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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 1

EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

CAPÍTULO 7:

ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA MONOFÁSICOS

7.1 – CONCEITUAÇÃO DE FASORES

Representação de Ondas Senoidais por Fasores.

0 1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0

0.5

1

ωt1

ωt2ωt3

ωt4

ωt5

ωt6

ωt7

ωt0

ωt2

ωt0 ωt1

ωt2

ωt3

ωt5 ωt6 ωt7

ωt4

Projeção sobre

o eixo xy

ω(anti-horário)

Im.senωt = i(ωt)

ω=2πfIm

X

Y

ImA

0

π/2

π

(3π)/2

As projeções das ordenadas da função senoidal tsen.Imt)i( ωω = sobre o eixo vertical OY

podem ser representadas pela projeção do Vetor Girante – denominado Fasor OA sobre este mesmo eixo. OA Im Im.sen ttω ω= ∠ ⇔

Instante Valor Instantâneo Valor Projetado

0tω 0tsen.Im 0 =ω 0

1tω 1tsen.Im ω 1tsen.Im ω

2tω ... ...

... ... ... Genericamente:

OA I Im ou I I0 RMS 0

V Vm θ ou V V θ0 RMS 0

0θ ;φ ângulos para ω t 00 0

ϕ ϕ→ = ∠ = ∠

= ∠ = ∠

→ =

i i

i i

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Exemplo 1: Somar vetorialmente (fasorialmente) e conceituar no tempo as seguintes formas de ondas. i ( t) 10. sen t [A]1

oi ( t) 10. sen ( t 90 ) [A]2

ω ω

ω ω

=

= −

Solução

i I 10 01 1

o→ = ∠i

i I 10 902 2

o→ = ∠−i

IRs

en

φ

IRsen 0º

φ

10

10

+90

-90

Convenção para o

ângulo φ

ω

ω

ω

I1

I2

IR

I2

ω

x 10

1/22 2I I I

R 1 2

y 10

x y ϕ

=∑

⇒ = + = + ∠∑ ∑

=∑

i i i

1tg10

10tg

x

ytgφ 111 −=== −−−

∑∑

Logo o argumento φ é igual a,

o45φ −= Módulo

[ ] [A]14.12*101010I1/222

R ==+= Logo,

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oI I φ 14.1 45R R

= ∠ = ∠−i

ou ainda,

[A])45tsen(*14.1(t)i o

r −= ϖ

0 1 2 3 4 5 6 7-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 214.1* 45 14.1* 10 2 * 10

2 2sen = = =

Genericamente

I I φ1 1 1

= ∠−i

I I φ2 2 2

= ∠−i

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x I . cosφ I . cosφ1 1 2 2

= +∑

y I . senφ I . senφ

1 1 2 2

= − +∑

I I I I φR R R1 2

= + = ∠i i i

1/2

2 2I x yR

= +∑ ∑

y

φ arctgR x

∑= −

0 1 2 3 4 5 6 7-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

7.2 – ÁLGEBRA VETORIAL Com o objetivo de se distinguir as projeções do fasor OA sobre o eixo x e o eixo y, define-se o operador j como: j 1 90o= ∠+

A j . A A 90o⇒ = ∠i i

2 2 oj . A j* j . A j . A 1 180 * A A= = = ∠ = −i i i i i

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3 2 o oj . A j* j . A 1 90 180 * A

o1 270 *A j.A

= = ∠ + =

= ∠ = −

i i i

i i

4 2 2j . A j . j . A ( 1).( 1). A A= = − − =i i i i

Forma Cartesiana

A

B

A , B fasores=i i

A A a jb1 1 1

ϕ= ∠ = +i

B B a jb2 2 2

ϕ= ∠ = − −i

Para o fasor Ai

: a A.cos1 1

ϕ=

b A.sen1 1

ϕ=

Logo,

A A cos j.A sen1 1

ϕ ϕ= +i

A A .(cos j. sen )1 1

ϕ ϕ= +i

Analogamente,

B B(cos j.sen )2 2

ϕ ϕ= +i

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Forma Exponencial Através da série de MacLaurin pode-se provar que:

jcos jsen e Forma Exponencialϕϕ ϕ ±± = ⇒

jA A. e ϕ±=i

Forma Polar

jA A A . e ϕϕ ±= ∠ ± =i

Operações com Fasores Adição (Subtração)

