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Page 1: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

� Conceito� Função densidade de probabilidade e função de

distribuição

Variáveis aleatórias contínuas

distribuição� Valor esperado e variância

Distribuições de probabilidade

χ

1

� Uniforme

� Exponencial

� Normal

� χ2

� t

� F

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Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas

DefiniçãoDefinição:: São contínuas todas as variáveis cujo espaçoamostral SSXX é nãonão enumerávelenumerável .�������� Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir�������� Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir

qualquer valor num intervalo [a[a;; b]b] ou no intervalo ((--∞∞∞∞∞∞∞∞;;++∞∞∞∞∞∞∞∞)).�������� O espaço SSXX será sempre definido como um intervalo do

conjunto dos reaisreais , sendo, portanto, um conjunto infinito.

Exemplos:Exemplos:

�������� tempo de reação de uma mistura

2

�������� tempo de reação de uma mistura�������� vida útil de um componente eletrônico �������� peso de uma pessoa�������� produção de leite de uma vaca�������� quantidade de chuva que ocorre numa região

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11.. FunçãoFunção densidadedensidade dede probabilidadeprobabilidade

DefiniçãoDefinição:: Seja X uma variável aleatória contínua e SX oseu espaço amostral. Uma função ff associada a variável Xé denominada funçãofunção densidadedensidade dede probabilidadeprobabilidade (fdp)(fdp)

1.1. f(x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SX

se satisfizer duas condições:

2.2. 1 f(x)dxXS∫ = = P(X∈∈∈∈SX)

Esta área corresponde Esta área corresponde à probabilidade de a à probabilidade de a

variável variável XX pertencer ao pertencer ao

3

XSespaço amostral espaço amostral SSXX

É toda a função que não assuma valores negativos, ou cujo gráfico É toda a função que não assuma valores negativos, ou cujo gráfico esteja acima do eixo das abscissas, e cuja área compreendida entre a esteja acima do eixo das abscissas, e cuja área compreendida entre a função e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um).função e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um).

Page 4: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

área = 1

f (x)

área = 1

f (x)

SX

x0

4

área = 1

SX

x0

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Exemplo:

Seja a função f (x) = 2x, no intervalo SX = [0,1]. Verifique se f (x)é uma função densidade de probabilidade.

PrimeiraPrimeira condiçãocondição:: f (x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SXf (x)

Como a função é linear, são necessários

f (x=0) = 2××××0 = 0

f (x) = 2x

2

1

Como a função é linear, são necessáriosdois pontos para traçar a reta.Por conveniência esses pontos são oslimites do intervalo SX.

5

f (x=0) = 2××××0 = 0

f (x=1) = 2××××1 = 2

x0 1Todos os valores da função Todos os valores da função f (x) f (x) são não são não

negativos no intervalo de 0 a 1.negativos no intervalo de 0 a 1.SX

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1 f(x)dxXS∫ =Segunda condição:Segunda condição:

12

212

hb =×=×Área: 1

22==

A área sob a função A área sob a função f (x) f (x) no no intervalointervalo SSXX, que equivale a , que equivale a P(XP(X∈∈∈∈∈∈∈∈SSXX)), é igual a 1., é igual a 1.

Área:

6

A função A função ff (x) = 2x(x) = 2x, no intervalo , no intervalo SSXX =[0, 1] é uma função =[0, 1] é uma função

densidade de probabilidade!!densidade de probabilidade!!

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Seja A=[0, 1/2]. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A?

Área: 41

211/2

2hb =×=×

Probabilidade = área

Área: 422

==

P(0 ≤ X ≤ 1/2) = 1/4

7

A

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Importante!!!Importante!!!

No caso de variáveis contínuas, as representações aa≤≤xx≤≤bb, aa≤≤xx<<bb, aa<<xx≤≤bb e aa<<xx<<bb são todas equivalentes, pois a aa≤≤xx<<bb, aa<<xx≤≤bb e aa<<xx<<bb são todas equivalentes, pois a probabilidade num ponto, por definição, é nula.

