γλώσσες
Σελίδες
Νομικός
Fizika 2.Beleske/ Jegyzet
2013.
2
0.1 Podsetnik/Emlekezteto:
z = x+ iy = ρ exp(iφ), z∗ = x− iy = ρ exp(−iφ) (1)
ρ =√x2 + y2, φ = arctg
y
x(2)
|z|2 = ρ2 = x2 + y2 = zz∗ (3)
x = Re(z) = ρ cosφ, y = Im(z) = ρ sinφ (4)
x =1
2(z + z∗), y =
1
2i(z − z∗) = − i
2(z − z∗) (5)
exp(iα) + exp(−iα) = 2 cosα (6)
exp(iα)− exp(−iα) = 2i sinα (7)N∑i=0
qi = 1 + q + q2 + . . .+ qN =1− qN
1− q(8)
expx ≡ ex (9)
sinx ∼ x, |x| � 1 (10)√
1 + x ∼ 1 +1
2x, x� 1 (11)
expx ∼ 1 + x, x� 1 (12)
cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β (13)
cosα + cos β = 2 cos
(α + β
2
)cos
(α− β
2
)(14)
Kronekerov simbol / Kronecker-szimbolum
δi,j =
{1, i = j0, i 6= j
(15)
Simbol Levi-Civita/ Levi-Civita-szimbolum
εi,j,k =
1, (i, j, k) ∈ {(x, y, z), (y, z, x), (z, x, y)}−1, (i, j, k) ∈ {(x, z, y), (z, y, x), (y, x, z)}
0, u ostalim slucajevima / egyebkent(16)
(cf)′ = cf ′, c = const (17)
(f + g)′ = f ′ + g′ (18)
(fg)′ = f ′g + fg′ (19)
f(g(x))′ = f ′(g(x))g′(x) (20)
0.1. PODSETNIK/EMLEKEZTETO: 3
L’opital-ovo pravilo: pod pretpostavkom da sve navedene granicne vrednostipostoje, vazi:L’opital-szabaly: amennyiben az osszes szoban forgo hatarertek letezik, igaz,hogy:
limx→x0
f(x)
g(x)= lim
x→x0
f ′(x)
g′(x)(21)
dy
dx= ay ⇒ y = y(0) exp(ax) (22)
d2y
dx2+ a2y = 0⇒ y = A exp(iax) +B exp(−iax) (23)
sin a sin b =1
2(cos(a− b)− cos(a+ b)) (24)
cos a cos b =1
2(cos(a− b) + cos(a+ b)) (25)
sin a cos b =1
2(sin(a+ b) + sin(a− b)) (26)
skalarni proizvod dve kompleksne funkcije - dva kompleksna vektoraket komplex fuggveny - ket komplex vektor skalarszorzata
f, g : R3 → Z (27)
〈f, g〉 =∫f ∗(x, y, z)g(x, y, z) dx dy dz (28)
4
2cos(x)
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−10 −5 0 5 10
cos (x)
Figure 1: cos(x), cos2(x)
Chapter 1
Geometrijska optikaGeometriai optika
Indeks prelamanja svetlosti n neke sredine je jednak odnosu brzine svetlostiu vakuumu, (c), i odnosu brzine svetlosti u datoj sredini, (v).Egy kozeg toresmutatoja n egyenlo a vakuumbeli fenysebesseg (c) aranyavalaz adott kozegben mert fenysebesseggel (v).
n =c
v(1.1)
1.1 Fermaov princip
Fermat-elv
Ukoliko je sredina opticki nehomogena i indeks prelamanja se menja od tackedo tacke, opticku duzinu (l) puta racunamo po obrascu (1.3).Amennyiben a kozeg optikailag inhomogen es a toresmutato pontonkentvaltozik, az (l) optikai uthosszt a (1.3) egyenlet hatarozza meg.
dl = n(~r)ds (1.2)
l =∫n(~r)ds (1.3)
Integral racunamo duz putanje svetlosnog zraka. ds je infinitezimalni elementputanje svetlosnog zraka.
5
6 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
Az integralt a fenysugar menten szamoljuk. ds a fenysugar infinitezimalisszakasza.
Fermaov princip:Fermat-elv:Svetlosni zrak se prostire tako, da mu je opticka duzina puta najkraca moguca.A fenysugar ugy terjed, hogy az optikai uthossza a leheto legrovidebb legyen.
1.1.1 Zakon prelamanja svetlostiA fenytores torvenye
Kao primer primene Fermaovog principa izvescemo zakon prelamanja svet-losti.A Fermat-elv alkalmazasi peldajakent levezetjuk a fenytoresi torvenyt.
Dve sredine 1 i 2, s indeksima prelamanja n1 i n2 granice se jednom ravni.Tacka A je u sredini 1, tacka B je u sredini 2. Kako se prositre svetlosti zrakizmedju tacaka A i B?Ket egymassal hataros kozeg, 1 es 2, egy sık menten erintkezik egymassal. Amegfelelo toresmutatok n1 es n2. Az A pont az 1-es kozegben van, a B ponta pedig a 2-es kozegben. Hogyan terjed a fenysugar a ket pont kozott?
A
B
n
n
1
x d−x
y
s
ys
1
2
1
2
2
α
β
α
β
Figure 1.1: Duzina optickog puta izmedju tacaka A i B. A es B pontokkozotti optikai uthossz.
1.1. FERMAOV PRINCIP FERMAT-ELV 7
l = n1s1 + n2s2 (1.4)
s21 = x2 + y2
1, s22 = (d− x)2 + y2
2 (1.5)
l = n1
√x2 + y2
1 + n2
√(d− x)2 + y2
2 (1.6)
Uslov za minimum optickog puta l, (1.6), je dldx
= 0.Az l, (1.6), optikai uthosz minimumanak a foltetele dl
dx= 0.
dl
dx= n1
1
2
2x√x2 + y2
1
− n21
2
2x√(d− x)2 + y2
2
= 0 (1.7)
Na osnovu (1.7) uslov za minimum je / (1.7) alapjan a minimum foltetele:
n1x√
x2 + y21
= n2x√
(d− x)2 + y22
n1x
s1
= n2d− xs2
n1 sinα = n2 sin β (1.8)
Zakon prelamanja svetlostiA fenytores torvenye
sinα
sin β=n2
n1
= n2,1 (1.9)
Primer / Pelda
Odredite vrednost granicnu vrednost ugla prelamanja ako su indeksi prela-manja dve sredine n1 i n2, n2 > n1. (1.1.1)Hatarozza meg a toresi szog hatarerteket, ha a kozegek toresmutatoi rendren1 es n2, n2 > n1. (1.1.1)Resenje / Megoldasα = π
2, sinα = 1, ⇒ sin β = n1
n2.
8 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
α
β
n
n2
1
Figure 1.2: Granicni ugao. Hatarszog.
1.2 Svetlovod / Fenyvezeto
Pretpostavljamo da indeks prelamanja svetlosti svetlovoda zavisi samo odrastojanja od ose svetlovoda, r. z osa se poklapa sa osom svetlovoda.Foltetelezzuk, hogy a fenyvezeto toresmutatoja csak a fenyvezeto tengelyetolmert tavolsagtol fugg. A z tengely megegyezik a fenyvezeto tengelyevel.Uglove merimo u odnosu na osu svetlovoda, videti sl. 1.3.A szogeket a fenyvezeto tengelyehez merjuk, ld. az 1.3. abrat.Zakon prelamanja svetlosti na tankom sloju debljine ∆r glasi:
∆r
∆z
α
∆α
r
z z+∆z
Figure 1.3: Svetlovod. / Fenyvezeto
1.2. SVETLOVOD / FENYVEZETO 9
A fenytores torvenye ∆r vastagsagu (esetunkben vekonysagu) retegen:
n(r) cosα = n(r + ∆r) cos(α + ∆α)
=
(n(r) + ∆r
dn
dr+ . . .
)(cosα cos(∆α)− sinα sin(∆α))
∼(n(r) + ∆r
dn
dr
)(cosα− (∆α) sinα)
∼ n(r) cosα− n(r) sinα∆α + cosαdn
dr∆r + . . . (1.10)
(1.10) ⇒ tgα∆α
∆r=
1
n(r)
dn
dr
tgα =∆r
∆z⇒ ∆α
∆z=
1
n(r)
dn
dr
tgα ∼ α ⇒ ∆2r
∆z2=
1
n(r)
dn
dr(1.11)
U slucaju da debljina sloja ∆r na kome se svetlost prelama tezi 0, uvrstavajucigranicnu vrednost leve strane izraza (1.11) dobijamo diferencijalnu jednacinukoja opisuje prostiranje svetlosnog zraka kroz svetlovod:Amennyiben ∆r (annak a retegnek a vastagsaga amelyen megtorik a fenysugar)0-hoz tart, vegyuk a (1.11) kifejezes baloldalanak a hatarerteket, es megkapjuka fenyvezetoben terjedo fenysugar terjedesenek a differencialegyenletet:
d2r
dz2=
1
n(r)
dn
dr(1.12)
Resenje jednacine (1.12) je r(z), sto je udaljenost svetlosnog zraka od optickeose u tacci z.A (1.12) egyenlet megoldasa r(z), ami a fenysugar tavolsaga az optikai tenge-lytol a z pontban.
1.2.1 Primer / Pelda
Neka je svetlovod poluprecnika r0 izradjen od materijala ciji se indeks prela-manja svetlosti menja po zakonu:Tetelezzuk fol, hogy az r0 sugaru fenyvezeto toresmutatoja a kovetezo modonfugg a fenyvezeto tengelyetol mert tavolsagtol:
n(r) = n0
(1− ar2
2
)(1.13)
10 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
gde smo pretpostavili da vaziar2
0
2� 1.
ahol folteteleztuk, hogyar2
0
2� 1.
n
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
1.4
0 1 1.5 2
n(r)
0.5
r
Figure 1.4: Zavisnost indeksa prelamanja od r. A toresmutato r-fuggese.n0 = 1.4, a = 0.1.
dn
dr= −n0ar
1
n(r)
dn
dr= − ar
1− ar2
2
∼ −ar (1.14)
Na osnovu jendnacine (1.14) jednacina koja opisuje prostiranje svetlosnogzraka u tankom svetlovodu je:A (1.14) egyenlet alapjan a vekony fenyvezetoben terjedo fenysugar egyen-lete:
d2r
dz2+ ar = 0 (1.15)
cije resenje je (vidi sliku 1.5):melynek megoldasa (ld. a 1.5. abrat):
r(z) = A cos(√
az)
+B sin(√
az)
(1.16)
1.2. SVETLOVOD / FENYVEZETO 11
Lako je uvideti da je a kvadrat talasnog broja.Konnyen belathato, hogy a a hullamszam negyzete.Znacenje konstanti A i B mozemo odrediti iz pocetnih uslova.
r
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20
r(z)
z
Figure 1.5: Putanja svetlosnog zraka u svetlovodu. A fenysugarfenyvezetobeli palyaja. A = 0.2, B = 1.
Az A es B allandok jelenteset a kezdeti foltetelek alapjan hatarozhatjuk meg.
r(0) = A,dr(0)
dz= B√a (1.17)
tj. A je pocetna udaljenost svetlosnog zraka od ose svetlovoda, a B√a je
tangens ugla koji u pocetnoj tacci svetlosni zrak zaklapa sa osom svetlovoda.vagyis A a fenysugar kezdeti tavolsaga a fenyvezeto tengelyetol, mıg B
√a a
kezdeti pontban a fenysugar es a fenyvezeto tengelye kozotti szog tangense.
Zadatak / Foladat
Resenje jednacine (1.15) je moguce napisati (i) u obliku:A (1.15) egyenlet megoldasa folırhato a kovetkezo alakban (is):
r(z) = A cos(√
az + φ)
(1.18)
Odredite znacenje konstanti A i φ.Hatarozza meg az A es φ allandok jelenteset.
12 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
1.3 Gausova optika
Gauss-fele optika
Posmatrajmo socivo, i opisimo prostiranje svetlosnih zraka kao transforma-ciju ulaznih podataka u izlazne, pi = T (pu).Vizsgaljuk meg a lencse fenytoreset, ırjuk fel a fenysgarak terjedeset mint abemeno adatok transzformacioit kimeno adatokka, ak = T (ab).Paraksijalna aproksimacija znaci da posmatramo samo svetlosne zrake bliskeoptickoj osi. To znaci da su svi uglovi mali, odnosno da su sve tacke blizuopticke ose. Nadalje pretpostavljamo da je debljina sociva svuda prbliznoista.A parakszialis kozelıtes (approximacio) azt jelenti, hogy azokat a fenysuga-rakat vesszuk figyelembe amelyek kozel vannak az optikai tengelyhez. Ez aztjelenti, hogy az osszes szoget kicsinek tekintjuk, hogy az osszes pont kozel vanaz optikai tengelyhez, illetve, hogy a lencse vastagsaga kozelıtoleg allando.α je ugao koji svetlosni zrak zaklapa sa optickom osom, r1 i r2 su poluprecnicikrivina povrsina sociva.α a fenysugar es az optikai tengely kozotti szog, r1 es r2 a lencsefeluletekgorbuleti sugarait jeloli.U tacci P1 svetlosni zrak se prelomi na prelazu iz sredine 1 u sredinu 2.Mozemo da primenimo zakon prelamanja svetlosti (1.8) u specijalnom slucajumalih upadnih i prelomljenih uglova.A P1 pontban a fenysugar megtorik a ket kozeg hataran. Alkalmazhatjuk a(1.8) fenytoresi torvenyt abban a specialis esetben amikor a beeso es a toresiszog egyarant kicsi.
θ1 = α1 + φ, θ2 = α2 + φ (1.19)
sinφ =x
r1
∼10 φ (1.20)
n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (1.21)
sin θi ∼10 θi (1.22)
(1.21, 1.22, 1.20) ⇒ n1
(α1 +
x
r1
)= n2
(α2 +
x
r1
)(1.23)
n2α2 = n1α1 +n1 − n2
r1
x (1.24)
x1 = x2 (1.25)
Imamo sledece ulazne velicine:
1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 13
n1
n2
n3
α1
α1
P1
P2
α =α2 1
φ
φ
φ
1
x1 x’ = x
’
2
r1
α3
x3
∆
Figure 1.6: Prelamanje svetlosti na socivu / A lencse fenytorese.
14 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
• opticke osobine sredine, n1, n2, n3
• oblik sociva, r1, r2, ∆
• podaci o upadnom zraku, α, x
A kovetkezo bemeno valtozokkal van dolgunk:
• a kozeg optikai tulajdonsagai, n1, n2, n3
• a lencse alakja r1, r2, ∆
• a bemeno fenysugar adatai
Podatke koji opisuju svetlosni zrak predstavljamo sledecim vektorom:A fenysugart leıro adatokat a kovetkezo vektorral abrazoljuk:
(nαx
)(1.26)
Ulazne i izlazne podatke koji opisuju svetlosni zrak povezuje matrica cijielementi zavise od oblika sociva i od optickih osobina sredine.A fenysugar bemeno es kimeno adatait egy matrix kapcsolja ossze, a matrixelemei a lencse alakjatol es a kozeg optikai tulajdonsagaitol fuggnek.U tacci P1 vaze sledece relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara:A P1 pontban a bemeno es kimeno adatok kozotti kapcsolat a kovetkezo:(
n2α2
x2
)=
(1 n1−n2
r1
0 1
)︸ ︷︷ ︸
=M1
(n1α1
x1
)(1.27)
Izmedju tacaka P1 i P2 svetlosni zrak ne menja pravac prostiranja, menjase njegovo rastojanje od opticke ose. Vaze sledece relacije izmedju ulaznih iizlaznih parametara:A P1 es P2 pontok kozott a fenysugar nem valtoztatja a terjedesi iranyat, amivaltozik az az optkai tengelytol valo tavolsag. A bemeno es kimeno adatokkozotti kapcsolat a kovetkezo:(
n2α2
x2
)′=
(1 0∆n2
1
)︸ ︷︷ ︸
=M2
(n2α2
x2
)(1.28)
1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 15
U tacci P2 vaze sledece relacije izmedju ulaznih i izlaznih parametara:A P2 pontban a bemeno es kimeno adatok kozotti kapcsolat a kovetkezo:(
n3α3
x3
)=
(1 n2−n3
r2
0 1
)︸ ︷︷ ︸
=M3
(n2α2
x2
)′(1.29)
Uvedimo sledece oznake: Vezessuk be a kovetkezo jelolest:
k12 =n1 − n2
r1
, k23 =n2 − n3
r2
(1.30)
Primetimo da je determinanta sve tri matrice jednaka jedinici, tako da je ideterminanta njihovog proizvoda 1.Vegyuk eszre, hogy mindharom matrix determinansa egy, ezert a szorzatukdeterminansa is 1.Matrica M koja opisuje prelamanje svetlosti na socivu je proizvod tri matrice(obratite paznju na redosled matrica u proizvodu!):A lencse fenytoreset leıro M matrix folırhato mint harom matrix szorzata(vegye eszre a matrixok sorrendjet a szorzatban!):
M = M3M2M1
=
(1 k23
0 1
)(1 0∆n2
1
)(1 k12
0 1
)
=
1 + ∆n2k23 k12 + k23 + k12k23
∆n2
∆n2
1 + ∆n2k12
(1.31)
=
(a bc d
)(1.32)
detM = 1 (1.33)
Velicine a, b, c i d nazivamo Gausovim parametrima sociva.Az a, b, c es d mennyisegek a lencse Gauss-parameterei.Iz (1.33) sledi da Gausovi parametri (1.32) nisu nezavisni, znajuci bilo kojatri moze se izraziti cetvrti.(1.33)-bol kovetkezik, hogy a Gauss-parameterek (1.32) nem fuggetlenek,barmely harom ismereteben meghatarozhato a negyedik.Postavimo predmet na rastojanju l1 od sociva. Socivo ce prelomiti svetlosnezrake koje dolaze sa predmeta i stvorice sliku ili lik predmeta na rastojanju
16 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
l3 od sociva.Helyezzunk el egy targyat l1 tavolsagra a lencsetol. A lencse megtori atargyrol jovo fenysugarakat es a lencsetol l3 tavolsagban megalkotja a targykepet.Opisimo opticku transformaciju predmeta u njegov lik. Koordinatni pocetakopticke ose je unutar sociva.Irjuk le a targy-kep optikai transzformaciot. Az optikai tengely origoja alencseben van.
n1
n2
n3
−l l
hh
1
3
3
1
Figure 1.7: Socivo, predmet (razmera h1, na rastojanju l1) i lık (razmera h2,na rastojanju l2). Lencse, (h1 meretu) targy (l1 tavolsagon) es (h2 meretu)kep (l2 tavolsagon).
1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 17
(n3α3
h3
)︸ ︷︷ ︸lık / kep
=
(1 0l3n3
1
)︸ ︷︷ ︸od socivalencsetol
(a bc d
)︸ ︷︷ ︸
socivolencse
(1 0− l1n1
1
)︸ ︷︷ ︸
do socivalencseig
(n1α1
h1
)︸ ︷︷ ︸
predmet / targy
(1.34)
(n3α3
h3
)=
a− b l1n1
b
− l1n1
(d+ b l3
n3
)+ c+ a l3
n3b l3n3
+ d
︸ ︷︷ ︸
=T
(n1α1
h1
)(1.35)
Na osnovu jednacine (1.35) napisimo eksplicitno odnos izmedju velicina h1 ih3.Az (1.35) egyenlet alapjan ırjuk le a h1 es h3 mennyisegek kozti kapcsolatot.
h3 =
[− l1n1
(d+ b
l3n3
)+ c+ a
l3n3
]n1α1 +
[bl3n3
+ d
]h1 (1.36)
Uvecanje sociva se definise kao: / A lencse nagyıtasa:
N =h3
h1
=
[− l1n1
(d+ b
l3n3
)+ c+ a
l3n3
]︸ ︷︷ ︸
=0
n1α1
h1
+
[bl3n3
+ d
](1.37)
Uslov za postojanje ostre slike je da uvecanje ne zavisi od ugla pod kojimzrak sa predmeta pada na socivo.Az eles kep letezesenek foltetele, hogy a nagyıtas ne fuggjon a targyrol alencsebe erkezo fenysugar szogetol.Dalje, znamo da je determinanta matrice T jednaka 1 i da je jednaka proizvoduelemenata na dijagonali. Iz jednacine (1.36) znamo da je element u donjemdesnom uglu uvecanje sociva. Iz navedenih cinjenica sledi da matricu Tmozemo da napisemo kao:Tudjuk, hogy a T matrix determinansa 1 es, hogy egyenlo az atlon levo ele-mek szorzataval. Az (1.36) egyenlet alapjan tudjuk, hogy a matrix jobb alsosarkaban levo elem a lencse nagyıtasa. Mindezek alapjan a T matrixot akovetkezo alakban ırhatjuk:
T =
(1N
b0 N
)(1.38)
18 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
1.3.1 Kardinalni elementi socivaA lencse kardinalis elemei
Veza izmedju uvecanja sociva i Gausovih parametara je sledeca:A lencse nagyıtasa es a Gauss-parameterek kozotti kapcsolat a kovetkezo:
1
N= a− b l1
n1
, N = bl3n3
+ d (1.39)
Glavne ravni / Fosıkok
Nadjimo ravan koja se preslika kroz socivo bez uvecanja, N = 1. Iz jednacina(1.39) nalazimo:Talaljuk meg azt a sıkot amelyik nagyıtas nelkul vetul at a lencsen, N = 1.Az (1.39) egyenletek alapjan:
l1 =n1
b(a− 1), l3 =
n3
b(1− d) (1.40)
Fokalne-zizne ravni / Fokalis sıkok
Jedna zizna ravan je odredjena uslovom 1N
= 0, a druga uslovom N = 0. Naosnovu jednacina (1.39) nalazimo:Az egyik fokalis sıkot az 1
N= 0-, a masikat pedig az N = 0 foltetel hatarozza
meg.
N =∞⇒ 0 = a− blf1
n1
⇒ lf1 = n1a
b(1.41)
N = 0⇒ 0 = blf3
n3
+ d⇒ lf3 = −n3d
b(1.42)
Zizno rastojanje je po definiciji: / A fokusztavolsag definıcio szerint:
f1 = lf1 − l1 =n1
b(1.43)
f3 = lf3 − l3 = −n3
b(1.44)
Ukoliko je n1 = n3, nalazimo znacenje parametra b, to je dioptrija, tj. optickamoc sociva. Sto je dioptrija sociva veca, tim se vise menja pravac svetlosnogzraka prilikom prolaska kroz socivo.
1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 19
Amennyiben n1 = n3, konnyen ertelmezzuk a b parametert, az a dioptria. Adioptria egy lencse optikai torokepesseget meri, minel nagyobb a lencse diop-triaja, a lencsen athalado fenysugar annal inkabb megvaltoztatja a haladasiiranyat.
Koristeci metode Gausove optike i paraksijalnu aproksimaciju moguce jeresiti problem prostiranja svetlosnog zraka kroz bilo koji osno simetricniopticki sistem.A Gauss-optika modszereit- es a parakszialis kozelıtest hasznalva barmilyentengelyszimmetrikus optikai rendszerben megoldhato a fenysugar terjedeseneka problemaja.
1.3.2 Socivo, drugi put / Lencse, masodszor
Mozemo da resimo problem prelamanja svetlosnog zraka na socivu i egzaktno.Pontosan is meghatarozhatjuk a lencse fenytoreset.Koristeci jednacine (1.19, 1.20) i (1.21) u tacci P1, (slika 1.6) nalazimo:Az (1.19, 1.20) es (1.21) egyenletek alapjan a P1 (1.6-as abra) pontban afenytores:
α2 = arcsin(n1
n2
sin(α1 + arcsin
x1
r1
))− arcsin
x1
r1
(1.45)
1.3.3 Predznaci / Elojelek
U primenama moramo paziti na znacenje predznaka. Ukoliko je povrsinasociva u odnosu na pravac prostiranja svetlosnog zraka konveksna, poluprec-nik krivine sociva je pozitivan, u surotnom slucaju je negativan. Indeksprelamanja ogledala je jednak negativnom indeksu pelamanja sredine ispredogledala. Ukoliko se svetlosni zrak odbije npr. od povrsine ogledala i krecese u suprotnom pravcu, odgovarajuce predjeno rastojanje je negativno.Az alkalmazasokban figyelembe kell venni az elojelek jelenteset. Amenny-iben a fenysugar haladasi iranyabol nezve a lencse felulete domboru, annakgorbuleti sugara pozitıv, fordıtott esetben negatıv. Egy tukor toresmutatojamegegyezik a tukor elotti kozeg toresmutatojanak negatıv ertekevel. Ameny-nyiben a fenysugar visszaverodik, pl. egy tukortol es visszafele kezd haladni,a megfelelo-megtett tavolsag negatıv lesz.
20 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
Zadatak / Foladat
Znajuci ugao pod kojim svetlosni zrak pada na socivo i njegovu udaljenostod opticke ose u tacci u kojoj ulazi u socivo odredite udaljenost svetlosnogzraka od opticke ose u tacci u kojoj svetlosni zrak izlazi iz sociva.Ismerven a fenysugar beesesi szoget es azt az optikai tengelytol mert tavolsagotamelyen a fenysugar behatol a lencsebe, hatarozza meg azt az optikai tenge-lytol mert tavolsagot amelyen a fenysugar elhagyja a lencset.
