es variable. La aceleración disminuye a medida que el carrito avanza. Otra vez es una especie de movimiento " variado - variado " pero ahora con aceleración decreciente hasta hacerse cero cuando el carrito llega a los 20 m. CASO d) LF = Area Área = Área del rectángulo + Área del triángulo Área = Base x Altura + Base x Altura / 2

Area = 10 m X 10 N + 10 m X 10 N / 2 �

10 20

ASIMOV GRAFICOS DE F - 158 -

� Area = 100 Joule + 50 Joule � Area = 150 Joule El trabajo realizado por la fuerza es la variación de la energía cinética. Entonces: LF = ∆ ECIN = EC f - EC 0

Inicialmente el carrito está quieto, entonces ECIN Inicial = 0 � LF = ECIN final

� LF = ½ m VF

� 150 J = ½ 2 kg VF2

� VF = 12,24 m/s El movimiento del carrito NO será un MRUV. Partirá de V0 = 0 y empezará a acelerar primero con aceleración constante hasta llegar a los 10 m. Después acelerará cada vez con menor aceleración hasta llegar a la velocidad final de 12,24 m/seg después de recorrer los últimos 10 m. Otra vez la aceleración no es constante. Es variable. Y varía de manera bastante rara.

Otros 2 ejemplos importantes:

CALCULAR EL TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA EN LOS SIGUIENTES 2 CASOS. CALCULAR TAMBIEN LA VARIACION DE ENERGIA CINETICA. SUPONER VELOCIDAD INICIAL = 0.

Para el caso a) tengo que calcular el área de los 2 triángulos de los costados y sumársela a la del rectángulo que está en el medio. También puedo usar la fórmula del área de un trapecio que es:

b) a)

Altura x )menor Base Mayor Base ( A

ASIMOV GRAFICOS DE F - 159 -

Me queda: � Area = L = 150 Joule Como el trabajo de la fuerza es igual a la variación de energía cinética, quiere decir que : ∆ECIN = 150 Joule b) – El caso b) tiene trampa. Los 2 triángulos que te quedan son iguales. Cada uno tiene área 50 joules. Pero como uno de ellos está por abajo del eje horizontal, su área será NEGATIVA. Quiere decir que al sumar las 2 áreas, el L realizado me va a dar CERO. ¿ Está bien esto ? ¿ Puede darme cero el trabajo realizado por la fuerza ? Rta: Sí, está perfecto. La fuerza al principio apunta así: �. Quiere decir que inicialmente el cuerpo va acelerando. ( Aunque acelera cada vez menos porque la fuerza va disminuyendo ). A los 10 m la fuerza se hace CERO. De ahí en adelante, la fuerza es negativa. Apunta así: . Quiere decir que la fuerza va frenando al cuerpo. Cuando el tipo llega a los 20 m, se frena del todo. Su velocidad ahí va a ser CERO. En todo el trayecto de los 20 m no va a haber variación de energía cinética.

N 10 x ) m 10 m 20 ( Area

ASIMOV GRAFICOS DE F - 160 -

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 161 -

CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 162 -

ENERGÍA MECÁNICA - CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

ENERGÍA POTENCIAL

Suponé que sostengo una cosa a 1 m del piso y la suelto.

Al principio la cosa tiene velocidad inicial cero. Pero resulta que cuando toca el piso tiene una velocidad Vfinal . Es decir que, inicialmente, la energía cinética vale cero ( V0 = 0 ) y al final NO. ( Vf no es cero ). La pregunta entonces es: ¿ Quién le entregó energía al cuerpo ? Yo no fui porque el cuerpo cayó solo ( yo no lo empujé para abajo ). La respuesta a esta pregunta es: Fue la fuerza Peso. El peso es el que le dio energía al cuerpo. El cuerpo recorrió una distancia de 1 m. Entonces la fuerza peso hizo un trabajo que vale: LPeso = P ⋅ 1 m. Ese trabajo se convirtió en energía cinética. La conclusión que saco de acá es que un cuerpo que está a una determinada altura tiene energía. Esa energía es igual al trabajo que la fuerza peso puede realizar si se deja caer al cuerpo desde esa altura.

Ahora: ¿ Cuánto vale el trabajo que puede realizar la fuerza peso ? Bueno, el trabajo realizado por una fuerza es F . d . En este caso la fuerza es el peso y la distancia es la altura hache. Por lo tanto, si se suelta un peso P desde una altura h, el trabajo valdrá pe por hache. Tonces:

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 163 -

Fijate lo siguiente: la energía potencial se mide en Joules, como la energía cinética y cualquier otra energía. ( Como la eléctrica, por ejemplo ). Esta Ep que tiene el objeto es con respecto al piso. Al calcular energías potenciales, uno siempre tiene que indi-car el nivel de referencia, o sea, el lugar desde donde uno empieza a medir la altura.

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Un resorte que está comprimido también tiene energía almacenada. ¿ Cómo es eso ? Fijate. Hagamos un dibujito y analicemos el asunto:

El tipo no se mueve porque está trabado. Pero si yo ahora saco el clavo,... ¿ qué pasa ?

Inicialmente el cuerpo estaba quieto y no tenía energía cinética. Al soltar el resorte el tipo se mueve con una velocidad V y su energía cinética valdrá ½ m .V 2. ¿ De dónde salió esa energía ?

Ep = P ⋅ h ó m ⋅ g ⋅ h Energía potencial que tiene un cuerpo de peso P que está a una altura h.

Ejemplo Calcular la Epot del cuerpo que está arriba de la mesa.

hgmE p ⋅⋅=

m 1 s

m 10 . Kg 1E x

2p =⇒

Joule 10E p =⇒

Energía Potencial Que tiene el objeto

Resorte comprimido tratando de empujar a un cuerpo.

Ahora el cuerpo sale despedido con una velocidad V.

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 164 -

Rta: Del resorte. El resorte comprimido tenía una energía almacenada. Al soltarlo se descomprime y le entrega toda esa energía al cuerpo. Esto hace que el objeto adquiera una velocidad V. ¿ Hasta acá me seguiste ? Bueno, entonces ahora voy a calcular ahora cuánto vale esa energía almacenada en el resorte. Supongamos que tengo lo siguiente:

Esta situación la puedo representar así:

En este dibujito F representa a la fuerza que hago yo para estirar el resorte. ( Que es igual y contraria a la que el resorte hace sobre mi mano ). Ojo, esta fuerza no es constante. Aumenta con la posición según la ley de HooKe ( F = K x ∆x ). Es decir que lo que yo tendría sería algo así:

Esta fuerza, al ir moviéndose va realizando trabajo. Ese trabajo es el que queda alma-cenado en el resorte como energía potencial elástica. ¿ Vale ese trabajo F x ∆x ? ( Ojo, cuidado con esto ). Rta: No. Eso sería si F fuera una fuerza CONSTANTE. F es una fuerza que NO ES CONSTANTE. ¿ Cómo hago entonces para resolver el asunto ?

Rta: Bueno, se puede usar un pequeño truco. Miralo así: voy a considerar una fuerza intermedia entre la inicial y la final:

Un resorte que no está ni comprimido ni estirado.

Ahora lo estiro una distancia ∆x.

La fuerza del resorte varía con la posición.

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 165 -

La fuerza inicial vale cero ( resorte ni comprimido ni estirado ). La fuerza final vale F = K x ∆x . Haciendo el promedio me queda: Es decir: Ahora voy a considerar que esta fuerza promedio es la que recorrió la distancia ∆x y voy a calcular el trabajo de FP. Esto se puede hacer porque la variación de FRes es lineal con la distancia. Queda:

Tengo que, para estirar el resorte, tuve que entregarle un trabajo L = ½ k.(∆x )2. ¿ Qué energía habrá acumulado el tipo ? Rta: ½ Κ x ( ∆∆∆∆x )2. Y si ahora hago que el resorte se des-estire, …¿ qué energía será capaz de entre-garme ? Rta: Lo mismo: ½ k.( ∆x)2. ¿ Conclusión de todo esto ?

Aclaraciones para la fórmula EE = ½ K ( ∆∆∆∆x )

* ∆∆∆∆x se mide desde la longitud natural del resorte cuando no está comprimido.

* Un resorte estirado también tiene energía elástica. Delta x puede ser la distancia que un resorte está comprimido o también ESTIRADO.

promedio. Fuerza ∆x K F 21

Prom ←⋅=

}

∆xK0F

f0FF

Prom

876

⋅+=

}dF

F ∆x∆xκLP

P⋅⋅=

48476

( ) 221

F ∆xk LP

⋅=⇒

E Elás = ½ K x ( ∆x ) 2

Energía elástica almacenada en un resorte.

Constante del resorte.

Energía potencial elástica acumulada en el resorte.

Distancia que fue comprimido.

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 166 -

Ejemplo

UN RESORTE TIENE UNA CONSTANTE K ==== 1000 N / m. SE LO ESTIRA 10 cm. CALCULAR: a) - QUÉ TRABAJO HUBO QUE HACER PARA ESTIRARLO. b) - QUÉ ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA QUEDÓ ALMACENADA EN EL RESORTE.

a) - La energía potencial elástica del resorte cuando está estirado 10 cm vale:

b) - El trabajo que tuve que hacer yo para estirarlo vale lo mismo que la energía elástica que el tipo tiene almacenada. O sea:

L que hice yo = 5 Joule. Conclusión: Para estirar el resorte hice un trabajo de 5 Joule. La energía elástica acumulada vale 5 J. Y si ahora suelto el resorte, ¿ qué energía el tipo será capaz de entregarme ? Rta: Elemental Watson: 5 Joule.

¿ Ves a dónde apunta la cosa ? La energía no se pierde. Sólo se transforma.

ENERGÍA MECÁNICA DE UN SISTEMA

La EMEC de un sistema en un momento determinado es la suma de la energía cinética + la potencial + la elástica que el tipo tiene en ese momento. Es decir:

* NOTA: De ahora en adelante a la energía potencial gravitatoria la voy a llamar “energía potencial”. A la energía potencial elástica la voy a llamar “energía elástica”. Esto lo hago para abreviar, nada más.

( ) ( )2 21 1 Pot E 2 2

NE K ∆x 1000 0,1m

m= = ⋅

EMEC = ECIN + EPOT + EEl Energía mecánica.

. Pot E E 5 N m 5 Joule⇒ = =

RESORTE SIN ESTIRAR Y RESORTE ESTIRADO.

