181Econometria – Semestre 2010.01 181

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

 

21.7. TESTES DE RAIZ UNITÁRIA 

Considere o modelo: 

 

Este processo será um processo de raiz unitária (um passeio aleatório) se ρ = +1. O modelo dado 

por esta equação é um AR(1) estacionário se | ρ | < 1. Se ρ = 1, o modelo é uma random walk.  A 

equação pode ser reescrita como: (1‐ ρ.B)Yt = ut  onde B é o operador de atraso, BYt = Yt‐1. 

O modelo  descrito  por  (21.4.1)  será  uma  random walk  sempre  que  a  raiz  de  (1‐ρ.B)  =  0  for  a 

unidade (isto é, se ρ = 1). Por isso a denominação “teste de raiz unitária”.  

 

Os testes para raiz unitária mais comuns são apropriados para séries com, no máximo, uma raiz 

unitária, ou seja, supõe‐se que a série torna‐se estacionária após a primeira diferença. 

 

A idéia por trás do teste de raiz unitária é bem simples: faça a regressão de Yt em Yt‐1  e verifique 

se o coeficiente estimado ρ é estatisticamente igual a +1. Se for, o processo é não estacionário. Do 

contrário, o processo é estacionário. 

 

Então, um ponto  importante a  lembrar nos testes de raiz unitária é que a hipótese nula  indica 

que o processo é NÃO ESTACIONÁRIO. Deseja‐se testar as hipóteses: 

H0: ρ = 1 (o modelo é um passeio aleatório) versus 

H1: ρ < 1 (o modelo é um AR(1) estacionário) 

 

A  idéia mais direta para  testar estas hipóteses  seria  a estimação de ρ por mínimos quadrados, 

seguida de um teste t. No entanto, se H0 for verdadeira, o estimador de ρ tem um viés negativo, e 

a estatística t não tem distribuição t de Student. 

 

Para  contornar  este  problema,  Dickey  e  Fuller  (1979)  realizaram  diversas  simulações  e 

encontraram a distribuição do estimador de ρ quando ρ = 1, permitindo estabelecer os níveis de 

significância apropriados, o que deu origem à aplicação prática dos testes de raiz unitária. 

 

 

 

182Econometria – Semestre 2010.01 182

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Por razões teóricas, os t estes Dickey‐Fuller  (DF) trabalham com a equação  (21.4.1) na  forma de 

diferenças, ou seja: 

 

Esta expressão pode ser escrita de maneira alternativa como: 

 

Onde δ = ρ ‐1. 

Então,  ao  invés  de  estimar  a  equação  (21.4.1)  (a  equação  em  nível),  estimamos  (21.9.2),  a 

equação em 1a. diferença e testamos a hipótese nula δ = 0, que é equivalente à hipótese nula ρ = 

1 (o modelo é um passeio aleatório, a série é não‐estacionária). 

 

Os testes de hipótese podem ser escritos em termos de δ como: 

H0: δ = 0 (o modelo é um passeio aleatório) versus 

H1: δ < 0 (o modelo é um AR(1) estacionário) 

 

Note que,  se δ = 0 em  (21.9.2), a expressão se  torna:  tttt uYYY =−=Δ −1 , ou seja, a série de 1a. 

diferença é estacionária e a série original é um passeio aleatório. 

 

Como estimar a equação (21.9.2)? 

Crie a série de primeiras diferenças  tYΔ  e faça sua regressão (sem constante) em relação à série 

original  defasada  de  1  instante,  isto  é,  Yt‐1.  Verifique  se  o  coeficiente  angular  estimado  desta 

regressão é zero. Se for estatisticamente igual a zero, concluímos que ρ = 1 e Yt é um processo não 

estacionário. Se δ < 0, então ρ −1 < 0 e então ρ <  1 e a série Yt é estacionária.  

 

Como  testar  as  hipóteses?  Infelizmente  os  testes  t  usuais  não  funcionam  (nem  para  grandes 

amostras) para verificar a significância de δ. Dickey e Fuller encontraram, através de simulação de 

Monte Carlo, a distribuição do estimador de δ. 

 

Sob a hipótese nula H0: δ = 0, o valor  t estimado para o coeficiente de Yt‐1 na equação  (21.9.2) 

segue a estatística Tau  (τ),  cujos valores  críticos estão na  tabela D.7 de Gujarati,  reproduzida a 

 

 

183Econometria – Semestre 2010.01 183

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

seguir. O teste baseado nesta estatística é chamado de teste Dickey‐Fuller, ou simplesmente teste 

DF. 

 

 

Note  também que,  se  rejeitamos a hipótese nula no  teste DF, então a  série é estacionária, e o 

teste t usual volta a ser válido. 

 

Já vimos que existem diversos “tipos” de processos de raiz unitária. O teste DF deve ser aplicado 

levando  em  conta  cada  uma  destas  possibilidades,  ou  seja,  deve  considerar  as  seguintes 

(DIFERENTES) hipóteses nulas: 

ttt

ttt

ttt

uYtYuYY

uYY

+++=Δ++=Δ

+=Δ

−

−

−

121t

11t

1t

..:ticadeterminís tendênciade tornoem todeslocamen com aleatório passeio um é Y.:todeslocamen com aleatório passeio um é Y

.:aleatório passeio um é Y

δββδβ

δ 

Equações (21.9.2, 21.9.4 e 21.9.5) 

A metodologia empregada no  teste é a mesma em qualquer uma das especificações anteriores, 

mas os valores críticos do teste  serão diferentes. 

