Download - Camp Electromagnetic Cvasistationar

Transcript
Page 1: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 1

PARTEA I

C^MPUL ELECTROMAGNETIC CVASISTA|IONAR

1. Ecua\iile c@mpului electromagnetic cvasista\ionar

Fie un domeniu [n care dorim s` studiem c@mpul electromagnetic.

Legea induc\iei electromagnetice, [n forma local` este:

(1.1)

Regimul cvasista\ionar rezult` prin neglijarea curentului herzian [n legea circuitului magnetic, care cap`t` astfel forma Teoremei lui Ampère. Forma ei local` este:

(1.2)

Aceast` aproximare privind legea circuitului magnetic este pe deplin justificat` pentru analiza c@mpului electromagnetic [n medii conductoare. {ntr-adev`r, forma complet` a legii circuitului magnetic este

. S` presupunem acum c`, [ntr-un punct

oarecare din domeniul conductor, induc\ia electric` D este orientat` pe o direc\ie u ]i este func\ie sinusoidal` de timp: . Atunci avem:

Page 2: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 2

unde este conductivitatea mediului conductor. Raport@nd valorile maxime ale celor doi termeni din membrul drept al legii circuitului magnetic, avem:

=

unde f este frecven\a, iar este rezistivitatea. In cazul cuprului, de exemplu, valoarea acestui raport este =

. Este evident faptul c` termenul trebuie

neglijat. Pentru mediile conductoare, ponderea acestui termen devine important` dac` rezistivitatea este foarte mare ]i frecven\a c@mpului electromagnetic este foarte ridicat`. Un exemplu poate fi p`truderea c@mpului electromagnetic [n corpul omenesc, [n procedurile de investigare bazate pe rezonan\` magnetic` nuclear`.

Termenul poate fi neglijat ]i [n regiunile cu aer

ale domeniului , dac` frecven\a este suficient de mic` (viteza de varia\ie [n timp a c@mpului electromagnetic este suficient de mic`). {ntr-adev`r, s` presupunem c` intensitatea c@mpului electric este limitat` superior la valoarea 10MV/m. Atunci, pentru densit`ti de curent uzuale, de cca. 106A/m2, rezult` =10-9f. Vom vedea (Cap.5) c` ad@ncimea de p`trundere a c@mpului electromagnetic [n corpurile conductoare este cu at@t mai mic` cu c@t frecven\a este mai mare. De exemplu, [n cazul cuprului, pentru f>1MHz ad@ncimea de

Page 3: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 3

p`trundere este sub 0,1mm. {n acest caz, suprafa\a corpului conductor poate fi privit` ca o frontier` cu condi\ii de frontier` speciale, privind c@mpul electromagnetic din regiunile cu aer. Analiza c@mpului electromagnetic se face altfel dec@t [n modelul cvasistationar (unde electromagnetice [n regiunile cu aer ]i frontiere cu pierderi la suprafa\a corpurilor conductoare). Deci, [n ipoteza c` admitem utilitatea analizei c@mpului electromagtnetic [n volumul corpurilor conductoare, frecven\a este, [n general, sub valoarea de 1MHz ]i [n acest caz . Putem neglija

astfel termenul ]i [n regiunile cu aer.

La ecua\iile (1.1) ]i (1.2) se adaug` ]i rela\iile constitutive privind componentele c@mpului electromagnetic (E,J) ]i (B,H).

Legea conduc\iei:

(1.3)

{n mediile conductoare, ]i =0, iar [n mediile izolante . Domeniile (bobinele) cu densitate de curent impus` fac parte din mediile izolante.

Pentru simplitate, consider`m c` rela\ia B-H este:

B=H (1.4)

{n /2/, /3/, /4/ sunt luate [n considerare ]i alte rela\ii B-H ce descriu mediile neliniare sau magne\ii permanen\i. Rela\iile (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) pot fi privite ca un sistem de 4 ecua\ii cu 4 necunoscute B, H, E, J. Vom vedea (Cap.2) c`, [n condi\ii de frontier` corect formulte, sitemul acestor ecua\ii asigura unicitatea celor 4 necunoscute.

Page 4: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 4

{n plus, c@mpul electromagnetic verific` legea fluxului magnetic:

(1.5)

]i legea transform`rii puterii din forma electromagnetic` [n alte forme, prin conduc\ie:

(1.6)

Observa\ii. 1) Rela\ia (1.2) rezult` prin neglijarea

densit`\ii curentului de deplasare [n legea circuitului

magnetic. Este echivalent cu a considera c` D este constant [n timp. Cum ]i E este variabil [n timp, rezult` c` =0. Deci D=0. Din legea fluxului electric, rezult` c` sarcina electric` este nul`.

