Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

2

Diagramma polare

La risposta in frequenza si analizza tramite Un’altra rappresentazione grafica di G(jω) si ottiene riportando M(ω) e ϕ(ω) su un riferimento polare del piano complesso Diagramma polare di G(jω)

∞<ω≤⋅ω=

=⋅ω=ω=ωϕ

ω∠ω=

0,e)(M

e)j(G)j(G)s(G)(j

)j(Gjjs

3

Rappresentazione polare per ω=ω∗ (1/2)

Punto sul piano complesso

*

*

*

*

j*

)(j*

)j(Gj*

eM

e)(M

e)j(G)j(G

ϕ

ωϕ

ω∠ω=ω

⋅=

=⋅ω=

=⋅ω=ω

4

C

ℜ

ℑ

M*

ϕ*

Rappresentazione polare per ω=ω∗ (2/2)

5

C

ℜ

ℑ

Rappresentazione polare per ω=ω∗ (2/2)

6

C

ℜ

ℑ

ϕ*

Rappresentazione polare per ω=ω∗ (2/2)

7

Rappresentazione polare per ω∈(0,∞) (1/2)

Luogo di punti sul piano complesso

)(0,per e)(M

e)j(G)j(G)(j

)j(Gj

∞∈ω⋅ω=

=⋅ω=ωωϕ

ω∠

8

ω=ω0

C

ℜ

ℑ

ω=ω1

ω=ω2

ω=ω3 ω=ω4

ω=ω5

Rappresentazione polare per ω∈(0,∞) (2/2)

9

Proprietà importanti (1/4)

Per sistemi senza poli nell’origine il diagramma polare parte (ω→0+) da un punto sull’asse reale; la fdt in BF è infatti approssimabile con una costante Per sistemi con “i” poli nell’origine il diagramma polare parte da un punto infinitamente lontano dall’origine, con fase la fdt in BF è infatti approssimabile con is

K

)Karg(2

i0

+π−

⋅=ϕ +→ω

0 o ±π

10

Proprietà importanti (2/4)

Per sistemi con poli nell’origine: con n ≥ 0, m > 0 oppure n > 0, m ≥ 0 Il quadrante di partenza (ω→0+) dipende dai segni di

mn000aK

jK

)(j)()j(Gω

+ω

≅ωℑ+ωℜ=ω ℑℜ→ω→ω→ω +++

ℑℜ K di e K

11

Proprietà importanti (3/4)

Per sistemi con poli nell’origine il diagramma polare per ω→0+ assume un particolare andamento asintotico. Esempi:

n=0, m>0 → asintoto=retta verticale,

n>0, m=0 → asintoto=retta orizzontale,

n=4, m=2 → asintoto=parabola, forma generale dell’asintoto:

22K

Kℑ=ℜ

ℑ

ℜ

ℑ=ℑ K

ℜ=ℜ K

m/nm/n H o H ℜ=ℑℑ=ℜ

12

Proprietà importanti (4/4)

Per sistemi strettamente propri il diagramma polare termina (ω→∞) nell’origine (modulo nullo) con fase multipla di ±90°; la fdt in AF è infatti approssimabile con Per sistemi non strettamente propri il diagramma polare termina (perpendicolarmente) in un punto sull’asse reale diverso dall’origine; in tal caso la fdt in AF è infatti approssimabile con una costante

0zeri n.o poli n.ok, >−=ks

H

13

Tracciamento qualitativo (1/3)

È possibile tracciare qualitativamente l’andamento del diagramma polare a partire dai DdB della funzione:

Si determina il comportamento iniziale del diagramma polare per ω→0+:

tenendo conto dell’eventuale presenza di poli nell’origine calcolando la fase iniziale in caso di poli nell’origine, determinando il quadrante di partenza (senza calcolare esplicitamente l’asintoto) dal comportamento della fase in BF (crescente o decrescente rispetto al valore asintotico iniziale)

14

Tracciamento qualitativo (2/3)

Si determina il comportamento finale del diagramma polare per ω→∞

per i sistemi strettamente propri il diagramma termina nell’origine con fase corrispondente al valore per ω→∞, calcolabile anche come: ove: nn = # poli a parte reale (esclusi poli nell’origine) np = # poli a parte reale mn = # zeri a parte reale mp = # zeri a parte reale

