SOLUCION:

Cálculo de las reacciones: Aplicando momentos respecto al punto A se obtiene el valor de

R2.∑M A=0−30k N (2m)−24kN (5m )+6 R2=0

R2=(60+120)

6k N

R2=30 k N∑F y=0R1+R2=(30+24)k NR1=54 k N−R2R1=54 k N−30k N

R1=24 k NFuerza Cortante:

. (V=ΣFyizquierda)Tramo AB

V AB=24k x0N

Tramo BCV BC=(24−30)k x0NV BC=−6k x0NTramo CD

V CD=(24−30−24 )k x0NV CD=−30k x0N

Momento Flexionante:M= ΣMizquierda

Tramo ABM AB=24 k N (x)mM AB=24 x k N m

x M AB

0 0

2 48

Tramo BCMBC= (24 k N ) (x m )−30kN (x−2)mMBC=¿ x0 ¿k N m

x MBC

2 48

5 30

Tramo CDMCD=(24k N ) ( x m)−30kN ( x−2 )m−24k N ( x−5)mMCD=¿ x0 ¿k N m

x MCD

5 30

6 0

425. viga cargada como indica la figura

426) Viga en voladizo, sobre la que actúan dos fuerzas y un par como indica la figura.

Solución:Fuerzas cortantes:

V=∑ Fy izquierda

Tramo ABVAB=(-50)K x0N

Tramo BCVBC=(-50)K x0 N

Tramo CDVCD=-50 K N+30 K N

VCD=-20 K x0NMomentos flexionantes:

M=∑M izquierda

Tramo ABMAB =-50 K N (x m)

MAB =(-50 x)K Nm

Tramo BC MBC =-50 K N (x m) +60 k N

MBC =(-50 X+60x0) k N m

Tramo CD MCD =-50 K N (x m) +60 k N+30 k N ( x -2) mMCD = (-50 x +60)+30(x -2) k NmMCD = (-50 x +30 x -60+60) k Nm

MCD = -20 x k Nm

427. Viga cargada como indica la figura.

x MAB

0

0

1

-50

x MBC

1 -102 -40

x MCD

2 -404 -80

SOLUCION:Cálculo de las reacciones:Aplicando momentos respecto al punto B se obtiene el valor de R2.∑MB=0

10kN (1m )−10k Nm

(2m )(2m)+R2(5m)=0

(10−40 ) k N m=−R2(5m)R2=6kN

∑FY=0

−10k N+R1−10 kNm

(2m )+R2=0

R1=30−R2R1=24 k N

Fuerzas cortantes:V=∑ Fy izquierda

Tramo AB V AB=−10k x0 NTramo BCV BC=(−10+24)k x0NV BC=14k x

0NTramo CD

V CD=(−10+24 ) k N−10k Nm

( x−2 )m

V CD=14 k N−10 xk N+20 k NV CD=(34 x0−10 x)k NTramo DE

V DE=¿ (−10+24 ) k N−10k Nm

(2m )

V DE=−6 k x0NMomento Flexionante:

M= ΣMizquierda

Tramo ABM AB=¿ −10k N (x m)M AB=(−10 x) k N mTramo BCMBC=−10k N ( x m )+24k N ( x−1 )mMBC= (−10x+24 x−24 ) k N m

MBC= (14 x−24 )k N mTramo CDMCD=¿ −10k N ( xm )+24 k N ( x−1 )m

−10k Nm

( x−2 )m (x−2)2

m

MCD={(−10x+24 x−24 )−10(x2−4 x+4 )

2 }k N m

MCD=(−10x+24 x−24−5 x2+20 x−20)k N mMCD=¿ (−5 x2+34 x−44 x0) k N m

Tramo DE

x V CD

2 143 44 -6

x M AB

0 01 -10

x MBC

1 -102 4

x MCD

2 43 134 12

MDE=¿

−10k N ( xm )+24 k N ( x−1 )m−20kN (x−3)mMDE=¿ (−10 x+24 x−24−20 x+60) k N m

MDE=(−6 x+36 x0)k N m

428. Viga cargada como se muestra en la figura

SOLUCION:Cálculo de las reacciones:Aplicando momentos respecto al punto A se obtiene el valor de R2.∑M A=0

-60 k N (1 m)- 5kNm

(4m ) (2m)- 30 k N (6 m) +R2(4 m)=0

-60 – 40 -180=4R2R2 = 70 KN

∑F y=0-R1-60 k N – 20 k N +R2 -30 k N = 0

R1 = ( 110 – 70 ) k NR1=40 KN

Análisis por tramos para la fuerza cortanteV=∑ FYizq

Tramo AB

V AB=¿ 40 k N - 5kNm

( x m)

V AB=(40 x0−5 x )kN

Tramo BC

V BC=40k N−5k Nm

( x m )−60k N

V BC=(−20 x0−5 x )k NTramo CD

V BC=40k N−5k Nm

(4m )−60 k N + 70 k N

30 k N

x= 4m

x MDE

4 125 0

X V AB

0 401 35

x V BC

1 -254 -40

V CD=(40−60−5 (4 )+70 )k NV CD=30 x

0 k NAnálisis por tramos para cargas momenteales

M=∑M izq

Tramo AB

M AB=⦋40 x−5 x (x2)⦌k N .m

M AB=⦋40 x−2.5 x2⦌k N .mTramo BC

MBC=⦋40 x−5 x ( x2 )−60 ( x−1 ) ⦌k N .m

MBC=⦋40 x−2.5 x2−60 x+60 ⦌k N .m

MBC=⦋−2.5 x2−20x+60 x0 ⦌k N .m

Tramo CDMCD=⦋40 x−5 (4 ) ( x−2 )−60 ( x−1 )+70 ( x−4 ) ⦌k N .mMCD=⦋40 x−20 x+40−60+60+70 x−280 ⦌k N .m

MCD=⦋−180 x0+30 x ⦌k N m

Momento máximo(−20 x0−5 x )=0

-20= 4xx=4m

Mmáx= -60 kN m

x M AB

0 00.5 19.41 37.5

x MBC

1 37.51.5 24.42 10

2.5 -5.63 -22.53. -40.64 -60

x V AB

4 -606 0

429. Viga cargada como se indica en la figura P-429.

Cálculo de las reacciones

Cp1= 20 k Nm

(2m)= 40KN

Cp2= 10 k Nm

(6m)= 60KN

∑MB=040KN (1m) – 20KN (1m) + R2 (5m)-60KN (4 m)=0

R2=−(40−20−240 )

5kN

R2=2205

kN

R2=44 kN

∑F y=0R1+R2=(20+40+60)k NR1=−R2+120k NR1=−44k N+120k N

R1=76 k NFuerzas cortantes

V=∑(Fy)izquierdaTramo AB

V AB=−20k Nm

(x m)

V AB=−20x k N

x V AB

0 02 -40

Tramo BC

V BC=−20k Nm

(2m)+76 kN

V BC=36k x0N

Tramo CDV CD=(24−30−24 )k x0N

V CD=−30k x0NTramo DE

V CD=−20k Nm

(2m )+76kN−20kN−¿

10kNm

( x−3 )m+44 kN

V CD=(90x0−10x )k N

Momentos Flexionantes

M=∑(M )izquierdaTramo AB

M AB=−20k Nm

(x)m( x2)m

M AB=−10 x k N mTramo BC

MBC= (−20k N /2 ) (2m ) (x−1 )m+76kN ( x−2 )mMBC=¿ x0 ¿k N m

Tramo CD

MCD=−20k Nm

(2)m ( x−1 )m+76kN ( x−2 )m−10k Nm

( x−3 )m ( x−3 )m2

−20kN (x−3)m

MCD=¿ x0 ¿k N mMCD=¿+46x -97 )k N m

Tramo DE

x V CD

3 167 -24

x V DE

7 208 0

x MBC

2 -403 -4

x MCD

3 -44 7

6 -1

7 -20

x MDE

7 -207,5 -11,3

8 -5

8,5 -20

9 0

MDE=−20k Nm

(2)m ( x−1 )m+76kN ( x−2 )m−10k Nm

( x−3 )m ( x−3 )m2

−20kN (x−3)m

+ 44KN (x-7)mMDE=¿)k N m

MDE=(−5 x2+90 x−405 )k N m

430. En la viga mostrada en la figura determine P para que el momento sobre cada apoyo sea igual al momento a la mitad del claro.

Cálculo las reacciones R1y R2 usando∑MB=0

P(1m)-5(KNm

)(8m)(3m)+R2(6m)-P(7m)

P-120+6R2-7P=0-6P-120+6R2=0

R2=6 P+1206

R2= (P+20) K N∑ Fy=0-P+R1-40+R2-P=0-P+R1-40+P+20-P=0R1-20-P=0

R1=(P+20) K NDonde se tiene:MB+MC=0-P-2.5-P+20=0-2P+17.5=0

P=8.75 K NFuerza cortante

V=∑ FizqTramo AB

VAB = (-8.75-5X) K NTramo BDVBD = (-5x-8.75+28.75VBD =(-5x+20) K NTramo DEVDE=(-5X+20+28.75) K N

VDE=(-5X+48.75) K NM=∑Mizq

Tramo AB

MAB= -8x(x2)-8.75x

MAB=(-2.5x2-8.75x) K N mTramo BDMBD=-2.5x2-8.75x+28.75(x-1)MBD=(-2.5x2+¿20x-28.75) K N mTramo DEMDE=-2.5x2+¿20x-28.75+28.75(x-7) K N mMDE=(-2.5x2+¿48.75x-230) K N m

x VAB0 -8.751 -

13.75

x VBD1 152 103 54 05 -56 -107 -15

x MAB0 01 -11.2

X VDE7 13.758 8.75

Tabla de valores

Para obtener Mmáx. Usamos

-5x+20=0

X=4m

Mmax=11.25K Nm ;Vmax=15 K N

431. Viga cargada y apoyada como indica la figura P-431.

20K N/m

40K N50 k N

DC

x MBD1 -11.252 1.253 8.754 11.255 8.756 1.257 -11.25

x MDE7 -11.258 0

SOLUCION:Cálculo de las reacciones:Sumatoria de momentos en el punto D, para obtener el valor de R1.ΣMD=0-R1(7)+50(5)+100(2)+80(2)-40(3))kN.m=0R1=70kNSumatoria de fuerzas en Y. Para obtener R2

ΣFy=0(70-50-100-80+R2-40)Kn=0R2=200kN.Fuerza cortante

V=∑ FizqTramo ABVAB=(10(x)-70) KNVAB=(10x-70) KNTramo BC: VBC=(70-10(X)-50) KN VBC=(-10X+20)KnTramo CD:VCD=(70-10(X)-50-20(X-3)) KN VCD=(-30X+80) KN Tramo DE:VDE=(70-10(X)-50-20(4)+200) KNVDE=(-10X+140) KNMomentos Flexionantes

M= ΣMizquierda. Tramo AB:

AB=(70x-10x(x2

))KN m

MAB=(-5x2+70x) KN mTramo BC:

MBc=(70x-10x(x2

)-50(x-2))KN m

MBc=(-5x2+20x+100) KN mTramo CD:

MCD=(70x-10x(x2

)-50(x-2)-20(x-3)( x−32

)) KN m

MCD=(-15x2+80x+10) KN mTramo DE:MDE=(70x-10x(x/2)-50(x-2)+200(x-7)-80(x-5)) KN mMDE=(-5x2+140x-900)

20K N/m

X VDE7 709 50

10 40

X VCD3 -105 -707 -180

X VBC2 03 -10

X VAB0 701 602 50

Tablas de valores

x MBC2 1203 115

X MCD3 1154 905 356 -507 -165

X DE7 -1658 -1009 -45

10 0

X MAB0 01 652 120

432. Una carga distribuida está sostenida por dos cargas distribuidas como se muestra en la figura P-432.

Realizamos el cálculo estático:Σ MR 1=0-4(150)+7,5(2W2)=0W2=40KN/mR2=2*W2

R2=80k NΣ F y=0R1+R1-150=0R1=70k NmW1=70/3

W1=23.33KN/mAnalisis por tramos para la fuerza cortanteV=∑ FYizq

Tramo ABV AB= (23.3x ) kN

Tramo BCV BC=(23.3(3)−30 (x−3))kNV BC=(159.9 x0−30 x ) kN

Tramo CD

V CD=(23.3 (3 )−30 (5 )+40 (x−8))kNV CD=(−400.8+40 x ) kN

Análisis por tramos para cargas momenteales

M=∑M izq

Tramo AB

M AB=⦋23.3 x(x2) ⦌kN .m

M AB=⦋11.65 x2⦌kN .mTramo BC

MBC=⦋23.3(3)(x−1.5)−30(x−3)(x−32

) ⦌kN .m

DA

B C

2m3m

5mw2K N/mw1K N/m

30K N/m

x V AB

0 03 69.9

x V AB

3 69.98 -80.1

x V AB

8 -80.810 -0.8

X MBC

0 00.5 2.91 11.65

1.5 26.22 46.6

2.5 72.83 104.8

MBC=⦋69.9 x−104.85−15(x2−6 x+9)⦌kN .m

MBC=⦋−239.85 x0−159.9 x−15x2 ⦌kN .m

X MBC

3 -854.554 -1119.455 -1414.356 -1739.257 -2094.158 -2479.05

Tramo CD

MCD=⦋23.3(3)(x−1.5)−30 (5 ) ( x−5.5 )+40(x−8)( x−82

) ⦌kN .m

MCD=⦋69.9x−104.85−150 x+825+20(x2−16 x+64) ⦌kN .m

MCD=⦋2000.15x0−400.1 x+20 x2⦌kN .mX MBC

8 79.359 19.25

10 -0.85Momento máximo

159.9 x0−30 x=0159.9=30x

X= 5,33 m

433. Viga con voladizo cargada por una fuerza y un par, como se muestra e la figura P-433.

Cálculo de las reaccionesRealizamos el cálculo estático

∑MC=0

-50KN (2m) + 200KN m – R1 (5m) = 0R1 (5m)1=100kN mR1=20kN∑F y=0R1+R2=(50)kNR2=−R1+50kNR1=−20kN+50kNR1=30 kNFuerzas cortantes

V=∑(Fy)izquierdaTramo AB

V AB=20x0 kN

Tramo BCV BC=¿ 20 x0 kN

Tramo CDV CD=(20+30 ) k x0 NV CD=50k x

0NMomentos Flexionantes

M=∑(M )izquierdaTramo AB

M AB=20k N (x m)

M AB=20 x k N m

Tramo BC

m m m

x M AB

0 0

2 40

MBC=20 k N ( x m )−200kN mMBC=¿ ¿kN m

Tramo CD

MCD=20k N ( xm )−200kN m+30 kN (x−3)mMCD=¿ ¿kN mMCD=¿)KN m

x MBC

2 -160

5 -100

x MCD

5 -100

7 0

434. viga cargada como se muestra en la figura P-434

Calculando las reacciones R1y R2 usando∑ME=0

30KN(6m)-R1(5m)+60(3.5m)-60=0R1=66 K N

∑ Fyizq=0(-30+R1-60+R2) K N =0(30+66-60+R2) K N =0R2=24 K NFuerzas cortantes

V=∑ FyizqTramo AB VAB=-30 K N Tramo BC

VBC=-30 K N+66 K N- 20kNm

N(x-1)m

VBC=(-20x+56) K NTramo CD VCD=-30 K N+66 K N-60VCD=-24 K NTramo DE

VDE =-30 K N+66 K N-60VDE=-24 K N

Momento flexionante M=∑Mizq

Tramo ABMAB=(-30) K N (x)m MAB=(-30x) K N mTramo BC

MBC={-30x+66(x-1)-20(x-1)(x−1)2

} K

N mMBC={-30x+66x-66-10( x−1 )2} K N mMBC={36x-66x-10x2+20x-10} K N m

MBC=(-10x2+56x-76) K N m

X VBC1 362 163 -44 -24

X MAB0 01 -30

x MBC1 -302 -43 24 -12

x MCD4 -125 -36

Tramo CDMCD=-30x+66(x-1)-60(x-2.5) MCD=-30x+66x-66-60x+150MCD=(-24x+84 )K NmTramo DEMDE=(-24x+84+60) K Nm

MDE=(-24x+144) K Nm

X MDE5 246 0

435. Viga cargada como se muestra en la figura P-435

Aplicando momentos en B se obtiene el valor de R2.

Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para obtener el valor de R1.

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

ΣFy=0 R1 – 40KN – 20KN + 32KN – 40KN =0 R1=68KN

ΣM=0 -20KN(2m)-40KN(3m)-5KN(2W)=0 -10W = 40 + 150 W= 16 KNm

Tramo AB:VAB=-10KN/m*(x)mVAB=(-10X)KN

X VAB

0 02 -20

Tramo BC: VBC=68-10KN/m*(x)mVBC=(-10x+68)KN

X VBC

2 484 28

Tramo CD: VCD= -40 KN + 68 KN – 20 KN VCD=(8)KN

Tramo DE:VDE=-40 KN + 68 KN – 20 KN – 40 KNVDE=(-32) KN

Tramo EF:VDE=-40 KN + 68 KN – 20 KN – 40 KN + 32KNVDE=0 KN

Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.

Tramo EF:VDE=-40 KN + 68 KN – 20 KN – 40 KN + 32KNVDE=0 KN

436. Viga en voladizo cargada como se indica en la figura P-436

Carga puntual:20kN/m*2m=40KN

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

Tramo AB:VAB=10KN/m*(x)mVAB=(10X)KN

X VAB

0 02 20

Tramo BC:VBC=(20)KN

Tramo CD: VCD= 20KN-10KN VCD=(10)KN

Tramo DE:VDE=20KN-10KN-20(X-4)VDE=20KN-10KN-20X+80VDE=(20X+90) KN

X VDE

4 106 -30

Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.

Tramo AB:

MAB=10KN*(X)( x2 )

437. Viga en voladizo cargada como se indica en la figura P-437

Carga puntual:15kN/m*2m=30KN

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.

Tramo AB:

MAB=10KN*(X)( x2 )

Tramo BC: MBC=-40 – 20(X-2)

Tramo AB:VAB=(0)KN

Tramo BC:VBC=(-20)KN

Tramo CD: VCD=-20 KN – 15 (X-3) VCD= -20 – 15X + 45 VCD=(-15 X +25)KN

Tramo AB: MAB=(-40)KN.m

Tramo DE:VDE=20KN-30KNVDE=(-50) KN

X VCD

3 -205 -50

438. Una viga en voladizo apuntalada y cargada como se muestra en la figura P-438 consiste de dos segmentos unidos por un perno liso en el que el momento flexionante es nulo.

Tramo BC: MBC=-40 – 20(X-2)

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.

Tramo AB:VAB=(-15X)KN

X VAB

0 01 -15

Tramo BC: VBC=(-15X+40)KNVBC=(40-15X)KN

X VBC

1 254 -20

Tramo CD: VCD=(-15X+40)KN

X VCD

4 -206 -50

Tramo AB:

MAB=(-15X)( x2 ) MAB=(-7.5X2)KN.m

X MAB

0 00.5 -1.91 -7.5

Tramo BC:

MBC=(-15X)( x2 )+40(x-1) KN.m

MBC=(-7.5x2+40x-40)KN.m

439. Una viga apoyada en tres puntos como se muestra en la figura P-439 consiste en dos segmentos unidos en un perno liso en el que el momento flexionante es nulo.

Tramo BC:

MBC=(-15X)( x2 )+40(x-1) KN.m

MBC=(-7.5x2+40x-40)KN.m

Aplicamos momentos Realizamos sumatoria de fuerzas en Y

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

Aplicamos M=ΣMizquierda para cada tramo.

ΣMC=0-32KN(1m)+40KN(2m)+40KN(3m)-R1(4m)=0R1=42KN

ΣMV=042KN-40KN-40KN+R2-32KN=0R2=70KN

Tramo BC: MBC=42KN/m*(Xm)-40(x-1)-40(X-2) MBC=(42X-40X+40-40X+80) KN.m MBC=(-38X+120)KN.m

Tramo AB:

MAB=42KN/m*(Xm)-20KN*(X)( x2 ) MAB=(42X-10X2)KN.m

X MAB

0 01 322 44

X VAB

0 422 2

Tramo BC: MBC=42KN/m*(Xm)-40(x-1)-40(X-2) MBC=(42X-40X+40-40X+80) KN.m MBC=(-38X+120)KN.m

440. Un marco ABCD, con esquinas rigidas en B y C, sostiene la carga concentrada P como se muestra e la figura P-440(dibuje los diagramas para cada de las partes del marco)

Aplicamos V=ΣFyizquierda para cada tramo.

V B=P ,∆V BA=0

V A=V B+∆V BA=P

V C=−P; ∆V CD=0

V D=V C+∆V CD=−P

Aplicamos M=ΣMizquierda para cada tramo.

MB=−PL2

+∆MBA

MB=P( L2 )MB=

PL2

M A=MB+∆MBA

M A=−PL2

+ PL2

M A=0

MC=PL2

+∆MCD

MB=−(P)(L)

MB=−PL

MC=PL2

441.Una viga ABCD esta sostenida por un perno en A y un apoyo libre en D, sujeta a las cargas mostradas en la figura P-441, que actúan en los extremos de los miembros verticales BE y la viga en B y C.(Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga ABCD solamente).

Aplicando momentos

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.

ΣMD=0 -R1 (7m) + 6 KNm - 28KNm – 4 KN(5m)=0R1=-6 KN

MB=(3 KN)(2m)MB=6 KNm

MC=-(14 KN)(2m)MC=-28 KNm

Tramo AB:VAB=-6KN

Tramo BC: VBC= -6KN+4KN VBC=-2KN

Tramo CD: VCD=-6KN+4KN VCD=-2KN

Tramo AB: MAB=-6KN*(Xm) MAB=(-6X)KN.m

X MAB

0 02 -12

Tramo BC: MBC=(-6X)KNm-6 KNm + 4KN(X-2)m MBC=(-6X-6+4X-8) KN.m MBC=(-2X-14)KN.m

X MBC

2 -18

442. Viga cargada uniformemente, como indica la figura P-442.

Tramo BC: MBC=(-6X)KNm-6 KNm + 4KN(X-2)m MBC=(-6X-6+4X-8) KN.m MBC=(-2X-14)KN.m

X MBC

2 -18

Relación de triángulos

XL

= YW

y=WxL

F=12

(X )(Y )

WL6

=12 [X Wx

L ]X2=W L3

3W

X2=L2

3

X= L

√3

Aplicamos momentos Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para

obtener el valor de R1

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

F= XY2

F= LW2

ΣFy=0

R1−LW2

+ LW3

=0

R1=LW2

− LW3

R1=WL6

ΣMA=0 −LW2 ( 2L3 )+LR2=0

LR2=W L2

3

R2=WL3

F=12LW

Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.

443. Viga sometida a la acción de la carga triangular, como indica la figura P-443.

F=12LW

Aplicamos momentos Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para

obtener el valor de R1

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.

Por ser simétrica la figura los mismos momentos y fuerzas se presentaran en los dos extremos

444. Viga cargada, como indica la figura P-444.

ΣFy=0

R1−WL2

+WL4

=0

R1=WL2

−WL4

R1=WL4

ΣMA=0 −WL2 (L3 )+LR2=0

LR2=−W L2

4

R2=WL4

V AB=WL4

−12L(WL2 )

V AB=WL4

−14L2W

M AB=(WL4 )( L2 )( 23 )M AB=

W L2

12

Aplicamos momentos Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para

obtener elvalor de R1

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

ΣFy=0

R1+WL4

−WL4

−WL4

=0

R1=WL4

ΣMA=0 −WL4 (L3 )(L2 )−WL

4 ( L2 )( L2 )( 23 )+LR2=0

LR2−W L2

24−WL4 (5 L6 )

LR2=W L2

24+ 5W L2

24

LR2=5W L2+W L2

24

R2=WL4

12W

Nm ( L2 m)=WL

4

V AB=12 (L2 )W

V AB=14WL

Aplicamos M=ΣMizquierdapara cada tramo.

Por ser simétrica la figura los mismos momentos y fuerzas se presentaran en los dos extremos

V AB=12 (L2 )W

V AB=14WL

445. Viga cargada, como indica la figura P- 445.

DIAGRAMA DE CARGAS

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

DIGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE

Carga puntual:40kN/m*40m=160 k N(80KN/m*3m)/2=120 k N

Aplicando momentos en E se obtiene el valor de R1.

Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para obtener el valor de R2

ΣM=0 120 k N(1m)+160(6m) -6m R1 =0R1=180KNΣFy=0180 KN – 160 KN – 120 KN +R2=0 R2=100 k NSemejanza de triángulos

3m

80KNm

= xy

y=80 x3

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V=ΣFyizquierda)

Tramo AB:VAB=-40KN/m*(x)mVAB=(-40X) k N

Tramo BC: VBC=180KN -40 k N/m*(x)m

VBC=(180-40x) k N

Tramo CD: VCD= -160 KN + 180 KN

X VAB

0 02 -80

X VBC

2 1004 20

CURVA ELASTICA

VCD=(20) k N

Tramo DE:VDE=-160 KN + 180 KN – (((X-5)(80X/3))/2)VDE= 20 KN – (40/3)(X)(X-5)VDE= 20-13.3X(X-5)VDE= 20-13.3X2+66.5XVDE=(-13.3X2+66.5X+20) k N

Aplicamos M= MΣ izquierdapara cada tramo.

Tramo AB:MAB=-40KN*(X)(X/2) MAB=(-20X2) k N.m

Tramo BC:

MBC=-40KN*(X)(X/2)+180(x-2) MBC=(-20X2 +180x-360) k N.m

Tramo CD:MCD= (-160(X-2)+180(X-2)) k N.m MCD=(-160X+320+180X-360) k N.mMCD=(20X-40) k N.m

X MCD

4 405 60

Tramo DE:MDE=(-160(X-2)+180(X-2)-(X-5)(80X/3)(1/2)((X-5)/3)MDE=(-160X+320+180X-360-4.43(X2-10X+25) k N.mMDE=(-4.43X2+66.5x-150.75) k N.m

X MDE

5 716 88.77 97.68 97.7

X MAB

0 01 -202 -80

X MBC

2 -803 04 40

446. Viga en voladizo cargada como se muestra en la figura P-446.

DIAGRAMA DE CARGAS

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE

CURVA ELASTICA

Solución:Semejanza de triángulos3m

30KNm

= xm

yKNm

y=10xKNm

Fuerzas cortantesV=∑ Fyizq

Tramo AB

VAB=- x(10x )2

VAB=(-10x2

2) k N

Tramo BC

VBC=-3m(30 KN

m)

2VBC=-45 k N

Tramo CD

VCD=-3m(30 KN

m)

2 -20 K N

VCD=(-45-20) k NVCD=-65 k N

Momento flexionante

M=∑Mizq

X VAB0 01 -52 -20

x MAB 0 0 1 -5/3 2 -

40/3 3 -45

Tramo AB

MAB=(-10 x2

2)(x3

) k Nm

MAB=−5x3

3 k Nm

Tramo BCMBC=45(x-2) k NmMBC=(-45+90) k Nm

Tramo CDMCD=(45(x-2)-20(x-4)) k NmMCD=-45x+90-20x+80MCD=(-65x+170 ) k Nm x MCD

4 -905 -155

x MBC3 -454 -90

446. Viga en voladizo cargada como se muestra en la figura P-446.

DIAGRAMA DE CARGAS

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE

Solución:Semejanza de triángulos3m

30KNm

= xm

yKNm

y=10xKNm

Fuerzas cortantesV=∑ Fyizq

Tramo AB

VAB=- x(10x )2

VAB=(-10x2

2) k N

Tramo BC

VBC=-3m(30 KN

m)

2VBC=-45 k N

Tramo CD

VCD=-3m(30 KN

m)

2 -20 K N

X VAB0 01 -52 -20

CURVA ELASTICA

VCD=(-45-20) k NVCD=-65 k N

Momento flexionante

M=∑Mizq

Tramo AB

MAB=(-10 x2

2)(x3

) k

Nm

MAB=−5x3

3 k Nm

Tramo BCMBC=45(x-2) k NmMBC=(-45+90) k Nm

Tramo CDMCD=(45(x-2)-20(x-4)) k NmMCD=-45x+90-20x+80MCD=(-65x+170 ) k Nm

x MAB 0 0 1 -5/3 2 -

40/3 3 -45

x MCD4 -905 -155

x MBC3 -454 -90

447. Viga cargada como se muestra en la figura P-447.

DIAGRAMA DE CARGAS

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

DIAGRAMA DE MOMENTO CORTANTE

Carga puntual: (30KN/m*3m)/2=45 k NSemejanza de triángulos:3m

30KNm

= xy

y=30 x3

y=10 x

Se obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V= FyΣ izquierda)

Tramo AB:VAB=((-x)(10x))/2VAB=(-5X2) k N

X VAB

0 01 -52 -20

CURVA ELASTICA

Tramo BC:VBC=(-45x) k N

Tramo CD: VCD= -45 k N -20 KN VCD=(65) k N

Aplicamos M= MΣ izquierda para cada tramo.Tramo AB:

MAB=(−x )10 x

2*x3

MAB=(-5X3/3) k N.m

X MAB

0 01 -5/32 -40/33 -45

Tramo BC: MBC=-45KN*(X-2) MBC=(-45x+90) k N.m

X MBC

3 -454 -90

Tramo CD:MCD= (-45(X-2)-20(X-4)) k N.m MCD=(-45x+90-20x+80) k N.mMCD=(-65x+170)kN.m

X MCD

4 -905 -155

448. Viga cargada como indica la figura

DIAGRAMA DE CARGAS

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

Solución:Mediante la EstáticaΣM A= 0

-20(0,5) – 60(2,5) -90(3) + 5R2=0

5R2=430

R2= 86K N

ΣF y= 0

R1 - 20 - 60 -90 +86 = 0R1= 20 + 60 + 90 - 86R1= 84K NFUERZAS CORTANTESΣV izq= VEn el tramo ABV AB= 84K N - 20K N.m (x m)V AB= (84 -20x)K N

En el tramo BC

x V AB

0 84

1 64

DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE

CURVA ELASTICA .

La cortante en el tramo será:V BC=84 – 20(1) - 10 (x−1)2- 20 (x-1)

V BC=84 - 20 – 10( x2- 2x + 1)- 20x + 20

V BC= (- 10 x2 + 74)K N

Tramo CDV CD= (84 - 20 - 60 - 90)K NV CD= -86 K N

MOMENTOS FLEXIONANTEM=ΣM izq

Tramo AB

M AB=-20K N.m (x m)(x2

m) + 84x

M AB=-10K N.m (x2m) + 84xK N.m

M AB=(-10x2 + 84x)K N.m

Tramo BC

MBC= 84x – 20(x – 0,5) – 20(x- 1) ( (x−1)2

) - 10((x−1)2¿)(x-1)

MBC= 84x – 20x + 10 - 10(x2- 2x + 1) - 103

( x2- 2x +1)(x-1)

MBC= 84x – 10x2- 103

( x3- 3 x2+3x – 1)

MBC= 84x – 10x2- 103x3+ 10 x2- 10x +

103

)

MBC=- 103x3 + 74x +

103

Mmax= dM BC

dx = 0

-10x2 + 74=0

x2=7410

x= ±2,72MBC= 137,53K N.m

x V BC

1 64

2 343 -164 -86

x M AB

0 0

1 74

x MBC

1 74

2 124,67

3 135,3334 86

Tramo CDMCD=84x - 20(x-0,5) - 60(x -2,5) - 90(x-3)MCD= 84x -20x +10 -60x +150 -90x + 270MCD= -86x + 430

449. Una viga sobre la que actúa la carga triangular de la figura P-449 esta sostenida por una reacción distribuida uniformemente.

x MCD

4 86

5 0

DIAGRAMA DE CARGAS

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE

CURVA ELASTICA

Carga puntual: (60KN/m*3m)/2=90KN

Aplicando momentos en A se obtiene el valor de R2

Realizamos sumatoria de fuerzas en Y para obtener el valor de R

ΣM=0 -90KN(2m)-180(5m)-20KN(7m) +5m R1 =0R2=144K N

ΣFy=0 R1-90KN-80KN-20KN+144KN=0R1=46KNSemejanza de triángulos:3m

60KNm

= xy

y=60 x3

y=20xSe obtiene los valores de las cargas que se aplican en cada tramo. (V= FyΣ izquierda )

Tramo AB:VAB=((-x)(20x))/2 + 46KNVAB=(-10X2+46)K N

Tramo BC:VBC=-90KN-20KN/m(x-3)m+46KNVBC=-90KN-20x+60KN+46KNVBC=(-20x+16)K N

Tramo CD: VCD= -45 KN -20 KN VCD=(65)KN

X VAB

0 461 362 63 -44

X VBC

3 -445 -84

Aplicamos M= MΣ izquierda para cada tramo.Tramo AB: MAB=((-x)(20x))/2 (x/3)+ 46KN/m(xm) MAB=)(-10X3/3)+46X) K N.m

X MAB

0 01 42.662 65.333 48

Tramo BC: MBC=46KN/m(Xm)-90KN/m(x-2)m-20KN/m(x-3)m((x-3)/2)MBC=(46x-90x+180-10(x2-6x+9)KN.mMBC= (46x-90x+180-10x2+60x-90)KN.mMBC=(-10X2 +16x+90) K N.m

X MBC

3 484 -65 -80

Tramo CD:MCD= 46KN/m(Xm)-90KN/m(x-2)m+144KN(x-5)m -20KN/m(x-3)m((x-3)/2) MCD=(46x-90x+180-10x2+60x-90+144x-720)KN.mMCD=(-10x2+160x-630)K N.m

X MCD

5 -806 -307 0

450. Viga Cargada y apoyada como se indica en la figura P-450.

DRIAGRAMAS DE CARGA

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE

CURVA ELASTICA

Solución:Realizamos el cálculo estático para encontrar W.Calculo estáticoΣF y= 0– 50K N – 50K N – 80K N + 5W = 0

W=1805

W= 36K N/m

x1

= y36

y=36x

FUERZAS CORTANTESEn el tramo AB

V AB= 12xy

V AB= 12x36 x

V AB= 18x2K N .m

En el tramo BC

V BC=12

(36K N/m)(1m) + 36K N/m (x-1)m – 50K N –

20KN/m (x-1)mV BC=(18 + 36(x-1) – 50 -20(x-1)) K NV BC= 18 – 50 + 36x – 36 -20x + 20V BC= (16x -48)K N

MOMENTOS FLEXIONANTESTramo ABM AB= 18x2¿ )xM AB=6x3K N.m

x V AB

0 0

1 18

x V BC

1 -32

2 -163 0

x M AB

0 0

1 6

Tramo BC

MBC= 18 ¿) + 36(x-1) ((x−1)2

) – 50(x-1) – 20(x-1) (

(x−1)2

)

MBC= 18x – 12 + 362

( x2- 2x +1) – 50(x-1) – 10(x2- 2x

+1)MBC=18x – 12 + 18x2- 36x +18 – 50x +50 -10x2+ 20x -10MBC=(8x2 - 48x + 46)K N.m

Punto de inflexiónMBC=0

8x2 - 48x + 46=0

x=−b±√b2−4ac2a

x=−(−48)±√(−48)2−4 (8 )(46)

2(8)X=1,197

x MCD

1 6

2 -18

3 -26

451. Viga cargada como se muestra en la figura P-451

DIAGRAMAS DE CARGAS

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

DIAGRAMA DE MOMENTO FLEXIONANTE

CURVA ELASTICA

Solución:Realizamos la conversión de cargas distribuidas en puntuales.

