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Exemplos de aplicação das leis de Newton e

Conservação da Energia

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O Plano inclinado Vimos que a força resultante sobre o bloco é dada por .

Portanto, a aceleração experimentada pelo bloco é dada por (em módulo):

𝐅𝑟 = mg sin 𝛼 𝐢

m

P

N

α

F𝑟 = mg sin 𝛼 = 𝑚𝑎

𝑎 = 𝑔𝑠𝑒𝑛α

Podemos calcular a velocidade, usando a equação do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado:

2 2

0 2

2 sen

v v ad

v g d

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O plano inclinado Contudo, podemos expressar o seno do ângulo α em função do comprimento do plano inclinado e de sua altura:

senh

d

Logo:

2 sen 2

2

hv g d g d

d

v gh

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Energia potencial gravitacional Considere uma partícula que é elevada do solo até uma altura h perto da superfície da Terra:

Terra

h

P

Para que ele suba, um agente externo tem que agir sobre ele. A essa ação do agente externo chamamos de Trabalho. Considerando que o corpo sobe com velocidade constante:

F

mg F P j

O trabalho, W, neste caso, é simplesmente o produto do módulo da força pela distância percorrida sob a ação desta força:

W mgh

Este trabalho fica armazenado na forma de energia potencial do sistema partícula – Terra:

pgW E mgh

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Energia Total

A Energia Total do sistema é a soma das formas cinéticas mais potenciais. No caso de uma partícula sobre a qual atua apenas a força gravitacional:

21

2E mv mgh

Parte cinética Parte potencial

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Teorema da Conservação da Energia

A energia total de um sistema fechado é conservada.

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O plano inclinado – usando a conservação da energia Vamos agora usar a conservação da energia para calcular a velocidade do objeto quando este chega na base do plano inclinado, partindo do repouso.

Etapa 1 – Energia no topo do plano inclinado

Neste ponto, o objeto somente tem energia potencial:

i c p pE E E E mgh

Etapa 2 – Energia na base do plano inclinado

Na base do plano inclinado, o objeto possui apenas energia cinética, já que a energia potencial é nula neste ponto (h=0):

21

2f c p pE E E E mv

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O plano inclinado Como não temos atrito, a energia é conservada: a energia no topo do plano inclinado deve ser igual à energia na base do plano inclinado:

212

2f iE E mv mgh v gh

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Máquina de Atwood

28,0 kg

15,0 kg

Qual o valor da aceleração do sistema e das tensões?

R. Sobre a massa de 15 kg temos duas forças agindo: a força peso, para baixo e a tensão na corda, para cima:

T1

P1

1 1 1 1 1 1 (I)rF T P T m g m a

Sobre a massa de 28,0 kg também temos duas forças agindo:

T2

P2

2 2 2 2 2 2 (II)rF P T m g T m a

Observe que as duas tensões formam um par de ação e reação: |T1|= |T2|

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Máquina de Atwood Logo, podemos escrever:

1 1

2 1 1 2

2 2

22 1

2 1

2

28,0kg 15,0kg9,81m/s

28,0kg 15,0kg

2,97m/s

T m g m am g m g m a m a

m g T m a

m ma g a

m m

a

A tensão na corda será dada por:

1 1

2 11 1

2 1

2 1 2 1 2 11 1

2 1 2 1

21 2

2 1

1

15kg 28kg2 2 9,81m/s

15kg 28kg

191,64N

T m g m a

m mT m g m g

m m

m m m m m mT m g m g

m m m m

m mT g T

m m

T

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Diagrama de energia potencial Ep

x x1 x2 x3 x4 x5

E1

E2

Pontos de equilíbrio estável

Pontos de equilíbrio instável

E3

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Diagrama de Energia

x x1 x2 x3 x4 x5

00

E1

E2

E1 E2

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Altura máxima de um projétil

Queremos determinar a altura máxima que um projétil pode alcançar em função do ângulo de lançamento.

v0

α h

Vamos usar a conservação da energia, supondo que não exista atrito com o ar. Dois pontos devem ser observados;

1) No ponto mais alto da trajetória a velocidade na direção vertical é nula;

2) A velocidade na direção horizontal é constante.

v

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Altura máxima de um projétil Este é um problema que envolve as duas dimensões, x e y.

Inicialmente o objeto possui somente energia cinética (definimos o zero de potencial nesta posição). Logo, a energia total será dada por:

2 2 2

0 0 0 0

1 1

2 2x yE mv m v v

No ponto mais alto da trajetória, temos que a energia total será dada por:

2 2 21 1

2 2x yE mv m v v mgh

Como não temos atrito, estas duas quantidades devem ser iguais:

2 2 2 2

0 0 0

1 1

2 2x y x yE E m v v m v v mgh

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Altura máxima de um projétil Usaremos agora as duas condições anunciadas antes:

0

0

x x

y

v v

v

Logo:

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

2 2 202 0

0

2 2

sen2

2 2

x y x y x y x

y

y

v v v v gh v v v gh

v vv gh h h

g g

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Energia potencial elástica

F F

F kx

Posição de máxima compressão

Posição de máxima elongação

Posição de equilíbrio

X=0 X

A energia potencial elástica é dada por:

21

2pE kx

Constante elástica da mola

A distância em relação à posição de equilíbrio de chamada de elongação.

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F

Um exemplo de energia potencial elástica Uma força de 800 N estica certa mola até uma distância de 0,2 m. Qual é a energia potencial da mola quando ela está esticada 0,2 m? Qual a energia potencial da mola quando ela está comprimida de 5,0 cm?

X=0

0,2 m

a)

Para que possamos calcular a energia potencial, precisamos saber qual é a constante k da mola. Para isso, vamos usar que a força aplicada é igual à força restauradora no equilíbrio:

800N4000N/m

0,2m

FF kx k

x

Logo: 2 2 21 1 N

4000 (0,2) m2 2 m

80 J

p

p

E kx

E

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Um exemplo de energia potencial elástica

F

X=0

0,05 m

b) Podemos calcular diretamente a energia potencial:

2 21 1 N4000 ( 0,05)

2 2 m

5 J

p

p

E kx

E