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GHO EDO - MA-33A 1

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (No – Lineales)

MA-33A Cálculo NuméricoGonzalo Hernández Oliva

Universidad de ChileDepartamento de Ingeniería Matemática

θL

m

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GHO EDO - MA-33A 2

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:1) Métodos Numéricos para EDO en

a) Motivaciónb) Definiciones: EDO Lineal y Problema de Cauchyc) Resultados Teóricos para Problema de Cauchyd) Método de la Serie de Taylore) Método de Euler para Problema de Cauchyf) Métodos de Runge-Kutta para Problema de Cauchy:g) Ejemplo Métodos Euler y Runge-Kutta Orden 4h) Métodos Multi-pasos Explícitosi) Sistemas de EDO y EDO de Orden Superior

2) Bibliografía

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GHO EDO - MA-33A 3

Variación de Cantidades Continuas en el Tiempo: Ecuación del Péndulo Simple:

1) MN para EDO: Motivación 1

2

2

0

0

0

( 0)'( 0) '

d g sendt Ltt

θ θ

θ θθ θ

+ =

= == =

θL

m

Demostrar !

Propuesto: Ecuaciones del Péndulo de Foucault

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GHO EDO - MA-33A 4

Variación de Cantidades Continuas en el Tiempo: Trayectorias de Partículas

1) MN para EDO: Motivación 2

x

y

v0

g fR

Lanzamiento ProyectilesCaída Libre

g

yx

m

m( )Rf ma f v= +

2( )= − + = − −Rmx mg f x mg cx

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GHO EDO - MA-33A 5

Un ejemplo de dinámica de resortes:1) MN para EDO: Motivación 3

x

k, L

µ = 0

m

2

2 21

9d x k Lxdt m x

⎛ ⎞⎛ ⎞=− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ +⎝ ⎠

L0

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GHO EDO - MA-33A 6

Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:La población de EEUU en el siglo 20 crece aproximadamente según la edo no lineal logística:

Donde: α=0.02 y β=0.00004. Desde 1900 se han medido los datos de la tabla en la próxima transparencia. Se puede afirmar que el modelo es adecuado ? Cuál es error entre 1900 y 1980 ?

2( ) ( )dp p t p tdt

α β= −

( )p t

1) MN para EDO: Motivación 4

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GHO EDO - MA-33A 7

Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:1) MN para EDO: Motivación 4

226.5204.9180.7152.3132.6123.1106.592.476.1

p(t) real

50.0195040.0194030.0193020.01920

60.01960

10.019100.01900

80.0198070.01970

Tiempo tkAño

( )150

2

4239761

21

0

soluciónexacta

( ) ( )

500( ) 1+

( )( ) 0,...,8

( ) (1980 1900) 108

10 0,1,...,8

α β

α β

+

= −

=

= + −

= = ∀ = =− −

= = =

= = =

t

k k k k

k k

k

dp p t p tdt

p te

p p h p pp p t t k n

T thn

t hk k k

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GHO EDO - MA-33A 8

Modelo de Crecimiento Logístico de una Población:1) MN para EDO: Motivación 4

235.3210.6186.7164.0142.7123.2105.689.976.1

p(t) Edo

-8.8-5.7-6.0

-11.7-10.1-0.10.92.50.0

Error1

229.1203.8173.5152.1141.7123.3107.589.076.1

p(t) Euler

226.5204.9180.7152.3132.6123.1106.592.476.1

p(t) real

6.26.8

13.211.91.6-0.1-1.90.90.0

Error2

50.0195040.0194030.0193020.01920

60.01960

10.019100.01900

80.0198070.01970

Tiempo tkAño

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GHO EDO - MA-33A 9

Ecuación de Duffing:Esta edo no-lineal se utiliza para describir diferentes sistemas dinámicos (resortes, transformadores, etc). La forma más general de esta ecuación es:

Por ejemplo, la edo del flujo magnético de un transformador tiene la forma:

( ) ( )2

3 202

( ) ( ) ( ) ( ) cosd x t dx t x t x t tdt dt

δ β ω γ ω φ+ + ± = +

1) MN para EDO: Motivación 5

( )3 20 cosb E t

Nωφ φ ω φ ω+ + =

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GHO EDO - MA-33A 10

Ejemplo Ecuación de Duffing:( ) ( )3 2

0 cosx x x x tδ β ω γ ω φ+ + ± = +

1) MN para EDO: Motivación 5

01, 1, 11, 1, 0

δ β ωγ ω φ= = == = =

Ejemplo de caos“ordenado”

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GHO EDO - MA-33A 11

1) MN para EDO: Ecuación Diferencial Lineal

EDO

Lineales⇒Integrables

No-Lineales

Según Orden

Coeficientes Constantes o Variables

Homogéneas o No

Encontrar tal que:

Tratamiento Analítico Caso a CasoSolución Vía Método Euler o R-K

( ) (1)1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

na x y x a x y x a x y x g x+ + + =

( )y f x=

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GHO EDO - MA-33A 12

1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden

1 0( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( )+ = ⇒ + =a x y x a x y x g x y x p x y x f x

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

p x dxp x dx p x dxy x ce e f x e dx

− − ∫∫ ∫= + ∫( ) ( )( )( )

( ) ( )− ⎡ ⎤∫∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫

p x dxp x dxy x e c f x e dx

( )

( )

( )

( )

'( ) ( ) ( ) 0 ( )

'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∫+ = ⇒ =

∫+ = ⇒ =

p x dxh

p x dxp

y x p x y x y x ce

y x p x y x f x y x g x e

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GHO EDO - MA-33A 13

1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden

'( ) ( ) ( ) ( ) ( )α+ =y x p x y x f x y xEcuación Tipo Bernoulli:

Al multiplicar la edo por: se obtiene:(1 ) αα −− y1(1 ) ' (1 ) ( ) (1 ) ( )α αα α α− −− + − = −y y p x y f x

1 1( )' (1 ) ( )( ) (1 ) ( )α αα α− −+ − = −y p x y f x

' (1 ) ( ) (1 ) ( )α α+ − = −u p x u f x

Si se define: se obtiene la edo lineal:1 α−=u y

1αα∈≠

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GHO EDO - MA-33A 14

1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden

' xy xyy

+ =Ejemplo Ecuación Tipo Bernoulli: 2 2 22 ' 2 2 ( )' 2 2+ = ⇒ + =yy xy x y xy x

' 2 2u xu x+ =Si se define: se obtiene la edo lineal:2u y=

2 2

( ) ( 1) ( ) 1x xu x ce y x u ce− −= + ⇒ =± =± +

Ejercicios Propuestos:( ) ( )

31 12 2 2

2 2 2

32 3 2 2

2 2

' , '' , ' ( 1)

( 1) (1 )

+ = + =+ = = +

+ = + −x

y y x y y xy xyy x y xy xy xy xx y y xe x y y

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GHO EDO - MA-33A 15

1) MN para EDO: EDO Lineal Primer Orden

2'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (+)= + +y x p x q x y x r x y x

Propuesto: Ecuación Tipo Ricati:

Se puede linealizar esta edo ? Sea una solución de (+) 1y

( )

21 1 1

2 21 1 1

1 1 1

12

1

'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ' ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

' ( ) ( ) ( 2 )

' ( ) 2 ( ) ( )

= + +

− = − + −= − + + −= + +

= + +

y x p x q x y x r x y x

y y q x y y r x y yq x y y r x y y y y

z q x z r x z z y

z q x r x y z r x z Edo Tipo Bernoulli:

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GHO EDO - MA-33A 16

1) MN para EDO:Problema de Cauchy o de Valor InicialDada una función diferenciable en ambas variablesy un punto inicial : Encontrar una función tal que:

Problema No-LinealDe Primer OrdenNo Homogéneo

0 0

0

( )( ) ( , ( ))

