0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 1
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (No – Lineales)
MA-33A Cálculo NuméricoGonzalo Hernández Oliva
Universidad de ChileDepartamento de Ingeniería Matemática
θL
m
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:1) Métodos Numéricos para EDO en
a) Motivaciónb) Definiciones: EDO Lineal y Problema de Cauchyc) Resultados Teóricos para Problema de Cauchyd) Método de la Serie de Taylore) Método de Euler para Problema de Cauchyf) Métodos de Runge-Kutta para Problema de Cauchy:g) Ejemplo Métodos Euler y Runge-Kutta Orden 4h) Métodos Multi-pasos Explícitosi) Sistemas de EDO y EDO de Orden Superior
2) Bibliografía
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 3
Variación de Cantidades Continuas en el Tiempo: Ecuación del Péndulo Simple:
1) MN para EDO: Motivación 1
2
2
0
0
0
( 0)'( 0) '
d g sendt Ltt
θ θ
θ θθ θ
+ =
= == =
θL
m
Demostrar !
Propuesto: Ecuaciones del Péndulo de Foucault
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 4
Variación de Cantidades Continuas en el Tiempo: Trayectorias de Partículas
1) MN para EDO: Motivación 2
x
y
v0
g fR
Lanzamiento ProyectilesCaída Libre
g
yx
m
m( )Rf ma f v= +
2( )= − + = − −Rmx mg f x mg cx
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 5
Un ejemplo de dinámica de resortes:1) MN para EDO: Motivación 3
x
k, L
µ = 0
m
2
2 21
9d x k Lxdt m x
⎛ ⎞⎛ ⎞=− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠
L0
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 6
Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:La población de EEUU en el siglo 20 crece aproximadamente según la edo no lineal logística:
Donde: α=0.02 y β=0.00004. Desde 1900 se han medido los datos de la tabla en la próxima transparencia. Se puede afirmar que el modelo es adecuado ? Cuál es error entre 1900 y 1980 ?
2( ) ( )dp p t p tdt
α β= −
( )p t
1) MN para EDO: Motivación 4
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 7
Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:1) MN para EDO: Motivación 4
226.5204.9180.7152.3132.6123.1106.592.476.1
p(t) real
50.0195040.0194030.0193020.01920
60.01960
10.019100.01900
80.0198070.01970
Tiempo tkAño
( )150
2
4239761
21
0
soluciónexacta
( ) ( )
500( ) 1+
( )( ) 0,...,8
( ) (1980 1900) 108
10 0,1,...,8
α β
α β
−
+
= −
=
= + −
= = ∀ = =− −
= = =
= = =
t
k k k k
k k
k
dp p t p tdt
p te
p p h p pp p t t k n
T thn
t hk k k
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 8
Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:1) MN para EDO: Motivación 4
235.3210.6186.7164.0142.7123.2105.689.976.1
p(t) Edo
-8.8-5.7-6.0
-11.7-10.1-0.10.92.50.0
Error1
229.1203.8173.5152.1141.7123.3107.589.076.1
p(t) Euler
226.5204.9180.7152.3132.6123.1106.592.476.1
p(t) real
6.26.8
13.211.91.6-0.1-1.90.90.0
Error2
50.0195040.0194030.0193020.01920
60.01960
10.019100.01900
80.0198070.01970
Tiempo tkAño
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 9
Ecuación de Duffing:Esta edo no-lineal se utiliza para describir diferentes sistemas dinámicos (resortes, transformadores, etc). La forma más general de esta ecuación es:
Por ejemplo, la edo del flujo magnético de un transformador tiene la forma:
( ) ( )2
3 202
( ) ( ) ( ) ( ) cosd x t dx t x t x t tdt dt
δ β ω γ ω φ+ + ± = +
1) MN para EDO: Motivación 5
( )3 20 cosb E t
Nωφ φ ω φ ω+ + =
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 10
Ejemplo Ecuación de Duffing:( ) ( )3 2
0 cosx x x x tδ β ω γ ω φ+ + ± = +
1) MN para EDO: Motivación 5
01, 1, 11, 1, 0
δ β ωγ ω φ= = == = =
Ejemplo de caos“ordenado”
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 11
1) MN para EDO: Ecuación Diferencial Lineal
EDO
Lineales⇒Integrables
No-Lineales
Según Orden
Coeficientes Constantes o Variables
Homogéneas o No
Encontrar tal que:
Tratamiento Analítico Caso a CasoSolución Vía Método Euler o R-K
( ) (1)1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
na x y x a x y x a x y x g x+ + + =
( )y f x=
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 12
