DISTRIBUSI KONTINU

• Uniform

• Normal

• Gamma & Eksponensial

MA3181 Teori Peluang 3 November 2014 Utriweni Mukhaiyar

Distribusi Uniform

• Distribusi kontinu yang paling sederhana

• Notasi: X ~ U (a,b)

• f.k.p:

2

[ ] = 2

( - )( )

12

b aE X

b aVar X

Rataan :

Variansi :

2

lainnya , 0

, 1

x

bxaab=f(x)

a b

f(x)

Distribusi Normal (Gauss)

• Penting dipelajari

• Notasi: X ~ N ( , 2)

• f.k.p:

3

21

21( )

2

x

f x e

Karl Friedrich Gauss 1777-1855

rataan

Simpangan baku /standar deviasi

= 3.14159… e = 2.71828…

• N(0,1) disebut normal standar (baku)

, - < x <

- Banyak digunakan - Aproksimasi Binomial - Teorema limit pusat

4

Simetri terhadap

x =

Titik belok Titik belok

Modus tunggal

Total luas daerah di

bawah kurva =1

Peluang X di sekitar 1, 2,

dan 3 http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif

Kurva Normal

2

3

1 < 2 < 3

1

Kurva normal dengan

yang sama

Kurva normal dengan yang

sama

1 < 2 < 3

1 2 3

parameter lokasi

parameter skala

5

Pengaruh dan

Luas di bawah kurva Normal

1)( XP

XZ

ms-

=

6

1

az

0

2

bz

P (z1 < Z < z2)

Z ~ N(0,1) X ~ N(,2)

P(a < X < b)

X ~ N(,2)

Menghitung Peluang Normal

1. Cara langsung

2. Dengan tabel normal standar P (Z z)

21

21( )

2

xb

a

P a X b e dx

7

Sulit !!! Harus dihitung secara numerik

N(0,1)

XZ

Arti Tabel Normal

• Misal Z ~ N(0,1) dan z R, -3,4 z 3,4

2 / 21

2( )

z

xP Z z e dx

8

P(Z z )

P(Z z) DITABELKAN untuk -3.4 z 3.4

Membaca Tabel Normal

9

P(Z 1,24 )

P(Z 1,24 )

P(0 Z 1,24 ) = P(Z 1,24 ) - P(Z < 0 )

= 0,8925 – 0,5 = 0,3925

P(Z 0 )

Hitung P (0 Z 1,24 )

10

Contoh 1

Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam

11

Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan standar deviasi 40 jam.

http://www.nataliedee.com/101906/nightshift-at-the-factory-factory.jpg

http://ismailfahmi.org/wp/wp-content/uploads/2007/07/light-bulb.jpg

Jawab

Misal X : umur bola lampu

X ~ N (800,402)

Dengan transformasi :

778 800 834 800(778 834)

40 40

( 0,55 0,85)

( 0,85) ( 0,55)

0,8023 0,2912

0,5111

P X P Z

P Z

P Z P Z

XZ

ms-

=

12

Contoh 2

Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt dan standar deviasi 2 volt. Misalkan tegangan tersebut berdistribusi normal.

13

Dari 1000 voltmeter yang diproduksi, berapa voltmeter yang tegangannya melebihi 43 volt?

Jawab

Misal X : tegangan voltmeter

X ~ N (40, 4)

Dengan transformasi

43 40( 43)

2

( 1,5)

1 ( 1,5)

1 0,9332

0,0668

P X P Z

P Z

P Z

XZ

ms-

=

14

Banyaknya voltmeter yang tegangannya lebih dari 43 volt adalah

1000 unit x 0,0668

66 unit

Aproksimasi Binomial dengan Normal

)1( pnp

15

Jika n maka B(n,p) N (,2)

dimana = np dan 2=np(1-p)

B (6;0,2) B (15;0,2)

Semakin besar n, binomial semakin dekat ke normal

Contoh 3

Misal peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit demam berdarah adalah 0,4.

