Capitolo 5

Applicazioni della teoria dellelinee di trasmissione

5.1 Analogia onda piana/linea di trasmissione

Cosi’ come mostrato nel primo capitolo, l’andamento della tensione e dellacorrente lungo una linea di trasmissione e’ descritto dal sistema di equazionidifferenziali

∂2

∂z2 V (z, ω) + k2 V (z, ω) = 0 , (5.1)

∂2

∂z2 I(z, ω) + k2 I(z, ω) = 0 , (5.2)

dove k = ω√LeqCeq, la cui soluzione generale risulta

V (z) = V+ exp(jkz) + V− exp(−jkz) , (5.3)

I(z) =V+

Z0exp(jkz)− V−

Z0exp(−jkz) , (5.4)

con Z0 =√Leq/Ceq. Si consideri ora un’onda piana che si propaga, paral-

lelamente all’asse z con campo elettrico polarizzato linearmente lungo l’assex, cioe’ ~E = Exx, in un mezzo lineare, omogeneo ed isotropo, caratterizzatoda una permittivita’ ε ed una permeabilita’ µ. Per tale onda il sistema diequazioni differenziali che ne regolano la propagazione risulta:

∂2

∂z2Ex(z, ω) + k2Ex(z, ω) = 0 , (5.5)

∂2

∂z2Hy(z, ω) + k2Hy(z, ω) = 0 , (5.6)

99

100CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

dove k = ω√εµ. Soluzione generale di tale sistema risulta essere

Ex(z) = E+ exp(jkz) + E− exp(−jkz) , (5.7)

Hy(z) =E+

ζexp(jkz)− E−

ζexp(−jkz) , (5.8)

dove ζ =√µ/ε e E+ indica, per avere accordo con il sistema di riferi-

mento convenzionalmente assunto per una linea di trasmissione, l’ampiezzadell’onda progressiva supposta propagarsi nel verso delle z negative.

Confrontando le soluzioni (5.7)–(5.8) con le (5.3)–(5.4) e’ subito evidenteche operando le sostituzioni

Ex ↔ V , Hy ↔ I , µ ↔ Leq , ε ↔ Ceq , (5.9)

e’ possibile studiare in modo equivalente il problema della propagazione diun’onda piana in un mezzo indefinito utilizzando la teoria delle linee ditrasmissione.

5.2 Analogia onda piana/linea di trasmissione: inci-denza ortogonale

Si consideri ora il caso in cui un’onda piana, con campo elettrico polarizzatolinearmente lungo x ed ampiezza E+, incida ortogonalmente sul semispazioz < 0 (mezzo 2) avente caratteristiche elettriche e magnetiche diverse daquello di provenienza dell’onda (mezzo 1). In entrambi i semispazi e’ pos-sibile descrivere la propagazione dell’onda tramite l’analogia delle linee ditrasmissione precedentemente introdotta. In z = 0 e’ poi necessario imporrela continuita’ delle componenti tangenziali dei campi, cioe’

Ex1(z)|z=0 = Ex2(z)|z=0 , (5.10)Hy1(z)|z=0 = Hy2(z)|z=0 , (5.11)

che si traduce nel richiedere

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.12)I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 . (5.13)

Cio’ equivale a connettere in z = 0 le due linee che rappresentano la propa-gazione dell’onda piana in ciascun semispazio (Fig. 5.1).

Nel caso in cui il mezzo 2 su cui incide l’onda piana sia costituito da unconduttore elettrico perfetto la condizione al contorno n× ~E1(z)

∣∣∣z=0

= 0 si

5.2. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA ORTOGONALE 101

zz

mezzo 1 mezzo 2

Figura 5.1: Equivalenza onda piana/linea di trasmissione.

traduce nell’imporre V1(z)|z=0 = 0; cio’ equivale a considerare la presenza diun corto circuito in corrispondenza del piano conduttore elettrico. Analoga-mente, nel caso in cui il mezzo 2 sia costituito da un conduttore magneticoperfetto la condizione al contorno n× ~H1(z)

∣∣∣z=0

= 0 si traduce nell’imporre

I1(z)|z=0 = 0 e quindi considerare un circuito aperto in corrispondenza delpiano magnetico.

Esercizio 5.1 Un’onda piana monocromatica avente frequenza f = 2 GHze ampiezza E+ = 1V/m, proveniente dallo spazio vuoto, incide ortogonal-mente su una lastra dielettrica (εr = 4) di spessore d = 1.875mm che ricopreun piano perfettamente conduttore (Fig. 5.2). Si determini il modulo delladensita’ di corrente sostenuta dal campo sul conduttore.

