Fizika 2.Beleske/ Jegyzet

2013.

20.1 Podsetnik/Emlekezteto:

z = x+ iy = exp(i), z = x iy = exp(i) (1) =

x2 + y2, = arctg

y

x(2)

|z|2 = 2 = x2 + y2 = zz (3)x = Re(z) = cos, y = Im(z) = sin (4)

x =1

2(z + z), y =

1

2i(z z) = i

2(z z) (5)

exp(i) + exp(i) = 2 cos (6)exp(i) exp(i) = 2i sin (7)

Ni=0

qi = 1 + q + q2 + . . .+ qN =1 qN1 q (8)

expx ex (9)sinx x, |x| 1 (10)

1 + x 1 + 12x, x 1 (11)

expx 1 + x, x 1 (12)cos( + ) = cos cos sin sin (13)cos + cos = 2 cos

( +

2

)cos

(

2

)(14)

Kronekerov simbol / Kronecker-szimbolum

i,j =

{1, i = j0, i 6= j (15)

Simbol Levi-Civita/ Levi-Civita-szimbolum

i,j,k =

1, (i, j, k) {(x, y, z), (y, z, x), (z, x, y)}1, (i, j, k) {(x, z, y), (z, y, x), (y, x, z)}

0, u ostalim slucajevima / egyebkent(16)

(cf) = cf , c = const (17)

(f + g) = f + g (18)

(fg) = f g + fg (19)

f(g(x)) = f (g(x))g(x) (20)

0.1. PODSETNIK/EMLEKEZTETO: 3

Lopital-ovo pravilo: pod pretpostavkom da sve navedene granicne vrednostipostoje, vazi:Lopital-szabaly: amennyiben az osszes szoban forgo hatarertek letezik, igaz,hogy:

limxx0

f(x)

g(x)= lim

xx0f (x)g(x)

(21)

dy

dx= ay y = y(0) exp(ax) (22)

d2y

dx2+ a2y = 0 y = A exp(iax) +B exp(iax) (23)

sin a sin b =1

2(cos(a b) cos(a+ b)) (24)

cos a cos b =1

2(cos(a b) + cos(a+ b)) (25)

sin a cos b =1

2(sin(a+ b) + sin(a b)) (26)

skalarni proizvod dve kompleksne funkcije - dva kompleksna vektoraket komplex fuggveny - ket komplex vektor skalarszorzata

f, g : R3 Z (27)f, g =

f (x, y, z)g(x, y, z) dx dy dz (28)

42cos(x)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10 5 0 5 10

cos (x)

Figure 1: cos(x), cos2(x)

Chapter 1

Geometrijska optikaGeometriai optika

Indeks prelamanja svetlosti n neke sredine je jednak odnosu brzine svetlostiu vakuumu, (c), i odnosu brzine svetlosti u datoj sredini, (v).Egy kozeg toresmutatoja n egyenlo a vakuumbeli fenysebesseg (c) aranyavalaz adott kozegben mert fenysebesseggel (v).

n =c

v(1.1)

1.1 Fermaov princip

Fermat-elv

Ukoliko je sredina opticki nehomogena i indeks prelamanja se menja od tackedo tacke, opticku duzinu (l) puta racunamo po obrascu (1.3).Amennyiben a kozeg optikailag inhomogen es a toresmutato pontonkentvaltozik, az (l) optikai uthosszt a (1.3) egyenlet hatarozza meg.

dl = n(~r)ds (1.2)

l =n(~r)ds (1.3)

Integral racunamo duz putanje svetlosnog zraka. ds je infinitezimalni elementputanje svetlosnog zraka.

5

6 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

Az integralt a fenysugar menten szamoljuk. ds a fenysugar infinitezimalisszakasza.

Fermaov princip:Fermat-elv:Svetlosni zrak se prostire tako, da mu je opticka duzina puta najkraca moguca.A fenysugar ugy terjed, hogy az optikai uthossza a leheto legrovidebb legyen.

1.1.1 Zakon prelamanja svetlostiA fenytores torvenye

Kao primer primene Fermaovog principa izvescemo zakon prelamanja svet-losti.A Fermat-elv alkalmazasi peldajakent levezetjuk a fenytoresi torvenyt.

Dve sredine 1 i 2, s indeksima prelamanja n1 i n2 granice se jednom ravni.Tacka A je u sredini 1, tacka B je u sredini 2. Kako se prositre svetlosti zrakizmedju tacaka A i B?Ket egymassal hataros kozeg, 1 es 2, egy sk menten erintkezik egymassal. Amegfelelo toresmutatok n1 es n2. Az A pont az 1-es kozegben van, a B ponta pedig a 2-es kozegben. Hogyan terjed a fenysugar a ket pont kozott?

A

B

n

n

1

x dx

ys

ys

1

2

1

2

2

Figure 1.1: Duzina optickog puta izmedju tacaka A i B. A es B pontokkozotti optikai uthossz.

1.1. FERMAOV PRINCIP FERMAT-ELV 7

l = n1s1 + n2s2 (1.4)

s21 = x2 + y21, s

22 = (d x)2 + y22 (1.5)

l = n1x2 + y21 + n2

(d x)2 + y22 (1.6)

Uslov za minimum optickog puta l, (1.6), je dldx

= 0.Az l, (1.6), optikai uthosz minimumanak a foltetele dl

dx= 0.

dl

dx= n1

1

2

2xx2 + y21

n2 12

2x(d x)2 + y22

= 0 (1.7)

Na osnovu (1.7) uslov za minimum je / (1.7) alapjan a minimum foltetele:

n1x

x2 + y21= n2

x(d x)2 + y22

n1x

s1= n2

d xs2

n1 sin = n2 sin (1.8)

Zakon prelamanja svetlostiA fenytores torvenye

sin

sin =n2n1

= n2,1 (1.9)

Primer / Pelda

Odredite vrednost granicnu vrednost ugla prelamanja ako su indeksi prela-manja dve sredine n1 i n2, n2 > n1. (1.1.1)Hatarozza meg a toresi szog hatarerteket, ha a kozegek toresmutatoi rendren1 es n2, n2 > n1. (1.1.1)Resenje / Megoldas = pi

2, sin = 1, sin = n1

n2.

8 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

n

n 2

1

Figure 1.2: Granicni ugao. Hatarszog.

1.2 Svetlovod / Fenyvezeto

Pretpostavljamo da indeks prelamanja svetlosti svetlovoda zavisi samo odrastojanja od ose svetlovoda, r. z osa se poklapa sa osom svetlovoda.Foltetelezzuk, hogy a fenyvezeto toresmutatoja csak a fenyvezeto tengelyetolmert tavolsagtol fugg. A z tengely megegyezik a fenyvezeto tengelyevel.Uglove merimo u odnosu na osu svetlovoda, videti sl. 1.3.A szogeket a fenyvezeto tengelyehez merjuk, ld. az 1.3. abrat.Zakon prelamanja svetlosti na tankom sloju debljine r glasi:

r

z

r

z z+z

Figure 1.3: Svetlovod. / Fenyvezeto

1.2. SVETLOVOD / FENYVEZETO 9

A fenytores torvenye r vastagsagu (esetunkben vekonysagu) retegen:

n(r) cos = n(r + r) cos( + )

=

(n(r) + r

dn

dr+ . . .

)(cos cos() sin sin())

(n(r) + r

dn

dr

)(cos () sin)

n(r) cos n(r) sin + cosdndr

r + . . . (1.10)

(1.10) tgr

=1

n(r)

dn

dr

tg =r

z

z=

1

n(r)

dn

dr

tg 2r

z2=

1

n(r)

dn

dr(1.11)

U slucaju da debljina sloja r na kome se svetlost prelama tezi 0, uvrstavajucigranicnu vrednost leve strane izraza (1.11) dobijamo diferencijalnu jednacinukoja opisuje prostiranje svetlosnog zraka kroz svetlovod:Amennyiben r (annak a retegnek a vastagsaga amelyen megtorik a fenysugar)0-hoz tart, vegyuk a (1.11) kifejezes baloldalanak a hatarerteket, es megkapjuka fenyvezetoben terjedo fenysugar terjedesenek a differencialegyenletet:

d2r

dz2=

1

n(r)

dn

dr(1.12)

Resenje jednacine (1.12) je r(z), sto je udaljenost svetlosnog zraka od optickeose u tacci z.A (1.12) egyenlet megoldasa r(z), ami a fenysugar tavolsaga az optikai tenge-lytol a z pontban.

1.2.1 Primer / Pelda

Neka je svetlovod poluprecnika r0 izradjen od materijala ciji se indeks prela-manja svetlosti menja po zakonu:Tetelezzuk fol, hogy az r0 sugaru fenyvezeto toresmutatoja a kovetezo modonfugg a fenyvezeto tengelyetol mert tavolsagtol:

n(r) = n0

(1 ar

2

2

)(1.13)

10 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

gde smo pretpostavili da vaziar202 1.

ahol folteteleztuk, hogyar202 1.

n

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

0 1 1.5 2

n(r)

0.5r

Figure 1.4: Zavisnost indeksa prelamanja od r. A toresmutato r-fuggese.n0 = 1.4, a = 0.1.

dn

dr= n0ar

1

n(r)

dn

dr= ar

1 ar22

ar (1.14)

Na osnovu jendnacine (1.14) jednacina koja opisuje prostiranje svetlosnogzraka u tankom svetlovodu je:A (1.14) egyenlet alapjan a vekony fenyvezetoben terjedo fenysugar egyen-lete:

d2r

dz2+ ar = 0 (1.15)

cije resenje je (vidi sliku 1.5):melynek megoldasa (ld. a 1.5. abrat):

r(z) = A cos(

az)

+B sin(

az)

(1.16)

1.2. SVETLOVOD / FENYVEZETO 11

Lako je uvideti da je a kvadrat talasnog broja.Konnyen belathato, hogy a a hullamszam negyzete.Znacenje konstanti A i B mozemo odrediti iz pocetnih uslova.

r

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20

r(z)

z

Figure 1.5: Putanja svetlosnog zraka u svetlovodu. A fenysugarfenyvezetobeli palyaja. A = 0.2, B = 1.

Az A es B allandok jelenteset a kezdeti foltetelek alapjan hatarozhatjuk meg.

r(0) = A,dr(0)

dz= Ba (1.17)

tj. A je pocetna udaljenost svetlosnog zraka od ose svetlovoda, a Ba je

tangens ugla koji u pocetnoj tacci svetlosni zrak zaklapa sa osom svetlovoda.vagyis A a fenysugar kezdeti tavolsaga a fenyvezeto tengelyetol, mg B

a a

kezdeti pontban a fenysugar es a fenyvezeto tengelye kozotti szog tangense.

Zadatak / Foladat

Resenje jednacine (1.15) je moguce napisati (i) u obliku:A (1.15) egyenlet megoldasa folrhato a kovetkezo alakban (is):

r(z) = A cos(

az + )

(1.18)

Odredite znacenje konstanti A i .Hatarozza meg az A es allandok jelenteset.

12 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

1.3 Gausova optika

Gauss-fele optika

Posmatrajmo socivo, i opisimo prostiranje svetlosnih zraka kao transforma-ciju ulaznih podataka u izlazne, pi = T (pu).Vizsgaljuk meg a lencse fenytoreset, rjuk fel a fenysgarak terjedeset mint abemeno adatok transzformacioit kimeno adatokka, ak = T (ab).Paraksijalna aproksimacija znaci da posmatramo samo svetlosne zrake bliskeoptickoj osi. To znaci da su svi uglovi mali, odnosno da su sve tacke blizuopticke ose. Nadalje pretpostavljamo da je debljina sociva svuda prbliznoista.A parakszialis kozeltes (approximacio) azt jelenti, hogy azokat a fenysuga-rakat vesszuk figyelembe amelyek kozel vannak az optikai tengelyhez. Ez aztjelenti, hogy az osszes szoget kicsinek tekintjuk, hogy az osszes pont kozel vanaz optikai tengelyhez, illetve, hogy a lencse vastagsaga kozeltoleg allando. je ugao koji svetlosni zrak zaklapa sa optickom osom, r1 i r2 su poluprecnicikrivina povrsina sociva. a fenysugar es az optikai tengely kozotti szog, r1 es r2 a lencsefeluletekgorbuleti sugarait jeloli.U tacci P1 svetlosni zrak se prelomi na prelazu iz sredine 1 u sredinu 2.Mozemo da primenimo zakon prelamanja svetlosti (1.8) u specijalnom slucajumalih upadnih i prelomljenih uglova.A P1 pontban a fenysugar megtorik a ket kozeg hataran. Alkalmazhatjuk a(1.8) fenytoresi torvenyt abban a specialis esetben amikor a beeso es a toresiszog egyarant kicsi.

