145

8.1. Trabajo

El trabajo W invertido sobre un sistema por un agente que ejerce una fuerza

constante sobre el sistema es el producto escalar del vector fuerza por el

vector desplazamiento, que da como resultado al producto de la magnitud F

de la fuerza, la magnitud r del desplazamiento del punto de aplicacin de

la fuerza y cos , donde es el ngulo entre los vectores fuerza y

desplazamiento, as:

= . =

Ejemplo: Un bloque de 2,5 kg de masa se empuja 2,2 m a lo largo de una

mesa horizontal sin friccin por una fuerza constante de 16 N dirigida 25

debajo de la horizontal. Determine el trabajo invertido sobre el bloque por la

fuerza aplicada.

Solucin:

F = 16 N

r = 2,2 m

= 25

W = F x Cos = 16 x 2,2 x Cos 25 W = 31,9 J

8.1.1. Clculo del trabajo a partir de una grfica

Una fuerza que acta sobre una partcula vara con x como se muestra

en la figura. Calcule el trabajo consumido por la fuerza en la partcula

conforme se traslada de x = 0 a x = 6 m.

CAPTULO VIII:

TRABAJO, ENERGA

Y POTENCIA

146

En este caso, el trabajo se puede determinar calculando el rea bajo

la curva, as:

WA-B = 5 x 4 = 20 J

WB-C = (5 x 2) = 5 J

Luego el trabajo total ser: W = 20 + 5 = 25 J

8.1.2. Trabajo consumido por un resorte

Un bloque sobre una superficie horizontal sin friccin se conecta a un

resorte. Para muchos resortes, si el resorte esta estirado o

comprimido una distancia pequea desde su configuracin sin estirar

147

(en equilibrio), ejerce en el bloque una fuerza que se puede

representar matemticamente como:

=

k: constante del resorte (N/m)

x: posicin del bloque (m)

Luego el trabajo realizado por el resorte viene dado por:

= 1

2 2

Ejemplo:

Si un resorte se estira 2 cm por un objeto

suspendido que tiene una masa de 0,55

kg, a) cul es la constante de fuerza del

resorte? b) Cul es el trabajo que

invierte el resorte en el objeto?

Solucin:

x = 0,02 m

F = mg = 0,55 x 10 = 5,5 N

a) k = F/x = 5,5 /0,02 = 270 N/m

b) = 1

2 2 =

1

2 270 0,022 = 0,54

8.2. Energa

8.2.1. Energa Cintica (K)

La energa cintica de un objeto puede calcularse por:

= 1

2 2

K: energa cintica

m: masa

v: velocidad

8.2.2. Trabajo Energa Cintica

El trabajo est relacionad con la energa cintica segn:

= 1

2

2 1

2

2 =

148

Ejemplo:

Un bloque de 6 kg, inicialmente en reposo, se jala hacia la derecha, a

lo largo de una superficie horizontal sin friccin, mediante una fuerza

horizontal constante de 12 N. Encuentre la rapidez del bloque

despus de que se ha movido 3 m.

Solucin:

Por la frmula del trabajo:

W = F x Cos = 12 x 3 x 1 = 36 J

= 1

2

2 1

2

2

36 =1

2 6

2 0

vf = 3,5 m/s

8.2.3. Energa Potencial (U)

La energa potencial se determina por:

U = mgy

Ug: energa potencial

m: masa

g: aceleracin de la gravedad

y: elevacin del objeto

Ejemplo:

Un nio de 400 N est en un columpio unido a cuerdas de 2 m de

largo. Encuentre la energa potencial gravitacional del sistema nio

Tierra en relacin con la posicin ms baja del nio cuando a) las

cuerdas estn horizontales, b) las cuerdas forman un ngulo de 30

con la vertical y c) el nio est en el fondo del arco circular.

Solucin:

La frmula es: U = mgy

Tomamos como referencia la posicin ms

baja del nio (A):

Cuerdas horizontales (B)

Cuerdas forman ngulo 30 con la vertical (C) A

2 m

2 m B

30

C Ref. (y = 0)

149

Fondo del arco circular (A)

a) UB = mgyB = 400 x 2 = 800 J

b) UC = mgyC = 400 x (2 2Cos30) = 107,18 J

c) UA = mgyA = 400 x 0 = 0

8.2.4. Energa Potencial Elstica

Considere un sistema que consta de un bloque y un resorte, como se

muestra en la figura.