Resenje / Megoldas
Tacke na povrsini sociva leze na dve sfere ciji su centri su na medjusobnomrastojanju r1 + r2 −∆, (slika 1.6).Tacka P1 ima koordinate (z1, x1) a tacka P2 ima koordinate (z2, x2).A P1 pont koordinatai (z1, x1), a P2 pont koordinatai (z2, x2).A lencse feluleten levo pontok ket olyan gomb feluleten vannak amelyekkozeppontjai egymastol r1 + r2 −∆ tavolsagon vannak (1.6 abra).Takodje vazi jednakost: / Tovabba igaz, hogy:
tgα2 =x2 − x1
z2 − z1
(1.46)
gde smo pretpostavili da se opticka osa poklapa sa z osom koordinatnogsistema. Neka je centar druge sfere u koordinatnom pocetku. U presekusfera sa xz ravni imamo:ahol folteteleztuk, hogy az optikai tengely megegyezik a z koordinata tengely-lyel. Legyen a masodik gomb kozeppontja az origoban. A gombok es az xzsık metszeteben igaz, hogy:
z22 + x2
2 = r22, (z1 − u)2 + x2
1 = r21, u = r1 + r2 −∆ (1.47)
Na osnovu jednacina (1.46) i (1.47) nalazimo (kvadratnu) jednacinu cijeresenje (koje?) odredjuje x2:Az (1.46) es (1.47) egyenlet alapjan meghatarozhatjuk azt a masodfokuegyenletet, amelynek (melyik?) megoldasa x2:
(1 + tg 2α2)x22 − 2
(x1 + tgα2
(r1 + r2 −∆ +
√r2
1 − x21
))x2
+y21 + tg 2α2
(r1 + r2 −∆ +
√r2
1 − x21
)2
+2x1tgα2
(r1 + r2 −∆ +
√r2
1 − x21
)− r2
2tg 2α2 = 0 (1.48)
1.3. GAUSOVA OPTIKA GAUSS-FELE OPTIKA 21
1.3.4 Jednacina sociva / Lencseegyenlet
Neka se ispred i iza sociva nalaze sredine sa istim indeksom prelamanja n1,r1 i r2 su poluprecnici krivine, a ∆ je debljina sociva. Relativan indeks prela-manja sociva je n2,1 = n2
n1. Znajuci znacenje Gausovog parametra b, (1.43,
1.44), definiciju dioptrije, i vezu parametra b sa geometrijom sociva (1.31,gornji desni ugao matrice) i indeksima prelamanja, uvrstavanjem nalazimojednacinu (debelog) sociva.Legyenek a lencse elotti es mogotti kozegek toresmutatoi egyenlok n1-el. Alencse gorbuleti sugarai r1 es r2, a lencse vastagsaga ∆. A lencse relatıvtoresmutatoja n2,1 = n2
n1. Ismerve a dioptria definıciojat, a b Gauss-parameter
jelenteset (1.43, 1.44), es kapcsolatat a lencse alakjaval es a toresmutatokkal(1.31, matrix jobb folso sarka), egyszeru behelyettesıtessl megkaphatjuk a(vastag) lencse egyenletet.
1
f= (n2,1 − 1)
(1
r1
+1
r2
+(n2,1 − 1)∆
n2,1r1r2
)(1.49)
Sledeca jednacina vazi za sociva i ogledala. Neka je f zizna daljina sociva, pudaljenost predmeta a l udaljenost lika.
1
f=
1
p+
1
l(1.50)
A kovetkezo egyenlet egyarant igaz lencsekre es tukrokre. Legyen f a lencsefokusztavolsaga, t a targytavolsag es k a keptavolsag.
1
f=
1
t+
1
k(1.51)
22 CHAPTER 1. GEOMETRIJSKA OPTIKA GEOMETRIAI OPTIKA
Chapter 2
Talasna optika / Hullamoptika
2.1 Elektromagnetni talasi
Elektromagneses hullamok
Amplituda ravnog talasa koji se krece ka pozitivnom kraju x ose je data ujednacini (2.1).Az x tengely pozitıv vege fele halado sıkhullam amplitudoja a (2.1)-es egyen-letben van megadva.
E(x, t) = E0 cos(ωt− kx+ φ) = E0Re (exp(ωt− kx+ φ))
= Re (E0 exp(ωt− kx+ φ)) (2.1)
• ω je kruzna frekvencija talasa / ω a hullam korfrekvenciaja.
ω = 2πν =2π
T(2.2)
• k je talasni broj / k a hullamszam.
k =2π
λ(2.3)
• φ je pocetna faza / a kezdeti fazis.
• Φ je faza talasa / Φ a hullam fazisa.
Φ = ωt− kx+ φ (2.4)
23
24 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
Figure 2.1: Podela i osobine elektromagnetnih talasa. Az elektromagneseshullamok osztalyozasa es alaptulajdonsagaik. [5]
• I(x, t) = E(x, t)E∗(x, t) je intenzitet svetlosti / a feny intenzitasa.Intenzitet svetlosti u nekoj tacci je proporcionalan gustini energijeelektormagnetnog talasa u toj tacci. Potencijalna energija (tacnijegustina potencijalne energije u datoj tacci) EM talasa je proporcionalnakvadratu amplitude talasa U ∼ E2, a kineticka energija (tacnije gustinakinetice energije u datoj tacci) je proporcionalna kvadratu izvoda am-plitude po vremenu, Ek ∼ E2 = ω2E2, te je gustina ukupne energijetalasa proporcionalna kvadratu amplitude, to jest intenzitetu.A feny intenzitasa egy adott pontban aranyos az elektormagneses hullamenergiasurusegevel ugyanabban a pontban. Az elektormagneses hullamhelyzeti energiaja (pontosabban annak surusege az adott pontban) a-ranyos az amplitudo negyzetevel, U ∼ E2, a mozgasi energiaja (pon-tosabban annak surusege az adott pontban) pedig aranyos az ampli-tudo idoszerinti derivaltjanak a negyzetevel, Ek ∼ E2 = ω2E2, azaz ahullam ossz energia surusege az amplitudo negyzetevel aranyos, vagyisaz intenzitassal.
• I(x) = 〈I(x, t)〉 je prosecni intenzitet svetlosti / I(x) = 〈I(x, t)〉 a fenyatlagos intenzitasa.〈 〉 oznacava usrednjavanje po vremenu / 〈 〉 az ido szerinti atlagolastjeloli.
2.1. EM TALASI / EM HULLAMOK 25
Figure 2.2: Osnovna podela elektromagnetnih talasa. Az elektromagneseshullamok alaposztalyozasa. [6]
26 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
cos(0.2t−0.5x)
0 2
4 6
8 10
t 0 2
4 6
8 10
x
−1−0.8−0.6−0.4−0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
E(x,t)
−1−0.8−0.6−0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
cos(t−x)
0 2
4 6
8 10
t 0 2
4 6
8 10
x
−1−0.8−0.6−0.4−0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
E(x,t)
−1−0.8−0.6−0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
cos(2t−3x)
0 2
4 6
8 10
t 0 2
4 6
8 10
x
−1−0.8−0.6−0.4−0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1
E(x,t)
−1−0.8−0.6−0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 2.3: Primeri ravnih harmonijskih elektromagnetnih talasa, E0 = 1.Sık harmonikus elektromagneses hullamok peldai, E0 = 1.
2.2. IZBIJANJE / LEBEGES 27
• Brzina elektromagnetnog talasa je odredjena relacijama (2.5). Brzinasvetlosti u vakuumu je c = 108m/s.Az elektromagneses hullam sebesseg et a (2.5) osszefuggesek hatarozzakmeg. A fenysebesseg vakuumban c = 108m/s.
v =λ
T= λν =
2πν2πλ
=ω
k(2.5)
Kada koristimo izraz intenzitet svetlosti u najvecem broju slucajeva mislimona prosecan intenzitet.Amikor az intenzitas kifejezest hasznaljuk, az esetek donto tobbsegeben azatlagos intenzitasra gondolunk.
2.1.1 Zadatak / Foladat
Izracunajte brzine talasa i odgovarajuce indekse prelamanja svetlosti iz primeraprikazanog na slici Fig. 2.3. Brzine talasa ce biti neuobicajeno male, a vred-nosti indeksa prelamanja ce biti neuobicajeno velike, ali ne i nemoguce!Szamolja ki a Fig. 2.3. abran szemleltetett sıkhullamok sebessegeit es amegfelelo toresmutatokat. A sebesseg ertekei meglepoen kicsik lesznek, atoresmutatoke meglepoen nagyok, de ezek az ertekek nem lehetetlenek!
2.2 Izbijanje / Lebeges
Razmotrimo superpoziciju dva ravna talasa jednakih amplituda i razlicitihfrekvencija, odnosno talasnih duzina koji osciluju duz istog pravca.Vizsgaljuk meg ket sıkhullam szuperpoziciojat amelyek amplitudoja egy-forma, de a frekvenciajuk es hullamhosszuk nem.
E1 = E0 cos(ω1t− k1x) (2.6)
E2 = E0 cos(ω2t− k2x) (2.7)
E = E1 + E2
=14 2E0 cos
((ω1 + ω2)t− (k1 + k2)x
2
)
cos
((ω1 − ω2)t− (k1 − k2)x
2
)
28 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
= 2E0 cos
(∆ωt
2− ∆kx
2
)︸ ︷︷ ︸
Obvojnica - Burkolo
cos (ωt− kx) (2.8)
=2.5 2E0 cos(ω1 + ω2
2
(t− x
v
))cos
(ω1 − ω2
2
(t− x
v
))(2.9)
2 cos(0.25t−0.5x) cos(2t−3x)
0 5
10 15
20t 0
5
10
15
20
x
−2−1.5
−1−0.5
0 0.5
1 1.5
2
E(x,t)
−2−1.5−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Figure 2.4: Izbijanje. Lebeges.
2.3. STOJECI TALASI / ALLOHULLAMOK 29
2 cos(0.25t−0.5x)
0 5
10 15
20t 0
5
10
15
20
x
−2−1.5
−1−0.5
0 0.5
1 1.5
2
E(x,t)
−2−1.5−1−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Figure 2.5: Obvojnica - sporo promenljivi deo talasa. Burkolo - a hullamlassan valtozo resze.
2.3 Stojeci talasi / Allohullamok
Neka se duz x ose u jednom pravcu prostire talas amplitude E1 a u suprotnompravcu talas amplitude E2.Az x tengely menten egy iranyban E1 amplitudoju-, az ellentetes iranybanpedig E2 hullam terjed.
E1 = E0 cos(ωt− kx), E2 = E0 cos(ωt+ kx+ δ) (2.10)
E = E1 + E2
=14 2E0 cos
(kx+
δ
2
)︸ ︷︷ ︸
prostorno modulirana amplitudaterben modulalt amplitudo
cos
(ωt+
δ
2
)(2.11)
Kao rezultat superopozicije dobili smo stojeci talas.A szuperpozıcio eredmenye allohullam.Cvorovi stojeceg talasa se nalaze u tackama gde je maksimalna amplituda 0.
30 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
Az allohullam csomoi azokban a pontokban vannak, ahol a maximalis am-plitudo 0.
cos
(kx0 +
δ
2
)= 0⇔ kx0 +
δ
2=π
2(2m+ 1)
x0 =1
2k(π(2m+ 1)− δ) =
λ
4π(π(2m+ 1)− δ) (2.12)
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−10 −5 0 5 10
00+π
π+π/43π/8
π+3π/89π/16
π+9π/168,5π/16
π+8,5π/16
π/4
Figure 2.6: Stojeci talas, prikazan za razne vrednosti ωt+ δ2. Na slici se jasno
vide cvorovi talasa. Allohullam amplitudoja ωt+ δ2
kulolnbozo ertekeire. Azabran egyertelmuen lathatok az allohullam csomoi.
2.3. STOJECI TALASI / ALLOHULLAMOK 31
0
2
4
6
8
10
x
0
5
10
15
t
-1
-0.5
0
0.5
1
A
0
2
4
6
8
10
x
Figure 2.7: Stojeci talas. Uz izvestan napor na slici se vide cvorovi talasa kaoprave linije normalne na x osu. Allohullam amplitudoja. Nemi erofeszıtesselaz abran egyertelmuen lathatok az allohullam csomoi mint az x tengelyremeroleges egyenesek.
32 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
1 0
−1
0 2
4 6
8 10
t 0 2
4 6
8 10
x
−2−1.5
−1−0.5
0 0.5
1 1.5
2
E(x,t)
2cos(t+1)cos(x+1)
Figure 2.8: Stojeci talas jos jednom, prikazane su konturne linije. Ljubicasteprave linije normalne na x osu odgovaraju cvorovima talasa. Allohullammegegyszer, fol vannak tuntetve a szintvonalak. Az x tengelyre merolegeslila egyenesek felelnek meg a csomopontoknak.
2.4. POLARIZACIJA POLARIZACIO 33
2.4 Polarizacija
Polarizacio
Dva ravna talasa osciluju normalno jedan na drugi.Ket sıkhullam egymasra merolegesen oszcillal.Neka je α deo faze talasa koji zavisi od frekvencije i talasne duzine.Legyen α a hullam fazisanak a frekvencia- es hullamhossz-fuggo resze.Prvi talas osciluje u ravni xz, a drugi u ravni yz. Rezultujuci talas se kreceduz z ose.Az elso hullam az xz sıkban-, a masodik pedig az yz sıkban oszcillal. Azeredo hullam a z tengely menten halad.
E1,xz = E10 cos(α) (2.13)
E2,yz = E20 cos(α + φ) (2.14)
Iz (2.13) nalazimo / (2.13)-bol kifolyolag
cosα =E1,xz
E10
(2.15)
Na osnovu (13) transformisimo (2.14) / (13) alapjan ırjuk fol (2.14)-t mint
E2,yz
E20
= cosα cosφ− sinα sinφ
= cosα cosφ−√
1− cos2 α sinφ
=E1,xz
E10
cosφ−
√√√√1−(E1,xz
E10
)2
sinφ (2.16)
E2,yz
E20
− E1,xz
E10
cosφ =
√√√√1−(E1,xz
E10
)2
sinφ
/2
(E2,yz
E20
)2
− 2E2,yz
E20
E1,xz
E10
cosφ+(E1,xz
E10
cosφ)2
=
(1−
(E1,xz
E10
)2)
sin2 φ
(E2,yz
E20
)2
− 2E2,yz
E20
E1,xz
E10
cosφ+(E1,xz
E10
)2 (cos2 φ+ sin2 φ
)︸ ︷︷ ︸
=1
= sin2 φ
(E2,yz
E20
)2
− 2E2,yz
E20
E1,xz
E10
cosφ+(E1,xz
E10
)2
= sin2 φ (2.17)
34 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
Dobili smo elipticki polarizovan talas. (2.17) je jednacina elipse koja je zaroti-rana za ugao φ u odnosu na vertikalnu osu.Az eredmeny egy elliptikusan polarizalt hullam. (2.17) egy a fuggoleges ko-ordinatatengelyhez viszonyıtva φ szoggel elfordıtott ellipszis egyenlete.
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Figure 2.9: Elipticka polarizacija. Elliptikus polarizacio.
2.4.1 Zadatak / Foladat
Diskutujte razne vrednosti fazne razlike φ u (2.17).Elemezze a φ faziskulonbseg kulonbozo ertekeit (2.17)-ban.
2.5. INTENZITET SVETLOSTI / FENYINTENZITAS 35
2.5 Intenzitet svetlosti / Fenyintenzitas
Frekvencija vidljive svetlosti je reda velicine 1015 Hz. Da bi smo bili umogucnosti da merimo trenutnu vrednost amplitude elektromagnetnog ta-lasa, mora li bi da raspolazemo instrumentom koji moze da prati mereni sig-nal, tj. koji je u stanju da osciluje frekvencijom koja ima bar istu frekvencijukao i svetlost. Takvi uredjaji ne postoje. Ako je signal brzi nego instrumentkoji ga meri, onda uredjaj meri srednju vrednost signala u nekom vremen-skom intervalu. Posto se elektromagnetni talasi cesto menjaju po harmoni-jskom zakonu, srednja vrednost merenog signala jako (tacnije neverovatno)brzo tezi nuli. Znaci kada registrujemo svetlost mi merimo nesto drugo, ato je srednja vrednost kvadrata amplitude - intenzitet svetlosti. U daljemcemo koristiti cinjenicu da je srednja vrednost kvadrata kosinusa (sinusa) uintervalu duzine π jednaka 1
2.
A lathato feny frekvenciaja 1015 Hz nagysagrendu. Ahhoz, hogy merhessukaz elektromagneses hullam amplitudojanak pillanatnyi erteket, olyan mero-berendezessel kellene rendelkeznunk, amely legalabb olyan frekvencian tudoszcillalni mint a feny. Ilyen meroberendezes nem letezik. Amennyiben amert jel gyorsabban valtozik mint a meromuszer allapota, a meromuszernem a jelet, hanem annak egy idointervallumbeli atlagat meri. Mivel azelektromagneses hullamok gyakorta harmonikus torveny szerint valtoznak,ezert a mert jel atlaga nagyon (pontosabban hihetetlenul) gyorsan tart anullahoz. Tehat amikor fenyt erzekelunk, akkor nem az amplitudot, hanemvalami mast erzekelunk. Ez a valami az amplitudo negyzetnek idobeli atlaga- a fenyintenzitas. A tovabbiakban gyakran hasznaljuk azt a tenyt, hogya koszinusz (szınusz) negyzetenek atlaga π hosszusagu intervallumon 1
2.
Φ = ωt− kx+ φ (2.18)
E(x, t) = E0 cos Φ, I(x, t) = E2(x, t) = E20 cos2 Φ (2.19)
〈I〉t = 〈E20 cos2 Φ〉 = E2
0 〈cos2 Φ〉︸ ︷︷ ︸= 1
2
=E2
0
2(2.20)
36 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
cos(x)cos^2 (x)
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−4 −2 0 2 4
Figure 2.10: cos(x), cos2(x).
2.6 Interferencija/Interferencia
Interferencija se javlja ukoliko su izvori svetlosti koherentni, tj. ukoliko je ra-zlika faza dvaju (ili vise) talasa konstantna velicina. Koherenciju nije mogucepostici u slucaju nezavisnih izvora svetlosti. Zato se elektromagnetni talasiz jednog izvora deli ili takoreci ,umnozava’ na razne nacine, da bi se dobilovise koherentnih talasa. Moze se deliti intenzitet ili front talasa.Interferencia akkor lep fel, amikor a fenyforrasok koherensek, azaz a ket(vagy tobb) hullam faziskulonbsege allando mennyiseg. A koherencia nemlehetseges egymastol fuggetlen fenyforrasok eseten. Ezert az egy fenyforrasbolszarmazo elektromagneses hullamot ugymond megosztjuk ,megtobszorozzuk’,hogy egymassal koherens hullamokat kapjunk. Az intenzitas es a front osztasaegyarant lehetseges.
Primeri interferencije su prikazani na slici 2.11. Az interferencia nehanykiserleti peldaja a 2.11 abran lathato.
Polaznu tacku za trazenje informacija o interferenciji mozete naci ovde [2].Az interferencia targyu kereses egyik kezdopontja itt talalhato [2].
Odredimo intenzitet svetlosti u slucaju dva ravna talasa cija je fazna razlikaδ.Hatarozzuk meg a feny intenzitasat ket sıkhullam eseten, amennyiben a
2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 37
Figure 2.11: Primeri interferencije talasa. Az interferencia megvalosıtasanaknehany peldaja.
38 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
faziskulonbseguk δ.
E = E0 cos(ωt− kx+ φ︸ ︷︷ ︸=Φ
) = Re(E0 exp(iΦ)) (2.21)
I = 〈Re(E)Re(E)〉 = E20〈cos2 Φ〉 =
1
2Re(E∗E) =
1
2E2
0 (2.22)
Ei = Ei0 cos Φi, 〈Ii〉 =1
2E2i0, i = 1, 2; Φ2 − Φ1 = δ (2.23)
E = E1 + E2 (2.24)
〈I〉 = 〈Re(E1 + E2)Re(E1 + E2)〉 =1
2Re((E∗1 + E∗2)(E1 + E2))
=1
2Re(E∗10E10) +
1
2Re(E∗20E20) +
1
2Re(E∗10E20) +
1
2Re(E∗20E10)
= 〈I1〉+ 〈I2〉+1
2E10E20 {Re [exp (i(Φ2 − Φ1))] + Re [exp (−i(Φ2 − Φ1))]}
= 〈I1〉+ 〈I2〉+1
2E10E202 cos δ
= 〈I1〉+ 〈I2〉+ 2√〈I1〉〈I2〉 cos δ (2.25)
Ako je prethodni dokaz isuvise apstraktan, rezultujuci intenzitet se mozeizracunati i drugacije.Ha az elozo bizonyıtas tulsagosan elvont (lenne), az eredo intenzitast maskeppenis ki lehet szamolni.
〈I〉 = 〈(E1 + E2)2〉 = 〈E21 + E2
2 + 2E1E2〉= E2
10〈cos2 Φ1〉+ E220〈cos2 Φ2〉+ 2E10E20〈cos Φ1 cos Φ2〉
= 〈I1〉+ 〈I2〉+ 2E10E20〈cos Φ1 cos(Φ1 + δ)〉= 〈I1〉+ 〈I2〉+ 2E10E20〈cos Φ1(cos Φ1 cos δ − sin Φ1 sin δ)〉= 〈I1〉+ 〈I2〉+ 2E10E20(cos δ 〈cos2 Φ1〉︸ ︷︷ ︸
= 12
− sin δ 〈cos Φ1 sin Φ1〉︸ ︷︷ ︸=0
)
= 〈I1〉+ 〈I2〉+ E10E20 cos δ
= 〈I1〉+ 〈I2〉+ 2√〈I1〉〈I2〉 cos δ (2.26)
Uslov konstruktivne interferencije, maksimuma intenziteta, pojave svetle prugeje dat jednacinom (2.27).A konstruktıv interferencia foltetelet, az intenzitas maximumat, a vilagos
2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 39
csık megjelenesenek foltetelet a (2.27)-es egyenlet adja meg.
cos δ = 1 ⇒ I = Imax = I1 + I2 + 2√I1I2 (2.27)
Uslov destruktivne interferencije, minimuma intenziteta, pojave tamne prugeje dat jednacinom (2.28).A destruktıv interferencia foltetelet, az intenzitas minimumat, a sotet csıkmegjelenesenek foltetelet a (2.28)-es egyenlet adja meg.
cos δ = −1 ⇒ I = Imin = I1 + I2 − 2√I1I2 (2.28)
Vidljivost je odredjena kontrastom izmedju svetlih i tamnih linija, (2.29).A lathatosagot a vilagos es sotet csıkok kozotti kontraszt hatarozza meg,(2.29).
C =Imax − IminImax + Imin
=2√I1I2
I1 + I2
(2.29)
1
2
1 0.8
0 2
4 6
8 10
I 0
2
4
6
8
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
C
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
I
0.6 0.4 0.2
Figure 2.12: Vidljivost, Lathatosag
40 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
2.6.1 Jangov eksperimentYoung-fele kıserlet
Prorezom smatramo otvor koji je tako uzan, da iz njega ne mogu da izadjudva paralelna svetlosan zraka. Prorez se ponasa kao tackast izvor svetlosti.A res olyan szuk nyılas, amelybol ket kulonbozo fenysugar nem tud egymassalparhuzamosan kilepni. A res pontszeru fenyforraskent viselkedik.Proucimo slucaj dva proreza na medjusobnom rastojanju d. Pretpostavimoda je rastojanje izmedju proreza i reflektujuceg sloja l, (videti sliku 2.13).Vizsgaljuk meg ket, egymastol d tavolsagban levo res esetet. Tetelezzuk fol,hogy a resek es a fenyvisszavero felulet kozotti tavolsag l, (ld. a 2.13. abrat).∆ oznacava razliku optickih puteva svetlosnih zraka koji prolaze kroz proreze1 i 2.∆ az 1-es es 2-es resen athalado fenysugarak optikai uthosszainak kulonbsegetjeloli.
∆ = l2 − l1 =
√√√√l2 +
(x+
d
2
)2
−
√√√√l2 +
(x− d
2
)2
= l
√√√√
1 +
(x+ d
2
)2
l2−
√√√√1 +
(x− d
2
)2
l2
∼11 l
1 +
(x+ d
2
)2
2l2−
1 +
(x− d
2
)2
2l2
=1
2l
(x+d
2
)2
−(x− d
2
)2
=dx
l(2.30)
δ = k∆ (2.31)
δ oznacava faznu razliku zraka 1 i 2.δ az 1-es es 2-es sugarak kozotti faziskulonbseget jeloli.Na osnovu (2.25, 2.27) uslov pojave svetle pruge je dat jednacinom (2.32).(2.25, 2.27) alapjan a vilagos csık megjelenesenek foltetelet a (2.32) egyenletadja meg.
2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 41
l
d
x
l
l 2
1P
Figure 2.13: Jangov interferometar/Young-fele interferometer
δ = 2mπ,2π
λ
dx
l= 2mπ (2.32)
Na osnovu (2.25, 2.28) uslov pojave tamne pruge je dat jednacinom (2.33).(2.25, 2.28) alapjan a sotet csık megjelenesenek foltetelet a (2.33) egyenletadja meg.
δ = (2m+ 1)π,2π
λ
dx
l= (2m+ 1)π (2.33)
Izgled interferencionih pruga u Jangovom eksperimentu mozete videti naslici 2.14.A Yang-fele intereferencios csıkok a 2.14 abran lathatok.