1 = 1 + , 2 = 2 + (1.19)

sin =x

r110 (1.20)

n1 sin 1 = n2 sin 2 (1.21)

sin i 10 i (1.22)(1.21, 1.22, 1.20) n1

(1 +

x

r1

)= n2

(2 +

x

r1

)(1.23)

n22 = n11 +n1 n2r1

x (1.24)

x1 = x2 (1.25)

Imamo sledece ulazne velicine:

1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 13

n1 n2 n3

1

1

P1P2

=2 1

1x1 x = x

2r1

3

x3

Figure 1.6: Prelamanje svetlosti na socivu / A lencse fenytorese.

14 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

opticke osobine sredine, n1, n2, n3 oblik sociva, r1, r2, podaci o upadnom zraku, , xA kovetkezo bemeno valtozokkal van dolgunk:

a kozeg optikai tulajdonsagai, n1, n2, n3 a lencse alakja r1, r2, a bemeno fenysugar adatai

Podatke koji opisuju svetlosni zrak predstavljamo sledecim vektorom:A fenysugart lero adatokat a kovetkezo vektorral abrazoljuk:

(nx

)(1.26)

Ulazne i izlazne podatke koji opisuju svetlosni zrak povezuje matrica cijielementi zavise od oblika sociva i od optickih osobina sredine.A fenysugar bemeno es kimeno adatait egy matrix kapcsolja ossze, a matrixelemei a lencse alakjatol es a kozeg optikai tulajdonsagaitol fuggnek.U tacci P1 vaze sledece relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara:A P1 pontban a bemeno es kimeno adatok kozotti kapcsolat a kovetkezo:(

n22x2

)=

(1 n1n2

r1

0 1

)

=M1

(n11x1

)(1.27)

Izmedju tacaka P1 i P2 svetlosni zrak ne menja pravac prostiranja, menjase njegovo rastojanje od opticke ose. Vaze sledece relacije izmedju ulaznih iizlaznih parametara:A P1 es P2 pontok kozott a fenysugar nem valtoztatja a terjedesi iranyat, amivaltozik az az optkai tengelytol valo tavolsag. A bemeno es kimeno adatokkozotti kapcsolat a kovetkezo:(

n22x2

)=

(1 0n2

1

)

=M2

(n22x2

)(1.28)

1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 15

U tacci P2 vaze sledece relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara:A P2 pontban a bemeno es kimeno adatok kozotti kapcsolat a kovetkezo:(

n33x3

)=

(1 n2n3

r2

0 1

)

=M3

(n22x2

)(1.29)

Uvedimo sledece oznake: Vezessuk be a kovetkezo jelolest:

k12 =n1 n2r1

, k23 =n2 n3r2

(1.30)

Primetimo da je determinanta sve tri matrice jednaka jedinici, tako da je ideterminanta njihovog proizvoda 1.Vegyuk eszre, hogy mindharom matrix determinansa egy, ezert a szorzatukdeterminansa is 1.Matrica M koja opisuje prelamanje svetlosti na socivu je proizvod tri matrice(obratite paznju na redosled matrica u proizvodu!):A lencse fenytoreset lero M matrix folrhato mint harom matrix szorzata(vegye eszre a matrixok sorrendjet a szorzatban!):

M = M3M2M1

=

(1 k230 1

)(1 0n2

1

)(1 k120 1

)

=

1 +n2k23 k12 + k23 + k12k23

n2

n2

1 + n2k12

(1.31)=

(a bc d

)(1.32)

detM = 1 (1.33)

Velicine a, b, c i d nazivamo Gausovim parametrima sociva.Az a, b, c es d mennyisegek a lencse Gauss-parameterei.Iz (1.33) sledi da Gausovi parametri (1.32) nisu nezavisni, znajuci bilo kojatri moze se izraziti cetvrti.(1.33)-bol kovetkezik, hogy a Gauss-parameterek (1.32) nem fuggetlenek,barmely harom ismereteben meghatarozhato a negyedik.Postavimo predmet na rastojanju l1 od sociva. Socivo ce prelomiti svetlosnezrake koje dolaze sa predmeta i stvorice sliku ili lik predmeta na rastojanju

16 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

l3 od sociva.Helyezzunk el egy targyat l1 tavolsagra a lencsetol. A lencse megtori atargyrol jovo fenysugarakat es a lencsetol l3 tavolsagban megalkotja a targykepet.Opisimo opticku transformaciju predmeta u njegov lik. Koordinatni pocetakopticke ose je unutar sociva.Irjuk le a targy-kep optikai transzformaciot. Az optikai tengely origoja alencseben van.

n1 n2 n3

l l

h h1

3

3

1

Figure 1.7: Socivo, predmet (razmera h1, na rastojanju l1) i lk (razmera h2,na rastojanju l2). Lencse, (h1 meretu) targy (l1 tavolsagon) es (h2 meretu)kep (l2 tavolsagon).

1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 17

(n33h3

) lk / kep

=

(1 0l3n3

1

) od socivalencsetol

(a bc d

)

socivolencse

(1 0 l1n1

1

)

do socivalencseig

(n11h1

)

predmet / targy

(1.34)

(n33h3

)=

a b l1n1 b l1n1

(d+ b l3

n3

)+ c+ a l3

n3b l3n3

+ d

=T

(n11h1

)(1.35)

Na osnovu jednacine (1.35) napisimo eksplicitno odnos izmedju velicina h1 ih3.Az (1.35) egyenlet alapjan rjuk le a h1 es h3 mennyisegek kozti kapcsolatot.

h3 =

[ l1n1

(d+ b

l3n3

)+ c+ a

l3n3

]n11 +

[bl3n3

+ d

]h1 (1.36)

Uvecanje sociva se definise kao: / A lencse nagytasa:

N =h3h1

=

[ l1n1

(d+ b

l3n3

)+ c+ a

l3n3

]

=0

n11h1

+

[bl3n3

+ d

](1.37)

Uslov za postojanje ostre slike je da uvecanje ne zavisi od ugla pod kojimzrak sa predmeta pada na socivo.Az eles kep letezesenek foltetele, hogy a nagytas ne fuggjon a targyrol alencsebe erkezo fenysugar szogetol.Dalje, znamo da je determinanta matrice T jednaka 1 i da je jednaka proizvoduelemenata na dijagonali. Iz jednacine (1.36) znamo da je element u donjemdesnom uglu uvecanje sociva. Iz navedenih cinjenica sledi da matricu Tmozemo da napisemo kao:Tudjuk, hogy a T matrix determinansa 1 es, hogy egyenlo az atlon levo ele-mek szorzataval. Az (1.36) egyenlet alapjan tudjuk, hogy a matrix jobb alsosarkaban levo elem a lencse nagytasa. Mindezek alapjan a T matrixot akovetkezo alakban rhatjuk:

T =

(1N

b0 N

)(1.38)

18 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

1.3.1 Kardinalni elementi socivaA lencse kardinalis elemei

Veza izmedju uvecanja sociva i Gausovih parametara je sledeca:A lencse nagytasa es a Gauss-parameterek kozotti kapcsolat a kovetkezo:

1

N= a b l1

n1, N = b

l3n3

+ d (1.39)

Glavne ravni / Foskok

Nadjimo ravan koja se preslika kroz socivo bez uvecanja, N = 1. Iz jednacina(1.39) nalazimo:Talaljuk meg azt a skot amelyik nagytas nelkul vetul at a lencsen, N = 1.Az (1.39) egyenletek alapjan:

l1 =n1b

(a 1), l3 = n3b

(1 d) (1.40)

Fokalne-zizne ravni / Fokalis skok

Jedna zizna ravan je odredjena uslovom 1N

= 0, a druga uslovom N = 0. Naosnovu jednacina (1.39) nalazimo:Az egyik fokalis skot az 1

N= 0-, a masikat pedig az N = 0 foltetel hatarozza

meg.

N = 0 = a blf1n1 lf1 = n1

a

b(1.41)

N = 0 0 = blf3n3

+ d lf3 = n3d

b(1.42)

Zizno rastojanje je po definiciji: / A fokusztavolsag defincio szerint:

f1 = lf1 l1 =n1b

(1.43)

f3 = lf3 l3 = n3b

(1.44)

Ukoliko je n1 = n3, nalazimo znacenje parametra b, to je dioptrija, tj. optickamoc sociva. Sto je dioptrija sociva veca, tim se vise menja pravac svetlosnogzraka prilikom prolaska kroz socivo.

1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 19

Amennyiben n1 = n3, konnyen ertelmezzuk a b parametert, az a dioptria. Adioptria egy lencse optikai torokepesseget meri, minel nagyobb a lencse diop-triaja, a lencsen athalado fenysugar annal inkabb megvaltoztatja a haladasiiranyat.

Koristeci metode Gausove optike i paraksijalnu aproksimaciju moguce jeresiti problem prostiranja svetlosnog zraka kroz bilo koji osno simetricniopticki sistem.A Gauss-optika modszereit- es a parakszialis kozeltest hasznalva barmilyentengelyszimmetrikus optikai rendszerben megoldhato a fenysugar terjedeseneka problemaja.

1.3.2 Socivo, drugi put / Lencse, masodszor

Mozemo da resimo problem prelamanja svetlosnog zraka na socivu i egzaktno.Pontosan is meghatarozhatjuk a lencse fenytoreset.Koristeci jednacine (1.19, 1.20) i (1.21) u tacci P1, (slika 1.6) nalazimo:Az (1.19, 1.20) es (1.21) egyenletek alapjan a P1 (1.6-as abra) pontban afenytores:

2 = arcsin(n1n2

sin(1 + arcsin

x1r1

)) arcsin x1

r1(1.45)

1.3.3 Predznaci / Elojelek

U primenama moramo paziti na znacenje predznaka. Ukoliko je povrsinasociva u odnosu na pravac prostiranja svetlosnog zraka konveksna, poluprec-nik krivine sociva je pozitivan, u surotnom slucaju je negativan. Indeksprelamanja ogledala je jednak negativnom indeksu pelamanja sredine ispredogledala. Ukoliko se svetlosni zrak odbije npr. od povrsine ogledala i krecese u suprotnom pravcu, odgovarajuce predjeno rastojanje je negativno.Az alkalmazasokban figyelembe kell venni az elojelek jelenteset. Amenny-iben a fenysugar haladasi iranyabol nezve a lencse felulete domboru, annakgorbuleti sugara pozitv, fordtott esetben negatv. Egy tukor toresmutatojamegegyezik a tukor elotti kozeg toresmutatojanak negatv ertekevel. Ameny-nyiben a fenysugar visszaverodik, pl. egy tukortol es visszafele kezd haladni,a megfelelo-megtett tavolsag negatv lesz.

20 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

Zadatak / Foladat

Znajuci ugao pod kojim svetlosni zrak pada na socivo i njegovu udaljenostod opticke ose u tacci u kojoj ulazi u socivo odredite udaljenost svetlosnogzraka od opticke ose u tacci u kojoj svetlosni zrak izlazi iz sociva.Ismerven a fenysugar beesesi szoget es azt az optikai tengelytol mert tavolsagotamelyen a fenysugar behatol a lencsebe, hatarozza meg azt az optikai tenge-lytol mert tavolsagot amelyen a fenysugar elhagyja a lencset.

Resenje / Megoldas

Tacke na povrsini sociva leze na dve sfere ciji su centri su na medjusobnomrastojanju r1 + r2 , (slika 1.6).Tacka P1 ima koordinate (z1, x1) a tacka P2 ima koordinate (z2, x2).A P1 pont koordinatai (z1, x1), a P2 pont koordinatai (z2, x2).A lencse feluleten levo pontok ket olyan gomb feluleten vannak amelyekkozeppontjai egymastol r1 + r2 tavolsagon vannak (1.6 abra).Takodje vazi jednakost: / Tovabba igaz, hogy:

tg2 =x2 x1z2 z1 (1.46)

gde smo pretpostavili da se opticka osa poklapa sa z osom koordinatnogsistema. Neka je centar druge sfere u koordinatnom pocetku. U presekusfera sa xz ravni imamo:ahol folteteleztuk, hogy az optikai tengely megegyezik a z koordinata tengely-lyel. Legyen a masodik gomb kozeppontja az origoban. A gombok es az xzsk metszeteben igaz, hogy:

z22 + x22 = r

22, (z1 u)2 + x21 = r21, u = r1 + r2 (1.47)

Na osnovu jednacina (1.46) i (1.47) nalazimo (kvadratnu) jednacinu cijeresenje (koje?) odredjuje x2:Az (1.46) es (1.47) egyenlet alapjan meghatarozhatjuk azt a masodfokuegyenletet, amelynek (melyik?) megoldasa x2:

(1 + tg 22)x22 2

(x1 + tg2

(r1 + r2 +

r21 x21

))x2

+y21 + tg22

(r1 + r2 +

r21 x21

)2+2x1tg2

(r1 + r2 +

r21 x21

) r22tg 22 = 0 (1.48)

1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 21

1.3.4 Jednacina sociva / Lencseegyenlet

Neka se ispred i iza sociva nalaze sredine sa istim indeksom prelamanja n1,r1 i r2 su poluprecnici krivine, a je debljina sociva. Relativan indeks prela-manja sociva je n2,1 =

n2n1

. Znajuci znacenje Gausovog parametra b, (1.43,1.44), definiciju dioptrije, i vezu parametra b sa geometrijom sociva (1.31,gornji desni ugao matrice) i indeksima prelamanja, uvrstavanjem nalazimojednacinu (debelog) sociva.Legyenek a lencse elotti es mogotti kozegek toresmutatoi egyenlok n1-el. Alencse gorbuleti sugarai r1 es r2, a lencse vastagsaga . A lencse relatvtoresmutatoja n2,1 =

n2n1

. Ismerve a dioptria definciojat, a b Gauss-parameterjelenteset (1.43, 1.44), es kapcsolatat a lencse alakjaval es a toresmutatokkal(1.31, matrix jobb folso sarka), egyszeru behelyettestessl megkaphatjuk a(vastag) lencse egyenletet.

