CAPÍTULO I

SISTEMAS DINÁMICOS

1.1. Preliminares

Consideremos una ecuación diferencial de la forma   ),(´ xtfx =                 (1.1)

La variable t es escalar,  R∈t . La función vectorial  nRGf →:  es continua en t y x; G 

es un abierto de  1+nR , y  nRx ∈ . La función vectorial  nRRI →⊂ϕ :  es una solución 

de (1.1) si  )(tϕ  es continuamente diferenciable en I y si  )(tϕ  satisface (1.1).

En algunas  partes  de  la  teoría debemos utilizar     la  derivada de  la  función vectorial 

),( xtf . Estas se denota por dxdf

 e indica la derivada con respecto a la variable espacial 

x, esto significa que dxdf

 es la matriz nxn:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

n

nn

n

xf

xf

xf

xf

dxdf

1

1

1

1

(1.2)

con  ),,,( 21 nxxxx =  y  ),,,( 21 nffff = .

Para el estudio de las funciones vectoriales en  nR  debemos emplear la norma:

S

n

ii fff == ∑

=1. (1.3)

Para una matriz  { }ijnxn aA =  usaremos la norma:

S

n

jiij AaA == ∑

=1,. (1.4)

Es claro que estas son normas sii f es un vector constante y A es una matriz constante. 

Es apropiado definir una norma de f y A cuando estos dependen explícitamente de las 

variables  t  y x. Supongamos que hemos considerado la función vectorial   ),( xtf  para 

bta ≤≤  y  nRGx ⊂∈ , G es acotado, entonces:

GxbtafSupf

∈≤≤

=sup (1.5)

∑=

=n

jiijaA

1,sup (1.6)

Además la expresión  ∫ xdt  será la forma abreviada del campo vectorial:( )∫ ∫ ∫ ∫= dtxdtxdtxxdt n,,, 21 (1.7)

Cuando se considere mapeos T(x), se asumirá que:

)()(

))(()(0

1

xTxT

xTTxT kk

=

= −(1.8)

1.2. Sistemas dinámicos.

Un  sistema  dinámico  puede   ser   definido   como  una  prescripción  matemática 

determinista que involucra los estados de un sistema a lo largo del tiempo. El tiempo se 

puede considerar como una variable continua o como una variable discreta que asume 

valores enteros. Un ejemplo de un sistema dinámico en el cual el tiempo (denotado por 

t) es una variable continua es un sistema de N ecuaciones diferenciales de primer orden,

),,,,(

),,,,(

),,,,(

21

2122

2111

NNN

N

N

xxxtFdt

dx

xxxtFdt

dx

xxxtFdtdx

=

=

=

(1.9)

2

el cual a menudo se escribe como:

))(,()(

txtFdt

tdx = (1.10)

donde x es un vector N dimensional, ie,  NRx ∈ . si en F no aparece explícitamente el 

tiempo,

))(()(

txFdt

tdx = (1.11)

se dice que el sistema es Autónomo o Independiente del tiempo.

Las  ecuaciones   (1.10)  y   (1.11)   son  un   sistema dinámico  porque,  para  algún 

estado inicial del sistema x(0) , podemos en principio resolver las ecuaciones y obtener 

el estado futuro del sistema x(t )  para t > 0. La Figura 1 muestra el camino seguido por 

los estados del sistema a través del tiempo para el caso de N = 3. El espacio  ( )321 ,, xxx  en la figura se  le conoce como  espacio de fase  y el  camino en el  espacio   de fase 

seguido por el sistema a lo largo del tiempo, empezando en x(0) = x0, se le conoce como 

órbita  o  trayectoria.  También  es  común  referirse  a  un sistema dinámico  de   tiempo 

continuo como flujo; esta última terminología es aparentemente motivada considerando 

las trayectorias generados por todas las condiciones iniciales en el espacio de fase como 

los caminos seguidos por las partículas de un fluido a lo largo del tiempo (Fig. 2).

Fig(1). Una órbita en un espacio

            3dimensional .

         

Fig(2). Trayectorias consideradas 

como flujo en un espacio 

2 dimensional.