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 167 -

Ejemplo CALCULAR LA ENERGÍA MECÁNICA DEL CARRITO EN EL PUNTO A. DATOS EN EL DIBUJO.

La energía mecánica del carrito en A va a ser la suma de las energías cinética, potencial y elástica. Hago la cuenta:

� EMA = ½ 2 kg . (1 m/s)2 + 2 kg . 10 m/s2 . 1 m

� EMA = 21 Joule

Otro ejemplo

SE EMPUJA AL CARRITO DE m = 1 Kg DANDOLE VELOCIDAD DE MANERA QUE SU ENERGIA CINETICA INICIAL ES DE 2 JOULE. El CARRITO CAE LUEGO POR LA PENDIENTE Y SE FRENA EN C. CALCULAR LA EMEC DEL CARRITO EN LOS PUNTOS A, B Y C.

EN EL PUNTO A:

La energía mecánica en A va a ser: EMA = ECA + EPA

EN EL PUNTO B: EMB = ECB + EPB

0 ( ← No hay resortes ) EmA = EcA + EpA + EEA

m A 2

m E 1 Kg . 10 .1 m 2 Joule

s⇒ = +

( )21M B 2 2

m E 1 Kg. 1m s 1 Kg.10 0,5m

s⇒ = + ⋅

M A E 12 Joule⇒ =

B21

B m hgmvmE ⋅⋅+⋅=⇒

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 168 -

Pregunta: En A, el carrito tiene una energía mecánica de 12 Joule y en B de 5,5 Joule. ¿ Dónde están los 6,5 Joule que faltan ? Respuesta: Se los comió el rozamiento que hay entre A y B.

EN EL PUNTO C: EMecanica C = Ecin C + EPot C Al llegar a C el carrito se frena. No hay energía cinética ni potencial. Tonces:

EMC = 0 + 0

EMC = 0

Es decir, en el punto C el carrito no tiene energía mecánica. Su velocidad es cero. ( ⇒ ½ m ⋅ v2 = 0 ) y su altura es cero ( ⇒ m.g.h = 0 ) . Igual que antes, toda la ener-gía mecánica que el tipo tenía en B ( 5,5 J ) se la comió el rozamiento. ¿ Pero cómo ?... ¿ No era que la energía siempre se conservaba ?... ¿ No era que no se perdía sino que sólo se transformaba de una forma en otra ? Rta: y bueno, justamente. Toda la energía mecánica que el tipo tenía se transformó en calor. El calor también es energía ( energía calórica ).

Otro ejemplo SE SUELTA EL RESORTE Y ESTE EMPUJA AL CARRITO QUE CAE POR LA PENDIENTE FRENÁNDOSE EN B. CALCULAR LA EMEC DEL CARRITO EN LOS PUNTOS A Y B. DATOS. m = 1 Kg, X = 20 cm, K = 100 N/m.

EN EL PUNTO A: El carrito está quieto con el resorte comprimido 20 cm y listo para empujarlo. La energía mecánica en el punto A va a ser: { A EA p

A cA m EEEE ) 0 A v(

++=

m B E 5,5 Joule⇒ =

VB = 0

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 169 -

� EMA = 12 Joule EN EL PUNTO B: EMB = ECB + EPB - EEB

� EMB = 0 En el punto B el carrito no tiene energía mecánica. Su velocidad es cero y su altura es cero. Al igual que antes, toda la energía mecánica que el tipo tenía en A ( 12 J ) se la comió el rozamiento. Supongamos que yo inventara una nueva forma de energía que fuera la suma de la energía mecánica más calórica. Podría llamarla “energía calomecánica” . En ese caso diría que la energía del sistema se conservó. Es decir, la mecánica se perdió, pero la calomecánica se conservó. Lo que conserva en el universo es la energía total, no una energía en particular.

FUERZAS CONSERVATIVAS

Una fuerza es conservativa si hace que la energía mecánica del sistema no cambie mientras ella actúa. O sea, una fuerza conservativa hace que la energía mecánica se conserve. ( De ahí viene el nombre ). Supongamos que tengo un sistema con una determinada energía mecánica inicial. Digamos 100 Joules. Ahora hago que actúe una fuerza. Supongamos que cuando la fuerza dejó de actuar, la Emec del sistema es otra vez 100 Joules. Entonces digo que esta fuerza es una fuerza conservativa. ¿ Cómo es esto de que una fuerza puede actuar sin que la energía mecánica del sistema aumente o disminuya ? Veamos. FUERZA CONSERVATIVA PESO

Suponé que tengo un cuerpo que está a 2 m de altura. Inicialmente su energía poten-cial vale m ⋅ g ⋅ h . Ahora... Si el tipo se deja caer desde ahí arriba qué pasa ?

MB B B E 0 0 0. ( V = 0, h = 0 y no hay resortes en B)⇒ = + +

( )21m A 22

m N E 1 Kg.10 .1 m 100 0,2m

s m⇒ = +

( )21M A A 2 E 0 m.g.h K ∆x⇒ = + +

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 170 -

Pot 0 2

mE m.g.h 1 Kg.10 2 m 20 Joule.

s= = ⋅ =

Bueno, a medida que va cayendo va perdiendo energía potencial. Pero atención con esto: está bien, pierde energía potencial... ¡ pero va ganando energía cinética ! Vamos a hacer unas cuentas. Por ejemplo, suponé que la masa del gatis es 1 Kg. Su energía potencial inicial vale:

Por cinemática sé que la velocidad final con la que toca el suelo un cuerpo que se deja caer desde una altura h es:

Entonces cuando el tipo toque el suelo su energía cinética será:

Es decir, toda la Epot se transformó en cinética al final. La fuerza peso no hizo ni que se ganara ni que se perdiera energía mecánica. La fuerza peso, lo único que hizo fue transformar toda la Epot del principio en energía cinética. Pero la mecánica no cam-bió. Era 20 al principio y es 20 al final. Conclusión: La energía mecánica no se modificó. Se mantuvo igual. Se conservó. Digo entonces que la fuerza peso es una fuerza conservativa. 2ª FUERZA CONSERVATIVA: La Fuerza de un Resorte

Suponé que tengo un resorte comprimido una distancia ∆x :

( )221 1C f f2 2E m.V 1Kg 6,32 m s 20 J.= = ⋅ =

2f V 2.10 m s .2m⇒ =

hg2v v 20

2f ⋅⋅=−

hg2v f ⋅⋅=⇒

m V 6,32

s→ =

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 171 -

El tipo en esa situación tiene almacenada una energía elástica que vale ½ K.( ∆∆∆∆x )2. ¿ Qué pasa ahora si saco la traba y dejo que el resorte se descomprima ? Rta: Bueno, lo que va a pasar es que el resorte va a empujar al cuerpo.

Haciendo un razonamiento parecido al que hice antes con la fuerza peso, puedo llegar a la conclusión de que el carrito no pierde ni gana energía mientras actúa la fuerza del resorte. ¿ Por qué ? Porque al principio el resorte tenía una energía elástica que valía ½ K.( ∆∆∆∆x )2. Una vez que el tipo se descomprime, toda esa energía se transforma en energía cinética. No se si me seguiste. Lo que quiero decir es esto. Mirá el dibujo:

La fuerza que hace el resorte para empujar al cuerpo no hace que aumente o dismi-nuya la energía mecánica del sistema. Esta fuerza solamente hace que la Energía elástica se transforme en Energía cinética. Mientras la fuerza del resorte actúa, la Emec del sistema se conserva. Entonces la fuerza del resorte, qué es ? Respuesta: Una fuerza conservativa. ¿ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA ?

Hay dos tipos de problemas que te pueden tomar. O la energía se conserva o la Ener-gía no se conserva. Entonces tenemos dos casos posibles. Fijate: 1 ) - Problemas en donde se conserva la energía mecánica. Llamémoslos problemas caso 1. 2 ) - Problemas en donde NO se conserva la energía mecánica. Llamémoslos problemas caso 2 . Si los tipos te toman un problema en el examen, éste tendrá que ser caso 1 o caso 2. Otra posibilidad no hay. Voy ahora a explicarte como se resuelven los problemas tipo 1, es decir, los problemas de conservación.

Así está la cosa cuando el resorte se descomprime.

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 172 -

Tipo de Problema Conclusión Se plantea que:

Caso 1 – Conservación.Sólo hay fuerzas conservativas. No hay rozamiento ni ninguna otra fuerza rara que quite o entregue energía.

La energía mecánica del sistema se conserva. La energía mecánica final será igual a la inicial.

EMEC f = EMEC 0

Supongamos que te cae un problema caso 1. Tu manera de razonar tiene que ser algo de así: ( Leer ) Bueno, en este problema veo que no actúa el rozamiento ni ninguna fuerza rara que esté entregando o quitando energía al sistema. Todas las fuerzas parecen ser conservativas. Por lo tanto al no haber fuerzas NO conservativas, la energía mecánica se tendrá que conservar. Lo que tengo que plantear entonces es que:

Ahora elijo el nivel cero de energía potencial y escribo que toda la energía que hay al final tiene que ser igual a la que había al principio: ECF + EPF + EEF = EC0 + EP0 + EE0

Tacho las energías que son cero y reemplazo las otras por lo que corresponda. Es decir, reemplazo la Ec por ½ m ⋅ v 2 y la Ep por m ⋅ g ⋅ h . Haciendo cuentas despejo lo que me piden.

Voy a resolver ahora algunos problemas de conservación para que veas cómo es el asunto. Son ejemplos fáciles. Pero miralos porque estos ejercicios fáciles son la base para otros ejercicios difíciles.

EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

1 – Un resorte se encuentra comprimido una distancia ∆X. Se libera el resorte y este empuja un cuerpo de masa m. El cuerpo sube la montaña y pasa por el punto B como indica la figura. Calcular con qué velocidad pasa el cuerpo por el punto B .

Datos: K = 100 N/m , ∆X = 0,8 m, m = 2 kg. No hay rozamiento.

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 173 -

En este caso no hay rozamiento ni ninguna fuerza rara. Por lo tanto, la energía mecá-nica del sistema se tendrá que conservar. Voy a plantear el teorema del trabajo y la energía mecánica entre los puntos A y B. Planteo que: EMEC A = EMEC B

Elijo el nivel cero para la energía potencial abajo de todo. Me queda:

Reemplazando: � 32 N.m = 1 kg .VB

2 + 20 kg.m/s2 � 12 kg.m2/s2 = 1 kg .VB

2 � VB = 3,46 m/s

2 – Se deja caer un cuerpo de una altura h = 5 m como indica la figura. Calcular con qué velocidad llega al suelo.

