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Dynamics. Introduction Página: 1/13September 28, 2010

• La palabra Mecánica viene del vocablo griego μηχανικη que significa máquina. Puede definirse como la ciencia que estudiael movimiento de los objetos materiales y las circunstancias que influyen en el mismo. La pluralidad de objetos y movimientoshace que la Mecánica se divida en diferentes ramas: Mecánica Clásica, de Fluidos, Relativista, Cuántica, de Medios Contínuos,Estadística, etc. Todas ellas estudian el movimiento de objetos materiales, pero lo hacen desde puntos de vista muy diferentes.

• Atendiendo a su tamaño, los objetos del Universo se agrupan en: microscópicos, macroscópicos y astronómicos. Sonmicroscópicos los objetos de tamaño atómico o subatómico; son astronómicos los de tamaño estelar o galáctico. Los objetosmacroscópicos ocupan una posición intermedia, es decir, son grandes frente a los microscópicos y, simultáneamente, pequeñosfrente a los astronómicos.

• Es posible distinguir, también, entre movimientos de alta y baja velocidad. En los primeros, la velocidad característica espróxima a la velocidad de la luz. En los segundos, por el contrario, es pequeña comparada con la velocidad de la luz.

• La Mecánica Clásica es la ciencia que estudia el movimiento de objetos macroscópicos a bajas velocidades. Sedivide en dos grandes apartados: Cinemática, del griego κινημα, movimiento y Dinámica, del griego δυναμις , fuerza.La primera pretende describir el movimiento, haciendo abstracción de las causas que lo provocan. La segunda, por el contrario,pretende establecer relaciones entre el movimiento y las causas que lo originan.

• Dentro de la Mecánica Clásica, los sistemas deformables complejos, como pueda ser una masa de fluido, son estudiadospor disciplinas específicas, en concreto, la Mecánica de Medios Continuos. Poseen un número infinito de grados de libertad y sumovimiento está gobernados por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En este curso se estudian sistemas con unnúmero finito de grados de libertad, cuyo movimiento está gobernado por ecuaciones diferenciales ordinarias.

• El problema básico al que se enfrenta la Mecánica es: dadas las fuerzas que actúan sobre un sistema material conocido ylas ligaduras a que está sometido, determinar el movimiento que las partículas adoptan respecto de una referencia galileanay las fuerzas de ligadura que se ejercen sobre el sistema, si se conocen las posiciones y velocidades de las partículasdel sistema en el instante inicial. Para resolverlo, es necesario realizar hipótesis adicionales sobre las fuerzas de ligadura.

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• La Cinemática es la parte de la Mecánica que tiene por objeto la descripción y el estudio del movimiento de lossistemas materiales, independientemente de las causas que lo originan. En ella sólo intervienen dos magnitudes fundamentales,longitud y tiempo. Ambas son imprescindibles para describir la posición de los objetos y los cambios que dicha posiciónsufre en el transcurso del tiempo, esto es, las propiedades intrínsecas del movimiento. Conceptos esenciales en Mecánica, comopuedan ser, masa, fuerza, energía, etc, están ausentes en la descripción cinemática de un sistema material.

• La Cinemática es, en su mayor parte, una prolongación de la Geometría. En ella aparece una nueva variable, el tiempo,ausente en la descripción geométrica del espacio. La descripción de la posición —y demás propiedades— de un sistema materialen función de la variable temporal, es esencial a la Cinemática.

• Los sistemas materiales más sencillos son el punto y el sólido rígido. Por tanto, se comenzará por la Cinemática delPunto, donde se describe con detalle el movimiento de la partícula material. Posteriormente, se estudiará la Cinemática delSólido donde se analizará el movimiento de un sólido. Conviene dejar claro desde el principio el concepto de sólido rígido, osimplemente, sólido. Un sólido es una sistema de partículas materiales que verifica la siguiente propiedad: la distancia entredos cualesquiera de sus partículas permanece constante en el transcurso del movimiento.

