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Cuaderno de Actividades: Física II

11) CORRIENTE ALTERNA

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 205

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( )ε t

Cuaderno de Actividades: Física II

11.1) Generadores

( ) m

CORRIENTES

ALTER

t e t

N S

n

A

ε ε ε ω ϕ

≡ ≡ +

678

Se pueden producir con un sistema de bobinas en la región de B debido a inducción Faraday.**La f.e.m. alterna la circulación de las corrientes.

11.2) Circuitos resistivos, capacitivos e inductivos

i) Circuito Resistivo

( )( )

?

M

i i t

t sen tε ε ω= =

≡2ªLey de Kirchhoff : ε - Ri 0

( )

( )

MM

MM M

i t sen t I sen

i t I sen

t

R

R

t I

Rεω

εε ω ω≡ ≡

→≡ =

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 206

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Cuaderno de Actividades: Física II

( ) ( ) M Mt sen t i t I sen tε ε ω ω≡ ⇒ ≡

:

( )

FASE

v iε→

≡ −

USANDO FASORES ( =“VECTORES”), para describir las relaciones v-i

Los FASORES son especies de vectores de intensidad igual a los valores máximos (o valores pico) de las CF asociadas. Se les representa girando con frecuencia angular ω en un plano, de tal manera que los valores instantáneos de las CF se obtienen mediante su proyección en el eje vertical.

Para el circuito resistivo:

( ) ( ) M Mt v t sen sen tε ε θ ε ω≡ = = ( ) M Mi t I sen I sen tθ ω≡ ≡

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( )v t

( )i t

MV

MI

θ

ωt

207

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( )ε t

Cuaderno de Actividades: Física II

Graficando las ecuaciones para v(t) y i(t)

ii) Circuito Capacitivo

C≡

De 2ªLey de Kirchhoff :

qε - 0

( )

cos

M M

M

t V sen t q CV sen t

dqi CV t

dt

ε ω ω

ω ω

≡ ⇒ ≡

⇒ ≡ ≡

( )

( )

cos

2

M

M

i t CV t

i t CV sen t

ω ωπω ω

→ ≡

≡ +

( )2Mi t I sen tπω ≡ +

1M M M MI C V V I

ω ≡ → ≡

M C MV X I⇒ ≡

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Cuaderno de Actividades: Física II

, : Re1

CC X acatrancia

Capaci va

XC

tiω

Con lo que las ecuaciones para V e i, resultan,

( ) ( ) Mt v t V sen tε ω≡ = ( )2Mi t I sen tπω ≡ +

Como puede apreciarse de las ecuaciones v(t) e i(t), la corriente en el capacitor adelanta en (π/2) al voltaje, en el “lenguaje” de fasores tendríamos la siguiente representación,

De igual forma en el “lenguaje” grafico, las curvas v-i muestran el mismo adelanto de la corriente frente al voltaje,

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MVMI

209

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( )ε t

Cuaderno de Actividades: Física II

iii) Circuito Inductivo

( ) ?

dt

≡ =

De la 2ªLey de Kirchhoff :

diε - L 0

i i t

( ) ( ) Mt v t V sen tε ω= ≡ ( )2Mi t I sen tπω ≡ −

En la ecuación de corrientes,

MM M M

VI V L I

ω≡ → ≡

M L M LV X I X Lω≡ ⇒ ≡

: Re tanL X ac cia inductiva

Las ecuaciones v(t) e i(t) asociadas muestran, ahora, un retraso de (π/2) de la corriente frente al voltaje,

( ) ( ) Mt v t V sen tε ω= ≡ ( )2Mi t I sen tπω ≡ −

Este retraso es claramente descrito por los fasores,

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MV

MI

210

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Cuaderno de Actividades: Física II

La información contenida en la gráfica V-t muestra claramente este retraso de la corriente,

iv)

Observaciones

j) Grafico de reactancias

La influencia opositora de la resistencia, R, y de las reactancias χc y χL, en

función de la ω,

( )R R ω≠

1CX

Cω≡

L X Lω≡

jj)Corriente y voltaje eficaz,Ief, Vef

Las cantidades eficaces son cantidades que representan al circuito de CA, se determinan usando criterios energéticos, como por ejemplo, a un circuito resistivo puro de CA, se le asocia otro de CC de tal forma que la potencia disipada por R sea la misma,

