Fermi-Dirac-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 1

Fermi-Dirac-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/µ

T = 0

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 1

Fermi-Dirac-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/µ

kBT/µ = 0.1

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 1

Fermi-Dirac-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/µ

kBT/µ = 0.2

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 1

Fermi-Dirac-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/µ

kBT/µ = 0.3

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 1

Fermi-Dirac-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/µ

kBT/µ = 0.5

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 1

Fermi-Dirac-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/µ

kBT/µ = 1.0

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 1

Fermi-Dirac-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T +1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/µ

kBT/µ = 1.0

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 1

Bose-Einstein-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 2

Bose-Einstein-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/|µ|

µ < 0, kBT/|µ| = 1.0

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 2

Bose-Einstein-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/|µ|

µ < 0, kBT/|µ| = 0.5

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 2

Bose-Einstein-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/|µ|

µ < 0, kBT/|µ| = 0.1

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 2

Bose-Einstein-Verteilung

I Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = 1e(ε−µ)/kB T−1

0

1

0 0.5 1 1.5 2

n(ε

)

ε/|µ|

µ < 0, kBT/|µ| = 0.1

I Achtung: Für µ(T ) = const . ist N(T ) = V2π2

∞∫0

k2dk n(Ek ) nicht konstant!

16.07.2013 | Michael Buballa | 2

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

2e-05

0 0.5 1 1.5 2

k [Angstroem-1

]

T = 300 K

µ = -5.2 x 10-20

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

2e-05

0 0.5 1 1.5 2

k [Angstroem-1

]

T = 200 K

µ = -3.3 x 10-20

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

2e-05

0 0.5 1 1.5 2

k [Angstroem-1

]

T = 100 K

µ = -1.5 x 10-20

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

2e-05

0 0.5 1 1.5 2

k [Angstroem-1

]

T = 10 K

µ = -1.0 x 10-21

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

0.0005

0.001

0 0.5 1 1.5 2

k [Angstroem-1

]

T = 10 K

µ = -1.0 x 10-21

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

0.0005

0.001

0 0.5 1 1.5 2

k [Angstroem-1

]

T = 1 K

µ = -5.6 x 10-23

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.05 0.1 0.15 0.2

k [Angstroem-1

]

T = 1 K

µ = -5.6 x 10-23

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.05 0.1 0.15 0.2

k [Angstroem-1

]

T = 0.1 K

µ = -1.1 x 10-24

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

n(ε

)

k [Angstroem-1

]

T = 0.1 K

µ = -1.1 x 10-24

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

n(ε

)

k [Angstroem-1

]

T = 0.1 K

µ = -1.1 x 10-24

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

Bose-Einstein-Verteilung

I (nicht ganz) realistisches Beispiel:

ideales 4He-Gas mit

I N = NA = 6, 022 · 1023

I V = Vmol = 22, 4 `

I mHe = 6, 65 · 10−27 kg

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2

n(ε

)

k [Angstroem-1

]

T = 0.1 K

µ = -1.1 x 10-24

J

I Unterhalb einer kritischen Temperatur Tc können selbst für µ = 0 nicht mehralle Teilchen in der ,,normalen” BE-Verteilung ,,untergebracht” werden.

⇒ Makroskopische Besetzung des Grundzustands durch die überschüssigenTeilchen: Bose-Einstein-Kondensation

16.07.2013 | Michael Buballa | 3

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I ,,schwarzer Körper”:

absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)

I thermisches Gleichgewicht:

Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?

I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!

I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:

16.07.2013 | Michael Buballa | 4

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I ,,schwarzer Körper”:

absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)

I thermisches Gleichgewicht:

Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?

I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!

I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:

16.07.2013 | Michael Buballa | 4

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I ,,schwarzer Körper”:

absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)

I thermisches Gleichgewicht:

Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?

I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!

I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:

16.07.2013 | Michael Buballa | 4

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I ,,schwarzer Körper”:

absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)

I thermisches Gleichgewicht:

Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?

I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!

I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:

16.07.2013 | Michael Buballa | 4

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I ,,schwarzer Körper”:

absorbiert alles auf seine Oberfläche treffende Licht, unabhängig von derFrequenz (keine Reflexion)

I thermisches Gleichgewicht:

Die absorbierte Energie muss wieder abgestrahlt werden.Wie sieht das Spektrum als Funktion der Temperatur aus?

I ,,Strahlung” = Photonen = masselose Bosonen (s = 1) ⇒ relativistisch!

I Wir können dennoch unseren nicht-relativistischen Formalismus verwenden,wenn wir einige Besonderheiten akzeptieren, die sich nur in einerrelativistischen Theorie erklären lassen:

16.07.2013 | Michael Buballa | 4

7.5 Schwarzkörperstrahlung

1. relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

E2 = m2c4 + ~p 2c2 m=0⇒ E = pc

2. Wellenbeschreibung (wie im nicht-relativistischen Fall):

E = ~ω~p = ~~k

}1.⇒ k = ω

c

3. Photonen sind transversal polarisiert:

s = 1, aber nur m = ±1 erlaubt, keine Photonen mit m = 0

4. Photonen können erzeugt oder absorbiert werden.

⇒ NPhoton ist nicht konstant ⇒ α = 0 ⇒ µ = 0

16.07.2013 | Michael Buballa | 5

7.5 Schwarzkörperstrahlung

1. relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

E2 = m2c4 + ~p 2c2 m=0⇒ E = pc

2. Wellenbeschreibung (wie im nicht-relativistischen Fall):

E = ~ω~p = ~~k

}1.⇒ k = ω

c

3. Photonen sind transversal polarisiert:

s = 1, aber nur m = ±1 erlaubt, keine Photonen mit m = 0

4. Photonen können erzeugt oder absorbiert werden.

⇒ NPhoton ist nicht konstant ⇒ α = 0 ⇒ µ = 0

16.07.2013 | Michael Buballa | 5

7.5 Schwarzkörperstrahlung

1. relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

E2 = m2c4 + ~p 2c2 m=0⇒ E = pc

2. Wellenbeschreibung (wie im nicht-relativistischen Fall):

E = ~ω~p = ~~k

}1.⇒ k = ω

c

3. Photonen sind transversal polarisiert:

s = 1, aber nur m = ±1 erlaubt, keine Photonen mit m = 0

4. Photonen können erzeugt oder absorbiert werden.

⇒ NPhoton ist nicht konstant ⇒ α = 0 ⇒ µ = 0

16.07.2013 | Michael Buballa | 5

7.5 Schwarzkörperstrahlung

1. relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

E2 = m2c4 + ~p 2c2 m=0⇒ E = pc

2. Wellenbeschreibung (wie im nicht-relativistischen Fall):

E = ~ω~p = ~~k

}1.⇒ k = ω

c

3. Photonen sind transversal polarisiert:

s = 1, aber nur m = ±1 erlaubt, keine Photonen mit m = 0

4. Photonen können erzeugt oder absorbiert werden.

⇒ NPhoton ist nicht konstant ⇒ α = 0 ⇒ µ = 0

16.07.2013 | Michael Buballa | 5

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk

e~ω/kB T−1

I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V

π2c3 ω2 dω

I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3

∞∫0

dω ω2

e~ω/kB T−1

I Gesamtenergie: E = Vπ2c3

∞∫0

dω ~ω3

e~ω/kB T−1

I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3

∞∫0

dν hν3

ehν/kB T−1≡ V

∞∫0

dν ρ(ν)

I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):

ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz

16.07.2013 | Michael Buballa | 6

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk

e~ω/kB T−1

I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V

π2c3 ω2 dω

I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3

∞∫0

dω ω2

e~ω/kB T−1

I Gesamtenergie: E = Vπ2c3

∞∫0

dω ~ω3

e~ω/kB T−1

I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3

∞∫0

dν hν3

ehν/kB T−1≡ V

∞∫0

dν ρ(ν)

I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):

ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz

16.07.2013 | Michael Buballa | 6

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk

e~ω/kB T−1

I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V

π2c3 ω2 dω

I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3

∞∫0

dω ω2

e~ω/kB T−1

I Gesamtenergie: E = Vπ2c3

∞∫0

dω ~ω3

e~ω/kB T−1

I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3

∞∫0

dν hν3

ehν/kB T−1≡ V

∞∫0

dν ρ(ν)

I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):

ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz

16.07.2013 | Michael Buballa | 6

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk

e~ω/kB T−1

I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V

π2c3 ω2 dω

I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3

∞∫0

dω ω2

e~ω/kB T−1

I Gesamtenergie: E = Vπ2c3

∞∫0

dω ~ω3

e~ω/kB T−1

I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3

∞∫0

dν hν3

ehν/kB T−1≡ V

∞∫0

dν ρ(ν)

I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):

ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz

16.07.2013 | Michael Buballa | 6

7.5 Schwarzkörperstrahlung

I Zahl der Photonen mit Energie Ek = ~ω: Nω = dkeβEk−1 = dk

e~ω/kB T−1

I Entartungsfaktor: dk = 2 V2π2 k2 dk = V

π2c3 ω2 dω

I Gesamtzahl der Photonen: N = Vπ2c3

∞∫0

dω ω2

e~ω/kB T−1

I Gesamtenergie: E = Vπ2c3

∞∫0

dω ~ω3

e~ω/kB T−1

I ω = 2πν , ~ω = hν ⇒ E = 8πVc3

∞∫0

dν hν3

ehν/kB T−1≡ V

∞∫0

dν ρ(ν)

I differenzielle Energiedichte (= Energie pro Volumen und Frequenzintervall):

ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1Planck’sches Strahlungsgesetz

16.07.2013 | Michael Buballa | 6

Planck’sches Strahlungsgesetz

I Energiedichte pro Frequenzintervall dν: ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1

I sichtbarer Bereich: (4–8) 1014 Hz

16.07.2013 | Michael Buballa | 7

Planck’sches Strahlungsgesetz

I Energiedichte pro Frequenzintervall dν: ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10

ρ(ν

) [1

0-1

5 J

/(m

3 H

z)]

ν [1014

Hz]

T = 2000 K

I sichtbarer Bereich: (4–8) 1014 Hz

16.07.2013 | Michael Buballa | 7

Planck’sches Strahlungsgesetz

I Energiedichte pro Frequenzintervall dν: ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10

ρ(ν

) [1

0-1

5 J

/(m

3 H

z)]

ν [1014

Hz]

T = 4000 K

I sichtbarer Bereich: (4–8) 1014 Hz

16.07.2013 | Michael Buballa | 7

Planck’sches Strahlungsgesetz

I Energiedichte pro Frequenzintervall dν: ρ(ν) = 8πhν3

c31

ehν/kB T−1

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10

ρ(ν

) [1

0-1

5 J

/(m

3 H

z)]

ν [1014

Hz]

T = 6000 K

I sichtbarer Bereich: (4–8) 1014 Hz

16.07.2013 | Michael Buballa | 7