F=12

(6m)(12K N.m)

F= 36K N.mUsamos el cálculo estático para encontrar las reacciones:

ΣMB= 036(1) + 6R2 – 36(7)=06R2=216R2= 36K N

ΣF y= 0R1 – 36 – 36 + 36 = 0R1= 36K N

FUERZAS CORTANTESEn el tramo ABV AB= -P -FV AB= - x2-(12x -2x2)V AB= - x2−12 x+¿2x2

V AB= (x2−12 x)K N

Del triangulo

x6

= y12

x V AB

0 0

1 -112 -203 -27

y= 2 x

F= 12xy =

12x2 x

F= x2

P=x(12-y)= x(12-2x)P= 12 - 2x2

En el tramo BCV BC=- F – P + R1V BC= - x2−12 x+¿2x2 + 36V BC= (x2 -12x + 36)K N

MOMENTOS FLEXIONANTES

Tramo AB

M AB=-x2(23x) – (12x - 2x2)

x2

M AB=-(23x3) - 6x2 + x3

M AB=( x3

3−6 x2)K N.m

Tramo BC

MBC=-x2(23x) – (12x – 2 x2)

x2

+ 36(x-3)

MBC= ( x3

3 - 6x + 36x – 108) K N.m

x MBC

3 -454 -

38,6675 -

36,6676 -36

x M AB

0 0

1 -5,6672 -21,333 -45

452. Viga cargada como se muestra en la figura P-452.

DIAGRAMA DE CARGAS

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

Solución:Transformamos las cargas dadas a puntuales.

F1= 12

(18K N.m)(3m)

F1= 27 K N.m

F2= 12

(12K N.m)(6m)

F2= 36K N.m

Calculo estáticoΣM A= 036(-2) + 9R2 – 8(27)=09R2=288R2= 32K N

ΣF y= 0

DIAGRAMA DE MOMENTO CORTANTE

CURVA ELASTICA

R1 – 36 – 27 + 32 = 0R1= 31K N

Semejanza de triángulosx6

= y12

y= 12x6

y=2x

FTri= 12x2 x

FTri= x2

FRec=x(12-y)= x(12-2x)FRec= 12 - 2x2

FUERZAS CORTANTESEn el tramo ABV AB= -FTri- FRec+ R1V AB= - x2-12x + 2x2+ 31V AB= ( x2−12 x+¿31)K N

En el tramo BCV BC= 31 – 36 -3(x−6)2

V BC= - 5- 3(x2−12 x+36)V BC= (-5 -3x2 +36x - 108)K NV BC= (-3x2 +36x - 113)K N

MOMENTOS FLEXIONANTES

Tramo AB

M AB=-FTri(23x) - FRec(

x2

)+ 31x

M AB=-x2(23x) – (12x - 2x2)

x2

+ 31x

M AB=-(23x3) - 6x2 + x3+ 31x

M AB=( x3

3−6 x2+ 31x)K N.m

x V AB

0 31

2 114 -16 -5

x V BC

6 -5

7 -88 -179 -32

x M AB

0 0

2 40,6674 49,336 42

Tramo BC

MBC=-31x –36 (x – 2) - FTri

(x−6)3

MBC= 31x – 36x + 72 - 33

(x2- 12x + 36)(x-

6)MBC= -5x + 72 –(x3- 12 x2 + 36x - 6 x2 + 72x - 216)MBC= -5x + 72 –x3+ 12 x2 - 36x + 6 x2 - 72x + 216)MBC= (-113x – x3+ 18x2 + 288)K N.m

Mmax= dM AB

dx =0

x2 - 12x + 31=0x= 3,764mMmax=49,45 K N.m

453. Una carga variable uniformemente esta sostenida por dos reacciones uniformemente distribuidas, como se muestra en la figura P-453.

DIAGRAMAS DE CARGAS Solución:Transformamos la carga triangular distribuida por una puntual para el análisis.

F= 12

(12K N.m)(6m)

F= 36K N.m

Calculo estático

x MBC

6 42

7 368 249 0

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

ΣMB= 036(3) + R2(4) =04 R2=108R2= 27K N

ΣF y= 0R1 + 27 - 36 = 0R1= 9K NSemejanza de triangulos

x6

=

y12

y= 12x6

y=2x

F = 12x2 x

F= x2

P=4,5K N.m (x m)P= 4,5 x

FUERZAS CORTANTESEn el tramo ABV AB '= -F+ PV AB '= (- x2+ 4,5x)K NEn el tramo BCV B'C= -F + 9V B'C= (-x2 +9)K N

En el tramo CDV CD= -F + 9 + 13,5(x-4)V CD= (-x2 +9 + 13,5x - 54)K NV CD= (-x2 + 13,5x - 45)K N

MOMENTOS FLEXIONANTES

Tramo AB’

x V AB

0 0

1 3,52 5

x V BC

2 5

3 04 -7

x V CD

4 -7

5 -2,5

6 0

M AB '=-x2(x3

) +4,5(x)x2

M AB '=-( x3

3¿+ 2,25 x2

M AB '= (- x3

3+ 2,25 x2)K

N.m

Tramo B’C

MB' C= -x2( x3) + 9(x-1)

MB' C= (- x3

3+9 x−9)K

N.m

Tramo CD

MCD= -x2( x3) + 9(x-1) + 13,5 (x-4)(

x−42

¿

MCD= (- x3

3+9 x−9 + 6,75(x2 - 8X + 16))K

N.m

MCD= (- x3

3 + 6,75x2 - 45x + 108)K N.m

x M AB

0 0

1 1,1922 6,33

x MBC

2 6,33

3 94 5,667

x MBC

4 14,667

5 10,08336 9