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ESFERA

1. (Espcex (Aman) 2014) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm,

composta de 12 gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede:

a) 3

24cm

3

π

b) 3

24cm

9

π

c) 2

24cm

3

π

d) 2

24cm

9

π

e) 3 24 cmπ

2. (Ufpe 2013) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume

do cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas? 3. (Uem 2013) Considere uma esfera, um cilindro circular reto e um cone, todos com o mesmo

volume. Além disso, a altura do cilindro é igual à metade da altura do cone, e a altura do cone é igual ao raio da esfera. Assinale o que for correto. 01) O raio da base do cone é menor do que o raio da base do cilindro. 02) O raio da base do cone é igual ao dobro do raio da esfera. 04) A altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. 08) A área da superfície da esfera é igual ao triplo da área da base do cilindro.

16) Se o raio da esfera mede 5 cm, a geratriz do cone mede 5 cm.

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4. (Ufg 2013) A figura a seguir representa um modelo esquemático aproximado para a

estrutura interna da Terra em camadas concêntricas, da superfície ao centro, indicando as profundidades aproximadas das transições entre as camadas.

Segundo modelos sísmicos, acredita-se que uma destas camadas é formada, predominantemente, por minerais metálicos, em altas temperaturas, e por duas partes, uma fluida e outra sólida, devido à altíssima pressão. A fração do volume da Terra ocupada por esta camada está entre

a) 1

8 e

1

5

b) 1

5 e

1

4

c) 1

4 e

1

2

d) 1

2 e

2

3

e) 2

3 e

3

4

5. (Epcar (Afa) 2013) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 metros, está com água até 7

8

de sua altura. Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NÃO provoca

transbordamento de água é

a) uma esfera de raio 3 2 dm.

b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meçam 30 cm.

c) um cone reto, cujo raio da base meça 3 dm e a altura 3 dm.

d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 20 cm.

6. (Fgv 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 20%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará a) 60% b) 63,2% c) 66,4% d) 69,6% e) 72,8%

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7. (Unesp 2013) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo

de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras.

Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias

era de 0,85 g/cm3 e admitindo 3,π

a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é a) 636. b) 634. c) 630. d) 632. e) 638.

8. (Uerj 2013) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas.

Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema:

Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida:

a) Rπ 2

2 b)

23

2

Rπ c)

23

4

Rπ d)

24

3

Rπ

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9. (Fgvrj 2012) Em uma lata cilíndrica fechada de volume 35175 cm , cabem exatamente três

bolas de tênis. a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas. b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?

10. (Udesc 2012) Seja S uma seção de uma esfera determinada pela interseção com um plano, conforme figura.

Se S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 216 cm ,π então o volume desta

esfera é:

a) 336 cmπ

b) 3256cm

3

π

c) 3100 cmπ

d) 316 cmπ

e) 3500cm

3

π

11. (G1 - ifpe 2012) Um designer criou pesos para papel usando cubos e esferas. Nas peças criadas a esfera está inscrita no cubo, que tem aresta medindo 6 cm. Para dar um efeito visual, ele colocou na parte interna do cubo, e externa à esfera, um líquido vermelho. Com 1 litro desse líquido o designer pode confeccionar no máximo quantas peças? a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 e) 27

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12. (Uepa 2012) A ideologia dominante também se manifesta por intermédio do acesso aos

produtos do mercado, sobretudo daqueles caracterizados por tecnologias de ponta. O “Cubo Magnético” é um brinquedo constituído por 216 esferas iguais e imantadas. Supondo que esse brinquedo possa ser colocado perfeitamente ajustado dentro de uma caixa, também no formato

de um cubo, com aresta igual a 30 mm, a razão entre o volume total das esferas que

constituem o “Cubo Magnético” e o volume da caixa que lhe serve de depósito é:

a) 6

π

b) 5

π

c) 4

π

d) 3

π

e) 2

π

13. (Ufsm 2012) Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais

influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria.

Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m

2 de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta

necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use 3)π

a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60.

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14. (Ufg 2012) Considere que o planeta Terra é aproximadamente esférico, tendo a linha do

Equador um comprimento de, aproximadamente, 40.000 km e que 30% da área do planeta é de terras emersas. Dados:

Área da esfera = 24 rπ

Comprimento do círculo = 2 rπ

3,14π

Aproximando a atual população da Terra para um número inteiro de bilhões de pessoas, responda: a) Qual é a densidade demográfica nas terras emersas do planeta? b) Quantos metros quadrados caberiam a cada pessoa, se as terras emersas fossem divididas

igualmente entre os habitantes da Terra? (Aproxime para um número inteiro de milhares de metros quadrados).

