Download - EARTH PTYXIAKI RESISTIVITYMETER.pdf

Transcript

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΓΗΣ ΑΠΟ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

Α∆ΑΜ ΧΡΥΣΟΥΛΑ , Α.Ε.Μ 4696 ΒΙΛΛΙΩΤΗΣ ΣΩΤΗΡΙΟΣ , Α.Ε.Μ 4632

ΕΠΙΒΛΕΠΟΝΤΕΣ: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΓΡΗΓΟΡΙΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΠΑ∆ΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΟΦΙΛΟΣ, ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2008

∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΓΗΣ ΑΠΟ

ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

Αδάµ Χρυσούλα

Βιλλιώτης Σωτήριος

Περίληψη Στην παρούσα διπλωµατική εργασία προσπαθήσαµε να υπολογίσουµε

αντιστάσεις στρωµατοποιηµένης γης από µετρήσεις αντιστάσεων που έγιναν στην

επιφάνεια. Αρχικά παρουσιάζονται οι σκοποί για τους οποίους µετράται η ειδική

αντίσταση των πετρωµάτων και των ορυκτών, ο κυριότερος εκ των οποίων είναι ο

σχεδιασµός των διαφόρων συστηµάτων γείωσης.Η ειδική αντίσταση των

πετρωµάτων και των στοιχείων του εδάφους ποικίλει ανά τον κόσµο και µεταβάλλεται

µε την εναλλαγή των τεσσάρων εποχών στη διάρκεια του χρόνου.

Στη συνέχεια παρατίθενται αναλυτικά οι διάφορες διατάξεις µέτρησης της

αντίστασης του οµοιογενούς και του ανοµοιογενούς υπεδάφους. Οι κυριότερες από

αυτές είναι οι διατάξεις Wenner και Schlumberger. Εµείς έχουµε επιλέξει την διάταξη

Wenner προκειµένου να µετρήσουµε την αντίσταση διαστρωµατοποιηµένης γης,

όπου ρ1 είναι η αντίσταση του ανώτερου στρώµατος, ρ2 είναι η αντίσταση του

κατώτερου στρώµατος και h είναι το βάθος του ανώτερου στρώµατος.

Στην πορεία παρουσιάζονται οκτώ διαφορετικές τεχνικές για την µέτρηση της

αντίστασης γης. Επιλέγοντας να χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο της Απότοµης

Καθόδου, υλοποιούµε τον αλγόριθµο µέσω ενός προγράµµατος µε τη βοήθεια του

MATLAB που δίνεται στο παράρτηµα της διπλωµατικής. ∆ίνονται επίσης και οι

οδηγίες χρήσεις του προγράµµατος.

Εισάγοντας λοιπόν κάποια δεδοµένα που παίρνουµε από την µέθοδο Wenner,

έχουµε πετύχει µε την βοήθεια του προγράµµατος να εξάγουµε τις τιµές των ρ1, ρ2, h

που αρχικά θέλαµε να υπολογίσουµε.

Το πρόγραµµα αυτό είναι ένα εύχρηστο εργαλείο στα χέρια του

ηλεκτρολόγου µηχανικού, αφού του δίνεται η δυνατότητα σχετικά εύκολα και γρήγορα

και µάλιστα µε αρκετή ακρίβεια να υπολογίζει τις αντιστάσεις της

διαστρωµατοποιηµένης γης σε οποιαδήποτε περιοχή.

1

Πρόλογος

Η συγκεκριµένη διπλωµατική εργασία µελετά την αντίσταση της γης και τους

τρόπους µέτρησής της µε προσοµοίωση σε Η/Υ και τη βοήθεια του προγράµµατος

MATLAB.

Για την επιτυχή ολοκλήρωση της συγκεκριµένης διπλωµατικής εργασίας

συνέβαλλε σηµαντικά ο επίκουρος καθηγητής του τοµέα Ηλεκτρικής Ενέργειας κ. Γ.

Παπαγιάννης τον οποίο και ευχαριστούµε θερµά, τόσο για την προσφορά των

πολύτιµων γνώσεων του πάνω στο θέµα, όσο και για την άριστη συνεργασία που

επέδειξε στην επίλυση των προβληµάτων που αντιµετωπίσαµε κατά το χρονικό

διάστηµα µελέτης της διπλωµατικής εργασίας.

Ιδιαίτερα θέλουµε να ευχαριστήσουµε τον µεταπτυχιακό φοιτητή κ. Θ.

Παπαδόπουλο, η συµβολή του οποίου σε θέµατα προγραµµατισµού ήταν

σηµαντική.

Αδάµ Χρυσούλα

Βιλλιώτης Σωτήριος

2

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ……………………………………………….………………………………5 1.1. Σκοπός µέτρησης ειδικής αντίστασης…….……………………………....5 1.2. Παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η ειδική αντίσταση των

πετρωµάτων και των ορυκτών………………………………………………...5 2. ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΥΠΕ∆ΑΦΟΥΣ……………………………...9

2.1. Ο ορισµός του εδάφους………………………………………………………9 2.2. Βασική µέθοδος µέτρησης αντίστασης οµοιογενούς υπεδάφους….10 2.3. Βάθος διείσδυσης ρεύµατος………………………………………………12

2.3.1. Οµοιογενή γη………………………………………………………….12

2.3.2. Ανοµοιογενή γη……………………………………………………….13

2.4. ∆ιατάξεις µέτρησης αντίστασης γης για ανοµοιογενές υπέδαφος…17 2.5. ∆ιαδικασία µετρήσεων……………………………………………………...27 2.6. Ηλεκτρόδια και όργανα µέτρησης………………………………………...29 2.7 Μέτρηση της αντίστασης γης σε µια αποµακρυσµένη τοποθεσία..33 2.8 Το πρόβληµα της δηµιουργίας µοντέλου γης…………………………..35

3 ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΓΗΣ…………………………………..40 3.1. ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ………………………………………………………………43 3.2. ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΠΟΥ ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ……………………………….45

3.2.1. Μέθοδος Απότοµης Καθόδου……………………………………….45

3.2.2. Μέθοδος Newton……………………………………………………..46

3.2.3. Μέθοδος Levenberg-Marguardt…………………………………….47

3.2.4. Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδος………………………………….48

3.2.5. Μέθοδος Quasi-Newton………………………..……………………50

3.3. ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΓΗΣ………………………………………………………………..51

3.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ…………………………………………………………….59 3.5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ…………………………………………………………….60

4. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ…………………………………………………………62 4.1. ΒΗΜΑΤΑ……………………………………………………………………….62 4.2. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΧΕΣΕΩΝ…………………………………………………….69

5. ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ – ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ…………………………………71 5.1. Μέθοδος του DEL ALAMO…………………………………………………71 5.2. Μέθοδος του F. DAWALIBI…………………………………………………76 5.3. Μέθοδος HANS SEEDHER- ARORA………………………………………78 5.4. Μέθοδος I. GONOS…………………………………………………………..80 5.5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ…………………………………………………………….81

6. Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ……………………………….82

3

7. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΕΧΙΣΗ ΤΗΣ ∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ………………………..84 8. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ…………………………………………………………………………..85 9. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ………………………………………………………………………..90

4

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1.1 Σκοπός µέτρησης ειδικής αντίστασης

Η µέτρηση της ειδικής αντίστασης των πετρωµάτων και των ορυκτών

εξυπηρετεί κυρίως τρεις βασικούς σκοπούς. Αρχικά τέτοιες πληροφορίες χρησιµοποιούνται προκειµένου να

διεκπεραιωθούν γεωφυσικές έρευνες που έχουν σαν σκοπό να προσδιορίσουν την

ακριβή σύσταση του υπεδάφους. Έτσι προσδιορίζεται το βάθος των στρωµάτων και

τα πετρώµατα από τα οποία αποτελείται αυτό κάτι που συµβάλλει σηµαντικά στην

ανεύρεση τυχόν κοιτασµάτων που υπάρχουν.

∆εύτερον ,η ειδική αντίσταση έχει άµεσο αντίκτυπο στο βαθµό που µπορεί

να παρουσιαστεί διάβρωση του εδάφους στα διάφορα επίπεδα από τα οποία µπορεί

να αποτελείται αυτό. Μία µείωση στην ειδική αντίσταση σχετίζεται µε µια αύξηση της

πιθανότητας διάβρωσης του εδάφους ,πράγµα το οποίο υπαγορεύει τον εξοπλισµό

και τα προστατευτικά µέσα που θα χρησιµοποιηθούν σε τυχόν έρευνες που αφορούν

το έδαφος καθώς και σε πρακτικές εφαρµογές. Για παράδειγµα επηρεάζεται απ’

ευθείας το µέγεθος της διάβρωσης των υπόγειων σωλήνων και η τιµή της ειδικής

αντίστασης είναι αυτή που θα προσδιορίσει τα µέσα για την προστασία τους.

Ο σηµαντικότερος λόγος όµως για την µέτρηση της ειδικής αντίστασης

των πετρωµάτων και των ορυκτών είναι ότι αυτή επηρεάζει άµεσα τον σχεδιασµό των

συστηµάτων γείωσης. Όταν σχεδιάζεται για παράδειγµα ένα εκτενές σύστηµα

γείωσης είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή του εδάφους µε την

χαµηλότερη αντίσταση έτσι ώστε να επιτύχουµε να χρησιµοποιήσουµε τον κατάλληλο

οικονοµικότερο εξοπλισµό εγκατάστασης.

1.2 Παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων και των ορυκτών.

Η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων και των ορυκτών (ρ) υπολογίζεται µε

τον τύπο:

ρλ⋅

=R S

5

εξαρτάται από διάφορους παράγοντες µερικοί από τους οποίους είναι οι εξής.

1) Το νερό, δηλαδή η υγρασία.

2) Η θερµοκρασία.

3) Η περιεκτικότητα σε αλάτι.

4) Τα µεταλλικά στοιχεία.

5) Το πορώδες του πετρώµατος.

Στη συνέχεια παρουσιάζεται πιο αναλυτικά η εξάρτηση της ειδικής

αντίστασης από τους παραπάνω παράγοντες.

1. Η ειδική αντίσταση εξαρτάται από το νερό. Όσο µεγαλύτερη είναι η

υγρασία, δηλαδή όσο περισσότερη είναι η περιεκτικότητα σε νερό τόσο

µικρότερη είναι η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων. ∆ύο δείγµατα

εδάφους, όταν σε αυτά δεν υπάρχει καθόλου υγρασία, µπορούν πράγµατι

να γίνουν πολύ καλά µονωτικά έχοντας µια ειδική αντίσταση που ξεπερνά

τα 109 ohm/cm. Αυτή η ειδική αντίσταση του δείγµατος µεταβάλλεται

ραγδαία, δηλαδή µειώνεται, µέχρι η περιεκτικότητα της υγρασίας να

φτάσει το 20% όπως βλέπουµε και στον πίνακα 1.1.

Πίνακας 1.1 Μεταβολή της ειδικής αντίστασης του εδάφους συναρτήσει της υγρασίας

Υγρασία Ειδική αντίσταση (Ω/cm)

(%) Επιφανειακό στρώµα Έδαφος αµµώδες-αργιλώδες

0 >109 >109

2,5 250.000 150.000

5 165.000 43.000

10 53.000 18.500

15 19.000 10.500

20 12.000 6.300

30 6.400 4.200

2. Η ειδική αντίσταση εξαρτάται επίσης από την θερµοκρασία. Παρατηρείται

ότι η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων µεταβάλλεται αντιστρόφως

ανάλογα της θερµοκρασίας. Η αύξηση δηλαδή της θερµοκρασίας

6

συνεπάγεται µείωση της ειδικής αντίστασης. Στον πίνακα 1.2 φαίνεται η

διακύµανση της ειδικής αντίστασης από ένα αµµώδες και παχύ χώµα το

οποίο έχει ένα ποσοστό υγρασίας 15,2%. Σε αυτή την διακύµανση της

θερµοκρασίας η ειδική αντίσταση δείχνει να κυµαίνεται από 7,2 µέχρι 330

ohm/cm.

Πίνακας 1.2 Μεταβολή της ειδικής αντίστασης του εδάφους συναρτήσει της θερµοκρασίας

Θερµοκρασία Ειδική αντίσταση

˚C F (Ω/cm)

20 68 7.200

10 50 9.900

0 32 (νερό) 13.800

0 32 (πάγος) 30.000

-5 23 79.000

-15 14 330.000

3. Η ειδική αντίσταση επηρεάζεται ακόµη από την περιεκτικότητα των

πετρωµάτων του εδάφους σε αλάτι. Όσο αυξάνει η περιεκτικότητα

µικραίνει η ειδική αντίσταση. Στον πίνακα 1.3 φαίνεται η σηµαντική µείωση

στην ειδική αντίσταση των πετρωµάτων ενός αµµώδους εδάφους

υγρασίας 15% και θερµοκρασίας 17˚C, που οφείλεται στην αύξηση της

περιεκτικότητας σε αλάτι.

Πίνακας 1.3 Επίδραση του άλατος στην ειδική αντίσταση του εδάφους

Ποσότητα άλατος (%) Ειδική αντίσταση (Ω/cm)

0 10.700

0,1 1.800

1 460

5 190

10 130

20 100

7

4. Η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων του εδάφους επηρεάζεται και από

τα µεταλλικά στοιχεία που αυτό περιέχει. Όσο πλουσιότερα είναι τα

ορυκτά του εδάφους σε µεταλλικά στοιχεία τόσο µικρότερη είναι η ειδική

αντίσταση.

5. Η ειδική αντίσταση των πετρωµάτων του εδάφους εξαρτάται επίσης απ΄

το πορώδες του πετρώµατος. Εδώ ισχύει ο νόµος του Archie σύµφωνα µε

τον οποίο η ειδική αντίσταση αυξάνει όταν ελαττώνεται το πορώδες του

πετρώµατος.

Συµπερασµατικά, η αντίσταση των πετρωµάτων, των υλικών και των

διαφόρων στοιχείων του εδάφους ποικίλει ανά τον κόσµο και µεταβάλλεται µε την

εναλλαγή των τεσσάρων εποχών στη διάρκεια του χρόνου. Οι µεταβολές

απεικονίζονται στο σχήµα 1.1.

Σχήµα 1.1 Εποχιακή µεταβολή της αντίστασης της γης µετρούµενης µε ηλεκτρόδιο πάχους

3/4in και σε βάθος 1m για την καµπύλη 1 και 3m για την καµπύλη 2

Παρατίθεται επίσης παρακάτω και ο πίνακας 1.4 µε τις αντιστάσεις

διαφόρων υλικών. Χαρακτηριστικό είναι το γεγονός ότι η αντίσταση του αέρα τείνει

στο άπειρο.

Αξιοσηµείωτο είναι το γεγονός ότι κάποια υλικά παρουσιάζουν πολύ µικρή

αντίσταση σε σχέση µε κάποια άλλα. Αυτό βέβαια επηρεάζεται και από τους

παραπάνω παράγοντες που αναφέραµε.

8

Πίνακας 1.4 Ειδικές αντιστάσεις διαφόρων υλικών

Υλικό Ειδική αντίσταση (Ω/m)

Αέρας ∞

Πυρήτιο 3 x 10-1

Γαληνίτης 2 x 10-3

Χαλαζίας 4 x 1010 – 2 x 1014

Ασβεστίτης 1012 - 1013

Ορυκτό άλας 30 - 1013

Μαρµαρυγία ή Μίκα 9 x 1012 - 1014

Γρανίτης 100 - 106

Βασάλτης 10 - 107

Ασβεστόλιθος 50 - 107

Ψαµµόλιθος 1 - 108

Σχιστόλιθος 20 – 2 x 103

∆ολοµίτης 100 – 104

Άµµος 1 - 103

Πηλός 1 – 100

Υπόγειο νερό 0,5 – 300

Θαλασσινό νερό 0,2

2. ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΥΠΕ∆ΑΦΟΥΣ 2.1 Ο ορισµός του εδάφους

Το έδαφος είναι µια αγώγιµη σύνδεση µέσω της οποίας ένα ηλεκτρικό

κύκλωµα ή εξοπλισµός είναι συνδεδεµένο στη γη ή σε κάποιο αγώγιµο σώµα. Το

έδαφος µπορεί να είναι οµοιογενές ή ανοµοιογενές. Μπορεί να αποτελείται δηλαδή

από ένα ή και περισσότερα στρώµατα.