 

Em todos os casos a hipótese nula é δ = 0 (série não estacionária) e a hipótese alternativa é δ < 0 

(série estacionária). Rejeitar a hipótese nula significa que a série em nível Yt é: 

É estacionária com média zero em (21.9.2) 

É estacionária com média β1/(1‐ρ) em (21.9.4) 

É estacionária em torno de uma tendência determinística em (21.9.5) 

 

 

184Econometria – Semestre 2010.01 184

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Note que, em qualquer dos  casos, o  teste é unilateral. A  rejeição da hipótese nula ocorrerá, 

intuitivamente, se a estatística Tau  for muito pequena  (abaixo do valor crítico), pois o teste é 

para δ = 0 contra a hipótese de δ negativo. 

 

Os valores críticos da estatística Tau do teste DF são diferentes dependendo da hipótese nula que 

está sendo testada. 

 

Como fazer o teste Dickey‐Fuller? 

Estime (21.9.2), (21.9.4) ou (21.9.5) por MQO.  

Encontre  o  coeficiente  estimado  de  Yt‐1  na  equação  e  divida‐o  por  seu  desvio  padrão, 

obtendo a estatística Tau. 

Consulte as tabelas de Dickey e Fuller. Se τ MENOR que o valor crítico tabelado, rejeitar a 

hipótese  nula  H0:  δ =  0,  o  que  indica  que  a  série  NÃO  POSSUI  RAIZ  UNITÁRIA  (é 

ESTACIONÁRIA). 

Se τ  MAIOR que o valor crítico tabelado, NÃO REJEITAMOS A HIPÓTESE NULA H0: δ = 0, 

o que significa que a série é NÃO ESTACIONÁRIA. 

 

Exemplo – série de exportações brasileiras 

Suponha  que  desejamos  analisar  a  série  trimestral  de  exportações  em  milhões  de  dólares 

mostrada no início deste capítulo. 

O correlograma é mostrado a seguir: 

  

 

 

185Econometria – Semestre 2010.01 185

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Já observamos no início do capítulo que o lento decaimento da autocorrelação sugere que a série 

é não estacionária. Vamos testar esta conjetura através do teste DF em suas três especificações 

(21.9.2), (21.9.4) e (21.9.5). O teste foi realizado no software Eviews versão 4.1. 

1) Teste DF – hipótese de passeio aleatório – Equação (21.9.2) 

Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.180364 0.7352 Test critical values: 1% level -2.603423

5% level -1.946253 10% level -1.613346

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 16:53 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) 0.003849 0.021341 0.180364 0.8575

R-squared -0.011226 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared -0.011226 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4284.248 Akaike info criterion 19.57954Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz criterion 19.61414Log likelihood -596.1758 Durbin-Watson stat 1.907662 

A equação estimada é: 

ΔYt = +0,003849.Yt‐1 

Analogamente  ao  exposto  em  Gujarati  (p.655),  este  modelo  deve  ser  descartado,  pois  o 

coeficiente  de  Yt‐1  é  positivo,  ou  seja,  δ  =  1‐  ρ  >  0,  o  que  indicaria  que  ρ  >  1,  e  a  série  de 

exportações seria explosiva. 

 

O valor da estatística τ é, neste caso, +0.1803. O valor crítico ao nível 5% é –1,946. Como τ > valor 

crítico, não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária,  indicando que a série é não estacionária 

(na verdade, das considerações anteriores, o modelo indica um comportamento explosivo). 

 

 

186Econometria – Semestre 2010.01 186

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2) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento – Equação (21.9.4) 

Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.134474 0.6967 Test critical values: 1% level -3.542097

5% level -2.910019 10% level -2.592645

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 17:38 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) -0.049221 0.043387 -1.134474 0.2612

C 1562.810 1115.212 1.401357 0.1663R-squared 0.021348 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared 0.004761 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4250.248 Akaike info criterion 19.57958Sum squared resid 1.07E+09 Schwarz criterion 19.64879Log likelihood -595.1772 F-statistic 1.287031Durbin-Watson stat 1.869506 Prob(F-statistic) 0.261184 

A equação estimada é: 

ΔYt = 1568,81 ‐0,0492.Yt‐1 

O valor da estatística Tau é –1,13, e o valor crítico da estatística Dickey‐Fuller ao nível 5% é –2,91. 

Assim, não  rejeitamos a hipótese nula de  raiz unitária, ou  seja, a  série é não estacionária.  Isso 

ocorre também ao nível 1%, pois a estatística Dickey‐Fuller ao nível 1% é –3,54. 

Neste modelo, o valor estimado de ρ é 1 – 0,043387 = 0,9566. 

 

 

 

187Econometria – Semestre 2010.01 187

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3) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento  e tendência – Equação (21.9.4) 

Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.025398 0.1340 Test critical values: 1% level -4.115684

5% level -3.485218 10% level -3.170793

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 17:57 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) -0.259732 0.085851 -3.025398 0.0037

C 991.3335 1075.672 0.921595 0.3606@TREND(1994:4) 170.7898 61.15799 2.792599 0.0071

R-squared 0.137341 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared 0.107594 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 4024.685 Akaike info criterion 19.48621Sum squared resid 9.39E+08 Schwarz criterion 19.59002Log likelihood -591.3294 F-statistic 4.616973Durbin-Watson stat 1.727489 Prob(F-statistic) 0.013783 

A equação estimada é: 

ΔYt = 991,33+170,79.t ‐ 0,2597.Yt‐1 

O valor da estatística Tau é –3,025, e os valores críticos da estatística Dickey‐Fuller aos níveis 1% e 

5% são, respectivamente,  ‐4,12 e –3,48. Logo, a estatística Tau é maior que os valores críticos e  

não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária, ou seja, a série não é estacionária. Neste modelo, 

o valor estimado de ρ é 1 – 0,2597 = 0,7403, bem diferente do encontrado no modelo anterior. 

 

Note também que os coeficientes da tendência e de Yt‐1 são significantes, mas a constante não é. 

Assim, talvez a especificação mais correta do modelo neste caso seja: ΔYt = β.t +δ.Yt‐1 

 

É importante também verificar se a série diferenciada é estacionária ou não, pois isso indicaria que 

o processo é I(2), e não I(1), ou seja, que a ordem de integração da série é mais alta. 