1

f= (n2,1 1)

(1

r1+

1

r2+

(n2,1 1)n2,1r1r2

)(1.49)

Sledeca jednacina vazi za sociva i ogledala. Neka je f zizna daljina sociva, pudaljenost predmeta a l udaljenost lika.

1

f=

1

p+

1

l(1.50)

A kovetkezo egyenlet egyarant igaz lencsekre es tukrokre. Legyen f a lencsefokusztavolsaga, t a targytavolsag es k a keptavolsag.

1

f=

1

t+

1

k(1.51)

22 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA

Chapter 2

Talasna optika / Hullamoptika

2.1 Elektromagnetni talasi

Elektromagneses hullamok

Amplituda ravnog talasa koji se krece ka pozitivnom kraju x ose je data ujednacini (2.1).Az x tengely pozitv vege fele halado skhullam amplitudoja a (2.1)-es egyen-letben van megadva.

E(x, t) = E0 cos(t kx+ ) = E0Re (exp(t kx+ ))= Re (E0 exp(t kx+ )) (2.1)

je kruzna frekvencija talasa / a hullam korfrekvenciaja.

= 2pi =2pi

T(2.2)

k je talasni broj / k a hullamszam.

k =2pi

(2.3)

je pocetna faza / a kezdeti fazis. je faza talasa / a hullam fazisa.

= t kx+ (2.4)

23

24 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

Figure 2.1: Podela i osobine elektromagnetnih talasa. Az elektromagneseshullamok osztalyozasa es alaptulajdonsagaik. [5]

I(x, t) = E(x, t)E(x, t) je intenzitet svetlosti / a feny intenzitasa.Intenzitet svetlosti u nekoj tacci je proporcionalan gustini energijeelektormagnetnog talasa u toj tacci. Potencijalna energija (tacnijegustina potencijalne energije u datoj tacci) EM talasa je proporcionalnakvadratu amplitude talasa U E2, a kineticka energija (tacnije gustinakinetice energije u datoj tacci) je proporcionalna kvadratu izvoda am-plitude po vremenu, Ek E2 = 2E2, te je gustina ukupne energijetalasa proporcionalna kvadratu amplitude, to jest intenzitetu.A feny intenzitasa egy adott pontban aranyos az elektormagneses hullamenergiasurusegevel ugyanabban a pontban. Az elektormagneses hullamhelyzeti energiaja (pontosabban annak surusege az adott pontban) a-ranyos az amplitudo negyzetevel, U E2, a mozgasi energiaja (pon-tosabban annak surusege az adott pontban) pedig aranyos az ampli-tudo idoszerinti derivaltjanak a negyzetevel, Ek E2 = 2E2, azaz ahullam ossz energia surusege az amplitudo negyzetevel aranyos, vagyisaz intenzitassal.

I(x) = I(x, t) je prosecni intenzitet svetlosti / I(x) = I(x, t) a fenyatlagos intenzitasa. oznacava usrednjavanje po vremenu / az ido szerinti atlagolastjeloli.

2.1. EM TALASI / EM HULLAMOK 25

Figure 2.2: Osnovna podela elektromagnetnih talasa. Az elektromagneseshullamok alaposztalyozasa. [6]

26 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

cos(0.2t0.5x)

0 2

4 6

8 10t 0

2 4

6 8

10

x

10.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

E(x,t)10.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos(tx)

0 2

4 6

8 10t 0

2 4

6 8

10

x

10.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

E(x,t)10.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

cos(2t3x)

0 2

4 6

8 10t 0

2 4

6 8

10

x

10.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1

E(x,t)10.80.60.40.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 2.3: Primeri ravnih harmonijskih elektromagnetnih talasa, E0 = 1.Sk harmonikus elektromagneses hullamok peldai, E0 = 1.

2.2. IZBIJANJE / LEBEGES 27

Brzina elektromagnetnog talasa je odredjena relacijama (2.5). Brzinasvetlosti u vakuumu je c = 108m/s.Az elektromagneses hullam sebesseg et a (2.5) osszefuggesek hatarozzakmeg. A fenysebesseg vakuumban c = 108m/s.

v =

T= =

2pi2pi

=

k(2.5)

Kada koristimo izraz intenzitet svetlosti u najvecem broju slucajeva mislimona prosecan intenzitet.Amikor az intenzitas kifejezest hasznaljuk, az esetek donto tobbsegeben azatlagos intenzitasra gondolunk.

2.1.1 Zadatak / Foladat

Izracunajte brzine talasa i odgovarajuce indekse prelamanja svetlosti iz primeraprikazanog na slici Fig. 2.3. Brzine talasa ce biti neuobicajeno male, a vred-nosti indeksa prelamanja ce biti neuobicajeno velike, ali ne i nemoguce!Szamolja ki a Fig. 2.3. abran szemleltetett skhullamok sebessegeit es amegfelelo toresmutatokat. A sebesseg ertekei meglepoen kicsik lesznek, atoresmutatoke meglepoen nagyok, de ezek az ertekek nem lehetetlenek!

2.2 Izbijanje / Lebeges

Razmotrimo superpoziciju dva ravna talasa jednakih amplituda i razlicitihfrekvencija, odnosno talasnih duzina koji osciluju duz istog pravca.Vizsgaljuk meg ket skhullam szuperpoziciojat amelyek amplitudoja egy-forma, de a frekvenciajuk es hullamhosszuk nem.

E1 = E0 cos(1t k1x) (2.6)E2 = E0 cos(2t k2x) (2.7)E = E1 + E2

=14 2E0 cos

((1 + 2)t (k1 + k2)x

2

)

cos

((1 2)t (k1 k2)x

2

)

28 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

= 2E0 cos

(t

2 kx

2

)

Obvojnica - Burkolo

cos (t kx) (2.8)

=2.5 2E0 cos(1 + 2

2

(t x

v

))cos

(1 2

2

(t x

v

))(2.9)

2 cos(0.25t0.5x) cos(2t3x)

0 5

10 15

20t 0 5

10 15

20

x

21.5

10.5

0 0.5

1 1.5

2

E(x,t)21.510.5 0 0.5 1 1.5 2

Figure 2.4: Izbijanje. Lebeges.

2.3. STOJECI TALASI / ALLOHULLAMOK 29

2 cos(0.25t0.5x)

0 5

10 15

20t 0 5

10 15

20

x

21.5

10.5

0 0.5

1 1.5

2

E(x,t)21.510.5 0 0.5 1 1.5 2

Figure 2.5: Obvojnica - sporo promenljivi deo talasa. Burkolo - a hullamlassan valtozo resze.

2.3 Stojeci talasi / Allohullamok

Neka se duz x ose u jednom pravcu prostire talas amplitude E1 a u suprotnompravcu talas amplitude E2.Az x tengely menten egy iranyban E1 amplitudoju-, az ellentetes iranybanpedig E2 hullam terjed.

E1 = E0 cos(t kx), E2 = E0 cos(t+ kx+ ) (2.10)E = E1 + E2

=14 2E0 cos

(kx+

2

)

prostorno modulirana amplitudaterben modulalt amplitudo

cos

(t+

2

)(2.11)

Kao rezultat superopozicije dobili smo stojeci talas.A szuperpozcio eredmenye allohullam.Cvorovi stojeceg talasa se nalaze u tackama gde je maksimalna amplituda 0.

30 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

Az allohullam csomoi azokban a pontokban vannak, ahol a maximalis am-plitudo 0.

cos

(kx0 +

2

)= 0 kx0 +

2=pi

2(2m+ 1)

x0 =1

2k(pi(2m+ 1) ) =

4pi(pi(2m+ 1) ) (2.12)

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

10 5 0 5 10

00+pi

pi+pi/43pi/8

pi+3pi/89pi/16

pi+9pi/168,5pi/16

pi+8,5pi/16

pi/4

Figure 2.6: Stojeci talas, prikazan za razne vrednosti t+ 2. Na slici se jasno

vide cvorovi talasa. Allohullam amplitudoja t+ 2

kulolnbozo ertekeire. Azabran egyertelmuen lathatok az allohullam csomoi.

2.3. STOJECI TALASI / ALLOHULLAMOK 31

0

2

4

6

8

10

x

0

5

10

15

t

-1

-0.5

0

0.5

1

A

0

2

4

6

8

10

x

Figure 2.7: Stojeci talas. Uz izvestan napor na slici se vide cvorovi talasa kaoprave linije normalne na x osu. Allohullam amplitudoja. Nemi erofesztesselaz abran egyertelmuen lathatok az allohullam csomoi mint az x tengelyremeroleges egyenesek.

32 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

1 0

1

0 2

4 6

8 10t 0

2 4

6 8

10

x

21.5

10.5

0 0.5

1 1.5

2

E(x,t)

2cos(t+1)cos(x+1)

Figure 2.8: Stojeci talas jos jednom, prikazane su konturne linije. Ljubicasteprave linije normalne na x osu odgovaraju cvorovima talasa. Allohullammegegyszer, fol vannak tuntetve a szintvonalak. Az x tengelyre merolegeslila egyenesek felelnek meg a csomopontoknak.

2.4. POLARIZACIJA POLARIZACIO 33

2.4 Polarizacija

Polarizacio

Dva ravna talasa osciluju normalno jedan na drugi.Ket skhullam egymasra merolegesen oszcillal.Neka je deo faze talasa koji zavisi od frekvencije i talasne duzine.Legyen a hullam fazisanak a frekvencia- es hullamhossz-fuggo resze.Prvi talas osciluje u ravni xz, a drugi u ravni yz. Rezultujuci talas se kreceduz z ose.Az elso hullam az xz skban-, a masodik pedig az yz skban oszcillal. Azeredo hullam a z tengely menten halad.

E1,xz = E10 cos() (2.13)

E2,yz = E20 cos( + ) (2.14)

Iz (2.13) nalazimo / (2.13)-bol kifolyolag

cos =E1,xzE10

(2.15)

Na osnovu (13) transformisimo (2.14) / (13) alapjan rjuk fol (2.14)-t mint

E2,yzE20

= cos cos sin sin= cos cos

1 cos2 sin

=E1,xzE10

cos1 (E1,xz

E10

)2sin (2.16)

E2,yzE20

E1,xzE10

cos =

1 (E1,xzE10

)2sin

/2

(E2,yzE20

)2 2E2,yz

E20

E1,xzE10

cos+(E1,xzE10

cos)2

=

(1

(E1,xzE10

)2)sin2

(E2,yzE20

)2 2E2,yz

E20

E1,xzE10

cos+(E1,xzE10

)2 (cos2 + sin2

)

=1

= sin2

(E2,yzE20

)2 2E2,yz

E20

E1,xzE10

cos+(E1,xzE10

)2= sin2 (2.17)

34 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

Dobili smo elipticki polarizovan talas. (2.17) je jednacina elipse koja je zaroti-rana za ugao u odnosu na vertikalnu osu.Az eredmeny egy elliptikusan polarizalt hullam. (2.17) egy a fuggoleges ko-ordinatatengelyhez viszonytva szoggel elfordtott ellipszis egyenlete.

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

Figure 2.9: Elipticka polarizacija. Elliptikus polarizacio.

2.4.1 Zadatak / Foladat

Diskutujte razne vrednosti fazne razlike u (2.17).Elemezze a faziskulonbseg kulonbozo ertekeit (2.17)-ban.

