Tesis ProfesionalEspacios de Hilbert con nucleo reproductivo
1
♠ Espacios de Hilbert
‡Producto interior. Sea (H, •,+) un espacio vectorialsobre el campo F(= R o C), un producto interior sobreeste espacio, es una funcion 〈·, ·〉 : H×H→ F tal que
i) 〈λx + y, z〉 = λ〈x, y〉 + 〈y, z〉.ii) 〈x, y〉 = 〈y, x〉.
iii) 〈x, x〉 ≥ 0 y la igualdad se da, si y solo si x = 0.
‡Teorema. Todo producto interior induce una norma,cuya forma es
‖x‖ = (〈x, x〉)1/2. (1)
‡Espacio de Hilbert. Un espacio de Hilbert H sobreel campo F(= R o C) es un espacio vectorial (H, •,+)con producto interior definido 〈·, ·〉, cuya norma inducida(dada por (1)) es completa.
2
‡Propiedades. Si H es un espacio de Hilbert sobre F,entonces
i) Desigualdad de Cauchy-Schwartz
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.
ii) Ley del Paralelogramo
‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2).
iii) El producto interior es conjuntamente continuosobre el espacio de Hilbert H. Esto es, si xnn≥1
y ynn≥1, son sucesiones en H, tales que xn → x yyn → y, (en norma ‖ · ‖) con x, y en H, entonces〈xn, yn〉 → 〈x, y〉.
‡Un teorema importante. Sea (H, •,+) un espaciovectorial sobre F normado, entonces la norma ‖ · ‖ deeste espacio proviene de un producto interior si y solo sicumple la ley del paralelogramo.
‡Ortoganalidad y ortonormalidad. Sea H un espaciode Hilbert.
i) x⊥y ⇐⇒ 〈x, y〉 = 0.
ii) S1⊥S2 ⇐⇒ ∀ x ∈ S1 y ∀ y ∈ S2: 〈x, y〉 = 0.
3
‡Mas propiedades.
i) Teorema de Pitagoras.Sea x1, ..., xn un subconjunto ortogonal de H, en-tonces
‖n∑i=1
xi‖2 =
n∑i=1
‖xi‖2.
ii) Desigualdad de Bessel.Sea Λ un subconjunto ortonormal de vectores en H,entonces ∑
x∈Λ
|〈y, x〉〈z, x〉| ≤ ‖x‖‖z‖.
iii) Proyeccion.Sea S un subespacio cerrado de H. Para cada x ∈ Hexiste un unico elemento y0 ∈ S tal que
‖x− y0‖ = inf‖x− y‖ : y ∈ S.
El vector y0 ∈ S se conoce como la proyeccion de xsobre el subespacio S.
iv) Si S es un subespacio cerrado de un espacio de HilbertH, entonces para toda x ∈ H, existe una unicarepresentacion x = y + z, donde y ∈ S y z ∈ S⊥.Esta representacion unica esta dada por y = PS(x)(proyeccion de x sobre S) y z = x − y. En otraspalabras, H = S⊕ S⊥.
4
v) Si S es un subespacio cerrado de un espacio de HilbertH, entonces (S⊥)⊥ = S⊥⊥ = S.
♠ Teorema de Representacion de Riesz
‡Funcionales.Un mapeo f : H→ F se denomina funcional (H espaciode Hilbert). Una funcional f es lineal si f (αx + y) =αf (x)+f (y). Es continua en x ∈ H si para toda ε > 0existe δx(ε) > 0 tal que si ‖x − x′‖ < δx(ε) entonces|f (x) − f (x′)| < ε; y decimos que f es continua si f escontinua en cada punto x de H
‡Teorema de Representacion de Riesz. Si f es unafuncional lineal continua sobre H, entonces existe un unicovector y ∈ H tal que f (x) = 〈x, y〉, para toda x ∈ H.
5
♠ Nucleo Reproductivo
‡Ejemplo.Sea In = 1, 2, ..., n. Para un vector x = (x1, ..., x2) ∈Rn podemos definir una funcion (manteniendo la notacion)x : Tn → R tal que x(i) = xi, para toda i ∈ In. Sea H2
n
el espacio de todas estas funciones (obs: H2n es equivalente
a Rn). En H2n introducimos el producto punto habitual
en Rn, esto es, si x(i) = xi y y(i) = yi para x, y ∈ H2n,
entonces,〈x, y〉 =
n∑i=1
xiyi.
El espacio H2n es un espacio de Hilbert.
Ahora bien, si Kn : In × In → Rn tal que
Kn(i, j) = δij.
