MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 7Elastisitas, Biaya Produksi dan Penerimaan, Maksimum dan Minimum Suatu FungsiI Komang Adi AswantaraUT Korea Fall 2013

ElastisitasElastisitas merupakan ukuran kepekaan jumlah permintaan terhadap perubahan faktor yang mempengaruhinya (harga).h = %Perubahan jumlah yang diminta % Perubahan harga barang tsb

ElastisitasApabila terjadi perubahan harga dari P0 menjadi P1, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q1.Persentase perubahan harga:P1 P0 . 100% P0Persentase perubahan jumlah barang:Q1 Q0 . 100% Q0

Elastisitasp = h = Q . P0 P Q0Dengan demikian, apabila diambil limit dari Q/P sehingga akan menjadi:p = h = dQ . P0 dP Q0

Jenis-jenis ElastisitasNilai elastisitas yang terkecil adalah 0 dan yang terbesar adalah .h > 1 permintaan elastish = 1 unitary elastis (elastisitas tunggal)h < 1 permintaan inelastis (tidak elastis)

Contoh SoalBila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan P = 50 2Q, berapakah elastisitas permintaannya pada harga (P) = 20?P = 50 2QdP = -2dQdQ = -1dP 2Bila P = 20, maka Q = 15 sehingga elastisitasnya:h= dQ . P0 dP Q0h= -1 . 20 2 15h= -2/3Dalam elastisitas tidak diperhatikan apakah nilainya negatif atau positif, sehingga apabila h = |-2/3| = 2/3 permintaan inelastis karena < 1

Biaya Produksi dan PenerimaanBiaya Produksi:Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) = TFC atau FC adalah jumlah biaya-biaya yang besarnya tetap, berapapun tingkat output yang dihasilkan.Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) = TVC atau VC adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan.Biaya Total (Total Cost) = TC adalah jumlah dari biaya tetap dan biaya variabel.TC = FC + VC

Biaya ProduksiBiaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost) = AFC adalah ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output.AFC = TFC / QBiaya Variabel Rata-Rata (Average Variable Cost) = AVC adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap unit output. AVC = TVC / Qdimana kurva AVC diturunkan dari kurva TVC.Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost) = ATC biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi.ATC = TC / QBiaya Marjinal (Marginal Cost) = MC tambahan biaya total karena ada tambahan biaya produksi 1 unit output.MC = dTC dQ-Jumlah output yang diproduksi pada saat AC atau MC minimum terjadi bila turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua bernilai lebih dari 1.

Contoh SoalBila kurva biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan: AC = 25 8Q + Q2, tentukan jumlah output yang diproduksi pada saat AC minimum.Turunan pertama AC = 0 -8 + 2Q = 0 Q = 4Turunan kedua AC = 2 AC > 1, sehingga pada Q = 4, maka AC minimum.

PenerimaanPenerimaan (revenue) adalah penerimaan produsen dari hasil penjualan outputnya.Penerimaan Total (Total Revenue) = TR penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. TR = P . QPenerimaan Rata-Rata (Average Revenue) = AR penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual. AR = TR / Q = PPenerimaan Marjinal (Marginal Revenue) = MR tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output.MR = dTR dQ

Jenis PasarPasar Persaingan Sempurna ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar.Pasar Monopoli ditandai dengan hanya ada satu penjual dalam pasar sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi sehingga produsen dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi.

Penerimaan dan ElastisitasKonsep penerimaan seringkali dihubungkan dengan konsep elastisitas. Sifat-sifatnya adalah:TR menaik selama elastisitas harga h dari kurva permintaan D lebih besar dari satu.TR mencapai maksimum pada saat elastisitas harga sama dengan satu.TR menurun pada daerah dimana kurva permintaan mempunyai elastisitas harga lebih kecil dari satu

Contoh SoalBila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = 20 0.4Q, berapkah penerimaan maksimum yang dapat diperoleh oleh produsen?TR = P . Q = (20 0.4Q) Q = 20Q 0.4Q2TR maksimum apabila turunan pertamanya = 0 dan turunan keduanya < 0TR = MR = 20 0.8Q = 0 Q = 25Turunan kedua = -0.8 < 0, sehingga pada Q = 25, penerimaan total maksimum sebesar 250.Pada Q = 25, TR = 250 maka P = 10

Maksimum dan Minimum Suatu FungsiTurunan PertamaTurunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mengetahui bagian fungsi yang menarik dan bagian yang menurun.Contoh: f(x) = 3x2 + 7, maka turunan pertama dari fungsi f(x) = f(x) = 6x, sehingga untuk semua nilai x > 0, f(x) merupakan fungsi yang menaik dan untuk setiap x < 0, f(x) merupakan fungsi yang menurun