• Se admite que el espacio en el que tienen lugar los fenómenos que se estudian, está caracterizado por tres propiedadesbásicas: es ilimitado, homogéneo e isótropo. Homogéneo significa que sus puntos no presentan propiedades intrínsecas quepermitan singularizarlos, esto es, todos ellos son equivalentes. Isótropo significa que no existen direcciones privilegiadas, estoes, todas las direcciones son equivalentes. En Mecánica Clásica el espacio se describe apropiadamente con ayuda del conceptomatemático de espacio afín euclídeo tridimensional, esto es, un espacio afín asociado a un espacio vectorial euclídeo dedimension tres. Una propiedad característica del tiempo es su irreversibilidad ; está ligada al denominado principio de causalidadsegún el cual, los efectos no pueden ser anteriores a las causas que los provocan. Por ello, el tiempo se considera siempre unavariable real monótona creciente, la misma para todas las referencias, independientemente de su estado cinemático.

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Concepto de curva

Dada una referencia cartesiana rectangular Oxyz, una curvaen el espacio se concibe como la trayectoria seguida por unpunto M en movimiento; la posición ocupada por M en uninstante cualquiera t, está determinada por sus tres coor-denadas (x(t), y(t), z(t)). Por tanto, y desde un punto devista matemático, una curva es un lugar geométricode puntos que dependen continuamente de un únicoparámetro a través de ecuaciones del estilo

x = x(u), y = y(u), z = z(u), u ∈ [u1, u2]

Las funciones (x(u), y(u), z(u)) deben cumplir ciertos requisi-tos de regularidad como enseña la Geometría Diferencial. Porejemplo, no pueden ser las tres constantes, pues en tal casoproporcionarían un punto y no una curva. En general, se suelesolicitar que sean funciones de clase �

3, esto es, que tenganderivadas terceras continuas. Frecuentemente las ecuacionesse escriben en forma condensada como

x = x(u)

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación vectorial de lacurva.

x

y

z

x(u)

y(u)

z(u)

O

M , u

Figura 1.1: Curva en el espacio

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Longitud de arco. Tangente

Dada una curva Γ de representación paramétrica �x = �x(u), sison P y Q dos de sus puntos, que se obtienen para los valoresu0 y u del parámetro, respectivamente, el Análisis Matemáticoenseña que la longitud del segmento de curva comprendido entreP y Q está dada por

L =

∫ Q

Pds =

∫ u

u0

√x2 + y2 + z2du =

∫ u1

u0

| �x (u)|du

Un parámetro longitud de arco es el dado por

s(u) =

∫ u

u0

|�x(u)|du

Secante PQ: pasa por P y tiene la dirección de uno cualquierade los dos siguientes vectores:

�x(u)− �x(u0), o bien�x(u)− �x(u0)

u− u0

Tangente en P : valor límite de la secante PQ cuando Q → P .Pasa por A y tiene la dirección de:

�x (u0) = limu→u0

�x(u)− �x(u0)

u− u0

P, u0

P, u0

Q, u

Q, u

Secante

Tangente

s

�x (u0)

Figura 1.2: Longitud de arco. Tangente

El vector�t =

�x

| �x | =d�x

ds

se denomina vector tangente unitario en P .

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Plano osculador

Sea P (u0) un punto de la curva y T la recta tangente enel mismo. Sea Q(u) otro punto de la curva y π(u) el planodeterminado por la recta tangente T y el punto Q. Dosvectores de la dirección de dicho plano son el �x(u0) y el�x(u)− �x(u0). Por consiguiente, también son vectores desu dirección los siguientes

�x(u0),2

u− u0{ �x(u)− �x(u0)

u− u0− �x(u0)} (1.1)

Cuando el punto Q tiende al punto P , esto es, u → u0,el plano π(u) tiende a una posición límite; dicho planolímite se denomina plano osculador y es fácil ver quedos vectores de su dirección son �x (u0) y �x (u0). Bastacon hacer el límite u → u0 en los vectores de (1.1).El nombre viene de osculo (beso en latín). Literalmente, elplano osculador es el plano que besa la curva. Se subrayaasí el hecho de que, entre todos los planos que pasan porP , el osculador es el que tiene el mayor orden de contactocon la curva.