1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden
1 0( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )+ = ⇒ + =a x y x a x y x g x y x p x y x f x
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
p x dxp x dx p x dxy x ce e f x e dx
− − ∫∫ ∫= + ∫( ) ( )( )( )
( ) ( )− ⎡ ⎤∫∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
p x dxp x dxy x e c f x e dx
( )
( )
( )
( )
'( ) ( ) ( ) 0 ( )
'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−
−
∫+ = ⇒ =
∫+ = ⇒ =
p x dxh
p x dxp
y x p x y x y x ce
y x p x y x f x y x g x e
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 13
1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden
'( ) ( ) ( ) ( ) ( )α+ =y x p x y x f x y xEcuación Tipo Bernoulli:
Al multiplicar la edo por: se obtiene:(1 ) αα −− y1(1 ) ' (1 ) ( ) (1 ) ( )α αα α α− −− + − = −y y p x y f x
1 1( )' (1 ) ( )( ) (1 ) ( )α αα α− −+ − = −y p x y f x
' (1 ) ( ) (1 ) ( )α α+ − = −u p x u f x
Si se define: se obtiene la edo lineal:1 α−=u y
1αα∈≠
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 14
1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden
' xy xyy
+ =Ejemplo Ecuación Tipo Bernoulli: 2 2 22 ' 2 2 ( )' 2 2+ = ⇒ + =yy xy x y xy x
' 2 2u xu x+ =Si se define: se obtiene la edo lineal:2u y=
2 2
( ) ( 1) ( ) 1x xu x ce y x u ce− −= + ⇒ =± =± +
Ejercicios Propuestos:( ) ( )
31 12 2 2
2 2 2
32 3 2 2
2 2
' , '' , ' ( 1)
( 1) (1 )
+ = + =+ = = +
+ = + −x
y y x y y xy xyy x y xy xy xy xx y y xe x y y
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 15
1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden
2'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (+)= + +y x p x q x y x r x y x
Propuesto: Ecuación Tipo Ricati:
Se puede linealizar esta edo ? Sea una solución de (+) 1y
( )
21 1 1
2 21 1 1
1 1 1
12
1
'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ' ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
' ( ) ( ) ( 2 )
' ( ) 2 ( ) ( )
= + +
− = − + −= − + + −= + +
= + +
y x p x q x y x r x y x
y y q x y y r x y yq x y y r x y y y y
z q x z r x z z y
z q x r x y z r x z Edo Tipo Bernoulli:
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 16
1) MN para EDO:Problema de Cauchy o de Valor InicialDada una función diferenciable en ambas variablesy un punto inicial : Encontrar una función tal que:
Problema No-LinealDe Primer OrdenNo Homogéneo
0 0
0
( )( ) ( , ( ))
[ , ]
y t t ydy t f t y tdtt t T
= =
=
∈
2:f →
0y ∈:y →
Solución Única
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 17
Se dice que una función satisface una condición de Lipschitz en la variable si existe (constante de Lipschitz) con la propiedad:
Sea un conjunto convexo. Si existe una constante que verifica:
entonces satisface la condición de Lipschitz en
1) MN para EDO:Resultados Teóricos para Problema de Cauchy
2:f R ⊂ →y
2R ⊂
L
1 2 1 2 1 1( , ) ( , ) ( , ),( , )f t y f t y L y y t y t y R− ≤ − ∀ ∈
L ( , ) ( , )f t y L t y Ry
∂≤ ∀ ∈
∂
Rf
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 18
Teo: Sean y una función contínua en . Si satisface una condición de Lipschitz en la variable entonces el problema de valor inicial:
tiene solución única
2:f R ⊂ → R{ }0( , ) / ,R t y t t T y= ≤ ≤ −∞ < < ∞
fy
0 0
0
( )( ) ( , ( )) [ , ]
y t t ydy t f t y t t t Tdt
= =
= ∀ ∈
1) MN para EDO:Resultados Teóricos para Problema de Cauchy
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 19
1) MN para EDO:Método de la Serie de Taylor para Prob. CauchyLa solución del Problema de Cauchy se desarrolla en Serie de Taylor. Las derivadas se obtienen de la edo:
0 0
0
( )( ) ( , ( ))
[ , ]
y t t ydy t f t y tdtt t T
= =
=
∈
( )( )0
00
( ) ( )!
knk
k
f ty t t t Error
k=
= − +∑( 1)
10
( ( ))( ) ( )( 1)!
nnf tError t t t
nξ+
+= −+
0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
( , , ' )( ) , '( ) ' ( , ), ''( ) '' ,...df t y yy t y y t y f t y y t ydt
= = = = =
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 20
1) MN para EDO:Método de Euler para Problema de Cauchy
Se determinan valores de la funciónen puntos equi-espaciados en :
MétodoInexacto !