j1I I . e

1 1

ϕ=i

j2I I . e

2 2

ϕ=i

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jRI I . e

R R

ϕ=

i i

j j

1 2I I I I . e I . eR 1 2 1 2

ϕ ϕ= + = +

i i i

I (cos sen ) I (cos sen )1 1 1 2 2 2

j jϕ ϕ ϕ ϕ= + + +

I . cos I .cos j(I .sen I .sen )1 1 2 2 1 1 2 2

ϕ ϕ ϕ ϕ= + + + a1 a2 b1 b2

Logo, I a a ar 1 2Rreal

= = +

I b b br 1 2Rimag= = +

1/2

2 2I (a a ) (b b )R 1 2 1 2

b b1 2θ arctg

R a a1 2

⇒ = + + +

+=

+

Multiplicação (Divisão)

j( )1 2I I *I I . I . e

R 1 2 1 2

ϕ ϕ+= =i i i

Logo, I I . IR 1 2

=

R 1 2ϕ ϕ ϕ= +

jRI I . e

R R

ϕ=

i

Elevação a uma dada Potência

j j jN(A ) A. A... A A e . A.e . ... . A e

jNθNA . e

ϕ ϕ ϕ= =

=

i i i i

jN N N N j(N N )31 2 1 2 1 1 2 2A . B A . B .e C.e

ϕϕ ϕ+= =

i i

onde,

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N N1 2C A *B=

θ N * N *3 1 1 2 2

ϕ ϕ= +

Extração das raízes

1 1 jN N N

1 1 1(A ) A . e

ϕ

=i

3.7 - IMPEDÂNCIA Do Cap. 4, foi visto que,

0 1 2 3 4 5 6 7-3

-2

-1

0

1

2

3

R RI R 0 Vj→ + →

oj0R

R R R

vI V R . I R R . e

R= ⇒ = ∴ =

e que,

m m

m C

C m

V VI X

X I= ⇒ =

C

1X

2π fC=

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Do diagrama fasorial:

oj90I I . ec c=i

oj0V V . ec c=i

Logo,

oV V j90 o oc cX . e X cos( 90 ) jsen( 90 )C cIcIc

Oj.X X j. X X X 90c c c c coj90X .ec

−= = = − + − =

= − ∴ = − ⇔ = ∠− =

−=

i

i

CC X.jX −= - Reatância Capacitiva

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Do diagrama fasorial,

oj.90I I .eL L

−=i

oj0V V .e

L L=

i

Logo,

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V V o oj.90 j.90L LX . e X .eL LI

I LL

o oX (cos90 jsen 90 )L

= = = =

= +

i

i

o

j90

L

o

LLLL e.X90XXX.jX =∠=⇔= Reatância indutiva Define-se a Impedância Z, para um circuito RLC série como sendo,

j LZ R jX jX R j(X X ) Z*e

L LC C

ϕ= + − = + − =

2 2 1/2( )Z R X XL C

= + −

Também do circuito,

V VS SZ I

S ZIS

= ∴ =

i i

i

i

Se,

oj0V . eo Sj0V V . e IS S S jZ . e ϕ

= ⇒ =±

i i

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Logo,

j SI I . e

S S

ϕ=

i

onde,

VSI

S Z=

( )

Sϕ ϕ= − ±

Genericamente,

V ( j )SI . eS Z

ϕ− ±=i

Casos Particulares

C = 0

jLZ R jX Z . e

L

1/22 2Z R X

L

ϕ

= + =

= +

L = 0

-jLZ R jX Z . e

L

1/22 2Z R X

C

ϕ

= − =

= +

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Exemplo 2: Carga RL

vR

vL

vs

L

R

26.53[mH]

10[Ω]

is

IvL

φL

R

XL

Z

0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Vl

Vr

Vs

i5

ΦL

45º

+90º

vL

vS

vR

ω

V 127 [V]

Srms= f 60 [Hz]=

V 2 x 127 179,60 [V]

Sm= =

• o oj0 j0V V . e 127*e

S S= =

i

-3Z R X 10 (2*π*60*26.53*10 )