15. (Unesp 2012) Diferentes tipos de nanomateriais são descobertos a cada dia, viabilizando produtos mais eficientes, leves, adequados e, principalmente, de baixo custo. São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam entre 1 e 100 nanômetros (nm), sendo que 1 nm equivale a 10

–9 m, ou seja, um bilionésimo de metro.

Uma das características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu volume e sua área superficial total. Por exemplo, em uma esfera maciça de 1 cm de raio, a área superficial e o volume valem

24 cmπ e 3(4/3) cm ,π respectivamente. O conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que

possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma de suas áreas superficiais a) 10 vezes maior que a da esfera. b) 10

3 vezes maior que a da esfera.

c) 105 vezes maior que a da esfera.

d) 107 vezes maior que a da esfera.

e) 109 vezes maior que a da esfera.

16. (Enem 2012) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B.

Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev. 2012. A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por

a) b) c) d) e)

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17. (Ufrn 2012) Um artesão produz peças ornamentais com um material que pode ser

derretido quando elevado a certa temperatura. Uma dessas peças contém uma esfera sólida e o artesão observa que as peças com esferas maiores são mais procuradas e resolve desmanchar as esferas menores para construir esferas maiores, com o mesmo material. Para

cada 8 esferas de 10 cm de raio desmanchada, ele constrói uma nova esfera.

O raio da nova esfera construída mede a) 80,0 cm.

b) 14,2 cm.

c) 28,4 cm.

d) 20,0 cm.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A taça desenhada na figura tem a forma de semiesfera e contém líquido até uma altura de x cm.

O volume de líquido contido na taça, em 3cm , depende da altura atingida por esse líquido, em

cm. O gráfico a seguir mostra essa dependência, sendo que os pontos A e B correspondem à taça totalmente vazia e totalmente cheia, respectivamente.

18. (Insper 2012) De acordo com os dados do gráfico, a taça tem a forma de uma semiesfera cujo raio mede a) 3 cm. b) 3,5 cm. c) 4 cm. d) 4,5 cm. e) 5 cm.

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19. (Espm 2011) Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de 4 m

de diâmetro, sustentada por colunas metálicas inclinadas de 60° com o plano horizontal e soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como mostra o esquema abaixo.

Sendo 3 1,73 , a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual a:

a) 2,40 m b) 2,80 m c) 3,20 m d) 3,40 m e) 3,60 m 20. (Ufsm 2011) Um fabricante decidiu produzir luminárias no formato de uma semiesfera com

raio de 20 cm. A parte interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte externa da luminária receberá uma pintura

convencial que custa R$10,00o metro quadrado. Desconsiderando a espessura da luminária

e adotando o valor de 3,14π o custo, em reais, da pintura de cada luminária é

a) 3,14. b) 6,28. c) 12,56. d) 18,84. e) 25,12. 21. (Pucsp 2011) Um artesão dispõe de um bloco maciço de resina, com a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja altura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a resina desse bloco para confeccionar contas esféricas que serão usadas na montagem de 180 colares. Se cada conta tiver um 1 cm de diâmetro e na montagem de cada colar forem usadas 50 contas, então, considerando o volume do cordão utilizado desprezível e a aproximação

3π , a área total da superfície do bloco de resina, em centímetros quadrados é a) 1250. b) 1480. c) 1650. d) 1720. e) 1850. 22. (Ucpel 2011) Uma esfera metálica de 3 cm de raio é colocada em um congelador e, após algum tempo, acumula uma camada de gelo de 3 cm de espessura, mantendo a forma esférica. Então, o volume do gelo acumulado é

a) 3198 cmπ

b) 3215 cmπ

c) 3252 cmπ

d) 3207 cmπ

e) 3225 cmπ

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23. (Uff 2011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes.

Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%.

Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x %. Dessa forma, é correto afirmar que a) x [5,6). b) x [2,3). c) x = 1. d) x [3,4). e) x [4,5). 24. (Fuvest 2011) A esfera , de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano . O plano é

paralelo a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um

hexágono regular inscrito na intersecção de com e, como vértice, um ponto em , é igual

a

a) 33r

4

b) 35 3r

16

c) 33 3r

8

d) 37 3r

16

e) 33r

2

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25. (Enem 2ª aplicação 2010) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os

diâmetros delas seriam:

A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é

a) 1

343

b) 1

49

c) 1

7

d) 29

136

e) 136

203

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Gabarito: Resposta da questão 1: [A]

360° : 12° = 30° A área total de cada gomo é a soma das áreas de um fuso esférico como as áreas de dois semicírculos.

2 2

32

30 4 4 4A 2

360 2

16A 16

3

64 4A cm .

3 3

π π

ππ

π π

Resposta da questão 2:

Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro.

Como h 4 2r 8r, segue que o volume do cilindro é igual a 2 3r 8r 8 r .π π

Sabendo que o raio de cada esfera mede r

,2

podemos concluir que o volume de uma esfera é

3 34 r r .3 2 6

π π

Portanto, o número de esferas obtidas é dado por 3

3

8 r 48.r

6

π

π

Resposta da questão 3:

02 + 16 = 18. Sabendo que os volumes são iguais, temos

3 2 2esf cil cil con con

4 1r r h r h .

3 3

Além disso, é dado que con cil esfh 2 h r .

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[01] Incorreto. Temos

2 2 2 2cil cil con cil con cil

1 3r h r 2 h r r ,

3 2

o que implica em con cilr r .

[02] Correto. Temos

3 2esf con esf con esf

4 1r r r r 2 r .

3 3

[04] Incorreto. Como cil esf2 h r , segue que esfcil

r Dh D,

2 4 com D sendo o diâmetro da

esfera. [08] Incorreto. Sabendo que

3 2 2 2esfesf cil esf cil

r4 3r r r r ,

3 2 8

tem-se que a área da superfície da esfera é igual a

2 2 2esf cil cil

3 34 r 4 r r .

8 2

Por outro lado, a área da base do cilindro é 2cilr e, portanto, 2 2

cil cil3

r 3 r .2

[16] Correto. De (02), vem conr 2 5 cm. Logo, sendo cong a geratriz do cone, pelo Teorema

de Pitágoras, encontramos

2 2 2con cong (2 5) ( 5) g 5cm.

Resposta da questão 4:

[A] A camada terrestre descrita no problema é a barisfera, ou seja, uma esfera de raio r dado por: r = 6350 – 2900 = 3450 km. Admitindo o raio da esfera R = 6.350km, a razão entre o volume da barisfera e o volume da terra será dada por:

33

3

43450

34503 0,153034 6450

64503

π

π

Logo, 1 1

x .8 5

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Resposta da questão 5:

[D] Calculando agora o volume de cada sólido dado, temos:

Resposta da questão 6: [E]

Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 20%, teremos

3 3

3

4 4(1,2 r) r

3 3 100% (1,728 1) 100%4

r3

72,8%,

π π

π

ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 72,8%.

Resposta da questão 7: [D] V = Volume do porta-joias Vc = Volume do cubo Ve = Volume da esfera. V = Vc - Ve

3 34V 10 4

3π

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V = 1000 – 256 V = 744 cm

3

Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias.

m0,85 m 632,4 g 632 g

744

Resposta da questão 8: [C]

No triângulo retângulo assinalado, temos:

2 22 2 2R 3.R

r R r2 4

Logo, a área pedida será:

2 22 3.R 3. .R

A .r4 4

ππ π

Resposta da questão 9:

a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro.

Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h 6r, temos

2 3 1725r 6r 5175 r .

2π

π

Daí, segue que o volume de cada bola é igual a

3

3

4 4 1725r

3 3 2

1150cm .

π ππ

Portanto, o resultado é 35175 3 1150 1725cm .

b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é 3450 2

.5175 3

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Resposta da questão 10:

[E] Considere a figura, em que O é o centro da esfera, C é o centro da seção e P um ponto de interseção de S com a esfera.

Sabendo que a área da seção é igual a 216 cm ,π temos que

2CP 16 CP 4 cm.π π

Desse modo, como OP é o raio da esfera e OC 3 cm, vem

2 2 2 2 2 2OP OC CP OP 3 4

OP 5 cm.

Portanto, o volume da esfera é dado por

3 3

3

4 OP 4 5

3 3

500cm .

3

π π

π

Resposta da questão 11:

[A]

V(líquido) = V(cubo) – V(esfera)

V(líquido) = 3

3 4 .36

3

π (considerando 3,14π )

V(líquido) = 102,96cm3

Número de peças com 1 Litro = 3

3

1000cm9,7

102,96cm

Resposta: No máximo 9 peças.