Error:2
(2)( )2 ih y ξ
00
( ) 0,...,kT th t t kh k nn−
= = + ∀ =
0 0
1
( )( , )k k k k
y y t ty y hf t y+
= == +
0[ , ]t Tn ky :y →
kt
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 21
1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 2 para P. CauchyMejoramos el método de Euler de la siguiente forma:
Tenemos que:
1 2
1 21 1 2
( , ) ( , ( , ))k k k k k k k k
k k k k
q hf t y q hf t h y hf t y
y y q q
α β
μ μ+
= = + +
= + +
2 2
1
2 2
1
( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( , ) '( , )2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )'( , ) '( ) ( , )
( , ) ( ,( ) ( ) ( , ) ( , )2 2
k k k k k k k k k k
k k k k k k k kk k k k k
k k k kk k k k k k k
h hy y t h y t hy t y t y t hf t y f t y
f t y f t y f t y f t yf t y y t f t yt y t y
f t y f t yh hy y t h y t hf t y f t yt
+
+
= + ≈ + + = + +
∂ ∂ ∂ ∂= + = +
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂= + ≈ + + +
∂)
y∂ 1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 22
1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 2 para P. CauchyPor otra parte:
Igualando y :
1 1 2
1 1 2
1
( , ) ( , ( , ))( , ) ( , )( , ( , )) ( , ) ( , )
( , ) ( , )( ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) (
k k k k k k k k
k k k kk k k k k k k k
k k k kk k k k k k k k
k k
y y hf t y hf t h y hf t yf t y f t yf t h y hf t y f t y h hf t yt y
f t y f t yy y t hf t y h f t y h hf t yt y
y y t
μ μ α β
α β α β
μ μ α β
+
+
+
= + + + +
∂ ∂+ + ≈ + +
∂ ∂
⎡ ⎤∂ ∂= + + + +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
= + 2 21 2 2 2
( , ) ( , )) ( , ) ( , )k k k kk k k k
f t y f t yhf t y h h f t yt y
μ μ μ α μ β∂ ∂+ + +
∂ ∂2
1 21 2 2 2
1 11 2 2
μ μ μ α μ β+ = = =
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 23
1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 2 para P. Cauchy
RKOrden 2
Error: 3( )O h
1
0
1 22 2
21
dado
( , ) ( , )kqhk k k k k k
k k k
y
q hf t y q hf t y
y y q+
= = + +
= +
0 0( ) ( , ( )) ( , ) dadody t f t y t t ydt
=
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 24
1) MN para EDO:RK 2: Ejemplo Simple
0( ) (2 1)4
1 2 11 12 2
21
( ) 0,..., 4
0.250.25 0,1,..., 4
( , ), ( , ) 0,1,..., 4
− −
+
= = = =
= = =
= = == = + += + =
k kT tn
k
k k k k k k k
k k k
y y t t k n
ht hk k kq hf t y q hf t h y qy y q k
2
2
0
, (1) 1
( )1 ln( )
( , ) , =1
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
=+
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
dy y y ydt t t
ty tt
y yf t y yt t
t yt k q1 q2 yk Eabs Erel1 1 0 0 0. 0247 1 0 01. 25 1. 0219 1 0. 03695 0. 04578 1. 0247 0. 0028 0. 00271. 5 1. 0672 2 0. 05108 0. 05488 1. 0705 0. 0033 0. 00311. 75 1. 1221 3 0. 05738 0. 05918 1. 1254 0. 0033 0. 00292 1. 1812 4 1. 1846 0. 0034 0. 0030
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 25
10
11
0 0
1 20 0 0 0 0 02 2
21 0 0
1 1
1 21 1 1 1 1 12 2
22 2 2
0 : 0, 10, 76.1
( , ) 12.9035, ( , ) 13.7844
89.88441: 10, 10, 89.8844
( , ) 14.7452, ( , ) 15.6678
105.5523
= = = =
= = = + + =
= + =
= = = =