9

Αντίσταση γης: Είναι οι ηλεκτρικές ιδιότητες που εµφανίζει το έδαφος όταν σε

αυτό διοχετεύεται ρεύµα. Η µονάδα µέτρησης είναι τα ohm-cm και η τιµή της δίνεται

από τον τύπο:

(1) ρ= ⋅βάθος οµόκεντρου τµήµατος ΓηςRδιατοµή οµόκεντρου τµήµατος Γης

Η αντίσταση γης εξαρτάται από το βάθος που τοποθετούνται τα ηλεκτρόδια

µέσα στο έδαφος, για παράδειγµα µε διπλασιασµό του µήκους έχουµε µείωση της

αντίστασης κατά 40%, και από το µέγεθος των ηλεκτροδίων, δηλαδή µε διπλασιασµό

της διαµέτρου έχουµε µείωση της αντίστασης κατά 10%.

2.2 Βασική µέθοδος µέτρησης αντίστασης οµοιογενούς υπεδάφους

Όταν το έδαφος είναι οµοιογενές, τότε ισχύει ο γενικευµένος νόµος του Ohm

και η διάχυση του ρεύµατος από ένα ηλεκτρόδιο που εισάγεται στο έδαφος είναι της

µορφής του σχήµατος 2.1:

Σχήµα 2.1 ∆ιάχυση ρεύµατος σε οµοιογενές υπέδαφος

Στην περίπτωση που εισάγονται δύο ηλεκτρόδια ηλεκτρικής πηγής σε οµοιογενές

υπέδαφος, οι ισοδυναµικές γραµµές είναι όπως φαίνονται στο σχήµα 2.2.

10

Σχήµα 2.2 Ισοδυναµικές γραµµές σε οµοιογενές υπέδαφος µε δυο ηλεκτρόδια πηγής

Το δυναµικό υπολογίζεται απ΄ την σχέση:

(2)

ρ ⎡ ⎤⋅ ⎛ ⎞ ⎛∆ = − = − − −⎜ ⎟ ⎜

⎞⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠MN M N

I 1 1 1 1V V Vπ AM MB AN NB⎢ ⎥2 ⎣ ⎦

Η αντίσταση του οµοιογενούς υπεδάφους µετριέται µε µια µέθοδο που

ονοµάζεται Electrical Resistivity Method. Σύµφωνα µε αυτή, διοχετεύουµε ένα

γνωστό ρεύµα στη γη και µετράµε την πτώση τάσης που προκαλείται για να βρούµε

έτσι την αντίσταση του υπεδάφους.

Συγκεκριµένα το ρεύµα διοχετεύεται µέσω δύο ηλεκτροδίων και η πτώση

τάσης µετριέται µέσω δύο άλλων δύο ηλεκτροδίων. Η µέθοδος αυτή ονοµάζεται και µέθοδος των τεσσάρων σηµείων (4-Point method), εξαιτίας των τεσσάρων

ηλεκτροδίων που χρησιµοποιούνται. Στο σχήµα 2.3 φαίνεται αυτή η διάταξη

µέτρησης της αντίστασης του υπεδάφους

11

Σχήµα 2.3 Μέθοδος των τεσσάρων σηµείων

Η αντίσταση του υπεδάφους που µετράµε δίνεται από τον εξής τύπο:

αρ π ∆ ⋅=

V k2I

(3)

Όπου k ένας γεωµετρικός παράγοντας που εξαρτάται από την γεωµετρία

των ηλεκτροδίων και τις µεταξύ τους αποστάσεις.

2.3 Βάθος διείσδυσης ρεύµατος 2.3.1 Οµοιογενή γη

Η διείσδυση του ρεύµατος στην οµοιογενή γη εξαρτάται από την απόσταση

των ηλεκτροδίων. Όσο αυξάνεται η απόσταση των ηλεκτροδίων τόσο περισσότερο

µέρος από το διοχετευόµενο ρεύµα ρέει σε µεγαλύτερα βάθη. Σε αυτή την περίπτωση

απαιτείται µία γεννήτρια που θα παράγει περισσότερο ρεύµα. Στο σχήµα 2.4

φαίνεται αυτή η εξάρτηση του ρεύµατος και της απόστασης των ηλεκτροδίων.

12

Σχήµα 2.4 Επίδραση της απόστασης των ηλεκτροδίων στην διείσδυση του ρεύµατος

2.3.2 Ανοµοιογενή γη

Θεωρούµε ένα µοντέλο γης δύο επιπέδων, όπου το ανώτερο στρώµα έχει

µεγαλύτερη ειδική αντίσταση από το κατώτερο. Όσο αυξάνεται η απόσταση µεταξύ

των ηλεκτροδίων ρεύµατος, ενώ τα ηλεκτρόδια τάσης παραµένουν σταθερά

προκύπτουν τα παρακάτω σχήµατα.

Πιο αναλυτικά, όταν τα ηλεκτρόδια του ρεύµατος είναι σε πολύ µικρή

απόσταση µεταξύ τους το περισσότερο µέρος του ρεύµατος ρέει στο ανώτερο

στρώµα του εδάφους µε τον ίδιο τρόπο που θα έρεε αν το έδαφος ήταν οµοιογενές,

αποτελείται δηλαδή από ένα µόνο ένα στρώµα. Έτσι η τιµή της αντίστασης που

υπολογίζεται είναι πολύ κοντά σε αυτή του ανώτερου στρώµατος, δηλαδή 250 ohm/m

(σχήµα 2.5).

Αν αυξήσουµε την απόσταση των ηλεκτροδίων, η ροή του ρεύµατος δίπλα

στα ηλεκτρόδια µεταβάλλεται σηµαντικά και το ρεύµα διαχέεται και στο κατώτερο

στρώµα του εδάφους. Έτσι µειώνεται η πυκνότητα του ρεύµατος µεταξύ των δύο

ηλεκτροδίων και αυτή η µείωση της πυκνότητας προκαλεί µείωση της µετρούµενης

αντίστασης. Έτσι η τιµή της αντίστασης που υπολογίζεται είναι µικρότερη από 250

ohm/m.

Σε περίπτωση όπου η απόσταση µεταξύ των ηλεκτροδίων είναι πάρα

πολύ µεγάλη, το ρεύµα ρέει πάλι όπως θα έρεε εάν το έδαφος ήταν οµοιογενές. Σε

13

αυτή την περίπτωση ωστόσο η αντίσταση του µέσου είναι 50 ohm/m και όχι 250

ohm/m.

Σχήµα 2.5 Επίδραση της απόστασης των ηλεκτροδίων στη διείσδυση του ρεύµατος για

αντίσταση πρώτου στρώµατος µεγαλύτερη του δευτέρου

Στην περίπτωση που θεωρήσουµε ότι το ανώτερο από τα δύο στρώµατα

έχει µικρότερη αντίσταση από το κατώτερο προκύπτουν το σχήµα 2.6.

14

Σχήµα 2.6 Επίδραση της απόστασης των ηλεκτροδίων στη διείσδυση του ρεύµατος για

αντίσταση πρώτου στρώµατος µικρότερη του δευτέρου

Υποθέτουµε ότι έχουµε µια στρωµατοποιηµένη γη δύο στρωµάτων,

δηλαδή ένα µοντέλο γης δύο στρωµάτων και η αντίσταση του πρώτου στρώµατος

είναι ρ1 ,η αντίσταση του δεύτερου στρώµατος είναι ρ2 και το βάθος του πρώτου

στρώµατος είναι d1. Κρατώντας σταθερή την απόσταση (α) των ηλεκτροδίων, η τιµή

της υπολογιζόµενης αντίστασης εξαρτάται µόνο από τους λόγους ρα/ρ1 και α/d1 όπως

φαίνεται στο διάγραµµα που ακολουθεί (σχήµα 2.7).

Ο υπολογισµός της προφανούς αντίστασης (ρα) βασίζεται σε µία από τις

µεθόδους που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια και ονοµάζεται µέθοδος Wenner.

15

Σχήµα 2.7 Καµπύλες µοντελοποίησης διαστρωµατοποιηµένης γης

Για µοντέλο γης τριών επιπέδων ισχύουν οι καµπύλες του σχήµατος 2.8.

16

Σχήµα 2.8 Καµπύλες µοντέλου γης τριών επιπέδων

2.4 ∆ιατάξεις µέτρησης αντίστασης γης για ανοµοιογενές

υπέδαφος

Στις περιπτώσεις όπου ο φλοιός της γης είναι έντονα ανοµοιογενής, ο

προσδιορισµός της ειδικής αντίστασης είναι δύσκολος. Για τον λόγο αυτό

υπολογίζεται αρχικά µια φυσικώς ανύπαρκτη ποσότητα, η οποία ονοµάζεται

φαινόµενη ειδική αντίσταση (ρα). H ρα χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό της

πραγµατικής ειδικής αντίστασης στα διάφορα στρώµατα του υπεδάφους και

εξαρτάται έντονα από τον τρόπο διάταξης των ηλεκτροδίων µέτρησης.

17

Σχήµα:2.9 Ανοµοιογενές υπέδαφος

Οι τέσσερις κυριότερες διατάξεις για την µέτρηση της αντίστασης γης για

ανοµοιογενές υπέδαφος είναι οι εξής:

1. ∆ιάταξη Wenner

2. ∆ιάταξη Schlumberger

3. ∆ιάταξη δίπολου-δίπολου

4. ∆ιάταξη πόλου-πόλου

5. ∆ιάταξη πόλου-δίπολου

Στο σχήµα 2.10 που ακολουθεί φαίνεται η διάταξη των ηλεκτροδίων σε κάθε

µία από αυτές τις µεθόδους.

18

Σχήµα 2.10 ∆ιάταξη ηλεκτροδίων για διάφορες µεθόδους µέτρησης

Αναλυτικότερα για τις παραπάνω διατάξεις έχουµε:

1. Η διάταξη Wenner είναι η πιο απλή διάταξη µέτρησης της αντίστασης του

ανοµοιογενούς υπεδάφους. Χρησιµοποιούνται τέσσερα ηλεκτρόδια και η

αντίσταση δίνεται από τον τύπο που φαίνεται στο σχήµα 2.11, όπου α είναι η

απόσταση µεταξύ των ηλεκτροδίων.

19

Σχήµα 2.11 ∆ιάταξη Wenner

Η διάταξη Wenner µαζί µε την διάταξη Schlumberger που θα περιγράψουµε

στη συνέχεια είναι οι πιο συνηθισµένες διατάξεις ηλεκτροδίων που χρησιµοποιούνται

για την µέτρηση της αντίστασης γης.

2. Στην διάταξη Schlumberger που χρησιµοποιείται και πιο συχνά, υπάρχουν

δύο ηλεκτρόδια ρεύµατος που τοποθετούνται στο τέλος της γραµµής και δύο

εν δυνάµει ηλεκτρόδια τα οποία µετακινούνται κατά µήκος της γραµµής

µεταξύ των άλλων δύο.

20

Η τιµή της µετρούµενης αντίστασης δίνεται από τον τύπο που φαίνεται στο

σχήµα 2.12:

Σχήµα 2.12 ∆ιάταξη Schlumberger

Το πλέον χρησιµοποιούµενο σύστηµα διάταξης ηλεκτροδίων είναι το

σύστηµα Schlumberger. Σε αυτό, τα εξωτερικά ηλεκτρόδια περνούν στο έδαφος το

ρεύµα και τα εσωτερικά µετρούν την αντίστοιχη “τάση” που προκαλείται λόγω του

ρεύµατος που διοχετεύθηκε.

Στο σχήµα 2.13 που ακολουθεί φαίνονται και οι γραµµές του ηλεκτρικού

ρεύµατος µέσα στη γη και η αντίστοιχη γεωηλεκτρική καµπύλη που προκύπτει. Όταν

το διάστηµα των ηλεκτροδίων ρεύµατος είναι µικρό, η µετρούµενη ηλεκτρική

αντίσταση αντιστοιχεί σε εκείνη του πρώτου στρώµατος. Όταν το διάστηµα

ηλεκτροδίων ρεύµατος είναι αρκετά µεγάλο, τότε η µετρούµενη ηλεκτρική αντίσταση

αντιστοιχεί σε εκείνη του δεύτερου στρώµατος.

21

Σχήµα 2.13 Γραµµές ηλεκτρικού ρεύµατος διάταξης Schlumberger

3. Η διάταξη δίπολου-δίπολου είναι η διάταξη των ηλεκτροδίων που

ι

χρησιµοποιήθηκε για πρώτη φορά στη µεταλλευτική έρευνα και φαίνετα στο

σχήµα 2.14:

22

Σχήµα 2.14 ∆ιάταξη δίπολου-δίπολου

Η µετρούµενη αντίσταση δίνεται από τον τύπο:

(4)

Η απόσταση na µπορεί να αυξηθεί σηµαντικά και περιορίζεται µόνο από

τον εδαφ

υ δίνουν και οι δύο ισχυρό σήµα,

ρ π= ⋅a 2 kI∆V

ικό θόρυβο και την δυνατότητα των οργάνων να καταγράψουν την τάση και

όχι από την απαίτηση για µεγάλα µήκη καλωδίων.

4), 5) Οι διατάξεις πόλου-πόλου και πόλου-δίπολο

αλλά αυτή που χρησιµοποιείται ευρέως είναι η διάταξη πόλου-δίπολου γιατί σε

αντίθεση µε την πρώτη δεν είναι χρονοβόρα.

23

Σύγκριση των παραπάνω µεθόδων

Η κυριότερη διαφορά των δύο µεθόδων Wenner και Schlumberger αφορά τα

Τα όργανα µέτρησης επίσης που απαιτούνται για την µέθοδο Schlumberger είναι

Και οι δύο διατάξεις Wenner και Schlumberger δίνουν αξιόπιστα αποτελέσµατα σε

Η διάταξη πόλου-πόλου δίνει ισχυρό σήµα, αλλά είναι χρονοβόρα στο ύπαιθρο σε

Η διάταξη πόλου-δίπολου χρησιµοποιείται σήµερα αρκετά και συγκρινόµενη µε την

Όλες οι παραπάνω διατάξεις ηλεκτροδίων, µε την προϋπόθεση ότι

πιπλέον µέθοδοι µέτρησης

1. Μέθοδος πτώσης δυναµικού

ι µέθοδοι αυτές απεικονίζονται στα σχήµατα που ακολουθούν:

ηλεκτρόδια κατά τις µετρήσεις. Στην µέθοδο Schlumberger απαιτείται η µετακίνηση

µόνο των ηλεκτροδίων ρεύµατος ,ενώ στη µέθοδο Wenner µετακινούνται και τα

τέσσερα ηλεκτρόδια ,πράγµα που είναι πιο χρονοβόρο και αυξάνει τον χρόνο

µέτρησης.

πολύ πιο ευαίσθητα από αυτά της µεθόδου Wenner.

απλές περιπτώσεις στρωµατοποιηµένης γης µε οριζόντια επίπεδα, γι΄ αυτό είναι και

οι πλέον χρησιµοποιούµενες διατάξεις σήµερα.

σχέση µε τις υπόλοιπες διατάξεις ηλεκτροδίων και απαιτεί µακριά καλώδια.

διάταξη πόλου-πόλου δίνει και αυτή ισχυρή σχέση σήµατος προς θόρυβο.

χρησιµοποιούνται σωστά, δίνουν αξιόπιστα αποτελέσµατα. Ε

2. Μέθοδος 61,8%

3. Μέθοδος κλίσης

Ο

24

Σχήµα 2.15 Μέθοδος πτώσης δυναµικού

Σχήµα 2.16 Μια απλοποίηση της µεθόδου πτώσης δυναµικού

25

Σχήµα 2.17 Μέθοδος 61,8%

Σχήµα 2.18 Μέθοδος κλίσης

26

Από τις τρεις παραπάνω µεθόδους η µέθοδος πτώσης δυναµικού είναι η

πιο αξιόπιστη και η µόνη αποδεκτή µέθοδος σύµφωνα µα τον κανονισµό ΙΕΕΕ 81

,αλλά ταυτόχρονα είναι και η µέθοδος που απαιτεί πολύ χρονοβόρες και δύσκολες

µετρήσεις. Ωστόσο υπάρχει πλήρης εποπτεία της µέτρησης.

Η µέθοδος 61,8% είναι εξαιρετικά εύκολη και γρήγορη σε σύγκριση µε τις

άλλες δύο, αλλά απαιτεί ιδανικές συνθήκες µέτρησης, δηλαδή κατάλληλη απόσταση

ηλεκτροδίων.

Η µέθοδος κλίσης είναι η µέθοδος που µπορεί να µετρήσει και πιο

πολύπλοκα συστήµατα διότι οι µετρήσεις που παίρνει είναι σε τρία σηµεία. Ωστόσο η

µέθοδος αυτή δεν είναι πάρα πολύ ακριβής και ένα σηµαντικό µειονέκτηµά της είναι

ότι για τους υπολογισµούς απαιτείται η χρήση πολύπλοκων µαθηµατικών.