 

Repetimos a análise com a série de 1a. diferença das exportações. 

 

 

188Econometria – Semestre 2010.01 188

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4) Teste DF – hipótese de passeio aleatório para a série de 1a. diferença das exportações 

Veja abaixo como fazer o teste no Eviews.  

 

Na   especificação mostrada acima testamos a hipótese da 1a. diferença da série ser um processo 

I(2), ou seja,  ttt uYY +=Δ −1t .:aleatório passeio um é Y δ  onde agora Yt é a série da 1a. diferença. 

Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.318054 0.0000 Test critical values: 1% level -2.604073

5% level -1.946348 10% level -1.613293

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS,2) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 19:42 Sample(adjusted): 1995:2 2010:1 Included observations: 60 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. D(EXPORTS(-1)) -0.952307 0.130131 -7.318054 0.0000

R-squared 0.475806 Mean dependent var -7.262133Adjusted R-squared 0.475806 S.D. dependent var 5955.789S.E. of regression 4312.065 Akaike info criterion 19.59275Sum squared resid 1.10E+09 Schwarz criterion 19.62765Log likelihood -586.7824 Durbin-Watson stat 1.925618 

O valor da estatística Tau é –7,31, e os valores críticos da estatística Dickey‐Fuller aos níveis 1% e 

5% são, respectivamente, ‐2,60 e –1,95. Logo, a estatística Tau é MENOR que os valores críticos e  

REJEITAMOS a hipótese nula de raiz unitária, ou seja, a série da 1a. diferença é  estacionária.  

Indica que o teste está sendo feito na 1a. diferença da série 

Indica que estamos fazendo o teste DF (e não o ADF) , ou seja, número de lags = 0 nas diferenças do lado direito da equação 

 

 

189Econometria – Semestre 2010.01 189

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

5) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento para a série de 1a. diferença das 

exportações 

Veja o quadro a seguir para verificar como se implementa o teste no Eviews: 

 Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.348840 0.0000 Test critical values: 1% level -3.544063

5% level -2.910860 10% level -2.593090

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.  

Novamente,  a  estatística  Tau  (‐7,35)  é  inferior  aos  valores  críticos  a  1  e  5%,  e  rejeitamos  a 

hipótese nula. Assim a série da 1a. diferença é estacionária. 

 

6) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento e tendência para a série de 1a. 

diferença das exportações 

Null Hypothesis: D(EXPORTS) has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.284629 0.0000 Test critical values: 1% level -4.118444

5% level -3.486509 10% level -3.171541

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.  

Novamente,  a  estatística  Tau  (‐7,28)  é  inferior  aos  valores  críticos  a  1  e  5%,  e  rejeitamos  a 

hipótese nula. Assim a série da 1a. diferença é estacionária. 

 

 

190Econometria – Semestre 2010.01 190

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Teste Dickey‐Fuller aumentado (teste ADF) 

O teste original de Dickey e Fuller supõe que o processo yt é um AR(1) e pode ser estendido para 

incorporar ao modelo a presença de novos “lags” da variável Yt. Isso leva aos chamados testes ADF 

(Augmented Dickey‐Fuller Tests), cuja aplicação segue, em linhas gerais, o mesmo mecanismo que 

o teste Dickey‐Fuller original.  

 

O  grande  problema  na  aplicação  dos  testes  ADF  talvez  seja,  exatamente,  a  especificação  de 

quantas  defasagens  incluir  na  equação  a  ser  testada, ou  seja,  a ordem do modelo AR(p)  a  ser 

estimado para Yt. 

 

O teste ADF consiste em estimar a regressão: 

 

Onde εt é um ruído branco e ΔYt‐1 = Yt‐1 ‐ Yt‐2 (analogamente para outras defasagens). 

 

O número de defasagens a incluir na equação (21.9.9) é, em geral, determinado empiricamente. A 

idéia é  incluir um número suficiente de termos para que o erro não apresente correlação serial. 

Uma estratégia é escolher um número suficientemente grande de defasagens, e usar os  termos 

até a defasagem mais alta significante. Por exemplo, no caso de dados mensais, ajuste o modelo 

com  um  número  de  defasagens m  >  12.  Uma  outra  idéia  é minimizar  algum  um  critério  de 

informação,  como  AIC  ou  BIC,  para  a  escolha  do  número  de  defasagens.  O  Eviews  usa  esta 

estratégia. 

 

Uma  regra  empírica  sugerida  por  Schwert  (1989)  é  escolher  m  igual  à  parte  inteira  de 

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4/1

10012 N

 onde N é o tamanho da série. Por exemplo, se N = 100 observações, isso nos daria m 

= 12 lags, se N=200, teríamos m = int(14,27) = 14 lags. 

 

 

No  teste ADF,  a hipótese nula  é  ainda H0:  δ =  0  e os  valores  críticos  são os mesmos do  teste 

Dickey‐Fuller original. 

 

 

191Econometria – Semestre 2010.01 191

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

 

Exemplo – série de exportações brasileiras – continuação 

Já  vimos  que  a  série  de  exportações  é  I(1)  e  o modelo  que  parece mais  adequado  é  o  com 

tendência e deslocamento, dado pela equação (21.9.5). A partir deste modelo adicionamos novos 

lags e executamos o teste ADF. A especificação do número de “lags” será feita automaticamente 

pelo Eviews (veja a figura a seguir). 