∫ ∫ =−===a

0F(a)F(a)xf(x)d f(x)dx P(A)

Seja o evento A={x; x=a}A={x; x=a}. Então,

8

∫ ∫ =−===A a

0F(a)F(a)xf(x)d f(x)dx P(A)

A

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2. Função de distribuição ou probabilidade

acumulada

DefiniçãoDefinição:: Seja X uma variável aleatória contínua e SX oseu espaço amostral. A função de distribuição, denotada porF(x)F(x) ou P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) , é a funçãofunção queque associaassocia aa cadacada pontoponto xx∈∈∈∈∈∈∈∈SS

∫∞−

x

f(t)dt

F(x)F(x) ou P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) , é a funçãofunção queque associaassocia aa cadacada pontoponto xx∈∈∈∈∈∈∈∈SSXX

aa probabilidadeprobabilidade P(XP(X≤≤≤≤≤≤≤≤x)x) . Desta forma, tem-se

F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) =

Se S =[a, b], então

, para SX = (-∞;+∞).

9

Se SX =[a, b], então

F(a) = P(X ≤ a) = 0

F(b) = P(X ≤ b) = 1 a b

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x

F(x) f(t) dt −∞

= ∫

Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]

x

0

2t dt = ∫

x2

0

t2

2

=

10

2xF(x) =

Page 11: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

2xF(x) =

Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]

000)P(XF(0) 2 ==≤=

111)P(XF(1) 2 ==≤=

( ) ( ) ( ) 1/41/21/2XP1/2F 2 ==≤=

P(A) = F(1/2)=1/4

000)P(XF(0) ==≤=

11

A=[0, 1/2]

B=[1/2, 1]

P(A) = F(1/2)=1/4

P(B) = F(1)-F(1/2) =1-1/4=3/4

Page 12: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Medidas descritivasMedidas descritivas

Definição:Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral. O valor esperado de X, denotado por E(X)E(X) ou µµµµµµµµ , será dado por

�������� MédiaMédia ouou valorvalor esperadoesperado

∫XS

f(x)dxx por

E(X) = µ =

= µ = ∫E(X) xf(x) dx

Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]

12

= µ = ∫xS

E(X) xf(x) dx

= ∫1

0

x2x dx

= ∫1

2

0

2x dx = ∫1

2

0

2 x dx

=

13

0

x2

3= 2

3

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∫ −=−== 222 f(x)dxµ)(xµ)E(XσV(X)

Medidas descritivasMedidas descritivas

(Fórmula de definição)

Definição:Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral. A variância de X, denotada por V(X)V(X) ou σσσσσσσσ22, será dada por

�������� VariânciaVariância

∫ −=−==XS

f(x)dxµ)(xµ)E(XσV(X) (Fórmula de definição)

2

S

2222µf(x)dxxµ)E(XσV(X)

X

=−== ∫ (Fórmula prática)

Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1]

= σ = − µ2 2 2V(X) E(X )

13

= σ = − µV(X) E(X )

= − µ ∫1

2 2

0

x 2x dx = −

213

0

22x dx

3

= −

14

0

x 42

4 9= −1 4

2 9

−= =9 8 1

18 18

Page 14: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exercício:

Determinar a média e a variância da vac cuja fdp é dadapor:

f(x) = 3x2 se -1 ≤ x ≤ 0µ = -3/4 e σ2 = 3/80

Solução:

µ = E(X)0

1x f(x) dx

−= ∫

0 2

1x (3x ) dx

−= ∫

0 3

1(3x ) dx

−= ∫

04

1

34x

=

3

4= −

14

σ2 = V(X)

1−

0 2 2

1x f(x) dx µ

−= −∫ ( )20 2 2

13x (3x ) dx 4−

= − −∫

( )0 4

193x dx 16−

= −∫ ( )05

1

x 93 165 −

= −

3 95 16

= − 380

=

Page 15: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Distribuições de probabilidade de variáveis contínuas

�������� É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínuade uma variável contínua

�������� pesquisa bibliográfica �������� observação do campo de variação da variável

Existem vários tipos de distribuições contínuas:

�������� Distribuição UniformeDistribuição Uniforme

�������� Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial

�������� Distribuição NormalDistribuição Normal

15

�������� Distribuição Distribuição χ2

�������� Distribuição tDistribuição t

�������� Distribuição FDistribuição F

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1. Distribuição Uniforme

Definição: Seja X uma variável aleatória contínua que assume valores no intervalo [α, β]. Se a probabilidade de X assumir valores num subintervalo é a mesma que para X assumir valores num subintervalo é a mesma que para qualquer outro subintervalo de mesmo comprimento, então, esta variável tem distribuição uniforme.