3

1x

3x

2x

)0(x

)(tx

)0(x

1x

2x

En el caso de tiempo discreto con valores enteros (n denota el tiempo variable, 

,2,1=n ), un ejemplo de sistema dinámico es un mapeo de la forma:

)(1 nn xMx =+ (1.12)

donde  nx  es Ndimensional. Dando una condición inicial x0, obtenemos el estado en el 

tiempo n = 1 por  )( 01 xMx = . Habiendo determinado x0, obtenemos el estado en n = 2 

por  )( 12 xMx = , y así sucesivamente. Así, una condición inicial x0, genera una órbita o 

trayectoria de el sistema de tiempo discreto:  ,,,, 10 nxxx .

Una ecuación diferencial de orden N,

),,,,(1

1

2

2

−

−=

N

N

N

N

dt

xd

dt

xddtdx

xFdt

xd (1.13)

donde  ( )Mxxxx ,,, 21 =  se puede transformar en un sistema (1.11) por el cambio de variable:

1

1

2

2

12

2

321 ,,,,, −

−

−

−

− ===== NN

NN

N

Ndt

xdy

dt

xdy

dt

xdy

dtdx

yxy

con lo cual  (1.13) se transforma en un sistema Ndimensional:

),,,('

'

'

'

21

1

32

21

NN

NN

yyyFy

yy

yy

yy

==

==

−

(1.14)

Si  en (1.14) se   consideran  las  coordenadas  de cada   ),,,( 21 iMiii yyyy = ,  este  se 

transforma en el sistema NxMdimensional,

),,,('

'

21,

,1

NjjN

jiji

yyyFy

yy

=

= +      

Mj

MjNi

,,1,,,1;1,,1,

==−=

(1.15)

donde  ),,,( 21 MFFFF = .

1.3. Existencia y unicidad

4

En este   sección  estudiaremos   las   condiciones  que  debe   satisfacer   la   función 

vectorial   )x,t(f  de la ecuación diferencial con valor inicial:

),(' xtfx =   con    00 )( xtx = (1.16)

para que exista y se garantice una solución   (t)ϕ  de (1.16). Este problema también es 

conocido  como  problema de Cauchy.  Obsérvese  también que  la  ecuación (1.16)  es 

equivalente a la ecuación integral:

∫+=t

t

dssxsfxtx0

0 ))(,()( (1.17)

(1.17) se sigue por integración de (1.16), usando el teorema fundamental del cálculo.

Definición 1.3.1(Punto fijo): 

Un  punto fijo  de un mapeo   XXT →:   de un conjunto  X  en sí mismo, es un 

punto   Xp ∈  el cual es mapeado en sí mismo por T:

ppT =)( (1.18)

Definición 1.3.2(Contracción):

Sea   ),( dXX =   un  espacio  métrico.  Un  mapeo   XXT →:   es   llamado  una 

contracción en X sii existe un número real  10

Elijamos   Xx ∈0   y   definamos   la   “sucesión   iterativa”   )(1 nn xTx =+   ó 

)( 01 xTxn

n =+ . Probaremos que  { }nx  es de Cauchy.))(),((),( 11 −+ = mmmm xTxTdxxd

))(),((),( 211 −−− α=α≤ mmmm xTxTdxxd

),( 21

2−−α≤ mm xxd

),(),( 011 xxdxxdm

mm α≤+

Por tanto para n>m:

),(),(),(),( 1211 nnmmmmnm xxdxxdxxdxxd −+++ +++≤

      ( ) ),( 10121 xxdnmmm −++ α+α+α+α≤        ),(

1)1(

10 xxdmnm

α−α−α

=−

Puesto que  10

El teorema del punto fijo de Banach se utilizará para encontrar una solución al 

problema de Cauchy y garantizar la existencia de esta solución. Solo se exige a  ),( xtf  

de (1.17) que satisfaga la siguiente definición:

Definición 1.3.3(Función Lipschirtziana):

Considérese   la   función   ),( xtf   con   nn RRf →+1: ,     nRDxatt ⊂∈≤− ,0 , 

),( xtf  satisface la Condición de Lipschitz con respecto a x, si en  [ ] Datat ×+− 00 ,  se cumple:

2121 ),(),( xxLxtfxtf −≤−

donde  Dxx ∈21,  y L son constantes. A L se le conoce como constante de Lipschitz.