Solución: Este problema es una caída libre. En vez de resolverlo por cinemática, lo voy a resolver ahora por trabajo y energía. Fijate. La única fuerza que actúa durante la caída es el peso, que es conservativa.

( )2 21 1B2 2 2

N m100 0,8m 2 Kg.V 2 Kg.10 1m

m s⇒ = + ⋅

( ) B2

B212

21 hgmvm x K ∆ ⋅⋅+⋅=⋅

Velocidad del tipo en el punto B.

2 22

× B2 2

m m 32 Kg - 20 Kg = 1 Kg V

s s⇒

quietoresorte hay No 0h Cuerpo

E E E E E E

EBpBcBEApAcA

=↑↑

++=++000

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 174 -

Quiere decir que este problema la energía se va a conservar. Es un caso 1. Planteo: La energía mecánica abajo es sólo cinética. No hay energía potencial. La energía mecánica arriba es sólo potencial. No hay energía cinética. Entonces : La masa se simplificó. La velocidad de caída no depende de la masa del cuerpo. Haciendo las cuentas: VF =

2 2 .10 m/s .5m = 10 m/s

Fijate que este resultado es el mismo que hubiera obtenido si resolvía el problema por cinemática.

3 – Se deja caer un cuerpo por un plano inclinado de altura h = 5 m como indica la figura. Calcular con qué velocidad llega a la base del plano.

Solución: Este problema es una caída por un plano. Se podría resolver por cinemática. ( es un poco largo pero se puede hacer. Primero habría que calcular la aceleración que tiene el cuerpo mientras va cayendo por el plano inclinado ). Lo voy a resolver ahora por trabajo y energía. Fijate. La única fuerza que actúa durante la caída es el peso, que es conservativa. Quiere decir que este problema la energía se va a conservar. Es un caso 1. Planteo:

La energía mecánica abajo es sólo cinética. No hay energía potencial. La energía mecánica arriba es sólo potencial. No hay energía cinética. Entonces :

VELOCIDAD FINAL CON QUE TOCA EL PISO

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

- 175 -

Haciendo las cuentas VF =

2 2 .10 m/s .5m = 10 m/s

Fijate que este resultado es el mismo que obtuve para el problema anterior... ¿ Casualidad ? Hummmm.... suena raro, no ? Ahora vamos a ver si es casualidad o no.

4 – Se deja caer un cuerpo por un pista semicircular de radio R = 5 m como indica la figura. a) - Calcular con qué velocidad llega a la base del plano ( punto B ). b) - Calcular su velocidad en el punto C.

El planteo es parecido al de los dos problemas anteriores. Veo que no actúan fuerzas no conservativas. Entonces puedo poner que EMF = EM0. Y también, como en los pro-blemas anteriores, la energía mecánica abajo es sólo cinética. No hay energía poten-cial. La energía mecánica arriba es sólo potencial. No hay energía cinética. Entonces : Si te fijás un poco, la altura del punto A es el radio de la pista que es 5 m. Quiere decir que hA = 5 m. Haciendo las cuentas:

VELOCIDAD FINAL CON QUE LLEGA A LA BASE

VELOCIDAD FINAL QUE TIENE EN B

ASIMOV CONSERV. DE LA ENERGIA

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Fijate que otra vez este resultado es el mismo que obtuve para el problema anterior. La velocidad en C va a ser la misma que en B, o sea, 10 m/s. Esto es porque no hay fuerzas no conservativas entre B y C. Entre B y C la energía cinética se tiene que conservar. � VB = VC

ULTIMO EJEMPLO

5 – Un esquiador se deja caer desde una montaña de h = 5 m como indica la figura. Calcular con qué velocidad llega a la base de la montaña ( punto B ).

El dibujo del esquiador me salió medio cuadrado. ¿ Te imáginás cuál va a ser el resul-tado de este problema ? Rta: Efectivamente, VB = 10 m/s.

¿ Por qué pasa esto de que la velocidad da siempre lo mismo ? ¿ Es casualidad ?

Rta: No, no es casualidad. El asunto es así: Un cuerpo que está a 5 m de altura, llega al piso siempre con la misma velocidad. No importa si cae en caída libre, en un plano inclinado, en una pista circular o por una montaña de nieve. Mientras no haya roza-miento, la velocidad final va a ser siempre la misma. Esto pasa porque toda la energía que el cuerpo tiene arriba es energía potencial. Esa energía potencial se transforma en cinética. Entonces, caiga el cuerpo como caiga y caiga quién caiga, la velocidad abajo será siempre la misma. Pregunta: ¿ Se pueden resolver por cinemática los 2 últimos ejemplos ? ( Pista circu-lar y esquiador en la montaña ). Probá hacerlos y decime si te salen. Resumiendo, para resolver este tipo de problemas se inventó el método de Trabajo y Energía. Trabajo y energía es un método para resolver problemas de cinemática y dinámica pero por un camino más corto.

FIN CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

ASIMOV EJERCICIOS

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CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES SOLUCION: En este problema dan muchos datos pero es todo engaña-pichanga. Ninguno de esos datos se usa. Lo único que hay que entender es esto: El cuerpo está comprimiendo uno de los resortes una distancia X1. Sale, golpea contra el otro resorte y lo compri-me una distancia X2. O sea, tengo esto : En todo ese proceso no hay rozamiento, así que la energía se conserva. Toda la ener-gía elástica que tiene el primer resorte es igual a la que se almacena en el otro resor-te. Me queda :

EnergíaRESORTE 1 = EnergíaRESORTE 2

→ ½ K1 . X12 = ½ K2 . X2

Dicen que X2 = X1 / 2 → ½ K1 . X12 = ½ K2 . ( X1 / 2 )2

→ ½ K1 . X1

2 = ½ K2 . X12/ 4

→ K2 = 4 K1 Correcta la 2da

Alguna gente intentó resolver este problema planteando que K1 . X1 = K2 . X2 . Esto es-tá mal. ( Típico error ). Al igualar K1 . X1 con K2 . X2 estás diciendo las fuerzas que ac-túan en cada resorte son iguales. Pero las fuerzas en los resortes no son iguales. Lo que son iguales son las energías. ¿ Por qué las fuerzas no son iguales ? Rta: Por que no. No puedo explicártelo. Tenés que pensarlo

K1 K2

ASIMOV EJERCICIOS

- 178 -

2 – Un cuerpo es impulsado por un resorte como indi-

ca la figura. El objeto entra en una pista circular ver-

tical pasando por el punto A y dando toda la vuelta.

Calcular:

a) – La constante del resorte para la cual la masa pasa

por el punto A con la menor velocidad posible sin des-

pegarse de la pista.

b) – La velocidad que tiene el objeto al pasar por el punto B.

SOLUCIÓN: Acá hay un carrito que es impulsado por un resorte desde el punto 0. El carrito pasa por el rulo, llega al punto A, da toda la vuelta y sale por el punto B. Sería algo así : Dicen que el carrito pasa por el punto A con la menor velocidad posible. Uno podría pensar que la velocidad en A tiene que ser cero. Pero eso no puede ser. Si VA fuese cero, el carrito se caería. Hagamos el diagrama de cuerpo libre en A :

Planteo la ecuación de Newton en el punto A. La fuerza N es la normal ( = Fuerza de contacto ). Esa fuerza normal tiene que valer CERO porque estoy en la condición de que el carrito está a punto de despegarse de la pista. Entonces pongo N = 0 y me queda :

Diagrama de cuerpo libre en el punto A

ASIMOV EJERCICIOS

- 179 -

Ahora planteo conservación de energía entre el punto inicial ( 0 ) y el punto final ( A ) :

EMEC0 = EMECA

b ) – Piden calcular con qué velocidad pasa el carrito por el punto B. Bueno, acá hay que pensar un poco. En este problema la energía se conserva. No hay rozamiento ni nada por el estilo. Quiere decir que la velocidad que va a tener el carrito en el punto B es la misma que tenía al ingresar a la pista vertical. A su vez, la velocidad que tiene al ingresar a la pista es la misma que tenía al salir del resorte. Conclu-sión: Calculo que velocidad tiene el carrito al salir del resorte. Planteo:

ECIN Al salir del resorte = EELAS Del resorte comprimido

� ½ m VF2 = ½ K X2

� ½ 2 kg . VF2 = ½ 625 N/m ( 0,4 m )2

� 1 kg . VF2 = 50 Joules

� VF2 = 50 m2/s2

� VF2 = 7,07 m/s ← VELOCIDAD EN B

Fijate que en este problema la energía mecánica vale siempre 50 Joules. Vale 50 Joules cuando el resorte está comprimido, vale 50 Joules cuando el carrito sale del resorte, vale 50 Joules cuando está arriba de todo en el punto A y también va-le 50 Joules cuando el carrito sale por el punto B. Este es un típico problema de energía. Tenés que saberlo bien. Siempre se lo toma y siempre se lo va a seguir tomando.

ASIMOV EJERCICIOS

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3 – Un automóvil asciende por un camino de montaña. Al pasar por un punto A

el módulo de su velocidad es 20 m/s. Cuando pasa por un punto B, 50 m más alto

que A el módulo de su velocidad es 15 m/s. Se puede afirmar para el automóvil :

SOLUCIÓN: El enunciado no se entiende bien. Hagamos un dibujo. Lo que tengo es esto : Voy a calcular la energía mecánica en A y en B. No dan la masa del auto. Para hacerlo mas fácil voy a suponer que la masa es 2 kg : Veo que la Energía Mecánica en B es mayor que la de A. La Energía Mecánica aumentó al ir de A a B. Por otro lado, la única fuerza conservativa es el peso y hace trabajo negativo al ir de A a B. Por lo tanto, las 1ras 5 opciones son falsas. Tiene que ser ver-dadera la 6ta. Conviene ver por qué es verdadera la última opción. Hay una fórmula poco conocida que dice:

LRESULTANTE = ∆ ECIN Esto se lee: El trabajo de la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el sis-

ASIMOV EJERCICIOS

- 181 -

tema es igual a la variación de la energía cinética. En este caso la velocidad pasó de 20 m/s a 15 m/s. Es decir, la energía cinética disminuyó. La variación de energía ciné-tica es negativa. Quiere decir que el trabajo de la resultante también es negativo.