Si consideri un sistema di coordinate cartesiano, avente origine sul pianoconduttore, il cui asse z risulta ortogonale ad esso e rivolto nella direzio-ne di provenienza dell’onda. L’esercizio richiede di valutare il modulo delladensita’ di corrente elettrica superficiale ~Js che scorre sul conduttore; tut-tavia in corrispondenza dell’interfaccia lastra dielettrica/conduttore (z = 0)dovranno essere verificate le condizioni

n× ~E∣∣∣z=0

= 0 ,

n× ~H∣∣∣z=0

= ~Js ,

per cui sara’ sufficiente valutare il campo magnetico tangenziale al pianoconduttore elettrico perfetto a cui la corrente e’ direttamente legata.

Per la geometria del problema il campo elettrico e magnetico risultanosempre appartenenti ad un piano parallelo alla superficie di separazione tra

102CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

z

p.e.c.

d

E+

Figura 5.2: Onda piana incidente su una lastra dielettrica (εr = 4) di spessored = 1.875mm che ricopre un piano perfettamente conduttore.

i due mezzi ( ~E = Ett, ~H = Htt× z, t · z = 0) per cui, operando l’analogia

Et ↔ V , k = ω√εµ ↔ k = ω

√CeqLeq ,

Ht ↔ I , ζ =√µ

ε↔ Z =

√LeqCeq

,

e’ possibile studiare equivalentemente il circuito mostrato in Fig. 5.3. E’evidente che l’ampiezza del campo magnetico tangente al conduttore, e quindianche quella della densita’ di corrente superficiale, coincidono con l’ampiezzadella corrente che scorre sul corto circuito. In particolare per una linea incorto circuito e’ possibile scrivere I(z) = Iu cos(kz) per cui

I(d) = Iu cos(β1d) ⇒ Iu =I(d)

cos(β1d),

dove nel tratto AA′–BB′

k = β1 =2πfc

√εr ' 83.78 .

Sara’ quindi nostro obiettivo valutare la corrente I(d) in funzione dell’am-piezza dell’onda incidente V0+ ≡ E+. A tal fine e’ conveniente valutarel’impedenza che la linea chiusa in corto circuito presenta in corrispondenzadell’interfaccia vuoto/lastra dielettrica (sez. AA′),

ZAA′ = jζ1 tan(β1d) = jζ0

2tan(β1d) = j0.079ζ0 ,

5.2. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA ORTOGONALE 103

zd

A

A'

B

B'

V+0

Iu

z'

Figura 5.3: Circuito equivalente per la configurazione di Fig. 5.2

e considerare un nuovo sitema di riferimento z′ parallelo al precedente eavente origine in corrispondenza di tale interfaccia. In tali ipotesi:

I(d) = I ′(z′)|z′=0 =V0+

ζ0exp(jk0z

′) [1− Γ′(z′)]∣∣∣∣z′=0

=V0+

ζ0[1− Γ′(0)] ,

dove

Γ′(0) =ZAA′ − ζ0

ZAA′ + ζ0= exp(j2.99) .

Quindi

|Iu| =|I(d)||cos(β1d)|

=|V0+|

ζ0 |cos(β1d)||1− Γ′(0)| = 5.31 10−3 A ,

da cui

|Js| = 5.31mA/m .

Esercizio 5.2 Con riferimento alla configurazione dell’esercizio precedentesi diano indicazioni sullo spessore e sulle caratteristiche elettriche e magne-tiche del materiale con cui deve essere costruita la lastra che ricopre il pianoperfettamente conduttore al fine di non avere onda riflessa nello spazio vuoto.

104CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

E’ conveniente operare l’analogia onda piana/linea di trasmissione gia’ intro-dotta nell’esercizio precedente.

Si puo’ subito notare che non e’ possibile dissipare potenza sul caricoessendo questo costituito da un corto circuito. Per dissipare quindi la po-tenza associata all’onda incidente sara’ necessario supporre che la lastra siacostituita da un materiale con perdite caratterizzato da una permeabilita’µ = µ1 − jµ2 ed una permittivita’ ε = ε1 − jε2 complesse. A causa del-la presenza delle perdite anche la costante di propagazione risultera’ com-plessa k = β − jα ed il modulo del coefficiente di riflessione, allontanan-dosi dal corto circuito, diminuira’ esponenzialmente secondo l’espressione|Γ(z)| = exp(−2αz). Per annullare l’effetto dell’onda riflessa dal piano con-duttore sara’ quindi sufficiente dimensionare lo spessore d della lastra in modoche il coefficiente di riflessione all’interfaccia lastra/vuoto risulti cosi’ piccoloche la potenza associata all’onda riflessa sia inferiore, o al piu’ confrontabile,con quella dovuta al rumore.

