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1

CINÉMATIQUE DES FLUIDES - corrigé des exercices I. Liquide incompressible en rotation 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par un vecteur position

!

OM (t) = r

!

ur (θ(t)) avec un rayon r constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement) et θ(t) = θ0 + Ω t (θ0 dépendant de la particule).

• La vitesse d'une telle particule peut s'écrire :

!

v (t) =

!

dOMdt = r

!

durdt

= rθ•

!

u" , en tenant compte du fait

que le

!

ur considéré varie puisque c'est un vecteur de base local, dépendant de l'endroit où se trouve la particule.

• De façon analogue, l'accélération peut s'écrire :

!

a (t) =

!

dvdt

= - rθ•2

!

ur (compte tenu du fait que

θ• = Ω est constant). 2. • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donné. Ceci conduit à considérer :

!

v (M, t) =

!

v (M) =

!

"✕

!

OM = rθ•

!

u" indépendant du temps (la base locale est celle en un point fixe).

• On en déduit ensuite :

!

a(M, t) =

!

dvdt

=

!

"v"t

+

!

v • "( )

!

v avec

!

"v"t

=

!

0 pour une rotation à vitesse

constante ; par ailleurs en coordonnées polaires :

!

" =

!

""r

!

ur +

!

1r""#

!

u" .

◊ remarque : pour insister sur la différence de notations, on peut noter

!

DvDt

au lieu de

!

dvdt

.

• Ceci donne :

!

a(M, t) =

!

a(M) = rθ•

!

1r""#

(rθ•

!

u" ) = rθ•2

!

"u#"#

= -rθ•2

!

ur .

◊ remarque : on peut aussi utiliser la propriété mathématique :

!

v • "( )

!

v =

!

"v2

2#

$ %

&

' ( +

!

"#v( )✕

!

v avec

en coordonnées cylindriques :

!

"#v =

!

rot v =

!

1r"vz"#

$"v#"z

% & '

( ) *

!

ur +

!

"vr"z

#"vz"r

$ % &

' ( )

!

u" +

!

1r" rv#( )"r

$1r"vr"#

%

& '

(

) *

!

uz ;

ainsi :

!

"v2

2#

$ %

&

' ( =

!

"•2

2

!

" r2( ) =

!

"•2

2 2r

!

ur = rθ•2

!

ur (analogue ici à l'accélération d'entraînement centrifuge

associée à une base locale qui suivrait le fluide) ;

!

"#v =

!

1r""r

(r2θ•)

!

uz = 2θ•

!

uz ;

!

"#v( )✕

!

v = -2rθ•2

!

ur

(analogue ici à l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide). ◊ remarque : la notation du rotationnel avec le symbole

!

"# est ambiguë car elle ne correspond à un produit vectoriel usuel qu'en coordonnées cartésiennes ; on peut considérer :

!

v (M) = - y θ•

!

ux + x θ•

!

uy ;

!

"# v =

!

"vz"y

#"vy"z

$

% &

'

( )

!

ux +

!

"vx"z

#"vz"x

$ % &

' ( )

!

uy +

!

"vy"x

#"vx"y

$

% &

'

( )

!

uz = 2θ•

!

uz ;

!

"# v( )✕

!

v = -2θ•2.( x

!

ux + y

!

uy ).

II. Étalement radial d'un liquide incompressible 1. • Chaque “particule” de fluide peut être repérée par

!

OM (t) = r(t)

!

ur (θ) avec un angle θ constant (dépendant de la particule dont on suit le mouvement). La vitesse (radiale) d'une telle particule peut s'écrire :

!

v (t) =

!

dOMdt = r•

!

ur .

• Le liquide contenu dans un anneau entre r et r+dr a pour volume : dV = 2πr dr e (en notant e

l'épaisseur). Pour un liquide incompressible à débit D =

!

dVdt

= 2πr e v(r) constant, on obtient : v(r) =

!

D2"re

.

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2

• Mais ceci s'écrit aussi : 2r dr =

!

D"e

dt, dont l'intégration donne : r(t) =

!

r02 +

D"e

t .

• De façon analogue, l'accélération peut s'écrire :

!

a (t) =

!

dvdt

= -

!

D2"r2e

r•

!

ur = -

!

D2

4"2r3e2

!

ur , d'où en

fonction du temps :

!

a(t) = -

!

D2

4"2e2

!

1

r02 +

D"e

t#

$ %

&

' (

3/ 2

!

ur .

2. • La description eulérienne décrit le mouvement du fluide qui se trouve en un point fixe M donné. Ceci

conduit à considérer :

!

v (M, t) =

!

v (M) =

!

D2"re

!

ur indépendant du temps (la base locale est celle en un point

fixe).

• On en déduit ensuite :

!

a(M, t) =

!

dvdt

=

!

"v"t

+

!

v • "( )

!

v avec

!

"v"t

=

!

0 pour un fluide incompressible à

débit constant ; par ailleurs en coordonnées polaires :

!

" =

!

""r

!

ur +

!

1r""#

!

u" .

◊ remarque : pour insister sur la différence de notations, on peut noter

!

DvDt

au lieu de

!

dvdt

.

• Ceci donne :

!

a(M, t) =

!

a(M) =

!

D2"re

!

""r

!

D2"re

ur#

$ %

&

' ( = -

!

D2

4"2r3e2

!

ur .

◊ remarque : on peut aussi utiliser la propriété mathématique :

!

v • "( )

!

v =

!

"v2

2#

$ %

&

' ( +

!

"#v( )✕

!

v avec

en coordonnées cylindriques :

!

"#v =

!

rot v =

!

1r"vz"#

$"v#"z

% & '

( ) *

!

ur +

!

"vr"z

#"vz"r

$ % &

' ( )

!

u" +

!

1r" rv#( )"r

$1r"vr"#

%

& '

(

) *

!

uz ;

ainsi :

!

"v2

2#

$ %

&

' ( =

!

D2

4"2e2

!

"1r2# $ %

& ' ( = -

!

D2

4"2r3e2

!

ur (décrivant ici l'accélération d'entraînement associée à une

base locale qui suivrait le fluide) ;

!

"#v =

!

0 ;

!

"#v( )✕

!

v =

!

0 (décrivant ici l'accélération complémentaire associée à une base locale qui suivrait le fluide).