ECONOMETRÍA FORTINO VELA PEÓN

UAM-X 10P 1

EL MODELO EN DESVIOS Considere los datos proporcionados en el cuadro siguiente para estimar el modelo de regresión lineal

iii eXY ++= 21 ββ

t Y X Y-Ybar X-Xbar 1 3 3 -1 0 2 1 1 -3 -2 3 8 5 4 2 4 3 2 -1 -1 5 5 4 1 1

media 4 3 0 0 Sabemos que los estimadores de MCO están dados por las expresiones:

2

1

12

)(

)()(ˆ

∑

∑

=

=

−

−−=

n

ii

i

n

ii

XX

YYXXβ XY 21

ˆˆ ββ −=

que al aplicar a los datos mostrados rinden los siguientes resultados: regress y x Source | SS df MS Number of obs = 5 -------------+------------------------------ F( 1, 3) = 32.00 Model | 25.6 1 25.6 Prob > F = 0.0109 Residual | 2.4 3 .8 R-squared = 0.9143 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8857 Total | 28 4 7 Root MSE = .89443 --------------------------------------------------- --------------------------- y | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- x | 1.6 .2828427 5.66 0.0 11 .6998683 2.500132 _cons | -.8 .9380832 -0.85 0.4 56 -3.785399 2.185399 --------------------------------------------------- ---------------------------

Ahora, considere el mismo modelo pero estimado en términos de sus desviaciones respecto a la media, esto es, donde las variables están dadas por X* y Y*, es decir,

)(* XXX i −= )(* YYY i −=

Una diferencia importante es que el estimador de 2β̂ -bajo estas condiciones-

queda expresado como

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UAM-X 10P 2

∑

∑

=

==n

i

n

iii

ix

yx

1

2

12β̂

mientras que 1β̂ se puede obtener de la manera acostumbrada, esto es,

XY 21ˆˆ ββ −= (aunque Stata considera a 1β̂ =0 (¿por qué?), como se muestra a

continuación. Para recuperar al estimador de 1β̂ en Stata se puede considerar la

expresión XY *21

ˆˆ ββ −= ).

regress yybar xxbar Source | SS df MS Number of obs = 5 -------------+------------------------------ F( 1, 3) = 32.00 Model | 25.6 1 25.6 Prob > F = 0.0109 Residual | 2.4 3 .8 R-squared = 0.9143 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8857 Total | 28 4 7 Root MSE = .89443 --------------------------------------------------- --------------------------- yybar | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- xxbar | 1.6 .2828427 5.66 0.0 11 .6998683 2.500132 _cons | 0 .4 0.00 1.0 00 -1.272979 1.272979 --------------------------------------------------- --------------------------- REGRESIÓN A TRAVÉS DEL ORIGEN Se ha considerado el modelo

iii eXY ++= 21 ββ

el cuál es una recta de regresión con un intercepto. En ocasiones puede ser necesario estimar el modelo

iii eXY += 2β

esto es, una línea que pasa a través del origen. Este modelo se llama modelo sin intercepto. El forzar que la línea pase a través del origen puede deberse a razones teóricas o por otras consideraciones físicas y/o materiales del caso particular en estudio( por ejemplo, la distancia de viaje es una función del tiempo pero no debe tener ninguna constante). La estimación aplicando el principio de mínimos cuadrados del modelo sin intercepto da por resultado (se recomienda al lector elaborar este ejercicio)

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UAM-X 10P 3

∑

∑

=

==n

i

n

iii

iX

YX

1

2

12β̂

donde el valor ajustado para i-ésima observación esta dado por

iii eXY += 2ˆˆ β i= 1, 2,…, n.

y la residual correspondiente es

ii YYe ˆˆ1 −= i= 1, 2,…, n

El error estándar del coeficiente 2β̂ es igual a

∑=

=n

ii

X

ee

1

2

2ˆ)ˆ(

σβ

donde

1ˆ 2

−=

n

SCEσ

Observe que los grados de libertad para SCE son n-1, y ya no n-2, como lo es en el caso del modelo con intercepto. Además los residuales señalados arriba no necesariamente suman cero como si ocurría con el modelo con intercepto. También, la identidad SCT= SCR+SCR tampoco se cumple en general. Por esta razón, algunas medidas de la calidad de ajuste de los modelos con intercepto como no resultan ser apropiadas para los modelos sin intercepto. La identidad apropiada modelos sin intercepto se obtiene substituyendo a 0=Y en la sumas de cuadrados. Por lo tanto, la identidad fundamental de la SCT se convierte

