Ejercicios mecánica - [Download PDF]

7 in

Problema: Equilibrio de partícula Un bloque de peso W está suspendido de una cuerda de 25 in. De largo y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in. cada una. Si las constantes de los resortes son kAB=9 lb/in. y kAD=3 lb/in., determine a) la tensión de la cuerda, b) el peso del bloque.

A

B D

C

W

29 in 23 in

29 in

8 in

16

in

Planteamiento Las ecuaciones de equilibrio se plantean para la partícula, a partir del diagrama de cuerpo libre, que en este caso, es el punto en donde se unen los resortes y las cuerdas. Donde los ángulos α, β y φ se calculan como:

ADF

W

αφβ

ACF

ABF

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0sensensen

00coscoscos

0

=−++

=

=−+

=

∑

WFFFF

FFFF

ABACAD

y

ABACAD

x

φβα

°=

−=

°=

+

=

°=

+=

−

9.36729

5.16tan

7.737

816tan

1.28723

16tan

1

φ

β

α

Fuerzas en los resortes Ahora, el anterior sistema consta de dos (2) ecuaciones con cuatro (4) incógnitas, sin embargo, las fuerzas ejercidas por los resortes se pueden conocer mediante las ecuaciones constitutivas de estos:

Donde kAB=9 lb/in y kAD=3 lb/in son las constantes de resorte mientras que ΔlAD y ΔlAD, son las elongaciones de estos, las cuales son la diferencia entre su longitud final y su longitud natural. Donde, según el enunciado del problema, lnAD=lnAB=22.5 in. Y a partir de la geometría del problema:

ABABAB

ADADAD

lkFlkF

∆=∆=

( )( )nABABAB

nADADAD

llllll

−=∆−=∆

( )34

16723 22

=

++=

AD

ll ( )

5.275.16729 22

=

+−=

AB

ll

Resultados y Análisis Así, al reemplazar, se llega a que las fuerzas ejercidas por los resortes corresponden a: Con ello, ahora el sistema de ecuaciones es consistente (dos ecuaciones con dos incógnitas): Del cual al resolver se obtienen los siguientes resultados: Los cuales, al dar positivos, confirman lo evidente, que la fuerza de la cuerda es de tensión y que el peso va hacía abajo

lb102=ADF

( ) ( ) ( ) 0sensensen =−++ WFFF ABACAD φβα

( ) ( ) ( ) 0coscoscos =−+ φβα ABACAD FFF ACF

W

lb71.385=ACF lb79.566=W

(1)

(2) Incógnitas

lb5.247=ABF

Problema: Equilibrio de partícula 2D

Dos semáforos se cuelgan temporalmente de un cable como se muestra en la figura, Si el semáforo colocado en B pesa 300N, determine el peso del semáforo en C

A

B

D

C

3.6 m 3.4 m 2.4 m

4.9

m

4.5

m

3.8

m

3.4

m

Equilibrio Se debe realizar el análisis a dos partículas: el punto B y el punto C, pues para encontrar el peso del semáforo ubicado en este último, se hacen necesarias, también, las ecuaciones de equilibrio del punto B.

BCF

BW

αβ

ABF

CDF

CW

φ

BCFα

B C

( ) ( )

( ) ( ) 0sensen

00coscos

0

=−+

=

=+−

=

∑

BBCAB

y

BCAB

x

WFFF

FFF

αβ

αβ ( ) ( )

( ) ( ) 0sensen

00coscos

0

=−+−

=

=+−

=

∑

CCDBC

y

CDBC

x

WFFF

FFF

φα

°=

−

= − 71.64.3

4.38.3tan 1α °=

−

= − 26.164.2

8.35.4tan 1φ°=

−

= − 62.224.2

8.35.4tan 1β

Resultados y Análisis De esta manera se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas

( ) ( ) 0coscos =+− αβ BCAB FF

( ) ( ) 0sensen =−+− CCDBC WFF φα

( ) ( ) 0sensen =−+ BBCAB WFF αβ

( ) ( ) 0coscos =+− φα CDBC FF

N26.608=ABF

N34.565=BCF

N71,97=CW

N34.584=CDF

Ecua

cion

es

Incó

gnita

s (1)

(2)

(3) (4)

ABF

BCF

CW

CDF

Que al ser resueltas arrojan los siguientes resultados:

Entonces, el valor positivo de las fuerzas en los cables, indica que, como era de esperarse, estos ejercen fuerzas de tensión que salen de las partículas analizadas. Adicionalmente, los valores altos de las tensiones se deben a los ángulos bajos que forman con la horizontal.