 Null Hypothesis: EXPORTS has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.820128 0.6824 Test critical values: 1% level -4.121303

5% level -3.487845 10% level -3.172314

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 20:01 Sample(adjusted): 1995:3 2010:1 Included observations: 59 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. EXPORTS(-1) -0.147365 0.080964 -1.820128 0.0743

D(EXPORTS(-1)) 0.125435 0.105485 1.189124 0.2396D(EXPORTS(-2)) -0.597411 0.106063 -5.632601 0.0000

C 493.5868 909.3323 0.542801 0.5895@TREND(1994:4) 111.9188 57.17440 1.957499 0.0555

R-squared 0.479804 Mean dependent var 466.2914Adjusted R-squared 0.441271 S.D. dependent var 4320.675S.E. of regression 3229.626 Akaike info criterion 19.07906Sum squared resid 5.63E+08 Schwarz criterion 19.25512Log likelihood -557.8322 F-statistic 12.45176Durbin-Watson stat 1.986022 Prob(F-statistic) 0.000000

 

 

192Econometria – Semestre 2010.01 192

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

 

A equação estimada é: 

ΔYt = 493,59 +111,92.t ‐ 0,1474.Yt‐1 + 0,1254. ΔYt‐1 ‐ 0,5974. ΔYt‐2   

 

O valor da estatística Tau é –1,82, e os valores críticos da estatística Dickey‐Fuller aos níveis 1% e 

5% são, respectivamente,  ‐4,12 e –3,48. Logo, a estatística Tau é maior que os valores críticos e  

não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária, ou seja, a série não é estacionária.  

 

Neste  modelo,  o  valor  estimado  de  ρ  é  1  –  0,1474  =  0,8526,  bem  diferente  dos  modelos 

anteriores.  

 

Críticas aos testes de raiz unitária 

Antes de discutir os problemas  relativos a estes  testes,  lembre‐se das definições de  tamanho e 

potência de um teste. 

Tamanho de um teste (α) 

O tamanho de um teste (ou nível de significância do teste) é a sua probabilidade de erro do 

tipo I, ou seja, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No caso 

dos testes ADF, é a probabilidade de dizer que a série é estacionária quando, na verdade, 

ela não é estacionária. 

Potência de um teste 

Para um teste de hipóteses genérico a respeito de um parâmetro θ, a função potência é a 

probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando o valor do parâmetro é θ, escrita K(θ). Um 

erro do  tipo  II é  cometido quando  rejeitamos a hipótese nula e ela é  falsa, ou  seja, é o 

máximo valor da  função potência quando H0 é  falsa. A potência do teste, por sua vez, é 

definida  como  um  menos  o  erro  do  tipo  II.  Assim,  idealmente,  gostaríamos  que  a 

potência do teste fosse a maior possível, pois ela significa rejeitar H0 quando H0 é falsa. 

No  caso dos  testes ADF, alta potência  significa alta probabilidade de dizer que a  série é 

estacionária  (i.e,  rejeitar  H0)  quando  H0  é  falsa,  isto  é,  quando  a  série  é  realmente 

estacionária. 

 

 

 

193Econometria – Semestre 2010.01 193

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

A maioria dos testes Dickey‐Fuller tem baixa potência, isto é, tende a aceitar a hipótese de 

raiz  unitária  quando  ela  é  falsa. Ou  seja, os  testes  encontram uma  raiz unitária mesmo 

quando a série não a tem. 

 

 

21.8. COINTEGRAÇÃO 

Em  geral,  a  regressão  de  uma  série  não  estacionária  em  outra  produz  uma  regressão  espúria. 

Engle e Granger  (1987) mostraram que existem  situações em que duas  (ou mais) variáveis não 

estacionárias  do  tipo  random  walk  podem  ser  empregadas  diretamente  num  modelo  de 

regressão. Eles notaram que uma combinação  linear de duas ou mais séries não estacionárias 

pode ser estacionária. Se tal combinação  linear estacionária existe, as séries não estacionárias 

são  ditas  cointegradas,  e  esta  combinação  linear  é  chamada  de  equação  de  cointegração, 

podendo ser interpretada como uma relação de equilíbrio de longo prazo entre as variáveis. 

 

Por exemplo, sejam Yt e Xt dois passeios aleatórios, e suponha que exista ut = Yt – λ.Xt estacionária. 

Neste caso, Yt e Xt são chamadas de cointegradas e λ é o parâmetro de cointegração, que pode 

ser  estimado  por  uma  regressão  por  mínimos  quadrados  ordinários  de  Yt  em  Xt.  Um  ponto 

importante  é:  duas  séries  cointegradas  requerem,  obrigatoriamente,  a  mesma  ordem  de 

diferenciação para alcançar a estacionariedade. Por exemplo, se Yt é  I(2) e Xt é um candidato a 

cointegrar com Yt, então obrigatoriamente Xt deve ser I(2). 

 

O propósito dos testes de cointegração é determinar se um conjunto de séries não estacionárias é 

ou não cointegrado. Em linhas gerais, cointegração significa que existe um “co‐movimento” entre 

variáveis  que  exibem  tendência.  Duas  variáveis  cointegradas  apresentam  uma  relação  de 

equilíbrio de longo prazo. 

 

Considere  uma  série  temporal  Yt  não  estacionária,  que  se  torna  estacionária  após  a  aplicação 

sucessiva de d diferenças. Neste caso dizemos que Yt é  integrada de ordem d, e denotamos Yt ~ 

I(d).  Séries  integradas  possuem  uma  componente  de  tendência  estocástica,  e  a  aplicação  de 

choques a estas séries resulta em alterações permanentes nas mesmas. 

 

 

 

194Econometria – Semestre 2010.01 194

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

A  identificação  do  grau  apropriado  de  diferenciação  (d)  é  normalmente  feita  através  da  FAC 

(função  de  autocorrelação)  de  Yt.  Aplicam‐se  diferenças  sucessivas  até  que  a  FAC  decaia  com 

suficiente rapidez. Este procedimento tem, no entanto, certo grau de subjetividade, pois o analista 

deve  determinar  se  o  decaimento  da  FAC,  após  um  dado  número  de  diferenças,  já  é 

suficientemente  “rápido”  para  que  a  série  diferenciada  seja  considerada  estacionária.  Um 

procedimento alternativo é testar a ordem de integração de Yt, o que constitui os chamados testes 

de raiz unitária, como o Dickey‐Fuller e o ADF. O nome dos testes deriva do  fato do número de 

raízes sobre o círculo unitário (raízes unitárias) corresponder ao número de diferenças necessário 

para tornar uma série I(d) estacionária. 