16

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Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade

1 , para x f(x)

0, em caso contrário

≤ ≤−=α ββ α

Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada

∫ ∞−

xdx f(x)

0, se x

x, se x

1, se x

< − ≤ ≤ − >

αα α β

β αβ

F(x) = P(X ≤ x) = =

x17

Page 18: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

ParâmetrosParâmetros

A distribuição uniforme tem dois parâmetros:

α: menor valor para o qual a variável X está definidaβ: maior valor para o qual a variável X está definida

X ~ U (α, β)

Medidas descritivasMedidas descritivas

� Média ou valor esperado: ( )E(X)

2+= = β αµ

X ~ U (α, β)

� Variância:

2

22 ( )

V(X)12−= = β ασ

18

Page 19: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Descrição probabilística de uma variável aleatória contínua queassume valores no intervalo [α, β], cuja probabilidade de assumirvalores num subintervalo é a mesma que para qualquer outrosubintervalo de mesmo comprimento.

RESUMO - Distribuição Uniforme

x

subintervalo de mesmo comprimento.

Função dens. probabilidadeFunção dens. probabilidade

ParâmetrosParâmetros α: menor valor para o qual a variável X está definida

1 , para x f(x)

0, em caso contrário

≤ ≤−=α ββ α

ParâmetrosParâmetros

Medidas descritivas Medidas descritivas ( )

E(X)2+= = β αµ

22 ( )

V(X)12−= = β ασ

α: menor valor para o qual a variável X está definida

β: maior valor para o qual a variável X está definida

19

Page 20: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exemplo: Seja X uma variável aleatória contínua comdistribuição uniforme no intervalo [5, 10]. Determinar asprobabilidades:

a) P(X < 7)b) P(X > 8,5)

αβα

−−==< x

xFxXP )()(

c) P(8 < x < 9)

Utilizando a função de distribuição acumulada:

a)

x

αβ −

0,452

51057

7)P(X ==−−=

−−=<

αβαx

b)

c)

20

0,35

1,5510

8,5108,5)P(X ==

−−=

−−=>

αββ x

0,251

51058

51059

8)P(X-9)P(X9)XP(8 ==−

−−−

−=−−−

−−=<<=<<

αβα

αβα 12 xx

Page 21: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exercício: Uma variável X é uniformemente distribuída no intervalo [10, 20]. Determine:a) valor esperado e variância de X

20 e 10 == βα

152

10)(202

E(X) =+=+== α)(βµ

b) P(12,31 < X < 16,50)

22

8,3312

10)(2012

)(V(X)

222 =−=−== αβσ

αβα

−−==< x

xFxXP )()(

0,419010

12,3116,501020

1012,4311010

1016,50

F(12,31)F(16,50)16,50)XP(12,31

=−=−

−−−

−=

−=<<

21

Page 22: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

2. Distribuição Exponencial

Definição: Seja X uma variável aleatória contínua que só assume valores não negativos . Se esta variável é o tempodecorrido entre ocorrências sucessivas de um processo de decorrido entre ocorrências sucessivas de um processo de Poisson, então ela tem distribuição exponencial.

22

Page 23: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é definidacomo o número de ocorrências (sucessos) em determinadoperíodo de tempo, sendo a média das ocorrências noperíodo definida como λ.

Na distribuição exponencial, a variável aleatória é definidaNa distribuição exponencial, a variável aleatória é definidacomo o tempo entre duas ocorrências, sendo a média detempo entre ocorrências igual a 1/λ.

Por exemplo, se a média de atendimentos no caixa de umaloja é de λ = 6 clientes/min, então o tempo médio entreatendimentos é 1/λ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.atendimentos é 1/λ = 1/6 de minuto ou 10 segundos.

A distribuição exponencial é muito utilizada no campo daconfiabilidade para a modelagem do tempo até a ocorrênciade falha em componentes eletrônicos, bem como do tempode espera em sistemas de filas.

23

Page 24: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade

Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada

xe , para x 0f(x)

0, em caso contrário

−λ

>=

λ

Função de probabilidade acumuladaFunção de probabilidade acumulada

x

0, se x 0

1 e , se x 0−λ

<

− ≥∫ ∞−

xdx f(x)F(x) = P(X ≤ x) = =

1-e-λx

x

1-e

e-λx

24

Page 25: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

ParâmetrosParâmetros

A distribuição exponencial tem apenas um parâmetro:

λ: número médio de ocorrências em determinadoperíodo de tempo (λ>0)

X ~ Exp(λ)

Medidas descritivasMedidas descritivas

� Média ou valor esperado: 1E(X) = =µ

λ

X ~ Exp(λ)

� Variância:

λ

1V(X) 2

2= =σ

λ

25

Page 26: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Descrição probabilística de uma variável aleatória contínua queé o tempo decorrido entre ocorrências sucessivas de umprocesso de Poisson.