[ , ]

y t t ydy t f t y tdtt t T

= =

=

2:f →

0y ∈:y →

Solución Única

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GHO EDO - MA-33A 17

Se dice que una función satisface una condición de Lipschitz en la variable si existe (constante de Lipschitz) con la propiedad:

Sea un conjunto convexo. Si existe una constante que verifica:

entonces satisface la condición de Lipschitz en

1) MN para EDO:Resultados Teóricos para Problema de Cauchy

2:f R ⊂ →y

2R ⊂

L

1 2 1 2 1 1( , ) ( , ) ( , ),( , )f t y f t y L y y t y t y R− ≤ − ∀ ∈

L ( , ) ( , )f t y L t y Ry

∂≤ ∀ ∈

Rf

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GHO EDO - MA-33A 18

Teo: Sean y una función contínua en . Si satisface una condición de Lipschitz en la variable entonces el problema de valor inicial:

tiene solución única

2:f R ⊂ → R{ }0( , ) / ,R t y t t T y= ≤ ≤ −∞ < < ∞

fy

0 0

0

( )( ) ( , ( )) [ , ]

y t t ydy t f t y t t t Tdt

= =

= ∀ ∈

1) MN para EDO:Resultados Teóricos para Problema de Cauchy

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GHO EDO - MA-33A 19

1) MN para EDO:Método de la Serie de Taylor para Prob. CauchyLa solución del Problema de Cauchy se desarrolla en Serie de Taylor. Las derivadas se obtienen de la edo:

0 0

0

( )( ) ( , ( ))

[ , ]

y t t ydy t f t y tdtt t T

= =

=

( )( )0

00

( ) ( )!

knk

k

f ty t t t Error

k=

= − +∑( 1)

10

( ( ))( ) ( )( 1)!

nnf tError t t t

nξ+

+= −+

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

( , , ' )( ) , '( ) ' ( , ), ''( ) '' ,...df t y yy t y y t y f t y y t ydt

= = = = =

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GHO EDO - MA-33A 20

1) MN para EDO:Método de Euler para Problema de Cauchy

Se determinan valores de la funciónen puntos equi-espaciados en :

MétodoInexacto !

Error:2

(2)( )2 ih y ξ

00

( ) 0,...,kT th t t kh k nn−

= = + ∀ =

0 0

1

( )( , )k k k k

y y t ty y hf t y+

= == +

0[ , ]t Tn ky :y →

kt

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GHO EDO - MA-33A 21

1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 2 para P. CauchyMejoramos el método de Euler de la siguiente forma:

Tenemos que:

1 2

1 21 1 2

( , ) ( , ( , ))k k k k k k k k

k k k k

q hf t y q hf t h y hf t y

y y q q

α β

μ μ+

= = + +

= + +

2 2

1

2 2

1

( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) ( , ) '( , )2 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , )'( , ) '( ) ( , )

( , ) ( ,( ) ( ) ( , ) ( , )2 2

k k k k k k k k k k

k k k k k k k kk k k k k

k k k kk k k k k k k

h hy y t h y t hy t y t y t hf t y f t y

f t y f t y f t y f t yf t y y t f t yt y t y

f t y f t yh hy y t h y t hf t y f t yt

+

+

= + ≈ + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= + ≈ + + +

∂)

y∂ 1

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GHO EDO - MA-33A 22

1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 2 para P. CauchyPor otra parte:

Igualando y :

1 1 2

1 1 2

1

( , ) ( , ( , ))( , ) ( , )( , ( , )) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( ) ( , ) ( , ) ( , )