CORRECTA LA ÚLTIMA

4 – Un automóvil SOLUCIÓN: El enunciado es un poco tramposillo. Hay un cuerpo que viene a velocidad V. Choca contra un resorte y lo comprime 2,5 cm ( ∆X = 1/4 de su longitud ). Después viene a velocidad V' y lo comprime 7,5 cm. ( ∆X = 3/4 de su longitud ). Tenemos esto : Atención, fijate que no es V'= V0/3 sino V0 = V'/3. Es fácil confundirse. Correcta la 4ta.

( )2

ASIMOV EJERCICIOS

- 182 -

5 – Un cuerpo de masa m cae desde el reposo desde una altura h. Incide en el ex-

tremo de un resorte de constante K y lo comprime en una distancia d al detener-

se. Si se repite el experimento pero desde una altura h/2, el resorte se comprimirá

en :

SOLUCIÓN: El cuerpo cae desde la altura h y choca contra el resorte. El resorte se comprime una distancia x1. La situación es esta :

No hay rozamiento ni nada, así que puedo plantear conservación de la Energía :

Ahora dicen que se deja caer el cuerpo desde la mitad de la altura h. Entonces la compresión del resorte x2 va a ser : Ahora comparo las 2 compresiones: Hago x2 dividido x1 :

ASIMOV EJERCICIOS

- 183 -

6 – Un cuerpo de masa m cae desde el reposo desde una altura h. Incide en el extremo

Doy valores para hacerlo más fácil: m = 1 kg, X1 = 1m

SOLUCIÓN :

ASIMOV EJERCICIOS

- 184 -

SOLUCIÓN :

PROBLEMA 8

ASIMOV EJERCICIOS

- 185 -

SOLUCIÓN

Hagamos un dibujito. Tengo tres tristes cuerpos que suben por tres escaleras mecáni-cas. En los tres casos los cuerpos llegan hasta la misma altura. ( = 10 m ) Quiere decir que los trabajos realizados por la fuerza peso de los 3 cuerpos tiene que ser el mismo. ( LPESO = P x h ). Ahora, la escalera mecánica hace este mismo trabajo. quiere decir que los trabajos realizados por las 3 escaleras son iguales. Vamos a la potencia: La potencia es el traba-jo realizado dividido el tiempo empleado. Los trabajos son iguales, pero los tiempos NO. La escalera inclinada 60 º sube al cuerpo en menos tiempo que la escalera inclinada 45 º. Conclusión: CORRECTA LA ANTEÚLTIMA, LOS TRABAJOS SON IGUALES EN LOS 3 CASOS PERO LAS POTENCIAS NO.

9 – Se dispara un proyectil de masa 1 kg en forma oblicua con una energía

cinética de 100 Joules. Si en la altura máxima su energía cinética es de 40 J,

entonces el ángulo con que fue disparado será :

SOLUCIÓN :

Bueno, este es un problema para expertos. No apto para cardíacos. Parece ser un problema tradicional de energía. Pero no es un problema tradicional de energía. Daría la impresión de que hay que plantear conservación de Energía. Pero no hay que plantear conservación de energía. Este astuto problema se resuelve así: Hagamos un dibujito.

ASIMOV EJERCICIOS

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Daría la impresión de que faltan datos, pero no. Fijate. El objeto sale con cierto ángulo de lanzamiento alfa. En la altura máxima el ángulo con la horizontal es cero. Las energías cinéticas del objeto en el momento de salir y en la altura máxima va-len : Dividiendo las ecuaciones: Correcta la 2da. La masa no se usa, está de mas. Esto es lo que se llama un proble-ma maldito. Me dan un gráfico de velocidad en función del tiempo. Me piden calcular la potencia desarrollada por la resultante. Veamos. La potencia media es el trabajo realizado di-vidido el tiempo empleado.

Así que lo que tengo que hacer es calcular el trabajo de la resultante. Según el gráfi-co, entre 0 y 10 segundos la velocidad es constante. Quiere decir que no hay fuerza aplicada sobre el objeto. Entre 0 y 10 segundos la velocidad pasa de 20 m/s a cero. La aceleración es : �

← AL SALIR

← EN LA ALTURA MÁXIMA

t ∆v ∆ a =

seg 5m/s 20 - 0 a =

ASIMOV EJERCICIOS

- 187 -

→ a = - 4 m/s2 La masa del objeto es 45 kg, quiere decir que la fuerza que actúa es

F = m.a = 45 kg x ( – 4 m/seg ) = - 180 N Calculemos la potencia desarrollada por esta fuerza en los últimos 5 segundos. La distancia recorrida por el objeto va a ser

x = x0 + v0 t + ½ a t2

� x = 20 m/s 5 seg + ½ ( - 4 m/s2 ) ( 5seg )2

� x = 100 m – 50 m = 50 m

Entonces el trabajo realizado va a ser L = F x d = - 180 N x 50 m = - 9.000 Joule. La potencia me queda : Esta es la potencia media durante los últimos 5 segundos. Pero esta respuesta no es-tá entre las opciones. Hummm.... que problema. A ver, calculemos la potencia media durante todo el recorrido : Ahora sí, correcta la 4ta. La potencia media es de – 600 Watts para los 15 se-gundos de viaje.

11 – Un móvil de masa m que realiza una trayectoria horizontal , parte del

reposo y alcanza una velocidad V en un intervalo de tiempo ζ. Suponiendo

despreciables los rozamientos y la resistencia del aire y considerando que la

fuerza ejercida por el motor es constante, la potencia media desarrollada por

éste es:

El símbolo ζ parece ser la letra griega Tau. No hay dibujito. Hagamos dibujito.

Watts 1.800- seg 5

J 9.000 -t∆

LPot

===

Watts 600- seg 15

J 9.000 -t∆

LPot

===

ASIMOV EJERCICIOS

- 188 -

Hay una fuerza F que empuja a un auto. Esta fuerza es la fuerza del motor. ( En realidad F sería la fuerza de rozamiento de las ruedas con el piso, pero esto es largo de explicar ). Lo que tengo es esto : Para calcular la potencia media tengo la fórmula : . El trabajo realizado

por la fuerza F lo puedo calcular como la variación de energía cinética : Reemplazando esto en

FIN PROBLEMAS DE PARCIALES DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

t∆LPot

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 189 -

TRABAJO Y ENERGÍA

FUERZAS NO CONSERVATIVAS

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 190 -

FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Una fuerza es no conservativa cuando hace que la energía del sistema no se conserve. Es decir, yo tengo un sistema con una determinada energía mecánica inicial. Digamos 100 Joule. Ahora hago que actúe la fuerza. Si cuando la fuerza dejó de actuar, la Emec del sistema es de más de 100 Joule o es de menos de 100 J, entonces esa fuerza es No-conservativa. Las fuerzas no conservativas lo que hacen es que el sistema gane o pierda energía mecánica. Que un sistema pierda energía no es muy raro, pero que un sistema… ¿ gane energía ?... ¿ Cómo es eso ? Momento. Vamos por partes. 1ª FUERZA NO CONSERVATIVA: El Rozamiento

Suponé que tiro una cosa por el piso con una velocidad de 10 m/s. Si hay rozamiento, después de recorrer unos metros se va a parar.

Inicialmente el tipo venía con v = 10 m/s y su energía cinética era ½ m ⋅ ( 10 m/s )2. Al final, el tipo queda quieto y su energía cinética final es cero. ¿ Dónde fue toda la energía que el tipo tenía al principio ? Rta: Se la comió el rozamiento. El rozamiento hizo que el sistema perdiera energía. La Emec no se conservó. Por lo tanto: El rozamiento es una fuerza NO conservativa. 2ª FUERZA NO CONSERVATIVA: Una Fuerza Exterior.

Una fuerza exterior es una fuerza es una fuerza que viene de afuera. Podés imaginarte a esta F como la fuerza que hace una cañita voladora o un tipo que empuja o el viento o algo así.

Ahora pensá esto: Suponé que el carrito está quieto y la fuerza exterior F empieza a actuar. ¿ Qué pasa ? Rta: Pasa que el carrito se empieza a mover. ( Empieza a acelerar ).

←←←← Una fuerza exterior.

F empuja y el tipo se mueve.

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 191 -

Inicialmente la Ecin del carrito vale cero y al final NO. ¿ Quién hizo que aumentara la energía del sistema ? Rta: La fuerza F. Efe recorrió una distancia d, hizo un trabajo que vale F . d y entregó ese trabajo al carrito. Ahora el tipo lo tiene almacenado en forma de energía cinética. F entregó energía al sistema. La Emec aumentó y no se conservó. Por lo tanto, una fuerza exterior es una fuerza NO conservativa. FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS - RESUMEN

Básicamente y sin hilar fino te digo esto: En la mayoría de los problemas todas las fuerzas a la larga terminan siendo conservativas, salvo el rozamiento y una fuerza F exterior. Es decir, o son conservativas o a la larga no realizan trabajo. Saber esto viene muy bien para resolver los problemas. Pero ojo, esto no es absoluta-mente siempre así. Esto pasa en la mayoría de los casos, PERO NO SIEMPRE. ( Atento ). Puede haber algún caso raro donde la normal o la tensión de la cuerda ( por ejemplo ) sean fuerzas NO conservativas. Lo que sí tenés que saber es que las que siempre son conservativas sí o sí son la fuerza peso y la fuerza del resorte. Resumamos esto en un cuadrito: Hay otras fuerzas conservativas y hay otras fuerzas no-conservativas. Pero para los problemas que vos vas a tener que resolver, con esto alcanza. TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA

Con la cuestión de fuerzas conservativas y no conservativas llegué a la siguiente conclusión: Hay dos casos posibles: o sobre el sistema actúan fuerzas conservativas o sobre el sistema actúan fuerzas no conservativas. Analicemos estos 2 casos :

Peso Conservativas Fuerza del Resorte

Rozamiento No Conservativas Fuerza Exterior

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 192 -

CASO UNO Actúan sólo fuerzas conservativas y se conserva la E mecánica del sistema.

