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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
1. ESFUERZOS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
σ𝑣 =𝑁
𝑣
𝑎², σℎ =
𝑁ℎ
𝑎², τℎ =
𝑇ℎ
𝑎², τ𝑣 =
𝑇𝑣
𝑎²
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
Esfuerzo en el suelo = Peso del propio suelo + Acción de cargas exteriores
2. ESFUERZO EN EL SUELO
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
3. ESFUERZO GEOSTÁTICO
Caso habitual en el que el peso del suelo da lugar a un sistema de esfuerzos muy sencillo, cuando:
a) La superficie de terreno es horizontal, y,
b) El suelo varia muy poco en dirección horizontal.
Este caso se da en suelos sedimentarios; en donde los esfuerzos se denominan GEOSTATICOS.
γm1
γm3
γm2
γm4
h1
h3
h2
h4
Perfil Estratigráfico
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
3.1. ESFUERZO GEOSTÁTICO VERTICAL
γm1
γm3
γm2
γm4
z1
z2
z4
σv
σ𝑣 =𝑊
𝐴=
γ.𝑉
𝑉/𝑧= γ. 𝑧 = γ1.z1 + γ2.z2
z3
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
3.2. ESFUERZO GEOSTÁTICO HORIZONTAL
Coeficiente de esfuerzo lateral o presión lateral (K):
Cuando no se ha producido deformación
lateral en el terreno, se denomina
coeficiente de presión lateral en
reposo (Ko).
K =σ
ℎ
σ𝑣
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
4.0 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES EN MEDIO ELÁSTICO BAJO CARGA PUNTUAL
La expresión anterior se puede reducir a la siguiente expresión:
Δσ𝑣 =𝑃
𝑧2 𝑃𝑜
Donde:
Po está en función de r y z.
Po se toma de tablas, ingresando con el valor de la relación (r/z).
Δσ𝑣 =3𝑃
2π
𝑧3
𝑅5=
3𝑃
2π
𝑧3
𝑟2 + 𝑧2 5/2
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
P x y z r Δσz
(ton) (m) (m) (m) (m) (ton/m2)25 1 1.4 0 1.72 -
25 1 1.4 1 1.72 0.38
25 1 1.4 2 1.72 0.75
25 1 1.4 3 1.72 0.65
25 1 1.4 4 1.72 0.49
25 1 1.4 5 1.72 0.36
25 1 1.4 6 1.72 0.27
25 1 1.4 7 1.72 0.21
25 1 1.4 8 1.72 0.17
25 1 1.4 9 1.72 0.13
25 1 1.4 10 1.72 0.11
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
5.0 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES CON CARGA LONGITUDINAL DE LONGITUD FINITA
En el esquema que se muestra:
𝑎) Δσ𝑣, es el incremento de presión vertical a la
profundidad z.
b) p, es la carga lineal uniformemente distribuida.
c) x, es la distancia de uno de los extremos del
elemento cargado hacia la proyección del punto
analizado.
d) y, es la longitud del elemento cargado
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
P x y z m n po Δσz
(ton/m) (m) (m) (m) x/z y/z (ton/m2)
20 0 -
20 1 4 1 1.00 4.00 0.0792 1.58
20 1 4 2 0.50 2.00 0.1990 1.99
20 1 4 3 0.33 1.33 0.2412 1.61
20 1 4 4 0.25 1.00 0.2469 1.23
20 1 4 5 0.20 0.80 0.2379 0.95
20 1 4 6 0.17 0.67 0.2234 0.74
20 1 4 7 0.14 0.57 0.2075 0.59
20 1 4 8 0.13 0.50 0.1922 0.48
20 1 4 9 0.11 0.44 0.1780 0.40
20 1 4 10 0.10 0.40 0.1652 0.33
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
6.0 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES BAJO SUPERFICIE RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA
Δσ𝑣 =𝑤
4π(
2𝑥𝑦𝑧 𝑥2+𝑦2+𝑧2 1/
2
𝑧2 𝑥2+𝑦2+𝑧2 +𝑥2𝑦2 . (𝑥2+𝑦2+2𝑧2
𝑥2+𝑦2+𝑧2 + 𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥𝑦𝑧 𝑥2+𝑦2+𝑧2 1
/2
𝑧2 𝑥2+𝑦2+𝑧2 −𝑥2𝑦2 )
Δσ𝑣 =𝑤
4π(
2𝑚𝑛 𝑚2+𝑛2+1 1/
2
𝑚2+𝑛2+1 +𝑚2𝑛2 . (𝑚2+𝑛2+2
𝑚2+𝑛2+1+ 𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑛
2𝑚𝑛 𝑚2+𝑛2+1 1/
2
𝑚2+𝑛2+1 −𝑚2𝑛2 )
Haciendo m=x/z y n=y/z, se tiene:
En el esquema que se muestra:
𝑎) Δσ𝑣, es el incremento de presión a la
profundidad z, bajo una de las esquinas del área
cargada.