Problema: Equilibrio de partícula 3D

Una torre de transmisión se sostiene por medio de tres alambres que están unidos a una punta colocada en A y se anclan mediante pernos en B, C, y D. Si la tensión en el alambre AB es de 3.6kN, determine la fuerza vertical P ejercida por la torre sobre la punta puesta en A.

A

B

C

D

O

y

x z

30 m

Coordenadas de los puntos Para comenzar se definen los valores de las coordenadas de cada punto, tal como se ve en la figura:

0300

===

A

zyx

( )AAA zyx ,,

( )BBB zyx ,,

( )CCC zyx ,,

( )DDD zyx ,,

2.220

6

−==−=

D

zyx

5.706

==−=

B

zyx

4.5018

===

C

zyx

A

B

C

D

O

y

x z

000

0

===

zyx

( )OOO zyx ,,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AB

zzyyxxAB

kjiAB

kzzjyyixxAB

AB

ABABAB

ˆ24.0ˆ95.0ˆ19.0

5.31

ˆ5.7ˆ30ˆ6

ˆ5.70ˆ300ˆ06

ˆˆˆ

222

−−−=

=

−+−+−=

−−−=

−+−+−−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AC

zzyyxxAC

kjiAC

kzzjyyixxAC

AC

ACACAC

ˆ59.0ˆ79.0ˆ16.0

4.35

ˆ4.5ˆ30ˆ18

ˆ04.5ˆ300ˆ018

ˆˆˆ

222

−−−=

=

−+−+−=

+−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AD

zzyyxxAD

kjiAD

kzzjyyixxAD

AD

ADADAD

ˆ59.0ˆ79.0ˆ16.0

8.37

ˆ2.22ˆ30ˆ6

ˆ02.22ˆ300ˆ06

ˆˆˆ

222

−−−=

=

−+−+−=

−−−=

−−+−+−−=

−+−+−=

λ

Vectores unitarios

( )BBB zyx ,,

( )CCC zyx ,,

( )DDD zyx ,,

A

B

C

D

O

y

x z

( )OOO zyx ,,

( )AAA zyx ,,

Equilibrio Entonces, con las componentes de los vectores unitarios ya es posible plantear las ecuaciones de equilibrio para la partícula de interés, que es el punto A, donde convergen todas las fuerzas.

016.051.019.00

=−+−

=∑ADACAB

x

FFFF

FAB

FAC

FAD

P

079.085.095.0

0

=−−−

=∑ADACAB

y

FFFPF

059.015.023.00

=−+

=∑ADACAB

z

FFFF

Sistema de ecuaciones De esta manera se obtiene un sistema que consta de tres ecuaciones con tres incógnitas: Cuya solución es:

P

Ecua

cion

es

Incó

gnita

s

(1)

(2)

(3)

016.051.019.0 =−+− ADACAB FFF

079.085.095.0 =−−− ADACAB FFFP

059.015.023.0 =−+ ADACAB FFF

ACF

ADF

kN66.6=P

kN963.1=ACF

kN969.1=ADF

Con la que se confirma que, en efecto, la fuerza ejercida por la torre es hacia arriba y que las cuerdas realizan una acción que sale de la partícula analizada

Problema: Equilibrio de partícula 3D

Una pieza de maquinaria de peso W está sostenida temporalmente por los cables AB, AC y ADE. El cable ADE está unido al anillo en A, pasa por la polea en D, y regresa al anillo para unirse después al soporte en E. Si la tensión en el cable AB es de 300 N, determine: a) La tensión en AC, b) La tensión en ADE y c) El peso W. (Sugerencia: La tensión es la misma en todos los tramos del cable ADE.)