La funcin de energa potencial elstica asociada con el sistema

bloqueresorte se define mediante:

= 1

2 2

Ejemplo:

Un carro de montaa rusa, de 1 000 kg, inicialmente est en lo alto de

un bucle, en el punto A. Luego se mueve 135 pies a un ngulo de 40

bajo la horizontal, hacia un punto inferior B. a) Elija el carro en el punto

B como la configuracin cero para energa potencial gravitacional del

sistema montaa rusa

8.3. Conservacin de la Energa

En ausencia de resistencia del aire o de otras fuerzas disipadoras, la

suma de las energas potencial y cintica es una constante, siempre

que no se aada ninguna otra energa al sistema.

Siempre que se aplique este principio resulta conveniente pensar en

el principio y el fin del proceso de que se trate, por lo que el principio

de la Conservacin de la energa se puede resumir en la siguiente

igualdad:

Energa total en el punto inicial = Energa total en el punto final

+ = +

150

1

2

2 + = 1

2

2 +

Desde luego, esta ecuacin se aplica estrictamente solo en los casos

donde no hay fuerzas de friccin y no se aade energa al sistema.

Ejemplo:

Una partcula de masa m = 5 kg se libera desde el punto A y se desliza

sobre la pista sin friccin que se muestra en la figura. Determine a) la

rapidez de la partcula en los puntos B y C y b) el trabajo neto invertido

por la fuerza gravitacional a medida que la partcula se mueve de A a

C.

Solucin:

a) Aplicamos la ley de la conservacin de la energa entre A y B y

luego entre A y C para determinar la rapidez en los puntos B y C

respectivamente.

+ = +

1

2

2 + = 1

2

2 +

0 + 59,85 = 1

25

2 + 59,83,2

= 5,94 /

+ = +

1

2

2 + = 1

2

2 +

0 + 59,85 = 1

25

2 + 59,82

= 7,67 /

b) Trabajo neto invertido por la fuerza gravitacional entre A y C

151

=

= = 5 9,8 (2 5)

= 147

8.4. Potencia

La potencia se define como la razn de cambio con la que se realiza el

trabajo.

=

La unidad de la potencia es el Watt (W) 1 =

Otra unidad bastante utilizada es el hp que es igual a 746 W.

Sabemos que Trabajo = Fuerza por desplazamiento

=

=

=

=

Entonces, la potencia tambin se puede determinar multiplicando la fuerza

por la velocidad.

Ejemplo:

Una masa de 40 kg se eleva a una distancia de 20 m en un lapso de 3 s.

Qu potencia media se utiliza?

Solucin:

=

=

=

=

40 9,8 20

3

P = 2 613,3 W = 2,61 kW

8.5. Problemas resueltos

1. Para estirar 10 cm desde su longitud sin deformar, se requieren 4 J

para un resorte que se describe mediante la ley de Hooke. Cunto

trabajo adicional se requiere para estirar el resorte 10 cm adicionales?

SOLUCIN:

El trabajo consumido por un resorte se determina por la frmula:

= 1

2 2,

152

Para x = 10 cm = 0,1 m tenemos: 4 = 1

2 0,12 = 800 /

Para x = 20 cm = 0,2 m tenemos: = 1

2 800 0,22 = 16

Entonces se necesitan 16 4 = 12 J adicionales.

2. Batman, cuya masa es de 80 kg, est colgado en el extremo libre de

una soga de 12 m, el otro extremo esta fijo de la rama de un rbol arriba

de l. Al flexionar repetidamente la cintura, hace que la soga se ponga

en movimiento, y eventualmente la hace balancear lo suficiente para

que pueda llegar a una repisa cuando la soga forma un ngulo de 60

con la vertical. Cunto trabajo invirti la fuerza gravitacional en

Batman en esta maniobra?

SOLUCIN:

El trabajo gravitacional se puede expresar por:

=

=

= ( )

= = 80 10 (12 1260)

= 4 800 = 4,8

3. La fuerza que acta sobre una

partcula varia como se muestra en la

figura. Encuentre el trabajo invertido

por la fuerza en la partcula conforme

se mueve a) de x = 0 a x = 8 m, b) de

x = 8 m a x = 10 m, y c) de x = 0 a x =

10 m.

SOLUCIN:

El trabajo lo determinamos grficamente como el rea bajo la curva:

a) 08 = 8 6

2= 24

b) 810 = 4 3

2= 6

c) 010 = 08 + 810 = 24 6 = 18

60 12 m

A

B

h

mg

153

4. Cuando un objeto de 4 kg cuelga verticalmente en cierto resorte ligero

descrito por la ley de Hooke, el resorte se estira 2,5 cm. Si se quita el

objeto de 4 kg, a) cunto se estirara el resorte si se le cuelga un objeto

de 1,5 kg? b) Cunto trabajo debe realizar un agente externo para

estirar el mismo resorte 4 cm desde su posicin sin estirar?