( ) (

k k k k k k k k

k k k kk k k k k k k k

k k k kk k k k k k k k

k k

y y hf t y hf t h y hf t yf t y f t yf t h y hf t y f t y h hf t yt y

f t y f t yy y t hf t y h f t y h hf t yt y

y y t

μ μ α β

α β α β

μ μ α β

+

+

+

= + + + +

∂ ∂+ + ≈ + +

∂ ∂

⎡ ⎤∂ ∂= + + + +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

= + 2 21 2 2 2

( , ) ( , )) ( , ) ( , )k k k kk k k k

f t y f t yhf t y h h f t yt y

μ μ μ α μ β∂ ∂+ + +

∂ ∂2

1 21 2 2 2

1 11 2 2

μ μ μ α μ β+ = = =

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GHO EDO - MA-33A 23

1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 2 para P. Cauchy

RKOrden 2

Error: 3( )O h

1

0

1 22 2

21

dado

( , ) ( , )kqhk k k k k k

k k k

y

q hf t y q hf t y

y y q+

= = + +

= +

0 0( ) ( , ( )) ( , ) dadody t f t y t t ydt

=

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GHO EDO - MA-33A 24

1) MN para EDO:RK 2: Ejemplo Simple

0( ) (2 1)4

1 2 11 12 2

21

( ) 0,..., 4

0.250.25 0,1,..., 4

( , ), ( , ) 0,1,..., 4

− −

+

= = = =

= = =

= = == = + += + =

k kT tn

k

k k k k k k k

k k k

y y t t k n

ht hk k kq hf t y q hf t h y qy y q k

2

2

0

, (1) 1

( )1 ln( )

( , ) , =1

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

=+

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

dy y y ydt t t

ty tt

y yf t y yt t

t yt k q1 q2 yk Eabs Erel1 1 0 0 0. 0247 1 0 01. 25 1. 0219 1 0. 03695 0. 04578 1. 0247 0. 0028 0. 00271. 5 1. 0672 2 0. 05108 0. 05488 1. 0705 0. 0033 0. 00311. 75 1. 1221 3 0. 05738 0. 05918 1. 1254 0. 0033 0. 00292 1. 1812 4 1. 1846 0. 0034 0. 0030

Page 25: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

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GHO EDO - MA-33A 25

10

11

0 0

1 20 0 0 0 0 02 2

21 0 0

1 1

1 21 1 1 1 1 12 2

22 2 2

0 : 0, 10, 76.1

( , ) 12.9035, ( , ) 13.7844

89.88441: 10, 10, 89.8844

( , ) 14.7452, ( , ) 15.6678

105.5523

= = = =

= = = + + =

= + =

= = = =

= = = + + =

= + =

qh

qh

k t h p

q hf t p q hf t p

p p qk t h p

q hf t p q hf t p

p p q

1) MN para EDO:RK 2 aplicado al modelo crecimiento logístico:

0( ) (1980 1900)8

1 2 11 12 2

21

( ) 0,...,8

10 10 0,1,...,8( , ), ( , )

0,1,...,8

− −

+

= = = =

= = = ⇒ = = == = + += + =

k k

T tkn

k k k k k k k

k k k

p p t t k n

h t hk k kq hf t y q hf t h y qp p q k

2

2

0 0

' ( ) ( )( , )

0.02, 0.00004 ( ) =76.1

α β

α βα β

= −

= −= =

=

p p t p tf t p p p

p t p

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GHO EDO - MA-33A 26

1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 3 para P. Cauchy

RKOrden 3

Error:4( )O h

1

01

22 2

3 1 2

dado

( , )

( , )

( , 2 )

k

k k k

qhk k k

k k k k k

y

q hf t y

q hf t y

q hf t h y q q

=

= + +

= + − −

1 2 311 6 ( 4 )k k k k ky y q q q+ = + + +

Page 27: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

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GHO EDO - MA-33A 27

1) MN para EDO:Método de Runge-Kutta de Orden 4 para P. Cauchy

RKOrden 4

Error:5( )O h

1

2

01

22 2

32 2

4 3

dado

( , )

( , )

( , )