2.5 ∆ιαδικασία µετρήσεων

Η εκτέλεση γεωηλεκτρικών µετρήσεων είναι µια αρκετά σύνθετη

διαδικασία και απαιτεί ειδικευµένο προσωπικό µε πείρα στην γεωφυσική, γιατί

υπάρχουν πολλοί κίνδυνοι στην διαδικασία των µετρήσεων. Το πρώτο βήµα είναι η

επιλογή της διάστασης της µέτρησης, το ανάπτυγµα δηλαδή των ηλεκτροδίων

ρεύµατος. Αυτό εξαρτάται πάντοτε από το ζητούµενο βάθος της έρευνας. Μια

γεωηλεκτρική µέτρηση ή διασκόπηση συνίσταται στην διαδοχική µέτρηση των

αντιστάσεων του εδάφους σε διαφορετικά και προοδευτικά αυξανόµενα διαστήµατα

ηλεκτροδίων ρεύµατος µε το κέντρο των µετρήσεων να παραµένει πάντοτε στο ίδιο

σηµείο. Καλό είναι να σχηµατίζεται και το διάγραµµα µέτρησης στο πεδίο έτσι ώστε

να ελέγχεται και η ποιότητα των µετρήσεων. Εάν ανιχνεύεται κάποιο υπόβαθρο, τότε

µια αύξηση στις τιµές της ηλεκτρικής αντίστασης σηµαίνει ότι οι γραµµές ρεύµατος

έχουν φτάσει στο επιθυµητό βάθος.

Εάν τώρα πρόκειται να καταγραφεί ένα προφίλ ηλεκτρικής αντίστασης τότε

η καλύτερη διάταξη ηλεκτροδίων είναι η δίπολου-δίπολου. Η γεωµετρική µορφή του

διπόλου καθορίζει και την διακριτότητα που θα προκύψει από το προφίλ και πρέπει

να επιλέγεται πάντοτε πριν τις µετρήσεις ανάλογα µε το γεωφυσικό στόχο. Είναι

δηλαδή αδύνατο να ανιχνευθούν κοιλότητες µεγέθους πέντε µέτρων µε δίπολο

διαστάσεων µεγαλύτερες από πέντε µέτρα. Η ανάλυση επίσης µειώνεται µε το βάθος.

Γενικά ένας κανόνας είναι να επιλέγεται µήκος διπόλου περίπου στο ήµισυ των

αναµενόµενων γεωφυσικών στόχων.

Τα συστήµατα πολυηλεκτροδίων µπορούν να εκτελέσουν γρήγορα

µετρήσεις προφίλ ηλεκτρικής αντίστασης. Με τα συστήµατα αυτά ένας µεγάλος

27

αριθµός ηλεκτροδίων συνδέεται σε ένα όργανο πριν από την καταγραφή. Το ίδιο το

σύστηµα επιλέγει τα απαιτούµενα ηλεκτρόδια κάνοντας την διαδικασία µετρήσεων

πολύ πιο γρήγορη και απλή. Με τον τρόπο αυτό ένας σηµαντικός αριθµός

δεδοµένων και αντίστοιχη γεωφυσική πληροφορία είναι δυνατόν να ανακτηθεί στο

ύπαιθρο. Τα συστήµατα αυτά είναι πολύ πιο βολικά στην έρευνα για υπόγειες

κοιλότητες. Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται ένα σύστηµα πολυηλεκτροδίων.

Εικόνα 2.1 Σύστηµα πολυηλεκτροδίων

Πρακτικά δεν χρειάζεται κάποια ιδιαίτερη επεξεργασία των δεδοµένων που

έχουν περισυλλεχθεί στο ύπαιθρο πλην από κάποιες τοπογραφικές διορθώσεις και

απόρριψη λανθασµένων µετρήσεων.

Τα δεδοµένα εισάγονται σε ειδικό λογισµικό αναστροφής το οποίο και δίνει

ένα διάγραµµα µεταβολής της ηλεκτρικής αντίστασης µε το βάθος.

28

Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται τρεις κοιλότητες µέσα σε βραχώδες οι

οποίες είναι γεµάτες µε κενό. Πρόκειται για ζώνες ρηγµατώσεων.

Εικόνα 2.2 Ζώνες ρηγµατώσεων

Αυτή η µέθοδος είναι πολύ αποτελεσµατική για τον εντοπισµό κοιλοτήτων

εφόσον βέβαια αυτές έχουν κάποιο στοιχειώδες µέγεθος.

Ωστόσο υπάρχει µεγάλη δυσκολία στον εντοπισµό κοιλοτήτων σε βάθη µεγαλύτερα

των 30 µέτρων κυρίως λόγω του απαιτούµενου µεγάλου αριθµού ηλεκτροδίων και

της σηµαντικής µείωσης της διακριτότητας µε το βάθος.

2.6 Ηλεκτρόδια και όργανα µέτρησης

Σε όλες τις παραπάνω µεθόδους χρησιµοποιούνται ηλεκτρόδια ,τα οποία

τοποθετούνται στο έδαφος και µέσω αυτών ουσιαστικά µπορούµε να παίρνουµε τιµές

της µετρούµενης αντίστασης. Χρησιµοποιούνται ηλεκτρόδια ρεύµατος, ηλεκτρόδια

δηλαδή µέσω των οποίων διοχετεύουµε το ρεύµα στη γη καθώς και ηλεκτρόδια µέσω

των οποίων µετράµε την τάση µεταξύ δύο άλλων σηµείων της γης που εµείς

29

επιλέγουµε. Στα σχήµατα 2.19 και 2.20 φαίνονται ένα απλό ηλεκτρόδιο ρεύµατος και

ένα πολυηλεκτρόδιο.

Σχήµα 2.19 Ηλεκτρόδιο ρεύµατος

30

Σχήµα 2.20 Πολυηλεκτρόδιο

Σε αρκετές από τις παραπάνω µεθόδους που παρουσιάστηκαν

χρησιµοποιούνται επίσης διάφορα όργανα µέτρησης της τάσης. Το πιο ευρέως

χρησιµοποιούµενο όργανο και αυτό που είναι πιο απλό στην εφαρµογή του είναι το

κλασικό πολύµετρο. Στην εικόνα 2.3 απεικονίζεται ένα κλασικό πολύµετρο.

Εικόνα 2.3 Πολύµετρο

31

Υπάρχουν και κάποια πιο πολύπλοκα όργανα που χρησιµοποιούνται στις

διάφορες µεθόδους και τα οποία παίρνοντας τα δεδοµένα, ρεύµα και τάση, που

χρειάζονται υπολογίζουν απευθείας την αντίσταση της γης. Έτσι αποφεύγουµε την

διαδικασία κατά την οποία µετράµε την τάση µεταξύ δύο σηµείων και µετά

ανατρέχουµε στον αντίστοιχο τύπο της µεθόδου που χρησιµοποιούµε για να

υπολογίσουµε την τιµή της αντίστασης. Στην εικόνα 2.4 φαίνονται δύο όργανα αυτού

του τύπου.

Εικόνα 2.4 Όργανα µέτρησης της αντίστασης της γης

32

2.7 Μέτρηση της αντίστασης γης σε µια αποµακρυσµένη τοποθεσία

Τα σχήµατα που ακολουθούν απεικονίζουν διάφορες διατάξεις µέτρησης

της αντίστασης γης σε µια αποµακρυσµένη τοποθεσία. Χρησιµοποιούνται ειδικά

όργανα για τη µέτρηση της αντίστασης και ηλεκτρόδια τα οποία εισχωρούν στο

έδαφος και µέσω των οποίων παίρνουµε τις τιµές της µετρούµενης αντίστασης.

Σχήµα 2.21 Μέθοδος µέτρησης αντίστασης γης

Εδώ έχει τοποθετηθεί µια σειρά από ηλεκτρόδια στο κοµµάτι της γης στο

οποίο θέλουµε να µετρήσουµε την αντίσταση. Τα ηλεκτρόδια αυτά συνδέονται µεταξύ

τους µε δύο πολύ λεπτά σύρµατα χαλκού. Χρησιµοποιώντας το όργανο µέτρησης

όπως φαίνεται στο σχήµα βλέπουµε στην οθόνη του την τιµή της µετρούµενης

αντίστασης.

33

Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται ένας δεύτερος εναλλακτικός τρόπος

µέτρησης της αντίστασης γης στην ίδια περιοχή. Οι µετρήσεις που προκύπτουν από

αυτή τη µέθοδο πρέπει να καταγράφονται και να επαναλαµβάνονται τουλάχιστον δύο

φορές τον χρόνο έτσι ώστε να έχουµε αξιόπιστα αποτελέσµατα.

Σχήµα 2.22 Μέθοδος µέτρησης αντίστασης γης

Στο επόµενο σχήµα φαίνεται ένας τρίτος τρόπος µέτρησης της αντίστασης,

στον οπ

οίο χρησιµοποιείται το ίδιο όργανο µέτρησης και τα ίδια ηλεκτρόδια εδάφους.

34

Σχήµα 2.21 Μέθοδος µέτρησης αντίστασης γης

2.8 Το πρόβληµα της δηµιουργίας µοντέλου γης

Η ανάπτυξη ενός µαθηµατικού µοντέλου που θα αναπαριστά τις

ηλεκτρικές ιδιότητες του εδάφους, µπορεί να είναι µια απαιτητική εργασία εξαιτίας

των ευρέως ανοµοιογενών χαρακτηριστικών του εδάφους.

Ευτυχώς για λόγους µετάδοσης της γραµµής γείωσης, το έδαφος µπορεί

λογικά να προσεγγιστεί από µια δοµή χώµατος που αποτελείται από δύο στρώµατα.

Αυτή η δοµή χώµατος χαρακτηρίζεται από τις αντιστάσεις των στρωµάτων ρ1, ρ2 και

από το πάχος του ανώτερου στρώµατος h. Το κατώτερο στρώµα θεωρείται

απεριόριστο. Σε µερικές περιπτώσεις, το πάχος του ανώτερου στρώµατος είναι

35

αρκετά µεγάλο έτσι ώστε το µοντέλο εδάφους να µπορεί να θεωρηθεί αρκετά

οµοιογενές.

Οι µεταβλητές ρ1, ρ2 και h καθορίζονται γενικά ερµηνεύοντας τις προφανείς

αρχές της αντίστασης που µετρούνται χρησιµοποιώντας τη µέθοδο Wenner.

Σε αντίθεση µε τα περισσότερα προβλήµατα µηχανικής, η ερµηνεία των

µετρήσεων της αντίστασης του εδάφους είναι ένα ΄΄αντίστροφο΄΄ πρόβληµα , δηλαδή

οι ηλεκτρικές ιδιότητες των µέσων που συµµετέχουν πρέπει να καθοριστούν από την

ηλεκτρική ανταπόκριση στο τροφοδοτούµενο ρεύµα σε συγκεκριµένες τοποθεσίες

πάνω στην επιφάνεια του εδάφους.

Αντίθετα, τα συµβατικά ηλεκτροστατικά προβλήµατα καθορίζουν την

ηλεκτρική ανταπόκριση ή διέγερση των πηγών ρεύµατος, βασισµένα στις γνωστές

ιδιότητες του υλικού που συµµετέχει. Αυτά είναι γνωστά ως προβλήµατα Laplace και

Diriclet.

Προφανώς το ΄΄αντίστροφο΄΄ πρόβληµα, όπου οι φυσικές σταθερές του

υλικού είναι άγνωστες, παρουσιάζει περισσότερες δυσκολίες από εκείνα τα

προβλήµατα, όπου οι φυσικές σταθερές του υλικού είναι γνωστές λειτουργίες της

θέσης.

Επιπλέον, ο αριθµός των παραµέτρων που απαιτούνται για να

αναπαραστήσουν ένα µοντέλο της δοµής του εδάφους είναι συνήθως τόσο µεγάλος

που είναι δύσκολο να διαλέξουµε αρχικές αξίες γι’ αυτές τις παραµέτρους και να

έχουµε µια υπολογιστική αλγοριθµική προσέγγιση προς µία αποδεκτή λύση, εντός

ενός πρακτικού λογικού πλαισίου. Συνεπώς, η επιλογή αρχικών αξιών γίνεται µία

βασική εργασία στην ερµηνευτική διαδικασία.

Η επιτυχία ή η αποτυχία σ΄ αυτή τη σηµαντική αρχική αξιολόγηση εξαρτάται

γενικά από την εµπειρία του µηχανικού και από τη γνώση των ηλεκτρικών ιδιοτήτων

του εδάφους που είναι διαθέσιµα στον µηχανικό που είναι υπεύθυνος για την

ερµηνεία των µετρήσεων.

36

Εικόνα 2.5 ∆ιαδικασία µέτρησης αντίστασης γης

Εικόνα 2.6 ∆ιαδικασία µέτρησης αντίστασης γης

37

Υπάρχει ένα επιπλέον πρόβληµα µε την ΄΄αντίστροφη΄΄ λύση στις

µετρήσεις αντίστασης. ∆εν είναι πάντα δυνατό να αποκτήσουµε µία µοναδική λύση

σε ένα πρόβληµα ερµηνείας δεδοµένων.

Εξαιτίας των ανακριβειών στις µετρήσεις, συνήθως το 5% µε κλασικά

γεωηλεκτρικά όργανα, πολλά µοντέλα δοµής του εδάφους µπορούν να βρεθούν να

δίνουν ικανοποιητική συµφωνία µε τα µετρηµένα αποτελέσµατα. Αυτά τα µοντέλα θα

διαφέρουν συνήθως στα χαρακτηριστικά των βαθύτερων στρωµάτων χώµατος.

Εικόνα 2.7 ∆ιαδικασία µέτρησης αντίστασης γης

38

Οι παραπάνω συζητήσεις δεν παρουσιάζονται για να αποθαρρύνουν τον

µηχανικό συστήµατος ενέργειας από το να εκτελεί µία επιστηµονική ερµηνεία των

µετρήσεων της αντίστασης, αλλά για να τον πληροφορήσουν πως το έργο αυτό

απαιτεί προσεκτική προετοιµασία, έρευνα και µηχανική κρίση. Οι δυσκολίες που

αναφέρθηκαν νωρίτερα, ενώ θέτουν µια σηµαντική πρόκληση στον γεωλόγο έχουν

ιδιαίτερα µικρότερη επίδραση στον ηλεκτρολόγο µηχανικό. Πρώτα απ’ όλα, η ύπαρξη

πολλαπλών λύσεων στην υπόγεια δοµή έχει ελάχιστες επιπτώσεις στον καθορισµό

της αντίδρασης των γειωµένων ηλεκτροδίων. Επίσης, ένα µοντέλο του εδάφους µε

δύο στρώµατα είναι γενικά επαρκές για την αναπαράσταση συστηµάτων εδάφους.

Τέλος, υπάρχουν πολυάριθµα γραφήµατα, αλγόριθµοι και απλές µηχανικές

τεχνικές οπτικού υπολογισµού, τα οποία µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να

καθορίσουν ένα ισοδύναµο µοντέλο του εδάφους µε δύο στρώµατα, µε λογική

ακρίβεια.

Ο σκοπός αυτής της διπλωµατικής εργασίας είναι να εξεταστούν οι µέθοδοι

δηµιουργίας µοντέλων στρωµατοποιηµένης γης από µετρήσεις ειδικής αντίστασης

εδάφους στην επιφάνεια και να δηµιουργηθεί ένα λογισµικό που να µπορεί να

χρησιµοποιηθεί στις περιπτώσεις αυτές. Οι µέθοδοι αυτοί αναλύονται στα κεφάλαια

που ακολουθούν και στο τέλος της εργασίας υλοποιείται ο αλγόριθµος µιας εκ των

µεθόδων αυτών, µέσω ενός προγράµµατος MATLAB.

39

3. ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΓΗΣ

Για τον υπολογισµό των παραµέτρων ενός µοντέλου στρωµατοποιηµένης

γης δύο οριζόντιων στρωµάτων από µετρήσεις αντίστασης στην επιφάνεια του

εδάφους θα συγκριθούν οκτώ διαφορετικές τεχνικές για να επιτύχουµε µια βέλτιστη

εκτίµηση των παραµέτρων ηλεκτρικής γείωσης σε έδαφος δύο στρωµάτων. Οι οκτώ

αυτές τεχνικές, βασίζονται σε πέντε διαφορετικές µεθόδους που χρησιµοποιούνται

για την εύρεση των παραµέτρων εδάφους δύο στρωµάτων, δηλαδή, αντιστάσεις και

πάχος του πρώτου στρώµατος σε αντιστοιχία µε ένα συγκεκριµένο µαθηµατικό

µοντέλο. Η εκτίµηση των παραµέτρων πραγµατοποιείται µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε

να έχουµε µια βέλτιστη αντιστοιχία ανάµεσα στο σύνολο των τιµών της αντίστασης

που µετρήθηκαν στο πεδίο µέσω της µεθόδου Wenner και εκείνων που

υπολογίστηκαν από το µαθηµατικό µοντέλο χρησιµοποιώντας τις µετρήσεις ως

παραµέτρους εισόδου.