Lj j= + = +

oj45Z 10 j.10 10* 2*e= + =

X 10 oLarctg arctg 45L R 10

φ = = =

1/2 1/2

2 2 2 2Z R X 10 10 10. 2L

= + = + =

• oj0 oVS 127. e 127 j45I *eoS j45Z 10* 210* 2 *e

−= = =

ii

oj45I 8.98*e [A]

S−∴ =

i

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• oj45V R . I 89,81*e [V]

R S−= =

i i

• V X . I .X . IL L LS S

j= = =i i i

o oj90 j45X . e *I .e

L S−=

o oj(90 45 )10 * 8.98 * e −= =

oj4589,81 * e [V]+=

• o oj45 j45V V V 89,81.e 89,81.e

R LS− += + = +

i i i

Logo,

o oV 89,81 cos ( 45 ) jsen( 45 )S

o o89,81 (cos 45 jsen 45 ) o2* 89,81 .cos ( 45 )

o2 j02*89,81* 127.e2

= − + − +

+ + =

= − =

= =

i

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Exemplo 3 – CARGA RC

-1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

V 127 [V] f 60 [Hz] R 10 [Ω ]

S= = =

V 2 *127 179,60 [V] C 0,265 [mF]sm = = =

• o oj0 j0V V . e 127 . e

S S= =

i

• 1Z R j.X 10 jC 32.π.60*0,265x10

= − = − =−

10 j.10= −

1

2 2 2Z 10 10 10 2

∴ = + =

10 oarctg 45c 10

φ = − = −

oj45Z 10. 2 . e−∴ =

• oj0V o127 . e j45SI 8,98 * eoS j45Z 10 . 2 . e

= = =−

i

i

• oj45V R .I 89,81 . e [V]

R S= =

i i

• oj45V j. X .I j.10*8,98* e

C C S= − = − =i i

o oj90 j4510 . e * 8,98 * e−=

Logo,

oj45V 89,81* e [V]C

−=i

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 15

• o o o oV V V 89,81(cos45 jsen 45 ) 89,81 cos( 45 ) jsen( 45 )

RS C

= + = + + − + −i i i

2oV 2*89,8*cos45 2*89,81*S 2

oj0127 [V] *e

= = =

=

i

Exemplo 4 – CARGA RLC

V 127 [V] f 60 [Hz] R 10 [Ω ]

SL 53,0 [mH] C 0,265 [mF]

= = =

= =

• oj0 [V]V 127 . eS

=

i

• Z R j(X X )

L C= + −

-3X 2π f L 2.π.60*53,06 *10 20 [Ω ]

L= = =

1 1X 10 [Ω ]

C -32π f C 2.π.60*0,265*10= = =

Logo,

oj45Z 10 j (20 10) 10 j10 10* 2 * e= + − = + =

[Ω]

oj0 o127 * e -j45I 8.98*eoS j4510* 2 * e= =i

[A]

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 16

φL

ej90º

e-j90º

VS

+45º

+ φº

- φº- 135º

VL

VR

Is

VC

VL - VC

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Exemplo 5 – CARGA RLC Repetir o Ex. 3 para: C 0,1325 [mF]

L 26,53 [mH]

=

=

Z R j(X X )

L C= + −

-3X 2.π .60*26,53*10 10 [Ω ]

L= =

1X 20 [Ω ]-C 2.π .60*0,1325*10

= =

oj45Z 10 j(10 20) 10 j10 10* 2 *e−= + − = − =

[Ω]

• oj0 o127 . e j45I 8.98* e

S j45o10* 2* e= =

i [A]

φC

I

vS

iS45º

VL

VC

VR

VC - VL

VS

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7.4 – POTÊNCIAS Carga Puramente Resistiva

P(t)

vs

is

R

T/2

T

Tempo

S2

S1

VmIm

VmIm / 2

0

P(t)= tVIVItVmVm

ωω 2cos2cos2

Im

2

Im−=− (não possui valor negativo)

V.I

T/4

VmIm = VI

tVItVm

ωω 2cos2cos2

Im−=−

Po

tên

cia

Valor de pico Vm, Im→ Valor eficaz V, I→ Em um circuito resistivo: v 2 .V .sen t 2 . V.sen ts rms ϖ ϖ= = i 2 .I .sen t 2 . I..sen ts rms ϖ ϖ= = A potência é dada por,