( ) ( )+ω→∞ ω→ϕ = ϕ − ⋅ + + ⋅ +o o

n p p n090 n m 90 n m

≤ 0> 0≤ 0> 0

15

Tracciamento qualitativo (3/3)

Si completa l’andamento qualitativo del diagramma polare da ω→0+ a ω→∞, sulla base del comportamento di modulo e fase riportato nei DdB

16

Esempio 1 (1/5)

)10s)(1s2.0s(s)1.0s(200)s(G 2 +++

+=

ω−→≅

2js2)s(G

BF

33

3AF

200)j(s

200)s(Gω

−→≅

17

Esempio 1 (2/5)

ω−→≅

2js2)s(G

BF

−=

=

==

ℑ

ℜ

2K4.19K

1m0n

→+ 4.19

asintoto = retta verticale

18

Esempio 1 (3/5)

100

200

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

19

Esempio 1 (3/5)

100

200

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

20

Esempio 1 (4/5)

240

270

300

Esempio1 - diagramma polare

100

0 0

10 10 10 -100

-50

0

50 Esempio1 - DdB

Mod

ulo

(dB)

10 -2

10 -1

10 0

10 1

10 2

-270

-180

-90

0

Fase

( ° )

ω

A B C D E F

A

B C

D

E

F

21

Esempio 2 (1/5)

)4s)(2s(s)1s(10)s(G 2 ++

+=

22

2BF

25.1)j(s25.1)s(G

ω−→≅

33

3AF

10)j(s10)s(G

ω−→≅

22

Esempio 2 (2/5)

22

2BF

25.1)j(s25.1)s(G

ω−→≅

−=

−===

→ω

−+

ℑ

ℜ

2.3/1K25.1K

1m2n

2.31j

asintoto = parabola 28.12 ℑ−=ℜ

23

20

40

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Esempio 2 (3/5)

24

Esempio2 - diagramma polare

-40

-20

0

20

40 Esempio2 - DdB

Mod

ulo

(dB)

10 0

10 1 -270

-180

-90

Fase

( ° )

ω

Esempio 2 (4/5)

D

A C D

B

B

A C

Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

26

Dominio della variabile s (1/3)

Il diagramma di Nyquist (DdN) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica sul piano C di Variazione della variabile indipendente:

),(per )j(G)s(Gjs

+∞−∞∈ωω=ω=

C

raggio R, R→∞

27

Dominio della variabile s (2/3)

Problema: presenza di poli sull’asse immaginario Soluzione: Naturalmente

C

raggio ρ, ρ→0

jωo

( ) ∞→⇒ππ−∈αρ+ω= α

→ρ)s(G)2/,2/(,ejlims j

o0

28

s varia su un “percorso chiuso” Il DdN della G(s) consiste in un luogo di punti anche esso chiuso

Dominio della variabile s (3/3)

29

Particolare attenzione ai punti in cui G(jω)→∞ (presenza di poli sull’asse immaginario) Se s varia da j a j percorrendo una semicirconferenza di raggio infinitesimo in verso antiorario, allora … G(s) varia da G(j ) a G(j ) percorrendo una semicirconferenza di raggio infinito in verso orario Se il polo in jωo ha molteplicità i allora da G(j ) a G(j ) verranno percorse, sempre in verso orario, i semicirconferenze di raggio infinito

Poli sull’asse immaginario (1/3)

−ωo+ωo

−ωo+ωo

−ωo+ωo

30

Poli sull’asse immaginario (2/3)

NB: il percorso orario di una semicirconferenza di raggio infinito, per ω da a , equivale a una rotazione di fase di −180° in un intervallo infinitesimo di ω ⇒ la fase di G(jω) presenta una discontinuità di −180° in ωo È facile dimostrare infatti che in presenza di fattori con poli sull’asse immaginario, del tipo la fase presenta una discontinuità di −180° da a

,0pers

1oppure0pers

1s1

o2o

2oo

≠ωω+

=ω

ω+=

−ωo+ωo

−ωo+ωo

31

Poli sull’asse immaginario (3/3)