2.5. INTENZITET SVETLOSTI / FENYINTENZITAS 35

2.5 Intenzitet svetlosti / Fenyintenzitas

Frekvencija vidljive svetlosti je reda velicine 1015 Hz. Da bi smo bili umogucnosti da merimo trenutnu vrednost amplitude elektromagnetnog ta-lasa, mora li bi da raspolazemo instrumentom koji moze da prati mereni sig-nal, tj. koji je u stanju da osciluje frekvencijom koja ima bar istu frekvencijukao i svetlost. Takvi uredjaji ne postoje. Ako je signal brzi nego instrumentkoji ga meri, onda uredjaj meri srednju vrednost signala u nekom vremen-skom intervalu. Posto se elektromagnetni talasi cesto menjaju po harmoni-jskom zakonu, srednja vrednost merenog signala jako (tacnije neverovatno)brzo tezi nuli. Znaci kada registrujemo svetlost mi merimo nesto drugo, ato je srednja vrednost kvadrata amplitude - intenzitet svetlosti. U daljemcemo koristiti cinjenicu da je srednja vrednost kvadrata kosinusa (sinusa) uintervalu duzine pi jednaka 1

2.

A lathato feny frekvenciaja 1015 Hz nagysagrendu. Ahhoz, hogy merhessukaz elektromagneses hullam amplitudojanak pillanatnyi erteket, olyan mero-berendezessel kellene rendelkeznunk, amely legalabb olyan frekvencian tudoszcillalni mint a feny. Ilyen meroberendezes nem letezik. Amennyiben amert jel gyorsabban valtozik mint a meromuszer allapota, a meromuszernem a jelet, hanem annak egy idointervallumbeli atlagat meri. Mivel azelektromagneses hullamok gyakorta harmonikus torveny szerint valtoznak,ezert a mert jel atlaga nagyon (pontosabban hihetetlenul) gyorsan tart anullahoz. Tehat amikor fenyt erzekelunk, akkor nem az amplitudot, hanemvalami mast erzekelunk. Ez a valami az amplitudo negyzetnek idobeli atlaga- a fenyintenzitas. A tovabbiakban gyakran hasznaljuk azt a tenyt, hogya koszinusz (sznusz) negyzetenek atlaga pi hosszusagu intervallumon 1

2.

= t kx+ (2.18)E(x, t) = E0 cos , I(x, t) = E

2(x, t) = E20 cos2 (2.19)

It = E20 cos2 = E20 cos2 = 1

2

=E202

(2.20)

36 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

cos(x)cos^2 (x)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4 2 0 2 4

Figure 2.10: cos(x), cos2(x).

2.6 Interferencija/Interferencia

Interferencija se javlja ukoliko su izvori svetlosti koherentni, tj. ukoliko je ra-zlika faza dvaju (ili vise) talasa konstantna velicina. Koherenciju nije mogucepostici u slucaju nezavisnih izvora svetlosti. Zato se elektromagnetni talasiz jednog izvora deli ili takoreci ,umnozava na razne nacine, da bi se dobilovise koherentnih talasa. Moze se deliti intenzitet ili front talasa.Interferencia akkor lep fel, amikor a fenyforrasok koherensek, azaz a ket(vagy tobb) hullam faziskulonbsege allando mennyiseg. A koherencia nemlehetseges egymastol fuggetlen fenyforrasok eseten. Ezert az egy fenyforrasbolszarmazo elektromagneses hullamot ugymond megosztjuk ,megtobszorozzuk,hogy egymassal koherens hullamokat kapjunk. Az intenzitas es a front osztasaegyarant lehetseges.

Primeri interferencije su prikazani na slici 2.11. Az interferencia nehanykiserleti peldaja a 2.11 abran lathato.

Polaznu tacku za trazenje informacija o interferenciji mozete naci ovde [2].Az interferencia targyu kereses egyik kezdopontja itt talalhato [2].

Odredimo intenzitet svetlosti u slucaju dva ravna talasa cija je fazna razlika.Hatarozzuk meg a feny intenzitasat ket skhullam eseten, amennyiben a

2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 37

Figure 2.11: Primeri interferencije talasa. Az interferencia megvalostasanaknehany peldaja.

38 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

faziskulonbseguk .

E = E0 cos(t kx+ =

) = Re(E0 exp(i)) (2.21)

I = Re(E)Re(E) = E20cos2 =1

2Re(EE) =

1

2E20 (2.22)

Ei = Ei0 cos i, Ii = 12E2i0, i = 1, 2; 2 1 = (2.23)

E = E1 + E2 (2.24)

I = Re(E1 + E2)Re(E1 + E2) = 12

Re((E1 + E2)(E1 + E2))

=1

2Re(E10E10) +

1

2Re(E20E20) +

1

2Re(E10E20) +

1

2Re(E20E10)

= I1+ I2+ 12E10E20 {Re [exp (i(2 1))] + Re [exp (i(2 1))]}

= I1+ I2+ 12E10E202 cos

= I1+ I2+ 2I1I2 cos (2.25)

Ako je prethodni dokaz isuvise apstraktan, rezultujuci intenzitet se mozeizracunati i drugacije.Ha az elozo bizonytas tulsagosan elvont (lenne), az eredo intenzitast maskeppenis ki lehet szamolni.

I = (E1 + E2)2 = E21 + E22 + 2E1E2= E210cos2 1+ E220cos2 2+ 2E10E20cos 1 cos 2= I1+ I2+ 2E10E20cos 1 cos(1 + )= I1+ I2+ 2E10E20cos 1(cos 1 cos sin 1 sin )= I1+ I2+ 2E10E20(cos cos2 1

= 12

sin cos 1 sin 1 =0

)

= I1+ I2+ E10E20 cos = I1+ I2+ 2

I1I2 cos (2.26)

Uslov konstruktivne interferencije, maksimuma intenziteta, pojave svetle prugeje dat jednacinom (2.27).A konstruktv interferencia foltetelet, az intenzitas maximumat, a vilagos

2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 39

csk megjelenesenek foltetelet a (2.27)-es egyenlet adja meg.

cos = 1 I = Imax = I1 + I2 + 2I1I2 (2.27)

Uslov destruktivne interferencije, minimuma intenziteta, pojave tamne prugeje dat jednacinom (2.28).A destruktv interferencia foltetelet, az intenzitas minimumat, a sotet cskmegjelenesenek foltetelet a (2.28)-es egyenlet adja meg.

cos = 1 I = Imin = I1 + I2 2I1I2 (2.28)

Vidljivost je odredjena kontrastom izmedju svetlih i tamnih linija, (2.29).A lathatosagot a vilagos es sotet cskok kozotti kontraszt hatarozza meg,(2.29).

C =Imax IminImax + Imin

=2I1I2

I1 + I2(2.29)

12

1 0.8

0 2

4 6

8 10I 0

2 4

6 8

10 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

C

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I

0.6 0.4 0.2

Figure 2.12: Vidljivost, Lathatosag

40 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

2.6.1 Jangov eksperimentYoung-fele kserlet

Prorezom smatramo otvor koji je tako uzan, da iz njega ne mogu da izadjudva paralelna svetlosan zraka. Prorez se ponasa kao tackast izvor svetlosti.A res olyan szuk nylas, amelybol ket kulonbozo fenysugar nem tud egymassalparhuzamosan kilepni. A res pontszeru fenyforraskent viselkedik.Proucimo slucaj dva proreza na medjusobnom rastojanju d. Pretpostavimoda je rastojanje izmedju proreza i reflektujuceg sloja l, (videti sliku 2.13).Vizsgaljuk meg ket, egymastol d tavolsagban levo res esetet. Tetelezzuk fol,hogy a resek es a fenyvisszavero felulet kozotti tavolsag l, (ld. a 2.13. abrat). oznacava razliku optickih puteva svetlosnih zraka koji prolaze kroz proreze1 i 2. az 1-es es 2-es resen athalado fenysugarak optikai uthosszainak kulonbsegetjeloli.

= l2 l1 =l2 + (x+ d

2

)2l2 + (x d

2

)2

= l

1 +

(x+ d

2

)2l2

1 +

(x d

2

)2l2

11 l

1 +(x+ d

2

)22l2

1 +

(x d

2

)22l2

=1

2l

(x+ d2

)2(x d

2

)2=

dx

l(2.30)

= k (2.31)

oznacava faznu razliku zraka 1 i 2. az 1-es es 2-es sugarak kozotti faziskulonbseget jeloli.Na osnovu (2.25, 2.27) uslov pojave svetle pruge je dat jednacinom (2.32).(2.25, 2.27) alapjan a vilagos csk megjelenesenek foltetelet a (2.32) egyenletadja meg.

2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 41

l

dx

l

l 2

1P

Figure 2.13: Jangov interferometar/Young-fele interferometer

= 2mpi,2pi

dx

l= 2mpi (2.32)

Na osnovu (2.25, 2.28) uslov pojave tamne pruge je dat jednacinom (2.33).(2.25, 2.28) alapjan a sotet csk megjelenesenek foltetelet a (2.33) egyenletadja meg.

= (2m+ 1)pi,2pi

dx

l= (2m+ 1)pi (2.33)

Izgled interferencionih pruga u Jangovom eksperimentu mozete videti naslici 2.14.A Yang-fele intereferencios cskok a 2.14 abran lathatok.

2.6.2 Jangov eksperiment sa vise prorezaYoung-fele kserlet tobb ressel

U slucaju da imamo N > 2 proreza koji su na istovetnom medjusobnom ras-tojanju, fazna razlika dva svetlosna zraka koji dolaze iz uzastopnih prorezaiznosi (videti (2.31)), kao i u slucaju interferencije na dva otvora.

42 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

10 5 0 5 106

4

2

0

2

4

6

x

y 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Figure 2.14: Interferencione pruge u Jangovom eksperimentu. Yang-fele in-tereferencios cskok.

Amennyiben nem ketto, hanem N > 2 egymastol egyforma tavolsagbanlevo ressel van dolgunk, a ket egymast koveto resen athalado fenysugarakfaziskulonbsege , (ld. (2.31)), ugyanugy mint a ket resen torteno interfer-encia eseten.

Rezultujucu jacinu elektricnog polja mozemo predstaviti kao zbir ge-ometrijskg reda, svaki clan reda se od prethodnog clana razlikuje za istu fazu.Az eredo elektromos tererosseget egy geometriai sor osszegekent abrazolhatjuk.Az osszeg minden egyes tagjanak a fazisa allando faziskulonbsegu a sor elozotagjahoz viszonytva.

E = E0 + E0 exp(i) + E0 exp(2i) + . . .+ E0 exp(Ni)

= E0 (1 + exp(i) + exp(2i) + . . .+ exp(Ni)) (8)

2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 43

= E01 exp(iN)1 exp(i) = E0

exp( iN2

)

exp( i2

)

2i sin(N2 ),(7) exp

(iN

2

) exp

(iN

2

)

exp

(i

2

) exp

(i

2

)

2i sin( 2),(7)

= E0exp( iN

2)

exp( i2

)

sin(N2

)sin

(2

) (2.34)Za intenzitet interferencionih pruga dobijamo:

Az interferencios cskok intenzitasa:

I() = EE = I0sin2

(N2

)sin2

(2

) (2.35)Grafik funkcije intenziteta svetlosti (jednacina (2.35)) je predstavljen na

slici 2.15:A feny intenzitasat ((2.35) egyenlet) a 2.15 abran lehet latni.

Intenzitet svetlosti je uvek konacan! Za vrednost fazne razlike = 2pimgde je m ceo broj primenom Lopitalovog pravila (21) nalazimo:Az intenzitas mindeg veges! A faziskulombseg = 2pim ertekeire ahol megesz szam, Lopital-szabalyt alkalmazva (21):

lim2mpi

I() = I0 lim2mpi

sin(N2

)sin

(2

)2

= I0

lim2mpi

sin(N2

)sin

(2

)2 = I0

lim2mpi

cos(N2

)N2

cos(2

)12

2

= N2I0 (2.36)

U praksi razlikovanje primarnih i ostalih maksimuma intenziteta nije jed-nostavno, potrebna je velika moc razlucivanja, (videti sliku 2.16 i uporeditesa slikom 2.15).A gyakrolatban eleg nehez az elsodleges es sokadlagos maximumok szetva-lasztasa, ez csak nagy felbontokepessegu muszerekkel lehetseges, (lasd a 2.16abrat es vesd ossze a 2.15 abraval).

44 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

0

5

10

15

20

25

4 2 0 2 4

N=2N=3N=4N=5

Figure 2.15: sin2(N)/ sin2

2.6.3 Interferencija na planparalelnom slojuInterferencia planparalell retegen

Razmotrimo interferenciju na planparalelnom sloju indeksa prelamanja n2 idebljine d, u sredini sa indeksom prelamanja n1.Vizsgaljuk meg az n2 toresmutatoju, d vastagsagu planparalell lemezen tortenointerferenciat n1 toresmutatoju kozegben.Razliku optickih puteva oznacimo sa .Az optikai uthosszak kulonbseget -val jeloljuk.