 

Segundo  Tsay  (2002),  um  procedimento  adequado  na  modelagem  de  séries  temporais  não 

estacionárias é reconhecer a ordem de integração das séries de interesse e identificar um modelo 

ARMA  para  os  resíduos.  Estes,  naturalmente,  devem  ser  estacionários,  portanto  sua 

autocorrelação deve decair rapidamente. A modelagem ARMA dos resíduos é necessária pois ao 

ajustarmos  um modelo  de  regressão  a  duas  séries  temporais,  freqüentemente  os  resíduos  do 

modelo  original  ainda  apresentam  correlação  serial.  Esta  correção  posterior  assegura  que  os 

resíduos corrigidos serão descorrelatados.  

 

Cointegração na prática 

Suponha que você observou que duas séries Yt e Xt são I(1). Faça a regressão por MQO de Yt em Xt 

e obtenha os resíduos.  Isto é: 

ttt uXY ++= .λα  

Teste  a  estacionariedade  dos  resíduos.  Se  eles  forem  I(0),  ou  seja,  estacionários,  Yt  e  Xt  

cointegram, a equação obtida por MQO é a relação de cointegração e os testes t e F usuais podem 

ser  aplicados  sem  problemas.  A  equação  acima  é  chamada  de  regressão  co‐integrante  e  o 

parâmetro λ é o parâmetro de cointegração. 

 

Exemplo – importações e exportações brasileiras 

Já vimos que a série de exportações é I(1), e possivelmente a melhore especificação para ela tem 

“drift” e tendência determinística. Vamos verificar se a série de  importações é também I(1), pois 

isso abre a possibilidade das duas séries cointegrarem (lembre‐se que se elas tiverem ordens de 

integração diferentes, não irão cointegrar). 

 

 

195Econometria – Semestre 2010.01 195

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Os testes Dickey‐Fuller para a série de importações são mostrados a seguir: 

1) Teste DF – hipótese de passeio aleatório – Equação (21.9.2) 

Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic 0.648838 0.8537 Test critical values: 1% level -2.603423

5% level -1.946253 10% level -1.613346

*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:05 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) 0.012995 0.020028 0.648838 0.5189

R-squared -0.011190 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared -0.011190 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3259.039 Akaike info criterion 19.03251Sum squared resid 6.37E+08 Schwarz criterion 19.06711Log likelihood -579.4916 Durbin-Watson stat 1.535624 

Não rejeitamos a hipótese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA. Note também o coeficiente positivo 

de Yt‐1, que indicaria que a série tem comportamento explosivo. 

 

2) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento – Equação (21.9.4) 

Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.637525 0.8539 Test critical values: 1% level -3.542097

5% level -2.910019 10% level -2.592645

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:14 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) -0.028652 0.044942 -0.637525 0.5262

C 969.1208 936.3589 1.034989 0.3049

 

 

196Econometria – Semestre 2010.01 196

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

R-squared 0.006842 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared -0.009992 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3257.107 Akaike info criterion 19.04730Sum squared resid 6.26E+08 Schwarz criterion 19.11651Log likelihood -578.9428 F-statistic 0.406438Durbin-Watson stat 1.499999 Prob(F-statistic) 0.526250 

Não rejeitamos a hipótese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA. 

 

3) Teste DF – hipótese de passeio aleatório com deslocamento  e tendência – Equação (21.9.5) 

Null Hypothesis: IMPORTS has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.954147 0.6140 Test critical values: 1% level -4.115684

5% level -3.485218 10% level -3.170793

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IMPORTS) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:16 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IMPORTS(-1) -0.128472 0.065743 -1.954147 0.0555

C 644.7266 926.1794 0.696114 0.4891@TREND(1994:4) 70.53214 34.64881 2.035630 0.0464

R-squared 0.073066 Mean dependent var 434.6432Adjusted R-squared 0.041103 S.D. dependent var 3240.956S.E. of regression 3173.651 Akaike info criterion 19.01108Sum squared resid 5.84E+08 Schwarz criterion 19.11490Log likelihood -576.8380 F-statistic 2.285942Durbin-Watson stat 1.459026 Prob(F-statistic) 0.110768 

Novamente, não rejeitamos a hipótese nula, a série é NÃO ESTACIONÁRIA. 

Assim, como as séries são ambas I(1), podemos tentar fazer a regressão de uma variável noutra. 

 

Neste caso tentaremos explicar “exportações” através de “importações”. 

 

 

 

 

 

 

197Econometria – Semestre 2010.01 197

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

O modelo ajustado é: 

Dependent Variable: EXPORTS Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:03 Sample: 1994:4 2010:1 Included observations: 62

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -773.9056 1288.245 -0.600744 0.5503

IMPORTS 1.237658 0.060675 20.39826 0.0000R-squared 0.873973 Mean dependent var 22706.81Adjusted R-squared 0.871873 S.D. dependent var 12722.75S.E. of regression 4554.092 Akaike info criterion 19.71717Sum squared resid 1.24E+09 Schwarz criterion 19.78578Log likelihood -609.2322 F-statistic 416.0889Durbin-Watson stat 0.286903 Prob(F-statistic) 0.000000 

Nota:  vide  Gujarati  (pp.660‐661)  –  nas  regressões  co‐integrantes  o  valor  da  Durbin‐Watson 

tende  a  ser  pequeno  e  ele  propõe  um  teste  baseado  na  hipótese  d  =  0  para  verificar  se  as 

variáveis são cointegradas. 

 

Note  o  altíssimo  valor  do  R2  e  o  baixíssimo  valor  da Durbin‐Watson.  Isso  poderia  indicar  uma 

regressão espúria. Mas,  já sabemos que as duas séries são  I(1), e assim existe a possibilidade de 

que esta regressão seja “verdadeira”. Precisamos examinar os resíduos desta regressão e verificar 

se são estacionários. 

Null Hypothesis: RESID_REGR_EXPORT_IMPOR has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.886520 0.0570 Test critical values: 1% level -2.603423

5% level -1.946253 10% level -1.613346

*MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_REGR_EXPORT_IMPOR) Method: Least Squares Date: 06/24/10 Time: 21:28 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. RESID_REGR_EXPO

RT_IMPOR(-1) -0.129668 0.068734 -1.886520 0.0641

R-squared 0.054975 Mean dependent var -79.45504Adjusted R-squared 0.054975 S.D. dependent var 2438.006S.E. of regression 2370.043 Akaike info criterion 18.39546Sum squared resid 3.37E+08 Schwarz criterion 18.43007Log likelihood -560.0616 Durbin-Watson stat 2.056164

 

 

198Econometria – Semestre 2010.01 198

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

 

Rejeita‐se a hipótese nula de que δ = 0 ao nível 5,7% , e portanto podemos supor que, para este 

nível a  série é estacionária. Note que não  rejeitamos a hipótese nula nos níveis 1% e 5%  (mas 

rejeitamos no nível 10%  ‐ o nível de  significância do  teste é 5,7%  como mostrado no  início da 

tabela). 

 

Assim, podemos concluir que a regressão entre “exportações” e “importações” não é espúria, e 

podemos escrever: 

EXPORTt =  ‐773,9056 + 1,2377*IMPORTt 

 

Exemplo 2 – IPCA e SELIC 

Neste exemplo analisamos a existência de raízes unitárias nas séries mensais do IPCA (inflação) e 

SELIC (taxa básica de juros) no período entre janeiro de 1995 e maio de 2010. O gráfico das duas 

séries é mostrado a seguir. 

-1

0

1

2

3

4

5

96 98 00 02 04 06 08

SELIC IPCA

SELIC E IPCA (VARIAÇÃO % MENSAL)

 

Os correlogramas das duas séries estão nas próximas figuras. 

 

 

199Econometria – Semestre 2010.01 199

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

 

1) Correlograma de IPCA (variação percentual mensal) 

 

 

2) Correlograma de SELIC (variação percentual mensal) 

 

Os correlogramas sugerem que ambas as séries não são estacionárias. 

 

 

 

200Econometria – Semestre 2010.01 200

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

3) Teste de raiz unitária para SELIC 

3.1) Teste DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleatório 

Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.895728 0.0555 Test critical values: 1% level -2.577590

5% level -1.942564 10% level -1.615553

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:32 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. SELIC(-1) -0.018833 0.009934 -1.895728 0.0596

R-squared 0.015702 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.015702 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.235577 Akaike info criterion -0.048142Sum squared resid 10.15582 Schwarz criterion -0.030669Log likelihood 5.429048 Durbin-Watson stat 2.185729 

Estatística Tau =  ‐1,896, que está entre os valores  críticos 5% e 10%. Na verdade  (vide  tabela), 

rejeita‐se a hipótese nula δ = 0 com nível 5,7%. Ou seja, com nível 5,7% (e maior) pode‐se dizer 

que a série é estacionária (mas não com níveis menores que 5,7%). 

 

3.2) Teste DF para a SELIC usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento 

Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.770365 0.0646 Test critical values: 1% level -3.465977

5% level -2.877099 10% level -2.575143

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:38 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

 

 

201Econometria – Semestre 2010.01 201

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

SELIC(-1) -0.064982 0.023456 -2.770365 0.0062C 0.088866 0.041005 2.167193 0.0315

R-squared 0.040464 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.035191 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.233233 Akaike info criterion -0.062751Sum squared resid 9.900334 Schwarz criterion -0.027806Log likelihood 7.773099 F-statistic 7.674924Durbin-Watson stat 2.140704 Prob(F-statistic) 0.006180 

Estatística  Tau  =  ‐2,77,  que  está  entre  os  valores  críticos  5%  e  10%. Na  verdade  (vide  tabela), 

rejeita‐se a hipótese nula δ = 0 com nível 6,5%. Ou seja, com nível 6,5% (e maior) pode‐se dizer 

que a série é estacionária. 

 

3.3)  Teste  DF  para  a  SELIC  usando  a  especificação  de  passeio  aleatório  com  deslocamento  e 

tendência 

Null Hypothesis: SELIC has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.739908 0.0221 Test critical values: 1% level -4.008706

5% level -3.434433 10% level -3.141157

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(SELIC) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:41 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. SELIC(-1) -0.134727 0.036024 -3.739908 0.0002

C 0.315645 0.098506 3.204309 0.0016@TREND(1995:01) -0.001255 0.000497 -2.524400 0.0124

R-squared 0.073098 Mean dependent var -0.014264Adjusted R-squared 0.062856 S.D. dependent var 0.237448S.E. of regression 0.229864 Akaike info criterion -0.086484Sum squared resid 9.563621 Schwarz criterion -0.034066Log likelihood 10.95649 F-statistic 7.137040Durbin-Watson stat 2.066120 Prob(F-statistic) 0.001039 

Rejeita‐se a hipótese nula a nível 2,2%. 

 

 

202Econometria – Semestre 2010.01 202

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Em  todos  as  especificações,  a hipótese nula  foi  rejeitada  com nível  abaixo de 10%, e portanto 

concluímos que a série é estacionária, ou seja, não apresenta raiz unitária. 

