Download - Biblio Mhxanikhs n a Borbila

Transcript
Page 1: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΜΠΟΡΜΠΙΛΑΣ

2 0.5 1 2.5 4

3

0.75

1.5

3.75

6Ταχύτητα u (m/s) - Απομάκρυνση x (m)

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ΤΕΛΙΚΑ ΕΛΛΕΙΨΗ

(ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗΣ(ΜΗΧΑΝΙΚΗ - ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ)

ΣΥΣΤΗΜΑ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Q > 0 W > 0

ΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΡΡΟΦΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ: Q > 0ΚΑΙ ΑΠΟΔΙΔΕΙ ΕΡΓΟ: W > 0

ΣΥΣΤΗΜΑ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Q < 0W < 0

ΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΡΡΟΦΑ ΕΡΓΟ ΑΠΟ ΤΟ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ: W < 0ΚΑΙ ΑΠΟΔΙΔΕΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ: Q < 0

ΑΘΗΝΑ ΙΟΥΛΙΟΣ 2006

Page 2: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗΣ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ - ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ)

ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΑΝΤΩΝΙΟΥ ΜΠΟΡΜΠΙΛΑΣ ΦΥΣΙΚΟΣ Δρ. ΕΜΠ

Page 3: Biblio Mhxanikhs n a Borbila
Page 4: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

Ταπεινά αφιερώνεται

στους Αγωνιστές της Εθνικής μας Αντίστασης,

στα θύματα του Ναζισμού, του Φασισμού και των παραγώγων τους.

Στους απανταχού ακούραστους εργάτες γης,

στους υπέροχους μαχητές του καθημερινού μόχθου!

Page 5: Biblio Mhxanikhs n a Borbila
Page 6: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Οι Σημειώσεις αυτές απευθύνονται στους φοιτητές και φοιτήτριες του Τμήματος Πληροφορικής

και Τηλεπικοινωνιών της Σχολής Θετικών Επιστημών του Ε. Κ. Π. Α. αλλά και σε όσους από τους

φοιτητές και φοιτήτριες των Πανεπιστημιακών Τμημάτων ή Πολυτεχνικών Σχολών διδάσκονται τη

Φυσική Ι.

Ως οδηγός χρησιμοποιήθηκε η Ελληνική μετάφραση του εξαίρετου συγγράμματος του H. Young,

“Physics”, Part 1 and 2, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., USA, 1992, η οποία και

διανέμεται στους φοιτητές και στις φοιτήτριες του Τμήματος Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών.

Ακολουθήθηκε η ίδια σειρά των κεφαλαίων της διδακτέας ύλης. Καταβλήθηκε προσπάθεια ώστε όχι

μόνο τα τμήματα της θεωρίας αλλά και οι λυμένες ασκήσεις να είναι όσο το δυνατόν περισσότερο

κατανοητές.

Στο τέλος των σημειώσεων υπάρχουν ερωτήσεις σωστού – λάθους καθώς και επιπλέον λυμένες

ασκήσεις.

Χρησιμοποιήθηκε ως μέσο συγγραφής η δημοφιλής έκδοση Mathcad 2001 Professional της

MathSoft Inc που είναι ιδιαίτερα φιλική στο χρήστη. Φυσικά υπάρχουν και νεώτερες εκδόσεις από

αυτήν.

Η ίδια έκδοση του Mathcad χρησιμοποιείται και κατά την διάρκεια των παραδόσεων του

μαθήματος “ως ενεργό πρόγραμμα” για να γίνονται ταυτόχρονα οι αναγκαίοι υπολογισμοί, να

παρατηρούνται οι προκύπτουσες αλλαγές και να πραγματοποιούνται τα κατάλληλα γραφήματα.

Αυτού του είδους η διδακτική διαδικασία αποδεδειγμένα όχι μόνο διευκολύνει το έργο του

διδάσκοντος αλλά συγχρόνως ωφελεί και αυτούς που παρακολουθούν τις παραδόσεις.

Το Mathcad 2001 Professional, έχει τεράστιες δημιουργικές δυνατότητες. Ωστόσο δεν πρέπει

να χρησιμοποιείται σαν “τυφλοσούρτης” αλλά σαν “κατάλληλο εργαλείο” παραγωγής έρευνας, και

διάδοσης γνώσης.

Είναι βέβαιο ότι στις Σημειώσεις αυτές θα υπάρχουν παραλήψεις, ατέλειες και σφάλματα.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων τους καλούς συναδέλφους και τους προσεκτικούς φοιτητές και

φοιτήτριες για την καλοσύνη τους να κάνουν τις υποδείξεις τους.

Page 7: Biblio Mhxanikhs n a Borbila
Page 8: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ .…………………………………………………………………………………………………...1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 …………………………………………………………………………………………………...9 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 6-1. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 6-2. ΕΡΓΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ 6-3. ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΛΛΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ 6-4. ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ 6-5. ΙΣΧΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 …………………………………………………………………………………………………15 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ 7-1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 7-2. ΒΑΡΥΤΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ (ΛΟΓΩ ΘΕΣΗΣ)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΙΣΧΥ ΚΑΙ ΟΡΜΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 …………………………………………………………………………………………………43 ΟΡΜΗ - ΩΘΗΣΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ - ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ 8-1. ΟΡΜΗ 8-2. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΜΗΣ 8-3. ΜΗ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ 8-4. ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣ 8-6. ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ (m1 , v1 ) και (m2 = m1/λ , v2) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ (m1 , v1 ) και (m2 = m1/λ , v2) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 …………………………………………………………………………………………...……63 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 9-0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 9-1. ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ω ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ α 9-2. ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ 9-3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ 9-4. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ………………………………………………………………………………………………69 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 10-1. ΡΟΠΗ 10-2. ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 10-5. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ (ή ΓΩΝΙΑΚΗ ΟΡΜΗ) 10-7. ΓΥΡΟΣΚΟΠΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑΣ ΤΩΝ ΣΤΡΟΦΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ………………………………………………………………………………………….……87 ΒΑΡΥΤΗΤΑ 12-1. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΓΙΑ ΤΗ ΒΑΡΥΤΗΤΑ (ΝΟΜΟΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ) 12-2. ΒΑΡΟΣ

Page 9: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

12-3. ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ 12-5. ΚΙΝΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ 12-6. ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KEPLER (1571 - 1630) 12-9. ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ……………………………………………………………………………………….………97 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 13-1. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 13-2. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ Γ.Α.Τ. 13-3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗ Γ.Α.Τ. 13-4. ΚΥΚΛΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ή ΤΑΛΑΝΤΩΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 13-5. ΤΟ ΑΠΛΟ ή ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ 13-7. ΑΠΟΣΒΕΝΟΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 13-8. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ 13-9. ΧΑΟΣ: ΜΕΛΕΤΗ ΕΝΟΣ ΕΙΔΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ ΣΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ………………………………………………………………………………………………129 ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ 15-1. ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ 15-5. ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΝΟΜΟΣ DEBYE 15-7. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

ΑΓΩΓΗ – ΜΕΤΑΦΟΡΑ - ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΝΟΜΟΣ STEFAN-BOLTZMANN

15-8. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (IC) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ………………………………………………………………………………………….……135 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ 17-1. ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ 17-2. ΕΡΓΟ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΟΓΚΟΥ ή ΕΡΓΟ

ΟΓΚΟΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 17-3. ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΟΓΚΟΥ 17-4. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U ΚΑΙ ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ 17-5. ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ………………………………………………………………………………………………143 ΔΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ 18-1. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ 18-5. ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ 18-6. ΚΥΚΛΟΣ CARNOT (1796-1832) 18-7. ΕΝΤΡΟΠΙΑ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ………………………………………………………………………………….……………153 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 19-1. ΤΥΠΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 19-2. ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 19-3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΥΜΑΤΟΣ 19-4. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΓΚΑΡΣΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 19-5. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΜΗΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20 ………………………………………………………………………………………….……165 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ 20-0. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΜΒΟΛΗΣ ΔΥΟ ΣΥΜΦΩΝΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Page 10: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

20-1. ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΧΟΡΔΗ 20-2. ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ [ΙΔΙΟΜΟΡΦΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΤΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ] 20-3. ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΧΟΡΔΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 …………………………………………………………………………………….…………173 ΗΧΟΣ 21-1. ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 21-2. ΕΝΤΑΣΗ 21-3. ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑ 21-3. ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER 21-6. ΜΟΥΣΙΚΟΙ ΤΟΝΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22 ………………………………………………………………………………….……………185 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΓΕΝΙΚΑ ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ………………………………………………………………………………………………191 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 …………………………………………………………………………………….…………219 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΣΤΑΘΕΡΕΣ 2. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 3. ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΩΝ 4. ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΥΠΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 6. ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΥΠΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 7. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΙΔΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ 8. ΘΕΡΜΙΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ 9. ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΞΕΩΣ (ΣΕ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΠΙΕΣΗ) 10. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΥΓΡΩΝ (kg/m3) ΣΕ ΠΙΕΣΗ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ 300 Κ 11. ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ ΥΓΡΩΝ ΣΕ ΑΤΜΟΣΦ. ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ 25 oC 12. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΗΧΟΥ (m/s) ΣΤΑ ΥΓΡΑ ΣΕ ΠΙΕΣΗ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ

25 oC (ΕΚΤΟΣ ΑΝ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΝΕΤΑΙ) 13. ΣΧΕΤΙΚΗ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΔΩΜΑΤΙΟΥ ΚΑΙ ΣΕ

ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (ΣΤΟ 1 Mz) 14. ΕΙΔΙΚΟ ΒΑΡΟΣ ΑΕΡΙΩΝ (ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΑΕΡΑ) 15. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΗΧΟΥ (m/s) ΣΤΑ ΑΕΡΙΑ ΣΕ ΠΙΕΣΗ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ

25 oC (ΕΚΤΟΣ ΑΝ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΝΕΤΑΙ) 16. ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ 17. ΤΑΛΑΝΤΩΤΕΣ. ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ωο ΣΕ rad/s. ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ………………………………………………………………………..……..233

Page 11: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΕΙΣΑΓΩΓH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΔΙΕΘΝΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΟΝΑΔΩΝ ΜΕΤΡΗΣΗΣ S. I. (ΠΑΡΙΣΙ - 1960)

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΜΕΓΕΘΗ

1. ΧΡΟΝΟΣ t: (s). Το δευτερόλεπτο ως μονάδα χρόνου, βασίζεται σε ατομικό ρολόι που λειτουργεί με χρήση της διαφοράς ενέργειας των δύο κατώτερων ενεργειακών σταθμών του ατόμου του Καισίου (Cs). Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία της περιοχής των μικροκυμάτων, με κατάλληλη ακριβή συχνότητα f, προκαλεί μεταπτώσεις από τη μία ενεργειακή κατάσταση στην άλλη. Το δευτερόλεπτο ορίζεται να είναι το χρονικό διάστημα, που απαιτείται για 9.192.631.770 κύκλους αυτής της ακτινοβολίας. Υιοθετήθηκε το 1967 (!).

2. ΜΗΚΟΣ l: (m). Το μέτρο ως μονάδα μήκους, βασίζεται στην ταχύτητα του φωτός στο κενό. Είναι η απόσταση που διανύει το φως σε χρόνο ίσο με το1/299.792.458s. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να ορίζεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό ίση με 299.792.458m/s. Υιοθετήθηκε το 1983 (!).

3. ΜΑΖΑ m: (kg). Το πρότυπο μάζας κατασκευάσθηκε από ορισμένη ποσότητα κράματος Λευκόχρυσου (78Pt) και Ιριδίου (77Ir) σε κυλινδρικό σχήμα. Βρίσκεται στο Εργαστήριο Μέτρων και Σταθμών στις Σέβρες στη Γαλλία. Υιοθετήθηκε το 1960 (!). 4. ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ i: (A - Amper).

5. ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ Τ: (K - Βαθμός Kelvin).

6. ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΝΤΑΣΗ J: (cd - καντέλα ή κηρίο).

7. ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΥΛΗΣ MOLE: (mole ή mol = 6.023x10 23).

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΕΠΙΠΕΔΗ ΓΩΝΙΑ: (rad - ακτίνιο). Ο κύκλος έχει 2π ακτίνια.

ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ: (sr - στερεακτίνιο). Η σφαίρα έχει 4π στερεακτίνια.

Ενδιαφέρουσες ηλεκτρονικές διευθύνσεις:http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.htmlhttp://www.aps.org/http://cds.cern.ch/http://xxx.lanl.gov/http://www.physics.ntua.gr/http://www.iop.org/http://scitation.aip.org/

1

Page 12: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΕΙΣΑΓΩΓH

ΠΡΟΘΕΜΑΤΑ ΜΟΝΑΔΩΝ

⇐ Συνηθέστερα προθέματα

yotta

zetta

exa

peta

tera

giga

mega

kilo

hecto

deka

deci

centi

milli

micro

nano

pico

femto

atto

zepto

yocto

Y

Z

E

P

T

G

M

k

h

da

d

c

m

μ

n

p

f

a

z

y

1024

1021

1018

1015

1012

109

106

103

100

10

10 1−

10 2−

10 3−

10 6−

10 9−

10 12−

10 15−

10 18−

10 21−

10 24−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΧΡΟΝΟΥΤο Σύμπαν έχει ηλικία περίπου 15 δισεκατομμύρια χρόνια.•Το Ηλιακό μας Σύστημα έχει ηλικία περίπου 5.5 δισεκατομμύρια χρόνια.•Οι δεινόσαυροι εξαφανίσθηκαν πριν από 65 εκατομμύρια χρόνια. •

2

Page 13: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΕΙΣΑΓΩΓH

Ο Ήλιος περιφέρεται στο γαλαξία διαγράφοντας μια περιφορά κάθε 300 εκατομμύρια χρόνια.•Ο Homo Sapiens (σκεπτόμενος άνθρωπος ή άνθρωπος ο έμφρων) έχει ηλικία περίπου 250.000 •χρόνια.Ο Ιησούς εμφανίσθηκε πριν 2000 χρόνια•Η Θεσσαλονίκη απελευθερώθηκε από τον Τουρκικό ζυγό πριν από έναν αιώνα (το 1912).•Οι πυγμαίοι της Κεντρικής Αφρικής ίσως οι λιγότερο "πολιτισμένοι" άνθρωποι επί της γης, ζουν •περίπου 30 χρόνια.Τα ερυθρά αιμοσφαίρια των θηλαστικών ζουν περίπου 120 ημέρες και αναπαράγονται με ρυθμό •περίπου 2.000.000/s.Υπάρχουν πεταλούδες που ζουν για μια μόνο ημέρα.•Η καρδιά μας χτυπά "σε φυσιολογικές καταστάσεις" 60-70 φορές/min.•Η κατάσταση διέγερσης ενός ατόμου Υδρογόνου διαρκεί περίπου 10-10 s. •

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΗΚΟΥΣΟ γαλαξίας μας με σπειροειδή μορφή και με 10 δισεκατομμύρια άστρα έχει διάσταση περίπου •1021 m (το μήκος του δίσκου είναι 100.000 έτη φωτός ενώ το πάχος του είναι περίπου 10.000 έτη φωτός). Ο γαλαξίας της Ανδρομέδας κινείται προς το μέρος του δικού μας γαλαξία με ταχύτητα 500.000 km/h. Σε 3 δισεκατομμύρια χρόνια θα αρχίσει η συγχώνευσή τους!

Σπειροειδής γαλαξίας Ο γαλαξίας της Ανδρομέδας

Ο Ήλιος έχει ακτίνα περίπου 5x108 m.• Η Γη έχει ακτίνα περίπου 6.106 m.•

H φρεγάτα "ΣΠΕΤΣΑΙ" • έχει μήκος 117 m.

3

Page 14: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΕΙΣΑΓΩΓH

Οι πυγμαίοι έχουν ύψος περίπου 1.5 m.•Τα ερυθρά αιμοσφαίρια των θηλαστικών έχουν διαστάσεις περίπου 10 -5 m.•Η διάμετρος του ατόμου του Υδρογόνου έχει διάσταση περίπου 10 -10 m.•Ο πυρήνας του ατόμου του Υδρογόνου έχει διάσταση περίπου 10-15 m.•

10-5m

10-9m 10-10m 10-14m

10-15m

10-18m

ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΜΟΝΟΜΕΤΡΑ ή ΒΑΘΜΩΤΑ ΜΕΓΕΘΗ Μήκος•Χρόνος•Μάζα•Ροπή αδράνειας•Ενέργεια, Έργο•Ισχύς•Θερμοκρασία•Ηλεκτρική ροή•Μαγνητική ροή•Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος•

4

Page 15: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΕΙΣΑΓΩΓH

Αντίσταση•Αγωγιμότητα•Φωτεινή ένταση•Ποσότητα (mol) •Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (Μονόμετρο μέγεθος)•

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗΜετατόπιση•Ταχύτητα•Επιτάχυνση•Δύναμη•Ορμή•Ροπή δύναμης•Στροφορμή•Γωνιακή ταχύτητα•Γωνιακή επιτάχυνσηΈνταση ηλεκτρικού πεδίου•Ένταση μαγνητικού πεδίου (Μαγνητική επαγωγή)•Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (Διανυσματικό μέγεθος)•

Βαθμωτό ή Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (Μονόμετρο μέγεθος)(δες σχήματα 1-18 a, b, c σελίδα 21 Hugh D. Young).

Έργο W δύναμης F για μετατόπιση κατά s W F→

s→⋅= W F

→x→⋅ cos F

→x→,( )⋅=

Μαγνητική ροή Φ μέσα από επιφάνεια Α Φ Β→

A→⋅= Φ Β

→A→⋅ cos Β

→A→,( )⋅=

Διανυσματικό ή Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (Διανυσματικό μέγεθος). Δες σχήματα 1-20 a, b σελίδα 22 Hugh D. Young).

5

Page 16: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΕΙΣΑΓΩΓH

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΟΜΑΛΗ (a = 0)•ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ (a = ct)•

ΚΙΝΗΣΕΙΣ - ΤΡΟΧΙΑ - ΔΙΑΣΤΗΜΑ - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ

θ ⇒ ω ⇒ αγων , L ⇒ τ Στροφική Κίνηση:

s ⇒ u ⇒ α, p ⇒ F, W ⇒ P Μεταφορική Κίνηση:

tud

dα=

tsd

du=

tMd

d

(ΧΡΟΝΙΚΟΣ) ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ Μ. ΚΛΙΣΗ ΣΤΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Μ - t.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ:

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ (κανόνας παραλληλόγραμμου)

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΟΝΟΜΕΤΡΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ (πρόσθεση αλγεβρικών τιμών)

L→

r→

p→×=Στροφορμή ΥΣ στην ΚΟΚ

u→

ω→

r→×=Γραμμική ταχύτητα στην ΚΟΚ

r→

F→×

i→

rx

Fx

j→

ry

Fy

k→

rz

Fz

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

=τ→

r→

F→×=Ροπή δύναμης

6

Page 17: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΕΙΣΑΓΩΓH

αz→⎯

0=αy→⎯

0=αx→⎯

0=α→

0=

Στz→⎯

0=Στy→⎯

0=Στx→⎯

0=Στ→⎯

0=Ισορροπία (Απόλυτα) Στερεού Σώματος (ΣΣ):

Σaz→⎯

0=Σay→⎯

0=Σax→⎯

0=Σa→⎯

0=

ΣFz→⎯

0=ΣFy→⎯

0=ΣFx→⎯

0=ΣF→⎯

0=Ισορροπία Υλικού Σημείου (ΥΣ) ή σωματίδιου:

Το αποτέλεσμα της αδράνειας συνδυασμένο με την έλλειψη προνοητικότητας.

ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ (1642 - 1686 "Philosophia Naturalis Principia Mathematica" Μαθηματικές Αρχές Φυσικής Φιλοσοφίας - 1727) (ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ - NEWTON - EINSTEIN)

1ος ΝΟΜΟΣ: ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ (Θεμελιώδης Φυσική Αρχή)Κάθε σώμα παραμένει στην κατάσταση ηρεμίας ή ομαλής κίνησης στην οποία βρισκόταν αρχικά, εκτός εάν αναγκαστεί να μεταβάλει την κατάσταση αυτή εξαιτίας δυνάμεων που ασκούνται πάνω του.

Άλλο ισορροπία και άλλο ακινησία!Ισορροπία ΥΣ σημαίνει συνολική δύναμη μηδέν άρα και επιτάχυνση μηδέν.•Ακινησία σημαίνει ταχύτητα μηδέν αλλά όχι αναγκαστικά και επιτάχυνση μηδέν.•

Άλλο περιφορά και άλλο περιστροφή!Περιστροφή της γης περί τον Ά - - - ά της και Περιφορά της περί τον Ή - - - -ο. Ελλειπτική τροχιά, •με μια των δύο εστιών να την κατέχει ο Ή - - - ος . Περιστροφή του ηλεκτρόνιου περί τον Ά - - - ά του και Περιφορά του περί τον π - - - - α, σε •κυκλική τροχιά (Φυσική Αρχών 20ου αιώνα).

ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗΚΥΚΛΙΚΗ1.ΟΜΑΛΗ (aεπιτρ. = 0, aκεντρομ. = σταθερού μέτρου)•ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ (Ιaεπιτρ.Ι = ct)•

2. α. ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΗ (πχ κίνηση βλήματος κοντά στην επιφάνεια της Σελήνης) β. ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΗ (πχ περιφορά της Γης περί τον Ήλιο)κλπ

7

Page 18: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΕΙΣΑΓΩΓH

2ος: ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ (ΑΙΤΙΟΥ - ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΟΣ)Η μεταβολή της κίνησης (κάτι που ο Νεύτων είχε καθορίσει ως την ποσότητα της ύλης επί την ταχύτητα, αυτό δηλαδή που σήμερα αποκαλούμε ορμή) είναι ανάλογη της ασκούμενης δύναμης και συντελείται στη διεύθυνση της ευθείας κατά την οποία εφαρμόζεται αυτή η δύναμη.

F→

m α→⋅= αν m = ct.•

F→

tp→d

d= αν m = ct. ή μεταβλητή•

3ος: ΝΟΜΟΣ ΔΡΑΣΗΣ - ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ [ Γίγαντας σέρνει νάνο! ].Σε κάθε δράση αντιτίθεται πάντα μια αντίθετη αντίδραση (ίσα μέτρα αλλά αντίθετες κατευθύνσεις), ή με άλλα λόγια, οι αμοιβαίες δράσεις που ασκούν δύο σώματα, το ένα πάνω στο άλλο, είναι πάντα αντίθετες.

ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ (υπό προϋποθέσεις)Διατήρηση υλοενέργειας (μάζας - ενέργειας)1.Διατήρηση ορμής2.Διατήρηση στροφορμής3.Διατήρηση ηλεκτρικού φορτίου4.

ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΗΝευτώνειες ή βαρυτικές αλληλεπιδράσεις - Βαρυτόνια. Συγκρότηση μακρόκοσμου, κινήσεις 1.πλανητών, εσωτερική δομή αστέρων.Ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις - Φωτόνια. Συγκρότηση μορίων, ομοιοπολικός και 2.ετεροπολικός δεσμός. Ισχυρή αλληλεπίδραση ή πυρηνική δύναμη - Γκλουόνια. Συνοχή και σταθερότητα του πυρήνα 3.του ατόμου, δυνάμεις μεταξύ των δομικών λίθων του πυρήνα (κουάρκ και γκλουόνια).Ασθενής αλληλεπίδραση - W+, W-, Zo. Ζωτικής σημασίας σε αλληλεπιδράσεις μεταξύ 4.θεμελιωδών σωματιδίων, υπεύθυνη για τη διάσπαση βήτα.

Ενοποιημένη θεωρία: Ηλεκτρασθενής αλληλεπίδραση Ηλεκτρομαγνητικές + Ασθενείς.

8

Page 19: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ

Αρνητικό ή καταναλισκόμενο έργο (τριβή).90 deg⋅ cos F→

s→,( )< 180 deg⋅≤3. Αρνητικό έργο αν:

Έργο μηδέν (δορυφόρος σε κυκλική τροχιά).cos F→

s→,( ) 90 deg⋅=2. Μηδενικό έργο αν:

Θετικό ή παραγόμενο έργο (πτώση σώματος).0 deg⋅ cos F→

s→,( )≤ 90 deg⋅<1. Θετικό έργο αν:

W F s⋅ cos φ( )⋅=W F→

s→⋅=

φ

s

O

F F

6-2. ΕΡΓΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗΒΑΡΥΤΙΚΗ (Λόγω θέσης): U = mgy 1.ΕΛΑΣΤΙΚΗ (Λόγω κατάστασης): U = kx2/2 αν F = -kx2.

ΜΗΧΑΝΙΚΗΔΥΝΑΜΙΚΗ 1.ΚΙΝΗΤΙΚΗ: K = mu2/22.

ΜΟΡΦΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣΜΗΧΑΝΙΚΗ•ΑΙΟΛΙΚΗ•ΗΛΙΑΚΗ•ΘΕΡΜΙΚΗ•ΧΗΜΙΚΗ•ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ•ΑΤΟΜΙΚΗ•ΠΥΡΗΝΙΚΗ •

6-1. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

9

Page 20: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ

x c cd c−1000

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

, d..:=d x1:=c x2:=

Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος του x:

Το έργο της μεταβλητής δύναμης μπορεί εύκολα να υπολογισθεί γραφικά:

Μέθοδος γραφήματος.

Τέτοιες δυνάμεις των οποίων το έργο κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδέν ονομάζονται Διατηρητικές ή Συντηρητικές. Το έργο τους εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από την αρχική και τελική θέση. Για αυτές έχει νόημα το δυναμικό. Διατηρητικές δυνάμεις: Νευτώνειες (βάρος σώματος), Ηλεκτροστατικές (δύναμη Coulomb).Μη διατηρητικές: Ηλεκτρικές που οφείλονται σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο (δύναμη στο βήτατρο), η τριβή.

W121 0 J=W121 W12 W21+:=(καταναλισκόμενο)

W21 5.25− J=W21x2

x1xF x( )

⌠⎮⌡

d:=Το έργο της δύναμης Hooke για τη μετατόπιση από x2 σε x1 είναι:

(παραγόμενο)

W12 5.25 J=W12x1

x2xF x( )

⌠⎮⌡

d:=Το έργο της δύναμης Hooke για τη μετατόπιση από x1 σε x2 είναι:

Μέθοδος ολοκλήρωσης.

F x2( ) 900 N=F x1( ) 1.2− 103× N=Οι ακραίες τιμές της είναι:

F x( ) k− x⋅:=Η δύναμη Hooke είναι:

x2 0.015− m⋅:=x1 0.020 m⋅:=k 6 104⋅Nm⋅:=Δίνονται:

Ιδανικό ελατήριο θεωρείται αυτό που υπακούει στον κανόνα του Hooke. Ένα τέτοιο ελατήριο σταθεράς k μεταβαίνει από μια κατάσταση έκτασης κατά x1 σε μια κατάσταση συσπείρωσης κατά x2. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης Hooke για τη μετατόπιση αυτή.

Εφαρμογή

Για τον υπολογισμό του έργου της μεταβλητής δύναμης •παριστάνουμε την αλγεβρική τιμή της δύναμης F ως προς τη μετατόπιση s ή x του σημείου εφαρμογής της. Το εμβαδόν του τοπίου μεταξύ της καμπύλης και του άξονα s ή x, παριστάνει την αλγεβρική τιμή του έργου W.Για τον υπολογισμό του έργου της μεταβλητής δύναμης •χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της ολοκλήρωσης.

6-3. ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΛΛΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ

10

Page 21: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ

0.015 0.01 0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02

1000

1000

F (Ν) ΩΣ ΠΡΟΣ x (m) F x2( )

F x1( )

F x( )

x1x2

x

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σωματίου, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δυνάμεων (διατηρητικών ή μη) που ενεργούν πάνω του.

Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) ή Θεώρημα έργου - ενέργειας

6-4. ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

ΕΡΓΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ

(παραγόμενο)W12 5.25 J=W12 E10 E02+:=

(καταναλισκόμενο)E02 6.75− J=

E0212

x2⋅ F x2( )⋅:=Το εμβαδόν του πάνω αριστερού τριγώνου είναι:

(παραγόμενο)E10 12 J=

E1012

x1⋅ F x1( )⋅:=Το εμβαδόν του κάτω δεξιού τριγώνου είναι:

Το έργο της δύναμης Hooke για τη μετατόπιση από τη θέση με έκταση x1 στη θέση με συσπείρωση x2 είναι το εμβαδόν του έγχρωμου τοπίου:

Έργο της δύναμης Hooke

Έργο της δύναμης Hooke

11

Page 22: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ

Ww w H⋅ cos 0 deg⋅( )⋅= Ww 0> Παραγόμενο έργο.