RESUMO - Distribuição exponencial

x

1-e-λx

e-λx

Função dens. probabilidadeFunção dens. probabilidade

ParâmetrosParâmetros λ: número médio de ocorrências em

xe , para x 0f(x)

0, em caso contrário

−λ

>=

λ

ParâmetrosParâmetros

Medidas descritivas Medidas descritivas 1

E(X) = =µλ

1V(X) 2

2= =σ

λ

λ: número médio de ocorrências em determinado período de tempo (λ>0)

26

Page 27: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exemplo: Os tempos até a falha de um dispositivoeletrônico seguem o modelo exponencial, com uma taxade falha λ = 0,012 falhas/hora. Indique qual a probabilidadede um dispositivo escolhido ao acaso sobreviver a 50horas? E a 100 horas?

x

1-e-λx

e-λxX: tempo até a falha (horas)X ~ Exp(0,012)

54880ee50XP 6050x0120 ,)( ,, ===> −−

30120ee100XP 21100x0120 ,)( ,, ===> −−

27

Page 28: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exercício: Suponha que um componente eletrônico tenha umtempo de vida X (em unidades de 1000 horas) que segue umadistribuição exponencial de parâmetro λ = 1. Suponha que ocusto de fabricação do item seja 2 reais e que o preço de vendaseja 5 reais. O fabricante garante devolução total se X < 0,90.Qual o lucro esperado por item?Qual o lucro esperado por item?

X ~ Exp(1)

x

1-e-λx

e-λxA probabilidade de um componente durar menos de 900 horas é dada por:

Assim, o lucro do fabricante será uma variável aleatória discreta Y com a seguinte distribuição:

0,9P(X 0,9) F(0,9) 1 e 0,5934−< = = − =

discreta Y com a seguinte distribuição:

Então o lucro esperado será:

E(Y) = -2 × 0,5934 + 3 × 0,4066 = R$ 0,03

Y y= -2 3 Σ P(Y y)= 0,5934 0,4066 1

28

Page 29: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

É importante tanto no aspecto teórico como nas aplicações. Essa importância se deve a um conjunto de aspectos:

�������� É útil para descrever uma grande quantidade de fenômenos naturais físicos, ambientais, etc.

3. Distribuição Normal

naturais físicos, ambientais, etc.

�������� Muitas variáveis não normais podem ser aproximadas como normais após transformações simples.

�������� Propriedades matemáticas.

�������� Distribuições de um grande número de variáveis aleatórias convergem para a distribuição normal.

�������� Uma grande quantidade de métodos e procedimentos de inferência estatística são derivados tendo-a como pressuposição básica.

O conjunto de métodos desenvolvidos para tratar variáveis que têm distribuição normal forma a chamada Estatística ClássicaEstatística Clássica ou Estatística ParamétricaEstatística Paramétrica .

29

Page 30: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Distribuição normal

DefiniçãoDefinição:: É uma distribuição teórica de frequências, onde amaioria das observações se situa em torno da médiamédia (centro) ediminui gradual e simetricamente no sentido dos extremos.

A distribuição normal é representada graficamente pela curvanormal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e é simétricasimétricaem relação ao centro, onde se localiza a média µ.

30

Page 31: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Função densidade de probabilidadeFunção densidade de probabilidade

De modo geral, se X é uma variável contínua que tem distribuição normal, sua função densidade de probabilidade será:

2

2

2

)(x

e1

f(x) σ

µ−−

=parâmetrosparâmetros

2e2

1f(x) σ

πσ= , para SX = (-∞∞∞∞,+∞∞∞∞)

ParâmetrosParâmetros

A distribuição normal tem dois parâmetros:

µ = média (determina o centro da distribuição)σ2 = variância (determina a dispersão da distribuição)

X ~ N (µ, σ2)

XX tem distribuição normal com parâmetros tem distribuição normal com parâmetros µµ ee σσ22

31

Page 32: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Populações normais Populações normais com médias diferentes com médias diferentes

e mesma variânciae mesma variância

Populações normais Populações normais Populações normais Populações normais com variâncias com variâncias

diferentes e mesma diferentes e mesma médiamédia

32

Page 33: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Existe um número infinito de curvas normaisExiste um número infinito de curvas normais

33

Page 34: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Propriedades da distribuição normalPropriedades da distribuição normal

11.. O máximo da função densidade de probabilidade se dáno ponto xx==µµµµµµµµ .

máximo

no ponto xx==µµµµµµµµ .