SOLUCIN:

Con el objeto de 4 kg y x = 2,5 cm = 0,025 m, la fuerza

en el resorte es:

F = - K x - mg = - k x

4 x 10 = k (0,025) k = 1 600 N/m

a) m = 1,5 kg

- mg = - K x 1,5 x 10 = 1 600 x

x = 0,0094 m = 0,94 cm

b) = 1

2 2 =

1

2 1 600 0,042

= 1,28

5. Una partcula de 0,6 kg tiene una rapidez de 2 m/s en el punto A y

energa cintica de 7,5 J en el punto B. Cules son a) su energa

cintica en A, b) su rapidez en B y c) el trabajo neto invertido en la

partcula conforme se mueve de A a B?

SOLUCIN:

a) = 2 / = 1

2

2 = 1

2 0,6 22 = 1,2

= 1

2

2 7,5 = 1

2 0,6

2 = 5 /

b) = = = 7,5 1,2 = 6,3

6. Una partcula de 4 kg se somete

a una fuerza neta que vara con

la posicin, como se muestra en

la figura. La partcula comienza

a moverse en x = 0, muy cerca

154

del reposo. Cul es su rapidez en a) x = 5 m, b) x = 10 m y c) x = 15

m?

SOLUCIN:

m = 4 kg

a) 05 = 5 3

2= 7,5

05 = 5 0 = 5 = 1

2 5

2 7,5 = 1

2 4 5

2

5 = 1,94 /

b) 510 = 5 3 = 15

510 = 10 5 = 1

2 10

2 1

2 5

2 = 1

2 (10

2 52)

15 = 1

2 4 (10

2 1,942) 10 = 1,94 /

c) 015 = 15+ 5

2 3 = 30

015 = 15 0 = 15 = 1

2 15

2 30 = 1

2 4 15

2

15 = 3,87 /

7. Una bala de 0,2 kg se dispara a travs de una pared de 40 cm de

espesor, la bala impacta horizontalmente a 30 m/s y emerge a 22 m/s.

Hallar la resistencia media de la pared.

SOLUCIN:

m = 0,2 kg

= = 1

2

2 1

2

2

= 1

2 (

2 2)

30 m/s 22 m/s 0,4 m

155

0,4 = 1

2 0,2 (222 302)

= 104

8. Se dispara un cuerpo de 4 kg verticalmente hacia arriba a razn de 40

m/s. Calcule la energa cintica, la energa potencial y la energa

mecnica en la mitad de su recorrido de subida.

SOLUCIN:

Por la ley de conservacin de la energa:

+ = +

1

2

2 =

1

2 402 = 10 h = 80 m

En la mitad de su recorrido:

Energa mecnica: = = 1

2

2 = 1

2 4 402

= 3 200

Energa potencial: = = 4 10 40 = 1 600

Energa cintica: = = 3 200 1 600 = 1 600

9. Una pesa de 18 kg se levanta hasta una altura de 12 m y despus se

suelta en cada libre. Cules son la energa potencial, la energa

cintica y la energa total en: (a) el punto ms alto, (b) 3 m sobre el nivel

del suelo y (c) en el suelo?

SOLUCIN:

Tomando como referencia el suelo:

m = 18 kg

a) Energa cintica: 1 = 0 1 = 0

Energa potencial: 1 = 1 = 181012 =

2 160

Energa total: 1 = 2 160

b) Energa total: 2 = 1 = 2 160

Energa potencial: 2 = 2 = 18103 = 540

Energa cintica: 2 = 2 2 = 2 160 540 = 1 620

h/2

h/2

Vf = 0

Vm

Vi=40 m/s

9 m

3 m

1

2

3

156

c) Energa total: 2 = 1 = 2 160

Energa potencial: 3 = 3 = 18100 = 0

Energa cintica: 3 = 3 3 = 2 160 0 = 2 160

10. En la figura, un carrito de

8 kg tiene una velocidad

inicial de 7 m/s en su

descenso. Desprecie la

friccin y calcule la

velocidad cuando el

bloque llega al punto B.

Cul es la velocidad del

bloque en el punto C?