CASO DOS: Sobre el sistema actúan fuerzas no conservativas. La energía mecánica NO se conserva. Habrá una disminución o un aumento de la Emec del sistema. ¿ Quién provoca ese cambio en la energía del sistema ? Rta: Bueno, ya quedamos en que es la fuerza no conservativa. La fuerza no conservativa ( sea el rozamiento o sea una fuerza F exterior ) hace un trabajo que hace que aumente ( o disminuya ) la Emec del sistema. Ahora bien... ¿ Y cuánto vale esa variación de la Emec ? Rta: ¡ Justamente vale el trabajo que hace la fuerza no conservativa ! Es decir, si tengo un sistema que tiene una energía mecánica de 100 Joule y después de que actúa una fuerza exterior veo que la energía mecánica es de 120 J, digo entonces que el trabajo que hizo la fuerza exterior vale 20 Joule. Conclusión: ( Muy importante )

En forma matemática esto se suele poner así: Esta fórmula se lee así: Cuando en un sistema actúa una fuerza NO-conservativa, al final el sistema va a tener mas energía que al principio o menos energía que al principio. La energía que falta o sobra con respecto a la Emec que había al principio es igual al trabajo que hizo la fuerza no-conservativa. ( Punto ).

* Si sobre el sistema que me dan actúan fuerzas que son todas conservativas

* Si sobre el sistema que me dan actúan fuerzas que son NO conservativas .

El trabajo realizado por una fuerza NO conservativa es igual a la variación de la energía mecánica del sistema.

LF No-Cons = EMf − EM0

Enunciado del teorema del Trabajo y la Energía Mecánica.

LA ENERGÍA MECÁNICA VARÍA

mec m f m 0 Se cumple Es decir ∆E 0 E E

→ ≠ → ≠

↑

Teorema del L y la E. Mecánica.

mec M f M 0 Se cumple Es decir ∆E = 0 E = E

→ →

LA ENERGÍA MECÁNICA NO VARÍA

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 193 -

¿ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE TRABAJO Y ENERGÍA ?

Bueno, tengo 2 casos posibles: Problemas en donde se conserva la energía mecánica y problemas en donde NO se conserva la energía mecánica. Llamémoslos problemas caso 1 ( conservación ) y problemas caso 2 ( No conservación ). Si te toman un problema de energía, éste tendrá que ser caso 1 o caso 2. Otra posibilidad no hay. Es decir que tengo estas dos situaciones: Tipo de Problema Conclusión Se plantea que: Caso 1

Sólo actúan fuerzas conservativas, es decir, no actúa el rozamiento ni ninguna fuerza exterior.

La energía mecánica del sistema se conserva. La energía mecánica al final es igual a la inicial.

Emec f = Emec 0

Caso 2

Actúa por lo menos una fuerza NO conservativa, es decir, el rozamiento o una fuerza exterior F.

La energía mecánica del sistema NO se conserva. La energía mecánica final NO ES igual a la inicial.

LF no cons ==== Emf − Em0

Supongamos que te cae un problema caso 2. Tu manera de razonar tiene que ser esta: Bueno, veo que en este problema actúa una fuerza NO conservativa que es el rozamiento ( o una fuerza F exterior ). De acá saco como conclusión que en este problema la energía mecánica no se va a conservar. Voy a plantear entonces que:

Ahora elijo el nivel de referencia para la energía potencial y escribo que: Se tachan las energías que son cero, se reemplaza todo lo demás por los datos del problema y de ahí uno despeja lo que le piden. * NOTA : Algunos problemas tienen varios tramos. Eso pasa mucho en los problemas de montaña rusa de este tipo: En situaciones como estas puede ser que haya que plantear el teorema del trabajo y la

0 mf mcons no F EEL −=

)EEE(EEEL

0m Ef m E

E0p0c0f Epfcfcons no F

44 844 7644 844 76++−++=

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 194 -

energía mecánica varias veces ( Por ejemplo 1ro entre A y B, después entre B y C, etc ). Entonces habrá varios estados iniciales y varios estados finales, de manera que en vez hablar de EM0 convendrá hablar de EMA ( por ejemplo ) y en vez de poner EMf va a ser mejor poner EMB .( Esto sería cuando planteo el teorema entre A y B). Cuando lo planteo entre B y C pondré EMB en vez de EM0, y EMC en vez de EMf. Vamos a un par de ejemplos que te pueden aclarar un poco el asunto

EJEMPLO DE UN PROBLEMA CASO 2 ( NO CONSERVACIÓN )

EL RESORTE COMPRIMIDO SE DESTRABA EMPUJANDO A LA MASA m COMO INDICA LA FIGURA. CALCULAR CON QUÉ VELOCIDAD PASA EL CUERPO POR EL PUNTO B.

Datos: Veo que en este problema actúa una fuerza no conservativa que es el rozamiento, es decir que acá, la Energía mecánica no se va a conservar. Voy a plantear entonces que: Aplicando el teorema entre los puntos A y B me queda:

Entonces:

NK = 100 ; ∆x = 0,8m; m = 2 Kg

( )EApAcAEBpBcBroz EEEEEEdF000

++−++=⋅−

No hay resorte

vA = 0 hA = 0

No cons mecL = ∆E

mAmBcons No F EEL −=

mAmBroz F EEL −=⇒

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 195 -

� 10 J = 1 kg x VB

2 � VB = 3,16 m/s

OTRO EJEMPLO CASO 2 UNA FUERZA F EMPUJA UN CUERPO Y LO OBLIGA A SUBIR POR EL PLANO INCLINADO COMO INDICA LA FIGURA. CALCULAR LA DISTANCIA d QUE EL CUERPO RECORRIÓ A LO LARGO DEL PLANO INCLINADO.

DATOS: F = 10 N , M = 1 Kg .

Solución: En este problema actúa una fuerza no conservativa que es la fuerza exterior eFe. Conclusión: en este problema la energía no se va a conservar. Planteo entonces que: �

Escribo el teorema entre los puntos A y B. Me queda :

}( )2

2B2

1d ∆xκhgmvmdmgµ

⋅−⋅⋅+⋅=⋅⋅−

2B2 J 1 Kg.V 20 J 32 J⇒ − = + −

NIVEL DE REFERENCIA PARA LA ENERGÍA POTENCIAL.

( )EApAcAEBpBcBFde EEEEEEL0000

++−++=

No hay resorte

vA = 0 hA = 0 No hay resorte

mAmBcons. no F E E L −=

21× × .B B2 F d = m V + m g.h⇒

meccons No ∆E L =

( )21× × B2 2

m 10 N d = 1 Kg 2 m s + 1 Kg.10 .h

s⇒

( )221 1× × × × ×10B2 22 2

m m N - 0,1 2 Kg 10 1m = 2 Kg V +2 Kg ×1m - 100 0,8 m

s s m⇒

Velocidad del tipo en el punto B.

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 196 -

Bhαsend. =

Esta ecuación tiene 2 incógnitas que son hB y d. Pero hB y d están relacionadas por trigonometría. ( Por favor recordá este truco porque se usa mucho ).

Reemplazando:

UN PROBLEMA DE PARCIAL

UN CUERPO DE MASA 2 kg DESCIENDE POR UN PLANO INCLINADO AB CON ROZAMIENTO, PASA POR LA POSICIÓN A ( hA = 4 m ) CON UNA VELOCIDAD DE 5 m/s Y LLEGA A LA BASE DEL PLANO CON UNA VELOCIDAD DE 8 m/s. LUEGO CONTINÚA POR UN PLANO HORIZONTAL HASTA CHOCAR CON UN RESORTE DE CONSTANTE K. SABIENDO QUE ENTRE B Y C NO HAY ROZAMIENTO Y A PARTIR DE C SÍ EXISTE ROZAMIENTO DE CONSTANTE DINÁMICA 0,4 . HALLAR:

a) LA CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE SABIENDO QUE EL MÁXIMO ACORTAMIENTO DEL MISMO ES 0,5 m. b) EL TRABAJO DE LAS FUERZAS DE ROZAMIENTO ENTRE A Y B Y EL TRABAJO DE LA FUERZA ELÁSTICA EFECTUADO POR EL RESORTE HASTA QUE EL CUERPO SE DETIENE COMPRIMIENDO EL RESORTE AL MÁXIMO.

Solución: Voy a agregar un punto más al recorrido. Voy a poner el punto D que corres-ponde al resorte totalmente comprimido. En D el cuerpo está quieto, o sea, V = 0. Mirá el dibujo:

× × B2 2 2

Kg m m Kg m 10 d = 2 Kg + 10 h

s s s⇒

( ( ) )Bh

2 2 2

0,5

Kg m m Kg m10 ×d = 2 Kg + 10 × d sen 30°

s s s⇒

64748

14243

× ×2 2 2

Kg m m Kg m 10 d = 2 Kg + 5 d

s s s⇒

d 0,4 m Distancia que recorre el cuerpo.⇒ = ←

×2 2

Kg m m 5 d = 2 Kg

s s⇒

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 197 -

Fijate que como entre B y C no hay rozamiento, el cuerpo llega hasta C con la velocidad con la que salió de B, o sea 8 m/s. La variación de energía mecánica entre C y D es igual al trabajo del rozamiento:

LFroz = ∆EMCD

LFroz = ECF + EPF + EEF – ( EC0 + EP0 + EE0 )

En D toda la energía es potencial elástica y en C es cinética. Usando las definiciones de las energías y la fuerza de rozamiento tengo:

- FROZ . d = Eelas F – ECIN 0 La fuerza de rozamiento es mu dinámico por N : - µd N ∆x = ½ K ∆x – ½ m v2 Multiplico todo por 2 y me queda : - 2 µd m g ∆x = K ∆x – m v2 En toda esa ecuación la única incógnita es K. Todos los demás datos los tengo. Hacemos las infernales cuentas y llegamos a: K = 480 N/m

El trabajo de la fuerza elástica se calcula con la poco conocida fórmula: ∆Ep = - Lcons ( La variación de la energía potencial es igual a menos el trabajo de la fuerza conser-vativa ). Ojo, no se puede hacer F. ∆X porque la fuerza del resorte es VARIABLE ( No vale todo el tiempo lo mismo ). Fijate la variación entre C y D

∆ EpD-C = EpD – EpC = EpD – 0 � Felást = 0 en C ∆ EpD-C = ½ k ∆X2

Con lo cual Lelás = - ½ k ∆X2 = - ½ 480 N/m ( 0,5 m )2 Respuesta (a) k = 480 N/m (b) LF elás = - 60 j

Lelás = - 60 joules

ASIMOV FUERZAS NO CONSERVATIVAS - 198 -

TRABAJO Y ENERGÍA – EPÍLOGO

Dejame hacerte algunas aclaraciones sobre el tema trabajo y energía. Para entender bien todo esto no alcanza con leerlo de acá. Tenés que ponerte y resolver muchos problemas. Es la única manera. Más adelante vas a ver que en realidad todos los problemas se parecen y que todo el asunto consiste en plantear Em f = Em 0 para los problemas caso 1 y LF no cons = Em f − Em0 para los problemas caso 2. Es más, uno puede considerar que todos lo problemas son caso 2, sólo que en algunos no hay fuerzas no conservativas y entonces LF no cons = 0 ( Que es lo mismo que decir Emf = Em0 ). Los casos 2 generalmente son más difíciles porque tienen rozamiento o fuerzas raras. Probá empezar con los casos 1, que suelen ser más fáciles. Otra cosa. No te olvides de hacer problemas que combinan energía con movimiento circular. ( Rulos, montañas rusas, péndulos y cosas por el estilo ). Son muy tomados. Repito, el truco para entender trabajo y energía es resolver muchos problemas. Hacé los ejercicios de la guía, buscate problemas de otro lado. Conseguí parciales viejos. Vas a ver que con el tiempo todos los problemas te van a parecer iguales.