Entonces
i) Kn(·, j) ∈ H2n, para cada j ∈ In, y
ii) Si x ∈ H2n, tenemos que
〈x(·), Kn(·, j)〉 =
n∑i=1
x(i)δi,j
= x(j).
Decimos que K posee la propiedad reproductiva y lodenominamos nucleo reproductivo de la clase H2
n.
6
‡Nucleo reproductivo.Si E denota un conjunto y F un espacio de Hilbert sobreel campo F (complejo o real) de funciones f : E → F,entonces la funcion K : E × E → F, es llamada nucleoreproductivo (n.r.) de F si
i) Para toda y ∈ E, la funcion K(·, y) : E → F,pertenece a F (aquı usaremosKy en lugar deK(·, y)).
ii) Propiedad reproductiva: Para todo y ∈ E y todafuncion f ∈ F ,
f (y) = 〈f (·), K(·, y)〉(i.e. f (y) = 〈f,Ky〉).
‡Observacion.Si el nucleo K es real (esto es, si K(x, y) ∈ R para todox, y ∈ E), entonces K(x, y) = K(y, x), luego K(y, ·) ∈F , para todo x, y ∈ E. De tal suerte que la propiedadreproductiva tambien puede ser enunciada, en estos casos,con la expresion
f (y) = 〈f (·), K(y, ·)〉
para toda f ∈ F y toda y ∈ E.
7
‡Ejemplo.Sea t > 0 y Ht la clase de trayectorias continuasq : [0, t] → R, tal que q(t) = 0 y q′(s) existe casidondequiera y es cuadrado integrable (en el sentido deRiemann). Consideremos el producto interior
〈q1, q2〉 =
∫ t
0
q′1(s)q′2(s)ds,
para cualesquiera q1 y q2 en Ht.La funcion K : [0, t]× [0, t]→ R dada por
K(s1, s2) = t−maxs1, s2define el nucleo reproductivo para Ht.
En efecto
i) Ks2 ∈ Ht para cada s2 ∈ [0, 1].
ii) Sea s2 ∈ [0, t], entonces
d
dsK(s, s2) =
0 si s < s2
−1 si s2 < s.
Luego
〈q,Ks2〉 =
∫ t
0
q′(s)d
dsK(s, s2)ds
= −∫ t
s2
q′(s)ds
= q(s2).
8
‡Propiedades del nucleo reproductivo.
i) Unicidad. Si F tiene nucleo reproductivo entonces esunico.
‖Ky −K ′y‖2 = 〈Ky −K ′y, Ky −K ′y〉 = 0.
ii) Existencia. F posee n. r. K, si y solo si, para caday ∈ E, la funcional f 7→ f (y) es continua sobre todoel espacio de Hilbert F .
⇒ ] Sea y ∈ E y f ∈ F ,
|f (y)| = |〈f (·), K(·, y)〉|≤ ‖f‖‖K(·, y)‖.
Pero
‖K(·, y)‖ = 〈K(·, y), K(·, y)〉12 = K(y, y)
12 .
De modo que
|f (y)| ≤ K(y, y)12‖f‖,
lo cual implica que f 7→ f (y) es continua.
⇐ ] Si f 7→ f (y) es continua, entonces segun elteorema de representacion de Riesz, existe K(·, y)∈ F tal que
f (y) = 〈f (·), K(·, y)〉,
por tanto, este es el nucleo buscado.
9
‡Ejemplo.Los espacios Lp no tienen nucleo reproductivo.
El espacioLp([0, 1],B([0, 1]), λ), p ≥ 1, (donde B([0, 1])es la σ-algebra de Borel sobre [0, 1] y λ es la medida deLebesgue en este intervalo) no tiene nucleo reproductivo.
En efecto, si definimos la funcion δ0(x) = δ0x entonces
i) ‖δ0‖p = 0, y ademas
ii) 1 = |δ0(0)|p ≥ 0 = M‖δ0‖p, para toda M > 0.
Podemos concluir que, en general, los espacios Lp notienen nucleo reproductivo.
10
‡Ejemplo.Sea D ⊆ C abierto. Sea H2
D la clase de todas lasfunciones f : D → C armonicas tales que∫
D
|f (z)|2 dx dy <∞, (z = x + iy).
El espacio H2D, con producto
〈f, g〉 =
∫ ∫D
f (z)g(z)dxdy, z = x + iy,
es un subespacio cerrado de L2D con nucleo reproductivo.
|f (z0)| ≤ 1
(πr)2
∫ ∫Dz0(r)
|f (z)|dxdy
=1
(πr)2‖f‖(πr2)
12
=1
π3/2r‖f‖,
La funcional f 7→ f (z0) es entonces acotada y por ellocontinua, luego, existe el nucleo K para H2
D.