b) w, es la carga uniformemente distribuida.
c) x e y, son las dimensiones del elemento
cargado
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
La expresión general de cálculo se puede reducir a la siguiente
expresión:
Δσ𝑣 = 𝑤. 𝑤𝑜
Donde:
W, es la carga uniformemente distribuida.
Wo, es el factor de influencia que está en función de m y n. Su
valor se puede obtener de las gráficas o valores tabulados que se
presentan a continuación.
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
w x y z m n w Δσz
(ton/m2) (m) (m) (m) x/z y/z (del grafico) (ton/m2)20 2 4 0.01 200.00 400.00 0.240 4.80
20 2 4 1 2.00 4.00 0.240 4.80
20 2 4 2 1.00 2.00 0.200 4.00
20 2 4 3 0.67 1.33 0.155 3.10
20 2 4 4 0.50 1.00 0.120 2.40
20 2 4 5 0.40 0.80 0.093 1.86
20 2 4 6 0.33 0.67 0.071 1.42
20 2 4 7 0.29 0.57 0.060 1.20
20 2 4 8 0.25 0.50 0.047 0.94
20 2 4 9 0.22 0.44 0.040 0.80
20 2 4 10 0.20 0.40 0.033 0.66
w x y z m n w Δσz
(ton/m2) (m) (m) (m) x/z y/z (del grafico) (ton/m2)20 2 4 0.01 200.00 400.00 0.240 4.80
20 2 4 1 2.00 4.00 0.240 4.80
20 2 4 2 1.00 2.00 0.200 4.00
20 2 4 3 0.67 1.33 0.155 3.10
20 2 4 4 0.50 1.00 0.120 2.40
20 2 4 5 0.40 0.80 0.093 1.86
20 2 4 6 0.33 0.67 0.071 1.42
20 2 4 7 0.29 0.57 0.060 1.20
20 2 4 8 0.25 0.50 0.047 0.94
20 2 4 9 0.22 0.44 0.040 0.80
20 2 4 10 0.20 0.40 0.033 0.66
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
PRESIONES q x y z m n Δσz % Δσz
(ton/m2) (m) (m) (m) x/z y/z Expresión 1 Expresión 2 0 < I(m,n) ≤ 0.25 (ton/m2)
7.08 1.50 1.50 0 7.08 100.00
7.08 1.50 1.50 1 1.50 1.50 0.21567 0.22226 0.21567 4.00000 6.11 86.27
7.08 1.50 1.50 2 0.75 0.75 0.13722 0.27000 0.13722 4.00000 3.88 54.89
7.08 1.50 1.50 3 0.50 0.50 0.08403 0.26993 0.08403 4.00000 2.38 33.61
7.08 1.50 1.50 4 0.38 0.38 0.05434 0.26500 0.05434 4.00000 1.54 21.74
7.08 1.50 1.50 5 0.30 0.30 0.03735 0.26104 0.03735 4.00000 1.06 14.94
7.08 1.50 1.50 6 0.25 0.25 0.02702 0.25829 0.02702 4.00000 0.76 10.81
7.08 1.50 1.50 7 0.21 0.21 0.02036 0.25638 0.02036 4.00000 0.58 8.15
7.08 1.50 1.50 8 0.19 0.19 0.01586 0.25504 0.01586 4.00000 0.45 6.34
SUCS q x y z m n Δσz % Δσz
(ton/m2) (m) (m) (m) x/z y/z Expresión 1 Expresión 2 0 < I(m,n) ≤ 0.25 (ton/m2)
7.08 3.00 3.00 0 7.08 100.00
7.08 3.00 3.00 1 3.00 3.00 -0.00606 0.24394 0.24394 1.00000 1.73 24.39
7.08 3.00 3.00 2 1.50 1.50 0.21567 0.46567 0.21567 1.00000 1.53 21.57
7.08 3.00 3.00 3 1.00 1.00 0.17522 0.42522 0.17522 1.00000 1.24 17.52
7.08 3.00 3.00 4 0.75 0.75 0.13722 0.38722 0.13722 1.00000 0.97 13.72
7.08 3.00 3.00 5 0.60 0.60 0.10688 0.35688 0.10688 1.00000 0.76 10.69
7.08 3.00 3.00 6 0.50 0.50 0.08403 0.33403 0.08403 1.00000 0.59 8.40