 

4) Teste de raiz unitária para IPCA 

4.1) Teste DF para a IPCA usando a especificação de passeio aleatório 

Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.664179 0.0003 Test critical values: 1% level -2.577590

5% level -1.942564 10% level -1.615553

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:44 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.124316 0.033927 -3.664179 0.0003

R-squared 0.068051 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.068051 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.371745 Akaike info criterion 0.864205Sum squared resid 25.28962 Schwarz criterion 0.881677Log likelihood -78.50685 Durbin-Watson stat 2.077836 

A hipótese nula é claramente rejeitada – a série é estacionária. 

 

4.2) Teste DF para o IPCA usando a especificação de passeio aleatório com deslocamento 

Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.495379 0.0000 Test critical values: 1% level -3.465977

5% level -2.877099 10% level -2.575143

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:46 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05

 

 

203Econometria – Semestre 2010.01 203

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Included observations: 184 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.272889 0.049658 -5.495379 0.0000

C 0.159234 0.040112 3.969725 0.0001R-squared 0.142315 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.137603 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.357605 Akaike info criterion 0.792033Sum squared resid 23.27438 Schwarz criterion 0.826978Log likelihood -70.86708 F-statistic 30.19919Durbin-Watson stat 1.943289 Prob(F-statistic) 0.000000 

Novamente, nesta especificação concluímos que não há raiz unitária e a série é I(0). 

 

4.3)  Teste  DF  para  o  IPCA  usando  a  especificação  de  passeio  aleatório  com  deslocamento  e 

tendência 

Null Hypothesis: IPCA has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -5.706429 0.0000 Test critical values: 1% level -4.008706

5% level -3.434433 10% level -3.141157

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(IPCA) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:47 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. IPCA(-1) -0.297889 0.052202 -5.706429 0.0000

C 0.247059 0.070754 3.491780 0.0006@TREND(1995:01) -0.000785 0.000522 -1.504349 0.1342

R-squared 0.152907 Mean dependent var -0.006902Adjusted R-squared 0.143546 S.D. dependent var 0.385079S.E. of regression 0.356370 Akaike info criterion 0.790477Sum squared resid 22.98697 Schwarz criterion 0.842895Log likelihood -69.72392 F-statistic 16.33592Durbin-Watson stat 1.919151 Prob(F-statistic) 0.000000 

Novamente rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a série é I(0). 

 

 

 

 

 

204Econometria – Semestre 2010.01 204

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

5) Modelo para SELIC como função do IPCA 

O fato das duas séries serem estacionárias nos permite então fazer a regressão de SELIC em IPCA 

sem que esta regressão seja espúria. 

Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 17:50 Sample: 1995:01 2010:05 Included observations: 185

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.158634 0.071328 16.24383 0.0000

IPCA 0.697375 0.088474 7.882287 0.0000R-squared 0.253459 Mean dependent var 1.582525Adjusted R-squared 0.249379 S.D. dependent var 0.735616S.E. of regression 0.637326 Akaike info criterion 1.947681Sum squared resid 74.33173 Schwarz criterion 1.982495Log likelihood -178.1605 F-statistic 62.13045Durbin-Watson stat 0.275397 Prob(F-statistic) 0.000000 

Os resíduos desta regressão são estacionários, como mostra o teste de raiz unitária abaixo (fiz o 

teste apenas para a especificação de passeio aleatório). 

Null Hypothesis: RESID_1 has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed)

t-Statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.800640 0.0002 Test critical values: 1% level -2.577590

5% level -1.942564 10% level -1.615553

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_1) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 18:38 Sample(adjusted): 1995:02 2010:05 Included observations: 184 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. RESID_1(-1) -0.142425 0.037474 -3.800640 0.0002

R-squared 0.072414 Mean dependent var -0.009450Adjusted R-squared 0.072414 S.D. dependent var 0.334323S.E. of regression 0.321991 Akaike info criterion 0.576834Sum squared resid 18.97311 Schwarz criterion 0.594306Log likelihood -52.06871 Durbin-Watson stat 2.102549 

Assim,  conclui‐se que podemos usar  a  variação mensal do  IPCA para  tentar explicar a  variação 

mensal da SELIC. 

 

 

205Econometria – Semestre 2010.01 205

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

A  regressão  não  é  espúria,  mas  a  estatística  de  Durbin‐Watson  é  muito  baixa,  indicando  a 

existência de  correlação  serial de 1a ordem nos  resíduos. Vamos  tentar melhorar  isso  incluindo 

alguns “lags” de IPCA na especificação do modelo. 

 

Este modelo foi ajustado, mas não garantirei que é ótimo, ou o “melhor”, sob qualquer critério. Os 

resíduos  parecem  ter  um  comportamento  bastante  bom,  e  o O  ajuste  da  regressão melhorou 

sensivelmente (em termos de R2,  log‐verossimilhança, soma de quadrados dos resíduos, critérios 

AIC e Schwarz). 

 

Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 20:12 Sample(adjusted): 1996:01 2010:05 Included observations: 173 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.176641 0.011374 103.4467 0.0000

IPCA 0.022309 0.017261 1.292420 0.1980IPCA(-1) 0.064427 0.020364 3.163795 0.0019IPCA(-2) 0.059989 0.016710 3.590057 0.0004IPCA(-9) 0.207167 0.011750 17.63117 0.0000IPCA(-12) 0.096422 0.011696 8.244047 0.0000

R-squared 0.836087 Mean dependent var 1.439994Adjusted R-squared 0.831179 S.D. dependent var 0.178938S.E. of regression 0.073522 Akaike info criterion -2.348403Sum squared resid 0.902711 Schwarz criterion -2.239040Log likelihood 209.1369 F-statistic 170.3664Durbin-Watson stat 2.087612 Prob(F-statistic) 0.000000 

Note que o  IPCA no mesmo  instante não foi considerado significante, e então decidi exclui‐lo do 

modelo, resultando no modelo a seguir: 

Dependent Variable: SELIC Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 20:15 Sample(adjusted): 1996:01 2010:05 Included observations: 173 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.179554 0.011171 105.5905 0.0000