WR w→

H→⋅= WR

0

HxR x( )

⌠⎮⌡

d= WR 0< Καταναλισκόμενο έργο.

(ΘΜΚΕ):12

m⋅ u2⋅12

m⋅ uo2⋅− Ww WR+= ⇒

u uo2 2

mWw WR+( )⋅+= u μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την αρχική uo(!).

6-5. ΙΣΧΥΣ

Μια ποσότητα έργου ΔW παράγεται σε χρονική διάρκεια Δt. Η μέση ισχύς Pav είναι:

PavΔWΔt

=

Η στιγμιαία ισχύς P ή ρυθμός ενέργειας είναι: P0Δt

ΔWΔt

lim→

= ⇒ PtWd

d=

Όταν μια δύναμη F δρα πάνω σε ένα σωμάτιο που κινείται με ταχύτητα u, η στιγμιαία ισχύς P ή ρυθμός ενέργειας είναι:

Παρατήρηση: Το ΘΜΚΕ ισχύει Για διατηρητικές και μη διατηρητικές δυνάμεις.•Για σταθερές και μεταβλητές δυνάμεις. •

Πράγματι:

αdudt

= ⇒ αdudx

dxdt

⋅= ⇒ α ududx⋅=

Wx1

x2xF

⌠⎮⌡

d= ⇒ Wx1

x2xm α⋅

⌠⎮⌡

d= ⇒ W

x1

x2xm u⋅

dudx⋅

⌠⎮⎮⌡

d= ⇒

Wu1

u2um u⋅

⌠⎮⌡

d= ⇒ W12

mu22⋅

12

mu12⋅−=

Εφαρμογή

Ένα σώμα Σ μάζας m ρίχνεται από μεγάλο ύψος H με ταχύτητα uo , οπότε κάποτε φθάνει στο οριζόντιο έδαφος με οριακή ταχύτητα u (μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την αρχική. Γιατί άραγε;).Κατά τη διάρκεια της κίνησής του δρουν πάνω του δύο δυνάμεις.

Το βάρος του w, σταθερή (αν θεωρηθεί το g = σταθερό) προς τα κάτω, δύναμη πεδίου, που είναι •διατηρητική δύναμη.Η αντίσταση του αέρα R, μεταβλητή δύναμη, αντίρροπη της ταχύτητάς του και κατά προσέγγιση •αντιθέτως ανάλογη του τετραγώνου της στιγμιαίας ταχύτητάς του.

Το έργο Ww του βάρους w ισούται με τη μείωση της βαρυτικής ενέργειας του Σ. Είναι θετικό ή παραγόμενο. Το έργο WR της μεταβλητής αντίσταση R είναι αρνητικό ή καταναλισκόμενο. Ισχύουν οι σχέσεις:

Ww w→

H→⋅=

12

Page 23: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ

P F→

u→⋅= ⇒ P F

→u→⋅ cos F

→u→,( )⋅=

1. Θετική ισχύς αν: 0 deg⋅ cos F→

u→,( )≤ 90 deg⋅<

2. Μηδενική ισχύς αν: cos F→

u→,( ) 90 deg⋅=

3. Αρνητική ισχύς αν: 90 deg⋅ cos F→

u→,( )< 180 deg⋅≤

13

Page 24: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6 ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ

14

Page 25: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

h c cd c−1000

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

, d..:=d H:=c 0 m⋅:=Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος του h:

uo 20ms

⋅:=H 225 m⋅:=g 10m

s2⋅:=ma 2 kg⋅:=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1Σώμα Σ μάζας m βάλλεται προς τα κάτω από ύψος H με ταχύτητα uo. Να παρασταθούν στο ίδιο διάγραμμα ως προς τη μετατόπιση h (από μηδέν έως Η), η μηχανική ενέργεια Ε, η βαρυτική Uw και η κινητική Κ.Δίνονται:

Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε αν χρησιμοποιούσαμε τους τύπους της κατακόρυφης βολής προς τα κάτω (Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση - ΕΟΕΚ).

u 2 g⋅ H⋅ uo2+=Δεκτή τιμή η:

Find u( ) 2 g⋅ H⋅ uo2+⎛

⎝⎞⎠

12

2 g⋅ H⋅ uo2+⎛

⎝⎞⎠

12

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦→

m g⋅ H⋅12

m⋅ uo2⋅+ 0

12

m⋅ u2⋅+=Given

Η ΑΔΜΕ δίνει:

Το σώμα Σ μάζας m βάλλεται προς τα κάτω από θέση Α με ταχύτητα uo. Θεωρούμε ότι:

Το ύψος H είναι πολύ μικρό σε σχέση με την ακτίνα της γης και 1.άρα το βαρυτικό πεδίο είναι ομογενές (g = σταθερό).Παραλείπεται η αντίσταση του αέρα.2.

Το πεδίο της γης είναι διατηρητικό και με τις παραπάνω θεωρήσεις μπορεί να εφαρμοσθεί όχι μόνο το ΘΜΚΕ αλλά και η ΑΔΜΕ.

Σ(m)

wu0

wu

A

B

H

Σ(m)

7-2. ΒΑΡΥΤΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ (ΛΟΓΩ ΘΕΣΗΣ)

Διατηρητικό Σύστημα: Είναι το σύστημα στο οποίο η Μηχανική Ενέργεια (Κινητική και Δυναμική) παραμένει σταθερή.

Δυνάμεις των οποίων το έργο κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδέν ονομάζονται Διατηρητικές ή Συντηρητικές.

Το έργο τους εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από την αρχική και τελική θέση. •Για αυτές έχει νόημα το δυναμικό. •Διατηρητικές δυνάμεις: α) Νευτώνειες (βάρος σώματος). β) Ηλεκτροστατικές (δύναμη Coulomb).•Μη διατηρητικές: α) Ηλεκτρικές που οφείλονται σε μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο (δύναμη στο •βήτατρο). β) Η τριβή.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΒΑΡΥΤΙΚΗ (Λόγω θέσης): U = mgy 1.ΕΛΑΣΤΙΚΗ (Λόγω κατάστασης): U = kx2/22.

ΜΗΧΑΝΙΚΗΔΥΝΑΜΙΚΗ 1.ΚΙΝΗΤΙΚΗ: K = mu2/22.

7-1. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

15

Page 26: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Uw 0 s⋅( ) 4.5 103× J=Uw t( ) E t( ) K t( )−:=Βαρυτική Uw:

K 0 s⋅( ) 400 J=K t( )12

ma⋅ u t( )2⋅:=Κινητική Κ:

E t( ) ma g⋅ H⋅ t0⋅12

ma⋅ uo2⋅+:=Mηχανική ενέργεια Ε:

u t( ) uo g t⋅+:=Ταχύτητα u:

t c cd c−1000

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

, d..:=d tmax:=c 0 s⋅:=

Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος του t:

tmax 5 s⋅:=Δεκτή τιμή η:Find tmax( ) 9− s⋅ 5 s⋅( )→

H uo tmax⋅12

g⋅ tmax2⋅+=Given

Να παρασταθούν στο ίδιο διάγραμμα ως προς το χρόνο κίνησης t, η μηχανική ενέργεια Ε, η •βαρυτική Uw και η κινητική Κ.

0 50 100 150 2000

1250

2500

3750

5000

E h( )

Uw h( )

K h( )

Uw 0 m⋅( )

K 0 m⋅( )

h

K h( )12

ma⋅ u h( )2⋅:=Κινητική Κ:

Uw h( ) ma g⋅ H h−( )⋅:=Βαρυτική Uw:

E h( ) ma g⋅ H⋅ h0⋅12

ma⋅ uo2⋅+:=Mηχανική ενέργεια Ε:

u h( ) uo2 2 g⋅ h⋅+:=Ταχύτητα u:

16

Page 27: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

0 1 2 3 4 50

1500

3000

4500

6000

2.45 103× J

E t( )

Uw t( )

K t( )

Uw 0 s⋅( )

K 0 s⋅( )

2.95s

t

Ποια χρονική στιγμή, η βαρυτική Uw και η κινητική Κ είναι ίσες; •

Given

ma g⋅ H⋅ t0⋅12

ma⋅ uo2⋅+⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

12

ma⋅ u t( )2⋅−12

ma⋅ u t( )2⋅=

Find t( ) 2−72

2⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s⋅ 2−72

2⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Φυσικώς δεκτή τιμή: 2−72

2⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s⋅ 2.95 s=

και τότε:

η Κινητική ενέργεια Κ είναι: K 2−72

2⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

2.45 103× J=

η Βαρυτική ενέργεια Uw είναι: Uw 2−72

2⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

2.45 103× J=

η Mηχανική ενέργεια Ε είναι: E 2−72

2⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

s⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

4.9 103× J=

17

Page 28: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

18

Page 29: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

tpd

d0

kg m⋅

s2⋅= Τη χρονική στιγμή 5s:

tpd

d50

kg m⋅

s2⋅=

Τη χρονική στιγμή 10s:tpd

d0

kg m⋅

s2⋅= Τη χρονική στιγμή 15s:

tpd

d150−

kg m⋅

s2⋅=

2. Να βρεθεί η χρονική έκφραση της επιτάχυνσης a του Σ και να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας du/dt του Σ τις χρονικές στιγμές 0s, 5s, 10s και 15s.

Από το δεύτερο νόμο του Newton για στεθερή μάζα έχουμε: a t( )F t( )m1

= a t( )α

m1t2⋅

β

m1t⋅+:= 6( )

Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας du/dt είναι η επιτάχυνση a:

Τη χρονική στιγμή 0s: a 0 s⋅( ) 0m

s2= Τη χρονική στιγμή 5s: a 5 s⋅( ) 25

m

s2=

Τη χρονική στιγμή 10s: a 10 s⋅( ) 0m

s2= Τη χρονική στιγμή 15s: a 15 s⋅( ) 75−

m

s2=

3. Να παρασταθεί γραφικά με ελεύθερη εκτίμηση η δύναμη F και η επιτάχυνση a ως προς το χρόνο για τα πρώτα 15s.

Η δύναμη F είναι δεύτερου βαθμού ως προς το χρόνο t, άρα η καμπύλη είναι παραβολή.•Για t = 0s και η δύναμη είναι μηδέν (γ = 0). Άρα το γράφημα ξεκινά από το σημείο (0,0).•Ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου, δηλαδή το α είναι αρνητικός, άρα η καμπύλη στρέφει •τα κοίλα κάτω και παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο [-β/2α, -Δ/2α], όπου Δ η Διακρίνουσα.

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 6 ΚΑΙ 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ, ΕΝΕΡΓΕΙΑ,

ΙΣΧΥ ΚΑΙ ΟΡΜΗ

Σ(m1) u FA B

x

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Πάνω σε υλικό σημείο Σ σταθερής μάζας m1 = 2Kg, που αρχικά ακινητεί (θέση Α, uo = 0), ασκείται τη χρονική στιγμή μηδέν και για χρόνο 15s, δύναμη F σταθερής διεύθυνσης, της οποίας η αλγεβρική τιμή ακολουθεί την εξίσωση (σε μονάδες SI).

F β t⋅ α t2⋅+= 1( ) α 2−N

s2⋅:= 2( ) β 20

Ns⋅:= 3( ) m1 2 kg⋅:= 4( )

1. Να βρεθεί η χρονική έκφραση του ρυθμού μεταβολής της ορμής dp/dt του Σ και να γίνει ο υπολογισμός του για τις χρονικές στιγμές 0s, 5s, 10s και 15s.

Από το δεύτερο γενικευμένο νόμο του Newton έχουμε:tpd

dF= 5( ) F t( ) β t⋅ α t2⋅+:=

F 0 s⋅( ) 0kg m⋅

s2= F 5 s⋅( ) 50

kg m⋅

s2= F 10 s⋅( ) 0

kg m⋅

s2= F 15 s⋅( ) 150−

kg m⋅

s2=

Τη χρονική στιγμή 0s:

19

Page 30: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

150

100

50

50

F (Ν), a (m/s^2) ΩΣ ΠΡΟΣ t (s) Fo

F t( )

a t( )

to 2 to⋅

t

Παρατήρηση: Στο διάγραμμα u - t, το εμβαδόν του τοπίου μεταξύ της καμπύλης (τρίτου βαθμού) και του άξονα του χρόνου t παριστάνει την αλγεβρική τιμή της μετατόπισης x, στη χρονική διάρκεια της κίνησης.Παρατήρηση: Στο διάγραμμα u - t, η κλίση (slope) μια χρονική στιγμή tx μεταξύ μηδέν και 15s, παριστά την αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης a τη χρονική στιγμή tx.

9( )u t( )α

3 m1⋅t3⋅

β

2 m1⋅t2⋅+ uo+:=u t( ) uo ta t( )

⌠⎮⎮⌡

d+=Η τελική ταχύτητα u είναι:

a t( )α

m1t2⋅

β

m1t⋅+:=Η επιτάχυνση a δίνεται από την:

uo 0ms

⋅:=Η αρχική ταχύτητα uo είναι:

4. Να προσπαθήσετε με τη βοήθεια της χρονικής έκφρασης της επιτάχυνσης a να εξάγετε τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας και να την παραστήσετε γραφικά.

Παρατήρηση: Στο διάγραμμα F - t, το εμβαδόν του τοπίου μεταξύ της καμπύλης (παραβολής) και του άξονα του χρόνου t παριστάνει την αλγεβρική τιμή της ώθησης J της συνολικής δύναμης F στη χρονική διάρκεια της κίνησης, που ισούται με την αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής του σώματος μάζας m1 στον ίδιο χρόνο. Παρατήρηση: Στο διάγραμμα a - t, το εμβαδόν του τοπίου μεταξύ της καμπύλης (παραβολής) και του άξονα t, παριστάνει την αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ταχύτητας (Δu) στη χρονική διάρκεια της κίνησης.

a t( )α

m1t2⋅

β

m1t⋅+=

F t( ) β t⋅ α t2⋅+=

Ακολουθεί το γράφημα της F(t) στο επίπεδο και για το διάστημα που ορίσθηκε:

t c cd c−

1000+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

, d..:=d 15 s⋅:=c 0 s⋅:=Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος του t:

8( )a to( ) 25m

s2=F to( ) 50 N=Επίσης:

7( )Fo 50 N=Foβ

2 4 α⋅ 0 N⋅( )⋅−

4α−:=to 5 s=to

β

2α−:=

20

Page 31: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

50

100

150

200u (m/s) ΩΣ ΠΡΟΣ t (s)

u 2 s⋅( )

u 10 s⋅( )

u t( )

to 2 to⋅

t

5. Να προσπαθήσετε με τη βοήθεια της χρονικής έκφρασης της ταχύτητας να εξάγετε τη χρονική εξίσωση της μετατόπισης x και να την παραστήσετε γραφικά.

Η αρχική μετατόπιση xo είναι: xo 0 m⋅:=

Η ταχύτητα u δίνεται από την: u t( )α

3 m1⋅t3⋅

β

2 m1⋅t2⋅+ uo+:= u 15 s⋅( ) 0

ms

=

Η μετατόπιση x είναι: x t( ) xo tu t( )⌠⎮⎮⌡

d+= x t( )α

12 m1⋅t4⋅

β

6 m1⋅t3⋅+ xo+:= 10( )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

200

100

100

200s (m), u (m/s), a (m/s^2) - t (s)

x t( )

10

u t( )

2 a t( )

to 2 to⋅

t

Παρατήρηση: Στο διάγραμμα x - t, η κλίση (slope) μια χρονική στιγμή tψ μεταξύ μηδέν και 15s, παριστάνει αριθμητικά την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας uψ τη χρονική στιγμή tψ.

21

Page 32: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

6. Διαθέτοντας τη χρονική έκφραση της ταχύτητας και αφού γνωρίζετε τη χρονικώς σταθερή μάζα του Σ, να εξάγετε τη χρονική εξίσωση της ορμής p και να την παραστήσετε γραφικά.

Η ορμή p δίνεται από την: p t( ) m1α

3 m1⋅t3⋅

β

2 m1⋅t2⋅+ uo+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

100

200

300

400p (Kgm/s) ΩΣ ΠΡΟΣ t (s)

p t( )

to 2 to⋅

t

7. Διαθέτοντας τη χρονική έκφραση της ταχύτητας και αφού γνωρίζετε τη χρονικώς σταθερή μάζα του Σ, να εξάγετε τη χρονική εξίσωση της κινητικής ενέργειας Κ και να την παραστήσετε γραφικά.

Η αρχική κινητική ενέργεια του Σ είναι μηδέν. Άρα η κινητική ενέργειά του είναι και το έργο της δύναμης F που ενεργεί στο Σ.

Η αρχική κινητική ενέργεια Κo του Σ είναι: Ko 0 J⋅:=

Η τελική κινητική ενέργεια Κo του Σ είναι: Ko t( )12

m1⋅ u t( )2⋅:=

Ko t( )12

m1⋅α

3 m1⋅t3⋅

β

2 m1⋅t2⋅+ uo+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅:= 12( )

Το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) δίνει: W t( ) Ko t( ) Ko−:=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 .104

2 .104

3 .104 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Κ (J) - ΧΡΟΝΟΣ t (s)

Ko t( )

to 2 to⋅

t

22

Page 33: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

Παρατήρηση: Στο διάγραμμα Κινητικής ενέργειας - t, ή έργου WF - t, η κλίση (slope) μια χρονική στιγμή tψ μεταξύ μηδέν και 15s, παριστάνει αριθμητικά την αλγεβρική τιμή της ισχύος Pψ της δύναμης F τη χρονική στιγμή tψ.

8. Να βρεθεί η χρονική έκφραση της ισχύος P της δύναμης F και να τη συγκρίνετε με το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας dK/dt. Να τη παραστήσετε γραφικά ως προς το χρόνο ένα από τα δύο παραπάνω βαθμωτά μεγέθη.

Η στιγμιαία ισχύς P της δύναμης F είναι το εσωτερικό γινόμενο των δύο ανυσμάτων F και u.Ισούται επίσης με το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας dK/dt του Σ:

P t( ) F t( ) u t( )⋅ cos 0 deg⋅( )⋅:= P t( ) β t⋅ α t2⋅+( ) α

3 m1⋅t3⋅

β

2 m1⋅t2⋅+ uo+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=tK t( )d

dP t( )=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 .104

5000

5000

1 .104 ΡΥΘΜΟΣ ΚΙΝ. ΕΝΕΡ. (J/s) - ΧΡΟΝΟΣ t (s)

P t( )

to 2 to⋅

t

Παρατήρηση: Στο διάγραμμα p - t, η κλίση (slope) παριστάνει αριθμητικά τη δύναμη F (2ος Γενικευμένος Νόμος Newton).Παρατήρηση: Στο διάγραμμα p - t, το εμβαδόν του τοπίου μεταξύ της καμπύλης και του άξονα του χρόνου t, παριστάνει την αλγεβρική τιμή όχι μόνο της μεταβολής της κινητικής ενέργειας αλλά και την ενέργεια μέσω έργου της συνολικής δύναμης F στη χρονική διάρκεια των 15s.

23

Page 34: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

acos23

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

48.19 deg=5( )cosθ23

=

⇒3 cosθ⋅ 2=⇒cosθ 2 1 cosθ−( )⋅=Η (4) με τη βοήθεια της (3) δίνει:

4( )m1 g⋅ cosθ⋅ m1υΓ

2

R⋅=Τώρα ρόλο στιγμιαίας κεντρομόλου παίζει η συνιστώσα του βάρους wy:

Ανεξάρτητη της μάζας m1 της Σ.3( )υΓ 2 g⋅ R 1 cosθ−( )⋅=

12

m1⋅ υΓ2

⋅ m1 g⋅ R 1 cosθ−( )⋅=⇒KΓ UΓ+ KΑ UA+=ΘΔΜΕ:

2( )Wn 0=Η δύναμη επαφής n είναι συνεχώς κάθετη στη μετατόπιση, άρα το έργο της είναι μηδέν:

1( )Ww m1 g⋅ R 1 cosθ−( )⋅=Το βάρος w είναι διατηρητική δύναμη, άρα η ενέργεια μέσω έργου εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση:

1. Με τη βοήθεια του ΘΔΜΕ ή του ΘΜΚΕ να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ Γ θέση Γ.

Περιγραφή του φαινομένου:Η σφαίρα Σ μάζας m1 αφήνεται να ολισθήσει χωρίς τριβές με ελάχιστη αρχική ώθηση (αρχική ταχύτητα μηδέν) από τη θέση Α πάνω στο ακλόνητο ημισφαίριο ακτίνας R.Η κίνηση της Σ είναι αρχικώς κυκλική, όχι όμως ομαλώς επιταχυνόμενη.Καθώς ολισθαίνει ενεργούν πάνω της δύο δυνάμεις.

Δύναμη επαφής, η n κατά την διεύθυνση της ακτίνας R, μεταβλητού μέτρου. •Δύναμη πεδίου (από απόσταση) το σταθερό βάρος w, που αναλύεται σε δύο συνιστώσες, •χρονικώς μεταβαλλόμενες. Αυτές είναι:

η wx, με wx = wsinθ που προσδίδει στη Σ την επιτρόχια επιτάχυνση (αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας) και η wy με wy = wcosθ. Η συνισταμένη των δύο συγγραμμικών αλλά αντίρροπων δυνάμεων wy και n, καθώς η Σ εκτελεί •κυκλική κίνηση, κάθε χρονική στιγμή παίζει ρόλο κεντρομόλου. Μόλις η Σ εγκαταλείπει το ημισφαίριο (θέση Γ), το διάνυσμα θέσης σχηματίζει γωνία θ με την •κατακόρυφη και η ταχύτητα είναι uΓ. Τώρα ρόλο στιγμιαίας κεντρομόλου παίζει η συνιστώσα του βάρους wy, αφού n = 0 (η Σ χάνει την επαφή της με το ημισφαίριο). Στη συνέχεια η Σ εκτελεί πλάγια προς τα κάτω βολή με γωνία θ ως προς τον ορίζοντα.

n = 0

Α

θw

wxwyΓ

υΓ

Σ(m1)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2ΑΣΚΗΣΗ 7-25 / ΣΕΛ. 194 / H. YOUNG

ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

24

Page 35: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

⇒ υ 2 g⋅ l⋅:= 3( )

Ανεξάρτητη της μάζας της Σ. υ 6.261ms

=

2. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος στη θέση Γ.

3( )N w− m1

υ2

l⋅= ⇒ N m1 g⋅ m1

υ2

l⋅+= ⇒ N m1 g⋅ m1

υ2

l⋅+= ⇒ N 3 w⋅:= N 14.7 N=

w

30 oA

ΔυΔ

ΟΣ(m1)

Συνέχεια της Άσκησης.

Θεωρήσατε τη σφαίρα Σ στη θέση Δ όπου το νήμα σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία 30ο. Το βάρος w δεν έχει μεταβληθεί αλλά η τάση έχει διαφορετική τιμή από ότι στην κατακόρυφη θέση.

θ 30 deg⋅:=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3ΑΣΚΗΣΗ 7-27 / ΣΕΛ. 194 / H. YOUNG

Περιγραφή του φαινομένου:Η σφαίρα Σ μάζας m1 αφήνεται ελεύθερη, με το αβαρές και άνευ μάζας νήμα μήκους l σε οριζόντια διεύθυνση. Η κίνηση της Σ είναι κυκλική επιταχυνόμενη (όχι ομαλά). Σε μία τυχαία θέση (όχι στην αρχική οριζόντια) στη Σ ενεργούν δύο δυνάμεις. Από απόσταση το βάρος w (δύναμη πεδίου εδώ σταθερή δύναμη), ενώ από επαφή η τάση του νήματος Ν (μεταβλητή δύναμη τόσο ως προς το μέτρο όσο και ως προς την κατεύθυνση). Στην κατώτερη θέση οι δύο δυνάμεις είναι αντίρροπες και η συνισταμένη τους "παίζει ρόλο" κεντρομόλου.

υ

Σ(m1)

N

w

A

Γ

Οθ = 90o

Δίνονται:

m1 0.5 kg⋅:=

g 9.8m

s2⋅:=

w m1 g⋅:=

l 2 m⋅:=

1. Με τη βοήθεια του ΘΜΚΕ να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ όταν το νήμα γίνει κατακόρυφο (θέση Γ).

Το βάρος w είναι διατηρητική δύναμη, άρα η ενέργεια μέσω έργου εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση:

Ww m1 g⋅ l⋅:= 1( )

Η τάση Ν του νήματος είναι συνεχώς κάθετη στη μετατόπιση. Άρα το έργο της από την αρχική έως την τελική θέση θα είναι μηδέν:

WN 0 J⋅:= 2( )

ΘΜΚΕ: KΓ KΑ− ΣWF= ⇒12

m1⋅ υ2⋅ 0− m1 g⋅ l⋅=

25

Page 36: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

N 150( ) 7.35 N=N 30( ) 7.35 N=N 90( ) 14.7 N=N θ( ) 3 w⋅ sin θ deg⋅( )⋅:=

0 30 60 90 120 150 180 210

2

4

6

8Μέτρο ταχ/τας ως προς τη γωνική εκτροπή

Γωνική εκτροπή θ (deg)

Μέτρο

ταχύτητα

v (m

/s)

υ 90( )

υ 30( )

υ θ( )

30 90

θ

υ 150( ) 4.427ms

=υ 30( ) 4.427ms

=υ 90( ) 6.261ms

=υ θ( ) 2 g⋅ l⋅ sin θ deg⋅( )⋅:=

Ακολουθεί το γράφημα της u(θ) και της Ν(θ) στο επίπεδο και για το διάστημα που ορίσθηκε:

θ a ab a−

100000+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

, b..:=b 180:=a 0:=

Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος της θ:

4. Να παρασταθεί γραφικά με ελεύθερη εκτίμηση ως προς τη γωνία θ (για θ από 0ο έως και 180ο) το μέτρο της ταχύτητας u καθώς και η τάση N.

N 7.35 N=

3. Με τη βοήθεια της ΑΔΜΕ να υπολογίσετε στη θέση Δ το μέτρο της ταχύτητας υΔ και της τάσης του νήματος ΝΔ .

Τώρα η Σ βρίσκεται χαμηλότερα κατά H: H l sin θ( )⋅:= H 1 m=

Η κινητική ενέργεια της Σ είναι όσο η μείωση της δυναμκής ενέργειας. Έτσι η ταχύτητα στη θέση Δ θα είναι:

υΔ 2 g⋅ l⋅ sin θ( )⋅:= 4( ) υΔ 4.427ms

=

Η συνισταμένη δύναμη πάνω στον άξονα της ακτίνας ΟΔ "παίζει ρόλο" κεντρομόλου.

4( )NΔ w sinθ⋅− m1

υΔ2

l⋅= ⇒ NΔ m1 g⋅ sinθ⋅ m1

υΔ2

l⋅+= ⇒

NΔ m1 g⋅ sinθ⋅ 3 m1⋅ g⋅ sinθ⋅+= N 3 w⋅ sin θ( )⋅:= 5( )

26

Page 37: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος της θ:

6. Να παρασταθεί η κινητική ενέργεια της Σ και η ισχύς της συνολικής δύναμης (ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας) ως προς τη γωνιακή εκτροπή θ στο ίδιο διάγραμμα:

Παρατηρήσατε τα αποτελέσματα στις περιπτώσεις (a), (c) και (b), (d). Τι συμπεραίνετε;

P θ( ) 18.787− W=υ θ( ) 4.427ms

=cos θ deg⋅( ) 0.866−=θ 150:=d)

P θ( ) 0 W=υ θ( ) 6.261ms

=cos θ deg⋅( ) 0=θ 90:=c)

P θ( ) 18.787 W=υ θ( ) 4.427ms

=cos θ deg⋅( ) 0.866=θ 30:=β)

P θ( ) 0 W=υ θ( ) 0ms

=cos θ deg⋅( ) 1=θ 0:=a)

6( )P θ( ) w υ θ( )⋅ cos θ deg⋅( )⋅:=

Μια δύναμη F δρα πάνω σε σώμα που κινείται με ταχύτητα υ. Η ισχύς της δύναμης, δηλαδή ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη παράγει ή καταναλώνει ενέργεια μέσω έργου, είναι το εσωτερικό γινόμενο (βαθμωτό μέγεθος) των δύο διανυσμάτων F και υ. Έτσι αν η γωνία που σχηματίζουν οι δύο φορείς είναι:

οξεία, η ισχύς είναι θετική και η κινητική ενέργεια αυξάνει (δες βάρος και ταχύτητα στην •κατακόρυφη πτώση σώματος),ορθή, η ισχύς είναι μηδέν και η κινητική ενέργεια μένει σταθερή (δες κεντρομόλα - •ηλεκτροστατική δύναμη πάνω στο ηλεκτρόνιο από τον πυρήνα στο άτομο υδρογόνου κατά Bohr - δύναμη βαρύτητας στο δορυφόρο σε κυκλική τροχιά - τάση νήματος στην εφαρμογή μας),αμβλεία, η ισχύς είναι αρνητική και η κινητική ενέργεια μειώνεται (δες δύναμη τριβής κατά την •ολίσθηση σώματος σε οριζόντιο ή κεκλιμένο επίπεδο).