( , )

k

k

k k k

qhk k k

qhk k k

k k k k

y

q hf t y

q hf t y

q hf t y

q hf t h y q

=

= + +

= + +

= + +

1 2 3 411 6 ( 2 2 )k k k k k ky y q q q q+ = + + + +

Page 28: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

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GHO EDO - MA-33A 28

1) MN para EDO:Ejemplo Métodos Euler y Runge-Kutta Orden 4

2 12' 1 [0,2] (0)y y t t y= − + ∈ =

0.00000010.65741440.65549820.65741450.1

0.00000000.50000000.50000000.50000000.0

0.00000030.82929830.82533850.82929860.2

0.00000101.42563841.41472641.42563940.5

0.00000081.21408691.20563451.21408770.4

0.00000051.01507011.00893341.01507060.3

Error R-KR-K Orden 4EulerExactotk

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GHO EDO - MA-33A 29

1) MN para EDO:Métodos Multipasos ExplícitosUn método multipaso de paso para resolver el problema de Cauchy es de la forma:

Se necesitan valores iniciales:Los coeficientes son las constantes del método y:

1 1 2 1 0 1

1 2 1 1 0 1 1 [ ( , ) ( , ) ( , )]k m k m k k m

m k k m k k k m k m

y a y a y a yh b f t y b f t y b f t y

+ − − − + −

− − − − + − + −

= + + + ++ + + +

m

m

0 1 1, ,..., my y y −

1 2 0 1 2 0, ,..., y , ,...,m m m ma a a b b b− − − −0( )

0 0,...,T tknh t t kh k n−= = + ∀ =

1 1 1

0 1

[3 ( , ) ( , )], dadosk k k k k ky y h f t y f t yy y

+ − −= + −PorEjemplo

AdamsBashforth m=2

Page 30: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 30

1) MN para EDO:Métodos Multipasos Explícitos

Adams – Bashforth de 3 Pasos

Adams – Bashforth de 4 Pasos

1 1 1 2 2

0 1 2

[23 ( , ) 16 ( , ) 5 ( , )]12

, , dados

k k k k k k k khy y f t y f t y f t y

y y y

+ − − − −= + − +

(4) 31 1 2 1

3( 1) ( ) [ , ]8 k k k kError k y h t tμ μ+ + − ++ = ∈

1 1 1 2 2 3 3

0 1 2 3

[55 ( , ) 59 ( , ) 37 ( , ) 9 ( , )]24

, , , dados

k k k k k k k k k khy y f t y f t y f t y f t y

y y y y

+ − − − − − −= + − + −

(5) 41 1 3 1

251( 1) ( ) [ , ]720 k k k kError k y h t tμ μ+ + − ++ = ∈

Page 31: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 31

1) MN para EDO:Sistemas de EdoUn sistema de primer orden (condiciones iniciales) de edo no-lineales es de la forma:

11 1 2

22 1 2

1 2

( , , ,..., )

( , , ,..., )

( , , ,..., )

n

n

nn n

dx f t x x xdtdx f t x x xdt

dx f t x x xdt

=

=

=

01 1

02 2

0

( 0)

( 0)

( 0)n n

x t x

x t x

x t x

= =

= =

= =

[0, ]t T∀ ∈

(+)

Page 32: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 32

1) MN para EDO:Sistemas de Edo

Teorema: Supongamos que las funciones son continuas y satisfacen la condición de Lipschitz en :

Entonces el sistema de edo no-lineales (+) tiene solución única. La condición de Lipschitz se satisface si:

1 21 2

( , , ,..., ) ( , , ,..., )i nn i

j

f t u u u L t u u u D fu

∂≤ ∀ ∈ + ∈

{ }

1 2 1 21

1 2 1 2

1 2

( , , ,..., ) ( , , ,..., )

( , , ,..., ), ( , , ,..., )( , , ,..., ) 0 , 1,...,

n

i n i n j jj

n n

n j

f t u u u f t v v v L u v

u t u u u v t v v v DD t z z z t T z j n

=

− ≤ −

∀ = = ∈

= ≤ ≤ −∞ < < ∞∀ =

( )if ⋅D

C1

Page 33: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 33

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Método de Euler

10 1 0

1 2 1, 1 2, 1 , 1

, 1 1 2

Aproximación de Runge-Kutta

Condiciones iniciales

, 0,1,...,

( )

(0),..., (0)