IPCA(-1) 0.079107 0.016935 4.671122 0.0000IPCA(-2) 0.058429 0.016699 3.498877 0.0006IPCA(-9) 0.208055 0.011753 17.70182 0.0000IPCA(-12) 0.098622 0.011595 8.505857 0.0000

R-squared 0.834447 Mean dependent var 1.439994Adjusted R-squared 0.830506 S.D. dependent var 0.178938S.E. of regression 0.073668 Akaike info criterion -2.350011Sum squared resid 0.911740 Schwarz criterion -2.258876Log likelihood 208.2760 F-statistic 211.6957Durbin-Watson stat 2.072298 Prob(F-statistic) 0.000000

 

 

206Econometria – Semestre 2010.01 206

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Houve uma  ligeira melhora em  termos do BIC e AIC  (que penalizam o número de  variáveis no 

modelo) e uma  ligeira piora em  termos da  log‐verossimilhança. A grande vantagem é que este 

modelo pode ser usado para previsão um passo à frente – se conhecermos a variação do IPCA no 

mês t podemos prever a variação da SELIC no mês t +1. 

 

O  próximo  gráfico  mostra  a  evolução  temporal  dos  resíduos  e  o  gráfico  seguinte  o  seu 

correlograma ‐ eles parecem estacionariedade dos resíduos! 

 

Resíduos, SELIC real e SELIC ajustada pelo modelo 

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

.4

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Residual Actual Fitted

 

 

Correlograma dos Resíduos 

 

 

 

 

 

207Econometria – Semestre 2010.01 207

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Eis alguns comentários. 

Existem diversas quebras estruturais na série da variação da SELIC, pontos em que a taxa 

subiu  abruptamente  –  a  inclusão  de  variáveis  “dummy”  para  levar  em  conta  estas 

mudanças radicais seria uma boa idéia; 

As duas séries são estacionárias de acordo com os testes DF, mas pode haver problemas 

nas suas variâncias. 

 Na verdade, era até esperado que estas séries (IPCA e SELIC) não apresentassem tendência 

clara para cima ou para baixo, pois elas são as variações mensais, tanto ad SELIC quanto do 

IPCA,  ou  seja,  é  como  se  pegássemos  um  “número  índice”    e  fizéssemos  a  série  das 

diferenças. 

Seria tentador modelar as duas séries nas escalas do log, mas o IPCA teve variação negativa 

em pelo menos um mês no período, o que impede o uso do log. Sempre poderíamos tentar 

um modelo do tipo log(k+SELIC) em log(k+IPCA) onde k é suficiente para que IPCA não seja 

negativo em qualquer mês, mas acho que isso dificulta a compreensão do modelo. 

Finalmente,  se  fosse  fácil  modelar  isso,  EU  seria  milionária  (e  vocês  também,  a  esta 

altura...), e o BACEN não sofreria tantas críticas por elevar a taxa de  juros, supostamente 

na hora errada... 

 

Co‐integração e o mecanismo de correção de erro 

Considere novamente o modelo para exportações como função das importações. Já vimos que as 

duas séries são I(1) e existe uma regressão co‐integrante. 

Considere agora o seguinte modelo nas primeiras diferenças: 

 ΔEXPORTt = α0 + α1*ΔIMPORTt + α2*ut‐1 + εt 

 

Onde εt é um erro aleatório e  ut‐1 é o erro da equação co‐integrante DEFASADO em um instante, 

ou seja, é o erro da equação em nível DEFASADO em um instante, isto é: 

12111 −−− −−= ttt IMPORTEXPORTu ββ  

 

A equação em diferenças acima é chamada de equação do mecanismo de correção de erro. Ela 

diz que:  

 

 

208Econometria – Semestre 2010.01 208

P r o f e s s o r a   M ô n i c a   B a r r o s ENCE 

Espera‐se que o coeficiente α2 do termo de correção de erro seja NEGATIVO para garantir 

o  retorno  ao  ponto  de  equilíbrio. O  valor  deste  coeficiente  indica  a  rapidez  com  que o 

equilíbrio é alcançado. 

ΔEXPORT depende de ΔIMPORT e do termo de erro de equilíbrio; 

Se ut‐1 > 0 e   ΔIMPORT = 0. Então EXPORTt‐1 estará ACIMA do  seu  valor de equilíbrio e 

começará a cair no período seguinte para corrigir o erro de equilíbrio; 

Analogamente,  se  ut‐1  <  0  (e  então  EXPORTt‐1  estará  ABAIXO  do  seu  valor  de 

equilíbrio), α2 .ut‐1 será positivo, o que levará EXPORTt a subir. 

 

Ajustando a equação de correção de erro no Eviews temos: 

Dependent Variable: D(EXPORTS) Method: Least Squares Date: 06/25/10 Time: 19:44 Sample(adjusted): 1995:1 2010:1 Included observations: 61 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -18.36249 308.0363 -0.059611 0.9527

D(IMPORTS) 1.127458 0.098448 11.45235 0.0000RESID01(-1) -0.108113 0.071703 -1.507792 0.1370

R-squared 0.697301 Mean dependent var 458.4845Adjusted R-squared 0.686863 S.D. dependent var 4260.402S.E. of regression 2384.062 Akaike info criterion 18.43893Sum squared resid 3.30E+08 Schwarz criterion 18.54274Log likelihood -559.3873 F-statistic 66.80484Durbin-Watson stat 2.149631 Prob(F-statistic) 0.000000 

Nota: D(EXPORTS) e D(IMPORTS) são as 1as. Diferenças de EXPORTS e IMPORTS respectivamente, e 

RESID01(‐1) é a série de resíduos da equação de EXPORTS em IMPORTS defasada de 1 instante. Da 

tabela anterior vemos que o coeficiente α2 do termo de correção de erro é significante a nível 13% 

e é  igual a 0,0717. O termo constante não é significante nesta equação.