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MODULO 2ESTRUCTURA DE TASAS DE INTERES

CLASE 3MODELOS DE ESTRUCTURAS DE

TASAS

Estructura de Tasas de InterésUn modelo paramétrico de la estructura de tasas de interés se puede representar como:

( ) ( ; )R T R T θ=donde es un vector de parámetrosθ

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Estructura de Tasas de InterésBásicamente, en un modelo parámetrico la estructura de tasas R(T) se representa por una forma funcional que relaciona cada las tasas cero para cada plazoA diferencia de la tarea 1, se trata de encontrar una función suave que me permita calcular las tasas cero cupón

Modelos Paramétricos de TasasNelson y Siegel (1987)– Las tasas se representan por una suma de

exponencialesSvensson (1994)– Extiende la forma funcional de Nelson y

Siegel agregando nuevos términosDiament (1993)– Propone una forma funcional alternativa de

las tasas cero cupón

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ParsimoniousMain Entry: par·si·mo·nyFunction: nounEtymology: Middle English parcimony, from Latin parsimonia, from parsus, past participle of parcere to spare1 a : the quality of being careful with money or resources : THRIFT b : the quality or state of being stingy2 : economy in the use of means to an end; especially : economy of explanation in conformity with Occam's razor

La Navaja de OccamPluralitas non est ponenda sine neccesitate– La pluralidad no se debe postular sin necesidad

Entia non sunt multiplicanda praeternecessitatem– Las entidades no deben ser multiplicadas más allá

de lo necesarioLa navaja de Occam se puede repostular de la siguiente manera:– De 2 teorías o explicaciones en competencia, uno

debiera escoger la más simple (ceteris paribus)

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La Navaja de OccamLa versión de de Isaac Newton puede ser menos ambigua: – Uno no debiera admitir más causas de los

fenómenos naturales que las que son verdaderas y suficientes para explicarlos

También se aplica en finanzas y economía– Uno debiera tratar de explicar un fenómeno

económico con la teoría más simple– Por ejemplo, si 2 modelos de estructura de tasas

me explican los precios observados de la misma manera, debiera escoger el con menos parámetros

La Navaja de Occam

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Nelson y Siegel (1987)Después de ver lo que significa “parsimonioso”, se puede entender mejor lo que buscan Nelson y Siegel en su artículoBuscan representar de una manera simple una estructura de tasas compleja

Nelson y Siegel (1987)Buscan su solución en las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden a coeficientes constantes:

SoluciónEcuación

'' ( ) ' 0y a b y aby− + + =

( )2 2'' 2 ' 0y by a b y− + + =2'' 2 ' 0y ay a y− + =

1 2at bty c e c e= +

1 2cos( ) sin( )bt bty c e at c e at= +

( )1 2aty c c t e= +

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Nelson y Siegel (1987)

Supone que la tasa forward instantánea para T tiene la siguiente forma:

La tasa cero para un plazo T se obtiene:

1 10 1 2

1

( )T TTf T e eτ τβ β β

τ

− −

= + +

0 1 20

1( ) ( ) (1 ) ((1 ) )T T T T

R T f s ds e e eT T T

τ τ ττ τβ β β− − −

= = + − + − −∫

Nelson y Siegel (1987)

Se cumplen los siguientes límites matemáticos:

0 10lim ( )T

f T β β→

= + 0lim ( )T

f T β→∞

=

0 10lim ( )TR T β β

→= + 0lim ( )

TR T β

→∞=

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Nelson y Siegel (1987)Método de Nelson y Siegel

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0 5 10 15 20

Tasa

Tasa Forward Tasa Cero

Método de Nelson y Siegel

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0 5 10 15 20

Tasa

Tasa Forward Tasa Cero

Nelson y Siegel (1987)Método de Nelson y Siegel

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

0 5 10 15 20

Tasa

Tasa Forward Tasa Cero

1 Hump

8

Ejemplo

Ejemplo

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Svensson (1994)Supone que la tasa forward instantánea para un plazo T tiene la siguiente forma funcional:

La tasa cero para un plazo T es la siguiente:

1 1 20 1 2 3

1 2

( )T T TT Tf T e e eτ τ τβ β β β

τ τ

− − −

= + + +

1 1 1

2 2

1 10 1 2

23

( ) (1 ) ((1 ) )

((1 ) )

T T T

T T

R T e e eT T

e eT

τ τ τ

τ τ

τ τβ β β

τβ

− − −

− −

= + − + − −

+ − −

TérminoAdicional

TérminoAdicional

Svensson (1994)Ventajas de Svensson:– Más flexibilidad para ajustarse a estructuras de

tasas complicadas– Tiene la posibilidad de tener 2 “montes” o “jorobas”

