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Colección de Problemas de Mecánica de Fluidos

para Grados en Ingenierías Industriales v. β0.1

Gamez-Montero, P.J. Castilla, R.

Dept. de Mecánica de Fluidos Universitat Politècnica de Catalunya

Septiembre 2010

“1er Parcial”

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Contenido 

1.  Propiedades físicas de los fluidos ................................................... 3 2.  Hidrostática ..................................................................................... 9 

3.  Cons. de la Masa y Cantidad de Movimiento ............................... 16 

4.  Cons. de la Energía y Ec. de Bernoulli ......................................... 20 

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1. Propiedades físicas de los fluidos Problema 1.1 Entre dos placas horizontales, separadas una distancia de 2 mm, y de superficie mucho mayor que esta separación, hay aceite de viscosidad dinámica μ = 0,03 Pa·s. La placa inferior no se mueve. ¿Qué fuerza, por unidad de superficie, habrá que hacer sobre la placa superior para moverla hacia la derecha con una velocidad de 4 m/s?

Res. 60 N/m2

Problema 1.2 En un viscosímetro de cilindros rotatorios, el fluido problema es arrastrado por un cilindro en rotación contra otro concéntrico fijo, con un espació ∆r << R. Consideremos un perfil de velocidad lineal entre los dos cilindros, y que podemos medir el momento M que resiste el cilindro interior para mantener su velocidad angular ω constante.

Encontrad una expresión para la viscosidad dinámica del fluido problema µ en los casos: a) Negligiendo el efecto de la base del cilindro b) Incluyendo este efecto

0

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Res. Lateral: heRM L πωμ

32= Base: πωμ

eRM B 2

4=

Problema 1.3 En un viscosímetro de conos rotatorios, el fluido es arrastrado por un cono en rotación contra otro concéntrico fijo, con un espacio ∆r << R. Consideremos un perfil de velocidad linela entre los dos conos, y que podemos medir el momento M que resiste el cono interior para mantener su velocidad angular ω constante.

Encontrad una expresión µ.

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Res. γ

πμωsin2

4

eRM =

Problema 1.4 En el embrague de un automóvil los dos volantes están separados una distancia de 5 mm, y tienen un diámetro de 30 cm. Entre ambos hay aceite con una viscosidad dinámica de 0.38 Pa s. El volante motor gira a 1450 rpm, y el transmisor a 1390 rpm. ¿Cuál es el par que se transmite?

Res. ( )

Nm 38.02

421 =

−=

eRM ωωπμ

Problema 1.5 Por un plano inclinado, con ángulo β resbala un cuerpo hexaédrico de base B i peso W encima de una película, de espesor е << S , de aceite con viscosidad µ. Considerando que el cuerpo inicia su movimiento de bajada desde el reposo, calculad, haciendo las hipótesis oportunas, la ecuación diferencial de su movimiento y la velocidad límite.

Res. S

Wevμ

βsinlim =

Problema 1.6

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Si un fluido newtoniano circula por un conducto circular, de radio R, con una velocidad suficientemente baja, el flujo es laminar, y el perfil de velocidades es una parábola,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

2

max 1)(Rrvrv

a) Calculad la fuerza por unidad de longitud que se está haciendo, por la fricción viscosa, sobre un tubo de corriente de radio r << R, y, en concreto, la correspondiente a r = R.

b) Dado que el flujo es estacionario, tiene que haber otra fuerza que compense la fricción. Esta se produce por la diferencia de presión a lo largo del conducto. Relacionad esta diferencia de presión con la viscosidad, para encontrar la ecuación de Poiseuille.

Res.

a) 2

2

max4Rrv

LF πμ−=

b) 2max4RLvP μ=Δ ó 2

32gD

Lvh f ρμ

=

Problema 1.7 Al contrario de lo que puede pensarse, una bola de acero maciza puede no hundirse en el agua. ¿Cuál tendría que ser su diámetro máximo? ¿Y si la bola es de aluminio?