Αρχικά παρουσιάζεται µια περίληψη της µαθηµατικής βάσης πέντε µεθόδων

βελτιστοποίησης που χρησιµοποιούνται για την εφαρµογή των διαφορετικών

τεχνικών που υπόκεινται στη σύγκριση. Στη συνέχεια προσδιορίζεται η εφαρµογή του

αλγορίθµου για τις οκτώ τεχνικές. Τρεις από αυτούς είναι του τύπου της παραγώγου

πρώτης τάξης, ένας άλλος δεύτερης τάξης (µέθοδος Newton), ο πέµπτος βασίζεται

στη µέθοδο Levenberg-Marquardt, ο έκτος στη Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδο, ο

έβδοµος στη µέθοδο Quasi-Newton και ο τελευταίος σε µία συνδυαστική µέθοδο

Newton-Γενικευµένη Αντίστροφη.

Οι αλγόριθµοι εφαρµόζονται σε έξι πειραµατικές περιπτώσεις και φαίνεται η

σύγκριση των αποτελεσµάτων. Επιπλέον, παρουσιάζονται νέοι αλγόριθµοι για να

βελτιώσουν τις υπάρχουσες διαδικασίες.

ΛΙΣΤΑ ΣΥΜΒΟΛΩΝ

• ρ1= ειδική αντίσταση ανώτερου στρώµατος, σε Ω·m

• ρ2= ειδική αντίσταση κατώτερου στρώµατος, σε Ω·m

• k= συντελεστής ανάκλασης 2 1

2 1

ρ ρρ ρ

−+

40

• z= πάχος ανώτερου στρώµατος

• x = διάνυσµα µε παραµέτρους που προσδιορίζουν το έδαφος (χώµα)

• r= απόσταση ηλεκτροδίων µέτρησης (m)

• ρα =z

(5)

• ρβρ

= 2

1

(6)

• m= πλήθος µετρήσεων στο πεδίο

• ρm(rj)= µετρηµένη ειδική αντίσταση (Ω·m) για κάθε διάστηµα rj µε j=1….m. Εν

συντοµία ρm .

• (αρ , )jx r =Φαινόµενη ειδική αντίσταση (Ω·m). Υπολογισµένη τιµή

χρησιµοποιώντας το µαθηµατικό µοντέλο για κάθε διάστηµα rj και διάνυσµα

x . Εν συντοµία ρα .

• ( )jx rραρ∇ , = κλίση της φαινόµενης ειδικής αντίστασης σε σχέση µε τις

παραµέτρους x , r εκτιµηµένο στο σηµείο Ρ ή στο βήµα ρ.

• ρ∆ = −x x x µεταβολή στο διάνυσµα x από xρ

• ( )F x = Αντικειµενική συνάρτηση για ελαχιστοποίηση µε την µέθοδο των

ελάχιστων τετραγώνων µε αντιστοιχία ανάµεσα στις µετρηµένες και στις

υπολογισµένες τιµές, σύµφωνα µε ένα συγκεκριµένο µαθηµατικό µοντέλο.

• ( )F xρ = Αντικειµενική συνάρτηση υπολογισµένη στο σηµείο Ρ ή στο βήµα ρ

• t= Εκθέτης που δείχνει τη µετατόπιση ενός πλέγµατος ή ενός διανύσµατος

41

• D= Συνεχές διάνυσµα µε m στοιχεία των διαφορών. Κάθε στοιχείο έχει τη

µορφή ( ) ( )( ) ( )j m j j md r x,r /αρ ρ ρ= − jr

• J= Ιακωβιανή µε τις µερικές παραγώγους διαφορών σε σχέση µε την κάθε

παράµετρο. Η διάστασή της είναι v m× .

( )ji α j i jm

1J ρ x,r / x d / xρ

= ∂ ∂ = ∂ ∂ i (7)

• ( )pF x∇ = Κλίση της Αντικειµενικής συνάρτησης που παίρνει τιµή σε σηµείο Ρ

ή σε βήµα ρ. Η διάστασή της είναι vx1.

( )p tF x 2J D∇ = (8)

• Ι= Μοναδιαίος πίνακας µε διάσταση vxv

• Η = Εσσιανός πίνακας του ( )F x που εκτιµάται στο σηµείο Ρ ή στο βήµα ρ,

ως σύντοµη σηµείωση του: ( )pF xx∂⎡ ⎤∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦

.Η διάστασή του είναι vxv.

• R = Πίνακας των σηµαντικών υπολοίπων dj και των δεύτερων παραγώγων

τους

• E = ∆ιάνυσµα των σηµαντικών διαφορών, µε j γραµµές. Τα στοιχεία του για

τη µέθοδο της Γενικευµένης Αντιστροφής) είναι:

( ) ( )( ) ( )( )

a jpj m j a j

im m j i

x,r1e r x ,rr x

ρρ ρ

ρ ρ

∂= − −

∂∑ ix∆ (9)

• = Κλίση του τετραγώνου της Ευκλείδειας νόρµας του ανύσµατος

των σηµαντικών διαφορών Ε στη Γενικευµένη Αντίστροφη µέθοδο.

2E∇

42

Στο αρχικό βήµα του σχεδιασµού ενός συστήµατος γείωσης ενός σταθµού,

υποσταθµού, ή πυλώνα γραµµής µεταφοράς είναι απαραίτητο να εκτιµηθούν οι

παράµετροι που προσδιορίζουν το έδαφος στο οποίο πρόκειται να γίνει µια τέτοια

εγκατάσταση γείωσης. Η εκτίµηση των παραµέτρων πρέπει πάντα να γίνεται

βασισµένη σε ένα σύνολο µετρήσεων της αντίστασης του εδάφους.

Η ερµηνεία των µετρήσεων που γίνονται στο πεδίο µέσω µιας τεχνικής που

ανταποκρίνεται σε ένα συγκεκριµένο µαθηµατικό µοντέλο του εδάφους συντελεί στην

εύρεση ενός συνόλου παραµέτρων ηλεκτρικής γείωσης το οποίο προσδιορίζει τον

εαυτό του µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να πετύχει µια καλή αντιστοιχία, κατά προτίµηση

µια βέλτιστη αντιστοιχία, ανάµεσα στις µετρηµένες τιµές και σε εκείνες που θα

προέκυπταν χρησιµοποιώντας τέτοιες παραµέτρους στο µαθηµατικό µοντέλο.

Τις περισσότερες φορές οι µετρήσεις θα δείξουν πως το έδαφος, µέσα σε

µια περιορισµένη έκταση, συµπεριφέρεται σαν να αποτελείται από δύο οριζόντια

στρώµατα.

Εδώ οι µετρήσεις του εδάφους έχουν γίνει µέσω της µεθόδου Wenner και

έτσι το µαθηµατικό µοντέλο ανταποκρίνεται σε αυτή τη µέθοδο. Επιπλέον πολλοί

ερευνητές έχουν συνεισφέρει µε τις λύσεις τους στο πρόβληµα της εκτίµησης των

παραµέτρων σε έδαφος δύο στρωµάτων µε σκοπό να πετύχουν την καλύτερη

δυνατή αντιστοιχία ανάµεσα στις µετρηµένες και τις υπολογισµένες τιµές της ειδικής

αντίστασης του εδάφους.

3.1 ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ Στόχος της ανάλυσης είναι να συγκρίνουµε την αποτελεσµατικότητα

διαφορετικών µεθόδων εκτίµησης των παραµέτρων του εδάφους που προκύπτουν

από ένα σύνολο µετρηµένων τιµών ειδικής αντίστασης στο πεδίο και εκείνων που θα

προέκυπταν από την εφαρµογή ενός µαθηµατικού µοντέλου χρησιµοποιώντας αυτές

τις παραµέτρους.

Για τον σκοπό αυτό εφαρµόζεται µια οµοιόµορφη αντιµετώπιση του

προβλήµατος, βασισµένη στις παρακάτω υποθέσεις.

1. Παραδεχόµαστε ότι το έδαφος αποτελείται από δύο οριζόντια

οµοιογενή στρώµατα που είναι ηµιάπειρα, µε διαφορετική ειδική αντίσταση

(ρ1, ρ2) και z να είναι το πάχος του ανώτερου στρώµατος. Επίσης

12

12kρρρρ

+−

= (10)

είναι ο συντελεστής ανάκλασης.

43

2. Για την υπολογισµένη φαινόµενη αντίσταση, χρησιµοποιώντας

τη µέθοδο Wenner ως µοντέλο, µε διάστηµα r ανάµεσα στα ηλεκτρόδια

µέτρησης , θα χρησιµοποιήσουµε την εξής σχέση

11 11 4 n

n

kA Bαρ ρ

⎛ ⎞⎛= + −⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ⎞⎟

)r

(11)

µε n=1……∞

όπου και Β=Α+3 (A nz= + 21 2 /

3. Παραδεχόµαστε πως έχουµε ένα σύνολο τιµών ειδικών

αντιστάσεων που έχει συγκεντρωθεί από µετρήσεις στο πεδίο για

διαφορετικό διάστηµα r

( )ρm jr

j, µε j=1……m

4. Το ίδιο διάνυσµα x που προσδιορίζει τις παραµέτρους του

εδάφους θα χρησιµοποιηθεί σε κάθε προσέγγιση

1

X KZ

ρ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2XZ

ρρ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

5. Θα υπολογιστεί η διαφορά dj (j=1…m) ανάµεσα στις

µετρηµένες και τις υπολογισµένες τιµές για ένα συγκεκριµένο διάστηµα rj και

µε ένα σύνολο παραµέτρων X µε την µορφή

mj

m

d aρ ρρ−

= (12)

Όλες οι διαφορές που αντιστοιχούν στις πραγµατικές µετρήσεις θα

αποτελέσουν το διάνυσµα D µε διάσταση

m x 1

6. Θα θεωρήσουµε πως το σύνολο των παραµέτρων x που

προσοµοιώνει καλύτερα το έδαφος είναι εκείνο που βελτιστοποιεί το

τετράγωνο µιας συνάρτησης σφάλµατος ( )F x προσδιορισµένης ως η

Ευκλείδεια νόρµα 2D

του διανύσµατος D. Είναι

44

( )2

m a

j m

F X ρ ρρ

⎛ −= ⎜

⎝ ⎠∑

⎞⎟ (13)

µε j=1…..m

3.2 ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΠΟΥ ΘΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΟΥΝ

Για να συγκρίνουµε τις διαδικασίες θα εφαρµόσουµε τις τεχνικές εκτίµησης

βασισµένες στις ακόλουθες µεθόδους:

• Μέθοδος Απότοµης Καθόδου

• Μέθοδος Levenberg-Marguardt

• Μέθοδος Newton

• Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδος

• Μέθοδος Quasi-Newton

3.2.1 Μέθοδος Απότοµης Καθόδου

Με βάση αυτή τη µέθοδο, έχουν παρουσιαστεί πολλές τεχνικές εκτίµησης

παραµέτρων. Επίσης παρουσιάζεται µια βοηθητική τεχνική βασισµένη σε αυτή τη

µέθοδο, για να επιτύχει ένα απόλυτο ελάχιστο για την αντικειµενική λειτουργία των

λαθών ανάµεσα στις µετρηµένες και υπολογισµένες τιµές.

Είναι γνωστό ότι η αρνητική παράγωγος είναι στην κατεύθυνση του βήµατος

καθόδου. Έτσι, η προσέγγιση του ελάχιστου θα γίνει µέσω µιας διαδικασίας όπως

αυτή

( )p 1 p px x F xλ+ = − ∇ (14)

όπου λ είναι ένας θετικός παράγοντας κλίµακας.

Τα κύρια προβλήµατα της σύγκλισης όταν χρησιµοποιούµε µία τεχνική της

µεθόδου απότοµης καθόδου, προκαλούνται από τον παράγοντα κλίµακας λ. Για να

αποφύγουµε εν µέρει το πρόβληµα κλίµακας µπορούµε να επιλέξουµε ένα ενιαίο

διάνυσµα που προσδιορίζεται ως εξής

( ) ( )pF x / F x∇ p (15)

45

Η µέθοδος απότοµης καθόδου είναι µια φτωχή στρατηγική έρευνας.

Συνήθως λειτουργεί αρκετά καλά κατά τη διάρκεια των πρώτων σταδίων της

διαδικασίας βελτιστοποίησης. Ωστόσο, καθώς προσεγγίζεται ένα κοµβικό σηµείο, η

µέθοδος είναι συνήθως αναποτελεσµατική όταν γίνονται µικρά ορθογώνια βήµατα.

Πρώτες παράγωγοι της Αντικειµενικής συνάρτησης χρειάζονται για όλες τις

τεχνικές που αναλύονται. Πρέπει να παρατηρηθεί πως σύµφωνα µε αυτή τη

φόρµουλα, οι αλλαγές στο διάνυσµα x από px σε +1px µπορούν να υπολογιστούν

µέσω της µορφής

p tx J D∆ µ= − (16)

όπου µ είναι ένας παράγοντας κλίµακας παρόµοιος µε τον λ.

3.2.2 Μέθοδος Newton

Λαµβάνοντας υπόψη πως γύρω από ένα σηµείο (διάνυσµα) px η

Αντικειµενική συνάρτηση σχηµατίζεται µέσω µιας τετραδικής συνάρτησης σε

οποιοδήποτε σηµείο κοντά σε εκείνο το σηµείο µπορεί να εκφραστεί µε

( ) ( ) ( )p pt 1F X F X F X x xH x2

∆ ∆ ∆= + ∇ + (17)

Η διαδοχή έρευνας του ελάχιστου έχει τη µορφή

( )p p1x H F x∆ −= − ∇ (18)

Η ιδιότητα της καθόδου είναι πολύ σηµαντική για έναν αλγόριθµο

βελτιστοποίησης, δηλαδή κάθε βήµα πρέπει να προχωράει προς τα κάτω. Αυτό είναι

δυνατό στη µέθοδο Newton, για οποιοδήποτε ∆x Εάν και µόνο εάν ο Εσσιανός

πίνακας είναι θετικό οριστικό.

Γενικά, η µέθοδος Newton δεν συγκλίνει σε ένα κοµβικό σηµείο όταν

ξεκινάµε µε ένα αµφίβολο αρχικό σηµείο. Για το πρόβληµα που συζητάµε και

σύµφωνα µε την φόρµουλα 1p t tx J J R J D∆−

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ (19)

όπου το JtJ είναι πάντα θετικό οριστικό.

46

Οι πιθανότητες προσέγγισης του ελάχιστου εξαρτώνται τότε κυρίως από τον

πίνακα R, ο οποίος περιέχει τα υπόλοιπα και τις δεύτερες παραγώγους τους.

Προφανώς, και σύµφωνα µε την προηγούµενη ανάλυση, εάν πετύχουµε µέσω µιας

βοηθητικής τεχνικής να πάρουµε όλα τα στοιχεία του R µικρού µεγέθους, ο

αλγόριθµος σίγουρα θα συγκλίνει σε ένα ελάχιστο.

Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που είναι αποτελεσµατική η τεχνική αυτή. Η

αρχική διαδικασία της προσέγγισης ανατίθεται σε µία τεχνική παραγώγου πρώτης

σειράς, όπου τα αποτελέσµατα είναι πολύ αποτελεσµατικά.

3.2.3 Μέθοδος Levenberg-Marguardt

Ο στόχος της µεθόδου αυτής είναι να ψάξει, σε κάθε βήµα προσέγγισης του

ελάχιστου, για την µικρότερη τιµή που προσεγγίζεται από την προηγούµενη

προσέγγιση του ( )F x µε τέτοιο τρόπο ώστε η αλλαγή ∆x που απαιτείται για να τη

βρούµε να είναι περιορισµένη σε ένα υπερσφαίριο µονάδας ακτίνας, το οποίο

κεντράρει στο px Με άλλα λόγια, σε κάθε βήµα προσπαθούµε να ελαχιστοποιήσουµε

το ( )F x

έτσι ώστε tx x 1∆ ∆⋅ =

Κάνοντας τις παραγώγους του αντίστοιχου Lagrangian, φτάνουµε στην

ακόλουθη ελάχιστη κατάσταση

[ ] ( )p pH I x F xσ ∆+ = −∇ (20)

όπου σ ονοµάζεται η παράµετρος Levenberg-Marguardt.

Για το πρόβληµα που συζητάµε και σύµφωνα µε την φόρµουλα

1p t tx J J R I J D∆ σ−

⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦ (21)

εάν τα υπόλοιπα ήταν γραµµικά, τότε

1p t tx J J I J D∆ σ−

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ (22)

Μία από τις δυσκολίες στην εφαρµογή αυτής της µεθόδου σχετίζεται µε τον

έλεγχο της τιµής της παραµέτρου σ. Από την άλλη µεριά, αφού

47

( )p tF x J D∇ = (23)

προκύπτει πως, στο ελάχιστο όπου

( )pF x 0∇ = (24)

εάν D τότε το J πρέπει να είναι µονάδα. 0≠

Συνεπώς, καθώς προσεγγίζουµε το ελάχιστο, τα διαδοχικά βήµατα γίνονται

όλο και πιο ακριβή.