= = = + + =
= + =
qh
qh
k t h p
q hf t p q hf t p
p p qk t h p
q hf t p q hf t p
p p q
1) MN para EDO:RK 2 aplicado al modelo crecimiento logístico:
0( ) (1980 1900)8
1 2 11 12 2
21
( ) 0,...,8
10 10 0,1,...,8( , ), ( , )
0,1,...,8
− −
+
= = = =
= = = ⇒ = = == = + += + =
k k
T tkn
k k k k k k k
k k k
p p t t k n
h t hk k kq hf t y q hf t h y qp p q k
2
2
0 0
' ( ) ( )( , )
0.02, 0.00004 ( ) =76.1
α β
α βα β
= −
= −= =
=
p p t p tf t p p p
p t p
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 26
1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 3 para P. Cauchy
RKOrden 3
Error:4( )O h
1
01
22 2
3 1 2
dado
( , )
( , )
( , 2 )
k
k k k
qhk k k
k k k k k
y
q hf t y
q hf t y
q hf t h y q q
=
= + +
= + − −
1 2 311 6 ( 4 )k k k k ky y q q q+ = + + +
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 27
1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 4 para P. Cauchy
RKOrden 4
Error:5( )O h
1
2
01
22 2
32 2
4 3
dado
( , )
( , )
( , )
( , )
k
k
k k k
qhk k k
qhk k k
k k k k
y
q hf t y
q hf t y
q hf t y
q hf t h y q
=
= + +
= + +
= + +
1 2 3 411 6 ( 2 2 )k k k k k ky y q q q q+ = + + + +
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 28
1) MN para EDO:Ejemplo Métodos Euler y Runge-Kutta Orden 4
2 12' 1 [0,2] (0)y y t t y= − + ∈ =
0.00000010.65741440.65549820.65741450.1
0.00000000.50000000.50000000.50000000.0
0.00000030.82929830.82533850.82929860.2
0.00000101.42563841.41472641.42563940.5
0.00000081.21408691.20563451.21408770.4
0.00000051.01507011.00893341.01507060.3
Error R-KR-K Orden 4EulerExactotk
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 29
1) MN para EDO:Métodos Multipasos ExplícitosUn método multipaso de paso para resolver el problema de Cauchy es de la forma:
Se necesitan valores iniciales:Los coeficientes son las constantes del método y:
1 1 2 1 0 1
1 2 1 1 0 1 1 [ ( , ) ( , ) ( , )]k m k m k k m
m k k m k k k m k m
y a y a y a yh b f t y b f t y b f t y
+ − − − + −
− − − − + − + −
= + + + ++ + + +
m
m
0 1 1, ,..., my y y −
1 2 0 1 2 0, ,..., y , ,...,m m m ma a a b b b− − − −0( )
0 0,...,T tknh t t kh k n−= = + ∀ =
1 1 1
0 1
[3 ( , ) ( , )], dadosk k k k k ky y h f t y f t yy y
+ − −= + −PorEjemplo
AdamsBashforth m=2
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 30
1) MN para EDO:Métodos Multipasos Explícitos
Adams – Bashforth de 3 Pasos
Adams – Bashforth de 4 Pasos
1 1 1 2 2
0 1 2
[23 ( , ) 16 ( , ) 5 ( , )]12
, , dados
k k k k k k k khy y f t y f t y f t y
y y y
+ − − − −= + − +
(4) 31 1 2 1
3( 1) ( ) [ , ]8 k k k kError k y h t tμ μ+ + − ++ = ∈
1 1 1 2 2 3 3
0 1 2 3
[55 ( , ) 59 ( , ) 37 ( , ) 9 ( , )]24
, , , dados
k k k k k k k k k khy y f t y f t y f t y f t y
y y y y
+ − − − − − −= + − + −
(5) 41 1 3 1
251( 1) ( ) [ , ]720 k k k kError k y h t tμ μ+ + − ++ = ∈
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 31
1) MN para EDO:Sistemas de EdoUn sistema de primer orden (condiciones iniciales) de edo no-lineales es de la forma:
11 1 2
22 1 2
1 2
