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MATEMÁTICASNombre del estudiante: _________________________________

Grado 11

EJERCICIOS DEPRÁCTICA

PPAA 2012

Todos los derechos de reproducción y divulgación están reservados por el Departamento de Educación de Puerto Rico, 2012.

HOJA DE MATEMÁTICAS DE 11mo GRADOMedidas del círculo unitario en grados y radianes y valores del seno y del coseno

65

90° 45°135°

225°

270°315°

360° 20

630°

120°

150°

330°

60°

240°

210°

300°

4

3

2

32

43

67

45

34 2

3

35

47

611

(0, -1)

(1, 0)

(0, 1)

(-1, 0)

− 12

32

,

− 22

22

,

− 32

,

− −32

,

− −22

22

,

− −12

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,12

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, −

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22

, −

32

, −

32

12

,

22

22

,

12

32

,

180°

12

12

12

Fórmula paraconvertir grados aradianes

radianes ángulo

180

Fórmula paracalcular la longitudde un arco en grados

arcoángulo

diámetro

=

=360

d

d

3.14≈

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASSeno y coseno del ángulo A

sen Aa

c=

cos Ab

c=

Fórmulas para suma y resta de ángulos y dobles ángulos

sen(σ + τ) = (sen σ)(cos τ) + (cos σ)(sen τ)sen(σ − τ) = (sen σ)(cos τ) − (cos σ)(sen τ)cos(σ + τ) = (cos σ)(cos τ) − (sen σ)(sen τ)cos(σ − τ) = (cos σ)(cos τ) + (sen σ)(sen τ)sen2x = 2 sen x cos xcos2x = cos2 x − sen2x

Identidades pitagóricas

cos2 θ + sen2 θ = 1

1 + tan2 θ = sec2 θ

cot2 θ + 1 = csc2 θ

Funciones secante,cosecante, tangente ycotangente

csc θ = 1

sen �

sec θ = 1

cos �

tan θ = sen

cos

cot θ = cos

sen tan

� �=

1

Ley de Senos

a

A

b

B

c

Csen sen sen= =

Ley de Cosenos

a b c bc A2 2 2 2= + − cos

B

CA

a

b

c

b a c ac B2 2 2 2= + − cos

c a b ab C2 2 2 2= + − cos

A

Periodo

=

=

=−

2�

bc

b

⟨ ⟩ = ( )x y x y, ,

Amplitud

Cambio de fase

Notación vectorial

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Instrucciones para ennegrecer las respuestas de preguntas de selección múltiple

• Usalápiznúm.2solamente.

• Nouseslápizmecánico,tintanibolígrafo.

• Llenaelcírculoporcompleto.

• Borraporcompletocualquierrespuestaquedeseescambiar.

• Nohagasmarcasolíneasenestahoja.

Incorrecto

Incorrecto

Correcto

Instrucciones para contestar las preguntas de respuesta extendida

• Usalápizsolamente.

• Nouseslápizmecánico,tintanibolígrafo.

• Asegúratedecontestartodaslaspartesdelapregunta.

• Escribesolamentedentrodelrecuadro.

Instrucciones

Antesdeempezarlosejercicios,tumaestroomaestrateayudaráacontestarunosejemplos.Losejemplossonparaqueentiendasloquetienesquehacerunavezcomienceslosejercicios.Tambiénteindicarácómoennegrecerloscírculosdelahojadecontestacionesparaquetucontestaciónseaválida.Siguetodaslassugerenciasyleeconmuchaatención.

Acontinuaciónverásunejemplodelahojadecontestacionesyloquedebeshacerparacontestar.

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0

1

2

3

4

5

6

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9

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– 0

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9

.

Instrucciones para las respuestas en una cuadrícula

• Resuelveelproblema.

• Escribelarespuestaenlacuadrículaqueapareceenlahojadecontestaciones.

• Llenaloscírculoscorrespondientesyasegúratedeusarelvalorposicionalcorrecto.

PARAPRM12-OP11-CR Copiar o reproducir sin autorización cualquier parte de esta página es ilegal.

Undécimo grado Página 1

M a t e m á t i c a s

Ejemplos

Instrucciones: Lee las siguientes preguntas. En algunas preguntas debes escoger la mejor respuesta y marcarla. En otras preguntas debes usar palabras, números o dibujos para contestarlas. Recuerda que debes marcar o anotar todas tus respuestas en la hoja de contestaciones.