2) |inând cont de observa\ia anterioar` ]i de teorema conserv`rii sarcinii electrice, rezult` c`, [n vecin`tatea suprafe\elor, componenta normal` a densit`\ii de curent se conserv`. {n particular, [n vecin`tatea corpurilor izolante, componenta normal` a densit`\ii de curent este nul`.

2. Teorem` de unicitate

Pentru a dovedi c` regimul cvasista\ionar este bine definit de ecua\iile (1.1)(1.4), este necesar s` dovedim c` aceste ecua\ii asigur` unicitatea solu\iei de c@mp.

Condi\iile ini\iale (CI)Deoarece ecua\iile (1.1)(1.4) descriu un proces

evolutiv, este necesar s` avem informa\ii privitoare la momentul [nceperii acestui proces. Deoarece [n ecua\ia (1.1) apare derivata [n raport cu timpul a induc\iei magnetice, la t=0 trebuie cunoscut` valoarea ei: .

Page 5: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 5

Evident, se impune divBi = 0. Aplicând operatorul div rela\iei (1.1), rezult` c` la orice moment este verificat` legea fluxului magnetic.

Condi\iile de frontier`(CF)Domeniul analizat este doar o subregiune a spa\

iului [n care avem c@mp electromagnetic. Interac\iunea dintre c@mpul electromagnetic exterior domeniului ]i cel interior acestui domeniu este pus [n eviden\a de comportarea m`rimilor c@mpului pe frontiera . Se pot impune mai multe tipuri de condi\ii de frontier`. Toate au proprietatea c`, [n cazul valorilor nule, expresia de forma se anuleaz`. Vom vedea (Partea II) c` aceast` expresie are natura schimbului de putere de natur` electromagnetic` ce se produce pe frontier`.

Condi\ie de frontier` de tip electric. Cea mai simpl` condi\ie de frontier`, pe care o [ntalnim cel mai frecvent [n literatura de specialitate, este (Fig.1.1):

(a) Pe o parte S’ a frontierei, se d` componenta tangen\ial` a lui H: Ht=f;() Pe restul frontierei S'”=-S’, se d` componenta tangen\ial` a lui E: Et=g;Observa\ii. 1) Din punct de vedere tehnic, condi\ia de

frontier` (a), sub form` omogen` (nul`) este realizat` [n vecin`tatea corpurilor perfect conductoare magnetic (

).2) Condi\ia () sub form` omogen` este realizat` [n

vecin`tatea corpurilor perfect conductoare.

S’ S”

Fig.1.1.Domeniul

Page 6: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 6

3) Deoarece, [n condi\ia (), intervine intensitatea c@mpului electric, spunem c` avem condi\ie de frontiera de tip electric.

Condi\ie de frontier` de tip magnetic. Un alt tip de condi\ie de frontier`, asem`n`toare cu cea de la câmpurile sta\ionare, este mult mai complicat`, dar mai apropiat` de realitatea tehnic` (Fig.2.1). Condi\ia respectiv` poate fi numit` condi\ie de frontier` de tip magnetic, con\inând doar componente ale câmpului magnetic. {n cazul simplu al domeniului simplu conex, aceste conditii de frontiera sunt:

(a) Pe o parte S' a frontierei, se d` componenta tangen\ial` a lui H: Ht=h ;

() Pe restul frontierei S"= -S', se dau componentele normale a lui B: Bn=f ]i a lui J: Jn=g

Dac` S' este format` din n suprafe\e disjuncte Si, atunci condi\iile de frontier` se complic` prin impunerea unor fluxuri magnetice sau a unor tensiuni magnetice (vezi Anexa A). Dac` este multiplu conex, cum ar fi [n cazul unor spire perfect conductoare, atunci se impun alte condi\ii de frontier` suplimentare privind curen\ii sau fluxurile magnetice ale spirelor perfect conductoare (Anexa A).

Observa\ii. 1. La suprafa\a corpurilor supraconductoare, avem condi\ia () omogen`: = 0.

2. Dac` S” se afl` [ntr-un mediu izolant, atunci, evident, Jn=0.

Condi\ie de frontier` de tip element de circuit. Este o condi\ie de frontier` care permite definirea domeniului ca un element de circuit. Condi\ia de frontier` permite definirea bornelor, a tensiunilor ]i curen\ilor bornelor, a puterii transferate la borne

Page 7: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 7

(Partea IV). {n regimul cvasista\ionar, elementul de circuit este de tip inductiv.