5. Να υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της Σ όταν:a) θ = 0o b) θ = 30o c) θ = 90o d) θ = 150o .

Παρατήρηση: Θεωρήσατε ότι το νήμα έχει αντοχή 7.35 Ν. Τι θα συμβεί καθώς θα εξελίσσεται το φαινόμενο;

0 30 60 90 120 150 180 210

5

5

10

15Μέτρο τάσης ως προς τη γωνική εκτροπή

Γωνική εκτροπή θ (deg)

Τάση

Ν (Ν

)N 90( )

N 30( )

N θ( )

30 90

θ

27

Page 38: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 6-7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ

0 30 60 90 120 150 180 210

20

10

10

20Ισχύς της Fολ. ως προς τη γων. εκτροπή

Γωνική εκτροπή θ (deg)

Ισχύς

P (W

)

P θmax( )

P θmin( )

P θ( )

θminθmax

θ

P θmin( ) 19.033− W=θmin 144.741=θmin root P' θm( ) θm,( ):=θm 150:=

P θmax( ) 19.033 W=θmax 35.259=θmax root P' θm( ) θm,( ):=θm 30:=

P' θ( )θ

P θ( )dd

:=

Για τον υπολογισμό των ακροτάτων της ισχύος ως προς τη γωνιακή εκτροπή:

Παρατήρηση: Γιατί η κλίση της κινητικής ενέργειας στο προηγούμενο διάγραμμα δεν εκφράζει την ισχύ ;

0 30 60 90 120 150 180 210

20

10

10

20Κινητ. Ενερ. ως προς τη γων. εκτροπή

Γωνική εκτροπή θ (deg)

Κινητική Ενέρεια Κ

(J)

K 90( )

K 30( )

K θ( )

P θ( )

30 150

θ

7( )K θ( )12

m1⋅ υ θ( )2⋅:=Η κινητική ενέργεια της Σ είναι:

θ a ab a−

100000+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

, b..:=b 180:=a 0:=

28

Page 39: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ.

ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

1. Δίνεται η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας U(x) την οποία παράγει η δύναμη F(x), με x > 0. Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI:

U x( ) x3 3 x2⋅− 2 x⋅+ 1−

1x

−:=

2. Αναζητούμε θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας). Προσδιορίζουμε για ποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της Δυναμικής Ενέργειας U(x).

D1 x( )xU x( )d

d:= D1 x( ) 3 x2

⋅ 6 x⋅− 2+1

x2+→ 3 x2

⋅ 6 x⋅− 2+1

x2+ 0=

Επιλύοντας προκύπτουν οι πραγματικές λύσεις: x01 1:= x02 1.406:=

Άρα υπάρχουν δύο θέσεις x01 και x02 που αποτελούν τοπικά ακρότατα.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

10

8

6

4

2

2

U x( )

x01 x02

x

Στην περιοχή των τοπικών ακρότατων.

0.95 1.09 1.23 1.36 1.5

2.06

2.04

2.02

2

1.98

U x( )

x01 x02

x

29

Page 40: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

Για: x3 2:= F x3( ) 2.25−= Δύναμη ελκτική

0 0.5 1 1.5 2 2.5

10

8

6

4

2

2

U x( )

F x( )

x1 x2

x

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

1. Δίνεται η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας U(x) την οποία παράγει η δύναμη F(x), με x > 0.Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI:

U x( )12

x4⋅

53

x3⋅−

32

x2⋅+:=

2. Αναζητούμε θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας). Προσδιορίζουμε για ποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της Δυναμικής Ενέργειας U(x).

D1 x( )xU x( )d

d:= D1 x( ) 2 x3

⋅ 5 x2⋅− 3 x⋅+→

Given 2 x3⋅ 5 x2

⋅− 3 x⋅+ 0= Find x( ) 0 132

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→ x01 0:= x02 1:= x0332

:=

3. Προσδιορίζουμε το είδος της ισορροπίας στις θέσεις των τοπικών ακρότατων. Αν η δεύτερη παράγωγος της U(x) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι: a) θετική, τότε η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιb) αρνητική, τότε η U(x) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

D2 x( )xD1 x( )d

d:= D2 x( ) 6 x⋅ 6−

2

x3−→

D2 x01( ) 2−= Στη θέση x01 η U(x) παρουσιάζει max και η ισορροπία είναι τοπικά ασταθής.

D2 x02( ) 1.716= Στη θέση x02 η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία είναι τοπικά ευσταθής.

4. Αναζητούμε το μέτρο και το είδος της δύναμης (ελκτική ή απωστική) σε μια δοσμένη θέση ως προς τη θέση x = 0.

F x( ) D1 x( )−:= F x( ) 3− x2⋅ 6 x⋅ 2−

1

x2−+→

Για: x1 0.5:= F x1( ) 3.75−= Δύναμη ελκτική

Για: x2 1.25:= F x2( ) 0.172= Δύναμη απωστική

30

Page 41: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

Άρα υπάρχουν τρεις θέσεις x01 , x02 και x03 που αποτελούν τοπικά ακρότατα.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.2

0.4

U x( )

x03x02

x

3. Προσδιορίζουμε το είδος της ισορροπίας στη θέση του τοπικού ακρότατου . Αν η δεύτερη παράγωγος της U(x) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι: a) θετική, τότε η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιb) αρνητική, τότε η U(x) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

D2 x( )xD1 x( )d

d:= D2 x( ) 6 x2

⋅ 10 x⋅− 3+→

D2 x01( ) 3→ Στη θέση x01 η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία είναι τοπικά ευσταθής.

D2 x02( ) 1−→ Στη θέση x02 η U(x) παρουσιάζει max και η ισορροπία είναι τοπικά ασταθής.

D2 x03( ) 32

→ Στη θέση x03 η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία είναι τοπικά ευσταθής.

4. Αναζητούμε το μέτρο και το είδος της δύναμης (ελκτική ή απωστική) σε μια δοσμένη θέση ως προς τη θέση x = 0.

F x( ) D1 x( )−:= F x( ) 2− x3⋅ 5 x2

⋅ 3 x⋅−+→

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

1

0.5

0.5

U x( )

F x( )

x02 x03

x

31

Page 42: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

D1 y α,( )yU y α,( )d

d:= D1 y α,( ) 2 α⋅ y⋅→ Given 2 α⋅ y⋅ 0= Find y( ) 0→

Άρα η θέση με y = 0 είναι τοπικό ακρότατο.

3. Προσδιορίζουμε το είδος της ισορροπίας στη θέση του τοπικού ακρότατου y = 0. Αν η δεύτερη παράγωγος της U(y) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι: a) θετική, τότε η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιb) αρνητική, τότε η U(x) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

D2 y α,( )yD1 y α,( )d

d:= D2 0 α,( ) 2 α⋅→

3a. Δίνεται η σταθερά α: α 2J

m2:= D2 0 α,( ) 4

J

m2⋅→

Η δεύτερη παράγωγος είναι θετική και η ισορροπία ευσταθής.

Με δοσμένη τη σταθερά α η δύναμη είναι: F y( ) D1 y α,( )−:=

Όταν το σωμάτιο βρίσκεται στη θέση:• y 1.20 m⋅:= F y( ) 4.8− N=

Η δύναμη F(y) είναι αντιθέτως ανάλογη της απομάκρυνσης (θέσης y). Έχει μέτρο 6Ν και είναι ελκτική προς τη θέση ευσταθούς ισορροπίας με απομάκρυνση μηδέν.

Όταν το σωμάτιο βρίσκεται στη θέση:• y 1.20− m⋅:= F y( ) 4.8N=

Η δύναμη F(y) είναι αντιθέτως ανάλογη της απομάκρυνσης (θέσης y). Έχει μέτρο 6Ν και είναι απωστική προς τη θέση ευσταθούς ισορροπίας με απομάκρυνση μηδέν.

Για: x1 0.5:= F x1( ) 0.5−= Δύναμη (ελκτική)

Για: x2 1.3:= F x2( ) .156→ Δύναμη (απωστική)

Για: x3 2:= F x3( ) 2−→ Δύναμη (ελκτική)

5. Είναι γνωστό ότι αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα πεδίο συντηρητικό είναι ο στροβιλισμός του να είναι μηδενικός. Κάθε συντηρητική δύναμη έχει μηδενικό στροβιλισμό. Να υπολογίσετε το έργο της F(x) για μια κλειστή διαδρομή.

F x( ) 2− x3⋅ 5 x2

⋅+ 3 x⋅−:=

W11

2xF x( )

⌠⎮⌡

d:= W22

3xF x( )

⌠⎮⌡

d:= W33

1.5xF x( )

⌠⎮⌡

d:= W41.5

1xF x( )

⌠⎮⌡

d:=

W1234 W1 W2+ W3+ W4+:= W1234 0=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3

1. Δίνεται η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας U(y, α) την οποία παράγει η δύναμη F(y, α):

U y α,( ) α y2⋅:=

2. Αναζητούμε θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας). Προσδιορίζουμε για ποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής y μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της Δυναμικής Ενέργειας U(y, α).

32

Page 43: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

U z c,( ) c z3⋅:=

Δίνεται η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας U(z, c) την οποία παράγει η δύναμη F(z, c):

Μια δύναμη έχει κατεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα z και ασκείται σε σωμάτιο που κινείται κατά μήκος του άξονα z. Η δύναμη παράγει δυναμική ενέργεια της μορφής: U(z) = cz3, όπου c = 2.5 J/m3. Να βρεθεί η δύναμη (μέτρο και διεύθυνση) όταν το σωμάτιο βρίσκεται στη θέση z = 1.20m.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4ΑΣΚΗΣΗ 7-14 / ΣΕΛ. 192 / H. YOUNG

3− m⋅

3 m⋅xF x( )

⌠⎮⌡

d 0 J=Αν και η επόμενη διαδρομή δεν είναι κλειστή και πάλι το έργο είναι μηδενικό! Φαντάζεσθε γιατί;

1.8− m⋅

0 m⋅xF x( )

⌠⎮⌡

d0 m⋅

1.8 m⋅xF x( )

⌠⎮⌡

d+1.8 m⋅

1.8− m⋅xF x( )

⌠⎮⌡

d+ 0 J=

0.2− m⋅

0.2− m⋅xF x( )

⌠⎮⌡

d 0 J=0.5 m⋅

0.5 m⋅xF x( )

⌠⎮⌡

d 0 J=

4. Είναι γνωστό ότι αναγκαία συνθήκη να είναι ένα πεδίο συντηρητικό είναι ο στροβιλισμός του να είναι μηδενικός. Κάθε συντηρητική δύναμη έχει μηδενικό στροβιλισμό. Να υπολογίσετε το έργο της F(x) για μια κλειστή διαδρομή.

Τα ανωτέρω σας θυμίζουν τον κανόνα (νόμο) του Robert Hooke (1678);

1.8 1.2 0.6 0 0.6 1.2 1.8

10

5

5

10

U y α,( )

F y( )

1.2

y

Ακολουθεί το γράφημα της F(y) και της U(y) στο επίπεδο και για το διάστημα που ορίσθηκε:

y a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=b 1.8 m⋅:=a 1.8− m⋅:=

Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος του y:

33

Page 44: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

Αναζητούμε το μέτρο και το είδος της δύναμης (ελκτική ή απωστική). Η πρώτη παράγωγος της δυναμικής Ενέργειας U(r) είναι:

U r r0, U0,( )r0r

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

− U0⋅ e

r

r0−

⋅:=Δυναμικό Yukawa

α) Η δυναμική Ενέργεια U(r) παράγει τη δύναμη F(r), με r > 0. Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI:

ΔΥΝΑΜΙΚΟ Yukawa Το Δυναμικό Yukawa δίνει μια αρκετά ακριβή περιγραφή της αλληλεπίδρασης μεταξύ των νουκλεονίων του πυρήνα. Δίνονται οι σταθερές ro και Uo. α) Βρείτε την αντίστοιχη έκφραση της ελκτικής δύναμης. β) Για να δείξετε τη μικρή εμβέλεια της δύναμης αυτής υπολογίσατε το λόγο της δύναμης για r = 2ro , r = 4ro , r = 10ro προς τη δύναμη στο r = ro.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5

Η δύναμη F(y) είναι αντιθέτως ανάλογη του τετραγώνου της απομάκρυνσης (θέσης y) και είναι ελκτική προς τη θέση με απομάκρυνση μηδέν.

F 1.20 m⋅ c,( ) 10.8− N=z1 1.20 m⋅:=Όταν το σωμάτιο βρίσκεται στη θέση:•

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

30

20

10

10

20

U z c,( )

F z c,( )

1.2

z

z a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=b 1.8 m⋅:=a 0 m⋅:=

Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος του z:

Ακολουθεί το γράφημα της U(z) και της F(z) στο επίπεδο και για το διάστημα που ορίσθηκε:

F z c,( ) 3− c⋅ z2⋅:=Με δοσμένη τη σταθερά c η δύναμη είναι:

c 2.5J

m3:=Δίνεται η σταθερά c:

F z c,( ) 3− c⋅ z2⋅→F z c,( )

zU z c,( )d

d

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−:=

Αναζητούμε το μέτρο και την κατεύθυνση της δύναμης F(z, c), με z > 0:

34

Page 45: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

0 5 .10 16 1 .10 15 1.5 .10 158 .10 10

6 .10 10

4 .10 10

2 .10 10

0ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ n - p

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑΞΥ n - p ΣΕ m

ΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΕΝΕΡ

. ΣΥΣΤ

ΗΜΑΤΟ

Σ n

- p ΣΕ

eV

U r r0, U0,( )

r0

2

r0

10

r

F 10 r0⋅ r0, U0,( )

Fr01

r0, U0,⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6.788 10 6−×=F 4 r0⋅ r0, U0,( )

Fr01

r0, U0,⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

7.779 10 3−×=F 2 r0⋅ r0, U0,( )

Fr01

r0, U0,⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0.138=

β) Δείχνουμε τη μικρή εμβέλεια της ισχυρής πυρηνικής δύναμης.

Δυναμική ενέργεια αρνητική Δύναμη ελκτική

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑΞΥΝΕΤΡΟΝΙΟΥ ΚΑΙ ΠΡΩΤΟΝΙΟΥ

r a ab a( )−

100+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=b r0:=a 0 m⋅:=

Εισάγουμε το πλήθος των τιμών του r στην κλίμακά του:

U0 50 M⋅ eV⋅:=M 106:=eV 1.6 10 19−⋅ J⋅:=r0 1.5 10 15−⋅ m⋅:=

Δίνονται:

Δυναμική ενέργεια αρνητική - Δύναμη ελκτικήF r r0, U0,( ) U0 expr−

r0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅r0 r+( )

r2⋅

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

−:=

Η έκφραση της δύναμης είναι:

rU r r0, U0,( )d

dU0 exp

r−r0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅r0 r+( )

r2⋅=

⇒rU r r0, U0,( )d

d

r0

r2U0⋅ exp

r−r0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅1r

U0⋅ expr−

r0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+→

35

Page 46: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

x1 f k,( )6 2f

k:=Φυσικώς παραδεκτή λύση είναι η:12−

f

x13⋅ 6

k

x7⋅+ 0=

D1 x f, k,( ) 12−f

x13⋅ 6

k

x7⋅+→D1 x f, k,( )

xU x f, k,( )d

d:=

2. Αναζητούμε θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας). Προσδιορίζουμε για ποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της Δυναμικής Ενέργειας U(x).

x0 f k,( )6 f

k:=Φυσικώς παραδεκτή λύση είναι η:

f

x12

k

x6− 0=

1. Αναζητούμε θέσεις για τις οποίες μηδενίζεται η δυναμική ενέργεια U(x).

όπου f, k θετικές σταθερές και x η μεταξύ των δύο ατόμων απόσταση.

U x f, k,( )f

x12

k

x6−:=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6Η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας U(x) την οποία παράγει η δύναμη F(x) μεταξύ δύο ατόμων σε ένα κρύσταλλο αδρανών αερίων μπορεί να εκφραστεί προσεγγιστικά ως ακολούθως [Δυναμικό Lennard-Jones (Δες C. Kittel 5η έκδοση σελ. 81- Κρυσταλλικός δεσμός]:

0 5 .10 16 1 .10 15 1.5 .10 151 .10 12

1 .10 11

1 .10 10

1 .10 9 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ n - p

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑΞΥ n - p ΣΕ m

ΔΥΝΑΜΙΚΗ

ΕΝΕΡ

. ΣΥΣΤ

ΗΜΑΤΟ

Σ n

- p ΣΕ

eV

U r r0, U0,( )

r0

2

r0

10

r

ΣΕ ΗΜΙΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ

F 10 r0⋅ r0, U0,( ) 0.027− N=F 4 r0⋅ r0, U0,( ) 30.526− N=

F 2 r0⋅ r0, U0,( ) 541.341− N=Fr01

r0, U0,⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3.924− 103× N=

36

Page 47: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

ΘετικήD2 x0 f k,( ) f, k,( ) 9.212kg

s2=D2 x f, k,( )

xD1 x f, k,( )d

d:=

4. Προσδιορίζουμε το είδος της ισορροπίας στη θέση του τοπικού ακρότατου . Αν η δεύτερη παράγωγος της U(x) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι: a) θετική, τότε παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιk) αρνητική, τότε παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

3.18 .10 10 4.62 .10 10 6.06 .10 10 7.5 .10 10

0.02

0.02

0.04

0.06

0.08

Δυναμική Ενέργεια U(x,α,b) σε eV ως προς την απόσταση σε m

U 0.84 x1 f k,( ) f, k,( )eV

U x1 f k,( ) f, k,( )eV

U x f, k,( )

eV

3.98 Ang⋅ 4.467 Ang⋅

x

y a1 a1a2 a1( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, a2..:=a2 2 x1 f k,( ):=a1 0.8 x0 f k,( )⋅:=

Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος του x:

U x1 f k,( ) f, k,( ) 0.02− eV=και είναι:x1 f k,( ) 4.467 Ang=

H δυναμική ενέργεια U(x) παρουσιάζει min στο σημείο:

U x0 f k,( ) f, k,( ) 0 eV=και είναι:x0 f k,( ) 3.98 Ang=

H δυναμική ενέργεια U(x) μηδενίζεται στο σημείο:

k 4 ε⋅ σ6

⋅:=f 4 ε⋅ σ12

⋅:=και οι σταθερές α, k ορίζονται ως:

σ 3.98 Ang⋅:=ε 0.02 eV⋅:=Για το αδρανές Xe οι παράμετροι Lennard-Jones είναι:

Ang 10 10− m⋅:=eV 1.6 10 19−⋅ J⋅:=Τιμές των σταθερών α και k:

D2 x f, k,( ) 156f

x14⋅ 42

k

x8⋅−→D2 x f, k,( )

xD1 x f, k,( )d

d:=

3. Προσδιορίζουμε το είδος της ισορροπίας στη θέση του τοπικού ακρότατου . Αν η δεύτερη παράγωγος της U(x) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι: a) θετική, τότε η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιk) αρνητική, τότε η U(x) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

37

Page 48: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

D1 x i, n,( ) 2−i

x3⋅

n

x2+→D1 x i, n,( )

xU x i, n,( )d

d:=

1. Αναζητούμε θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας). Προσδιορίζουμε για ποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της Δυναμικής Ενέργειας U(x).

Με i και n θετικές σταθερές. Το σωμάτιο αφήνεται (uο = 0) από τη θέση xο = i/n.

U x i, n,( )i

x2

nx

−:=Δίνεται η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας U(x, i, n):

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6ΑΣΚΗΣΗ 7-40 / ΣΕΛ. 195 / H. YOUNG

Δύναμη ελκτικήF x3 f, k,( ) 1.919− 10 11−× N=x3 5 Ang⋅:=Για:

Σημείο ευσταθούς ισορροπίαςF x1 f k,( ) f, k,( ) 0 N=x1 f k,( ) 4.467 Ang=Για:

Δύναμη απωστικήF x2 f, k,( ) 2.938 10 6−× N=x2 2 Ang⋅:=Για:

5. Αναζητούμε το μέτρο και το είδος της δύναμης (ελκτική ή απωστική) σε μια δοσμένη θέση ως προς τη θέση x = 0.

3.18 .10 10 4.62 .10 10 6.06 .10 10 7.5 .10 10

0.5

0.5

1

1.5

F x f, k,( )

10 10−

x0 f k,( ) x1 f k,( )

x

F x1 f k,( ) f, k,( ) 0 N=Η δύναμη είναι:x1 f k,( ) 4.467 Ang=Στο σημείο:

F x0 f k,( ) f, k,( ) 1.93 10 10−× N=Η δύναμη είναι:x0 f k,( ) 3.98 Ang=Στο σημείο:

F x f, k,( ) 12−f

x13⋅ 6

k

x7⋅+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−:=Η έκφραση της δύναμης είναι:

Στη θέση x0(f, k) η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία είναι τοπικά ευσταθής.

38

Page 49: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

0 100 200 300 400 500

0.02

0.01

U(x) σε (J) ως προς x σε (m)

Θέση x σε (m)

Δυναμική Ενέργεια

U(x

) σε

(J)

U xo i n,( ) i, n,( )

U x i, n,( )

xo i n,( )i

n

x

Μηδενική Δύναμη. Ευσταθής θέση ισορροπίας.

F x2 i, n,( ) 0→x2 2in

:=Για:

Απωστική Δύναμη: F > 0 F x1 i, n,( ) 11000

Jm⋅→x1

in

:=Για:

F x i, n,( ) 2i

x3⋅

n

x2−:=

4. Αναζητούμε το μέτρο και το είδος της δύναμης (ελκτική ή απωστική) σε μια δοσμένη θέση ως προς τη θέση x = 0.

Ui

x2

nx

−=

xo i n,( ) 200 m=

xo i n,( ) 200 m=n 10J m⋅:=i 1000J m2⋅:=Δίνονται οι σταθερές i και n:

4. Σχεδιάζουμε τις U(x) και F(x) σε διαφορετικά διαγράμματα.

F x i, n,( ) 2i

x3⋅

n

x2−:=F x i, n,( ) 2

i

x3⋅

n

x2−→F x i, n,( ) D1 x i, n,( )−:=

3. Υπολογίζουμε τη δύναμη F(x) που δρα στο σωμάτιο:

a) αν είναι θετική, τότε η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιb) αρνητική, τότε παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

D2 x i, n,( ) 6i

x4⋅ 2

n

x3⋅−→D2 x i, n,( )

xD1 x i, n,( )d

d:=

2. Προσδιορίζουμε το είδος της ισορροπίας στη θέση του τοπικού ακρότατου . Η δεύτερη παράγωγος της U(x) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι:

Άρα υπάρχει μια θέση x0 που αποτελεί τοπικό ακρότατο.

xo i n,( ) 2in⋅:=Find x( ) 2

in⋅→2−

i

x3⋅

n

x2+ 0=Given

39

Page 50: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

0 100 200 300 400 500

0.02

U(x) σε (J) και F(x) σε N _ x σε (m)

Θέση x σε (m)

U x i, n,( )

F x i, n,( )

10 3−

xo i n,( )i

n

x

200 400 600 800 1000

2 .10 5

2 .10 5

F(x) σε (N) ως προς x σε (m)

Θέση x σε (m)

Δύνμαη

F(x)

σε

(N)

F x i, n,( )

x2i

n

x

Για: x3 3in

:= F x3 i, n,( ) 1−27000

Jm⋅→ Ελκτική Δύναμη: F < 0

Απωστική Δύναμη: F > 0

xo i n,( ) 200 m=

Μηδενική Δύναμη. Ευσταθής θέση ισορροπίας.

Ελκτική Δύναμη: F < 0

F 2i

x3⋅

n

x2−=

Ui

x2

nx

−=

F 2i

x3⋅

n

x2−=

40

Page 51: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

C CreateMesh U x0, x1, y0, y1,( ):=y1 2.01:=x1 1.01:=y0 1.99:=x0 0.99:=

U x y,( ) 2 x2⋅ 5 x⋅ y⋅− 3 y2

⋅+ 6 x⋅+ 7 y⋅−:=

Το σημείο (1, 2) είναι σημείο ευσταθούς ισορροπίας και κατά τους δύο άξονες.

Θετική2yU x y,( )d

d

26→

Θετική2xU x y,( )d

d

24→

Για το είδος της ισορροπίας:

3. Προσδιορίζουμε το είδος της ισορροπίας στις θέσεις του τοπικού ακρότατου. Αν η δεύτερη παράγωγος της U(x,y) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι: a) θετική, τότε η U(x,y) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιb) αρνητική, τότε η U(x,y) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

yU x y,( )d

d5− x⋅ 6 y⋅ 7−+→

xU x y,( )d

d4 x⋅ 5 y⋅− 6+→

x y( ) 1 2( )=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΣΤΟ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΧΩΡΟ

Η δυναμική ενέργεια υλικού σημείου (σωμάτιου) στο χώρο των δύο διαστάσεων είναι (Σύστημα μονάδωνμέτρησης το SI):

U x y,( ) 2 x2⋅ 5 x⋅ y⋅− 3 y2

⋅+ 6 x⋅+ 7 y⋅−:=

Προσδιορίζουμε τις μερικές παραγώγους της Δυναμικής Ενέργειας U(x,y).

xU x y,( )d

d4 x⋅ 5 y⋅− 6+→

yU x y,( )d

d5− x⋅ 6 y⋅ 7−+→

1. Η δύναμη που ενεργεί στο υλικό σημείο είναι:

Fx→⎯

xU x y,( )d

d

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

i→⋅= Fy

→⎯

yU x y,( )d

d

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

j→⋅=

F→

Fx→⎯

Fy→⎯

+= F→

4 x⋅ 5 y⋅− 6+( )− i→⋅ 5− x⋅ 6 y⋅+ 7−( ) j

→⋅−=

2. Τα σημεία ισορροπίας είναι αυτά για τα οποία οι μερικές παράγωγοι της δυναμικής ενέργειας ως προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές x και y μηδενίζονται:

Given

4 x⋅ 5 y⋅− 6+( ) 0= 5− x⋅ 6 y⋅+ 7−( ) 0=

Find x y,( )1

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→ Το σημείο ισορροπίας είναι:

41

Page 52: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 7 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ - ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ

C

42

Page 53: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

J→

p2→⎯

p1→⎯

−=ή J→

t1

t2

tdp→⎯

dt

⌠⎮⎮⎮⌡

d=ή J→

t1

t2tF

→⌠⎮⎮⌡

d=

Ώθηση J χρονικά μεταβλητής δύναμης F:

J→

F→

Δt⋅=Ώθηση J σταθερής δύναμης F:

ΩΘΗΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣΏθηση J σταθερής δύναμης F.•Ώθηση χρονικά μεταβλητής δύναμης.•Θεώρημα Ώθησης - Ορμής: Η ώθηση που ασκείται σε ένα σώμα ισούται με τη μεταβολή της ορμής •του.

Ισχύει για διατηρητικές και μη δυνάμεις! Για χρονικά σταθερές και μη δυνάμεις!

P→

ct=Τότε: ΣFex→⎯⎯

0=Αν:

P→

Σpi→⎯

=ή P→

m1 u1→⎯⋅ m2 u2

→⎯⋅+ .....+ mi ui

→⋅+=p

→m u→⋅=

8-2. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΟΡΜΗΣΥλικό σημείο ή σωμάτιο και ορμή του.•Σύστημα δύο ή περισσότερων σωματίων (ΣΣ) και ορμή του.•Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις ενός Συστήματος. (Εφαρμογή στο Σύστημα Γη - Σελήνη).•Διατήρηση της ορμής ενός Συστήματος.•

ΑΔΟ: Αν η ολική εξωτερική δύναμη που ενεργεί σε ένα Σύστημα είναι μηδέν, τότε η ορμή του συστήματος διατηρείται (όχι αναγκαστικά και η ορμή κάθε μέλους του Συστήματος).

