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Νομικός
MATEMTICA 1
1. Coordenadas cartesianas ortogonaisSeja o plano determinado por dois eixos Ox
e Oy
perpendiculares em O.
Considere um ponto P qual quer do plano e conduzapor ele as paralelas aos eixos, que cortaro Ox e Oy ,
respec tivamente, em P1 e P2.Escolhida uma unidade (em geral a mesma sobre os
dois eixos), adota-se a seguinte nomenclatura:
a) Abscissa de P o nmero real xp = OP1
b) Ordenada de P o nmero real yp = OP2c) Coordenadas de P so os nmeros reais xp e yp
indicados na forma (xp; yp) de um par ordenado.
d) O eixo dos x ou Ox ser chamado eixo das abs -
cissas.
e) O eixo dos y ou Oy ser chamado eixo das or -
denadas.f) O plano formado pelo par de eixos Ox
e Oy
ser
chamado plano cartesiano.g) O sistema de eixos formados por Ox e Oy cha -
mado sistema cartesiano ortogonal.h) O ponto O a origem do sistema cartesiano or to -
gonal.
2. Posio de um ponto nosistema cartesiano ortogonalOs eixos Ox
e Oy
determinam, no plano cartesiano,
quatro regies angulares que sero denominadas qua -drantes.
Geometria Analtica Mdulos33 Sistema cartesiano ortogonal 34 Distncia entre dois pontos35 Ponto mdio de um segmento 36 rea do tringulo e condio de alinhamento37 Equao da reta38 Posies particulares da reta39 Semiplanos40 Coeficiente angular e equao reduzida41 Posies relativas entre duas retas42 Equao de uma reta que passa por P(x0; y0)43 Paralelismo e perpendicularismo44 Distncia de ponto a reta
Ren Descartes (1596-1650) Fuso da lgebra com a geo metria,fato que gerou a Geometria Analtica
33 Sistema cartesiano ortogonal Plano cartesiano Abscissa Ordenada
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Observe que:a) Um ponto pertence ao 1o. quadrante se, e so men -
te se, tiver a abscissa e a ordenada positivas. Sim -bolicamente:
b) Um ponto pertence ao 2o. quadrante se, e so -mente se, tem a abscissa negativa e a ordenada po -sitiva. Simbolicamente:
c) Um ponto pertence ao 3o. quadrante se, e so -mente se, tem a abscissa e a ordenada negativas.Sim bo licamente:
d) Um ponto pertence ao 4o. quadrante se, esomente se, tem abscissa positiva e ordenadanegativa. Simbolicamente:
e) Um ponto pertence ao eixo das abscissas se, esomente se, tem ordenada nula. Simbolicamente:
f) Um ponto pertence ao eixo das ordenadas se, esomente se, tem abscissa nula. Simbolicamente:
g) A origem O do sistema cartesiano ortogonal temabscissa e ordenada nulas. Simbolicamente:
h) Um ponto pertence bissetriz dos quadrantes m -pares se, e somente se, a abscissa e a ordenada soiguais. Simbolicamente:
i) Um ponto pertence bissetriz dos quadrantespares se, e somente se, a abscissa e a ordenada sosimtricas. Simbolicamente:
P 1o. quadrante xP > 0 e yP > 0
Q 2o. quadrante xQ < 0 e yQ > 0
R 3o. quadrante xR < 0 e yR < 0
S 4.o quadrante xS > 0 e yS < 0
A Ox
yA = 0
B Oy
xB = 0
O a origem xO = yO = 0
M bissetriz do 1o. e 3o. quadrantes
xM = yM
MATEMTICA2
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MATEMTICA 3
3. Segmento paralelo ao eixo das abscissasDados dois pontos A (xA; yA) e B (xB; yB) distintos, o
segmento de reta AB paralelo ao eixo das abscissas
se, e somente se, A e B tm a mesma ordenada. Sim -bolicamente:
A medida do segmento AB dada pelo mdulo da
diferena das abscissas dos pontos A e B.
4. Segmento paralelo ao eixo das ordenadasDados dois pontos C (xC; yC) e D (xD; yD) distintos, o
segmento de reta CD paralelo ao eixo das ordenadas
se, e somente se, C e D tm a mesma abscissa.
Simbolicamente:
A medida do segmento CD
dada pelo mdulo dadiferena das ordenadas dos pontos C e D.
CD
// Oy
xC = xD
AB = xB xA
AB
// Ox
yA = yB
N bissetriz do 2o. e 4o. quadrantes
xN = yN
CD = yD yC
(MODELO ENEM) Os pontos A ( 1; 0); B (4; 0) e C (5; 3) so vrtices consecutivos deum paralelogramo ABCD. Determinar as coor -denadas do vrtice D.Resoluo
Resposta: D(0, 3)
(UFLA MODELO ENEM) Calcule ascoordenadas do ponto P = (x,y), saben do-seque a rea do tringulo APD o dobro da reado tringulo PBC e que esse tem rea igual aodobro da rea do tringulo PDC.
Resoluo
Resposta: As coordenadas do ponto P so
;
SAPD = 2 . SPBCSPBC = 2 . SPDC1 . x 1(1 x)
= 2 . 2 2
1(1 x) 1(1 y) = 2 .
2 2
2x =
35
y = 6
562
3
Exerccios Resolvidos
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M301
No Portal Objetivo
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MATEMTICA4
Representar no sistema de eixos cartesianos ortogo nais ospontos:A (4; 3); B ( 1; 3); C ( 3; 4);D (4; 2); E (2, 0); F (0; 4);
RESOLUO:
Dar as coordenadas dos pontos simtricos de A (3; 2), B (2; 5), C (1; 3), D (4; 2) e E (4; 0) em relao ao eixo dasordenadas.
RESOLUO:
A ( 3; 2)B (2; 5)C (1; 3)D ( 4; 2)E ( 4; 0)
Dado o ponto P (x; y), determine a condio para que:a) P pertena ao eixo x.b) P pertena ao eixo y.
c) P pertena ao 2o. quadrante (excludos os eixos).d) P pertena bissetriz dos quadrantes mpares.
RESOLUO:a) y = 0 b) x = 0c) x < 0 e y > 0 d) y = x
Num quadrado ABCD contido no 1o. quadrante, te mos: A(1; 1) e B(3; 1). Determinar as coordenadas dos vrtices C e D.
RESOLUO:
AB = 2 C(3; 3) e D(1; 3)
(UNESP MODELO ENEM) Considere os pontos doplano (0,0), (0,1), (2,1), (2,3), (5,3) e (7,0). Representando geo -me tricamente esses pontos no plano cartesiano e ligando-ospor meio de segmentos de retas obedecendo sequnciadada, aps ligar o ltimo ponto ao primeiro obtm-se umaregio limitada do plano. Se a unidade de medida dada emcentmetros, a rea dessa regio, em cm2, :a) 9 b) 10 c) 13 d) 14 e) 15
RESOLUO:
Os pontos O (0; 0), A(0; 1), B(2; 1), C(2; 3), D(5; 3) e E(7; 0), so osvrtices da regio cuja rea S igual rea SI do retngulo OABF,mais a rea SII do trapzio CDEF, onde F(2; 0).Dessa forma, temos:
S = SI + SII = 2 . 1 + = 2 + 12 = 14.
Se a unidade de medida dada em centmetros, a rea dessaregio igual a 14 cm2.Resposta: D
(5 + 3) . 3
2
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Determinar o permetro do tringulo ABC, dados: A (2; 2), B ( 2; 1) e C ( 1; 6)
RESOLUO:
I) dAB = (xB xA)2 + (yB yA)2
dAB = ( 2 2)2 + (1 2)2 = 16 + 1 dAB = 17
II) dBC = (xC xB)2 + (yC yB)2
dBC = ( 1 + 2)2 + (6 1)2 = 1 + 25 dBC = 26
III) dAC = (xC xA)2 + (yC yA)2
dAC = ( 1 2)2 + (6 2)2 = 9 + 16 dAC = 5
IV) O permetro do tringulo ABC 17 + 26 + 5
MATEMTICA 5
34 Distncia entre dois pontos Teorema de Pitgoras
Dados dois pontos A (xA; yA) e B (xB; yB) distintos, para calcularmos adistncia entre os pontos A e B, vamos aplicar o Teorema de Pitgoras notringulo ABC da figura.
A distncia entre os pontos A e B ser indicada por dAB.Assim, temos: (dAB)2 = (xB xA)2 + (yB yA)2 e, portanto,
dAB = (xB xA)2 + (yB yA)2
Dados A (x; 6), B ( 1; 4) e C (5; 2),determinar o valor de x de modo que o tringuloABC seja issceles de base BC
.
Resoluo
Devemos ter dBA = dCA, ento:
(xA xB)2 + (yA yB)2 =
= (xA xC)2 + (yA yC)2
(x + 1)2 + (6 4)2 = (x 5)2 + (6 2)2 (x + 1)2 + 4 = (x 5)2 + 16
x2 + 2x + 1 + 4 = x2 10x + 25 + 16
12x = 36 x = 3
Resposta: x = 3
(UNI.FED.PELOTAS) Na arquitetura, aMatemtica usada a todo momento. AGeometria especialmente necessria nodesenho de projetos. Essa parte da Matem -tica ajuda a definir a forma dos espaos,usando as propriedades de figuras planas eslidas. Ajuda tambm a definir as medidasdesses espaos. Uma arquiteta contratadapara fazer o jardim de uma residncia, quedeve ter formato triangular. Analisando a plantabaixa, verifica-se que os vrtices possuemcoordenadas A (8, 4), B (4, 6) e C (2, 4). Noponto mdio do lado formado pelos pontos A eC, colocado um suporte para luminrias.Considerando o texto e seus conhecimentos, correto afirmar que a distncia do suporte at oponto B mede, em unidades de com primento,
a) 37. b) 3. c) 5 .d) 13 . e) 17.Resoluo
Se M o ponto mdio de AC, ento: M(5,4)
Assim: MB = (5 4)2 + (4 6)2 = 5
Resposta: C
Exerccios Resolvidos
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Determinar no eixo das ordenadas o ponto P, cujadistncia at o ponto A (4; 1) seja igual a 5 unidades.
RESOLUO:Sendo P(0, y), A(4; 1) e dAP = 5, temos
(0 4)2 + (y 1)2 = 5 16 + (y 1)2 = 5 16 + (y 1)2 = 25 (y 1)2 = 9 y 1 = 3
y = 4 ou y = 2
Logo, P(0; 4) ou P(0; 2)
Determinar o ponto P do eixo das abscissas, equi distantedos pontos A (6; 5) e B (2; 3).
RESOLUO:Sendo dAP = dBP e P(x, 0), temos:
(xP xA)2 + (yP yA)2 = (xP xB)2 + (yP yB)2
(x 6)2 + (0 5)2 = (x + 2)2 + (0 3)2 (x 6)2 + 25 = (x + 2)2 + 9
x2 12x + 36 + 25 = x2 + 4x + 4 + 9 16x = 48 x = 3
Logo, P(3; 0)
(MACKENZIE MODELO ENEM) Em relao a umsistema cartesiano orto gonal, com os eixos graduados em
quilmetros, uma lancha sai do ponto ( 6, 4), navega 7 km
para leste, 6 km para o norte e 3 km para oeste, encontrando
um porto. Depois continua a navegao, indo 3 km para norte
e 4 km para leste, encontrando um outro porto. A distncia, em
quilmetros, entre os portos
a) 7 b) 35 c) 23 d) 7 e) 5
RESOLUO:
A lancha sai do ponto P( 6; 4), encontra o primeiro porto em P1( 2; 2) e o segundo porto em P2 (2; 5). Assim, a distncia, em quilmetros, entre os dois portos a dis -tncia de P1 a P2.
P1P2 = (2 + 2)2 + (5 2)2 = 16 + 9 = 5Resposta: E
MATEMTICA6
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digite MAT2M302
No Portal Objetivo
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MATEMTICA 7
35 Ponto mdio de um segmento Mdia aritmtica
Na figura abaixo, determinar:a) o ponto M (mdio do lado
AB).
b) o ponto C, sabendo que N ponto mdio
de BC.
Resoluo
C(3; 7)
Dados os pontos A( 3; 6) e B(7; 1),determinar as coordenadas do ponto mdio dosegmento
AB.
Resoluo
Se M(xM; yM) o ponto mdio de AB, ento:
xM = xM = = 2
yM = yM = =
Portanto, M 2; o ponto mdio de AB
.
Sabendo que as coordenadas do baricentroG de um tringulo ABC so dadas por
G ; , obter o
baricentro do trin gulo de vrtices A( 2; 3),
B(5; 2) e C(6; 8).
Resoluo
Sendo:
xG = = = 3 e
yG = = = 1,
temos G(3; 1).
xA + xB2
( 3) + 7
2
yA + yB2
6 + ( 1)
25
2
52
xA + xB + xC3yA + yB + yC
3
xA + xB + xC3
( 2) + 5 + 6
3
yA + yB + yC3
3 + 2 + ( 8)
3a)
7 5xM = xM = 12
5 + 3yM = yM = 42
M(1; 4)
b)
5 + xC 1 = 2 = 5 + xC xC =32
3 + yC 2 = 4 = 3 + yC yC = 72
Exerccios Resolvidos
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No Portal Objetivo
Dados os pontos A (xA; yA) e B (xB; yB) com A B, ascoordenadas do ponto M, mdio de
AB, so obtidas
aplicando-se o Teorema de Tales, na figura abaixo.
I) Como MN //
BC, temos:
AM = MB AN = NC xM xA = xB xM
2xM = xA + xB
II) Como MP //
AC, temos:
AM = MB CP = PB yM yA = yB yM
2yM = yA + yB
Assim, temos:
importante notar que:
a) A abscissa do ponto mdio de
AB a mdiaaritmtica das abscissas dos pontos A e B.
b) A ordenada do ponto mdio de
AB a mdiaaritmtica das ordenadas dos pontos A e B.
xA + xB yA + yBM ;
2 2
yA + yByM = 2
xA + xBxM = 2
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Dados os pontos A (8; 7) e B (2; 3), determinar o pontomdio do segmento AB
.
RESOLUO:
XM = XM = XM = 3
YM = YM = YM = 2
Logo, M(3; 2)
Sendo M ( 2; 5) o ponto mdio do segmento AB, deter -
minar o ponto B (xB; yB) dado o ponto A (7; 1).
RESOLUO:
XM = 2 = 4 = 7 + XB XB = 11
YM = 5 = 10 = 1 + YB YB = 11
Logo, B( 11; 11)
Os pontos A(0; 0), B(1; 3) e C(10; 0) so vrtices con se -cutivos de um retngulo ABCD. Determinar as coordenadas dovrtice D do retngulo.
RESOLUO:
xM = 5 = xD = 9
yM = 0 = yD = 3
Logo, D(9; 3)
Determinar a medida da mediana relativa ao vrtice A dotringulo ABC, sendo A(4;6), B(5;1) e C(1;3).
RESOLUO:I)
M(3;2)
II) dAM = (xM xA)2 + (yM yA)2
dAM = (3 4)2 + (2 6)2
dAM = 1 + 16
dAM = 17
(UN.EST.MATO GROSSO MODELO ENEM) Umtopgrafo, que se encontrava no porto de sada da escola, foichamado para medir a distncia entre o local em que seencontrava at o lato de lixo reciclvel (M), equidistante de 2 lates, A e B, de lixo no reciclvel da escola. Ascoordenadas so A(2; 2), B(4; 8) e o local do topgrafo P(3; 9).Considerando todas as coordenadas em metros, calcule adistncia do porto de sada (P) ao ponto mdio de AB
, ou seja,
o local do lato de lixo reciclvel.
a) 2 m
b) 3 m
c) 5 m
d) 4 m
e) 1 m
RESOLUO:Sendo M o ponto mdio de AB e, sendo d, a distncia entre oporto e o ponto mdio de AB, temos:
M = = (3;5) e d = (3 3)2 + (9 5)2 = 4
Resposta: D
XA + XB2
8 2
2
YA + YB2
7 3
2
XA + XB2
7 + XB2
YA + YB2
1 + YB2
xB + xD2
1 + xD2
yB + yD2
3 + yD2
xB + xC 5 + 1xM = = = 32 2
yB + yC 1 + 3yM = = = 22 2
2 + 4 2 + 8; 2 2
MATEMTICA8
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MATEMTICA 9
36rea do tringulo e condio de alinhamento
Pontos colineares Determinante
1. rea do tringulo Dados trs pontos A (xA; yA), B (xB; yB) e C (xC; yC)
no colineares, verifica-se que a rea do tringulo ABCvale:
onde D =
2. Condio de alinhamentoOs pontos A (xA; yA), B (xB; yB) e C (xC; yC) esto
alinhados se, e somente se, o determinante D nulo.Simbolicamente
A ordem das linhas da matriz que origina o deter -minante D qualquer, tanto no clculo da rea dotringulo como na condio de alinhamento.
A condio de alinhamento de 3 pontos pode ser in -ter pretada geometrica mente a partir da rea do trin gu -
lo, que . D .
Se o ponto A tender ao lado BC
, a rea do tringuloABC ser cada vez me nor e podemos dizer que: quandoo ponto A estiver alinhado com o ponto B e o pontoC, o valor da rea ser nulo; da:
12
xAxBxC
yAyByC
111
A, B e C esto alinhados D = 0
1AABC = . D 2
1AABC = 0 D = 0 D = 02
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No Portal Objetivo
Achar a rea do quadriltero ABCD, dadosA(2; 5), B(7; 1), C(3; 4) e D(2; 3).ResoluoA partir da representao do quadriltero nosistema cartesiano e em seguida dividindo-oem 2 tringulos, temos:
a) SABC = =
b) SACD = =
A rea do quadriltero representa a soma dasreas dos trin gulos, portanto:
SABCD = + = = 39,5
Resposta: SABCD = 39,5u.a.
(UNESP) Sejam P = (a,b), Q = (1,3) e R = (1,1) pontos do plano. Se a + b = 7,determine P de modo que P, Q e R sejamcolineares.
Resoluo1) Se P = (a;b), Q(1;3) e R = ( 1; 1) so
colineares, ento:
= 0 2a b + 1 = 0
2) Como a + b = 7, ento:
a + b + 2a b + 1 = 7 + 0 a = 2
Assim: 2 . 2 b + 1 = 0 b = 5
Resposta: P = (2; 5)
412
382
792
382
412
2 5 13 4 1
2 3 1
2
a1
1
b3
1
111
2 5 17 1 1 3 4 1
2
Exerccios Resolvidos
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MATEMTICA10
Determinar a rea dos tringulos, em cada caso:a) A( 2; 3), B(4; 1) e C(5; 7)b) P(1; 2), Q( 3; 1) e R(4; 5)
RESOLUO:
a) S =
S = 2 + 28 + 15 + 5 + 14 12
S = 52 S = 26
b) S =
S = 1 + 15 + 8 4 + 5 + 6
S = 31 S =
Dados A (x; 2), B (3; 1) e C (1; 2), determinar o valor dex, sabendo que a rea do tringulo ABC igual a 4.
RESOLUO:
S = 4 e S =
4 = x 6 2 + 1 + 2x 6 3x 13 = 8
Verificar se os pontos A(2; 3), B(1; 2) e C(5; 4) esto ali -nha dos.
RESOLUO:
= 4 + 4 15 10 + 8 + 3 = 14 0
Logo, os pontos no esto alinhados.
Para que valor de m, os pontos A(0; m), B( 2; 4) e C(1; 3)esto alinhados?
RESOLUO:
= 0
6 + m 4 + 2m = 0
3m + 2 = 0
m =
(VUNESP) Num surto de dengue, o departamento desade de uma cidade quer que seus tcnicos visitem todas ascasas existentes na regio limitada por um tringulo de vrticesnos trs focos em que a doena foi encontrada. Para facilitaressa ao, colocou o mapa da cidade sobre um plano car -tesiano, com escala 1:1km, e verificou que os focos se locali -zavam sobre os pontos (2; 5), ( 3; 4) e (2; 3). Como cadaespecialista ser responsvel por 2 km2 de rea nessa regiotriangular, o nmero de tcnicos necessrios e suficientes serigual aa) 20. b) 18. c) 16. d) 12. e) 10.
RESOLUO:Os 3 focos constituem um tringulo cuja rea igual a:
A = = = 20 km2
Como cada especialista ser responsvel por 2 km2 de rea, o
nmero de tcnicos necessrios e suficientes ser 10.
Resposta: E
12
245
3 1
7
111
12
12
12
12
12
312
12
x3
1
21
2
111
12
3x 13 = 8
ou
3x 13 = 8
x = 7
ou
5x =
3
215
324
111
0 2
1
m4
3
111
23
1 3
4
21
5
111
2 5 1 3 4 1
2 3 1
2
402
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MATEMTICA 11
37 Equao da reta Pontos alinhados
1. Equao geral da reta
A toda reta r do plano cartesiano asso cia-se umaequao do tipo ax + by + c = 0, com a e b no simul -tanea mente nulos, que de no mi na da equao ge ralda reta.
2. Determinao da equao geralSeja r a reta do plano cartesiano determinada pelos
pontos distintos A(xA; y
A) e B(x
B; y
B). Sendo P (x; y) um
ponto qualquer de r, temos:
Desenvolvendo o determinante, resulta:
yA x + xB y + xAyB xByA xAy yBx = 0
(yA yB) x + (xB xA) y + (xAyB xByA) = 0
Substituindo os nmeros yA
yB, x
B x
Ae
xAy
B x
By
A, respectivamente, por a, b e c, obtemos
que a equao geral da reta.
Observaes:
a) Na equao ax + by + c = 0, a e b no sosimultaneamente nulos, pois se a = b = 0 os pontos A eB coincidem.
b) Dizer que ax + by + c = 0 equao da reta r
significa que
P(xP; yP) r a . xP + b . yP + c = 0
ax + by + c = 0
= 0xxAxB
yyAyB
111
P, A e B alinhados
A equao da reta r
representada na figura :
= 0 2x 3y 1 = 0x25
y13
111
Saiba mais??
Dados os pontos A(2; 1) e B(3; 2), deter -mine a equao geral da reta AB. Em seguida,
esboce o seu grfico no sistema cartesiano.
Resoluo
I) Seja P(x; y) um ponto genrico da reta
deter minada por A e B.
A equao geral obtida fazendo-se
= 0
x + 3y + 4 3 2x 2y = 0
x y 1 = 0 (equao geral)
II) Para x = 0 0 y 1 = 0 y = 1
III) Para y = 0 x 0 1 = 0 x = 1
IV) O grfico
Dados os pontos A( 1; 3) e B(4; 2),determinar a equao geral da reta AB. Esboaro seu grfico no sistema cartesiano.
ResoluoI) A equao geral obtida fazendo-se
= 0
3x + 4y + 2 12 + 2x + y = 0
x + y 2 = 0 (equao geral)
II) Para x = 0 0 + y 2 = 0 y = 2
III) Para y = 0 x + 0 2 = 0 x = 2IV) O grfico
x23
y12
111
x14
y3
2
111
Exerccios Resolvidos
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Determinar a equao geral da reta que passa pelospontos A (1; 3) e B (2; 1).
RESOLUO:
= 0 2x + 3y 7 = 0
A equao geral da reta que passa pela origem e peloponto (2; 3) a) 2x + 3y = 0 b) 2x + 3y = 0 c) x 3y = 0 d) 3x 2y = 0 e) 3x + y = 0
RESOLUO:
= 0 3x 2y = 0
Resposta: D
Determinar a equao geral da reta suporte da media na dovrtice A do tringulo ABC onde A(2; 1); B( 3; 5) e C( 1; 1).
RESOLUO:
I. MBC MBC( 2; 2)
II. = 0 x + 4y 6 = 0
(UNIV.FED.RIO GRANDE DO NORTE ) A figura abaixomostra um terreno smar gens de duas estra -das, X e Y, que so per -pendiculares. O proprie -t rio deseja cons truiruma tubulao reta pas -san do pelos pontos P eQ (veja a figura ao lado).O ponto P dista 6 km da
estrada X e 4 km da estrada Y, e o ponto Q est a 4 km daestrada X e a 8 km da estrada Y.a) Determine as coordenadas dos pontos P e Q em relao ao
sistema de eixos formado pelas margens das estradas.b) Determine a equao geral da reta que passa pelos pontos
P e Q.c) Determine a quantos quilmetros da margem da estrada Y
a tubulao cortar a estrada X.
RESOLUO:A partir do enunciado temos:
a) P(4; 6)
Q(8; 4)
b) Equao da reta PQ
= 0 6x + 8y + 16 48 4y 4x = 0
2x + 4y 32 = 0 x + 2y 16 = 0
c) O ponto B o ponto em que a tubulao corta a margem x,
assim: y = 0 x 16 = 0 x = 16
Portanto, B(16; 0), e a distncia margem y igual a 16 km.
12x
31y
111
20x
30y
111
3 1 5 1; 2 2 2
2x
21y
111
x48
y64
111
MATEMTICA12
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M305
No Portal Objetivo
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MATEMTICA 13
38 Posies particulares da reta Origem Vertical HorizontalA equao geral de uma reta do tipo ax + by + c = 0
com a e b no simul taneamente nulos. Se um dos trscoeficientes for nulo, ento a reta ser paralela a um doseixos ou passar pela origem do sistema cartesiano, co -mo veremos a seguir.
1. Reta paralela ao eixo ySe a 0 e b = 0, ento a equao ax + by + c = 0
se transforma em
ax + 0y + c = 0 ax = c x = .
Representando por k a constante , podemos
escrever .
A reta de equao x = k paralela ao eixo y, pois o lugar geomtrico dos pontos de abscissa k.
2. Reta paralela ao eixo xSe a = 0 e b 0, ento a equao ax + by + c = 0 se
transforma em 0x + by + c = 0 by = c y = .
Representando por k a constante , podemos
escrever .
A reta de equao y = k paralela ao eixo x, pois o lugar geomtrico dos pontos da ordenada k.
3. Reta que contm a origemSe c = 0, ento a equao ax + by + c = 0 se trans -
forma em .
A reta de equao ax + by = 0 contm a origemdo sistema, pois a . 0 + b . 0 = 0, a, b .
cb
cb
ca
ca
ax + by = 0
y = k
x = k
A reta de equao x = 2 o lugargeo mtrico dos pontos de abscissa2 e, por tanto, dos pontos de coor de -nadas (2; y). Logo:
A reta de equao y = 3 o lugargeo m trico dos pontos de ordenada3 e, por tanto, dos pontos de coor de -nadas (x; 3). Logo:
A reta de equao 2x y = 0 con -tm a origem do sistema e sua repre -sentao
Saiba mais??
(FGV) Represente graficamente os pon -tos do plano cartesiano que satisfazem cadauma das rela es abaixo.a) 2 . y 6 = 0b) x2 3x + 2 = 0Resoluoa) 2y 6 = 0 y = 3 (reta paralela ao eixo x)
b) x2 3x + 2 = 0 x = 1 ou x = 2 (retas paralelas ao eixo y)
(MACKENZIE MODELO ENEM) As
retas y = . x, y = e x = 0 definem
um tringulo, cuja raiz quadrada positiva da
rea
a) b) c)
d) e)
12
34
34
26
34
35
38
Exerccios Resolvidos
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MATEMTICA14
Determinar a equao geral da reta que passa pelospontos A (3; 1) e B (5; 1).
RESOLUO:
= 0
x + 3 + 5y 5 x 3y = 0
2y 2 = 0
y 1 = 0 (reta horizontal)
Represente graficamente as equaes:a) 3y 9 = 0 b) 2x 4 = 0 c) 3x y = 0
RESOLUO:a) 3y 9 = 0 b) 2x 4 = 0 c) 3x y = 0
y = 3 x = 2 y = 3x(horizontal) (vertical) (passa pela origem)
Represente graficamente os pontos (x, y) do plano, taisque 1 x 3.
RESOLUO:
1 x 3
Determine o ponto de interseco das retas de equa esx + 2y + 1 = 0 e 2x + y 4 = 0
RESOLUO:Para que o par ordenado P(x;y) represente o ponto de inter seco,ele deve satisfazer as equaes das retas simul taneamente,portanto, ser a soluo do sistema abaixo:
Portanto, o ponto de interseco das retas P(3; 2).
(MODELO ENEM) As retas de equaes x = 1, x = 3 ey = 2, so retas suportes dos lados de um quadrado.Determinar os vr tices do quadrado, sabendo-se que um dosvrtices per ten ce ao 4o. quadrante.
RESOLUO:
Resposta: Os vrtices do quadrado so A( 1; 2), B(3; 2), C(3; 2) e D( 1; 2)
x35
y11
111
x 1ex 3
x + 2y + 1 = 02x + y 4 = 0 x + 2y + 1 = 0
4x 2y + 8 = 0
x + 2y + 1 = 0 3x + 9 = 0 x = 3
y = 2
Resoluo Os vrtices A, B e C do tringulo so
A(0;0), B 0; e C ; e a rea vale
A = =
A raiz quadrada positiva da rea .
Resposta: A
343
2
34
916
3 3 . 2 4
2
34
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MATEMTICA 15
39 Semiplanos InequaoDizer que ax + by + c = 0 a equao da reta r
significa que todos os pontos de r, e somente eles,verificam a equao. Assim sendo:
Demonstra-se que ax0 + by0 + c > 0 para todos ospontos de um dos semiplanos determinados por r e queax0 + by0 + c < 0 para todos os pontos do outro semipla -no, excluindo os pontos de r.
Concluso
A reta r, de equao ax + by + c = 0, divide o planocartesiano em dois semiplanos aos quais pertence.
A sentena ax + by + c 0 determina um destessemiplanos e a sentena ax + by + c 0 determina ooutro semiplano.
O semiplano pode ser identificado analisando-se aposio de um dos pontos no pertencentes reta. Uti -liza-se normalmente o ponto (0; 0). Se a reta passar pelaorigem, pode-se utilizar o ponto (1; 0) ou o ponto (0; 1).
P (x0, y0) r ax0 + by0 + c = 0
P (x0, y0) r ax0 + by0 + c > 0 ou ax0 + by0 + c < 0
A reta de equao 2x y 2 = 0divide o plano car te siano em dois se -miplanos.
A sentena 2x y 2 0, re pre -sen ta o semiplano que contm a ori -gem, pois o pon to (0; 0) soluo dainequao, ou seja, 2 . 0 0 2 0.
A sentena 2x y 2 0 repre -senta, por excluso, o semiplanoque no contm a origem.
Saiba mais??
Estudar o sinal dos semiplanos determi na -dos pela reta x + y 3 = 0.ResoluoOs interceptos A(3; 0) e B(0; 3) determinam aposio da reta no sis tema de coordenadas. Adeterminao do sinal dos semiplanos feita apartir da regra prtica: x + y 3 = 0 e 0(0; 0) 0 + 0 3 < 0, que permite concluir que osemiplano que contm a origem corresponde sentena x + y 3 < 0, e o semiplano que nocontm a origem corresponde sentena x + y 3 > 0. Dessa forma, temos a se guintere presen tao grfica:
Determinar a regio do plano cartesianocujos pontos tm coor denadas (x; y) satis fazen -do o sistema:
3x + 2y 5 0 2x y + 4 0 Resoluo
a) A reta 3x + 2y 5 = 0 tem interceptos
; 0 com o eixo das abscissas e
0; com o eixo das ordenadas.
b) Posio da origem em relao reta 3x + 2y 5 = 0:
3x + 2y 5 3 . 0 + 2 . 0 5 < 0 0 (0; 0) em relao reta 3x + 2y 5 = 0, o
semiplano que contm a origem
3x + 2y 5 < 0.
A representao grfica da inequao 3x + 2y 5 0 :
c) A reta 2x y + 4 = 0 tem interceptos ( 2; 0) com o eixo das abscissas e (0; 4)com o eixo das ordenadas.
d) Posio da origem em relao reta 2x y + 4 = 0:
2x y + 4 2 . 0 0 + 4 > 0 0 (0; 0) em relao reta 2x y + 4 = 0, o se mipla -no que contm a origem 2x y + 4 > 0.
53
52
Exerccios Resolvidos
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MATEMTICA16
A representao grfica da inequao 2x y + 4 0 :e) A soluo do problema ser a interseco das solues das
inequaes e . Portanto:
Representar a reta x y + 6 = 0, no sistema de eixoscartesianos.
RESOLUO:x y + 6 = 0
Representar graficamente os pontos do plano tais quex y + 6 > 0.
RESOLUO:
Para o ponto (0; 0), temos:
0 0 + 6 > 0
Representar graficamente a inequao 3x y 6 0.
RESOLUO:I) Na reta 3x y 6 = 0 temos:
II) Para o ponto, (0; 0), temos:
3 . 0 0 6 < 0
Determinar graficamente a soluo do sistema
x 2y + 2 03x + 2y 6 0RESOLUO:
I. x 2y + 2 0
Na reta x 2y + 2 = 0 temos:
Para o ponto (0; 0), temos:0 2 . 0 + 2 > 0
II) 3x + 2y 6 0
Na reta 3x + 2y 6 = 0, temos:
Para o ponto (0; 0), temos:3 . 0 + 2 . 0 6 < 0
De I e II, temos:
x0
6
y60
x02
y 60
x0
2
y10
x02
y30
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2. Coeficiente angular
O coeficiente angular ou declividade da reta r, novertical, a tangente trigonomtrica do ngulo . ,geralmente, representado por m.
Assim:
Observe que
a) Se r for horizontal, ento = 0 e, portanto, m = 0.
b) Se r for crescente, ento 0 < < 90 e, por -
tan to, m > 0.
c) Se r for vertical, ento = 90 e, portanto, noexiste m.
d) Se r for decrescente, ento 90 < < 180 e,portanto, m < 0.
3. Como obter m, dados dois pontosSeja r uma reta, no vertical, e sejam A (xA; yA) e
B (xB; yB) dois pontos distintos de r.
No tringulo retngulo ABC, temos:
CB yB yAm = tg = = AC xB xA
m = tg
MATEMTICA 17
(FGV) A reta x + 3y 3 = 0 divide o plano determinadopelo sistema cartesiano de eixos em dois semiplanos opostos.Cada um dos pontos ( 2, 2) e (5, b) est situado em umdesses dois semiplanos. Um possvel valor de b
a) b) c) d) e)
RESOLUO:
Como ( 2, 2) e (5, b) esto em semiplanos opostos em relao
reta de equao x + 3y 3 = 0 e ( 2) + 3 . 2 3 > 0, devemos ter
5 + 3 . b 3 < 0 b <
Das alternativas apresentadas, somente menor que .
Resposta: D
14
14
34
34
12
23
34
23
40Coeficiente angular e equao reduzida Inclinao da reta Tangente
1. InclinaoA inclinao da reta r o ngulo convexo entre o eixo x e a reta r, sem pre medido de x para r no sentido anti-ho -
rrio. As nicas situaes possveis so:
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Logo:
4. Como obter m tendo a equao geral da retaSeja r a reta, no vertical, de equao ax + by + c = 0
e A e B seus interceptos.
Fazendo y = 0 obtemos o ponto A ( ; 0), pois ax + b .0 + c = 0 x = .
Fazendo x = 0 obtemos o ponto B (0; ), poisa . 0 + by + c = 0 y = .
No tringulo retngulo AOB, temos:
c 0 cyB yA b bm = tg = = = = a
xB
xA 0 c c ba a
Logo:
5. Equao reduzidaSe a reta r de equao ax + by + c = 0 no for
vertical, ento b 0 e, portanto,
by = ax c y = . x .
A constante , como j foi visto, o coeficiente
angular da reta e representada por m.
A constante a ordenada do ponto em que a
reta intercepta o eixo y.
Esta constante chamada coeficiente linear dareta e representada por h.
Podemos, ento, escrever , chama -da equao reduzida da reta.
y = m x + h
cb
ab
ab
cb
yB yAm =
xB xA
c
b
c
b
c
a
c
a
am =
b
MATEMTICA18
1. O coeficiente angular (declividade) da reta quepas sa pelos pontos A(1; 3) e B(2; 5)
m = = =
2. O coeficiente angular (declividade) da reta comequa o geral 3 x 7 y + 1 = 0
a b
m = = =
yB yAxB xA
5 32 ( 1)
23
ab
3 7
37
Saiba mais??
A equao reduzida da reta, a partir da equao geral 3x + 2y 6 = 0, obtida isolando-se y.Portanto: 3x + 2y 6 = 0 2y = 3x + 6
y = . x + 3.
Note que:
coeficiente angular: m =
coeficiente linear (interseco com eixo y): h = 3 interseco com eixo x: y = 0 x = 2
grfico:
32
32
Saiba mais??
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MATEMTICA 19
Na figura a seguir, os pontos A1, A2, A3,A4, A5, A6 so vrtices de um hexgono regularde lado 3 com centro na ori gem O de umsistema de coordenadas no plano. Os vr ticesA1 e A4 pertencem ao eixo x.
Determinar a inclinao e o coeficiente angular
a) da reta A3A4
b) da reta A1A2
ResoluoSe o polgono um hexgono regular, temos:
a) inclinao: O^A4A3 = 60
coeficiente angular: m = tg 60 = 3
b) inclinao: = 120coeficiente angular: m = tg 120 = 3
(UNESP MODELO ENEM) Numsistema de coordenadas cartesianas ortogo -nais, o coeficiente angular e a equao geral dareta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o sim trico, em relao ao eixo y,do ponto Q = (1, 2) so, respectivamente:
a) ; x 3y 5 = 0.
b) ; 2x 3y 1 = 0.
c) ; x + 3y 5 = 0.
d) ; x + 3y 5 = 0.
e) ; x + 3y + 5 = 0.
Resoluo1) O ponto Q, simtrico de Q(1;2) em relao
ao eixo y, o ponto Q( 1;2).
2) O coeficiente angular da reta que passapelos pon tos P(2;1) e Q( 1;2) :
mPQ = =
3) A reta r que passa pelos pontos Q(1;2) eP(2;1)
= 0 x + 3y 5 = 0
Resposta: C
13
23
13
13
13
2 1
1 2
13
x
1
2
y
2
1
1
1
1
Exerccios Resolvidos
Determinar o coeficiente angular das retas abaixo:a)
RESOLUO:
mr = tg 60 = 3
b)
RESOLUO:
ms = tg 150 = tg 30 =
c)
RESOLUO:
mt = tg 135 = tg 45 = 1
d)
RESOLUO:
mu = tg 120 = tg 60 = 3
3
3
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 19
Obter a declividade da reta que passa pelos pontos A (2; 5) e B (3; 2).
RESOLUO:
m =
m = =
(declividade ou coeficiente angular)
Dada a equao geral 2x 3y + 5 = 0, obter a equaoreduzida e os coeficientes angular e linear.
RESOLUO:I) 2x 3y + 5 = 0
3y = 2x + 5
y = + (equao reduzida)
II) coeficiente angular: m =
coeficiente linear: h =
Obter a equao reduzida, o coeficiente angular e o coefi cien -te linear da reta que passa pelos pontos A(2; 3) e B(1; 2).
RESOLUO:
I) = 0 3x 4 y + 3 + 2x 2y = 0
5x 3y 1 = 0 3y = 5x 1 y = x (eq. reduzida)
II) coeficiente angular: m =
III)coeficiente linear: h =
53
x21
y32
111
53
13
2x
3
53
23
yB yAxB xA
2 5 3 2
35
53
13
MATEMTICA20
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No Portal Objetivo
41Posies relativas entre duas retas Concorrentes Paralelas
Sejam r1 e r2 duas retas do plano cartesiano, no paralelas aos eixos, assim caracterizadas:
Analisando os coeficientes das equaes possvel concluir se as retas r1 e r2 so concorrentes ou paralelasdistintas ou coincidentes, como veremos a seguir.
Equaogeral
Equaoreduzida
Coeficienteangular
Coeficientelinear
Reta r1 a1x + b1y + c1 = 0 y = m1x + h1a1m1 = b1
c1h1 = b1
Reta r2 a2x + b2y + c2 = 0 y = m2x + h2a2m2 = b2
c2h2 = b2
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 20
1. Retas concorrentesSe r1 e r2 forem concorrentes, ento 1 2 e,
portanto,
tg 1 tg 2 m1 m2
ConclusoAs retas r1 e r2 sero concorrentes se, e somente
se,
ou
2. Retas paralelas distintasSe r1 e r2 forem paralelas distintas, ento 1 = 2 e
h1 h2 e, portanto,
Concluso
As retas r1 e r2 sero paralelas distintas se, e so -mente se,
ou
3. Retas coincidentesSe r1 e r2 forem coincidentes, ento 1 = 2 e
h1 = h2 e, portanto,
Concluso
As retas r1 e r2 sero coincidentes se, e somentese,
ou
4. Resumo
tg 1 = tg 2 m1 = m2 a1 a2 a1 b1
= = eb1 b2 a2 b2
c1 c2 b1 c1h1 = h2 = = b1 b2 b2 c2
a1 b1 c1 =
a2 b2 c2m1 = m2 e h1 h2
tg 1 = tg 2 m1 = m2 a1 a2 a1 b1
= = eb1 b2 a2 b2
c1 c2 b1 c1h1 h2 b1 b2 b2 c2
m1 m2a1 b1 a2 b2
a1 b1 c1 = =
a2 b2 c2m1 = m2 e h1 = h2
a1b1
a1b2
a1a2
b1b2
Na equao
reduzidaNa equao geral
Retaconcorrentes
m1 m2a1 b1 a2 b2
Retasparalelasdistintas
m1 = m2 e h1 h2a1 b1 c1
= a2 b2 c2
Retascoincidentes
m1 = m2 e h1 = h2a1 b1 c1
= = a2 b2 c2
MATEMTICA 21
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 21
5. Casos particularesSe pelo menos uma das retas for paralela a um dos
eixos, a concluso imediata.
De fato:a) A reta de equao x = 3 paralela reta de equa -
o x = 5.
b) A reta de equao x = 3 concorrente com a retade equao y = 5.
c) A reta de equao x = 3 concorrente com a retade equao y = 2x + 1.
MATEMTICA22
1. A reta r de equao 3x + y 5 = 0 temcoeficiente angular mr = 3 e coeficiente linear hr = 5.
A reta s de equao 3x + y 7 = 0 temcoeficiente angular ms = 3 e coeficiente linear hs = 7.
As retas r e s so paralelas distintas, pois mr = ms e hr hs.
2. A reta t de equao 4x 2y + 1 = 0 temcoeficiente angular mt = 2.
A reta u de equao 5x y + 3 = 0 temcoeficiente angular mu = 5.
As retas t e u so concorrentes pois mt mu.
Saiba mais??
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No Portal Objetivo
Determine a posio relativa das seguin -tes retas tomadas duas a duas:
(r) 2x y + 3 = 0 (s) 3x 6y + 3 = 0
(t) x 2y + 3 = 0 (u) 2x + 4y + 3 = 0
(v) 4x 2y + 6 = 0
Resoluo
a) retas r e s: r e s so
concorrentes
b) retas r e t: r e t so
concorrentes
c) retas r e v: = = r e v so
coincidentes
d) retas s e t: = s e t so
paralelas (distintas)
e) retas s e u: s e u so
concorrentes
f) retas s e v: s e v so
concor rentes
g) retas t e u: t e u so
concorrentes
h) retas t e v: t e v so
concorrentes
(VUNESP) Sabe-se que as equaes x + ky 2 = 0 e kx + 4y 4 = 0 so equaesde uma mesma reta, num sistema de coor -denadas cartesianas do plano. Nesse caso:
a) k = 4 b) k = 2
c) k = 1 d) k = 0
e) k = 1
Resoluo
As retas so coincidentes, ento:
= = k = 2
Resposta: B
23
16
21
12
24
12
36
31
6 2
33
32
6
4
34
6 2
12
2
4
14
2 2
1k
k4
2 4
Exerccios Resolvidos
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 22
MATEMTICA 23
Determinar a posio relativa das retas de equaes:
a) y = 3x + 1y = 3x + 7RESOLUO:
b)y = x + 2 y = 3x 1
RESOLUO:
c) 4x 3y + 2 = 08x 6y + 4 = 0RESOLUO:
d) 2x 3y + 4 = 06x 9y + 1 = 0RESOLUO:
r e s so paralelas distintas
e) 4x + 5y 1 = 05x 6y + 2 = 0RESOLUO:
Se as retas (r) 2x 3y + 9 = 0 e (s) 6x + ky + 8 = 0 soconcorrentes entoa) k 6 b) k 9 c) k 11d) k 15 e) k 18
RESOLUO:
r: y = x + 3
s: y = x
Como r e s so concorrentes, temos: k 9
Resposta: B
(BELAS ARTES MODELO ENEM) Sabe-se que a reta
(s), de equa o ax + by = 0, paralela reta (r), de equao
4x 8y + 6 = 0. Ento, vale
a) b) 1 c) 2 d) e) 2
RESOLUO:
r // s = = =
Resposta: D
4 2r: 4x 3y + 2 = 0 y = x +
3 3
4 2s: 8x 6y + 4 = 0 y = x +
3 3
r e s so coincidentes
2 4r: 2x 3y + 4 = 0 y = x +
3 3
2 1s: 6x 9y + 1 = 0 y = x +
3 9
4 1r: 4x + 5y 1 = 0 y = x +
5 5
5 1s: 5x 6y + 2 = 0 y = x +
6 3
r e s so concorrentes
23
6k
8k
23
6k
ab
12
12
a4
b 8
ab
4 8
12
y = x + 2
y = 3x 1 as retas so concorrentes
y = 3x + 1
y = 3x + 7 as retas so paralelas distintas
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 23
MATEMTICA24
42Equao de uma reta que passa por P(x0; y0)
Ponto pertencente a uma reta Coeficiente angular
Seja r a reta no vertical determinada pelo ponto P (x0; y0) e pela inclinao .
Sendo Q (x; y ) um ponto genrico de r e m o seu
coeficiente angular, temos:
Observao
Se r for vertical, a equao ser x = x0.
Concluso
A equao de qualquer reta que passa pelo ponto
P (x0; y0) :
ou
tambm chamada de equao do feixe de retas concor -
rentes em P.
x = x0
y y0 = m . (x x0) y y0m = tg m = y y0 = m . (x x0)x x0
(MODELO ENEM) Determinar aequao da reta que passa pelo ponto P(3; 5) e
com inclinao igual a .
a) x y + 8 = 0 b) 2x + y 8 = 0
c) 2x y 1 = 0 d) x + y 8 = 0
e) 2x + y 11 = 0Resoluo
O coeficiente da reta ser:
m = tg = tg = 1
A equao da reta que passa pelo ponto P(3; 5)
e tem coeficiente angular m = 1 :
y 5 = 1 (x 3) x + y 8 = 0
Resposta: D
(METODISTA MODELO ENEM) O he -x gono regular ABCDEF tem lados me din do 2
unidades. A equao da reta r :
a) x y 3 = 0
b) 3x 3y 3 = 0
c) 3x 3y 3 = 0
d) 3x + 3y + 3 = 0
e) 3x 3y 3 = 0
Resoluo
Cada ngulo interno do hexgono regular
igual a 120, ento:
O^AF = 60 e B
^AC = 30
(pois o tringulo ABC issceles)
O ponto A (do eixo x) tal que
OA = AF . cos 60 OA = 2 . = 1,
resultando suas coordenadas iguais a (1;0).
Se o coeficiente angular de r
m = tg 30 = , e a reta passa pelo ponto
A(1; 0), a equao da reta r
y 0 = . (x 1) 3 . x 3 . y 3 = 0
Resposta: E
34
34
4
12
3
3
3
3
Exerccios Resolvidos
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Determinar a equao da reta r da figura abaixo:
RESOLUO:
I) m = tg 60 m = 3
II) y 2 = 3 (x 5) 3x y + 2 53 = 0
Obter a equao geral da reta que passa pelo pontoA (1; 3) e paralela reta de equao 2x 3y + 4 = 0.
RESOLUO:
I) m =
II) y 3 = (x + 1) 2x 3y + 11 = 0
A equao da reta r que passa pelo ponto P(3; 2) e paralela ao segmento de reta AB
onde A(6; 0) e B(0; 9)
a) 3x + 2y + 5 = 0 b) 3x + 2y 5 = 0c) 3x 2y 5 = 0 d) 3x + 2y 5 = 0e) 3x + 5y + 2 = 0
RESOLUO:
I) mAB = mAB = = = mr
II) A equao da reta r que passa pelo ponto P(3; 2) e tem
mr = :
y yP = mr . (x xP)
y 2 = . (x 3)
3x 2y 5 = 0
Resposta: C
(UFRN MODELO ENEM) Um tringulo ABC possuivrtices A = (2, 3), B = (5, 3) e C = (2, 6). A equao da retabissetriz do ngulo ^A a) y = 3x + 1 b) y = 2x c) y = x 3d) y = x + 1 e) y = x
RESOLUO:
O tringulo ABC issceles, retngulo em A, e catetos paralelos
aos eixos coordenados. A bissetriz do ngulo ^A, tem inclinao de
45, portanto sua declividade m = tg 45 = 1.
A equao da bissetriz :
y 3 = 1 . (x 2) y = x + 1
Resposta: D
9 00 6
9 6
32
32
32
23
23
MATEMTICA 25
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 25
Sejam r1, de equao y = m1 x + h1, e r2, de equaoy = m2 x + h2, duas retas no paralelas aos eixos.
1. Paralelismo
A condio necessria e suficiente para que r1 e r2sejam paralelas , como j foi visto, que tenham o mes -mo coeficiente angular.
Simbolicamente:
2. Perpendicularismo
Se r1 e r2 forem perpendiculares, ento 2 = 90 + 1e, portanto,
sen (90 + 1)m2 = tg2 = tg (90 + 1) = = cos (90 + 1)
sen 90 . cos 1 + sen 1 cos 90= =
cos 90 . cos 1 sen 90 . sen 1
1 . cos 1 + sen 1 . 0 cos 1 = = = 0 . cos 1 1 . sen 1 sen 1
1 1= =
tg 1 m1
ConclusoA condio necessria e suficiente para que r1 e r2
sejam perpendiculares que um dos coeficientesangulares seja o inverso do outro com o sinal trocado.Sim bolicamente:
3. Casos particularesSe as retas forem paralelas aos eixos, a concluso
imediata. De fato:a) Duas retas horizontais so paralelas.b) Duas retas verticais so paralelas.c) Uma reta horizontal perpendicular a uma reta
vertical.
1r1 r2 m2 = m1
r1 // r2 m1 = m2
MATEMTICA26
(UNIFESP) Num sistema cartesianoortogonal, so dados os pontos A(1;1), B(5;1),C(6;3) e D(2;3), vrtices de um paralelo gramo,e a reta r, de equao r: 3x 5y 11 = 0.
A reta s, paralela reta r, que divide oparalelogramo ABCD em dois polgonos demesma rea ter por equao
a) 3x 5y 5 = 0.
b) 3x 5y = 0.
c) 6x 10y 1 = 0.
d) 9x 15y 2 = 0.
e) 12x 20y 1 = 0.
Exerccios Resolvidos
43Paralelismo eperpendicularismo
Retas paralelas Retas perpendiculares
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MATEMTICA 27
Resoluo
A reta s que divide o paralelogramo em duasregies de mesma rea deve necessariamentepassar pelo ponto de interseco das diagonaisAC
e BD
(ponto mdio das diagonais).Assim:
M ; M ; 2
Como a reta s paralela reta r, de equao 3x 5y 11 = 0, sua equao do tipo3x 5y + k = 0
Como o ponto M ; 2 pertence reta
(s) 3x 5y + k = 0, temos:
3 . 5 . 2 + k = 0 k =
Portanto, a equao da reta s
3x 5y = 0 6x 10y 1 = 0.
Resposta: C
(MACKENZIE) Na figura, se a equaoda reta r 3x + y 4 = 0 , a rea do tringulo
ABC :
a) 240 b) 220 c) 200
d) 260 e) 280
Resoluo
O coeficiente angular da reta r:
3x + y 4 = 0 mr = 3 e, portanto, o coefi -
cien te angular de s = AB ms = , pois rs.
Como B r tal que B(0; 4) e B S, a equao
de s y 4 = . (x 0) x 3y + 12 = 0.
Assim, A s A( 12; 0), e C r C( 12; 40).Logo, a rea do tringulo ABC dada por
S = = = 240
Resposta: A
721 + 321 + 62
72
72
12
12
13
13
40 . 12
2
AC . 12
2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT2M308
No Portal Objetivo
Os pontos A(2; 3) e C(5; 1) so vrtices opostos de umquadrado ABCD. Determinar a equao da reta que contm adiagonal BD
.
RESOLUO:
y 2 = x
y 2 =
4y 8 = 14x 21
14x 4y 13 = 0
1 3 2 2mAC = = =
5 (2) 7 7
7AC
BD mBD = 2
3M; 22
72
32
7x2
214
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 27
Os pontos A(1; 1), B(4; 2) e C(5; 4) so vrtices de umparalelogramo ABCD. Determinar a equao da reta quecontm o lado CD
.
RESOLUO:
I) mCD = mAB mCD = mCD =
II) y 4 = (x 5) x 3y + 7 = 0
Dados os pontos A(1; 1), B(5; 2) e C(3; 5), deter mi nar aequao da reta que contm a altura relativa ao vrtice A dotringulo ABC.
RESOLUO:
I) mAH = mAH = = =
II) y 1 = (x 1)
2x 3y + 1 = 0
Um tringulo retngulo ABC tem hipotenusa deter minadapelos pontos B (2; 1) e C (3; 4). Sabendo que a reta
3x 2y + 1 = 0 paralela ao cateto AB
, determinar as equaes
das retas suportes dos catetos AB
e AC
.
RESOLUO:
I) 3x 2y + 1 = 0 y = x + m =
II) A reta AB passa por B(2; 1) e tem coeficiente angular m = ,
logo, sua equao :
y + 1 = (x 2) 3x 2y 8 = 0
II) A reta AC passa por C(3; 4) e tem coeficiente angular m = ,
logo, sua equao :
y 4 = (x 3) 3y 12 = 2x + 6 2x + 3y 18 = 0
1mBC
1
5 23 5
1
3 2
23
23
32
23
2 14 1
13
13
32
12
32
32
23
MATEMTICA28
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 28
MATEMTICA 29
44 Distncia de ponto a reta Ponto fora da reta Projeo ortogonal
Seja r uma reta de equao ax + by + c = 0 e
P (x0, y
0) um ponto qualquer do plano cartesiano.
A distncia d do ponto P reta r igual distncia
entre os pontos P e Q, Q r com PQ
perpendicular a r.
Demonstra-se que:
| a . x0 + b . y0 + c |d =
a2 + b2Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M309
No Portal Objetivo
(MODELO ENEM) Determine a distnciaentre o ponto P(2; 3) e a reta 3x + 4y + 1 = 0.
a) b) c) d) e) 5
Resoluo
Temos: 3x + 4y + 1 = 0
P(2; 3)
d = =
= =
Resposta: B
Observao: Observe que ax0 + by0 + csignifica substituir as coordenadas do ponto naequao da reta.
Determine a distncia entre as retas:r : 2x + y 5 = 0 e s: 2x + y + 2 = 0.
Resoluo
Sendo r e s retas paralelas, a distncia entre r
e s obtida pela frmula d =
A partir das equaes, os coeficientes so:
a = 2, b = 1, c2 = 2 e c1 = 5
Portanto:
d = = =
Resposta: d =
15
195
75
35
a = 3b = 4c = 1
x0 = 2y0 = 3|ax0 + by0 + c |
a2 + b2
|3 . 2 + 4 . 3 + 1|
32 + 4219
5
|c2 c1|
a2 + b2
|2 ( 5)|
22 + 127
575
5
755
Exerccios Resolvidos
Calcular a distncia da origem reta 3x + 4y 20 = 0.
RESOLUO:
d =
d = = = = = 4
Logo, d = 4
|ax0 + by0 + c|
a2 + b2
|3 . 0 + 4 . 0 20|
32 + 42| 20|
9 + 16
20
25
205
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 29
MATEMTICA30
Determinar a altura AH do tringulo de vrtices A(1; 2), B(2; 0)e C(1; 1).
RESOLUO:
I) mr = = 1
r: y 1 = 1 (x 1) x + y 2 = 0
II) d =
d = = . =
A distncia da reta 8x 6y + c = 0 ao ponto P (1; 2) iguala 3. Determinar os possveis valores de c.
RESOLUO:
d =
3 = 3 =
3 = | 4 + c| = 30
Logo, c = 34 ou c = 26
Determinar a distncia entre as retas paralelas (r) 2x + y 3 = 0 e (s) 2x + y + 5 = 0.
RESOLUO:
Basta tomar um ponto P(x0; y0) pertencente a uma das retas, e
calcular a sua distncia em relao a outra reta. Seja P(0;3) per -
tencente reta r; temos:
dr,s = dP,s = = = =
Outra maneira:
d = = =
(FGV-adaptado) Um mapa posicionado sobre umsistema de eixos carte siano ortogonal, de modo que a posiode uma cidade dada pelo ponto P(1; 3).Um avio descreve uma trajetria retilnea segundo a equao x + 2y 20 = 0. Qual a menor distncia entre o avio e acidade?
RESOLUO:
A menor distncia entre a cidade e o avio dada por
=
Resposta: A menor distncia entre a cidade e o avio
|1 + 2 2|
12 + 121
2
22
2
2
|ax0 + by0 + c|a2 + b2
|8 . 1 6 . 2 + c|
82 + ( 6)2| 8 12 + c|
64 + 36
| 4 + c|
100
4 + c = 30 c = 34
4 + c = 30 c = 26
| 2 . 0 + 3 + 5|
22 + 12
| 3 + 5|
5
|8 |
5
85
5
1 01 2
|ax0 + by0 + c| a2 + b2
1 + 2 . 3 20
12 + 22
135
5
135
5
| 5 ( 3) |
22 + 12
8
5
85
5
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 30
MATEMTICA 31
Geometria Mtrica Mdulos33 Paraleleppedo e cubo34 Paraleleppedo e cubo35 Pirmide36 Pirmide37 Tetraedro regular38 Cilindro39 Cilindro40 Cone41 Cone42 Esfera e suas partes43 Esfera e suas partes44 Esfera e suas partes
Euclides de Alexandria (360a.C-295a.C)Sua obra Os Elementos uma das mais
influentes na histria da Matemtica.
33 e 34 Paraleleppedo e cubo Prisma de base quadrangular Retngulo Quadrado
1. ParaleleppedoParaleleppedo todo prisma cujas bases so
paralelogramos.
2. Paraleleppedo reto-retnguloParaleleppedo reto-retngulo ou paraleleppedo re -
tn gulo todo paraleleppedo reto cujas faces so retn -gulos.
3. rea total
No paraleleppedo re to-retngulo da figura, de di men - ses a, b e c, temos:
AABCD
= AEFGH
= a . bA
BFGC= A
AEHD= a . c
AABFE
= ADCGH
= b . c
Assim, sendo Ata rea total do paraleleppedo, temos:
4. VolumeSendo V o volume de um paraleleppedo reto-retn -
gulo de dimenses a, b e c, e considerando-se um dosretngulos cujos lados medem a e b, por exemplo, comobase, temos:
V = Ab . h = (a . b) . c
At = 2 . (ab + ac + bc)
V = a . b . c
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 31
MATEMTICA32
5. Diagonal
Sejam D a medida da diagonal AG
do par a leleppedoreto-retn gu lo de dimenses a, b e c da figura e d a me -dida da diagonal EG
da face EFGH.
No tringulo retngulo EFG, temos:
No tringulo retngulo AEG, temos:
Assim, D2 = a2 + b2 + c2 e, portanto:
6. Cubo
Cubo todo paraleleppedo reto-retngulo cujas seisfaces so quadradas.
Num cubo de aresta a, sendo At
a rea total, D amedida da diagonal e V o volume do cubo, temos:
D = a2 + b2 + c2
(AG)2 = (EG)2 + (AE)2 D2 = d2 + c2
(EG)2 = (FG)2 + (EF)2 d2 = a2 + b2
V = a3D = a . 3At = 6 . a2
(MODELO ENEM) Considere umcaminho que tenha uma carroceria na formade um paraleleppedo retngulo, cujas dimen -ses internas so 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponhaque esse caminho foi contra tado para trans -portar 240 caixas na forma de cubo com 1 m de ares ta cada uma e que essas caixaspodem ser empilhadas para o transporte.Qual o nmero mnimo de viagens neces -srias para realizar esse transporte?a) 10 viagens. b) 11 viagens.c) 12 viagens. d) 24 viagens.e) 27 viagens.ResoluoAdmitindo-se que as caixas sero empilhadasde forma organizada e cada pilha no podeultrapassar a altura da carroceria, no compri -mento cabero apenas cinco caixas, na larguraduas caixas e na altura duas caixas, comosugere a figura seguinte.
Em cada viagem sero transportadas 5 . 2 . 2 = 20 caixas. Para transportar as 240caixas sero neces srias, e suficientes,
= 12 viagens.
Resposta: C
(ENEM) Eclusa um canal que, cons -trudo em guas de um rio com grande des -nvel, possibilita a navegabilidade, subida oudescida de embarcaes.
No esquema anterior, est representada a des -cida de uma embar cao, pela eclusa do portoPrimavera, do nvel mais alto do Rio Paran ato nvel da jusante.
A cmara dessa eclusa tem comprimento apro -xi mado de 200 m e largura igual a 17 m. A va -zo aproximada da gua durante o esvazia men -to da cmara de 4 200 m3 por minuto. Assim,para descer do nvel mais alto at o nvel dajusante, uma embarcao leva cerca de
a) 2 minutos. b) 5 minutos.c) 11 minutos. d) 16 minutos.e) 21 minutos.Resoluo
A cmara da eclusa tem a forma de um parale -
leppedo reto-retngulo de 200 m de com pri -
men to, 17 m de largura, 20 m de altura e volu -
me V = (200 . 17 . 20) m3 = 68 000 m3
Se a vazo aproximada de 4 200 m3 por mi -nuto, o tempo necessrio e suficiente para des -cer do nvel mais alto at o nvel da jusante
t = minuto 16,1 min
Resposta: D
240
20
68 000 m34 200 m3
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar, digiteMAT2M310
No Portal Objetivo
Exerccios Resolvidos Mdulos 33 e 34
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 32
MATEMTICA 33
As dimenses de um paraleleppedo reto-retngulo so 3 m, 4 m e 12 m. Calcular a rea total e o volume desse slido.
RESOLUO:
I) At = 2 . 12 . 4 + 2 . 3 . 4 + 2 . 12 . 3
At = 96 + 24 + 72
At = 192 m2
II) V = AB . h
V = 12 . 3 . 4
V = 144 m3
(FUVEST MODELO ENEM) Dois blocos de alumnio,em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, solevados juntos fuso e, em seguida, o alumnio lquido moldado como um paraleleppedo reto-retngulo de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x
a) 16. b) 17. c) 18. d) 19. e) 20.
RESOLUO:
Sendo Va, Vb e Vc os volumes dos blocos (a), (b) e (c), temos:
Vc = Va + Vb 8 . 8 . x = 103 + 63 64x = 1216 x = 19 cm
Resposta: D
Calcular a aresta, a rea total e o volume de um cubo cujadiagonal mede 23 m.
RESOLUO:
I) D = a323 = a3 a = 2 m
II) At = 6 . a2
At = 6 . 22
At = 24 m2
III) V = AB . h
V = 22 . 2
V = 8 m3
(UNISINOS MODELO ENEM) Para reformar a cober -tura de um edifcio, so usados barrotes de madeira. Estes bar -rotes so transportados atravs de um elevador cujas dimen -ses internas so 1,2 m, 1,0 m e 2,1 m. Nessas con dies, ocomprimento aproximado do maior barrote pos svel de sertransportado neste elevador, em metros, a) 1,5. b) 2,0. c) 2,6. d) 3,5. e) 4,2.
RESOLUO:
x2 = (1,2)2 + (1,0)2 + (2,1)2 x2 = 1,44 + 1,00 + 4,41
x2 = 6,85 x = 6,85 x 2,6
Resposta: C
Exerccios Propostos Mdulo 33
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 33
MATEMTICA34
Calcule a rea total de um cubo, sabendo-se que, au men -tando de 2 m a sua aresta, o seu volume aumenta de 56 m3.
RESOLUO:
I) V = a3
II) V + 56 = (a + 2)3
V + 56 = a3 + 3a2 . 2 + 3 . a . 4 + 8
a3 + 56 = a3 + 6a2 + 12a + 8
6a2 + 12a 48 = 0
a2 + 2a 8 = 0 a = 2 m, pois a > 0
III) At = 6 . a2
At = 6 . 22
At = 24 m2
Um prisma reto de base quadrada tem 72 cm2 de rea la -teral e 32 cm de diagonal da base. O volume deste prisma a) 108 cm3 b) 48 cm3 c) 532 cm3 d) 54 cm3
RESOLUO:
I) d = a2
32 = a2
a = 3 cm
II) Al = 4 . ab
72 = 4 . 3 . b
b = 6 cm
III) V = a2 . b
V = 32 . 6
V = 54 cm3
Resposta: D
(MODELO ENEM) Numa caixa de gua em forma deparaleleppedo reto-retngulo cujo comprimento 6 m, alargura 5 m e altura 10 m, coloca-se um slido de formairregular que afunda ficando totalmente coberto pela gua.Sabendo-se que o nvel da gua eleva-se de 20 cm semderramar, calcular o volume do slido.
RESOLUO:
VS = Ab . h
VS = 6 . 5 . 0,2
VS = 6 m3
Resposta: D
(PUC MODELO ENEM) Uma caixa sem tampa feitacom placas de ma deira de 0,5 cm de espessura. Depois depronta, observa-se que as medidas da caixa, pela parte externa,so 51 cm x 26 cm x 12,5 cm, conforme mostra a figura abaixo.
O volume interno dessa caixa, em metros cbicos, a) 0,015 b) 0,0156 c) 0,15d) 0,156 e) 1,5
RESOLUO:As medidas da parte interna da caixa so 50 cm, 25 cm, 12 cm e,portanto, o volume interno da caixa, em metros cbicos, :0,50 . 0,25 . 0,12 = 0,015Resposta: A
(MACKENZIE MODELO ENEM) Uma piscina com 5 mde comprimento, 3 m de largura e 2 m de profundidade tem aforma de um parale leppedo retngulo. Se o nvel da gua est20 cm abaixo da borda, o volume de gua existente na pis cina igual a
a) 27000 cm3 b) 27000 m3 c) 27000 litrosd) 3000 litros e) 30 m3
RESOLUO:
O volume de gua existente na piscina igual a
(50 . 30 . 18) dm3 = 27000 dm3 = 27000
ou (5 . 3 . 1,8)m3 = 27 m3 = 27000
Resposta: C
Exerccios Propostos Mdulo 34
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MATEMTICA 35
1. DefinioSejam um plano , um ponto V tal que V e uma
regio poligonal S do plano .
Pirmide a unio de todos os segmentos VP,
tais que P S.O ponto V denominado vrtice da pirmide e a
regio poligonal S denominada base da pirmide.
2. Elementos da pirmideNa pirmide VABCDEF da figura:
a) O ponto V o vrtice da pirmide.
b) Os segmentos VA,
VB,
VC etc., so as arestas
laterais.
c) Os tringulos VAB, VBC, VCD etc., so as faces
laterais.
d) Os segmentos AB,
BC,
CD etc., so as arestas da
base.
e) O polgono ABCDEF a base da pirmide.
f) A distncia (h) do vrtice V ao plano que
contm a base a altura da pirmide.
3. Pirmide retaUma pirmide denominada reta quando todas as
faces laterais so tringulos issceles.
4. Pirmide regularUma pirmide denominada regular quando ela
reta e o polgono da base regular.
Nas pirmides regulares da figura:
a) OA = R o raio da circunferncia circunscrita base ou simplesmente o raio da base.
b) OM = a o aptema da base.c) VM = g o aptema da pirmide (altura de
uma face lateral).d) O tringulo VOM retngulo em O e, portanto,
.
e) O tringulo VOA retngulo em O e, portanto,
.
5. rea lateralA rea lateral da pirmide a soma das reas de
todas as faces laterais.
6. rea totalA rea total da pirmide a soma da rea da base
com a rea lateral.Assim, sendo At a rea total, Ab a rea da base e A
a rea lateral, temos:
7. VolumeDemonstra-se que toda pirmide tem por volume a
tera parte do volume de um prisma de mesma base emesma altura.
Assim, sendo V o vo lu me da pirmide, te mos:
g2 = a2 + h2
(VA)2 = R2 + h2
At = Ab + A
1V = . Ab . h3
35 e 36 Pirmide Faces laterais triangulares Aptema
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MATEMTICA36
(UNESP) O prefeito de uma cidadepretende colo car em frente prefeitura ummastro com uma bandeira, que ser apoiadosobre uma pirmide de base quadrada feita deconcreto macio, como mostra a figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirmideter 3m e que a altura da pirmide ser de 4m,o volume de concreto (em m3) necessrio paraa construo da pirmide ser
a) 36 b) 27 c) 18 d) 12 e) 4
Resoluo
Sendo V o volume de concreto (em m3), temos
V = . 32 . 4 V = 12
Resposta: D
(MODELO ENEM) A grande pirmide deQuops, antiga construo localizada no Egito, uma pirmide regular de base quadrada, com137 m de altura. Cada face dessa pirmide um tringulo issceles cuja altura relativa base mede 179 m. A rea da base dessapirmide, em m,
a) 13 272 b) 26 544 c) 39 816d) 53 088 e) 79 432
Resoluo
Sendo a medida, em metros, de cada lado dabase quadrada dessa pirmide, tem-se:
2
= 1792 1372
2 = 4(179 + 137)(179 137)
2 = 4 . 316 . 42 2 = 53088Resposta: D
13
2
Exerccios Resolvidos Mdulos 35 e 36
Exerccios Propostos Mdulo 35
Calcular a rea total e o volume de uma pirmide regularde base quadrada, cuja aresta da base mede 6 m e cuja alturamede 4 m.
RESOLUO:
I) g2 = 42 + 32 g2 = 25 g = 5
II) At = Ab + A
At = 62 + 4 .
At = 36 + 60
At = 96 m2
III) V = . Ab . h
V = . 62 . 4
V = 48 m3
(FUVEST MODELO ENEM) Um telhado tem a formada superfcie lateral de uma pirmide regular, de basequadrada. O lado da base mede 8 m e a altura da pirmide 3 m.As telhas para cobrir esse telhado so vendidas em lotes quecobrem 1 m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhasdesperdiadas (quebras e emendas), o nmero mnimo delotes de telhas a ser comprado a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130
RESOLUO:
I) No tringulo VOM, retngulo em O, tem-se VO = 3,
OM = 4 e VO2 + OM2 = VM2, portanto, VM = 5.
II) A rea SBCV da face BCV
SBCV = BC . VM = . 8 . 5 = 20
III)A rea S da superfcie lateral da pirmide S = 4 . SBCV = 4 . 20 = 80 m
2.
IV) Como cada lote cobre 1m2 e so desperdiados 10 lotes, o
nmero de lotes necessrios + 10 = 90
Resposta: A
6 . 5
2
13
13
12
12
80m21m2
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MATEMTICA 37
Numa pirmide regular hexagonal, cada aresta da basemede 4 cm e as arestas laterais medem 5 cm cada uma.Calcular a rea da base e o volume dessa pirmide.
RESOLUO:
I) h2 + 42 = 52
h2 = 25 16
h2 = 9
h = 3 cm
II) Ab = 6 . A
Ab = 6 .
Ab = 243 cm2
III) V = . Ab . h
V = . 243 . 3
V = 243 cm3
423
4
13
13
Exerccios Propostos Mdulo 36
O volume da pirmide quadrangular regular cujo ap te malateral mede 13 cm e a aresta da base mede 10 cm dea) 400 cm3 b) 600 cm3 c) 800 cm3
d) 1000 cm3 e) 1200 cm3
RESOLUO:
Resposta: A
O aptema de uma pirmide quadrangular regular mede 6 cm e forma com a altura dessa pirmide um ngulo de 60.O volume dessa pirmide igual aa) 93 cm3 b) 72 cm3 c) 108 cm3d) 144 cm3 e) 324 cm3
RESOLUO:
I) = cos 60
h = 6 . h = 3 cm
II) = sen 60
= 6 .
a = 63 cm
III) V = Ab . h
V = . (63 )2 . 3
V = 108 cm3
Resposta: C
I) h2 + 52 = 132
h2 = 169 25h2 = 144h = 12 cm
1II) V = Ab . h3
1V = . 102 . 12
3
V = 400 cm3
h6
12
a2
6
a2
32
13
13
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 37
MATEMTICA38
A base de uma pirmide um quadrado de 8 m de lado.Sabendo que as faces laterais so tringulos equi lteros,determinar o volume da pirmide.
RESOLUO:
I) O VAB equiltero:
g = = 4 3 m
II) h2 + 42 = g2
h2 + 16 = 48
h2 = 32
h = 42 m
III) V = . AB . h = . 82 . 42 = m3
(UNIP) A aresta do cubo ABCDEFGH mede 6 cm e P oponto mdio do segmento
FG. O volume do slido AEFP, em
cen tmetros cbicos, a) 9
b) 92c) 18
d) 36
e) 54
RESOLUO:
O slido AEFP uma pirmide cuja base o tringulo retngulo
FPE e cuja altura AF.
Assim, o seu volume V, em centmetros cbicos, dado por:
V = . = . = 18
Resposta: C
(MACKENZIE MODELO ENEM) Uma barraca de lonatem forma de uma pirmide regular de base quadrada com 1 metro de lado e altura igual a 1,5 metro. Das alternativasabaixo, a que indica a menor quantidade suficiente de lona, emm2, para forrar os quatro lados da barraca a) 2 b) 2,5 c) 4,5 d) 3,5 e) 4
RESOLUO:
No tringulo VOM, temos:
(VM)2 = (0,5m)2 + (1,5m)2 VM = m
Sendo AL a rea lateral da pirmide, temos:
AL = 4 . = 2 . 1 . = 10 3,1
Assim, a alternativa D a que indica a menor quan tidade suficien -
te de lona.
Resposta: D
83
2
13
13
2562
3
PF . FE
2
AF
3
3 . 6
2
63
10
2
(BC) . (VM)
2
10
2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M311
No Portal Objetivo
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 38
MATEMTICA 39
37 Tetraedro regular Pirmide Tringulo equiltero
1. DefinioO tetraedro regular uma pirmide triangular em
que todas as faces so tringulos equilteros.
2. rea totalSe a for a medida da aresta do tetraedro regular
VABC e At sua rea total, ento:
a23At = 4 . AABC = 4 . At = a
234
3. Altura
Se a for a medida da aresta do tetraedro regularVABC, ento:
a)AM a altura do tringulo equiltero ABC e,
portanto, .
b) O o baricentro do tringulo equiltero ABC e,
portanto,
c) O tringulo VOA retngulo em O e, portanto,
(VA)2 = (VO)2 + (AO)2 a2 = h2 +
h2 = a2 h 2 = h =
4. VolumeSe a for a medida da aresta do tetraedro regular
VABC e V o volume, ento:
5. ResumoSe VABC for um tetraedro regular de aresta a, ento
a rea de uma face, a rea total, a altura e o volumevalem, respectivamente:
a32V = 12
a6h = 3
At = a23
a23Af = 4
1 1 a23 a6 a32V = . Ab . h = . . V = 3 3 4 3 12
a63
6a29
3a29
a3 23
2 a3AO = . AM = 3 3
a3AM = 2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M312
No Portal Objetivo
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 39
MATEMTICA40
(MACKENZIE) Um objeto, que tem aforma de um tetraedro regular reto de aresta20 cm, ser recoberto com placas de ouro nasfaces laterais e com placa de prata na base. Seo preo do ouro R$ 30,00 por cm2 e o daprata, R$ 5,00 por cm2, das alternativas dadas,assinale o valor mais prximo, em reais, docusto desse reco bri men to.a) 24 000 b) 12 000 c) 16 000 d) 18 000 e) 14 000Resoluo
Seja o tetraedro regular VABC, de base ABC.
I) As faces laterais VAB, VAC, VBC e a base
ABC pos suem reas iguais aAVAB = AVAC = AVBC = AABC =
= = 1003 cm2
II) Se as faces laterais sero recobertas deouro a R$ 30,00 por cm2 e a base de prata,a R$ 5,00 por cm2, o valor P desse recobri -mento ser
P = 3. (1003).R$ 30,00 + (1003).R$ 5,00P 300.1,7.R$ 30,00 + 100.1,7.R$ 5,00
P = R$ 16150,00
Resposta: C
Um artista plstico utilizou 6 bastes devidro com 40 cm de comprimento cada um,para fazer um tetraedro regular ABCD, comopode ser observado na figura seguinte.
Ele pretende colocar um 7o. basto que ligaros pontos M e N, sendo M ponto mdio de
AD e N ponto mdio de BC. O comprimento do
7o. basto ser
a) 202 cm b) 252 cm c) 302 cm
d) 352 cm e) 402 cm
Resoluo
I) No tringulo equiltero BCD, temos:
DN = = = 203 cm
II) No tringulo retngulo DMN, temos:
(MN)2 + (MD)2 = (DN)2
(MN)2 + 202 = (203)2
MN = 202 cm
Resposta: A202 . 34
40 3
2
3
2
Exerccios Resolvidos
Exerccios Propostos
A medida da altura de um tetraedro regular cuja arestamede a igual a
a) b) c)
d) e)
RESOLUO:
I) AM = (altura do ABC)
II) AO = AM = . AO =
III)No tringulo VOA, temos:
(VA)2 = (VO)2 + (AO)2 a2 = h2 +
2
h =
Resposta: B
a6
2
a6
3
a6
4
a6
5
a6
6
a3
2
23
a3
2
a3
3
23
a6
3
a3
3
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 40
MATEMTICA 41
(MODELO ENEM) Uma empresa produz dados com 4 faces em forma de tetraedro regular. Os dados so feitos deacrlico e sua aresta mede 3 cm. O volume de acrlico utilizadopara fabricar 5000 dados
a) 1200 6 cm3 b) 1250 6 cm3
c) 1300 6 cm3 d) 1350 6 cm3
d) 1400 6 cm3
RESOLUO:O volume de cada dado :
V = = = cm3
Assim, 5000 . V = 5000 . = 1250 6 cm3
Resposta: B
Determinar a altura de um tetraedro regular cujo volu me 182 m3.
RESOLUO:
I) V = 182 = a3 = 18 . 12
a3 = 23 . 33 a = 6 m
II) h = = = 26 m
Determinar a rea total de um tetraedro regular, saben do
que o aptema da base mede cm.
RESOLUO:
I) . =
a = 3
II) AT = a23
AT = 93 cm2
a32
12
(3 )3 . 2
12
6
4
6
4
a32
12a32
12
a6
366
3
3
2
13
a3
2
3
2
38 e 39 Cilindro Crculo Geratriz
1. Cilindro de bases circularesSejam e dois planos paralelos distintos, r uma
reta que intercepta os planos e e S uma regio cir -cular contida em .
Chama-se cilindro de base circular a unio de todosos segmentos PQ
paralelos a r, com P S e Q .
Elementosa) A distncia h entre os planos e a altura do
cilindro.b) A regio circular S chamada base do cilindro.c) O segmento de reta PQ
da figura chamado ge -
ra triz do cilindro.
2. Cilindro circular retoQuando a reta r perpendicular ao plano , o cilindro
denominado cilindro circular reto.No cilindro circular reto, a altura e a geratriz tm
mes ma medida.Como o cilindro circular reto pode
ser gerado por uma rotao completade uma regio retangular em torno deum de seus lados, ele tambm denominado cilindro de revoluo.
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MATEMTICA42
Na figura:
a)BC o eixo do cilindro.
b) AD
a geratriz da superfcie lateral do cilindro.
c) AB = CD raio da base do cilindro.
3. Seco meridiana do cilindro circular reto o retngulo que se obtm ao seccionar o cilindro
por um plano que contm o seu eixo.Sendo R a medida
do raio da base e h amedida da altura de umcilindro circular reto, area da seco meri dia -na Asm dada por :
4. Cilindro equiltero todo cilindro circular reto cuja seco meridiana
um quadrado.
Assim, no cilindro equiltero, temos:
5. Clculo de reas e volumesrea da base (Ab)
a rea de um crculo de raio R.
Assim, .
rea lateral (Al)
A superfcie lateral a de um retngulo de dimen -ses 2R (com primento da circunferncia da base) e h.
Assim,
rea total (At) a soma das reas das bases com a rea lateral.Assim,
Volume do cilindro (V)
O cilindro equivalente a um prisma de mesmaaltura e mesma rea da base.
Assim,
ou
.
Ab = . R2
h = 2R
Asm = 2 . R . h
V = . R2 . h
V = Ab . h
At = 2 . Ab + Al
Al = 2 . . R . h
(ENEM) Uma artes confecciona doisdiferentes tipos de vela ornamental a partir demoldes feitos com cartes de papelretangulares de 20 cm x 10 cm (conformeilustram as figuras a seguir).
Unindo dois lados opostos do carto, de duasmaneiras, a artes forma cilindros e, emseguida, os preenche completamente comparafina.Supondo-se que o custo da vela seja direta -mente proprocional ao volume de parafina em -pre gado, o custo da vela do tipo I, em relaoao custo da vela do tipo II, sera) o triplo. b) o dobro.c) igual. d) a metade.e) a tera parte.
ResoluoSendo R1 e R2 os raios e V1 e V2 os volumesdos cilin dros considerados, temos:
I) 2 R1 = 20 cm R1 = cm
2 R2 = 10 cm R2 = cm
II) V1 = .
2
. 10 cm3 = cm3
V2 = .
2
. 20 cm3 = cm3
10
5
10
1 000
500
5
Exerccios Resolvidos Mdulos 38 e 39
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 42
MATEMTICA 43
III) Assim:
= = 2 V1 = 2 V2
Portanto, o primeiro tem o dobro do custodo segundo.
Resposta: B
(ENEM) Em muitas regies do Estadodo Amazonas, o volume de madeira de umarvore cortada avaliado de acordo com umaprtica dessas regies:I. D-se uma volta completa em torno do
tronco com um barbante.
II. O barbante dobrado duas vezes pela pontae, em seguida, seu comprimento medidocom fita mtrica.
III. O valor obtido com essa medida mul ti pli -cado por ele mesmo e depois multipli cadopelo comprimento do tronco. Esse ovolume estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo clculoformal do volume do tronco, considerando-oum cilindro perfeito.A diferena entre essas medidas pratica -mente equi valente s perdas de madeira noprocesso de corte para comercializao.Pode-se afirmar que essas perdas so daordem dea) 30%. b) 22%. c) 15%.d) 12%. e) 5%.
Resoluo
Sendo R o raio do tronco, V o volume dotronco, con siderando-o um cilindro perfeito, eV o volume do tronco, calculado de acordocom essa prtica regimental, tem-se:
1o. ) V = R2h
2o. ) V = . . h =
Assim:
= 1 =
= 1 1 0,78 = 0,22 = 22%
Resposta: B
1 000 cm3
500 cm3
V1V2
2R2h
4
2 R
4
2 R
4
4
V
V
V V
V
Exerccios Propostos Mdulo 38
Determinar a rea da base, a rea lateral, a rea total e ovolume de um cilindro circular reto cujo raio da base mede 5 me a altura 3 m.
RESOLUO:
Calcular a rea da base, a rea lateral, a rea total e ovolume de um cilindro equiltero de raio R.
RESOLUO:
I) Ab = R2
II) Al = 2R . h
Al = 2R . 2R
Al = 4R2
III) At = Al + 2AbAt = 4R
2 + 2R2
At = 6R2
IV) V = Ab . h
V = R2 . 2R
V = 2R3
(MACKENZIE MODELO ENEM) Num copo, que tem aforma de um cilindro reto de altura 10 cm e raio da base 3 cm,so introduzidos 2 cubos de gelo, cada um com 2 cm de aresta.Supondo = 3, o volume mximo de lquido que se podecolocar no copo a) 158 m b) 230 m c) 300 md) 254 m e) 276 m
RESOLUO:
a) O volume do cilindro de raio 3 cm e altura 10 cm, supondo
= 3, em centmetros cbicos, . 32 . 10 = 270
b) O volume dos dois cubos de aresta 2 cm, em cen tmetros
cbicos, 2 . 23 = 16.
c) O volume mximo de lquido que se pode colocar no copo, em
cen tme tros cbicos, 270 16 = 254.
d) 254 cm3 = 254 mlResposta: D
I) Ab = . R2
Ab = . 52
Ab = 25 . m2
II) Al = 2 . . R . h
Al = 2 . . 5 . 3
Al = 30 . m2
III) At = 2 . Ab + AlAt = 2 . 25 . + 30 .
At = 80 . m2
IV) V = Ab . h
V = 25 . . 3
V = 75 . m3
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 43
MATEMTICA44
(FATEC MODELO ENEM)) Um tanque para depsitode combustvel tem a forma cilndrica de dimenses: 10 m dealtura e 12 m de dimetro. Periodicamente feita a conser va -o do mesmo, pintando-se sua superfcie lateral externa.Sabe-se que com uma lata de tinta pintam-se 14 m2 da super -fcie. Nessas condies, verdade que a menor quan tidade delatas que ser necessria para a pintura da super fcie lateral dotanque a) 14 b) 23 c) 27 d) 34 e) 54
RESOLUO:
A rea lateral de um cilindro circular reto de raio 6m e altura 10 m,em m2, : Slateral = 2 . . 6 . 10 = 120
A menor quantidade de latas de tinta necessria para a pinturadesta superfcie lateral :
Slateral 120 120 x 3,14 n = = 27
14 m2 14 14
Resposta: C
Exerccios Propostos Mdulo 39
(MODELO ENEM) Na construo de uma caixa-dguaem forma de cilindro circular reto de 4 m de raio e 5 m dealtura, a em preiteira trocou a medida do raio pela medida daaltura e vice-versa. A troca acarretou na capacidade originala) uma perda de 20% b) um acrscimo de 10%c) um acrscimo de 20% d) uma perda de 25%e) um acrscimo de 25%
RESOLUO:
V1 = 42 . 5 V2 = 5
2 . 4
V1 = 80 cm3 V2 = 100 cm
3
V2 = 1,25V1
Resposta: E
(FEI-SP MODELO ENEM) Um lquido que ocupa umaaltura de 10 cm num determinado recipiente cilndrico sertrans fe rido para outro recipiente, tambm cilndrico, comdimetro duas vezes maior que o primeiro. Qual se r a alturaocupada pelo lquido nesse segundo recipiente?
a) 1,5 cmb) 2 cmc) 2,5 cmd) 4,5 cme) 5 cm
RESOLUO:
V1 = V2 Ab . H = AB . h . r2 . 10 = . (2r)2 . h
. r2 . 10 = . 4 . r2 . h 10 = 4 . h h = = 2,5 cm
Resposta: C
104
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M313
No Portal Objetivo
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 44
MATEMTICA 45
(UNISA MODELO ENEM) De um cilindro circular retomacio, cortada uma fatia, da seguinte maneira: peloscentros de suas bases, passam-se dois planos perpendicularess bases, for mando entre si um ngulo de 60, como mostra afigura abaixo. Se as dimenses do cilin dro so 4 cm de altura e3 cm de raio da base, en to o volume da fatia
a) 36 cm3 b) 18 cm3 c) 12 cm3
d) 9 cm3 e) 6 cm3
RESOLUO:
Vfatia = . . R2 . h
Assim:
Vfatia = . . (3cm)2 . 4cm = 6 cm3
Resposta: E
(UNIMEP MODELO ENEM) O lquido contido em umalata cilndrica deve ser distribudo em potes tambm cilndricos,
cuja altura igual a da altura da lata e cujo raio da base
igual a do raio da base da lata. O nmero de potes
necessrios igual aa) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36
RESOLUO:H = 4h, R = 3r
= = = 36
Resposta: E
A figura representa umcilindro equiltero de raio R.Determinar o menor ca -minho pela superfcie late -ral, para unir A e B.
RESOLUO:
(AB)2 = (2R2) + (R)2
(AB)2 = 4R2 + 2R2 AB = R2(4 + 2) = R 4 + 2
60360
16
14
13
VLATA
VPOTE
R2H
r2h
9r2 . 4h
r2h
40 e 41 Cone Geratriz Setor circular
1. Cone circularSejam um plano , um ponto V e um crculo
. Chama-se cone circular unio de todos os seg -men tos de reta com uma extremidade em V e outra em .
C3_2AMAT_Rose 06/03/12 12:07 Pgina 45
MATEMTICA46
Elementosa) O ponto V o vrtice do cone.b) O crculo a base do cone.c) A distncia h do vrtice ao plano da base a
altura do cone.
d) O raio do crculo o raio da base.e) Qualquer segmento com uma extremidade em V
e outra na circunferncia da base chamado geratriz.
2. Cone circular retoUm cone circular dito reto quando a projeo orto -
gonal do vrtice sobre o plano da base o centro dabase.
O cone circular reto tambm chamado cone derevoluo, pois pode ser gerado pela rotao de umtringulo retngulo em torno de um de seus catetos.
No cone circular reto da figura:a) VO = h a altura do cone.b) OB = R o raio da base do
cone.c) VB = g a geratriz da su -
per fcie lateral do cone.d) O tringulo VOB retngulo
em O e, portanto,
.
e) VO
o eixo do cone.
3. Seco meridiana do cone circular reto o tringulo issceles que se obtm ao seccionar o
cone por um plano que contm o seu eixo.Sendo R a medida do raio da base e h a medida da
altura de um cone circular reto, a rea da seco meri -diana Asm dada por:
Asm =
4. Cone equiltero um cone circular reto cuja seco meridiana um
trin gulo equiltero. Observe que num cone equil -
tero, .
5. rea da baseA rea da base de um cone circular reto de raio R
6. rea lateralA superfcie lateral de um cone circular reto, cujo raio
da base R e cuja geratriz g, equivalente de umsetor circular de raio g e cujo arco tem comprimento2R. Assim sendo,
Al =
7. rea totalA rea total de um cone circular reto de raio R e
geratriz g
ou
8. VolumeTodo cone equivalente a uma pirmide de base
equivalente do cone e de mesma altura do cone. Assimsendo,
ou
g2 = h2 + R2
2R . h
2
Asm = R . h
g = 2R
Ab = . R2
2R . g
2
Al = . R . g
At = Ab + Al
At = . R . (g + R)
1V = . Ab . h3
1V = . . R2 . h
3
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MATEMTICA 47
(UEL) Um reservatrio de gua possui aforma de um cone circular reto com a basevoltada para cima e na horizontal. Suaprofundidade de 15 m e seu dimetromximo de 20 m. Se o nvel da gua estivera 9 metros do vrtice, qual a porcentagem dasua capacidade total ocupada pelo volume degua? (Despreze a espessura do material.)
a) 10,3% b) 15,4% c) 21,6%
d) 26,7% e) 31,5%
Resoluo
Sejam:Vc o volume, em metros cbicos, do reser -vatrio.
Va o volume, em metros cbicos, de gua den -tro do reservatrio.r o raio, em metros, da superfcie da gua.Assim:
I) = r = 6
II) =
= = 21,6%
Resposta: C
(CESGRANRIO)
No desenho acima, dois reservatrios de alturah e raio r, um cilndrico e um cnico, esto
totalmente vazios, e cada um ser alimentadopor uma torneira, ambas de mesma vazo. Seo reservatrio cilndrico leva duas horas e meiapara ficar completamente cheio, o tempo ne -ces srio para que isso ocorra com o reserva -trio cnico ser dea) 2 h b) 1 h c) 30 mind) 1h30 min e) 50 minResoluo
O volume do reservatrio em forma de cone
do volume do reservatrio em forma de
cilindro, pois Vcilindro = r2 . h e Vcone = r
2.h
Assim, o tempo necessrio para o reservatrio
cnico ficar completamente cheio ser do
tempo necessrio para o reservatrio cilndrico
ficar completamente cheio, ou seja, . 2 horas
e meia = . 150 minutos = 50 minutos
Respost: D
915
r10
VaVc
1 . . 62 . 93
1
. . 102 . 153
VaVc
108500
13
13
13
13
13
Exerccios Resolvidos Mdulos 40 e 41
Exerccios Propostos Mdulo 40
Calcular a rea lateral, a rea total e o volume de um conecircular reto cujo raio da base mede 8 m e a geratriz 10 m.
RESOLUO:
I) Al = Rg
Al = . 8 . 10 = 80 m2
II) At = Al + Ab
At = 80 + 82 = 144 m2
III) h2 + 82 = 102
h2 = 100 64
h = 6 m
IV) V = Ab . h = 82 . 6 = 128 m3
A rea lateral de um cone reto 20 cm2. Calcular a reatotal desse cone, sabendo que sua geratriz mede 5 cm.
RESOLUO:
I) Al = Rg II) At = Al + Ab20 = . R . 5 At = 20 + 4
2
R = 4 cm At = 36 cm2
13
13
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MATEMTICA48
(MACKENZIE) A rea lateral de um cone equiltero quetem 16 de rea da base vale
a) 32 b) 2 c) 8 d) 4 e) 16
RESOLUO:
g = 2R, R2 = 16 e A = R g
assim,
A = R . 2R = 2 R2 = 32
Resposta: A
(UNI-RIO MODELO ENEM) Uma tulipa de chope tema forma cnica, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se quesua capacidade de 100 m, a altura igual a
a) 20 cmb) 16 cmc) 12 cmd) 8 cme) 4 cm
RESOLUO:
I) 100 m = 100 cm3
II) V = 100 . 52 . h = 100 h = 12 cm
Resposta: C
13
Exerccios Propostos Mdulo 41
(PUC) A rea lateral de um cone reto igual ao dobro darea da base. Calcule o volume desse cone, sabendo que suageratriz mede 12 cm.
RESOLUO:
I) AL = 2 . AB R g = 2 R2 12 = 2R R = 6 cm
II) g2 = R2 + h2 122 = 62 + h2 h = 63 cm
III) V = R2h = . 62 . 63 V = 72 3 cm3
Resposta: O volume do cone 72 3 cm3
(UFLA MODELO ENEM) Parte do lquido de umcilindro completamente cheio transferido para dois conesidnticos, que ficam total mente cheios.
A relao entre as alturas do lquido restante no cilindro (h1) ea altura (H) do cilindro
a) h1 = b) h1 = c) h1 =
d) h1 = e) h1 =
RESOLUO:
De acordo com o enunciado, tem-se:
R2H R2h1 = 2 . . R2H R2h1 = R
2H h1 =
Resposta: D
13
13
H4
H2
H2
H3
13
13
H3
H3
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTALOBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em localizar,digite MAT2M314
No Portal Objetivo
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MATEMTICA 49
(UNISANTOS MODELO ENEM) Com um semicrculode papel, com raio igual a 20 cm, um pipoqueiro faz saquinhospara vender pipocas, com a forma de cone circular reto, ovolume desses saquinhos, usando 3, mais prximo de a) 1100 cm3 b) 1300 cm3 c) 1500 cm3
d) 1700 cm3 e) 2000 cm3
RESOLUO:
I) 2 r = 20 r = 10
II) h2 = 202 r2 = 202 102 = 300 h = 103
III)V = . . r2 . h =
V V 1700 cm3
Resposta: D
A geratriz de um cone circular reto mede 6 cm e formacom o plano da base um ngulo de 60. Ento, o volume do
cone
a) 543 cm3 b) 273 cm3 c) 183 cm3
d) 93 cm3 e) 153 cm3
RESOLUO:
I) No VOA, = cos 60 R = 6 . R = 3 cm
II) h2 + R2 = g2
h2 + 32 = 62
h2 = 27
h = 33 cm
III) V = R2h
V = . 32 . 33
V = 9 3 cm3
Resposta: D
(MACKENZIE) A geratriz de um cone circular reto mede13 e sua rea total 90. O raio da ba
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