P, u0

P, u0

Plano π(u)

Plano π(u)

Q, u

Q, u

�x (u0)

�x(u)− �x(u0)

Figura 1.3: Plano definido por la tangente en P y unpunto Q genérico

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Plano osculador

P, u0

Plano osculador

�x (u0)

�x (u0)

�b(u0)

Figura 1.4: Plano osculador de una curva plana

Si la curva es plana, el plano osculador en todos sus pun-tos es el mismo: el plano que contiene a la curva.Si la curva es alabeada, el plano osculador en un puntoP (u0) contiene, en primera aproximación, a los puntos dela curva próximos a P (u0). En efecto, el desarrrollo deTaylor permite poner

�x(u)−�x(u0) = �x (u0)(u−u0)+1

2�x (u0)(u−u0)

2+O((u−u0)3)

Plano normal

De los infinitos planos ortogonales a la recta tangente aΓ en P (u0), el que pasa por P (u0), se denomina planonormal a la curva en P . Tiene por ecuación

�x(u0) · (�y − �x(u0)) = 0

P, u0

Plano normal

�x (u0)

Figura 1.5: Plano normal en P (s0)

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Recta normal principal

De entre todas las rectas normales a la curva en P (u0), lanormal principal es la recta intersección del plano nor-mal y el osculador. Sus ecuaciones se obtienen cortandoambos planos

�x(u0) · (�y − �x(u0)) = 0

(�x(u0)× �x(u0)) · (�y − �x(u0)) = 0

Recta binormal

Se denomina binormal a la recta que pasa por P (u0) yes ortogonal al plano osculador. Su ecuación vectorial es

�y = �x(u0) + λ (�x(u0)× �x(u0)).

Se denomina binormal porque es una recta contenida enel plano normal, y por tanto perpendicular a la tangente,y dentro de ese plano es normal a la normal principal.

Plano rectificante

El formado por las rectas binormal y tangente.

Triedro intrínseco: (�t, �n, �b)

P, u0

Plano normal

Plano osculador

Plano rectificante

Recta tangente

Recta normal principal

Recta binormal

Centro de curvatura

Circunferencia osculatrizEje polar

�t(u0)

�b(u0)

�n(u0)

Figura 1.6: Triedro intrínseco en P (u0)

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Cálculo del triedro intrínseco

Las tres rectas, tangente, normal y binormal forman lasaristas de un triedro que se denomina triedro intrínsecode la curva Γ en el punto P .Los vectores unitarios que marcan la dirección de los tresejes del triedro intrínseco son (�t, �n, �b). Estos vectoresunitarios reciben los nombres

�t → vector tangente unitario�n → vector normal principal unitario�b → vector binormal unitario

Los vectores unitarios del triedro intrínseco se calculan apartir de las expresiones siguientes

�t =�x(u)

|�x(u)|,�b =

�x(u)× �x(u)

|�x(u)× �x(u)|,�n = �b× �t

Además de las aristas del triedro, también se consideranelementos del triedro intrínseco los planos que se cortanen las rectas anteriores.

Triedro intrínseco: (�t, �n, �b)

P, u0

Plano normal

Plano osculador

Plano rectificante

Recta tangente

Recta normal principal

Recta binormal

Centro de curvatura

Circunferencia osculatrizEje polar

�t(u0)

�b(u0)

�n(u0)

Figura 1.7: Triedro intrínseco en P (u0)

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Curvatura

Si el parámetro es una longitud de arco, la derivada primera del vectorposición es el vector tangente unitario

�t = �x′(s)

Obviamente �t(s) · �t(s) = 1 ⇒ �t′(s) · �t = 0. Así, el vector �t

′(s) =

�x′′(s) pertenece al plano osculador y al plano normal; en consecuencia,tiene la dirección de la normal principal.Así pues, la normal principal tiene la dirección del vector �k = �x′′(s),que recibe el nombre de vector curvatura; el vector unitario

�n =�x′′(s)|�x′′(s)|

coincide con el vector normal principal unitario.El vector �x′′(s), cuando se expresa en función de �n, adopta la forma

�x′′(s) = k(s) · �n(s) con k(s) = |�x′′(s)|

donde el escalar k(s) se denomina curvatura de la curva en el puntoconsiderado. Su inverso, que tiene dimensiones de longitud, se denominaradio de curvatura R = 1/k.La curvatura de una recta es, en todos sus puntos, nula (�t es constantey por tanto �t

′= �0). La curvatura de una circunferencia de radio a es

constante y vale k = 1/a. La curvatura en un punto mide la rapidez conla que la curva, en las proximidades del punto, se separa de la tangente.El vector curvatura no cambia cuando cambia el sentido de recorrido dela curva.