ΣF→⎯ dp

→⎯

dt=

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΣ ΝΟΜΟΣ NEWTONΤο διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται πάνω σε ένα σωμάτιο Σ(m, u), ισούται με το χρονικό ρυθμό μεταβολής της ορμής του.

p→

m u→⋅=

ΟΡΜΗ p ΚΑΙ ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ dp/dt ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΙΟΥ ή ΥΣ Σ(m, u)

8-1. ΟΡΜΗ

Σ(m,u)

p

u

dp

dtF =

ΟΡΜΗ - ΩΘΗΣΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8

43

Page 54: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Σ(m,u)

dp

dtF =

dtJ = F

=pτ pα + J

ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΑν ο χρόνος δράσης Δt της δύναμης F (σταθερής ή μη) τείνει στο μηδέν, τότε πρακτικά η ώθηση J είναι μηδέν και η ορμή διατηρείται! (Δες Παράδειγμα 8-6 σελ. 204 H. Young, Βαλλιστικό Εκκρεμές) .

ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ: Οι πριν και μετά ταχύτητες των δύο συγκρουόμενων σωμάτων στην ίδια ευθεία. ΠΛΑΓΙΑ: Οι πριν ταχύτητες των δύο συγκρουόμενων σωμάτων όχι στην ίδια ευθεία. Σε όλες τις κρούσεις ισχύει η ΑΔΟ.

8-3. ΜΗ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣΙσχύει η ΑΔΟ ( p = ct. ) αλλά όχι η ΑΔΚΕ ( ΔΚ < 0 ).

Αν δημιουργείται Συσσωμάτωμα η κρούση ονομάζεται Πλαστική. Μόνος άγνωστος η κοινή •ταχύτητα του Συσσωματώματος.

Μία εξίσωση από την ΑΔΟ - Ένας άγνωστος η κοινή ταχύτητα. Συντελεστής κρούσης: κ = - (σχετική ταχύτητα μετά) / (σχετική ταχύτητα πριν) = 0.Αν δεν δημιουργείται συσσωμάτωμα η κρούση ονομάζεται Ανελαστική ή Ημιελαστική (μάλλον •κακός παλαιός ορισμός). Μία εξίσωση από την ΑΔΟ - Άγνωστες οι νέες ταχύτητες. Απαιτούνται επιπλέον πληροφορίες. Συντελεστής κρούσης: 0 < κ < 1.

Ακολουθεί αναλυτική μελέτη της πλαστικής κρούσης.

8-4. ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΚΡΟΥΣΕΙΣΙσχύει και η ΑΔΟ ( p = ct. ) αλλά και η ΑΔΚΕ ( ΔΚ = 0 ).

Έστω ότι συγκρούονται δύο σώματα.• Τότε διαθέτουμε μία εξίσωση από την ΑΔΟ, και μία εξίσωση από την ΑΔΚΕ. Άγνωστες οι δυο ταχύτητες. Συντελεστής κρούσης: κ = - (σχετική ταχύτητα μετά) / (σχετική ταχύτητα πριν) = 1!

Ακολουθεί αναλυτική μελέτη της ελαστικής κρούσης.

8-6. ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας ενός συστήματος σωματίων ορίζονται ως:

xcmi

mi xi⋅∑

i

mi∑= ycm

i

mi yi⋅∑

i

mi∑= zcm

i

mi zi⋅∑

i

mi∑=

44

Page 55: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

CM

L

LL

x

y

O

CM12

L⋅16

L⋅ 3⋅,⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

Συναρτήσει των διανυσμάτων θέσης:

rcmi

mi ri⋅∑

i

mi∑=

Ευρύτερη η έννοια του κέντρου μάζας (CM) σε σχέση με την έννοια του κέντρου βάρους (CW).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Πού βρίσκεται το κέντρο μάζας (CM) στα παρακάτω ομογενή γεωμετρικά σώματα; Βρίσκεται οπωσδήποτε πάνω στο σώμα;

Λεπτή πλήρης ράβδος.1.Λεπτή πλήρης τριγωνική πλάκα.2.Λεπτή πλήρης ορθογώνια πλάκα.3.Λεπτός πλήρης δίσκος.4.Δακτύλιος.5.Συμπαγής κύλινδρος.6.Λεπτότοιχο κυλινδρικό κέλυφος (φλοιός).7.Συμπαγής σφαίρα.8.Λεπτότοιχος σφαιρικός φλοιός.9.

L

x

y

O

LL

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 (δισδιάστατος χώρος)

Πλήρες, ομογενές και ισοπαχές σύρμα λυγίζεται σε μορφή ισόπλευρου τριγώνου όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας (CM).Κάθε πλευρά έχει μήκος L και μάζα m. Το κέντρο μάζας βρίσκεται στο μέσο της.

Θέση Κέντρου Μάζας (CM)

Οριζόντια: μάζα m, x1 = L/2, y1 = 0

Πλάγια αριστερά: μάζα m, x2 = (L/2)cos60o, y2 = (L/2)cos30o

Πλάγια δεξιά: μάζα m, x3 = L- (L/2)cos60o, y3 = (L/2)cos30o

Given xcm

mL2

L2

12⋅+ L

L2

12⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

3 m⋅= ycm

m 0L2

32

⋅+L2

32

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3 m⋅=

Find xcm ycm,( )12

L⋅

16

L⋅ 3⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

45

Page 56: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Find xcm( ) 12

L⋅→xcm1

ρ L⋅ A⋅ 0

Lxx ρ⋅ A⋅

⌠⎮⌡

d⋅=Given

xcm1M 0

Lmx

⌠⎮⌡

d⋅=

Η θέση του κέντρου μάζας είναι:

Η μάζα Μ της ράβδου είναι ρLA. Το γραμμοσκιασμένο στοιχείο έχει όγκο dV = Adx και μάζα dm = ρAdx.

Δίνεται πλήρης, ομογενής (σταθερής πυκνότητας) λεπτή (κυλινδρική) ράβδος, μήκους L.Να δείξετε με τη βοήθεια ολοκλήρωσης ότι η θέση του κέντρου μάζας (CM) βρίσκεται στο μέσο της.

α) Ομογενές υλικό

O

L

x

y

x

dx

A

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4ΑΣΚΗΣΗ 8-73 / ΣΕΛ. 230 / H. YOUNG(μονοδιάστατος χώρος)

Find xcm ycm, zcm,( )

13α⋅

23α⋅

13α⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

zcm

m 0α

2+

α

2+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3 m⋅=ycm

2+ α+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3 m⋅=xcm

20+

α

2+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3 m⋅=

Given

Επίπεδο x, y: μάζα m, x1 = α/2, y1 = α/2, z1 = 0Επίπεδο y, z: μάζα m, x2 = 0, y2 = α/2, z2 = α/2Επίπεδο z, x: μάζα m, x3 = α/2, y2 = α, z2 = α/2

Θέση Κέντρου Μάζας (CM)

Οι τρεις ακριβώς όμοιες λεπτές, πλήρεις, ομογενείς και τετραγωνικές πλάκες αποτελούν στερεό σώμα όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας (CM).Κάθε λεπτότοιχη τετραγωνική πλάκα έχει διαστάσεις αxα και μάζα m. Το κέντρο μάζας βρίσκεται στο μέσο των διαγωνίων της.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3 (τρισδιάστατος χώρος)

α

α

α

x

y

z

O

Ίδιες με τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας (CM) πλήρους, ομογενούς και λεπτοπαχούς τριγωνικής πλάκας (Σημείο τομής διαμέσων).

46

Page 57: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Αναμενόμενο αφού το κέντρο μάζας (CM) βρίσκεται στο μέσο του διαμήκη άξονα της ράβδου.

β) Ανομογενές υλικό

Δίνεται πλήρης, λεπτή κυλινδρική ράβδος, μήκους L,της οποίας η πυκνότητα είναι γραμμική συνάρτηση της θέσης x δηλαδή ρ = αx με α σταθερά (σε kg/m4). Να βρεθεί με τη βοήθεια ολοκλήρωσης η θέση του κέντρο μάζας (CM).

Το γραμμοσκιασμένο στοιχείο έχει όγκο dV = Adx και μάζα dm = (αx)Adx.Η μάζα της ράβδου είναι:

Given M0

Lxα x⋅ A⋅

⌠⎮⌡

d= Find M( )12

L2⋅ α⋅ A⋅→

OLΑ

xΑ (m3)

ρ (kg/m3)

M

αLΔιαφορετικά παριστάνουμε γραφικά την πυκνότητα ρ ως προς την ποσότητα xA (όγκο) και το εμβαδόν μεταξύ της ευθείας ρ = f(xA) και του άξονα xA παριστάνει τη συνολική μάζα της ράβδου.

M12

LA⋅ αL⋅= ⇒ M12

A⋅ α⋅ L2⋅=

Η θέση του κέντρου μάζας είναι:

xcm1M 0

Lmx

⌠⎮⌡

d⋅=

Given xcm1

12

L2⋅ α⋅ A⋅ 0

Lxx α x⋅( )⋅ A⋅

⌠⎮⌡

d⋅= Find xcm( ) 23

L⋅→

47

Page 58: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

48

Page 59: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Given

ΑΔΟ: m1 v1⋅ m2 v2⋅+ m1 V1⋅ m2 V2⋅+=

ΑΔΚΕ:12

m1 v12

⋅12

m2 v22

⋅+12

m1 V12

⋅12

m2 V22

⋅+=

Find V1 V2,( )v1

v2

v1− m2⋅ m1 v1⋅+ 2 m2⋅ v2⋅+( )m2 m1+( )

m1− v2⋅ m2 v2⋅+ 2 m1⋅ v1⋅+( )m2 m1+( )

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Φυσικώς παραδεκτή λύση:

V1m1 m2−( ) v1⋅ 2 m2⋅ v2⋅+⎡⎣ ⎤⎦

m2 m1+( )= V22 m1⋅ v1⋅ m2 m1−( ) v2⋅+⎡⎣ ⎤⎦

m2 m1+( )=

2. Αρχικές ταχύτητες αντίρροπες:

Πριν την ελαστική κρούση:

Μετά την ελαστική κρούση:

m1 m2

v1

V1 V2

ΑΝΤΙΡΡΟΠΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ

m1 m2

v2

Given

ΑΔΟ: m1 v1⋅ m2 v2⋅− m1 V1⋅ m2 V2⋅+=

ΑΔΚΕ:12

m1 v12

⋅12

m2 v22

⋅+12

m1 V12

⋅12

m2 V22

⋅+=

Find V1 V2,( )v1

v2−

v1− m2⋅ m1 v1⋅ 2 m2⋅ v2⋅−+( )m2 m1+( )

m1 v2⋅ m2 v2⋅− 2 m1⋅ v1⋅+( )m2 m1+( )

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Φυσικώς παραδεκτή λύση:

V1m1 m2−( ) v1⋅ 2 m2⋅ v2⋅−⎡⎣ ⎤⎦

m2 m1+( )= V22 m1⋅ v1⋅ m2 m1−( ) v2⋅−⎡⎣ ⎤⎦

m2 m1+( )=

Στη δεύτερη αυτή περίπτωση θα καταλήγαμε επίσης αν, στα αποτελέσματα της πρώτης περίπτωσης, αντικαθιστούσαμε το v2 με -v2, αφού τα διανύσματα είναι αντίθετα και έχουν αντίθετες αλγεβρικές τιμές.

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ (m 1 , v1 ) και (m2 = m1/λ , v2)

Μάζες σωμάτων: m1 m2ΠΡΙΝ την ελαστική κρούση ταχύτητες,κινητικές ενέργειες καιορμές (μικρά)

v1 k1 p1v2 k2 p2

ΜΕΤΑ την ελαστική κρούση ταχύτητες,κινητικές ενέργειες καιορμές (ΚΕΦΑΛΑΙΑ)

V1 K1 P1V2 K2 P2

ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

1. Αρχικές ταχύτητες ομόρροπες:

Πριν την ελαστική κρούση:

Μετά την ελαστική κρούση:

m1 m2

v1

V1 V2

ΟΜΟΡΡΟΠΕΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ

m1 m2

v2

49

Page 60: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Η περίπτωση αυτή έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον όταν μελετώνται οι νέες ορμές των συγκρουόμενων σωμάτων.

4γ. Ακίνητος στόχος (μάζας m2), αλλά m2 >> m1 (Ψύλλος πάνω στον Ελέφαντα):

Στην περίπτωση αυτή: α) Μεταφέρεται η μέγιστη ενέργεια στο στόχο.β) Γίνεται ανταλλαγή ταχυτήτων, ορμών και ενεργειών.

m2m1

2 m1⋅

m2 m1+( ) v1⋅lim→

v1→m2m1

m1 m2−( )m2 m1+( ) v1⋅lim

→0→

4β. Ακίνητος στόχος (μάζες ίσες):

Στην περίπτωση αυτή: α) Ο στόχος (ψύλλος) αποκτά την μέγιστη δυνατή ταχύτητα. Δηλαδή διπλάσια από την αρχική ταχύτητα του βλήματος (Ελέφαντα).β) Η ταχύτητα του βλήματος (Ελέφαντα) πρακτικά αναλλοίωτη.

∞m1

2 m1⋅

m2 m1+( ) v1⋅lim−

→2 v1⋅→

∞m1

m1 m2−( )m2 m1+( ) v1⋅lim

−→

v1→

4α. Ακίνητος στόχος (μάζας m2), αλλά m1 >> m2 (Ελέφαντας πάνω στο Ψύλλο):

V22 m1⋅

m2 m1+( ) v1⋅=V1m1 m2−( )m2 m1+( ) v1⋅=Φυσικώς παραδεκτή λύση:

Find V1 V2,( )v1

0

v1−m2 m1−( )m2 m1+( )⋅

2 m1⋅v1

m2 m1+( )⋅

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

12

m1 v12

⋅12

m1 V12

⋅12

m2 V22

⋅+= ΑΔΚΕ:m1 v1⋅ m1 V1⋅ m2 V2⋅+= ΑΔΟ:

Given

4. Ακίνητος στόχος (μάζας m2):

Συμπέρασμα: Επειδή οι μάζες είναι ίσες γίνεται αναταλλαγή ταχυτήτων ορμών και κινητικών ενεργειών.

V2 v1=V1 v2=Φυσικώς παραδεκτή λύση:

Find V1 V2,( )v2

v1

v1

v2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

12

m v12

⋅12

m v22

⋅+12

m V12

⋅12

m V22

⋅+= ΑΔΚΕ:

m v1⋅ m v2⋅+ m V1⋅ m V2⋅+= ΑΔΟ:

GivenΑΝΤΑΛΛΑΓΗ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ,ΟΡΜΩΝ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ

Πριν την ελαστική κρούση:

Μετά την ελαστική κρούση:

m m

v1

V2

v2

m m

V1

3. Ίσες μάζες:

50

Page 61: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

V2 v2− v1+=m1 m2v1 2 v2⋅−( )

v1⋅=Φυσικώς παραδεκτή λύση:

Find m1 V2,( )0

v2

m2−v1− 2 v2⋅+( )

v1⋅

v1 v2−

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

12

m1 v12

⋅12

m2 v22

⋅+12

m2 V22

⋅= ΑΔΚΕ:m1 v1⋅ m2 v2⋅+ 0 m2 V2⋅+= ΑΔΟ:

Given

6. Για ποια σχέση μεταξύ μαζών m1 , m2 και αρχικών ταχυτήτων v1 , v2 η κινητική ενέργεια του βλήματος (μάζας m1) μεταβιβάζεται πλήρως στον ομόρροπα κινούμενο στόχο;

Στην περίπτωση αυτή: α) Η ορμή του συστήματος ήταν και παραμένει μηδέν (αντίθετες ορμές πριν και μετά).β) Παρατηρείται πλήρης ανάκλαση του ενός σώματος πάνω στο άλλο .

V2 v2−=V1 v1−=m1 m2v2v1⋅=Φυσικώς παραδεκτή λύση:

Find m1 m2, V1, V2,( )

0

0

V1

V2

m1

0

v1

V2

0

m2

V1

v2

m1

m2

v1

v2

m1

m1v1v2⋅

v1−

v2−

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

12

m2 v22

⋅12

m2 V22

⋅=12

m1⋅ v12

⋅12

m1 V12

⋅=

12

m1 v12

⋅12

m2 v22

⋅+12

m1 V12

⋅12

m2 V22

⋅+= ΑΔΚΕ:

m1 v1⋅ m2 v2⋅− m1 V1⋅ m2 V2⋅−= ΑΔΟ:

Given

5. Για ποια σχέση μεταξύ μαζών m1 , m2 και αρχικών ταχυτήτων v1 , v2 δεν παρατηρείται μεταβολή στην κινητική ενέργεια καθενός από τα συγκρουόμενα σώματα;

Στην περίπτωση αυτή: α) Ο στόχος (Ελέφαντας) αποκτά την μέγιστη δυνατή ορμή, αν και η ταχύτητά του πρακτικά είναι σχεδόν μηδέν.β) Το βλήμα (Ψύλλος) ανακλάται στο στόχο (Ελέφαντα). Η τελική ορμή του είναι αντίθετη της αρχικής.

∞m2

m22 m1⋅

m2 m1+( ) v1⋅⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅lim−

→2 m1⋅ v1⋅→

∞m2

m1m1 m2−( )m2 m1+( ) v1⋅

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅lim−

→m1− v1⋅→

51

Page 62: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

V22 m1⋅ v1⋅ m2 m1−( ) v2⋅−⎡⎣ ⎤⎦

m2 m1+( )=V1m1 m2−( ) v1⋅ 2 m2⋅ v2⋅−⎡⎣ ⎤⎦

m2 m1+( )=

7.β Αρχικές ταχύτητες αντίρροπες:

Για λ = 1, παρατηρείται ανταλλαγή ταχυτήτων ορμών και ενεργειών.•Από το γράφημα μπορείτε να βγάλετε σημαντικά συμπεράσματα.•

∞λV2 λ( )lim

−→

90ms

⋅→∞λ

V1 λ( )lim−

→50

ms

⋅→

0λV2 λ( )lim

→10

ms

⋅→0λ

V1 λ( )lim→

30−ms

⋅→

1λV2 λ( )lim

→50

ms

⋅→1λ

V1 λ( )lim→

10ms

⋅→

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

50

30

10

10

30

50

70

90ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ (m1/m2)

ΤΑΧΥΤΗ

ΤΕΣ

(m/s

)

10

50

V1 λ( )

V2 λ( )

1

λ

V2 λ( )2 λ⋅ v1⋅ 1 λ−( ) v2⋅+⎡⎣ ⎤⎦

1 λ+( ):=V1 λ( )

λ 1−( ) v1⋅ 2 v2⋅+⎡⎣ ⎤⎦1 λ+( )

:=

m2 λ( )m1λ

:=λ 0 0.01, 10..:=v2 10ms

⋅:=v1 50ms

⋅:=m1 1 kg⋅:=

V22 m1⋅ v1⋅ m2 m1−( ) v2⋅+⎡⎣ ⎤⎦

m2 m1+( )=V1m1 m2−( ) v1⋅ 2 m2⋅ v2⋅+⎡⎣ ⎤⎦

m2 m1+( )=

7.α Αρχικές ταχύτητες ομόρροπες:

7. Να εκφραστούν παραμετρικά οι ταχύτητες μετά την κρούση και να παρασταθούν γραφικά:

52

Page 63: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

kαρχ. λ( ) k1 k2 λ( )+:=k2 λ( ) 0:=k1 1.25 103× J=k112

m1⋅ v12

⋅:=

ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1Να εκφραστούν παραμετρικά οι κινητικές ενέργειες μετά την ελαστική κρούση βλήματος πάνω σε ακίνητο στόχο και να παρασταθούν γραφικά:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

70

50

30

10

10

30

50

70

90

110ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ (m1/m2)

ΤΑΧΥΤΗ

ΤΕΣ

(m/s

)

10−

50

V1 λ( )

V2 λ( )

1

λ

Για λ = 1, παρατηρείται ανταλλαγή ταχυτήτων ορμών και ενεργειών.•Από το γράφημα μπορείτε να βγάλετε σημαντικά συμπεράσματα.•Στο ίδιο γράφημα καταλήγουμε αν χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις της περίπτωσης των •ομόρροπων αρχικών ταχυτήτων και δώσουμε τιμή v2 = -10m/s.

∞λV2 λ( )lim

−→

110ms

⋅→∞λ

V1 λ( )lim−

→50

ms

⋅→

0λV2 λ( )lim

→10−

ms

⋅→0λ

V1 λ( )lim→

70−ms

⋅→

1λV2 λ( )lim

→50

ms

⋅→1λ

V1 λ( )lim→

10−ms

⋅→

V2 λ( )2 λ⋅ v1⋅ 1 λ−( ) v2⋅−⎡⎣ ⎤⎦

1 λ+( ):=V1 λ( )

λ 1−( ) v1⋅ 2 v2⋅−⎡⎣ ⎤⎦1 λ+( )

:=

m2 λ( )m1λ

:=λ 0 0.01, 10..:=v2 10ms

⋅:=v1 50ms

⋅:=m1 1 kg⋅:=

53

Page 64: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

pososto1r

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0.75=pososto r( ) 0.75=r13

:=pososto λ( )K2 λ( )

k1:=

Το ποσοστό μείωσης της κινητικής ενέργειας του βλήματος ισούται με την κινητική ενέργεια που αποκτά ο αρχικά ακίνητος στόχος:

Για λ = 1, παρατηρείται αναταλλαγή ταχυτήτων ορμών και ενεργειών.•

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

200

400

600

800

1000

1200

1400

ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΕΝΕΡΓΕ

ΙΕΣ

(J)

k1

2

k1

K1 λ( )

K2 λ( )

λ

Δες πρόβλημα 8-53 σελ. 228 YoungK2 λ( ) k1 λ⋅2

1 λ+( )⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

2⋅:=Μετά από αντικαταστάσεις:

K2 λ( )12

m2 λ( )⋅ V2 λ( )2⋅:=K1 λ( )

12

m1⋅ V1 λ( )2⋅:=

V2 λ( )2 λ⋅ v1⋅

1 λ+( ):=V1 λ( )

λ 1−( ) v1⋅

1 λ+( ):=

m2 λ( )m1λ

:=λ 0 0.01, 10..:=v2 0:=v1 50ms

⋅:=m1 1 kg⋅:=

V22 m1⋅ v1⋅

m2 m1+( )=V1m1 m2−( ) v1⋅

m2 m1+( )=

ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

54

Page 65: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3Για ποια τιμή του λ, μετά την ελαστική κρούση παρατηρείται:a) η μέγιστη ταχύτητα του στόχου; a) η μέγιστη ορμή του στόχου;Η επίλυση αφήνεται για εξάσκηση.

Σε τι διαφέρουν οι δύο αυτές ελαστικές κρούσεις;

pososto λb( ) 12

=λb 3 2 2⋅−:=Πράγματιι:

pososto λa( ) 12

=λa 3 2 2⋅+:=

Find λ b,( )3 2 2⋅+

12

3 2 2⋅−

12

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

→K1 λ( ) b k1⋅=b12

=Given

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2Για ποια τιμή του λ, μετά την ελαστική κρούση παρατηρείται απώλεια 50% της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος;

pososto λ j( ) 3281

=pososto λ i( ) 3281

=λ j 8=λ jλo

2

λ i:=λ i

18

:=

pososto λ j( ) 1=pososto λ i( ) 1=λ j 1=λ jλo

2

λ i:=λ i 1:=

Παρατηρήσατε τώρα ότι:

λo 1:=

Εύκολα αποδεικνύεται ότι το ποσοστό μείωσης της κινητικής ενέργειας, γίνεται μέγιστο (1) όταν:λο = 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5ΠΟΣΟΣΤΟ ΜΕΙΩΣΗΣ ΚΙΝΗΤ. ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ - λ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΠΟΣΟ

ΣΤΟ

ΜΕΙΩΣΗ

Σ ΚΙΝΗΤ.

ΕΝΕΡΓΕ

ΙΑΣ

pososto r( )

1

rr

55

Page 66: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

m1 1 kg⋅:= v1 20ms

⋅:= λ 0 0.01, 10..:= m2 λ( )m1λ

:= v2 10ms

⋅:=

MΣ λ( ) m1 m2 λ( )+:=

ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ (ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΥΣΣΩΜΑΤΩΜΑΤΟΣ)

1. Αρχικές ταχύτητες ομόρροπες:

ΑΔΟ: m1 v1⋅ m2 v2⋅+ m1 m2+( ) V⋅=

Από Synbolics, Variable, Solve, βρίσκουμε: Vm1 v1⋅ m2 v2⋅+( )

m1 m2+( )=

και παραμετρικά: V λ( )λ v1⋅ v2+

λ 1+:=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

10

15

20

25ΤΑΧ/ΤΑ ΣΥΣΣΩΜ. ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΤΑΧΥΤΗ

ΤΑ ΣΥΣΣ

ΩΜΑΤΩ

ΜΑΤΟ

Σ (m

/s)

v1

V λ( )

v2

1

λ

λ v1⋅ v2−

λ 1+lim→

10−ms

⋅→∞λ

λ v1⋅ v2−

λ 1+lim

−→

20ms

⋅→

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ (m 1 , v1 ) και (m2 = m1/λ , v2)

Μάζες βλήματος, στόχου και Συσσωματώματος: m1 m2 MΣΠΡΙΝ την πλαστική κρούση ταχύτητες,κινητικές ενέργειες καιορμές (μικρά)

v1 k1 p1

v2 k2 p2

ΜΕΤΑ την πλαστική κρούση ταχύτητα,κινητική ενέργεια καιορμή Συσσωματώματος (ΚΕΦΑΛΑΙΑ)

V KΣ PΣ

ΔΙΝΟΝΤΑΙ

56

Page 67: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

V 3( ) 17.5ms

=MΣ 3( )43

kg=

v2 10ms

=m2 3( )13

kg=

V λ( )λ v1⋅ v2+

λ 1+:=v1 20

ms

=m1 1 kg=1. Μάζα βλήματος > Μάζα στόχου.

Πριν την πλαστική κρούση:

Μετά την πλαστική κρούση:

mβλ. mστ.

vβλ.

(mβλ. + mστ.)

V > 1/2 vβλ.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ λ:

∞λ

λ v1⋅ v2−

λ 1+lim

−→

20ms

⋅→0λ

λ v1⋅ v2−

λ 1+lim→

10−ms

⋅→

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15

10

5

5

10

15

20

25ΤΑΧ/ΤΑ ΣΥΣΣΩΜ. ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΤΑΧΥΤΗ

ΤΑ ΣΥΣΣ

ΩΜΑΤΩ

ΜΑΤΟ

Σ (m

/s)

v1

V λ( )

v2−

1

λ

Στη δεύτερη αυτή περίπτωση θα καταλήγαμε επίσης αν, στα αποτελέσματα της πρώτης περίπτωσης, αντικαθιστούσαμε το v2 με -v2 , αφού τα διανύσματα είναι αντίθετα και έχουν αντίθετες αλγεβρικές τιμές.

V λ( )λ v1⋅ v2−

λ 1+:=και παραμετρικά:

Vm1 v1⋅ m2 v2⋅−( )

m1 m2+( )=Από Synbolics, Variable, Solve, βρίσκουμε:

m1 v1⋅ m2 v2⋅− m1 m2+( ) V⋅= ΑΔΟ:

2. Αρχικές ταχύτητες αντίρροπες:

57

Page 68: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

pososto λ( )ΔK λ( )

kαρχ. λ( ):=

ΔK λ( ) kαρχ. λ( ) KΣ λ( )−:=

Το ποσοστό μείωσης της κινητικής ενέργειας, είναι:

Η απόλυτη τιμή της μεταβολής της κινητικής ενέργειας, ισούται με το άθροισμα του έργου παραμόρφωσης (ίσως ανακτήσιμη ενέργεια, αλλά όχι πάντα) και της εκλυόμενης θερμότητας (πάντα μη ανακτήσιμη ενέργεια).