2p(t) v . i 2 .V.I sen ts s ϖ= =

1 cos 2 tp(t) 2 . V.I

−=

Logo, p(t) V I V Icos 2 tϖ= −

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 19

Definindo-se que, P - potência ativa ou potência média em Watts [W] e que P seja igual a, P V*I= Também para carga puramente resistiva,

2V Vrms rmsP V *rms R R= =

Por outro lado,

T π1 1P(av) p(t).dt (VI VI cos2 t)d t0 0πTϖ ϖ= = −∫ ∫

π π1 1P(av) V.I.d t VI cos2 t d2 t0 0π 2πϖ ϖ ϖ= −∫ ∫

P(av) V*I= Exemplo 6 V 127[V] R 10 [Ω ]

127I 12.7 [A]10

= =

∴ = =

Deste modo, na fonte de tensão, P(av) P 127*12.7 1613 [W]= = ≅ E no lado da carga,

210 x 12.7 1613 [W]=

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 20

Carga Puramente Indutiva

is

L vL

Tempo

S1

tIsenVtsenVm

p ωω 2.22

Im−=

−=

v

i

T/4

T/2 (3T)/22T

S2

Tensão – Corrente -Potência

Do circuito com carga puramente indutiva sabe-se que, v 2 . V. sen ts ϖ=

oi 2 .I. sen ( t - 90 )s ϖ= Logo a potência instantânea será igual a:

op(t) v . i 2 . V.I sen ( ).sen ( t 90 ) s s- 2.V.I.sen t .cos t

tϖ ϖ

ϖ ϖ

= = − =

=

p(t) V.I. sen 2 tϖ= − Logo,

π1P(av) ( V.I.sen 2 t )d2 t 00πϖ ϖ= − =∫

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A energia na bobina é igual a,

T1 22W p(t) .L.I [J]mL T 2

4

= =∫

Logo,

2W L. I [W.s] [J]L

= =

Carga Puramente Capacitiva

is

Cvs

S1

S2

v

i

0

(VmIm) / 2

(VmIm) / 2

T/4

T/2

T Tempo

tIsenVtsenVm

p ωω 2.22

Im==

vC

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v 2 . V . sen ts ϖ=

)90t(sen.I.2i o

s += ϖ

op(t) v .i 2 .V.I.sen( t). sen ( t 90 )s s2.V.I.sen t .cos t

ϖ ϖ

ϖ ϖ

= = +

=

p(t) V.I.sen 2 tϖ∴ =

Logo,

π1P(av) V.I.sen 2 t .d2 t0πϖ ϖ= ∫

Portanto, P(av) 0= A energia no capacitor é igual a,

T1 2 24W p(t).dt C. V C.Vm0 2

= = =∫

2W C.V W.s Jc

∴ = → =

is

vs

is

0 a T/4 T/4 a T/2

C fornece energia C recebe energia

vs

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Carga Resistiva-Indutiva

vL

is

S Q L

P R vR

0

Pméd

θω sentsenVm

]2[2

Imθω cos]2[cos

2

Imt

Vm

tVI ωθ 2coscostsenVIsen ωθ 2

θcos2

ImVm

θsenVm

2

Im

Im Im Imcos cos 2 cos 2

2 2 2

Vm Vm Vmp t sen t senθ ω θ ω θ= − ⋅ + ⋅

θωtsensenVm

22

Im−

S1

S2

vs

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 24

Adotando-se: v 2 . V. sen ( t)S

ϖ=

i 2 . I. sen ( t -φ )S

ϖ=

A potência instantânea será,

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 25

p(t) v .i 2 . V.I. sen ( t ). sen t

S S2. V.I.(sen t .cos cos t .sen ).sen t

22. V.I. sen t .cos cos t .sen t .sen

1-cos 2 t sen 2 t2. V.I. . cos . sen

2 2

V.I.cos V.I.cos 2 t .cos -V.I.sen 2 t .sen

V.