∑∑∑===

+==+==+=n

ii

n

ii

n

ii eYYSCESCRSCTVNEVEVT

1

2

1

2

1

2 ˆ

lo que se a su vez redefine a R2 como

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= −==n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

Y

e

Y

YR

1

2

1

2

1

2

1

2

2 1

ˆ

Ésta es la forma apropiada de R2 para los modelos sin intercepto. Note, sin embargo, que las interpretaciones para los casos del modelo con y sin intercepto

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UAM-X 10P 4

de R2 son diferentes. En el caso de modelos con intercepto, R2 se puede interpretar como la proporción de la variación de Y que es explicada por la variable X (después de ajustar a Y por su media). Para los modelos sin intercepto, esta interpretación ya no es posible mantenerla dado que incluso R2 puede llegar a ser negativa. Por otra parte, la fórmula basada en el estadístico t para la pruebas de significancia individual sobre 2β , esto es, cuando HO: 02 =β vs la alternativa H1: 01 ≠β ,

continúa sosteniéndose pero con la nueva definición de ee( 2β̂ ) antes señalada.

Como se apunto anteriormente, los modelos sin intercepto deben ser utilizados siempre que sean consistentes con la teoría que esta en estudio o debido a consideraciones físicas y materiales. En algunos usos, sin embargo, uno puede no estar seguro qué modelo debe ser utilizado. En estos casos, la decisión entre los modelos dados (con y sin intercepto) tiene que ser tomada con cuidado1. _______________________________________________________________________________________________ Ejemplo _______________________________________________________________________________________________ Uno puede preguntarse si la gente de altura similar tiende a casarse. Con este fin, una muestra de parejas recientemente casados fue seleccionada. Sea X la altura del esposo y Y la altura de la esposa. Las alturas se encuentran dadas en centímetros y se muestran en el cuadro siguiente.

a) Calcule la covarianza entre las alturas de los esposos y las esposas. b) Cuál sería la covarianza si las alturas fueron medidas en pulgadas

(recuerde que 1cm=0.39 pulgadas). c) Calcule el coeficiente de correlación entre las alturas de los esposos. d) ¿Cuál sería si la correlación de las alturas si fueran medidas en

pulgadas en lugar de centímetros? e) ¿Cuál sería la correlación si cada hombre se casa con a una mujer

exactamente 5 centímetros más pequeña que él? f) Deseamos ajustar un modelo de regresión que relacione a las alturas de

los esposos y las esposas. ¿Cuál de las dos variables usted elegiría como la variable de la respuesta? Justifique su respuesta.

g) Usando su opción de la variable de la respuesta del inciso anterior, pruebe la hipótesis nula de que el coeficiente pendiente es cero.

h) Usando su opción sobre la variable de respuesta del inciso (f), pruebe la hipótesis nula de que el intercepto es cero.

i) Usando su opción de la variable de la respuesta en (f), pruebe el hipótesis nula de que el intercepto y el coeficiente pendiente son cero.

j) ¿Cuál de las hipótesis y pruebas antedichas elegiría usted para probar que la gente de altura similar tiende a casarse? ¿Cuál es su conclusión?

1 Una exposición excelente de los modelos de regresión a través del origen es proporcionada por Eisenhauer (2003) que también alerta a los usuarios de los modelos de regresión a través del origen a tener cuidado cuando ajustan estos modelos usando los programas de computo, ya que algunos de ellos dan los resultados incorrectos.

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UAM-X 10P 5

k) ¿Si ninguna de las pruebas antedichas son apropiadas para probar la hipótesis que la gente de altura similar tiende a casarse, que prueba utilizaría usted ? Cuál es su conclusión basada en esta prueba?