Datos: ρacero = 7800 Kg/m3, ρAl = 2700 Kg/m3 Res. Racero = 1.2 mm, Raluminio = 2 mm Problema 1.8

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Un émbolo libre, que pesa 16 kp y puede desplazarse sin rozamiento apreciable a lo largo de un cilindro, determina dos cámaras en el mismo, una ocupada por un liquido cuyo modulo de elasticidad isotérmico es β = 20500 kp/cm2, prácticamente independiente de la presión, y la otra ocupada por nitrógeno. Las condiciones iniciales son: presión absoluta inicial del nitrógeno de 105 Pa, temperatura inicial de 15 ºC y geométricamente las representadas en la figura. Sabiendo que el cilindro es prácticamente indeformable y que la evolución del gas es isotérmica, se pide:

a) ¿Cuál debe ser la presión del gas para que el volumen ocupado por el líquido experimente una reducción del 0.5 %?

b) En tales condiciones, ¿Cuál es la masa del gas que se ha debido añadir al cilindro? Res. (a) 1.012·107 Pa (b) 0.928 kg Problema 1.9 Un tubo capilar de vidrio se introduce en un depósito con mercurio. Calcular la altura h que desciende el nivel del mercurio en el interior del capilar.

h

θ

ØD

D = 1 mm σ = 0.48 N/m ρHg = 13600 kg/m3 θ = 130º Res. 9 mm Problema 1.10 ¿Qué diferencia de presión Δp se debe aplicar a un litro de agua a presión atmosférica para reducirlo en un 1%, conocido que el módulo de elasticidad del agua es β = 2·109 Pa?

inicialinicialfinal

VVV

VV

PpdVdpV

−ΔΔ

−=Δ

−≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=β

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Res. 200·105 Pa

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2. Hidrostática Problema 2.1 Un líquido de densidad, 1ρ , varía linealmente con la profundidad h. En la superficie libre,

( ) 31 mkg 12000 =ρ , y a la profundidad m 3=Bh , ( ) 3

1 mkg 1800=Bhρ . Se pide determinar la distribución de presión en función de la profundidad h.

Res. hhP 423 10·2.110 += con la presión en Pa y la altura en m Problema 2.2 Un tronco de madera (ρ = 800 kg/m3), de 1.20 m de diámetro tiene 2.40 de largo, y se usa como presa de agua, como se muestra en la figura. Calculad la reacción en el punto A.

Res. Rx = -12700 N, Ry = 1330 N Problema 2.3 Calcular el valor del ángulo θ

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Aceite

Agua

ρ = 0.8r

ρ = 1r

50 c

m50

cm 2.13 m

Aire

θ = ?

Res. 25º

Problema 2.4 La compuerta cuadrada de longitud L y anchura b de la figura es encuentra articulada el punto A y en equilibrio en la posición representada. La distancia entre el punto de aplicación de la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta (punto C) y la articulación de la compuerta (punto A) medida sobre el eje longitudinal de la compuerta se calcula como,

θsin31 hlCA =

h

L

.CA

A

l

C θ Aigua

on θ = 30º b = 5 m γaigua= 9.81·103 kN/m3

L = 4 m h = 1 m

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Se pide calcular el peso de la compuerta. Problema 2.5 Un tanque se encuentra dividido en dos cámaras independientes A y B, donde en la sección A hay agua y en la sección B aire y aceite (Figura 1). El tanque A es encuentra abierto a la atmósfera, pero el tanque B se encuentra presurizado a la pressión P que señala en el manómetro. Una compuerta está formada por dos superficie rectangulares en forma de L (profundidad w) y se encuentra situada en la pared que separa las dos cámaras (tal y como se muestra en la Figura 1) y articulada en el punto O. Datos, hA = 4 m hB = 3 m l = 1 m w = 2 m γaigua = 9806 N/m3 γoli = 7845 N/m3 Se pide, (a) Calcular la magnitud de la fuerza o fuerzas que se producen sobre la compuerta debido al agua que contiene el tanque A. (b) Calcular el momento que produce esta fuerza o fuerzas sobre la compuerta debido al agua que contiene el tanque A. (c) Calcular la presión P que deberá marcar el manómetro para que la compuerta comience a abrir y dejar pasar agua del tanque A al tanque C, el cual está abierto a la atmósfera. Hipótesis:

- Ignorar el peso de la compuerta

A

aigua

aiguaγ

aire

comporta

B

l

C

Ah

l

Oh

manòmetre

oliγoli

B

P

Problema 2.6

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Calcular el momento que se debe ejercer en el punto C para mantener la compuerta cerrada

Agua

C

Aire

Aire

θ = 60R 0.5 m

Compuerta

Res. Aproximadamente 417 N·m con sentido igual a las agujas del reloj

Problema 2.7 En la Figura se presenta el diseño de un “nivelador” de un depósito de agua. Este dispositivo abre una compuerta cuando el nivel de agua h llega a una cierta altura. Se trata de una compuerta en forma de “L” (ver Figura 1: ABC) de anchura b = 3 m (perpendicular al papel) y articulada en B, tal como se muestra en la Figura 1. Despreciando el peso de la compuerta, y tomando las hipótesis apropiadas, se pide:

1. Si el nivel de agua h es de 1.5 m, ¿qué reacción (fuerza) se producirá en el punto C? (3 puntos)

2. ¿Qué nivel de agua h se debe alcanzar para que la puerta se abra automáticamente? (7 puntos)

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Res. 1) -44145 N, 2) 2.6 m

Problema 2.8

Demostrar que en el caso de un recipiente con forma de “V” flotando en la superficie del océano la fuerza resultante de la presión que actúa sobre las caras en “V” del recipiente equilibra el peso del agua desplazada por el recipiente. ¿Queda así demostrado el Principio de Arquímedes? Res. θρ cot2 LgHFE = Problema 2.9 Una ‘boya’ vertical es un prisma con un peso en el fondo, de forma que presenta flotación hacia arriba. Para la boya vertical de la figura en equilibrio, se pide calcular el peso (pes) que se ha de colocar al extremo inferior, para que sobresalga el prisma de madera (fusta) una altura de 20=h cm.

1,5 m h

A

B C

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Datos: 5=a cm 1)(, =aiguarρ 6.0)(, =fustarρ 3=l m 85.7)(, =pesrρ

ρr,(pes)

h

ρr,(aigua)

r,(fusta)ρ

de FustaGeometria Prisma

l

a a

Figura 1. Esquema de la boya

Res. Aproximadamente 24 N Problema 2.10 Un depósito rectangular vacío de altura H y anchura B, como el representado en la figura, flota en agua de densidad ρw inmerso una profundidad D por debajo de la superficie libre (ver figura I). En un cierto momento, se vierte aceite de densidad ρo en el interior del depósito hasta que está a punto de de hundirse (ver figura II). Determinar la expresión de la profundidad de aceite d en función de los parámetros anteriores.

ρ w

ρ o d

AireAire

(I) (II)

H

B

D

Res. ( )DHdo

w −=ρρ

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3. Cons. de la Masa y Cantidad de Movimiento Problema 3.1 Una bomba impulsa agua. En el conducto de aspiración la velocidad se distribuye parabólicamente

según la expresión ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=2

2

1 110Rrv en m/s, donde RD 2= . En el conducto de impulsión la velocidad se

puede suponer uniforme v2. El diámetro del conducto de aspiración es el doble del diámetro del conducto de impulsión. Se pide calcular la velocidad de salida a la impulsión

ØD Ød

v1v2

Res. 20 m/s Problema 3.2 El depósito de agua de diámetro interior 4 m de la Figura 1 está colocado sobre un carro sin fricción y alimenta un chorro de 4 cm de diámetro con una velocidad de 8 m/s que se reflecta 60º por medio de un álabe. Calcule la tensión del cable.

Figura 1. Esquema del depósito

Res. 40.2 N

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Problema 3.3 Una turbina de reacción es colocada en un túnel de viento donde recibe aire con una velocidad U, a una presión p y una densidad ρ. La distribución de velocidad en el chorro en la superficie de entrada, de valor Se, puede considerarse uniforme. En la salida, con una superficie circular de radio rs, la velocidad no es uniforme, sino que tiene una distribución parabólica,

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0 12)(srrUru

La presión en la salida del chorro es ps, y la densidad del gas es ρs. La cantidad de combustible introducido lateralmente corresponde al 2% de la masa total del aire que circula. Calculad el empuje horizontal R sobre el motor. ¿Cuál sería el valor de este empuje si la distribución de velocidad en la salida fuese uniforme?

Problema 3.4 El elemento de control de un sistema hidráulico consiste de un deflector cónico sobre el cual incide un chorro de fluido, tal y como se muestra en la Figura. El deflector, cuya masa es de 0.5 kg, se mantiene en posición de equilibrio respecto el tubo a una distancia de 50 mm.

1. Aplicando los principios fundamentales de la Mecánica de Fluidos se pide calcular la velocidad del chorro del fluido a la salida del tubo.

Hipótesis: Suponer que la velocidad del fluido se mantiene prácticamente constante.

3mkg 1000=fluidoρ

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60º

50 m

m

Ø15 mm

Figura 1. Deflector cónico

Res. 14.4 m/s Problema 3.5 En la Figura 1 se muestra un alabe con forma de “U” y un tanque lleno de agua. Se pide calcular las fuerzas F1 y F2 cuando,

a. El tanque y el alabe están estacionarios b. El tanque se mueve hacia la izquierda a velocidad constante de 3 m/s y el alabe permanece

estacionario c. El tanque y el alabe se mueven hacia la derecha con velocidades constantes de 2 m/s y 4 m/s

respectivamente

Figura 1. Esquema del tanque y álabe

Res. a. F1 = +49.3 N, F2 = +98.6 N b. F1 = +49.3 N, F2 = +26.8 N c. F1 = +49.3 N, F2 = +45.7 N

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Problema 3.6 Por el conducto de la figura, de sección de área constante 10 cm2, en el que existe un codo de 120º, circula aire a una temperatura constante de 20 ºC. Suponiendo magnitudes uniformes en las secciones 1 y 2, p1 = 1.2 kg·cm-2 (abs), p2 = patm y v1 = 60 m·s-1. Se pide:

1. Calcular la velocidad en la sección de salida. 2. Calcular la fuerza en la dirección X que se debe ejercer sobre el codo para sujetarlo 3. Calcular la fuerza en la dirección Y que se debe ejercer sobre el codo para sujetarlo.

Res.

1. 72 m/s 2. Fx = +5.2 N 3. Fy = -21.9 N

Problema 3.7 Un vertedero, como el mostrado en la Figura, descarga sobre un cana horizontal de anchura constante de 1 m, de tal manera que la corriente llega verticalmente al canal. Se observa que entre el manto de agua y el vertedero, el agua alcanza un nivel de 2 m. Suponiendo que se pueden aplicar las leyes de la fluidoestática en la pared del vertedero que está aguas abajo, calcular la altura h del agua aguas abajo donde la velocidad es uniforme de valor 3 m/s.

120º

1

2

x

y

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P

2 m

atm

Patm

Patm

h ?

3 m/s

rozamiento despreciable

Res. 1.3 m

4. Cons. de la Energía y Ec. de Bernoulli Problema 4.1 Un avión vuela a una altura tal que la densidad del aire exterior es de 0.85 kg/m3 y la presión atmosférica exterior es de 6·104 Pa. El tubo de Pitot que hay instalado en el interior de la cabina del avión indica una presión relativa de -180 mmHg (ver Figura). ¿A qué velocidad está volando el avión?

v

exterior

mercurio (Hg)

interior cabina

180 mm

Nota: dentro de la cabina del avión la presión atmosférica es de 760 mmHg.

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Res. 200 m/s

Problema 4.2 Un avión anti-incendios hace la recarga del depósito, de 10000 litros de volumen, tal y como muestra la Figura 1. La manguera tiene unas secciones en los puntos 1 y 2 de 0.3 m2 y 0.2 m2, respectivamente. La profundidad de la manguera en el agua se puede considerar despreciable.

Figura 1. Esquema del avión

Si la velocidad con la que el avión hace la recarga es de 40 km/h, i vuela a una altura de 2 metros por encima de la superficie del agua, calcular

(a) El tiempo que tarda en llenar el depósito (b) La presión en el punto 1 (c) La potencia consumida

Hipótesis: La presión en el interior del depósito se puede considerar atmosférica. Res.

(a) 5 seg (b) 38400 Pa (c) 117000 W

Problema 4.3 El flujo en el conducto de sección variable de la figura tiene un D1 = 8 cm, D2 = 5 cm, P2 = 1 atm. Todos los fluidos se encuentran a 20 ºC. Si v1 = 5 m/s y la lectura del manómetro es h, se pide ( 33 13600;1000 mkgmkg mercurioagua == ρρ ):

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1. Calcular la velocidad del flujo en el punto 2 2. Calcular la presión en el punto 1 3. La expresión de la presión en el punto A 4. La expresión de la presión en el punto B 5. La expresión de la diferencia de presión entre el punto A y el punto B 6. Calcular la lectura del manómetro h conocido que BA HhH 21 +=

7. Calcular la fuerza total que resisten las bridas del conducto de la figura

Problema 4.4 En un diafragma, que se utiliza para medir el caudal que circula por un conducto, se produce una fuerte caída de presión p2 – p1. Calculad, en función de esta caída de presión y de la geometría del diafragma, el caudal. ¿Cuál es la fuerza que hace el fluido sobre el diafragma? ¿Cuál es la potencia consumida?

Tomando: D = 5 cm; d = 1.25 cm; P1 = 1 bar; v1 = 0.5 m/s; ρ = 1000 kg/m3

Res.

• Velocidad media en el orificio de diámetro d, vd = 8 m/s • Si se supone que a su paso por el orificio se pierde, por disipación viscosa, un 10% de

la energía cinética del chorro de salida la presión en el orificio es de Pd = 64925 Pa • La fuerza sobre el diafragma es F = 61.5 N

A

BH1A

H2B

X

Y

1 2

Agua

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• Si se supone que no hay rozamiento en la pared del tubo y que sólo hay fuerzas de presión que actúan en la dirección normal a la misma la presión en 2 es P2 = 68675 Pa

• La potencia disipada entre las secciones 1 y 2 es N = 30.75 W Problema 4.5 En el conducto de la figura circula CO2 a una temperatura de 20 ºC. La presión estática en 1 es p1= 170 kPa, y la densidad del líquido del manómetro es ρm = 827 Kg/m3. Los diámetros de la tubería son D1 = 10cm y D2 = 6 cm, y la altura que marca el manómetro es h = 8 cm. Calcular el caudal de gas por la tubería. Datos:

Constante universal de los gases: molK

JR 314.8=

Masas moleculares (gr / mol) : C : 12; O : 16

Res. 58.1 l/s Problema 4.6 En la Figura se presenta una instalación con una tobera, un manómetro de mercurio y un deflector inmóvil. Por la tobera sale agua que pasa por la boca de un manómetro de mercurio y continua hacia el deflector. El agua forma una lámina que se adapta perfectamente a la forma del deflector. Finalmente, el agua sale del deflector como se muestra en la figura. Conocidas las dimensiones presentadas en la figura y recogidas en la Tabla 1, y tomando las hipótesis apropiadas, se pide:

1. Calcular la velocidad de salida del chorro libre de agua de la tobera (5 puntos)

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2. Calcular las fuerzas de reacción que se producen en el deflector (5 puntos) Importante: Despreciar los efectos de pérdida de energía por fricción en la superficie del deflector Tabla 1. Datos d = 15 cm H = 80 cm ρagua = 1000 kg/m3

h = 30 cm L = 4 m ρmercurio = 13600 kg/m3

Ød

manometro de mercurio

tobera

deflector

LH

h

Res

1. 8 m/s 2. 2831.5 N

Problema 4.7 En la Figura 1 se presenta el esquema de parte de una instalación hidráulica. En la parte superior se encuentra un depósito de dimensiones muy grandes que contiene agua. Un caudal Q de agua desciende por la tubería 1 hasta llegar a una unión en “T”. A partir de la unión “T” el agua se distribuye por la tubería 2 y 3, siendo el caudal que circula por la tubería 2 dos tercios el caudal de la tubería 1. La salida de la tubería 3 se lleva a cabo mediante una inclinación β respecto la horizontal. La salida de ambas tuberías es en chorro libre. En el punto 1 se ha instalado un manómetro de mercurio en “U” que permite medir la presión en este punto. Tomando las hipótesis oportunas, se pide:

(a) Determinar la expresión de la presión p1 en el punto 1 (b) Calcular el valor de la presión p1 en el punto 1 mediante los datos de la Tabla 1

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(c) Determinar la expresión de la velocidad v1 en el punto 1 (d) Calcular el valor de la velocidad v1 en el punto 1 mediante los datos de la Tabla 1

(e) Determinar la expresión del caudal Q3 en el punto 3 (f) Calcular el valor del caudal Q3 en el punto 3 mediante los datos de la Tabla 1

(g) Determinar las expresiones de las reacciones que sufre la unión “T” (h) Calcular el valor de las reacciones mediante los datos de la Tabla 1

Tabla 1. Datos H = 1000 mm D1 = 40 mm β = 30º L = 300 mm D2 = 30 mm ρagua = 1000 kg/m3 h = 50 mm D3 = 15 mm ρmercurio = 13600 kg/m3

manómetro

h

L

depósito

H

ØD

1

Atmósfera

Tubería 3

ØD

3

mercurio

B

A

Atmósfera

3

x

Unión "T"β

v3

Tubería 1

1

T

Q = Q

D

Tubería 2

2

2v

Q =(2/3)QAtmósfera

2

Atmósfera

y

0

1

agua

Figura 1. Esquema de la instalación hidráulica Res.

(a) (b) 3237.3 Pa (c) (d) 3.62 m/s (e) (f) 91.12 l/min (g) (h) Rx = 24.4 N, Ry = 14.1 N