Teorema 1.1. Ecua\iile (1.1)(1.4), [mpreun` cu condi\iile de frontier` de (CF) ]i condi\iile ini\iale (CI), definesc unic componentele (B,H,J) [n domeniul ]i componenta E [n domeniul conductor .

Demonstra\ie. Vom prezenta demonstra\ia pentru cazul simplu al condi\iilor de frontier` de tip electric, procedur` care va fi util` ]i pentru alte demonstra\ii. Celelalte condi\ii de frontier` sunt tratate [n Anexa A.

Presupunem c` dou` c@mpuri electromagnetice distincte [ndeplinesc condi\iile enun\ul teoremei ]i fie (Bd, Hd, Ed, Jd) c@mpul diferen\`. Acest c@mp verific` rela\iile (1.1), (1.2) ]i are condi\ii de frontier` ]i condi\ii ini\iale nule. Not`m:

Atunci, datorit` condi\iilor ini\iale, legea induc\iei electromagnetice (1.1) devine:

(1.7)

Din condi\ia de frontier` (), rezult` c`, pe S”, , iar din condi\ia (a), pe S’. Atunci:

=0 (1.8)

Mai avem:

=

Page 8: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 8

Conform (1.7), (1.2) ]i (1.8), rezult`:

+ =0 (1.9)

unde am notat:

Din rela\ia (1.3), rezult` c` J=E [n domeniile conductoare , [n rest fiind nul`. Atunci, (1.9) devine:

+ =0

Dup` integrare [n timp, avem:

+ =0 (1.10)

|in@nd cont de (1.4), rela\ia (1.10) devine:

+ =0 (1.11)

Membrul stâng al rela\iei (1.11) poate fi nul doar dac` ]i, prin urmare, sunt nule [n , iar E ]i, prin

urmare, ]i sunt nule [n . ■

Observatii. 1) Din rela\ia (1.10), rezult` c` teorema de unicitate este valbil` ]i pentru medii neliniare [n care rela\ia constitutiv` este coercitiv`:

Page 9: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 9

2) Intensitatea câmpului electric nu este unic determinat` [n domeniile izolante, ci doar [n cele conductoare.

Din Teorema de unicitate rezult` c` induc\ia magnetic` B poate fi considerat` m`rime de stare [n cazul c@mpului electromagnetic cvasistationar: cunoasterea ei la timul t=0 defineste unic evolu\ia c@mpului electromagnetic.

3. Ecua\iile de ordinul 2

Din sistemul (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) putem ob\ine, prin substitu\ie, ecua\ii diferen\iale cu derivate par\iale, de ordin superior, dar con\in@nd o singur` necunoscut`. Astfel, din rela\iile (1.4) ]i (1.1) rezult`:

Aplic@nd operatorul rot [n rela\ia de mai sus ]i \in@nd cont de rela\iile (1.2) ]i (1.3), rezult`:

(1.12)

valabil` pentru mediile conductoare. Este convenabil s` utiliz`m ecua\ia (1.12) atunci c@nd dorim s` determin`m c@mpul electromagnetic [ntr-un domeniu care este [n [ntregime conductor, iar condi\ile de frontier` sunt impuse pentru .

Page 10: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 10

|in@nd cont de rela\ia (1.3), rela\ia (1.2) devine, pentru medii conductoare:

Aplic@nd operatorul rot ]i \in@nd cont de rela\iile (1.1), (1,4), rezult`:

(1.13)

Este convenabil s` utiliz`m ecua\ia (1.13) atunci c@nd dorim s` determin`m c@mpul electromagnetic [ntr-un domeniu care este [n [ntregime conductor, iar condi\ile de frontier` sunt impuse pentru .

Ecua\iile (1.12) ]i (1.13) sunt ecua\ii diferen\iale cu derivate par\iale de tip parabolic, care descriu procese de difuzie a c@mpului electromagnetic.

{n cazul [n care domeniul de calcul are medii conductoare ]i medii izolante, ecua\iile (1.12) ]i (1.13) r`m@n valabile pentru mediile conductoare, [n timp ce pentru mediile izolante sunt valabile ecua\iile stabilite [n cazul regimurilor sta\ionare /1/. Pe suprafe\ele de separare se pun condi\iile de conservare a diferitelor componente ale c@mpului electromagnetic. {n general, determinarea c@mpului electromagnetic [n regimul sta\ionar nu se poate face dec@t numeric, [n aceasta direc\ie [ndrept@ndu-se numeroase cercet`ri ale speciali]tilor din ingineria electric` /2/.