Cuadro 1. Altura de los esposos

Altura Altura

id Esposo Esposa id Esposo Esposa 1 86 175 25 182 167 2 180 168 26 162 160 3 160 154 27 169 165 4 186 166 28 176 167 5 163 162 29 180 175 6 172 152 30 157 157 7 192 179 31 170 172 8 170 163 32 186 181 9 174 172 33 180 166

10 191 170 34 188 181 11 182 170 35 153 148 12 178 147 36 179 169 13 181 165 37 175 170 14 168 162 38 165 157 15 162 154 39 156 162 16 188 166 40 185 174 17 168 167 41 172 168 18 183 174 42 166 162 19 188 173 43 179 159 20 166 164 44 181 155 21 180 163 45 176 171 22 176 163 46 170 159 23 185 171 47 165 164 24 169 161 48 183 175

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UAM-X 10P 6

Altura Altura

id Esposo Esposa id Esposo Esposa 49 162 156 73 179 160 50 192 180 74 170 149 51 185 167 75 170 160 52 163 157 76 165 148 53 185 167 77 165 154 54 170 157 78 169 171 55 176 168 79 171 165 56 176 167 80 192 175 57 160 145 81 176 161 58 167 156 82 168 162 59 157 153 83 169 162 60 180 162 84 184 176 61 172 156 85 171 160 62 184 174 86 161 158 63 185 160 87 185 175 64 165 152 88 184 174 65 181 175 89 179 168 66 170 169 90 184 177 67 161 149 91 175 158 68 188 176 92 173 161 69 181 165 93 164 146 70 156 143 94 181 168 71 161 158 95 187 178 72 152 141 96 181 170

8619

2al

tura

esp

oso

140 150 160 170 180altura esposa

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UAM-X 10P 7

correlate, covariance (obs=96) | esposo esposa -------------+------------------ esposo | 178.794 esposa | 57.7243 83.3364

gen pesposo= .39*esposo gen pesposa= .39*esposa

33.5

474

.88

pesp

oso

55 60 65 70pesposa

correlate pesposo pesposa, covariance (obs=96) | pesposo pesposa -------------+------------------ pesposo | 27.1945 pesposa | 8.77987 12.6755

pwcorr esposo esposa, sig | esposo esposa -------------+------------------ esposo | 1.0000 esposa | 0.4729 1.0000 | 0.0000 pwcorr pesposo pesposa, sig | pesposo pesposa -------------+------------------ pesposo | 1.0000

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UAM-X 10P 8

pesposa | 0.4729 1.0000 | 0.0000

regress esposo esposa Source | SS df MS Number of obs = 96 -------------+------------------------------ F( 1, 94) = 27.08 Model | 3798.45368 1 3798.45368 Prob > F = 0.0000 Residual | 13186.9526 94 140.286729 R-squared = 0.2236 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.2154 Total | 16985.4063 95 178.79375 Root MSE = 11.844 --------------------------------------------------- --------------------------- esposo | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- esposa | .6926666 .1331156 5.20 0.0 00 .4283623 .9569708 _cons | 59.75608 21.85056 2.73 0.0 07 16.37127 103.1409 --------------------------------------------------- ---------------------------

regress esposo esposa, noconst Source | SS df MS Number of obs = 96 -------------+------------------------------ F( 1, 95) =19253.94 Model | 2885282.85 1 2885282.85 Prob > F = 0.0000 Residual | 14236.1458 95 149.854167 R-squared = 0.9951 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9950 Total | 2899519 96 30203.3229 Root MSE = 12.241 --------------------------------------------------- --------------------------- esposo | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- esposa | 1.056149 .0076114 138.76 0.0 00 1.041038 1.071259 --------------------------------------------------- ---------------------------

twoway lfit esposo esposa , estopts(nocons)

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UAM-X 10P 9

Regresión sobre variables estandarizadas Otro aspecto importante de considerar es lo que se obtendría si estimamos un modelo donde las variables se encuentren estandarizadas, esto es, libres de unidades de medida (recuerde que una variable estandarizada se caracteriza por contar con media igual a cero y desviación estándar a 1). Para ver esto consideraremos nuevamente al conjunto de datos relativos a los gastos en diversión de las familias y al tamaño de las mismas. Calcularemos entonces las variables estandarizadas y*= gasto y x*=tamaño, mediante la siguiente expresión general:

s

xxZ

−=

Los resultados se muestran en el siguiente cuadro.

