Cercurile mari de pe sfer pentru careconst . se numesc verticale,iar cercurile mici pentru careconst . z se numesc almucantarate. ntre coordonatele orizontale i coordonatele geografice, dintriunghiul sferic nP AP se deduc relaiile:00 0 00 0 0sin sin cos sin( )sin cos sin cos cos sin cos( )cos sin sin cos cos cos( )zzz ' + (3)!ncare0i0s"aunotat coordonatelegeograficealepoluluiP.#cestsistem de coordonate este necesar !n special !n studiul proieciilor o$lice. nprincipiu, liniileprincipale!nproieciesunt %erticalelei almucantaratelecare !n cazul particular c&nd P se confund cu nP se transform !n meridianei paralele.3. Reprezentarea elipsoidului pe sfer3.1. Necesitatea reprezentrii elipsoidului pe sfer'atorit faptului c geometria elipsoidului este mai complicat dec&tcea a sferei, uneori este mai indicat ca pentru rezol%area anumitor pro$lemessee(ecutemai !nt&i reprezentareaelipsoidului pesferi apoi ssee(ecute rezol%area propriu"zis.nunelecazuri, estesuficient sseconsiderecoordonateledepeelipsoid egale cu cele de pe sfer, adic:)s e s e .nacest caz, dac seadopt raza sferei egal curaza medie decur$ur a elipsoidului corespunztoare latitudinii paralelului mediu al zoneide reprezentat, atunci deformarea unghiurilor este de 0 *0 , +cos , sau pentrulatitudinea medie a rii noastre se o$ine ,+ . -.ezult c aceast cale nu poate fi aplicat dec&t pentru proieciilecartografice ale hrilor la scri mai mici ca :+00000./entru rezol%ri mai riguroase, este necesar s se fac reprezentareaelipsoidului pe sfer, folosindu"se legile corespunztoare ale reprezentrii.n paragraf se %a e(emplifica aceast soluie pentru proieciileconforme i se %or da formulele definiti%e pentru cazul reprezentrilorechi%alente i echidistante.3.2. Reprezentarea conform a elipsoidului pe sfer'ac !n relaiile (*+) se adopt:, ,) ) )s e s eu q u q v v i dac se ine seama de relaia () atunci:* 0 * 0* 03 33( )*1 0131e es eeeee ed f d fq f qdq dqdf d fdq dq + ' +KK'ac meridianele i paralelele elipsoidale se reprezint pe sfer totprin meridiane i paralele, atunci 0iiedfdq pentru* i i deci

)s e s eq Kq K K + .(3*).elaiile (3*) reprezint relaiile generale de reprezentare a elipsoidului pe sfer i care definesc o !ntreag clas de proiecii conforme funcie de %alorile constantelor de integrare K i K

. #stfel:" pentru

) )s e s eK q q K + .i reprezint proiecia ela$orat de 2auss !n anul 3**." pentru:

0 K) s eq Kq ) s eK ,3adic coordonatele izometrice de pe sfer sunt proporionale cu coordonatele corespunztoare de pe elipsoid) aceasta este proiecia ela$orat de 2auss !n anul 300.Cea mai rsp&ndit proiecie conform a elipsoidului pe sfer i folosit !n cartografia matematic este aa"numita proiecie 4oll5eide care se o$ine din relaia (3*) cu condiia K i

0 K i deci)s e s eq q (33)adic egalitatea coordonatelor izometrice de pe cele dou suprafee./entru elipsoidul 6raso5s7i, relaiile (33) de%in:,, ,,89* , *3sin * 0 , 98sin 0 )s e e e s e + (30)n aceast proiecie raza sferei se adopt de o$icei egal cu semia(a mare a elipsoidului, iar deformarea este dat de:** sin*e + ,(3+)sau, pentru elipsoidul 6raso5s7i:* 0, 00330sin + .3.3. Reprezentarea echivalent a elipsoidului pe sfer:cuaiile reprezentrii se caut de o$icei su$ forma:( ))s e s ef (38)i care, e%ident, tre$uie s !ndeplineasc condiia de echi%alen:,p m n .ns, pentru cazul reprezentrii elipsoidului pe sfer, se o$in:seRdmMd) coscosseRnN,care, introduse !n condiia de echi%alen conduc la:,, ,,08 , 30sin * 0 , 00sin 0 )s e e e s e + )983-8 R m, iar pentru deformri se o$ine:* * , * 0, 00*cos )0, 00*cos ) - , 8cos m n + , (3-)undesin*a ba b + d deformarea ma(im a unghiurilor.3.4. Reprezentarea echidistana a elipsoidului pe sfer/entrureprezentarea echidistant seimpune condiia ca unul dinmodulii de deformare s fie constant !n tot domeniul reprezentat) de o$icei seimpune condiia ca modulul de deformare pe meridian s fie egal cu unitatea,adic: m ,de unde:s eRd Md i 0

es eMdR .ns, partea dreapt a relaiei de mai !nainte reprezint arcul meridiande la ecuator p&n la paralelul de latitudine epe care"l %om nota cu X) !nacest caz, ecuaiile reprezentrii de%in:,,)s s eXR ,(39)!n care, pentru elipsoidul 6raso5s7i838-++3 R m, iar pentru deformri seo$ine:cos cos cos) sincos * cos coss e se e sR N Rp nN N R +.(00)/rin !nlocuirea arcului de meridian !n relaia (39) relaiilereprezentrii de%in:,, ,,+9 , +-sin * 0 , +0sin 0 )s e e e s e + .(0)*0.elaiile (0) reprezint relaiile finale de reprezentare echidistant aelipsoidului pe sfer. /rin aceast reprezentare se o$ine o deformarema(im a unghiurilor de apro(imati% 8,.4. Proiecii cartografice4.1. Clasificarea proieciilor cartografice/roieciilecartograficeseclasific!nfunciedepunctul de%edereadoptat, astfel:" dup caracterul deformrilor)" dup modul de realizare a reprezentrii i de aici, dup aspectulreelei cartografice.'up caracterul deformrilor aa cum s"a mai artat la paragraful *.proieciile cartografice se clasific !n conforme, echi%alente i ar$itrare.'up modul de realizare a reprezentrii i aspectul reeleicartografice se disting:; proiecii azimutale) la aceste proiecii reprezentarea se face pe unplantangentlasfer!n punctulcentralalzoneide reprezentat.n aceastsituaie, almucantaratele se reprezint ca cercuri concentrice, iar %erticalele ;ca drepte care se intersecteaz !n punctul central.; proieciicilindrice) !n aceast situaie reprezentarea se e(ecut peun cilindru care !n general poate a%ea poziie ar$itrar pe sfer. n cazul !ncare cilindrul este tangent la sfer de"a lungul ecuatorului, atunci meridianelese reprezint ca linii drepte echidistante, iar paralelele ca linii drepteperpendiculare pe imaginile meridianelor) o %ariant a acestora o reprezintgrupa proieciilor pseudocilindrice !n care paralelele se reprezint ca drepteparalele, iar meridianele su$ form de cur$e); proieciiconice) reprezentarea se e(ecut pe un con tangent sausecant la sfer. n aceast situaie, paralelele se reprezint ca cercuri*concentrice, iar meridianele ca drepte con%ergente.