( , , ,..., )
( , , ,..., )
( , , ,..., )
n
n
nn n
dx f t x x xdtdx f t x x xdt
dx f t x x xdt
=
=
=
01 1
02 2
0
( 0)
( 0)
( 0)n n
x t x
x t x
x t x
= =
= =
= =
[0, ]t T∀ ∈
(+)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 32
1) MN para EDO:Sistemas de Edo
Teorema: Supongamos que las funciones son continuas y satisfacen la condición de Lipschitz en :
Entonces el sistema de edo no-lineales (+) tiene solución única. La condición de Lipschitz se satisface si:
1 21 2
( , , ,..., ) ( , , ,..., )i nn i
j
f t u u u L t u u u D fu
∂≤ ∀ ∈ + ∈
∂
{ }
1 2 1 21
1 2 1 2
1 2
( , , ,..., ) ( , , ,..., )
( , , ,..., ), ( , , ,..., )( , , ,..., ) 0 , 1,...,
n
i n i n j jj
n n
n j
f t u u u f t v v v L u v
u t u u u v t v v v DD t z z z t T z j n
=
− ≤ −
∀ = = ∈
= ≤ ≤ −∞ < < ∞∀ =
∑
( )if ⋅D
C1
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 33
1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Método de Euler
10 1 0
1 2 1, 1 2, 1 , 1
, 1 1 2
Aproximación de Runge-Kutta
Condiciones iniciales
, 0,1,...,
( )
(0),..., (0)
, ,..., , ,..., 1,..., , 0
( , , ,..., )
+ + +
+
= = ∀ =
=
= =
⇒ ∀ = ∀ ≥
= + ∀
k
ik i k
n n
k k nk k k n k
i k ik i k k k nk
Th t kh k nn
x x t
x x x x
x x x x x x i n k
x x hf t x x x i 1,..., , 0= ∀ ≥n k
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 34
1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge – Kutta de Orden 2
10 1 0
1 2 1, 1 2, 1 , 1
11 2
Aproximación de Runge-Kutta
Condiciones iniciales
, 0,1,...,
( )
(0),..., (0)
, ,..., , ,..., 1,..., , 0
( , , ,..., ) 1,...
+ + +
= = ∀ =
=
= =
⇒ ∀ = ∀ ≥
= ∀ =
k
ik i k
n n
k k nk k k n k
ik i k k k nk
Th t kh k nn
x x t
x x x x
x x x x x x i n k
q hf t x x x i2 1 1 11 1 1
1 1 2 22 2 2 2
2, 1
, , 0
( , , ,..., )
1,..., , 0+
∀ ≥
= + + + +
= + ∀ = ∀ ≥
hik i k k k k k nk nk
i k ik ik
n k
q hf t x q x q x q
x x q i n k
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 35
1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 2
El modelo de Lotka - Volterra predice la evolución en el tiempo de una población con 2 especies, una depredadora x1(t) y la otra presa x2(t). Se supone que la población presa tiene suficiente comida y que su natalidad es proporcional a la cantidad de presas vivas: k1x1(t). La mortalidad de la población presa depende del número de presas y depredadores: k2x1(t)x2(t). La natalidad de la población depredador es: k3x1(t)x2(t) y su mortalidad es: k4x2(t). Se expresa el cambio en la poblaciones presa y depredador mediante el sedo:
1 21 1 2 1 2 3 1 2 4 2
1 2 1 2 3 4
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,..., 4
(1) 1000, ( 1) 500 3, 0.002, 0.0006, 0.5
= − = − =
= = = = = = =
dx t dx tk x t k x t x t k x t x t k x t tdt dtx x t k k k k
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 36
1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 2En la iteración k de RK 2 aplicada a este sedo, hay que calcular primero: luego y luego
1 1 2 2 10 1 20 2
21 2 1, 1 2, 1 , 1
1 11 1 1 2 2 2 1 2
21 1
Aprox. RK . i.