Tamaño Gasto

id y x (y-ybar) (y-ybar) 2 (x-xbar) (x-xbar) 2 y* x*

1 3 1287 -1.5 2.25 -157.30 24743.29 -

1.1818 -

0.4981

2 6 1352 1.5 2.25 -92.30 8519.29 1.1818 -

0.2923 3 5 1963 0.5 0.25 518.70 269049.69 0.3939 1.6425 4 6 1677 1.5 2.25 232.70 54149.29 1.1818 0.7369 5 6 1846 1.5 2.25 401.70 161362.89 1.1818 1.2720

6 3 1443 -1.5 2.25 -1.30 1.69 -

1.1818 -

0.0041

7 4 962 -0.5 0.25 -482.30 232613.29 -

0.3939 -

1.5273

8 4 1183 -0.5 0.25 -261.30 68277.69 -

0.3939 -

0.8274 9 5 1547 0.5 0.25 102.70 10547.29 0.3939 0.3252

10 3 1183 -1.5 2.25 -261.30 68277.69 -

1.1818 -

0.8274 45 14443 14.5 897542.1 0.0000 0.0000 media 4.5 1444.3 varianza 1.6111 99726.9 desv. estándar 1.2693 315.7957

Estimemos entonces los modelos:

original exy ++= 21 ββ

con variables estandarizadas ***2

*1

* exy ++= ββ

donde se puede comprobar que

=

y

x

S

S2

*2

ˆˆ ββ

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UAM-X 10P 10

donde

=xS desviación estándar de x (original).

=yS desviación estándar de y (original).

A los coeficientes de la ecuación de regresión con variables estandarizadas, es decir, *

1β y *2β , se les denomina coeficientes beta.

La interpretación de los valores de los coeficientes beta es muy particular: “si el tamaño de la familia estandarizado aumenta en una desviación estándar, en promedio, el gasto en diversión aumenta en *

2β unidades de desviación estándar”. Observe además que si al estimar al modelo con variables estandarizadas empleamos las formulaciones antes establecidas para encontrar a los coeficientes estimados, a los coeficientes betas, en particular para *

1β , se tiene

**2

**1

ˆˆ XY ββ −= Pero dado que las medias de Y y X están estandarizadas, su valor es cero, por lo que *

1β =0, esto es. Se tiene un modelo sin intercepto. Así, tenemos para los datos considerados los siguientes resultados. regress gasto tamaño, noheader --------------------------------------------------- --------------------------- gasto | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- tamaño | 146.5862 71.07385 2.06 0.0 73 -17.31039 310.4828 _cons | 784.6621 331.0852 2.37 0.0 45 21.17832 1548.146 --------------------------------------------------- ---------------------------

regress ys xs, noheader --------------------------------------------------- --------------------------- ys | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- xs | .5891824 .2856713 2.06 0.0 73 -.0695767 1.247942 _cons | -1.99e-08 .2710115 -0.00 1.0 00 -.6249535 .6249535 --------------------------------------------------- --------------------------- regress ys xs, nocons noheader --------------------------------------------------- --------------------------- ys | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- xs | .5891824 .2693334 2.19 0.0 56 -.0200921 1.198457 --------------------------------------------------- ---------------------------

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UAM-X 10P 11

regress gasto tamaño, beta noheader --------------------------------------------------- --------------------------- gasto | Coef. Std. Err. t P>| t| Beta -------------+------------------------------------- --------------------------- tamaño | 146.5862 71.07385 2.06 0.0 73 .5891823 _cons | 784.6621 331.0852 2.37 0.0 45 . --------------------------------------------------- ---------------------------

