Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

EXTRA UPPGIFTSSAMLING (ADDITIONAL EXERCISES)

FÖRELÄSNINGAR 2-6: Electric field intensity E, Electric potential V, Gauss law, Capacitance, Dielectrics AD4.1 Calculate electric field E=E(r) for an infinite line of charge of the density λ. AD4.2 En metallisk sfär med radie R1 laddas upp men en laddning Q1. På ett avstånd L>>R1, R2 befinner sig en oladdad metallsfär med radie R2. Metallsfärerna kopplas ihop med en ledande tråd av försumbar tjocklek varpå laddning omfördelas mellan sfärerna tills att jämnvikt uppstår.

(a) Vilken laddning har metallsfär 1 respektive metallsfär 2 när jämnvikt uppnåtts? (Tips: sfärerna har samma potential).

(b) Bestäm E-fältet på ytan av metallsfär 1 respektive metallsfär 2.

AD4.4 Sketch lines of E for a field that is impossible (Hint: Electric field is conservative, ∫ = 0ldE

rr.

Try thus to construct such a field that does not satisfy this condition).

a bx

y

z),0,0( z

AD4.3 En plan ring enligt figuren har en uniform ytladdningstäthet ρ. Ringer befinner sig i x-y planet (ringens centrum sammanfaller med z-axeln) och har en inre radien a och yttre radie b. (a) Härled ett uttryck för elektriska fältet E(z) i punkten (0,0,z). (b) Härled ett uttryck för potentialen V(z) i punkten (0,0,z). (c) Härled ett uttryck för elektriska fältet E(z) i punkten (0,0,z) genom att använda sambandet VE ∇= .

L1R

2R

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD4.7 AD4.7 a) Two capacitors are connected in series as in figure below. Calculate the ratio of the stored energies. b) Calculate this ration for capacitors connected in parallel as in figure (b).

AD4.5 Two charges +Q and –Q are separated by a distance a and are at a distance b from a large conducting sheet as in figure below. Find the x- and y-components of the force exerted on the left-hand charge.

a

bQ+ Q−

1d2d1ε

2ε

Q+ Q−Q− Q+

1C 2C

V(a)

2Q+

V1C

2C

1Q+

2Q−

1Q−(b)

AD4.8 Tre identiska kvadratiska metallplattor är staplade på varandra men separerade med pappersark, se figur. Metallplattorna har sidlängden L = 0.120 m och tjocklek d = 1.5 mm. Pappersarken har tjocklek t = 0.45 mm och en relativ dielektricitetskonstant εr = 4.2. Den inre metallplattan är kopplad till kontakt A och de yttre plattorna är sammankopplade till kontakt B, se figur. Vad är kapacitansen mellan kontakterna A och B?

B A

AD4.6 Calculate the capacitance of a parallel plate capacitor of the area A with two dielectric layers of the width d1 and d2 and the dielectric constants ε1 and ε2 respectively.

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD4.10 Two capacitors of capacitance C1 and C2 carry charges Q1 and Q2 respectively. Calculate the amount of energy dissipated when they are connected in parallel.

AD4.11 En dielektrisk sfär ligger i centrum av ett sfäriskt metallskal, se bilden. Sfären är laddat med +Q, där laddningen är fördelad uniformt över sfären. Skalet har laddningen –3Q.

a) Hur distribueras laddningen i metallskalet? (Tips: använd Gauss lag). b) Beräkna E-fältet och rita grafen E = E(r).

arε

Q+

bc

Q3−

metallskal

dielektrisk sfär

AD4.9 Två kondensatorplattor med bredd d och längd L har en kapacitans C0, se figur. De laddas upp så att potentialskillnaden blir V0, varefter spänningsaggregatet kopplas bort. En skiva med bredd d, relativ dielektricitetskonstant εr och samma tjocklek som avståndet mellan kondensatorplattorna förs in halvvägs i kondensatorn. (a) Visa att 21 σεσ r= , där 21,σσ ytladdningstäthet i område 1 respektive 2, se figuren nedan (tips: använd gränsvilkoret för E). (b) Vad är kapacitansen C?

