Download - condizioni contorno

Transcript
Page 1: condizioni contorno

Condizioni al contorno

Le equazioni di Maxwell valgono ovunque: usiamo la loro forma integrale e vediamo che vincoli devono rispettare le soluzioniSupponendo di avere due mezzi, caratterizzati da permettività (ε 1, µ1) e (ε 2, µ2), rispettivamente

Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali (Et) ed ortogonali (En) alla superficie di separazione

Page 2: condizioni contorno

2

12

Δl

Δh

Et2

Et1dSBt

dlESC

⋅∂∂−=⋅ ∫∫

se Δh → 0, S → 0

(Et1 – Et2) Δl = 0 Et1 = Et2

Analogamente Ht1 = Ht2

Per le componenti tangenziali

Page 3: condizioni contorno

3

Per le componenti normali

∫∫D∙dS =∫∫∫ρvdV

Se Δh → 0

(Dn1 – Dn2) ΔS = ρs ΔS

ε1En1 = ε2En2

analogamente μ1Hn1 = μ2Hn2

Dn1 – Dn2 = ρs

se ρs = 0 Dn1 = Dn2

Bn1 = Bn2

12

ΔS

Δh

Dn1

Dn1

Page 4: condizioni contorno

■ Quindi la componente tangente del campo elettrico E e del campo magnetico H sono continue sul contorno di separazione dei due mezzi

■ Inoltre in assenza di cariche libere superficiali , la componente ortogonale di D e la componente ortogonale B sono continue sul contorno.

Se il mezzo 2 e' un conduttore ideale sulla superficie c'e' una carica superficiale ρ

s ed una densita' di corrente J

s.

Il campo elettrico interno è nullo.Quindi la componente tangenziale di E è nulla sia dentro che in prossimità del conduttore

021 == tt EE

Page 5: condizioni contorno

2)SULLA SUPERFICIE DEL CONDUTTOREC'E' UNA DENSITA' DI CARICA

il campo nel conduttore ( mezzo 2 )e' nullo e quindi

Dn = ρ

s

■ La componente normale dell'induzione elettrica Dn in prossimità del conduttore ideale è pari alla densità di carica superficiale

La componente di B normale è nulla nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze

Bn =0

Page 6: condizioni contorno

4) Esiste una densita' di corrente superficiale per unita' di larghezza del conduttore J

s .

il campo magnetico tangenziale non è generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore

( ) lHHd tt ∆−=⋅∫ 21lH = Ht1

Δl = Js Δl

ossia n x H = Js

Page 7: condizioni contorno

1) Campo elettrico tangenziale nullo

2)Campo magnetico tangenziale pari alla densità di corrente per unita' di larghezza e perpendicolare ad essa

3)Campo induzione elettrica normale pari alla densità superficiale di carica

4) Campo magnetico normale nullo

RIEPILOGANDO :SU UN CONDUTTORE IDEALE

Page 8: condizioni contorno

Incidenza normale su una superficie di separazione tra due mezzi

Una parte dell'onda e' riflessa ed una parte e' trasmessa

Page 9: condizioni contorno
Page 10: condizioni contorno

NEL MEZZO 1 HO L'ONDA INCIDENTE E QUELLA RIFLESSA

Ex1

= Ei exp (-jβ

1z ) + E

r exp (jβ

1z )

Con β1 =ω(ε

1)1/2

Hy1

= 1/η1 [E

i exp (-jβ

1z ) - E

r exp (jβ

1z ) ]

Con η1 = ( μ

1/ε

1)½

NEL MEZZO 2 HO SOLO L'ONDA TRASMESSA

Ex2

= Et exp (-jβ

2z )

Con β2 =ω(ε

2)1/2

Hy2

= 1/η2 [E

t exp (-jβ

2z ) ]

Con η2 = ( μ

2/ε

2) ½

Page 11: condizioni contorno

Ex1

= Ei exp (-jβ

1z ) + E

r exp (jβ

1z )

Ex2

= Et exp (-jβ

2z )

Per z = 0

Ex1

= Ei + E

r = E

x2 = E

t

ossia

Ei + E

r = E

t

Analogamente per il campo magnetico per z = 0

1/η1 [ Ei - Er ] = 1/η

2 Et

Page 12: condizioni contorno

Definisco coefficiente di riflessione

R = Er/E

i

coefficiente di trasmissione

T = Et/E

i

Risolvo il sistema ( 2 eq nelle due incognite R e T )

1 + R = T

1 – R =( η1/η

2) T

Page 13: condizioni contorno

La soluzione e'

R = (η2 – η

1 ) / (η

2 + η

1 )

T = 2 η2/(η

2 + η

1 )

Page 14: condizioni contorno

Potenza riflessa Pr

Pr = R2 P

i

Potenza trasmessa Pt

Pt = P

i – P

r = ( 1 – R2) P

i

Page 15: condizioni contorno

Se il mezzo 2 e' un conduttore ideale

Et = 0

Ei – E

r = 0

R = -1

T = 0

Ex1

= Ei [ exp (-jβ

1z ) - E

r exp (jβ

1z ) ] = 2 j E

i sin (β

1z )

IEx1I = 0 per z= 0 e per z = nλ/2

IEx1I = 2 Ei per z = nλ/4 ( n =1,2,....)

ONDE STAZIONARIE !

Page 16: condizioni contorno

Poiche' sul piano conduttore il campo elettrico deve essere solo normale

al contorno ne consegue che la carica immagine ha segno opposto

rispetto alla carica sorgente