= 2n2s2 n1s1 (2.37)sin

sin =

n2n1

(2.38)

cos =d

s2 s2 = d

cos =

d1 sin2

(2.39)

2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 45

10 5 0 5 106

4

2

0

2

4

6

0 1 2 3 4 5 6

10 5 0 5 106

4

2

0

2

4

6

0 2 4 6 8 10 12

10 5 0 5 106

4

2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25

Figure 2.16: Intenziteti svetlosti u slucaju 2, 3 i 4 proreza. A feny intenzitasa2, 3 es 4 res eseten. I0 = 1.3

46 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

d

n

n

s

s

a

1

2

2

1

Figure 2.17: Razlika duzina optickih puteva u slucaju interferencije na plan-paralelnom sloju. Optikai uthosszak kulonbsege planparalell retegen tortenointerferencianal.

tg =a

d a = d tg = d sin

1 sin2 (2.40)

sin =s12a s1 = 2a sin = 2d sin sin

1 sin2 (2.41)

=2n2d

1 n21,2 sin2 2n1d sinn1,2 sin

1 n21,2 sin2

=2d

1 n21,2 sin2 (n2 n1n1,2 sin2 )

=2dn2

1 n21,2 sin2 (1 n21,2 sin2 )

= 2dn2

1 n21,2 sin2 = 2d

n22 n21 sin2 (2.42)

Zbog refleksije zraka koji prolazi kroz planparalelni sloj faza mu se promeniza pi, te je ukupna fazna razlika dvaju zraka:Mivel a retegen athalado fenysugar visszaverodik, annak fazisa pi-vel megvaltozik,

2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 47

ezert a ket fenysugar faziskulonbsege:

=4pi

dn2

1 n21,2 sin2 + pi (2.43)

Uslov konstruktivne interferencije je: / A konstruktv interferencia foltetele:

cos = 2pim (2.44)

sto daje uslov na ugao pod kojim svetlost treba da pada na planparalelnisloj:ami foltetelt szab a fenysugar beesesi szogere:

sin2 = n22,1

1 ( 4dn2

)2(2m 1)2

(2.45)Vidimo da ceo broj m ne moze da ima proizvoljnu vrednost, jer vazi nejed-nakost 0 sin2 1.Latjuk, hogy az m egesz szam nem vehet fol tetszoleges ertekeket, mivel igaz,hogy 0 sin2 1.Na slican nacin nalazimo i uslov destruktivne interferencije.Hasonlokeppen megkaphatjuk a destruktv interferencia foltetelelet is.

2.6.4 N-tostruka interferencija na planparalelnom slojuN-szeres interferencia planparalell retegen

U kranjoj desnoj tacci (0) na slici 2.18 imamo superpoziciju N svetlosnihzraka, takvih da je fazna razlika dva uzastopna zraka k, gde je zadatojednacinom (2.42). Rezultujuce elektricno polje je zbir geometrijskog reda.A 2.18 abra jobb szelso pontjaban (0) N fenysugar szuperpoponalodik, ketegymast koveto fenysugar faziskulonbsege k, ahol -t a (2.42) egyenlethatarozza meg. Az eredo elektromos tererosseg egy geometriai sor osszege.

E = E0 + E0 exp(i) + E02 exp(2i) + . . .+ E0

N exp(Ni)

= E0(1 + exp(i) + 2 exp(2i) + . . .+ N exp(Ni))

= E01 N exp(Ni)

1 exp(i) (2.46)

48 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

0N1N

Figure 2.18: Planparalelan sloj, N -tostruka interferencija. Planparalelllemez, N -szeres interferencia.

2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 49

Intenzitet svetlosti je : / A feny intenzitasa:

I = EE = E01 N exp(iN)

1 exp(i) E01 N exp(iN)

1 exp(i)

= I01 N

2 cos(N),(6) (exp(iN) + exp(iN)) +2N

1 (exp(i) + exp(i)) 2 cos ,(6)

+2

= I01 2N cos(N) + 2N

1 2 cos + 2 (2.47)

N=10 80 60 40 20

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3 0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

100

II

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Figure 2.19: N = 10, [0, pi], [0, 1]

2.6.5 Interferencije u primeniInterferencia a gyakorlati alkalmazasban

Prilikom projektovanja mobilne telefonske mreze potrebno je optimalno pokritiodredjenu oblast. To je najcesce izvodivo samo sa vise primopredajnika.Da bi medjusobno bliski primopredajnici sto je moguce manje ometali jednidruge, oni rade na sto je moguce razlicitijim frekvencijama, odnosno medju-sobno udaljeni primopredajnici mogu da rade na bliskim frekvencijama. Ovoje jedan od razloga zbog kojih mobilna telefonija radi u frekventnom opsegu,a ne na nekoj frekvenciji.

50 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

Amikor mobiltelefon halozatot terveznek, legtobbszor egy adott terulet lefe-dese csak tobb adovevovel lehetseges. Hogy a szomszedos adovevok minelkevesbe zavarjak egymast, azokat egymastol minel tavolabbi frekvenciancelszeru uzemeltetni, illetve terben egymastol tavol levo adovevok mukod-hetnek egymashoz kozeli frekvencian. Ez is egy ok, amiert a mobiltelefonhalozat nem egy frekvencian, hanem frekvenciasavban uzemel.

2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 51

2.7 Difrakcija/Diffrakcio

Kod difrakcije je otvor kroz koji prolaze svetlosni zraci dovoljno sirok da kroznjega mogu proci paralelni svetlosni zraci. Zbog toga da bi smo uocili difrak-cione sare ispred svetlosnih zraka moramo postavitu socivo, i reflektujucupovrsinu u ziznu ravan sociva (zasto?). Polaznu tacku za trazenje informa-cija o difrakciji mozete naci ovde [3].Diffrakcio eseten a nylas eleg tag ahhoz, hogy azon keresztul parhuzamosanat tudjanak haladni a fenysugarak. Ezert ahhoz, hogy lathassuk a diffrakciosmintazatot, lencset kell helyeznunk a fenysugarak ele es annak a fokalisskjaba kell helyeznunk a fenyvisszavero feluletet (miert?). A diffrakcio targyukereses egyik kiindulasi pontja itt talalhato [3].Primer difrakcije na uzanom prorezu, slika 2.20. Ravni talasi nakon prolaskakroz uzan prorez se ponasaju kao da su potekli iz tackastog izvora.Szuk nylason torteno diffrakcio, 2.20 abra. Miutan a skhullamok athaladtaka resen ugy viselkednek, mintha azok egy ponszeru forrasbol erednenek.

2.7.1 Dugacak prorez sirine b / Hosszu, b szelessegures

k oznacava talasni broj, oznacava razliku optickih puteva a je faznarazlika.k a hullamszamot jeloli, az optikai uthosszak kulonbsege, pedig a fazisku-lonbseg.

= k =2pi

k

x sin

(2.48)

Ukoliko zraci kroz prorez izlaze pod uglom , koristeci princip superpozicijemozemo izracunati rezultujucu jacinu elektricnog polja. E dobijamo sabi-rajuci sve amplitude koje iz proreza izlaze pod uglom i razlikuju se u fazi za od zraka koji prolazi kroz sredinu proreza. Umesto da sabiramo amplitudesamo nekoliko zraka sa datim faznim razlikama, sada sabiramo beskonacnomnogo amplituda svetlosnih zraka sa datim faznim razlikama, otuda imamoodredjeni integral. E0 je maksimalna amplituda jednog zraka.Amennyiben a nylason a fenysugarak szog alatt haladnak at, a szuper-pozcio elve alapjan kiszamolhatjuk az eredo elektromos teret. E-t ugy

52 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

Figure 2.20: Difrakcija talasa na vodi, [11], [12]. Vzhullamok diffrakcioja,[11], [12].

2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 53

b

x

Figure 2.21: Difrakcija na dugackom prorezu. / Diffrakcios res.

54 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

kaphatjuk meg, hogy osszeadjuk a resen szog alatt athalado osszes fenysugaramplitudojat, amelyek a res kozepen athalado fenysugartol fazisban -valkulonboznek. Eddig azt lattuk, hogy veges sok fenysugar amplitudojat ad-tuk ossze, most vegtelen sok amplitudot adunk ossze, melyek fazisban -valkulonboznek, ezert van hatarozott integrallal dolgunk. E0 egy fenysugarmaximalis amplitudojat jeloli.

E =E0b

b2

b2

exp i(t 2pi

x sin

)dx

=E0b

exp(it) b

2

b2

exp(i2pi

x sin

)dx

=E0b

exp(it)exp

(i2pi

x sin

)i2pi

sin

b2

b2

=E0b

exp(it)sin

(pib

sin)

(pib

sin) (2.49)

I = EE = I0

sin2(pib

sin)

(pib

sin)2 (2.50)

Na osnovu jednacine (2.50) uslov minimuma intenziteta difrakcionih linijaje:A (2.50)-es egyenlet alapjan a diffrakcios cskok minimalis intenzitasanakfoltetele:

pib

sin = mpi, sin =

m

b(2.51)

Na osnovu jednacine (2.50) uslov maksimuma intenziteta difrakcionih linijaje:A (2.50)-es egyenlet alapjan a diffrakcios cskok maximalis intenzitasanakfoltetele:

pib

sin = m

pi

2, sin =

m

2b(2.52)

2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 55

2

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10 5 0 5 10

(sin(x)/x)sin(x)/x

Figure 2.22: sin(x)/x, sin2(x)/x2

10 5 0 5 106

4

2

0

2

4

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Figure 2.23: Izgled difrakcionih linija u slucaju jednog otvora. Diffrakcioscskok egy nylas eseten.

56 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

2.7.2 Difrakciona resetka / Diffrakcios racs

Jednacinu za intenzitet svetlosti (2.50) rezonom istovetnom onom izlozenomu odeljku 2.6.2 modifikujemo da uzmemo u obzir uticaj N proreza. Pret-postavimo da je svaki prorez sirine b, a da su prorezi na medjusobnom ras-tojanju a, sto znaci da difrakciona resetka ima period d = a+ b.A (2.50)-es egyenletet a 2.6.2 reszben kifejtett meggondolas alapjan modo-sthatjuk, hogy figyelembe vegyuk az N res hatasat. Tetelezzuk fol, hogyminden res szelessege b, es, hogy az egymast koveto resek kozotti tavolsag a,ekkor a diffrakcios racs periodusa d = a+ b.

I = I0sin2

(pib

sin)

(pib

sin)2 sin

2(Npid

sin)

sin2(pid

sin) (2.53)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

4 2 0 2 4

N=4, d = 2b16*(sin(x)/x)**2

Figure 2.24: (2.53), N = 4, a = b, d = 2b

Izgled difrakcionih linija u slucaju resetke sa cetiri otvora, (slike 2.24, 2.25).Diffrakcios cskok negy vonalas racs eseten, (2.24, 2.25 abrak).Uslove maksimuma intenziteta u slucaju difrakcije daju:Diffrakcios maximumok foltetelei:

Npid

sin = kpi, sin =

k

Nd(2.54)

2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 57

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 26

4

2

0

2

4

6

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Figure 2.25: (2.53). N = 4, b = 1, d = 3, I0 = 1.3.

D =d

d(2.55)

2.7.3 Primena difrakcije u ispitivanju osobinamaterijalaA diffrakcio alkalmazasa anyagtulajdonsagivizsgalatokban

Vazna klasa eksperimntalnih metoda u ispitivanju osobina materijala sunedestruktivne metode, tj. one metode u kojima se materijal koji se ispitujene unistava.A kserleti anyagvizsgalati modszerek kozott fontosak azok a vizsgalati mod-szerek, amelyekben az anyagminta a vizsgalat soran nem semmisul meg. Azilyen vizsgalatok az un. nemdestruktv vizsgalatok.Struktura cvrstih tela je cesto kristalna, na primer: poluprovodnici, legurecelika, . . . .A szilard testek legtobbszor kristalyracsszerkezetuek, pl. felvezetok, acelotvozetek . . . .Cvorovi kristalne resetke su neprohodni za talase, dok je prostor izmedju

58 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

cvorova resetke prohodan. Time kristalna resetka cini jednu slozenu struk-turu centara rasejanja i otvora kroz koje talasi mogu da se prostiru. U praksise za ispitivanje materijala koriste rendgenski zraci ili elektronski snop, stosamo po sebi ne menja prirodu difrakcije. Na slici 2.26 se vidi primer difrak-cije elektronskog snopa na kristalnoj resetci. Iz difrakcionog obrasca se moguizvuci vazni zakljucci o strukturi ispitivanog materijala. Difrakcioni metodimogu date vazne informacije i o materijalima cija struktura nije pravilnakristalna resetka.A kristalyracs csomoi a hullamok szamara athatolhatatlanok, a csomok kozot-ti resek viszont a hulamok szamara atjarhatok. Ezzel a kristalyracs egyolyan osszetett szerkezetet alkot, amelyben egyarant jelen vannak a szoro-centrumok es az atjarhato terreszek. Az anyagvizsgalati gyakorlatban sok-szor Rontgen-sugarakat illetve elektron nyalabot szokas hasznalni, ami adiffrakcio jelensegen semmit sem valtoztat. A 2.26 abran egy elektronnyalabkristalyracson torteno diffrakcioja lathato. A diffrakcios mintazatokbol fontoskovetkezmenyek vonhatok le a vizsgalt minta anyagtulajdonsagairol. A diff-rakcios modszerek olyan anyagokrol is fontos informaciot adhatnak, melyekszerkezete nem szabalyos kristalyracs.