Anche se le perdite introdotte permettono di mascherare la riflessioneintrodotta dal piano conduttore, si avra’ sempre una riflessione all’interfaccialastra/vuoto dovuta alla discontinuita’ nell’impedenza caratteristica dei duemezzi. Per ovviare sara’ necessario scegliere il materiale con cui realizzarela lastra in modo che questa presenti una impedenza caratteristica ζ1 paria quella del vuoto, cioe’ ζ1 = ζ0 = 120π. Poiche’ tale impedenza risultapuramente reale sara’ necessario verificare la condizione di Heaviside

ε2/ε1 = µ2/µ1 ,

da cui

ζ1 =√ε1µ1 + ε2µ2

ε21 + ε2

2= 120π .

Agendo opportunamente sulla permittivita’ e la permeabilita’ della lastra e’quindi possibile rimuovere anche l’effetto di discontinuita’ materiale all’inter-faccia lastra/vuoto.

5.3 Analogia onda piana/linea di trasmissione: inci-denza obliqua

Si consideri il problema di un’onda piana, proveniente da un semispazio ca-ratterizzato da una costante di propagazione k1 ed una impedenza caratteri-stica ζ1 (mezzo 1), incidente su un semispazio con costante di propagazionek2 ed impedenza caratteristica ζ2 (mezzo 2). Indicando con z la normale al

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 105

y

z

k1^

k'1^

k2^

k'2^

E_(1)

E_(1)

E_(2)

E_(2)

1

2

Figura 5.4: Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale:polarizzazione perpendicolare (caso TEz).

piano di separazione tra i due mezzi e con k1 la direzione di propagazionedell’onda piana incidente e’ possibile individuare un piano di incidenza dinormale x = z× k1. Per una qualsiasi polarizzazione dell’onda piana e’ sem-pre possibile rappresentare il campo elettromagnetico associato come sommadel campo di due onde piane, una avente campo elettrico perpendicolare alpiano di incidenza (polarizzazione perpendicolare), l’altra caratterizzata daun campo elettrico parallelo a tale piano (polarizzazione parallela). L’ondapolarizzata perpendicolarmente ha il campo elettrico sempre ortogonale al-la normale z per cui e’ anche denominata onda trasversa elettrica rispettoall’asse z (caso TEz). L’onda polarizzata parallelamente e’ invece caratte-rizzata da un campo magnetico ortogonale alla normale z per cui e’ anchedenominata onda trasversa magnetica rispetto all’asse z (caso TMz).

5.3.1 Polarizzazione perpendicolare (caso TEz)

Si consideri un’onda piana incidente con campo elettrico diretto parallela-mente all’asse x e direzione di propagazione

k1 = sin θ1y − cos θ1z , (5.14)

dove θ1 e’ l’angolo che tale direzione forma con la normale z (Fig. 5.4). In

106CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

tali ipotesi il campo associato all’onda risultera’

~Ei = E(1)+ x exp(−jk1k1 · r) = E

(1)+ x exp(−jky1y) exp(jkz1z) , (5.15)

~H i =1ζ1k1 × ~Ei = −E

(1)+

ζ1

(cos θ1y + sin θ1z

)exp(−jky1y) exp(jkz1z) ,

(5.16)

con

ky1 = k1 sin θ1 , kz1 = k1 cos θ1 . (5.17)

La discontinuita’ piana tra i due mezzi in z = 0 origina un’onda piana riflessaavente direzione di propagazione

k′1 = sin θ1y + cos θ1z , (5.18)

e campo elettromagnetico

~Er = E(1)− x exp(−jk1k

′1 · r) = E

(1)− x exp(−jky1y) exp(−jkz1z) , (5.19)

~Hr =1ζ1k′1 × ~Er = −E

(1)−

ζ1

(− cos θ1y + sin θ1z

)exp(−jky1y) exp(−jkz1z) .