KΣ 1( ) 225 J=KΣ λ( )12

MΣ λ( )⋅ V λ( )2⋅:=V λ( )

λ v1⋅ v2+

λ 1+:=

1. Αρχικές ταχύτητες ομόρροπες:

KΣ12

MΣ⋅ V2⋅=Κινητική ενέργεια Συσσωματώματος:

ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

kαρχ. λ( ) k1 k2 λ( )+:=k2 λ( )12

m2 λ( )⋅ v22

⋅:=k1 200 J=k112

m1⋅ v12

⋅:=

ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

V13

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

12.5ms

=MΣ13

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

4 kg=

v2 10ms

=m213

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

3 kg=

v1 20ms

=m1 1 kg=3. Μάζα στόχου > Μάζα βλήματος

Πριν την πλαστική κρούση:

Μετά την πλαστική κρούση:

mβλ.

vβλ.

V < 1/2 vβλ.

mστ.

(mβλ. + mστ.)

V 1( ) 15ms

=MΣ 1( ) 2 kg=

v2 10ms

=m2 1( ) 1 kg=

v1 20ms

=m1 1 kg=

2. Μάζα βλήματος ίση με τη μάζα τουακίνητου στόχου.

Πριν την πλαστική κρούση:

Μετά την πλαστική κρούση:

mβλ. mστ.

vβλ.

(mβλ. + mστ.)

V = 1/2 vβλ.

58

Page 69: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

pososto λ j( ) 227

=pososto λ i( ) 227

=λ j 2=λ jλo

2

λ i:=λ i

18

:=

pososto λ j( ) 110

=pososto λ i( ) 110

=λ j 0.25=λ jλo

2

λ i:=λ i 1:=

Παρατηρήσατε τώρα ότι:

Απώλεια < 100%. Ομόρροπες ορμές ! pososto λo( ) 19

=λo12

:=

Εύκολα αποδεικνύεται ότι το ποσοστό μείωσης της κινητικής ενέργειας, γίνεται μέγιστο (1/9) όταν:λο = 1/2.

0 1 2 3 40

0.1

0.2ΠΟΣΟΣΤΟ ΜΕΙΩΣΗΣ ΚΙΝΗΤ. ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ - λ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΠΟΣΟ

ΣΤΟ

ΜΕΙΩΣΗ

Σ ΚΙΝΗΤ.

ΕΝΕΡΓΕ

ΙΑΣ

1

9

11

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΕΝΕΡΓΕ

ΙΕΣ

(J)

k1

k2 λ( )

KΣ λ( )

1

λ

59

Page 70: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

2. Αρχικές ταχύτητες αντίρροπες:

V λ( )λ v1⋅ v2−

λ 1+:= KΣ λ( )

12

MΣ λ( )⋅ V λ( )2⋅:= KΣ 1( ) 25 J=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

100

200

300ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΕΝΕΡΓΕ

ΙΕΣ

(J)

k1

k2 λ( )

KΣ λ( )

1

λ

Η απόλυτη τιμή της μεταβολής της κινητικής ενέργειας, ισούται με το άθροισμα του έργου παραμόρφωσης (ίσως ανακτήσιμη ενέργεια, αλλά όχι πάντα) και της εκλυόμενης θερμότητας (πάντα μη ανακτήσιμη ενέργεια).

Το ποσοστό μείωσης της κινητικής ενέργειας, είναι:

ΔK λ( ) kαρχ. λ( ) KΣ λ( )−:= pososto λ( )ΔK λ( )

kαρχ. λ( ):=

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5ΠΟΣΟΣΤΟ ΜΕΙΩΣΗΣ ΚΙΝΗΤ. ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ - λ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΠΟΣΟ

ΣΤΟ

ΜΕΙΩΣΗ

Σ ΚΙΝΗΤ.

ΕΝΕΡΓΕ

ΙΑΣ

1

11

4

60

Page 71: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Η αρχική κινητική ενέργεια του βλήματος (Ελέφαντα) παραμένει σχεδόν αναλλοίωτη

∞λpososto λ( )lim

−→

0→

Ο Ελέφαντας πάνω στον ακίνητο Ψύλλο:

Η αρχική κινητική ενέργεια του βλήματος (Ψύλλου) μετατρέπεται πλήρως σε έργο πραμόρφωσης και θερμότητα.

0λpososto λ( )lim

→1→

Ο Ψύλλος πάνω στον ακίνητο Ελέφαντα:

pososto λ( )ΔK λ( )

kαρχ. λ( ):=ΔK λ( ) kαρχ. λ( ) KΣ λ( )−:=

KΣ λ( )12

MΣ λ( )⋅ V λ( )2⋅:=V λ( )

λ v1⋅

λ 1+:=

2.β Για τις οριακές τιμές του λ (0 και άπειρο), ποιές είναι οι οριακές τιμές του ποσοστού μείωσης της κινητικής ενέργειας;

pososto138

38

17⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

12

=pososto138

38

17⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

12

=Πράγματιι:

Find λ( )138

38

17⋅+138

38

17⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

12

m1m1λ

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

m1 v1⋅m1λ

v2⋅−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

m1m1λ

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

2

⋅12

12

m1⋅ v12

⋅12

m1λ

⋅ v22

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅=

Εύκολα αποδεικνύεται ότι το ποσοστό μείωσης της κινητικής ενέργειας, γίνεται μέγιστο (1) όταν: λο = 1/2.

λo12

:= pososto λo( ) 1= Απώλεια 100%. Αντίθετες ορμές !

Παρατηρήσατε τώρα ότι:

λ i 1:= λ jλo

2

λ i:= λ j 0.25= pososto λ i( ) 9

10= pososto λ j( ) 9

10=

λ i18

:= λ jλo

2

λ i:= λ j 2= pososto λ i( ) 2

3= pososto λ j( ) 2

3=

2.α Για ποια τιμή του λ, μετά την πλαστική κρούση (αρχικές ταχύτητες αντίρροπες) παρατηρείται απώλεια 50% της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος;

Given

61

Page 72: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 8 ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗ ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

0 1 2 3 4 5 6

10

100

1 .103 ΟΡΜΕΣ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

ΜΑΖΑ ΒΛΗΜΑΤΟΣ / ΜΑΖΑ ΣΤΟΧΟΥ

ΟΡΜΕΣ

(Kg

m /s

) p1

p2 λ( )

PΣ λ( )

λ

Ημιλογαριθμικό διάγραμμα:

PΣ 2( ) 25kg m

s=p2 2( ) 5

kg ms

=p1 20kg m

s=Επιβεβαίωση της ΑΔΟ:

PΣ λ( ) P1 λ( ) P2 λ( )+:=P2 λ( )1

λ 1+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

p1 p2 λ( )+( )⋅:=P1 λ( )λ

λ 1+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

p1 p2 λ( )+( )⋅:=

Μετά την εκτέλεση ευκόλων πράξεων:

P2 m2 V⋅=P1 m1 V⋅=Επίσης:PΣ m1 m2+( ) V⋅=Ορμή Συσσωματώματος:

ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

p2 λ( )m1λ

v2⋅:=p1 20kg m

s=p1 m1 v1⋅:=

ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ (ΟΡΜΕΣ ΟΜΟΡΡΟΠΕΣ)

ΟΡΜΕΣ ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

62

Page 73: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

9-0. ΕΙΣΑΓΩΓΗΤο απόλυτα στερεό σώμα δεν υφίσταται οποιασδήποτε μορφής παραμόρφωση σε αντίθεση με τα •πραγματικά στερεά τα οποία υφίστανται: "εφελκυσμό", "θλίψη", "στρέψη".

Ένα απολύτως στερεό μπορεί να εκτελεί:

1. Μεταφορική κίνηση. Μια δοσμένη χρονική στιγμή όλα τα ΥΣ του στερεού έχουν την ίδια ταχύτητα u με την ταχύτητα •του κέντρου μάζας .Τότε ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο υλικά σημεία του στερεού παραμένει πάντα •παράλληλο προς τον εαυτό του.

2. Περιστροφική κίνηση. Μια δοσμένη χρονική στιγμή όλα τα ΥΣ του στερεού έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω γύρω •από τον άξονα περιστροφής xx΄. Ο άξονας περιστροφής μπορεί να διέρχεται από το κέντρο μάζας ή όχι. •

3. Μεταφορική και Περιστροφική κίνηση συγχρόνως.

9-1. ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ω ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ α

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΑΝΑΦΕΡΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ

Μέση Γωνιακή Ταχύτητα ω: ωavΔθ

Δt=

Στιγμιαία Γωνιακή Ταχύτητα ω: ωtθ

dd

=

Μέση Γωνιακή Επιτάχυνση αav: αavΔω

Δt=

Στιγμιαία Γωνιακή Επιτάχυνση α: αtθ

dd

=

x

y

Δθω

με κατεύθυνσηπρος τα έξω

ω Στο Σχήμα ο άξονας •περιστροφής z είναι κάθετος στο επίπεδο xy.Το στερεό περιστρέφεται •αριστερόστροφα.Η στιγμιαία επιτάχυνση α μπορεί •να είναι ομόρροπη ή αντίρροπη της γωνιακής ταχύτητας ω, αλλά πάντα ομόρροπη της συνολικής ροπής τ περί τον άξονα z.

63

Page 74: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Οι σχέσεις αυτές ισχύουν μόνο στη •στροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση.Στην "επιβραδυνόμενη" όπου τα •διανύσματα ω και α είναι αντίρροπα, το πρόσημο (+) αντικαθίσταται από το (-).

θ θο ωο t⋅+12αang⋅ t2⋅+=θ θο

t1

t2tω

⌠⎮⎮⌡

d+=Γωνιακή Μετατόπιση θ:

ω ωο αang t⋅+=ω

t1

t2tαang

⌠⎮⎮⌡

d=ωtθ

dd

=

Αρχική Στιγμιαία Γωνιακή Ταχύτητα ωο και Τελική ω:

Αρχική Γωνιακή Μετατόπιση θο (ίση ή διαφορετική από το μηδέν).

t t2 t1−=Χρονική διάρκεια t:

αang ct=αang tω

dd

=Στιγμιαία Γωνιακή Επιτάχυνση αang:

9-2. ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΚΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ω

64

Page 75: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Icmi

mi ri2

⋅∑=Ροπή αδράνειας Ιcm στερεού ως προς άξονα περιστροφής z, που διέρχεται από το κέντρο μάζας (CM):

M

i

mi∑=Μάζα στερεού Μ:

Μεταβαλλόμενη Περιστροφική κίνησηΘεωρούμε την περιστροφική κίνηση ενός στερεού γύρω από σταθερό άξονα z. Κάθε υλικό σημείο Ρ του στερεού που δεν ανήκει στον άξονα z εκτελεί κυκλική κίνηση και διαθέτει κινητική ενέργεια . Το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των υλικών σημείων του στερεού αποτελεί την κινητική ενέργειά του λόγω περιστροφής. Ισχύουν οι σχέσεις:

9-4. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

αrad ω2 r⋅=αrad

u2

r=

Ακτινική συνιστώσα αrad της Γραμμικής επιτάχυνσης α lin (ευθύνεται για την αλλαγή της κατεύθυνσης της γραμμικής ταχύτητας u):

αtan αang r⋅=αtan tω r⋅( )d

d=αtan t

udd

=

Εφαπτομενική συνιστώσα αtan της Γραμμικής επιτάχυνσης αlin (ευθύνεται για την αλλαγή του μέτρουτης γραμμικής ταχύτητας u):

αlin αtan2

αrad2

+=αlin→⎯

αtan→⎯⎯

αrad→⎯⎯

+=Γραμμική επιτάχυνση αlin:

u ω r⋅=tsd

d tθ

dd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r⋅=Γραμμική ταχύτητα u:

s θ r⋅=Μήκος τόξου s:

Μεταβαλλόμενη Περιστροφική ΚίνησηΘεωρούμε τη μεταβαλλόμενη περιστροφική κίνηση ενός στερεού γύρω από σταθερό άξονα z. Κάθε υλικό σημείο Ρ του στερεού που δεν ανήκει στον άξονα z εκτελεί κυκλική κίνηση (δες Σχήμα 9-8 σελ. 239 H. Young). Σε χρόνο t το σημείο Ρ διαγράφει τόξο μήκους s, ενώ η επιβατική ακτίνα r διαγράφει επίπεδη γωνία θ (μετρούμενη σε rad). Ισχύουν οι σχέσεις:

9-3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ

65

Page 76: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Η κινητική ενέργεια Κ του στερεού είναι: K

i

12

mi⋅ ω ri⋅( )2⋅∑= ⇒

K

i

12

mi⋅ ω ri⋅( )2⋅∑= ⇒ K12

i

mi ri2

⋅∑⎛⎜⎜⎝⎞⎟⎟⎠

⋅ ω2

⋅= ⇒ K12

Icm⋅ ω2

⋅=

Ροπή αδράνειας ΙP στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής P, παράλληλο προς το z και σε απόσταση d από αυτόν (Θεώρημα παραλλήλων αξόνων του Steiner):

IP Icm M d2⋅+=

Αντιστοιχία μεταφορικής και στροφικής κίνησης

66

Page 77: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΦΑΡΜΟΓΗΘεωρούμε τη στροφική κίνηση ενός στερεού γύρω από σταθερό άξονα z. Η αρχική γωνιακή μετατόπιση ισούται με μηδέν. Δίνεται η γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το χρόνο. Να βρεθούν οι συναρτήσεις ως προς το χρόνο της γωνιακής επιτάχυνσης a και της γωνιακής μετατόπισης θ. Να παρασταθούν τα παραπάνω στροφικά μεγέθη ως προς το χρόνο t.

α 2rad

s2⋅:= β 4

rads

⋅:= γ 8rads

⋅:= δ 1rad

s2⋅:= t 0 s⋅ 0.01 s⋅, 15 s⋅..:=

ω t( ) αt 0 s⋅ t≤ 2 s⋅≤if

β t0⋅ 2 s⋅ t≤ 4 s⋅≤if

γ δ t⋅− 4 s⋅ t≤ 15 s⋅≤if

:=

0 2 4 6 8 10 12 14 16

8

6

4

2

2

4

6

8ΓΩΝ. ΤΑΧ. (rad/s) - t (s)

ΧΡΟΝΟΣ t ΣΕ s

ω 15 s⋅( )

415 s⋅

(4+8+8) rad

-24.5 rad

a t( )tω t( )d

d:=

a t( ) α 0 s⋅ t≤ 2 s⋅≤if

0 2 s⋅ t≤ 4 s⋅≤if

δ− 4 s⋅ t≤ 15 s⋅≤if

:=

67

Page 78: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 9 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 2 4 6 8 10 12 14 16

2

2

4ΓΩΝ. ΕΠΙΤΑΧ. (rad/s^2) - t (s)

ΧΡΟΝΟΣ t ΣΕ s

15 s⋅

θ t( )12α⋅ t2⋅ 0 s⋅ t≤ 2 s⋅≤if

β t⋅12

α( )⋅ 2 s⋅( )2⋅− 2 s⋅ t≤ 4 s⋅≤if

γ t⋅12δ⋅ t2⋅−⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

β 4⋅ s⋅12

α( )⋅ 4⋅ s2⋅−⎡⎢

⎣⎤⎥⎦

− 4 s⋅ t≤ 15 s⋅≤if

:=

0 2 4 6 8 10 12 14 16

5

5

10

15

20

25ΓΩΝΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ θ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ

ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΝΣΗ ΣΕ rad/s^2

ΓΩΝΙΑΚΗ

ΜΕΤΑ

ΤΟΠΙΣΗ

θ ΣΕ

rad

4.5−

θ t( )

2 s⋅ 4 s⋅

t

Κλίση 0

Κλίση 4(ΣΟΚ)

Μετά από 15s:Το στερεό διέγραψε συνολικά γωνία (4+8+8+Ι -24.5 Ι) rad = 44.5 rad.•Η γωνιακή μετατόπιση όμως είναι (4+8+8-24.5) rad = -4.5 rad.•

68

Page 79: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

τ2→⎯

F2→⎯

l2⋅=ήτ2→⎯

r2→

F2→⎯

⋅ sin r2→

F2→⎯

,⎛⎝

⎞⎠⋅=Μέτρο της ροπής τ2:

τ2→⎯

r2→

F2→⎯

×=Ροπή τ2 της δύνμαμης F2 ως προς τον άξονα περιστροφής z:

l2 r2 sin r2→

F2→⎯

,⎛⎝

⎞⎠⋅=Μοχλοβραχίονας l2 της δύναμης F2 ως προς τον άξονα περιστροφής z:

Διάνυσμα θέσης r2 του σημείου εφαρμογής της δύναμης F2 (ως προς τον άξονα περιστροφής z)

Δύναμη F2 και ροπή της τ2

με κατεύθυνσηπρος τα μέσα

τ2

τ2

Ο l1

F1

F2

F3

με κατεύθυνσηπρος τα έξω

τ1

τ1

r2

r1

r3 l2l3 = 0

τ3 = 0

Κατεύθυνση της ροπής τ1: Κάθετα στο επίπεδο σχεδίασης και προς τα έξω.•Αριστερόστροφα (θετική κατά σύμβαση). •

τ1→⎯

F1→⎯

l1⋅=τ1→⎯

r1→

F1→⎯

⋅ sin r1→

F1→⎯

,⎛⎝

⎞⎠⋅=Μέτρο της ροπής τ1:

τ1→⎯

r1→

F1→⎯

×=Ροπή τ1 της δύνμαμης F1 ως προς τον άξονα περιστροφής z:

l1 r1 sin r1→

F1→⎯

,⎛⎝

⎞⎠⋅=Μοχλοβραχίονας l1 της δύναμης F1 ως προς τον άξονα περιστροφής z:

Διάνυσμα θέσης r1 του σημείου εφαρμογής της δύναμης F1 (ως προς τον άξονα περιστροφής z)

Δύναμη F1 και ροπή της τ1

10-1. ΡΟΠΗΤο απόλυτα Στερεό Σώμα του σχήματος μπορεί να στρέφεται περί άξονα z που περνά από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο σχεδίασης.

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10

69

Page 80: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Κατεύθυνση της ροπής τ2: Κάθετα στο επίπεδο σχεδίασης και προς τα μέσα.•Δεξιόστροφα (αρνητική κατά σύμβαση). •

Δύναμη F3 και ροπή της τ3

Διάνυσμα θέσης r3 του σημείου εφαρμογής της δύναμης F3 (ως προς τον άξονα περιστροφής z)

Μοχλοβραχίονας l3 της δύναμης F3 ως προς τον άξονα περιστροφής z: l3 0=

Ροπή τ3 της δύνμαμης F3 ως προς τον άξονα περιστροφής z: τ3→⎯

r3→

F3→⎯

×= ή τ3→⎯

0=

10-2. ΡΟΠΗ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΑπόλυτα Στερεό Σώμα μπορεί να στρέφεται περί σταθερό άξονα z, ως προς τον οποίο η ροπή αδράνειάς του είναι I. Η ροπή τ προσδίδει στο στερεό γωνιακή επιτάχυνση α. Έτσι μεταβάλλονται:

Η γωνιακή μετατόπιση θ.•Η γωνιακή ταχύτητα ω.•Η στροφορμή του L και •Η κινητική ενέργεια K λόγω περιστροφής. •Τα διανύσματα τ και α πάντα είναι ομόρροπα. 1.Αν τα διανύσματα τ και ω είναι ομόρροπα, τότε η κινητική ενέργεια λόγω της περιστροφικής 2.κίνησης αυξάνεται.Αν τα διανύσματα τ και ω είναι αντίρροπα, τότε η κινητική ενέργεια λόγω της περιστροφικής 3.κίνησης μειώνεται.

70

Page 81: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Για περισσότερα δες Παράδειγμα 10-6 σελ. 265 H.

Yoyng.

Pτ τ− ω⋅=Η στιγμιαία ισχύς Pτ της ροπής τ για αντίρροπη γωνιακή ταχύτητα ω είναι:

Pτ τ ω⋅=Η στιγμιαία ισχύς Pτ της ροπής τ για ομόρροπη γωνιακή ταχύτητα ω είναι:

Wτ12

I⋅ ω22

⋅12

I⋅ ω12

⋅−=Το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας ΘΜΚΕ δίνει:

Wτω1

ω2ωI ω⋅

⌠⎮⌡

d=Wτθ1

θ2θτ

⌠⎮⌡

d=Το έργο Wτ της ροπής τ είναι:

Krotation12

I⋅ ω2

⋅=Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω περιστροφικής κίνησης είναι:

Klin12

M⋅ u2⋅=Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω μεταφορικής κίνησης είναι:

αcm R αang⋅=Η γραμμική επιτάχυνση ucm του cm του κυλίνδρου είναι:

ucm R ω⋅=Η γραμμική ταχύτητα ucm του cm του κυλίνδρου είναι:

Παρατήρηση: Θεωρούμε ένα απόλυτα Στερεό Σώμα, για παράδειγμα έναν πλήρη και ομογενή κύλινδρο, που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσης φ. Ο κύλινδρος στρέφεται περί άξονα συμμετρίας z που διέρχεται από το κέντρο μάζας CM και συγχρόνως ο άξονας z μεταφέρεται παράλληλα προς τον εαυτό του. Τότε:

το κέντρο μάζας CM του κυλίνδρου αποκτά γραμμική επιτάχυνση αcm.•ο κύλινδρος αποκτά γωνιακή επιτάχυνση αang περί τον άξονα z.•

Ισχύουν οι σχέσεις:

α→

tω→d

d=μετ

→I α→⋅=

Η ΡΟΠΗ τ ΩΣ ΑΙΤΙΟ ΚΑΙ Η ΓΩΝΙΑΚΗ ΕΠΙΤΧΥΝΣΗ α ΩΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ

71

Page 82: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η κίνηση σε ελλειπτική τροχιά ενός σωμάτιου (πχ δορυφόρου της Γης). Η συνολική ροπή που δέχεται το σωματίδιο είναι μηδέν και γι' αυτό η στροφορμή του L = mur •παραμένει σταθερή. Όταν το σωματίδιο πλησιάζει το κέντρο έλξης του, η ακτίνα μειώνεται και η γραμμική ορμή •αυξάνει.

"Ο χρονικός ρυθμός της στροφορμής L ενός σωμάτιου ισούται με την ροπή τ της συνολικής δύναμης που δρα πάνω του".

2( )tL→d

dτ→

=⇒tL→d

dr

→F→×=⇒

tL→d

dr

→m× αlin

→⎯⋅=Άρα:u

→u→× 0=Αλλά:

tL→d

dm u

→u→×( )⋅ r

→m×

tu→d

d⋅+=⇒

tL→d

d tr

→m× u→⋅

dd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

r→

m×tu→d

d⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

+=⇒L→

r→

m× u→⋅=

Παραγωγίζουμε την (1) ως προς το χρόνο για να βρούμε το χρονικό ρυθμό μεταβολής της στροφορμής :

1( )L→

r→

m× u→⋅=ήL

→r

→p→×=Η Στροφορμή L ενός σωμάτιου ορίζεται ως:

Για ένα σωμάτιο

10-5. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ (ή ΓΩΝΙΑΚΗ ΟΡΜΗ)Κάθε στροφικό μέγεθος είναι ανάλογο κάποιου μεγέθους της γραμμικής κίνησης. Η στροφορμή L στην περιστροφική κίνηση είναι το ανάλογο μέγεθος της γραμμικής ορμής p της γραμμικής κίνησης και αποτελεί ένα σπουδαίο φυσικό μέγεθος όχι μόνο για το μακρόκοσμο αλλά και για το μικρόκοσμο. Υπόκεινται και οι δύο σε θεμελιώδεις περιοριστικούς νόμους διατήρησης (Διατήρηση της ορμής - Διατήρηση της Στροφορμής).

I

i

mi ri2

⋅∑=Ροπές αδράνειας μερικών στερεών

72

Page 83: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Όταν το άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα σύστημα σωματίων •είναι μηδέν τότε η ολική στροφορμή του διατηρείται. Αυτό δεν σημαίνει ότι αναγκαστικά διατηρείται η στροφορμή καθενός σωματίου του συστήματος.

Διατήρηση της στροφορμής ενός συστήματος σωματίων

Αν ο άξονας περιστροφής έχει σταθερό προσανατολισμό στο χώρο, τότε δεν μεταβάλλεται η ροπή αδράνειας Ι του στερεού αλλά η αλγεβρική τιμή και όχι η διεύθυνση της γωνιακής του ταχύτητας ω.

4( )tL→d

dΣ τ→

=Αν η ολική στροφορμή ενός στερεού σώματος είναι L και το άθροισμα των εξωτερικών ροπών είναι Στ τότε ισχύει:

Αντιστοιχία γραμμικής και στροφικής ορμής (Στροφορμής).

3( )L→

I ω→⋅=ήL

i

mi ri2

⋅∑⎛⎜⎜⎝⎞⎟⎟⎠

ω→⋅=ήL

i

Li→

∑=

Η Στροφορμή L ενός στερεού σώματος με i το πλήθος σωμάτια, που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω περί άξονα z ορίζεται ως:

Για ένα απόλυτα στερεό σώμα

L σταθ=L m u⋅ r⋅ sinθ⋅=Σχέση Μέτρων:

L→

r→

m× u→⋅=Σχέση διανυσματική:

73

Page 84: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Η ολική στροφορμή ενός απομονωμένου συστήματος είναι σταθερή.•

tL→d

d0=Οι εξισώσεις:

tL→d

dΣ τ→

= και Σ τ→

0= Δίνουν:

Περιστρεφόμενο σκαμνί

Αρχικά η ρόδα περιστρέφεται έτσι ώστε η στροφορμή της Ιω να είναι προς τα πάνω. Ο φοιτητής •και το σκαμνί είναι ακίνητα. Το σκαμνί στηρίζεται με τη χρήση ενός ρουλεμάν πολύ καλής ποιότητας στο δάπεδο, έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα.

Εάν ο φοιτητής αναποδογυρίσει τη ρόδα, η στροφορμή της Ιω είναι τώρα προς τα κάτω. Αλλά •δεδομένου ότι δεν υπάρχει κάποια εξωτερική δύναμη για να ασκήσει μια σημαντική ροπή στο σύστημα, η στροφορμή του συστήματος πρέπει να έχει τιμή όσο η αρχική δηλαδή Ιω πρός τα πάνω. Τώρα ο φοιτητής και το σκαμνί αρχίζουν να περιστρέφονται με στροφορμή διπλάσια από αυτήν της ρόδας αλλά προς τα πάνω.

10-7. ΓΥΡΟΣΚΟΠΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΑΣ ΤΩΝ ΣΤΡΟΦΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ

Η γωνιακή ταχύτητα ω, η στροφορμή L και η ροπή τ είναι διανυσματικά μεγέθη. Για ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται περί σταθερό άξονα που είναι άξονας συμμετρίας του οι διευθύνσεις (όχι αναγκαστικά οι κατευθύνσεις) των τριών αυτών διανυσματικών μεγεθών συμπίπτουν με τον άξονα περιστροφής. Τότε η περιστροφική κατάσταση είναι παρόμοια με την ευθύγραμμη κίνηση ενός σωματάτιου. Αναφρόμενοι στο παρακάτω σχήμα μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι:

Αν η εφαρμοζόμενη (εξωτερική) ροπή τ έχει την κατεύθυνση των L και ω τότε την ίδια •κατεύθυνση θα έχει όχι μόνο η διανυσματική μεταβολή της ω άρα και η γωνιακή επιτάχυνση dω/dt, αλλά και η διανυσματική μεταβολή της L, η dL άρα και η dL/dt που δεν είναι άλλη με την ροπή τ. Πρόκειται για επιταχυνόμενη περιστροφική κίνηση. Μόνο αν η τ είναι διανυσματικά σταθερή τότε η κίνηση θα είναι ομαλά επιταχυνόμενη.

Αν η εφαρμοζόμενη (εξωτερική) ροπή τ έχει αντίθετη κατεύθυνση από αυτή των L και ω τότε την •αντίθετη κατεύθυνση θα έχει όχι μόνο η διανυσματική μεταβολή της ω άρα και η γωνιακή επιτάχυνση dω/dt, αλλά και η διανυσματική μεταβολή της L, η dL άρα και η dL/dt που δεν είναι άλλη με την ροπή τ. Πρόκειται για "επιβραδυνόμενη" περιστροφική κίνηση. Μόνο αν η τ είναι διανυσματικά σταθερή τότε η κίνηση θα είναι ομαλά επιβραδυνόμενη.

74

Page 85: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Όταν ο άξονας περιστροφής αλλάζει διεύθυνση στον τρισδιάστατο χώρο τότε παρουσιάζεται κατάσταση πλουσιότερη όσον αφορά την ποικιλία των φυσικών φαινομένων μερικά από τα οποία είναι απροσδόκητα:

Πώς γίνεται άραγε να περιστρέφεται μια σβούρα (στρόμβος) σε οριζόντιο έδαφος; •Πώς γίνεται άραγε να παραμένει οριζόντιος ο άξονας περιστροφής ενός γυροσκοπίου που •στροβιλίζεται ενώ στηρίζεται μόνο στο ένα άκρο του;

Μετάπτωση της στροβιλιζόμενης σβούρας ή στρόμβου. Μια απλή προσέγγιση.