, ,..., , ,..., 1,..., , 0

( , , ,..., )

+ + +

+

= = ∀ =

=

= =

⇒ ∀ = ∀ ≥

= + ∀

k

ik i k

n n

k k nk k k n k

i k ik i k k k nk

Th t kh k nn

x x t

x x x x

x x x x x x i n k

x x hf t x x x i 1,..., , 0= ∀ ≥n k

Page 34: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 34

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge – Kutta de Orden 2

10 1 0

1 2 1, 1 2, 1 , 1

11 2

Aproximación de Runge-Kutta

Condiciones iniciales

, 0,1,...,

( )

(0),..., (0)

, ,..., , ,..., 1,..., , 0

( , , ,..., ) 1,...

+ + +

= = ∀ =

=

= =

⇒ ∀ = ∀ ≥

= ∀ =

k

ik i k

n n

k k nk k k n k

ik i k k k nk

Th t kh k nn

x x t

x x x x

x x x x x x i n k

q hf t x x x i2 1 1 11 1 1

1 1 2 22 2 2 2

2, 1

, , 0

( , , ,..., )

1,..., , 0+

∀ ≥

= + + + +

= + ∀ = ∀ ≥

hik i k k k k k nk nk

i k ik ik

n k

q hf t x q x q x q

x x q i n k

Page 35: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 35

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 2

El modelo de Lotka - Volterra predice la evolución en el tiempo de una población con 2 especies, una depredadora x1(t) y la otra presa x2(t). Se supone que la población presa tiene suficiente comida y que su natalidad es proporcional a la cantidad de presas vivas: k1x1(t). La mortalidad de la población presa depende del número de presas y depredadores: k2x1(t)x2(t). La natalidad de la población depredador es: k3x1(t)x2(t) y su mortalidad es: k4x2(t). Se expresa el cambio en la poblaciones presa y depredador mediante el sedo:

1 21 1 2 1 2 3 1 2 4 2

1 2 1 2 3 4

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,..., 4

(1) 1000, ( 1) 500 3, 0.002, 0.0006, 0.5

= − = − =

= = = = = = =

dx t dx tk x t k x t x t k x t x t k x t tdt dtx x t k k k k

Page 36: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 36

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 2En la iteración k de RK 2 aplicada a este sedo, hay que calcular primero: luego y luego

1 1 2 2 10 1 20 2

21 2 1, 1 2, 1 , 1

1 11 1 1 2 2 2 1 2

21 1

Aprox. RK . i.

donde

[0,4], 4, 1, , 0,1,...,4( ), ( ) (0), (0) c

, , , 0,1,2,3

( , , ), ( , , )

(

+ + +

∈ = = = = =

= = = =

⇒ = = +

= =

=

Tkn

k k k k

k k k k i k ik ik

k k k k k k k k

k

t n h t k kx x t x x t x x x x

x x x x k x x q

q hf t x x q hf t x x

q hf 1 11 11 1 2 22 2 2

2 1 11 12 2 1 1 2 22 2 2

, , )

( , , )

+ + +

= + + +

hk k k k k

hk k k k k k

t x q x q

q hf t x q x q

1 11 2,k kq q 2 2

1 2,k kq q 1, 1 2, 1,+ +k kx x

Page 37: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 37

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Ejemplo RK 2

Iteración 0:

1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 4 2( , , ) , ( , , )= − = −f t x x k x k x x f t x x k x x k x

110 1 10 20 1 10 2 10 20

120 2 10 20 3 10 20 4 20

2 1 11 110 1 10 10 20 202 2

2 1 11 120 2 10 10 20 202 2

211 10 10

221 20 20

( , ) 2000

( , ) 50

( , ) 3900

( , ) 367.5

=4900

=867.5

= = − =

= = − =

= + + =

= + + =

= +

= +

q hf x x k x k x x

q hf x x k x x k x

q hf x q x q

q hf x q x q

x x q

x x q

0 10 200, 0, 1, 1000, 500= = = = =k t h x x

Y así sigue para 0

11 21

1, 1, 14900, 867.5

= = =

= =

k t hx x

Page 38: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 38

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge – Kutta de Orden 3

10 1 0

1 2 1, 1 2, 1 , 11

1 22

12

Aproximación Runge-Kutta

Condiciones iniciales

, 0,1,...,

( )