(5.20)

Quindi nel semispazio superiore (mezzo 1) il campo totale, somma dell’ondaincidente e di quella riflessa, risulta:

Ex1(y, z) = + exp(−jky1y)[E

(1)+ exp(jkz1z) + E

(1)− exp(−jkz1z)

], (5.21)

Hy1(y, z) = − exp(−jky1y) ·

·[E

(1)+

cos θ1

ζ1exp(jkz1z)− E(1)

−cos θ1

ζ1exp(−jkz1z)

],

(5.22)

Hz1(y, z) = −sin θ1

ζ1Ex1(y, z) . (5.23)

Nel semispazio inferiore (mezzo 2) e’ invece presente un’onda diretta ed unariflessa la cui direzione di propagazione risulta rispettivamente

k2 = sin θ2y − cos θ2z , (5.24)

k′2 = sin θ2y + cos θ2z . (5.25)

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 107

Analogamente al semispazio superiore, le componenti del campo totale nelsemispazio inferiore (mezzo 2) risultano:

Ex2(y, z) = + exp(−jky2y)[E

(2)+ exp(jkz2z) + E

(2)− exp(−jkz2z)

], (5.26)

Hy2(y, z) = − exp(−jky2y) ·

·[E

(2)+

cos θ2

ζ2exp(jkz2z)− E(2)

−cos θ2

ζ2exp(−jkz2z)

],

(5.27)

Hz2(y, z) = −sin θ2

ζ2Ex2(y, z) , (5.28)

dove ky2 = k2 sin θ2 e kz2 = k2 cos θ2. All’interfaccia (z = 0) tra i duesemispazi i campi soddisfano le condizioni di continuita’ delle componentitangenziali

Ex1(y, z)|z=0 = Ex2(y, z)|z=0 , ∀x, y , (5.29)Hy1(y, z)|z=0 = Hy2(y, z)|z=0 , ∀x, y . (5.30)

Perche’ cio’ si verifichi per ogni valore della coordinata y dovra’ essere sod-disfatta la condizione

ky1 = ky2 = ky , (5.31)

ovvero la legge di Snell

k1 sin θ1 = k2 sin θ2 . (5.32)

Inserendo la relazione (5.31) nelle (5.29), (5.30) e’ facile verificare che inz = 0 dovranno essere equivalentemente soddisfatte le relazioni

E(1)+ + E

(1)− = E

(2)+ + E

(2)− , (5.33)

E(1)+

cos θ1

ζ1− E(1)

−cos θ1

ζ1= E

(2)+

cos θ2

ζ2− E(2)

−cos θ2

ζ2. (5.34)

Si considerino adesso due linee di trasmissione caratterizzate rispettivamentedai parametri:

Linea 1 Linea 2kz1 = k1 cos θ1 kz2 = k2 cos θ2

Z1 = ζ1/ cos θ1 = ωµ1/kz1 Z2 = ζ2/ cos θ2 = ωµ2/kz2V

(1)+ ≡ E

(1)+ V

(2)+ ≡ E

(2)+

V(1)− ≡ E

(1)− V

(2)− ≡ E

(2)−

108CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

E immediato verificare che la tensione e la corrente su tali linee rappresen-tano, a meno del fattore exp(−jkyny), le componenti del campo totale nelgenerico n–esimo semispazio:

Exn(y, z) = exp(−jkyny)Vn(z) , (5.35)Hyn(y, z) = − exp(−jkyny) In(z) , (5.36)

Hzn(y, z) = − exp(−jkyny)sin θnζn

Vn(z) , (5.37)

dove

Vn(z) =[V

(n)+ exp(jkznz) + V

(n)− exp(−jkznz)

], (5.38)

In(z) =

[V

(n)+

Znexp(jkznz)− V

(n)−

Znexp(−jkznz)

]. (5.39)

Inoltre, soddisfare le condizioni (5.33), (5.34) equivale a richiedere

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.40)I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 , (5.41)

e cioe’ a connettere le due linee in z = 0. Se ne deduce che al fine di risolvereil problema di onda piana si possono equivalentemente studiare le due lineedi trasmissione precedentemente definite poste in cascata.

Esercizio 5.3 Un’onda piana proveniente dallo spazio vuoto, polarizzataperpendicolarmente ed avente ampiezza E+ = 1V/m, incide su un semi-spazio dielettrico caratterizzato da una costante dielettrica εr = 4 formandoun angolo θ1 = 30◦ rispetto alla normale all’interfaccia vuoto/dielettrico.Si determini l’ampiezza del campo elettrico nello spazio vuoto ad un’altezzah = λ0/4 dall’interfaccia.