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211

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Cuaderno de Actividades: Física II

( )2 2

" " max

M P

P

i t I sen t I sen t

I I pico o ima

π πω ω ≡ + ≡ +

Cuando la potencia generada por el circuito alterno es igual a la potencia del circuito continuo, I=Ief. Se encuentra experimentalmente que la corriente i(t)

genera la mitad de potencia que Im ( o Ip),

( )1

22 P e fI I eiP

t f

IIP P P≡ → ≡≡

Razonamiento análogo conduce a, 2P

ef

VV ≡

11.3) Circuitos RLC en serie

( ) ?i i t≡ =

De la 2da de Kirchhoff,

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I

PI

R

i(t)P

i

( )ε t i

( )i t

ε(t)

L

R

C

212

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Cuaderno de Actividades: Física II

( )

( )

0

1

...C

q dit Ri L

C dtR

q q q tL LC

resolviendola E Diferencial

ε

ε

− − − ≡

→ + + ≡

&& &

Resolviendo usando Fasores…El diagrama de fasores se muestra en la siguiente figura,

Recuerden las correlaciones entre las corrientes y los voltajes; como en el circuito en serie la corriente es la misma, comparamos los voltajes con la corriente. Los fasores VL, VC y VR se componen para obtener el fasor V0=VM,

de tal forma que,

( ) 2 2 20,

,

,

L C R M M

CS

L L M C C M R M

V V V V V V

y conlas E

V I V I y V RIχ χ

− + ≡ ← =

= = =

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Cuaderno de Actividades: Física II

( ) ( )

2 2 2 2

12 2 2:

:Im

L C M M

L C

M M ef ef

MM

R I V

Definiendo Z R

Z pedancia del circuito deCA

V ZI V ZI

VI

Z

χ χ

χ χ

→ − + =

= − +

→ = → =

→ =

F

Con lo que si,

( ) ( )

,

tan( )

M M

L C

v t V sen t i t I sen t

Donde

R

ω ω φ

φχ χφ

≡ → ≡ −

−=

Depende de la intensidad de los χs,

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X *

R

X L

X C

X L Xc X L XcX L Xc=

R

X* L

La tensión totalestará adelantado

menos de 90 gradosrespecto a la

corriente

R

X * C

La tensión totalestará retrasado

menos de 90 gradosrespecto a la

corriente

R

Tensión total ycorriente

en fase

X* LΦ

X L X C

R

Z R X L

X C

R

X * cΦ

X LX C

Z

214

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Cuaderno de Actividades: Física II

Observaciones:

i) Usando el plano complejo

Supongamos que la impedancia, Z, se defina sumando complejamente R y las χs,

,

,

( )

C L

R C C L L

R C C L C

Z R

transformando a impedancias complejas

Z R Z i y Z i

Z Z Z Z R i

χ χ

χ χ

χ χ

= + +

→ ≡ ≡ − ≡

→ = + + ≡ + −

Esto es, si consideramos a las Zs, fasores en un plano complejo,

( ) 1

2 2 2

1

?iL

n

Ci

Z Z ZR Zχ χ=

→ = = − + =→ ∑

ii) Circuitos RLC en paralelo

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Cuaderno de Actividades: Física II

La Z del circuito se obtendrá usando fasores de corriente, puesto que ahora se aplica el mismo voltaje a todos los Zs,

122 2

122 2

1 1 1 1

M M M M

C L

C L

V V V V

Z R

Z R

χ χ

χ χ

= + −

→ = + −

También podríamos asumir impedancias en paralelo, usando

( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )

1

22

122 2

1

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1?