(0),..., (0) , ,..., , ,...,

( , , ,..., ) 1,...,( ,

+ + +

= = ∀ =

=

= =

= =

= +

k

ik i k

n n

k k nk k k n k

ik i k k k nkh

ik i k k

Th t kh k nn

x x t

x x x xx x x x x x

q hf t x x x i nq hf t x

( )

1 1 11 1 11 2 22 2 2

3 1 2 1 2 1 21 1 1 2 2 2

1 2 31, 1 6

, ,..., ) 1,...,( , 2 , 2 ,..., 2 )

4 + 1,..., , 0+

+ + + =

= + − − − − − −

= + + ∀ = ∀ ≥

k k k nk nk

ik i k k k k k k k nk nk nk

i k ik ik ik ik

q x q x q i nq hf t h x q q x q q x q qx x q q q i n k

Page 39: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 39

1) MN para EDO:Sistemas de Edo: Runge – Kutta de Orden 4

10 1 0 1 2 1, 1 2, 1 , 1

11 2

2 1 11 11 1 2 22 2 2

Aproximación de Runge-Kutta

, 0,1,...,( )

(0),..., (0) , ,..., , ,...,

( , , ,..., ) 1,...,

( , ,

+ + +

= = ∀ =

=

= = ⇒

= =

= + + +

Tkn

ik i k

n n k k nk k k n k

ik i k k k nk

hik i k k k k

h t kh k nx x t

x x x x x x x x x x

q hf t x x x i n

q hf t x q x q

( )

112

3 2 2 21 1 11 1 2 22 2 2 2

4 3 3 31 1 2 2

1 2 3 41, 1 6

,..., ) 1,...,

( , , ,..., ) 1,...,

( , , ,..., ) 1,...,

2 2 1,..., , 0+

+ =

= + + + + =

= + + + + =

= + + + + ∀ = ∀ ≥

k nk nk

hik i k k k k k nk nk

ik i k k k k k nk nk

i k ik ik ik ik ik

x q i n

q hf t x q x q x q i n

q hf t h x q x q x q i n

x x q q q q i n k

Page 40: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 40

( )

( ) ( )

( ) ( 1)

( 1) ( 1)0 0 0

( 1)1 2

12

23

( ) ( 1)1 2

, , ',..., [0, ]

(0) , '(0) ',..., (0)

( ) ( ), ( ) '( ),..., ( ) ( )

'

''

, , ',..., , , ,...,

− −

= ∀ ∈

= = =

= =

= =

= = =

n n

n n

nn

n nnn

y f t y y y t T

y y y y y y

x t y t x t y t x t y tdx y xdtdx y xdt

dx y f t y y y f t x x xdt

1) MN para EDO:Edo de Orden Superior

01 1 0

02 2 0

0 ( 1)0

( 0)

( 0) '

( 0) −

= =

= =

= = nn n

x t x y

x t x y

x t x y

[0, ]t T∀ ∈

(+)

Page 41: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 41

( ) ( )

( )

3

1 2

1 23

2 2 1 1

'' ' cos

, '

'

' cos

+ + − =

=

= − + − +

x x x x t

x x x x

x x

x x x x t

1) MN para EDO:Edo de Orden Superior: Ecuación de Duffing

Page 42: Capitulo 6 Ecuaciones Diferenciales Or Din Arias

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GHO EDO - MA-33A 42

2) Bibliografía

1) R. Burden & J. D. Faires, Análisis Numérico, Séptima Edición, Thomson Learning, 2002.

2) C. Gerald & P. O. Wheatley, Applied NumericalAnalysis 7th Edition, Pearson – Addison Wesley, 2004.

3) G. Hernández O.: Apuntes de Cálculo Numérico