Si consideri la configurazione di linee equivalenti mostrata in Fig. 5.5 in cui:

kz1 = k1 cos θ1 , Z1 = ζ1/ cos θ1 ,

kz2 = k2 cos θ2 , Z2 = ζ2/ cos θ2

e V (1)+ = 1V ≡ E

(1)+ . Poiche’ il mezzo dielettrico e’ supposto indefinito per

z → −∞, nella linea di impedenza Z2 non sara’ presente alcuna onda riflessae la linea di impedenza Z1 puo’ essere considerata chiusa su un carico diimpedenza Zu = Z2. L’ampiezza dell’onda riflessa nella linea di impedenza

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 109

z 0

kz1

kz2

1Z

2Z

+V

(1)

h z h

z

0

y

z

k1^

E_(1)

k2^

E_(1)

E_(2)

Figura 5.5: Incidenza obliqua di una onda piana, polarizzata perpendico-larmente al piano di incidenza, su un semispazio dielettrico e suo circuitoequivalente.

Z1, ed equivalentemente l’ampiezza del campo elettrico riflesso nel semispaziovuoto, risulta

E(1)− ≡ V

(1)− = V

(1)+Z2 − Z1

Z2 + Z1=

= V(1)

+ζ2/ cos θ2 − ζ1/ cos θ1

ζ2/ cos θ2 + ζ1/ cos θ1= V

(1)+ζ2 cos θ1 − ζ1 cos θ2

ζ2 cos θ1 + ζ1 cos θ2.

Facendo uso della legge di Snell, k1 sin θ1 = k2 sin θ2, e’ possibile esprimere ilcos θ2 in funzione dell’angolo θ1 come:

cos θ2 =√

1− (sin θ2)2 =

√1−

[k1

k2sin θ1

]2

,

da cui

kz2 = k2

√1−

[k1

k2sin θ1

]2

= k2

√1− εr1

εr2(sin θ1)2 ,

Z2 = ζ2/

√1−

[k1

k2sin θ1

]2

=ζ0/√εr2√

1− εr1εr2

(sin θ1)2.

110CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

Cio’ permette di scrivere l’ampiezza del campo elettrico riflesso nel semispaziosuperiore come

E(1)− ≡ V

(1)− = V

(1)+

cos θ1√εr2− 1√

εr1

√1− εr1

εr2(sin θ1)2

cos θ1√εr2

+ 1√εr1

√1− εr1

εr2(sin θ1)2

=

= V(1)

+

cos θ1 −√

εr2εr1− (sin θ1)2

cos θ1 +√

εr2εr1− (sin θ1)2

,

da cui, inserendo i dati del problema, E(1)− = E

(1)+

1−√

51+√

5= −0.382.

L’ampiezza del campo elettrico nel semispazio di provenienza dell’ondapiana incidente ad un’altezza h = λ0/4 dall’interfaccia risulta percio’

|Ex1(y, z)||z=h =∣∣∣exp(−jky1y)

[E

(1)+ exp(jkz1h) + E

(1)− exp(−jkz1h)

]∣∣∣ =

=∣∣∣∣exp

(j

2πλ0

cos θ1λ0

4

)− 0.382 exp

(−j 2π

λ0cos θ1

λ0

4

)∣∣∣∣ = 0.67V/m .

5.3.2 Polarizzazione parallela (caso TMz)

Si consideri ora un’onda piana incidente su un semispazio materiale aventecampo magnetico diretto parallelamente all’asse x e direzione di propagazione

k1 = sin θ1y − cos θ1z , (5.42)

dove θ1 e’ l’angolo che tale direzione forma con la normale z (Fig. 5.6).Dualmente al caso di polarizzazione perpendicolare il campo totale nel gene-rico n–esimo semispazio risulta:

Hxn(y, z) = exp(−jkyny)

[E

(n)+

ζnexp(jkznz)− E

(n)−

ζnexp(−jkznz)

], (5.43)

Eyn(y, z) = exp(−jkyny) ·

·[E

(n)+ cos θn exp(jkznz) + E

(n)− cos θn exp(−jkznz)

],

(5.44)

Ezn(y, z) = ζn sin θnHxn(y, z) (5.45)

dove

H(n)+ = E

(n)+ /ζn , H

(n)− = −E(n)

− /ζn , (5.46)kyn = kn sin θn , kzn = kn cos θn . (5.47)

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 111

y

z

θ1 θ1k1^

k'1^

k2^

k'2^

θ2 θ2

H_(2)

1

2

H_(1) H_

(1)

H_(2)

E_(1)

E_(1)

Figura 5.6: Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale:polarizzazione parallela (caso TMz).