L C

C L C L

C L L C C L

C L C L L C

C L C L L C

C L L C

C L

n

i i

i

Z R i i Z R

R i RZ

Z R R i

R

Z Z

R iZ

R

Z R

χ χχ χ χ χ

χ χ χ χ χ χχ χ χ χ χ χ

χ χ χ χ χ χ

χ χ χ χ

χ χ =

−= + + → = +

−+ −

→ = → =+ −

− −→ =

+ −

→ = + − → =

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IC

IL

IR

VM

IM

216

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Cuaderno de Actividades: Física II

11.4) Potencia de un circuito de CA

i) P instantanea,P(t)

( )

( )

...M M

M M

v t i t

V sen t I sen t

P V I sen t sen

P

P

t

ω ω φ

ω ω φ

≡ − → ≡ −

ii) P Media, PM

2

2

( )

1cos 2

2

12 0

2

T

M M

M M

T

m

T

P t

P V I sen t sen t sen

P V I sen t sen t

sen t sen t

P

ω φ ω φ

ω ω φ

ω ω

≡ −

→ ≡ −

→ ≡ ∧ ≡

2

2 2

0 0

12 2 0

2

1cos cos

2?m

T T

TT

M M ef ef

ef

sen t sen t dt sen t sen t dt

P I

P V I V I

R

ω ω ω ω

φ φ

→ ≡ ≡ ∧ ≡

→ ≡

→ ≡ ≡

∫ ∫

Al factor cos(φ) se le llama FACTOR DE POTENCIA, describe la influencia de las impedancias (reactancias) sobre la Pm.

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Cuaderno de Actividades: Física II

11.5) Resonancia

Es un fenómeno en donde la I de un circuito de CA alcanza su valor máximo (CCA serie, por ejemplo). Este valor extremo se alcanza bajo la condición,

1res

LCω ≡

En general:

( ) ( )( )

22

2

2

2 2

22 2 2 2 222

( )1

1

ef

efef ef

m ef

efm m

res

VI I

R LC

P I R

VP R

R

V RP

LL

C

R

ωω

ω

ω

ωω

ω

ωω

ωω

≡ ≡ + −

≡ → + −

≡ + −

La grafica Pm-ω muestra la dependencia con ωres. A dicha frecuencia el

circuito se comportará como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos e inductivos se anulan mutuamente.

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∆ω

218

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Cuaderno de Actividades: Física II

En las curvas de Pm se define el factor de calidad, Q0, el cual se vincula a R,

0resQ

ωω

≡∆

Donde ∆w se mide a media altura, Pm = (Pm,max /2)

¿Es curioso o no que en los circuitos en paralelo se obtenga?

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Cuaderno de Actividades: Física II

11.6) Transformadores

Son dispositivos (maquinas eléctricas) que permiten controlar voltajes alternos, así como impedancias, usando inducción Faraday. Están constituidos básicamente por dos enrollados y un entrehierro como indica la figura,

Primario Secundario

p p

p

N

R

ε −

s s

s

N

R

ε −

Aplicando inducción Faraday a ambas bobinas, primaria y secundaria,

,

,

...1

...2

B pp p

B ss s

dN

dt

dN

dt

φε

φε

De las ecuaciones 1 y 2 y asumiendo un entrehierro altamente colector de B (ferromagnético),

, ,B p B sd d

dt dt

φ φ≡

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Cuaderno de Actividades: Física II

Entonces, en la aproximación de transmisión de flujo ideal,

p p

s s

N

N

εε

Esta expresión puede, por supuesto, extenderse a los (voltaje pico) o ,p efV V debido a que la señal en el secundario tiene la misma frecuencia que la del primario,

p p pp efp

s s ps efs

N V V

N V V

εε

≡ ≡ ≡

Ahora, asumiendo caso ideal para la potencia, esto es, la ,p sP P≡

p p p s s s p p s sV I V IP V I P V I≡ ≡ ≡ → ≡

En los casos reales se introduce un factor de potencia,ε,

: %s pP Pε ε←≡

¿? Que importancia tecnológica tienen los transformadores.

¿? Que tipos de transformadotes existen y con que usos.

¿? Podría construir un transformador no convencional y darle aplicación.

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Cuaderno de Actividades: Física II

11.7) Circuitos Filtro

Circuitos constituidos por R, C o L, capaces de atenuar señales eléctricas en función de la frecuencia, es decir, pueden filtrar señales de baja frecuencia, alta frecuencia o una banda determinada de frecuencias.

i) CF pasa bajas

La ganancia, g, es notable para señales de baja frecuencia.