Problema: Equilibrio de partícula 3D

A

B

C D

E

y

2.4

m x

z

Coordenadas de los puntos Para comenzar se definen los valores de las coordenadas de cada punto, tal como se ve en la figura:

04.2

0

=−=

=

A

zyx

( )AAA zyx ,,

( )BBB zyx ,,

( )CCC zyx ,,

( )DDD zyx ,,

( )EEE zyx ,,

3.00

2.1

−===

D

zyx

6.30

7.2

−==−=

B

zyx

8.100

===

C

zyx

2.10

4.2

==−=

E

zyx

A

B

C D

E

y

x

z

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AB

zzyyxxAB

kjiAB

kzzjyyixxAB

AB

ABABAB

ˆ1712ˆ

178ˆ

179

1.5

ˆ6.3ˆ4.2ˆ7.2

ˆ06.3ˆ4.20ˆ07.2

ˆˆˆ

222

−+−=

=

−+−+−=

−+−=

−−+−−+−−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

kj

AC

zzyyxxAC

kjAC

kjiAC

kzzjyyixxAC

AC

ACACAC

ˆ53ˆ

54

3

ˆ8.1ˆ4.2

ˆ08.1ˆ4.20ˆ0

ˆˆˆ

222

+=

=

−+−+−=

+=

−+−−+=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AD

zzyyxxAD

kjiAD

kzzjyyixxAD

AD

ADADAD

ˆ91ˆ

98ˆ

94

7.2

ˆ3.0ˆ4.2ˆ2.1

ˆ03.0ˆ4.20ˆ02.1

ˆˆˆ

222

−+=

=

−+−+−=

−++=

−−+−−+−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AE

zzyyxxAE

kjiAE

kzzjyyixxAE

AE

AEAEAE

ˆ31ˆ

32ˆ

31

6.3

ˆ2.1ˆ4.2ˆ4.2

ˆ02.1ˆ4.20ˆ04.2

ˆˆˆ

222

−+−=

=

−+−+−=

−+−=

−+−−+−−=

−+−+−=

λ

Vectores unitarios

( )AAA zyx ,,

( )BBB zyx ,,

( )CCC zyx ,,

( )DDD zyx ,,

( )EEE zyx ,,

A

B

C

D E

y

x z

Equilibrio Entonces, con las componentes de los vectores unitarios ya es posible plantear las ecuaciones de equilibrio para la partícula de interés, que es el punto A, donde convergen todas las fuerzas.

031

942

179

0

=−+−

=∑AEADAB

x

FFF

FFAB

FAC FAD

P

FAE

A 0

32

982

54

178

0

=−+++

=∑WFFFF

F

AEADACAB

y

031

912

53

1712

0

=−−+−

=∑AEADADAB

z

FFFF

F

Sistema de ecuaciones De esta manera se obtiene un sistema que consta de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. Para lo cual es necesario notar que como la tensión en la cuerda ADE es igual en todos sus tramos, entonces, en las ecuaciones de equilibrio, las fuerzas FAD y FAE son iguales. Lo cual da pie para plantear la ecuación faltante: Finalmente, se llega a un sistema de ecuaciones consistente. Cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

AEAD FF =

0

031

912

53

1712

032

982

54

178

031

942

179

=−

=−−+−

=−+++

=−+−

AEAD

AEADADAB

AEADACAB

AEADAB

FF

FFFF

WFFFF

FFF

WFFF

AE

AD

AC

Ecua

cion

es

Incó

gnita

s

(1)

(2)

(3)

(4)

Resultados y Análisis Así pues, la solución de este sistema de ecuaciones arroja el valor de las fuerzas en las cuerdas y el peso de la pieza de maquinaria: Cuyo signo positivo, una vez más indica que las cuerdas ejercen fuerzas que salen de la partícula analizada (fuerza de tensión)

N71.2064=W N71.714=ADFN59.220=ACF N71.714=AEF

Problema: Equilibrio de cuerpos rígidos 2D

Un letrero se cuelga del mástil AB por medio de dos cadenas. El mástil está articulado en A y se sostiene mediante el cable BC. Si la tensión en las cadenas DE y FH es, respectivamente, de 225 y 135 N, y d=0.39 m, determine a) la tensión en el cable BC, b) la reacción en A.