Dac` mediul conductor este omogen , , atunci, din legea fluxului magnetic (1.5) rezult`: . Din teorema lui Ampère (1.2) rezult`, prin aplicarea

Page 11: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 11

operatorului div: . Ca urmare, [n mediul conductor omogen, unde , avem: . Rela\ia (1.12) devine:

si cum = - =- , rezult` ecua\ia:

+ (1.12’)

La fel, ecua\ia (1.13) devine:

(1.13’)

4. Regimul cvasista\ionar sinusoidal

{n regimul sinusoidal, toate m`rimile c@mpului electromagnetic sunt func\ii sinusoidale de aceeasi pulsa\ie. De exemplu, intensitatea c@mpului electric este un vector care, [ntr-un sistem de coordonate carteziene, are forma:

unde cele 3 componente sunt func\ii sinusoidale de aceeasi pulsa\ie:

Page 12: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 12

, , ]i , , fiind valorile efective si, respectiv, fazele ini\iale ale celor 3 componente. La fel ca [n cazul regimului sinusoidal al circuitelor electrice, vom utiliza imagnile [n complex ale componentelor sinusoidale. De exemplu, pentru componenta axei ox avem:

Ca urmare, imaginea [n complex a vectorului initensit`\ii c@mpului electric este:

|in@nd cont de faptul c` operatoului de derivare are ca imagine [n complex [nmul\irea cu , ecua\iile (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) devin :

(1.14)(1.15)(1.16)

(1.17)

Rela\iile (1.14) (1.17) pot fi privite ca un sistem de 4 ecua\ii cu 4 necunoscute B, H, E, J.

Prin aplicarea operatorului div [n rela\ia (1.14), se ob\ine imaginea [n complex a rela\iei (1.5):

Deci imaginea [n complex a legii fluxului magnetic rezult` din forma [n complex a legii induc\iei electromagnetice (1.14).

Page 13: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 13

Asem`n`tor cu puterile regimului sinusoidal al circuitelor electrice, este util ca, pornind de la rela\ia (1.6), s` definim [n fiecare punct densitatea de volum a puterii active, ce se transforma din forma electromagnetic` [n alte forme, prin conduc\ie:

= (1.18)

unde T este perioada: . Exprim@nd vectorii E ]i J

pe componente, avem:

+ +

(1.19)

|in@nd cont de expresiile lui ]i :

primul termen din membrul drept al rela\iei (1.19) se poate scrie:

=

Imaginile [n complex ale lui ]i sunt:

Page 14: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 14

Deci:

=

unde este conjugatul lui . Expresii asem`n`toare se ob\in pentru ultimii termeni din membrul drept al rela\iei (1.19):

= , =

Rezult` c` densitatea de volum a puterii active, ce se transform` din forma electromagnetic` [n alte forme, prin conduc\ie, mai poate fi ob\inut` cu rela\ia:

(1.20)

La fel ca [n cazul circuitelor electrice, putem defini ]i densitatea de volum a puterii complexe prin rela\ia:

= (1.21)

precum ]i densitatea de volum a puterii reactive:

(1.22)

{n cazul unui mediu conductor linar, [n care rela\ia dintre E ]i J este , densitatea puterii complexe este egala cu densitatea de putere activa:

= = (1.23)

unde este modulul (norma) lui E:

Page 15: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 15

= = (1.24)

5. Teorem` de unicitate pentru regimul sinusoidal

Pentru a dovedi c` regimul cvasista\ionar sinusoial este bine definit de ecua\iile (1.14)(1.17), este necesar s` dovedim c` aceste ecua\ii asigur` unicitatea solu\iei de c@mp. Spre deosebire de ecua\iile (1.1)(1.4) ce descriau evolu\ia [n timp a c@mpului electromagnetic cvasista\ionar, ecua\iile (1.14)(1.17) nu descriu un proces evolutiv ]i nu se pune problema definirii unor condi\ii ini\iale pentru imaginile [n complex ale m`rimilor c@mpului. {n realitate, c@mpul electromagnetic (originalul) este variabil [n timp, dar dependen\a de timp este sinusoidal`. Aceast` condi\ie este o restric\ie cel pu\in la fel de tare ca ]i condi\ia ini\ial`.

Condi\iile de frontier` (CF): sunt date de imaginile [n complex ale condi\iilor de frontier` prezentate la Cap.2.

Teorema 1.2. Ecua\iile (1.14)(1.17), [mpreun` cu condi\iile de frontier` (CF), definesc unic componentele [n domeniul ]i componenta [n domeniul conductor .

Demonstra\ie. Vezi Anexa A.