La g se define de la siguiente manera,

, : :s es

e

V V enla salida yV V deentV

g aV

rad≡

Tenemos el siguiente circuito,

El voltaje de salida se toma en el condensador, de tal forma que la ganancia es,

( )22

21

11

1

c

e

M

M

s I wCZI

RwC

Vg

V RwC

χ≡ ≡ ≡ +

+

donde la g es casi 1 para bajas ws, como se muestra en la grafica,

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g 1

0 w

222

Circuit1Title:

R1

1.0kohm

C1

1.0uFV1

1V 1000Hz

1 2

0

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Cuaderno de Actividades: Física II

ii) CF pasa altas

La ganancia, g, es notable para señales de alta frecuencia.

Usando el mismo circuito,

El voltaje de salida se toma en la resistencia, de tal forma que la ganancia es,

222

1

11

1e

M

M

s RI RVg

RwC

ZIR

V

wC

≡ ≡ ≡ +

+

observamos que la g es casi 1 para altas ws, como se muestra en la grafica,

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g 1

0 w

223

Circuit1Title:

R1

1.0kohm

C1

1.0uFV1

1V 1000Hz

1 2

0

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Cuaderno de Actividades: Física II

¿? Es posible construir otros circuitos filtro usando L.

¿? Como se construiría un circuito pasa banda, (w1, w2).

¿? Si estos CF son pasivos, cuales son los activos.

¿? Aplicaciones tecnológicas del los CF.

Aplicaciones:

S6P5) Un generador de ca y frecuencia variable se conecta a un circuito LCR serie con R = 1 kΩ, L = 50 mH y C = 2,5 µF.a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?

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Cuaderno de Actividades: Física II

b) ¿Cuál es el valor de Q?c) ¿A qué frecuencia el valor de la potencia media suministrada por el

generador es la mitad de su valor máximo?

SOLUCION:

a) CA, RCL ene serie: 3 6 310 , 2,5 10 50 10R C y L− −≡ ≡ × ≡ ×

( ) ( )03 6

1 1

50 10 ,5 0?

2 1resw w

LC − −≡ ≡ ≡ ≡

× ×

b) y c) ,max

1? ? / ( )

2s m mQ y w P w P≡ ≡ ≡

El factor de calidad Q, se obtiene por,

( )

?L rese resr sw Lw

R

wQ

w R

χ≡ ≡

∆≡≡

donde, ∆w es el ancho de frecuencias a media altura, como muestra la figura, 2 1,w w w∆ ≡ −

1 2 1 2 ,max

1?, ? / ( ) ( )

2m m mw w w P w P w P∆ ≡ ∧ ≡ ≡ ≡

yendo a la ecuacion de mP w− , e imponiendo la condición de ws,

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Pm

Pm,max

(1/2)Pm,max

0 w w1 wres w2

225

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Cuaderno de Actividades: Física II

( )( )

2 2

22 2 2 2 2

ef

m

res

V RP

R L

ωω

ω ω ω

≡ + −

( )( )

2 2 2

22 2 2 2 2

1

2ef ef

m

res

V R VP

RR L

ωω

ω ω ω

≡ ≡ + −

( ) 22 2 2 2 2 2 2res res

RR

Lw wL wω ω ω− ≡ → − ≡ ±

2 2 2 2

2 2

...

...

0

0

res res

res

w w w w

w

R Rw w

L L

Rw

L

I

w II

− ≡ ± → + − ≡

→ − − ≡

22

22

1 3

4 4

2:

2

res res

R R R RL L L L

w w

w w

De I

− + + − − + ≡ ∧ ≡

22

2

22

4

4 4

2:

2

res resw w

D

R R R R

e IIL L L L

w w

+ + + + − + ≡ ∧ ≡

Las soluciones 3 y 4 se desestiman por ser negativas y de 1 y 2, resulta,

1

2

?

?

?

resw LRw

LQ

R

w

w

≡ ≡

∆ ≡

S6P37)

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i R + ∼ C - - L

226

Page 23: Cap 11-ca  205-231

Cuaderno de Actividades: Física II

En el circuito RLC en serie de la figura, tome R = 8 Ω, L = 40 mH, C = 20 µF, la diferencia de potencial pico de la fuente, v0 = 100 V y ν =( 200/π) Hz. a) Deduzca la impedancia del circuitob) ¿Cuál es el valor de la corriente?