Comprobemos también que

0.58918243315.7957

1.269296 146.5862ˆˆ

2*2 =

=

=

y

x

S

Sββ

que en Stata puede calcularse de la manera siguiente

dis 146.5862 *(1.269296/315.7957)=.58918243

El modelo de regresión con variables estandarizadas es útil si se desea comparar a los coeficientes estimados entre modelos rivales. Dado que las variables se encuentran libres de unidades de medición, un valor mayor de un coeficiente de regresión indica un impacto mucho más fuerte. edit sum Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max -------------+------------------------------------- ------------------- tamaño | 10 4.5 1.269296 3 6 gasto | 10 1444.3 315.7957 962 1963 gen ys= (gasto- 1444.3)/315.7957 gen xs= (tamaño- 4.5)/1.269296 sum Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max -------------+------------------------------------- ------------------- tamaño | 10 4.5 1.269296 3 6 gasto | 10 1444.3 315.7957 962 1963 ys | 10 -1.99e-08 .9999999 - 1.527253 1.642518 xs | 10 0 .9999996 - 1.181757 1.181757 regress gasto tamaño, noheader --------------------------------------------------- --------------------------- gasto | Coef. Std. Err. t P>| t| [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------- --------------------------- tamaño | 146.5862 71.07385 2.06 0.0 73 -17.31039 310.4828 _cons | 784.6621 331.0852 2.37 0.0 45 21.17832 1548.146 --------------------------------------------------- ---------------------------

.

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UAM-X 10P 12

MANEJO DE LAS VARIABLES DE SERIES DE TIEMPO EN STATA Datos anuales Para manejar información anual, resulta conveniente establecer un índice de tiempo.

Considere los datos del cuadro 3.8 de Gujarati y Porter (2010) relativos al producto

interno bruto nominal y real para el periodo 1959-2005.

Year NGDP RGDP Year NGDP RGDP 1959 506.6 2441.3 1983 3536.7 5423.8 1960 526.4 2501.8 1984 3933.2 5813.6 1961 544.7 2560.0 1985 4220.3 6053.7 1962 585.6 2715.2 1986 4462.8 6263.6 1963 617.7 2834.0 1987 4739.5 6475.1 1964 663.6 2998.6 1988 5103.8 6742.7 1965 719.1 3191.1 1989 5484.4 6981.4 1966 787.8 3399.1 1990 5803.1 7112.5 1967 832.6 3484.6 1991 5995.9 7100.5 1968 910.0 3652.7 1992 6337.7 7336.6 1969 984.6 3765.4 1993 6657.4 7532.7 1970 1038.5 3771.9 1994 7072.2 7835.5 1971 1127.1 3898.6 1995 7397.7 8031.7 1972 1238.3 4105.0 1996 7816.9 8328.9 1973 1382.7 4341.5 1997 8304.3 8703.5 1974 1500.0 4319.6 1998 8747.0 9066.9 1975 1638.3 4311.2 1999 9268.4 9470.3 1976 1825.3 4540.9 2000 9817.0 9817.0 1977 2030.9 4750.5 2001 10128.0 9890.7 1978 2294.7 5015.0 2002 10469.6 10048.8 1979 2563.3 5173.4 2003 10960.8 10301.0 1980 2789.5 5161.7 2004 11712.5 10703.5 1981 3128.4 5291.7 2005 12455.8 11048.6

1982 3255.0 5189.3

Dado que la primera observación corresponde al año 1959 es posible generar una

variable o índice de tiempo mediante el comando generate t=1959+_n-1 tsset t, annual Observe que la variable “_n” es un índice natural de las observaciones, el cual inicia en

1 y corre hasta el número de observaciones n. La instrucción generate crea una

variable llamada “t ” la cual agrega valores desde 1959 hasta “_n”, para entonces

subtraer 1, de forma tal que la serie creada va desde “1959”, “1960”, “1961”, de uno

en uno, hasta “2005”, en este caso.

Por su parte, la instrucción tsset establece a la variable “t” a ser considerada como

un índice de tiempo.

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UAM-X 10P 13

Datos trimestrales Stata almacena al índice de tiempo como un entero. Así, por ejemplo, para datos

trimestrales usa la convención de que el primer trimestre de 1960 es 0. El segundo

trimestre de 1960 es 1, el primer trimestre de 1961 es 4, etc. La fechas antes de 1960

son enteros negativos, de forma tal que el cuatro trimestre de 1959 es ‐1, el tercer

trimestre es ‐2, etc.