La  Condición de Lipschitz juega una parte esencial en el siguiente teorema:

Teorema 1.3.2(De la existencia y Unicidad de Picard):

Sea  f  continua   y   acotada   ( cf < )   en   [ ] Dba ×=Ω ,   ,   con 

{ }bxxRxD n

β≤− cxtx 0)(

Se observa que C* es cerrado en C(I ) y es completo . Por (1.16) se puede ver que el 

problema de Cauchy consiste en resolver  )(xtx =  donde:

∫+=t

t

dssxtfxxT0

0 ))(,()( (1.20)

Se ve que T es definida para todo  *Cx ∈ , pues  bc

1.4. Desigualdad de Gronwall.

Fue   introducida   por   Gronwall   en   1918.   Las   aplicaciones   a   la   teoría   de   las 

ecuaciones  diferenciales  son de fecha  posterior  y debemos mencionar  el  nombre de 

Richard   Bellmen   al   respecto.   Presentaremos   dos   versiones   de   la   desigualdad   de 

Gronwall que son las que más utilizaremos aquí.

Teorema 1.4.1(Gronwall).

Asumamos que para  attt +≤≤ 00 , con  a > 0, tenemos la estimación:

30

1 )()()( δ+φψδ≤φ ∫t

t

dssst (1.22)

en la cual, para  attt +≤≤ 00 ,  )(tφ   y   )(tψ  son funciones continuas,  0)(,0)( ≥ψ≥φ tt  

y  21,δδ  son constantes positivas. Entonces, para  attt +≤≤ 00 :

∫ψδ

δ≤φ

t

tdss

et 01 )(

3)((1.23)

Prueba.

De la estimación (1.22) se deriva:

1

)()(

)(

30

1

≤δ+φψδ

φ

∫t

t

dsss

t

Multiplicando por  )(1 tψδ  e integrando:

∫∫∫

ψδ≤δ+ττφτψδ

φψδ t

t

t

ts

t

dss

d

dsss

01

03

01

1 )(

)()(

)()(

Así: ∫∫ ψδ≤δ−δ+φψδt

t

t

t

dssLndsssLn0

130

31 )()())()((

De lo cual:∫ψδ

δ≤δ+φψδ ∫

t

tdss

edssst

t

01

)(

330

1 )()(

Entonces: ∫ψδ

δ≤φ

t

tdss

et 01

)(

3)(.   Lqqd.

9

Es interesante probar que si  03 =δ  implica que  0)( =φ t   en  attt +≤≤ 00 .

Una versión modificada es:

Teorema 1.4.2. 

Asumamos que para  attt +≤≤ 00 , a > 0, se tiene la estimación

  31020

)()()( δ+φδ+−δ≤φ ∫t

t

dssttt (1.24)

y  0)( ≥φ t  y continua en  attt +≤≤ 00 ,   321 ,, δδδ   son constantes mayores o iguales a 

cero. Entonces para  attt +≤≤ 00 ,

1

23

1

2)(

)( 1δδ

−−δ

δ+

δδ

≤φtot

t e . (1.25)

Prueba.

Sea 1

2)()(δδ

−ψ=φ tt , entonces:

30 1

2102

1

2 )()()( δ+

δδ

−ψδ+−δ≤δδ

−ψ ∫t

t

tttt , y de lo cual:

31

2

01 )()( δ+δ

δ+ψδ≤ψ ∫

t

t

dsst

Aplicando el teorema 1.4.1:

)()( 013

2

1tt

t e−δ

δ+

δδ

≤ψ

Reemplazando   )(tψ :

)(

1)( 013

1

22tt

t e−δ

δ+

δδ

≤δδ

+φ   Lqqd.

Aplicaremos la desigualdad de Gronwall para estudiar la dependencia de una 

solución de sus condiciones iniciales.