SOLUCIN:

Por conservacin de la energa:

+ = + , = 0

1

2

2 + = 1

2

2 1

2

2 + = 1

2

2

1

2 72 + 1020 =

1

2

2 = 21,19 /

Conservacin de energa entre A y C:

+ = +

1

2

2 + = 1

2

2 + 1

2

2 + = 1

2

2 +

1

2 72 + 1020 =

1

2

2 + 108 = 17 /

11. La correa transportadora de una estacin automtica levanta 500

toneladas de mineral a una altura de 90 ft en 1 h. Qu potencia media

se requiere para esto?

SOLUCIN:

= 500 1 000

1 = 500 000

= 90 0,3048

1 = 27,432

= 1 3 600

1 = 3 600

157

Por frmula: =

=

=

= 500 0001027,432

3 600= 38 100

= 38,1

12. Calcule la mxima rapidez que puede asumir un automvil, si viaja por

una pista horizontal, la pista y el aire ofrecen una resistencia total de 1

550 N si al motor se le entrega una potencia de 100 HP con una

eficiencia de 75%.

SOLUCIN:

= 100 746

1 = 74 600

=

75

100=

74 600 = 55 950

= + = = 74 600 55 950

= 18 650

=

=

=

18 650 = 1 550 ()

= 12 /

8.6. Problemas propuestos

1. Una gota de lluvia de 3.35 x 10-5 kg de masa cae verticalmente con

rapidez constante bajo la influencia de la gravedad y la resistencia del

aire. Modele la gota como partcula. Mientras cae 100 m, cul es el

trabajo consumido en la gota a) por la fuerza gravitacional y b) por la

resistencia del aire?

2. El objeto 1 empuja sobre el objeto 2 mientras se mueven juntos, como

un buldcer que empuja una piedra. Suponga que el objeto 1 realiza 15

J de trabajo sobre el objeto 2. El objeto 2 realiza trabajo sobre el objeto

1? Explique su respuesta. Si es posible, determine cuanto trabajo y

explique su razonamiento.

158

3. Una fuerza = (6 2) actua en una particula que experimenta un

desplazamiento = (3 + ) m. Hallar a) el trabajo invertido por la

fuerza en la partcula y b) el ngulo entre .

4. La fuerza que acta en una partcula es Fx = (8x - 16) N, donde x est

en metros. a) Grafique esta fuerza con x desde x = 0 hasta x = 3 m. b) A

partir de su grfica, encuentre el trabajo neto realizado por esta fuerza

sobre la partcula conforme se traslada de x = 0 a x = 3 m.

5. Una partcula se somete a una fuerza Fx que vara con la posicin, como

se muestra en la figura P. Encuentre el trabajo invertido por la fuerza en

la partcula mientras se mueve a) de x = 0 a x = 5 m, b) de x = 5 m a x =

10 m, y c) de x = 10 m a x = 15 m. d) Cul es el trabajo total invertido

por la fuerza sobre la distancia x = 0 a x = 15 m?

6. Un arquero jala hacia atrs la cuerda de su arco 0,4 m al ejercer una

fuerza que aumenta uniformemente de cero a 230 N. a) Cul es la

constante de resorte equivalente del arco? b) Cunto trabajo realiza el

arquero al estirar su arco?

7. La ley de Hooke describe cierto resorte ligero de 35 cm de longitud sin

estirar. Cuando un extremo se une a la parte superior de un marco de

puerta y del otro extremo se cuelga un objeto de 7,5 kg, la longitud del

resorte es 41,5 cm. a) Encuentre su constante de resorte. b) La carga y

el resorte se desmontan. Dos personas jalan en direcciones opuestas en

los extremos del resorte, cada una con una fuerza de 190 N. Encuentre

la longitud del resorte en esta situacin.

8. Un resorte ligero, con constante de fuerza 3,85 N/m, se comprime 8 cm

mientras se mantiene entre un bloque de 0,25 kg a la izquierda y un

bloque de 0,5 kg a la derecha, ambos en reposo sobre una superficie

159

horizontal. El resorte ejerce una fuerza en cada bloque, y tiende a

separarlos. Los bloques se sueltan simultneamente desde el reposo.

Encuentre la aceleracin con la que cada bloque comienza a moverse,

dado que el coeficiente de friccin cintica entre cada bloque y la

superficie es a) 0, b) 0,1 y c) 0,462.

9. Un resorte ligero, con constante de resorte 1 200 N/m, cuelga de un

soporte elevado. De su extremo inferior cuelga un segundo resorte

ligero, que tiene constante de resorte 1 800 N/m. Un objeto de 1,5 kg de

masa cuelga en reposo del extremo inferior del segundo resorte. a)

Encuentre la distancia de extensin total del par de resortes. b)

Encuentre la constante de resorte efectiva del par de resortes como

sistema. Describa estos resortes como en serie.