Fin de la Teoría de Trabajo y Energía.

ASIMOV EJERCICIOS

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FUERZAS NO CONSERVATIVAS - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES SOLUCIÓN : Hay un cuerpo que se deja caer desde una altura de 6 m. ( Punto 0 ). El cuerpo pasa por una zona con rozamiento y comprime el resorte hasta frenarse en el punto C. Calculo el trabajo de las fuerzas no conservativas entre 0 y C :

La fuerza no conservativa es el rozamiento. La energía mecánica en C es la elástica del resorte. La energía mecánica inicial es la potencial en el punto 0. Entonces :

Calculo el valor de FROZ :

ASIMOV EJERCICIOS

- 200 -

b ) – Piden calcular donde se frena el cuerpo. La cosa es que después de chocar con-tra el resorte, el carrito rebota y vuelve a entrar en la zona con rozamiento. Si tiene suficiente velocidad la va a atravesar. Si viene con poca velocidad, se va a frenar. Veamos cuánta energía le queda al carrito después de rebotar en el resorte: Originalmente el carrito tenía 600 Joules al salir ( Punto 0 ). El rozamiento se comió 360 Joules. Quiere decir que después de pasar por la zona de rozamiento por 1ra vez el carrito queda con una energía que vale :

EnergíaC = 600 J – 360 J = 240 J Esta es la energía cinética que tiene el carrito después de rebotar contra el resorte. Voy a suponer que el carrito se frena en un punto que llamo "D". Planteo el trabajo de las fuerzas no conservativas entre C y D

LFROZD = 0 – 240 Joules

- 30 Newton x dAD = - 240 Newton x m NOTA : Hay otras maneras de calcular la distancia AD. Se puede usar energía o también se puede sacar por dinámica calculando la aceleración de frenado.

EL CARRITO SE DETIENE A 8 m DEL PUNTO A

ASIMOV EJERCICIOS

- 201 -

2 – Un cuerpo puntual es lanzado por la pista de la figura mediante un resorte que

inicialmente se encuentra comprimido 20 cm. El cuerpo entra en la pista circular,

realiza un loop y entra en una zona con rozamiento de longitud d = 2 m. Luego

sube por la rampa sin rozamiento. Calcular:

a) – El valor de la velocidad en la parte superior del loop. Comparar esta velocidad

con la mínima velocidad posible para que el objeto pase por la pista sin desprenderse.

b) – Calcular el valor de la fuerza de contacto en dicho punto.

c) – Calcular la máxima altura h que el objeto alcanza sobre la rampa inclinada.

DATOS: R = 1 m, K = 500 N/m, d = 2 m, m = 100 gr, µD = 0,5

SOLUCIÓN: Hagamos de nuevo el dibujito del enunciado poniendo letras a cada punto del recorrido. El resorte empuja la pelotita y la hace pasar por el rulo. Piden calcular la velocidad en B. En el recorrido A-B no hay fuerzas no conservativas. Planteo conservación de la energía entre A y B : Reemplazo por los datos:

ASIMOV EJERCICIOS

- 202 -

Ahora piden comparar esta velocidad con la mínima velocidad que necesita el objeto para pasar por el punto B sin caerse y dar toda la vuelta. Calculo la velocidad mínima. Hago el diagrama de cuerpo libre del carrito en el punto B : Planteo la ecuación de Newton en el punto B. Sería: P + N = m . aCP. Para calcular la velocidad mínima tengo que suponer que en ese momento el carrito está a punto de despegarse de la pista. Es decir, en el punto B la normal tiene que valer CERO. Entonces

b) – Piden calcular el valor de la fuerza de contacto en el punto B. ( Atención, esta pregunta es común en los parciales ). Suele ocurrir que la gente no entiende lo piden. ( Lógico. No todos los docentes explican en la clase lo que es la fuerza de contacto ). Paso a explicarte: Lo que están pidiendo es el valor de la Normal en el punto B. El ca-rrito quiere irse de la pista. La pista no lo deja y ejerce una fuerza llamada "fuerza de contacto". La fuerza de contacto es la Normal. Se la llama fuerza de contacto, Normal, fuerza de vínculo, reacción de la pista o fuerza que el carrito ejerce sobre la pista en el punto B.

Entonces calculo N. Vuelvo a escribir la ecuación de Newton :

Diagrama de cuerpo libre en el punto B

ASIMOV EJERCICIOS

- 203 -

N + P = m . aCP

→ N = m . aCP - P

→ N = m . VT2

/ R – m.g Reemplazando por los valores:

N = 0,1 kg ( 12,65 m/s )2 / 1 m – 0,1 kg x 10 m/s2

→ NB = 15 Newtons

c) - Piden calcular la máxima altura que alcanza en el punto E. Para llegar al punto E el cuerpo tiene que atravesar la zona con rozamiento. Es un caso 2 ( No conservación). Entonces calculo el trabajo de las fuerzas no conservativas entre el punto A y el punto E. Planteo : La única fuerza no conservativa es el rozamiento. Su trabajo es negativo. Al final tengo sólo energía potencial ( Punto E ). Al principio tengo sólo energía elástica ( Pun-to A ). Entonces:

Reemplazo por los datos:

NOTA: Este es un problema importante. Prestale atención. Siempre toman problemas de este estilo. Después en física I aparecen problemas parecidos.

ASIMOV EJERCICIOS

- 204 -

3 – Un cuerpo de masa m, inicialmente en reposo a cierta altura A se deja caer

y se mueve hacia F sin perder contacto con la pista. En las zonas BC y EF hay

rozamiento.

a) – ¿ Cuál es la altura máxima que puede tener la loma en D para que el cuerpo

llegue a dicho punto ?

b) – Si la altura de D es menor que la calculada en a), ¿ cuál es la longitud de la

zona EF si el resorte se comprime al máximo en ∆e ?

DATOS:

SOLUCIÓN : Hago un dibujito :

a) - Piden calcular la altura máxima que puede tener el punto D. Como hay rozamiento planteo fuerzas no conservativas entre A y D: El cuerpo en D se frena. Su velocidad en D es cero. O sea que en D tiene sólo energía potencial :

ASIMOV EJERCICIOS

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b) – No se entiende bien la frase "si el resorte se comprime al máximo en ∆e". Lo que es-tán pidiendo es calcular la longitud del tramo EF sabiendo que el resorte se compri-me 50 cm. El enunciado aclara que se supone que la altura de la montaña es menor que 1,3 m y el cuerpo logra pasar al otro lado. Como hay rozamiento planteo fuerzas no conservativas entre D y G. Entonces : SOLUCIÓN: El cuerpo viene con velocidad V0 = 20 m/seg y sube por el plano inclinado. Pasa por B, por C y sale del punto D con velocidad 10 m/seg.

ASIMOV EJERCICIOS

- 206 -

Voy a plantear trabajo y energía entre los puntos A y D. Este problema es un caso 2 porque en el tramo CD hay rozamiento. La energía no se conserva. Entonces :

Ahora calculo el valor de la altura h. Hagamos un dibujito :

ASIMOV EJERCICIOS

- 207 -

b) – Me piden el trabajo del peso entre B y D. Al ir de B a C el peso no realiza traba-jo. Al ir de C a D, sí. El trabajo del peso se calcula como P x h.

Con el gráfico que me dan puedo hacer el Gráfico de Energía Mecánica. Tengo que sumar la Cinética más la potencial. ( Hay que pensarlo un poco ). Me queda una cosa así :

ASIMOV EJERCICIOS

- 208 -

Del gráfico veo que la energía mecánica se mantiene constante hasta x = 2 m y de ahí en adelante empieza a disminuir. Quiere decir que hasta los 2 metros no hay fuerzas no conservativas y después de los 2 m sí. Ahora, después de los 2 m la Energía Mecá-nica disminuye. ( Lo veo en el gráfico ). Quiere decir que el trabajo de las no conser-vativas tiene que ser negativo.

Correcta la 3ra Opción

SOLUCIÓN : Mientras está en el resorte no hay rozamiento. La zona con rozamiento empieza después. Hagamos un dibujito : Piden calcular el trabajo de la fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria es la fuer-za peso. El trabajo del peso se calcula siempre como P x h, teniendo en cuenta que si el cuerpo baja, el trabajo del peso es positivo. Si el cuerpo sube, el trabajo del peso es negativo. Veamos hasta que altura h sube el cuerpo. Dicen que recorre 4 m sobre el plano inclinado. Como el plano tiene 37º :

ASIMOV EJERCICIOS

- 209 -

Le puse signo negativo porque el objeto está subiendo. Calculemos el trabajo de la Normal. La normal es perpendicular a la velocidad, así que LN = CERO.