● A ¿Qué propiedad explica que 20 × 25 = 25 × 20?

A propiedad asociativa

B propiedad distributiva

C propiedad del inverso

* D propiedad conmutativa

● B Cecilia fue a la bolera con 5 amigas. Ella pagó $12.50 por la entrada de todas las amigas y ellas le iban a pagar después. Una amiga le pagó su entrada con $5. ¿Cuánto le debe dar Cecilia de cambio?

Anota tu respuesta en la cuadrícula que está en la hoja de contestaciones. No olvides llenar los círculos correspondientes.

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Página 2 Undécimo grado - Matemáticas

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Instrucciones: Lee las siguientes preguntas. En algunas preguntas debes escoger la mejor respuesta y marcarla. En otras preguntas debes usar palabras, números o dibujos para contestarlas. Recuerda que debes marcar o anotar todas tus respuestas en la hoja de contestaciones.

l1 Analiza la siguiente proposición.

En el �ABC AB AC, si ,>, si �ABC AB AC, si ,> , entonces m C m B∠ > ∠ .

¿Cuál es la validez de la proposición y su recíproco?

A Ambos son falsos.

B Ambos son verdaderos.

C La proposición es verdadera, pero el recíproco es falso.

D La proposición es falsa, pero el recíproco es verdadero.

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Undécimo grado - Matemáticas Página 3

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l2 De acuerdo con una reciente inspección de control de calidad, el ancho de los tornillos que produce una fábrica tiene una distribución normal.

• Lamediadelanchoesde4.0mm.• Ladesviaciónestándaresde0.04mm.

¿Cuál es la probabilidad de que el ancho de los tornillos que produce la fábrica sea MENORde4.12mm?Usalagráficadeladistribución normal para contestar las preguntas.

34.1%

13.65%

34.1%

2.1%

0.15% 0.15%

2.1%

13.65%

µ−1σ 1σ 2σ 3σ −2σ−3σ

A 63.65%

B 97.75%

C 99.85%

D 100%

l3 ¿Cuál función tiene una gráfica con las siguientes propiedades?

• amplitudde5• periodode180°• cambiodefasede290°

A f x x( ) = +

5

1

290sen

B f x x( ) ( )= +5 2 180sen

C f x x( ) ( )= −5 90sen

D f x x( ) ( )= +sen 5 180

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Página 4 Undécimo grado - Matemáticas

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l4 Larepresentacióngeométricadelosvectoresa, b y c se muestra a continuación en el plano cartesiano.

b

a

c

y

x1234567

−2−3−4−5−6−7

21 3 4 5 6 7−1 −4−5−6−7 −3 −2 −1 0

A. ¿Cuáles son los componentes de a b�� ��

+ ? Demuestra el procedimiento utilizado para determinar tu respuesta.

B. Si , a b c d�� �� �� ��

+ += ¿cuáles son los componentes del d��

? Demuestra el procedimiento utilizado para determinar tu respuesta.

No olvides contestar todas las partes de la pregunta en la hoja de contestaciones.

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Undécimo grado - Matemáticas Página 5

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l5 Juliana recostó el extremo superior de una escalera contra una pared que es perpendicular al suelo.

• Ellargodelaescaleramide25pies.• Elángulodeinclinaciónentrela

escaleraylaparedmide40°.

¿Cuál expresión representa la distancia en pies del suelo al punto donde la escalera está recostada contra la pared?

A 25

40tan °

B 25sen °40

C 25

40sen °

D 25 40cos °

l6 ¿Cuál es una característica que tienen en común las funciones que se muestran a continuación?

f x x g x x( ) ( )= =2

A Tienen el mismo alcance.

B Tienen el mismo dominio.

C Están indefinidas cuando x < 0.

D Sus gráficas tienen una asíntota horizontal en y = 0.

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Página 6 Undécimo grado - Matemáticas

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l7 LaseñoraGalindotieneunalistaquemuestra las calificaciones de sus 20estudiantesenelexamenfinal.

¿QuétipodegráficaeselMÁSapropiadopara representar todos los valores exactos de este conjunto de datos?

A histograma

B gráfica circular

C diagrama de caja

D diagrama de tallo y hoja

l8 El siguiente dibujo muestra el AB� cuyo vérticeeselpunto P.

P

B

A3 cm

30°

¿Cuántos centímetros mide la longitud

del AB�? Redondea tu respuesta a las

centésimasdecentímetro.(Usa = 3 14. ).