7.08 3.00 3.00 7 0.43 0.43 0.06704 0.31704 0.06704 1.00000 0.47 6.70
7.08 3.00 3.00 8 0.38 0.38 0.05434 0.30434 0.05434 1.00000 0.38 5.43
I(m,n) N° de
sectores
DETERMINACIÓN
DE PRESIONES
BAJO EL EJE
CENTRAL DE LA
ZAPATA
DETERMINACIÓN
DE PRESIONES
BAJO UNA DE
LAS ESQUINAS
DE LA ZAPATA
I(m,n) N° de
sectores
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
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2
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6
7
8
9
- 2.00 4.00 6.00 8.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Presión (ton/m2)
PRESIONES BAJO ELEJE CENTRAL
PRESIONES BAJOESQUINA
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
7.0 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES BAJO SUPERFICIE CIRCULAR UNIFORMEMENTE CARGADA
En el esquema que se muestra:
𝑎) Δσ𝑣, es el incremento de presión a la
profundidad z, bajo el eje del área cargada.
b) q, es la carga uniformemente distribuida.
c) R, es el radio de la superficie cargada.
Δσ𝑣 = 𝑞{1 − [1
1+𝑅
𝑧2](3/2)
Para determinar el incremento de presiones bajo
cualquier punto del área cargada, se utiliza tablas
(Ahlvin y Ulery, 1962).
Δσ𝑣 = 𝑞. 𝐼𝑓
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
Δσ𝑣 = 𝑞. 𝐼σ
𝐼σ = Δσ𝑣/𝑞
(R=B/2)
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
Δσ𝑣 = 𝑞{1 − [1
1+𝑅
𝑧2](3/2)
0
5
10
15
20
25
- 2.00 4.00 6.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Incremento de Presión (ton/m2)
Incremento depresiones
Ejemplo
Determinar el incremento de esfuerzo vertical, causado por una carga circular uniformemente
repartida de ton/m2, con R= 6.30 m, a la profundidad de 0 a 20 m, a cada metro de
profundidad.
Presión q Radio R z Δσz %Δσz
(ton/m2) (m) (m) (ton/m2)5 6.3 0 5.00 100.00
1 4.98 99.61
2 4.86 97.23
3 4.60 92.05
4 4.23 84.60
5 3.80 75.98
6 3.36 67.20
7 2.95 58.93
8 2.58 51.51
9 2.25 45.02
10 1.97 39.43
11 1.73 34.66
12 1.53 30.59
13 1.36 27.13
14 1.21 24.16
15 1.08 21.63
16 0.97 19.44
17 0.88 17.55
18 0.80 15.91
19 0.72 14.48
20 0.66 13.23
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
8.0 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES BAJO CARGA RECTANGULAR DE LONGITUD INFINITA
(Terzaghi y Caroters)
Δσ𝑣 =𝑝
π(α + 𝑠𝑒𝑛 α. cos 2β)
α
β
α = {arc tg [(x+b)/z]} - {arc tg [(x-b)/z]}
β = 0.5*{arc tg [(x+b)/z]-arc tg [(x-b)/z]}
En el esquema que se muestra:
𝑎) Δσ𝑣, es el incremento de
presión a la profundidad z, bajo el
punto elegido.
b) p, es la carga uniformemente
distribuida.
c) x, es distancia horizontal desde
el eje del cimiento hasta el punto
elegido.
d) α, es el ángulo formado desde el
punto elegido hasta los bordes del
área cargada.
