PROFESORA: M.C: BRENDA EDITH MORALES FERNANDEZALUMNOS: ALEJANDRO MARTINEZ ALARCONARQUIMEDES SAGASTUME QUIÑONESMATERIA: ALGEBRA LINEALCARRERA: INGENIERIA ELECTRICATAREA: UNIDAD 4; ESPACIOS VECTORIALESFECHA ENTREGA: 30/10/20014

4.1 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIALPropiedades del producto de un vector por un escalar.• Asociativa: β (α v) = (β α) v• Distributivas:� Respecto de la suma de escalares: (α + β) v = α v + β v � Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v

• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.Definición: espacio vectorial.Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.Ejemplos de espacios vectoriales.1) El espacio, formado por los vectores de n componentes (x1,. . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual. n ℜSe puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,. . ., 0). No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de). n ℜ2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales: P2 = {ax2+ bx + c: a, b, c ∈ ℜ} Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo: Suma: (ax2+ bx + c) + ( a’x2+ b’x + c’) = (a+a’) x2 •+ (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a P2.Producto por un escalar real: λ∈ℜ, λ (ax + bx + c) = λax2 • + λbx + λc que pertenece a P2.Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0 No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2. 3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales. No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios p = x3+x2+x+1, q = –x3+x2+x+1

S

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES- En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.-Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ⊆ V.-De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales.

V

El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:1. S no es un conjunto vacío.2. S es igual o está incluido en V.3. La suma es ley de composición interna.4. El producto es ley de composición externa. -Si estos cuatro axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

4.3 COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL.

COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2,…, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1, a2,…,an son escalares se

denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Una combinación lineal en M23

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2,…, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de lo mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2,…, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2,…, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2,…, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2,…, vk. Es decir donde a1, a2,…, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2,…, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen {v1, v2,…, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3Sea v1= (2,-1,4) y v2= (4,1,6). Entonces H=gen {v1, v2}= {v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

4.3 INDEPENDENCIA LINEALEn el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores, se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores?

La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene .

Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición a continuación presentada.

Definición: sean v1, v2,…, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que lois vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1,

c2,…, cn no todos ceros tales que .

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2,.., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lineal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2,…, vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2,…, vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintamente.

Teorema: dependencia e independencia lineal

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

Demostración: primero suponga que v2=cv1 para algún escalar c≠0. Entonces cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces

dividiendo entre c1 se obtiene v1+ (c2/c1) v2=0, o sea,

Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo tanto, v2=0=0v1.

4.4 BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VEXTORIAL, CAMBIO DE BASEDefinición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.Propiedades de las bases. 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector. Ejemplos de bases.1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n:e1 = (1, 0,. . . ,0) e2 = (0, 1,. . . ,0) ........ en = (0,0,. . . ,1) - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1, a2,. . ., an) ∈ ℜ n se puede expresar Como combinación lineal de ellos: (a1, a2,. . ., an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

2. Otra base de ℜ 3 distinta de la canónica: (1, 0,0), (1, 1,0), (0, 2,-3). - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜ 3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , β γ que satisfagan (a,b,c)= α (1, 0,0)+ β (1, 1,0)+γ (0, 2,-3) Se obtiene un sistema: α + β = a β +2γ =b -3γ = c En las incógnitas α, β γ, que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. 3. (1, 2,3), (4, 5,6), (7, 8,9) en ℜ no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo). 4. Base de un subespacio. En ℜ 3, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3, 2,0), (1, –1,0) forman una base de S.- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro. - Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a, b, 0), lo podemos poner como combinación lineal de (3, 2,0), (1, –1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan(a,b,0)= α (3,2,0)+ β (1,–1,0) Æ 3α + β = a S. C. D. para cualesquiera a,b. 2α – β = b 5. Extender un conjunto para que forme base. ¿Es (1,0,2), (1,0,–1) base de ℜ 3?- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro. - Pero no son un sistema generador de ℜ 3, porque no es cierto que todo vector de ℜ 3pueda ponerse como combinación lineal de ellos. Por ejemplo, el (0,1,0) no se puede poner (resulta un sistema incompatible). Por tanto no son base de ℜ 3. ¿Puede obtenerse una base de ℜ 3de algún modo? Sí, añadiendo algún otro vector de manera que siga siendo independiente de los anteriores, por ejemplo (0,1,0). Así el conjunto (1,0,2), (1,0,–1), (0,1,0) es linealmente independiente, y genera ℜ 3, por tanto es base de ℜ 3

6. Reducir un conjunto para que forme base. ¿Es (2,0,0), (0,3,0), (4,1,0) base de S=plano XY de ℜ 3? - Son un sistema generador de S, pero no son independientes (su determinante es nulo). Por tanto no son base de S. ¿Puede obtenerse una base de S de algún modo? Teorema y definición: Dimensión. Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. Ejemplos de dimensión.1. ℜn tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej. la canónica). 2. M2x2= {matrices 2x2 con términos reales} tiene dimensión 4. Una base de M2x2 es:

3. P2= {polinomios de grado≤ 2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P2es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes: 1+0x+0x2, 0+x+0x2, 0+0x+x2(es decir, los polinomios 1, x, x2). Otra base: 1+2x+3x2, 4+x2, 3–x–5x2Propiedades de la dimensión. 1. Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0. 2. La dimensión de un subespacio en ℜn, coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros = plano...)3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T.Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.