Cuando se formatea a las fechas, Stata despliega a los periodos trimestrales como

“1957q2”, que significa el segundo trimestre de 1957 (aún cuando Stata lo almacena

como un número “‐11”, es decir, el undécimo trimestre antes de 1960 1960q1.)

Stata utiliza la formula “tq(1957q2)” para convertir a la fecha formateada “1957q2” a

un índice numérico “‐11”.

Considere la siguiente información trimestral correspondiente al PIB y la tasa de

desempleo de los Estados Unidos desde el último trimestre de 1991. Para incluir estos

datos en Stata se deben realizar los siguientes comandos:

DATE GDPC1 UNRATE DATE GDPC1 UNRATE 1991-10-01 6720.9 7.10 1997-07-01 8216.6 4.87 1992-01-01 6783.3 7.37 1997-10-01 8272.9 4.67 1992-04-01 6846.8 7.60 1998-01-01 8396.3 4.63 1992-07-01 6899.7 7.63 1998-04-01 8442.9 4.40 1992-10-01 6990.6 7.37 1998-07-01 8528.5 4.53 1993-01-01 6988.7 7.13 1998-10-01 8667.9 4.43 1993-04-01 7031.2 7.07 1999-01-01 8733.2 4.30 1993-07-01 7062.0 6.80 1999-04-01 8775.5 4.27 1993-10-01 7168.7 6.63 1999-07-01 8886.9 4.23 1994-01-01 7229.4 6.57 1999-10-01 9040.1 4.07 1994-04-01 7330.2 6.20 2000-01-01 9097.4 4.03 1994-07-01 7370.2 6.00 2000-04-01 9205.7 3.97 1994-10-01 7461.1 5.63 2000-07-01 9218.7 4.07 1995-01-01 7488.7 5.47 2000-10-01 9243.8 3.93 1995-04-01 7503.3 5.67 2001-01-01 9229.9 4.17 1995-07-01 7561.4 5.67 2001-04-01 9193.1 4.47 1995-10-01 7621.9 5.57 2001-07-01 9186.4 4.83 1996-01-01 7676.4 5.53 2001-10-01 9248.8 5.60 1996-04-01 7802.9 5.50 2002-01-01 9363.2 5.63 1996-07-01 7841.9 5.27 2002-04-01 9392.4 5.83 1996-10-01 7931.3 5.33 2002-07-01 9485.6 5.77 1997-01-01 8016.4 5.23 2002-10-01 9518.2 5.90 1997-04-01 8131.9 5.00

Fuente: Tomado de http://economics.about.com/cs/datasources/a/quarterlydata.htm

generate t=tq(1991q4)+_n-1 format t %tq tsset t

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UAM-X 10P 14

El comando generate crea a la variable “t” como un número entero. El comando

format como lo dice su nombre formatea a la variable “t” usando el formato de serie

de tiempo trimestral. La “tq” se refiere a una “serie de tiempo‐trimestral”. El

comando tsset declara a la variable “t” como el índice de tiempo.

twoway tsline unrate

45

67

8U

NR

AT

E

1992q1 1994q3 1997q1 1999q3 2002q1t

Datos mensuales El manejo de datos mensuales es similar pero reemplazando una “m” por la “q” del

trimestral. Stata almacena el índice del tiempo con la convención 1960m1 es 0. Para

generar un índice mensual iniciando el segundo mes de 1962 se deben utilizar los

siguientes comandos:

generate t=tm(1962m2)+_n-1 format t %tm tsset t Datos semanales Con datos semanales es similar usando “w” en lugar de “q” y “m”, donde la base del

periodo es, por ejemplo, 1960w1. De esta manera, para una serie que inicia en la 7ª.

semana de 1973 se utilizan los comandos:

generate t=tw(1973w7)+_n-1 format t %tw tsset t

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Datos diarios Los datos diarios son almacenados por fechas. Por ejemplo, “01jan1960” es Jan 1,

1960, el cual es el periodo base. Para generar un índice de tiempo diario iniciando en

April 18, 1962, se utilizan los comandos

generate t=td(18apr1962)+_n-1 format t %td tsset t Operadores de Series de Tiempo Sea una serie de tiempo denominada y, entonces