3.2.4 Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδος

Η τεχνική αυτή εφαρµόστηκε στην εκτίµηση των παραµέτρων

χρησιµοποιώντας ως µαθηµατικό µοντέλο εκείνο που αντιστοιχεί στις µετρήσεις

αντίστασης, µέσω της µεθόδου Driven Rod. Ως υπέρ, φαίνεται πως αυτή η τεχνική

µπορεί να χρησιµοποιηθεί όταν η µέθοδος µέτρησης είναι η µέθοδος Wenner. Σε

αυτή την περίπτωση χρησιµοποιούνται οι παράµετροι ρ1, ρ2 και z.

Στη δική µας περίπτωση, έχουµε εξετάσει τις πιθανότητες της µεθόδου

Γενικευµένης Αντιστροφής να λαµβάνει συστηµατικά τις µετρήσεις στο πεδίο µέσω

της µεθόδου Wenner, και χρησιµοποιώντας τα ρ1, k και z ως παραµέτρους.

Η περίληψη της µεθόδου έχει ως εξής:

Ας υποθέσουµε πως µπορούµε να υπολογίσουµε ένα σύνολο παραµέτρων

Xi (i=1….v στην δική µας περίπτωση ν=3), τέτοιο ώστε οι τιµές της αντίστασης που

θα προκύψουν µέσω του µαθηµατικού µοντέλου για κάθε διάστηµα rj θα είναι

επαρκώς κοντά στις µετρηµένες τιµές αντίστασης pm(rj), έτσι ώστε να µπορούµε να

τις αξιολογήσουµε από µία επέκταση Taylor γύρω από τις υπολογισµένες τιµές

( )ρ ,a jx r

∆ηλαδή ( ) ( ) ( )p ptm j a j a jr x ,r x ,r xρ ρ ρ≈ + ∇ ∆

και ως συνήθως p 1 px x x∆ += −

Η σηµαντική διαφορά (σφάλµα) ανάµεσα στις µετρηµένες και υπολογισµένες

τιµές θα εµφανιστεί στην ακόλουθη µορφή για κάθε διάστηµα rj

( ) ( )( ) ( )

( )m j a j a jj i

i im j m j

r x,r x,r1e xxr r

ρ ρ ρ∆

ρ ρ

− ∂= −

∂∑ (25)

όπου j=1….m και i=1…3

και λαµβάνοντας υπόψη τις µορφές των στοιχείων του D και J, προκύπτει

πως για το διάνυσµα Ε µε m στοιχεία ej

48

tE D J x∆= +

Καθιερώνουµε πως η καλύτερη εκτίµηση των παραµέτρων του µοντέλου θα

είναι εκείνη που κάνει το τετράγωνο του Ευκλείδιου τύπου αυτού του σφάλµατος

διανύσµατος ελάχιστο, δηλαδή:

Ελαχιστοποιούµε για το οποίο 2E ∂=

∂2 0E

x δηλαδή, για j=1…..m

ρ ρ ρ ρ ρρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ∂ ∂ ∂= − + ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑2

10 2 2m a a a ai

j j im i m i

x∂ ix x x

(26)

Ο πρώτος όρος στην προηγούµενη µορφή είναι 2JtD και 2(JtJ) ο δεύτερος,

εποµένως η διαδοχή εύρεσης του ελάχιστου είναι 1p t tx J J J D∆−

⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ (27)

Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση που πρέπει να βελτιστοποιηθεί δεν

είναι το τετράγωνο του Ευκλείδιου τύπου του D όπως στις προηγούµενες τεχνικές,

αλλά το τετράγωνο του Ευκλείδιου τύπου του Ε. Σε οποιαδήποτε περίπτωση η

αντιστοιχία γίνεται κάτω από σηµαντικές διαφορές. Για λόγους σύγκρισης, όταν

εφαρµόζουµε την τεχνική της Γενικευµένης Αντιστροφής, θα αξιολογούµε επίσης και

την αντικειµενική συνάρτηση . 2D

Οι συνήθεις δυσκολίες στην εφαρµογή αυτής της τεχνικής είναι παρόµοιες µε

εκείνες στη µέθοδο Levenberg-Marguardt, σχετικά µε το προϊόν JtJ .Εποµένως θα

πρέπει να εφαρµοστεί η Ατοµική Αποσύνθεση του Jackson. Όντως, εάν το JtJ είναι

σχεδόν µονάδα, µία ή περισσότερες από τις τιµές του θα µπορούσαν να είναι κοντά

στο µηδέν. Μια µικρή τιµή θα προκαλέσει µια µεγάλη αλλαγή σε ένα ή περισσότερα

από τα στοιχεία του ∆x . Παροµοίως, δεδοµένου ότι οι διακυµάνσεις στις

παραµέτρους του µοντέλου είναι αντιστρόφως ανάλογες µε την τετραγωνική ρίζα των

τιµών, µπορεί να συµβεί το εξής: µικρές αξίες διακύµανσης θα προκαλέσουν µεγάλες

αποκλίσεις στα στάνταρ.

49

3.2.5 Μέθοδος Quasi-Newton

Ο όρος αυτός αναφέρεται στις µεθόδους στις οποίες η κατεύθυνση εύρεσης

του ελάχιστου έχει σε κάθε σηµείο px τη µορφή ( )pA F x− ∇ , όπου Α είναι ένας

θετικός πίνακας που προσεγγίζει το αντίστροφο του Εσσιανού πίνακα. Η κατεύθυνση

της παραγώγου εκτρέπεται αν το πολλαπλασιάσουµε από πριν µε το Α. Πιθανόν, οι

µέθοδοι Quasi-Newton είναι οι πιο αποτελεσµατικές, µη-γραµµικές µέθοδοι

βελτιστοποίησης για γενικά προβλήµατα.

Σε µία µέθοδο Quasi-Newton, η κατεύθυνση της κίνησης προς το ελάχιστο

καθιερώνεται έτσι ώστε

( ) ( )( )p 1 p p p p 11x x x A F x F x∆+ +−− = = − ∇ −∇ (28)

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Τα αποτελέσµατα των παραπάνω µεθόδων, που αφορούν την έρευνα για το

βέλτιστο µπορούν να συνοψιστούν ως εξής:

1. Μέθοδος Απότοµης Καθόδου p tx J D∆ µ= −

2. Μέθοδος Newton 1p t tx J J R J D∆−

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

3. Μέθοδος Levenberg-Marguardt 1p t tx J J I J D∆ σ−

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

4. Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδος 1p t tx J J J D∆−

⎡ ⎤= − ⎣ ⎦

5. Μέθοδος Quasi-Newton

( ) ( )( )p 1 p p p p 11x x x A F x F x∆+ +−− = = − ∇ −∇

Όλη η φόρµουλα που είναι απαραίτητη για να εφαρµοστούν τέτοιες µέθοδοι

έχει παρουσιαστεί.

50

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Οι τεχνικές που εφαρµόστηκαν ως εδώ, στο πρόβληµα εκτίµησης των

παραµέτρων σε έδαφος σχηµατισµένο σε δύο στρώµατα, από µετρήσεις που έγιναν

χρησιµοποιώντας τη µέθοδο Wenner βασίστηκαν σε: παράγωγο πρώτης τάξης,

Γενικευµένη Αντίστροφη και παράγωγο δεύτερης τάξης. Αυτές οι τεχνικές

εφαρµόζονται εδώ µε σκοπό να τις συγκρίνουµε µε τις νέες προτεινόµενες τεχνικές

και εφαρµόζονται στις ίδιες περιπτώσεις.

Επιπλέον, µαζί µε τις προηγούµενες τεχνικές, οι ακόλουθες τεχνικές

εφαρµόζονται επίσης σε έξι επιλεγµένες περιπτώσεις έρευνας: Μια βελτιωµένη

παράγωγος πρώτης τάξης, η οποία επιτρέπει να φτάσουµε το απόλυτο ελάχιστο της

αντικειµενικής συνάρτησης, µία τεχνική βασισµένη στη µέθοδο Levenberg-

Marguardt,δύο ακόµη βασισµένες στη Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδο και στη

µέθοδο Quasi-Newton και τέλος µια συνδυαστική τεχνική παραγώγου δεύτερης

τάξης-Γενικευµένης Αντιστροφής.

3.3 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΓΗΣ

Για κάθε τεχνική που εφαρµόστηκε:

• Το αρχικό σηµείο είναι από ένα σύνολο µετρήσεων της αντίστασης στο πεδίο,

χρησιµοποιώντας τη µέθοδο Wenner.

• Οι αρχικές τιµές για κάθε διαδικασία είναι:

1. Για 01ρ , η ειδική αντίσταση που αντιστοιχεί στη µικρότερη απόσταση

στη λίστα των µετρήσεων.

2. Για 02ρ η ειδική αντίσταση που αντιστοιχεί στη µεγαλύτερη απόσταση

στη λίστα των µετρήσεων.

3. Για , εάν µπορεί να εφαρµοστεί µια αξία σύµφωνη µε τα

προηγούµενα κριτήρια.

κ 0

4. Για ,1 m σε όλες τις περιπτώσεις. 0z

51

Για τους σκοπούς της τελικής σύγκρισης, αξιολογούνται η τιµή της ίδιας

Αντικειµενικής συνάρτησης F, δηλαδή , το Ευκλείδειο του , δηλαδή 2D ∇F

( )F x∇ και ο χρόνος διεξαγωγής.

1. Τεχνική παραγώγου πρώτης τάξης (FOGT)

Αυτή η τεχνική χρησιµοποιεί ως παραµέτρους τα ρ1, ρ2 και z και έχει

εφαρµοστεί σύµφωνα µε το διάγραµµα ροής που φαίνεται στην εικόνα 1, µέσω ενός

προγράµµατος Turbo C.

Στο στάδιο ΙΙ , για τον υπολογισµό της Αντικειµενικής συνάρτησης, οι

απαιτούµενοι όροι χρησιµοποιούνται µέχρι ο νέος όρος που ήρθε στη σειρά να

συνεισφέρει µε µία τιµή λιγότερη από 1Ε-5 του ποσού που χρησιµοποιείται. Σε

οποιαδήποτε περίπτωση, ο µέγιστος αριθµός όρων της σειράς περιορίζεται σε

10.000.

Στο στάδιο ΙΙΙ , έχουµε σταθεροποιήσει την παράγωγο, χρησιµοποιώντας

τον Ευκλείδιο τύπο, καθώς σε διαφορετική περίπτωση είναι αδύνατο να φτάσουµε σε

µία λύση.

Τα στοιχεία της διαγωνίου του [λ] έχουν ληφθεί ως 1.005τ ρ= , 2.005 ρ και

z Το κριτήριο για να σταµατήσει την διαδικασία όταν ( )F X 1.E 3∆ ⟨ − , έχει

επαληθευθεί ως απόλυτα αναποτελεσµατικό, εφόσον η διαδικασία εκπληρώνει αυτή

την κατάσταση σχεδόν αµέσως, όντας ακόµη µακριά από το ελάχιστο όπως µπορεί

εύκολα να διαπιστωθεί. Αντί για αυτό έχει χρησιµοποιηθεί µία αξία 1. E 5−

52

Εικόνα 1.∆ιάγραµµα ροής για την τεχνική παραγώγου πρώτης τάξης

Guess a vector as starting point

0 0 01 , ,zρ κ

0ρ→

Compute ( )pF X∇

Normalize it → ( )pnF X∇

FORM THE CHANGES

( )pnx F xλ∆ =− ∇

Searching the maximum decrease of ( )F x

( ) 1. 5pF X E∇ ≤ −

Compute 1( )pF X +∇

( ) 1. 10F X E∆ ≤ −

SOLVE

1

1 ( ) ( )p px x F x F Xx

−+ ∂⎡ ⎤= − ∇ ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦

CORRECT the vector to the NEW value

1p px x x− = +∆

53

2. Τεχνική παραγώγου δεύτερης τάξης (FOGT)

Αυτή η τεχνική χρησιµοποιεί ως παραµέτρους τα ρ, k, z. Έχει εφαρµοστεί

χρησιµοποιώντας το ίδιο διάγραµµα ροής στην εικόνα 1, µέσω ενός προγράµµατος

γραµµένου σε Turbo C.

Στο στάδιο ΙΙ , για τον υπολογισµό της Αντικειµενικής συνάρτησης, οι

απαιτούµενοι όροι χρησιµοποιούνται µέχρι ο νέος όρος που ήρθε στη σειρά να

συνεισφέρει µε µία τιµή µικρότερη από 0.001 του ποσού που χρησιµοποιείται.

Στο στάδιο ΙΙΙ , έχουµε σταθεροποιήσει την παράγωγο, χρησιµοποιώντας

τον Ευκλείδιο τύπο, καθώς σε διαφορετική περίπτωση είναι αδύνατο να φτάσουµε σε

µία λύση.

Το κριτήριο για να σταµατήσει την διαδικασία όταν ( )F X 1.E 3∆ ⟨ − , έχει

επαληθευθεί ως απόλυτα αναποτελεσµατικό, εφόσον η διαδικασία εκπληρώνει αυτή

την κατάσταση σχεδόν αµέσως, όντας ακόµη µακριά από το ελάχιστο όπως µπορεί

εύκολα να διαπιστωθεί. Αντί για αυτό έχει χρησιµοποιηθεί µία αξία1. . E 5−

3. Πρόταση µιας βελτιωµένης Τεχνικής παραγώγου πρώτης τάξης.

Παρουσιάζεται µια Τεχνική παραγώγου πρώτης τάξης (FOGT),

χρησιµοποιώντας ως παραµέτρους τα ρ1,k, z, η οποία εφαρµόζεται ακολουθώντας το

διάγραµµα ροής της εικόνας 2, µέσω ενός προγράµµατος Turbo C.

Στο στάδιο ΙΙ , το σύνολο των όρων για τον υπολογισµό του ( )F x σταµατάει

όταν η συνεισφορά του νέου όρου στη σειρά είναι µικρότερη από του

συνόλου που ήδη χρησιµοποιείται. Σε οποιαδήποτε περίπτωση, ο µέγιστος αριθµός

όρων για τη σειρά περιορίζεται σε 1.000.

1.E 5−

Στο στάδιο IV, παράγεται ένας τυχαίος θετικός αριθµός στη διακοπή (0,1)

για τον παράγοντα κλίµακας λ.

Ο Ευκλείδειος τύπος του διανύσµατος της παραγώγου επαληθεύεται πως

είναι λιγότερο από1. για να βγάλουµε τα αποτελέσµατα. E 3−

54

Build [ ]λ vector

Compute 1 [ ] ( )p p ptk nX X F Xλ+ = − ∇

Compute Gradient ‘s Components ( )DF X∇

Normalize it ( ) ( ) ( )pp p

nF X F X F X∇ =∇ ∇

Compute 1( )pF X +

1( ) ( ) ( )p p pF X F X F X+∆ = −

( )pF X ε∆ <

p≥Niterup

Εικόνα 2. Βελτιωµένη τεχνική παραγώγου πρώτης τάξης.

55

4. Τεχνική παραγώγου δεύτερης τάξης (SOGT)

Είναι µια τεχνική βασισµένη στη µέθοδο Newton, η οποία εκµεταλλεύεται τη

συµπεριφορά της τεχνικής παραγώγου πρώτης τάξης για την προσέγγιση του

ελαχίστου και την δευτεροβάθµια σύγκλιση της µεθόδου Newton όταν είναι σε µια

περιοχή κοντά στη λύση. Ο αλγόριθµος εφαρµόστηκε σε Turbo C και το διάγραµµα

ροής του φαίνεται στην εικόνα 3.

5. Τεχνική βασισµένη στη µέθοδο Levenberg-Marguardt (LMT)

Εδώ χρησιµοποιούµε ως παραµέτρους τα ρ1, k, z.Το πρόγραµµα

χρησιµοποιείται για να ερευνήσει τις πιθανότητες ενός πολυστρωµατικού µοντέλου.

