APLIKASI ALGORITMA NONLINEAR PROGRAMMING
UNTUK MENGOPTIMALKAN PARAMETER α DALAM METODE PEMULUSAN EKSPONENSIAL
SATU PARAMETER
EKA NOVI NURHIDAYATI
1208 100 040 Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember
2012
UJIAN TUGAS AKHIR
Latar Belakang
Pendekatan untuk menentukan parameter yang optimal biasanya secara coba dan salah (trial and error).
Makridakis (1999) menyatakan bahwa algoritma
nonlinear programming dapat menyelesaikan masalah optimasi parameter ini dengan baik.
Pada tugas akhir ini digunakan algoritma nonlinear programming untuk mendapatkan nilai parameter α yang optimal pada metode pemulusan eksponensial tunggal, yaitu metode dichotomous search dan interpolasi kuadrat.
Rumusan Masalah
Bagaimana menentukan parameter α yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial tunggal dengan menggunakan algoritma nonlinear programming.
Batasan Masalah
Metode pemulusan eksponensial yang dipakai adalah metode pemulusan eksponensial tunggal.
Metode dalam algoritma nonlinear programming yang dipakai adalah metode dichotomous search (pencarian dikotomis) dan metode quadratic interpolation (interpolasi kuadrat).
Ukuran error peramalan yang digunakan adalah rata-rata kesalahan persentase absolut (Mean Absolute Percentage Error) yang selanjutnya disingkat MAPE.
Program yang dibuat pada tugas akhir ini dikerjakan dengan menggunakan software Matlab
(Lanjutan) Batasan Masalah
Asumsi yang digunakan pada pengerjaan tugas akhir ini adalah:
Pendekatan nilai didapatkan dari merata-ratakan lima data penelitian pertama, yaitu
.
Nilai panjang langkah dan error (pembatas berhentinya iterasi) dalam metode dichotomous search dan interpolasi kuadrat adalah sama,
yaitu =0,01 dan error=0,001%.
1F
5/)( 543211 XXXXXF
)(
Tujuan
Mendapatkan nilai α yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial tunggal dengan menggunakan algoritma nonlinear programming yaitu metode dichotomous search (pencarian dikotomis) dan metode quadratic interpolation (interpolasi kuadrat).
Manfaat
Memberikan informasi mengenai penggunaan algoritma nonlinear programming dalam menyelesaikan permasalahan peramalan dengan menggunakan metode pemulusan eksponensial.
Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal
Dengan nilai terletak antara 0 dan 1.
ttt FXF )1(1
Ukuran Error Peramalan
Ukuran error peramalan digunakan untuk mengevaluasi harga parameter peramalan.
Ukuran error yang dipakai adalah rata-rata kesalahan persentase absolut (mean absolute percentage error)
MAPE =
n
oi i
ii | .100%X
F-X|
Algoritma Nonlinear Programming
METODE DICHOTOMOUS SEARCH
(PENCARIAN DIKOTOMIS) 1. Titik dan sedemikian hingga, 2. dan 3. Setelah mendapatkan dan , terdapat tiga
kasus: a. b.
c.
xxxx LR
21
xx LR
2
21
xx
xL 2
21
xx
xR
xL xR
)(xLf )(xR
f
xxxxfxf RRL *1)()(
xxxxfxf LRL 2*)()(
xxxxfxf RLRL *)()(
Algoritma Nonlinear Programming
METODE QUADRATIC INTERPOLATION
(INTERPOLASI KUADRAT) 1. Dari persamaan fungsi kuadrat ,
dipilih titik , dan sehingga didapatkan:
+ , + dan + .
2. Dengan menyelesaikan , dan didapatkan nilai a dan b yang kemudian disubstitusikan ke .
Titik didapatkan dari dan titik dipilih berdasarkan syarat berikut:
atau
cbxaxxf 2)(
1x 2x 3x2
11)( xaxf cxb 12
22)( xaxf cxb 22
33)( xaxf cxb 3
)( 1xf )( 2xf )( 2xf
abx 2/*
xx 122x 3x
xxxfxf 1321 )()( xxxfxf 2321 )()(
Tidak
Selesai
Tidak
,
Tidak
Ya
Ya
Selesai
Tidak
Tidak
Ya
Tidak
Ya
Ya
Mulai
Tentukan nilai
dan e
Algoritma Metode
Dichotomous Search
,, 21
RL ,
RL 21 ,
R 2
L 1
lb 11
eE
)()( RL ff
)()( RL ff
lb 22
bb 21
%1002
22 xb
lbE
%1001
21 xb
lbE
0E
%1002
12 xb
bbE
212*
)( *min ff
Tabel Hasil Running Program dengan Metode Dichotomous Search
Iterasi ke- alpha1 alpha2 error (%) 1 0 0,5050 98,0198
2 0,2475 0,5050 104,0404
3 0,2475 0,3812 32,4590
4 0,2475 0,3194 19,3738
5 0,2475 0,2884 10,7259
6 0,2475 0,2730 5,6669
7 0,2552 0,2730 6,9483
8 0,2591 0,2730 5,3520
9 0,2591 0,2710 0,7134
10 0,2591 0,2701 0,3580
11 0,2590 0,2701 4,0385
12 0,2598 0,2701 3,9417
13 0,2598 0,2699 0,0448
14 0,2598 0,2699 0,0224
15 0,2598 0,2699 0,0112
16 0,2598 0,2698 0,0056
17 0,2598 0,2698 0,0028
18 0,2598 0,2698 3,8501
19 0,2598 0,2698 3,8494
20 0,2598 0,2698 3,8490
21 0,2598 0,2698 3,8488
22 0,2598 0,2698 3,8487
23 0,2598 0,2698 4,3737.