11
‡Un teorema Importante.Sea F un espacio de Hilbert de funciones F con n. r.K, fnn≥1 una sucesion de Cauchy (respecto a la norma‖ · ‖) en F y la funcion lımite f en F de dicha sucesion.Entonces
i) La sucesion fnn≥1 converge puntualmente a f , esdecir, si y ∈ E entonces lim
n→∞fn(y) = f (y).
ii) Si en algun subconjunto de E1 de E, la funcion x 7→K(x, x) es uniformemente acotada, entoncesesta convergencia es uniforme.
iii) Supongamos que en E es posible definir un topologıa.Si la transformacion y 7→ Ky de E en F escontinua, entonces la convergencia tambienes uniforme en cualquier subconjunto compacto de E.
12
♠ Matrices Definidas Positivas ynucleos reproductivos
‡Caso finito.Sea E = y1, ..., yN. Una funcion K : E ×E → F, de-termina una transformacion matricial por la matriz K =[K(yi, yj)]i,j. Tomemos un vector ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξN) ∈FN , si la forma cuadratica
ξKξt =
N∑i,j=1
K(yi, yj)ξiξj,
es no negativa y es nula solo si ξj = 0, para toda j =1, 2, ..., N , entonces decimos que la funcion K es una ma-triz definida positiva.
‡Caso general.Para cualquier conjunto E, la funcion K : E × E → Fse denomina matriz definida positiva, si para cualquiernumero finito de elementos y1, y2,...,yn de E, la formacuadratica
n∑i,j=1
K(yi, yj)ξiξj,
con ξj ∈ F, j = 1, 2, ..., n, es no negativa, y es nula solosi ξj = 0, para toda j = 1, 2, ..., n.
13
‡Un nucleo reproductivo es una matrizdefinida positiva.
0 ≤ ‖n∑j=1
K(·, yj)ξj‖2 =
n∑i,j=1
K(yi, yj)ξiξj.
‡Construccion de nucleos reproductivos a partir dematrices definidas positivas.
Consideremos la matriz definida positiva
K =
(2 11 3
).
Definimos E = 1, 2, y K : E × E → R tal que
K(x, y) =
2 si x = 1 = y,
1 si x 6= y,
3 si x = 2 = y.
EntoncesK =
[K(x, y)
]x,y∈E.
De modo que K es una matriz definida positiva.
14
Introducimos:
1. La clase F0 de funciones f : E → R,
f (x) = α1K(x, 1) + α2K(x, 2), αi ∈ R.
2. El producto
〈f, g〉0 =(β1 β2
)(2 11 3
)(α1
α2
)=
2∑x,y=1
K(y, x)αxβy.
3. La norma
‖f‖20 =
(α1 α2
)(2 11 3
)(α1
α2
).
Entonces
•) K es el nucleo reproductivo de F0.
(a) K(x, y) = δ1yK(x, 1) + δ2yK(x, 2) ∈ F0
(b) (Propiedad reproductiva)
〈f (·), K(·, y)〉0 =(δ1y δ2y
)(2 11 3
)(α1
α2
)= δ1y
(α1K(1, 1) + α2K(1, 2)
)+
δ2y
(α1K(2, 1) + α2K(2, 2)
)= f (y)
15
• •) Si fnn≥1 sucesion de Cauchy en F0 entonces fn(y)n≥1,y ∈ E, es sucesion de Cauchy en R.
|fn(y)− fm(y)| = |〈fn − fm, Ky〉0|≤ ‖fn − fm‖0My.
Definimos f (y) = limn→∞
fn(y).
Introducimos ahora la clase F de funciones lımite(puntual) de sucesiones de Cauchy en F0.
Entonces F0 ⊂ F .Ademas
1. 〈f, g〉 = limn→∞〈fn, gn〉0 y ‖f‖ = lim
n→∞‖fn‖0,
definen un producto interior y una norma sobre F .
Si fn(y)→ f (y) y f ′n(y)→ f (y), entonces
|〈fn, gn〉0 − 〈f ′n, gn〉0| ≤ ‖fn − f ′n‖0M,
por lo tanto
limn→∞〈fn, gn〉0 = lim
n→∞〈f ′n, gn〉0
2. La clase F es un espacio de Hilbert y K es el nucleoreproductivo de F .
〈f,Ky〉 = limn→∞〈fn, Ky〉0
= limn→∞
fn(y)
= f (y).
16
El espacio F es denotado por H(K) y llamado espaciode Hilbert generado por el nucleo K.