(humps)Desventajas– Es más inestable numéricamente– La volatilidad de las tasas cero puede estar muy

perturbada por errores de medición o falta de datos

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Svensson (1994)

Método de Svensson

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0 5 10 15 20

Tasa

Tasa Forward Tasa Cero

2 Humps

Método de SplinesBásicamente, es aproximar una función con pedazos de polinomios que cumplen ciertas condiciones de suavidadLa función obtenida debe ser continua, y diferenciable en primer y segundo orden (splines cúbicos)Es principalmente un método de interpolaciónNo permite deducir la estructura de tasas para los vencimientos que no se tienen transacciones

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Método de SplinesPor ejemplo, un spline simple es el estudiado en el tarea 1– Curva cero constante por tramos– Sin embargo, no es una función continua– La curva forward en los puntos de discontinuidad

es infinitaUno podría hacer una interpolación lineal en curva cero– Función continua– Sin embargo, no calzan las primeras derivadas, o

sea, la función no es diferenciable

Método de Splines

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Método de SplinesVentajas de utilizar Splines:– Mejor ajuste a los precios observados– Se puede mejorar el ajuste tanto como uno quiera

Desventajas– Es más inestable numéricamente que los métodos

parámetricos– No se puede realizar la extrapolación de tasas

fuera del intervalo para el cual se tienen precios– Las curvas forward pueden no tener una

interpretación económica sustentable

Método de Splines

La estabilidad del método se puede mejorar si se penaliza la curvaturaTrade-off entre ajuste y suavidad– Smoothing Splines

Se tiene que minimizar la siguiente función objetivo:

2 2 ( ( )) ( ''( ))Min y f x f x dxλ− + ∫

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Método de Splines

La pregunta es cómo elegir el parámetro¿Cuánta curvatura estoy dispuesto a aceptar como “normal”?

λ

Estructuras de TasasEl método de Nelson y Siegel se utiliza en países como Finlandia e Italia para calcular las estructuras de tasas.El método de Svensson se utiliza en muchos países que incluyen Canada, Alemania, Francia y el Reino Unido.El método de Splines se utiliza en Estados Unidos y Japón, entre otros.

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Estructuras de TasasEn general se puede analizar un método de ajuste de tasas de acuerdo a 3 dimensiones:– Estabilidad: Qué tan estable es el modelo frente a

la eliminación de ciertos datos y en el largo plazo– Suavidad: Qué tan suaves son las estructuras de

tasas, en particular las curvas de tasas forward– Ajuste: Qué tan bien se ajusta el modelo a los

datosDependiendo de la importancia de cada dimensión en la aplicación que se requiera la estructura de tasas se puede elegir entre uno u otro modelo

Estimación de Estructuras de Tasas

Curva cero

Tasas Teóricas

Tasas Mercado Comparación

¿Es bueno el ajuste?

Fin

Modelo

SI

Modificación Curva Cero

NO

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Estimación de Estructuras de Tasas

En general uno busca minimizar una función del tipo:

( )2

1( ) ( )

NObs Teoi i

iMSE Bono Bono

=

= −∑θ θ

donde es un vector de parámetros que se quieren estimar

θ

Estimación de Estructuras de Tasas

Si se minimiza el MSE en precio, se está dando una mayor importancia a los bonos de largo plazo que son más sensibles a los cambios de tasaUn bono de muy corto plazo casi no es sensible a un cambio de tasa, y por lo tanto aún cuando el error cometido en un bono de corto como de largo plazo sean similares, las diferencias de tasas pueden ser mucho mayores en el bono de corto plazo

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Estimación de Estructuras de Tasas

Si uno quiere ajustar las tasas de corto como las de largo plazo, entonces se puede minimizar el error en TIR:

( )2

1( ) ( )

NObs Teoi i

iMSE TIR TIR

=

= −∑θ θ

Estimación de Estructuras de Tasas

Sin embargo, la TIR de un bono puede ser computacionalmente costoso de calcular, en especial cuando se tiene que hacer muchas vecesEn tal caso, se puede utilizar la siguiente aproximación:

2

1

( )( )Obs TeoNi i

Obsi i i

Bono BonoMSEBono D=

−= ⋅ ∑ θθ

donde es la duración del bono i-ésimo.iD

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Mercado Chileno

Mercado Chileno

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Mercado Chileno

Mercado Chileno

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Mercado Chileno

Mercado Chileno

Pueden haber problemas con la volatilidad de las tasas de los modelos estáticos, en especial en el largo plazoSin embargo, estos modelos valorizan bastante bien los instrumentos observados