L

d L/2 L/2

εr

1 2

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD4.12

AD4.13 Två små kulor, vardera med massa m och laddning q, är upphänga i var sin tunn tråd med längd l. Trådarna är fästade i samma punkt. Härled ett uttryck för vinkeln α mellan trådarna, förutsatt att α är liten (d.v.s. sinα ~ α). AD4.14 En tunn metalltråd har böjts till en ring med radie a. Ringen har tillförts en laddning +Q som är jämnt fördelad över tråden. Ringen ligger i x-y-planet med centrum i origo. Beräkna E-fältet längst z-axeln genom att först beräkna potentialen V och därefter fältet E. AD4.15 En laddning Q har fördelats jämnt längs en tråd med längd l. Beräkna E-fältet i fältpunkten x, se nedan

AD4.16 Ibland talar man om en metallytans kapacitans utan att specificera den andra ytan. Då brukar man underförstå att den andra metallytan är en sfär med obegränsat stor radie – kapacitans till oändligheten är vad man menar.

(a) Beräkna ett analytiskt uttryck för en metallkulas kapacitans till oändligheten. Kulans radie är a.

(b) Beräkna storleksordningen hos människans kapacitans, genom att anta att hon, i elektrostatiskt hänseende, kan approximeras med en metallsfär med radie 0.5 m.

0 l x x

Använd randvillkoren för E, D, för att härleda följande brytningslag för E-fältet,

,2

12tan1tan

r

rεε

θθ

=

i gränsskikt mellan två dielektriska material (se figuren).

1θ

2θ

1E

2E

1rε

2rε

z

x

y

a

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD4.17

AD4.18 (a)Consider a single point charge +Q. Draw schematically electric field lines and equipotential surfaces. Repeat the same for a charge -Q. (b) Consider two point charges of the opposite polarity separated by the distance a. Draw schematically electric field lines and equipotential surfaces. (Hint: use superposition principle and draw E-vectors in several representative points in the space). AD4.19 Using the gauss law find analytically the electric field and potential distribution for an infinite cylinder of radius R filled with uniform charge density ρ (choose r = R as a reference point for the potential). AD4.20 Calculate analytically the electric field and potential both inside and outside the sphere of radius R whose charge distribution ρ(r) is given by the following functional form (choose r = R as a reference point for the potential).

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD4.21 En smal tråd har belagts med en konstant läddningstäthet ρ, se figuren nedan.

(a) Beräkna det elektriska fältet E i punkten P. (b) Uttrycket i (a)-uppgiften förenklas betydlig om vi antar att a >> R0, b >> R0 (d.v.s.

tråden kan betraktas som oändlig lång). Beräkna detta gränsvärde genom att låta a och b gå mot oändligheten.

(c) Lös deluppgift (b) med hjälp av Gauss sats

-b a

P

R0

R

z

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

FÖRELÄSNINGAR 6-7: Direct currents, Ohm’s law, Kirchhoff’s law, Joule law. AD5.1 Rank conductors according to the current through them (A is the area). AD5.2 The resistivity of a wire segment of length l and cross-sectional area S varies along its length according to ( )lxx += 10)( ρρ . Determine the wire segment resistance and Joule’s losses AD5.3 Show that the electric field is uniform in the case of both inhomogeneous conductors in the figure below (Hint: boundary conditions). Find the resistance per unit length of these conductors, the ratio of currents in the two layers, and the ratio of Joule’s losses in the two layers. AD5.4 En cylinderkondensator består av två koaxiella metallcylindrar. Den inre har radien a och den yttre radien b. Längden L på cylinderkondensatorn är stor i jämnförelse med a och b. Mellanrummet mellan metallcylindrarna består av ett dielektriskt material med relativ dielektricitetskonstant εr. Däremot så varierar materialets ledningsförmåga med R (avståndet till metallcylindrarnas gemensamma längdaxel) så att σ = σ0/(1 + αR), σ0 och α är konstanter. Härled ett uttryck för hur resistansen mellan metallcylinderytorna beror av de givna storheterna. AD5.5 Beräkna resistansen för en sfärisk kondensator. Metallsfärernas radier är a resp b, a < b, ledningsförmågan σ och relativa dielektricitetskonstanten εr.