Calculemos el trabajo de la fuerza de rozamiento dinámica. La distancia recorrida por FROZ es 3 m. La FROZ vale mu x N. Entonces : :

b) – Piden calcular cuánto estaba comprimido inicialmente el resorte. Veamos. La si-tuación inicial es esta : Tengo que plantear energía desde el momento inicial hasta el momento final. Es de-cir, entre A y D de dedo. En el medio hay rozamiento, así que tengo un caso 2. Calculo el trabajo de las fuerzas no-conservativas :

La única no conservativa es el rozamiento. Entonces :

ASIMOV EJERCICIOS

- 210 -

El trabajo de FROZ ya lo calculé antes. Me había dado – 9,6 Joules. Fijate que hay que tener en cuenta que el cuerpo sube desde A hasta D. Así que para calcular la energía potencial final no puedo hacer 4 m x sen 37º. Tengo que hacer ( 4 m + X ) x sen 37º. ( Pensarlo ). Entonces me queda el siguiente choclazo :

FIN PROBLEMAS DE FUERZAS NO-CONSERVATIVAS

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 211 -

RESUMEN DE FORMULAS Pongo ahora un resumen de toda la teoría y de las principales ecuaciones que necesitás para resolver los problemas. Si ves que falta alguna fórmula o ves que algo no se entiende, mandame un mail.

www.asimov.com.ar

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 212 -

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 213 -

RESUMEN DE DINAMICA - LEYES DE NEWTON

1ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE INERCIA : Si un objeto se viene moviendo con MRU, va a seguir moviéndose con MRU a menos que sobre él actúe una fuerza. Si F = 0 → a = 0 ( v = cte ) 2ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE MASA

Si uno le aplica una fuerza a un cuerpo este va a adquirir una aceleración que es proporcional a la fuerza aplicada. Esta aceleración será más grande cuanto mayor sea la fuerza que actúa. Es decir, a es directamente proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa. Si hay varias fuerzas que actúan sobre el cuerpo la 2da ley se escribe:

3ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Si empujo una cosa con una fuerza F voy a sentir que la cosa también me empuja a mí con una fuerza igual y contraria. Esto pasa siempre cuando dos cuerpos se ejercen fuerzas entre si: La fuerza que el primer cuerpo ejerce sobre el segundo es igual y de sentido contrario a la fuerza que el 2do ejerce sobre el 1ro.

Ojo, las fuerzas de acción y reacción son iguales y opuestas, pero nunca se anulan porque la fuerza de acción que el tipo ejerce actúa sobre el placard y la fuerza que ejerce el placard actúa sobre el tipo.

1ra LEY

F = m.a

← 2da Ley de Newton Σ F = m.a

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 214 -

IMPORTANTE. Convención de signos en dinámica: sentido positivo siempre como apunta la aceleración. Con esta convención, las fuerzas que van como el vector aceleración son (+) y las que van al revés, son (-).

UNIDADES DE FUERZA, MASA y ACELERACIÓN

Aceleración: Se mide en m /s2. ( igual que en cinemática ). Masa: Se mide en Kilogramos. Un Kg masa es la cantidad de materia que tiene 1 litro de agua. Fuerza: Se mide en Newtons o en Kilogramos fuerza. 1 Kgf es el peso de 1 litro de agua.

Para pasar de Kgf a Newton tomamos la siguiente equivalencia:

PESO DE UN CUERPO

La equivalencia 1 Kgf = 9,8 N sale de esta fórmula. Para los problemas se permite que tomes 1 kgf = 10 Newton. ( Para facilitar las cuentas ). DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

El diagrama de cuerpo libre es un dibujito que se hace para poder resolver los problemas de dinámica. Para hacer el diagrama se separa al cuerpo de lo que está tocando ( imaginariamente ). Se lo deja solo, libre. En lugar de lo que está tocando ponemos una fuerza. Esa fuerza es la fuerza que hace lo que lo está tocando. La ecuación de Newton se plantea en base al diagrama de cuerpo libre .

PLANO INCLINADO

Se descompone la fuerza peso en las direcciones X e Y. El valor de las fuerzas Px y Py se calcula con:

Una cosa que tiene una masa de 1 Kg pesa 1 Kgf. Una cosa que pesa 1 Kgf tiene una masa de 1 Kg.

Leer! Ojaldre!

1 Kgf = 10 Newtons

P = m x g FUERZA PESO

1 Newton = 1 kg . m / s2 ←←←← 1 Newton

Px = P . sen α Py = P . cos α

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 215 -

ROZAMIENTO

ROZAMIENTO DINÁMICO

Tengo rozamiento dinámico cuando un cuerpo avanza patinando y rozando contra el piso.

Mientras la moneda va deslizando la fuerza de rozamiento la va frenando. El valor de la fuerza de rozamiento dinámico es: El mu dinámico es un número sin unidades. Este coeficiente dá una idea de qué tan grande es el rozamiento que hay entre las superficies que se están tocando. Si el piso es de cemento tendré un determinado valor de mu. Si el piso es de hielo, la superficie será más patinosa y el µµµµ será menor. ROZAMIENTO ESTÁTICO Tengo rozamiento estático cuando trato de empujar una cosa para moverla pero la cosa no se mueve. Sería este ejemplo:

El tipo ejerce una fuerza sobre el placard pero el placard no quiere moverse. No hay fórmula que permita calcular el valor de la fuerza de rozamiento estático. Lo que hay es una fórmula que permite calcular la fuerza de rozamiento máxima que ejerce el piso antes de que el cuerpo empiece a moverse. El valor de FROZ es mu estático por ene.

Nf dROZ ⋅= µµµµ

Fuerza de rozamiento dinámico. Coeficiente de

rozamiento dinámico (mu dinámico)

Fuerza normal.

Ecuación que se usa cuando hay rozamiento dinámico.

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 216 -

La fuerza de rozamiento estático no se puede calcular siempre con la fórmula mu estático por ene. Lo que vale µµµµe por ene es la fuerza de rozamiento máxima, que puede existir antes de que el tipo empiece a moverse. ( Ahora sí ) . ¿ HACIA DONDE APUNTA LA FUERZA DE ROZAMIENTO ?

Generalmente FROZ va al revés de la velocidad. O sea, intenta frenar al cuerpo que se mueve. Pero esto no es siempre así. No siempre la fuerza de rozamiento se opone al movimiento. Hay casos raros donde la fuerza de rozamiento va para el mismo lado que la velocidad. ( = Ayuda al movimiento ). Lo que siempre se cumple es que:

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Pongo algo sobre un disco que está girando. Lo que está dando vueltas tiene aceleración centrípeta porque tiene un movimiento circular.

El objeto tiene aplicada una fuerza aplicada sobre él que es la que hace que se mueva en círculos. Esta fuerza se llama centrípeta. ( fcp ) Si la fuerza centrípeta no existiera, el cuerpo nunca podría moverse siguiendo una trayectoria circular. Esto es porque la 1ª ley de newton dice que si una cosa no tiene ninguna fuerza aplicada, obligatoriamente se va a mover siguiendo una línea recta .

Fuerza de rozamiento estático máxima antes

de que el cuerpo empiece a moverse.

Nf eMAxeROZ ⋅= µµµµ

Fuerza de rozamiento estático máxima. Coeficiente de

rozamiento estático

Fuerza normal.

La fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento RELATIVO de las superficies que están en contacto

SENTIDO DE LA FROZ

La aceleración del bicho apunta hacia el centro. ( Centrípeta)

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 217 -

En el caso de una cosa que esté puesta sobre un disco que gira, la fuerza centrípeta va a ser la fuerza de rozamiento. Mirá el diagrama de cuerpo libre:

Ahora, mirando el diagrama de cuerpo libre, planteo la ecuación de Newton. La única fuerza que actúa es la centrípeta. Entonces :

La Fcp puede ser cualquier fuerza. En algunos casos puede ser el peso, en otros la tensión de la cuerda, la fuerza de un resorte o la fuerza de atracción gravitacional de Newton. Para el caso particular del bicho girando sobre el disco, la fcp va a ser la fuerza de rozamiento. En conclusión, para cualquier cosa que esté rotando, la ec. de Newton queda así: El diagrama de cuerpo libre para un objeto que se mueve con movimiento circular:

COMO RESOLVER PROBLEMAS DE MOVIMIENTO CIRCULAR:

Para resolver problemas de dinámica del movimiento circular siempre conviene :

1) Hacer el diagrama de cuerpo libre poniendo todas las fuerzas que actúan sobre

Diagrama de cuerpo libre de un objeto que está girando. La fcp en este caso, es la fuerza de rozamiento. (Ojo).

Tiene que ser siempre así. ( Es decir, con la fuerza centrípeta apuntando hacia el centro ).

La fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una cosa, que se mueve con movimiento circular uniforme, se llama fuerza centrípeta y apunta siempre hacia el centro de la circunferencia.

x CP CPf m a=

× EN DIRECCIÓN

DEL RADIO

CPf = m a∑ LEY DE NEWTON PARA EL MOVIMIENTO CIRCULAR

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 218 -

el cuerpo. Sobre el diagrama también tenés que poner que la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta. (Tenés que indicar para dónde apuntan). 2) De acuerdo al diagrama, planteás la ecuación del movimiento circular.

∑ Fen dirección radial = m . acp

Es decir, escribís la sumatoria de las fuerzas en la dirección del radio y eso lo igualás a la masa por la aceleración centrípeta. 3) Reemplazás acp por x

2ω R o por VT 2 / R. De la ecuación que te queda despejás

lo que te piden.

FUERZAS ELÁSTICAS - LEY DE HOOKE

Al colgar pesos de un resorte, el resorte se estira. Con cada peso que voy colgando veo que el estiramiento va aumentando.

Hooke comprobó que si uno cuelga un peso doble, el estiramiento es el doble. Si el peso es triple, el estiramiento es el triple. O sea, comprobó que lo que se estiraba el resorte era proporcional al peso que uno le colgaba. Representemos esto.

Dicho de otra manera, el estiramiento es directamente proporcional al peso colgado. Lo mismo va si pongo un resorte sobre una mesa y tiro de él.

RESORTE SIN

NADA ( No se

Estira ) RESORTE con

1 alfajor

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 219 -

Voy a llamar F a la fuerza que yo hago sobre el resorte y x al estiramiento. Pongamos el resorte con la fuerza aplicada sobre él. El diagrama sería éste: Si hago una fuerza F, tengo un estiramiento determinado. Puedo decir que la fuerza aplicada va a ser proporcional al estiramiento del resorte. O sea:

En esta fórmula K es la constante del resorte y F es la fuerza que hace el resorte. Equis es la distancia que está estirado o comprimido el resorte. La constante K es lo que me dice si el resorte es blando o duro. Cuanto mayor es K, más duro es el resorte. ( Cuando digo duro quiero decir más difícil de estirar o de comprimir )

GRAVITACIÓN ( LEY DE ATRACCION DE LAS MASAS )

Newton se dio cuenta de que la atracción entre los cuerpos era producida por una fuerza que dependía de las masas de los cuerpos y de la distancia que los separaba.

Cuanto mayores son las masas, mayor es la fuerza de atracción entre ellas. Cuanto mayor es la distancia, menor es la fuerza de atracción. Newton resumió todos estos conceptos en una fórmula llamada Ley de Gravitación Universal .