2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 59

Figure 2.26: Difrakcija elektronskog snopa na kristalnoj resetci. Elektron-nyalab diffrakcioja kristalyracson. [13]

60 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA

Figure 2.27: Difrakcija rendgenskih zraka. Drzac ispitivanog uzorka se vidiu beloj boji. Rontgen-sugarak diffrakcioja. A vizsgalt minta tartoja fehersznben latszik. [14]

Chapter 3

Kvantna teorijaKvantumelmelet

3.1 Uvod / Bevezeto

Kvantna mehanika se cesto (potpuno pogresno!) iskljucivo vezuje za ob-jasnjenje pojava u mikrosvetu. Postoje mnoge pojave vidljive golim okom(!)koje nije moguce objasniti bez kvantne mehanike, npr. supertecljivost, [9],[10]. Fenomen superprovodljivosti (proticanje elektricne struje bez otpora) jetakodje vidljiv golim okom, i to na sledeci nacin: znamo da superprovodnik izsebe istiska linije magnetnog polja. Na obican provodnik postavimo magneti pocnemo da hladimo provodnik. U trenutku kada provodnik postane super-provodan, istisnuce iz sebe linije magnetnog polja, i one ce pogurati mag-net, koji pocinje da lebdi, [15]. Isto tako, bez kvantne mehanike nije mogucerazumeti ni temperaturnu zavisnost toplotnog kapaciteta cvrstih tela, [7].A kvantumechanikat sokan (teljesen tevesen!) kizarolag a mikrovilag meg-ertesehez szukseges tudomanynak tekintik. Sok szabad szemmel lathato(!)jelenseget nem lehet kvantummechanika nelkul megmagyarazni, ilyen peldaula szuperfolyekonysag, [9], [10]. A szupravezetes (ellenallas nelkuli aramvezetes)is szabad szemmel eszlelheto jelenseg, amennyiben tudjuk, hogy a szupravezetokiloki magabol a magneses teret. Egy kozonseges vezetore magnest helyezunkes elkezdjuk huteni a vezetot. Amikor a vezeto szupravezetove valik, kilokimagabol a magneses teret, az meg lebegesre brja a magnest, [15]. Ugyanugy,kvantummechanika nelkul nem lehet megerteni a szilard testek hokapacitasanakhomersekleti fuggeset sem, [7].

61

62 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

3.2 Energija elektromagnetnih talasa

Az elektromagneses hullamok energiaja

Energija elektromagnetnih talasa zavisi od frekvencije odnosno talasne duzine.Planck je izveo ovaj zakljucak prilikom izvodjenja zakona zracenja apsolutnocrnog tela.Az elektromagneses hullamok energiaja a frekvenciatol, illetve a hullamhossztolfugg. Planck erre akkor jott ra, amikor levezette az apszolut fekete testsugarzasanak torvenyet.

E = h =hc

=

h

2pi=h

2pi=

= h (3.1)

h = 6.62606957(29) 1034J s, (3.2)h = 1.054571726(47) 1034J (3.3)

h je Plankova konstanta, h je redukovana Plankova konstanta.h a Planck-allando, h a redukalt Planck-allando.

3.3 Plankov zakon zracenja apsolutno crnog

tela

Az abszolut fekete test sugarzasa, Planck-

torveny

Apsolutno crno telo ne reflektuje elektromagnetno zracenje, ali ga moze emi-tovati.Az abszolut fekete test nem veri vissza az elektromagneses sugarzast, viszontsugarozhat.

P oznacava snagu kojom jedinicna povrsina apsolutno crnog tela zraci elek-tromagnetne talase.P az abszolut fekete test teljestmenyet jeloli, amellyel elektromagneses hul-lamokat sugaroz.

P =

0d =

0

d (3.4)

3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORVENY 63

() oznacava snagu kojom apsolutno crno telo emituje elektromagnetnetalase na talasnoj duzini (frekvenciji ). () az abszolut fekete test teljestmenyet jeloli hullamhosszusagon (frekvencian). je spektralna gustina (zracenja) apsolutno crnog tela. az abszolut fekete test (sugarzasanak) spektralis surusege.

Eksperimentalni model apsolutno crnog tela moze da se ostvari kao supljinasa malim prorezom. Prorez se ponasa kao apsolutno crno telo, 3.1.Az abszolut fekete test kserleti modelljet egy olyan ureggel valosthatjukmeg, amelyen szuk rest nyitunk. Ekkor a res viselkedik ugy mint a feketetest, 3.1.

Figure 3.1: Eksperimentalni model apsolutno crnog tela, supljina sa prore-zom. Az abszolut fekete test kserleti modellje, ureg ressel. [18].

64 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

Na osnovu eksperimenata znamo da spektralna gustina apsolutno crnog telane zavisi od vrste materijala ok koga su sacinjeni zidovi supljine. Spektralnagustina zavisi samo od apsolutne temperature zidova supljine.Kserleti meresek alapjan tudjuk, hogy az abszolut fekete test spektralissurusege nem fugg attol, hogy milyen anyagbol vannak az ureg falai. Azabszolut fekete test spektralis surusege kizarolag az ureg falainak abszoluthomersekletetol fugg.

U daljnjem tekstu ce mo cesto koristiti Bolcmanovu konstantu, koja je odre-djena kao:A tovabbiakban gyakran fogjuk hasznalni a Boltzmann-allandot, melynekdefincioja es erteke:

k =R

NA= 1, 3806488(13) 1023J K1 (3.5)

gde je R univerzalna gasna konstanta, a NA Avogadrov broj.ahol R az univerzalis gazallando es NA az Avogadro-szam.

3.3.1 Rejli-Dzinsov zakon/Rayleigh-Jeans-torveny

Priblizna zavisnost spektralne gustine od kruzne frekvencije, priblizenje vaziu slucaju niskih frekvencija.A spektralis suruseg kozelto alakja, a kozeltes kis frekvenciak eseten ervenyes.

=2kT

pi2c3(3.6)

3.3.2 Vinov zakon / Wien-torveny

Priblizna zavisnost spektralne gustine od kruzne frekvencije, vazi u slucajuvisokih frekvencija.A spektralis suruseg kozelto alakja, a kozeltes nagy frekvenciak esetenervenyes

=h3

pi2c3e

hkT (3.7)

3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORVENY 65

3.3.3 Plankov zakon zracenjaPlanck-fele sugarzasi torveny

Maks Plank je na osnovu termodinamickog razmatranja (kopiju originalnogclanka mozete naci ovde [16], a njegov prevod na engleski mozete naci npr.ovde, [17]) zakljucio da je spektralna gustina zracenja apsolutno crnog tela:Termodinamikai megfontolasok alapjan Max Planck kiszamolta a pontosspektralis suruseget, (az eredeti cikk masolatat megtalalhatja itt [16], an-nak angolnyelvu fordtasa pedig megtalalhato pl. itt: [17]):

=h3

pi2c31

ehkT 1 (3.8)

Termodinamika je primenljiva zato, sto se unutar supljine nalazi gas fotona,tj. kvanata elektromagnetnog polja. Fotonski gas je u stanju termodinamickeravnoteze sa zidovima supljine, zato im je i temperatura jednaka. Znaci daje T istovremeno i temperatura zidova supljine i temperatura fotonskog gasaunutar supljine. Jednacina stanja fotonskog gasa je data jednacinom (3.9).Na primer, moze se izracunati srednji broj fotona u supljini zapremine V ,rezultat je dat jednacinom (3.10).A termodinamika azert alkalmazhato, mert az uregben fotongaz van, a fotonaz elektromagneses ter kvantuma. A fotongaz termodinamikai egyensulybanvan az ureg falaval, ezert T egyszerre az ureg falanak a homerseklete es egy-ben az uregben levo fotongaz homerseklete. A fotongaz allapotegyenletet a(3.9) egyenlet adja meg. Peldaul, kiszamolhato a V terfogatu uregben azatlagos fotonszam, az eredmenyt a (3.10) osszefugges.

pV =(4)

(3)NkT 0, 9NkT (3.9)

N =

(16pi(3)k3

c3h3

)V T 3 (3.10)

gde je / ahol (3) = 1.2020569032 . . ., (4) = pi4

90 1, 0823.

Primetimo da jednacina stanja fotonskog gasa neverovatno lici na jednacinustanja idealnog gasa (3.11). Razlog je u tome sto fotoni medjusobno ne in-teraguju, kao ni molekuli idealnog gasa.Vegyuk eszre, hogy a fotongaz allapotegyenlete hihetetlenul hasonlt az idealisgaz allapotegyenletere, (3.11). A hasonlosag oka abban rejlik, hogy a fotonok

66 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

nem hatnak kolcson egymassal, mint ahogyan az idealis gaz molekulai sem.

pV = NkT (3.11)

Iz (3.8) slede zakoni zracenja Rejli-Dzinsa i Vina.(3.8)-bol kovetkeznek a Rayleigh-Jeans es Wien sugarzasi torvenyek.

h kT 1ehkT 1 12

1

1 + hkT 1 =

kT

h(3.12)

te iz (3.8) sledi (3.6). / ez alapjan (3.8)-bol kovetkezik (3.6).

h kT 1ehkT 1 e

hkT (3.13)

te iz (3.8) sledi (3.7). / ez alapjan (3.8)-bol kovetkezik (3.7).

Plankov zakon zracenja izrazen preko talasnih duzina mozemo dobiti nasledeci nacin. Primetimo da ukupna snaga zracenja ne moze da zavisi odtoga da li spektralnu gustinu izrazavamo preko talasnih duzina ili frekven-cija, sto prevedeno na jezik matematike znaci da povrsina ispod krive mora da bude ista kao i povrsina ispod krive .A Planck-fele sugarzasi torvenyt ki tudjuk fejezni a hullamhosszak segtsegevelis a kovetkezo modon. Vegyuk eszre, hogy a sugarzas osszteljestmenye nemfugghet attol, hogy azt a hullamhosszakkal, vagy a frekvenciakkal fejezzuk ki.Ez az alltas lefordtva a matematika nyelvere annyit tesz, hogy a gorbealatti felulet megegyezik a gorbe alatti felulettel.

c = = 2pi

2pi=

2pi = 2pic

, d = 2pic

2d (3.14)

d = d = 2pic

dd (3.15)

=8pihc

51

ehckT 1 (3.16)

3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORVENY 67

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 2 4 6 8 10

x**2(x**3)*exp(x)(x**3)/(exp(x)1)

Figure 3.2: : Rejli-Dzinsova kriva, Vinova kriva, Plankova kriva. Rayleigh-Jeans-gorbe, Wien-gorbe, Planck-gorbe.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0.5 1 1.5 2

x**(5)/(exp(1/x)1)x**(5)/(exp(0.8/x)1)x**(5)/(exp(1.2/x)1)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0.5 1 1.5 2

x**(5)/(exp(1/x)1)x**(5)/(exp(0.8/x)1)x**(5)/(exp(1.2/x)1)

Figure 3.3:

68 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

3.3.4 Vinov zakon pomeranjaWien-fele elmozdulasi torveny

Poznavanje talasne duzine na kojoj apsolutno crno telo zraci maksimalnomsnagom omogucava odredjivanje temperature apsolutno crnog tela i obrnuto.Annak a hullamhossznak az ismerete amelyen az abszolut fekete test a leg-nagyobb teljestmennyel sugaroz meghatarozza az abszolut fekete test homer-sekletet es fordtva.

dd

= 0

dd

= 8pihc

56 (exp( hckT

) 1

)1

+5(

exp

(hc

kT

) 1

)2exp

(hc

kT

)hc

2kT

=

8pihc

6(exp

(hckT

) 1

)5 + exp

(hckT

)exp

(hckT

) 1

hc

kT

=0

uvedimo sledecu zamenu / vezessuk be a kovetkezo valtozocseret

x =hc

kT(3.17)

sledecu jednacinu je potrebno resiti po x

a kovetkezo egyenletet x szerint kell megoldani

0 = 5 + xex

ex 1 (3.18)

Resenje jednacine 3.18 je / Az 3.18 egyenlet megoldasa:

x 4, 965 (3.19)(3.17, 3.19)

maxT = 0.0029mK (3.20)

3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORVENY 69

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

4 4.5 5 5.5 6

x*exp(x)/(exp(x)1)50

Figure 3.4: Graficko resenje jednacine (3.18). A (3.18) egyenlet grafikusmegoldasa.