Circulo osculador. Centro de curvatura

El círculo de radio R = 1/k, contenido en el plano osculador y cuyocentro está en la normal principal en el semiespacio al que apunta elvector curvatura �k, se denomina círculo osculador de la curva en P .Es el que tienen un contacto de mayor orden con la curva. Su centrose denomina centro de curvatura de la curva en P . Finalmente, larecta que pasa por el centro de curvatura y es paralela a la binormal sedenomina eje polar de la curva en P .El cálculo de la curvatura se lleva a cabo como sigue

k(s) = |�x′′(s)| = |�x′(s)× �x′′(s)|

pues los vectores �x′(s) y �x′′(s) son ortogonales y el primero es unitario.Ahora bien

�x′(s) =�x(u)

|�x(u)|⇒ �x′′(s) =

d

du(�x(u)

|�x(u)|)du

ds

y desarrollando el segundo miembro de esta expresión se obtiene sindificultad el valor de la curvatura

k =|�x(u)× �x(u)|

|�x(u)|3.

Tal como se ha definido la curvatura, k = |�x′(s)| es un escalar positivo,y el vector normal principal unitario �n tiene el mismo sentido que elvector curvatura �k.

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Torsión

De la condición �b(s) · �b(s) = 1 ⇒ �b′(s) · �b(s) = 0. Por tanto

�b′= α�t+ β �n.

De la condición �b(s) · �t(s) = 0 ⇒ �b′(s) · �t(s) = −�b(s) · �t′(s). Es

decir

α = �b′(s) · �t(s) = −�b(s) · �t′(s) = −k(s)�b(s) · �n(s) = 0.

En consecuencia �b′(s) sólo tiene componente sobre la normal prin-

cipal. Es costumbre expresar dicha derivada en la forma

d�b

ds= �b

′= −τ �n

donde el escalar τ recibe el nombre de torsión de la curva en el puntoconsiderado; su inverso, que tiene dimensiones de longitud, T = 1/τrecibe el nombre de radio de torsión.En una curva plana el vector �b es constante y ortogonal al plano de lacurva. En consecuencia la torsión de una curva plana es nula (�b

′= �0).

El recíproco no es cierto, en general, debido a casos patológicos (unacurva plana con un punto de inflexión —por ejemplo, y = x3; se puedegirar 90◦ media curva alrededor de la tangente en el punto de inflexióny pasa a ser alabeada. La curva resultante tendría torsión nula pero nosería plana). Estos casos patológicos se evitan si la curvatura de la curvano se anula: si una curva tiene torsión nula en todos sus puntos, y sucurvatura no se anula en ninguno, es una curva plana.

Cálculo de la torsión

La torsión de una curva en un punto P es una medida de larapidez con que la curva se separa del plano osculador en lasproximidades de P .Si se admite que se dispone de una representación paramétrica en térmi-nos de un parámetro longitud de arco de la curva, la torsión se calculacomo sigue

τ = −�n · �b′ = −�n · {�t × �n}′ = −�n · {�t × �n′} =

= −[�n, �t, �n′] = [�t, �n, �n′]

ahora bien

�n× �n′ =�x′′

k× { �x

′′′

k− �x′′ k′

k2} =

1

k2(�x′′ × �x′′′)

y, en definitiva, se obtiene

τ =1

k2[�x′, �x′′, �x′′′] =

[�x′, �x′′, �x′′′]|�x′′|2 .

Si se dispone de un representación paramétrica en términos de unparámetro cualquiera, no es difícil, mostrar que la torsión está dadapor

τ =[�x(u), �x(u),

...�x(u)] |�x(u)|3

|�x(u)× �x(u)|2

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Fórmulas de Frenet

Las ecuaciones de Frenet se obtienen al expresar lasderivadas respecto del arco de los vectores del triedrointrínseco, (�t, �n, �b), como combinación lineal de los vec-tores del propio triedro intrínseco.La condición �n(s) · �n(s) = 1 ⇒ �n′(s) · �n(s) = 0.Por ello,

�n′ = α�t+ β�b.