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Resposta da questão 12:

[A]

Considere r como sendo o Raio da esfera.

6 2r 30. Logo, r 5/2.

Volume de cada esfera:

34 5 125

V .3 2 6

ππ

Razão entre os volumes das 216 esferas e o volume da caixa:

125216

4500 56 .30 30 30 3 30 30 30 6

ππ π π

Resposta da questão 13: [B]

A = área da semiesfera de raio 14 m: 2

24 14A 392 m .

2

ππ

A’ = área de cada semicírculo lateral: 2

23 9A ' m .

2 2

π π

Área que será pintada: A – A’ = 9

392 12 338 1014( 3).2

ππ π π

Número de latas de tinta: 1014

26.39

Resposta da questão 14: População aproximada da terra = 7.10

9 habitantes.

Raio da terra=40000

2 π

Área emersa do planeta:

28 240000

0,30 4 1,5 10 km2

ππ

a) 9

2

8

7 1047 habitantes por km

1,5 10

b) 8

2

9

1,5 1021000 m

7 10

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Resposta da questão 15:

[D] Raio de uma nanoesfera em cm: 10

–9 m = 10

–7 cm.

Volume da nanoesfera em cm3:

37 21 34 4

V . 10 .10 cm .3 3π π

Número n de nanoesferas necessárias para se obter o volume de uma esfera de 1 cm de raio:

n.21 34

.10 cm3π = 21(4/3) n 10 .π

Área superficial das n = 1021

nanoesferas: 2110 2

7 74 10 4 10 ,π π portanto, [D] – 10

7

vezes maior que a da esfera de raio 1 cm. Resposta da questão 16:

[E] O plano que contém o trajeto do motociclista é perpendicular ao plano do chão, portanto a projeção ortogonal do trajeto do motociclista no plano do chão é um segmento de reta.

Resposta da questão 17:

[D]

O artesão disporá de 3 348 10 cm

3π de material ao derreter 8 esferas menores. Com esse

material ele poderá construir uma esfera de raio r, tal que

33 3 3 34 4r 8 10 r 2 10 r 20cm.

3 3π π

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Resposta da questão 18:

[D]

Volume da semiesfera da taça

3

3

1 4 R60,75

2 3

R 91,125

R 4,5 cm.

ππ

Resposta da questão 19: [C] Considere a figura abaixo.

Queremos calcular h PO' OO' OP.

Temos que AD 10

O'A 5 m2 2

e 4

OB 2 m O'C.2

Logo, AC O'A O'C 5 2 3 m.

Do triângulo ABC, vem que BCˆtgBAC BC 3 tg60 3 3 3 1,73 5,19 m.AC

Portanto, h 5,19 2 3,19 3,20 m.

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Resposta da questão 20:

[C]

Área de cada uma das partes (interna e externa):

2A 2.3,14.(0,2) 0,2512

Logo, o valor total será: 0,2512( 40 + 10 ) = R$ 12,56. Resposta da questão 21:

[C]

Número de esferas = 180 50 9000

Volume total das esferas =

334 1

9000 4500cm3 2

π (considerando 3π )

Volume do bloco = x x 20

Logo,

2

2

20x 4500

x 225

x 15cm

Calculando a área total, temos:

A 2 15 15 15 20 15 20 1650

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Resposta da questão 22:

[C]

Volume da esfera maior: 3 34V 6 288 cm

3

Volume da esfera menor: 3 34v 3 36 cm

3

Volume da camada de gelo: 3V v 252 cm Resposta da questão 23:

[D]

O volume (V) de uma esfera, em função do seu diâmetro (D), é dado por

3V D .6

Se o diâmetro tem aumento de 1%, então o volume dessa esfera passa a valer

3 3

V

V ' (1,01 D) 1,030301 D 1,030301 V.6 6

Portanto,

1,030301 V V 0,030301 Vx% 100% 3,03% [3, 4).

V V

Resposta da questão 24: [E]

V = b

1A .h

3 V =

31 6.r 3. .r

3 4 V=

3r 3

2

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Resposta da questão 25:

[A]

Sejam dsV e dV , respectivamente, o volume da esfera que corresponde à água doce

superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta.

A razão pedida é dada por

33 3 3

dsds ds

3d dd

4r

V r 29 1 13 .4V r 203 7 343

r3