Ponendo l’equivalenza

V(n)

+ ≡ E(n)+ cos θn , (5.48)

V(n)− ≡ E

(n)− cos θn , (5.49)

kzn = kn cos θn , (5.50)

Zn = ζn cos θn =kznωεn

, (5.51)

le eqn. (5.43)–(5.44) assumono la forma

Hxn(y, z) = exp(−jkyny) In(z) , (5.52)Eyn(y, z) = exp(−jkyny)Vn(z) , (5.53)Ezn(y, z) = exp(−jkyny)ζn sin θn In(z) , (5.54)

dove

Vn(z) =[V

(n)+ exp(jkznz) + V

(n)− exp(−jkznz)

], (5.55)

In(z) =

[V

(n)+

Znexp(jkznz)− V

(n)−

Znexp(−jkznz)

]. (5.56)

Analogamente al caso di polarizzazione perpendicolare, imporre la continui-ta’ delle componenti tangenziali del campo all’interfaccia z = 0 tra i due

112CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

kz1 1Z

+V(1)

0

y

z

=

H_

E_

1

2

3

kz2 2Z

kz3 3Z

Figura 5.7: Onda piana incidente su uno strato dielettrico e suo circuitoequivalente.

semispazi

Ey1(y, z)|z=0 = Ey2(y, z)|z=0 , ∀x, y , (5.57)Hx1(y, z)|z=0 = Hx2(y, z)|z=0 , ∀x, y , (5.58)

equivale ad imporre

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.59)I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 , (5.60)

e quindi a porre in cascata le due linee equivalenti.

Esercizio 5.4 Un’onda piana proveniente dallo spazio vuoto avente pola-rizzazione parallela incide con un angolo θ1 = 30◦ su uno strato dielettricodi spessore d caratterizzato da una costante dielettrica relativa εr = 4. Sidetermini lo spessore d per cui non si ha onda riflessa nel semispazio di pro-venienza dell’onda.

Si consideri la configurazione di linee equivalenti mostrata in Fig. 5.7 in cui,facendo uso della legge di Snell:

kz1 = kz3 = k0 cos θ1 =2πλ0

cos(π/6) ,

Z1 = Z3 = ζ0 cos θ1 = 120π cos(π/6) ,

5.4. IL PROBLEMA DI N LINEE IN CASCATA 113

kz2 = k2 cos θ2 = k0√εr cos θ2 =

2πλ0

√εr − (sin θ1)2 =

π√

15λ0

,

Z2 = ζ2 cos θ2 =ζ0

εr

√εr − (sin θ1)2 = 15π

√15 .

Per non avere onda riflessa nel semispazio di provenienza dell’onda incidentesi dovra’ equivalentemente realizzare un trasformatore a mezz’onda e quindiimporre d = λz2/2 dove con λz2 si e’ indicata la lunghezza d’onda nel trattodi linea di impedenza Z2. Essendo

λz2 =2πkz2

= 2πλ0

π√

15=

2λ0√15,

lo spessore dello strato dielettrico risulta d = λ0/√

15 .

5.4 Il problema di N linee in cascata

Si vuole ora studiare il problema di N linee poste in cascata, o equivalen-temente N strati piani su cui incide un’onda piana. A tal fine si prendain considerazione un generico tratto di linea di lunghezza `n caratterizzatoda una costante di propagazione kn ed una impedenza caratteristica Zn. Secon Vn+1, In+1 e Vn, In si indicano la tensione e la corrente rispettivamentealla sezione z = 0 e z = `n (Fig. 5.8), dalla teoria generale delle linee ditrasmissione e’ possibile scrivere:

Vn = Vn+ exp(jkn`n) + Vn− exp(−jkn`n) , (5.61)

In =Vn+

Znexp(jkn`n)−

Vn−Zn

exp(−jkn`n), (5.62)

dove

Vn+ =12

(Vn+1 + In+1Zn) , (5.63)

Vn− =12

(Vn+1 − In+1Zn

). (5.64)

Sostituendo le eqn. (5.63)–(5.64) nelle (5.61)–(5.62), si ottiene:

Vn = Vn+1 cos(kn`n) + In+1 jZn sin(kn`n) , (5.65)

In = Vn+1j sin(kn`n)

Zn+ In+1 cos(kn`n) . (5.66)

114CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

0

z

Zn

Vn

In

Vn+1

In+1

n

jn

Figura 5.8: Generico tratto n della cascata di N linee.