A2

L

A

L5.1 2L 20L

A A

(a) cooper (d) graphite (c) cooper (b) cooper

Ib

c

a1σ2σ

I

a2

b2

1σ2σ

(a) (b)

b

a

L

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD5.6 På högspänningsstolpar står ofta ”GÅ EJ NÄRA NEDFALLEN LEDNING” Skälet är givetvis att vi, om ledningen fortfarande är strömförande, får ett spänningsfall i marken kring ledaren. Vi gör en approximativ beräkning av detta spänningsfall. Antag att ledningen har kontakt med marken längs en sträcka av 20 meter. Det är fråga om likspänningsledning. Den totala ström som lämnar ledningen via marken är 20 A. I ledarens närhet är det rimligt att anta att strömtätheten är riktad radiellt ut från ledaren. Vi antar alltså cylindersymmetri i den halva av rummet som utgörs av jord. Jordens ledningsförmåga sätts till 1.0×10-3(Ωm)-1

Hur stor blir potentialskillnaden mellan två punkter på avståndet 0.5 resp 1.5 meter från ledaren? FÖRELÄSNINGAR 7-8: Biot-Savart law, Ampère law AD6.1 En cirkulär slinga med radien R för strömmen I i moturs riktningen. Bestäm B i slingans centrum. AD6.2 Solve problem 6.4 (current through a thin metallic slab) by dividing the slab into narrow strips of the width dx. Apply then the Ampere law to each of these strips and sum up all of the contributions to obtain the total field B. FÖRELÄSNINGAR 9-10: Faraday law, Lentz law, Inductance AD7.1 Ett sätt att generera likström är att i ett magnetfält (mekaniskt) rotera en skiva av något ledande material, se figur. Skivan roterar i xy-planet och magnetfältet B är riktat i positiv z-led. Skivan är uniform och av radien r. En extern krets kan sedan kopplas till de två 'glidande' kontakterna (svarta kuber i figuren). Antag att r = 0.15 m, B = 0.50 T och ω = 100π rad/s. Vad blir den inducerade spänningen mellan centrum och ytterkanten av skivan?

I

a2

dx

ω

Resistans (extern krets)

ω

r

z

x

y

B

B

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD7.2 En lång tunn platt ledande platta med bredd b är parallell med en lång tunn ledande tråd. Närmsta kanten av plattan befinner sig på ett avstånd a ifrån tråden, se figur. Såväl tråd som platta har en ström I genom sig i samma riktning. Strömmarna är uniformt fördelade i plattan (och tråden). När strömmarna går genom föremålen påverkar de varandra med en kraft. Vad är kraften per längdenhet (N/m) mellan de två föremålen? (Tips: Ni kan använda att F = Idl×B, där dl är längd (ström)riktning av ett föremål som leder ström). AD7.3 En koppartråd är böjd i en rektangelslinga och kopplad till en 6V glödlampa enligt figur. (Antag att R = 0Ω i tråden). Långsidan på rektangeln är 3.0m, kortsidan är 1.0 m. Slingan befinner sig i ett magnetfält B = 2 T som pekar in i figuren (papperet), ortogonalt mot rektangelns plan. B-fältet minskas sedan konstant ner till noll under en tid t0. Vad är det (största) t0 vi kan välja för att lampan skall lysa med full styrka under förloppet? AD7.4 En aluminiumtråd, som är böjd till en kvadrat, släpps ovanför luftgapet till en magnet, se figur. Tråden faller lodrätt utan att vrida sig. En kort tid efter det att kvadratens nedre sida hunnit in i området med magnetfält blir fallhastigheten kraftig reducerad för att sedan vara nära konstant. Då trådens övre del hunnit in i magnetfältet börjar hastigheten att öka.

(a) Förklara den här effekten (Tips 1: betrakta krafter på tråden. Tips 2 (ett annat sätt att lösa problemet): vart skall kinetisk energi ta väg?)

(b) Vad kommer att hända när kvadratens nedre sida når området utanför magneten? (c) Vad blir det för riktning för den inducerade strömmen när tråden är i övre delen?,

i nedre delen?