Se il polo in jωo ha molteplicità i allora la fase presenterà una discontinuità di −i180° in ωo Per ciò che è stato fin qui detto valgono ovviamente le seguenti eguaglianze: Esempio per i=1

∞=ω=ω+− ω→ωω→ω

)j(Glim)j(Glimoo

C

ℜ

ℑ 60°

−120°

−ω=ω o

+ω=ω oraggio R→∞

32

Zeri sull’asse immaginario

La presenza di i zeri sull’asse immaginario (in jωo) induce in ω=ωo una discontinuità di +i180° nella fase e un modulo nullo (−∞ dB) ⇒ il DdN attraversa l’origine del piano complesso proprio per ω=ωo

C ℑ

ω=ωo

30°

−150°

ℜ

33

Costruzione del DdN (1/4)

Risultato importante:

ω−∠=ω−∠ω=ω−

⇒ω=ω−⇒

⇒==

=

)j(G)j(G)j(G)j(G

)j(G)j(G

)s(G)s(G)s(G

)x(coniugatox definito sia

34

Costruzione del DdN (2/4)

G(jω) per ω∈(−∞,0) coincide con G(−jω) per ω∈(∞,0) ovvero con (jω) per ω∈(∞,0) Sia ω∈(0,∞); il luogo dei punti G(−jω) sul piano complesso C è il luogo simmetrico, rispetto all’asse reale, a quello dei punti G(jω) NB: non è difficile dimostrare che G(−j∞)≡G(j∞)

G

35

Costruzione del DdN (3/4)

Per tracciare il DdN di una fdt G(s) è sufficiente seguire poche regole pratiche

tracciare il diagramma polare di G(jω) tracciare il diagramma simmetrico al precedente rispetto all’asse reale (basta “ribaltare” il diagramma polare rispetto all’asse reale) nel caso siano presenti rami all’infinito ovvero poli sull’asse immaginario, congiungere i rami all’infinito con un opportuno numero di semicirconferenze orarie di raggio R→∞ così come illustrato nelle diapositive precedenti

36

Costruzione del DdN (4/4)

mettere in evidenza il verso di percorrenza (da ω=0+ a ω=+∞/−∞ a ω=0

−) verificare che il DdN sia costituito da una curva chiusa

37

Esempio 1 (1/2)

)10s)(1s2.0s(s)1.0s(200)s(G 2 +++

+=

100 0°

200

+=ω 0

±∞=ω

−=ω 0

38

Esempio 1 in Matlab (1/3)

Il DdN può essere tracciato in ambiente Matlab utilizzando il comando nyquist (per la sintassi consultare il relativo help) Nel caso della fdt precedente, ad esempio, i comandi Matlab che permettono di tracciare il DdN nel modo più semplice sono i seguenti: >> s=tf(‘s’) >> G=200*(s+0.1)/s/(s^2+0.2*s+1)/(s+10) >> nyquist(G) >> axis equal

39

Esempio 1 in Matlab (2/3)

40

Esempio 1 in Matlab (3/3)

Si noti che in ambiente Matlab i DdN possono non essere completi perché mancanti delle eventuali semicirconferenze all’infinito I dettagli del DdN possono essere meglio analizzati con successive operazioni di zoom sul diagramma stesso

41

Esempio 2 (1/2)

)4s)(2s(s)1s(10)s(G 2 ++

+=

20

40

30

60

240

90

270

120

300

330

180 0

−=ω 0

+=ω 0 ±∞=ω

42

Esempio 2 in Matlab (1/3)

I comandi Matlab che permettono di tracciare il DdN nel modo più semplice sono i seguenti: >> s=tf(‘s’) >> G=10*(s+1)/s^2/(s+2)/(s+4) >> nyquist(G) >> axis equal

43

Esempio 2 in Matlab (2/3)

44

Esempio 2 in Matlab (3/3)

Anche in questo caso il DdN non è completo perché mancante delle semicirconferenze all’infinito I dettagli del DdN possono essere meglio analizzati con successive operazioni di zoom sul diagramma stesso