Método dos Estados Limites

No passado Normas de Dimensionamento Estrutural → tensões admissíveis.

RF S

Sni

i. .>∑

Normas de Dimensionamento Estrutural Atuais → Estados limites

φ Rn > ∑ γqi Sni

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Exemplo 1

Bloco → Área = 100mm2

Colapso com 10000N

σf = P / A = 10000/100 = 100N/mm2 →

= 100MPa

Tensões admissíveis G = 2 → σw = σf /2 = 50MPa • CASO A

A carga estimada é de 10000N; A Companhia Siderúrgica especifica σf = 300MPa; O calculista adota σw = 300/2 = 150MPa; O calculista especifica: A = 10000/150 = 67mm2; Porém, o bloco possui apenas σf = 100MPa.

Isto implica na ruína com P = 6700N → responsabilidade da Siderúrgica.

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• CASO B

O bloco será projetado para resistir a uma carga de 10000N;

O fabricante especifica σf = 100MPa;

O calculista especifica: A = 10000/( 100/2 ) = 200mm2;

Porém, o bloco só resiste a 67MPa = σr;

Conseqüentemente, Pu = 200 67 = 13400KN;

Não há falha pois 13400 > 10000KN.

Todos satisfeitos mas ignorantes da segurança do bloco.

• CASO C

O bloco para resistir a uma carga de 10000N;

O fabricante atesta σf = 100MPa;

O calculista especifica: A = 10000/( 100/2 ) = 200mm2 → G =2;

Porém, o bloco só resiste a 67MPa = σr;

Consequentemente, Pu = 200 67 = 13400KN;

Contudo, um aumento de sobrecarga ocorre elevando a mesma para 15000 KN.

Isto leva à ruína → todos insatisfeitos

Porém σr / σw = 67/100 = 1 / 1,5 > 1/2 (50/100) → adotado

e Pmáx / Pw = 15000 / 10000 = 1,5 < 2

Fator de Segurança único → falsa expectativa de segurança de 100%.

Principais motivações → método onde expectativa de segurança →

mais uniforme.

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Estados limites de utilização → deixa de ser adequada para o que se destina: * deformações excessivas; * vibrações; * corrosão; * fissuração; * fadiga (reparável).

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Estados limites últimos → parte da estrutura, ou toda estrutura, atinge a ruína:

* plastificação não contida; * ruptura de seções críticas da estrutura; * flambagem (local ou global); * flambagem lateral; * deslizamento ou tombamento; * resistência; * fadiga; * esmagamento do material; * falha nas fundações.

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Método dos estados limites → natureza não determinística das ações e das resistências

Figura 1 - Magnitude de S, R

Método dos Estados Limites → definição → parâmetros/grandezas fundamentais.

σ2 =

( )R R

n

ii

n

−=∑

1

2

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σr = σ r2 (desvio padrão)

Vr = σ r

R (coeficiente de variação) → admensional (%)

Função da variável aleatória X e a função de densidade do logaritmo de X:

X = R - S X = ln R - ln S X = ln RS

Figura 5a - Probabilidade de ruína (X = R - S)

Figura 5b - Probabilidade de ruína (x = lnR - lnS)

ln X = ln R - ln S = ln R/S

ln ln / ln lnX R S R S= = − ln X R S X= =ln / . lnβ σ

β, índice de segurança, representa o número de desvios padrões que ln X > 0

Quanto maior for β, menor será a área hachurada e menor será a probabilidade de ruína.

Todavia, a adoção de um parâmetro β muito grande leva a estruturas anti-econômicas.

ln X < 0 ln (R/S) < 0 (R/S) < 1 R < S

X < 0 R - S < 0 R < S → ruína

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Distribuição da resistência → amostragem da tensão de escoamento

Figura 2 - Resultados de laboratório Resistência de uma peça de aço é também afetada pela:

-variação na geometria -incertezas das hipóteses simplificadoras adotadas no método de cálculo.

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Resistência da estrutura→ reduzida por um fator adequado seja sempre maior que o

efeito das ações → majoradas por fatores convenientes

Rd > Sd

φ Rn > ∑ γqi Sni

φ e γ, → probabilidade de ruína adequado → período de recorrência adotado:

n - anos → Pa = 1

T

Pn = 1 - T

T

n−

1

(onde T corresponde ao tempo de recorrência)

Probabilidades aceitáveis de ruptura Meus projetos ou minhas construções Pr = 0

Outros projetos Pr = 1 x 10-3 a 1 x 10-5 Riscos aceitáveis para a sociedade

Riscos aceitáveis por pessoas ousadas 10-3 / ano Riscos aceitáveis por pessoaa cuidadosas 10-4 / ano

Riscos inevitáveis 5 x 10-5 / ano Riscos aceitáveis nas estruturas (Rüsch, Rackwitz)

Colapso sem aviso com sérias consequências (Ex. ruína de colunas, ruptura do solo, fratura ,etc.

Pr = 10-5 a 10-7 / ano

Ruptura com aviso (mecanismos plásticos ou concreto armado, recalque nas fundações, etc.)