Θεωρούμε μια γρήγορα ιδιοπεριστρεφόμενη (στροβιλιζόμενη) σβούρα της οποίας η αρχική στροφορμή είναι L. Στη σβούρα ενεργούν δύο δυνάμεις. Το βάρος w = mg και η δύναμη επαφής N από το έδαφος.

Το βάρος mg, που είναι κατακόρυφο •προς τα κάτω, προκαλεί ως προς το σημείο στήριξης ροπή τ = mgx της οποίας η διεύθυνση είναι συνεχώς οριζόντια, αφού βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο κάθετο στον κατακόρυφο άξονα γύρω από τον οποίο γίνεται η μετάπτωση. Η δύναμη επαφής Ν δίνει ως προς το •σημείο στήριξης μηδενική ροπή.Το διάνυσμα της στροφορμής L •διαγράφει κωνική επιφάνεια γύρω από το σημείο στήριξης. Το διάνυσμα Lsinφ διαγράφει οριζόντιο κυκλικό δίσκο, ενώ το διάνυσμα ΔL είναι συνεχώς εφαπτόμενο στον οριζόντιο κύκλο.Η γωνιακή ταχύτητα της μετάπτωσης •ωP είναι αντιστρόφως ανάλογη προς τη γωνιακή ταχύτητα ιδιοπεριστροφής (στροβιλισμού) ω. Έτσι η μετάπτωση είναι γρηγορότερη και περισσότερο έντονη καθώς η σβούρα λόγω των μη μηδενικών τριβών επιβραδύνεται. Η γωνιακή ταχύτητα της μετάπτωσης ωP είναι:

Κατεύθυνσημετάπτωσηςτης σβούρας

Στροφορμή απόιδιοπεριστροφή

Κατεύθυνσηιδιοπεριστροφήςτης σβούρας

Η βαρυτική ροπή mgx παράγει τημετάπτωση

Οι σχέσεις αυτές αναφέρονται στο επόμενο σχήμα:

75

Page 86: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ωpΔθ

Δt= ⇒ ωp

ΔLL sinφ⋅( )

1Δt⋅= ⇒ ωp

τ

L sinφ⋅= ⇒

ωpm g⋅ r⋅ sinφ⋅

L sinφ⋅= ⇒ ωp

m g⋅ r⋅I ω⋅

=

Μετάπτωση του περιστροφόμενου γυροσκοπίου

Ένας χαρακτηριστικός τύπος γυροσκοπίου είναι αυτός με την ανάρτηση ενός σχετικά ογκώδους στροφέα (τροχού) μέσα σε τρία δαχτυλίδια, τα οποία αποκαλούνται αναρτήρες. Τοποθετώντας υψηλής ποιότητας ρουλεμάν, σε κάθε ένα από αυτούς τους αναρτήρες, εξασφαλίζεται η ελάχιστη δυνατή εξωτερική ροπή, που μπορεί να ασκηθεί στον εσωτερικό στροφέα.

76

Page 87: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Το διάνυσμα ωp→⎯

είναι κατακόρυφο προς τα πάνω.

ωpm g⋅ r⋅I ω⋅

=

ωp→⎯

Άποψη από πάνω

77

Page 88: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Η στροφορμή L = Ιω λόγω ιδιοπεριφοράς (στροβιλισμού), βρίσκεται κατά μήκος του άξονα •περιστροφής που είναι και άξονας συμμετρίας.Η ροπή του βάρους τ = mgl ως προς το σημείο ανάρτησης είναι σε μια διεύθυνση κάθετη στη •στροφορμή L.Η ροπή του βάρους mgl παράγει μια διανυσματική μεταβολή ΔL που είναι κάθετη στην L. Αυτή •η διανυσματική μεταβολή ΔL, προκαλεί μια αλλαγή στην κατεύθυνση της L όπως παρουσιάζεται στο σχήμα αλλά όχι μια αλλαγή στο μέτρο της. Αυτή η κυκλική κίνηση μετάπτωση.

Ερωτήσεις:Στη σβούρα, στο γυροσκόπιο αλλά και στον •εικονιζόμενο στρεφόμενο τροχό που εκτελεί μετάπτωση, πρέπει κάπου να κρύβεται και η κεντρομόλος δύναμη. Ποια είναι η άποψή σας.Μπορείτε να φαντασθείτε εφαρμογές του γυροσκοπίου; •

78

Page 89: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

F t( ) z t⋅:=

Η μεταβλητή χρονικά ροπή τ της F είναι: τ t( ) r F t( )⋅:=

Η γωνιακή επιτάχυνση που προσδίδει η τ στο Δ είναι: α t( )τ t( )

I:=

Μετά από χρόνο tx: tx 10 s⋅:=

Η τελική γωνιακή ταχύτητα ω του Δ είναι: ω t( ) ωo0

ttα t( )

⌠⎮⌡

d+:= ω tx( ) 7rads

=

Η τελική κινητική ενέργεια Κ του Δ είναι: K t( )12

I⋅ ω t( )2⋅:= K tx( ) 0.49 J=

Η τελική στροφορμή L του Δ είναι: L t( ) I ω t( )⋅:= L tx( ) 0.14kg m2

s=

Η τελική ροπή τ της F είναι: τ tx( ) 0.02 N m⋅=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1Ο πλήρης ομογενής δίσκος Δ (Ο, r) του σχήματος μάζας M στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ωο γύρω από σταθερό άξονα Ox, κάθετο στο επίπεδό του. Τη χρονική στιγμή μηδέν δρα πάνω του δύναμη F συνεχώς εφαπτόμενη στο Δ, της οποίας το μέτρο είναι γραμμική συνάρτηση του χρόνου.

x

O

F

r

τ

ω

dω/dt

Δίνονται: r 0.2 m⋅:= M 1 kg⋅:=

Την αρχική χρονική στιγμή:

Η ροπή αδράνειας του Δ ως προς τον άξονα Οx είναι: I12

M⋅ r2⋅:= I 0.02 kg m2=

Η αρχική γωνιακή ταχύτητα ωο του Δ είναι: ωo 2rads

⋅:=

Η αρχική κινητική ενέργεια Κο του Δ είναι: Ko12

I⋅ ωo2

⋅:= Ko 0.04 J=

Η αρχική στροφορμή Lο του Δ είναι: Lo I ωo⋅:= Lo 0.04kg m2

s=

Η μεταβλητή χρονικά δύναμη F είναι: z 10 2− Ns⋅:=

79

Page 90: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

0 2 4 6 8 10 120

5

10ω (rad/s) ως προς t (s)

ω tx( )

ω t( )

tx

t

Κλίση 0.4

α 4 s⋅( ) 0.4rad

s2=

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2α (rad/s^2) ως προς t (s)

α tx( )

α t( )

tx

t

t c cd c−

1000+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

, d..:=d tx:=c 0 s⋅:=

Εισάγουμε το κάτω και άνω όριο του διαστήματος του t:

Pav tx( ) 9200

W=Pav t( )K t( ) Ko−

t:=Η μέση ισχύς Pav που παρέχει η ροπή τ στο Δ είναι:

P tx( ) 750

W=P t( ) τ t( ) ω t( )⋅:=Η στιγμιαία ισχύς P που παρέχει η ροπή τ στο Δ είναι:

ΔK tx( ) 0.45 J=ΔK t( ) K t( ) Ko−:=Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι:

Wτ tx( ) 0.45 J=Wτ t( )0

ttτ t( ) ω t( )⋅

⌠⎮⌡

d:=Το έργο Wτ της ροπής τ είναι:

θ tx( ) 1103

rad=θ t( )0

ttω t( )

⌠⎮⌡

d:=Η γωνιακή μετατόπιση θ του Δ είναι:

80

Page 91: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

0 2 4 6 8 10 120

10

20

30

40θ (rad) ως προς t (s)

θ tx( )

θ t( )

tx

t

0 2 4 6 8 10 120

0.05

0.1

0.15L (Kgm^2/s) ως προς t (s)

L tx( )

L t( )

τ t( )

tx

t

ω 4 s⋅( ) 2.8rads

=

Κλίση 2.8

Κλίση 16x10-3

τ 8 s⋅( ) 0.016 N m⋅=τ 2 s⋅( ) 4 10 3−× N m⋅=

Κλίση 4x10-3

Κλίση 8x10-3

τ 4 s⋅( ) 8 10 3−× N m⋅=

81

Page 92: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Η μέση ισχύς της συνολικής ροπήςγια χρονικό διάστημα t είναι:

Pmean t α,( )K t α,( )

t:=

Η γωνιακή μετατόπιση θ του στρόβιλουως συνάρτηση του χρόνου είναι:

θ t α,( )0 s⋅

ttω t α,( )

⌠⎮⌡

d:=

Το πλήθος των περιστροφών του στρόβιλουως συνάρτηση του χρόνου είναι:

N t α,( )θ t α,( )

2 π⋅:=

Την αρχική χρονική στιγμή 2s:

Με δoσμένη τη σταθερά α: α 400rad

s3⋅:=

Η στροφορμή L του στρόβιλου είναι: L 2 s⋅ α,( ) 4 103×kg m2

s=

Η συνολική ροπή που δρα στο στρόβιλο είναι: τ 2 s⋅ α,( ) 4 103× Nm=

Η κινητική ενέργεια Κ του στρόβιλου είναι: K 2 s⋅ α,( ) 3.2 106× J=

Η ισχύς της συνολικής ροπής είναι: Pτ 2 s⋅ α,( ) 6.4 106× W=

Η ισχύς της συνολικής ροπής επίσης είναι: PΚ 2 s⋅ α,( ) 6.4 106× W=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2ΑΣΚΗΣΗ 10-12 / ΣΕΛ 10-12 H. YOUNGΟ στρόβιλος μιας τουρμπίνας αεριωθούμενου αεροπλάνου έχει ροπή αδράνειας Ι = 2.5 kgm 2 ως προς τον άξονα περιστροφής του. Η γωνιακή ταχύτητα ως συνάρτηση του χρόνου είναι ω = αt 2 όπου α = 400rad/s3.

Δίνονται:

Η ροπή αδράνειας του στρόβιλου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι: I 2.5 kg⋅ m2⋅:=

Η γωνιακή ταχύτητα ω του στρόβιλου είναι: ω t α,( ) α t2⋅:=

Η στροφορμή L του στρόβιλουως συνάρτηση του χρόνου είναι:

L t α,( ) I ω t α,( )⋅:= L t α,( ) 2.5 kg⋅ m2⋅ α⋅ t2⋅→

Η συνολική ροπή τ που δρα στο στρόβιλοως συνάρτηση του χρόνου είναι oχρονικός ρυθμός της στροφορμής:

τ t α,( )tL t α,( )d

d:= τ t α,( ) 5.0 kg⋅ m2

⋅ α⋅ t⋅→

Η γωνιακή επιτάχυνση που προσδίδει η ροπή στο στρόβιλο ως συνάρτηση του χρόνου είναι:

arev t α,( )τ t α,( )

I:=

Η κινητική ενέργεια Κ του στρόβιλουως συνάρτηση του χρόνου είναι:

K t α,( )12

I⋅ ω t α,( )2⋅:=

Η ισχύς της συνολικής ροπήςως συνάρτηση του χρόνου είναι:

Pτ t α,( ) τ t α,( ) ω t α,( )⋅:=

Η ισχύς της συνολικής ροπήςως συνάρτηση του χρόνου επίσης είναι:

PΚ t α,( )tK t α,( )d

d:=

82

Page 93: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

0 0.5 1 1.5 20

1000

2000

3000

4000

5000

Στροφορμή L (Kgm^2/s) ως προς το χρόνο t (s)Ροπή τ (Νm) ως προς το χρόνο t (s)

L t α,( )

τ t α,( )

t

0 0.5 1 1.5 20

500

1000

1500

2000

θ t α,( )

ω t α,( )

arev t α,( )

t

Η μέση ισχύς της συνολικής ροπήςγια χρονικό διάστημα t είναι:

Pmean 2 s⋅ α,( ) 1.6 106× W=

Η γωνιακή μετατόπιση θ του στρόβιλου είναι: θ 2 s⋅ α,( ) 1.067 103× rad=

Το πλήθος των περιστροφών του στρόβιλου είναι: N 2 s⋅ α,( ) 169.765=

Γραφήματα:

Γωνιακή μετατόπιση θ (rad), Γωνιακή ταχύτητα ω (rad/s) και Γωνιακή επιτάχυνση α (rad/s^2)

ως προς το χρόνο t (s)

Στροφορμή L (Kgm^2/s) καιΡοπή τ (Νm) ως προς το χρόνο t (s)

ως προς το χρόνο t (s)

83

Page 94: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

0 0.5 1 1.5 20

1 .106

2 .106

3 .106

4 .106

5 .106

6 .106

7 .106

Κινητική ενέργεια Κ (J) ως προς το χρόνο t (s)Ισχύς ροπής Ρτ (W) ως προς το χρόνο t (s)Ρυθμός μεταβ. Κιν Ενέργειας dK/dt (J/s) ως προς το χρόνο t (s)

Pτ 2 s⋅ α,( )

Pmean 2 s⋅ α,( )

K t α,( )

Pτ t α,( )

PΚ t α,( )

t

που παριστάνει έλλειψη με κέντρο το (0, 0), μήκος μεγάλου άξονα 2α και μήκος μικρού άξονα 2β.

x2

α2

y2

β2

+ 1=

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2sin ω t⋅( )( )2=

sin ω t⋅( )=y β sin ω t⋅( )⋅=

⇒⇒⇒

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2cos ω t⋅( )( )2=

cos ω t⋅( )=x α cos ω t⋅( )⋅=

⇒r→

α cos ω t⋅( )⋅ xμ→⎯⋅ β sin ω t⋅( )⋅ yμ

→⎯⋅+=Από το διάνυσμα θέσης προκύπτει:

1. Να δείξετε ότι η εξίσωση της τροχιάς παριστάνει έλλειψη σε καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y).

τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες x και y αντίστοιχα.yμ→⎯

καιxμ→⎯α, β, ω, θετικές σταθερές, t ο χρόνος,

όπου: r→

α cos ω t⋅( )⋅ xμ→⎯⋅ β sin ω t⋅( )⋅ yμ

→⎯⋅+=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3Σωμάτιο Σ μάζας m κινείται σε πεδίο δυνάμεων και η θέση του δίνεται από το διάνυσμα θέσης:

Pmean 2 s⋅ α,( ) 1.6 106× W=Pτ 2 s⋅ α,( ) 6.4 106× W=

Κινητική ενέργεια Κ (J),Ισχύς ροπής Ρτ (W) και

Ρυθμός μεταβ. Κιν Ενέργειας dK/dt (J/s) ως προς το χρόνο t (s)

84

Page 95: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Lx→

0=

Ly→

0=

Lz→⎯

m α β⋅ ω⋅⋅ zμ→⎯⋅= χρονικώς ανεξάρτητη Στροφορμή

4. Να βρεθεί η χρονική έκφραση της δύναμης F και να δείξετε ότι είναι κεντρική άρα και συντηρητική. Να υπολογίσετε τη ροπή τ και από το αποτέλεσμα να επιβεβαιώσετε ότι η στροφορμή διατηρείται.

F→

m a→⋅= ⇒ F

→m− ω

2⋅ r

→⋅= Δύναμη κεντρική

τ→

r→

F→×= ⇒ τ

→r

→m− ω

2⋅ r

→⋅( )×= ⇒ τ

→m− ω

2⋅ r

→r

→×( )⋅= ⇒ τ

→0= ⇒

tL→d

d0= ⇒ L

→σταθερή=

2. Με εκκίνηση τη χρονική σχέση που δίνει το διάνυσμα θέσης να βρεθούν οι χρονικές εκφράσεις της ταχύτητας υ και της επιτάχυνσης a.

r→

α cos ω t⋅( )⋅ xμ→⎯⋅ β sin ω t⋅( )⋅ yμ

→⎯⋅+=

υ→

tr

→dd

= υ→

α− ω⋅ sin ω t⋅( )⋅ xμ→⎯⋅ β ω⋅ cos ω t⋅( )⋅ yμ

→⎯⋅+= χρονική έκφραση της ταχύτητας

a→

tυ→d

d= a

→α− ω

2⋅ cos ω t⋅( )⋅ xμ

→⎯⋅ β ω

2⋅ sin ω t⋅( )⋅ yμ

→⎯⋅−= χρονική έκφραση της επιτάχυνσης

a→

ω2

− r→⋅=

3. Να βρεθεί η χρονική έκφραση της γραμμικής ορμής και εκκινώντας από τον ορισμό της στροφορμής (στροφικής ορμής) ως προς την αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι είναι χρονικώς ανεξάρτητη.

p→

m υ→⋅= ⇒ p

→m ω α− sin ω t⋅( )⋅ xμ

→⎯⋅ β cos ω t⋅( )⋅ yμ

→⎯⋅+⎛

⎝⎞⎠⋅= χρονική έκφραση της ορμής

L→

r→

p→×= ⇒ L

→m r→⋅ υ

→×= ⇒ L

→m

xμ→⎯

α cos ω t⋅( )⋅

α− ω⋅ sin ω t⋅( )⋅

yμ→⎯

β sin ω t⋅( )⋅

β ω⋅ cos ω t⋅( )⋅

zμ→⎯

0

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

⋅=⇒

L→

m 0 xμ→⎯⋅ 0 yμ

→⎯⋅+ α β⋅ ω⋅ zμ

→⎯⋅+⎛

⎝⎞⎠⋅=

85

Page 96: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 10 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Ο χρονικός ρυθμός της στροφορμής του σωματίου ισούται με την ροπή της συνολικής δύναμης που δρα πάνω του.Η συνολική ροπή που δέχεται το σωματίδιο είναι μηδέν και γι' αυτό η στροφορμή του L = mur παραμένει σταθερή. Όταν το σωματίδιο πλησιάζει προς το κέντρο έλξης του, η ακτίνα r μειώνεται και η γραμμική ορμή p αυξάνει.

L→

r→

m× u→⋅= L m u⋅ r⋅ sinθ⋅=

86

Page 97: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

Η ένταση g (σε N/kg) στη θέση Λ του βαρυτικού πεδίου της Γης, ισούται με το λόγο της βαρυτικής έλξης w που ασκεί η Γη σε ένα σωμάτιο Σ μάζας m που βρίσκεται στη θέση Λ, προς τη μάζα m. Η ένταση g έχει την κατεύθυνση της δύναμης w στη θέση Λ:

12-3. ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

w GmE m⋅

r2⋅=ήw Fg=

Θεωρούμε τη Γη πλήρη, ομογενή και ακίνητη σφαίρα μάζας mE κέντρου Κ και ακτίνας R, πολύ μακριά από άλλα ουράνια σώματα. Ένα μικρό σώμα Σ μάζας m που βρίσκεται στη θέση Λ θα δέχεται από τη Γη ελκτική δύναμη w όπου r η μεταξύ των κέντρων μάζας απόσταση:

Βάρος w ενός σώματος Σ ορίζουμε την ολική βαρυτική (Νευτώνεια) δύναμη που ασκείται στο Σ •από όλα τα άλλα σώματα στο σύμπαν.Όταν το Σ βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της Γης μπορούμε να αγνοήσουμε τις άλλες βαρυτικές •δυνάμεις και να θεωρήσουμε ως βάρος του Σ μόνο τη βαρυτική έλξη της Γης.Όταν το Σ βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της Σελήνης μπορούμε να αγνοήσουμε τις άλλες •βαρυτικές δυνάμεις και να θεωρήσουμε ως βάρος του Σ μόνο τη βαρυτική έλξη της Σελήνης.

12-2. ΒΑΡΟΣ

Επαλληλία βαρυτικών δυνάμεωνΓια τον υπολογισμό της συνολικής ελκτικής δύναμης που δέχεται ένα σωμάτιο από τα i το πλήθος υπόλοιπα σωμάτια ενός συστήματος εφαρμόζεται η αρχή της επαλληλίας.

Ο ίδιος ακριβώς νόμος ισχύει αν:Τα δύο πλήρη και ομογενή σώματα έχουν σφαιρική κατανομή, ανεξάρτητα από την μεταξύ τους •απόσταση r.Τα δύο σώματα βρίσκονται σε πολύ μεγάλη απόσταση r οπότε μπορούν να εκληφθούν σαν •σωμάτια.

G 6.67 10 11−⋅N m2⋅

kg2⋅:=

Η βαρυτική σταθερά G εξαρτάται μόνο από το σύστημα μονάδων μέτρησης και παίζει σπουδαίο ρόλο στη συγκρότηση του σύμπαντος . Μετρήθηκε από τον Henry Cavendish (Κάβεντις) το 1798 με ειδικό ζυγό στρέψης. Δες R. Feynman " Ο Χαρακτήρας του Φυσικού Νόμου". Η βαρυτική σταθερά G στο SI είναι:

Fg1 Gm1 m2⋅

r2⋅=Fg1

→⎯Fg2→⎯

=Fg1→⎯

Fg2→⎯

+ 0=

Κάθε σωμάτιο ύλης, μάζας m1 στο σύμπαν, έλκει κάθε άλλο σωμάτιο μάζας m2 με μια δύναμη Fg που είναι ανάλογη προς το γινόμενο των μαζών τους m1 και m2 και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της μεταξύ τους απόστασης r. Η δύναμη αυτή είναι κεντρική και διατηρητική.Οι αναπτυσσόμενες δυνάμεις είναι αντίθετες και έχουν διεύθυνση την ευθεία που ενώνει τα δύο σωμάτια. Ισχύουν οι σχέσεις:

Σ1, m1

Fg1

Σ2, m2

Fg2

r

12-1. ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΓΙΑ ΤΗ ΒΑΡΥΤΗΤΑ (ΝΟΜΟΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ)

ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12

87

Page 98: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

2( )minE ρ43⋅ π⋅ R h−( )3

⋅=

Η μάζα της εσωτερικής σφαίρας είναι:

1( )mE ρ43⋅ π⋅ R3

⋅=

Η μάζα της Γης είναι:

ΓΗ

h

K

(R-h)

minE

gh

Θεωρούμε τη Γη πλήρη, ομογενή (εξωπραγματικό!!), ακίνητη(!!) σφαίρα(!!) μάζας mE κέντρου Κ, ακτίνας R, πυκνότητας ρ, πολύ μακριά από άλλα ουράνια σώματα. Ένα μικρό σώμα Σ μάζας m που βρίσκεται στη θέση Λ σε βάθος h από την επιφάνεια θα δέχεται δύο βαρυτικές δυνάμεις:

Μια από τη σφαίρα ακτίνας (R-h) και μάζας •minE καιμια από το φλοιό πάχους h. •

Αποδεικνύεται ότι η δύναμη από το φλοιό ισούται με μηδέν και έτσι απομένει η δύναμη από την εσωτερική σφαίρα μάζας minE.

Μεταβολή του g μετά του βάθους h από την επιφάνεια της Γης

gH gοR2

R H+( )2⋅=Διαιρώντας κατά μέλη τελικά παίρνουμε:

gο GmE

R2⋅=Σε ύψος μηδέν από την επιφάνεια η ένταση gο είναι:

gH GmE

R H+( )2⋅=Σε ύψος H από την επιφάνεια η ένταση gΗ είναι:

g 9.8m

s2=

Η επιτάχυνση g ως κινηματικό μέγεθος (σε m/s2)Η επιτάχυνση g που προσδίδει σε κάθε σώμα το βάρος του w (κινηματικό μέγεθος σε m/s2) στην επιφάνεια της Γης είναι προσεγγιστικά:

g GmE

r2⋅=ήg

wm

=Η ένταση g ως πεδιακό μέγεθος (σε N/kg)Η ένταση g του πεδίου της Γης στη θέση Λ που βρίσκεται στο Σ έχει κατεύθυνση προς το κέντρο Κ της Γης και είναι:

Μεταβολή του g μετά του ύψους H από την επιφάνεια της Γης

Να δοθεί προσοχή στο Παράδειγμα 12-6 της σελ. 323 του βιβλίου H. Young

g GmE

r2⋅=ήg

wm

=(Σ, m)

w

r

(mE, R)

Fg

KΛg

ΓΗ

H

Οριζόντιο

επίπεδο

88

Page 99: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

g r( ) gοrR⋅ 0 r< R≤if

gοR2

r2⋅ otherwise

:=

a 0 m⋅:= b 24 106⋅ m⋅:= r a ab a( )−

10000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=

0 6 .106 1.2 .107 1.8 .107 2.4 .1070

2.5

5

7.5

10

gο

9

gο

g r( )

R

93 R⋅

r

Επιτάχυνση της βαρύτητας g ως προς την απόστασηr από το κέντρο της Γης

g gοR2

r2⋅=g gο

rR⋅=

Υπάρχει πάντα ένα ζεύγος αποστάσεων r1 και r2 από το κέντρο της Γης για το οποίο οι εντάσεις είναι ίσες. Οι αποστάσεις αυτές ικανοποιούν τη σχέση: r1 r2

2⋅ R3=

Με x θετικό πραγματικό αριθμό, αν η μια απόσταση είναι: r1R

x2=

Η άλλη θα είναι: r2 x R⋅=

Και τότε η επιτάχυνση θα είναι: ggo

x2=

Στο γράφημα έχει επιλεγεί x = 3

Σε βάθος h από την επιφάνεια η ένταση gh είναι: gh GminE

R h−( )2⋅= 3( )

Οι (3) και(4) δίνουν:

Σε βάθος μηδέν από την επιφάνεια η ένταση gο είναι: gο GmE

R2⋅= 4( )

και με τη βοήθεια των (1) και (2):

ghgο

R2

R h−( )2

minEmE

⋅=ghgο

R2

R h−( )2

R h−( )3

R3⋅= ⇒ gh gο

R h−( )R

⋅=

Δίνονται:gο 9.8

m

s2⋅:=Επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης:

Ακτίνα Γης: R 6.38 106⋅ m⋅:=

Κλίμακα απόστασης r από το κέντρο της Γης:

89

Page 100: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

⇒ T2 π⋅ R H+( )⋅

Rgο

R H+( )⋅

= ⇒ T2 π⋅ R H+( )⋅

RR H+( )

gο⋅= 4( )

Άρα: Το τετράγωνο της περιόδου Τ είναι ανάλογο προς τον κύβο της απόστασης r (r = R+H). (3ος Νόμος Kepler για τις κινήσεις των πλανητών σε ελλειπτική τροχιά).

Σε ύψος μηδέν η περίοδος Το του Δ θα είναι:

4( )

⇒ Tο2 π⋅ R⋅

RR

GmE

R2⋅

⋅= ⇒ Tο 2 π⋅R3

G ρ⋅43⋅ π⋅ R3

⋅= ⇒

Tο3 π⋅

G ρ⋅= 5( )

Καθώς αυξάνεται το ύψος περιφοράς H του Δ αυξάνεται η περίοδος Τ.•Σε ύψος μηδέν επιτυγχάνεται η ελάχιστη περίοδος Το •Η Το εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από την πυκνότητα ρ του υλικού της Γης!•

Κλίμακα απόστασης Η από την επιφάνεια της Γης: a 0 m⋅:= b 24 106⋅ m⋅:=

Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας είναι: u H( ) Rgο

R H+( )⋅:= H a a

b a( )−

10000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=

Το μέτρο της πρώτης κοσμικής ταχύτητας είναι: u 0 m⋅( ) 7.907 103×ms

=

12-5. ΚΙΝΗΣΗ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ

Στην πιο απλή περίπτωση η κίνηση ενός τεχνητού δορυφόρου Δ της Γης, μάζας m σε ύψος H από την επιφάνεια μπορεί να θεωρηθεί ως Κυκλική Ομαλή.

Το μέτρο της ταχύτητας u και της γραμμικής ορμής p του Δ παραμένει χρονικά σταθερό, αλλά τα •αντίστοιχα διανύσματα αλλάζουν αφού ασκείται πάνω του η έλξη της Γης.Η στροφορμή L του Δ παραμένει σταθερή αφού η ροπή τ του βάρους που ασκείται είναι μηδενική.•

Ο δεύτερος νόμος της κίνησης του Νεύτωνα δίνει:

Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας u

1( )

m gH⋅ mu2

R H+( )⋅= 1( ) αλλά: gH gο

R2

R H+( )2⋅= 2( ) ⇒ gο

R2

R H+( )2⋅

u2

R H+( )= ⇒

gοR2

R H+( )⋅ u2= ⇒ u R

gοR H+( )

⋅= 3( )

Σε ύψος μηδέν: u R gο⋅:= u 7.907 103×ms

= Μέτρο της Πρώτης Κοσμικής Ταχύτητας

Έχουμε θεωρήσει τη Γη πλήρη, ομογενή, ακίνητη σφαίρα χωρίς ατμόσφαιρα. •Σε ύψος μηδέν επιτυγχάνεται ταχύτητα του Δ με το μεγαλύτερο μέτρο που ονομάζεται πρώτη κοσμική ταχύτητα.

Καθώς αυξάνεται το ύψος περιφοράς H του Δ μειώνεται το μέτρο της ταχύτητα u.•

Υπολογισμός της περιόδου Τ

3( )

T2 π⋅ R H+( )⋅

u=

90

Page 101: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

Η περίοδος της κυκλικής περιφοράς είναι: T H( )2 π⋅ R H+( )⋅

RR H+( )

gο⋅:=

Η περίοδος σε ύψος μηδέν είναι: T 0 m⋅( ) 5.07 103× s= ή T 0 m⋅( ) 1.408 hr=

0 6 .106 1.2 .107 1.8 .107 2.4 .1072000

4000

6000

8000

1 .104

Μέτρο γραμ. ταχύτητας (m/s) ως προς το ύψος Η (m)

u R( )

u 0 m⋅( )

u H( )

R 2 R⋅

H

Κ.Ο.Κ.ΤΕΧΝΗΤΟΥ ΔΟΡΥΦΟΡΟΥ

u Rgο

R H+( )⋅=

Η περίοδος της κυκλικής περιφοράς σε ώρες είναι: T H( )1

36002 π⋅ R H+( )⋅

RR H+( )

gο⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

0 6 .106 1.2 .107 1.8 .107 2.4 .1070

3.75

7.5

11.25

15

Περίοδος Τ (h) ως προς το ύψος Η (m)

T R( )

T 0 m⋅( )

T H( )

R 2 R⋅

H

T1

36002 π⋅ R H+( )⋅

RR H+( )

gο⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅=

Υπολογισμός ύψους Hgeostatic ενός Γεωστατικού ή Γεωστάσιμου ή Σύγχρονου Δορυφόρου Οι γεωστάσιμοι δορυφόροι είναι δορυφόροι Στρατιωτικοί, Τηλεπικοινωνιακοί, Μετεωρολογικοί ή Ερευνητικοί και κινούνται συγχρόνως με τη Γη σε ορισμένο ύψος στο επίπεδο του Ισημερινού. Έχουν γωνιακή ταχύτητα περιφοράς ίση με τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης με αποτέλεσμα να "βλέπουν" συνεχώς την ίδια περιοχή της επιφάνειάς της. Με τη βοήθεια τριών γεωστάσιμων δορυφόρων πάνω από τον Ατλαντικό, τον Ινδικό και τον Ειρηνικό μπορούμε να έχουμε σχεδόν πλήρη επίγεια επικοινωνία.

91

Page 102: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

y

x

α α

Η

Π

E E'O

eα eα

Fg

Το μέγεθος το οποίο καθορίζει το πόσο επιμήκης είναι μια ελλειπτική τροχιά είναι η •εκκεντρότητα, της οποίας οι τιμές κυμαίνονται μεταξύ του μηδενός και της μονάδας. Όσο πιο πολύ απέχει από το μηδέν η τιμή της εκκεντρότητας, τόσο πιό επιμήκης είναι η ελλειπτική τροχιά. Ο κύκλος είναι οριακή μορφή ελλείψεως με εκκεντρότητα ίση προς μηδέν.•

Διατυπώσεις των νόμων1. Κάθε πλανήτης κινείται σε ελλειπτική τροχιά, με τον Ήλιο να κατέχει μια των δύο εστιών.2. Η ευθεία που ενώνει τον Ήλιο με τον περιφερόμενο πλανήτη (διάνυσμα θέσης), σαρώνει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους.3. Τα τετράγωνα των περιόδων των κινήσεων των πλανητών είναι ανάλογα προς τους κύβους των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών τους.

12-6. ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ KEPLER (1571 - 1630)Ο Γερμανός αστρονόμος Johannes Kepler υπήρξε μαθητής και βοηθός του μεγάλου Δανού •αστρονόμου Tycho Brahe (1546-1601). Οι μετρήσεις του Brahe ήταν εκπληκτικά ακριβείς με όργανα παρατήρησης με γυμνό οφθαλμό •(το τηλεσκόπιο ανακαλύφθηκε επτά χρόνια μετά το θάνατό του το 1608). Οι αναλύσεις του Kepler βασίσθηκαν στις παρατηρήσεις του Brahe. Ανακάλυψε τους τρεις •νόμους του δια της μεθόδου της δοκιμής και της πλάνης εκατό σχεδόν χρόνια πριν διατυπώσει ο Newton τους γνωστούς νόμους της κίνησης και της βαρυτικής (παγκόσμιας) έλξης.

Hgeos 35872 km=Hgeos

3TΕ

2 gο⋅ R2⋅

2 π⋅( )2R−:=

Δες πρόβλημα 12-35 σελ.343 Η. Young

τελικά:R Hgeos+( )3

TΕ2 gο⋅ R2

2 π⋅( )2=ήR Hgeos+( )3

TΕ2 gο⋅ R2

2 π⋅( )2=

2 π⋅( )2 R Hgeos+( )2⋅

R2

R Hgeos+( )gο

⋅ TΕ2=ή

2 π⋅ R Hgeos+( )⋅

R

R Hgeos+( )gο

⋅ TΕ=

TΕ 8.64 104× s⋅:=Η περίοδος περιστροφής της Γης είναι:

Tgeostatic2 π⋅ R Hgeos+( )⋅

R

R Hgeos+( )gο

⋅=Η περίοδος της κυκλικής περιφοράς(γεωστάσιμης τροχιάς) είναι:

92

Page 103: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

υy

E

rdθ

dθ, r, dA

θ

r

υnormal = υsinφ

φ

r

υ υnormal

ΗΠ

Π

E'Ο

Άρα ο ρυθμός σάρωσης των εμβαδών παραμένει σταθερός όπως και η στροφορμή L.

8( )dAdt

L2 m⋅

=Η (5) με τη βοήθεια της (7) γράφεται:

7( )L r m⋅ υ⋅ sinφ⋅=Η στροφορμή L έχει μέτρο:

6( )L→

r→

m υ→⋅( )×=

Η στροφορμή L του πλανήτη παραμένει σταθερή (αφού η εξωτερική ροπή τ της ελκτικής δύναμης Fg είναι μηδέν) και είναι:

4( )3( )5( )

dAdt

12

r⋅ υ⋅ sinφ⋅=⇒

Πρώτος νόμος•Με τη βοήθεια των νόμων κίνησης και της βαρυτικής (παγκόσμιας) έλξης του Newton (Δύναμη F αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης r) και τη χρήση διαφορικών εξισώσεων αποδεικνύεται ότι η τροχιά μπορεί να είναι κυκλική, ελλειπτική, παραβολική ή υπερβολική. Οι δύο τελευταίες απορρίπτονται ως ανοιχτές καμπύλες.

Δεύτερος νόμος•Σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt το ευθύγραμμο τμήμα ΗΠ (διάνυσμα θέσης r) καθώς γυρίζει περί το Ε κατά dθ σαρώνει επιφάνεια dA.

dA12

r2⋅ dθ⋅= 1( )

Ο ρυθμός σάρωσης της επιφάνειας είναι:dAdt

12

r2⋅dθdt⋅= 2( )

Η γωνιακή ταχύτητα ω της περιφοράς του πλανήτη Π είναι: ωdθdt

= 3( )

Η γωνιακή ταχύτητα ω συνδέεται με τη συνιστώσα της γραμμικής ταχύτητας υ:

υ sinφ⋅ ω r⋅= 4( )

Η (2) με τη βοήθεια των (3) και (4) γράφεται:

dAdt

12

r⋅ rdθdt⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅= ⇒dAdt

12

r⋅ r ω⋅( )⋅=

93

Page 104: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

5( )gοG mΣ⋅

RΣ2

=Στην επιφάνεια του Σ είναι:

uevas2 G⋅ mΣ⋅

RΣ= 4( )Με Η να τείνει στο άπειρο και uB = 0,

η ταχύτητα διαφυγής θα είναι:

Ανεξάρτητη της μάζας mB του σωμάτιου Β.

Γιατί;

3( )u uΒ2 2 G⋅ mΣ⋅

1RΣ

1RΣ Η+

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+=Από την οποία τελικά προκύπτει ταχύτητα uB μικρότερη της αρχικής:

2( )12

mB⋅ u2⋅ mB G−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅+12

mB⋅ uΒ2

⋅ mB G−mΣ

RΣ Η+⋅

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅+=ΘΜΚΕ:

Για να υπολογίσουμε το μέτρο της ταχύτητας uB του Β σε ύψος Η εφαρμόζουμε το ΘΜΚΕ ανάμεσα στη επιφάνεια του Σ (στο σημείο βολής) και στη θέση με ύψος Η. Έστω ότι το Β ρίχνεται με αρχική ταχύτητα u:

1( )VH G−mΣ

RΣ H+=

Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου του Σ σε ύψος Η από την επιφάνεια είναι:

Θεωρούμε ένα ουράνιο σώμα Σ σφαιρικού σχήματος μάζας mΣ, κέντρου Κ και ακτίνας RΣ, ακίνητο, χωρίς ατμόσφαιρα, πλήρες και ομογενές, πολύ μακριά από άλλα ουράνια σώματα.

Αναζητούμε την ελάχιστη ταχύτητα με την οποία πρέπει να βληθεί από την επιφάνεια του Σ ένα σωμάτιο Β, έτσι ώστε να διαφύγει από την έλξη του Σ και να φτάσει τελικά σε άπειρη απόσταση από αυτό.

(mΣ, RΣ)

Κ

(mΒ, uB)

Fgo

FgHH

(mΒ, uevasion)

Ταχύτητα διαφυγής

12-9. ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ

Τρίτος νόμος•Έχει αποδειχθεί ο τρίτος νόμος στην ειδική περίπτωση της κυκλικής τροχιάς.

Η Φυσική Διαίσθηση, μας καθοδηγεί πάντα σωστά;Οι τροχιές των πλανητών είναι σχεδόν κυκλικές, αφού οι εκκεντρότητες e είναι πολύ μικρές . 1.Έτσι οι δύο εστίες βρίσκονται πολύ κοντά στο Ο. Η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς Γης είναι περίπου 0.017 !2.Όταν οι Ευρωπαίοι γιορτάζουν τα Χριστούγεννα η Γη βρίσκεται κοντά ή μακριά από τον Ήλιο;3.

94

Page 105: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

9( )

Η ταχύτητας διαφυγής είναι: uevas 2 gο⋅ RΣ⋅:= uevas 11.2kms

= 10( )

Εφαρμογή στην περίπτωση του Ήλιου

G 6.67 10 11−×N m2⋅

kg2= RΣ 6.96 108⋅ m⋅:= mΣ 1.99 1030⋅ kg⋅:=

Η πρώτη κοσμική ταχύτητα είναι: u1G mΣ⋅

RΣ:= u1 436.7

kms

= 11( )

Η ταχύτητας διαφυγής είναι: uevas2 G⋅ mΣ⋅

RΣ:= uevas 617.6

kms

= 12( )

Ταχύτητα διαφυγής και μαύρες τρύπες

Η σύγχρονη θεωρητική αστροφυσική υποστηρίζει ότι ένα άστρο του οποίου τα αποθέματα πυρηνικής ενέργειας έχουν εξαντληθεί, μπορεί να καταρρεύσει κάτω από την ίδια του τη βαρύτητα και να σχηματίσει μια μαύρη τρύπα (μελανή οπή). Η ταχύτητα διαφυγής από ένα τέτοιο ουράνιο σώμα είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός c!! Πολύ λίγες πληροφορίες μπορούμε να αποκτήσουμε τότε για τη μαύρη τρύπα.

Η γενική θεωρία της σχετικότητας του Einstein αποτελεί μια γενίκευση και επέκταση της θεωρίας του Newton για τη βαρύτητα. Το 1916 ο Karl Schwarzchild (Καρλ Σβάρτσιλντ) χρησιμοποίησε τη γενική θεωρία της σχετικότητας για να υπολογίσει την κρίσιμη ακτίνα RS που είναι γνωστή ως ακτίνα του Schwarzchild.

Ακτίνα RS RS2 G⋅ M⋅

c2=

Έτσι μια άλλη μορφή της ταχύτητας διαφυγής ήδεύτερης κοσμικής ταχύτηταςθα είναι:

uevas 2 gο⋅ RΣ⋅= ή uevas RΣ8 π⋅ G ρΣ⋅

3⋅= 6( )

Υπενθυμίζεται ότι η πρώτη κοσμική ταχύτηταείναι:

u1 gο RΣ⋅= ή u1G mΣ⋅

RΣ= ή u1 RΣ

4 π⋅ G ρΣ⋅

3⋅= 7( )

Άρα: uevas u1 2⋅= 8( )

Μορφή τροχιάς1. Αν το σωμάτιο Β βληθεί κατακόρυφα με ταχύτητα όσο η ταχύτητα διαφυγής η τροχιά θα είναι ευθεία και το Β μόλις που θα φθάσει στο άπειρο.2. Αν το σωμάτιο Β βληθεί πλάγια με ταχύτητα όσο η ταχύτητα διαφυγής η τροχιά θα είναι παραβολή και το Β μόλις που θα φθάσει στο άπειρο.3. Αν το σωμάτιο Β βληθεί πλάγια με ταχύτητα μεγαλύτερη από την ταχύτητα διαφυγής η τροχιά θα είναι υπερβολή και το Β θα φθάσει στο άπειρο διαθέτοντας κινητική ενέργεια.

Εφαρμογή στην περίπτωση της Γης gο 9.8m

s2= RΣ R:=

Η πρώτη κοσμική ταχύτητα είναι: u1 gο RΣ⋅:= u1 7.9kms

=

95

Page 106: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 12 ΒΑΡΥΤΗΤΑ

Αν μια μη περιστρεφόμενη σφαιρική κατανομή ύλης με μάζα Μ έχει ακτίνα μικρότερη από RS, τότε η βαρυτική έλξη εμποδίζει τα πάντα, συμπεριλαμβανόμενου και του φωτός, από το να διαφύγουν από το εσωτερικό της σφαίρας με ακτίνα RS. Ωστόσο ο θεωρητικός φυσικός Stephen Hawking (Χώκινγκ) πιστεύει ότι οι μαύρες τρύπες δεν είναι εντελώς μαύρες, αφού πρότεινε τρόπο με τον οποίο μπορούν να εκπέμπουν ενέργεια και έτσι να χάνουν μάζα μέσω μιας κβαντομηχανικής διεργασίας που ονομάζεται φαινόμενο σήραγγας και που είναι ανάλογο με την εκπομπή σωματιδίων α από ένα ασταθή πυρήνα.Η επιφάνεια της σφαίρας με ακτίνα RS, που περιβάλλει μια μαύρη τρύπα ονομάζεται ορίζοντας των συμβάντων.Είναι αδύνατο να παρατηρήσουμε γεγονότα (συμβάντα) στο εσωτερικό της επιφάνειας αφού δεν μπορεί το φως να βγει από το εσωτερικό της.

Τι γνωρίζουμε όμως για μια μαύρη τρύπα;1. Τη μάζα της, από το βαρυτικό της πεδίο.2. Το φορτίο της, από το ηλεκτρικό της πεδίο που αναμένεται να είναι μηδέν.3. Την περιστροφή της, γιατί μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα τείνει να παρασύρει το χώρο και καθετί που βρίσκεται μέσα σε αυτόν μαζί της.4. Σε σημεία πολύ μακριά από μια μαύρη τρύπα τα βαρυτικά φαινόμενα είναι ίδια με αυτά οποιουδήποτε συνηθισμένου σώματος με την ίδια μάζα.5. Ένα σώμα που κινείται κοντά της υφίσταται τεράστιες δυνάμεις που εξαρτώνται έντονα από τη σχετική τους θέση. Τότε το σώμα θερμαίνεται τόσο πολύ που ακτινοβολεί όχι μόνο ορατό φως αλλά και ακτίνες Χ.

Οι πειραματικές και θεωρητικές μελέτες για τις μαύρες τρύπες συνεχίζουν να προκαλούν το ερευνητικό ενδιαφέρον της σύγχρονης φυσικής.

96

Page 107: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

U12

D⋅ A sin ω t⋅ φο+( )⋅( )2⋅=Δυναμική ενέργεια U:

Κ12

mΣ⋅ A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅( )2⋅=Κινητική ενέργεια Κ:

Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη (ΙΑΣ)F D− x⋅=F mΣ α⋅=Δύναμη F:

α ω2

− x⋅=α A− ω2

⋅ sin ω t⋅ φο+( )⋅=Επιτάχυνση α:

υ A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅=Ταχύτητα υ:

x A sin ω t⋅ φο+( )⋅=Απομάκρυνση x:

ωD

mΣ=Κυκλική συχνότητα ω

Πλάτος ταλάντωσης ΑΑρχική φάση φο

Σκληρότητα ελατηρίου k ή σταθερά επαναφοράς D

Μάζα ΑΑΤ mΣ

13-3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΑΤ

Η ΓΑΤ ενός ΑΑΤ είναι μια καθαρά ενεργειακή υπόθεση (!) αφού καθώς παλινδρομεί γύρω από τη θέση ισορροπίας Ο μετατρέπεται η κινητική του ενέργεια Κ σε δυναμική U και τούμπαλιν έτσι ώστε η συνολική μηχανική του ενέργεια E να παραμένει σταθερή (διάφορες απώλειες μηδέν).

13-2. ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗ ΓΑΤ

Περιοδική κίνηση ή ταλάντωση: ονομάζεται η κίνηση που επαναλαμβάνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μέσα στον ίδιο ακριβώς χρόνο που λέγεται περίοδος. Πραγματοποιείται όταν ένα σώμα Σ παλινδρομεί περί τη θέση ευσταθούς ισορροπίας του υπό την επίδραση μιας δύναμης επαναφοράς.

Περιοδική γραμμική κίνηση ή γραμμική ταλάντωση: ονομάζεται η περιοδική κίνηση ή ταλάντωση που εξελίσσεται (πραγματοποιείται) πάνω σε ευθύγραμμο τμήμα.

Απλή αρμονική κίνηση ή Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (ΓΑΤ): Ένα σώμα Σ που εκτελεί ΓΑΤ παλινδρομεί πάνω σε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΆ περί το μέσο Ο που ονομάζεται θέση ισορροπίας ή κέντρο ισορροπίας της ΓΑΤ. Τότε η συνολική δύναμη ή δύναμη επαναφοράς F είναι αντιθέτως ανάλογη της απομάκρυνσης x από τη θέση ισορροπίας. Αυτή είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε το Σ να εκτελεί ΓΑΤ. Περιοδος Τ: ονομάζεται ο χρόνος μιας πλήρους επανάληψης (στο SI μονάδα το s).

Συχνότητα f: ονομάζεται το πλήθος των επαναλήψεων στη μονάδα του χρόνου (στο SI μονάδα το Hz).

Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής (ΑΑΤ): Ένα σώμα Σ που εκτελεί ΓΑΤ. Ο απλούστερος μηχανικός ταλαντωτής είναι το γνωστό σύστημα "Ελατήριο (σκληρότητας k) - Σώμα Σ (μάζας mΣ) ".

13-1. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13

97

Page 108: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Ο κύκλος έχει κέντρο Ο και ακτίνα όσο το πλάτος της ταλάντωσης, δηλαδή Α. •Το κινητό Σ΄ εκτελεί αριστερόστροφη Κυκλική Ομαλή Κίνηση (ΚΟΚ). •Η προβολή του Σ΄ πάνω στη διάμετρο x΄x, το Σ εκτελεί Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (ΓΑΤ). •Αν προβάλλουμε τα χαρακτηριστικά διανύσματα του Σ' (διάνυσμα θέσης, γραμμική ταχύτητα, •επιτάχυνση) στη διάμετρο x'x παίρνουμε τα αντίστοιχα διανύσματα του Σ με x = Aημωt. Αν όμως προβάλλουμε τα χαρακτηριστικά διανύσματα του Σ' (διάνυσμα θέσης, γραμμική •ταχύτητα, επιτάχυνση) στη διάμετρο την κάθετη στην x'x παίρνουμε τα αντίστοιχα διανύσματα του Σ με

x = Aσυνωt. Τα διανύσματα α και x είναι πάντα αντίρροπα. Το ίδιο για τα F και x. •

13-4. ΚΥΚΛΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ή ΤΑΛΑΝΤΩΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

Ικανή και Αναγκαία Συνθήκη (ΙΑΣ)τ κ− θ⋅=τ IΣ α⋅=Ροπή τ:

α ωc2

− θ⋅=α A− ωc2

⋅ sin ωc t⋅ φο+( )⋅=Γωνιακή Επιτάχυνση α:

ω A ωc⋅ cos ωc t⋅ φο+( )⋅=Γωνιακή Ταχύτητα ω:

T 2 π⋅IΣκ

⋅=Περίοδος Τ:

θ Θ sin ωc t⋅ φο+( )⋅=Γωνιακή Απομάκρυνση θ:

ωcκ

IΣ=Κυκλική συχνότητα ωc

Γωνιακό Πλάτος Θ

Αρχική φάση φο

Σταθερά στρέψης κ

Ροπή αδράνειας του ΣΑΤ ως προς τον άξονα περιστροφή ΙΣ

Γωνιακή ή Στροφική Αρμονική Ταλάντωση και Στροφικός Αρμονικός Ταλαντωτής (ΣΑΤ)Θεωρείστε ένα απόλυτα στερεό σώμα Σ (πχ τον σφόνδυλο ενός ρολογιού) που μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το το κέντρο μάζας του CM. Αν πάνω του δρα συνολική ροπή τ αντιθέτως ανάλογη της γωνιακής του εκτροπής θ τότε αποδεικνύεται ότι η κίνηση του Σ είναι Γωνιακή ή Στροφική Αρμονική Ταλάντωση. Σε συντομία αναφέρουμε:

Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης Ο είναι χαμηλότερα από τη θέση φυσικού μήκους του •ελατήριου, σκληρότητας k, κατά mΣg/k.Η περίοδος Τ της κατακόρυφα εξελισσόμενης ταλάντωσης είναι όσο η περίοδος της ταλάντωσης •του Σ σε οριζόντιο ή κεκλιμένο επίπεδο ή σε συνθήκες έλλειψης βαρύτητας. Αλλάζει όμως η θέση ισορροπίας.

Κατακόρυφος Απλός Αρμονικός Ταλαντωτής

υ ±( ) ω⋅ A2 x2−⋅=Σημαντική σχέση: Από τυχαία θέση x (όχι ακραία) περνά δύο

φορές ανά περίοδο με αντίθετες ταχύτητες.

T 2 π⋅mΣ

D⋅=Περίοδος Τ:

E12

m1⋅ υmax2

⋅=E12

D⋅ A2⋅=Μηχανική ενέργεια U:

98

Page 109: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

3. Να υπολογιστούν οι max τιμές της κινητικής ενέργειας Κ, της δυναμικής ενέργειας U και της ολικής (Μηχανικής) ενέργειας E:

Στις ακραίες θέσειςFmax 19.739 N=Fmax k A⋅:=

Στις ακραίες θέσειςαmax 39.478m

s2=αmax A ω

2⋅:=

Στη θέση ισορροπίαςυmax 0.628ms

=υmax A ω⋅:=

2. Να υπολογιστούν οι max τιμές του μέτρου της ταχύτητας υ, της επιτάχυνσης α και της δύναμης F:

ω 62.832rads

=ω 2 π⋅ f⋅:=f 10 Hz=f1T

:=T 0.1s=T 2 π⋅mΣ

k⋅:=

1. Να υπολογιστεί η περίοδος Τ, η συχνότητα f και η κυκλική συχνότητα ω τηςταλάντωσης:

A 0.01 m⋅:=Πλάτος ταλάντωσης:

Με ενεργό το πρόγραμμα Matcad μπορούμε να αλλάζουμε την αρχική φάση φο και

παρατηρούμε τις αλλαγές που προκύπτουν.

φο 0:=Αρχική φάση φο:

k 200 π2

⋅Nm⋅:=Σκληρότητα ελατηρίου k:mΣ 0.5 kg⋅:=Μάζα mΣ:

Εφαρμογή στην κινηματική της ΓΑΤΓια ένα Απλό Αρμονικό Ταλαντωτή (ΑΑΤ) Σ δίνονται τα παρακάτω στοιχεία: Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI.

υ

Ο

ωt

Σ΄Σ

xΑω

Αω2

x = Αημωtυ = Αωσυνωt

α = -Αω2 ημωt

Ταλαντωτικός Κύκλοςή

Κύκλος Αναφοράς

99

Page 110: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

α t( ) A− ω2

⋅ sin ω t⋅ φο+( )⋅:= E t( )12

mΣ⋅ υmax2

⋅ t0⋅:=

F t( ) mΣ α t( )⋅:= F t( ) k− x t( )⋅:= E t( )12

k⋅ A2⋅ t0⋅:=

5. Να παρασταθούν γραφικά ως προς το χρόνο t και για χρονική διάρκεια μιας περιόδου η απομάκρυνση x, η ταχύτητας υ, η επιτάχυνση α, η δύναμης F, η κινητική ενέργεια Κ, η δυναμική ενέργεια U και η ολική (Μηχανική) ενέργεια E.

T 0.1 s= t 0 s⋅ 0.0001 s⋅, T..:=

5α. Διάγραμμα απομάκρυνσης x - χρόνου t

x t( ) A sin ω t⋅ φο+( )⋅:= xmax A:= xmax 0.01 m=

0 0.025 0.05 0.075 0.1

0.015

0.01

0.005

0.005

0.01

0.015Διάγραμμα απομάκρυνσης x - χρόνου t

Χρόνος t (s)

Aπομάκρυνση

x (m

)

A

2T

125

T

12

5β. Διάγραμμα ταχύτητας υ - χρόνου t

υ t( ) A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅:= υmax A ω⋅:= υmax 0.628ms

=

Kmax12

mΣ⋅ υmax2

⋅:= Kmax 0.099 J= Στη θέση ισορροπίας ανεξαρτήτως της αρχικής φάσης

Umax12

k⋅ A2⋅:= Umax 0.099 J= Στις ακραίες θέσεις ανεξαρτήτως της αρχικής φάσης

E Kmax:= E 0.099 J= Σε κάθε θέση ανεξαρτήτως της αρχικής φάσης

E Umax:= E 0.099 J= Σε κάθε θέση ανεξαρτήτως της αρχικής φάσης

4. Να γραφούν οι χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης x, της ταχύτητας υ, της επιτάχυνσης α, της δύναμης F, της κινητικής ενέργειας Κ, της δυναμικής ενέργειας U και της ολικής (Μηχανικής) ενέργειας E:

x t( ) A sin ω t⋅ φο+( )⋅:= K t( )12

mΣ⋅ A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅( )2⋅:=

υ t( ) A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅:= U t( )12

k⋅ A sin ω t⋅ φο+( )⋅( )2⋅:=

100

Page 111: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 0.025 0.05 0.075 0.1

1

0.5

0.5

1Διάγραμμα ταχύτητας υ - χρόνου t

Χρόνος t (s)

Ταχύτητα

υ (m

/s)

υmax3

2⋅

υmax−3

2⋅

5T

12

T

12

5γ. Διάγραμμα επιτάχυνσης α - χρόνου t

α t( ) A− ω2

⋅ sin ω t⋅ φο+( )⋅:= αmax A ω2

⋅:= αmax 39.478m

s2=

0 0.025 0.05 0.075 0.1

40

20

20

40Διάγραμμα επιτάχυνσης α - χρόνου t

Χρόνος t (s)

Επιτά

χυνσης

α (m

/s)

0.5− αmax

5T

12

T

12

5δ. Διάγραμμα δύναμης F- χρόνου t

F t( ) k− x t( )⋅:= Fmax k A⋅:= Fmax 19.739 N=

0 0.025 0.05 0.075 0.1

25

12.5

12.5

25Διάγραμμα δύναμης F- χρόνου t

Xρόνος t (s)

Δύναμη

F (N

)

0.5− Fmax

T

125

T

12

101

Page 112: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 0.025 0.05 0.075 0.1

40

20

20

40

1000x(t) (m), 50υ (m/s) , α(t) (m/s^2)

Χρόνος (s)

1000

x(t)

(m),

50υ

(m/s

) , α

(t) (m

/s^2

)

T

4

6. Να παρασταθούν γραφικά ως προς την απομάκρυνση x, η κινητική ενέργεια Κ, η δυναμική ενέργεια U και η ολική (Μηχανική) ενέργεια E.