Queste ultime relazioni possono essere convenientemente espresse in formamatriciale [

VnIn

]= T

n

[Vn+1

In+1

], (5.67)

definendo la matrice di trasmissione

Tn

=[cos(kn`n) jZn sin(kn`n)j sin(kn`n)

Zncos(kn`n)

]. (5.68)

Tale forma risulta utile nel caso in cui si consideri la connessione di N trattidi linea aventi caratteristiche diverse. Infatti per ognuno di essi e’ possibile,dopo aver valutato la corrispondente matrice di trasmissione, scrivere unarelazione del tipo (5.67). Per i due generici tratti n–esimo e n+1–esimoadiacenti tra loro e’ possibile scrivere:

(tratto n–esimo)[VnIn

]= T

n

[Vn+1

In+1

], (5.69)

(tratto n+ 1–esimo)[Vn+1

In+1

]= T

n+1

[Vn+2

In+2

], (5.70)

da cui risulta evidente [VnIn

]= T

nTn+1

[Vn+2

In+2

]. (5.71)

Estendendo tale risultato al caso in cui si sia in presenza di N di tratti dilinea connessi in cascata e’ possibile scrivere[

VnIn

]= T

[Vn+N

In+N

], (5.72)

5.4. IL PROBLEMA DI N LINEE IN CASCATA 115

IN+1

V

I

Z

A

A'

Z Z Z VN+1

Zu

Figura 5.9: Cascata di N tratti di linea con caratteristiche diverse.

oppure [Vn+N

In+N

]= T−1

[VnIn

], (5.73)

dove con T si e’ indicata la matrice risultante dal prodotto delle matrici ditrasmissione caratterizzanti i singoli tratti di linea, cioe’

T =

[N−1∏i=0

Tn+i

]. (5.74)

Esercizio 5.5 Si valuti il coefficiente di riflessione all’ingresso di una ca-scata di N tratti di linea terminata da un generico carico Zu.

Il coefficiente di riflessione alla sezione AA′ e’ legato all’impedenza ZAA′ =V1/I1 che la cascata degli N tratti di linea presenta a tale sezione dallarelazione:

ΓAA′ =ZAA′ − Z0

ZAA′ + Z0.

La tensione V1 e la corrente I1 alla sezione AA′ risulta legata alla tensioneVN+1 e alla corrente IN+1 sul carico dalla relazione[

V1

I1

]= T

[VN+1

IN+1

]=[t11 t12

t21 t22

] [VN+1

IN+1

],

dove

T =[t11 t12

t21 t22

]=

[N∏i=1

Ti

]

116CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

A

A'

B

B'

ZnZn-1

jn

ZBB'

z

Figura 5.10: Due tratti di linea in cascata terminati su un carico ZBB′ .

e la matrice Ti

e’ definita come nell’eq. (5.68). L’impedenza Zu del carico e’anche esprimibile come Zu = VN+1/IN+1 da cui[

V1

I1

]=[t11 t12

t21 t22

] [Zu1

]IN+1

e

V1 =(t11Zu + t12

)IN+1 ,

I1 =(t21Zu + t22

)IN+1 .

Ne segue che l’impedenza alla sezione AA′ e’ valutabile attraverso la relazione

ZAA′ =V1

I1=t11Zu + t12

t21Zu + t22

e da essa il coefficiente di riflessone richiesto.

5.5 Teoria delle piccole riflessioni

Si consideri dapprima la configurazione schematizzata in Fig. 5.10. Indicatocon

Γn =ZBB′ − ZnZBB′ + Zn

(5.75)

il coefficiente di riflessione di tensione alla sezione BB′, e’ possibile espri-mere il coefficiente di riflessione subito a destra della sezione AA′ tramite larelazione

Γ′n = Γn exp(−j2kn`n) , (5.76)

5.5. TEORIA DELLE PICCOLE RIFLESSIONI 117

dove kn rappresenta la costante di propagazione nella linea di impedenzaZn. Il carico ZBB′ si presenta equivalentemente alla sezione AA′ come unaimpedenza

ZAA′ = Zn1 + Γ′n1− Γ′n

, (5.77)

per cui il coefficiente di riflessione subito a sinistra della sezione AA′ puo’essere espresso come:

ΓAA′ =ZAA′ − Zn−1

ZAA′ + Zn−1=Zn(1 + Γ′n)− Zn−1(1− Γ′n)Zn(1 + Γ′n) + Zn−1(1− Γ′n)

=Zn−Zn−1Zn+Zn−1

+ Γ′n1 + Zn−Zn−1

Zn+Zn−1Γ′n

.