10. Una bola de 0,3 kg tiene una rapidez de 15 m/s. a) Cul es su energa

cintica? b) Qu pasara si? Si su rapidez se duplica, cul sera su

energa cintica?

11. Un objeto de 3 kg tiene una velocidad de (6 2) m/s. a) Cul es su

energa cintica en este momento? b) Cul es el trabajo neto invertido

en el objeto si su velocidad cambia a (8 + 4) m/s?

12. Un carro de montaa rusa, de 1 000 kg, inicialmente esta en lo alto de

un bucle, en el punto A. Luego se mueve 135 pies a un ngulo de 40

bajo la horizontal, hacia un punto inferior B. a) Elija el carro en el punto

B como la configuracin cero para energa potencial gravitacional del

sistema montaa rusa-Tierra. Hallar la energa potencial del sistema

cuando el carro est en los puntos A y B y el cambio en energa potencial

conforme se mueve el carro. b) Repita el inciso a), pero haga la

configuracin cero con el carro en el punto A.

13. Un jardinero de bisbol lanza una pelota de 0,15 kg con una rapidez de

40 m/s y un ngulo inicial de 30. Cul es la energa cintica de la pelota

en el punto ms alto de su trayectoria?

14. Una bala de 0,5 kg se dispara a travs de una pared de 40 cm de

espesor, la bala impacta horizontalmente a 30 m/s y emerge a 22 m/s.

Hallar la resistencia media de la pared.

160

15. Un motor que activa una mquina entrega una potencia de 3 HP. Calcule

el trabajo que realiza la mquina en 4 min, considerando que su

eficiencia es del 80%. Dar la respuesta en unidades SI.

16. Una esfera de 40 g de masa parte de A con 5 5 m/s. Calcular la rapidez

en B.

17. Un martillo de 4 kg se levanta a una altura de 10 m y se deja caer.

Cules son las energas potencial y cintica del martillo cuando ha

cado a un punto ubicado a 4 m del nivel del suelo?

18. Qu velocidad inicial debe impartirse a una masa de 5 kg para elevarla

a una altura de 10 m? Cul es la energa total en cualquiera de los

puntos de su trayectoria?

19. Un ascensor de 300 kg es elevado una distancia vertical de 100 m en 2

min. Cul es la potencia empleada?

20. Un bloque de 6 kg, inicialmente en reposo, se jala hacia la derecha, a lo

largo de una superficie horizontal sin friccin, mediante una fuerza

horizontal constante de 12 N. Encuentre la rapidez del bloque despus

de que se ha movido 4 m.

21. Un bloque de 2,5 kg de masa se empuja 2,2 m a lo largo de una mesa

horizontal sin friccin por una fuerza constante de 16 N dirigida 25

debajo de la horizontal. Determine el trabajo invertido sobre el bloque

por a) la fuerza aplicada, b) la fuerza normal que ejerce la mesa y c) la

fuerza gravitacional. d) Determine el trabajo neto invertido en el bloque.

22. Un bloque de 6 kg, inicialmente en reposo, se jala hacia la derecha a lo

largo de una superficie horizontal mediante una fuerza horizontal

constante de 12 N. a) Encuentre la rapidez del bloque despus de que

10 m

A

B

5 m

161

se mueve 3 m si las superficies en contacto tienen un coeficiente de

friccin cintica de 0,15.

23. Dos objetos se conectan mediante una cuerda ligera que pasa sobre una

polea ligera sin friccin, como se muestra en la figura. El objeto de 5 kg

de masa se libera desde el reposo. Con el modelo de sistema aislado, a)

determine la rapidez del objeto de 3 kg justo cuando el objeto de 5 kg

golpea el suelo. b) Encuentre la altura mxima a la que llega el objeto de

3 kg.

24. Un bloque de 5 kg se pone en movimiento hacia arriba de un plano

inclinado con una rapidez inicial de 8.00 m/s (figura. El bloque llega al

reposo despus de viajar 3 m a lo largo del plano, que est inclinado en

un ngulo de 30 con la horizontal. Para este movimiento, determine a)

el cambio en la energa cintica del bloque, b) el cambio en la energa

potencial del sistema bloqueTierra y c) la fuerza de friccin que se

ejerce sobre el bloque (supuesta constante). d) Cul es el coeficiente

de friccin cintica?