Anota tu respuesta en la cuadrícula que está en la hoja de contestaciones. No olvides llenar los círculos correspondientes.

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Undécimo grado - Matemáticas Página 7

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l9 ¿Cuál de las siguientes respuestas sirve como contraejemplo para demostrar que la proposición que se muestra a continuación es inválida?

Si p y q son rectas paralelas y t es una transversal, entonces los ángulos adyacentes tienen medidas diferentes.

A un par de ángulos opuestos por el vértice

B si t es perpendicular a p y q

C un par de ángulos correspondientes

D No existe ningún contraejemplo porque la proposición es válida.

l10 A continuación se muestran dos funciones.

f x x g x x( ) ( )= − = −2 4 2

¿Cuál ecuación representa a f

gx

( )?

A f

gx x x

( ) = + ≠2 2;

B f

gx

xx

( ) =

+≠ −

1

22;

C f

gx x x

( ) = − ≠ −2 2;

D f

gx

xx

( ) =

−≠

1

22;

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Página 8 Undécimo grado - Matemáticas

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l11 ¿Cuál de las gráficas representa MEJOR una distribución normal de los datos?

A

B

C

D

38% 38.5%

9% 7%

4%0.3%0.2%

3.5%

1714 20 23 26118

35% 25%

15% 13%

6.5%0.5%0.5%

4.5%

1714 20 23 26118

34% 34.3%

13.4% 13.1%

2.3%0.2%0.2%

2.5%

1714 20 23 26118

40% 40%

5% 5%

3%2%2%

3%

1714 20 23 26118

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Undécimo grado - Matemáticas Página 9

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l12 A continuación se muestra la gráfica de la función g xx

( ) .= −3

3

y

x123456789

−1−2−3−4−5−6−7 −8 −9

−4−5−6−7−8−9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

A. ¿Cuántas soluciones reales tiene la función g(x)? Demuestra con palabras, números o símbolos cómo obtuviste tu respuesta.

B. ¿Enquéintervalosdex es g x( ) ?> 0 Demuestra con palabras, números o símbolos cómo obtuviste tu respuesta.

No olvides contestar todas las partes de la pregunta en la hoja de contestaciones.

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Página 10 Undécimo grado - Matemáticas

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l13 Observa la figura que se presenta y su demostración parcial.

Demostración

Enunciado

1. ∠Y ≅ ∠Z, XY ≅ WZ

2. ∠1 ≅ ∠2

3. YUX ≅ ZUW

4. YU ≅ ZU

Dado

Razón

Ángulos opuestospor el vértice soncongruentes.

Partescorrespondientesde triánguloscongruentes soncongruentes.

X

Y

Z

U 2

W

Dado:

1 2

Demostrar: YU ≅ ZU

∠Y ≅ ∠Z

XY ≅ WZ

¿Quérazónjustificaelpaso3?

A postulado LLL

B postulado ALA

C postulado AAL

D postulado LAL

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Undécimo grado - Matemáticas Página 11

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l15 El siguiente diagrama de dispersión muestra la correlación entre las ausencias y la calificación final de los estudiantes en un curso de Matemáticas. Lalíneadeajuste de estos datos es f (x) 5 23.1x 190.8.

Correlación entre ausencias y calificaciones

Cal

ifica

ción

fina

l 100

80

60

40

20

02 4 6 8 10 12 14 16 18

x

y

Número de ausencias

Si un estudiante estuvo ausente cuatro días enelsemestre,¿quécalificaciónesMÁSprobable que haya recibido de acuerdo con la línea de ajuste?

A 70

B 75

C 78

D 84

l14 ¿Cuál es el valor de tan ?7

4

A 21

B − 2

2

C 0

D 1

Página 12 Undécimo grado - Matemáticas

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l16 ¿Cuál de las siguientes igualdades se puede usar para calcular la medida en centímetros del lado AC?

100°

35°

A

B C

7 cm

A

b�

sen 35°

7

sen 100°

B

b

sen 45°

7

sen 100°�

C

b�

sen 100°

7

sen 35°

D

b�

sen 100°

7

sen 45°

l17 A continuación se muestra la gráfica de una función cúbica.

y

x123456789

−1−2−3−4−5−6−7 −8 −9

−4−5−6−7−8−9 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

g(x)

¿Cuántas soluciones imaginarias tiene la función g x( )?

A 0

B 1

C 2

D 3

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