(5.78)

Indicando con

Γn−1 =Zn − Zn−1

Zn + Zn−1, (5.79)

il coefficiente di riflessione alla sezione AA′ risulta

ΓAA′ =Γn−1 + Γn exp(−j2kn`n)1 + Γn−1Γn exp(−j2kn`n)

. (5.80)

Si supponga ora che la discontinuita’ tra le impedenze Zn−1 e Zn, cosi’ cometra le impedenze Zn e ZBB′ , sia piccola e quindi sia valida la diseguaglianza|Γn−1Γn| � 1. In tali ipotesi al denominatore della eq. (5.80) e’ possibiletrascurare rispetto all’unita’ il termine in cui appare la funzione esponenzialee quindi approssimare il coefficiente di riflessione alla sezione AA′ tramitel’espressione

ΓAA′ ' Γn−1 + Γn exp(−j2kn`n) . (5.81)

Attraverso la relazione approssimata (5.81) la riflessione alla sezione AA′ puo’essere interpretata come la somma della riflessione diretta alla sezione AA′,dovuta alla discontinuita’ introdotta dalle differenti impedenze caratteristichedelle due linee di cui Γn−1 rappresenta il coefficiente di riflessione, e dellariflessione dovuta al carico con la relativa variazione di fase, ed eventualmentedi ampiezza, exp(−j2kn`n) introdotta dal tratto di linea di impedenza Zn.

Se ora si considera una cascata di N tratti di linea, cosi’ come schema-tizzato in Fig. 5.9, e si definisce

Γn =Zn+1 − ZnZn+1 + Zn

per n = 0, 1, . . . , N − 1 (5.82)

ΓN =Zu − ZNZu + ZN

(5.83)

θn = kn`n per n = 1, 2, . . . , N , (5.84)

118CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE – A.FRENI

nell’approssimazione di piccole riflessioni e’ possibile stimare il coefficiente diriflessione all’ingresso della cascata delle N linee come:

ΓAA′ = Γ0 + Γ1 exp(−j2θ1) + Γ2 exp(−j2θ1) exp(−j2θ2) + . . .+

+ . . .+ ΓNN∏i=1

exp(−j2θi) . (5.85)

Si consideri ora il caso in cui le linee siano prive di perdite, Zn = Rn, e lalunghezza `n sia scelta in modo tale che la lunghezza elettrica di ogni linearisulti identica, cioe’ θn = βn`n = θ per n = 1, 2, . . . , N . In tali ipotesi

ΓAA′(θ) = Γ0 + Γ1 exp(−j2θ) + Γ2 exp(−j4θ) + . . .+ ΓN exp(−j2Nθ) .(5.86)

Si assuma inoltre che i coefficienti di riflessione risultino simmetrici1, cioe’Γ0 = ΓN , Γ1 = ΓN−1, Γ2 = ΓN−2, . . . ; cio’ permette di scrivere il coefficientedi riflessione alla sezione AA′ nella forma:

ΓAA′(θ) = exp(−jNθ) {Γ0 [exp(jNθ) + exp(−jNθ)]+Γ1 [exp(j(N − 2)θ) + exp(−j(N − 2)θ)] + . . . } , (5.87)

dove l’ultimo termine in parentesi graffa risultera’ ΓN2

per N pari mentreΓN−1

2[exp(jθ) + exp(−jθ)] per N dispari. In particolare la relazione (5.87)

puo’ essere riscritta nella forma di serie finita di Fourier sia per N pari

ΓAA′(θ) = 2 exp(−jNθ) {Γ0 cos [Nθ] + Γ1 cos [(N − 2)θ]

+ . . .+ Γn cos [(N − 2n)θ] + . . .+12

ΓN2

}, (5.88)

che per N dispari

ΓAA′(θ) = 2 exp(−jNθ) {Γ0 cos [Nθ] + Γ1 cos [(N − 2)θ]

+ . . .+ Γn cos [(N − 2n)θ] + . . .+ ΓN−12

cos θ}. (5.89)

L’importanza del risultato risiede nel fatto che, scegliendo opportunamentei coefficienti di riflessione Γn, che coincidono con i coefficienti della serie diFourier, e un numero N sufficiente di sezioni, e’ possibile sintetizzare qualsiasiandamento del coefficiente di riflessione ΓAA′ in funzione della frequenza f acui la lunghezza elettrica θ e’ legata dalla relazione f = θvfn/2π`n, dove convfn si e’ indicata la velocita’ di fase misurata in una qualsiasi sezione n.

1Tale ipotesi non implica tuttavia un andamento simmetrico delle impedenze Rn.