ϖ ϕ ϖ

ϖ ϕ ϖ ϕ ϖ

ϖ ϕ ϖ ϖ ϕ

ϖ ϖϕ ϕ

ϕ ϖ ϕ ϖ ϕ

= = − =

= − =

= − =

= − =

= −

= I.cos (1 cos 2 t) - V.Isen .sen 2 tϕ ϖ ϕ ϖ−

Logo,

π1P(av) p(t) . d 2 t V.I.cos02. πϖ ϕ= =∫

• Na equação anterior, o termo V.I.cosφ V.I.cos 2 t .cosφ

V.I.cosφ (1 cos2 t)

ϖ

ϖ

− =

= −

não contém valores instantâneos negativos e é idêntico ao termo de p(t) para carga puramente resistiva. • Contudo o termo φϖ sent.sen2V.I é análogo ao termo da p(t) para carga indutiva se

90 .oϕ = Definições – Triângulo de Potência S → potência aparente [VA] P → potência ativa [W] Q → potência reativa [VAR] Q pode ser interpretado como, QL → circuito indutivo QC → circuito capacitivo

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 26

P = Vicosφ = RI2

S=VI

φ

Visenφ = Q =QL φ

φ

capacitivoP

S

VL

I VR

Vindutivo

Demonstração: Na Resistência R,

2P R .I [W]R

=

Do triângulo de tensões, para a resistência, V R .I V.cos

Rϕ= =

Logo,

2P R .I V.cos .I V.I.cos [W]R

φ φ= = =

Analogamente para a indutância,

Q V.I senL

2V VL LQ V . V.sen .I V.I.sen

L LX XL L

Q S tgφL 0

ϕ

ϕ ϕ

= +

+= = = =

= +

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 27

Exemplo 7

[Hz]60/[V]127VS →

[mH]26,53L ][Ω10R == Do Exemplo 2,

j45oI 8,98*eS

−=

Logo a potência ativa ou medida em watts é dada, no lado da concessionária por:

oP V.I.cos 127*8.98*cos45 806,30 [W]φ= = = E no lado da carga por,

2 2P R .I 10*8.98 806,40 [W]= = A potência reativa no lado da concessionária é igual a:

oQ V.I.sen 127*8.98*sen45 806,30 [VAR]L

φ= = =

No lado da carga é igual a,

2V 2 2L R .I 10*8.98 806,40 [W]X

L= = =

A potência aparente é dada no lado da concessionária por:

][VA46.11408.98*127 IV.S ===

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 28

QL

jXL

Z

R

VR

VL

I φ -45º

φ

45º

P

S

VS

S = P + jQ

E no lado da carga por,

2 2 1/2 2 2S (P Q ) (806,40 806,58 1140,46L

= + = + =

Em termos de vetores, S P jQ= +

Logo,

o145 o o1140,46*e 1140,46(cos45 jsen45 )

806,40 j806,30 [VA]

S→

= = + =

= +

Genericamente a potência aparente é dada por,

S V I *S S

= i i

Onde:

I *S

i

- conjugado do fasor IS

i

*I a jb I a jbsS

j -j*i iI I .e I I .esS S S

φ ϕ

= + → = −

= → =

i

i

Para o exemplo em questão:

o oj45 j45*I 9.98*e I 8,98*eRS

−= ⇒ =

ii

Logo,

o oj0 j45 j45S 127.e *8.98*e 1140,46*e [VA]= =

Portanto, o oS 1140,46 (cos45 jsen45 )

806,40 j806.30 [VA]

= +

= +

o que confirma o resultado anterior.

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CARGA ÔHMICA-CAPACITIVA

is

R

C

(a)

0

Pméd

θω sentsenVm

]2[2

Imθω cos]2[cos

2

Imt

Vm

tVI ωθ 2coscostsenVIsen ωθ 2

θcos2

ImVm

θsenVm

2

Im

Im Im Imcos cos 2 .cos 2 .

2 2 2

Vm Vm Vmp t sen t senθ ω θ ω θ= − +

θωtsensenVm

22

Im−

S1

S2

p(t)

Vs

Is

(b)

(c)

vs

vC

vR

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 30

Para carga ôhmica–capacitiva, v 2 .V.sen tS

ϖ=

i 2 . I.sen ( t )S

ϖ ϕ= +

Logo, p(t) v .i 2.V. I. sen ( t ). sen t

S S2.V.I (sen . cos cos t .sen ).sen t

V.I.cos (1 cos 2 t ) V.I.sen .sen 2 t

ϖ ϕ ϖ

ϖ ϕ ϖ ϕ ϖ

ϕ ϖ ϕ ϖ

= = +

= + =

= − +

Portanto, a potência média será,

2π1P P P(t).d t V.I.cosφ0(av) 2πϖ= = =∫

Observe que novamente o termo V.I.cosφ (1 cos 2 t )ϖ− não possui valores instantâneos negativos. O termo t2senV.I.senφ ϖ , possui uma defasagem de 180o com relação à respectiva parcela para a carga do tipo ôhmica-indutiva e é correspondente à energia que oscila entre a fonte e a carga capacitiva. TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS

A potência ativa é dada por,

[W]R.IφV.I.cosP 2== A potência reativa é igual a,

V.I.sen

V2Vc CV . V. sen .I [VAR]X C Xc C

Q

ϕ

ϕ

= −

−= = − =

S V.I [VA]=

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 31

Também,

*S V . IS S

= i i

ou

S P j.Qc→

= − Exemplo 8 Sejam os mesmos dados do Ex. 3.

joV 127. e [V] R 10 [Ω ] C 0,265 [mF]S

= = =

o45I 8.98*eS

j+=

Deste modo vem que, Concessionária: oP 127*8.98*cos45 806,30 [W]= = Carga:

2P 10*8.98 806,40 [W]= = Concessionária: oQ 127*8.98*sen 45 806,40 [VAR]= − = − Carga:

289.81Q 806,58 [VAR]10

= − =

S 127*8.98 11140.46 [VA]= =

P

QC

S

φ

S = P - jQC

vs

Is

jXC

Z

R

φ

φ

ojo j45S 127*e *8.98*eo o1140.46 (cos45 jsen45 )

866.40- j806.40 [V]

−= =

= −

=

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 32

Exemplo 9 Baseando-se no Ex. 4, obter o triângulo de potência. Do Ex. 4,

oj45I 8.98*e V 89.8 [V] V 179.6[V]LS C

−= = =

Logo,

oP 127*8.98*cos45 806,40 [W]= = S 127*8.98 11140.46 [VA]= =

2V 289.8CQ - 806.58 [VAR]C X 10

C= − = − =

2V 2179.6LQ 1612.80 [VAR]

L X 20L

= + = − = +

Q Q Q 1612.80 806.58 806.22 [VAR]t L C

= − − − =

S P j(Q Q ) 806.40 j806.22 [VA]

L C= + − = +

oo 45j0 j*S V I 127. e 8.98*e

S So o1140.40(cos45 jsen 45 )

806.40 j806.22 [VAR]

+= = =

= + =

= +

i i

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 33

7.5 – FATOR DE POTÊNCIA Definição:

V.I.cosPfp cosVIS

ϕ ϕ= = =

Exemplo 10 Para o sistema abaixo calcular: a. P,Q, S, fp em cada ramo; b. Pt, Qt, St, fp (visto pela concessionária)

c. IS

i

c.1. pelo método do balanço de potência; c.2. pelo Teorema de Kirchoff com fasor.

a) Carga 1 P 12 x 60 720 [W] Q 0 S P 720 [VA]1 1 1 1

= = = = =

P1fP1 1

S1

= =

o720 j0I 3.46 [A] I 3.46*eo1 S208.cos0

= = ⇒ =i

Carga 2 P 6.4 [KW] Q 0 S P 6.4 [KVA]2 2 2 2

= = = =

P2fP2 1

S2

= =

o6400 j0I 30.76 [A] I 30.76*e

2 S208= = ⇒ =

i

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 34

Carga 3 1[HP] 746[W] 0.746[KW]= =

P 5 x 746motorP 4548.78 [W]3 η 0.82

4548.78o208.IM.cos 43,95 IM 30.37[A]208*0.72

oj43,95IM 30.37*e

= = = =

= ∴ = =

−=

P 4548.783S 6317.75 [VA]3 0.72fP

3= = =

Em relação à corrente, o fp é indutivo, ou seja, atrasado:

ofP3 cosθL 0.72 θL 43,953 3osen 43,95 0.694

= = → = →

→ =

Em módulo,

oQ S .sen 43,95 6317.75*0.694 4384.71 [VAR]3 3

= = =

Em vetor,

Q jQ3 3

•=

b) Carga 4

oo j0j0 o208*e208*e j53,12I 13.87* e [A]C 9 - j12 -j53,12015 x e

+= = =

2 2P R.I 9* 13.87 1731,39 [W]4 C

= = =

Em módulo,

2X . I2C CQ 12*13.87 2308.52 [VAR]