L. rezago y(t‐1) Ejemplo: L.y

L2. 2 dos periodos de rezago y(t‐2) Ejemplo: L2.y

F. adelanto y(t+1) Ejemplo: F.y

F. 2 dos periodos de adelanto y(t+2) Ejemplo: F2.y

D. diferencia y(t)‐y(t‐1) Ejemplo: D.y

D2. doble diferencia (y(t)‐y(t‐1))‐ (y(t‐1)‐y(t‐2))

Ejemplo: D2.y

S. diferencia estacional y(t)‐y(t‐s), donde s es la frecuencia estacional

(e.g., s=4 para trimestres) Ejemplo: S.y

S2. 2 diferencia de periodo estacional y(t)‐y(t‐2s)

Ejemplo: S2.y

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ALGEBRA MATRICIAL CON STATA

a) Construcción de matrices en STATA

Existen dos formas de crear matrices con STATA. La primera es utilizando el comando matrix (el cual es la abreviación de "matrix define "); aquí la matriz se elabora elemento por elemento. La segunda, de manera alternativa, es mediante el comando mkmat el cual es usado para crear un matriz a partir de las variables existentes en una base de datos concatenando (juntando) los valores de las columnas. Veamos cada uno de estos comandos.

a.1) Comando matrix

Bajo este comando la sintaxis básica es la siguiente

matrix nombre = (elementos)

Esto indica que después de emplear al comando y otorgarle un nombre a la matriz, los datos que forman a la matriz deben estar encerrados dentro de paréntesis observando que los elementos de una misma fila o renglón deben estar separados por comas mientras que la separación entre filas o renglones mediante una slash inverso (\) (el número de columnas implica necesariamente el número de elemntos por cada renglón)). Así, por ejemplo, si la matriz es denominada como A, siendo una matriz de dimensión 2x4, se tiene entonces que escribir (2,4,3,7\1,5,3,1), esto es,

matrix A= (2,4,3,7\1,5,3,1)

por lo que la matriz deberá parecerse a algo como lo siguiente:

=

1351

7342A

Observe que Stata no despliega a la matriz dentro de la ventana de resultados sino que la almacena en memoria. Si se desea ver a la matriz y a sus elementos es necesario escribir

matrix list A

con lo que Stata despliega la dimensión y los elementos de la matriz A, esto es:

A[2,4] c1 c2 c3 c4 r1 2 4 3 7 r2 1 5 3 1

Los vectores columna y renglón son creados con el mismo comando. De esta forma, el comando "matrix A=(2,1,4,3) " elabora una vector renglón de

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dimensión 1x4 mientras que el comando "matrix A=(2\1\4\3) " crea un vector columna de orden 4x1.

a.2) Comando mkmat

La sintaxis utilizada bajo este comando es la siguiente

mkmat varnames, matrix(matrix name)

Aquí las matrices son creadas a partir de una base de datos existente. De esta manera, se puede desear construir una matriz a partir de un archivo que contenga 3 variables (por ejemplo, las variables V1, V2 y V3) dentro de una matriz denominada A con lo que se escribe

mkmat V1, V2, V3, matrix (A)

De esta manera, el comando concatenara (juntará) a las variables señaladas (V1, V2 y V3) dentro de la matriz A compuesta de N renglones (donde N es el número de casos en el archivo de datos para cada una de estas variables, observando que deberá ser el mismo) y 3 columnas (1 para cada variable).

b) Manipulación de matrices

matrix C = A,B une las matrices A y B (deben ser conformable).

matrix C = A\ une a las matrices A y B de manera transpuesta (renglones por columna).

matrix A = J (#1, #2, #3) Crea una matriz rectangular #1 por #2 cuyos valores en todos sus elementos es igual a valor fijado en #3.

matrix I = I (#1) Crea una matriz identidad cuadrada con columnas y renglones igual a #1.

Matrix A = DIAG (V) Crea una matriz cuadrada con valores del vector V como diagonal principal y cero en los otros elementos.

matrix NR = ROWSOF (A) Encuentra el # de renglones en A.

matrix NC = COLSOF (A) Encuentrael # de columnas en A.