µµµµµµµµ

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Page 35: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

22.. A distribuição é simétrica em relação ao centro ondecoincidem a média, a moda e a mediana.

Md=Md=µµµµµµµµ=Mo=Mo

35

Page 36: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

33.. Verifica-se na distribuição normal que:

P(P(µµ--σσ < < XX < < µµ++σσ) ) == 0,68250,6825

P(P(µµ--22σσ < < XX < < µµ+2+2σσ) ) == 0,95440,9544

P(P(µµ--33σσ < < XX < < µµ+3+3σσ) ) == 0,99740,9974

36

Page 37: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

�������� Para cada valor de µµµµµµµµ e de σσσσσσσσ,existe uma distribuição normaldiferente

Cálculo de áreasCálculo de áreas

�������� O cálculo de áreas sob acurva normal, deverá ser feitosempre em função dosvalores particulares de µµµµµµµµ e σσσσσσσσ

�������� Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi�������� Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foideterminada uma distribuição normal padrãopadrão ou reduzidareduzida

�������� As áreas sob a distribuiçãodistribuição normalnormal padrãopadrão foramcalculadas e apresentadas numa tabela

37

Page 38: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Distribuição normal padrão

Definição:Definição: é a distribuição normal de uma variável Z que tem média igual a zero (µµµµµµµµ=0=0) e desvio padrão igual a um (σσσσσσσσ=1=1).

A curva normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas áreas foram calculadas e apresentadas numa tabela.

Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar as áreas correspondentes aos intervalos de 0 a z.

38

Page 39: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Tabela - Área sob a curva normal padrão de 0 a z, P(0 ≤ Z ≤ z).

z)ZP(0 <<

?0,62)ZP(0 =<<

0,23240,62)ZP(0 =<<

39

Page 40: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

�������� Os valores negativos não são apresentados na tabela porque a curva é simétrica; assim, as áreas correspondentes a esses valores são exatamente iguais às dos seus simétricos positivos, por exemplo P(P(--1<Z<0)1<Z<0)==P(0<Z<1)P(0<Z<1).

�������� Na tabela da distribuição normal padrão, os valores de Z�������� Na tabela da distribuição normal padrão, os valores de Zvão de 0 a 3,99 . Este limite é estabelecido com base naspropriedades da distribuição normal.

40

Page 41: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

-∞ +∞0-2,17 2,17-∞ +∞0

=

0,48500,4850?0)ZP(-2,17 =<<

?2)ZP(-1 =<<

= +

-∞ +∞0 2-1 -∞ +∞0 1-∞ +∞0 2

0,4772 0,3413

?2)ZP(-1 =<<0,4772+0,3413= 0,8185

-∞ +∞0-∞ +∞0 1,5 -∞ +∞0 1,5

=

0,5_

0,4332

?1,5)P(Z =>

0,5-0,4332= 0,0668

41

Page 42: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Seja Z uma N(0,1). Determinar as seguintes probabilidades:

(a) P(Z < 2,23) (a) 0,9871

Exercício proposto:

(a) P(Z < 2,23)

(b) P(Z > -1,45)

(c) P(-2 < Z ≤ 2)

(d) P(-1 ≤ Z ≤ 1)

(a) 0,9871

(b) 0,9265

(c) 0,9544

(d) 0,6826

(e) 0,4582(e) P(0 < Z < 1,73)

(f) P(Z > 0,81)

(g) P(-1,25 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ -0,63)

(e) 0,4582

(f) 0,2090

(g) 0,1587

Page 43: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Alguns valores importantes

43

Page 44: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

��������Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizarpadronizar

�������� Através da distribuição normal padrão é possível estudarqualquer variável X que tenha distribuição normal, comquaisquer valores para µµµµµµµµ e σσσσσσσσ.

��������Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizarpadronizara variável X, ou seja, transformar X em Z.