4 2VC

XC

= = = −

Em fasor, Q j Q

4 4= −

Logo,

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 35

2 2 1/2 2 2 1/2S P Q 1731,39 2308,524 4 4

2885,65 [VA]

= + = + =

=

P 1731,394fP 0,6S 2885,65

4= = =

Capacitivo (adiantado) em relação à corrente. b) A potência ativa vista pela concessionária é igual a, P P P P P 720 6400 4548,78t 1 2 3 4

1731,39 13400,17 [W]

= + + + = + + +

+ =

A potência reativa vista pela concessionária é dada por, Q Q Q Q Q 0 0 4384,71 - 2308,52t 1 2 3 4

2076,19 [VAR]

= + + + = + + =

= Atrasado / indutivo.

A potência aparente, também vista pela concessionária, é igual a,

1/22 21/2 2 2S P Q 13400,17 2076,19t t t

13560,06 [VA]

= + = + =

=

O fator de potência total é dado por,

P 13400,17tfPt7 0,988S 13560,06t

ofPt7 cosθ t 0,988 θ t 8,89

= = =

= = → =

c.1) Como em módulo, S V .It S S

= , vem que,

13560,06I 65,19 [A]

S 208∴ = =

Logo,

oj8.89I 65,19*e [A]S

−=i

onde o ângulo -8,89o foi obtido através do cálculo do fPt. c.2)

I I I I IMC 1 2 C

= + + +i i i i i

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 36

o ooj0 j43,95j0I 3.46*e 30.76*e 30.37*eS

oj53,1213.87*e

−= + + +

+

i

o oI 3.46 30.76 30.37*cos(-43.95 ) 13.87*cos53,12

So oj 30.37*sen( 43,95 ) 13.87*sen53,12

= + + + +

+ − +

i

I 64.40 j9.98S

= −i

1/2

2 2I 64.40 9.98 65.168 [A]S

= + =

64.40 ocos 0.998 8,89t t65.168

φ φ= = ⇒ = −

O que confirma o cálculo pelo método do balanço de potência.

Exemplo 11 Uma micro usina opera com um gerador de 1000 [V] e 60 [Hz]. A carga é composta de um total de 10 [kW] de aquecedores e 20 [kVA] de motores elétricos, os quais possuem um FP (atrasado) de 0.7. a) Calcular o FP atual; b) Calcular o banco de capacitores para alterar o fp para 0.95 (indutivo). Solução a) Motores P fP1 . S 0,7 x 20 14 [kW]1 1

ofP1 cosφ 0.7 θ 45.61 1

= = =

→ = → =

oQ S . sen 45.6 20*0.714 14.28 [kVAr]

1 1= = =

Carga Resistiva (Aquecedores) P 10 [kW] Q 0 S 10[kW]2 2 2

= = =

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 37

1/2

2 2S 24 14.28 27,93 [kVA]t velho

= + =

10 14fP 0.8592

velho 27.93+= =

(Indutivo / atrasado)

ofP cosθ velho 0.8592 θ velho 30.75velho

→ = → =

S 3 t velho 27.93x10I 27.93 [A] velho V 1000

S= = =

oj30.75I 27.93 *e [A]

velho−=

i

b) Novo fP fP 0.95pnovo =

14.28 = Q velho

Q novo

P = 24 [Kw]

Θ velho

Θ novo

S novo

S Velho QC

cos fP 0.95novoθ novo

= =

oθ 18.19novo∴ =

Q Qo novo novotg tg18,19

θnovo P 24[kW]= = =

Logo, Q 0.329*24 7.9 [kVAr]novo = =

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EEL-001 – CIRCUITOS ELÉTRICOS 2008 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 38

Deste modo, 1/2

2 2S 24 7.9 25.26 [kVA]novo

= + = < Svelho

Portanto, Q Q QnovoCvelho

− =

A potência do banco de capacitores é igual a, Q Q Q 14.28 7.9 6.3 [kVAr]novoC velho

= − = − =

O banco de capacitores é dado por,

2V 21 1000SQC X 32.π.f.C 6.38*10C

C 16.93 µ F /1000 [V]

= ⇒ = ⇒

=

jθ 3S 25.26 x 10novo j18.19onovoI *e * enovoS V 1000novo

− −= =i

oj18.19I 25.26* e [A]novoS−=

i

< velhoSI