Teorema 1.4.3.

10

Sea la ecuación   ),(' xtfx =   y    nRx ∈ , ),(,0,: 1 xtftRRf nn ≥→+   satisface la 

condición   de   Lipschitz   con   constante  L  y   es   continua   en    t  y  x.   Considérese   los 

problemas de valores iniciales:

axxtfx == )0(),,(' , cuya solución es  )(0 tx  en I.

η+== axxtfx )0(),,(' , cuya solución es  )(tx∈  en I.

Si  ≤ ∈η ,   )0(∈> , entonces:

Lttxtx e≤ ∈− ∈ )()(0 , en el intervalo I.

Prueba.

Los   dos   problemas     de   valores   iniciales   son   equivalentes   a   las   ecuaciones 

integrales:

∫ τττ+=t

dxfatx0

0 ))(,()(    y     ∫ τττ+η+= ∈∈t

dxfatx0

))(,()(

Restando y aplicando la  desigualdad triangular:

∫ τττ−ττ+η≤∈− ∈t

dxfxftxtx0

0 ))(,())(,()()(0

Y usando la condición de Lipschitz:

∫ ττ−τ+≤ ∈− ∈∈t

dxxLtxtx0

00 )()()()(

Aplicando la desigualdad de Gronwall con  = ∈δ−=φ=ψ=δ ∈ 301 ,)()()(,1)(, txtxtsL  

se obtiene:

Lttxtx e≤− ∈ )()(0

1.5. Ecuaciones Autónomas.

Consideremos ahora la ecuación autónoma:   )(' xfx = (1.26)

Para caracterizar las soluciones de las ecuaciones autónomas debemos usar tres 

conjuntos especiales de soluciones: soluciones de equilibrio o estacionarias, soluciones 

periódicas y manifolds integrales.

Empecemos   con   una   simple   pero   importante   propiedad   de   las   ecuaciones 

autónomas:

11

Lema 1.5.1. (Propiedad de traslación).

Supóngase que tenemos una solución  )(tφ  de la ecuación (1.26) en un dominio 

nRG ⊂ , entonces  )( 0tt −φ , con t0 constante, también es solución.

Prueba.

Transformemos   τ→t ,  con   0tt −=τ .  Reemplazando  t  por   τ   en la  ecuación 

(1.26), esta no varía:

))(()(

τφ=ττφ

fd

d

Puesto que  dtd =τ  se tiene: ))(()(

00 ttf

dt

ttd−φ=

−φ  entonces   )( 0tt −φ   es una 

solución de (1.26).

El lema (1.5.1) indica que si el problema de valor inicial   0)0(),(' xxxfx ==  

tiene por solución a    )(tφ , entonces el problema de valor inicial    00 )(),(' xtxxfx ==  

tiene por solución a   )( 0tt −φ .

Las soluciones  )(tφ   y   )( 0tt −φ  que hemos obtenido son diferentes. Pero en  el 

espacio de fase estas soluciones corresponden a la misma curva orbital. La propiedad de 

traslación es importante para el estudio de soluciones periódicas y para la   teoría de 

sistemas dinámicos.

Un punto en el    espacio de fase con coordenadas   ( ))(,),(),( 21 txtxtxx N= , para cierto t, es llamado punto de fase. En general, por incremento de t, un punto de fase 

se   mueve   a   lo   largo   del     espacio   de   fase.   La   ecuación   (1.26)   es   escrita   en   sus 

componentes:

),()(' xftx ii =      Ni ,,1 =

Usaremos uno de los componentes de x, en primera instancia x1, como una nueva 

variable independiente; esto requiere que  0)(1 ≠xf . Con este cambio se obtiene:

)(

)(

)()(

11

1

2

1

2

xf

xf

dx

dx

xf

xf

dx

dx

NN =

=

(1.27)

12

Las   soluciones   de   (1.27)   son   llamadas   orbitas.   Aplicando   el   teorema   de 

existencia y unicidad en (1.26) y (1.27) se observa que las orbitas en un espacio de fase 

no se interceptan. por supuesto esta conclusión se excluye para las singularidades de 