Τα αποτελέσµατα δεν διαφέρουν από εκείνα που προέκυψαν χρησιµοποιώντας την

απεριόριστη σειρά. Ο κύριος κώδικας που χρησιµοποιήθηκε για να προσδιορίσει τη

λειτουργία έχει εφαρµοστεί σε FORTRAN 77. Για την αξιολόγηση του εσωτερικού,

έχει χρησιµοποιηθεί η µέθοδος Romberg, εφαρµοσµένη µέσω ρουτινών QROMO,

MIDINF και POLIND. Οι αξίες της λειτουργίας BESSEL έχουν προσεγγιστεί µέσω

πολυωνύµων χρησιµοποιώντας τη λειτουργία BESSJO(X). Ως κριτήριο σύγκλισης, ο

Ευκλείδειος τύπος της Κλίσης της Αντικειµενικής συνάρτησης απαιτείται να είναι

µικρότερος από 1. E 5−

56

57

INITIAL values

0 0 0 01( , , )x zρ κ=

Compute Objective Funct. ( )pF X

Compute Gradient‘s Components ( )pF X∇

Normalize it ( ) ( ) ( )pp p

n F X F X F X∇ = ∇ ∇

Generate randomly λκ

Build [λ] vector

Compute [ ] ( )p p ptk nx x F Xλ= − ∇

( ) ( )ppkF X F X≤

p pkx x=

k RST< 1k k⇒ +

( )pF X ε∇ ≤

p Niterup≥ 1p p⇒ +

Εικόνα 3. Τεχνική παραγώγου δεύτερης τάξης

58

6. Τεχνική βασισµένη στη Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδο (IGT)

Χρησιµοποιούµε ως παραµέτρους τα ρ1, k, z. Έχει εφαρµοστεί

χρησιµοποιώντας το διάγραµµα ροής που φαίνεται στην εικόνα 4, µέσω ενός

προγράµµατος Turbo C. Η διαδικασία διακόπτεται όταν η διακύµανση σε κάθε

παράµετρο είναι λιγότερη από 1.E 5−

Το πρόγραµµα έχει εφαρµοστεί µε τέτοιο τρόπο ώστε να απορρίψει τις

µετρήσεις έξω από ένα προσαρµόσιµο εύρος σφαλµάτων, µε απώλεια 15%, για να

αποφύγουµε τις µονάδες.

Compute D and J

Compute

t -1 t [J J] J D

Compute 1 t -1 t

= - [J J] J Dp pX X+

0 0 01 , , zρ κ

( )X ε∆ <

Εικόνα 4.Τεχνική βασισµένη στη Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδο

7. Τεχνική βασισµένη σε µια µέθοδο Quasi-Newton(QNT)

Χρησιµοποιούµε ως παραµέτρους τα ρ1, k, z. Έχει εφαρµοστεί µέσω µιας

ρουτίνας ZXMIN χωρίς ξεκάθαρο υπολογισµό των πρώτων παραγώγων. Για την

υπολογισµένη φαινόµενη αντίσταση έχει χρησιµοποιηθεί η Εσωτερική Φόρµα, επειδή

το πρόγραµµα χρησιµοποιείται για να ερευνήσει τις πιθανότητες ενός

πολυστρωµατικού µοντέλου.

8. Τεχνική βασισµένη σε µια συνδυαστική µέθοδο(MMT)

Εδώ βελτιώνοντας τις αρχικές τιµές, η διαδικασία θα συγκλίνει µε

µεγαλύτερη ασφάλεια και ταχύτητα προς το ελάχιστο. Για να προκύψει το διάγραµµα

ροής, είναι αρκετό να ενώσουµε εκείνα των εικόνων 3 και 4. Ανάµεσα στις τεχνικές

που εξετάστηκαν, αυτή που φτάνει σε αποτελέσµατα κοντά στο βέλτιστο µε

µεγαλύτερη ταχύτητα είναι η τεχνική που βασίζεται στην IGT και έχει αρκετή ακρίβεια

που είναι χρήσιµη σε ένα µεγάλο αριθµό πρακτικών εφαρµογών.

3.4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Τα άριστα αποτελέσµατα που προέκυψαν µπορούν να εκτιµηθούν, γενικά,

µε την τέταρτη (SOGT), την Πέµπτη (LMT), την έβδοµη (QNT) και την όγδοη (MMT)

τεχνική.

Μπορεί να εκτιµηθεί πως η MMT είναι καλύτερη από την SOGT,

λαµβάνοντας υπόψη τους χρόνους διεξαγωγής, οι οποίοι είναι δραστικά µικρότεροι

στην MMT.

Επαληθεύεται επίσης, πως στη διαδικασία προσέγγισης του ελάχιστου, η

IGT είναι πολύ πιο αποτελεσµατική από οποιαδήποτε FOGT που χρησιµοποιεί τον

διαγώνιο πίνακα λΙΙ, όπως στην περίπτωση της SOGT όταν αυτή χρησιµοποιεί µία

FOGT στην διαδικασία της για την προσέγγιση του ελαχίστου.

59

Σε σχέση µε την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης F, η τέταρτη, η όγδοη, η

Πέµπτη, η έβδοµη και η τρίτη τεχνική είναι σχεδόν ισοδύναµες, όπου όντως η τεχνική

της παραγώγου πρώτης τάξης έχει συµπεριληφθεί. Η πρώτη, δεύτερη και έκτη

τεχνική, σε αυτή την σειρά έχουν αποδειχθεί πως είναι ελαφρώς κατώτερες.

Από την άποψη του Ευκλείδιου τύπου της παραγώγου, µόνο οι τεχνικές 3,

4, 5, 7 και 8 φτάνουν σε µια ικανοποιητική µικρή τιµή. Η έκτη τεχνική δεν δίνει

αποδεκτές τιµές σχεδόν σε καµία περίπτωση. Η πρώτη τεχνική επιτυγχάνει

αποδεκτές τιµές, κάτι που δεν συµβαίνει µε την δεύτερη.

3.5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Έχει γίνει η περίληψη της θεωρητικής βάσης για την εκτίµηση ενός

διανύσµατος παραµέτρων, που αποκτά µια βέλτιστη αντιστοιχία ανάµεσα σε ένα

σύνολο µετρηµένων τιµών αντίστασης και στο αντίστοιχο σύνολο υπολογισµένων

τιµών αντίστασης που χρησιµοποιεί τέτοιες παραµέτρους. Ο πρώτος µας στόχος

ήταν να προσδιορίσουµε τα απαραίτητα εργαλεία για την µετέπειτα εφαρµογή των

οκτώ διαφορετικών τεχνικών, οι οποίες θα επιτρέψουν την εκτίµηση των παραµέτρων

σε έδαφος δύο στρωµάτων.

Στη µέθοδο Απότοµης Καθόδου στην κατεύθυνση της Αρνητικής

παραγώγου, υπάρχει ένας σηµαντικός παράγοντας κλίµακας που πρέπει να ληφθεί

υπόψη. Μια ακατάλληλη επιλογή του λ µπορεί να προκαλέσει αβέβαιη σύγκλιση της

διαδικασίας. Τα αποτελέσµατα των έξι περιπτώσεων που εξετάστηκαν δείχνουν ότι η

πρώτη τεχνική FOGT είναι καλύτερη από τις υπόλοιπες όσο αφορά την αντιστοιχία

των τιµών. Όσο αφορά την δεύτερη τεχνική FOGT, οι τιµές των στοιχείων της τελικής

παραγώγου είναι, τις περισσότερες φορές, µακριά από το µηδέν.

Σε οποιαδήποτε περίπτωση, καµία από τις FOGT που αναλύθηκαν δεν

παρουσιάζει µία επαρκή αξιόπιστη συµπεριφορά στην έρευνα για την βέλτιστη

προσαρµογή κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες, έτσι ώστε να µπορέσουµε να την

πάρουµε σαν βάση για την βέλτιστη εκτίµηση παραµέτρων σε έδαφος πολλαπλών

στρωµάτων.

Τα αποτελέσµατα της τεχνικής IGT παρουσιάζει τα στοιχεία της παραγώγου

πολύ υψηλά για να αποδώσει µια ικανοποιητική προσέγγιση στο βέλτιστο. Ωστόσο,

µπορεί να είναι χρήσιµη στην πράξη εξαιτίας της ταχύτητας µε την οποία

προκύπτουν τα αποτελέσµατα. Σε οποιαδήποτε περίπτωση, µπορεί να θεωρηθεί ως

60

ένα πολύ χρήσιµο βοηθητικό εργαλείο για την προσέγγιση του ελάχιστου για

µετέπειτα χρήση σε µια πιο αποτελεσµατική τεχνική.

Σε σύγκριση µε τις υπόλοιπες τεχνικές, η MMT που προτείνεται παρουσιάζει

µια άριστη συµπεριφορά, επιτυγχάνοντας στις περισσότερες περιπτώσεις τις

µικρότερες τιµές του ( ) ( ),F X F X∇ , µε τον ίδιο τρόπο όπως η SOGT. Επιπλέον,

επιτυγχάνονται οι χαµηλότεροι χρόνοι διεξαγωγής. Παρόµοια χαρακτηριστικά

αποδίδονται και από την LMT, όµως ο χρόνος διεξαγωγής είναι πάντα ελαφρά

µεγαλύτερος. Ο χρόνος για την QNT είναι επίσης πολύ υψηλός, αλλά η ακρίβειά της

είναι της ίδιας τάξης, ίσως και κάπως καλύτερη από εκείνη της MMT, της SOGT και

της LMT τεχνικής.

Από την προηγούµενη ανάλυση συµπεραίνεται ότι: η τεχνική MMT, η SOGT

και η QNT παρουσιάζουν χαρακτηριστικά ακριβείας και χρόνου διεξαγωγής που τις

µετατρέπουν σε δυνατά εργαλεία ανάλυσης για τον υπολογισµό παραµέτρων σε

έδαφος δύο στρωµάτων. Η τεχνική IGT πρέπει να χρησιµοποιηθεί ως βοηθητική για

την παραγωγή αρχικών τιµών.

61

5. ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 5.1 Μέθοδος του DEL ALAMO [4]

O Del Alamo στη µελέτη του [4], χρησιµοποιεί 6 σετ µετρήσεων, τα οποία

χρησιµοποιούνται και από άλλους ερευνητές όπως θα δούµε στη συνεχεία.

Χρησιµοποιεί ένα µοντέλο στρωµατοποιηµενης γης δυο στρωµάτων. Για τον

αλγόριθµο του χρησιµοποιεί αρχικές τιµές για την ειδική αντίσταση του πάνω

στρώµατος ρ1, για το βάθος του πάνω στρώµατος h και για τον συντελεστή

ανάκλασης k.

Μια σηµαντική διάφορα της µεθόδου που ακολουθεί ο Del Alamo σε σχέση

µε τον αλγόριθµο που υλοποιήσαµε, είναι ότι η αντικειµενική συνάρτηση που

χρησιµοποιείται, εµπεριέχει το συντελεστή ανάκλασης k, ενώ στον προτεινόµενο

αλγόριθµο χρησιµοποιούνται αρχικές τιµές για την ειδική αντίσταση του πάνω

στρώµατος ρ1, για το βάθος του πάνω στρώµατος h και για την ειδική αντίσταση του

κάτω στρώµατος ρ2. Στον πίνακα που ακολουθεί βλέπουµε τα σετ µετρήσεων –

απόσταση ηλεκτροδίων, µετρούµενης αντίστασης γης - του Del Alamo. Πίνακας 5.1 Σετ µετρήσεων

Αριθµός Μετρήσεων Σετ Μετρήσεων 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

Απόσταση (m) 2.5 5 7.5 10 12.5 15

1 Αντίσταση (Ω) 320 245 182 162 168 152

Απόσταση (m) 1 1.5 2.5 3 5 10

2 Αντίσταση (Ω) 255 290 315 376 528 690

Απόσταση (m) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 5

3 Αντίσταση (Ω) 58.7 61.7 58.1 61 73.7 78 79.1 78.2

Απόσταση (m) 2.5 5 7.5 10 12.5 15 20 25

4 Αντίσταση (Ω) 451.6 366.7 250.2 180 144.2 120.2 115.5 96.5

5 Απόσταση (m) 1 2 3 4

62

Αντίσταση (Ω) 156.4 113.1 95.2 65

Απόσταση (m) 1 2 4 10 20 40

6 Αντίσταση (Ω) 136 140 214 446 685 800

Στη συνεχεία παραθέτουµε πίνακα όπου στην πρώτη στήλη βλέπουµε τον

αριθµό των οµάδων µετρήσεων, στη δεύτερη στήλη τα αποτελέσµατα της εφαρµογής

του αλγόριθµου, στη τρίτη στήλη τα αποτελέσµατα της εφαρµογής του

προτεινόµενου αλγορίθµου και στην τέταρτη στήλη παραθέτουµε την σχετική

διάφορα των δυο αλγόριθµων.

Πίνακας 5.2 Σύγκριση αποτελεσµάτων αλγορίθµων

Σετ µετρήσεων

Αποτελέσµατα

από Del Alamo Αποτελέσµατα αλγορίθµου ∆ιαφορά (%)

1 ρ1=320 (Ωm) ρ2=146.8 (Ωm) h=2.85 (m)

ρ1=309.9 (Ωm) ρ2=153.67 (Ωm) h=2.21 (m)

δρ1= 3.15 δρ2= 4.67 δh= 22.45

2 ρ1=254.9 (Ωm) ρ2=857.1 (Ωm) h=1.83 (m)

ρ1=309.9 (Ωm) ρ2=153.67 (Ωm) h=2.23 (m)

δρ1= 11.5 δρ2= 20.26 δh= 21.8

3 ρ1=58.7 (Ωm) ρ2=81.2 (Ωm) h=1.04 (m)

ρ1=61.41 (Ωm) ρ2=68.1 (Ωm) h=1.72 (m)

δρ1= 4.61 δρ2= 16.13 δh= 65

4 ρ1=451.6 (Ωm) ρ2=96.5 (Ωm) h=4.49 (m)

ρ1=432 (Ωm) ρ2=96.26 (Ωm) h=3.22 (m)

δρ1= 4.34 δρ2=0.24 δh =28.2

5 ρ1=156.4 (Ωm) ρ2=60.18 (Ωm) h=1.215 (m)

ρ1=149.02 (Ωm) ρ2=65.4 (Ωm) h=2.22 (m)

δρ1= 4.71 δρ2= 8.67 δh= 82.71

6 ρ1=135.9 (Ωm) ρ2=890.4 (Ωm) h=2.32 (m)

ρ1=128.79 (Ωm) ρ2=770.89 (Ωm) h=2.225 (m)

δρ1= 5.23 δρ2=13.42 δh= 4.09

Παρατηρούµε ότι υπάρχουν κάποιες αποκλίσεις µεταξύ των

αποτελεσµάτων του προγράµµατος σε σύγκριση µε τα αποτελέσµατα που αναφέρει

ο Del Alamo. Τις περισσότερες φορές τα αποτελέσµατα του προτεινόµενου

αλγορίθµου είναι συγκρίσιµα, ενώ βλέπουµε σε ελάχιστες περιπτώσεις

καταγράφονται σηµαντικές διαφορές. Αυτό πιθανότατα οφείλεται κυρίως στη διάφορα

των αρχικών τιµών, και κατ επεκτασιν είναι θέµα υλοποίησης του αλγόριθµου. Η

παραπέρα διερεύνηση των αποκλίσεων αυτών µπορεί να αποτελέσει αντικείµενο

νέας εργασίας.

63

Παρατηρούµε επίσης, ότι όταν ρ1>ρ2 η επί τοις εκατό διαφορές των ειδικών

αντιστάσεων κυµαίνονται σε χαµηλά επίπεδα, ενώ στην αντίθετη περίπτωση

αυξάνουν. Για το βάθος του πρώτου στρώµατος δεν µπορεί να βγει κάποιο ασφαλές

συµπέρασµα.

Στο [5] παρατίθενται για τα παραπάνω σετ τιµών τα αποτελέσµατα από την

εφαρµογή άλλων οκτώ µεθόδων. Αναφορικά αυτές είναι.

9. Τεχνική παραγώγου πρώτης τάξης (FOGT)

10. Τεχνική παραγώγου δεύτερης τάξης (FOGT)

11. Πρόταση µιας βελτιωµένης Τεχνικής παραγώγου πρώτης τάξης.

12. Τεχνική παραγώγου δεύτερης τάξης (SOGT)

13. Τεχνική βασισµένη στη µέθοδο Levenberg-Marguardt (LMT)

14. Τεχνική βασισµένη στη Γενικευµένη Αντίστροφη Μέθοδο (IGT)

15. Τεχνική βασισµένη σε µια µέθοδο Quasi-Newton(QNT)

16. Τεχνική βασισµένη σε µια συνδυαστική µέθοδο(MMT)

Για τις παραπάνω µεθόδους στο [5] έχουµε τα υπολογισµένα αποτελέσµατα,

κατά την εφαρµογή των παραπάνω τεχνικών. Στο συγκεκριµένο σηµείο θα γίνει

επεξεργασία των αποτελεσµάτων των διαφόρων µεθόδων συγκριτικά µε τον

προτεινόµενο αλγόριθµο. Θα γίνει αναφορά στα σετ τιµών 1,4 και 6, οι οποίες τιµές

φαίνονται στον πίνακα 5.1.