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c) Operaciones básicas de matrices

matrix C = A + B matrix C = A - B matrix C = A * B matrix AT = A' matrix INVA = INV (A) matrix DETA = DET (A) matrix DIAGA = VECDIAG (A)

d) Ejemplos y extensiones

Multiplicación por un escalar

mat B = 3*A mat lis B B[3,2] c1 c2 r1 6 3 r2 9 6 r3 -6 6

Suma y resta de matrices

mat B = (1,1\4,2\-2,1) mat C = A + B mat lis C C[3,2] c1 c2 r1 3 2 r2 7 4 r3 -4 3 mat D = A - B mat lis D D[3,2] c1 c2 r1 1 0 r2 -1 0 r3 0 1

Multiplicación de matrices

mat D = (2,1,3\-2,2,1) mat C = D*A mat lis C C[2,2] c1 c2

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r1 1 10 r2 0 4 mat C = A*D mat lis C C[3,3] c1 c2 c3 r1 2 4 7 r2 2 7 11 r3 -8 2 -4 mat D = (2,1,3) mat C = D*A mat lis C C[1,2] c1 c2 r1 1 10 mat C = A*D conformability error r(503);

Transposición de matrices

mat AT = A' mat lis AT AT[2,3] r1 r2 r3 c1 2 3 -2 c2 1 2 2 mat ATT = AT' mat lis ATT ATT[3,2] c1 c2 r1 2 1 r2 3 2 r3 -2 2

Vectores de uso común

Vector unitario

mat U = J(3,1,1) mat lis U U[3,1] c1 r1 1 r2 1 r3 1

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Matrices de uso común

Matriz unitaria

mat U = J(3,2,1) mat lis U U[3,2] c1 c2 r1 1 1 r2 1 1 r3 1 1

Matriz diagaonal

mat S = (2,1,4\3,2,2\-2,2,3) mat lis S S[3,3] c1 c2 c3 r1 2 1 4 r2 3 2 2 r3 -2 2 3 mat D = diag(vecdiag(S)) mat lis D symmetric D[3,3] c1 c2 c3 c1 2 c2 0 2 c3 0 0 3 mat V = (3,1,2) mat D = diag(V) mat lis D symmetric D[3,3] c1 c2 c3 c1 3 c2 0 1 c3 0 0 2

Matriz identidad

mat I = I(3) mat lis I symmetric I[3,3] c1 c2 c3 r1 1 r2 0 1 r3 0 0 1

Matriz simetrica

mat C = (2,1,5\1,3,4\5,4,-2)

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mat lis C symmetric C[3,3] c1 c2 c3 r1 2 r2 1 3 r3 5 4 -2 mat CT = C' mat lis CT symmetric CT[3,3] r1 r2 r3 c1 2 c2 1 3 c3 5 4 -2

Matriz inversa

matrix A = (4,2,2 \ 4,6,8 \ -2,2,4) matrix list A A[3,3] c1 c2 c3 r1 4 2 2 r2 4 6 8 r3 -2 2 4 matrix A1 = inv(A) matrix list A1 A1[3,3] r1 r2 r3 c1 1 -.5 .5 c2 -4 2.5 -3 c3 2.5 -1.5 2

Matriz inversa y determinante

mat C = (2,1,6\1,3,4\6,4,-2) mat CI = syminv(C) mat lis CI symmetric CI[3,3] r1 r2 r3 c1 .6 c2 -.2 .4 c3 0 0 0 scalar d = det(C) display d -102

Despliegue del número de columnas y renglones

mat X = (3,2\2,-2\4,6\3,1) mat lis X X[4,2]

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c1 c2 r1 3 2 r2 2 -2 r3 4 6 r4 3 1 scalar r = rowsof(X) scalar c = colsof(X) display r, " ", c 4 2

Calculo de las sumas por renglon o columna

mat A = (2,1\3,2\-2,2) mat lis A A[3,2] c1 c2 r1 2 1 r2 3 2 r3 -2 2 mat U = J(rowsof(A),1,1) mat list U U[3,1] c1 r1 1 r2 1 r3 1 mat c = U'*A mat list c c1 c2 c1 3 5

Cálculo de las medias por renglón o columna

mat cm = c/rowsof(A) mat lis cm cm[1,2] c1 c2 r1 1 1.6666667