La mano tira del resorte y lo alarga.

Esquema con la fuerza y el estiramiento.

F = K x X

FUERZA DE

ATRACCIÓN DE NEWTON

LEY DE HOOKE

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 220 -

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Supongamos que tengo 2 objetos de masas m1 y m2 separados por una distancia d . Entre estos cuerpos aparecerá una fuerza de atracción que vale:

En esta fórmula, m1 y m2 son las masas de los cuerpos. d es la distancia que separa a los 2 cuerpos.( Se mide desde el centro de un cuerpo al centro del otro cuerpo). Esta d va al 2 en la formula. La letra G representa a una constante. Se la llama constante de gravitación universal de Newton. El valor de G se determinó haciendo mediciones y experimentos. El valor que usamos para resolver los problemas es :

Fijate que G tiene unidades de fuerza multiplicadas por unidades de distancia al cuadrado divididas por unidades de masa al2. Eso es así para que al multiplicar G por m1 x m2 / d2 la fuerza me dé en Newtons. FORMULA gsup . RT

2 = G . MT Esta ecuación se puede usar para La Tierra, para La Luna o para un planeta cualquiera.

Dos objetos de masas m1 y m2 separados por una distancia d.

1 22

m ×mF=G×

LEY DE NEWTON DE GRAVITACION UNIVERSAL.

VALOR DE LA CONSTANTE DE

GRAVITACION UNIVERSAL

2-1 1

N mG = 6 ,6 7 1 0

K g

Gravedad en la superficie del planeta

Radio del Planeta al2

Cte. de Grav. Universal

Masa del planeta.

2SUP P P g R G M⋅ = ⋅

Valor de la aceleración de la gravedad a cierta altura h sobre la superficie de La Tierra

Th 2

M g G

( R + h )= ⋅

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 221 -

LEY DE KEPLER La ley de Kepler relaciona la distancia de un planeta al sol con su período de rotación. También se puede usar para un satélite que está orbitando la Tierra. A esta ley se la suele llamar " Ley cuadrado-cúbica ". FIN RESUMEN DE DINAMICA

RESUMEN - TRABAJO Y ENERGIA

TRABAJO DE UNA FUERZA

El trabajo realizado por una fuerza F al moverse la distancia d se calcula haciendo la cuenta F por d x el coseno del ángulo formado entre F y d. ( Esto es una definición ). Al trabajo realizado por una fuerza se lo suele poner con la letra L.

ACLARACIONES

* El trabajo no es un vector. No tiene dirección, sentido, módulo ni nada de eso.

* Sólo puede haber Trabajo cuando una fuerza se mueve. Una fuerza quieta no puede hacer trabajo.

Trabajo de una fuerza. L = F ⋅ d ⋅ cos αααα

Fuerza Distancia Ángulo entre aplicada. recorrida F y d ( o F y V )

[ L] = N x m ← Joule

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 222 -

* Hay fuerzas que no realizan trabajo aún cuando el cuerpo se esté moviendo. Es el caso de las fuerzas que son perpendiculares a la trayectoria. ( Ej, la Normal, la Fuerza centrípeta, etc )

* Una fuerza puede realizar trabajo negativo. Esto pasa cuando el cuerpo va para allá →, y la fuerza va para allá ←. El signo negativo lo da el coseno del ángulo. Es el caso de fuerzas que obligan al cuerpo a frena. Ejemplo: la fuerza de rozamiento. ENERGÍA CINÉTICA

La cosas que se mueven tienen energía cinética. La velocidad es la que le da energía cinética al cuerpo. Un cuerpo quieto no puede tener energía cinética.

Las unidades de la Energía cinética son Kg x m 2/s 2 que es lo mismo que N x m, que es Joule. Trabajo y energía se miden en las mismas unidades. ( Joule ). TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA

Cuando una fuerza empuja a un cuerpo, el trabajo realizado por la fuerza se transfor-ma en Energía cinética. Para el caso cuando al ángulo alfa formado entre la fuerza y la velocidad es cero, la formula queda:

El término ½ m x V02 es la energía cinética inicial que tenía el cuerpo. ( Puede ser cero ).

TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA PESO

La fuerza peso realiza trabajo si el cuerpo sube o si el cuerpo baja. El trabajo realiza-do por el peso es: LPESO = P x h si el cuerpo baja y LPESO = - P x h si el cuerpo sube. El trabajo del peso vale siempre P x h o – P x h. Esto es independiente de cómo se haya movido el cuerpo. No importa si el objeto bajó rápido, bajó despacio, cayó en caída

LF Ecf Ec0

Teorema del trabajo y la Energ.cinética.

202

12f2

1 vmvmdF ⋅−⋅=⋅

Energía Cinética. x

212Ec m v =

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 223 -

libre, fue empujado, bajó en línea recta, bajó por una escalera o por un tobogán. El trabajo realizado vale siempre P x h si el cuerpo bajó y – P x h si el cuerpo subió. ENERGÍA POTENCIAL Un cuerpo que está a una determinada altura del piso tiene energía. Esa energía es igual al trabajo que la fuerza peso puede realizar si se deja caer al cuerpo desde esa altura. El trabajo del peso vale peso x altura. Entonces:

La Energía Potencial Gravitatoria se mide en Jules. ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Un resorte que está comprimido tiene energía almacenada.

El cuerpo no se mueve y no tiene energía cinética. Pero si suelto el resorte... Esa Energía Cinética que adquirió el cuerpo fue entregada por el resorte. La fórmula que me da la energía almacenada en función del estiramiento ( o compresión ) es:

Ep = P x h ó Ep = m x g x h Energía potencial que tiene un cuerpo de peso P que está a una altura h.

E Elás. = ½ K ⋅ ( ∆x) 2

Energía elástica almacenada en un resorte.

Constante del resorte.

Energía potencial elástica acumulada en el resorte.

Distancia que fue comprimido (o estirado).

SI EL GATIS SE DEJA CAER, EL TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA PESO SERÁ P x h

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 224 -

ENERGÍA MECÁNICA DE UN SISTEMA

La Em de un sistema en un momento determinado es la suma de la energía cinética, + la energía potencial, + la energía elástica que el tipo tiene en ese momento. Es decir:

FUERZAS CONSERVATIVAS

Una fuerza es conservativa si la energía mecánica del sistema no cambia mientras ella actúa. O sea, una fuerza conservativa hace que la energía mecánica se conserve. La fuerza PESO y la FUERZA DE UN RESORTE son conservativas. El rozamiento, no. CONSERVACION DE LA ENERGIA

Si sobre un cuerpo actúan solamente fuerzas conservativas, la energía mecánica se va a conservar. Es decir, la energía mecánica que hay al final tendrá que ser igual a la Energía mecánica que había al principio. Se plantea:

Emec Final = EMecanica inicial

O sea ECin Final + EPot Final + EElas Final = ECin inicial + EPot inicial + EElas inicial FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Una fuerza es no conservativa cuando hace que la energía del sistema no se conserve. Las fuerzas no conservativas hacen que el sistema gane o pierda energía mecánica. Las 2 fuerzas NO – CONSERVATIVAS más importantes son la fuerza de rozamiento y una fuerza exterior.

Supongamos que tengo un sistema con una energía mecánica inicial de 100 Joule. Ahora hago que actúe la fuerza. Si cuando la fuerza deja de actuar, la Emec del sistema es de más de 100 Joule o es de menos de 100 J, entonces esa fuerza es no conservativa. PLANTEO DE LOS PROBLEMAS DONDE NO SE CONSERVA LA ENERGIA

Si en un problema actúan fuerzas no conservativas, no se puede plantear que la Emec Final = EMecanica inicial. Ahora hay una fuerza no conservativa que está sacando o está agregando energía al sistema. Hay que plantear que:

Em = Ec + Ep + EE Energía mecánica.

LAS FUERZAS DE ROZAMIENTO Y LAS FUERZAS EXTERIORES SON NO-CONSERVATIVAS

ASIMOV RESUMEN DE FORMULAS - 225 -

O sea, hay que hacer la siguiente cuenta:

LF No-Cons = ( ECin Final + EPot Final + EElas Final ) – ( ECin inicial + EPot inicial + EElas inicial )

POTENCIA

Para tener una idea de qué tan rápido una cosa puede realizar trabajo, lo que se hace es dividir el trabajo realizado por el tiempo que se tardó en realizarlo.

Las unidades de potencia serán las de trabajo divididas por las de tiempo. El trabajo realizado se mide en Joules ( N x m ) y el tiempo en seg. Entonces: Si una fuerza de 1 Newton recorre una distancia de 1 metro en 1 segundo, la potencia entregada será de 1 Watt. La potencia vendría a ser una medida de la velocidad con la que se realiza trabajo. OTRAS UNIDADES DE POTENCIA

Hay otra unidad que se usa que es el Kilowatt-hora. El Kw-h es una unidad de energía, no de potencia. 1 Kw-hora no son 1.000 Watt. Son 1.000 Watt x 1 hora.

OTRA FORMULA PARA CALCULAR LA POTENCIA

Si conozco la velocidad que tiene el cuerpo en un momento determinado y conozco la velocidad del cuerpo en ese momento, puedo calcular la potencia con la fórmula:

A esto se lo llama Potencia instantánea. Es instantánea porque vale sólo en ese momento. Cuando pasó 1 segundo, la velocidad del cuerpo ya cambió y la potencia se modificó.

empleado Tiempo

∆t

efectuado Trabajo =

Watt 745 s

mKgf 76 H.P. 1 =⋅

×1 Kw-h = 3,6 10 Joule. 1 Kilowatt- hora←

LF No-Cons = Em f − Em 0 Teorema del L y la E. Mecánica.

A esta unidad se la llama Watt.

x P F v Otra forma de calcular la potencia= ←

[ ] [ ] × Joule N m P = P =

seg seg→

TEMAS DE PARCIALES

INDICE

PAGINA DINAMICA

115 Gravitación. 130.........Problemas sacados de Parciales

TRABAJO Y ENERGIA 135........Trabajo de una fuerza. 142 Energía cinética - Teorema del trabajo y la energía. 147........ Potencia.

177 Problemas sacados de Parciales 189.........Fuerzas NO conservativas. 191 Teorema del trabajo y la Energ. Mecánica.

199.........Problemas sacados de Parciales Pag 211 -------- RESUMEN DE TEORÍA Y DE FORMULAS Pag 227 -------- Ejemplos de Parciales que fueron tomados.