Πίνακας 5.3 Αποτελέσµατα για το πρώτο σετ τιµών

Μέθοδος Αποτελέσµατα από εκάστη µέθοδο

Αποτελέσµατα αλγορίθµου ∆ιαφορά (%)

1η ρ1=355.77 (Ωm) ρ2=143.12 (Ωm) h=2.88 (m)

δρ1= 12.89 δρ2= 7.37 δh= 23.26

2η ρ1=324.6 (Ωm) ρ2=141.45 (Ωm) h=3.176 (m)

δρ1= 4.52 δρ2= 8.63 δh= 30.41

3η ρ1=360.37 (Ωm) ρ2=143.75 (Ωm) h=2.82 (m)

δρ1= 14 δρ2= 6.9 δh= 21.63

4η ρ1=368.29 (Ωm) ρ2=144.47 (Ωm) h=2.76 (m)

δρ1= 15.85 δρ2=6.36 δh =19.92

5η ρ1=372.72 (Ωm) ρ2=145.26 (Ωm) h=2.68 (m)

δρ1= 16.85 δρ2= 5.79 δh= 17.53

6η ρ1=364.68 (Ωm) ρ2=143.63 (Ωm) h=2.82 (m)

ρ1=309.9 (Ωm) ρ2=153.67 (Ωm) h=2.21 (m)

δρ1= 15.02 δρ2=6.99 δh= 21.63

64

7η ρ1=372.72 (Ωm) ρ2=144.25 (Ωm) h=2.68 (m)

δρ1= 16.85 δρ2=6.53 δh= 17,53

8η ρ1=372.72 (Ωm) ρ2=144.25 (Ωm) h=2.69 (m)

δρ1= 16.85 δρ2=6.53 δh= 17.84

Από τον πίνακα 5.3 παρατηρούµε ότι, µε εξαίρεση τις τιµές της δεύτερης

µεθόδου οι διαφορές στις τιµές των τριών µεγεθών βρίσκονται στα ίδια επίπεδα.

Γενικότερα παρατηρούµε ότι η προσέγγιση της τιµής του ρ2 είναι καλύτερη

των υπολοίπων µεγεθών που βρίσκονται σε υψηλότερα επίπεδα.

Άρα ο προτεινόµενος αλγόριθµος για την πρώτη οµάδα µετρήσεων

προσεγγίζει µερικώς καλά τις τιµές που υπολογίσθηκαν µε την βοήθεια της δεύτερης

µεθόδου.

Πίνακας 5.4 Αποτελέσµατα για το τέταρτο σετ τιµών

Μέθοδος Αποτελέσµατα από

εκάστη µέθοδο Αποτελέσµατα αλγορίθµου ∆ιαφορά (%)

1η ρ1=470.01 (Ωm) ρ2=92.27 (Ωm) h=4.55 (m)

δρ1= 8.08 δρ2= 4.32 δh= 29.23

2η ρ1=463.85 (Ωm) ρ2=100.4 (Ωm) h=4.08 (m)

δρ1= 6.86 δρ2= 4.12 δh= 21.07

3η ρ1=490.688 (Ωm) ρ2=93.39 (Ωm) h=4.39 (m)

δρ1= 11,95 δρ2= 3.07 δh= 26.65

4η ρ1=491.02 (Ωm) ρ2=92.92 (Ωm) h=4.43 (m)

δρ1=12.01 δρ2=3.59 δh =27.31

5η ρ1=494.88 (Ωm) ρ2=93.66 (Ωm) h=4.37 (m)

δρ1= 12.7 δρ2= 2.77 δh= 26,31

6η ρ1=468.89 (Ωm) ρ2=91.18 (Ωm) h=4.52 (m)

δρ1= 7.86 δρ2=5.57 δh= 28,76

7η ρ1=494.88 (Ωm) ρ2=93.66 (Ωm) h=4.37 (m)

δρ1= 12.7 δρ2=2.77 δh= 26,31

8η ρ1=494.88 (Ωm) ρ2=93.66 (Ωm) h=4.37 (m)

ρ1=432 (Ωm) ρ2=96.26 (Ωm) h=3.22 (m)

δρ1= 12.7 δρ2=2.77 δh= 26.31

65

Από τον πίνακα 5.4 παρατηρούµε ότι, µε εξαίρεση τις τιµές του ρ1 οι οποίες

παρουσιάζουν µεγάλη διασπορά, οι διαφορές στις τιµές του h και του ρ2 βρίσκονται

στα ίδια επίπεδα.

Γενικότερα παρατηρούµε ότι η προσέγγιση της τιµής του ρ2 είναι καλύτερη

ενώ του h βρίσκονται σε πολύ υψηλά επίπεδα.

Άρα ο προτεινόµενος αλγόριθµος και για την τέταρτη οµάδα µετρήσεων

προσεγγίζει µερικώς καλά τις τιµές που υπολογίσθηκαν µε την βοήθεια της πρώτης

και της δεύτερης µεθόδου.

Πίνακας 5.5 Αποτελέσµατα για το έκτο σετ τιµών

Μέθοδος Αποτελέσµατα από

εκάστη µέθοδο Αποτελέσµατα αλγορίθµου ∆ιαφορά (%)

1η ρ1=123.94 (Ωm) ρ2=994.36 (Ωm) h=2.53 (m)

δρ1= 3.91 δρ2= 22.47 δh= 12.05

2η ρ1=132.93 (Ωm) ρ2=1055.24 (Ωm) h=2.82 (m)

δρ1= 3.11 δρ2= 26.94 δh= 21.09

3η ρ1=125.47 (Ωm) ρ2=1092.5 (Ωm) h=2.71 (m)

δρ1= 2.64 δρ2= 29.43 δh= 17.89

4η ρ1=122.37 (Ωm) ρ2=1035.78 (Ωm) h=2.46 (m)

δρ1= 5.24 δρ2=25.57 δh =9.55

5η ρ1=125.52 (Ωm) ρ2=1092.83 (Ωm) h=2.71 (m)

δρ1=2.6 δρ2= 29.45 δh= 17.89

6η ρ1=117.95 (Ωm) ρ2=992.03 (Ωm) h=2.2 (m)

δρ1= 9.19 δρ2=22.29 δh= 1.13

7η ρ1=125.52 (Ωm) ρ2=1092.88 (Ωm) h=2.712 (m)

δρ1=2.6 δρ2= 29.46 δh= 17.95

8η ρ1=125.52 (Ωm) ρ2=1093.88 (Ωm) h=2.71 (m)

ρ1=128.79 (Ωm) ρ2=770.89 (Ωm) h=2.225 (m)

δρ1=2.6 δρ2= 29.52 δh= 17.89

Από τον πίνακα 5.5 παρατηρούµε ότι, µε εξαίρεση τις τιµές της έκτης

µεθόδου οι διαφορές στις τιµές των τριών µεγεθών βρίσκονται στα ίδια επίπεδα.

Γενικότερα παρατηρούµε ότι η προσέγγιση της τιµής του ρ1 είναι καλύτερη

των υπολοίπων µεγεθών που βρίσκονται σε υψηλότερα επίπεδα.

66

Άρα ο προτεινόµενος αλγόριθµος για την έκτη οµάδα µετρήσεων

προσεγγίζει µερικώς καλά τις τιµές που υπολογίσθηκαν µε την βοήθεια της πρώτης,

δεύτερης, πέµπτης, έβδοµης και όγδοης µεθόδου.

5.2 Μέθοδος του F. DAWALIBI [1 ]

Σε αυτό το σηµείο θα παρουσιαστεί µια άλλη µεθοδολογία που αναπτύχθηκε

από τον F. Dawalibi [1].

Για τις µετρήσεις του χρησιµοποιεί την διάταξη Wenner ενώ στον αλγόριθµο

του ακολουθεί τη µέθοδο της απότοµης καθόδου, µέθοδο η οποία χρησιµοποιήθηκε

για την υλοποίηση του προτεινόµενου αλγόριθµου, µε τη χρήση του προγράµµατος

Matlab.

Μια άλλη οµοιότητα µε τον προτεινόµενο αλγόριθµο, είναι ότι και εδώ

χρησιµοποιείται µια συνάρτηση µε µεταβλητές, την ειδική αντίσταση του άνω

στρώµατος ρ1, την ειδική αντίσταση του κάτω στρώµατος και τέλος το πάχος του

άνω στρώµατος h.

Η διάφορα είναι ότι ορίζει µία αρχική τιµή για τις ειδικές αντιστάσεις ενώ

εµείς ορίζουµε 2 ζεύγη τιµών για αρχικές τιµές. Οι µετρήσεις που χρησιµοποιήθηκαν

στη εφαρµογή είναι ίδιες µε το πρώτο σετ τιµών του del Alamo [5], όπως φαίνονται

στον ακόλουθο πίνακα.

Πίνακας 5.6 Πίνακας µετρήσεων

Μέτρηση 1η 2η 3η 4η 5η 6η Απόσταση

(m) 2.5 5 7.5 10 12.5 15 Αντίσταση

(Ω) 320 245 182 162 168 152

Στον πίνακα που ακολουθεί βλέπουµε τα αποτελέσµατα που προκύπτουν

από τον αλγόριθµο του Dawalibi [1] και τα αποτελέσµατα από τον προτεινόµενο

αλγόριθµο.

Πίνακας 5.7 Σύγκριση αποτελεσµάτων

Αποτελέσµατα από

Dawalibi Αποτελέσµατα αλγορίθµου ∆ιαφορά (%)

67

ρ1=383.49 (Ωm) ρ2=147.65(Ωm) h=2.562 m

ρ1=309.9(Ωm) ρ2=153.67(Ωm) h=2.21 m

δρ1= 21.53 δρ2= 4.07 δh= 13.11

Στην προηγούµενη ανάλυση που αφορούσε τον del Alamo οι αντίστοιχες

σχετικές διαφορές ήταν :

• δρ1= 3.15%

• δρ2= 4.67%

• δh= 22.45%

Παρατηρούµε ότι τα εξαγόµενα του προτεινόµενο αλγόριθµου είναι πιο

κοντά στις τιµές του Del Alamo [4].

68

5.3 Μέθοδος HANS SEEDHER- ARORA [6]

Μία άλλη µεθοδολογία όπου χρησιµοποιείται η διάταξη Wenner, ακολουθεί

ο H.S.Arora [6], για να υλοποιήσει τις µετρήσεις του, ενώ επίσης χρησιµοποιεί το

πρώτο σετ µετρήσεων του Del Alamo [5]. H διάφορα της διαδικασίας υπολογισµού

των ζητούµενων τιµών, του αλγόριθµου του Αrora, σε σύγκριση µε το δικό µας

αλγόριθµο είναι ότι στην αρχική συνάρτηση που θεωρεί, οι υπολογισµοί λαµβάνουν

χώρα µε την βοήθεια τον ποσοτήτων του πηλίκου της ειδικής αντίστασης του κάτω

στρώµατος προς την ειδική αντίσταση του πάνω στρώµατος (ρ2/ρ1), καθώς επίσης

της ποσότητας του πηλίκου της απόστασης α των ηλεκτρόδιων της µεθόδου Wenner

προς το βάθος h του πρώτου στρώµατος (α/h).

Ο πίνακας που ακολουθεί δείχνει της µετρήσεις που χρησιµοποιούνται από

τον Arora και οι οποίες αποτελούν το πρώτο σετ µετρήσεων του del Alamo [5].

Πίνακας 5.8 Πίνακας µετρήσεων

Μέτρηση 1η 2η 3η 4η 5η 6η Απόσταση

(m) 2.5 5 7.5 10 12.5 15 Αντίσταση

(Ω) 320 245 182 162 168 152

Στον πίνακα που ακολουθεί βλέπουµε τα αποτελέσµατα που εξήχθησαν µε

τον αλγόριθµο του Αrora [6] και τα αποτελέσµατα από τον προτεινόµενο αλγόριθµο.

Πίνακας 5.9 Σύγκριση αποτελεσµάτων

Αποτελέσµατα από

SEEDHER- ARORA Αποτελέσµατα αλγορίθµου ∆ιαφορά (%)

ρ1=383.5 (Ωm) ρ2=147.65(Ωm) h=2.563 m

ρ1=309.9(Ωm) ρ2=153.67(Ωm) h=2.21 m

δρ1= 19.19 δρ2= 4.07 δh= 13.07

69

Από τα αποτελέσµατα της µεθόδου του καταλήξαµε στις παραπάνω

διάφορες. Οι αντίστοιχες διαφορές στον del Alamo [5] ήταν

• δh= 22.45%

• δρ1= 3.15%

• δρ2= 4.67%

Παρατηρούµε ότι ο προτεινόµενος αλγόριθµος είναι πιο κοντά στον del

Alamo, αλλά έχουµε καλύτερη προσέγγιση όσον αφορά το h κατά 10% περίπου µε

τον Seedher- Arora

70

5.4 Μέθοδος I. GONOS [8]

Ο Ι. Γκόνος στη µελέτη του [8] όσον αφορά τη διαστρωµατοποιηµενη γη

χρησιµοποιεί τη µέθοδο Weener, αλλά η διαφορά, µε τους µέχρι τώρα ερευνητές,

είναι ότι υλοποιεί τον αλγόριθµο του µε τη βοήθεια γενετικών αλγόριθµων.

Ασφαλώς το παρόν πόνηµα δεν έχει ως σκοπό τη παρουσίαση του

αλγορίθµου του κάθε ερευνητή, όποτε θα χρησιµοποιήσουµε τις µετρήσεις και τα

αποτελέσµατα αυτών, µε σκοπό να εφαρµόσουµε τον προτεινόµενο αλγόριθµο και

να επεξεργασθούµε τα αποτελέσµατα, των δυο αυτών µεθόδων.

Στη συγκεκριµένη µελέτη χρησιµοποιήθηκαν τρία έτοιµα σετ µετρήσεων

από τον Del Alamo [4], ενώ έχουµε και ένα σετ πειραµατικών µετρήσεων του ιδίου.

Τα σετ των µετρήσεων που χρησιµοποιήθηκαν η φαίνονται στους

παρακάτω πίνακα.

Πίνακας 5.10 Πίνακας µετρήσεων

Αριθµός Μετρήσεων Σετ Μετρήσεων 1η 2η 3η 4η 5η 6η 7η 8η

Απόσταση (m) 2.5 5 7.5 10 12.5 15

1 Αντίσταση (Ω) 320 245 182 162 168 152

Απόσταση (m) 2.5 5 7.5 10 12.5 15 20 25 2

Αντίσταση (Ω) 451.6 366.7 250.2 180 144.2 120.2 115.5 96.5

Απόσταση (m) 1 2 4 10 40 3

Αντίσταση (Ω) 136 140 214 446 800

Απόσταση (m) 1 2 3 4 5 6 8 10

4 Αντίσταση (Ω) 87.9 62.8 56.5 37.7 29.5 26.4 17.6 15.7

Ο παραπάνω πίνακας αποτελεί τα σετ µετρήσεων που χρησιµοποιεί ο Ι.

Γκόνος [8] για να εφαρµόσει τον αλγόριθµο του. Τα αποτελέσµατα που εξάγει

φαίνονται στον πίνακα 5.11. Στην πρώτη στήλη φαίνονται τα αποτελέσµατα του Ι.

71

Γκόνου, ενώ στη δεύτερη στήλη φαίνονται τα αποτελέσµατα της εφαρµογής µας και

στην τρίτη στήλη φαίνεται η σχετική διαφορά τους.

Πίνακας 5.11 Σύγκριση αποτελεσµάτων αλγορίθµων

Σετ µετρήσεων

Αποτελέσµατα

από I. Gonos Αποτελέσµατα αλγορίθµου ∆ιαφορά (%)

1 ρ1=367.7 (Ωm) ρ2=143.5 (Ωm) h=2.70 (m)

ρ1=309.9 (Ωm) ρ2=153.67 (Ωm) h=2.21 (m)

δρ1= 15.7 δρ2= 7.08 δh= 18.1

2 ρ1=499 (Ωm) ρ2=89.84 (Ωm) h=4.40 (m)

ρ1=432 (Ωm) ρ2=96.26 (Ωm) h=3.22 (m)

δρ1= 13.4 δρ2= 7.1 δh= 26.8

3 ρ1=132.2 (Ωm) ρ2=1060.6 (Ωm) h=2.998 (m)

ρ1=128.79 (Ωm) ρ2=770.89 (Ωm) h=2.225 (m)

δρ1= 2.57 δρ2= 27.3 δh= 25.7

4 ρ1=84.34 (Ωm) ρ2=14.06 (Ωm) h=2.229 (m)

ρ1=79.69 (Ωm) ρ2=15.79 (Ωm) h=2.218 (m)

δρ1= 5.51 δρ2=12.3 δh =0.43

Από τον πίνακα 5.11 παρατηρούµε ότι, οι τιµές όλων των µεγεθών

παρουσιάζουν µεγάλη διασπορά άρα δεν µπορεί να εξαχθεί κάποιο ασφαλές

συµπέρασµα.