Page 16: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 16

6. Ecua\iile de ordinul 2, [n regim sinusoidal

Imaginile [n complex ale ecua\iilor (1.12), (1.13) rezult` prin [nlocuirea derivatei cu [nmul\irea cu factorul :

(1.25)

(1.26)

+ (1.25’)+ (1.26’)

unde:(1.27)

si:

(1.28)

7. Aplica\ii

7.1. Patrunderea c@mpului electromagnetic [n semispa\iul conductor

Fie domeniul definit de semispa\iul conductor z>0, omogen ]i linear, de conductivitate ]i permeabilitate magnetic` . La suprafa\a semispa\iului (z=0), intensitatea c@mpului electric este:

(1.29)

deci constant` pe [ntreg peretele semispa\iului ]i sinusoidal` [n timp. Ne propunem s` determin`m

Page 17: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 17

c@mpul electromagneic sinusoidal din semispa\iu, precum ]i pierderile specifice prin curen\i turbionari. Folosind imaginile [n complex, condi\ia de frontiera (1.29) se scrie:

(1.30)

Admitem c`, [n [ntreg semispa\iul, intensitatea c@mpului electric este orientat` pe direc\ia axei ox ]i depinde doar de coordonata z:

(1.31)

Este valabil` ecua\ia (1.25’):

(1.32)

Page 18: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 18

Solu\iile ecua\iei caracteristice asociate ecua\iei (1.32) are solu\iile . Solu\ia ecua\iei (1.32) este de forma:

(1.33)

Deoarece , cu dat de rela\ia (1.28), ]i deoarece , rezult` B=0. Din condi\ia de frontier` (1.30) rezult` . Deci solu\ia ecua\iei diferen\iale (1.32) este:

= (1.34)

{n domeniul timp, expresia intensit`\ii c@mpului electric rezult` din originalul expresiei (1.34):

(1.35)

Fig.1.2. Semispa\iu conductor

Page 19: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 19

Graficul dependen\ei intensit`\ii c@mpului electric, raportat` la valoarea maxim` , [n func\ie de distan\a z’=az este prezentat [n Fig.1.3. Este o sinusoid` rapid amortizat` cu distan\a z. {n tehnic`, este deosebit de util s` se defineasc` adancimea de p`trundere a c@mpului electromagnetic, ca distan\a z= la care valoarea efectiv` a intensit`\ii c@mpului electric:

(1.36)

scade de e ori. |in[nd cont de (1.28), rezult`:

(1.37)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 90 180 270 360 450 540 630 720

z'

E/Emax

exp(-z')

-exp(-z')

Fig.1.3. P`trunderea intensit`\ii c@mpului electric

Page 20: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 20

Observa\ii: 1. Evident, semispa\iul conductor nu poate exista [n realitate. El este [ns` un model deosebit de eficient pentru a aprecia p`trunderea c@mpului electromagnetic [n orice domenii m`rginite de suprafe\e suficient de netede (Fig.1.4) [n compara\ie cu ad`ncimea de p`trundere, dat` de rela\ia (1.37).

2. Impunerea condi\iei de frontier` prin componenta tangen\ial` a intensit`\ii c@mpului electric poate s` rezulte prin impunerea tensiunii la bornele bobinei, [n ipoteza c` aceast` are rezisten\` neglijabil`:

unde U este valoarea efectiv` a tensiunii, N este num`rul de spire al bobinei ]i L este lungimea unei spire.

3. Un calcul asem`n`tor se face atunci c@nd pe frontier` se d` componenta tangne\ial` a intensit`\ii c@mpului magnetic. Ea poate s` rezulte prin impunerea curentului din bobin`:

Bobin

`

P

ies`

Zona de p`trundere a c@mpului electromagnetic

i Pies`

u

Fig.1.4. Pies` oarecare

Page 21: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 21

unde I este valoarea efectiv` a curentului ]i este [n`l\imea bobinei (perpendicular` pe planul figurii 1.4.).

C`lirea superficial` prin curen\i turbionari

Pierderile specifice prin curen\i turbionari (densitatea de volum a puterii active) rezult` din rela\ia (1.23):

= (1.38)

Rezult` c` putem utiliz` c@mpul electromagnetic pentru a [nc`lzi un mediu conductor la suprafat`. Putem astfel ridica temperatura zonei superficiale a unei piese pan` [n zona austenitic` si, [n urma r`cirii, putem ob\ine o suprafa\` dur`, p`str@nd elasticitatea materialului [n volumul piesei. Aceasta procedura tehnologic` se folose]te des [n industrie pentru c`lirea suprafe\elor pinioanelor, axelor etc. Adancimea zonei c`lite este sugerat` de rela\ia (1.37)

7.2. Pierderi specifice [n tolele feromagnetice

Foarte multe echipamente electrotehnice au p`r\i feromagnetice parcurse de fluxuri magnetice variabile [n timp. Conform legii induc\iei electromagnetice, [n aceste zone se induc tensiuni electrice si, ca urmare, apar curen\i turbionari care conduc la apari\ia unor

Page 22: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 22

piederi nedorite. O modalitate de a reduce aceste pierderi este folosirea tolelor pentru por\iunile parcurse de fluxuri magnetice variabile [n timp.