Pr = 10-4 / ano

Comportamento insatisf. sem perigo de colapso Pr = 10-2 a 10-3 / ano Probabilidades de eventos aceitáveis na sociedade

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Figura 3 - Taxa anual de mortes de pessoas por ano

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1.4 - Ações Ações → classificadas em três classes de acordo com a sua natureza: Permanentes (G): incluem peso próprio da estrutura e peso de todos os elementos

componentes da construção.

Variáveis (Q): sobrecargas decorrentes do uso e ocupação como equipamentos, divisórias, móveis, sobrecargas em coberturas, pressão hidrostática, empuxo de terra, vento e variação de temperatura.

Excepcionais (E):

ações de grande intensidade e baixa probabilidade de ocorrência como explosões, choques de veículos e efeitos sísmicos.

Variação: carga permanente (G), variável tipo sobrecarga (Q) e variável tipo vento (W).

Figura 4 - Ações

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Variações das ações e resistências podem ser expressas por:

Vs2 = Ve

2 + Vt2

* Ve é o fator de incerteza no cálculo das cargas;

* Vt é a variância da carga nominal total.

Vr2 = Vm

2 + Vg2 + Vp

2

* Vm é a incerteza dos materiais (p. ex. resistência real de uma solda);

* Vg relaciona a geometria (p. ex. largura real da perna de uma solda → ver figura 6);

* Vp é o fator profissional (p. ex. precisão na determinação dos efeitos das forças na

solda relativo ao uso de uma determinada metodologia de cálculo).

Figura 6 - Exemplo de uma solda

Para relacionar o parâmetro β com γ, e φ, tem-se que:

(σln X)2 = Vr2 + Vs

2 ln ( )R S V Vr s/ = +β 2 21

2

( )R S e V Vr s/ =+β 2 2

( )R S e V Vr s=+. β 2 2

( )φγ β

=∑ − +

R

RS

Sei i V VR S

2 2

* O parâmetro φ depende doparâmetro γ e vice-versa;

* Quando o parâmetro φ decersce, o parâmetro γ também decresce ;

* O parâmetro φ é proporcional à razão R R/ ;

* Quando o parâmetro φ decresce, a variância das resistências cresce ;

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* O parâmetro φ é influenciado pela razão S S/ e pela variância das ações, Vs ;

Determinar um valor adequado para β e através dele quantificar os coeficientes

de ponderação das ações e resistências γ e φ,

Figura 7 - Relação de β com as probabilidades de ocorrência

* Tabela 2 - Valores de β e Pf pela Norma Canadense (CAN S16-89): Concreto Armado

Flexão β = 4,2 Pf = 1,3 x 10-5 Compressão β = 5,22 Pf = 2 x 10-7

Cisalhamento β = 3,64 Pf = 1,3 x 10-4 Aço Estrutural

Escoamento β = 3,86 Pf = 5,8 x 10-5 Compressão β = 4,69 Pf = 1,4 x 10-6

Figura 8 - Comparação dos valores de β

β P (X ≤ A) 1,0 0,1587 1,28 0,1 1,64 0,05 2,32 0,01 3,0 1,35 x 10-3 3,5 1,1 x 10-4 4,0 3,2 x 10-5 4,5 -

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Exemplo 2 - Dimensionamento de um chumbador de uma caixa d’água.

As cargas atuantes são:

* P = 800KN (peso próprio);

* W = 400KN (vento).

A tração no chumbador pode ser avaliada através de:

T = ( )

4

80025,4400 − = 50KN

Usando-se G = 2 prevê-se o colapso em 100KN espera-se majorar as cargas em 100%.

Todavia, se P’= 0,9P e W’= 1,1W pode-se recalcular o valor da tração no chumbador:

T’= ( )

4

80029,05,44001,1 − = 135KN o que leva à ruína do chumbador.

Com o uso de uma combinação de carga que minore a carga permanente quando esta

estiver em sentido reverso ao das outras cargas atuantes na estrutura, ou seja:

∑ γi Si → γ = 0,85 para o caso de solicitação reversa.

32 Exemplo 3

Seja a viga coluna ao lado: Esta viga coluna está submetida a: Força normal: P e

Momento fletor: M ≅

ql

PPe

2

8

1− (Pe = carga de Euler)

A tensão normal máxima pode ser avaliada por:σ = NA

MS

+

Quando se dimensiona a seção para que σ = Fy

18, (onde Fy é a

tensão de escoamento).

Relação PPe

, um acréscimo bem inferior a 80 % nas ações, pode esgotar esta segurança.

Admita-se, por exemplo, que PPe

= 0,5 e que as ações sofram um acréscimo de 40 %.

N = P N’= 1,4 P

M = ql

ql2

28

1 0 52

8−=

, M’=

1 48

1 1 4 0 54 7

8

2

2,

, ,,

ql

xql

−=

se o momento fletor influir muito na tensão normal, ultrapassa limite de escoamento.

Para uma variação de 40%, o momento fletor foi amplificado em 235%.

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PROPRIEDADES DAS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

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