2.6.2 Jangov eksperiment sa vise prorezaYoung-fele kıserlet tobb ressel
U slucaju da imamo N > 2 proreza koji su na istovetnom medjusobnom ras-tojanju, fazna razlika dva svetlosna zraka koji dolaze iz uzastopnih prorezaiznosi δ (videti (2.31)), kao i u slucaju interferencije na dva otvora.
42 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
−10 −5 0 5 10−6
−4
−2
0
2
4
6
x
y
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Figure 2.14: Interferencione pruge u Jangovom eksperimentu. Yang-fele in-tereferencios csıkok.
Amennyiben nem ketto, hanem N > 2 egymastol egyforma tavolsagbanlevo ressel van dolgunk, a ket egymast koveto resen athalado fenysugarakfaziskulonbsege δ, (ld. (2.31)), ugyanugy mint a ket resen torteno interfer-encia eseten.
Rezultujucu jacinu elektricnog polja mozemo predstaviti kao zbir ge-ometrijskg reda, svaki clan reda se od prethodnog clana razlikuje za istu fazu.Az eredo elektromos tererosseget egy geometriai sor osszegekent abrazolhatjuk.Az osszeg minden egyes tagjanak a fazisa allando faziskulonbsegu a sor elozotagjahoz viszonyıtva.
E = E0 + E0 exp(iδ) + E0 exp(2iδ) + . . .+ E0 exp(Niδ)
= E0 (1 + exp(iδ) + exp(2iδ) + . . .+ exp(Niδ))︸ ︷︷ ︸(8)
2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 43
= E01− exp(iNδ)
1− exp(iδ)= E0
exp( iNδ2
)
exp( iδ2
)
−2i sin(Nδ2 ),(7)︷ ︸︸ ︷exp
(−iNδ
2
)− exp
(iNδ
2
)
exp
(−iδ
2
)− exp
(iδ
2
)︸ ︷︷ ︸
−2i sin( δ2),(7)
= E0
exp( iNδ2
)
exp( iδ2
)
sin(Nδ2
)sin
(δ2
) (2.34)
Za intenzitet interferencionih pruga dobijamo:Az interferencios csıkok intenzitasa:
I(δ) = EE∗ = I0
sin2(Nδ2
)sin2
(δ2
) (2.35)
Grafik funkcije intenziteta svetlosti (jednacina (2.35)) je predstavljen naslici 2.15:A feny intenzitasat ((2.35) egyenlet) a 2.15 abran lehet latni.
Intenzitet svetlosti je uvek konacan! Za vrednost fazne razlike δ = 2πmgde je m ceo broj primenom L’opitalovog pravila (21) nalazimo:Az intenzitas mindeg veges! A faziskulombseg δ = 2πm ertekeire ahol megesz szam, L’opital-szabalyt alkalmazva (21):
limδ→2mπ
I(δ) = I0 limδ→2mπ
sin(Nδ2
)sin
(δ2
)2
= I0
limδ→2mπ
sin(Nδ2
)sin
(δ2
)2
= I0
limδ→2mπ
cos(Nδ2
)N2
cos(δ2
)12
2
= N2I0 (2.36)
U praksi razlikovanje primarnih i ostalih maksimuma intenziteta nije jed-nostavno, potrebna je velika moc razlucivanja, (videti sliku 2.16 i uporeditesa slikom 2.15).A gyakrolatban eleg nehez az elsodleges es sokadlagos maximumok szetva-lasztasa, ez csak nagy felbontokepessegu muszerekkel lehetseges, (lasd a 2.16abrat es vesd ossze a 2.15 abraval).
44 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
0
5
10
15
20
25
−4 −2 0 2 4
N=2N=3N=4N=5
Figure 2.15: sin2(Nδ)/ sin2 δ
2.6.3 Interferencija na planparalelnom slojuInterferencia planparalell retegen
Razmotrimo interferenciju na planparalelnom sloju indeksa prelamanja n2 idebljine d, u sredini sa indeksom prelamanja n1.Vizsgaljuk meg az n2 toresmutatoju, d vastagsagu planparalell lemezen tortenointerferenciat n1 toresmutatoju kozegben.Razliku optickih puteva oznacimo sa ∆.Az optikai uthosszak kulonbseget ∆-val jeloljuk.
∆ = 2n2s2 − n1s1 (2.37)sinα
sin β=
n2
n1
(2.38)
cos β =d
s2
⇒ s2 =d
cos β=
d√1− sin2 β
(2.39)
2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 45
−10 −5 0 5 10−6
−4
−2
0
2
4
6
0
1
2
3
4
5
6
−10 −5 0 5 10−6
−4
−2
0
2
4
6
0
2
4
6
8
10
12
−10 −5 0 5 10−6
−4
−2
0
2
4
6
0
5
10
15
20
25
Figure 2.16: Intenziteti svetlosti u slucaju 2, 3 i 4 proreza. A feny intenzitasa2, 3 es 4 res eseten. I0 = 1.3
46 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
β
β
d
n
n
s
s
a
1
2
2
1 αα
Figure 2.17: Razlika duzina optickih puteva u slucaju interferencije na plan-paralelnom sloju. Optikai uthosszak kulonbsege planparalell retegen tortenointerferencianal.
tg β =a
d⇒ a = d tg β = d
sin β√1− sin2 β
(2.40)
sinα =s1
2a⇒ s1 = 2a sinα = 2d sinα
sin β√1− sin2 β
(2.41)
∆ =2n2d√
1− n21,2 sin2 α
− 2n1d sinαn1,2 sinα√1− n2
1,2 sin2 α
=2d√
1− n21,2 sin2 α
(n2 − n1n1,2 sin2 α)
=2dn2√
1− n21,2 sin2 α
(1− n21,2 sin2 α)
= 2dn2
√1− n2
1,2 sin2 α
= 2d√n2
2 − n21 sin2 α (2.42)
Zbog refleksije zraka koji prolazi kroz planparalelni sloj faza mu se promeniza π, te je ukupna fazna razlika dvaju zraka:Mivel a retegen athalado fenysugar visszaverodik, annak fazisa π-vel megvaltozik,
2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 47
ezert a ket fenysugar faziskulonbsege:
δ =4π
λdn2
√1− n2
1,2 sin2 α + π (2.43)
Uslov konstruktivne interferencije je: / A konstruktıv interferencia foltetele:
cos δ = 2πm (2.44)
sto daje uslov na ugao pod kojim svetlost treba da pada na planparalelnisloj:ami foltetelt szab a fenysugar beesesi szogere:
sin2 α = n22,1
1−(
λ
4dn2
)2
(2m− 1)2
(2.45)
Vidimo da ceo broj m ne moze da ima proizvoljnu vrednost, jer vazi nejed-nakost 0 ≤ sin2 α ≤ 1.Latjuk, hogy az m egesz szam nem vehet fol tetszoleges ertekeket, mivel igaz,hogy 0 ≤ sin2 α ≤ 1.Na slican nacin nalazimo i uslov destruktivne interferencije.Hasonlokeppen megkaphatjuk a destruktıv interferencia foltetelelet is.
2.6.4 N-tostruka interferencija na planparalelnom slojuN-szeres interferencia planparalell retegen
U kranjoj desnoj tacci (0) na slici 2.18 imamo superpoziciju N svetlosnihzraka, takvih da je fazna razlika dva uzastopna zraka k∆, gde je ∆ zadatojednacinom (2.42). Rezultujuce elektricno polje je zbir geometrijskog reda.A 2.18 abra jobb szelso pontjaban (0) N fenysugar szuperpoponalodik, ketegymast koveto fenysugar faziskulonbsege k∆, ahol ∆-t a (2.42) egyenlethatarozza meg. Az eredo elektromos tererosseg egy geometriai sor osszege.
E = E0 + E0ρ exp(iδ) + E0ρ2 exp(2iδ) + . . .+ E0ρ
N exp(Niδ)
= E0(1 + ρ exp(iδ) + ρ2 exp(2iδ) + . . .+ ρN exp(Niδ))
= E01− ρN exp(Niδ)
1− ρ exp(iδ)(2.46)
48 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
0N−1N
Figure 2.18: Planparalelan sloj, N -tostruka interferencija. Planparalelllemez, N -szeres interferencia.
2.6. INTERFERENCIJA/INTERFERENCIA 49
Intenzitet svetlosti je : / A feny intenzitasa:
I = EE∗ = E01− ρN exp(iNδ)
1− ρ exp(iδ)E0
1− ρN exp(−iNδ)1− ρ exp(−iδ)
= I01− ρN
2 cos(Nδ),(6)︷ ︸︸ ︷(exp(iNδ) + exp(−iNδ)) +ρ2N
1− ρ (exp(iδ) + exp(−iδ))︸ ︷︷ ︸2 cos δ,(6)
+ρ2
= I01− 2ρN cos(Nδ) + ρ2N
1− 2ρ cos δ + ρ2(2.47)
N=10 80 60 40 20
0 0.5
1 1.5
2 2.5
3 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100
II
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
δ
ρ
Figure 2.19: N = 10, δ ∈ [0, π], ρ ∈ [0, 1]
2.6.5 Interferencije u primeniInterferencia a gyakorlati alkalmazasban
Prilikom projektovanja mobilne telefonske mreze potrebno je optimalno pokritiodredjenu oblast. To je najcesce izvodivo samo sa vise primopredajnika.Da bi medjusobno bliski primopredajnici sto je moguce manje ometali jednidruge, oni rade na sto je moguce razlicitijim frekvencijama, odnosno medju-sobno udaljeni primopredajnici mogu da rade na bliskim frekvencijama. Ovoje jedan od razloga zbog kojih mobilna telefonija radi u frekventnom opsegu,a ne na nekoj frekvenciji.
50 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
Amikor mobiltelefon halozatot terveznek, legtobbszor egy adott terulet lefe-dese csak tobb adovevovel lehetseges. Hogy a szomszedos adovevok minelkevesbe zavarjak egymast, azokat egymastol minel tavolabbi frekvenciancelszeru uzemeltetni, illetve terben egymastol tavol levo adovevok mukod-hetnek egymashoz kozeli frekvencian. Ez is egy ok, amiert a mobiltelefonhalozat nem egy frekvencian, hanem frekvenciasavban uzemel.
2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 51
2.7 Difrakcija/Diffrakcio
Kod difrakcije je otvor kroz koji prolaze svetlosni zraci dovoljno sirok da kroznjega mogu proci paralelni svetlosni zraci. Zbog toga da bi smo uocili difrak-cione sare ispred svetlosnih zraka moramo postavitu socivo, i reflektujucupovrsinu u ziznu ravan sociva (zasto?). Polaznu tacku za trazenje informa-cija o difrakciji mozete naci ovde [3].Diffrakcio eseten a nyılas eleg tag ahhoz, hogy azon keresztul parhuzamosanat tudjanak haladni a fenysugarak. Ezert ahhoz, hogy lathassuk a diffrakciosmintazatot, lencset kell helyeznunk a fenysugarak ele es annak a fokalissıkjaba kell helyeznunk a fenyvisszavero feluletet (miert?). A diffrakcio targyukereses egyik kiindulasi pontja itt talalhato [3].Primer difrakcije na uzanom prorezu, slika 2.20. Ravni talasi nakon prolaskakroz uzan prorez se ponasaju kao da su potekli iz tackastog izvora.Szuk nyılason torteno diffrakcio, 2.20 abra. Miutan a sıkhullamok athaladtaka resen ugy viselkednek, mintha azok egy ponszeru forrasbol erednenek.
2.7.1 Dugacak prorez sirine b / Hosszu, b szelessegures
k oznacava talasni broj, ∆ oznacava razliku optickih puteva a δ je faznarazlika.k a hullamszamot jeloli, ∆ az optikai uthosszak kulonbsege, δ pedig a fazisku-lonbseg.
δ = k∆ =2π
λ︸︷︷︸k
x sinφ︸ ︷︷ ︸∆
(2.48)
Ukoliko zraci kroz prorez izlaze pod uglom φ, koristeci princip superpozicijemozemo izracunati rezultujucu jacinu elektricnog polja. Eφ dobijamo sabi-rajuci sve amplitude koje iz proreza izlaze pod uglom φ i razlikuju se u fazi zaδ od zraka koji prolazi kroz sredinu proreza. Umesto da sabiramo amplitudesamo nekoliko zraka sa datim faznim razlikama, sada sabiramo beskonacnomnogo amplituda svetlosnih zraka sa datim faznim razlikama, otuda imamoodredjeni integral. E0 je maksimalna amplituda jednog zraka.Amennyiben a nyılason a fenysugarak φ szog alatt haladnak at, a szuper-pozıcio elve alapjan kiszamolhatjuk az eredo elektromos teret. Eφ-t ugy
52 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
Figure 2.20: Difrakcija talasa na vodi, [11], [12]. Vızhullamok diffrakcioja,[11], [12].
2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 53
φb
∆
x
Figure 2.21: Difrakcija na dugackom prorezu. / Diffrakcios res.
54 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
kaphatjuk meg, hogy osszeadjuk a resen φ szog alatt athalado osszes fenysugaramplitudojat, amelyek a res kozepen athalado fenysugartol fazisban δ-valkulonboznek. Eddig azt lattuk, hogy veges sok fenysugar amplitudojat ad-tuk ossze, most vegtelen sok amplitudot adunk ossze, melyek fazisban δ-valkulonboznek, ezert van hatarozott integrallal dolgunk. E0 egy fenysugarmaximalis amplitudojat jeloli.
Eφ =E0
b
∫ b2
− b2
exp i(ωt− 2π
λx sinφ
)dx
=E0
bexp(iωt)
∫ b2
− b2
exp(−i2π
λx sinφ
)dx
=E0
bexp(iωt)
exp(−i2π
λx sinφ
)−i2π
λsinφ
∣∣∣∣∣∣b2
− b2
=E0
bexp(iωt)
sin(πbλ
sinφ)
(πbλ
sinφ) (2.49)
I = EφE∗φ = I0
sin2(πbλ
sinφ)
(πbλ
sinφ)2 (2.50)
Na osnovu jednacine (2.50) uslov minimuma intenziteta difrakcionih linijaje:A (2.50)-es egyenlet alapjan a diffrakcios csıkok minimalis intenzitasanakfoltetele:
πb
λsinφ = mπ, sinφ =
mλ
b(2.51)
Na osnovu jednacine (2.50) uslov maksimuma intenziteta difrakcionih linijaje:A (2.50)-es egyenlet alapjan a diffrakcios csıkok maximalis intenzitasanakfoltetele:
πb
λsinφ = m
π
2, sinφ =
mλ
2b(2.52)
2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 55
2
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−10 −5 0 5 10
(sin(x)/x)sin(x)/x
Figure 2.22: sin(x)/x, sin2(x)/x2
−10 −5 0 5 10−6
−4
−2
0
2
4
6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Figure 2.23: Izgled difrakcionih linija u slucaju jednog otvora. Diffrakcioscsıkok egy nyılas eseten.
56 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
2.7.2 Difrakciona resetka / Diffrakcios racs
Jednacinu za intenzitet svetlosti (2.50) rezonom istovetnom onom izlozenomu odeljku 2.6.2 modifikujemo da uzmemo u obzir uticaj N proreza. Pret-postavimo da je svaki prorez sirine b, a da su prorezi na medjusobnom ras-tojanju a, sto znaci da difrakciona resetka ima period d = a+ b.A (2.50)-es egyenletet a 2.6.2 reszben kifejtett meggondolas alapjan modo-sıthatjuk, hogy figyelembe vegyuk az N res hatasat. Tetelezzuk fol, hogyminden res szelessege b, es, hogy az egymast koveto resek kozotti tavolsag a,ekkor a diffrakcios racs periodusa d = a+ b.
I = I0
sin2(πbλ
sinφ)
(πbλ
sinφ)2
sin2(Nπdλ
sinφ)
sin2(πdλ
sinφ) (2.53)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
−4 −2 0 2 4
N=4, d = 2b16*(sin(x)/x)**2
Figure 2.24: (2.53), N = 4, a = b, d = 2b
Izgled difrakcionih linija u slucaju resetke sa cetiri otvora, (slike 2.24, 2.25).Diffrakcios csıkok negy vonalas racs eseten, (2.24, 2.25 abrak).Uslove maksimuma intenziteta u slucaju difrakcije daju:Diffrakcios maximumok foltetelei:
Nπd
λsinφ = kπ, sinφ =
kλ
Nd(2.54)
2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 57
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−6
−4
−2
0
2
4
6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Figure 2.25: (2.53). N = 4, b = 1, d = 3, I0 = 1.3.
D =dφ
dλ(2.55)
2.7.3 Primena difrakcije u ispitivanju osobinamaterijalaA diffrakcio alkalmazasa anyagtulajdonsagivizsgalatokban
Vazna klasa eksperimntalnih metoda u ispitivanju osobina materijala sunedestruktivne metode, tj. one metode u kojima se materijal koji se ispitujene unistava.A kıserleti anyagvizsgalati modszerek kozott fontosak azok a vizsgalati mod-szerek, amelyekben az anyagminta a vizsgalat soran nem semmisul meg. Azilyen vizsgalatok az un. nemdestruktıv vizsgalatok.Struktura cvrstih tela je cesto kristalna, na primer: poluprovodnici, legurecelika, . . . .A szilard testek legtobbszor kristalyracsszerkezetuek, pl. felvezetok, acelotvozetek . . . .Cvorovi kristalne resetke su neprohodni za talase, dok je prostor izmedju
58 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
cvorova resetke prohodan. Time kristalna resetka cini jednu slozenu struk-turu centara rasejanja i otvora kroz koje talasi mogu da se prostiru. U praksise za ispitivanje materijala koriste rendgenski zraci ili elektronski snop, stosamo po sebi ne menja prirodu difrakcije. Na slici 2.26 se vidi primer difrak-cije elektronskog snopa na kristalnoj resetci. Iz difrakcionog obrasca se moguizvuci vazni zakljucci o strukturi ispitivanog materijala. Difrakcioni metodimogu date vazne informacije i o materijalima cija struktura nije pravilnakristalna resetka.A kristalyracs csomoi a hullamok szamara athatolhatatlanok, a csomok kozot-ti resek viszont a hulamok szamara atjarhatok. Ezzel a kristalyracs egyolyan osszetett szerkezetet alkot, amelyben egyarant jelen vannak a szoro-centrumok es az atjarhato terreszek. Az anyagvizsgalati gyakorlatban sok-szor Rontgen-sugarakat illetve elektron nyalabot szokas hasznalni, ami adiffrakcio jelensegen semmit sem valtoztat. A 2.26 abran egy elektronnyalabkristalyracson torteno diffrakcioja lathato. A diffrakcios mintazatokbol fontoskovetkezmenyek vonhatok le a vizsgalt minta anyagtulajdonsagairol. A diff-rakcios modszerek olyan anyagokrol is fontos informaciot adhatnak, melyekszerkezete nem szabalyos kristalyracs.
2.7. DIFRAKCIJA/DIFFRAKCIO 59
Figure 2.26: Difrakcija elektronskog snopa na kristalnoj resetci. Elektron-nyalab diffrakcioja kristalyracson. [13]
60 CHAPTER 2. TALASNA OPTIKA / HULLAMOPTIKA
Figure 2.27: Difrakcija rendgenskih zraka. Drzac ispitivanog uzorka se vidiu beloj boji. Rontgen-sugarak diffrakcioja. A vizsgalt minta tartoja feherszınben latszik. [14]
Chapter 3
Kvantna teorijaKvantumelmelet
3.1 Uvod / Bevezeto
Kvantna mehanika se cesto (potpuno pogresno!) iskljucivo vezuje za ob-jasnjenje pojava u mikrosvetu. Postoje mnoge pojave vidljive golim okom(!)koje nije moguce objasniti bez kvantne mehanike, npr. supertecljivost, [9],[10]. Fenomen superprovodljivosti (proticanje elektricne struje bez otpora) jetakodje vidljiv golim okom, i to na sledeci nacin: znamo da superprovodnik izsebe istiska linije magnetnog polja. Na obican provodnik postavimo magneti pocnemo da hladimo provodnik. U trenutku kada provodnik postane super-provodan, istisnuce iz sebe linije magnetnog polja, i one ce ”pogurati” mag-net, koji pocinje da lebdi, [15]. Isto tako, bez kvantne mehanike nije mogucerazumeti ni temperaturnu zavisnost toplotnog kapaciteta cvrstih tela, [7].A kvantumechanikat sokan (teljesen tevesen!) kizarolag a mikrovilag meg-ertesehez szukseges tudomanynak tekintik. Sok szabad szemmel lathato(!)jelenseget nem lehet kvantummechanika nelkul megmagyarazni, ilyen peldaula szuperfolyekonysag, [9], [10]. A szupravezetes (ellenallas nelkuli aramvezetes)is szabad szemmel eszlelheto jelenseg, amennyiben tudjuk, hogy a szupravezetokiloki magabol a magneses teret. Egy kozonseges vezetore magnest helyezunkes elkezdjuk huteni a vezetot. Amikor a vezeto szupravezetove valik, kilokimagabol a magneses teret, az meg lebegesre bırja a magnest, [15]. Ugyanugy,kvantummechanika nelkul nem lehet megerteni a szilard testek hokapacitasanakhomersekleti fuggeset sem, [7].
61
62 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
3.2 Energija elektromagnetnih talasa
Az elektromagneses hullamok energiaja
Energija elektromagnetnih talasa zavisi od frekvencije odnosno talasne duzine.Planck je izveo ovaj zakljucak prilikom izvodjenja zakona zracenja apsolutnocrnog tela.Az elektromagneses hullamok energiaja a frekvenciatol, illetve a hullamhossztolfugg. Planck erre akkor jott ra, amikor levezette az apszolut fekete testsugarzasanak torvenyet.
E = hν =hc
λ=
h
2π︸︷︷︸=h
2πν︸︷︷︸=ω
= hω (3.1)
h = 6.62606957(29)× 10−34J · s, (3.2)
h = 1.054571726(47)× 10−34J (3.3)
h je Plankova konstanta, h je redukovana Plankova konstanta.h a Planck-allando, h a redukalt Planck-allando.
3.3 Plankov zakon zracenja apsolutno crnog
tela
Az abszolut fekete test sugarzasa, Planck-
torveny
Apsolutno crno telo ne reflektuje elektromagnetno zracenje, ali ga moze emi-tovati.Az abszolut fekete test nem veri vissza az elektromagneses sugarzast, viszontsugarozhat.
P oznacava snagu kojom jedinicna povrsina apsolutno crnog tela zraci elek-tromagnetne talase.P az abszolut fekete test teljesıtmenyet jeloli, amellyel elektromagneses hul-lamokat sugaroz.
P =∫ ∞
0ρωdω =
∫ ∞0
ρλdλ (3.4)
3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORVENY 63
ρλ (ρω) oznacava snagu kojom apsolutno crno telo emituje elektromagnetnetalase na talasnoj duzini λ (frekvenciji ω).ρλ (ρω) az abszolut fekete test teljesıtmenyet jeloli λ hullamhosszusagon (ωfrekvencian).ρ je spektralna gustina (zracenja) apsolutno crnog tela.ρ az abszolut fekete test (sugarzasanak) spektralis surusege.
Eksperimentalni model apsolutno crnog tela moze da se ostvari kao supljinasa malim prorezom. Prorez se ponasa kao apsolutno crno telo, 3.1.Az abszolut fekete test kıserleti modelljet egy olyan ureggel valosıthatjukmeg, amelyen szuk rest nyitunk. Ekkor a res viselkedik ugy mint a feketetest, 3.1.
Figure 3.1: Eksperimentalni model apsolutno crnog tela, supljina sa prore-zom. Az abszolut fekete test kıserleti modellje, ureg ressel. [18].
64 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Na osnovu eksperimenata znamo da spektralna gustina apsolutno crnog telane zavisi od vrste materijala ok koga su sacinjeni zidovi supljine. Spektralnagustina zavisi samo od apsolutne temperature zidova supljine.Kıserleti meresek alapjan tudjuk, hogy az abszolut fekete test spektralissurusege nem fugg attol, hogy milyen anyagbol vannak az ureg falai. Azabszolut fekete test spektralis surusege kizarolag az ureg falainak abszoluthomersekletetol fugg.
U daljnjem tekstu ce mo cesto koristiti Bolcmanovu konstantu, koja je odre-djena kao:A tovabbiakban gyakran fogjuk hasznalni a Boltzmann-allandot, melynekdefinıcioja es erteke:
k =R
NA
= 1, 3806488(13)× 10−23J ·K−1 (3.5)
gde je R univerzalna gasna konstanta, a NA Avogadrov broj.ahol R az univerzalis gazallando es NA az Avogadro-szam.
3.3.1 Rejli-Dzinsov zakon/Rayleigh-Jeans-torveny
Priblizna zavisnost spektralne gustine od kruzne frekvencije, priblizenje vaziu slucaju niskih frekvencija.A spektralis suruseg kozelıto alakja, a kozelıtes kis frekvenciak eseten ervenyes.