Vom c`uta solu\ia sinusoidal` a problemei de c@mp electromagnetic. Fie tola infinit extins`, de l`\ime 2a, din Fig.1.5. Induc\ia magnetic` este orientat` pe direc\ia axei oy, depinde doar de coordonata x:

. Imaginea [n complex a induc\iei magnetice este: . Presupuinem cunoscut fluxul magnetic pe o [n`l\ime de 1m [n lungul axei oz:

(1.39)

cu imaginea [n complex: =. Admitem c` intensitatea

c@mpului electric este orientat` pe direc\ia axei oz ]i depinde, de asemenea, doar de coordonata x. Referindu-ne la ipotezele ce le facem de multe ori [naintea rezolv`rii unei probleme de c@mp electromagnetic, este util de observat c` inginerul poate intui comportarea marimilor c@mpului, simplific@ndu-si astfel rezolvarea problemei.

Dac` solu\ia ob\inut` verific` ecua\iile c@mpului electromagnetic, atunci, conform teoremei de unicitate, ea este singura solu\ie valabil`, deci ipotezele f`cute sunt bune.

2a zD A

y

o x E B

C B

Fig.1.5. Tola feromagnetic`

Page 23: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 23

Fie curba [nchis` ABCDA, de form` dreptunghiular`, cu =1m, pe care aplic`m forma [n complex a legii induc\iei electromagnetice (1.13):

+ + + =

|in@nd cont de orientarea lui E, avem: pe BC ]i AD, iar , pe AB ]i , pe CD. Putem admite c` E(x) este func\ie impar` de x ]i ca urmare: E(-a)=-E(a). Ca urmare, din rela\ia de mai sus rezult`:

(1.40)

Rela\ia (1.40) este condi\ia de frontier` pentru problema de c@mp electromagnetic. Ecua\ia (1.25’) cap`t` forma:

(1.41)

cu solu\iile ecua\iei caracteristice (vezi ]i §7.1). {n acest caz, este mai convenabil s` scriem solu\ia general` a ecua\iei (1.41) sub forma: . Cum E(x) este func\ie impar`, r`mane: . Impun@nd condi\ia de frontier` (1.40), rezult`:

(1.42)

Densitatea de volum a pierderilor este:

Page 24: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 24

(1.43)

|in@nd cont de rela\ia: ]i de

expresia coeficientului (1.27) ]i (1.28), avem:

(1.44)

unde am folosit rela\ia . {n Fig. 1.6 sunt reprezentate pierderile [n func\ie de coordonata x. pentru o tol` cu la\imea 2a=1mm, cu rezistivitatea

]i permeabilitatea magnetic` relativ` ,

la frecven\a de 50Hz. Se observ` localizarea acestora la marginea tolei.

Fig.1.6. Densitatea de volum a pierderilor

Fig.1.7. Valoarea efectiv` a induc\iei magnetice

Induc\ia magnetic` se ob\ine din legea induc\iei electromagnetice (1.13):

Deci, \in@nd cont de (1.42), avem:

Page 25: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 25

= (1.45)

Valoarea efectiv` a induc\iei magnetice este dat` de:

{n Fig.1.7. este desenat graficul valorii efective a induc\iei magnetice. Se vede usor c`, cel pu\in [n cazul valorilor numerice de mai sus, induc\ia magnetic` este practic constant`. Din acest motiv, este mult mai util s` se exprime fluxul magnetic [n func\ie de media valorii efective sau maxime a induc\iei magnetice:

= (1.46)

Valoarea medie a pierderilor este:

(1.47)

Sau, folosind (1.46) ]i not@nd :

(1.48)

{n cazul numeric de mai sus, argumentul func\iilor din rela\ia (1.48) are o valoarea . Ca urmare, o form` mai simpl` a rela\iei (1.48) se ob\ine prin dezvoltarea [n serie a func\iilor din aceast` rela\ie:

Page 26: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 26

Deci:

(1.49)

8. Regimul cvasista\ionar periodic

{n regimul periodic, m`rimile c@mpului sunt func\ii periodice de aceeasi perioad` T.