XX ~ ~ N (N (µµ, , σσ22))

transformarσ

µXZ

−=→→→→→→→→

�������� Após a transformação, procuramos na tabela a área compreendida entre 00 e zz, que corresponderá a área entre µµµµµµµµ e xx .

σ

ZZ ~ ~ N (N (00, , 11))

44

Page 45: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

A transformação muda as variáveis, mas não altera a área sob a curva.

45

Page 46: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exemplo:

Sabendo que as notas de 450 alunos estão normalmente distribuídas, com média µ = 3,9 e desvio padrão σ = 0,28, determine:a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27;b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27.

46

Page 47: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Para encontrar essa área, vamos utilizar a tabela da distribuição normal padrão. Inicialmente, fazemos a transformação da variável X para a variável Z.

3,94,27 −1,32

0,283,94,27

z =−=

47

Page 48: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

P(Z > 1,32) = P(Z > 0) – P(0<Z<1,32)= 0,5 – 0,4066 = 0,0934

P(X > 4,27) = 0,0934P(X > 4,27) = 0,0934

48

Page 49: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27.

No item (a), vimos que este percentual é de 9,34%. Sendo assim, através de uma regra de três simples, podemos determinar quantos estudantes correspondem a 9,34% de uma população de 450 estudantes. população de 450 estudantes.

Esse valor pode ser obtido facilmente multiplicando o tamanho da população pela probabilidade de ocorrer uma nota maior que 4,27.

Assim, temos:Assim, temos:450 × 0,0934 = 42,03

Concluímos, então, que, dos 450 estudantes, 42 têm nota superior a 4,27.

49

Page 50: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exemplo: Uma fábrica de carros sabe que os motores de

sua fábrica tem duração normal com média de 150.000km e

desvio padrão de 5.000km. Qual a probabilidade de que um

carro escolhido ao acaso, tenha um motor que dure:

a) entre 140.000 e 160.000km?

b) menos de 170.000km?

c) Se o fabricante deseja oferecer uma garantia, tal que ele c) Se o fabricante deseja oferecer uma garantia, tal que ele

tenha que substituir no máximo 1% dos motores, qual deve

ser o valor desta garantia?

50

Page 51: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Solução:

a) P(140.000<X<160.000) = P(-2<Z<2) =

= 0,4772+0,4772 = 0,9544 = 95,44%

b) P(X < 170.000) = P(Z < (170.000-150.000)/5.000)

= P(Z < 4) = 1 = 100%

c) Seja G o valor de garantiac) Seja G o valor de garantia

P(X<G) = P(Z < (G-150)/5) = 0,01 = P(Z < -2,33)

⇒ Garantia tem que ser de 138.350km.33,25

150G −=−

51

Page 52: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exercício: Suponha que a estatura de recém-nascidos do

sexo feminino é uma variável com distribuição normal de média µ = 48 cm e σ = 3 cm. Determine:

a) a probabilidade de um recém-nascido ter estatura entre 42 e 49 cm;

b) a probabilidade de um recém-nascido ter estatura superior a 52 cm;

c) o número que de recém-nascidos que têm estatura inferior c) o número que de recém-nascidos que têm estatura inferior

à µ+σcm, dentre os 532 que nasceram numa determinada maternidade, no período de um mês.

a) 0,6065 b) 0,0918 c) 448

52

Page 53: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exercício:

O consumo de gasolina por Km rodado para certo tipo de carro tem distribuição normal com média de 100 ml com

desvio padrão de 5 ml.

a) calcular a probabilidade de um carro consumir entre 92 e 106 ml.

b) sabe-se que 73,24% dos carros consumem menos que certa quantidade de gasolina qual é essa quantidade?

c) num grupo de 5 carros qual a probabilidade de dois c) num grupo de 5 carros qual a probabilidade de dois

consumirem mais que 107 ml?

a) 0,8301 b) 103,1 c) 0,0507

53

Page 54: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

Exercício: O diâmetro do eixo principal de um discorígido segue a distribuição Normal com média 25,08 in edesvio padrão 0,05 in.

Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 in,determine o percentual de unidades produzidas emconformidades com as especificações.

{ } { } { }24,85xP25,15xP25,15x24,85P ≤−≤=≤≤

−≤−

−≤=

0,0525,0824,85

ZP0,05

25,0825,15ZP

0,050,05

{ } { } 0,91920,00000,91924,60ZP1,40ZP =−=−≤−≤=

ou seja, 91,92% dentro das especificações e 8,08% fora das especificações.