Halle la diferencia de potencial rms a través dec) R, C y L individualmented) R y C combinados e) C y L combinadas

SOLUCION:

De los datos 6

max8, 0,04, 20 10 , 100 400pR L C V V y w−≡ ≡ ≡ × ≡ ≡ ≡ ,

a)… ( ) 1

2 2 2 ...?L CZ Rχ χ + ≡≡ −

b) De las ecuaciones,1

, ,MM C L

VI w

Z wCy Lχ χ≡ ≡ ≡

( ) ( )( ) ( )

6

1 1125

400 20 10

400 0,04 16

C

L

wC

y wL

χ

χ

−≡ ≡ ≡

×

≡ ≡ ≡

Calculando max109,3 y con 100 8,Z V y R≡ ≡ ≡

0,92MI ≡

c) Hallando los ,rms efV V≡

c1) , 50,92 8 7,4 ,32

M R Mp

ef

VVV I R≡ ≡ × ≡ ≡ ≡→

c2) , 0,92 125 115 81,62

M eCp

M C f

VVV I χ ≡ ≡≡ ≡ × ≡ →

c3) , 0,92 16 14, 107 ,42

M L M Lp

ef

VVV I χ≡ ≡ × ≡ ≡ ≡→

d) Ahora para la combinación RC,

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 227

Page 24: Cap 11-ca  205-231

Cuaderno de Actividades: Física II

2 2 2 2

,

8 125 125,3

0,92 125,3 115, 1,3 8 82

CRC

M RCp

fRC eM

R

V IV

V

χ χ

χ

≡ + ≡ + ≡

≡ → ≡≡ ≡× ≡

e) Combinación CL,

,

109

0,92 109 100 12

, 13 7 ,pef

LC

M LC M LCV IV

V

χ

χ

≡ ≡ × ≡ ≡≡ →

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 228

Page 25: Cap 11-ca  205-231

Cuaderno de Actividades: Física II

S6P25)En relación al circuito mostrado,a) Halle la resistencia equivalente.b) Halle corriente por la resistencia.c) Halle la corriente por la inductancia.d) Si se toma una señal por la resistencia ¿Es un

filtro? Why.

SOLUCION:

Datos: 3 660, 150, 10, 5 10 , 20 10pV R L Cν − −≡ ≡ ≡ ≡ × ≡ × ,

a) La impedancia del sistema estaría dada por,

( )

12 2

2 L C

C L

Z Rχ χ

χ χ

≡ + −

Calculando para,1

,C Ly wLwC

χ χ≡ ≡

( ) ( )

( ) ( )

6

3

1 1132,7

2 60 20 10

2 60 5 10 1,9

C

L

ywC

wL

χπ

χ π

≡ ≡ ≡× ×

≡ ≡ × × ≡

Reemplazando en Z,

10,2Z ≡

b) Usando MM

VI

Z≡ , resulta,

15014,7

10,2MI ≡ ≡

c) Determinando el voltaje en el inductor,

( ) ( )2 22 2 2 2150 10 14,7p R LC LCV V V V≡ + → ≡ × +

( )29,8 29,8 1, 5,79 1LC L L L LL IV V I Iχ→ ≡ → ≡ → ≡ ≡→

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10 Ω

150 V 20 µF

5mH60Hz

229

Page 26: Cap 11-ca  205-231

Cuaderno de Actividades: Física II

d) De la ecuación para la g,

( )( ) ( )

2 20

2 222 22 0

.../

?M

ML C

C

s

e

L

w w

w w w RC

R RV

V

I

ZR

gI χ χ

χ χ

≡ ≡ ≡ + −

− +

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Page 27: Cap 11-ca  205-231

Cuaderno de Actividades: Física II

S6P6) Uno de los empleos de un transformador es el de ajuste de impedancias. Por ejemplo, la impedancia de salida de un amplificador estéreo se ajusta a la impedancia de un altavoz mediante un transformador. En la ecuación V1ef I1,ef = V2,ef I2,ef pueden relacionarse las corrientes I1 e I2 con la impedancia del secundarios ya que I2 = V2/

Z. Utilizando las ecuaciones 2

2 11

NV V

N= demostrar que ( )1 2

1 2/I

N N Z

ε=

y, por consiguiente, Zef = (N1/N2)2Z.

SOLUCION:…

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 231