donde
[0,4], 4, 1, , 0,1,...,4( ), ( ) (0), (0) c
, , , 0,1,2,3
( , , ), ( , , )
(
+ + +
∈ = = = = =
= = = =
⇒ = = +
= =
=
Tkn
k k k k
k k k k i k ik ik
k k k k k k k k
k
t n h t k kx x t x x t x x x x
x x x x k x x q
q hf t x x q hf t x x
q hf 1 11 11 1 2 22 2 2
2 1 11 12 2 1 1 2 22 2 2
, , )
( , , )
+ + +
= + + +
hk k k k k
hk k k k k k
t x q x q
q hf t x q x q
1 11 2,k kq q 2 2
1 2,k kq q 1, 1 2, 1,+ +k kx x
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 37
1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 2
Iteración 0:
1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 4 2( , , ) , ( , , )= − = −f t x x k x k x x f t x x k x x k x
110 1 10 20 1 10 2 10 20
120 2 10 20 3 10 20 4 20
2 1 11 110 1 10 10 20 202 2
2 1 11 120 2 10 10 20 202 2
211 10 10
221 20 20
( , ) 2000
( , ) 50
( , ) 3900
( , ) 367.5
=4900
=867.5
= = − =
= = − =
= + + =
= + + =
= +
= +
q hf x x k x k x x
q hf x x k x x k x
q hf x q x q
q hf x q x q
x x q
x x q
0 10 200, 0, 1, 1000, 500= = = = =k t h x x
Y así sigue para 0
11 21
1, 1, 14900, 867.5
= = =
= =
k t hx x
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 38
1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge – Kutta de Orden 3
10 1 0
1 2 1, 1 2, 1 , 11
1 22
12
Aproximación Runge-Kutta
Condiciones iniciales
, 0,1,...,
( )
(0),..., (0) , ,..., , ,...,
( , , ,..., ) 1,...,( ,
+ + +
= = ∀ =
=
= =
⇒
= =
= +
k
ik i k
n n
k k nk k k n k
ik i k k k nkh
ik i k k
Th t kh k nn
x x t
x x x xx x x x x x
q hf t x x x i nq hf t x
( )
1 1 11 1 11 2 22 2 2
3 1 2 1 2 1 21 1 1 2 2 2
1 2 31, 1 6
, ,..., ) 1,...,( , 2 , 2 ,..., 2 )
4 + 1,..., , 0+
+ + + =
= + − − − − − −
= + + ∀ = ∀ ≥
k k k nk nk
ik i k k k k k k k nk nk nk
i k ik ik ik ik
q x q x q i nq hf t h x q q x q q x q qx x q q q i n k
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 39
1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge – Kutta de Orden 4
10 1 0 1 2 1, 1 2, 1 , 1
11 2
2 1 11 11 1 2 22 2 2
Aproximación de Runge-Kutta
, 0,1,...,( )
(0),..., (0) , ,..., , ,...,
( , , ,..., ) 1,...,
( , ,
+ + +
= = ∀ =
=
= = ⇒
= =
= + + +
Tkn
ik i k
n n k k nk k k n k
ik i k k k nk
hik i k k k k
h t kh k nx x t
x x x x x x x x x x
q hf t x x x i n
q hf t x q x q
( )
112
3 2 2 21 1 11 1 2 22 2 2 2
4 3 3 31 1 2 2
1 2 3 41, 1 6
,..., ) 1,...,
( , , ,..., ) 1,...,
( , , ,..., ) 1,...,
2 2 1,..., , 0+
+ =
= + + + + =
= + + + + =
= + + + + ∀ = ∀ ≥
k nk nk
hik i k k k k k nk nk
ik i k k k k k nk nk
i k ik ik ik ik ik
x q i n
q hf t x q x q x q i n
q hf t h x q x q x q i n
x x q q q q i n k
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 40
( )
( ) ( )
( ) ( 1)
( 1) ( 1)0 0 0
( 1)1 2
12
23
( ) ( 1)1 2
, , ',..., [0, ]
(0) , '(0) ',..., (0)
( ) ( ), ( ) '( ),..., ( ) ( )
'
''
, , ',..., , , ,...,
−
− −
−
−
= ∀ ∈
= = =
= =
= =
= = =
n n
n n
nn
n nnn
y f t y y y t T
y y y y y y
x t y t x t y t x t y tdx y xdtdx y xdt
dx y f t y y y f t x x xdt
1) MN para EDO:Edo de Orden Superior
01 1 0
02 2 0
0 ( 1)0
( 0)
( 0) '
( 0) −
= =
= =
= = nn n
x t x y
x t x y
x t x y
[0, ]t T∀ ∈
(+)
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 41
( ) ( )
( )
3
1 2
1 23
2 2 1 1
'' ' cos
, '
'
' cos
+ + − =
=
= − + − +
x x x x t
x x x x
x x
x x x x t
1) MN para EDO:Edo de Orden Superior: Ecuación de Duffing
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
GHO EDO - MA-33A 42
2) Bibliografía
1) R. Burden & J. D. Faires, Análisis Numérico, Séptima Edición, Thomson Learning, 2002.
2) C. Gerald & P. O. Wheatley, Applied NumericalAnalysis 7th Edition, Pearson – Addison Wesley, 2004.
3) G. Hernández O.: Apuntes de Cálculo Numérico
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