A

B

C

D

E

F H

0.75

m

2.52m 0.66m 1.5m

d

Equilibrio El diagrama de cuerpo libre del mástil se muestra a continuación y se plantean las ecuaciones de equilibrio para el mismo:

Rx

Ry

FDE

FFH

FBC

A

B D F

( ) 0cos0

=−

=∑αBCx

x

FRF

α

°=

= − 8.8

52.239.0tan 1α

( ) 0sen

0

=+−−

=∑αBCFHDEy

y

FFFRF

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 016.266.052.2sen39.075.0cos0

=−−+−

=∑FHDEBCBC

A

FFFFM

αα

Sistema de ecuaciones y solución Las ecuaciones de equilibrio forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

( ) 0cos =− αBCx FR

( ) 0sen =+−− αBCFHDEy FFFR

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 016.266.052.2sen39.075.0cos =−−+− FHDEBCBC FFFF αα

xR

BCF

yR

(1)

(2)

(3) Ecua

cion

es

Incó

gnita

s

Reacciones

Fuerza en el cable BC

Dicho sistema se resuelve y se obtiene:

N8.586=xRN8.593=BCF

N2.269=yRReacciones Fuerza en

el cable BC

Problema: Equilibrio de cuerpos rígidos 2D

Una pequeña grúa está montada a un lado de la parte trasera de una camioneta pickup. Para la posición θ=40°, determine la magnitud de la fuerza soportada por el pasador en O y la presión de aceite p ejercida contra el pistón de 50 mm de diámetro del cilindro hidráulico BC.

A

120kg

C

O

B 36

0mm

Geometría Para conocer la dirección de la fuerza ejercida por el cilindro (FBC) al brazo de la grúa, hay que encontrar el ángulo que forma este con la horizontal. Para ello, basta encontrar la distancia desde O hasta el punto auxiliar C’. Cuya descomposición en la horizontal es la misma que la de C. Ahora, al descomponer la distancia de 110 mm, perpendicular al brazo de la grúa, en la vertical, se obtiene la distancia de 144.22 mm entre C y C’. De manera que la distancia vertical de C es 493.26 mm.

O

B

C

A

C’

Equilibrio El diagrama de cuerpo libre del brazo de la grúa se muestra a continuación y se plantean las ecuaciones de equilibrio para el mismo:

ROx

FBC

W ( ) 0cos0

=+

=∑αBCOx

x

FRF

ROy

O

C

A

α

θ

( ) ( )( ) ( )( ) 033131.0sen36.049326.0coscos)125.1(0

=−−+

=∑ααθ BCBC

A

FFWM

( ) 0sen

0

=−+

=∑WFR

F

BCOy

y

α

Sistema de ecuaciones y solución Las ecuaciones de equilibrio forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

( ) 0cos =+ αBCOx FR

( ) 0sen =−+ WFR BCOy α

( ) ( )( ) ( )( ) 033131.0sen36.049326.0coscos)125.1( =−−+ ααθ BCBC FFW

xR

BCF

yR

(1)

(2)

(3) Ecua

cion

es

Incó

gnita

s

Reacciones

Fuerza en el cilindro BC

Dicho sistema se resuelve y se obtienen:

N71.2134−=OxRN22.4464=BCF

N55.2743−=OyRReacciones Fuerza en

el cilindro BC

Análisis De los resultados anteriores se puede concluir que la suposición de las direcciones de las componentes de la reacción en O fue contraria a la realidad pues estas dieron con signo negativo. Con respecto al actuador hidráulico, se confirmó que el sentido de la fuerza que ejerce este sobre el brazo es hacia el pasador (entrando) Finalmente, para responder a la pregunta del ejercicio, la presión en el pistón del actuador es:

MPa14.7405.0

22.44642

=

BC

BCBC

p

AF

p

π

Problema: Equilibrio de cuerpo rígido 3D

La pluma de 900 lb con centro de gravedad en G está sostenida en la posición mostrada por una junta de rótula en O y los dos cables AB y AC. Determine las tensiones de los dos cables y las componentes x, y y z de la fuerza de reacción en O.