54

Page 55: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

ν ≤ 2

ν > 2

4. Distribuição χ2 (qui-quadrado)

( ) 0 xex2νΓ

1f(x) 2

x1

2

ν

2ν≥=

2

(lê-se: X tem distribuição qui-quadradocom ν graus de liberdade)

0 +∞0 +∞

( )2νΓ2ν2

2~2)(

)(νχ

νν

XXV

XE

==

Propriedades:

55

21

2 ~Z então ~Z se a) χ N (0,1)

2n

n

1ii

21i ~X então ~X se b) χχ ∑

=

Page 56: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

025,0)25,3( 210 =<χP

?)21,23(

?)25,3(

210

210

=>

=<

χ

χ

P

P

01,0)21,23( 210 =>χP

2χ +∞2νχ0 +∞

56

Page 57: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

025,0)25,3(

?)25,3(

210

210

=<

=<

χ

χ

P

P

2χ +∞ 025,0?)( 2 =>χP

025,0)48,20( 210 =>χP

2νχ0 +∞ 025,0?)( 2

10 =>χP

57

Page 58: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

5. Distribuição t-student

( )[ ]( ) ∞<<∞−

++=

+−

xx

2νΓ

2νΓf(x)

2)1(2

1)1(

ν

νπν

(lê-se: X tem distribuição t-studentcom ν graus de liberdade)

Propriedades:

-∞ +∞0

ν

νν tX

XV

XE~

2)(

0)(

−=

=

N(0,1)Propriedades:

νν

ν

χ tQ

ZN ~ então ~Q e ~Z se a) 2 (0,1)

58

(0,1) N t ~ então se b) νν ∞→

N(0,1)

t10

Page 59: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

?)764,2( 10 =>TP

01,0)764,2( 10 =>TP

02,0)764,2()764,2( 1010 =>+−< TPTP

59

Page 60: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

05,0?)(?)( 1010 =>+−< TPTP025,0?)( 10 =>TP

025,0)228,2( 10 =>TP 05,0)228,2()228,2( 1010 =>+−< TPTP

025,0)228,2( 10 =−<TP

?)764,2( 10 =>TP

01,0)764,2( 10 =>TP

60

10

Page 61: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

6. Distribuição F (de Snedecor)

[ ]( ) ( ) 01

)(2)(

2

112

2

2

1

21

21

21

1

1

+

+=+−

− xxν

νx

ν

ν

2νΓ2νΓ

2ννΓf(x)

νν

ν

ν

(lê-se: X tem distribuição F com ν1 e ν2

graus de liberdade)

Propriedades:

0 +∞

21 ,

22

21

2122

2

2

~

)4()2(

)2(2)(

2)(

νν

νννννν

νν

FX

XV

XE

−−−+=

−=

,ννFPropriedades:

61

2121 ,~ νννν ννχχ F

2

122

VU

então ~ Ve ~U se a)

)()(12211221 ,,,, F

1F~

F1

então ~F se b) <=>⇒ νννννννν FPFPFF

0 +∞F

21 ,ννF

0 +∞1

F

12 ,ννF

Page 62: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

0 +∞F

05,0?)( 4,5 =>FP

05,0)26,6( 4,5 =>FP

?)52,15( 4,5 =>FP

01,0)52,15( 4,5 =>FP

0 +∞F

Page 63: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

025,0)( 4,5 =< aFFP0,0250,025

+∞F F

0,95

4,5F025,0)( 4,5 => bFFP

025,0)1

( 5,4 =>⇒aF

FP

7,39

0 +∞aF bF

?? 6,2617,39

Page 64: Distribuições de probabilidadeDistribuições de probabilidade de variáveis contínuas É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua

� A verificação do ajuste de um modelo estatístico a umdeterminado conjunto de valores de uma variável é umadas mais relevantes atribuições do método estatístico.

Ajustamento de distribuições a dados reais

das mais relevantes atribuições do método estatístico.

� Verificar o ajustamento significa verificar se o modelopressuposto de fato pode ser utilizado para representar adistribuição de uma variável num determinado contexto.

� Diversos métodos estão disponíveis para essaverificação e, dentre eles, podemos citar:verificação e, dentre eles, podemos citar:

� métodos visuais, dentre os quais se destacam o histograma, ográfico de probabilidade e o box-plot;

� testes de aderência, dentre os quais podemos citar os testes deKolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilks.

64