16

Bila diketahui ada 100 pasien demam berdarah, berapa peluangnya bahwa yang sembuh

a. tepat 30 orang

b. kurang dari 30 orang

http://www.bratachem.com/abate/images/demam.jpg

Jawab

Misal X : banyaknya pasien yang sembuh

X ~ B(n,p) , n = 100 ; p = 0,4

Rataan: = np = 100 x 0,4 = 40

St.Dev: (1 ) 40 0,6 4,899np p

17

a. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh tepat 30 orang adalah:

( 30) (29,5 30,5)

29,5 40 30,5 40

4,899 4,899

( 2,14 1,94)

( 1,94) ( 2,14)

0,0262 0,0162

P X P X

P Z

P Z

P Z P Z

0,01

Jawaban lanjutan

29,5 40( 30)

4,899

( 2,14)

0,0162

P X P Z

P Z

18

b. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh akan kurang dari 30 adalah:

19

• Notasi X ~ Gamma(,) • f.k.p

• () disebut fungsi gamma

dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika > 1 • E[X] = dan Var(X) = 2 • Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu • Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, khi kuadrat,

Weibull, dan Erlang

0

1)( dyey y

Distribusi Gamma

𝑓(𝑥) =

1

𝛤(𝛼)𝛽𝛼𝑥𝛼−1𝑒−𝑥 𝛽 ,0 < 𝑥 < ∞

0 , 𝑥 lainnya

𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0

• Observasi kontinu dan selalu non-negatif sering dianggap

mengikuti distribusi gamma dengan parameter >0 dan β>0.

Bukti

20

• Untuk =1,

sehingga jika kita ambil >1, tulis n= didapat persamaan

rekursif:

1 2

0 0

2

0

( ) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1)

x x

x

e x e x dx

e x dx

0(1) 1xe dx

( ) ( 1)!n n

( ) ( 1)!n n

Bukti

21

• Dengan cara yang sama kita juga bisa menentukan E[X2]

, sehingga kita bisa mendapatkan Var(X) = 2

1

0

0

0

1[ ]

( )

1, misal

( )

1

( )

( 1)

( )

x

x

y

E X x x e dx

x xe dx y

y e dy

Contoh

• Radioactive particles passing by a counter follow a

poisson process with an average of 4 particles per

millisecond. What is the probability that up to 2

millisecond will elapse until 3 particles have passed the

counter?

• Analisis Kasus:

• Misalkan X : waktu yang diperlukan untuk suatu partikel

melewati counter

• X ~ Gamma( , )

Page 22

Jawab

MA2181 Analisis Data - Distribusi Kontinu Page 23

24

• Keluarga distribusi gamma (1, 1/)

• Notasi: X ~ Exp ()

• f.k.p

,0( )

0 , lainnya

xe xf x

x

• E[X] = 1/

• Var(X) = 1/ 2

• Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan

Distribusi Eksponensial

Contoh 4

Misalkan lama pembicaraan telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial, dengan rataan 10 menit/orang.

25

Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu:

a. lebih dari 10 menit

b. antara 10 sampai 20 menit

http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-murah-a.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/

Jawab

Misalkan X : lama pembicaraan telepon Dik. X ~ exp(1/10) sehingga Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu menunggu . Jadi, a.

b.

1 /10

10( ) xf x e

26

10

/101

100

( 10) 1 ( 10)

1 1 0,368 0,632x

P X P X

e dx

20

1 /10

10

10

(10 20) 0,233 xP X e dx

Distribusi Chi-Square

• X ~ χ2(r)

• Kasus distribusi Gamma dengan =r/2 dan β=2,

• Dengan f.p.m untuk t < ½,

𝑀 𝑡 = 1 − 2𝑡−

𝑟

2

• = = r

• σ2 = 2 = 2r

Page 27

𝑓(𝑥) =

1

𝛤(r/2)2𝑟/2𝑥r2−1𝑒−𝑥 2 ,0 < 𝑥 < ∞

0 , 𝑥 lainnya

Distribusi - t

• Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak

khi-kuadrat dengan derajat kebebasan . Bila Z dan V

bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

diberikan oleh,

Ini dikenal dengan nama distribusi-t dengan derajat

kebebasan .

ZT

V

1 221 2

1 ,2

th t t

Distribusi F

• Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing-masing berdistribusi khi kuadrat dengan derajat kebebasan 1 dan 2. Maka distribusi peubah acak,

• Diberikan oleh,

Ini dikenal dengan nama distribusi-F dengan derajat kebebasan 1 dan 2.

1

2

UF

V

1 1

1 2

2 2 1

1 2 1 2

2

1 2 1 2

2, 0

2 2 1 2

fh f f

f

Referensi

Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

30