(1.27) que corresponden a los ceros de  f1(x). si  f2(x) no tiene ceros, tomamos  x2 como 

variable independiente e intercambiamos los roles de f1(x) y f2(x). Si los ceros de f1(x) y 

f2(x) coinciden, tomamos a  x3  como una variable independiente, así sucesivamente. El 

problema real por tanto consiste en encontrar un punto  ( )Naaaa ,,, 21 =  tal que:0)()()( 21 ==== afafaf N

El punto  nRa ∈  es un cero de la función vectorial f (x) y los llamaremos punto  

crítico; algunas veces lo llamaremos punto de equilibrio.

Definición 1.5.1.

El  punto   ax =   con   0)( =af   es     llamado  un  punto   crítico  de   la   ecuación 

)(' xfx = .

Un punto critico de la ecuación en el  espacio de fase puede ser considerado 

como una orbita degenerada  en este punto.

Notar también que un punto critico corresponde con una solución de equilibrio o 

estacionaria de la ecuación, pues  atx =)(  satisface la ecuación para todo tiempo.

Del teorema de existencia y unicidad se sigue que una solución de equilibrio no 

puede encontrarse en tiempo finito (Si una solución de equilibrio se encontrase en un 

tiempo finito, dos soluciones deberían  interceptarse).

Definición 1.5.2.

Un punto critico   ax =   de la ecuación   )(' xfx =   en   nR   es   llamado Atractor 

Positivo   si   existe   una   vecindad   na R⊂Ω   de  a  tal   que     si   atx Ω∈)( 0   implica 

atxLimt

=∞→

)( . Si un punto critico tienen esta propiedad para  −∞→t , entonces  ax =  es 

llamado Atractor Negativo.

1.6. Soluciones Periódica.

Definición 1.6.1.

13

Supóngase que  )(tx φ=  es una solución de la ecuación  )(' xfx = ,  nRDx ⊂∈  y 

supóngase que existe un numero positivo  T  tal que   )()( tTt φ=+φ   para todo   nRt ∈ . 

Entonces  )(tφ  es llamado una solución periódica de la ecuación con periodo T.

Si   )(tφ   tiene periodo T entonces la solución también tiene periodo 2T, 3T, etc. 

Supongamos  que T es el periodo mas pequeño y  llamaremos a  )(tφ  Tperiódica.

Considérese el espacio de fase correspondiente a la ecuación autónoma (1.26). 

Para una solución periódica se observa que después de un tiempo T,  )(tx φ=  asume el 

mismo valor en  nR . Así una solución periódica produce una orbita cerrado o ciclo en el 

espacio de fase. Probaremos esta afirmación en el siguiente lema:

Lema 1.6.1.

Una solución periódica de el sistema autónomo (1.26) corresponde a  una orbita 

cerrada  en   el   espacio     de   fase  y  una  orbita   cerrada  corresponde   con  una   solución 

periódica.

Prueba.

Se ve fácilmente que una solución periódica produce una orbita cerrada en el 

espacio   de   fase.   Probaremos   que   una   orbita   cerrada   corresponde   a   una   solución 

periódica. Consideremos una orbita cerrada C en el  espacio  de fase y un punto  Cx ∈0 . 

Sea  )(tφ  la solución de (1.26) con  0)0( x=φ , esta traza la orbita C. Por el teorema  de 

existencia y unicidad,  C no puede contener un   punto critico, así   0)( >≥ axf  para 

Cx ∈ . Esto implica que  0' >≥ ax    y por tanto, en un cierto tiempo t = T, debemos 

retornar  a  x0.    Ahora  debemos probar  que   )()( tTt φ=+φ   para   Rt ∈ .  Notar  que se 

puede escribir  1tnTt += , con  Zn ∈  y  Tt

corresponden con soluciones periódicas puesto que la propiedad de traslación   no es 

válida en ellos. Como ejemplo de esto, considérese el sistema:

txy

tyx

2'2'−=

=

Este  tiene  como soluciones   )()(),()()( 2222 tCostSinytSintCostx β+α−=β+α= .  En 

el plano de fase x, y se tiene orbitas cerradas, pero con soluciones no periódicas.