ρω =ω2kT
π2c3(3.6)
3.3.2 Vinov zakon / Wien-torveny
Priblizna zavisnost spektralne gustine od kruzne frekvencije, vazi u slucajuvisokih frekvencija.A spektralis suruseg kozelıto alakja, a kozelıtes nagy frekvenciak esetenervenyes
ρω =hω3
π2c3e−
hωkT (3.7)
3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORVENY 65
3.3.3 Plankov zakon zracenjaPlanck-fele sugarzasi torveny
Maks Plank je na osnovu termodinamickog razmatranja (kopiju originalnogclanka mozete naci ovde [16], a njegov prevod na engleski mozete naci npr.ovde, [17]) zakljucio da je spektralna gustina zracenja apsolutno crnog tela:Termodinamikai megfontolasok alapjan Max Planck kiszamolta a pontosspektralis suruseget, (az eredeti cikk masolatat megtalalhatja itt [16], an-nak angolnyelvu fordıtasa pedig megtalalhato pl. itt: [17]):
ρω =hω3
π2c3
1
ehωkT − 1
(3.8)
Termodinamika je primenljiva zato, sto se unutar supljine nalazi gas fotona,tj. kvanata elektromagnetnog polja. Fotonski gas je u stanju termodinamickeravnoteze sa zidovima supljine, zato im je i temperatura jednaka. Znaci daje T istovremeno i temperatura zidova supljine i temperatura fotonskog gasaunutar supljine. Jednacina stanja fotonskog gasa je data jednacinom (3.9).Na primer, moze se izracunati srednji broj fotona u supljini zapremine V ,rezultat je dat jednacinom (3.10).A termodinamika azert alkalmazhato, mert az uregben fotongaz van, a fotonaz elektromagneses ter kvantuma. A fotongaz termodinamikai egyensulybanvan az ureg falaval, ezert T egyszerre az ureg falanak a homerseklete es egy-ben az uregben levo fotongaz homerseklete. A fotongaz allapotegyenletet a(3.9) egyenlet adja meg. Peldaul, kiszamolhato a V terfogatu uregben azatlagos fotonszam, az eredmenyt a (3.10) osszefugges.
pV =ζ(4)
ζ(3)NkT ≈ 0, 9NkT (3.9)
N =
(16πζ(3)k3
c3h3
)V T 3 (3.10)
gde je / ahol ζ(3) = 1.2020569032 . . ., ζ(4) = π4
90≈ 1, 0823.
Primetimo da jednacina stanja fotonskog gasa neverovatno lici na jednacinustanja idealnog gasa (3.11). Razlog je u tome sto fotoni medjusobno ne in-teraguju, kao ni molekuli idealnog gasa.Vegyuk eszre, hogy a fotongaz allapotegyenlete hihetetlenul hasonlıt az idealisgaz allapotegyenletere, (3.11). A hasonlosag oka abban rejlik, hogy a fotonok
66 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
nem hatnak kolcson egymassal, mint ahogyan az idealis gaz molekulai sem.
pV = NkT (3.11)
Iz (3.8) slede zakoni zracenja Rejli-Dzinsa i Vina.(3.8)-bol kovetkeznek a Rayleigh-Jeans es Wien sugarzasi torvenyek.
•
hω � kT ⇒ 1
ehωkT − 1
∼121
1 + hωkT− 1
=kT
hω(3.12)
te iz (3.8) sledi (3.6). / ez alapjan (3.8)-bol kovetkezik (3.6).
•
hω � kT ⇒ 1
ehωkT − 1
∼ e−hωkT (3.13)
te iz (3.8) sledi (3.7). / ez alapjan (3.8)-bol kovetkezik (3.7).
Plankov zakon zracenja izrazen preko talasnih duzina mozemo dobiti nasledeci nacin. Primetimo da ukupna snaga zracenja ne moze da zavisi odtoga da li spektralnu gustinu izrazavamo preko talasnih duzina ili frekven-cija, sto prevedeno na jezik matematike znaci da povrsina ispod krive ρλmora da bude ista kao i povrsina ispod krive ρω.A Planck-fele sugarzasi torvenyt ki tudjuk fejezni a hullamhosszak segıtsegevelis a kovetkezo modon. Vegyuk eszre, hogy a sugarzas osszteljesıtmenye nemfugghet attol, hogy azt a hullamhosszakkal, vagy a frekvenciakkal fejezzuk ki.Ez az allıtas lefordıtva a matematika nyelvere annyit tesz, hogy a ρλ gorbealatti felulet megegyezik a ρω gorbe alatti felulettel.
c = νλ = 2πνλ
2π= ω
λ
2π⇒ ω =
2πc
λ, dω = −2πc
λ2dλ (3.14)
ρωdω = ρλdλ⇒ ρλ = ρω→ 2πcλ
∣∣∣∣∣dωdλ∣∣∣∣∣ (3.15)
ρλ =8πhc
λ5
1
ehcλkT − 1
(3.16)
3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORVENY 67
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 2 4 6 8 10
x**2(x**3)*exp(−x)
(x**3)/(exp(x)−1)
Figure 3.2: ρω: Rejli-Dzinsova kriva, Vinova kriva, Plankova kriva. Rayleigh-Jeans-gorbe, Wien-gorbe, Planck-gorbe.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.5 1 1.5 2
x**(−5)/(exp(1/x)−1)x**(−5)/(exp(0.8/x)−1)x**(−5)/(exp(1.2/x)−1)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0.5 1 1.5 2
x**(−5)/(exp(1/x)−1)x**(−5)/(exp(0.8/x)−1)x**(−5)/(exp(1.2/x)−1)
Figure 3.3: ρλ
68 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
3.3.4 Vinov zakon pomeranjaWien-fele elmozdulasi torveny
Poznavanje talasne duzine na kojoj apsolutno crno telo zraci maksimalnomsnagom omogucava odredjivanje temperature apsolutno crnog tela i obrnuto.Annak a hullamhossznak az ismerete amelyen az abszolut fekete test a leg-nagyobb teljesıtmennyel sugaroz meghatarozza az abszolut fekete test homer-sekletet es fordıtva.
dρλdλ
= 0
dρλdλ
= 8πhc
−5λ−6
(exp
(hc
λkT
)− 1
)−1
+λ−5
(exp
(hc
λkT
)− 1
)−2
exp
(hc
λkT
)hc
λ2kT
=
8πhc
λ6(exp
(hcλkT
)− 1
)−5 +
exp(hcλkT
)exp
(hcλkT
)− 1
hc
λkT
︸ ︷︷ ︸
=0
uvedimo sledecu zamenu / vezessuk be a kovetkezo valtozocseret
x =hc
λkT(3.17)
sledecu jednacinu je potrebno resiti po x
a kovetkezo egyenletet x szerint kell megoldani
0 = −5 +xex
ex − 1(3.18)
Resenje jednacine 3.18 je / Az 3.18 egyenlet megoldasa:
x ∼ 4, 965 (3.19)
(3.17, 3.19) ⇒
λmaxT = 0.0029mK (3.20)
3.3. PLANKOV ZAKON / PLANCK TORVENY 69
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
4 4.5 5 5.5 6
x*exp(x)/(exp(x)−1)−50
Figure 3.4: Graficko resenje jednacine (3.18). A (3.18) egyenlet grafikusmegoldasa.
3.3.5 Stefan-Bolcmanov zakonStefan-Boltzmann-fele torveny
Ukupna snaga P po jedinici povrsine kojom apsolutno crno telo zraci pro-porcionalna je cetvrtom stepenu temperature.Az abszolut fekete test egysegnyi feluletenek P sugarzasi osszteljesıtmenye ahomersekletenek negyedik hatvanyaval aranyos.
P = σT 4 (3.21)
P =∫ ∞
0ρωdω =
∫ ∞0
hω3
π2c3
1
ehωkT − 1
dω[x =
hω
kT⇒ ω =
kT
hx, dω =
kT
hdx
]
=h
π2c3
(kT
h
)4 ∫ ∞0
x3
ex − 1dx︸ ︷︷ ︸
=π4
15
70 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
=π2
15
k4
c3h3︸ ︷︷ ︸=σ,(3.21)
T 4
⇒ σ =π2
15
k4
c3h3 (3.22)
3.3.6 Primena zakona zracenjaSugarzasi torvenyek alkalmazasa
Jako visoke temperature nije moguce neposredno meriti, na primer temper-aturu tecnog gvozdja, izlivene lave . . . . Zato se takve temperature mereposredno, tacnije meri se spektar zracenja koje takva tela emituju. Na slicannacin je moguce izmeriti temperaturu Sunca, odnosno termometri za merenjetelesne temperature koji mere temperaturu u usnoj supljini rade na istompricnipu. Pri tome treba imati na umu kada neko telo moze da smatra ap-solutno crnim telom, a kada ne, odnosno kada se tela koja zrace nalaze utermodinamickoj ravnotezi.A nagyon magas homersekletu testek homersekletet nem lehet kozvetlenulmegmerni, pl. a folyekony vaset, vagy a kiomlo lavaet . . . . Ezert az ilyenhomersekleteket kozvetetten merjuk, pontosabban, az ilyen testek altal ki-bocsajtott sugarzas teljesıtmenyet merjuk. Hasonlo modon lehetseges a Naphomersekletenek a meghatarozasa, illetve a fuluregben-hallojaratban merohomerok hasonlo elvek alapjan merik a testhomersekletet. Ezzel egyutt,ugyelni kell arra, hogy egy test mikor tekintheto abszolut fekete testnek,illetve a sugarzo test mikor van termodinamikai egyensulyban.
3.4 Borov model atoma
Bohr-fele atom modell
Borov model atoma opisuje atom vodonika i vodoniku slicne, visestruko joni-zovane atome.A Bohr-atom modell a hidrogen es hidrogenszeru tobbszorosen ionizalt atomokmodellje.
Borovi postulati / Bohr posztulatumok:
• Moment impulsa elektrona u stacionarnoj kruznoj orbiti moze biti samo
3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FELE ATOM MODELL 71
Figure 3.5: Primer diskretnih spektara. Gornja tri spektra su emisionaa donji spektar je apsorpcioni. A diszkret spektrum nehany peldaja. Afolso harom sugarzasi (emmisszios) spektrum, a legalso pedig abszorpcios(elnyelesi) spektrum.
72 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
nenegativan celobrojni umnozak redukovane Plankove konstante. 1.Az elektron impulzusmomentuma stacionaris korpalyan csak a redukaltPlanck-allando nemnegatıv egesz szamu tobbszorose lehet.2.
J = nh (3.23)
n je (glavni) kvantni broj. n a (fo) kvantumszam.
• Elektroni ne zrace niti apsorbuju elektromagnetne talase dok se nalazeu stacionarnim orbitama.Az elektronok nem sugaroznak es nem nyelnek el sugarzast a stacionarisallapotaikban.
Iz prvog Borovog postulata da se elektroni krecu po kruznim putanjama sledida su Kulonova sila (koja deluje na elektron i vezuje ga za jezgro) i centrifu-galna sila jednake po intenzitetu.Bohr elso posztulatumabol kovetkezik, hogy az eletronok korpalyakon mozog-nak es az, hogy az elektronra hato vonzo Coulomb-ero intenzitasa megegyezika centripetalis ero intenzitasaval.
mev2
r=
1
4πε0
Ze2
r2(3.24)
⇒ mev2
2=
1
4πε0
Ze2
2r(3.25)
φ je elektrostaticki potencijal atomskog jezgra.φ az atommag elektrostatikus potencialja.
φ =1
4πε0
Ze
r(3.26)
Potencijalna energija elektrona je −eφ,az elektron helyzeti energiaja −eφ,
U = −φe = − 1
4πε0
Ze2
r(3.27)
1Uporedite ovo tvrdjenje sa svojstvenim vrednostima operatora kvadrata momentaimpulsa, 3.129
2Vesse ossze ezt az allıtast az impulzusmomentum-negyzet operatoranaksajatertekeivel, 3.129
3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FELE ATOM MODELL 73
Ukupna energija elektrona koji kruzi oko jezgra je zbir kineticke i potencijalenenergije:Az elektron ossz energiaja a mozgasi es a helyzeti energia osszege:
E =mev
2
2+ U =3.25,3.27 −
1
8πε0
Ze2
r(3.28)
Intenzitet momenta impulsa (mevr) na osnovu prvog Borovog postulata (3.23)jeAz impulzusmomentum intenzitasa (mevr) Bohr elso posztulatuma alapjan
mevr = nh⇒ v =nh
mer(3.29)
Uvrstimo v u (3.25). Helyettesıtsuk be v-t a (3.25).
me
2
(nh
mer
)2
=1
4πε0
Ze2
2r(3.30)
Izrazimo r iz jednacine (3.30). Nalazimo:Fejezzuk ki az (3.30) egyenletbol r-t, a kovetkezo eredmenyre jutunk:
r =4πε0h
2
meZe2︸ ︷︷ ︸=a
n2 = an2 (3.31)
a je Borov radijus. a a Bohr-fele radiusz (sugar).Uvrstimo ovako dobijen izraz za r u izraz za energiju (3.28).Az ıgy kapott r-t helyettesıtsuk be az energiat meghatarozo kifejezesbe ((3.28)-ba).
En = − 1
8πε0
Ze2
4πε0h2
meZe2n2
= − meZ2e4
32π2ε20h2︸ ︷︷ ︸
=E0
1
n2= −E0
n2(3.32)
Ukupna energija elektrona je negativna, jer je elektron vezan za jezgro. Kakon→∞, tako En → 0 od dole. Nasuprot vezanog elektrona slobodan elektronmoze da ima bilo koju nenegativnu energiju, ne postoji nikakvo ogranicenjena njenu vrednost.Az elektron osszenergiaja negatıv, (mivel) az elektron az atommaghoz van
74 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
−1
−0.9
−0.8
−0.7
−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1/x**2
Figure 3.6: Energija elektrona u atomu vodonika. Na vodoravnoj osi je pred-stavljen glavni kvantni borj n, na uspravnoj osi je predstavljena energija ujedinicama E0. Elektron energiaja hidrogen atomban. A vızszintes tengelyenn, a fokvantumszam van abrazolva, a fuggoleges tengelyen pedig az energia,E0 egysegekben.
3.4. BOROV MODEL ATOMA BOHR-FELE ATOM MODELL 75
kotve. Ahogy n → ∞, ugy alulrol En → 0 . A szabad elektron energiajaa kotott elektronnal ellentetben barmilyen nemnegatıv energia lehet, nincssemmifele korlat-tiltas annak lehetseges ertekeire.Energija jonizacije je ona najmanja energija koju je potrebno saopstiti elek-
tronu da bi se elektron otkinuo od jezgra, tj. da mu ukupna energija nebude negativna, tj. da postane jednaka nuli - ona je jednaka po apsolutnojvrednosti energiji osnovnog stanja, samo ima suprotan predznak.Az ionizacios energia az a legkisebb energia amelyet az elektronnal kell kozolniahhoz, hogy az elszakadjon az atommagtol, vagyis az az energia amelyet azelektronnak el kell nyelnie, hogy az osszenergiaja ne legyen negatıv - azazannak abszolut erteke egyenlo az alapallapot energiajaval, csak az elojele el-lentetes.Iz (3.32) sledi da je energija jonizacije vodonikovog atoma(3.32)-bol kovetkezik, hogy az elektron ionizacios energiaja
Ei = E0 (3.33)
3.4.1 Objasnjenje linijskih spektaraA vonalspektrumok magyarazata
Neka su m i n kvantni brojevi koji odredjuju energiju stanja elektrona. Akoje m > n, onda je Em > En, pa iz zakona odrzanja energije sledi, da u slucajuprelaza elektrona iz stanja sa kvantnim brojem m u stanje sa kvantnim bro-jem n vaziLegyenek m es n az elektron allapotat, annak energiajat meghatarozo kvan-tumszamok. Ha m > n, akkor Em > En, ezert az m.-dik allapotbol az n.-dikallapotba valo atmenetkor az energiamegmaradasi torvenybol kovetkezik
Em = En + hνm,n (3.34)
Frekvencija elektromagnetnog zracenja u prelazu m→ n iznosiAz m→ n atmenetben eszlelheto elektromagneses frekvencia
νm,n =1
h(Em − En) =
E0
h
(1
n2− 1
m2
)(3.35)
76 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
3.5 Sredingerova jednacina
Schrodinger egyenlet
Kvantna fizika se bavi merljivim velicinama. Uprosteno govoreci, ponovljenamerenja fizickih velicina se razlikuju od slucaja do slucaja, zato fizicke velicineidentifikujemo velicinama koje mozemo pripisati skupu merenja, takva velicinaje na primer srednja velicina izmerenih vrednosti.Kvantum fizika a merheto mennyisegeket tanulmanyozza. Leegyszerusıtve,egy fizikai mennyiseg megismetelt meresei merestol fuggoen esetenkent mas esmas erteket adnak, ezert a fizikai mennyisegeket a meressorozathoz tarsıthatomennyisegekkel azonosıtjuk, ilyen pl. a mert mennyiseg atlagos erteke.
Vazno je imati na umu, da postoje fizicke velicine koje imaju smisla i uklasicnoj i u kvantnoj fizici, takva je npr. ukupna energija, odnosno da pos-toje fizicke velicine koje nemaju svoj klasicni ili kvantni analogon. Na primerbrzina, ugaona brzina, ubrzanje, sila . . . imaju smisla u klasicnoj fizici, ali subesmislene i neprimenljive velicine u kvantnoj fizici. Isto tako, parnost jenpr. velicina koja odredjuje mnoge kvantne sisteme, ali takva velicina nepostoji, nije smislena u slucaju klasicnih sistema.Fontos tudni, hogy vannak olyan fizikai mennyisegek amelyek egyarant er-telmesek a klasszikus es a kvantum fizikaban, ilyen pl. az ossz energia, il-letve vannak olyan fizikai mennyisegek amelyeknek nincsennek, nem leteznekklasszikus vagy kvantum megfeleloik. Peldaul, a sebesseg, szogsebesseg, ero,. . . ertelmes mennyiseg(ek) a klasszikus fizikaban, de a kvantum fizikabantokeletesen ertelmetlenek es hasznalhatatlanok. Ugyanıgy, pl. a paritas sokkvantum rendszer meghatarozo mennyisege, de ez a mennyiseg nem letezik,nem ertelmezheto a klasszikus fizikaban.
Uprosceno govoreci, (u primerima koje cemo obraditi), kvantna mehanikaopisuje ponasanje objekata male mase (npr. molekula, atoma, elementarnihcestica). Isto tako, postoje brojne makroskopske pojave cije je objasnjenjekvantnomehanicke prirode. Takva su npr. objasnjenja toplotnog kapacitetacvrstih tela, dobre provodnoste metala, itd. Nadalje, sva makroskopska telaispoljavaju kvantnomehanicke osobine, ukoliko se dovoljno ohlade. Zbognavedenih razloga je potpuno pogresno shvatanje da kvantna mehanika isklju-civo opisuje pojave u mikrosvetu. Vec u bliskoj buducnosti rezultati kvantnemehanike ce se sve vise primenjivati i na nas, makroskopski svet.
Leegyszerusıtve, az altalunk ismertetett esetekben, a kis tomegu objek-tumok (molekulak, atomok, elemi reszecskek) viselkedeset csak a kvantum-
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 77
mechanika kepes leirni. Tovabba, sok makroszkopikus jelenseget is csaka kvantummechanika tudta megfelelo modon megmagyarazni, ilyen pl. aszilard testek hokapacitasa vagy a femek jo vezetokepessege. Minden mak-roszkopikus test kifejti kvantummechanikaval magyarazhato tulajdonsagait,amennyiben azt elegge lehutjuk. Ezert teves a kvantummechanika ervenyes-seget kizarolag a mikroszkopikus vilagra korlatozni. A kozeljovoben a kvan-tummechanika egyre inkabb ereztetni fogja hatasat a mi, makroszkopikusvilagunkban is.Dajmo primer naizgled neuobicajenog ponasanja mikrocestica. U Jangovomeksperimentu (poglavlje 2.6.1) talasni front nakon prolaska kroz dva tankaproreza interferira sa samim sobom i kao rezultat vidjamo interferencionepruge. Slicne interferencione pruge mozemo da izmerimo i u slucaju npr.elektrona, iako smo navikli da na elektron mislimo kao na cesticu. Izvorelektrona salje elektrona na pregradu sa dva proreza. Iza proreza se nalaziscintilaciona povrsina - detektor. Kada elektron udari u detektor, to mestonakratko zraci svetlost. U eksperimetnu se beleze mesta sa kojih se emitovalasvetlost i tako se vremenom iscrtaju interferencione pruge, pogledajte sliku3.7. Zakljucujemo da se prolazeci kroz dva otvora elektron ponasa kao talas, iinterferira sam sa sobom. Da bi stvar bila interesantnija pomenimo i sledece.Posto znamo da je elektron i cestica, tj. ima i cesticne osobine, mozemomerenjem da odredimo kroz koji prorez je prosao elektron. Merenje daje iodgovor, jer elektron je (i) cestica koja prolazi kroz dati otvor, te shodnotome ne moze ni da interferira, u ovom slucaju interferencioni obrazac nes-taje!Adjunk egy peldat arra, hogy milyen (latszolag) szokatlan modon viselked(het)neka reszecskek. A Young-fele kıserletben (2.6.1 fejezet) miutan a hullamfrontathaladt ket resen, onmagaval interferal es ezert latjuk az intereferencioscsıkokat. Hasonlo jelenseget eszlelhetunk pl. elektronok eseten is, holottmegszoktuk, hogy elektronra mint reszecskere gondoljunk. Az elektronforraselektronokat lovel ki egy feluletre amelyen ket res van. A res mogott egyszcintillalo felulet - detektor van. Amikor az elektron becsapodik a detek-torba, az rovid ideig a becsapodas helyen fenyt bocsat ki. A kıserletbeneltaroljak az elektronbecsapodasok helyeit es ıgy kirajzolodnak az interfer-encios csıkok, (nezzek meg a 3.7 abrat). Arra kovetkeztetunk, hogy az elek-tron ket resen keresztul haladt at es hullamkent viselkedett, ezert tudottonmagaval interferalni. Hogy meg erdekesebb legyen a helyzet, megemelıtjuka kovetkezo erdekesseget is. Mivel az elektron reszecske (is), megmerhetjuk,hogy melyik resen haladt at. A meres erre valaszt (is) ad, az elektron olyan
78 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Figure 3.7: Interferencione pruge u Jangovom eksperimentu izvedenomsa (naizgled) cesticama. (Latszolag) reszecskekkkel kivitelezett Yang-felekıserletben mert interferencios csıkok.
reszecske amelyik az adott resen haladt at, ezert keptelen onmagaval inter-feralni, ebben az esetben eltunik az interferencios mintazat!
3.5.1 Osnovni pojmoviAlapfogalmak
Ψ = Ψ(~r, t) je uobicajena oznaka talasne funkcije3. Vrednost talasne funkcijeje kompleksan broj ! U opstem slucaju talasna funkcija zavisi i od vremena iod prostornih koordinata. Znajuci talasnu funkciju nekog kvantnog sistemamoguce je odrediti sve velicine koje odredjuju taj kvantni sistem. Pomocutalasne funkcije racunamo verovatnoce i ocekivane vrednosti fizickih velicina.Cilj nam je je da na osnovu fizickih osobina sistema odredimo talasnu funkcijukojom mogu da se opisu - predvide rezultati merenja datog sistema.
Ψ = Ψ(~r, t) a hullamfuggveny megszokott jelolese. 4. A hullamfuggvenyerteke komplex szam! Altalanos esetben a hullamfuggveny fugg az idotoles a terbeli koordinataktol. Egy kvantumrendszer hullamfuggvenyenek is-mereteben meghatarozhato az adott kvantumrendszert jellemzo osszes fizikaimennyiseg. A hullamfuggveny segıtsegevel kiszamolhatok a fizikai mennyise-gek valoszınusegei es varhato ertekei.
3Veliko slovo Ψ ce oznacavati talasnu funkciju koja zavisi i od prostora i od vremena.Malo slovo ψ ce oznacavati talasnu funkciju koja zavisi samo od prostornih koordinata.
4Nagy Ψ betuvel jeloljuk a ter- es idofuggo hullamfuggvenyt, kis ψ betuvel jeloljuk azta hullamfuggvenyt amelynek csak terbeli fuggese van.
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 79
Az a celunk, hogy a fizikai rendszer tulajdonsagai alapjan meghatarozzukazt a hullamfuggvenyt, mely segıtsegevel leırhatjuk - megjosolhatjuk a rend-szeren elvegzett meresek eredmenyeit.
3.5.2 Operatori, ocekivane vrednosti, i ”kako do njih”Operatorok, varhato ertekek, es hogyan ”erjukel” azokat
Talasna funcija je normirana, tj. mozemo je tretirati kao vektor koji imadobro definisanu duzinu. Verovatnoce elementarnih dogadjaja se sabirajuu jedinicu, sto je verovatnoca sigurnog dogadjaja. Skalarni proizvod dve ta-lasne funkcije (dva vektora) je definisan kao integral njihovog proizvoda. Kaosto je poznato, skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat nje-gove duzine. Znaci da je normiranost talasne funkcije istovredno tvrdjenjuda je ona jedinicni vektor.A hullamfugveny normalt, azaz olyan vektornak tekinthetjuk amelyenk jolde-finialt hossza van. Az osszes elemi esemeny valoszınusege eggye adodikossze, ami a biztos esemeny valoszınusege. Ket hullamfuggveny (ket vektor)skalarszorzata mint azok szorzatanak hatarozott integraljat definialjuk. Mintazt mar tudjuk, egy vektor onmagaval vett skalarszorzata megadja a vektorhosszanak a negyzetet. Tehat a hullamfuggveny normaltsaga egyenertekuazzal az allıtassal, hogy az egy egysegvektor.
||Ψ|| =∫
Ψ∗Ψ dx dy dz = 1 (3.36)
Merljiva fizicka velicina A je 〈A〉 - ocekivana ili srednja vrednost operatora A(3.37). Operator je objekat koji deluje na talasnu funkciju kao AΨ. Merljivefizicke velicine su istovremeno i svojstvene vrednosti odgovarajucih opera-tora. Stanja fizickih sistema se opisuju pomokaocu svojstvenih vektora odgo-varajucih operatora.A merheto A fizikai mennyiseg az A operator 〈A〉 varhato vagy atlagoserteke, (3.37). Az operator olyan objektum amely a hullamfuggvenyre akovetkezokeppen hat: AΨ. A merheto A fizikai mennyisegek egyben bizonyosoperatorok sajatertekei. A fizikai rendszer allapota operatorok sajatvektoraivalfejezhetok ki.