Turunan PertamaFungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih kecil dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum lokal pada x = a, bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif.Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

Turunan PertamaSetiap fungsi f(x) dapat diselidiki apakah mempunyai titik-titik maksimum atau minimum dengan cara:Mencari nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Nilai x diperoleh dengan mencari akar persamaan f(x) = 0.Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar x. Bila akar dari persamaan f(x) = 0 adalah a, maka perubahan tanda f(x) dari (+) ke (-) menunjukkan titik maksimum lokal, dan apabila tanda f(x) berubah dari (-) ke (+) menunjukkan titik minimum lokal. Dan apabila tandanya tidak berubah pada x = a, maka tidak terdapat titik maksimum dan minimum lokal pada fungsi f(x).

Contoh SoalTentukan titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi y = 2x3 + 3x2 36x + 4.y = 6x2 + 6x 36 = 0 :6y = x2 + x 6 = 0(x + 3)(x 2) = 0x1 = -3 dan x2 = 2Untuk setiap x < -3 nilai y > 0 (+) dan untuk setiap -3

Turunan KeduaTurunan kedua dari suatu fungsi merupakan turunan dari turunan pertama suatu fungsi.Turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk menentukan bagian kurva yang lengkung ke atas dan bagian yang lengkung ke bawah.Jika untuk x = a, turunan kedua f(x) nilainya positif, maka y = f(x) merupakan fungsi yang menaik di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke atas. (d2y / dx2) > 0Jika untuk x = a, turunan kedua f(x) nilainya negatif, maka y = f(x) merupakan fungsi yang menurun di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke bawah.

Turunan KeduaTurunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau minimumBila f(x) dan f(x) kontinu pada x = a dan f(a) = 0, maka:Titik x = a maksimum bila f(a) < 0Titik x = a minimum bila f(a) > 0Tes tidak dapat dilakukan bila f(a) = 0

Contoh SoalTentukan titik maksimum dan minimum lokal dari y = 1/3 x3 2x2 5x +2y = x2 4x 5 = 0(x 5)(x + 1) = 0X1 = 5 dan x2 = -1Untuk x = -1 y < 0 maksimum pada x = -1Untuk x = 5 y > 0 minimum pada x = 5

Keuntungan ProdusenKeuntungan merupakan selisih antara seluruh penerimaan dan ongkos-ongkos yang harus dikeluarkan: = TR TCKeuntungan yang diperoleh akan maksimum apabiad = 0 dan d2 < 0dQ dQ2atauMR = MC dan dMR < dMC dQ dQUntuk memperoleh kerugian yang minimum maka P > AC.

Contoh SoalBila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh TR = 100Q 4Q2 dan biaya totalnya ditunjukkan oleh TC = 50 + 20Q, maka tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yang maksimum.= TR TC= 100Q 4Q2 50 20Q = 80Q 4Q2 50 akan maksimum bila:d/dQ = 0 80 8Q = 0 Q = 10d2/dQ2 < 0 -8 < 0 syarat terpenuhiAtauMR = MCMR = turunan TR = 100 -8QMC = turunan TC = 20100 8Q = 20 Q = 10dMR < dMC dQ dQ-8 < 0 syarat terpenuhi

Contoh Soal 2Biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh produsen ditunjukkan oleh persamaan AC = 1/3 Q2 25Q + 500 + 600/Q. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh bila harga barang per unitnya adalah P = 100?AC = 1/3 Q2 25Q + 500 + 600/QTC = AC . Q = 1/3 Q3 25Q2 + 500Q + 600MC = turunan dari TC = Q2 50Q + 500MR = P = 100Keuntungan maksimum didapat apabila:MR = MC 100 = Q2 50Q + 500Q2 50Q + 400 = 0(Q 10)(Q 40) = 0Q1 = 40 dan Q2 = 10dMR < dMC dQ dQuntuk Q = 40 dMR < dMCdQ dQuntuk Q = 10 dMR > dMC tidak memenuhi syaratdQ dQTR= 40 x 100 = 4000TC= 1/3 (40)3 25(40)2 + 500(40) + 600 = 1933 1/3= TR TC = 2066 2/3

Tugas 3Cari hasil dari:a.b. 2. Cari turunan pertama dari:a. y = x2 +2x-10b. y = (x+1)(x+2)c. y = 1/(x2 +5)d. y = log(2x+10)