Δσℎ =𝑝
π(α − 𝑠𝑒𝑛 α. 𝑐𝑜𝑠2β)
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
Presión Semi ancho Distancia Profundidad
p b x z Esfuerzo vertical Esfuerzo horizontal
α β σz =(p/π)*[α+Senα.Cos2β) σx =(p/π)*[α-Senα.Cos2β)
(ton/m2) (m) (m) (m) (ton/m2) (ton/m2)
1.00 2 3.00 1 0.588 0.294 0.334 0.040
1.00 2 3.00 2 0.727 0.363 0.389 0.073
1.00 2 3.00 3 0.709 0.354 0.383 0.068
1.00 2 3.00 4 0.651 0.326 0.361 0.054
1.00 2 3.00 5 0.588 0.294 0.334 0.040
1.00 2 3.00 6 0.530 0.265 0.307 0.030
1.00 2 3.00 7 0.478 0.239 0.282 0.022
1.00 2 3.00 8 0.434 0.217 0.260 0.017
1.00 2 3.00 9 0.396 0.198 0.240 0.013
1.00 2 3.00 10 0.364 0.182 0.222 0.010
1.00 2 3.00 11 0.336 0.168 0.206 0.008
1.00 2 3.00 12 0.312 0.156 0.192 0.006
Esfuerzos normales a la distancia x
Ejemplo
Determinar el incremento de esfuerzo vertical, a cada metro de
profundidad, bajo un punto localizado a 3 m del eje de un
cimiento de 4 m de ancho y 30 m de largo, que presenta una
carga uniformemente distribuida de 1 ton/m2
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Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
9.0 MÉTODO DE NEWMARK
Δσ𝑣 = 𝑞{1 − [1
1+𝑅
𝑧2](3/2)
Δσ𝑣
𝑞= 1 − [
1
1+𝑅
𝑧2](3/2)
Δσv / q R
0.1 0.27
0.2 0.40
0.3 0.52
0.4 0.64
0.5 0.77
0.6 0.92
0.7 1.11
0.8 1.39
0.9 1.90
1 α
Considerando una profundidad unitaria z=1, se determinan
los radios de los círculos para incrementos de esfuerzos a
cada 10%. Con los radios se construye un diagrama a una
determinada escala.
Fac
ulta
d de
Inge
nier
ía C
ivil,
de
Sis
tem
as y
Arq
uite
ctur
a -
UN
PR
G
Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
Cada segmento encerrado entre dos circunferencias y dos radios, representa un factor de influencia
sobre el total de segmentos que contenga el grafico. Como cada circunferencia tiene un radio que
proviene de Δσv/q , el factor de influencia es:
Fac
ulta
d de
Inge
nier
ía C
ivil,
de
Sis
tem
as y
Arq
uite
ctur
a -
UN
PR
G
Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
Ejemplo 1.- Para la cimentación que se muestra, determinar el incremento de presión que existe bajo el
punto A, a la profundidad de 4.50 m. Las cargas de las zapatas y la losa de cimentación se muestran en el
dibujo adjunto.
Fac
ulta
d de
Inge
nier
ía C
ivil,
de
Sis
tem
as y
Arq
uite
ctur
a -
UN
PR
G
Cap. I.- ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO
MECÁNICA DE SUELOS II
Paso 1.- Dibujar la cimentación a la misma escala del grafico de Newmark. Dato: Profundidad de análisis = 4.50 m (z real).
𝑧 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜
𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑙=
𝐿 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜
𝐿 𝑟𝑒𝑎𝑙
L dibujo= 𝑧 𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑜
𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑙*L real
Para un lado de longitud 1 m:
L dibujo= (1.00
4.50) 1 m =0.22
Factor de reducción del dibujo
Paso 2.- Se cuenta el número (n) de segmentos que se ubican dentro de cada uno de los elementos de cimentación y se aplica la expresión Δσv = 0.005*n*q :
Δσv = (0.00 5*33.3*8 ton/m2) + (0.005*2.5*5.56 ton/m2) + (0.005*0.8*7.5 ton/m2)
Δσv = 1.43 ton/m2
n=33.3
n=0.8
n=2.5
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