4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.Es decir: si v1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. (Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.)Definición: Matriz del cambio de base. En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’ , se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’. Su utilidad es la siguiente: Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’. En efecto, sean (a1, a2, . . . an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B’. Entonces:.

Ejemplo. Consideremos en ℜ2 las dos bases siguientes: la base del ejemplo (1) anterior, B ={ (2,3), (1, –1) } la base canónica B’ ={ (1,0), (0,1) } • Vamos a construir la matriz de cambio de base de B a B’.Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la base canónica B’. (2,3) = 2·(1,0) + 3·(0,1) Æ coordenadas (2,3) (–1,1)= 1·(1,0) –1·(0,1) Æ coordenadas (1, –1) Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de

cambio de base de B a B’:

Del mismo modo podemos construir la matriz de cambio de base de B’ a B.Para ello expresamos los vectores de la base canónica B’ en función de la base B. Podemos hallarlo planteando dos sistemas de ecuaciones, de los cuales se obtendrá

Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B’ a B

Vamos a aplicar estas matrices para hallar las coordenadas en base B del vector v=(1,2). Tenemos sus coordenadas en la base canónica B’ que son (1,2). Utilizamos la matriz Q de cambio de base de B’ a B:

Propiedades de las matrices de cambio de base . 1. Toda matriz de cambio de base es cuadrada nxn, donde n es la dimensión del espacio al que se refieren las bases. 2. Toda matriz de cambio de base es inversible (es decir, con determinante no nulo).

Además, la matriz de cambio de B a B’ es inversa de la matriz de cambio de B’ a B. • Comprobar en el ejemplo anterior que P y Q son inversas entre sí. Por tanto, después de hallar P, podríamos haber hallado Q como P–1. 3. La matriz de cambio de una base B a la misma base B, es la matriz identidad.• Observar en el ejemplo anterior que la matriz más fácil de obtener es la P, que pasa de unabase B a la base canónica, pues basta escribir en las columnas la base B.

4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

4.6 BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM-SCHMIDTBASES ORTONORMALES Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.

    Recuérdese que dos vectores u y v en    son ortogonales si y sólo si   u · v = 0. 

 Si se tiene un conjunto de tres vectores  u, v  y  w  en  , y se quiere

verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto:    u · v  ,    u · w  ,  v · w Ejemplo 1. Sean los vectores   u = (1, 2, 1),  v = (4, 0, -4)  y  w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal? Al realizar los productos punto u · v = 0     ,    u · w = 0   ,   v · w = 0  nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores  es ortogonal.  

 Un conjunto de  n  vectores en   es una base ortogonal si:

·        El conjunto es base de    y·        Es un conjunto ortogonal.

Método de ortogonalización de Gram-SchmidtDada una base de Rn o de un subespacio suyo, es fácil calcular una base ortonormal del mismo espacio a partir de ella usando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt que se estudia en teoría. Matemática tiene órdenes que realizan este proceso automáticamente. Para poder usarlas es necesario ejecutar la siguiente orden, que carga en la memoria el paquete adecuado (cuidado con las comillas hacia atrás):EjemploConsideramos la base de R3 dada por B= {(1,-1,0), (0, 1,-1), (1, 0,1)}. Le aplicamos el método de Gram-Schmidt para obtener a partir de ella una base ortonormal:GramSchmidt@881, -1, 0<, 80, 1, -1<, 81, 0, 1<<D

SINTESIS:EN ESTA UNIDAD DESARROLLOMOS EJEMPLOS SOBRE ESPACIOS VECTORIALES, Y PRIMERO DEFINIMOS LO QUE ES:CUALQUIER CONJUNTO QUE POSEA UNAS OPERACIONES SUMA Y PRODUCTO POR ESCALARES, CUMPLIENDO TODAS LAS PROPIEDADES ANTERIORES, DIREMOS QUE ES UN ESPACIO VECTORIAL. LOS ELEMENTOS DE TAL CONJUNTO SE LLAMARÁN VECTORES (AUNQUE PUEDA TRATARSE DE OBJETOS DIFERENTES A LOS VECTORES DE LA FÍSICA.)DIREMOS QUE EL ESPACIO VECTORIAL ES REAL O COMPLEJO, SEGÚN SEAN LOS ESCALARES.TAMBIEN DE ESOS ESPACIOS, SE DERIVAN SUBESPACIOS Y QUE ESTOS ASU VEZ SE DIVIDEN O SE ENCUENTRAN EN: COMBINACIONES Y DEPENDENCIAS LINEALES, AL MEZCLARSE CON MATRIZES SE FORMAN BASES, LAS CUALES SE PUEDEN CAMBIAR Y QUE FORMAN UNA DIMENSION, TAMBIEN HABLAMOS SOBRE PROPIEDADES DE UN PRODUCTO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES, ASI ENCONTRAMOS SU APLICACIÓN EN EL ELECTROMAGNETISMO DANDO LUGAR AL MOVIMIENTO DE CARGAS Y SU FUERZA EN CIERTO PUNTO DE AHÍ LA SIG. INFORMACION: