Download - calculo básico

Transcript

Clculo Bsico

Professores Ana Clara da Mota ureo Pereira de Melo Maria de Ftima dos Santos Monteiro Lemke So Jos dos Campos Janeiro 2010

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

1

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Aula 11. Funes 1.1 - Definio Uma Relao um conjunto de pares ordenados (x, y) de nmeros reais. Veja no exemplo abaixo: 2 3 ( 2; ) ;8 3 ; (0 ;0 ,6 ) 5 2 Encontramos em nosso cotidiano diversas relaes que envolvem grandezas, sendo que o valor que se obtm para uma delas depende do valor de uma ou mais outras grandezas. Aqui, vamos trabalhar com situaes que relacionem entre si apenas duas grandezas. Observe os exemplos a) O valor de imposto a ser pago ( I ) (ISS - Imposto Sobre Servio) sobre um servio depende do seu preo ( p ). Reflita: Como o valor do Imposto ( I ) depende do preo do Servio ( p )? b) O preo a ser pago por uma refeio em um self--service ( P ) depende da quantidade de comida colocada no prato ( k ). Reflita: Como o preo a ser pago ( P ) depende do peso ( k )? c) A receita obtida na venda de uma mercadoria ou servio ( R ) depende da quantidade vendida dessa mercadoria ou desse servio ( q ). Reflita: Como a receita ( R ) depende da quantidade ( q )? As letras I, P e R so chamadas de VARIVEIS DEPENDENTES, pois seus valores dependem dos valores de p, k e q. As variveis p, k e q recebem o nome de VARIVEIS INDEPENDENTES. As situaes descritas nos exemplos acima estabelecem uma relao de DEPENDNCIA entre duas variveis. Substituindo, nas frases, a palavra DEPENDE pela palavra FUNO , temos: a) O Imposto (I) FUNO do seu preo de venda (p); b) O preo da refeio (P) FUNO de seu peso (k); c) A receita (R) FUNO da quantidade vendida (q).

-1-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Simbolicamente, usaremos uma notao que indica a existncia de uma relao de dependncia entre duas variveis. Notao a b cI = f( p) P= f ( k ) R= f ( q )

Interpretao O imposto ( I ) funo do preo ( p ) O preo ( P ) funo do peso ( k ) A receita ( R ) funo da quantidade( q )

Funo um modo especial de relacionar grandezas. Logo abaixo vamos observar um grfico que relaciona o consumo de feijo por habitante em funo do tempo.

23 22 20 18 16

0

86

90

93 94

95

1.2. Domnio e Imagem Podemos agrupar as variveis independentes e dependentes em dois conjuntos distintos. 1.2.1 Domnio - Conjunto A o conjunto formado pelas DIFERENTES quantidades q que podem ser vendidas de uma determinada mercadoria ou servio. Este conjunto formado pelas possveis quantidades q (variveis independentes) recebe o nome de DOMNIO.

-2-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Domnio Variveis Independentes q1 q2 q4 Variveis Independentes = Quantidades Vendidas 1.2.2 Imagem - Conjunto B O conjunto formado pelas diferentes RECEITAS obtidas da venda de possveis QUANTIDADES de mercadorias ou servios recebe o nome de CONJUNTO IMAGEM. A Receita recebe o nome de varivel dependente (R), pois seus valores dependem das quantidades vendidas (variveis independentes). Imagem Variveis Dependentes R1 R2 R4 R3 q3

Variveis Dependentes = Receitas Obtidas O uso das letras x e y. x a varivel independente da funo. Domnio o conjunto de todos os valores possveis de x. y a varivel dependente da funo. Imagem o conjunto de todos os valores possveis de y, isto , todos os valores gerados pela funo por cada um dos valores do domnio. Um conjunto de dois nmeros reais em uma determinada ordem forma um par ordenado.

Ento o que uma funo? Uma funo um conjunto de pares ordenados de nmeros (x,y), no qual dois pares distintos no tm o primeiro nmero do par em comum.

-3-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Funo

Relao

Sejam os conjuntos A = {a, b,c, d} e B = {e, f, g, h, i} e as relaes binrias R1, R2, R3, R4, R5 vamos analisar cada uma delas: a) R1 = {(a, g),(b, h),(c, i)} O domnio da relao D(R) = {a, b, c} A e a imagem o conjunto Im (R1)={g, h, i}. O domnio dessa relao diferente de A, pois o conjunto A possui o elemento d e a relao R1 tem origem nos elementos a, b, c. Observa-se, nesse caso, que nem todos os elementos dos conjuntos A (elemento d) e B (elementos e e f) so usados.

x D( R1 ), ! y B /( x, y) R1 .( ! significa existe um nico) b)

R2 = {(a, f),(b, e),(b, g),(c, h),(d, i)}

O domnio da relao D(R2) = {a, b, c, d} = A e a imagem o conjunto Im(R2) = {e, f, g, h, i} = B. O domnio dessa relao igual a A, pois todos os elementos de A so originrios da relao R2. Observase, nesse caso, que todos os elementos dos conjuntos A e B so usados. O elemento b do conjunto A tem duas imagens (e e g).

x D( R2 ), y B /( x, y ) R2 ,mas no imagem nica, pois (b , e) R2 e (b, g) R2 . c) R3 = {(a, f), (b, e), (c, i), (d, g)}

O domnio da relao D(R3)= {a, b, c, d} = A e a imagem o conjunto Im(R3) = {e, f, g, i}. O domnio da relao R3 igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A so todos usados e o elemento h, do conjunto B, no utilizado. x D( R3 ), ! y B /( x, y ) R3 .

-4-

Pr-Clculo d) R4 = {(a, i), (b, h), (c, g), (d, f)}

ETEP-Faculdades

O domnio da relao D(R4) = {a, b, c, d} = A e a imagem o conjunto Im(R4)={f, g, h, i}. O domnio da relao R4 igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A so todos usados e os elementos do conjunto B no so utilizados.

x D( R4 ), ! y B /( x, y ) R4 .R5 = {(a, g), (b, g), (c, g), (d, g)} O domnio da relao D(R5)= {a, b, c, d} = A e a imagem o conjunto Im (R5)={g}. O domnio da relao R5 igual a A. Observa-se, nesse caso, que os elementos do conjunto A so todos usados e somente o elemento g do conjunto B utilizado. x D( R5 ), ! y B /( x, y ) R5 . As relaes R3, R4, R5 apresentam a particularidade de, para todo elemento de A, associar um nico elemento de B. Essas relaes recebem o nome de aplicao de A em B ou funo definida em A com imagens em B ou, simplesmente, funo de A em B.

1.3 Definio Formal Dados dois conjuntos A, B , no-vazios, uma relao f de A em B recebe o nome de aplicao de A em B ou funo definida em A com imagens em B ou, simplesmente, funo de A em B se, e somente se, para todo elemento x de A existir um nico elemento y em B, tal que (x, y) f . Notao: f funo de A em B x A, ! y B /( x, y ) f . Como toda funo uma relao binria de A em B, existe, geralmente, uma sentena aberta y = f(x) que expressa a lei de correspondncia entre os elementos dos dois conjuntos. Para indicarmos uma funo f, definida em A com imagens em B, segundo a lei de correspondnciay = f(x) , usamos a notao:

f :AB x a f ( x) = y

Por motivo de simplificao, muitas vezes usamos somente a lei de correspondncia, y=f(x), para indicar a funo, ficando claro que x A e y B , sendo f uma funo de A em B. Exemplos: 1)f :A B x a f ( x) = y = 7 x

f :AB 2) 1 x a f ( x) = y = 2x + 4 -5-

Pr-Clculo f :AB x a f ( x) = y = x 13

ETEP-Faculdades

3)

4)

f :AB x a f ( x) = y = x 8

Observaes: x denominada varivel independente da funo (varia sem depender de nenhuma outra varivel). y chamada varivel dependente da funo (como y = f(x) , temos que y depende da varivel x). Seja y = f ( x ) uma funo. Definimos D(f) = A como o domnio, CD(f) = B , o contradomnio eIm(f) CD( f ) = B , o conjunto imagem da funo f.

Como a funo uma relao, esse conceito uma extenso do anterior. Para determinarmos o domnio (leia o maior domnio) de uma funo, estaremos procurando qual o maior conjunto possvel A que satisfaa a lei de correspondncia definida (lembrete: para termos uma funo, todos os elementos do conjunto A tm de estar associados a um elemento em B). Exemplos: Seja y = f ( x ) uma funo. Vamos determinar o (maior) domnio das seguintes leis de correspondncia: a)f(x) = y = 7x

Nesse caso, no existe nenhum valor de x que no possa ser multiplicado por 7. Logo, qualquer x

ter um valor y associado a ele. Da,D(f)=A= . b) f ( x ) =1 . Como a diviso por zero impossvel, 2x + 4 0 . Temos, ento, que x 2. Logo, 2x + 4

D(f)= A = {2}. c) y = x 3 - 1 . Da mesma forma que no exemplo da letra (a), no existe nenhuma restrio para x. Ento, D(f)= A= . d) f(x) = x 8 . Sabe-se que s existe raiz de ndice par (no caso 2) de nmeros positivos ou iguais a zero. x 8 0 x 8. Da, D(f) = A = [8, + ). Observao: Uma funo f com valores em s est bem definida quando sabemos seu (maior) domnio e sua lei de correspondncia.

-6-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Exemplo

y = senx

D( f ) = Im( f ) = {y | 1 y 1}1.4 Grfico de uma funo: Dada a funo y = f ( x ) , construir seu grfico representar, no sistema cartesiano ortogonal (ou plano x y), o conjunto de pontos {( x , y ) / x A e y = f ( x )} . Faremos, agora, alguns exemplos apenas como ilustrao. Exemplos: Construir os grficos das funes: 1) f ( x ) = y = 2) y =x . O grfico dessa funo uma reta, onde D(f) = e Im(f) = . 2

x2 . O grfico dessa funo uma curva chamada parbola, onde D(f) = e Im (f) = +. 2

2 , x 1 3) y = f ( x ) , onde f ( x ) = 1,1 < x 1 . O grfico dessa funo um conjunto de retas, ou seja, para 2 , x > 1 valores de x 1 , o valor da funo -2; para valores de x entre -1 e 1, o valor da funo 1; e para valores de x > 1, o valor da funo 2, podendo ser visualizado no grfico ( esboce!), onde D(f) = e Im (f) = {-2, 1, 2}. -7-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

1.4.1 Sistema Cartesiano Par Ordenado e Plano Numrico Um conjunto de dois nmeros reais em uma determinada ordem forma um par ordenado. Exemplos: ( 1 ; 2 ) , ( 2 ; 3 5 ), ( x ; y ) O conjunto de todos os pares ordenados, formados por nmeros reais, chama-se Plano Numrico, lR 2 . Cada par ordenado (x, y) denomina-se Ponto do Plano Numrico.

y

2o Quadrante

1o Quadrante

(x,y)ordenada x

abscissa

3o Quadrante

4o Quadrante

Sejam P1 e P2 dois pontos em R2 representados pelos pares ordenados (2 ; 6) e (4 ; 10), respectivamente, encontre a distncia entre eles. Sugesto: Lembre-se do Teorema de Pitgoras. Em um triangulo retngulo, a soma dos quadrados de seus catetos igual ao quadrado de sua hipotenusa.P11 4 2 4 3 x 2 x1

P2 D=?

y2 y1

D 2 = ( x 2 x 1 )2 + ( y 2 y 1 )2

A distncia entre P1 (x1 , y1 ) e P2 (x2 , y 2 ) dada por D = P1 P2 = ( x 2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 Essa distncia chamada de distncia euclidiana. Veja o exemplo O Payssandu Sport Club est precisando contratar um volante. Seu olheiro recebeu uma fita de vdeo da atuao de um jogador do Juiz de Fora Sport Club em um jogo contra o Cruzeiro no estdio do Mineiro. -8-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Nesse jogo, o volante fez diversos lanamentos para o centroavante de seu time, deixando-o cara a cara com o goleiro adversrio. O lance que mais chamou a ateno dos dirigentes do Payssandu foi um lanamento, em profundidade, que resultou em um belssimo gol para o Juiz de Fora. Com auxlio de recursos computacionais, determinou-se que o volante estava a 20 metros da linha de fundo do gol de seu time e a 15 metros da linha lateral esquerda do campo. O passe foi recebido pelo centroavante de seu time, que estava localizado a 70 metros da linha de fundo do gol de seu time e a 40 metros da linha lateral esquerda do campo. Voc saberia calcular o comprimento do passe feito por esse jogador? Esquema de Lanamento y Clculo da Distncia

40 centroavante P2

D = P1 P2 = ( x2 x1 )2 + ( y2 y1 )2 = ( 40 15 )2 + ( 70 20 )2 = ( 25 )2 + ( 50 )2 = 3125 = 55 ,90 m

1

P1

70

15 volante 20x P2

Ponto Mdio As coordenadas do ponto mdio so dadas pela mdia aritmtica das coordenadas dos pontos extremos do segmento de retaP1

Pmdio

xm =

x1 + x2 2

ym =

y1 + y2 2

-9-

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Aula 2 2. Funes do 1 grau Objetivo: Trabalhar com a reta sob vrias formas de apresentao. Definio 1: Sejam a, b , com a 0. Chama-se funo polinomial do 1 grau a funof :AB x a f ( x) = y = ax + b

.

Observao: O domnio de uma funo polinomial do 1 grau . Exemplos: Sejaf :AB x a f ( x) = y

.

1) f(x) = y = 3x + 15, onde a = 3 e b = 15. 2) f(x) = y = -7x, onde a = -7 e b = 0.

2.1. Funo Constante: Definio 2: Seja y = ax + b . Se, particularmente, a = 0, essa funo polinomial se torna de grau zero e chamada funo constante. Observaes: O domnio da funo o conjunto e a imagem da funo, o conjunto {b}. Seu grfico uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0, b). Exemplo: Determine o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo y = 6 . Resoluo: Como o valor da funo 6, independente do valor de x, o domnio e a imagem, {6}. Grfico: y6

x

- 10 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

2.2. Funo Identidade Seja a funo y = ax + b . Se a = 1 e b = 0, a funo se torna y = x , e chamada funo identidade. Observaes: Essa funo tem uma importncia muito grande para o estudo de outras funes. Seu grfico uma reta que contm as bissetrizes do 1 e 3 quadrantes e Im(f) = . y

x

2.3. Funo Linear Seja a funo y = ax + b . Se a 0 e b = 0, a funo se torna y = ax , e chamada funo linear. Exemplos: 1) f(x) = y = 3x, onde a = 3. 2) f(x) = y = -5x, onde a = -5. 3) f(x) = y= -x, onde a = -1. 4) f(x) = y = Observaes: A funo identidade um caso particular de funo linear, onde a = 1. O grfico de uma funo linear uma reta que passa pela origem. D(f) = e Im(f) = . Grfico uma reta que passa pela origem, basta determinar outro ponto alm de (0, 0). Exemplo: f(x) = y = 3x. Soluo: - 11 2x 2 , onde a = . 3 3

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Como o grfico uma reta que passa pelo ponto (0, 0), determina-se um segundo ponto pertencente a essa funo, por exemplo, (para x = 1 o valor da funo y = 3.1= 3) o ponto (1, f(1)) = (1, 3) e, unindo esses dois pontos, obtm-se o grfico: y

x

2.4. Funo Afim Definio 5: Seja a funo y = ax + b . Se a 0 , ela chamada funo afim. Exemplos: 1) f(x) = y = 3x -5, onde a = 3 e b = -5. 2) f(x) = y = -2x + 3, onde a = -2 e b = 3. 3) f(x) = y = 2 x, onde a = 2 e b = 0. 4) f(x) = y = x, onde a= 1 e b = 0. Observaes: As funes identidade e linear so casos particulares da funo afim. O grfico de uma funo afim uma reta inclinada. D(f) = e Im (f) = . A funo afim tambm denominada funo do 1 grau. Para esboar seu grfico, que uma reta, basta determinar dois pontos da funo. Exemplo: 1) Seja y = x . Determine o domnio, imagem e esboce o grfico da funo, sendo: y = f(x) = 3x - 6. Soluo: Como o grfico uma reta, determina dois pontos dessa curva:

- 12 -

Pr-Clculo x 0 2

ETEP-Faculdades

y = f(x) 3.0 6 = -6 3.2 6 = 0 Unindo esses dois pontos, temos o grfico:

y

2

x

-6

D(f) = e Im (f) = . 2 ) y = f(x) = - 2x + 6 Soluo: Como o grfico uma reta, determina dois pontos dessa curva: x y = f(x) Esboce o grfico. 0 6 3 0

- 13 -

Pr-Clculo 3) y = f (x) = 2x + 7 Soluo: Como o grfico uma reta, determinemos dois pontos dessa curva: x y = f(x) Unindo esses dois pontos, esboce o grfico. 4) Dada a funo y = f(x) = 3x - 1 , calcular: a) f(4) Soluo: a) b)f(x) = 3x - 1 f(4) = 3.4 - 1 = 12 - 1 = 11 f(x) = 3x - 1 f(2x + 1) = 3. ( 2x + 1) - 1 = 6x + 3 - 1 = 6x + 2.

ETEP-Faculdades

0 7

-1 5

b) f(2x + 1)

5) Seja f(2x + 7) = - 4x + 9 . Determinar f(-5) . Soluo: 2x + 7 = -5 2x = -12 x = -6 Assim, f(-5) = -4.(-6) + 9 = 24 + 9 = 33. 6)Seja f(x - 8) = 2x - 5 . Determine, em funo de x, f(4x + 1) . Soluo: Seja w = x 8 x = w + 8. Assim, f(x 8) = f(w) = 2. (w + 8) 5 = 2w + 16 5 = 2w + 11. Logo, f(x) = 2x + 11. Da, f(4x + 1) = 2.(4x + 1) + 11 = 8x + 2 + 11 = 8x + 13.

- 14 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Aula 3 3. Coeficientes e zero da funo afim Seja y = ax + b uma funo afim. O nmero real a denominado coeficiente angular ou declividade da reta e o nmero real b dito coeficiente linear. Observao: O coeficiente linear a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y, ou seja, (0, b). Seja y = ax + b ou y = mx + n Chama-se zero ou raiz da funo do 1 grau ao valor de x para o qual f(x) = y =0. Assim, f(x) = y = 0 ax + b = 0 ax = - b x =b o ponto ,0 . a b , isto , o zero ou raiz de uma equao de 1 grau a

Graficamente falando, o zero de uma funo do 1 grau o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas. Funo de 1 Grau: f: f : | y = mx + nm o coeficiente angular da reta y

m = tg =

y1 y0 x1 x0

y1 y0 n x0 x1 n o coeficiente linear da reta (x = 0, y = n) x

3.1. Exerccios: 1)Determinar a equao da reta que passa pelo ponto (2, 1) e tem coeficiente angular igual a 3. 2)Determinar a equao da reta que passa pelo ponto (-3, -1) e tem coeficiente linear igual a 1. 3) Calcule o zero da funo f(x) = -7x + 2. 4)Determinar o ponto (x, y) em que o grfico da funo f(x) =x 2 corta o eixo x. 5 3

- 15 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

3.2. Funes crescentes e decrescentes A funo y = f ( x ) crescente em um intervalo I A se, x1 , x2 I , se x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x 2 ). A funo y = f ( x ) decrescente em um intervalo I A se, x1 , x2 I , se x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) . Exemplo: Seja a funo y = f ( x ) cujo grfico :y

x1

x x0 x2

f crescente em (, x0 ) ( x1 , x 2 ).

f decrescente em ( x0 , x1 ) ( x 2 ,+).

A funo afim y = ax + b crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente angular for positivo (negativo), isto , se, e somente se, a>0 (a 0. Esboce o grfico. b) Seja f(x) = -2x + 7. Soluo: uma funo decrescente, pois a = -2 < 0. Esboce o grfico. c) Determine p para que a funo f(x) = (2p + 3) x + 2 seja decrescente. Soluo: Para que uma funo seja decrescente, o coeficiente angular tem de ser negativo. Logo, 2p + 3 < 0 p< 3 . 2

c) Seja a funo f(x) = y = 3x + 4. Analise a funo e esboce seu grfico. Soluo: uma funo linear crescente, pois o coeficiente angular positivo. O domnio e a imagem da funo o conjunto dos nmeros reais. Esboce o grfico! - 16 -

Pr-Clculo1 x 3 . Analise a funo e esboce seu grfico. 2

ETEP-Faculdades

d) Seja a funo f(x) = y = Soluo:

uma funo linear crescente, pois o coeficiente angular positivo. O domnio e a imagem da funo o conjunto dos nmeros reais. Esboce o grfico!

3.3. Sinais de uma funo Seja a funo y = f ( x ) . Para que valores de x se tem f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0? Resolver essa questo estudar o sinal da funo. Para saber quando f(x) > 0 se determina os valores de x, onde y > 0, ou seja, os valores de x em que o grfico est acima do eixo x. Para saber quando f(x) = 0 se deve determinar as razes da funo, ou seja, os valores de x onde o grfico corta esse eixo. Para saber quando f(x) < 0 se determina os valores de x onde y < 0, ou seja, os valores de x onde o grfico est abaixo do eixo x. Exemplo: y

+ +a

b

----

----

+ + + + + + +c d e

x

Concluso: f(x) = 0 x = a ou x = b ou x = c ou x = d ou x = e. f(x) > 0 x < a ou c < x < d ou d < x < e. f(x) < 0 a < x < b ou b < x < c ou x > e. Quando fala-se, especificamente, da funo afim y = ax + b , considerando-se que o zero da funof(x) = 0 seja x =

b , pode verificar que: a

- 17 -

Pr-Clculo a) Se a funo for crescente, isto , se a > 0:

ETEP-Faculdades

b f ( x) = ax + b > 0 ax > b x > a f ( x) = ax + b < 0 ax < b x < b a

- - - - - b) Se a funo for decrescente, isto , se a < 0:

+ + + + +b a

f ( x) = ax + b > 0 ax > b x < f ( x) = ax + b < 0 ax < b x >

b a b a

+ + + + + + +b a

- - - - - -

Exemplos: a)Estudar o sinal da funo f(x) = 4x 5. Soluo: Para se estudar o sinal de uma funo, deve-se, inicialmente, determinar o (s) valor (es) de x que anula (m) a funo, ou seja, fazer f(x) = 0, que o ponto que a funo corta o eixo x. f(x) = 0 4x 5 = 0 x =5 . 4

Deve-se, ento, verificar qual o sinal da funo direita e esquerda desse ponto. Considere direita o ponto x = 2 (pois 2 >5 ) . Substituindo x = 2 na expresso y = 4x 5, tem-se y = 4.2 5 = 3, que um 4 - 18 -

Pr-Clculo5 , a funo positiva. 4

ETEP-Faculdades

nmero positivo. Pode-se, ento, afirmar que, direita de x = Do mesmo modo, toma-se um valor esquerda de x =

5 5 , por exemplo, x = 0 (pois 0 < ). Substituindo 4 4

na expresso y = 4x 5, tem-se y = 4.0 5 = -5 que um nmero negativo. Pode-se, ento, afirmar que esquerda de x =5 , a funo negativa. 4

Tambm poderia ser visto usando-se o coeficiente linear positivo. Como a = 4 > 0, a funo crescente e:

- - - - - - - - + + + + + + + +5 4

x

Assim,5 f ( x ) < 0, x < 4 5 f ( x ) = 0, x = 4 5 f ( x ) > 0, x > 4

b) Estudar o sinal da funo f(x) = y = -4x + 5. Soluo: f(x) = 0 4 x + 5 = 0 x =5 . 4

Como a = -4 < 0, a funo decrescente e: Assim,

+ + + + + + +

- - - - - - - - 5 4

x

5 f (x) > 0 , x < 4 5 f(x) = 0 , x = 4 5 f(x) < 0 , x > 4

- 19 -

Pr-Clculo c) Para que valores de x , a funo f(x) = y = 7x + 5 negativa? Soluo: f(x) < 0 7x + 5 < 0 x < 3.4. Equao de uma reta5 . 7

ETEP-Faculdades

Toda reta est associada a uma equao da forma ax + by + c = 0, chamada equao geral da reta, onde a, b, c so nmeros reais, a 0 ou b 0 e (x, y) representa um ponto genrico da reta. Determina-se a equao de uma reta a partir de algumas situaes. 1) Dois pontos A equao da reta que passa pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2) dada por:

y y1 y y1 y 2 y1 ( x x1 ) = ou y y1 = 2 x 2 x1 x x1 x 2 x1Exemplo: 1) Determine a equao da reta que passa pelos pontos (4, 3) e (-3, 2). Soluo: (x1, y1) = (4, 3) x1 = 4 e y1 = 3. (x2, y2) = ( -3, 2) x2 = -3 e y2 = 2.x 17 23 1 y 3 y 3 1 = = y 3 = ( x 4) y = + . x 4 34 x4 7 7 7 7

O coeficiente angular (ou declividade) 2) Um ponto e o coeficiente angular

1 . Esboce o grfico! 7

A equao da reta, que passa por um ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m, dada por: y y1 = m (x x1). Exemplo: Determine a equao da reta que passa pelo ponto (4, 2) e tem coeficiente angular m = Soluo: (x1, y1) = (4, 2) x1 = 4 e y1 = 2 e m = y2=6 6 x 14 (x -4) y = . 5 5 5 6 . 5 6 . 5

Esboce o grfico!

- 20 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

3.5. Retas paralelas e perpendiculares Dadas s retas y1 =m1x + b1 e y2 = m2x + b2, tem-se as seguintes definies: Definio 1: Duas retas, no verticais, so paralelas se, e somente se, elas tm o mesmo coeficiente angular, isto , m1 = m2. Definio 2: Duas retas, no verticais, so perpendiculares se, e somente se, seus coeficientes angulares so simtricos e inversos, isto , m1= Exemplos: 1)As retas y1 = 3x + 2 e y2 = 3x -2 so paralelas (o coeficiente angular das duas 3). Esboce o grfico! 2)As retas y1 = 3x + 2 e y2 = o grfico! 3)Determinar a equao da reta, perpendicular reta y = 4x + 5, que passa pelo ponto (1, -3). Soluo: O coeficiente angular da reta dada m1= 4. Logo, o coeficiente angular da reta perpendicular reta dada m2 = 1 1 =- . m1 4 1 dado, : 41 1 x + 2 so perpendiculares (os coeficientes angulares so 3 e - ). Esboce 3 3

1 . m2

A equao da reta, que passa por um ponto (x1, y1) = (1, -3) e tem coeficiente angular m = y y1 = m (x x1) y + 3 =11 1 1 ( x 1) y= x . Esboce o grfico! 4 4 4

3.6. Interseo entre duas retas A interseo entre duas retas o ponto onde as retas se interceptam, se existir tal ponto.y

y2 y1Interseo entre as retas

x

- 21 -

Pr-Clculo Exemplo:

ETEP-Faculdades

Dadas as retas y1 = 3x + 1 e y2 = -4x + 1, a interseo entre elas o ponto do plano onde y1= y2, ou seja: 3x + 1 = - 4x + 1 7x = 0 x = 0 y = 1. (pode-se substituir em qualquer das equaes, j que o ponto a interseo de ambas). Da, o ponto (0, 1) e a interseo das duas retas. Esboce o grfico!

- 22 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Aula 4 4. Tipos de Funo Objetivo: Estudar vrios tipos de funo e seus respectivos grficos: funes par e mpar, funo x3, funes recproca e mximo inteiro. Introduzir os conceitos de funo composta, funes injetora, sobrejetora e bijetora e funes inversas e simtricas.

4.1. Funo par e funo mpar. Seja y = f ( x ) . Definio 1: Chama-se funo par aquela em que f(x) = f(-x). Geometricamente, o grfico de uma funo par simtrico em relao ao eixo das ordenadas (y). Definio 2: Denomina-se funo mpar aquela em que f(x) = - f(-x). Geometricamente, o grfico de uma funo mpar simtrico em relao origem do sistema. Exemplos: 1) f(x) = y = x4 10x2 + 9 uma funo par, pois: f(- x) = (- x)4 10 (-x)2 + 9 = x4 10 x2 + 9 = f(x). Esboce e observe graficamente a simetria em relao ao eixo y. 2) f(x) = x5-10x3 + 9x uma funo mpar, pois: f(-x) = (-x)5 10(-x)3 + 9(-x) = -x5 + 10 x3 9x = - f(x). Esboce e observe graficamente a simetria em relao origem. 3) f(x) = x4 - 4x3 7x2 + 10x no nem par nem mpar, pois: f(-x) = (-x)4 4(-x)3 7(-x)2 + 10 (-x) = x4 + 4x3- 7x2 - 10x. Essa expresso no igual a f(x) nem a (-f(x)). Esboce e observe graficamente como no h simetria em relao ao eixo y nem origem. Funo f(x) = x3. Seja f(x) = x3. Essa funo muito utilizada ao se estudar o clculo. Serve de exemplo e contra-exemplo em diversas situaes. Verifique inicialmente, que: a) D(f) = . b) x1 < x2 (x1)3 < (x2)3 f(x1) < f(x2), o que significa que f crescente. c) Im(f) = , pois y , x / y = x 3 (ou x =3

y ).

d) f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x). Portanto, ela mpar (simtrica em relao origem). e) Esboce e observe no grfico a simetria.

- 23 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Funo f ( x ) = Seja f(x) = y =

1 ou funo recproca. x

1 , onde D(f) = * . Essa funo recebe o nome de funo recproca. x

A imagem da funo Im(f) = * . A funo mpar, pois f(-x) =1 = f ( x) , isto , simtrica em relao origem. x

Seu grfico uma hiprbole eqiltera. Esboce.

4.2. Funo Composta Sejam

y1 = f ( x )

e

y 2 = g( x ) .

Chama-se

funo

composta

de

g

e

f

funo

h( x ) = f ( g ( x )) = ( fog )( x ) = fog .

Observaes: 1) A expresso h(x) = (fog)(x) = f(g(x)), se l: f composta com g ou f crculo g ou, simplesmente, fog. 2) A composta fog s est definida quando o contradomnio da g igual ao domnio da f (conjunto B). 3) Em geral, fog gof. Exemplos: 1)Sejam as funes f(x) = x + 1 e g(x) = 2x + 1. (fog)(x) = f (g(x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 1 = 2x + 2. (gof)(x) = g (f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3. (fof)(x) = f (f(x)) = f (x + 1) = x + 1 + 1 = x + 2. (gog)(x) = g (g(x)) = g(2x + 1) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3. - 24 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

2)Sejam as funes f(x) = x2 1 e g(x) = -x + 1. (fog)(x) = f(g(x)) = f(-x + 1) = (-x + 1)2 1 = x2 -2x + 1 1 = x2 2x. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x2 - 1) = - (x2 1) + 1 = - x2 + 1 + 1 = -x2 + 2. (fof)(x) = f(f(x)) = f(x2 1) = (x2 1)2 1 = x4 2x2 + 1 1 = x4 2x2. (gog)(x) = g(g(x)) = g(-x + 1) = - (-x + 1) + 1 = x 1 + 1 = x. 3)Sejam as funes f(x) = x 6 e g(x) = - x2 + 1. (fog)(x) = f(g(x))= f(-x2 + 1) = (-x2 + 1) 6 = -x2 5. (gof)(x) = g(f(x)) = g(x -6) = - (x 6)2 + 1 = - (x2 12x + 36) + 1 = -x2 + 12x 36 + 1 = -x2 + 12x 35. (fof)(x) = f(f(x))= f(x 6) = (x 6) 6 = x 12.

4.3. Funes: injetora, sobrejetora e bijetora. Definio: Uma funof :AB x a f ( x) = y

pode ser injetora ou injetiva se, e somente se, x1 , x2 A se

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ).Analogamente, se f(x1) = f(x2) x1 = x2.

Exemplos: a)f(x) = 3x injetora, pois:x1 x 2 3 x1 3 x 2 f ( x1 ) f ( x 2 )2 5 3.2 3.5 6 15 f (2) f (5).

b)f(x) =

1 injetora, pois: 2x

x1 x 2 1 3

1 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 x1 2 x 2 1 1 1 1 f (1) f (3). 2(1) 2.3 2 6

c)f(x) = x2 no injetora, pois, por exemplo, se x1 = 2 x2 = -2, temos que 22 = (-2)2 = 4- 25 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

f ( x1 ) = f ( x 2 ) = 4.Definio: Uma funoy = f(x)

pode ser sobrejetora ou sobrejetiva se, e somente se,

y B, x A / f ( x ) = y. Significa que, para ser sobrejetora, Im(f) = CD(f).

Exemplos: Seja y = f ( x ) . a) f(x) = 3x sobrejetora, pois: y , x / f ( x ) = y = 3 x. b) f(x) = x2 no sobrejetora (se considerarmos o contradomnio como o conjunto dos reais), pois, por exemplo, se y = -2, no existe x , tal que f(x) = y = x2.Definio: Uma funo y = f ( x ) pode ser bijetora ou bijetiva se, e somente se, ela for injetora e

sobrejetora (ao mesmo tempo). Diz-se que uma funo bijetora se ela tem uma relao um a um. Veja o conjunto a seguir:

4.4. Funo inversa

Como toda funo uma relao, podemos determinar a relao inversa de uma funo, da mesma maneira que fizermos com a relao. Essa relao inversa tambm ser uma funo, somente quando a funo for bijetora (a inversa tambm ser bijetora). Exemplos: a) Neste exemplo, f: A B , D(f) = A, Im(f) = {6, 7, 8, 9, 11} B.

- 26 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

B A1 2 3 4

f6 7 8 1

A

f

6 7 8 9 10

B

2 3

9 1 0

4 5

A relao inversa f-1: B A, D ( f imagem).

1

) B, Im( f

1

) = A no uma funo (o elemento 10 no tem

A funo f injetora, pois x1 , x2 A se x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ). Ela no sobrejetora, pois no existe x A / f ( x ) = 10. Logo, no bijetora.b) Neste exemplo, A1 2 3 4

f : A B, D ( f ) = A, Im( f ) = B.

f6 7 8 9

B

B6

f -17

A1 2 3 4 5

8

A relao inversa f imagens).

1

: B A, D( f

1

) = B, Im( f

1

) = A no uma funo (o elemento 6 tem duas

A funo f no injetora, pois para x1= 1 e x2= 2, f(x1) = f(x2). Ela sobrejetora, poisy B, x A / f ( x ) = y. Logo, no bijetora.

c) Neste exemplo, f : A B, D ( f ) = A, Im( f ) = B. A f1

6 10

B

B

6

f -11

A

10 2

2 7 3 8 9 8 7

3

4 5

4 9

- 27 -

Pr-Clculo A relao inversa f injetora e sobrejetora. Teorema: Seja f: A B uma funo. A relao f bijetora.1 1

ETEP-Faculdades

: B A, D( f

1

) = B, Im( f

1

) = A funo. A funo f bijetora, pois ela

: B A uma funo se, e somente se, f for

Definio: Se f: A B uma funo bijetora, a relao inversa de f uma funo de B em A que

denominamos funo inversa de f e indicamos por f-1. Para determinarmos a funo ou relao inversa, temos de explicitar x em relao a y.Propriedades:

1)D(f-1) = Im(f) = B 2)Im(f-1) = D(f) = A 3)(f-1)-1= f. Exemplos: a) f(x) = 3x + 2. Nesse caso, a funo f bijetora com A = B = . Assim, ela admite uma inversa que funo.y = 3x + 2 3 x = y 2 x = f1

y2 = f 3

1

( y ). Da,

a

inversa

da

funo

f

a

funo

(y)= x =

y2 . 3

b) f(x) = y = (x-1)2. f(x) = y = (x -1)2

y = x 1 x =

y + 1 = f 1 ( y ). Para essa funo, admitir uma inversa que seja

funo, temos de limitar o domnio. Assim, f ( x ) = y = ( x 1 ) 2 ser bijetora e sua inversa ser a funo

f 1 ( y ) = x =c) f(x) = y = f(x) = y =

y +1.

x . x+3

x xy + 3 y = x xy + x = 3 y. Colocando x em evidncia, temos: x+3

x( y + 1) = 3 y x =

3y = f 1 ( y ). Assim, f y +1

1

(y)= x =

3y . y+1

Seja f 1 ( y ) = x a funo inversa de uma funo f. Se trocarmos, nessa funo, a varivel x por y e a varivel y por x, teremos uma nova funo, que chamaremos funo simtrica.

- 28 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

A funo inversa g de uma funo real de varivel real f obtm-se de f por uma simetria em relao recta y=x. Exemplos: a) Seja f 1 ( y ) = x = b)Seja f 1 ( y ) = x = c)Seja f1

y2 x2 . A simtrica dessa funo a funo g( x ) = y = . 3 3

y + 1. A simtrica dessa funo a funo g ( x ) = y = x + 1 .3y 3x . A simtrica dessa funo a funo g ( x ) = y = . y +1 x+1

(y) = x =

Observao:

Chamamos a funo g de funo inversa da funo f. Geometricamente, os grficos da funo f e da funo simtrica g so simtricos em relao reta f(x) = y = x. Exemplos: a) f ( x ) = y = 3 x + 2 e g( x ) = y =x2 . Esboce os grficos. 3

b) f ( x ) = y = ( x 1 ) 2 e g ( x ) = y = x + 1. Esboce o grfico. c) f ( x ) = y =x 3x e g( x ) = y = . Esboce o grfico. x+3 x+1

4.5. Exerccios propostos

Determine o domnio e a imagem de cada relao e verifique quais delas so funes. a)

- 29 -

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

d)

b) e)

c)

f)

2) So dados os grficos de dias relaes. Qual destas relaes uma funo? Determine o domnio e a imagem de cada uma. a) b)

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

3) Encontre o Domnio de cada uma das funes abaixo: a) f ( x ) =x x+2

e) m( x ) = f)t(x) =

3 3x

b) g ( x ) = 3 x c) h ( x ) = d) k ( x ) = 3 x+2 7x x2 1

1 + 3 x x+2

g) u ( x ) = 5x

4) Sendo f: IRIRy = x + 2, pede-se: 1 a) f(-1), f(0), f , f 3

( 3 ), f(-7) e f (

2 2

)2

b) valores de x para que se tenha f(x) = -2, f(x) = 0 e f(x) =

5) Sendo f(x) = x2 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, encontre o valor de x na equao abaixo: f (1) g ( x) f (2) = g (2) f (0) 6) Sabendo que a reta t passa pelos pontos A(1; 3) e B(-3; 1) e a reta r passa pelos pontos C(-2; 5) e D(2; 1), pede-se: a) equao da reta t; b) equao da reta r; c) A abscissa do ponto de interseco entre as retas t e r 7) Os registros de temperatura T (T em F) foram tomados a cada duas horas a partir da meia noite at o meio dia em Atlanta, na Gergia, em 18 de maro de 1996. O tempo t foi medido em horas aps a meia noite.

Pr-Clculo t 0 2 4 6 8 10 12 T 58 57 53 50 51 57 61 a) Use os registros para esboar um grfico de T em funo de t. b) Use o grfico para estimar a temperatura s 11 horas da manh.

ETEP-Faculdades

8) A populao P (em milhares) de uma cidade, de 1984 a 1994, est mostrada na tabela. (So dadas estimativas intermedirias). t 1984 1986 1988 1990 1992 1994 P 695 716 733 782 800 817 a) Esboce um grfico de P em funo do tempo. b) Use o grfico para estimar a populao em 1991. 9) Se f ( x ) = 2 x 2 + 3 x 4 , encontre f ( 0 ) , f ( 2 ) , f ( 2 ) , f ( 1 + 2 ) , f ( x ) , f ( x + 1 ) , 2 f ( x ) , ef ( 2x ) .

Respostas:

1) a) ID(f) = Im (f) = {- 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} b) ID(f) = {- 3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} Im (f) = {3} c) ID(f) = {x | 2 x 2} Im (f) = {y | 0 y 4} d) ID(R) = {5} Im (f) = {y | 0 y 5} e) ID(f) = {x | 0 x 5} Im (f) = {y | 0 y 5} f) ID(R) = {x | 0 x 4} Im (f) = {y | 0 y 4} So funes: a, b, c, e 2) A relao b uma funo porque a todo elemento do domnio est associado um nico elemento da imagem. ID(a) = ID(b) = {x | 1 x 7} Im(a) = Im(b) = {y | 1 y 4} 3) a) ID(f) ={xIRx -2} b) ID(g) ={xIRx 3} c) ID(h) = {xIRx > -2} d) ID(k) = {xIRx 1} e) ID(m) = {xIRx >0} f) ID(t) = {xIRx 3 e x - 2} g) ID(u) = IR 1 5 4) a) f(-1) = 1, f(0) = 2, f = , f 3 = 3 + 2 , f(-7) = 5, 3 3

( )

f

(

2 2 =

)

2

b) x = - 4, x = -2 e

x=

2 -2

5) x = 1/2

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

6) a) t: y =Aula 5

1 5 x+ 2 2

b) r: y = x + 3

c) x =

1 3

5. Funo do 2 grau e Funo Modular Objetivo: Definir e encontrar a soluo de uma inequao do 2 grau, utilizando conceitos de funes do

2 grau. Definir e construir grficos da funo modular.5.1. Conceitos iniciais:

Para estudarmos as inequaes do 2 grau, precisamos, inicialmente, estudar a funo do 2 grau cujo grfico uma parbola. A funo quadrtica y = ax 2 + bx + c , a 0 , tem as seguintes caractersticas:Concavidade:

Se a > 0, a concavidade est voltada para cima; Se a < 0, a concavidade est voltada para baixo.

Onde corta o eixo y:

(0, f(0)) = (0, c)Razes ou Zeros:

(x, 0) f ( x) = 0 ax 2 + bx + c = 0. Esse item j vimos na Aula 5, quando falamos em equao do 2 grau. Conclui-se quex2 = b . 2a

x=

b b b 2 4ac = , isto , 2a 2a

x1 =

b+ 2a

e

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Como a equao do 2 grau, temos exatamente duas razes que podem ser:

Reais e distintas, se > 0. Reais e iguais, se = 0. Complexas conjugadas, se < 0.Como o eixo x um eixo real, significa que:

Corta o eixo em 2 pontos distintos, se > 0. Tangencia o eixo x (toca em apenas um ponto), se = 0. No cruza nem toca o eixo x, se < 0.

Vrtice:

- O grfico da parbola simtrico em relao reta que passa pelo vrtice. Significa que a abscissa do vrtice o ponto mdio das abscissas das razes da parbola. x + x2 xv = 1 xv = 2 Como o vrtice um ponto b+ b + 2b b 2a 2a xv = xv = . 2 4a 2a da2

parbola,

ele

satisfaz

a

sua

equao.

Da,

b b b y v = f ( x v ) y v = f ( ) y v = a +c + b 2a 2a 2a yv = a b2 b2 +c 4a 2 2a

yv =

b 2 4ac yv = 4a 4a

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Sinal:

Observao:

Dada a equao f(x) = ax2 + bx + c = 0, sejam x = x1 e x = x2 suas razes. Da, x x1= 0 e x x2 = 0. Logo, (x x1)(x x2) = 0. Escreve-se tambm: f(x) = y = ax2 + bx + c = (x x1)(x x2) = 0 x = x1 ou x = x2. Exemplos: Seja y = ax 2 + bx + c . a)f(x) = y = x2 4x + 3. Se f(x) = 0 x2 4x + 3 = 0 e se tem as razes:

x1 =

b + b 2 4ac b b 2 4ac e x2 = . 2a 2a

Como a = 1, b = - 4 e c = 3, as equaes se tornam: x1 = (4) + (4) 2 4.1.3 =1 e 2.1 x2 = (4) (4) 2 4.1.3 =3 2.1

Da, f(x) = x2 4x + 3 = (x 1)( x 3) = 0 x 1 = 0 ou x 3 = 0 x = 1 ou x = 3. b)f(x) = y = x2 + 2x 3 Se f(x) = 0 x2 + 2x 3 = 0 e se tem as razes:

x1 =

b + b 2 4ac b b 2 4ac e x2 = , onde a = 1, b = 2 e c = -3. 2.a 2.a

Pr-Clculo Assim, x1 = 2 + (2) 2 4.1.(3) 2 + (2) 2 4.1.(3) = 1 e x1 = = 3 . 2.1 2.1

ETEP-Faculdades

Logo, f(x) = x2 + 2x 3 = (x 1) (x + 3) = 0 x 1 = 0 ou x + 3 = 0 x = 1 ou x = -3.

5.2. Exerccios Propostos

Encontre a lei que define a funo do segundo grau (equao da parbola) nos seguintes casos: a) A parbola passa pelos pontos A(1; 3) B(-1;9) e C(2; 6) b) A parbola passa pelos pontos A(0; 0) B(1;3) e C(-1;-5) c) A parbola passa pelos pontos A(0; -4) B(1;3) e C(-1;3) d) Corta o eixo Oy em y =2 e passa pelos pontos A(1; 0) e B(-1; 6)

5.3. Resoluo de inequao do 2 grau

Chama-se inequao do 2 grau a toda expresso que pode ser reduzida a uma das seguintes formas: ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c 0 ; ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c 0 . A resoluo decorre do estudo da variao de sinal de um trinmio do 2 grau, visto no item anterior. Exemplos: a) Estudar seus pontos principais, esboar seus grficos e determinar suas imagens: f(x) = y = x2 4x + 3 a = 1, b = -4, c = 3. Como a = 1 > 0, o grfico tem a concavidade voltada para cima. Ele corta o eixo y em x = 0. Fazendo x = 0 em f(x) = x2 4x + 3 f(0) = 02 4.0 + 3 = 3. Da, (0,f(0)) = (0, c) = (0, 3). Como = b 2 4ac = (4) 2 4.1.3 = 4 > 0 , existem duas razes reais e distintas. As razes sox= b ( 4) 4 4 2 = = = 3. 2a 2 .1 2

O

vrtice

da

parbola

o

ponto

4 4 b , = , V = = (2,1). A partir do esboce o grfico, Im(f) = [1,+ ). Como o grfico 2 a 4 a 2 .1 4 .1

tem a concavidade voltada para cima e possui duas razes reais e distintas, a funo negativa para valores de x compreendidos entre as determinadas: 1 e 3. Logo, f positiva em ( ,1) (3,+ ) e f negativa em (1, 3). b) f(x) = y = 3x2 7x + 2. razes e positiva para os demais valores de x. As razes

a = 3; b = -7; c = 2.

Como a = 3 > 0, o grfico tem a concavidade voltada para cima. Ele corta o eixo y em x = 0. Fazendo x =

Pr-Clculo 0 em f(x) = 3x2 7x + 2, tem f(0) = 3.02 7.0 + 2 = 2. Da, (0,f(0)) = (0, c) = (0, 2). Como = (7) 2 4.3.2 = 25 > 0, existem duas razes reais e distintas. As razes so x =x1 = 75 1 = 6 3 b (7) 25 7 5 , isto : = = 2a 2 .3 6

ETEP-Faculdades

e

x2 =

7+5 = 2. 6

O

vrtice

da

parbola

o

ponto

25 7 25 25 b 7 , , V = = = , . Esboce o grfico e verifique que Im(f) = [ ,+). Como o 12 2a 4a 2.3 4.3 6 12

grfico tem a concavidade voltada para cima e possui duas razes reais e distintas, a funo negativa para valores de x compreendidos entre as razes e positiva para os demais valores de x. As razes determinadas so:1 , 2. 3 1 ,2 . 3

1 Logo, f positiva em , (2,+ ) e f negativa em 3

c)Resolva as inequao x 2 3 x + 4 > 0 Considerando f(x) = x2 3x + 4, tem que a > 0, ento o grfico tem a concavidade voltada para cima. Como = (3) 2 4.1.4 = 7 < 0, no existem reais. Da, f(x) 0, x . d)Resolva a iniquao produto (x2 x 6)(-x2 + 6x 5) > 0 Sejam f(x) = x2 x 6 e g(x) = -x2 + 6x 5. Queremos determinar, para que valores de x f(x). g(x) > 0. Primeiro determinaremos as razes de f(x) e g(x). Para f(x), temos: como = (1) 2 4.1(6) = 25 > 0 , existem duas razes reais distintas. x= b (1) 25 1 5 1+ 5 1 5 , isto : x1 = = = = 3 e x2 = = 2. 2a 2.1 2 2 2

Como a > 0, f positiva em ( ,2) (3,+ ), f negativa em (1, 3) e f nula em {-2, 3}. Para g(x), tem: Como x= = 6 2 4(1)(5) = 16 > 0, existem duas razes reais e distintas.

b 6 16 6 4 64 = = , isto : x 2 = = 5. Como a < 0, g negativa em 2a 2(1) 2 2 e g positiva em (1, 5) e g nula em {1, 5}.

( ,1) (5,+)

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

f(x)=x2-x-6 g(x)= -x2 + 6x - 5

+ -2

+1

+ 3

+ + +5

+ -

f(x) . g(x)

As retas tracejadas em x = -2, x = 1, x = 3 e x = 5 indicam que esses valores de x no faro parte da soluo, pois a inequao no poder ser nula. Assim, S = (-2, 1) (3,5).5.4. Funo definida por vrias sentenas

Uma funo pode ser dividida em vrias sentenas, onde o domnio dela a unio dos domnios das sentenas. Exemplos: 5, x < 1 a) f ( x) = 3x 2,1 x < 2 4, x 2

y

x

D(f) = e Im(f) = [-5, 4].

5.5 .Funo Modular

Uma funo de lR em lR recebe o nome de funo modular ou funo mdulo se, x lR e associarmos o elemento | x | lR , isto ,y =| x |

Note que o domnio da funo o conjunto lR e a imagem da funo o conjunto lR+.

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

y

x

5.6. Exerccios Propostos

Esboce os grficos: a) f(x) = y = |-x +7|. b) f(x) = y = |5x +1|. c) f(x) = y = |3x + 4|. d) f(x) = y = |x2 + 3x -10|. e) f(x) = y = |x -3| + 2. f) f(x) = y = |x + 5| + x -2.

Aula 6 6. Funo Exponencial e Funo Logartmica

Objetivo: Essas funes so utilizadas em vrias funes econmicas, e suas respectivas representaes grficas.

Veja como diferenciar os grficos das funes logartmica e exponencial a partir da palma da sua mo direita.6.1. Funo Exponencial

Seja a , tal que a > 0 e a 1. Chamamos funo exponencial de base a a funo f ( x ) = y = a x . Exemplos: a) f(x) = 3 xObservaes:1 b) y = = 3 x 3x

c) f(x) = 5 x

d) f(x) = ( 5 ) x

e) y = (

5 x ) 2

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

1) f(x) = a x f(0) = a 0 = 1 , isso significa que o par ordenado (0, 1) pertence a toda funo exponencial. 2) Como a > 0 e a 1 , ento ax > 0, x . Da, Im(f) = * (a funo exponencial estritamente + positiva). 3) Como a > 0 e a 1, temos duas possibilidades: a > 1 ou 0 < a < 1. a) a > 1x1 < x 2 a x1 < a x2 f ( x1 ) < f ( x 2 ). Da, f crescente.

b) 0 < a < 1x1 < x 2 a x1 > a x2 f ( x1 ) > f ( x 2 ). Da, f decrescente.

c) Na representao grfica da funo exponencial, tem-se uma reta horizontal assntota ( y = 0), que representa o limite inferior da funo. Exemplos: a) y = 3 x 1 D(f) = . Como 3x > 0, ento y = 3 x - 1 > - 1 , isto , Im(f) = (-1, + ) . A funo crescente, pois a > 1 . A reta assntota a reta y = -1. Esboce o grfico.3 b) y = + 7 5 3 3 D(f) = . Como > 0, ento y = ( ) x + 7 > 7 > 7, isto , Im(f) = (7, + ) . A funo decrescente, 5 5x x

pois 0 < a < 1 . A reta assntota a reta y = 7. Esboce o grfico.

6.2. Funo Logartmica Definio: Seja a , tal que a > 0 e a 1. Chamamos funo logartmica de base a a funo

f ( x ) = y = log a x .

Exemplos: a) f(x) = log 5 xObservaes:y = log a x a y = x . O significado dessa expresso que a funo logartmica e a funo exponencial

b) f(x) = log 1 x3

c) f(x) = log 10 x = logx

d) f(x) = log e x = lnx

so inversas uma da outra.f(x) = log a x f ( 1 ) = log a 1 = 0. Isso significa que o par ordenado (1, 0) pertence a toda funo

logartmica.

Pr-Clculo Como a > 0 e a 1 , tem-se duas possibilidades: a > 1 ou 0 < a < 1. a) a > 1x1 < x 2 log a x1 < log a x 2 f ( x1 ) < f ( x 2 ). Da, f crescente.

ETEP-Faculdades

b) 0 < a < 1x1 < x 2 log a x1 > log a x 2 f ( x1 ) > f ( x 2 ). Da, f decrescente.

Na representao grfica da funo logartmica, tem-se uma reta vertical assntota ( x = 0), que representa o limite esquerdo ou direito da funo quando a mesma for decrescente ou crescente, respectivamente. Esboce e observe os grficos das funes: a) y = log 5 x e y = 5 x y = log5x e y = 5x1 b) y = log 1 x e y = = 5 x . 5 5x

Essas funes so simtricas em relao reta y = x. Os grficos de y = log 9 x e y = log 2 x . Esboce e observe que os dois grficos possuem a mesma reta7

assntota x = 0. A primeira funo f crescente, pois a = 9 j a segunda decrescente, pois a =2 . 7

Esboce os grficos a seguir, identificando: o domnio e imagem, a reta assntota, se a funo crescente ou decrescente. a)f(x) = log 3 (7x)

b) y = ln(4x) . c)f(x) = log(7x)6

d) y = log 1 xAula 7 7. Exerccios Propostos

1) Resolva em IR as seguintes equaes e sistemas de equaes: a) 2 n+1 + 2 n+ 2 = 48 b) 4 y + 4 y =5 2

y x 2 + 2 = 18 c) x y 2 = 8

d) log 4 x + log 4 ( x 3 ) = 1

Pr-Clculo e) 2. log 2 x log 2 ( x + 6 ) = 0x f) 3 log x 5 log 2 = log 2

ETEP-Faculdades

4 x y = 16 g) log 2 ( x 1 ) + log 2 y = 1

2) Um capital aplicado durante 4 anos produziu um montante igual ao dobro do capital aplicado. Qual a taxa de juro anual de aplicao? 3)Carla aplicou R$ 1.500,00 hoje em um banco e vai retirar todo montante de R$ 1715,10 alguns meses depois. Se a taxa de juro da aplicao dor de 1,5 % ao ms, durante quantos meses o dinheiro dever ficar aplicado? 4) Durante quantos meses uma pessoa deve deixar aplicado um capital de R$ 980,00, taxa de juro de 1,2% ao ms, para pagar um curso que vai lhe custar R$ 1066,00? 5) A populao de uma certa espcie em um ambiente limitado, com populao inicial igual a 100 e capacidade para suportar 1000 indivduos, P (t ) =

100.000 100 + 900 et

, onde t medido em anos.

a) Faa o grfico dessa funo e estime quanto tempo levar para a populao atingir 900 indivduos. b) Encontre a inversa dessa funo e explique seu significado. c) Use a funo inversa para encontrar o tempo necessrio para a populao atingir 900 indivduos. Compare o resultado com o item a. 6) Esboce o grfico das seguintes funes:1 a) y = a x , se a = 2, , e 21

b) y = 10 x

c) y = e x

2

d) y = 2 x e) y = ln( x )

f) y = ln( x + 1)

g) y = x ln(x) Respostas: 1) a) n = 3 e) S = { 3} 2) i=18,93% 5)t 0 1 2 3 4 P(t) 100 232 451 691 859

b) y =

1 1 ou y = 2 2

c) x = 4 r y = 1 g) S = {3, 1}

d) S = {4}

f) S = {4}

3) n = 9 meses 4) n = 7 meses

Atravs do grfico percebemos que para a populao atingir 900 indivduos necessrio pouco mais de 4 anos (aproximadamente 4 anos e meio). Abaixo est a resoluo algbrica.

Pr-Clculo10 999,59

ETEP-Faculdades

P (t ) =

100.000 100 + 900 e t

P (t ) = 900100 + 900 . e t = t = ln(0,01234)

900 =et

100.000t

100 + 900 e = 0,01234

1000 9

t 4,395

Algebricamente encontramos 4 anos e 5 meses aproximadamente

6) a) b)y = 10^(1/x)2

y = 2^x y = 0.5^x y = e^x 4

y

3

y 4

1 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5

3

2

1

1 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

3

1

4

Algebricamente encontramos 4 anos e 5 meses aproximadamente2 3

y = e^(-x^2) 4

yy = -2^x

c)4

y 4

d)

33

22

11

xx

4

3

2

1

1

2

3

4

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

1

1

2

2

3

3

4

4

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

e)y = ln(x+1) 4 y

f)y = ln(-x)3

y 4

2

3

1 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

1 x

1

42

3

2

1

1

2

3

4

5

1

3

2

4

3

4

g)y 4

3

2

1 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

Aula 8 8. Trigonometria 8.1.Introduo dados histricos:

A palavra trigonometria vem do grego (tri + gonos + metron, que significa trs + ngulos + medida) e nos remete ao estudo dos lados, ngulos e outros elementos dos tringulos. Os primeiros estudos sobre o assunto so muito antigos. Hiparco, um grandes astrnomo e matemtico grego, j no sculo II a.C., lana alguns fundamentos de trigonometria ao construir tabelas de nmeros para clculos astronmicos, equivalentes s tbuas de senos. Somente no sculo XVIII, o matemtico suo Euler conseguiu desvincular a trigonometria da astronomia, transformando-a em um ramo independente na matemtica.8.2.Arcos e ngulos:

Seja uma circunferncia de centro em 0 e raio r. chamado ngulo central e tem a mesma medida do

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

arco de circunferncia que ele determina. Sendo assim, verifica-se que a circunferncia toda mede 360.

0

0 r

Se pode ento definir: 1) Grau um arco unitrio igual a1 da circunferncia que contm o arco a ser medido. 360 1 da circunferncia. 2

2) Radiano um arco unitrio cujo comprimento igual ao raio da circunferncia que contm o arco a ser medido, isto , corresponde a 3) Grado um arco unitrio igual a

1 da circunferncia. 400

Logo, um ngulo pode ser medido em graus ou radianos. Como existem 2 radianos em um crculo (lembre-se que o comprimento de uma circunferncia igual a 2 r), se tem as seguintes relaes:2 = 360 o ; = 180 o ;

2

= 90 o , e assim sucessivamente.

( um nmero irracional cujo valor 3,14159...). Pode ento, por meio de uma simples regra de trs, exprimir qualquer ngulo em radianos e viceversa. Exemplos: 1) Exprimir 160 em radianos: 180 - rad 160 - x rad Da, x =160 8 = rad 180 9 5 rad em graus: 6

2) Exprimir

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

180 o rad 5 xo rad 6Da, x =180 5 6 = 150 o .

8.3.Ciclo trigonomtrico

O conceito expresso pela palavra ciclo foi introduzido pelo matemtico francs Laguerre. Significa uma circunferncia com uma direo predefinida, isto , orientada. Pode-se trabalhar nos sentidos horrio ou anti-horrio. O ciclo trigonomtrico um ciclo no sentido anti-horrio (sentido positivo); sua origem o ponto A; o centro da circunferncia coincide com a origem do sistema cartesiano ortogonal; o raio da circunferncia igual a 1 unidade; os eixos dividem o crculo em 4 quadrantes.

yB

+2 Q 1 Q

Sentido anti-horrio

xA 3 Q 4 Q A

B

Tem-se os pontos da circunferncia A(1,0), B(0, 1), A(-1, 0) e B(0, -1). O comprimento da circunferncia 2 (pois r = 1). Para cada nmero real x, associa-se um ponto P na circunferncia, da seguinte forma: a) se x = 0, ento P = A; b) se x > 0, parte-se de A e realiza sobre a circunferncia um percurso de comprimento x, no sentido anti-horrio. O ponto final do percurso o ponto P; c) se x < 0, faz-se o percurso no sentido horrio. Exemplos: Associa-se ao nmero:

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

2

+

3 2

2-3 2

2

-

Observao:

Verifica-se que possvel associar a cada nmero real x um ponto P do ciclo trigonomtrico. Se o ponto P a imagem de um nmero real x0, ento, P a imagem dos seguintes nmeros:x0 x 0 x0 x0 . . x0 x0 . . + 2 + 4 + 6 .

y P

A

x

2 4 .

x0 + 2 (x0 mais uma volta) x0 + 4 (x0 mais duas voltas) x0 + 6 (x0 mais trs voltas) x0 - 2 (x0 menos uma volta) x0 4 (x0 menos duas voltas).... Resumindo, P a imagem dos nmeros x pertencentes ao conjunto: {x / x = x0 + 2k , k }.

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Aula 9 9. Funes Peridicas Funo Seno e Cosseno Definio

Uma funo f ( x) = y dita peridica se existir um nmero real p > 0, tal que f(x + p) = f(x), x A. O menor valor de p que satisfaz a igualdade chamado perodo de f. De maneira simples, pode-se dizer que uma funo peridica aquela cujo grfico, a partir de certo instante, se repete. como se fizssemos um carimbo com um desenho e carimbssemos uma folha seguidamente. Esse carimbo denominado perodo. Exemplo: 1) Seja y = f (x) , tal que f(x) = x n, onde n e x n. Assim, tem:

... x (2) = x + 2; x (1) = x + 1; f ( x) = x 0 = x; x 1; x 2; x 3;

3 x < 2 2 x < 1 1 x < 0 0 x 7 b) x 2

x2 : x 7d) x 2 ou x > 7 e) n d a

c) 2 x < 71 4 x2

2.Dada a funo f ( x ) = a) x qualquer

seu domnio ou campo de definio : c) x 2 d) 2 x 2 e) nda

b) x 2

3.O domnio de definio da funo f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 com valores reais um dos conjuntos abaixo. Assinale-o: a) x 1 ou x 3 d) 1 x 3 b) 3 x < 1 e) n d a c) x 3 ou x 1

4. Sendo y = 1 x 2 uma funo de valores reais, o seu conjunto de definio D : a) D = { } b) D = {-1, 1 } c) D = [ -1, 1 ] d) D = IR e) n d a

5. O conjunto de todos os valores de x, para os quais a) 1 x < 2 d) x - 1 ou x > 2 6. Dada a funo f ( x ) = a) ] - , 0 ] ] 1, + [ d) [ 0, 1 ]1 2

x+1 um nmero real, : x2

b) x 2 e) 1 < x < 2

c) x < - 1 ou x > 2

x , o seu domnio : x 1b) ] - , 0 [ ] 1, + [ e) ] 0, 1 [ c) ] - , 0 ] [ 1, + [

7. Se f ( x ) = (3 x ) ento o domnio de f o intervalo: a) [ - 3, 3 ] d) (-4, 4) b) [ - 3 , 3 ] e) [ - 4, 4 ] c) - 3 , 3

(

))1 2

8. O domnio da funo real de varivel real f ( x ) = x 2 + 2 x 15

(

dado pelo conjunto:

Pr-Clculo a) x < - 5 ou x > 3 d) x - 3 ou x 5 b) x - 5 ou x 3 e) x < - 3 ou x > 5x 2 7 x + 12 : x 1

ETEP-Faculdades

c) - 5 < x < 3 -5 < x < 3

9. O domnio da funo f ( x ) = a) 1 < x 3 ou x 4 d) x < 1 ou x 4

b) 1 < x < 3 ou x < 4 e) -1 x 3 ou X > 4

c) -1 < x 3 ou x 4

10. O domnio da funo f ( x ) = a) -1 x 2 ou x 1/2 d) x -1 e x 2

1 2x : x x22

b) -1 x 2 e x e) x < -1 ou 1/2

1/2 x 0 ; b > 0 c) a < 0 ; b > 0 d) a > 0 ; b = 0 e) a > 0 ; b < 0 b) y=-x/3 + 1 c) y= 2x d) y= x/3 +1 e) y= -x 4. O grfico abaixo representa a funo f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:

Pr-Clculo 5.A representao da funo y = -3 uma reta : a) paralela aos eixo das ordenadas b) perpendicular ao eixo das ordenadas c) perpendicular ao eixo das abscissas d) que intercepta os dois eixos e) nda 6.O grfico abaixo o da reta y = ax + b, quando : a) a < 2 b) a < 0 c) a = 0 d) a > 0 e) a = 2 7.O grfico abaixo pode representar qual das expresses ? a) y = 2x - 3 b) y = - 2x + 3 c) y = 1,5 x + 3 d) 3y = - 2x e) y = - 1,5x + 3 8.Uma funo do 1o grau tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Ento f(0) igual a : a) 0 : a) f(x)= x-3 b) f(x)= 0,97x c) f(x)=1,3x d) f(x)=-3x e) f(x)= 1,03x b) 2 c) 3 d) 4 e) -1

ETEP-Faculdades

9.A funo que representa o valor a ser pago aps um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria

10. Seja y = ax + b onde a e b so nmeros reais tal que a< 0 e b > 0 . Assinale a alternativa que indica a representao desta funo:

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

'

Funo do 2 grau

1. A funo f(x) = x2 - 2x + 1 tem mnimo no ponto em que x vale: a) 0 a) 2 a) 1 a) 5/6 a) -2 a) 0 b) 1 b) 3 b) 2 b) 31 /14 b) -1 b) 1 c) 2 c) 2 c) 2 c) 4 c) 3 d) 3 d) 5 d) 4 c) 83/12 d) 3 d) 32

e) 4 e) 6 e) 52

2. O valor mximo da funo f(x) = - x2 + 2x + 2 : 3. O maior valor que y pode de assumir na expresso y= - x2 +2x : 4.Se x e y so as coordenadas do vrtice da parbola y= 3x -5x + 9, ento x + y igual a: d) 89/18 e) 4 e) 4 e) 93/12 5.O ponto (k, 3k) pertence curva dada por f(x) = x2 - 2x + k; ento k pode ser: 6.O nmero de pontos comuns aos grficos das funes f(x) = x2 - 2 e g(x) = - x2 - 4 : 7. Considere a funo f : IR IR , definida por f(x) = x - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) vrtice do grfico de f o ponto (1; 4); c) f atinge um mximo para x = 1; e) n d a 8.Se f(x) = x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2) = f(x) : a) {0; 1 } a) [-1; ) b) {- 1 ; 0} b) (-1; ) c) {1 } c) [0; ) d) {- 2; 3} d) (- ;-1) e) {3; 4} e) (- ;-11 ] 9.A imagem da funo f : IR IR , definida por f(x) = x2 - 1, o intervalo: b) f possui dois zeros reais e distintos; d) grfico de f tangente ao eixo das abscissas.

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

10.O custo para se produzir x unidades de um produto dado por C = 2x2 - 100x + 5000. O valor do custo mnimo : a) 3250Funes Compostas

b) 3750

c) 4000

d) 4500

e) 4950

1.Se f ) x ) = x2 + 1 ento f ( f ( x ) ) igual a: a) x4 + 2x2 + 2 a) 9x2 + 20x + 24 a) 4x -3 b) x4 + 2 c) x4 + 1 d) x + 1 e) 1 d) x2 + 20 x + 24 e) 4x2 - 4x + 1 e) nda 2. Sendo f ( x ) = x2 + 2x e g ( x ) = 3x + 4 a funo fog : b) x2 + 30 x + 24 c) 4x2 + 1 c) 9 x2 + 30 x + 24 d) 4x2 -1 3.Se f( x ) = 2x -1 ento f(f(x)) igual a: b) 4x - 22

4.Se g ( 1 + x ) = a) 0

x ento g ( 3 ) vale: x +1

b) 3

c) 1/2

d) 3/10

e) 2/5

5.Sendo f ( x ) = a) -1

2x + 1 ento f ( f ( x ) ) vale x-2 2x + 1 c) x-2 2

b) 1

d)

x-2 2x + 1

e) x

6.Dados os conjuntos A = { 0; 1; 2 } , B { 1; 2; 3; 4 } e C = { 0; 1; 2; 3; 4 } sejam as funes f : A B e g : B C definidas por f ( x ) = x + 1 e g ( x ) = 4 - x. Nestas condies , a funo gof igual a: a) { ( 0, 2 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2, 1 ) } c) { ( 0, 3 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 1 ) } e) { ( 0, 1 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2, 2 ) } 7.Se f ( g ( x ) ) = 4 x2 - 8x + 6 e g ( x ) = 2x - 1, ento f ( 2 ) igual a: a) -2 a) inteiras b) -1 c) 3 b) negativas d) 5 e) 6 8.Considere as funes f ( x ) = 2x+1 e g(x) = x2 -1. Ento, as razes da equao f(g(x)) = 0 so: c) racionais no inteira e) opostas d) inversas uma da outra de f(f(x)) = 3 : a) { 1 } b) { 2 } c) { 3 } d) { 1, 2, 3 } e) { } 4 e f( 4 ) = 1. O 10.Sejam A { 0, 1, 2, 3, 4 } e f : A A uma funo dada por f( x ) = x + 1 se x nmero x A tal que (fofofof)( x) = 2 : a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 b) { ( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 3 ) } d) { ( 0, 3 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 ) }

9.Sejam A = { 1, 2, 3 } e f : A A definida por f ( 1 ) = 3, f ( 2 ) = 1 e f ( 3 ) = 2 . O conjunto soluo

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Inequaes produto e quociente

1.Resolvendo-se a inequao ( x-5) . ( x2 - 2x -15 ) 0 obtm-se: a) S = { x R / x < 3 } d) S = { x R / x - 3 } a) -2 < x < 3 ou x > 5 d) x > 6 a) x < - 2 ou 2 < x < 5 a) x 0 d) 1 x 2 a) { } b) S = { x R / -3 x 5 } c) S = { x R / x 3 ou x 5 } {5} e)nda c) -2 < x < 5

2.A soluo da inequao ( x - 3 ) . ( - x2 + 3x + 10 ) > 0 : b)3 < x < 5 ou x < -2 e) x < 3 b) -2 < x < 2 ou x > 5 b) -2 x 2 c) -2 < x < 2 d) x > 2 e)x < 5

3.A soluo da inequao ( x - 2 ) . ( - x2 + 3x + 10 ) > 0 : 4.A soluo da inequao ( x2 -4 ) . ( 5 x2 + x + 4 ) 0 : c) x -2 ou x 2 e) qualquer nmero real b) [ 3, 5 ] c) IR d) [ -1, 1 ] e) IR+

5.O conjunto soluo da inequao ( x2 + 1 ) . ( - x2 + 7x - 15 ) < 0 :x+3 0 em R : 2x + 5

6.O conjunto soluo da inequao a) [ -3, 5/2 ) d) ] - , -3 ] b) ( -3, 5/2 ) e) ] -, -3 ]

c) [-3 , 5/2 ] [ 5/2. [4 x 0? 1+ x

7.Quantos nmeros inteiros satisfazem a inequao a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

e) 6

x 2 2x 8.As solues de 2 < 0 so os valores de x que satisfazem x +1

a) x < 0 ou x > 2 d) 0 < x < 2

b) x < 2 e) x > 2

c) x < 0

9.No universo IR o conjunto soluo da inequao a) { x IR / x > 2 }

(x + 1)(x 2)(x + 2) > 0x2 4

:

b) { x IR / x > -1 e x e) nda

2}

c) { x IR / -1 < x < 2 }

d) { x IR / x < - 2 ou x > 2 }

10.A inequao

x( x + 2 ) > 0 tem como soluo : x2 1

a) x < -2 ou x > 1 ou -1 < x < 0 d) x -2 ou x 1 e) nda

b) x < -2 ou x

1

c) x -2 ou x > 1

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

Funo Modular

1.A soma das razes da equao | 2x+5| = 6 a) -5 a) { -3, 3 } b) 9 c) 4,5 b) { -1, 0, 1 } d) 6 e) 0,5 2.O conjunto soluo da inequao |x| < 3, tendo como universo o conjunto dos nmeros inteiros, : c) { -2, -1, 0, 1, 2 } e) { 0, 1, 2, 3 } d) { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } 3. A equao modular

2 x = x 1 admite, como soluo, somente: 4

a) uma raiz positiva e uma negativa c) duas razes positivas a) x < 12 b) x > -2

b) duas razes negativas d) uma raiz positiva c) -2 < x < 12 e) uma raiz negativa d) -2 x 12 e) nda

4. No conjunto IR a desigualdade | x-5| < 7 verdadeira para:

5.Seja f a funo definida no intervalo aberto ( -1, 1 ) por f ( x) = a) 1/2 pontos : a) 0 a) {-2} a) infinitos a) 8 b) 12 b) 3 c) -1 b) {3/4} b) 4 c)24 c) 5 d) 64 d) -3 c) {1/5} d) 6 e) 144 e) 1 7. a soluo da equao | 3x -5 | = 5x -1 : b) 1/4 c) -1/22

x . Ento f ( 1/2 ) : 1 x

d) -1

e) -2

6.As funes f ( x ) = |x| e g ( x )= x - 2 possuem dois pontos em comum. A soma das abscissas destes

d) {2} e) 7

e) {3/4, -2}

8.Quantos nmeros inteiros no negativos satisfazem a inequao | x-2| < 5 ? 9.SE | a - b | = 6 e | a + b | = 2 o valor de |a4 - 2a2b2 + b4| : 10. A funo definida por f ( x ) = |x|/x se x imagem f ( x ) : a) {-1, 0, 1 }1 x x

0 e f ( x ) = 0 se x = 0 . Ento podemos afirmar que a d) {-1,1} e) nda

b) Real

c) {0}

Exponencial: Funes e Inequaes

1. Se f ( x ) = 16 a) 11

1+

, ento f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) igual a : c) 15 d) 17 e) nda

b) 13

2 x para - 1 x 1 2. Se f ( x) = 1 ento f ( 0 ) - f ( 3/2 ) igual a: para x > 1 x

Pr-Clculo a) 5/2 a) -1 e 0 b) 5/3 c) 1/3 b) 2 e 3 d) -1/2 c) 3 e 5 b) ela crescente se a > 0 d) ela decrescente se a 1 e) -2/3 d) 5 e 10

ETEP-Faculdades

3. Se y = 10x um nmero entre 1000 e 100 000, ento x est entre: e) 10 e 100 4. Seja a funo f ( x ) = ax . correto afirmar que : a) ela crescente se x > 0 c) ela crescente se a > 1 e) ela decrescente se 0 < x < 1 5. Assinale a afirmao correta: a) ( 0,57 ) 2 > ( 0,57 ) 3 c) ( 0,57 ) 4 > ( 0,57 ) 3 e) ( 0,57 ) -2 < 1 6. Os nmeros reais x so solues da inequaes 251-x < 1/5 se, e somente se: a) x > -3/2 d) x < 3/2 a) 2 a) 0 < a < 3 d) a > 3 e a 4 b) 1 b) x > 3/2 e) x < -3/2 c) f ( a ) b) 3 < a < 4 e) a < 31

b) ( 0,57 ) 7 < ( 0,57 ) 8 d) ( 0,57 ) 0,57 > ( 0,57 ) 0,50

c) -3/2 < x < 3/2

7. Seja a funo f : IR IR definida por f ( x ) = 2x . Ento f ( a+1) - f (a) igual a: d) f ( 1 ) c) a < 3 e a 0 e) 2 f ( a )x

8. Os valores de a IR que tornam a funo exponencial f ( x ) = ( a - 3 ) decrescente so:

9.Seja f : IR IR onde f ( x ) = 2 2 . O conjunto de valores de x para os quais f ( x ) < 1/8 : a) ( 3, 8 ) d) ( - 1/3, 0 ) a) x > 0 b) ( , -1/3 ) c) ( - , 3 )

e) IR - { 0, 8 } b) x > 0,5 c) x > 1 d) x > 1,5 e) x > 2

10. Se f ( x ) = 4x+1 e g ( x ) = 4x, a soluo da inequao f ( x ) > g ( 2 - x ) :

Equaes Exponenciais

1. Se 8x = 32, ento x igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 igual a: c) 4 c) 5/2 ez= d) 5 d) 1/3 , calcule x . y . z : e) nda e) 2/5 d) 2/5 e) 4

2. Se 8x-9 = 16x/2, ento a) 1 a) 1 b) 2 b) 3

3. O valor de x que satisfaz a equao 33x-1 . 92x+3 = 273-x :

4. Sendo x = (22)3 , y =

Pr-Clculo a) 221 b) 2102

ETEP-Faculdades

c) 223

d) 24

e) 220

0,00001.(0,01) .1000 5. Se m = , ento : 0,001 a) m = 0,1 d) m = ( 0,1 )4 a) 7 7.Se 3 x2

b) m = ( 0,1)2 e) m = ( 0,1 )5 b) 11 c) 13

c) m = ( 0,1 )3

6. Se 2x = 2048, ento, x vale : d) 17 e) 191 , ento os valores de x so : 9

3 x

=

a) 1 e 3 a) 0 < x < 1 d) x > 3 9. Se ( 7 3 ) - x + 2 = a) 7

b) 2 e 3 b) 1 < x < 2 e) x < 01 , x1/2 valer: 343

c) 1 e 2 c) 2 < x < 3

d) 1 e 4

e) 2 e 4

8. A soluo da equao 0,52x = 0,251-x um nmero x, tal que:

b) -9

c) 49

d)

3

e) 1

10. Se 2x = u e 3-x = t, o valor da expresso 12x + 18-x : a)u2 + t2 tu

b)

u3 + t3 tu

c)

u4 + t4 t 2u 2

d) u 2 + t 2

e) u 3 + t 3

Logaritmos: Introduo

1.Se log3 1/27 = x, ento o valor de x : a) -9 a) 2, 1 e -3 d) 4, -2 e -3 a) a a) 5 a) 2/3 b) -3 c) -1/3 b) 1, 0 e -2 e) 3, 0 e -2 b) x ( x > 0 ) b) 4 b) 3/2 c) 3 c) 2 c) logax d) 7/3 d) 3 d) logxa e) 5/2 e)4 e) ax d) 1/3 c) 3, 1 e -2 e) 3 2.Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente:

3.A expresso mais simples para alogax : 4. Se log ( 2x -5 ) = 0, ento x vale: 5.O valor de log9 27 igual a:

Pr-Clculo27 x = 9 y , ento x + y igual a: 6.Se log y x = 2

ETEP-Faculdades

a) 5/3

b) 10/9

c) 8/93

d) 2/3

e) 5/9

7. O valor numrico real da expresso a) -5 a) 1 a) 0,5 a) nn b) 4 b) 4 b) 2,5 b) 1/n c) 5 c) 1/4 c) 2,0 c) n2

( 3) + 3 27 : 2 + log 3 81

d) 8 d) 16 d) 1,5 d) n

e) impossvel e) 1/16 e) 1,0 e) n1/n

8.Se log16 N = - 1/2, o valor de 4N : 9.Se 2x - y = 1 e x - 3y = -7, log4 (xy+8y) igual a: 10.Em que base o logaritmo de um nmero natural n, n > 1, coincide com o prprio nmero n ?

Logaritmos : Equaes

1.Se log ( 2x - 5 ) = 0 ento x vale: a) 5 a) { -1, 3 } b) 4 c) 3 b) { -1 } d) 7/3 c) { 3 } e) 5/2 d) { 1, 3 } e) nda 2.A equao logx ( 2x +3 )= 2 apresenta o seguinte conjunto soluo: 3. correto afirmar que no universo IR o conjunto soluo da equao log 3 ( - x 2 - 10x ) = 2 : a) { } b) unitrio c) tem dois elementos irracionais e) tem dois elementos racionais e no inteiros d) 1/22

d) tem dois elementos inteiros 4.O valor de x tal que log648 = x : a) 2 b) 3 c) 2/3

e) 3/2 c) a menor delas 100

5.Quanto a soluo da equao ( logx ) - 3. log x + 2 = 0 verdade que : a) s uma delas real d) a menor delas 10 a) -8 a) -4/3 a) { -2, 6 } a) 1000 b) 16 b) 1/2 c) -1/4 c) -2 b) { -2 } b) 1001 b) a maior delas 1000 e) a maior delas 1 d) 4 d) 2 c) { 2, -6 } c) 101 e) 8 e) nda d) { } d) 10001 e) { 6 } e) 11

6.Sendo ( log2x)2 - 3 log2x - 4 = 0 ento o produto entre as razes da equao vale: 7.A soluo da equao log8x + log8 (3x-2) = 1 dada por: 8.O conjunto verdade da equao 2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) : 9.A soma das razes da equao log2x - logx4 = 0 :

Pr-Clculo

ETEP-Faculdades

10.Indica-se por log x o logaritmo decimal do nmero x. Se 4 + log x = 4. log 4, ento x igual a: a) 16 b) 2,56 c) 0,4 d) 0,256 e) 0,0256

Trigonometria

1. Determine a medida x do arco da segunda volta (360 x < 720) que possui a mesma extremidade do arco de: a) 1850 b)28 5

c) 1110sen3 x + cos 7 x 3 , para x = . sen( x ) 4

2.Calcular o valor da expresso E =

3.Determinar o sinal do produto P = sen53.cos100.sen163.cos220 4.Determinar o sinal do produto P = sen1 . sen2 . cos3 . cos5 (note que as medidas esto em radianos)sen330 o + cos 2 300 o (DICA: 20 e 70 so 5.Determine o valor da expresso E = sen200 o + cos 70 o + sen 2 240 o complementares)

6.Sendo cos =

3 3 < < 2 , calcule o valor de sen. e 2 5 < x < . 2

7.Determine o valor do cosx sabendo que 3senx 4senx + 1 = 0 e que 8.Calcule: a) cotg30 b) sec180 c) cossec 2

d) tg(14 )

3

e) cossec720

9.Sendo cossecx = -3 e < x