30°

'30

'40

'50

=

==

=

OG

OCOB

OA

A

C

B

O

z

x

y

40°

G

Coordenadas de los puntos Para comenzar se definen los valores de las coordenadas de cada punto, tal como se ve en la figura:

( ) ( )

( )958.40

55sen50969.21

230cos55cos50434.18

230sen55cos50

=°=

−=°°=

A

zzyyxx

000

===

G

zyx

0040

===

B

zyx

0400

===

C

zyx

30°

A C

B O

z

x

y

40°

G

( )AAA zyx ,,

( )BBB zyx ,,

( )CCC zyx ,,( )GGG zyx ,,

( )BBB zyx ,,

Vectores unitarios

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AB

zzyyxxAB

kjiAB

kzzjyyixxAB

AB

ABABAB

ˆ549.0ˆ294.0ˆ783.0

664.74

ˆ958.40ˆ969.21ˆ434.58

ˆ958.400ˆ969.210ˆ434.1840

ˆˆˆ

222

−+=

=

−+−+−=

−+=

−+−−+−−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AC

zzyyxxAC

kjiAC

kzzjyyixxAC

AC

ACACAC

ˆ535.0ˆ81.0ˆ241.0

535.76

ˆ958.40ˆ96921ˆ434.18

ˆ958.400ˆ969.2140ˆ434.180

ˆˆˆ

222

−+=

=

−+−+−=

−−+=

−+−−+−−=

−+−+−=

λ

A C

B O

z

x

y G

( )AAA zyx ,,

( )CCC zyx ,,( )GGG zyx ,,

( )BBB zyx ,,

Equilibrio

0241.0783.00

=+−

=∑ACABOx

x

FFRF

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0969.21535.0958.4081.0969.21549.0958.40294.00

=+−+−

=∑ACACABAB

Ox

FFFFM

081.0294.0

0

=++

=∑ACABOy

y

FFRF

0535.0549.00

=−−−

=∑WFFR

F

ACABOz

z

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0182.13434.18535.0958.40241.0434.18549.0958.40783.0

0

=−++−

=∑WFFFF

M

ACACABAB

Oy

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0434.1881.0969.21241.0969.21294.0969.21783.00

=++−

=∑ACACABAB

Oz

FFFFM

O

z

x

y

G

40.9

58

Sistema de ecuaciones El planteamiento anterior se convierte en un sistema de cinco (5) ecuaciones con seis (6) incógnitas: El anterior es un sistema de ecuaciones lineales no consistente, con más ecuaciones que incógnitas, para el cual hay dos posibilidades: que no tenga solución, o que en el sistema de ecuaciones haya una ecuación que dependa de las otras.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

CxR

CyR

CzR

ABF

ACF

Ecua

cion

es

Incó

gnita

s Reac

cion

es

Fuer

zas

en

cuer

das

0241.0783.0 =+− ACABOx FFR

0757.11163.33051.12865.9 =+−+− ACACABAB FFFF

081.0294.0 =++ ACABOy FFR

0535.0549.0 =−−− WFFR ACABOz

0182.13865.9865.8051.12051.12 =−++− WFFFF ACACABAB

0926.14292.5464.6194.17 =++− ACACABAB FFFF

(6)

Resultados y Análisis Usando un solucionador de sistemas de ecuaciones lineales se obtienen los resultados: Lo cual indica que, en efecto, en el sistema anterior alguna de las ecuaciones se puede expresar como una combinación lineal de las otras. Esta situación también deja en evidencia el hecho de que en el sistema anterior, la pluma no está restringida del todo al movimiento. Esta tiene la libertad de rotar sobre su eje axial como consecuencia de la ausencia de restricciones de momento en la fijación de tipo rótula. Adicionalmente, las fuerzas ejercidas por los cables tienen líneas de acción que intersecan el eje de simetría de la pluma.

lb544.488−=OxR

lb224.582−=OyR

lb449.1445=OzR

lb671.453=ABF

lb207.554=ACF

Reac

cion

es

Fuer

zas

en

barr

as

Problema: Armaduras 2D Determine la fuerza en cada miembro de la armadura simple equilátera de la figura:

m2

5km7

A

C

B

Planteamiento Utilizando el método de los nudos, se comienza realizando el diagrama de cuerpo libre de cada uno, suponiendo que cada miembro de la armadura se encuentra a tensión. Así, para el nudo A se tiene:

A

ABFACF

AxR

AyR 0=∑ xF

( ) 030cos =+ ABAx FR

0=∑ yF

( ) 030sen =−− ABACAy FFR

(1)

(2)

°30

0=∑ xF

( ) ( ) 030cos30cos =−− BCAB FF

0=∑ yF

( ) ( ) 030sen30sen =−− WFF BCAB

0=∑ xF

( ) 030cos =+ CxBC RF

0=∑ yF

( ) 030sen =+ BCAC FF

B

ABF

mgW =BCF C

BCFACF

CxR

(3)

(4)

(5)

(6)

Nudos B y C

°30

Solución Del planteamiento anterior se obtiene un sistema de seis (6) ecuaciones:

Con seis incógnitas:

AxR

AyR

CxR

ABF

ACF

BCFReacciones

Fuerzas en los miembros

( ) 030cos =+ ABAx FR

( ) 030sen =−− ACABAy FFR

( ) ( ) 030cos30cos =−− BCAB FF

( ) ( ) 030sen30sen =−− PFF ACAB

( ) 030cos =+ CxBC RF

( ) 030sen =+ BCAC FF

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) 75.73588.36775.7352.637

75.7352.637

−====

=−=

BC

AC

AB

Cx

Ay

Ax

FFFR

NRNR

Entonces al resolver se obtiene:

Análisis

• La fuerza en el elemento BC dio un valor negativo, lo cual indica que éste se encuentra a compresión y no a tensión como se supuso al principio.

• Igualmente, la reacción RAx se supuso hacia la derecha, pero como su valor, al resolver, es negativo, significa que en realidad va hacia la izquierda.

• En una armadura, en la que los elementos son esbeltos, aquellos que queden sometidos a compresión deben ser diseñados, para evitar el pandeo de los mismos

Problema

Determinar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada de la figura. Todos los triángulos son equiláteros.

kN8

2kNkN4

A B C

D E

Planteamiento Se realizan los diagramas de cuerpo rígido de cada nudo haciendo la suposición de que todas las barras están a tensión. Por ejemplo, para el nudo A:

A ABF

ADF

AyR

AxR

°60

0=∑ xF

( ) 060cos =++ ADAxAB FRF

0=∑ yF

( ) 060sen =− ADAy FR

(1)

(2)

Nudos B y C

B ABF

BDF

kN8

BEF

BCF

°60

C BCF

CEF CR

°30°60

0=∑ xF

( ) ( ) 060cos60cos =−+− BDBEABBC FFFF

0=∑ yF

( ) ( ) 060sen60sen108 3 =−−×− BEBD FF

(3)

(4)

0=∑ xF

( ) ( ) 030cos60cos =−−− CCEBC RFF

0=∑ yF

( ) ( ) 060sen30sen =− CEC FR

(5)

(6)

°60

Nudos D y E

D

ADF

kN4

DEF

BDF

°60°60 E

BEF

DEF

ECF

°60°60

0=∑ xF

( ) ( ) 060cos60cos =+− BDADDE FFF

0=∑ yF

( ) ( ) 010460sen60sen 3 =×−+ BDAD FF

(7)

(8)

kN2

0=∑ xF

( ) ( ) 060cos60cos =−− DEBEEC FFF

0=∑ yF

( ) ( ) 010260sen60sen 3 =×−+ BEEC FF

(9)

(10)

Resultados y análisis De esta manera se obtiene un sistema de diez (10) ecuaciones con 10 incógnitas, las cuales son:

Que al resolver el sistema se llega a: Como se puede observar, para las fuerzas FAB, FBC, FBD y FBE, se obtuvo un valor negativo, lo cual indica, que las barras correspondientes, en realidad, se encuentran a compresión.