De las condiciones �n(s) · �t(s) = 0 y �n(s) · �b(s) = 0 sededucen sin mayor dificultad los valores de α y β.En definitiva, se obtienen las siguientes ecuaciones

d�t

ds= �t

′= k �n

d�n

ds= �n′ = −k�t + τ�b

d�b

ds= �b

′= −τ �n

que reciben el nombre de ecuaciones de Frenet de lascurvas alabeadas.

Teorema fundamental

Las ecuaciones que proporcionan la curvatura y la torsion deuna curva en función de un parámetro longitud de arco

k = k(s), τ = τ(s) (1.2)

se denominan ecuaciones intrínsecas de la curva.A partir de un representación paramétrica de una curva, puedendeducirse sus ecuaciones intrínsecas calculando su curvatura,torsión y longitud de arco. Las ecuaciones intrínsecas son úni-cas y no dependen de la representación paramétrica de la que separta. Las ecuaciones intrínsecas de una circunferencia de radioa son k = 1/a, τ = 0, independientemente de su posición en elespacio.Teorema fundamental de las curvas alabeadas: dadas lasecuaciones intrínsecas (1.2), si las funciones k(s) �= 0 y τ(s)verifican ciertos requisitos de continuidad, entonces definen unaúnica curva en el espacio, salvo traslaciones y giros.Las ecuaciones intrínsecas k(s) = 1/a, τ(s) = 0 con a constante,definen una circunferencia de radio a, salvo traslaciones y girosen el espacio. Ni el plano de la circunferencia ni su centro estándeterminados, es decir, las ecuaciones intrínsecas no determinanla posición de la curva en el espacio, pero determinan unívoca-mente la curva de que se trata.

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Curvas planas

P

θ�t�n

�k

�i

�j

O x

y

Figura 1.8: Curvas planas

En una curva plana se tiene:

�t = (cos θ, sin θ) = (dx

ds,dy

ds)

Por tanto

dx = ds cos θ

dy = ds sin θ

El vector curvatura es

�k = �t′=

ds(− sin θ, cos θ) = (

d2x

ds2,d2y

ds2)

En curvas alabeadas la curvatura k = |�x′′| es siempre positiva y elvector normal unitario �n se elige con el sentido de �k.En curvas planas, sin embargo, es mejor usar un criterio diferente; losvectores intrínsecos (�t, �n) se eligen de forma que tengan la mismaorientación que los vectores (�i, �j) de la referencia cartesiana Oxy.Así, la curvatura está dada por la expresión

k =dθ

ds

y tiene signo positivo cuando el sentido de �n coincide con el de �k;en caso contrario, tiene signo negativo. Si se conoce la ecuaciónintrínseca k = k(s), una integración proporciona:

θ(s) = θ0 +

∫ s

0k(s) ds

y una representación paramétrica de la curva será:

x(s) = x0 +

∫ s

0cos θ(s) ds

y(s) = y0 +

∫ s

0

sin θ(s) ds

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Ejercicio

Calcúlese el triedro intrínseco, en un punto genérico, de la hélicecircular de representación paramétrica �x = (a cos u, a sen u, bu)

Solución: Los vectores �x(u) y �x(u) resultan ser

�x(u) = (−a senu, a cos u, b)

�x(u) = (−a cos u,−a senu, 0)

por tanto, los vectores del triedro intrínseco serán

�t = (− cosα senu, cosα cos u, senα)

�n = (− cos u,− sen u, 0)

�b = (senα senu,− senα cos u, cosα)

donde el ángulo constante α esta definido por

cosα =a√

a2 + b2, senα =

b√a2 + b2

.

Nótese que la tangente a la hélice en uno cualquiera de sus puntosforma un ángulo α con el plano Oxy.La longitud de arco s, la curvatura k y la torsión τ resultan ser:

s =√

a2 + b2 u, k =a

a2 + b2, τ =

b

a2 + b2

O

α

u

x

y

z

�t�n

�b

Figura 1.9: Hélice circular

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