‡Aplicacion probabilıstica.Sea un T un conjunto de ındices arbitrario, entoncesun proceso estocastico sobre el espacio de probabilidad(Ω,F ,P) es una sucesion X = Xtt∈T de variablesaleatorias (funciones F -medibles) definidas sobre dichoespacio. Ademas, si ω ∈ Ω llamamos trayectoria de Xen ω a la funcion X·(ω) : T → R.
Si Xt es cuadrado integrable para toda t ∈ T , entoncesla matriz (conocida como matriz de covarianzas de X)K : T × T → R cuyos elementos son los numeros
K(t, s) = σts =
∫Ω
(Xt − µt)(Xs − µs) dP,
donde µr =
∫ω
Xr dP (esperanza de Xr), r = t, s, es
definida positiva (ademas simetrica).Si T es finito, pero separable, entonces todas las trayec-
torias del procesoX pertenecen al espacioH(K). (Puestoque H(K) es el espacio euclıdeo finito dimensional). Esdecir
P[X ∈ H(K)] = 1
17
Si T es no finito, y si R : T × T → R es alguna otramatriz definida positiva, puede probarse entonces que,bajo ciertas condiciones,
P[X ∈ H(R)] = 1 o P[X ∈ H(R)] = 0,
segun si el numero
τ = supn∈N
tr(KnRn),
es finito o infinito, donde Kn y Rn son las restriccionesde K y R, respectivamente, al subconjunto t1, ..., tn2,y t1, ..., tn ⊂ T0 para toda n ∈ N, y T0 subconjuntodenso numerable de T
18
‡Otras implicaciones teoricas.
1. Si la clase F de funciones f : E → F tiene nucleoreproductivo K, y E1 ⊂ E, entonces la matrizK1 : E1×E1 → F (i.e. la restriccion de K a E1×E1)es tambien una matriz definida positiva.
Entonces H(K1) es la clase de funciones f1 : E1 → Ftal que existe f ∈ F cuya restriccion a E1 es f1.
2. Si K1 y K2 corresponden como nucleos reproductivosa las clases F1 y F2, entonces K = K1 + K2 es unamatriz positiva, y H(K) es la clase que reune lasfunciones f = f1 + f2 (fi ∈ Fi, i = 1, 2).
En este caso, la correspondencia inversa de latransformacion (f1, f2) 7→ f = f1 + f2, dada porf 7→ (g1(f ), g2(f )), permite conocer facilmente elproducto interior y la norma de la clase F , los cualesestan dadas por las expresiones
‖f‖2 = ‖g1(f )‖21 + ‖g2(f )‖2
2, y
〈f, h〉 = 〈g1(f ), g1(h)〉1 + 〈g2(f ), g2(h)〉2.
19
‡Otra observacion probabilıstica.Si H(K) ⊆ H(R), entonces
‖g‖R ≤ ‖g‖K, ∀g ∈ H(K).
Ademas existe un operadorL : H(R)→ H(K) simetrico,positivo y acotado tal que
〈f, g〉R = 〈Lf, g〉K, ∀f ∈ H(R), ∀g ∈ H(K),
y ademasLRt = Kt, ∀t ∈ T.
L es llamado operador dominante, y se dice que el nucleoR domina al nucleo K.
Es posible probar que, si H(R) es separable, entonces
τ = trL.
20
♠ Otros resultados
‡Un teorema importante.Si F es un espacio de Hilbert de funciones definidas sobreun conjunto E con nucleo K, y ψii∈I (I subconjuntode ındices) es una base de F , entonces para todo x, y enE
K(x, y) =∑i∈I
ψi(x)ψj(y).
‡Ejemplo.Sea Hn la clase de funciones x : 1, ..., n → R, talque para x(i) = xi, para algun vector (xi, ..., xn) de Rn.Sobre esta clase,
〈x, y〉 =
n∑j=1
j2xjyj,
define un producto interno. Entonces, las funciones ei(j) =1iδji, i = 1, ..., n, son una base para Hn. Luego, el nucleoes
K(i, j) =1
ijδij
para todo i, j ∈ 1, ..., n.En general, si H es el conjunto de sucesiones xi∞i=1
tal que∑
i i2x2
i <∞, y H es la correspondiente clase de
21
funciones x : N → R (x = (x1, ...) ∈ H) con productointerior
〈x, y〉 =
∞∑i=1
i2xiyi,
entonces las funciones ei(j) = 1iδij, i ≥ 1, son una base
de H , y el nucleo es
K(i, j) =1
ijδij,
para i, j ≥ 1.
Top Related