I

I

a

b

X X X X X X X X X X X X

X X X X X XX X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

N S

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD7.5 A bar magnet is pulled at a constant velocity along the axis of a conducting loop as shown in the figures. Use Lentz’s rule to determine the direction of induced current.

FÖRELÄSNINGAR 9-10: Magnetic materials, Electromagnetic waves, Poyting vector AD8.1 (Dielectric and magnetic materials compared)

a) Imagine a parallel plate capacitor whose plates are charged and insulated. How are E and D affected by the introduction of a dielectric between the plates?

b) Show a dipole oriented in the field. c) How does the energy of the capacitor change when the

dielectric is introduced into the capacitor?

d) Now imagine a long solenoid carrying a fixed current. How are B and H affected by the introduction of a cylinder of ferromagnetic material inside the solenoid, increased?, decreased?

e) Show a small current loop representing the magnetic dipole moment of an atom, and show the direction of the current on the loop.

f) How does the energy of the solenoid change when the magnetic material is introduced into the solenoid, increased?, decreased?

S

N v

(a)

S

N v

(b)

N

S v

(c)

N

S v

(d)

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD8.2 A wire of radius a has a resistance of ρ ohms per meter. It carries a current I. Show that the Poynting vector at the surface is directed inward and that it gives the correct Joule power loss of ρ2IP = watts per meter. ___________________________________________________________________________

FACIT

AD4.1: 02 επ

λr

E =

AD4.2: (a) ;,21

12'2

21

11'1 RR

RQQRR

RQQ+

=+

=

(b) )(4

)(,)(4

)(2120

122

2110

111 RRR

QRERRR

QRE+

=+

=πεπε

AD4.3: ( )2222

02),0,0( zazbzV +−+=

ερ ;

AD4.4: tänk innan du tittar i facit!

AD4.5: ,4

sin4

14

1,4

cos14

1222

02220

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

babF

baaF yx

απε

απε

där ab2tan =α .

AD4.6:

2

2

1

1

0

dd

ACrr εε

ε

+= .

AD4.7: (a) 1

2

2

1

CC

WW

= , (b) 2

1

2

1

CC

WW

= .

AD4.8: 90

2 1038.22 −⋅== rAB Lt

C εε F.

AD4.9: ( ).12

0 += rC

C ε

AD4.10: ( )

.21

21

21

221

2

22

1

21

CCQQ

CQ

CQW

++

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=Δ

AD4.11:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−<<<<

<

×==

crrcrb

brararar

QrErrErE

,/2,0

,/1;,/

4)(,ˆ)()(

2

2

3

0πεr

AD4.13:3/1

20

2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

mglq

πεα

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD4.14: E = ( ) 2/32204 az

zQ

+πε z

AD4.15: E = ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

− lxlxlQ 11

4 0πε x

AD4.16: (a) aC 04πε= , (b) FC 11105 −⋅= AD4.19

AD4.20 AD4.21: (a)

;

4

;114

,

20

220

200

20

220

20

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−

+=

+=

Rbb

Raa

RE

RbRaE

REzEE

R

z

Rz

περ

περ

rrr

(b)

.2

,00R

EREE RR περ

==rr

AD5.1: (a),(c) → (b) → (d)

AD5.2: .,23 20 RIP

slR ==

ρ

AD5.3: (a) ,1

2

1

2

σσ

cb

PP

= (b) .11

22

1

2

σσ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=ba

PP

AD5.4: ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= ab

ab

LR α

πσln

21

0.

AD5.5: ababR

πσ4−

=

AD5.6: 1

2lnRR

lIV

σπ= =350 V.

AD6.1: aIB

20μ= .

Ellära och elektromagnetism TNE056 (januari 2009) ADDITIONAL EXERCISES

AD6.2: 3ln4

0

aIB

πμ

= .

AD7.1: 77.12

2==

BrV ω V.

AD7.2: .1ln2

20 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ab

bI

Fπ

μ

AD7.3: =0t 1s. AD7.5: (a) counterclockwise, (b) clockwise, (c) clockwise, (d) counterclockwise.