3.3.5 Stefan-Bolcmanov zakonStefan-Boltzmann-fele torveny

Ukupna snaga P po jedinici povrsine kojom apsolutno crno telo zraci pro-porcionalna je cetvrtom stepenu temperature.Az abszolut fekete test egysegnyi feluletenek P sugarzasi osszteljestmenye ahomersekletenek negyedik hatvanyaval aranyos.

P = T 4 (3.21)

P =

0d =

0

h3

pi2c31

ehkT 1d[

x =h

kT = kT

hx, d =

kT

hdx

]

=h

pi2c3

(kT

h

)4 0

x3

ex 1dx =pi

4

15

70 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

=pi2

15

k4

c3h3 =,(3.21)

T 4

= pi2

15

k4

c3h3(3.22)

3.3.6 Primena zakona zracenjaSugarzasi torvenyek alkalmazasa

Jako visoke temperature nije moguce neposredno meriti, na primer temper-aturu tecnog gvozdja, izlivene lave . . . . Zato se takve temperature mereposredno, tacnije meri se spektar zracenja koje takva tela emituju. Na slicannacin je moguce izmeriti temperaturu Sunca, odnosno termometri za merenjetelesne temperature koji mere temperaturu u usnoj supljini rade na istompricnipu. Pri tome treba imati na umu kada neko telo moze da smatra ap-solutno crnim telom, a kada ne, odnosno kada se tela koja zrace nalaze utermodinamickoj ravnotezi.A nagyon magas homersekletu testek homersekletet nem lehet kozvetlenulmegmerni, pl. a folyekony vaset, vagy a kiomlo lavaet . . . . Ezert az ilyenhomersekleteket kozvetetten merjuk, pontosabban, az ilyen testek altal ki-bocsajtott sugarzas teljestmenyet merjuk. Hasonlo modon lehetseges a Naphomersekletenek a meghatarozasa, illetve a fuluregben-hallojaratban merohomerok hasonlo elvek alapjan merik a testhomersekletet. Ezzel egyutt,ugyelni kell arra, hogy egy test mikor tekintheto abszolut fekete testnek,illetve a sugarzo test mikor van termodinamikai egyensulyban.

3.4 Borov model atoma

Bohr-fele atom modell

Borov model atoma opisuje atom vodonika i vodoniku slicne, visestruko joni-zovane atome.A Bohr-atom modell a hidrogen es hidrogenszeru tobbszorosen ionizalt atomokmodellje.

Borovi postulati / Bohr posztulatumok:

Moment impulsa elektrona u stacionarnoj kruznoj orbiti moze biti samo

3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FELE ATOM MODELL 71

Figure 3.5: Primer diskretnih spektara. Gornja tri spektra su emisionaa donji spektar je apsorpcioni. A diszkret spektrum nehany peldaja. Afolso harom sugarzasi (emmisszios) spektrum, a legalso pedig abszorpcios(elnyelesi) spektrum.

72 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

nenegativan celobrojni umnozak redukovane Plankove konstante. 1.Az elektron impulzusmomentuma stacionaris korpalyan csak a redukaltPlanck-allando nemnegatv egesz szamu tobbszorose lehet.2.

J = nh (3.23)

n je (glavni) kvantni broj. n a (fo) kvantumszam.

Elektroni ne zrace niti apsorbuju elektromagnetne talase dok se nalazeu stacionarnim orbitama.Az elektronok nem sugaroznak es nem nyelnek el sugarzast a stacionarisallapotaikban.

Iz prvog Borovog postulata da se elektroni krecu po kruznim putanjama sledida su Kulonova sila (koja deluje na elektron i vezuje ga za jezgro) i centrifu-galna sila jednake po intenzitetu.Bohr elso posztulatumabol kovetkezik, hogy az eletronok korpalyakon mozog-nak es az, hogy az elektronra hato vonzo Coulomb-ero intenzitasa megegyezika centripetalis ero intenzitasaval.

mev2

r=

1

4pi0

Ze2

r2(3.24)

mev2

2=

1

4pi0

Ze2

2r(3.25)

je elektrostaticki potencijal atomskog jezgra. az atommag elektrostatikus potencialja.

=1

4pi0

Ze

r(3.26)

Potencijalna energija elektrona je e,az elektron helyzeti energiaja e,

U = e = 14pi0

Ze2

r(3.27)

1Uporedite ovo tvrdjenje sa svojstvenim vrednostima operatora kvadrata momentaimpulsa, 3.129

2Vesse ossze ezt az alltast az impulzusmomentum-negyzet operatoranaksajatertekeivel, 3.129

3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FELE ATOM MODELL 73

Ukupna energija elektrona koji kruzi oko jezgra je zbir kineticke i potencijalenenergije:Az elektron ossz energiaja a mozgasi es a helyzeti energia osszege:

E =mev

2

2+ U =3.25,3.27 1

8pi0

Ze2

r(3.28)

Intenzitet momenta impulsa (mevr) na osnovu prvog Borovog postulata (3.23)jeAz impulzusmomentum intenzitasa (mevr) Bohr elso posztulatuma alapjan

mevr = nh v = nhmer

(3.29)

Uvrstimo v u (3.25). Helyettestsuk be v-t a (3.25).

me2

(nh

mer

)2=

1

4pi0

Ze2

2r(3.30)

Izrazimo r iz jednacine (3.30). Nalazimo:Fejezzuk ki az (3.30) egyenletbol r-t, a kovetkezo eredmenyre jutunk:

r =4pi0h

2

meZe2 =a

n2 = an2 (3.31)

a je Borov radijus. a a Bohr-fele radiusz (sugar).Uvrstimo ovako dobijen izraz za r u izraz za energiju (3.28).Az gy kapott r-t helyettestsuk be az energiat meghatarozo kifejezesbe ((3.28)-ba).

En = 18pi0

Ze2

4pi0h2

meZe2n2

= meZ2e4

32pi220h2

=E0

1

n2= E0

n2(3.32)

Ukupna energija elektrona je negativna, jer je elektron vezan za jezgro. Kakon, tako En 0 od dole. Nasuprot vezanog elektrona slobodan elektronmoze da ima bilo koju nenegativnu energiju, ne postoji nikakvo ogranicenjena njenu vrednost.Az elektron osszenergiaja negatv, (mivel) az elektron az atommaghoz van

74 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1/x**2

Figure 3.6: Energija elektrona u atomu vodonika. Na vodoravnoj osi je pred-stavljen glavni kvantni borj n, na uspravnoj osi je predstavljena energija ujedinicama E0. Elektron energiaja hidrogen atomban. A vzszintes tengelyenn, a fokvantumszam van abrazolva, a fuggoleges tengelyen pedig az energia,E0 egysegekben.

3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FELE ATOM MODELL 75

kotve. Ahogy n , ugy alulrol En 0 . A szabad elektron energiajaa kotott elektronnal ellentetben barmilyen nemnegatv energia lehet, nincssemmifele korlat-tiltas annak lehetseges ertekeire.Energija jonizacije je ona najmanja energija koju je potrebno saopstiti elek-

tronu da bi se elektron otkinuo od jezgra, tj. da mu ukupna energija nebude negativna, tj. da postane jednaka nuli - ona je jednaka po apsolutnojvrednosti energiji osnovnog stanja, samo ima suprotan predznak.Az ionizacios energia az a legkisebb energia amelyet az elektronnal kell kozolniahhoz, hogy az elszakadjon az atommagtol, vagyis az az energia amelyet azelektronnak el kell nyelnie, hogy az osszenergiaja ne legyen negatv - azazannak abszolut erteke egyenlo az alapallapot energiajaval, csak az elojele el-lentetes.Iz (3.32) sledi da je energija jonizacije vodonikovog atoma(3.32)-bol kovetkezik, hogy az elektron ionizacios energiaja

Ei = E0 (3.33)

3.4.1 Objasnjenje linijskih spektaraA vonalspektrumok magyarazata

Neka su m i n kvantni brojevi koji odredjuju energiju stanja elektrona. Akoje m > n, onda je Em > En, pa iz zakona odrzanja energije sledi, da u slucajuprelaza elektrona iz stanja sa kvantnim brojem m u stanje sa kvantnim bro-jem n vaziLegyenek m es n az elektron allapotat, annak energiajat meghatarozo kvan-tumszamok. Ha m > n, akkor Em > En, ezert az m.-dik allapotbol az n.-dikallapotba valo atmenetkor az energiamegmaradasi torvenybol kovetkezik

Em = En + hm,n (3.34)

Frekvencija elektromagnetnog zracenja u prelazu m n iznosiAz m n atmenetben eszlelheto elektromagneses frekvencia

m,n =1

h(Em En) = E0

h

(1

n2 1m2

)(3.35)

76 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

3.5 Sredingerova jednacina

Schrodinger egyenlet

Kvantna fizika se bavi merljivim velicinama. Uprosteno govoreci, ponovljenamerenja fizickih velicina se razlikuju od slucaja do slucaja, zato fizicke velicineidentifikujemo velicinama koje mozemo pripisati skupu merenja, takva velicinaje na primer srednja velicina izmerenih vrednosti.Kvantum fizika a merheto mennyisegeket tanulmanyozza. Leegyszerustve,egy fizikai mennyiseg megismetelt meresei merestol fuggoen esetenkent mas esmas erteket adnak, ezert a fizikai mennyisegeket a meressorozathoz tarsthatomennyisegekkel azonostjuk, ilyen pl. a mert mennyiseg atlagos erteke.

Vazno je imati na umu, da postoje fizicke velicine koje imaju smisla i uklasicnoj i u kvantnoj fizici, takva je npr. ukupna energija, odnosno da pos-toje fizicke velicine koje nemaju svoj klasicni ili kvantni analogon. Na primerbrzina, ugaona brzina, ubrzanje, sila . . . imaju smisla u klasicnoj fizici, ali subesmislene i neprimenljive velicine u kvantnoj fizici. Isto tako, parnost jenpr. velicina koja odredjuje mnoge kvantne sisteme, ali takva velicina nepostoji, nije smislena u slucaju klasicnih sistema.Fontos tudni, hogy vannak olyan fizikai mennyisegek amelyek egyarant er-telmesek a klasszikus es a kvantum fizikaban, ilyen pl. az ossz energia, il-letve vannak olyan fizikai mennyisegek amelyeknek nincsennek, nem leteznekklasszikus vagy kvantum megfeleloik. Peldaul, a sebesseg, szogsebesseg, ero,. . . ertelmes mennyiseg(ek) a klasszikus fizikaban, de a kvantum fizikabantokeletesen ertelmetlenek es hasznalhatatlanok. Ugyangy, pl. a paritas sokkvantum rendszer meghatarozo mennyisege, de ez a mennyiseg nem letezik,nem ertelmezheto a klasszikus fizikaban.

Uprosceno govoreci, (u primerima koje cemo obraditi), kvantna mehanikaopisuje ponasanje objekata male mase (npr. molekula, atoma, elementarnihcestica). Isto tako, postoje brojne makroskopske pojave cije je objasnjenjekvantnomehanicke prirode. Takva su npr. objasnjenja toplotnog kapacitetacvrstih tela, dobre provodnoste metala, itd. Nadalje, sva makroskopska telaispoljavaju kvantnomehanicke osobine, ukoliko se dovoljno ohlade. Zbognavedenih razloga je potpuno pogresno shvatanje da kvantna mehanika isklju-civo opisuje pojave u mikrosvetu. Vec u bliskoj buducnosti rezultati kvantnemehanike ce se sve vise primenjivati i na nas, makroskopski svet.

