CURSO: CIRCUITOS ELECTRICOS IICÓDIGO: IEL-214

Ing. Antonio Alfaro

Universidad Técnica Nacional

Q2-2014

UNIDAD TEMÁTICA II

NUMEROS COMPLEJOS

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Ing. A Alfaro UTN, Q2 2014

SEÑAL SENOIDALES DE VOLTAJE Y CORRIENTE

donde Vm , Im es la amplitud de la señal senoidalω es la frecuencia angular en radianes/sθ es el ángulo de fase en grados del voltajeφ es el ángulo de fase en grados de la corriente(ωt + θ ) es el argumento de la señal voltaje(ωt +Φ) es el argumento de la señal corriente

)()( tsenVtv m

2

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)()( tsenIti m

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NÚMEROS COMPLEJOSEn el análisis de las redes de cd (que se estudiaron en el curso CircuitosEléctricos I ) , como en el análisis de las redes ac que estudiaremos eneste curso, nos encontramos con la necesidad de sumar algebraicamentevoltajes y corrientes. La pregunta que surge es:

Como determinaremos la suma algebraica de dos o mas señales devoltaje o corriente que varían en forma senoidal?

El propósito de esta Unidad Temática es estudiar y aprender el sistema denúmeros complejos, su operación y las reglas que los rigen; quepermitirán la operaciones algebraicas de las señales senoidales en formadirecta, simple y precisa.

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IGUALDAD DE EULER

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IGUALDAD DE EULER

0 es la identidad aditiva, como la adición a otro número de resultados en el número original. 1 es la identidad multiplicativa por la misma razón como 0. Pi (π) es una de las constantes matemáticas más importantes en la historia de las matemáticas que es omnipresente en la geometría euclidiana y la trigonometría. El número de Euler (e) es la base de los logaritmos naturales y se utiliza ampliamente en el análisis matemático y científico. i (√-1) es la unidad imaginaria de los números complejos, un campo de números imaginarios que no son "reales", lo que permite el cálculo de todas las raíces de polinomios.

La identidad de Euler resume a la perfección la relación entre estos cinco números que son tan cruciales en el campo de las matemáticas. También es interesante observar que estos cinco números fueron descubiertos en diferentes momentos de la historia que abarca más de 3000 años.

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Una corriente o una tensión senoidal con una frecuencia dada está caracterizada por sólo dos parámetros:

Su amplitud Im o Vm

Su ángulo de fase Φ

CONCEPTO DE FASOR

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)()( tsenVtv m)()( tsenIti m

La representación compleja de la corriente o de la tensión sinoidal esta también caracterizada por los mismos dos parámetros.

)()( tjmm eItsenI

Usando identidad de Euler jtj

m eeI

jmeI j

meV

Un fasor es un número complejo que representa la amplitud yfase de una señal senoidal.

MATERIAL COMPLEMENTARIO

* Identidad de Euler:

* Aplicacion en Fasor :

)(Ae Re)tAcos()tjAsin()tAcos( Ae

sinjA cosA Aesin jcose complejo lexponencia

)tj(

)tj(

j

j

)tcos(A Afasorial forma lapor esimplement o )Re(Aepor darepresenta esta )tcos(A

, que tenemosresultado Comocircuito. elen invariable mantiene se este que ya Ae terminoel eliminando

Ae forma la a simplifica se Ae AC, circuitos para aplicacion laEn

j

jwt

j)tj(

A7

8

MATERIAL COMPLEMENTARIO

Fasor vs. Senoidal

m

mm

V:como define se v(t)paraFasor El

VcosV v(0)0,en t and )(

Re:rotante vector del real parte la justamente Es

cos:mostrado como senoidal voltajeel osConsiderem

V

tVeV

eVtv

tVtv

mtj

m

tjm

m

)(Ae Re)tAcos()tjAsin()tAcos( Ae

sinjA cosA Aesin jcose complejo lexponencia

)tj(

)tj(

j

j

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Los números complejos surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el conjunto de los números reales.

NÚMEROS COMPLEJOS

25,135 2 xx

Tomemos como ejemplo la ecuación:

Aplicando la formula resolvente:

5.2

25,1.5.433 2 x

10163

x ????16

NÚMEROS COMPLEJOS

Como la raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales, esta ecuación no tiene solución en este conjunto, es decir que no existe ningún número real que resuelva este problema.

(Sin solución real)

25,135 2 xx

Para que la ecuación anterior tenga solución, los matemáticos buscaron una ampliación del conjunto de los números reales.

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Inventaron un número cuyo cuadrado es -1 ( Euler lo denominó con la letra “i” ). En ingeniería eléctrica / electrónica usaremos la letra “j”

12 i

NÚMEROS COMPLEJOS

Entonces volviendo a nuestra ecuación:

i41.16

1.16

16

El número i es solo un elemento del conjunto de los números complejos

104310

163

ix

x

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NÚMEROS COMPLEJOS

Al número a se llama parte real de z (a=Re[z]) Al número b se llama parte imaginaria de z (b=Im[z])

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NÚMEROS COMPLEJOS

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REPRESENTACION EN EL PLANO

NÚMEROS COMPLEJOS

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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z4= 4-3j , z5=-6+2j , z6= -5j , z7= 4, z8= 6j , z9= -3-5j , z10= 8-3j

Eje Real

Eje Imaginario

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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Determine la expresión matemática para cada uno de los siguientesnúmeros complejos representados en el plano complejo.

Eje Real

Eje Imaginario

1

5

2

6

3

8

9

1

4

NÚMEROS COMPLEJOS

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OPERACIONES

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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Determine el conjugado y la expresión matemática para cada uno de los siguientes números complejos representados en el plano complejo.

Eje Real

Eje Imaginario

1

6

5

4

3 2

NÚMEROS COMPLEJOS

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OPERACIONES

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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z1= 4-3j , z2=-6+2j , z3= -5j , z4= 4, z5= 6j , z6= -3-5j , z7= 8-3j

Eje Real

Eje Imaginario

Dibuje en el plano complejo, el opuesto de cada uno de los siguientes números complejos

NÚMEROS COMPLEJOS

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OPERACIONES

NÚMEROS COMPLEJOS

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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NÚMEROS COMPLEJOS

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OPERACIONES

NÚMEROS COMPLEJOS

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NÚMEROS COMPLEJOS

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OPERACIONES

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES (SOLUCIÓN)

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES (SOLUCIÓN)

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NÚMEROS COMPLEJOS

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REPRESENTACION EN EL PLANO

NÚMEROS COMPLEJOS

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NÚMEROS COMPLEJOS

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22 yxr

xy1tan

donde

jrez

NÚMEROS COMPLEJOS

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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(solución)

a) 2∟600 b) 2∟300 c) √2∟1350

d) 13∟2920 e) 3∟900 f) 5∟00

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Operaciones con números complejos:

1. Suma

2. Resta

3. Multiplicacion

4. Division

5. Inverso

6. Raiz cuadrada

7. Conjugado

NUMEROS COMPLEJOS

)()( 212121 yyjxxzz

)()( 212121 yyjxxzz

212121 rrzz

212

1

2

1 rr

zz

rz11

2 rz jrerjyxz

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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Sean los números complejos z1 = 4∟60º y z2 = 3∟210º.

PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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(solución)

NUMEROS COMPLEJOS

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MATERIAL COMPLEMENTARIO UNIDAD TEMATICA

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DOMINIO FASORIAL Y NÚMEROS COMPLEJOS (REPASO)

Al resolver ecuaciones del tipo : x2 +1= 0 ⇒ x = ± √-1 que no tiene solución en los números reales. Los números complejos nacen de la necesidad de dar validez a estas expresiones. Para ello es necesario admitir como número válido a √-1 y a todos los que se obtengan al operar con él como si se tratara de un número más.

Unidad imaginaria: Se llama así al nuevo número √-1 . Y se designa por la letra i ( matemáticos) j ( ingeniería) j = √-1 ; j2 = -1 (El nombre j viene de imaginario)

Números complejos en forma Binomica: Son las expresiones: z = a + bj, donde a y b son números reales.

La expresión a + bj, se llama forma binómica de un número complejo porque tiene dos componentes: a = Parte real; b = Parte imaginaria.

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DOMINIO FASORIAL Y NUMEROS COMPLEJOS (REPASO)

Igualdad: Dos números complejos son iguales sólo cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

El conjunto de todos los números complejos se designa por C, donde C = {a + bj / a, b ∈ R}

Para representar los números complejos tenemos que salir de la recta real y pasar al plano complejo.

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bj se representa mediante el punto (a,b), o mediante un vector de origen (0,0) y extremo (a,b).

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DOMINIO FASORIAL Y NÚMEROS COMPLEJOS (REPASO)

OPEARCIONES EN FORMA BINÓMICA SUMA: La suma de dos números complejos es otro número

complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. z + z’ = (a + bj) + (a’ + b’j) = a + bj + a’ + b’j = (a + a’) + (b+b’)j

RESTA: La resta de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la resta de las partes reales y cuya parte imaginaria es la resta de las partes imaginarias. z - z’ = (a + bj) - (a’ + b’j) = a + bj - a’ - b’j = (a - a’) + (b-b’)j

MULTIPLICACIÓN: z.z’ = (a + bj).(a’ + b’j) = a.a’ + a.b’j + ba’j + b.b’j2 = a.a’ + a.b’j +

a’.bj – b.b’ = (a.a’ - b.b’) + (a.b’ + a’.b)j CONJUGADO de un número complejo z = a + bj : z = a – bj DIVISIÓN: Multiplicamos y dividimos por el conjugado del

denominador.

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DOMINIO FASORIAL Y NUMEROS COMPLEJOS (REPASO)

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

Módulo de un número complejo z es la longitud del vector mediante el que dicho número se representa. Se designa por r = |z|

Argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real positivo. Se designa: α = arg (z) (0º ≤ α ≤ 360º)

Número complejo en forma polar:

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rZ

DOMINIO FASORIAL Y NUMEROS COMPLEJOS (REPASO)

OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR

PRODUCTO: Al multiplicar dos números complejos en forma polar obtenemos otro número complejo en forma polar de módulo el producto de los módulos y de argumento la suma de los argumentos (reduciéndola a un ángulo entre 0º y 360º)

COCIENTE: El cociente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo de módulo el cociente de los módulos y por argumento la resta de los argumentos

POTENCIA: La potencia n-ésima de un número complejo en forma polar es otro número complejo en forma polar de módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento el argumento multiplicado por n.

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PRACTICA PARA LOS ESTUDIANTES

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