Generatoare de curent continuu. Vom prezenta o proprietate interesant` din punct de vedere tehnic, pentru c@mpul electromagnetic cvasista\ionar periodic. Definim, [n domeniile conductoare, m`rimea:

Din legea induc\iei electromagnetice avem:

=

Deci, [n regim periodic: ]i ca urmare, . Din teorema lui Ampère rezult`:

= = = (1.50)

unde, la suprafa\a corpului conductor,

(1.51)

Din (A.30) rezult`:

Page 27: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 27

(1.52)

si \in@nd cont de condi\ia de frontier` (1.51), rezult` c` =0. Deci:

]i =0

Rezult` proprietatea: nu se poate produce curent continuu [n regimul periodic, dac` mediul conductor este liniar. Pentru a produce curent continuu este necesar s` utiliz`m medii conductoare cu rela\ie constitutiv` E-J dependent` de timp (este necesar` comuta\ia) sau cu rela\ie constitutiv` neliniar` (comuta\ie static`).

Analiza regimului periodic. Condi\ia de periodicitate, [mpreun` cu condi\iile de

frontier` de tip magnetic, asigur` unicitatea solu\iei sistemului de ecua\ii (1.1)(1.4) (Anexa A).

Analiza Fourier. Dac` mediile sunt liniare, atunci cea mai comod` procedur` de analiz` a c@mpului electromagnetic periodic este descompunerea solu\iei [n serie Fourier ]i determinarea fierc`rei componente prin utilizarea imaginilor [n complex. De exemplu, pentru o intensitate a c@mpului electric periodic` avem:

(1.50)

Page 28: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 28

unde componentele lui pe cele trei axe sunt armonicele componentelor , , . Ecua\iile (1.1)(1.4) r`man valabile ]i pe componente, proprietate ce poate fi dovedit` prin proiectare pe func\iile , .

Repetarea valorii m`rimii de stare. O alt` procedur` de determinare a c@mpului electromagnetic periodic, aplicabil` ]i [n cazul mediilor neliniare, este analiza [n domeniul timp. Admi\@nd o valoare arbitrar` pentru pentru m`rimea de stare B, se determin` evolu\ia [n timp a c@mpului electromagnetic, regimul periodic instal@ndu-se atunci c@nd m`rimea de stare se repet` dup` o perioad`.

9. Regimul cvasista\ionar anamagnetic

Regimul cvasista\ionar anamagnetic al câmpului electromagnetic presupune neglijarea derivatei în timp a induc\iei magnetice. Legea induc\iei electromagnetice cap`t` forma din electrostatic`:

(1.51)Rezult`:

(1.52)

Forma local` a legi circuitului magnetic, pentru medii imobile este:

(1.53)

Page 29: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 29

La ecuatiile (1.51) ]i (1.53) se adauga ]i rela\iile constitutive privind componentele c@mpului electromagnetic (E,J) ]i (D,E).

Legea leg`turii dintre induc\ia electric` ]i intensitatea c@mpului electric este:

(1.54)Legea conductiei este:

(1.55)

Am presupus c` mediile sunt liniare, izotrope, f`r` polariza\ie electric` ]i fara c@mp imprimat.

Putem privi rela\iile (1.51), (1.53), (1.54) ]i (1.55) ca pe un sistem de 4 ecua\ii cu patru necunoscute: E, D, J, H.

Condi\ii de frontier` (CF)La ecuatiile de mai sus trebuie adaugate conditiile

de frontiera. Acestea sunt de tipul celor de la c@mpurile statice /1/:(FR) (a). Pe S’ Î se d` componenta tangen\ial` a lui

;() Pe restul frontierei S" = - S' se d`

componenta normal` a densit`\ii curentului total:

= g;Dac` S' este format` din n suprafe\e disjuncte Si,

atunci condi\iile de frontier` se complic` prin impunerea unor fluxuri electrice sau a unor tensiuni electrice /1/.

Condi\iile ini\iale (CI)

Page 30: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 30

Deoarece [n ecua\ia (1.53) apare derivata [n timp a induc\iei electrice, este necesar s` se cunoasc` ]i valoarea ini\ial` a acesteia: .

Teorema 1.3. Sistemul rela\iilor (1.51), (1.53), (1.54) ]i (1.55), cu condi\ia ini\ial` (CI) ]i cu condi\iile de frontiera (FR) , definesc unic componentele (D,E,J) [n domeniul .