〈A〉 =∫
Ψ∗AΨdx (3.37)
80 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Moramo da znamo koliko dobro srednja vrednost merenja opisuje merenuvelicinu. Ukoliko merene vrednosti malo odstupaju od srednje vrednosti,srednja vrednost dobro opisuje - karakterise merenu vrednost. Ukoliko jerasturanje/odstupanje od srednje vrednosti veliko, srednja vrednost ne dajepuno informacije o merenoj velicini. Odstupanje merene vrednosti od srednjevrednosti je A−〈A〉. Ukupno kvadratno odstupanje ∆2(A) od srednje vred-nosti mozemo oceniti kao srednju vrednost kvadrata odstupanja od srednjevrednosti:Illik tudni, hogy az atlagos ertek milyen jol ırja le a mert mennyiseget. Amen-nyiben a mert ertekek kevesse ternek el/szorodnak az atlagos ertek korul, azatlagos ertek jol ırja le a mert mennyiseget. Amenyiben az atlagos ertekkoruli szoras nagy, az atlag nem ad sok informaciot a mert mennyisegrol.A mert ertek elterese az atlagertektol A − 〈A〉. Az ossz negyzetes elteresbecslese az atlagos negyzetes elteres:
∆2(A) =⟨(A− 〈A〉
)2⟩
(3.38)
Ocenu ukupnog odstupanja daje kvadratni koren srednjeg kvadratnog odstu-panja:Az atlagos elteres becslese az atlagos negyzetes elteres negyzetgyoke:
∆(A) =√
∆2(A) =
√⟨(A− 〈A〉
)2⟩
(3.39)
Sto je ∆(A) manje, rasturanje merenih vrednosti velicine A oko srednje vred-nosti 〈A〉 su manje, i merenje je tacnije. Ukoliko je ∆(A) veliko, rasturanjeoko srednje vrednosti je veliko, tako da srednja vrednost ne daje mnogo in-formacije o merenoj velicini. Znaci da velicinu ∆(A) mozemo identifikovatisa apsolutnom tacnoscu merenja velicine A.Minel kissebb ∆(A), annal kisseb az A mennyiseg 〈A〉 atlag koruli szorasa,es a meres pontosabb. Minel nagyobb ∆(A), annal inkabb szorodnak a mertmennyiseg az atlag korul, es az atlag egyre kevesebbet mond a mert men-nyisegrol. Ezert ∆(A)-t a meres abszolut pontossagaval azonosıtjk.
Energija kretanja je izraziva preko impulsa, tako da imamo nacina da jeizrazimo preko velicine koja je smislena i u klasicnoj i u kvantnoj fizici.A mozgasi energia kifejezheto az impulzus segıtsegevel, amely egyarant ertelmesa klasszikus es a kvantum fizikaban.
Ek =mv2
2=mv2
2
m
m=m2v2
2m=
(mv)2
2m=
p2
2m(3.40)
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 81
U kvantnoj fizici je smislen i pojam potencijalne energije, s tim da jojje znacenje u izvesnom smislu prosireno u odnosu na klasicnu fiziku. Postou kvantnoj fizici ubrzanje i sila nemaju smisla interakcije uzimamo u obzirpomocu potencijalne energije. Ukoliko postoji interakcija izmedju delova sis-tema ili sistema i njegove okoline, interakcije uticu na potencijalnu energijusistema.Kvantum fizikaban ertelmes a helyzeti energia (fogalma), azzal az eszrevetellelkiegeszıtve, hogy bizonyos ertelemben a helyzeti energia fogalma bovul aklasszikus fizikahoz viszonyıtva. Mivel kvantum fizikaban a gyorsulas es eroertelmetlen fogalmak, a kolcsonhatast a helyzeti energia segıtsegevel vesszukfigyelembe. Ha a rendszer kulonbozo reszei egymassal kolcsonhatnak, vagy arendszer kolcsonhat a kornyezetevel, ezek a kolcsonhatasok meghatarozzak arendszer helyzeti energiajat.
Hamiltonov operator H je operator koji odredjuje ukupnu energiju kvantnogsistema. Kao i u klasicnoj fizici, i u kvantnoj fizici ukupna energija sistemase sastoji od kineticke i potencijalne energije.
H a Hamilton operator, mely a kvantum rendszer teljes energiajat meghatarozooperator. Mint a klasszikus fizikaban, a kvantum fizikaban is az ossz energiaa mozgasi es helyzeti energiakbol tevodik ossze.
H =~p2
2m+ U (3.41)
U izrazu (3.41) ~p = (px, py, pz) je operator impulsa, shodno tome ~p2
2mje oper-
ator kineticke energije a U je operator potencijalne energije.A (3.41) kifejezesben ~p = (px, py, pz) az impulzus operator, ennek megfeleloen~p2
2ma mozgasi energia operatora, U pedig a helyzeti energia operatora.
Talasna funkcija je resenje (vremenski zavisne) Sredingerove jednacine, (3.42).A hullamfuggveny a(z idofuggo) Schrodinger egyenlet (3.42) megoldasa.
HΨ = ih∂Ψ
∂t(3.42)
Strogo govoreci, Sredingerova jednacina se ne moze izvesti. Ona se pos-tulira, i na osnovu nje se mogu vrsiti teorijska predvidjanja koja je moguceeksperimentalno proveriti. U ovom smislu je logicki status Sredingerovejednacine u kvantnoj fizici slican statusu Njutnovih zakona u klasicnoj fizici.Sredingerova jednacina daje tacan opis fizickih sistema ukoliko u njima nisu
82 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
bitne spinske interakcije odnosno ukoliko su brzine objekata od interesa maleu odnosu na brzinu svetlosti. 5
Szigoruan veve, a Schrodinger-egyenletet nem lehet levezetni. Azt posz-tulaljuk, es annak alapjan elmeleti joslasokat tehetunk, amelyeket kiserletilegellenorizhetunk. Ebben az ertelemben a kvantum elmeletben a Schrodinger-egyenlet logikai statusza hasonlıt a Newton-torvenyek statuszahoz a klasszikusfizikaban. A Schrodinger-egyenlet pontosan ırja le a fizikai rendszereket,amennyiben azokban a spin kolcsonhatas elhanyagolhato, illetve amennyi-ben a szoban forgo objektumok sebessegei kicsik a fenysebesseghez kepest. 6
Zarad jednostavnosti, u najvecem broju slucajeva ogranicicemo se na prou-cavanje jednodimenzionalnih kvantnih sistema.Az egyszeruseg kedveert a tovabbiakban sok esetben csak az egydimenzioskvantum rendszereket targyaljuk.Operator impulsa deluje na talasnu funkciju kao diferencijalni operator, (3.43).Az impulzus operator differencial operatorkent hat a hullamfuggvenyre, (3.43).
pxΨ(x, t) = −ih∂Ψ(x, t)
∂x, px ↔ −ih
∂
∂x(3.43)
Odredimo operator kineticke energije, tj. njegovo dejstvo na talasnu funkciju.Hatarozzuk meg a kinetikus energia operatorat, azaz annak hatasat a hul-lamfuggvenyre.
p2xΨ = px(pxΨ(x, t)) =3.43 px
(−ih∂Ψ(x, t)
∂x
)= −ihpx
(∂Ψ(x, t)
∂x
)
=3.43 (ih)2∂2Ψ(x, t)
∂x2= −h2∂
2Ψ(x, t)
∂x2,
p2x = −h2 ∂
2
∂x2
Ek =p2x
2m= − h2
2m
∂2
∂x2(3.44)
Operator polozaja je primer multiplikativnog operatora - ovaj operator jed-nostavno mnozi talasnu funkciju, (3.45).
5Pazljivi Citalac ce primetiti kontradikciju u dosadasnjem tekstu!6A figyelmes Olvaso ellentmondast fedezhet fel az eddig leırtakban!
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 83
A helyzet operator az un. multiplikatıv operatorok peldaja, (3.45). Az ilyenoperatorok egyszeruen szorozzak a hullamfuggvenyt.
xΨ(x, t) = xΨ(x, t) (3.45)
~r = (x, y, z) (3.46)
Zapamtimo da je operator potencijalne energije multiplikativni operator (kose seca Fizike 1, taj/ta zna, da potencijalna energija ne zavisi od brzine.Zasto je ovo vazno?).Jegyezzuk meg, hogy a helyzeti energia operatora multiplikatıv operator (akiemlekszik a Fizika 1-ben tanultakra az tudja, hogy a helyzeti energia nemfugg a sebessegtol. Ez miert fontos?)
3.5.3 Sredingerova jednacina, bisSchrodinger egyenlet, bis
Sada smo u mogucnosti da ”citkije” napisemo Sredingerovu jednacinu kojaopisuje fizicke osobine jednodimenzionalnog kvantnog sistema.Most ”olvashatobb” formaban is leırhatjuk az egydimenzios kvantumrendszerSchrodinger egyenletet.
− h2
2m
∂2Ψ
∂x2+ U(x)Ψ = ih
∂Ψ
∂t(3.47)
Jednacina (3.47) je parcijalna diferencijalna jednacina, jer nepoznata funkcijaΨ zavisi od dve nezavisne promenljive, x i t, cije makar i priblizno resavanjepredstavlja slozen problem.Az (3.47) egyenlet parcialis differencialegyenlet, mert az ismeretlen Ψ fuggvenyket fuggetlen valtozotol fugg, x-tol es t-tol. Ennek az egyetlenek meg akozelıto megoldasa is igen bonyolult problema.Ukoliko se kvantna cestica krece u tri dimenzije, Sredingerova jednacina jedata jednacinom (3.48).Amennyiben a kvantum reszecske harom dimenzioban mozog, annak Schro-dinger egyenlete (3.48)-ben van megadva.
− h2
2m
(∂2Ψ
∂x2+∂2Ψ
∂y2+∂2Ψ
∂z2+ U(x, y, z)Ψ
)= ih
∂Ψ
∂t(3.48)
84 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Da bi smo resili Sredingerovu jednacinu potrebno je poznavati pocetne uslove,tj. Ψ(x, 0), nadalje neophodno je poznavanje granicnih uslova, tj. Ψ(x0, t)gde x0 oznacava koordinate granicnih tacaka dostupnih sistemu.
Ahhoz, hogy megoldjuk a Schrodinger egyenletet, szukseges a kezdetifoltetelek-, Ψ(x, 0), tovabba a hatarfoltetelek ismerete, Ψ(x0, t), ahol x0 arendszer altal hozzaferheto terresz hatarpontjait jeloli.
3.5.4 Stacionarna Sredingerova jednacinaStacionaris Schrodinger egyenlet
Cesto puta, ukoliko ne menjamo uslove pod kojim drzimo sistem, pre ili kas-nije njegovo stanje ce postati stacionarno. Potrazimo stacionarno resenjeSredingerove jednacine, tj. ono resenje, koje opisuje ona stanja sistema kodkojih se srednje vrednosti fizickih velicina ne menjaju tokom vremena. Jospreciznije, potrazimo onu jednacinu cija resenja opisuju stacionarna stanjasistema.Gyakran megtortenik, hogy amennyiben nem valtoztatjuk azokat a korul-menyeket amelyek kihatnak a rendszerre, annak allapota elobb-utobb sta-cionarissa valik. Ezert keressuk meg a Schrodinger egyenlet stacionaris meg-oldasait, vagyis azokat a megoldasokat amelyek a rendszer azon allapotaitırjak le, amelyekben a fizikai mennyisegek varhato ertekei idoben nem valtoz-nak. Meg pontosabban, keressuk meg azt az egyenletet, amelynek megoldasaileırjak a rendszer stacionaris allapotait.Razdvojimo zavisnost od prostora od vremenske zavisnosti. Potrazimo resenjejednacine (3.47) obliku Ψ(x, t) = f(t)ψ(x).Valasszuk szet az idobeli fuggest a terbelitol. Keressuk meg az (3.47) egyen-let megoldasat a Ψ(x, t) = f(t)ψ(x) alakban.
∂Ψ
∂t= ψ
df
dt(3.49)
∂2Ψ
∂x2= f
d2ψ
dx2(3.50)
− h2
2mfd2ψ
dx2+ Ufψ = ihψ
df
dt
/: fψ (3.51)
1
ψ
(− h2
2m
d2ψ
dx2+ Uψ
)= ih
1
f
df
dt= const = E (3.52)
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 85
ihψdf
dt= fE ⇒ df
dt= −iE
hf ⇒ f = exp
(−iEt
h
)(3.53)
Jedini parametar sistema od koga zavisi funkcija f je energija E. Sto je en-ergija sistema veca, funkcija f brze osciluje.f a rendszert meghatarozo egyetlen fizikai parametertol fugg, annak en-ergiajatol. Minel nagyobb a rendszer energiaja, az f fuggveny annal gy-orsabban oszcillal.
ff ∗ = 1 (3.54)
Ψ(x, t) = exp(−iEt
h
)ψ(x) (3.55)
⇒ Ψ(x, t)∗Ψ(x, t) = ψ(x)∗ψ(x) (3.56)
Iz jednacine (3.52) sledi da prostorna zavisnost talasne funkcije zadovoljavastacionarnu Sredingerovu jednacinu:A (3.52) egyenletbol kovetkezik, hogy a hullamfuggveny terfuggo resze kielegıtia stacionaris Schrodinger egyenletet:(
− h2
2m
d2
dx2+ U
)︸ ︷︷ ︸
=H
ψ = Eψ(x) (3.57)
ili drugacije napisano / maskeppen folırva
−h2
2m
d2ψ
dx2+ Uψ = Eψ(x) (3.58)
ili formalno / vagy formalisan
Hψ = Eψ (3.59)
Jednacina 3.59 formalno lici na svojstvenu jednacinu matrice M , gde je λ svo-jstvena vrednost matriceM a x je svojstveni vektor matriceM koji odgovoarasvojstvenoj vrednosti λ:A (3.59) egyenlet formalisan megfeleltetheto egy matrix sajategyenletenek,amelybenM a matrix, λ a matrix sajaterteke es x azM matrix λ sajatertekenekmegfelelo sajatvektora.
Mx = λx (3.60)
86 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Matrici M odgovara Hamiltonov operator H, energija sistema/tela je svo-jstvena vrednost operatora H, a talasna funkcija je svojstveni vektor opera-tora H.Az M matrix megfeleloje a Hamilton operator, a rendszer energiaja a Hamil-ton operator sajaterteke es a hullamfuggveny az operator sajatertekenekmegfelelo sajatvektor.
Bez ulazenja u detalje, mozemo reci da vezanim stanjima sistema odgo-vara prebrojivo mnogo svojstvenih vrednosti (svojstvenih vektora) energije,koja su jednoznacno odredjena kvantnim brojevima.Nagy vonalakban kijelenthetjuk, hogy a rendszer kotott allapotainak meg-szamlalhatoan sok energia sajatertek (sajatvektor) felel meg, ezeket egyer-telmuen meghatarozzak a kvantumszamok.
Posmatrajmo sistem u kome se kretanje vrsi duz jedne, recimo x ose.Neka energiju sistema opisuje Hamiltonov operator H, neka njegove svo-jstvene vrednosti odredjene kvantnim broje(vi)m(a) n budu En i neka suodgovarajuci svojstveni vektori ψn. Tada su ocekivane vrednosti energije,koje su ujedno i svojstvene vrednosti Hamiltonovog operatora:Tekintsunk egy olyan rendszert amelyben a reszecske egy, pl. az x tengelymenten mozoghat. Legyen H a rendszer energiajat meghatarozo Hamilton-operator, En annak n kvantumszamokkal meghatarozott sajatertekei, es azannak megfelelo sajatvektorok pedig legyen ψn. Ekkor a rendszer energiajanakvarhato (egyben sajat)ertekei:
〈En〉 =∫ψ∗n(x)Hψn(x)dx (3.61)
Ukoliko su ψ1 i ψ dva razlicita resenja Sredingerove jednacine kojimaodgovaraju dva razlicita fizicka stanja posmatranog sistema, verovatnocaprelaza P sistema iz stanja 1 u stanje 2 odredjeno je na sledeci nacin:Amennyiben ψ1 es ψ2 a Schrodinger egyenlet ket kulonbozo megoldasa ame-lyek a rendszer ket kulonbozo fizikai allapotat ırjak le, akkor P annak avaloszınusege, hogy a rendszer az 1-es allapotbol atmenjen a 2-es allapotba,a kovetkezo modon hatarozhato meg:
P(1→ 2) =∫ψ∗1(x)ψ2(x)dx (3.62)
Ukoliko je sistem u mesanom stanju, tj.
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 87
Amennyiben a rendszer kevert allapotban van, vagyis
ψ(x) =m∑i=1
αiψi(x) (3.63)
gde su α koeficijenti mesanja, verovatnoca nalazenja sistema u cistom stanjun je |αn|2.ahol az α-k a keveresi egyutthatok, akkor annak valoszınusege, hogy a rend-szert az n.-dik tiszta allapotban talaljuk |αn|2.Prirodu uvedenih pojmova cemo objasniti/pribliziti kroz primere.A tovabbiakban a bevezetett fogalmakat, azok termeszetet peldakon keresztulismerjuk meg.
3.5.5 Svojstvene vrednosti i svojstveni vektoriSajatertekek es sajatvektorok
Ponovicemo nekoliko osnovhih pojmova vezanih za svojstvene vrednosti i svo-jstvene vektore. Neka je M matrica n× n. Resavanje svojstvenog problemamatrice M je nalazenje svih (svojstvenih) vektora x i njima odgovarajucih(svojstvenih) vrednosti λ, tako da je zadovoljena svojstvena jednacina (3.64).Uslov koji matrica M mora da zadovolji da bi joj sve svojstvene vrednosti bilerealne (tj. da odgovaraju merljivim fizickim velicinama) je dat jednacinom(3.65).Megismetlunk nehany sajatertekekkel es sajatvektorokkal kapcsolatos tenytes fogalmat. AzM matrix sajatproblemaja azt jelenti, hogy meg kell talalnunkaz osszes olyan x (sajat)vektort es az osszes olyan λ (sajat)erteket, hogyigaz legyen a (3.64) sajategyenlet. Ahhoz, hogy egy M matrixnak az osszessajaterteke valos legyen (azaz, hogy azokat merheto fizikai mennyisegeknekfeleltethessuk meg) a matrixnak eleget kell tennie a (3.65) foltetelnek.
Mx = λx (3.64)
M∗,T = M (3.65)
Resavanje svojstvene jednacine je moguce predstaviti i na sledeci nacin, gdeI oznacava jedinicnu matricu.A sajatertek problemat a kovetkezokeppen lehet megoldani, ahol I az egyseg-matrixot jeloli.
Mx = λx = λIx⇔ (M − λI)x = 0 (3.66)
88 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Gornji (homogeni) sistem ima netrivijalno resenje7 samo ako je determinantasistema jednaka nuli, tj.:A fonti (homogen) egyenletrendszernek csak akkor van nemtrivialis megoldasa8,ha a rendszer determinansa nulla, azaz:
det (M − λI) = 0 (3.67)
Tako dobijamo polinom n-tog stepena po λ, i resavanje svojstvene jednacinese svodi na trazenje onih vrednosti λ za koje polinom ima vrednost 0.Igy n-d foku polinomot kapunk λ-ra, es a sajatertek problema megoldasatvisszavezettuk azoknak a λ ertekeknek a megtalalasara, amelyekre a polinom0 erteket vesz fol.Jednacina (3.67) ima n resenja, od kojih neka mogu biti jednaka. Ukoliko seneko resenje javi vise puta, kazemo da je ta svojstvena vrednost degenerisana,i to onoliko puta, koliko puta se ponavlja. U suprotnom slucaju kazemo da jesvojstvena vrednost nedegenerisana. Nedegenerisanim svojstvenim vrednos-tima odgovaraju svojstveni vektori - tj. jednodimenzionalni vektorski pros-tori, a degenerisanim svojstvenim vrednostima svojstveni potprostori cija jedimenzija jednaka degeneraciji.Az (3.67) egyenletnek n megoldasa van, ezek kozul lehetnek egyenloek is.Amennyiben egy megoldas tobbszor fordul elo, azt mondjuk, hogy a megfelelosajatertek elfajult, ahol az elfajulas foka az elofordulasok szama. Ameny-nyiben a megoldas csak egyszer fordul elo, azt mondjuk, hogy a sajaterteknemelfajult. A nemelfajult sajatertekeknek megfeleltethetok a sajatvektorok- azaz egydimenzios vektorterek, az elfajult sajatertekeknek pedig sajat al-terek felelnek meg, amelyek dimenzioja egyenlo az elfajulas fokaval.Posmatrajmo jednu nedegenerisanu svojstvenu vrednost λ i njoj pripadajucisvojstveni vektor xλ. Sada mozemo jednostavno da damo odgovor na pitanje:Sta je geometrijsko znacenje svojstvene vrednosti i njoj odgovarajuceg svo-jstvenog vektora? Mnozenje svojstvenog vektora xλ matricom M odgovaramnozenju svojstvenog vektora skalarom! Svojstveni vektor mnozenjem nemenja svoj pravac, ali u zavisnosti od svojstvene vrednosti moze da menjaduzinu odnosno smer.Vegyunk egy elfajulatlan λ sajaterteket es az annak megfelelo xλ sajatvektort.
7Homogeni sistem jednacina uvek ima trivijalno resenje, ukoliko su sve nepoznate (ko-ordinate) jednake nuli.
8A homogen egyenletrendszernek trivialis megoldasa mindeg van, ha az osszes is-meretlen (koordinata) nulla.
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 89
Most egyszeruen megvalaszolhatjuk a kovetkezo kerdest: Mi a sajatertekes a sajatvektor geometriai ertelmezese? Az xλ vektor M -el valo szorzasaegy λ skalarral valo szorzassal egyenerteku! A matrixszal valo szorzas nemvaltoztatja meg xλ iranyat, hanem λ-tol fuggoen megvaltoztatja xλ hosszat,esetleg iranyıtasat.U primenama je neobicno vazna sledeca cinjenica:Svojstveni vektori koji odgovaraju razlicitim svojstvenim vrednostima sumedjusobno normalni!Az alkalmazasokban rendkıvul fontos a kovetkezo teny:Kulonbozo sajatertekeknek megfelelo sajatvektorok merolegesek egymasra!Uzmimo primer matrice 2× 2, u kojoj su a, b, c, d realni ili brojevi.Vegyunk egy 2× 2 matrixot, amelyben a, b, c, d valos, vagy komplex szamok.
M =
[a bc d
](3.68)
Svojstvena jednacina matrice / A matrix sajategyenlete∣∣∣∣∣ a− λ bc d− λ
∣∣∣∣∣ = (a− λ)(d− λ)− bc
= λ2 − (a+ d)λ+ ad− bc = 0 (3.69)
Svojstvene vrednosti matrice/ A matrix sajatertekei
λ1,2 =a+ d±
√(a+ d)2 − 4(ad− bc)
2
=a+ d±
√(a− d)2 + 4bc
2(3.70)
Primetimo, da su svojstvene vrednosti matrice (u skladu sa uslovom (3.65))uvek realne ako vazi b = c za realne brojeve, odnosno b = c∗ za kompleksnebrojeve.Vegyuk eszre, hogy a matrix sajatertekei (a (3.65) foltetellel osszhangban)mindeg valosak amenyiben b = c valos szamok eseten, illetve b = c∗ komplexszamok eseten.Svojstveni vektori / Sajatvektorok
~xλ = (x, y)Tλ (3.71)
90 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
[a bc d
] [xy
]= λ
[xy
](3.72)
ax+ by = λxcx+ dy = λy
}(3.73)
(a− λ)x+ by = 0cx+ (d− λ)y = 0
}+ (3.74)
(a+ c− λ)x+ (b+ d− λ)y = 0 (3.75)
y = −a+ c− λb+ d− λ
x (3.76)
Jedno partikularno resenje je npr.:Egy partikularis megoldas pl.:
xλ = b+ d− λ (3.77)
yλ = −(a+ c− λ) (3.78)
Veza izmedju x i y koordinate vektora odredjuje pravu koja prolazi krozkoordinatni pocetak9, koeficijent pravca prave je dat jednacinom (3.76). Svanetrivijalna resenja dobijamo tako, da npr. x 6= 0 izaberemo potpuno pro-izvoljno, a y na osnovu relacije (3.76). Znamo, da su dve prave normalne,ukoliko im je proizvod koeficijenata pravca jednak -1. Proverimo koliki ugaozaklapaju dva svojstvena vektora matrice M , (3.79).Az x es y koordinatak kozotti kapcsolat alapjan tudjuk, hogy az egy origonathalado egyenest hataroz meg 10 melynek egyutthatojat az (3.76) egyenlethatarozza meg. Az egyenletrendszer nemtrivialis megoldasait ugy kaphatjukmeg, hogy pl. x 6= 0-et tetszolegesen megvalasztjuk, y-t pedig a (3.76)kapcsolat alapjan. Tudjuk, hogy ket egyenes akkor meroleges egymasra, haaz egyutthatoik szorzata egyenlo −1-gyel. Ellenorizzuk, hogy az M matrixket sajatvektora milyen szoget zar be, (3.79).
