CALCULODESIGUALDADES E INTERVALOS

CLASIFICACIÓN DE LOS

NÚMEROS

DESIGUALDADES

Una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por signos. Nos sirve para establecer la relación entre dos

cantidades semejantes mediante la siguiente simbología.

Símbolo> Significado Ejemplo

= Igual a=3

≠ Diferente 3≠ 3.333

> Mayor que π > 3

< Menor que -1< 0

≥ Mayor o igual que a ≥ b

≤ Menor o igual que X

RELACION DE ORDEN ENTRE LOS

NUMEROS REALES

Si a, b Є R

i) a < b sí y solo sí, b - a es positivo. Ej. -10 < -6 → -6 -(-10) = 4

3 < 5 → 5 – 3 = 2

ii) a> b sí y solo sí, a – b es positivo Ej. 7 > 2 → 7 – 2 = 5

-2 > -7 → -2 – (-7) =5

Si a,b Є R

i) a ≤ b si y solo si a < b , o bien, a = b

ii) a ≥ b si y solo si a > b, o bien, a = b

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1. Si a < b y c < d → a + c < b + d.

Ej. 2 < 5

7 < 10

2 + 7 < 5 + 10

Si a > b y c > d → a + c > b + d

Ej -3 > -5

4 > 1

-3 + 4 > -5 + 1

Si dos desigualdades del mismo sentido se

suman miembro a miembro la desigualdad no

cambia de sentido.

2. Si a < b , c Є R → a c < b c

Ej. - 4 < 7

- 4 + 2,5 < 7 + 2,5

-1,5 < 9,5

Si a > b , c Є R → a c > b c

Ej. 3 > -1

3 – 5 > -1 – 5

-2 > -3

Si sumamos o restamos un mismo número real a

ambos miembros de la desigualdad, la desigualdad

resultante no cambia de sentido.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

3. Si a < b , c > 0 → a.c < b.c , y, a/c < b/c

Ej. 4 < 10 4 < 10

4 . 2 < 10. 2 4/2 < 10/2

8 < 20 2 < 5

Si a > b , c > 0 → a.c > b.c ,y, a/c > b/c

Ej. 15 > 9 15 > 9

15 . 3 > 9 . 3 15/3 > 9/3

45 > 27 5 > 3

Si se multiplica o divide a ambos miembros de una

desigualdad por un número real positivo la

desigualdad resultante no cambia de sentido.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

4. Si a < b , y, c < 0 → a . c > b . c ,y, a/c > b/c

Ej. 3 < 12 3 < 12

3 (-3) > 12 (-3) 3 / (-3) > 12/ (-3)

-9 > -36 -1 > -4

Si a > b , y, c < 0 → a . c < b . c , y, a/c < b/c

Ej. 3 > -4 3 > -4

3 (-2) < -4 (-2) 3 / (-2) < (-4) / (-2)

-6 < 8 -3/2 < 2

Si se multiplica o divide a ambos miembros de una

desigualdad por un número real negativo, la

desigualdad resultante cambia de sentido.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

5. a > o , y, b > 0

a . b > 0

a < 0 ,y, b < 0

Ej. 8 > 0 , y , 7 > 0 -5 < 0 ,y, -6 < 0

8 . 7 > 0 (-5)(-6) > 0

56 > 0 30 > 0

El producto de dos números reales es mayor

que cero si ambos son positivos o ambos son

negativos .

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

INTERVALO DE UNA VARIABLE

Es el conjunto de valores que puede

tomar la variable dependiente y que

están comprendidos entre dos de

ellos: a y b, que se denominan

extremos del intervalo.

La diferencia que existe entre ambos

extremos se conoce como Amplitud

de intervalo y es igual al valor

absoluto de su diferencia |a-b|

INTERVALO DE UNA VARIABLE

Notación de intervalo:

[a,b] “intervalo de a hacia b”

Notación para la variable:

a<x<b “la variable x es mayor que a y

menor que b”

CLASIFICACIÓN DE

INTERVALOSINTERVALO ¿QUE REPRESENTA?

CERRADO

[a,b]

{x|a≤x≤b}

ABIERTO

(a,b)

{x|a<x<b}

SEMIABIERTO POR LA

IZQUIERDA

(a,b]

{x|a<x≤b}

SEMIABIERTO POR LA

DERECHA

[a,b)

{x|a≤x<b}

INFINITO

(a,+ œ) , [a,+ œ)

(-œ,b) , (-œ,b]

Representación gráfica de los

intervalos En la recta real los valores a y b se

denominan extremos del intervalo

Resolver una desigualdad significa

encontrar todas sus soluciones, es

decir obtener el intervalo donde la

relación es verdadera.

DESIGUALDADES.

EJEMPLO 1:

Encuentra el conjunto de solución que satisfaga la siguiente desigualdad:

Ejemplo 2

Ejemplo 3 Doble desigualdad

Ejemplo 4: Desigualdad cuadrática

Ejemplo 5: Desigualdad de racionales

EJERCICIO 1Resuelve las siguientes inecuaciones o

desigualdades e indica su intervalo

1 3x < 15 12 7> 8x - 5

2 3x + 6 > 2x + 12 13 1 - 5x < -8

3 4x - 8 > 3x – 14 14 x – 3 < 3 - x

4 10x + 24 < 16x + 12 15 3x + 5 ≥ 4x-1

5 - 2x + 3 > - 3x – 1 16 2x+ 5>6x+4

6 5(x + 6) - 5 > - 10 17 3x + 7 ≥ 2x-3

7 6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1) 18 - 4x + 9 < x - 1

8 5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4 19 3x - 1 ≥ x - 3

9 2x+ 4 > 0 20 3x - 1 ≤ 2x+1

10 3x - 7< 5 21 x + 2 ≤ 3x - 5

4

11 2 - x >3