Demonstra\ie. Vezi Anexa A.Din Teorema de unicitate rezult` c` induc\ia

electric` D poate fi considerat` m`rime de stare [n cazul c@mpului electromagnetic cvasistationar: cunoasterea ei la timul t=0 defineste unic evolu\ia c@mpului electromagnetic.

Observa\ii: 1. Dac` mediul este perfect izolant, atunci J=0 si, din rela\ia (1.53), rezult`:

si deci:([n timp)

Cunosc@nd valoarea lui la timpul initial, rezulta ca problema de regim cvasistationar este, de fapt, o problema de electrostatica.

2. Neglijarea derivatei in timp a inductiei magnetice, care defineste regimul cvasistationar, corespunde alegerii unei permeabilitati magnetice nule, de unde rezult` denumirea de regim cvasista\ionar anamagnetic.

Ecua\ia potentialului scalarInlocuind (1.52) [n relatiile (1.54) ]i (1.55), ]i

tin@nd cont de (1.53), rezult`:

Page 31: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 31

Aplic@nd operatorul div, rezulta:

(1.56)

Conditiile de frontiera pentru ecuatia in V se obtin din (FR). Din conditia (a) ]i din relatia (1.52) rezulta ca pe suprafa\a S’ se d` poten\ialul V:

(1.57)

unde ]i sunt puncte de pe S’, iar integrarea se face pe orice drum de pe S’. Pe suprafetele S” se da o relatie a derivatei pe directia normalei:

(1.58)

Elementul de circuit de tip capacitiv. Condi\iile de frontier` de tip element de circuit (Partea IV) asigur` unicitatea solu\iei sistemului de ecua\ii (1.51), (1.53), (1.54) ]i (1.55). {n regimul cvasista\ionar anamagnetic, elementul de circuit are caracer capacitiv.

Regimul sinusoidalDaca toate marimile c@mpului din regimul

cvasistationar sunt functii sinusoidale de aceeasi pulsatie, putem folosi imagnile in complex si, corespunzator relatiilor (1.52)(1.55), obtinem:

(1.59)

Page 32: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 32

(1.60)

(1.61)

(1.62)

In relatia D-E se poate lua permitivitatea complexa:

(1.63)

prin care tinem cont de pierderile in dielectric. In tehnica, pierderile in dielectric sunt descrise de:

(1.64)

Ecuatia poten\ialului este:

(1.65)

unde conductivitatea complexa cuprinde ]i pierderile prin conductie:

(1.66)

Conditia initiala, care apare la problema in domeniul timp, este inlocuita de conditia ca marimile sa fie functii sinusoidale. Conditiile de frontiera sunt date de imaginile in complex ale condi\iilor (CF).

Regimul cvasista\ionar anamagnetic este un model foarte util pentru analiza c@mpului electromagnetic [n medii izolante sau foarte slab conductoare, unde cei doi termeni din membrul drept al legii circuitului magnetic

Page 33: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 33

au ponderi apropiate. {n plus, valoarea total` a membrului drept este mult mai mic` dec`t [n cazul regimului cvasista\ionar din corpurile conductoare, studiat la paragrafele anterioare. Rezult` o valoare mai mic` pentru H si, [n cazul [n care mediul are permeabilitatea magnetic` a vidului, valoarea induc\iei magnetice este mic`, put`nd fi neglijat`. Evident, admitem c` viteza de varia\ie [n timp a c@mpului electromagnetic este suficient de mic`. Un criteriu utilizat pentru aceast` vitez`, [n cazul regimului sinusoidal, este ca lungimea de und` a c@mpului

electromagnetic s` fie mai mare decat

dimensiunile domeniului analizat.{n tehnic`, regimul cvasista\ionar anamagnetic

este utilizat cu succes la studiul [nc`lzirii dielectricilor [n medie frecven\` ]i la studiul str`pungerii izola\iilor.

{nc`lzirea dielectricilorTeoreme lui Warburg (Partea II) afirma ca energia

specific` (densitatea de volum) ce se transform` din forma electromagnetica [n c`ldura, este:

= (1.67)

Ca urmare, pierderile specifice pot fi scrise:

(1.68)

unde T este perioada. Utiliz@nd imaginile [n complex, avem:

=

Page 34: Camp Electromagnetic Cvasistationar

Partea I. Regimul cvasista\ionar 34

Folosind expresia permitivit`\ii complexe (1.63), rezult`:

(1.69)

Dac` \inem cont ]i de pierderile prin conduc\ie, atunci:

Folosind expresia conductivit`\ii complexe (1.66), rezult`:

= (1.70)

care cuprinde atat pierderile in dielectric, cat ]i cele prin conduc\ie.