Leegyszerustve, az altalunk ismertetett esetekben, a kis tomegu objek-tumok (molekulak, atomok, elemi reszecskek) viselkedeset csak a kvantum-

3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 77

mechanika kepes leirni. Tovabba, sok makroszkopikus jelenseget is csaka kvantummechanika tudta megfelelo modon megmagyarazni, ilyen pl. aszilard testek hokapacitasa vagy a femek jo vezetokepessege. Minden mak-roszkopikus test kifejti kvantummechanikaval magyarazhato tulajdonsagait,amennyiben azt elegge lehutjuk. Ezert teves a kvantummechanika ervenyes-seget kizarolag a mikroszkopikus vilagra korlatozni. A kozeljovoben a kvan-tummechanika egyre inkabb ereztetni fogja hatasat a mi, makroszkopikusvilagunkban is.Dajmo primer naizgled neuobicajenog ponasanja mikrocestica. U Jangovomeksperimentu (poglavlje 2.6.1) talasni front nakon prolaska kroz dva tankaproreza interferira sa samim sobom i kao rezultat vidjamo interferencionepruge. Slicne interferencione pruge mozemo da izmerimo i u slucaju npr.elektrona, iako smo navikli da na elektron mislimo kao na cesticu. Izvorelektrona salje elektrona na pregradu sa dva proreza. Iza proreza se nalaziscintilaciona povrsina - detektor. Kada elektron udari u detektor, to mestonakratko zraci svetlost. U eksperimetnu se beleze mesta sa kojih se emitovalasvetlost i tako se vremenom iscrtaju interferencione pruge, pogledajte sliku3.7. Zakljucujemo da se prolazeci kroz dva otvora elektron ponasa kao talas, iinterferira sam sa sobom. Da bi stvar bila interesantnija pomenimo i sledece.Posto znamo da je elektron i cestica, tj. ima i cesticne osobine, mozemomerenjem da odredimo kroz koji prorez je prosao elektron. Merenje daje iodgovor, jer elektron je (i) cestica koja prolazi kroz dati otvor, te shodnotome ne moze ni da interferira, u ovom slucaju interferencioni obrazac nes-taje!Adjunk egy peldat arra, hogy milyen (latszolag) szokatlan modon viselked(het)neka reszecskek. A Young-fele kserletben (2.6.1 fejezet) miutan a hullamfrontathaladt ket resen, onmagaval interferal es ezert latjuk az intereferencioscskokat. Hasonlo jelenseget eszlelhetunk pl. elektronok eseten is, holottmegszoktuk, hogy elektronra mint reszecskere gondoljunk. Az elektronforraselektronokat lovel ki egy feluletre amelyen ket res van. A res mogott egyszcintillalo felulet - detektor van. Amikor az elektron becsapodik a detek-torba, az rovid ideig a becsapodas helyen fenyt bocsat ki. A kserletbeneltaroljak az elektronbecsapodasok helyeit es gy kirajzolodnak az interfer-encios cskok, (nezzek meg a 3.7 abrat). Arra kovetkeztetunk, hogy az elek-tron ket resen keresztul haladt at es hullamkent viselkedett, ezert tudottonmagaval interferalni. Hogy meg erdekesebb legyen a helyzet, megemeltjuka kovetkezo erdekesseget is. Mivel az elektron reszecske (is), megmerhetjuk,hogy melyik resen haladt at. A meres erre valaszt (is) ad, az elektron olyan

78 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

Figure 3.7: Interferencione pruge u Jangovom eksperimentu izvedenomsa (naizgled) cesticama. (Latszolag) reszecskekkkel kivitelezett Yang-felekserletben mert interferencios cskok.

reszecske amelyik az adott resen haladt at, ezert keptelen onmagaval inter-feralni, ebben az esetben eltunik az interferencios mintazat!

3.5.1 Osnovni pojmoviAlapfogalmak

= (~r, t) je uobicajena oznaka talasne funkcije3. Vrednost talasne funkcijeje kompleksan broj ! U opstem slucaju talasna funkcija zavisi i od vremena iod prostornih koordinata. Znajuci talasnu funkciju nekog kvantnog sistemamoguce je odrediti sve velicine koje odredjuju taj kvantni sistem. Pomocutalasne funkcije racunamo verovatnoce i ocekivane vrednosti fizickih velicina.Cilj nam je je da na osnovu fizickih osobina sistema odredimo talasnu funkcijukojom mogu da se opisu - predvide rezultati merenja datog sistema.

= (~r, t) a hullamfuggveny megszokott jelolese. 4. A hullamfuggvenyerteke komplex szam! Altalanos esetben a hullamfuggveny fugg az idotoles a terbeli koordinataktol. Egy kvantumrendszer hullamfuggvenyenek is-mereteben meghatarozhato az adott kvantumrendszert jellemzo osszes fizikaimennyiseg. A hullamfuggveny segtsegevel kiszamolhatok a fizikai mennyise-gek valosznusegei es varhato ertekei.

3Veliko slovo ce oznacavati talasnu funkciju koja zavisi i od prostora i od vremena.Malo slovo ce oznacavati talasnu funkciju koja zavisi samo od prostornih koordinata.

4Nagy betuvel jeloljuk a ter- es idofuggo hullamfuggvenyt, kis betuvel jeloljuk azta hullamfuggvenyt amelynek csak terbeli fuggese van.

3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 79

Az a celunk, hogy a fizikai rendszer tulajdonsagai alapjan meghatarozzukazt a hullamfuggvenyt, mely segtsegevel lerhatjuk - megjosolhatjuk a rend-szeren elvegzett meresek eredmenyeit.

3.5.2 Operatori, ocekivane vrednosti, i kako do njihOperatorok, varhato ertekek, es hogyan erjukel azokat

Talasna funcija je normirana, tj. mozemo je tretirati kao vektor koji imadobro definisanu duzinu. Verovatnoce elementarnih dogadjaja se sabirajuu jedinicu, sto je verovatnoca sigurnog dogadjaja. Skalarni proizvod dve ta-lasne funkcije (dva vektora) je definisan kao integral njihovog proizvoda. Kaosto je poznato, skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat nje-gove duzine. Znaci da je normiranost talasne funkcije istovredno tvrdjenjuda je ona jedinicni vektor.A hullamfugveny normalt, azaz olyan vektornak tekinthetjuk amelyenk jolde-finialt hossza van. Az osszes elemi esemeny valosznusege eggye adodikossze, ami a biztos esemeny valosznusege. Ket hullamfuggveny (ket vektor)skalarszorzata mint azok szorzatanak hatarozott integraljat definialjuk. Mintazt mar tudjuk, egy vektor onmagaval vett skalarszorzata megadja a vektorhosszanak a negyzetet. Tehat a hullamfuggveny normaltsaga egyenertekuazzal az alltassal, hogy az egy egysegvektor.

|||| =

dx dy dz = 1 (3.36)

Merljiva fizicka velicina A je A - ocekivana ili srednja vrednost operatora A(3.37). Operator je objekat koji deluje na talasnu funkciju kao A. Merljivefizicke velicine su istovremeno i svojstvene vrednosti odgovarajucih opera-tora. Stanja fizickih sistema se opisuju pomokaocu svojstvenih vektora odgo-varajucih operatora.A merheto A fizikai mennyiseg az A operator A varhato vagy atlagoserteke, (3.37). Az operator olyan objektum amely a hullamfuggvenyre akovetkezokeppen hat: A. A merheto A fizikai mennyisegek egyben bizonyosoperatorok sajatertekei. A fizikai rendszer allapota operatorok sajatvektoraivalfejezhetok ki.

A =

Adx (3.37)

80 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

Moramo da znamo koliko dobro srednja vrednost merenja opisuje merenuvelicinu. Ukoliko merene vrednosti malo odstupaju od srednje vrednosti,srednja vrednost dobro opisuje - karakterise merenu vrednost. Ukoliko jerasturanje/odstupanje od srednje vrednosti veliko, srednja vrednost ne dajepuno informacije o merenoj velicini. Odstupanje merene vrednosti od srednjevrednosti je AA. Ukupno kvadratno odstupanje 2(A) od srednje vred-nosti mozemo oceniti kao srednju vrednost kvadrata odstupanja od srednjevrednosti:Illik tudni, hogy az atlagos ertek milyen jol rja le a mert mennyiseget. Amen-nyiben a mert ertekek kevesse ternek el/szorodnak az atlagos ertek korul, azatlagos ertek jol rja le a mert mennyiseget. Amenyiben az atlagos ertekkoruli szoras nagy, az atlag nem ad sok informaciot a mert mennyisegrol.A mert ertek elterese az atlagertektol A A. Az ossz negyzetes elteresbecslese az atlagos negyzetes elteres:

2(A) =(A A

)2(3.38)

Ocenu ukupnog odstupanja daje kvadratni koren srednjeg kvadratnog odstu-panja:Az atlagos elteres becslese az atlagos negyzetes elteres negyzetgyoke:

(A) =

2(A) =

(A A

)2(3.39)

Sto je (A) manje, rasturanje merenih vrednosti velicine A oko srednje vred-nosti A su manje, i merenje je tacnije. Ukoliko je (A) veliko, rasturanjeoko srednje vrednosti je veliko, tako da srednja vrednost ne daje mnogo in-formacije o merenoj velicini. Znaci da velicinu (A) mozemo identifikovatisa apsolutnom tacnoscu merenja velicine A.Minel kissebb (A), annal kisseb az A mennyiseg A atlag koruli szorasa,es a meres pontosabb. Minel nagyobb (A), annal inkabb szorodnak a mertmennyiseg az atlag korul, es az atlag egyre kevesebbet mond a mert men-nyisegrol. Ezert (A)-t a meres abszolut pontossagaval azonostjk.

Energija kretanja je izraziva preko impulsa, tako da imamo nacina da jeizrazimo preko velicine koja je smislena i u klasicnoj i u kvantnoj fizici.A mozgasi energia kifejezheto az impulzus segtsegevel, amely egyarant ertelmesa klasszikus es a kvantum fizikaban.

Ek =mv2

2=mv2

2

m

m=m2v2

2m=

(mv)2

2m=

p2

2m(3.40)

3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 81

U kvantnoj fizici je smislen i pojam potencijalne energije, s tim da jojje znacenje u izvesnom smislu prosireno u odnosu na klasicnu fiziku. Postou kvantnoj fizici ubrzanje i sila nemaju smisla interakcije uzimamo u obzirpomocu potencijalne energije. Ukoliko postoji interakcija izmedju delova sis-tema ili sistema i njegove okoline, interakcije uticu na potencijalnu energijusistema.Kvantum fizikaban ertelmes a helyzeti energia (fogalma), azzal az eszrevetellelkiegesztve, hogy bizonyos ertelemben a helyzeti energia fogalma bovul aklasszikus fizikahoz viszonytva. Mivel kvantum fizikaban a gyorsulas es eroertelmetlen fogalmak, a kolcsonhatast a helyzeti energia segtsegevel vesszukfigyelembe. Ha a rendszer kulonbozo reszei egymassal kolcsonhatnak, vagy arendszer kolcsonhat a kornyezetevel, ezek a kolcsonhatasok meghatarozzak arendszer helyzeti energiajat.

Hamiltonov operator H je operator koji odredjuje ukupnu energiju kvantnogsistema. Kao i u klasicnoj fizici, i u kvantnoj fizici ukupna energija sistemase sastoji od kineticke i potencijalne energije.

H a Hamilton operator, mely a kvantum rendszer teljes energiajat meghatarozooperator. Mint a klasszikus fizikaban, a kvantum fizikaban is az ossz energiaa mozgasi es helyzeti energiakbol tevodik ossze.

H =~p2

2m+ U (3.41)

U izrazu (3.41) ~p = (px, py, pz) je operator impulsa, shodno tome~p2

2mje oper-

ator kineticke energije a U je operator potencijalne energije.A (3.41) kifejezesben ~p = (px, py, pz) az impulzus operator, ennek megfeleloen~p2

2ma mozgasi energia operatora, U pedig a helyzeti energia operatora.

Talasna funkcija je resenje (vremenski zavisne) Sredingerove jednacine, (3.42).A hullamfuggveny a(z idofuggo) Schrodinger egyenlet (3.42) megoldasa.

H = ih

t(3.42)

Strogo govoreci, Sredingerova jednacina se ne moze izvesti. Ona se pos-tulira, i na osnovu nje se mogu vrsiti teorijska predvidjanja koja je moguceeksperimentalno proveriti. U ovom smislu je logicki status Sredingerovejednacine u kvantnoj fizici slican statusu Njutnovih zakona u klasicnoj fizici.Sredingerova jednacina daje tacan opis fizickih sistema ukoliko u njima nisu

82 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET

bitne spinske interakcije odnosno ukoliko su brzine objekata od interesa maleu odnosu na brzinu svetlosti. 5

Szigoruan veve, a Schrodinger-egyenletet nem lehet levezetni. Azt posz-tulaljuk, es annak alapjan elmeleti joslasokat tehetunk, amelyeket kiserletilegellenorizhetunk. Ebben az ertelemben a kvantum elmeletben a Schrodinger-egyenlet logikai statusza hasonlt a Newton-torvenyek statuszahoz a klasszikusfizikaban. A Schrodinger-egyenlet pontosan rja le a fizikai rendszereket,amennyiben azokban a spin kolcsonhatas elhanyagolhato, illetve amennyi-ben a szoban forgo objektumok sebessegei kicsik a fenysebesseghez kepest. 6

Zarad jednostavnosti, u najvecem broju slucajeva ogran