λ1 + λ2 = a+ d
λ1λ2 = ad− bc9Jednacina prave u dve dimenzije je y = ax + b, gde je a koeficijent pravca, tj. a je
tangens ugla koji prava zaklapa sa pozitivnim krajem x ose. Ukoliko je b = 0, prava prolazikroz koordinatni pocetak.
10Egy egyenes egyenlete ket dimenzioban y = ax+b, ahol a az egyenes iranyat hatarozzameg, vagyis annak a szognek a tangenset, amelyet az egyenes az x tengely pozitıv vegevelzar be. b = 0 azt jelenti, hogy az egyenes az origon keresztul halad at.
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 91
(−a+ c− λ1
b+ d− λ1
)(−a+ c− λ2
b+ d− λ2
)=
λ1λ2 − (a+ c)(λ1 + λ2) + (a+ c)2
λ1λ2 − (b+ d)(λ1 + λ2) + (b+ d)2
=c(a+ c− b− d)
b(b+ d− a− c)= −c
b(3.79)
ukoliko / amennyiben
a+ c− b− d 6= 0 (3.80)
Za vezbu slucaj b = c = 0 razmotrite sami.Gyakorlatkeppen vizsgaljak meg a b = c = 0 esetet.Nalazimo, da su svojstveni vektori normalni, ukoliko vazi b = c ili u slucajukompleksne matrice b = c∗ i zahtev da dijagonalni elementi matrice budurealni, uz uslov (3.80). Normiranost talasne funkcije odgovara tome, da jeduzina (izabranog) svojstvenog vektora jednaka 1.Amennyiben igaz, hogy b = c, vagy komplex matrix eseten b = c∗, es a matrixatlos elemei valosak, valamint igaz a (3.80) kovetelmeny, akkor a ket vektoregymasra meroleges. A hullamfuggveny normalasa azzal egyenerteku, hogya (kivalasztott) sajatvektor hossza 1.
Primer / PeldaKvantni racunari operisu kvantnim bitovima, koji su uopstenja klasicnihbitova. Kvantni racunari su vazni, posto mnogo efikasnije resavaju klaseproblema pred kojima su klasicni racunari prakticno bespomocni, odnosnopostoje klase problema koje kvantni racunari resavaju neuporedivo brze odklasicnih racunara. Ukoliko imamo kvantni sistem sa dva stanja, oznacimoih sa ψ0 i ψ1. Kvantni bit ψ (3.82) je stanje kvantnog sistema predstavl-jeno kao linearna kombinacija dva osnovna stanja, gde su α i β kompleksnibrojevi, za koje vazi uslov (3.81). Tacnije, to je fizicka realizacija kvantnogbita. Ukoliko se ovaj pojam cini apstraktnim, razmislite koliko je apstraktnafizicka realizacija jednog klasicnog bita. Kvantni bitovi se mogu uopstiti nakvantne ditove (3.83), koji su realizovani pomocu d razlicitih osnovnih stanja,sa koeficijentima koji zadovoljavaju uslov (3.84).A kvantumszamıtogepek kvantum bittekkel operalnak, amelyek a klasszikusbitek altalanosıtasai. A kvantum szamıtogepek azert fontosak, mert sokkalhatekonyabban bırkoznak meg olyan feladatokkal, amelyekkel a klasszikusszamıtogepek nem tudnak, illetve vanak olyan problema osztalyok, ame-lyeket a klasszikus szamıtogepeknel nagysagrendekkel gyorsabban oldanakmeg. Amennyiben ket allapotu rendszerrel van dolgunk, annak alapallapotaitjeloljuk ψ0val es ψ1el. Egy ψ kvantum bit a ket alapallapot olyan linearis
92 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
kombinacioja (3.82), amelynel az egyutthatokra teljesul a (3.81) foltetel.Pontosabban ez a kvantum bit fizikai megvalosıtasa. Amennyiben ez a fo-galom apsztraktnak tunik, gondolkozzanak el azon, hogy mennyire apsz-trakt egy klasszikus bit fizikai megvalosıtasa. A kvantum bitek kvantumditekke altalanosıthatok (3.83), amelyeket egy kvantum rendszer d egymastolfuggetlen alapallapotaval valosıtunk meg. Ekkor a linearis kombinacio egyutt-hatoi kielegıtik a (3.84) foltetelt.
|α|2 + |β|2 = 1 (3.81)
ψ = αψ0 + βψ1 (3.82)
ψ =d∑
k=0
αkψk (3.83)
d∑k=0
|αk|2 = 1 (3.84)
3.5.6 Primer: Slobodna cestica / Pelda: Szabad reszecske
Slobodna cestica (u jednoj dimenziji) / szabad reszecske (egy dimenzioban)x ∈ (−∞,∞),Nema interakcije / nincs kolcsonhatas ⇒ U = 0
− h2
2m
∂2ψ
∂x2= Eψ (3.85)
h2
2m
∂2ψ
∂x2+ Eψ = 0
/· 2m
h2 (3.86)
∂2ψ
∂x2+
2mE
h2︸ ︷︷ ︸k2
ψ = 0 (3.87)
E =h2k2
2m(3.88)
∂2ψ
∂x2+ k2ψ = 0 (3.89)
ψ(x) =23 A exp (ikx) +B exp (−ikx) (3.90)
Ψ(x, t) =3.55 exp(−iEt
h
)ψ(x)
= A exp (−i(ωt− kx)) +B exp (−i(ωt+ kx)) (3.91)
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 93
Kao resenje dobijamo superpoziciju dva ravna talasa koji se krecu u suprot-nim smerovima duz x ose. Primetimo da nemamo nikakvo ogranicenje naenergiju koju slobodna cestica moze da ima.A megoldas ket, az x tengely menten ellentetes iranyban halado sıkhullamszuperpozıcioja. Vegyuk eszre, hogy a szabad reszecske energiajara nincssemmifele korlatozas.
3.5.7 Primer: Slobodna cestica u kutiji / Pelda: Bedobo-zolt szabad reszecske
Cestica je i dalje slobodna, ali ne moze da se krece duz cele x ose, nego samounutar intervala [−a, a], tj. imamo neprobojne zidove na granicama inter-vala. (I dalje) Vaze jednacine (3.85 - 3.90) i granicni uslov:A reszecske tovabbra is szabad, de nem mozoghat az egesz x tengelyen,hanem csak az [−a, a] intervallumon belul, azaz az intervallum hatarain areszecske szamara athatolhatatlan falak vannak. (Tovabbra is) Ervenyesek a(3.85 - 3.90) egyenletek es a hatarfoltetel:
ψ(−a) = ψ(a) = 0 (3.92)
Detaljnije / reszletesebben
A exp (ika) +B exp (−ika) = 0A exp (−ika) +B exp (ika) = 0
}(3.93)
Iz prethodnog sistema jednacina zelimo da odredimo amplitude A i B.Az elozo egyenletrendszerbol meg akarjuk hatarozni az A es B amplitudokat.Uslov postojanja netrivijalnih amplituda A i B je postojanje netrivijalnogresenja homogenog sistema jednacina.Nemtrivialis A es B amplitudok letezesenek foltetele egy homogen egyenle-trendszer nemtrivialis megoldasanak letezesevel egyenerteku.
∣∣∣∣∣ exp (ika) exp (−ika)exp (−ika) exp (ika)
∣∣∣∣∣ = 0 (3.94)
⇔exp (2ika)− exp (−2ika) =7 2i sin 2ka = 0 (3.95)
94 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
(3.95) ⇒ 2ka = nπ ⇒ k =nπ
2a(3.96)
E =3.88π2h2
8amn2 (3.97)
Uvrstimo k iz (3.96) u (3.92). U nekoliko koraka dolazimo do veze izmedjuamplituda i kvantnog broja n.(3.96)-bol helyettesıtsuk be k-t (3.92)-be. Nehany lepesben megkapjuk azamplitudok es az n kvantumszam kozotti kapcsolatot.
A exp(inπ
2aa)
+B exp(−inπ
2aa)
= 0
A exp(inπ
2
)+B exp
(−inπ
2
)= 0
A exp(iπ
2
)n+B exp
(−iπ
2
)n= 0
Ain +B(−i)n = 0
in(A+B(−1)n) = 0 (3.98)
mivelposto
in 6= 0, (3.98)⇒{A = −B, n = 2mA = B, n = 2m+ 1
(3.99)
Uvrstimo rezultat (3.99) u (3.90).(3.99)-bol helyettesıtsunk be (3.90)-be.
ψ(x) = A exp(inπ
2ax)
+B exp(−inπ
2ax)
=
A(exp
(inπ
2ax)− exp
(−inπ
2ax))
n = 2m
A(exp
(inπ
2ax)
+ exp(−inπ
2ax))
n = 2m+ 1
=
2iA sin(nπ2ax)
n = 2m
2A cos(nπ2ax)
n = 2m+ 1(3.100)
Iz uslova normiranja talasne funkcije (3.36) moze se odrediti konstanta A.A hullamfuggveny normalasi (3.36) foltetelebol meghatarozhato az A allando.
Na primer / Peldaul: ∫ a
−a4A2 cos2
(nπ
2ax)dx = 1
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 95
A =1
2
√∫ a−a cos2
(nπ2ax)dx
∫ a
−acos2
(nπ
2ax)dx =(25)
∫ a
−a
1
2
cos(0)︸ ︷︷ ︸=1
+ cos(nπ
ax) dx
=1
2
1 · 2a+a
nπsin
(nπx
a
)∣∣∣∣a−a︸ ︷︷ ︸
=0
= a
⇒ A =1
2√a
(3.101)
Konacni oblik parnih i neparnih talasnih funkcija je:A paros es paratlan hullamfuggvenyek vegso alakja tehat:
ψ(x) =
1√a
sin(nπ2ax)
n = 2m1√a
cos(nπ2ax)
n = 2m+ 1(3.102)
Dobijeni rezultat je kvantni analogon treperenja strune ciji su krajevi fiksir-ani. Ako struna treperi, na njoj se formirao stojeci talas. Struna moze datreperi samo na odredjenim frekvencijama / talasnim duzinama, i to takvim,da na duzini strune moze da stane samo celobrojni umnozak polovine talasneduzine stojeceg talasa.A kapott eredmeny a rogzıtett vegu rezgo hur kvantum megfeleloje. Haa hur rezeg, akkor rajta egy allohullam alakult ki. A hur csak bizonyosfrekvenciakon - hullamhosszakon rezeghet, a hur hossza csak a fel hullamhosszegesz szamu tobbszorose lehet.
U slucaju dvodimenzionalne slobodne cestice zatvorene u pravougaonu oblaststranica a i b resavanje Sredingerove jednacine je potpuno identicno jednodi-menzionalnom slucaju. Posto je kretanje duz x ose potpuno nezavisno odkretanja duz y ose, resenje se moze svesti na jednodimenzionalni slucaj, uzopasku:Ketdimenzios, teglalap alaku, a es b oldalu tartomanybe zart szabad reszecskeSchrodinger egyenletet az egydimenzios esettel teljesen analog modon lehetmegoldani. Mivel az x tengely menti mozgas fuggetlen az y tengely mentimozgastol, a megoldas visszavezetheto az egydimenzios esetre, a kovetkezo
96 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
tenyek figyelembevetelevel:
E =h2k2
2m(3.103)
k2 = k2x + k2
y (3.104)
kx =nxπ
2a(3.105)
ky =nyπ
2b(3.106)
Posto je resenje Sredingerove jednacine odredjeno sa dva kvantna broja (nx, ny),razlikujemo sledeca cetiri slucaja: (paran, paran), (paran, neparan), (neparan,paran), (neparan, neparan).Mivel a Schrodinger egyenlet megoldasat ket kvantumszam hatarozza meg,(nx, ny), a kovetkezo negy esetet kulonboztetjuk meg: (paros, paros), (paros,paratlan), (paratlan, paros), (paratlan, paratlan).Na seldece tri slike 3.8 su prikazane gustine verovatnoca za resenja odredjenakvantnim brojevima (1, 1), (1, 2) i (2, 2). Stranice pravougaonika su a = 1 ib = 2.A kovetkezo harom abran 3.8 az (1, 1), (1, 2) es (2, 2) kvantumszamoknakmegfelelo valoszınuseg surusegfuggvenyek vannak abrazolva, a teglalap oldalaia = 1 es b = 2.Vidimo da nx broji ”grbe”, tj. maksimume duz x ose, a ny broji maksimume
duz y ose. Dokazite!Latjuk, hogy nx az x tengely menti ”pupokat” azaz a maximumokat szamlalja,hasonlokeppen ny az y tengely menti maximumokat szamlalja. Bizonyıtsakbe!Zadatak / Foladat Ako skalarni proizvod dve funkcije definisemo kaoodredjeni integral njihovog proizvoda na intervalu [−a, a], (3.107) koristecirelacije (24, 25, 26) proverite da li su talasne funkcije date jednacinom (3.102)normalne jedne na druge. Rezultate uporedite sa odeljkom 3.5.5.Amennyiben ket fuggveny skalarszozatat ugy definialjuk mint a szorzatukhatarozott integraljat a [−a, a] intervallumon, (3.107), az (24, 25, 26) osszefug-geseket kihasznalva ellenorizze, egymassal milyen szoget zarnak be a (3.102)egyenletben meghatarozott hullamfuggvenyek. Vesse ossze az eredmenyeketa 3.5.5 fejezettel.
ψ1 · ψ2 = 〈ψ1, ψ2〉 =∫ a
−aψ1(x)ψ2(x)dx (3.107)
3.5. SREDINGEROVA JEDNACINA SCHRODINGER EGYENLET 97
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-2
-1
0
1
2
y
0
0.2
0.4
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-2
-1
0
1
2
y
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-2
-1
0
1
2
y
0
0.2
0.4
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-2
-1
0
1
2
y
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-2
-1
0
1
2
y
0
0.2
0.4
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-2
-1
0
1
2
y
Figure 3.8: |ψ1,1(x, y)|2, |ψ1,2(x, y)|2, |ψ2,2(x, y)|2
98 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Matricni elementi operatora / Operator matrixelemei
Kako izgleda operator (matrica) koja opisuje polozaj slobodne cestice? Ma-tricne elemente nalazimo na osnovu definicije (3.37).
xm,n =∫ a
−aψm(x)xψn(x)dx (3.108)
=
1a
∫ a−a sin
(mπ2ax)x sin
(nπ2ax)dx ; m,n
parnoparos
1a
∫ a−a cos
(mπ2ax)x cos
(nπ2ax)dx ; m,n
neparnoparatlan
1a
∫ a−a sin
(mπ2ax)x cos
(nπ2ax)dx ; m
parnoparos
, nneparnoparatlan
1a
∫ a−a cos
(mπ2ax)x sin
(nπ2ax)dx ; m
neparnoparatlan
, nparnoparos
(3.109)
3.6 Hajzenbergove relacije neodredjenosti
Heisenberg hatarozatlansagi relacioi
U kvantnoj mehanici merenje neke fizicke velicine uvek menja vrednost mereneili neke druge fizicke velicine. Ovaj efekat ne moze da se zanemari i nijevezan za tehnicke poteskoce niti za nesavrsenost mernog aparata, nego jeinherentna osobina kvantno-mehanickih velicina. Slicnu pojavu imamo iu klasicnoj fizici11, ali se u slucaju merenja klasicnih velicina ovaj efekatmoze uciniti proizvoljno malim, dok u slucaju kvantno-mehanickih velicinato nije moguce. Precizna formulacija ovih cinjenica rezultuje u Hajzenber-govim relacijama neodredjenosti.Kvantum-mechanikaban egy fizikai mennyiseg merese mindeg megvaltoztatjaannak vagy egy masik fizikai mennyisegnek az erteket. Ez a jelenseg nem el-hanyagolhato es nem kapcsolodik merestechnikai nehezsegekhez vagy a mero-berendezes tokeletlensegehez, hanem a kvantum-mechanikai mennyisegek a-laptulajdonsaga. Hasonlo jelenseggel talalkozhatunk a klasszikus fizikabanis12. Mıg a klasszikus esetben ez az effektus elvileg tetszolegesen kicsive
11Pomislite na termometar, koji pre pocetka merenja npr. ima visu temperaturu odtemperature sredine koju meri. Merenjem temperature u ovom slucaju ujedno i povisujemotemperaturu merene sredine.
12Gondoljunk pl. arra a homerore, amelynek a homerseklete a meres kezdeten magasabbmint annak a kozegnek a homerseklete, amely kozeg homersekletet merjuk. Ebben az
3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELACIOK 99
teheto, addig kvantum-mechanikai esetben ez nem lehetseges. Ezeknek atenyeknek a pontos megfogalmazasa eredmenyezi Heisenberg hatarozatlansagirelacioit.∆A je (apsolutna) greska merenja operatora A.∆A az A operator (abszolut) meresi hibaja.
∆A =√〈A− 〈A〉〉2 (3.110)
Primetimo da izraz (3.110) daje ocekivanu vrednost odstupanja od ocekivanevrednosti.Vegyuk eszre, hogy a (3.110) kifejezes a varhato ertektol valo elteres varhatoerteke.
Komutator operatora A i B je / A es B operatorok kommutatora[A, B
]= AB − BA (3.111)
Primetimo da za komutator vaze sledece jednakosti:Vegyuk eszre a kovetkezo komutatorra vonatkozo egyenlosegeket:
[A, A] = 0 (3.112)
[A, B] = −[B, A] (3.113)
Opsti oblik Hajzenbergove relacije neodredjenosti glasi, (3.114):A Heisenberg hatarozatlansagi relacio altalanos alakja, (3.114):
∆A∆B ≥ 1
2|[A, B]| (3.114)
Dve fizicke velicine je moguce istovremeno meriti sa proizvoljnom tacnoscusamo ukoliko ime je komutator jednak nuli. U suprotnom slucaju povecanjetacnosti merenja jedne velicine uzrokuje smanjenje tacnosti merenja drugevelicine. Ova pojava je povezana s cinjenicom da komutator meri nezavisnotfizickih velicina. Nezavisne fizicke velicine je moguce istovremeno meriti saproizvoljnom tacnoscu, dok u slucaju zavisnih fizickih velicina to nije moguce.Ket fizikai mennyiseget egyidejuleg tetszoleges pontossagal csak akkor lehetmerni, ha a kommutatoruk nulla. Ellenkezo esetben az egyik fizikai meny-nyiseg meresi pontossaganak a novelese a masik fizikai mennyiseg meresipontossaganak a csokkeneset eredmenyezi. Ez a jelenseg azzal fugg ossze,
esetben meresunkkel megemeljuk a kozeg homersekletet.
100 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
hogy a kommutator azt fejezi ki, mennyire fuggetlenek egymastol a fizikaimennyisegek. Fuggetlen fizikai mennyisegeket egyidejuleg tetszoleges pon-tossagal lehet merni, egymastol fuggo mennyisegeket pedig nem.
Postoji i relacija neodredjenosti energije i vremena (3.115) koja je for-malno slicna, ali je priroda te relacije vrlo razlicita od relacije (3.114), izprostog razloga sto ne postoji kvantno-mehanicka velicina13 koja odgovaraklasicnom pojmu vremena. Relaciju (3.115) interpretiramo na sledeci nacin:greska merenja energije sistema je povezana sa tacnoscu kojom poznajemoono vreme, koje sistem provede u datom stanju. Manja greska u merenjuenergije zahteva da vreme koje sistem provede u datom stanju bude duze.U granicnom slucaju, merenje bez greske zahteva da sistem u nekom stanjuprovede beskonacno dugo vremena, i da isto toliko dugo traje i merenje e-nergije. To npr. znaci da je merenje energije nestabilnih - kratkozivucihstanja moguce samo uz (pricnipijelno!) ogranicenje tacnosti merenja.Letezik az energia-ido hatarozatlansagi relacio is (3.115), amely formalisannagyon hasonlıt a mar ismertetett (3.114) hatarozatlansagi relaciora, viszontez a hatarozatlansagi relacio teljesen mas jellegu, annal az egyszeru oknalfogva, hogy a klasszikus ido fogalmanak nem feleltetheto meg valamilyenkvantum-mechanikai valtozo. Adjuk meg a (3.115) relacio egy lehetsegesertelmezeset. Egy rendszer energiajanak meresi pontossaga osszefugg annakaz idonek a meresi pontossagaval, amely ideig a rendszer az adott energiajuallapotban van. Az energia pontosabb merese akkor lehetseges, amikor azadott allapotban eltoltott ido hosszabb. Hataresetben, az energia pontosmerese azt koveteli meg, hogy a rendszer vegtelen ideig tartozkodjon az adottallapotban, es ezzel egyutt a meres is vegtelen ideig tart. Ez. pl. azt jelenti,hogy a rovid eletu-instabil allapotok energiaja (elvileg is!) csak veges pon-tossaggal merheto.
∆E∆t ≥ h (3.115)
Prethodna relacija se moze napisati i u obliku koji jos vise podseca na relaciju(3.114) na sledeci nacin. Neka je B fizicka velicina koja zavisi od vremena,
∆B njena vremenski zavisna greska, i neka je d∆Bdt
brzina promene vremen-ski zavisne greske. Relacija neodredjenosti energije i vremenske zavisnostivelicine B je:Az elozo osszefuggest kovetkezokeppen lehet folırni olyan alakban, amely meg
13tacnije formulisano: opservabla
3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELACIOK 101
jobban emlekeztet az eredeti (3.114) osszefuggesre. Legyen B egy idofuggo
fizikai mennyiseg, ∆B annak idofuggo meresi hibaja es d∆Bdt
az a sebesseg,
amellyel a meresi hiba valtozik. Ekkor az energia es B idofuggesenek hataro-zatlansagi relacioja:
∆E∆Bd∆Bdt
≥ h
2(3.116)
⇔
∆E∆B ≥ 1
2hd∆B
dt=
1
2
∣∣∣[H,∆B]∣∣∣ ≈ 1
2
∣∣∣[H, B]∣∣∣ (3.117)
Primetimo da ovako formulisana relacija neodredjenosti energije i vremenane zavisi eksplicitno od vremena!Vegyuk eszre, hogy az ıgy megfogalmazott energia-ido hatarozatlansagi relacionem fugg explicit modon az idotol!Naizgled uznemiravajucu cinjenicu da je mogucnost za tacna merenja mini-malna, kvantna mehanika u primenama moze da preokrene u nevidjenu pred-nost. Npr. rad kvantnih racunara je duboko povezan sa merenjem kvant-nomehanickih velicina i sa fenomenima opisivim relacijama neodredjenosti.Abbol a latszolagosan nyugalanıto tenybol, hogy a pontos meresek meg-valosıtasanak lehetosege gyakorlatilag minimalis, a kvantummechanika alka-lmazasaiban hihetetlen elonyt lehet kovacsolni. Pl. a kvantumszamıtogepekmukodese melyen osszefugg a kvantummechanikai meresekkel, ezzel egyuttazokkal a jelensegekkel is, amelyeket a hatarozatlansagi relaciok fejeznek ki.
Slicne nejednakosti postoje i drugde, npr. u teoriji informacija ili u obradisignala, gde na primer znamo da nije moguce istovremeno imati podjednakodobru rezolucija signala u vremenu, odnosno po frekvenciji.Hasonlo egyenlotlensegek mas teruleteken is leteznek, pl. az informacioelme-letben vagy a jelfeldogozasban, ahol tudjuk, hogy egy jelben lehetetlen egysz-erre elerni a jo idobeli- es frekvenciabeli folbontast.Izracunajmo komutator operatora x i px.Szamoljuk ki x es px kommutatorat.
[x, px]Ψ = x(pxΨ)− px(xΨ) = x
(−ih∂Ψ
∂x
)︸ ︷︷ ︸
3.43
−px (xΨ)︸ ︷︷ ︸3.45
102 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
= −ih x∂Ψ
∂x︸ ︷︷ ︸3.45
+ ih
(Ψ + x
∂Ψ
∂x
)︸ ︷︷ ︸
19,3.43
= ihΨ (3.118)
Iz (3.114) i (3.118) sledi da je nemoguce istovremeno izmeriti sa proizvoljnomtacnoscu polozaj i impuls cestice/kvantnog sistema.(3.114)-bol es (3.118)-bol kovetkezik, hogy lehetetlen egyszerre, tetszolegespontossaggal megmerni egy reszecske/vagy kvantum rendszer helyzetet es im-pulzusat.
[x, px] = [y, py] = [z, pz] = ih (3.119)
[x, y] = [x, z] = [y, z] = 0 (3.120)
[px, py] = [px, pz] = [py, pz] = 0 (3.121)
[xj, pk] = ih δj,k15 (3.122)
∆xj ∆pk ≥h
2δj,k (3.123)
Primer / Pelda Odredimo rad koji je potrebno uloziti da bi se slobodnacestica lokalizovala unutar inervala duzine ∆x.Hatarozzuk meg azt a munkat amelyet ahhoz kell befektetni, hogy egy sza-bad reszecsket ∆x hosszusagu intervallumba zarjunk.