C

Ay

Ax

RRR

kNFkNF

kNFkNFkNF

kNFkNF

DE

CE

BE

BD

BC

AD

AB

35.6505.7

196.504.401.15

66.8588.15

==−=−=−=

=−=

DE

CE

BE

BD

BC

AD

AB

FFFFFFF

Reacciones

Fuerzas en las barras

kNRkNR

kNR

C

Ay

Ax

13

5.7258.11

=

==

Problema Armaduras 3D La porción de torre para líneas de transmisión de energía eléctrica que muestra la figura consta de nueve elementos, y esta sostenida mediante una rótula colocada en B y eslabones cortos en C, D y E. Para las cargas dadas, determine la fuerza presente en cada elemento

A

B

D

C

E

z x

y

ft4

ft2

ft4

00lb3

0lb5

Planteamiento Para la resolución del problema se va a usar el método de los nudos, con la suposición inicial de que todas las barras se encuentran a tensión. Entonces, para formular las ecuaciones de equilibrio, se necesitan los vectores unitarios que indican la dirección de las barras y por tanto de las fuerzas en ellas Así, se definen los valores de las coordenadas de cada nudo, tal como se ve en la figura:

A

B

D

C

E

z x

y

00lb3

0lb5( )AAA zyx ,,

( )BBB zyx ,,

( )CCC zyx ,,( )DDD zyx ,,

( )EEE zyx ,,

Coordenadas de los nodos Para comenzar se definen los valores de las coordenadas de cada nudo, tal como se ve en la figura:

000004402

=========

C

B

A

zyxzyxzyx

A

B

D

C

E

z x

y

00lb3

0lb5( )AAA zyx ,,

( )BBB zyx ,,

( )CCC zyx ,,( )DDD zyx ,,

( )EEE zyx ,,

040044

======

E

D

zyxzyx

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

ki

ABAB

AB

zzyyxxAB

kiAB

kjiAB

kzzjyyixxAB

AB

ABABAB

ˆ5

52ˆ55

20

ˆ4ˆ2

ˆ40ˆ0ˆ24

ˆˆˆ

222

−=

=

−+−+−=

−=

−++−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

ki

AC

zzyyxxAC

kiAC

kjiAC

kzzjyyixxAC

AC

ACACAC

ˆ5

52ˆ55

20

ˆ4ˆ2

ˆ40ˆ0ˆ20

ˆˆˆ

222

−−=

=

−+−+−=

−−=

−++−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

ADAD

AD

zzyyxxAD

kjiAD

kzzjyyixxAD

AD

ADADAD

ˆ32ˆ

32ˆ

31

6

ˆ4ˆ4ˆ2

ˆ40ˆ04ˆ24

ˆˆˆ

222

−+=

=

−+−+−=

−+=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

kji

AE

zzyyxxAE

kjiAE

kzzjyyixxAE

AE

AEAEAE

ˆ32ˆ

32ˆ

31

6

ˆ4ˆ4ˆ2

ˆ40ˆ04ˆ20

ˆˆˆ

222

−+−=

=

−+−+−=

−+−=

−+−+−=

λ

A

z x

y

00lb30lb5( )4,0,2

( )BBB zyx ,,

( )0,0,0( )0,4,4

( )0,4,0

CD

B

E

Vectores unitarios Nudo A

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

i

BCBC

BC

zzyyxxBC

iBC

kjiBC

kzzjyyixxBC

BC

BCBCBC

ˆ1

1

ˆ1

ˆ0ˆ0ˆ04

ˆˆˆ

222

−=

=

−+−+−=

−=

++−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

j

BDBD

BD

zzyyxxBD

jBD

kjiBD

kzzjyyixxBD

BD

BDBDBD

ˆ1

1

ˆ4

ˆ0ˆ04ˆ0

ˆˆˆ

222

=

−+−+−=

=

+−+=

−+−+−=

λ

A

z x

y

00lb30lb5( )4,0,2

( )BBB zyx ,,

( )0,0,0( )0,4,4

( )0,4,0

CD

B

E

Vectores unitarios: Nudo B

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

ji

CDCD

CD

zzyyxxCD

jiCD

kjiCD

kzzjyyixxCD

CD

CDCDCD

ˆ22ˆ

22

24

ˆ4ˆ4

ˆ0ˆ04ˆ04

ˆˆˆ

222

+=

=

−+−+−=

+=

+−+−=

−+−+−=

λ

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

j

CECE

CE

zzyyxxCE

jCE

kjiCE

kzzjyyixxCE

CE

CECECE

ˆ1

4

ˆ4

ˆ0ˆ04ˆ0

ˆˆˆ

222

=

−+−+−=

=

+−+=

−+−+−=

λ

A

z x

y

00lb30lb5( )4,0,2

( )BBB zyx ,,

( )0,0,0( )0,4,4

( )0,4,0

CD

B

E

Vectores unitarios: Nudo C

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

i

DEDE

DE

zzyyxxDE

jDE

kjiDE

kzzjyyixxDE

DE

DEDEDE

ˆ1

4

ˆ4

ˆ0ˆ0ˆ40

ˆˆˆ

222

−=

=

−+−+−=

−=

++−=

−+−+−=

λ

A

z x

y

00lb30lb5( )4,0,2

( )BBB zyx ,,

( )0,0,0( )0,4,4

( )0,4,0

CD

B

E

Vectores unitarios: Nudos D

kji

ADDA

ˆ32ˆ

32ˆ

31

+−−=

−= λλ

ji

CDDC

ˆ22ˆ

22

−−=

−= λλ

jBDDB

ˆ1−=

−= λλ

kji

AEEA

ˆ32ˆ

32ˆ

31

+−=

−= λλ

iDEED

ˆ1=

−= λλ

iCEEC

ˆ1−=

−= λλ

A

z x

y

00lb30lb5( )4,0,2

( )BBB zyx ,,

( )0,0,0( )0,4,4

( )0,4,0

CD

B

E

Vectores unitarios inversos

ki

ACCA

ˆ5

52ˆ55

+=

−= λλ

iBCCB

ˆ1=

−= λλ

ki

ABBA

ˆ5

52ˆ55

+−=

−= λλ

Equilibrio: Nudo A

032

552

32

552

0

032

32300

0

031

55

31

5550

0

=−−−−

=

=++−

=

=−−++

=

∑

AEACADAB

Az

AEAD

Ay

AEACADAB

Ax

FFFF

F

FF

F

FFFF

F

00lb3

0lb5

ACF

AEF

ADF

ABF

Az x

y

Equilibrio: Nudo B

05

52

0

055

0

=+

=

=+

=

=−−

=

∑

BABz

Bz

BDBy

By

BABCBx

Bx

FR

F

FRF

FFR

F

BDF

BAF

BCF

BzR

Bz

x

y

BxR

ByR

Equilibrio: Nudo C

05

52

0

022

0

055

22

0

=

=++

=

=++

=

∑

CA

Cz

CECDCy

Cy

CACDCB

Cx

F

FFR

F

FFF

FCEF

CAF

CBF

C

CyRz x

y

Equilibrio: Nudo D

032

0

022

32

0

031

22

0

=+

=

=−−−

=

=−−−

=

∑

DADz

Dz

DCDBDA

Dy

DADCDE

Dx

FR

F

FFF

F

FFF

F

EAF

EDFE

EzR

ECF

z x

y

Equilibrio: Nudo E

032

0

032

0

031

0

=+

=

=−−

=

=+

=

∑

EAEz

Ez

ECEA

Ey

EDEA

Ex

FR

F

FF

F

FF

F

DAF

DEF

B

DzR

DBF

DCF

032

552

32

552

032

32300

031

55

31

5550

=−−−−

=++−

=−−++

AEACADAB

AEAD

AEACADAB

FFFF

FF

FFFF

05

52

0

055

=+

=−−

BABz

BDBy

BABCBx

FR

FFR

05

52

022

055

22

=

=++

CA

CECDCy

CACDCB

F

FFR

FFF

032

022

32

031

22

=+

=−−−

DADz

DCDBDA

DADCDE

FR

FFF

032

031

=+

=−−

=+

EAEz

ECEA

EDEA

FR

FF

ABF ADFACF AEF BCF BDF DEFCDF CEF BxR ByR BzR DzR EzRCyR

Fuerzas en barras Reacciones

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Sistema de ecuaciones e incógnitas

Resultados y análisis

El valor negativo en las fuerzas de barras, indica que estás se encuentran a compresión. De manera similar, el resultado negativo en las reacciones da a entender que el sentido de estas es el contrario al que se supuso

lb4.335−=ABF

lb375=ADF

lb0=ACF

lb75=AEF

lb100=BCF

lb150−=BDF

lb25−=DEF

lb4.141−=CDF

lb50−=CEF

lb50−=BxR

lb150=ByR

lb300=BzR