Condizioni al contorno
Le equazioni di Maxwell valgono ovunque: usiamo la loro forma integrale e vediamo che vincoli devono rispettare le soluzioniSupponendo di avere due mezzi, caratterizzati da permettività (ε 1, µ1) e (ε 2, µ2), rispettivamente
Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali (Et) ed ortogonali (En) alla superficie di separazione
2
12
Δl
Δh
Et2
Et1dSBt
dlESC
⋅∂∂−=⋅ ∫∫
se Δh → 0, S → 0
(Et1 – Et2) Δl = 0 Et1 = Et2
Analogamente Ht1 = Ht2
Per le componenti tangenziali
3
Per le componenti normali
∫∫D∙dS =∫∫∫ρvdV
Se Δh → 0
(Dn1 – Dn2) ΔS = ρs ΔS
ε1En1 = ε2En2
analogamente μ1Hn1 = μ2Hn2
Dn1 – Dn2 = ρs
se ρs = 0 Dn1 = Dn2
Bn1 = Bn2
12
ΔS
Δh
Dn1
Dn1
■ Quindi la componente tangente del campo elettrico E e del campo magnetico H sono continue sul contorno di separazione dei due mezzi
■ Inoltre in assenza di cariche libere superficiali , la componente ortogonale di D e la componente ortogonale B sono continue sul contorno.
Se il mezzo 2 e' un conduttore ideale sulla superficie c'e' una carica superficiale ρ
s ed una densita' di corrente J
s.
Il campo elettrico interno è nullo.Quindi la componente tangenziale di E è nulla sia dentro che in prossimità del conduttore
021 == tt EE
2)SULLA SUPERFICIE DEL CONDUTTOREC'E' UNA DENSITA' DI CARICA
il campo nel conduttore ( mezzo 2 )e' nullo e quindi
Dn = ρ
s
■ La componente normale dell'induzione elettrica Dn in prossimità del conduttore ideale è pari alla densità di carica superficiale
La componente di B normale è nulla nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze
Bn =0
4) Esiste una densita' di corrente superficiale per unita' di larghezza del conduttore J
s .
il campo magnetico tangenziale non è generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore
( ) lHHd tt ∆−=⋅∫ 21lH = Ht1
Δl = Js Δl
ossia n x H = Js
1) Campo elettrico tangenziale nullo
2)Campo magnetico tangenziale pari alla densità di corrente per unita' di larghezza e perpendicolare ad essa
3)Campo induzione elettrica normale pari alla densità superficiale di carica
4) Campo magnetico normale nullo
RIEPILOGANDO :SU UN CONDUTTORE IDEALE
Incidenza normale su una superficie di separazione tra due mezzi
Una parte dell'onda e' riflessa ed una parte e' trasmessa
NEL MEZZO 1 HO L'ONDA INCIDENTE E QUELLA RIFLESSA
Ex1
= Ei exp (-jβ
1z ) + E
r exp (jβ
1z )
Con β1 =ω(ε
1μ
1)1/2
Hy1
= 1/η1 [E
i exp (-jβ
1z ) - E
r exp (jβ
1z ) ]
Con η1 = ( μ
1/ε
1)½
NEL MEZZO 2 HO SOLO L'ONDA TRASMESSA
Ex2
= Et exp (-jβ
2z )
Con β2 =ω(ε
2μ
2)1/2
Hy2
= 1/η2 [E
t exp (-jβ
2z ) ]
Con η2 = ( μ
2/ε
2) ½
Ex1
= Ei exp (-jβ
1z ) + E
r exp (jβ
1z )
Ex2
= Et exp (-jβ
2z )
Per z = 0
Ex1
= Ei + E
r = E
x2 = E
t
ossia
Ei + E
r = E
t
Analogamente per il campo magnetico per z = 0
1/η1 [ Ei - Er ] = 1/η
2 Et
Definisco coefficiente di riflessione
R = Er/E
i
coefficiente di trasmissione
T = Et/E
i
Risolvo il sistema ( 2 eq nelle due incognite R e T )
1 + R = T
1 – R =( η1/η
2) T
La soluzione e'
R = (η2 – η
1 ) / (η
2 + η
1 )
T = 2 η2/(η
2 + η
1 )
Potenza riflessa Pr
Pr = R2 P
i
Potenza trasmessa Pt
Pt = P
i – P
r = ( 1 – R2) P
i
Se il mezzo 2 e' un conduttore ideale
Et = 0
Ei – E
r = 0
R = -1
T = 0
Ex1
= Ei [ exp (-jβ
1z ) - E
r exp (jβ
1z ) ] = 2 j E
i sin (β
1z )
IEx1I = 0 per z= 0 e per z = nλ/2
IEx1I = 2 Ei per z = nλ/4 ( n =1,2,....)
ONDE STAZIONARIE !
Poiche' sul piano conduttore il campo elettrico deve essere solo normale
al contorno ne consegue che la carica immagine ha segno opposto
rispetto alla carica sorgente
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