A = Ek =p2
2m, ∆x∆p ≥ h
2
∆p ≥ h
2∆x, p ≈ ∆p ⇒ Ek ≥
(h
2∆x
)2
2m=
h2
8m(∆x)2(3.124)
3.6.1 Operator momenta impulsaImpuzusmomentum operator
Operator momenta impulsa se definise analogno klasicnom momentu im-pulsa:Az impulzusmomentum operatort a klasszikus impulzus momentummal analog
3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELACIOK 103
modon definialjuk:
~L = ~r × ~p = (x, y, z)×(ih∂
∂x, ih
∂
∂y, ih
∂
∂z
)=(Lx, Ly, Lz
)(3.125)
=
(y ih
∂
∂z− z ih ∂
∂y, z ih
∂
∂x− x ih ∂
∂z, x ih
∂
∂y− y ih ∂
∂x
)(3.126)
Izraz (3.126) uporedite sa klasicnim izrazom za moment impulsa.Hasonlıtsa ossze (3.126)-t az impulzus-momentum klasszikus alakjaval.Za operator momenta impulsa vaze sledece komutacione relacije (proverite!):Az impulzusmomentum operatorra igazak a kovetkezo kommutacios relaciok(ellenorizze azokat!): [
Li, Lj]
= ihεi,j,k16Lk (3.127)
Na osnovu (3.127) i (3.114) zakljucujemo da je nemoguce istovremeno izmer-iti sve komponente momenta impulsa sa proizvoljnom tacnoscu.(3.127) es (3.114) alapjan arra kovetkeztetunk, hogy lehetetlen egyszerremegmerni az impulzusmomentum mindharom komponenset.
Moze se (lako) dokazati, da kvadrat momenta impulsa ~L2 = L2x + L2
y + L2z
komutira sa bilo kojom projekcijom momenta impulsa (dokazite!).(Konnyen) bebizonyıthato, hogy az impulzus momentum operator negyzete
~L2 = L2x + L2
y + L2z kommutal az impulzumomentum barmelyik vetuletevel
(bizonyıtsa be!).
[~L2, Lz
]= 0 (3.128)
Na osnovu (3.128) zakljucujemo da je moguce istovremeno izmeriti kvadratintenziteta vektora momenta impulsa i jednu njegovu projekciju sa proizvoljnomtacnoscu.(3.128) alapjan arra kovetkeztetunk, hogy lehetseges az impulzusmomentumnegyzetenek es egy vetuletenek az egyideju, tetszoleges pontossagu merese.Mogu se dokazati sledece dve jednakosti.Bebizonyıthato a kovetkezo egyenlosegpar.
~L2ψ = l(l + 1)h2ψ, l = 0, 1, 2, . . . (3.129)
Lzψ = mhψ, m = −l,−l + 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . l − 1, l (3.130)
104 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
l je orbitalni, a m magnetni kvantni broj.l az orbitalis, m pedig a magneses kvantum szam.Uporedite (3.23) i (3.129), ove dve jednacine se ne slazu. Bor nije bio u pravukada je pretpostavio da je intenzitet momenta impulsa celobrojni umnozakod h. Za velike vrednosti orbitalnog kvantnog broja dve vrednosti se priblizno
slazu, ali za male vrednosti ne,√l(l + 1) 6= l.
Hasonlıtsa ossze (3.23)-t es (3.129)-t, a ket egyenlet nem egyezik egymassal.Bornak nem volt igaza, amikor azt foltetelezte, hogy az impulzusmomentumh-nak az egesz szamu tobbszorose. Az orbitalis kvantumszam nagy ertekeire
a ket kifejezes kozelıtoleg egyenlo, de l kis ertekei eseten nem,√l(l + 1) 6= l.
3.6.2 Kvantni rotatorKvantum rotator
Kineticka energija rotacije u klasicnoj fizici iznosi:Klasszikus fizikaban a forgomozgas kinetikus energiaja:
Ek =Iω2
2(3.131)
gde I oznacava moment inercije a ω ugaonu brzinu.ahol I a tehetetlensegi momentum es ω a szogsebesseg.Posto ugaona brzina nema smisla u kvantnoj mehanici, potrebno je na drugacijinacin izraziti kineticku energiju rotacije.Mivel a szogsebesseg kvanummechanikaban ertelmeltlen fogalom, maskeppenkell kifejezni a forgomozgas energiajat.
Ek =Iω2
2
I
I=I2ω2
2I=
(
=L︷︸︸︷Iω )2
2I=L2
2I(3.132)
gde L oznacava moment impulsa.ahol L az impulzusmomentumot jeloli.Znaci da je operator kineticke energije u slucaju rotacionog kretanja jednak:Tehat a kinetikus energia operatora forgomozgas eseten:
Ek =~L
2
2I(3.133)
3.6. HAJZENBERGOVE RELACIJE / HEISENBERG-RELACIOK 105
Stacionarna Sredingerova jednacina koja opisuje kvantni rotator je:A kvantum rotator stacionaris Schrodinger egyenlete:
~L2
2Iψ = Eψ (3.134)
Jednacina (3.134) se resava prelaskom na sferne koordinate.A (3.134)-s egyenletet kezenfekvo gombi koordinatakban megoldani.Prostorna rotacija je opisiva sa dva ugla, φ i θ.A terbeli forgas ket szoggel ırhato le, φ-vel es θ-val.Kineticku energiju rotacije izrazava sledeci operator:A forgomozgas energiajat a kovetkezo operatorral fejezhetjuk ki:
H = − h2
2I
(1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1
sin2 θ
∂2
∂2φ
)(3.135)
Znajuci (3.129) i (3.130) Sredingerova jednacina kvantnog rotatora glasi:Ismerven (3.129)-t es (3.130)-t a kvantum porgetyu Schrodinger egyenlete:
− h2
2I
(1
sin θ
∂
∂θ
(sin θ
∂
∂θ
)+
1
sin2 θ
∂2
∂2φ
)ψ = Eψ (3.136)
Energiju kvantnog rotatora dobijamo prostim uporedjivanjem:A kvantum porgetyu energiaja egyszeru osszehasonlıtassal adodik:
El =h2
2Il(l + 1) (3.137)
Resenja jednacine (3.136) zovu se sferni harmonici, u oznaci Y ml (θ, φ) i klasi-
fikuju se pomocu orbitalnog i magnetnog kvantnog broja.A (3.136)-s egyenlet megoldasait gombharmonikus fuggvenyeknek hıvjuk esY ml (θ, φ)-vel jeloljuk, es az orbitalis es magneses kvantum szamokkal oszta-
lyozhatok.
Y ml (θ, φ) =
√√√√2l + 1
4π
(l −m)!
(l +m)!exp(imφ)Pm
l (cos θ) (3.138)
Funkcija Pml za negativne vrednosti orbitalnog kvantnog broja m se racuna
na sledeci nacin:
106 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
A Pml fuggvenyt negatıv magneses kvantum szam eseten a kovetkezokeppen
szamoljuk:
P−ml (x) = (−1)m(l −m)!
(l +m)!Pml (x) (3.139)
Navodimo nekoliko prvih sfernih harmonika:Folsorolunk nehany gombharmonikust:
P 00 = 1 (3.140)
P 01 = cos θ (3.141)
P 11 = sin θ (3.142)
P 02 =
1
2(3 cos2 θ − 1) (3.143)
P 12 = −3 sin θ cos θ (3.144)
P 22 = 3 sin2 θ (3.145)
[4], [8]Na slikama 3.9, 3.10. prikazujemo primere sfernih harmonika za vrednostl = 4 orbitalnog kvantnog broja, i za vrednosti m = ±2 magnetnog kvantnogbroja.A (3.9, 3.10).-as abrakon bemutatjuk az l = 4 orbitalis kvantumszamu esm = ±2 magneses kvantumszamu gombfuggvenyeket.
Y m4 (φ, θ) =
3
8
√5
2πexp(imφ)(−1 + 7 cos2(θ)) sin2(θ) (3.146)
−0.15−0.1
−0.05 0
0.05 0.1
0.15x −0.15
−0.1−0.05
0 0.05
0.1 0.15
y
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
z
0.2 0
−0.2
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4x −0.4
−0.3−0.2
−0.1 0
0.1 0.2
0.3 0.4
y
−0.4−0.3−0.2−0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4
z
Figure 3.9: |Y m4 |2, Re (Y 2
4 ).
3.7. KVANTNA I KLASICNA FIZIKA / KVANTUM ES KLASSZIKUS FIZIKA107
0.2 0
−0.2
−0.3−0.2
−0.1 0
0.1 0.2
0.3x −0.3
−0.2−0.1
0 0.1
0.2 0.3
y
−0.4−0.3−0.2−0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4
z
0.2 0
−0.2
−0.3−0.2
−0.1 0
0.1 0.2
0.3x −0.3
−0.2−0.1
0 0.1
0.2 0.3
y
−0.4−0.3−0.2−0.1
0 0.1 0.2 0.3 0.4
z
Figure 3.10: Im (Y 24 ), Im
(Y −2
4
).
3.7 Veza izmedju kvantne i klasicne fizike
A kvantum es klasszikus fizika kozotti
kapcsolat
Dokazacemo da iz kvantne mehanike sledi da drugi Njutnov zakon vazi zausrednjene velicine.Bebizonyıtjuk, hogy a kvantum mechanikabol kovetkezik Newton masodiktorvenye az atlagolt mennyisegekre.Znamo, da za tela nepromenljive mase vazi m~a = d~p
dt, odnosno, da potenci-
jalne sile mozemo napisati preko gradijenta potencijalne energije~F = −
(∂U∂x, ∂U∂y, ∂U∂z
).
Tudjuk, hogy az allando tomegu testek eseteben m~a = d~pdt
, illetve azt istudjuk, hogy a potencialos eroket felırhatjuk mint a helyzeti energia gradi-enset ~F = −
(∂U∂x, ∂U∂y, ∂U∂z
).
Primetimo sledecu vaznu cinjenicu. Ako talasna funkcija zadovoljava Sredin-gerovu jednacinuVegyuk eszre a kovetkezo fontos tenyt. Ha a hullamfuggveny kielegıti aSchrodinger egyenletet
HΨ(x, t) = ih∂Ψ(x, t)
∂t(3.147)
onda transponovanjem i kompleksnim konjugovanjem sledi, da kompleksnokonjugovana talasna funkcija Ψ∗ zadovoljava sledecu jednacinu:akkor transzponalassal es komplex konjugalassal belatjuk, hogy Ψ∗, a kom-plex konjugalt hullamfuggveny a kovetkezo egyenletet elegıti ki:
Ψ∗(x, t)H = −ih∂Ψ∗(x, t)
∂t(3.148)
108 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Neka je A+ = (A∗)T = (AT )∗. Iskoristili smo (bez dokaza) cinjenicu, da vazi:Legyen A+ = (A∗)T = (AT )∗. Bizonyıtas nelkul hasznaltuk fel a kovetkezotenyt:
H+ = H (3.149)
Znaci, drugi Njutnov zakon mozemo da napisemo u sledecem obliku:Tehat, Newton masodik torvenyet felırhatjuk a kovetkezo alakban:
m~a = ~F ⇔ d~p
dt= −
(∂U
∂x,∂U
∂y,∂U
∂z
)= −∇U (3.150)
Primetimo da: Vegyuk eszre, hogy:
∂
∂t~p 6= −∇U (3.151)
Znaci, da ne postoji (formalna) veza medju velicinama opisivim Sredingerovomjednacinom i kao u slucaju velicina opisivih drugim Njutnovim zakonom uklasicnoj fizici.Vagyis, nincs olyan (formalis) kapcsolat a Schrodinger-egyenlet altal leırtmennyisegek kozott amely megfeleltetheto lenne Newton masodik torvenyealtal szolgaltatott kapcsolathoz a klasszikus mennyisegek kozott.Dokazimo sledecu relaciju izmedju srednjih velicina:Bizonyıtsuk be, hogy az atlagos ertekek kozott igaz a kovetkezo kapcsolat:
∂
∂t
⟨~p⟩
= −⟨∇U
⟩(3.152)
Znaci, da klasicna jednacina kretanja vazi za usrednjene velicine, tj. klasicnafizika vazi “u srednjem”.Tehat, a klasszikus mozgasegyenlet az atlagolt mennyisegekre igaz, vagyis aklasszikus fizika “atlagban igaz”.Da se ne bismo izgubili u matematickoj notaciji dokaz cemo izvesti za slucajjednodimenzionalnog sistema. Za trodimenzionalni slucaj dokaz je potpunoanalogan.Hogy ne vesszunk el a matematikai jelolesekben, a bizonyıtast egydimenziosrendszer eseteben vegezzuk el. Haromdimenzios rendszer eseteben a bi-zonyıtas teljesen analog modon vegezheto el.⟨
d~p
dt
⟩x
=∂
∂t
⟨~p⟩x
=∂
∂t〈px〉 =
∂
∂t
∫Ψ∗(x, t)pxΨ(x, t)dx
3.7. KVANTNA I KLASICNA FIZIKA / KVANTUM ES KLASSZIKUS FIZIKA109
=∂
∂t
∫Ψ∗(x, t) ih
∂
∂x︸ ︷︷ ︸=px
(Ψ(x, t)) dx
Zarad preglednosti umesto Ψ(x, t) pisacemo Ψ.
Az attekinthetoseg kedveert Ψ(x, t) helyett Ψ-t ırunk.
=∫ (
∂Ψ∗
∂tih∂Ψ
∂x+ Ψ∗
∂
∂t
(ih∂Ψ
∂x
))dx
=∫(ih∂Ψ∗
∂t
)︸ ︷︷ ︸
=−HΨ∗
(∂Ψ
∂x
)+ Ψ∗
∂
∂x
(ih∂Ψ
∂t
)︸ ︷︷ ︸
=HΨ
dx
=∫ ((
−HΨ∗) ∂Ψ
∂x+ Ψ∗
∂
∂x
(HΨ
))dx
= Ψ∗HΨ∣∣∣︸ ︷︷ ︸
=0
−∫ ((
HΨ∗) ∂Ψ
∂x+
(∂Ψ∗
∂x
)HΨ
)dx
= −∫ ((
− h2
2m
∂2Ψ∗
∂x2+ UΨ∗
)∂Ψ
∂x+
(∂Ψ∗
∂x
)(− h2
2m
∂2Ψ
∂x2+ UΨ
))dx
110 CHAPTER 3. KVANTNA TEORIJA KVANTUMELMELET
Chapter 4
Radioaktivni raspadRadioaktıv bomlas
4.1 Elementarne cinjenice o strukturi
materije
Elemi tenyek az anyagszerkezeterol
Zavisno od skale na kojoj posmatramo materiju, mozemo smarati da seona na malim skalama organizuje u molekule, atome, odnosno elementarnecestice. Dimenzije atoma su reda velicine 10−10m, red velicine masa ime jeu rasponu od 10−27 kg do 10−25 kg. Najmanji po velicini je atom vodonika,sa povecanjem rednog broja elementa (broj protona u jezgru i/ili broj elek-trona u elektronskom omotacu) razmere atoma rastu. Atom mozemo gruboopisati kao sferu koja ima razlivenu povrsinu, tj. ne postoji ostra granicakoja deli atom od njegove okoline1. Atom je elektricno neutralan, tj. sadrziistu kolicinu pozitivnog i negativnog elektricnog naboja. Atom ima svojustrukturu, koju cine elektronski omotac i atomsko jezgro. Atomska fizikaproucava elektronski omotac, dok nuklearna fizika proucava atomsko jezgro.
Attol fugoen, hogy milyen skalan vizsgalodunk, azt mondhatjuk, hogykis leptekben az anyag molekulakba, atomokba, illetve elemi reszecskekbeszervezodik. Az atomi meretek nagysagrendje 10−10m, az atomi tomegek
1Nesto slicno postoj i u svakodnevnom iskustvu, gledano iz daljine znamo gde se nalazioblak, kako mu se priblizavamo granica oblaka postaje sve neodredjenija.
111
112 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
nagysagrendje 10−27 kg-tol 10−25 kg-ig terjed. Legkisebb meretu a hidrogen-atom, az elem rendszamanak (protonok szama az atommagban, vagy az elek-tronok szama az elektron burokban) novelesevel az atom merete is novekszik.Az atomot durvan ugy lehet leırni mint egy elmosodott peremu gombot, azaznem letezik eles hatar amely elvalasztana az atomot annak kornyezetetol2.Az atom elektromosan semleges, azaz ugyanolyan mennyisegu pozitıv ill.negatıv elektromos toltessel rendelkezik. Az atom szerkezetet az elektronburok es az atommag kepzik. Az atomfizika az elektron burkot, a magfizikapedig az atommagot tanulmanyozza.
Postoji velik broj reakcija koje mogu da se odigraju u atomskom jezgru.Uslovno mozemo reci da reakcije koje zovemo radioaktivni raspad cine jednupodgrupu nuklearnih reakcija koje se spontano odvijaju.Az atommagban nagyszamu reakcio mehet vegbe. Foltetelesen allıthatjuk,hogy a radioaktıv bomlas az ilyen reakciok reszhalmazat alkotjak, megpedigazt, amelyben a reakciok spontan modon mennek vegbe.
4.2 Elementarne cinjenice o atomskom
jezgru.
Elemi tenyek az atommagrol
Atomsko jezgro je neverovatno malo u odnosu na velicinu atoma (od 1.75×10−15 m za jezgro vodonika do otprilike 15×10−15 m za jezgro urana) i sadrziprakticno ukupnu masu atoma, sto povlaci za sobom cinjenicu da je atom-sko jezgro izuzetno gusto (∼ 3×1017 kg
m3 ). U jezgru ima vise vrsta cestica,za nas su najvaznije dve, pozitivno naelektrisani proton i eletricno neutralnineutron. Protone i neutrone zbirnim imenom zovemo nukleoni. U atomskomjezgru se znaci na veoma malom rastojanju nalaze brojna istoimena naelek-trisanja. Posto medju njima deluje neverovatno jaka odbojna Kulonova sila,jezgro drzi na okupu interakcija koja je jaca od ovog odbojnog medjudejstva,i ta interakcija je sta vise u stanju da drzi na okupu i elektricno neutralneneutrone. Tu interakciju zovemo jakom nuklearnom interakcijom.Masa elektrona je otprilike 2000 (tacnije 1836) puta manja od mase pro-
2Valami hasonlo letezik a mindennapi tapasztalunkban is. Pl. messzirol nezve tudjuk,hogy hol van egy felho, viszont ahogyan kozeledunk egyre bizonytalanabba valik a felhohatara.
4.2. O ATOMSKOM JEZGRU. AZ ATOMMAGROL 113
tona (1.672621777(74)×10−27 kg), i iznosi 9.10938291(40) × 10−31 kg doksu mase neutrona i protona otprilike iste, s opaskom da je masa neutrona(1.674927351(74)×10−27 kg) malo veca od mase neutrona. Elementarni nabojelektrona je negativan, a protona pozitivan i iznosi 1.602176565(35) × 10−19
C. Primetimo da postoje i makroskopski objekti koji imaju neke osobinevrlo slicne atomskom jezgru, to su tzv. neutronske zvezde (koje tipicnoimaju precnik od svega ∼ 12 km). Njihov gradivni materijal i fizicke os-obine mozemo opisati kao vrlo slican onome unutar atomskog jezgra. Poredsvih slicnosti vredni pomenuti i bitnu razliku, a to je mehanizam koji drzijezgro, odnosno neutronsku zvezdu na okupu. U prvom slucaju to je jakanuklearna interakcija, a u drugom sila gravitacije.Az atommag merete rendkıvul kicsi az atom meretehez viszonyıtva (hidro-gen eseten 1.75× 10−15 m-tol az uranium atommagig, amely kb. 15×10−15
m meretu), mikozben az atom tomege gyakorlatilag teljes mertekben azatommagba tomorul. Ebbol az is kovetkezik, hogy az atommag surusegerendkıvul nagy, (∼ 3×1017 kg
m3 ). Az atommagban tobbfele reszecske van,szamunkra legfontosabbak a pozitıv proton es az elektromosan semleges neu-tron. A proton es neutron gyujtoneve nukleon. Tehat az atommagbanpozitıv toltesu reszecskek sokasaga egymashoz rendkıvul kozel helyezkedik el.Mivel kozottuk a taszıto Coulomb-kolcsonhatas rendkıvul eros, ez azt jelenti,hogy az atommagot meg ennel is erosebb kolcsonhatas tartja egyben, melyraadasul az elektromosan semleges neutronokra is hat. Ezt a kolcsonhatasteros nuklearis kolcsonhatasnak nevezzuk.Az elektron tomege 9.10938291(40) × 10−31 kg ami kb. 2000-szer (pontosab-ban 1836-szor) kisebb mint a proton tomege (1.672621777(74)×10−27 kg).A proton es neutron tomegek kb. egyenloek, azzal a megjegyzessel, hogy aneutron tomege (1.674927351(74)×10−27 kg) egy kicsit nagyobb mint a pro-tone. Az elektron elemi toltese negatıv, a protone pozitıv, melynek erteke1.602176565(35) × 10−19 C. Vegyuk eszre, hogy leteznek olyan makroszkopi-kus fizikai objektumok, un. neutroncsillagok (melyek jellemzo atmeroje nagy-jabol csak 12 km), amelyek sok ertelemben nagyon hasonlıtanak az atomma-gra. Epıtoanyagukrol bizton allıthatjuk, hogy fizikai tulajdonsagaiban esosszeteteleben nagyon hasonlıt az atommagra. Minden hasonlosag ellenerefontos megemlıteni egy nagy kulonbseget is, az pedig az atommagot, il-letve neutroncsillagot egyben tarto mechanizmus. Az elso esetben az az eroskolcsonhatas, a masodikban pedig a gravitacio.Neka jezgra su stabilna, a neka nisu i raspadaju se. Procesi raspada jezgarau kome nestabilna jezgra nestaju (i postepeno prelaze u stabilna jezgra), se
114 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
zbirnim imenom zovu procesi radioaktivnog raspada. U ovim procesima seodrzava broj nukleona i elektricni naboj.Vannak stabil atommagok, es vannak olyanok amelyek nem azok es ezertelbomlanak. A bomlasi folyamatok gyujtoneve radioaktıv bomlas. Ezekben afolyamatokban eltunnek es fokozatosan atalakulnak az instabil atommagok.Ezekben a folyamatokban megmarad a nukleonok szama es az elektromostoltes.U daljnjem tekstu ZX
A oznacava element X koji sadrzi Z protona (i isto to-liko elektrona), odnosno ima A nukleona u jezgru. Znaci da je broj neutronaodredjen razlikom N = A− Z.Cest je slucaj, da imamo jezgra sa istim rednim bojem, tj. istim brojemprotona, ali razlicitim brojem nukleona. Takva jezgra se razlikuju po brojuneutrona i zovemo ih izotopima elementa odredjenog rednim bojem Z. Npr.u jezgru atoma vodonika (Z = 1) mozemo naci nijedan, jedan ili dva neu-trona. Hemijski sva tri jezgra su vodonik, ali se mase izotopa vodonikovihjezgara znatno razlikuju, pa samim tim i njihove osobine vazne za opis hemi-jskih reakcija, atomi vece mase su manje pokretljivi. Neki izotopi mogu bitistabilni, a neki nestabilni.A kovetkezokben ZX
A az X elem jele, melynek Z protonja es A nukleonjavan. Tehat a neutronok szamat az N = A− Z kulonbseg hatarozza meg.Gyakran elofordul, hogy ugyanolyan rendszamu elembol olyan atommagokattalalunk, amelyeknek kulonbozik a nukleonszamja. Ez csak ugy lehetseges,hogy ezekben az atommagokban kulonbozo szamu neutron van. Ezeket azatommagokat ugyanannak a Z rendszamu elemnek a kulonbozo izotopjai.Pl. a hidrogen atommagban (Z = 1) lehet semennyi-, egy- vagy ket neu-tront talalni. Mindharom izotop kemialilag hidrogen, de a tomeguk igencsakkulonbozik, ezert kemiai reakciokban is maskeppen viselkednek, mert a nagy-obb tomegu atomok kevesbe mozgekonyak. Egy adott elem valamely izotopjalehet stabil vagy instabil.Radioaktivno zracenje se obicno/cesto javlja u prirodi u obliku kosmickogzracenja, odnosno kao posledica radioaktivnog zracenja ciji je izvor u zemlji-noj kori.Legtobbszor/surun eszlelhetunk radioaktıv sugarzast a termeszetben, kozmi-kus sugarzas formajaban, vagy olyan radioaktıv sugarzas formajaban melynekforrasa foldkeregben van.Nukleoni u atomskom jezgru popunjavaju dozvoljena stanja na nacin slicankao i elektroni u elektronskom omotacu. U stabilnim jezgrima broj neutronaje jednak ili veci od broja protona u jezgru. Kako redni broj elementa raste,
4.3. ZAKON RADIOAKTIVNOG RASPADA / BOMLASTORVENY 115
tako raste i prosecan broj neutrona po protonu.Kao sto ima slucajeva vrlo stabilnih elektronskih omotaca (slucaj idealnihgasova), tako ima i vrlo stabilnih nukleonskih konfiguracija. Navodim primertzv. magicnih brojeva, 2, 8, 20, 28, 50, 82, . . . . Jezgra u kojima je brojprotona ili neutrona magican su vrlo stabilna. Ukoliko je i broj protona ibroj neutrona magican, imamo slucaj dvostruko magicnih jezgara, He4, O16,Ca40, Ca48, Ni48, i Pb208 koja su neobicno stabilna.A nukleonok az atommagban hasonlokeppen toltik meg a lehetseges allapotokatmint ahogyan azt az elektronok az elektronhejban teszik. Stabil atommagok-ban a neutronok szama legalabb akkora mint a protonoke. A rendszamnovekedesevel a protonkenti atlagos neutronszam novekedik.Mint ahogyan leteznek kifejezetten stabil elektronhej szerkezetek (gondol-janak a nemes gazokra), ugyanugy leteznek nagyon stabil nukleon elren-dezesek is. Ezzel osszefuggesben megelmlıtjuk az un magikus szamokat, 2,8, 20, 28, 50, 82, . . . . Azok az atommagok amelyekben a proton- vagy aneutronszam magikus, nagyon stabilak. Amennyiben mint a proton-, mint aneutronszam magikus, ketszeresen magikus atommagokrol (He4, O16, Ca40,Ca48, Ni48, i Pb208) beszelunk, ezek kifejezetten stabilak.