1.7 Primeras integrales y curvas Integrales

La ecuación (1.27) en la cual el tiempo ha sido eliminado, puede ser integrada en 

algunos casos, lo que produce una relación entre las componentes del  vector solución. 

Como ejemplo, veamos el caso del   oscilador armónico  0'' =+xx , se puede encontrar 

que:

( ) Exx =+ 2221

'21

donde  0≥E  es una constante determinada por las condiciones iniciales. Llamaremos a 

esta  expresión una  “primera   integral”  de  la  ecuación del  oscilador  armónico.  En el 

espacio de fase esta relación corresponde para   0>E   con una manifolds,  un circulo 

alrededor   del   origen.   Para     verificar   que   )(tx   y   )(' tx   satisface   esta   relación, 

diferenciamos:

0)''(''''' =+=+ xxxxxxx

donde hemos usado el hecho que  x(t ) resuelve la ecuación.

Para   definir   generalmente   una   “primera   integral”,   debemos   introducir   el 

concepto de “derivada orbital”.

Definición 1.7.1 Considérese   la   función  diferenciable   RRF n →:   y   la   función 

vectorial  nRRx →: . La derivada Lt de la función F a lo largo de la función vectorial x, 

parametrizada por t, es:

'''' 22

11

nn

t xxF

xxF

xxF

xxF

L∂∂

++∂∂

+∂∂

=∂∂

=

donde  nxxx ,,, 21  son los componentes de x. Lt es llamada derivada orbital.

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Definición 1.7.2.

Considérese   la   ecuación   )(' xfx = nRDx ⊂∈ ;   la   función  F(x)   es   llamada 

“primera integral”  de la ecuación si en D se cumple:

0=FLt

con respecto a la función vectorial x(t).

Se sigue de la definición que la primera integral F(x) es constante a lo largo de 

las soluciones. Por ello, las primeras integrales son llamadas algunas veces “constantes 

de movimiento”. Por otro lado, F(x) = Cte será una curva de nivel de la función F(x) y 

estos  niveles  contienen  las  orbitas  de  la  ecuación.  Todas  estas  orbitas  son  llamadas 

“manifolds integrales”. Si encontramos las manifolds integrales de una ecuación, nos 

ayudara a comprender la construcción de el espacio de fase de esta ecuación.

Ejemplo 1.1.

La ecuación de segundo orden   0)('' =+ xfx   tiene como primera integral a la 

función:

∫ ττ+=x

dfxxxF )('21

)',( 2

Ejemplo 1.2.

En la ecuación armónica  0'' =+xx , la primera integral es  2221

'21

)',( xxxxF += . 

La familia  de círculos   ExxxxF =+= 2221

'21

)',( ,   0≥t ,  corresponde al  conjunto de 

manifolds integrales.

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Ejemplo 1.3.

Para la ecuación  0)('' =+ xSinx , la primera integral es  )(2'

)',(2

xCosx

xxF −= . 

Las orbitas corresponden con las curvas  .)',( CtexxF =

Ejemplo 1.4.

Si  2

)(2x

xxf −= ,   la   primera   integral   es:  622

')',(

322 xxxxxF −+=   y   las 

manifolds integrales son:

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Ejemplo 1.5.

Sea las ecuaciones:  i

ii

i pH

qqH

p∂∂

=∂∂

−= ';' ,   ni ,,1= ,   llamadas las ecuaciones 

de Hamilton,  en la cual H es una C2función de 2n variables  pi,  qi.  Se ve que H es una 

primera integral de las ecuaciones de Hamilton pues:

∑=

=

∂∂

+∂∂

=n

ii

ii

it qq

Hp

pH

HL1

0''

H a menudo es llamada Hamiltoniano y Integral de Energía, lo cual se aplica a el caso 

en  que  H  es   la  energía  de  un sistema mecánico,  cuya  dinámica  es  descrita  por   las 

ecuaciones de movimiento de Hamilton.

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CAPÍTULO ISISTEMAS DINÁMICOS