5.5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Από την µέχρι τώρα ανάλυση που προηγήθηκε µπορούµε να

παρατηρήσουµε ότι, µε την εφαρµογή ενός κατάλληλου συνδυασµού αλγορίθµων και

µε τη στατιστική επεξεργασία των αποτελεσµάτων µπορεί να εξαχθεί ασφαλές

συµπέρασµα για τις τιµές των ειδικών αντιστάσεων του πρώτου και του δεύτερου

στρώµατος.

Για την τιµή του βάθους του πρώτου στρώµατος, διαπιστώθηκε σχεδόν

πάντα µια σηµαντική απόκλιση από τις θεωρητικές τιµές, η οποία µπορεί να υποτεθεί

ότι προέρχεται από την θεώρηση της αρχικής τιµής του βάθους.

Πρακτικά όµως δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι για να υπολογισθούν τα εν λόγω

µεγέθη θα πρέπει να ληφθούν υπόψιν παράγοντες όπως η θερµοκρασία, η υγρασία,

72

το είδος του εδάφους κ.α. οι οποίοι δεν συµµετέχουν στον υπολογισµό των ειδικών

αντιστάσεων µε τον αλγόριθµο.

6. Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ

Το πρόγραµµα έχει σαν βασικό στόχο να υλοποιήσει έναν αλγόριθµο, η

είσοδος του οποίου είναι επιφανειακές µετρήσεις µε τη µέθοδο Wenner. Από τις

µετρήσεις αυτές προκύπτουν ζεύγη τιµών αντίστασης-απόστασης.

Ο χρήστης όταν τρέχει το πρόγραµµα καλείται πρώτα απ’ όλα να αποφασίσει

µε πόσα ζεύγη τιµών θα υλοποιήσει τον αλγόριθµο. Το πρόγραµµα παρέχει τη

δυνατότητα ευελιξίας σε ό,τι αφορά τα ζεύγη τιµών που εισάγονται ως είσοδοι. Έτσι

ως πρώτο βήµα ο χρήστης εισάγει τον αριθµό ρm των ζευγών µετρήσεων. Στη

συνέχεια το πρόγραµµα ζητάει να εισαχθούν τα ζεύγη τιµών ένα προς ένα, βάζοντας

την τιµή της αντίστασης και της αντίστοιχης απόστασης µέτρησης. Κάθε αλγόριθµος

αυτού του είδους θέλει αρχικές τιµές για τη λειτουργία του. Για παράδειγµα

επιλέγονται ως αρχικές τιµές η πρώτη και η τελευταία τιµή που προκύπτουν από τις

µετρήσεις και στην πορεία εισάγονται και οι ενδιάµεσες µετρήσεις. Σε άλλους

αλγόριθµους χρησιµοποιείται κατευθείαν ο συντελεστής ανάκλασης k, ενώ εδώ,

υπολογίζεται µέσω των δύο αυτών αρχικών µετρήσεων.

Αφού τελειώσει η εισαγωγή των δεδοµένων των µετρήσεων, ο χρήστης

καλείται να εισάγει έναν αριθµό, ο οποίος χρησιµεύει στον υπολογισµό της

φαινόµενης αντίστασης ρ(α) Αυτό αφήνεται ως επιλογή στον χρήστη. Τέλος έχουµε

την εισαγωγή της εκτιµηταίας απόστασης h, που είναι το βάθος του ανώτερου

στρώµατος.

Αφού τελειώσει η εισαγωγή των δεδοµένων και των αρχικών τιµών, το

πρόγραµµα αρχίζει να υπολογίζει την φαινόµενη αντίσταση από τα ζεύγη τιµών που

εισήχθησαν. Στο τέλος του προγράµµατος πληκτρολογώντας Y3 θα παρουσιαστεί

ένας πίνακας όπου οι δύο πρώτες στήλες θα είναι οι µετρήσεις, η τρίτη στήλη θα

είναι η φαινόµενη αντίσταση και οι υπόλοιπες τρεις στήλες θα είναι οι εσωτερικές

τιµές του προγράµµατος. Στη συνέχεια το πρόγραµµα ορίζει µια συνάρτηση Y µε

µεταβλητές τις ρ1, ρ2, h, ρ(α) και ξεκινά τη διαδικασία διόρθωσης και

κανονικοποίησης των αποτελεσµάτων σύµφωνα µε το διάγραµµα ροής που

παρατέθηκε στο τρίτο κεφάλαιο. Αναζητείται το τελικό σφάλµα της DY να είναι

µικρότερο του 10-5 και ο αλγόριθµος να σταµατάει µετά από ένα συγκεκριµένο

73

πλήθος επαναλήψεων. Με την ολοκλήρωση του προγράµµατος, στην οθόνη

παρουσιάζονται οι τελικές τιµές των ρ1, ρ2 και h.

Επιπλέον, ο χρήστης πληκτρολογώντας τα παρακάτω µπορεί να δει στην

οθόνη τα εξής:

Υ1: η είσοδος των δεδοµένων

Υ3: η είσοδος των δεδοµένων φαινόµενης αντίστασης-εσωτερικές τιµές

DΥ: η τιµή του σφάλµατος

k: ο συντελεστής ανάκλασης

h: η τιµή της νόρµας

ρ1: η τιµή της ρ1

ρ2: η τιµή της ρ2

Ρα: η τιµή της ρ(α)

tau: η τιµή του συντελεστή τ

sigma: η τιµή του συντελεστή σ

gamma: η τιµή του συντελεστή γ

Επίσης, υπάρχει και ένα πλήθος ακόµα εσωτερικών τιµών: dΥDρ1no,

dΥDρ2no, dΥDhno, οι οποίες βοηθούν τον χρήστη να παρακολουθήσει την

υπολογιστική εξέλιξη του αλγορίθµου.

Το πρόγραµµα που υλοποιεί τον αλγόριθµο παρατίθεται στο παράρτηµα της

διπλωµατικής εργασίας.

74

7. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΝΕΧΙΣΗ ΤΗΣ ∆ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ

Ο τοµέας της µελέτης της αντίστασης γης είναι ένας τοµέας της επιστήµης

του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού που τα τελευταία χρόνια γνωρίζει συνεχώς

αυξανόµενη ανάπτυξη µε όλο και περισσότερους ερευνητές να ασχολούνται µε το

αντικείµενο. Ειδικότερα, ο άκρως ενδιαφέρον τοµέας της προσοµοίωσης των

συστηµάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας είναι ένας τοµέας συνεχούς έρευνας.

Σαν συνέχεια της εργασίας αυτής µπορεί να γίνει µια περαιτέρω ανάλυση

των αποτελεσµάτων του προτεινόµενου αλγορίθµου ώστε να προκύψουν κάποιες

βελτιώσεις οι οποίες όµως να µπορούν να δώσουν µια µορφή πρόβλεψης για τη

συµπεριφορά της γης σε µία ηλεκτρική εγκατάσταση.

Στην παρούσα διπλωµατική εργασία στην οποία υλοποιήθηκε µέσω του

προγράµµατος MATLAB, η µέθοδος της απότοµης καθόδου για τον υπολογισµό των

ειδικών αντιστάσεων µοντέλου γης δύο στρωµάτων, θα µπορούσαν να αναλυθούν

περισσότερες τεχνικές υπολογισµού ειδικών αντιστάσεων γης.

Τέλος, θα µπορούσε να γίνει και µια ικανοποιητική σύγκριση των

προσοµοιώσεων µε µετρήσεις της αντίστασης σε µια πραγµατική εγκατάσταση.

Ανάλογα µε το είδος µετρήσεων και τον τρόπο µε τον οποίο θα γίνει ο υπολογισµός

της αντίστασης στην εγκατάσταση να γίνουν και οι ανάλογες προσοµοιώσεις ώστε να

διερευνηθεί ακόµη περισσότερο η συµπεριφορά των στρωµάτων εδάφους.

75

8. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

ΚΩ∆ΙΚΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ MATLAB clc clear all pm=input('το πλήθος των ζευγών µετρήσεων>'); for j=1:pm a(j)=input('τιµή a απόστασης>'); p(j)=input('τιµή p αντίστασης>'); end X=[a' p']; h=input('βάθος στρωµάτων>'); p1=X(1,2);%ορίζουµε ως πρώτη αυθαίρετη τιµή την πρώτη µέτρηση p2=X(2,2);%ορίζουµε ως δεύτερη αυθαίρετη τιµή την τελευταία µέτρηση o=input('πλήθος ν παραγoντων για τον υπολογισµό της Α-2 κτλ>'); calcDY; sa=0; if abs(DY)<=1e-5 [p1 p2 h] else while (abs(DY)>1e-5)&(sa<161); sa=sa+1 ; Dp1=-tau*dYdp1no; Dp2=-sigma*dYdp2no; Dh=-gama*dYdhno; p1=p1+Dp1; p2=p2+Dp2; h=h+Dh; calcDY; [p1 p2 h] end end

76

k=(p2-p1)/(p2+p1);%υπολογισµού συντελεστή ανάκλασης sum=0; %αρχικοποίηση του αθροίσµατος N=o; %το πλήθος των όρων της σειράς for j=1:pm for n=1:N sum=sum+(k^n)/(1+(2*n*(h/a(j)))^2)^(1/2)-(k^n)/(4+(2*n*(h/a(j)))^2)^(1/2); end Pa(j)=[p1*(1+4*sum)]; end Y=[a' p' Pa'];%πίνακας µετρήσεων-υπολογισµένης φαινόµενης αντίστασης για κάθε α που έχουµε sum2=0; %αρχικοποίηση του αθροίσµατος N=pm; %το πλήθος των ζευγών µετρήσεων for n=1:N sum2=sum2+((p(n)-Pa(n))/p(n))^2; end for f=1:100 for n=1:pm%οριsµος των όρων για τον υπολογισµό των Α,Β A1(n,f)=1+(2*f*h/a(n))^2; B1(n,f)=4+(2*f*h/a(n))^2; end end for f=1:100% AYTA TA 2 EINAI ΓΙΑ ΝΑ ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ ΣΤΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ Α1 Β1 for n=1:pm %ΟΜΟΙΩΣ--------------------------------------------------- dp1(n,f)=1+ 4*[(1-n*(1-k^2)/(2*k))*(k^n/sqrt(A1(n,f))-k^n/sqrt(B1(n,f)))]; end end for f=1:100% AYTA TA 2 EINAI ΓΙΑ ΝΑ ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ ΣΤΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ Α1 Β1 for n=1:pm %ΟΜΟΙΩΣ---------------------------------------------------

77

dp2(n,f)= (2*n/k)*(1-k^2)*(k^n/sqrt(A1(n,f))-k^n/sqrt(B1(n,f))); end end for j=1:pm%χρησιµοποιουµε για το a για τη µεταβολή for f=1:100% AYTA TA 2 EINAI ΓΙΑ ΝΑ ΠΑΙΡΝΟΥΜΕ ΣΤΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΩΝ Α1 Β1 for n=1:pm %ΟΜΟΙΩΣ--------------------------------------------------- dh(n,f)= ((16*p1*h)/a(j)^2)*((k^n)/(((B1(n,f))^3)^(1/2))-(k^n)/(((A1(n,f))^3)^(1/2))); end end end for j=1:pm for f=1:99 dp11(j,f)= abs(dp1(j,f))-abs(dp1(j,f+1));%υπολογισµός της διαφοράς των απόλυτων τιµών του πίνακα dp1 ανά 2 end end% έχουµε ήδη υπολογίσει τις διαφορές και στη συνέχεια θα αναζητήσουµε που είναι ίση µε 10e-5 for f=1:99 lik(f)=dp11(1,f)<0.00001; end x=find(lik==1); for thesi1=1:99 if lik(thesi1)==1; thesi1; break end end sum3=0; for j=1:pm for v=1:thesi1 sum3=sum3+ (1-v*(1-k^2)/(2*k))*(k^v/sqrt(A1(j,v))-k^n/sqrt(B1(j,v))); dp1teliko(j)=1+4*sum3; end end Y2=[a' p' Pa' dp1teliko']; for j=1:pm for f=1:99 dp22(j,f)= abs(dp2(j,f))-abs(dp2(j,f+1));%υπολογισµός της διαφοράς των απολύτων τιµών του πίνακα dp2 ανά 2

78

end end% έχουµε ήδη υπολογίσει τις διάφορες και στη συνεχεία θα αναζητήσουµε που είναι ίση µε 10e-5 for f=1:99 lik2(f)=dp22(1,f)<0.00001; end x2=find(lik2==1); for thesi2=1:99 if lik2(thesi2)==1; thesi2; break end end sum4=0; for j=1:pm for v=1:thesi2 sum4=sum4 + (2*v/k)*(1-k^2)*(k^v/sqrt(A1(j,v))-k^v/sqrt(B1(j,v))); dp2teliko(j)=sum4; end end Y3=[a' p' Pa' dp1teliko' dp2teliko']; for j=1:pm for f=1:99 dh1(j,f)= abs(dh(j,f))-abs(dh(j,f+1));%υπολογισµός της διαφοράς των απολύτων τιµών του πίνακα dh ανά 2 end end% έχουµε ήδη υπολογίσει τις διάφορες και στη συνεχεία θα αναζητήσουµε που είναι ιση µε 10e-5 for f=1:99 lik3(f)=dh1(1,f)<0.00001; end x3=find(lik3==1); for thesi3=1:99 if lik3(thesi3)==1; thesi3; break end end sum5=0; for j=1:pm for v=1:thesi3 sum5=sum5 + ((16*p1*h)/a(j)^2)*((k^v)/(((B1(j,v))^3)^(1/2))-(k^v)/(((A1(j,v))^3)^(1/2))); dh1teliko(j)=sum5; end

79

end Y3=[a' p' Pa' dp1teliko' dp2teliko' dh1teliko']; st=0;% µηδενισµός µεταβλητής για τον υπολογισµό του 6 βήµατος sum6=0; for st=1:pm sum6=sum6+((p(st)-Pa(st))/(p(st)))*dp1teliko(st); end dYdp1=-2*sum6; sum7=0; for st=1:pm sum7=sum7+((p(st)-Pa(st))/(p(st)))*dp2teliko(st); end dYdp2=-2*sum7; sum8=0; for st=1:pm sum8=sum8+((p(st)-Pa(st))/(p(st)))*dh1teliko(st); end dYdh=-2*sum8; % υπολογισµός νόρµας και κανονικοποιηση τιµών βήµα 7 no=sqrt( (dYdp1)^2 + (dYdp2)^2 + (dYdh)^2); %κανονικοποιηση τιµών dYdp1no= (dYdp1)/(no); dYdp2no=(dYdp2)/(no); dYdhno=(dYdh)/(no); %βήµα 8...υπολογισµός τ σ και γ tau=0.005*p1; sigma=0.005*p2; gamma=0.005*h; % βήµα 9 DY=-(tau)*(dYdp1no)^2 -(sigma)*(dYdp2no)^2-(gama)*(dYdhno)^2;

80

9. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. RESISTANCE MEASUREMENT OF LARGE GROUNDING SYSTEMS

F Dawalibi (Dec 1979)

2. IEEE GUIDE FOR MEASURING EARTH RESISTIVITY, GROUND

IMPEDANCE IEEE Std 81-1983

3. DETERMINATION OF TWO LAYER EARTH STRUCTURE PARAMETERS

I.GONOS, V. KONTARGYRI , I. STATHOPOULOS

4. Α SECOND ORDER GRADIENT TECHNIQUE FOR AN IMPROVED

ESTIMATION OF SOIL PARAMETERS IN A TWO LAYER EARTH

J. L .DEL ALAMO

5. A COMPARISON AMONG EIGHT DIFFERENT TECHNIQUES TO ACHIEVE

AN OPTIMUM ESTIMATION OF ELECTRICAL GROUNDING

PARAMETERS IN A TWO-LAYERED EARTH

J. L .DEL ALAMO

6. ESTIMATION OF TWO LAYER SOIL PARAMETERS USING FINITE

WENNER RESISTIVITY EXPRESSIONS

H. SEEDHER, J.K ARORA

7. EARTH RESISTIVITY MEASUREMENT INTERPRETATION TECHNIQUES

F Dawalibi, C. J. BLATTNER

8. ESTIMATION OF MULTILAYER SOIL PARAMETERS USING GENETIC

ALGORITHMS

I.GONOS, I. STATHOPOULOS

9. MATLAB 7 D. HANSELMAN, B. LITTLEFIELD ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ ΚΛΕΙ∆ΑΡΙΘΜΟΣ

10. 80-2000 IEEE GUIDE FOR SAFETY IN AC SUB.GROUNDING

81

82