Obilje informacija o radioaktivnosti moze se naci u Wikipediji [1].Rengeteg informacio talalhato a radioaktivitasrol a Wikipediaban, [1].
4.3 Broj neraspadnutih jezgara
Az elnembomlott atommagok szama
Broj neraspadnutih jezgara se stalno smanjuje, odredimo kako se taj brojmenja tokom vremena.Az elnembomlott atommagok szama folyamatosan csokken. Hatarozzuk megaz idobeli valtozasat.
A je aktivnost. / A az aktivitas.N oznacava broj neraspadnutih jezgara.N a meg el nem bomlott atommagok szama.λ je konstanta aktivnosti.λ az aktivitasi allando.
116 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
A =
∣∣∣∣∣dNdt∣∣∣∣∣ (4.1)
Aktivnost je proporcionalna broju neraspadnutih jezgara, tj. sto je brojneraspadnutih jezgara veci, veca je i verovatnoca da u nekom vremenskomintervalu uocimo raspad. Vezu izmedju verovatnoce i broja neraspadnutihjezgara daje kofecijent aktivnosti.Az aktivitas az elnembomlott atommagok szamaval aranyos, azaz, minelnagyobb az elnembomlott magok szama, annal nagyobb az a valoszınuseg,hogy adott idointervallumban radioaktıv bomlast eszlelunk. A valoszınuseges az elnembomlott atommagok szama kozotti kapcsolatot az aktivitasi allandohatarozza meg.
dN
dt= −λN (4.2)
(22)⇒ N = N(0) exp(−λt) (4.3)
Jedinica akivnosti je Bekerel, sto je broj raspada u jednici vremena.Az aktivitas mertekegysege Bequerel, ami az egysegnyi ido alatti bomlasokszama.
Zadatak / Foladat
Ukoliko element A radioakivnim raspadom predje u element B, i broj neras-padnutih jezgara elementa A se menja po zakonu (4.2) odnosno (4.3), odred-ite po kom zakonu se menja broj jezgara elementa B, ukoliko ih u pocetkunije bilo.Amennyiben valamilyen radioaktıv bomlasi folyamatban egy A elem B el-emme bomlik, es az A elem elnembomlott magjainak a szama (4.2) illetve(4.3) alapjan valtozik, hatarozzak meg, milyen torvenyszeruseg szerint valtozika B elem magjainak a szama, amennyiben a kezdeti pillanatban nem leteztekB tıpusu atommagok.
4.3.1 Vreme poluraspada / Felezesi ido
Neka je τ1/2 vreme za koje se pocetni broj neraspadnutih jezgara prepolovi.Uvrstimo ovu informaciju u zakon radioaktivnog raspada, (4.3).
4.4. POZADINSKO ZRACENJE HATTERSUGARZAS 117
Legyen τ1/2 az az ido ami alatt a kezdeti atommagok szama a felere csokken.Helyettesıtsuk be ezt az informaciot a radioaktıv bomlas torvenyebe, (4.3).
N0
2= N0 exp(−λτ1/2)
/: N0 (4.4)
1
2= exp(−λτ1/2)
/ln (4.5)
− ln 2 = −λτ1/2
/· (−1) (4.6)
Nalazimo vezu izmedju vremena poluraspada i konstante aktivnostiEzek alapjan a felezesi ido es az aktivitasi allando kozotti osszefugges
λτ1/2 = ln 2 (4.7)
Posto se aktivnost relativno lako meri, ova veza je vazna za odredjivanjevremena poluraspada onih jezgara za koje je to vreme veoma dugacko. Npr.na osnovu ove relacije znamo da je vreme poluraspada 238U vise nego 4milijarde godina.Mivel az aktivitas aranylag konnyen merheto, ez az osszefugges nagyon fontosa nagy felezesi ideju elemek felezesi idejenek a meghatarozasahoz. Pl. ezalapjan tudjuk, hogy a 238U felezesi ideje meghaladja a 4 milliard evet.
4.4 Pozadinsko zracenje
Hattersugarzas
U prirodi smo prakticno svuda u vecoj ili manjoj meri izlozeni zracenju. Dvaglavna izvora zracenja kojima smo izlozeni su Svemir, kao izvor kosmickogzracenja, odnosno zemljina kora, kao izvor radioaktivnog zracenja. Primarnekosmicke zrake cine naelektrisane cestice velike energije, koje u sudarima sacesticama atmosfere mogu da stvore sekundarne kosmicke zrake. Kosmickizraci najveci uticaj imaju u blizini Zemljinih magnetnih polova. Tu se cestomoze uociti interakcija kosmickih zraka sa Zemljinim magnetnim poljem uvidu polarne svetlosti. U zemljinoj kori u vecoj ili manjoj koncentraciji pos-toje nestabilni izotopi, koji svojim raspadom postaju izvor radioaktivnogzracenja. Ima mesta na zemljinoj kugli gde je intenzitet pozadinskog ra-dioaktivnog zracenja izuzetno visok, navescemo primere Ramsara u Iranu,odnosno priobalnih podrucja u indijskoj drzavi Kerala.
118 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
A termeszetben ki vagyunk teve a sugarzasnak. A termeszeti sugarzasnak ketfo forrasa a Vilagur, mint a kozmikus sugarzas forrasa es a foldkereg, minta radioaktıv hattersugarzas forrasa. Az elsodleges kozmikus sugarak nagyenergiaju toltott reszecskek, amelyek masodlagos reszecskeket kelthetnek afoldi legkor reszecskeivel utkozve. A kozmikus sugarak hatasait leginkabb aFold magneses polusai kozeleben eszlelhetok. Gyakran megfigyelheto a sarkifeny, amely a kozmikus sugarak es a Foldi magneses ter kolcsonhatasanaka kovetkezmenye. A foldkeregben kisebb vagy nagyobb mertekben insta-bil izotopok is leteznek, amelyek bomlasukkal radioaktıv forrasokka valnak.A foldkereksegen vannak olyan helyek, ahol a hattersugarzas inteznitasarendkıvul magas, peldakent felsoroljuk az irani Ramsar-t es Kerala indiaiallam partmenti reszeit.
4.5 Vrste radioaktivnog zracenja
A radioaktıv sugarzas osztalyozasa
Prilikom radioakivnog raspada javlja se vise vrsta zracenja. Grubom pode-lom zracenja mozemo razvrstati na α, β i γ zracenje.Radioaktıv bomlasnal tobbfele sugarzas eszlelheto. Durva osztalyozas alapjanα, β es γ sugarzast kulonboztetunk meg.
4.5.1 Klasifikacija radioaktivnih raspadaA radioaktıv bomlasok osztalyozasa
Atomska jezgra u procesima radioaktinih raspada prelaze iz nestabilnih ustabilne izotope. Dato jezgro moze da predje u druga jezgra na vise razlicitihnacina, npr. s verovatnocom p1 u procesu Π1 i s verovatnocom p2 u procesuΠ2, uz uslov p1 + p2 = 1.Az atommagok radioaktıv bomlasi folyamatokban kevesbe stabil izotopokbolstabil izotopokka alakulnak at. Egy adott atommag tobbfelekeppen alalkul-hat at masmilyen atommagga. Pl. p1 valoszınuseggel valamilyen Π1 folya-matban es p2 valoszınuseggel valamilyen Π2 folyamatban, azzal, hogy p1 +p2 = 1.
4.5. α, β, γ ZRACENJE / α, β, γ SUGARZAS 119
α raspad / α bomlas
U procesu α raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe helijumovo jezgro, pritome mu se atomski broj umanji za 4, a redni broj za 2.α bomlasi folyamatban az X elem atommagja kivet magabol egy heliumatommagot, ekozben az atomszama 4-el, a rendszama pedig 2-vel csokken.
ZXA → Z−2Y
A−4 + 2He4 (4.8)
β− raspad / β− bomlas
U procesu β− raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe jedan elektron, pritome mu se atomski broj ne menja, a redni mu se broj se uveca za 1.β− bomlasi folyamatban az X elem atommagja kivet magabol egy elektront,ekozben az atomszama nem valtozik, a rendszama pedig 1-el novekszik.
ZXA → Z+1Y
A + e− + νe (4.9)
νe oznacava elektronski antineutrino, cesticu koja oseca samo gravitacionu islabu silu, i vrlo slabo interaguje sa ”obicnom” materijom.νe az elektron antineutrıno, egy olyan reszecske amelyik csak a gravitacios esgyonge kolcsonhatast erzi, ezert a ”kozonseges” anyaggal alig van kolcsonha-tasban.
β+ raspad / β+ bomlas
U procesu β+ raspada jezgro elementa X izbaci iz sebe jedan antielektron,cesticu koja ima masu elektrona i pozitivan naboj, i pri tome mu se atomskibroj ne menja, a redni mu se broj se smanji za 1.β+ bomlasi folyamatban az X elem atommagja kivet magabol egy antielek-tront, egy eletron tomegu, pozitıv toltetu reszecsket es ekozben az atomszamanem valtozik, a rendszama pedig 1-el csokken.
ZXA → Z−1Y
A + e+ + νe (4.10)
νe oznacava elektronski neutrino, cesticu koja oseca samo gravitacionu i slabusilu, i vrlo slabo interaguje sa ”obicnom” materijom.
120 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
νe az elektron neutrıno, egy olyan reszecske amelyik csak a gravitacios esgyonge kolcsonhatast erzi, ezert a ”kozonseges” anyaggal alig van kolcsonha-tasban.
Antineutrino je anticestica neutrina.Az antineutrino a neutrino antiereszecskeje.
Prikaz radioaktivnihraspada u N-Z ravni. Radioaktıv bomlasi csatornak abrazolasa N-Z sıkban.http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tryby rozpadu promieniotworczego.svg
4.5.2 Nuklearna fisija i fuzijaNuklearis fıszio es fuzio
Nuklearne reakcije u kojima se teska atomska jezgra raspadaju na laksa jez-gra zovu se zbirnim imenom nuklearna fisija (cepanje jezgara). Nuklearnereakcije u kojima se laksa jezgra spajaju i grade teza jezgra zove se nuklearnafuzija (stapanje jezgara).Spontano se odvijaju sledece reakcije: fisija teskih i fuzija lakih jezgara.
4.5. α, β, γ ZRACENJE / α, β, γ SUGARZAS 121
Prikaz nizova radioaktivnihraspada. Radioaktıv bomlasi sorozatok abrazolasa.
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Radioactive decay chains diagram.svg
122 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
Azokat a nuklearis reakciokat amelyekben nehez atommagok konnyebb atom-magokka bomlanak nuklearis fıszionak hıvjuk (maghasadas). Azokat a nuk-learis reakciokat amelyekben konnyu atommagok olvadnak ossze nehez atom-magokka nuklearisfuzionak hıvjuk. Spontan modon a nehez atommagokfıszioja es a konnyu magok fuzioja megy vegbe.Reakcije nuklearne fisije se koriste za dobijanje energije u nuklearnim cen-tralama. Reakcija fuzije se odvija u zvezdama, to je npr. mehanizam u kojemse oslobadja energija kojom Sunce greje Zemlju.A maghasadast nuklearis reaktorokban hasznaljak aramtermelesre. Nuklearisfuzio az a mechanizmus amellyel a csillagok energiat termelnek, pl. ilyenmechanizmus altal termelodik az az energia amelyet a Nap sugaroz a Foldre.Energija koja se oslobodi u nuklearnim reakcijama potice od razlike u en-ergiji veze po nukleonu. Npr. u nuklearnoj fisiji se po jedinici mase oslobodinekoliko stotina miliona puta vise energije nego u oksidacionim reakcijama.Energija po jedinici mase koja se oslobodi u nuklearnoj fuziji je visestrukoveca od energije (po jedinici mase) koja se oslobodi u nuklearnoj fisiji. Oslo-bodjena energija se javlja kao kineticka energija produkata fisije i kao energijaoslobodjnog (elektrmagnetnog) zracenja.A magreakciokban felszabadulo energia a nukleonkenti atlagos kotesi en-ergiak kozti kulonbsegbol ered. Pl. maghasadasnal egysegnyi tomegbolnehany szaz millioszor nagyobb mennyisegu energia szabadul fol mint ok-szidacios folyamatokban. A (mag)fuzioban (egysegnyi tomegkent) felszabaduloenergia tobbszorose a maghasadasban felszabadulo energianak. A felszabaduloenergia a bomlasi termekek mozgasi energiajaban es (elektromagneses) sugarzasienergiaban nyilvanul meg.Zbir masa mirovanja (mp) produkata fisione reakcije je manja(!) od (pocetne)mase mirovanja (mg) fisionog materijala (goriva) - javlja se defekt mase∆m = mg −mp > 0! Na osnovu Ajnstajnove relacije koja povezuje masu ienergiju (4.11) zakljucujemo da defektu mase odgovara oslobodjena energija(veze), ∆mc2.Amennyiben osszeadjuk a maghasadas vegtermekeinek (nyugalmi) tomegeit(mvt), az osszeg kisebb(!) lesz mint a kezdeti hasado anyag (nyugalmi)tomege (mua). A hianyzo tomeg (∆m = mua − mvt > 0!) a felszabadulokotesi energia (∆mc2), a kettot Einstein tomeg es energia kozotti kapcsolata(4.11) koti ossze.
E = mc2 (4.11)
4.5. α, β, γ ZRACENJE / α, β, γ SUGARZAS 123
Energija veze po nukleonu je prikazana na slici 4.1. Vidimo da ima maksimumu blizini jezgra gvozdja, i da kriva strmije raste s leva nego s desna. To je irazlog zasto se u fuziji oslobodi veca kolicina energije nego u fisiji.A nukleonkenti kotesi energia gorbejet a 4.1 abra szemlelteti. Latjuk, hogy agorbe maximuma a vas korul van, tovabba a gorbe balrol sokkal gyorsabbannovekedik mint jobbrol. Ez az oka annak, hogy fuzioban nagyobb energiaszabadul fol mint maghasadasban.
U praksi za dobijanje energije reakcijom nuklearne fisije dolazi u obzir
Figure 4.1: Energija veze po nukleonu. Nukleonkenti kotesi energia.
cepanje jezgara urana ili torijuma. Tehnologija uranijumskih reaktora jerazradjena, dok se torijumski reaktori upravo razvijaju.A gyakorlati alkalmazasban energiaforraskent uranium es thorium hasıtasajohet szoba. Az uraniumos reaktorok technologiaja mar letezik, a thoriumosreaktorokat mostanaban fejlesztik.Cepanje jezgra U235 se odvija u sledecoj reakciji (vidi sl. 4.2):Az U235 mag hasadasa a kovetkezo reakcioban megy vegbe (ld. a 4.2 abrat):
124 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
U235 + n→ U236 → Kr92 +Ba141 + 3n (4.12)
Krajnje pojednostaljeno, jezgro urana 235 moze da zahvati neutron samoukoliko je neutron dovoljno spor. Nakon zahvatanja neutrona nastaje izuzetnonestabilno jezgro urana 236 koje se prakticno trenutno raspada (najcesce) naizotope kriptona i barijuma i dodatno se oslobadjaju tri neutrona. Ukolikopostoji medijum (npr. teska voda) koji moze da uspori novooslobodjene neu-trone reakcija cepanja jezgara urana 235 se nastavlja.A vegsokig leegyszerusıtve, a 235 uranium izotop csak a lassu neutronokattudja befogni. A befogott neutron egy nagyon instabil uranium izotopot hozletre, az uranium 236-ost, amely gyakorlatilag pillanatszeruen folbomlik. Abomlasi termek leggyakrabban egy kripton es egy barium izotop es tovabbiharom neutron. Amennyiben van egy megfelelo kozeg, (pl. nehez vız)amely lelassıthatja a kiszabadult neutronokat, az uranium 235 hasadasa foly-tatodhat.Da bi se reakcija fisije odvijala kontrolisano, od tri oslobodjena neutrona po
cepanju svakog jezgra U235 potrebno je zahvatiti (barem) dva.Hogy a maghasadas szabalyozottan mehessen vegbe, minden U235 mag hasada-sanal folszabadult harom neutronbol (legalabb) kettot be kell fogni.
Na slici 4.3 je predstavljena reakcija nuklearne fuzije vodonika u helijum(jednacine 4.13 - 4.15) koja se odigrava u mladjim zvezdama slicnim suncu.Vezano stanje protona (p) i neutrona (n) je jezgro teskog vodonika ili deu-terijuma (D), e+ je pozitron, γ je foton.A 4.3 abran a naphoz hasonlo, aranylag fiatal csillagokban vegbemeno hidro-genbol heliumot termelo fuzios reakcio (4.13 - 4.15 egyenletek) van bemu-tatva. Egy proton (p) es egy neutron (n) kotott allapota a nehez hidrogenavagy deuterium (D) mag, e+ a pozitron, γ pedig foton.
2p→ pn︸︷︷︸D
+e+ + ν (4.13)
D + p→ ppn︸︷︷︸2He3
+γ (4.14)
22He3 → 2He
4 + 2p (4.15)
4.5. α, β, γ ZRACENJE / α, β, γ SUGARZAS 125
Figure 4.2: Sematski prikaz cepanja jezgra urana 235, [19]. A 235-os uraniumatommag hasadasanak sematikus abrazolasa, [19].
Primetimo da se u pretposlednjem koraku sudaraju dva izotopa helijuma,
2He3. Meseceva prasina (regolit) je bogata tim izotopom, i to je jedan
od osnovnih razloga zbog koga mnoge zemlje razmisljaju o ponovnim ilinovopokrenutim misijama na Mesec. Taj izotop helijum ce biti vrlo verovatnobiti koriscen kao gorivo u buducim fuzionim reaktorima.Vegyuk eszre, hogy az utolso elotti lepesben ket helium izotop utkozik,nevezetesen 2He
3. A holdpor ebben az izotopban igen gazdag. Ez a legfobboka annak, hogy nehany orszag miert tervezi felujıtani illetve elkezdeni aholdprogramjat. Ezt a heliumizotopot nagy valoszınuseggel uzemanyagkentfogjak hasznalni a kozeljovoben kifejlesztendo fuzios reaktorokban.Ukoliko u zvezdama pored vodonika3 postoji i mala kolicina ugljenika, azotai kiseonika, nuklearna fuzija se paralelno odvija i u drugoj reakciji, tzv. Be-
3U Suncu i Suncu slicnim zvezdama vodonik cini vise od 95 % ukupne mase.
126 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
Figure 4.3: Nuklearna reakcija pretvaranja vodonika u helijum. Hidrogenbolheliumot termelo magreakcio.
4.5. α, β, γ ZRACENJE / α, β, γ SUGARZAS 127
teovom ciklusu, u kojoj navedena jezgra imaju ulogu katalizatora, tj. uBeteovom ciklusu se kolicina ugljenika, azota i kiseonika ne menja. Sematskiprikaz Beteovog ciklusa moze se videti na slici 4.4.Amennyiben a csillagokban hidrogen4 mellett jelen van a szen, nitrogen esoxigen, a magreakcio az elozo reakcioval parhuzamosan is vegbemehet ugy,hogy a felsorolt elemek abban katalizatorkent viselkednek, azaz a Bethe-ciklusban a szen, nitrogen es az oxigen mennyisege nem valtozik. Ezt areakciot hıvjuk Bethe-ciklusnak. A Bethe-ciklus abrazolasa a 4.4 abranlathato.
Figure 4.4: Beteov ciklus. Bethe-ciklus.
4A Nap es Napszeru csillagok tomegenek tobb mint 95%-a hidrogen.
128 CHAPTER 4. RADIOAKTIVNI RASPAD RADIOAKTIV BOMLAS
Bibliography
[1] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactivity
[2] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Interference
[3] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Diffraction
[4] http://mathworld.wolfram.com/SphericalHarmonic.html
[5] http://en.wikipedia.org/wiki/File:EM_Spectrum_Properties_
edit.svg
[6] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:
Electromagnetic-Spectrum.png
[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Debye_model
[8] http://commons.wikimedia.org/wiki/Spherical_harmonic
[9] http://www.youtube.com/watch?v=YKjFPpuK-Jo
[10] http://www.youtube.com/watch?v=2Z6UJbwxBZI
[11] http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:
ANd9GcQXpCqPoOkeIDpdPtK4Nljh7g3qRnFxfUOIwLa6M9hqMzbzXZCy
[12] http://tasmancoast.files.wordpress.com/2007/09/
wave-diffraction.jpg
[13] internet
[14] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/X-ray_
diffraction_pattern_3clpro.jpg
129
130 BIBLIOGRAPHY
[15] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/b/
ba/Meissner_effect.ogv/Meissner_effect.ogv.360p.webm
[16] http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/
historic-papers/1901_309_553-563.pdf
[17] http://bourabai.kz/articles/planck/planck1901.pdf
[18] http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Cavity_
radiation.jpg
[19] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Nuclear_fission.svg
Contents
0.1 Podsetnik/Emlekezteto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Geometrijska optikaGeometriai optika 5
1.1 Fermaov principFermat-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Zakon prelamanja svetlostiA fenytores torvenye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Svetlovod / Fenyvezeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Primer / Pelda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Gausova optikaGauss-fele optika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Kardinalni elementi socivaA lencse kardinalis elemei . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Socivo, drugi put / Lencse, masodszor . . . . . . . . . 19
1.3.3 Predznaci / Elojelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Jednacina sociva / Lencseegyenlet . . . . . . . . . . . . 21
2 Talasna optika / Hullamoptika 23
2.1 EM talasi / EM hullamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Zadatak / Foladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Izbijanje / Lebeges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Stojeci talasi / Allohullamok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 PolarizacijaPolarizacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Zadatak / Foladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Intenzitet svetlosti / Fenyintenzitas . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Interferencija/Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
131
132 CONTENTS
2.6.1 Jangov eksperimentYoung-fele kıserlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.2 Jangov eksperiment sa vise prorezaYoung-fele kıserlet tobb ressel . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.3 Interferencija na planparalelnom slojuInterferencia planparalell retegen . . . . . . . . . . . . 44
2.6.4 N-tostruka interferencija na planparalelnom slojuN-szeres interferencia planparalell retegen . . . . . . . 47
2.6.5 Interferencije u primeniInterferencia a gyakorlati alkalmazasban . . . . . . . . 49
2.7 Difrakcija/Diffrakcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7.1 Dugacak prorez sirine b / Hosszu, b szelessegu res . . . 512.7.2 Difrakciona resetka / Diffrakcios racs . . . . . . . . . . 562.7.3 Primena difrakcije u ispitivanju osobina
materijalaA diffrakcio alkalmazasa anyagtulajdonsagivizsgalatokban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Kvantna teorijaKvantumelmelet 613.1 Uvod / Bevezeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Energija elektromagnetnih talasa
Az elektromagneses hullamok energiaja . . . . . . . . . . . . . 623.3 Plankov zakon / Planck torveny . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.1 Rejli-Dzinsov zakon/Rayleigh-Jeans-torveny . . . . . . 643.3.2 Vinov zakon / Wien-torveny . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.3 Plankov zakon zracenja
Planck-fele sugarzasi torveny . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.4 Vinov zakon pomeranja
Wien-fele elmozdulasi torveny . . . . . . . . . . . . . . 683.3.5 Stefan-Bolcmanov zakon
Stefan-Boltzmann-fele torveny . . . . . . . . . . . . . . 693.3.6 Primena zakona zracenja
Sugarzasi torvenyek alkalmazasa . . . . . . . . . . . . . 703.4 Borov model atoma
Bohr-fele atom modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.1 Objasnjenje linijskih spektara
A vonalspektrumok magyarazata . . . . . . . . . . . . 75
CONTENTS 133
3.5 Sredingerova jednacinaSchrodinger egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5.1 Osnovni pojmovi
Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.5.2 Operatori, ocekivane vrednosti, i ”kako do njih”
Operatorok, varhato ertekek, es hogyan ”erjuk el” azokat 793.5.3 Sredingerova jednacina, bis
Schrodinger egyenlet, bis . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.5.4 Stacionarna Sredingerova jednacina
Stacionaris Schrodinger egyenlet . . . . . . . . . . . . . 843.5.5 Svojstvene vrednosti i svojstveni vektori
Sajatertekek es sajatvektorok . . . . . . . . . . . . . . 873.5.6 Primer: Slobodna cestica / Pelda: Szabad reszecske . . 923.5.7 Primer: Slobodna cestica u kutiji / Pelda: Bedobozolt
szabad reszecske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.6 Hajzenbergove relacije / Heisenberg-relaciok . . . . . . . . . . 98
3.6.1 Operator momenta impulsaImpuzusmomentum operator . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.2 Kvantni rotatorKvantum rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.7 Kvantna i klasicna fizika / Kvantum es klasszikus fizika . . . . 107
4 Radioaktivni raspadRadioaktıv bomlas 1114.1 Elementarne cinjenice o strukturi
materijeElemi tenyek az anyagszerkezeterol . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 O atomskom jezgru. Az atommagrol . . . . . . . . . . . . . . 1124.3 Zakon radioaktivnog raspada / Bomlastorveny . . . . . . . . . 115
4.3.1 Vreme poluraspada / Felezesi ido . . . . . . . . . . . . 1164.4 Pozadinsko zracenje
Hattersugarzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.5 α, β, γ zracenje / α, β, γ sugarzas . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5.1 Klasifikacija radioaktivnih raspadaA radioaktıv bomlasok osztalyozasa . . . . . . . . . . . 118
4.5.2 Nuklearna fisija i fuzijaNuklearis fıszio es fuzio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Top Related