Pada iterasi ke-23 nilai error kurang dari
0,001%, maka iterasi berhenti setelah
iterasi ke-23 dengan α yang optimal
sama dengan 0,2648 dan MAPE sama
dengan11,8261%. Jadi jumlah iterasi
pada program dengan metode
dichotomous search adalah 23 iterasi.
Algoritma Metode
Interpolasi Kuadrat
Ya
Selesai
Tidak
Tidak
Ya
Tidak
Selesai
Ya
Tidak
Tidak
Ya Selesai
Ya
Selesai
Mulai
Tentukan
dan e
,, 21
12
01 atau 11
02 atau 12
)()( 21 ff 13
23
03 atau 13
*s
elamass )(** *
1 s
**s
Hasil Running Program Dengan Metode Interpolasi Kuadrat
Tabel Hasil Running Program dengan Metode Interpolasi Kuadrat
Pada iterasi ke-empat nilai error kurang dari 0,001%. Maka iterasi berhenti setelah iterasi ke-empat dengan hasil yang optimal sama dengan 0,2649 dan nilai MAPE sama dengan 11,8261%. Jadi jumlah iterasi pada program dengan metode interpolasi kuadrat adalah empat.
Iterasi ke- alpha1 alpha2 alpha3 optimal error (%)
1 0,1000 0,1100 0,1200 0,2397 100
2 0,2397 0,2497 0,2597 0,2553 6,1298
3 0,2553 0,2653 0,2753 0,2649 3,6023
4 0,2649 0,2749 0,2549 0,2649 2,0751.
Analisis Hasil
Penentuan metode mana yang lebih efektif di antara metode dichotomous search dan interpolasi kuadrat dilihat pada iterasi ke berapa nilai error
akhirnya kurang dari 0,001%.
Berdasarkan hasil di atas maka metode interpolasi kuadrat lebih efektif daripada metode dichotomous search untuk mendapatkan parameter α yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial tunggal.
Kesimpulan
Berdasarkan keseluruhan analisis hasil yang telah dilakukan dalam penyusunan tugas akhir ini, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk mendapatkan α yang optimal dengan menggunakan metode dichotomous search adalah 23 iterasi dengan hasil α
optimal sama dengan 0,2648 dan
MAPE sama dengan 11,8261%.
(Lanjutan) Kesimpulan
2. Sedangkan dengan menggunakan
metode interpolasi kuadrat, jumlah iterasi yang dibutuhkan hingga mendapatkan parameter α yang optimal adalah empat iterasi, dengan hasil parameter α yang
optimal adalah 0,2649 dan MAPE
sama dengan 11,8261%.
3. Jadi metode yang lebih efektif untuk
mendapatkan parameter α yang optimal dalam metode pemulusan eksponensial adalah metode interpolasi kuadrat dengan jumlah iterasi yang lebih sedikit, sehingga waktu yang dibutuhkan lebih efisien.
Saran
Pertimbangan yang dapat dipakai untuk pengembangan atau penelitian ke depan, yaitu
1. Obyek penelitian dapat dikembangkan pada metode pemulusan eksponensial dengan multiparameter .
2. Metode nonlinear programming yang digunakan adalah metode untuk mencari nilai optimal dengan multi-variabel.
Daftar Pustaka
Bertsekas, D.P. 1999. Nonlinear Programming Second Edition. Athena Scientific: Massachusetts.
Makridakis, S. dan Wheelwright, S.C. 1989. Forecasting Methods for Management, 5 ed. John Wiley & Sons, Inc: New York.
Makridakis, S., Wheelwright, S.C., dan McGee, Victor E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Erlangga: Jakarta.
Raharja, A., Angraeni,W., dan Vinarti, R. A. 2010. Penerapan Metode Exponential Smoothing Untuk Peramalan Penggunaan Waktu Telepon Di Pt.Telkomsel Divre3 Surabaya. <URL:http://www.digilib.its.ac.id/detil.php?id=14344&q=single%20exponential%20smoothing.html>. [Diakses pada 8 Desember 2011, pukul 11.42 WIB]
Sharma, S. 2006. Applied Nonlinear Programming. New Age International (P) Ltd., Publishers: New Delhi.
The Jin Ai. 1999. Optimasi Peramalan Pemulusan Eksponensial Satu Parameter Dengan Menggunakan Algoritma Nonlinear Programming. JURNAL TEKNOLOGI INDUSTRI. VOL. III, No. 3, hal: 139–148. <URL:http://www.uajy.ac.id/jurnal/jti/1999/3/3/doc/1999_3_3_1.doc.html>.[ Diakses pada tanggal 17 Maret 2011, pukul 17.25 WIB]
Zainun, N. Y. dan Majid, M. Z. A. 2003. Low Cost House Demand Predictor. Universitas Teknologi Malaysia.
Top Related