0 0.012 0.025 0.037 0.05

0.05

0.1

Διάγραμμα ενεργειών (J) - χρόνου t (s)

Eνέργειες

(J)

E

2

K t( )

U t( )

E

3T

8

T

8

t

E 0.099 J=E Umax:=E 0.099 J=E Kmax:=E t( )12

mΣ⋅ υmax2

⋅ t0⋅:=

Umax12

k⋅ A2⋅:=U t( )

12

k⋅ A sin ω t⋅ φο+( )⋅( )2⋅:=

Kmax12

mΣ⋅ υmax2

⋅:=K t( )12

mΣ⋅ A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅( )2⋅:=

5στ. Διάγραμμα ενεργειών - χρόνου t

α (m/s2)

50υ (m/s)

1000x (m)

Προηγείται η επιτάχυνση της ταχύτητας κατά π/2 και της απομάκρυνσης κατά π.

5ε. Διάγραμμα απομάκρυνσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης - χρόνου t

102

Page 113: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0.015 0.0075 0 0.0075 0.015

30

15

15

30Διάγραμμα δύναμης F - απομάκρυνσης x

Απομάκρυνση x (m)

Δύναμη

F (N

)

Fmax−

Fmax

F x( )

AA−

x

αmax 39.478m

s2=αmax ω

2 A⋅:=α x( ) ω2

− x⋅:=x A− 0.99A, A..:=

Διάγραμμα επιτάχυνσης α - απομάκρυνσης x

0m

A−

xF x( )⌠⎮⌡

d 0.099− J=A−

0mxF x( )

⌠⎮⌡

d 0.099 J=

0.099J12

A⋅ Fmax⋅ 0.099 J=

F x( ) k− x⋅=

Αναφερόμαστε στο γράφημα της δύναμης F ως προς τη μετατόπιση x.Το εμβαδόν του τοπίου μεταξύ της καμπύλης και του άξονα της μετατόπισης, από μια θέση έως μια άλλη θέση, παριστά αριθμητικά όχι μόνο το έργο της συνολικής δύναμης, αλλά και τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του ταλαντωτή (Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας - ΘΜΚΕ).

Fmax 19.739 N=Fmax k A⋅:=F x( ) k− x⋅:=x A− 0.99− A, A..:=

Διάγραμμα δύναμης F - απομάκρυνσης x

7. Να παρασταθούν γραφικά ως προς την απομάκρυνση x, η δύναμη F και η επιτάχυνση α.

0.01 0.005 0 0.005 0.01

0.03

0.06

0.09

0.12Διάγραμμα ενεργειών - απομάκρυνσης x

Aπομάκρυνση x (m)

Ενέργειες

(J)

E

2

K x( )

U x( )

E

A 2⋅

2−

A 2⋅

2

x

x A− 0.99− A⋅, A..:=Kmax12

mΣ⋅ υmax2

⋅:=K x( )12

k⋅ A2⋅ x0

⋅12

k⋅ x2⋅−:=

E 0.099 J=E Umax:=E 0.099 J=E Kmax:=E x( )12

k⋅ A2⋅ x0

⋅:=

Umax12

k⋅ A2⋅:=U x( )

12

k⋅ x2⋅:=

103

Page 114: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 0.025 0.05 0.075 0.1

10

5

5

10

Διάγραμμα ισχύος P (W) - χρόνου t (s)

Χρόνος t (s)

Ισχύς

P (W

)

P t( )

T

2

t

0.8 0.4 0 0.4 0.8

50

25

25

50

Διάγραμμα επιτάχ. α - ταχύτητας υ

Ταχύτητα υ (m/s)

Επιτά

χυνση α

(m/s

^2)

0.5− αmax

0.5αmax

α t( )

A ω2⋅

υmax−3

2⋅ υmax

3

2⋅

υ t( )

0

T

4tP t( )

⌠⎮⎮⌡

d

-0.099J

0.099J

t 0 s⋅ 0.0001 s⋅, T..:=P t( ) F t( ) υ t( )⋅:=F t( ) k− x t( )⋅:=x t( ) A sin ω t⋅ φο+( )⋅:=

9. Να παρασταθεί γραφικά η ισχύς P της δύναμης που συντηρεί την ΓΑΤ (συνολική δύναμη) ως προς το χρόνο t.

A ω2

⋅ 39.478m

s2=

α2

A ω2

⋅( )2υ

2

A ω⋅( )2+ 1=

A ω⋅ 0.628ms

=

υ t( ) A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅:=α t( ) A− ω2

⋅ sin ω t⋅ φο+( )⋅:=

8. Να παρασταθεί γραφικά η επιτάχυνση α ως προς την ταχύτητα.

0.015 0.0075 0 0.0075 0.015

50

25

25

50

Διάγραμμα επιτάχυνσης α - απομάκρυνσης x

Απομάκρυνση x (m)

Επιτά

χυνση α

(m/s

^2)

αmax−

αmax

α x( )

A− A

x

104

Page 115: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 0.012 0.025 0.037 0.05

0.15

0.1

0.05

0.05

0.1

Eνέργειες

(J)

E

2

E

K t( )

P t( )

50

tK t( )d

d

50

t P = dΚ/dt(dΚ/dt) / 50 (J/s)

-(0.099 / 50) J

Κ (J)P/50 (W)

Ισχύς P της συνολικής δύναμης (W), Κιν. Ενέργεια Κ (J) και Ρυθμός της dK/dt (J/s) ως προς το χρόνο t (s)

K t( )12

mΣ⋅ A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅( )2⋅:=

10. Να παρασταθούν γραφικά στο ίδιο διάγραμμα η κινητική ενέργεια Κ, ο (χρονικός) ρυθμός της Κ και η ισχύς P της δύναμης που συντηρεί την ΓΑΤ (συνολική δύναμη), ως προς το χρόνο t. Τι παρατηρείται και γιατί;

0

AxF x( )

⌠⎮⌡

d 0.099− J=iii) Με εμβαδομέτρηση από το γράφημα F-x, από τη θέση x = 0 έως τη θέση x = A :

KT4

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

K 0 s⋅( )− 0.099− J=iii) ΘΜΚΕ από τη χρονική στιγμή μηδέν έως τη χρονική στιγμή Τ/4:

0m

0.01mxF x( )

⌠⎮⌡

d 0.099− J=ii) Έργο συνολικής δύναμης από τη χρονική στιγμή μηδέν έως τη χρονική στιγμή Τ/4, οπότε ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση 0.01m:

0

T

4tP t( )

⌠⎮⎮⌡

d 0.099− J=i) Με εμβαδομέτρηση από το γράφημα P-t, από τη χρονική στιγμή μηδέν έως τη χρονική στιγμή Τ/4:

K t( )12

mΣ⋅ A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅( )2⋅:=F x( ) k− x⋅:=x t( ) A sin ω t⋅ φο+( )⋅:=

Αναφερόμαστε στο προηγούμενο γράφημα της ισχύος ως προς το χρόνο.Το εμβαδόν του τοπίου μεταξύ της καμπύλης και του άξονα του χρόνου από μια χρονική στιγμή έως μια άλλη χρονική στιγμή παριστά αριθμητικά όχι μόνο το έργο της συνολικής δύναμης, αλλά και τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του ταλαντωτή (Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας - ΘΜΚΕ).

105

Page 116: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Fx m g⋅ sinθ⋅= 1( ) Αλλά sinθxL

= 2( ) Fx m g⋅xL⋅= 3( )

Ως διανύσματα τα x και Fx είναι πάντα αντίρροπα. Η αλγεβρική τιμή της Fx είναι:

Fxm g⋅

L− x⋅= 4( ) που αποτελεί την ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ΓΑΤ το σφαιρίδιο Σ.

Η σταθερά επαναφοράς k της ταλάντωσης είναι: km g⋅

L−= 5( )

Η κυκλική συχνότητα ω της ταλάντωσης είναι: ωkm

= 6( )

5( )Η περίοδος Τ της ταλάντωσης είναι •ανεξάρτητη της μάζας m

(Γαλιλαίος τέσσερις αιώνες πριν):

T 2 π⋅mk

= 7( ) ⇒ T 2 π⋅Lg

= 8( )

Έτσι πολύ εύκολα υπολογίζεται η τιμή της έντασης της βαρύτητας g σε μια περιοχή.•

Η ακριβής τιμή της περιόδου Τ της ταλάντωσης εξαρτάται από τη μέγιστη γωνιακή εκτροπής Θ. Αποδεικνύεται ότι είναι:

Tex 2 π⋅Lg

⋅ 112

22sin

Θ

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅+

12

22

32

42⋅ sin

Θ

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

4⋅+ ....+

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=

Οι όροι της παρένθεσης μετά τον τρίτο, ελάχιστα συνεισφέρουν στο άθροισμα.

13-5. ΤΟ ΑΠΛΟ ή ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ

Ο

(Σ, m)

mg

mgcosθ

mgsinθ

K

L

θx

Προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες μελετάμε το Απλό Εκκρεμές (ΑΕ)

Νήμα αβαρές και μη εκτατό.•Σημειακή μάζα m.•Ομογενές βαρυτικό πεδίο.•Μέγιστη γωνιακή εκτροπή 3ο. •Διαφόρων ειδών αντιστάσεις •παραλείπονται.

Το σημειακό σφαιρίδιο (Σ, m) κινείται πάνω σε τόξο. Ωστόσο επειδή η μέγιστη γωνιακή εκτροπή είναι 3ο το τόξο συμπίπτει με την αντίστοιχη χορδή και η κίνηση είναι γραμμική.Όταν μια οξεία γωνία είναι πολύ μικρή, τότε το sin και η tan της είναι περίπου όσο η γωνία μετρούμενη σε rad. Πράγματι:

sinθxL

=Fx m g⋅ sinθ⋅=

Fx m g⋅xL⋅=

Fxm g⋅

L− x⋅=

φ 1 deg⋅:= φ 0.01745 rad= sin φ( ) 0.01745= tan φ( ) 0.01746=

φ 2 deg⋅:= φ 0.03491 rad= sin φ( ) 0.0349= tan φ( ) 0.03492=

φ 3 deg⋅:= φ 0.05236 rad= sin φ( ) 0.05234= tan φ( ) 0.05241=

Αλλά:

φ 45 deg⋅:= φ 0.7854 rad= sin φ( ) 0.70711= tan φ( ) 1=

φ 60 deg⋅:= φ 1.0472 rad= sin φ( ) 0.86603= tan φ( ) 1.73205=

Η εφαπτομενική συνιστώσα του βάρους mg, η mgsinθ είναι η δύναμη επαναφοράς. Το μέτρο της είναι:

106

Page 117: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 4 8 12 16 20

2

2.01

2.02

Μέγιστη γωνία εκτροπής Θ (deg)

Ακριβής τιμ

ή περιόδου Τe

x (s

)

Tex 3( )

Tex 15( )

Tex Θ( )

3 15

Θ

TH 2.003 s=

Το μέτρο της g μειώθηκε: posggH go−

go100⋅ %:= posg 0.25− %=

Η νέα περίοδος αυξήθηκε: posTTH To−

To100⋅ %:= posT 0.159 %=

Σε χρόνο tt το εκκρεμές καθυστερεί κατά Δt ως προς το ακριβές εκκρεμές δευτερολέπτων ή ως προς το ηλεκτρονικό ρολόι:

tt 24 hr⋅:=

Δt posT tt⋅:= Δt 137.685 s=

3. Να υπολογίσετε στην επιφάνεια της Γης την ακριβή τιμή της περιόδου Τex λαμβάνοντας υπόψη μόνο τους τρεις πρώτους όρους της παρένθεσης και για μέγιστες γωνίες εκτροπής από μηδέν έως 20 ο. Στη συνέχεια να παραστήσετε γραφικά την περιόδου Τex ως προς τη μέγιστη γωνία εκτροπής Θ.

Θ 0 0.1, 20..:=Tex Θ( ) To 1

12

22sin

Θ

2deg⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅+

12

22

32

42⋅ sin

Θ

2deg⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

4⋅+

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅:=Tex 3( ) 2.0003 s= Tex 15( ) 2.0086 s=

Tex 3( ) 2.0003 s=

Tex 15( ) 2.0086 s=

Εφαρμογή στο Απλό ή Μαθηματικό εκκρεμέςΈνα Απλό ή Μαθηματικό εκκρεμές (Σ, m) χρησιμοποιείται ως εκκρεμές δευτερολέπτων (Τ = 2s) στην επιφάνεια της Γης όπου go = 9.8 m/s2.

1. Να υπολογίσετε το ακριβές μήκος του Lo.

Given Η περίοδος Τ του εκκρεμούς είναι: To 2 π⋅Logo

= Find Lo( ) 14

To2

π2

⋅ go⋅→

To 2 s⋅:= go 9.8m

s2:= Lo

14

To2

π2

⋅ g⋅:= Lo 0.994 m=

2. Να υπολογίσετε τη νέα περίοδο Τ σε μια βουνοκορφή σε ύψος Η = 8.000m. Τώρα το εκκρεμές καθυστερεί ή προηγείται ως προς ηλεκτρονικό ρολόι σωστά ρυθμισμένο και πόσο σε 24 ώρες ;

Το ύψος της βουνοκορφής είναι: H 8000 m⋅:=

Η ακτίνα της Γης είναι: RE 6.38 106⋅ m⋅:=

Το μέτρο της g μεταβάλλεται με το ύψος Η: gH goRE

2

RE H+( )2⋅:= gH 9.775

m

s2=

Η νέα περίοδος Τ του εκκρεμούς είναι: TH 2 π⋅LogH

:=

107

Page 118: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

Μέγιστη γωνία εκτροπής Θ (deg)

% Ποσ

οστό

μεταβολής

της

περιόδου

posT 3( ) 100⋅

posT 15( ) 100⋅

posT Θ( ) 100⋅

3 15

Θ

13-7. ΑΠΟΣΒΕΝΟΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Τα πραγματικά ταλαντούμενα συστήματα έχουν πάντα κάποια μικρή ή μεγάλη τριβή οπότε χάνοντας συνεχώς ενέργεια μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης εκτός αν βρεθεί τρόπος να αναπληρωθεί η χαμένη ανά περίοδο ενέργεια του ταλαντωτή. Στις απλούστερες των περιπτώσεων η δύναμη της απόσβεσης είναι αντιθέτως ανάλογη της ταχύτητας του ταλαντωτή (-bu). Δίνονται:Μάζα ταλαντωτή m1, σκληρότητα ελατηρίου ή σταθερά επαναφοράς) k, σταθερά απόσβεσης b, αρχικό πλάτος ταλάντωσης Αο

Η δύναμη της απόσβεσης είναι: Fb b−txd

d⋅=

Ο δεύτερος νόμος του Newton δίνει: m1 2txd

d

2⋅ b

txd

d⋅+ k x⋅+ 0=

Η αναλυτική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης δίνει τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης x: x Ao e Λ− t⋅

⋅ cos ω t⋅( )⋅=

όπου το πλάτος Α μειώνεται χρονικά: A Ao e Λ− t⋅⋅=

Με σταθερά Λ: Λb

2 m1⋅=

Αν η ταλάντωση ήταν αμείωτη θα ίσχυαν:

Κυκλική ιδιοσυχνότητα ωο: ωok

m1= Ιδιοσυχνότητα fο: fo

ωo2 π⋅

= Ιδιοπερίοδος Το: To2 π⋅

ωo=

Έτσι το ποσοστό μεταβολής της περιόδου θα είναι:

posTTex T−

T= ⇒ posT

TexT

1−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

= ⇒ posT 112

22sin

Θ

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅+

12

22

32

42⋅ sin

Θ

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

4⋅+ 1−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

=

posT Θ( )12

22sin

Θ

2deg⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅

12

22

32

42⋅ sin

Θ

2deg⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

4⋅+:= posT 15( ) 0.43 %=

posT 15( ) 0.43 %=

posT 3( ) 0.017 %=

Για Θ = 1deg: posT 1( ) 0.0019 %= Λιγότερο από 0.002% !

Για Θ = 3deg: posT 3( ) 0.01714 %= Λιγότερο από 0.018% !

Για Θ = 15deg: posT 15( ) 0.43 %= Λιγότερο από 0.5% !

108

Page 119: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ω ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−:= ω 12.527

rads

= ωo 12.566rads

=

Συχνότητα f: fω

2 π⋅:= f 1.994 Hz= fo 2 Hz=

Παρατηρείστε την μικρή αύξηση της

περιόδου!Περίοδος Τ: T

1f

:= T 0.502 s= To 0.5 s=

Ο δεύτερος νόμος Newton δίνει: m1 2tx t( )d

d

2⋅ b

tx t( )d

d⋅+ k x t( )⋅+ 0=

Ακολουθεί η αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης: Λb

2 m1⋅:=

Απομάκρυνση: x t( ) Ao e Λ− t⋅⋅ cos ω t⋅( )⋅:= Πλάτος: A t( ) Ao e Λ− t⋅

⋅:=

a 0 s⋅:= d 5T:= t a ad a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, d..:=

Εκθετική μείωση του πλάτους.

t1 0 T, 5 T⋅..:= A1 t1( ) Ao e Λ− t1⋅⋅:= t2

T2

3T2

,9T2

..:= A2 t2( ) Ao− e Λ− t2⋅⋅:=

Επειδή η ταλάντωση είναι αποσβενόμενη (φθίνουσα) ισχύουν:

Κυκλική συχνότητα ω: ω ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−= Συχνότητα f: f

ω

2 π⋅= Περίοδος Τ: T

1f

=

Εφαρμογή

Για ένα απλό αρμονικό ταλαντωτή δίνονται τα παρακάτω στοιχεία. Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI.

Μάζα m1: m1 1 kg⋅:=

Σκληρότητα ελατηρίου k: k 16 π2

⋅Nm⋅:=

Αρχικό πλάτος ταλάντωσης : Ao 0.01 m⋅:=

Αν η ταλάντωση ήταν αμείωτη:

Κυκλική ιδιοσυχνότητας ωο: ωok

m1:= ωo 12.566

rads

=

Ιδιοσυχνότητα fο: foωo2 π⋅

:= fo 2 Hz=

Ιδιοπερίοδος Το: To2 π⋅

ωo:= To 0.5 s=

Επειδή η ταλάντωση είναι φθίνουσα:

Σταθερά αποσβέσεως b: b 2Nm

s

⋅:=

Κυκλική συχνότητα ω:

109

Page 120: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 5 10 15 200.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Η Τ ως προς τη σταθ. απόσβεσης b.

Σταθερά απόσβεσης b

Περίοδος Τ της φθ

ίνουσα

ς ταλάντωση

ς

To b( )

To 0Nms

⋅⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

b

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.01

0.005

0.005

0.01

Φθίνουσα ταλάντωση με σταθερή περίοδο ΤΕκθετική συνάρτηση γνησίως φθίνουσαΕκθετική συνάρτηση γνησίως αύξουσαΜέγιστες θετικές απομακρύνσεις ανά άρτιο πλήθος ημιπεριόδωνΜέγιστες αρνητικές απομακρύνσ. ανά περιτ. πλήθος ημιπεριόδων

Ao−

Ao

T3T

2

bαπερ. 25.133kgs

=⇒bαπερ. 2 k m1⋅⋅:=Για μεγάλες τιμές της σταθεράς απόσβεσης b η κίνηση παύει να είναι φθίνουσα (Τ = σταθερή) και καθίσταται απεριοδική.

To2 π⋅

ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−

=

b 0Nm

s

⋅ 0.1Nm

s

⋅, 20Nm

s

⋅..:=Περίοδος Το σαν συνάρτησητης σταθεράς απόσβεσης b:

To b( )2 π⋅

ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−

:=

T 0.50159 s=

x t( ) Ao e Λ− t⋅⋅ cos ω t⋅( )⋅=

Τ2 π⋅

km

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2 b2 m1⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−

=

Εκθετική συνάρτηση γνησίως αύξουσα

Μέγιστες αρνητικές απομακρύνσεις ανά περιττό πλήθος ημιπεριόδων

Μέγιστες θετικές απομακρύνσεις ανά άρτιο πλήθος ημιπεριόδων

Εκθετική συνάρτηση γνησίως φθίνουσα

A t( ) Ao e Λ− t⋅⋅=

Φθίνουσα ταλάντωση με σταθερή περίοδο Τ

110

Page 121: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

AFmax

G=Το πλάτος Α της εξαναγκασμένης ταλάντωσης:

δ1

cosb ωd⋅

G

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

=καιG m12

ωd2

ωo2

−⎛⎝

⎞⎠

2⋅ b2

ωd2

⋅+=όπου:

xFmax

Gsin ωd t⋅ δ−( )⋅=

Η αναλυτική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης (χωρίς απόδειξη) δίνει τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης x:

m1 2txd

d

2⋅ b

txd

d⋅+ k x⋅+ Fmax cos ωd t⋅( )⋅=Ο δεύτερος νόμος Newton δίνει:

F Fmax cos ωd t⋅( )⋅=Έστω ότι η διεγείρουσα εξωτερική δύναμη είναι περιοδική, συνημειτονοειδούς μορφής. Έχει μέγιστη τιμή Fmax και κυκλική συχνότητα ωd.

ΔΙΕΓΕΙΡΟΥΣΑ ΔΥΝΑΜΗ (Διεγέρτης):

ω 12.167rads

=ω ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−:=

Κυκλική συχνότητα λόγω τριβής ή φυσική μειωμένη συχνότητα ω:

b 6.283Nm

s

⋅:=Σταθερά αποσβέσεως b:

ωo 12.566rads

=ωok

m1:=Κυκλική ιδιοσυχνότητα ή

φυσική αμείωτη συχνότητα ωο:

Ao 0.01 m⋅:=Αρχικό πλάτος ταλάντωσης :

k 16 π2

⋅Nm⋅:=Σκληρότητα ελατηρίου k:

m1 1 kg⋅:=Μάζα m1:

Για ένα απλό αρμονικό ταλαντωτή δίνονται τα παρακάτω στοιχεία. Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Ερώτηση: Να αναφέρετε από την καθημερινή ζωή περιπτώσεις φαινομένων με επιθυμητό ή όχι συντονισμό.

Έχει ήδη αναφερθεί ότι στα πραγματικά ταλαντούμενα συστήματα υπάρχει πάντα κάποια μικρή ή μεγάλη τριβή που καταναλώνει ενέργεια μέσω έργου σε βάρος της ολικής ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή. Ωστόσο είναι δυνατόν με τη βοήθεια μιας εξωτερικής (περιοδικής με συχνότητα f) διεγείρουσας δύναμης η ταλάντωση να διατηρηθεί.

Τότε ο ταλαντωτής δεν εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση με τη δική του συχνότητα (ιδιοσυχνότητα) fo •αλλά εξαναγκασμένη με συχνότητα f που του επιβάλλει η διεγείρουσα δύναμη (Διεγέρτης). Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεγιστοποιείται όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει •περίπου ίση με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Τότε ο ταλαντωτής απορροφά τη μέγιστη δυνατή ενέργεια από το διεγέρτη. Επειδή το έως σήμερα διαθέσιμο μαθηματικό μας υπόβαθρο δεν είναι ικανοποιητικό από την •άποψη επίλυσης πολύπλοκων διαφορικών εξισώσεων, θα δώσουμε απλώς το αποτέλεσμα.

13-8. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

111

Page 122: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

A ωd b2,( )Fmax

G ωd b2,( ):=

δ ωd b2,( ) 1

cosb2 ωd⋅

G ωd b2,( )⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=G ωd b2,( ) m12

ωd2

ωo2

−⎛⎝

⎞⎠

2⋅ b2

2ωd

2⋅+:=

b2 6.283kgs

=b2m1 ωo⋅

2:=2. Για:

A ωd b1,( )Fmax

G ωd b1,( ):=

δ ωd b1,( ) 1

cosb1 ωd⋅

G ωd b1,( )⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

:=G ωd b1,( ) m12

ωd2

ωo2

−⎛⎝

⎞⎠

2⋅ b1

2ωd

2⋅+:=

b1 12.566kgs

=b1 m1 ωo⋅:=1. Για:

ωd 0 0.0001 ωo⋅, 2 ωo⋅..:=Κλίμακα μεταβολής της κυκλικής συχνότητας ωd:

Καμπύλες συντονισμού για δύο διαφορετικές τιμές της σταθεράς αποσβέσεως b

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.1

0.1

0.2

Απομάκρυνση x (m) ως προς το χρόνο t (s)

x 0 s⋅( )

A

x t( )

Td

t

t a ac a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, c..:=c 2Td:=a 0 s⋅:=x t( ) A sin ωd t⋅ δ−( )⋅:=

Καμπύλη απομάκρυνσης x ως προς το χρόνο στην εξαναγκασμένη ταλάντωση με συνημειτονοειδώς διεγείρουσα δύναμη και δύναμη απόσβεσης αντιθέτως ανάλογη της ταχύτητας u.

A 0.13 m=AFmax

G:=δ 1.804 rad=δ

1

cosb ωd⋅

G

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=

G 76.669kg

s2=G m1

2ωd

2ωo

2−⎛

⎝⎞⎠

2⋅ b2

ωd2

⋅+:=

Td 0.524 s=Td2 π⋅

ωd:=Fmax 10 N⋅:=ωd 12

rads

⋅:=Υπολογισμοί με:

112

Page 123: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 0.5 1 1.5 20

0.05

0.1

0.15Πλάτος Α ως προς το λόγο [(ωd) / (ωο)]

Λόγος κυκλικών συχνοτήτων

Πλάτος Α

εξαναγκασ

μένης ταλάντωση

ς

A ωd b1,( )A ωd b2,( )

1

ωd

ωo

0 1 2 3 4 5 6

6

3

3

6Απομάκρυνση x - Χρόνος t

Χρόνος t(s)

Απομάκρυνση

x (m

)

Ao−

Ao

S 1⟨ ⟩( )T

2

T

4

S 0⟨ ⟩( )

Ao max S 1⟨ ⟩( ):=S rkfixed ic 0 s⋅, T, 5000, D,( ):=D t X,( )

X1

1m1

F t( ) b t( ) X1⋅− k X0⋅−( )⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:=

icx0

υ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=ω 1rads

=T 6.283 s=ωk

m1:=T 2 π⋅

m1k

⋅:=F t( ) 0 N⋅:=

ms

υ0 5:=mx0 0:=k 1Nm⋅:=b t( ) 0

N s⋅m

⋅:=m1 1 kg⋅:=

Δίνονται στο SI

Παράδειγμα 1ο (Ελεύθερη ταλάντωση - Χωρίς δύναμη απόσβεσης)

1( )2txd

d

2 bm1 t

xdd⋅+

km1

S⋅+F t( )m1

=

Το έμβολο (ισχύος) Ε μιας μηχανής FPSE (Stirling Ελευθέρων Εμβόλων) μάζας m1 αποχωρίζεται από τη μηχανή και αναρτάται από ακλόνητη "οροφή" ενός δορυφόρου της Γης με τη βοήθεια κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σκληρότητας k. Στη θέση ισορροπίας (θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου) το έμβολο Ε βρίσκεται σε ένα σημείο το οποίο θεωρούμε σαν αρχή μέτρησης των μετατοπίσεων x. Απομακρύνουμε το έμβολο Ε από τη θέση ισορροπίας κατά xo, του προσδίδουμε αρχική ταχύτητα uο και το αφήνουμε να κινηθεί υπό την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης F(t). Να δείξετε ότι η κίνηση του εμβόλου Ε περιγράφεται από τη γραμμική διαφορική εξίσωση (1), όπου b η σταθερά απόσβεσης (Δύναμη απόσβεσης από τον αέρα, -b\u).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

b1 = m1ωο

b2 = m1ωο / 2

113

Page 124: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

6 3 0 3 6

6

3

3

6ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ u ως προς x

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s)

uo−

uo

S 2⟨ ⟩( )

Ao− Ao

S 1⟨ ⟩( )

T 6.291 s=T1f

:=f 0.159 Hz=fω

2 π⋅:=

ω 0.999rads

=ω ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−:=ωo

km1

:=icx0

υ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=F t( ) 0 N⋅:=

ms

υ0 5:=mx0 0:=k 1Nm⋅:=b 0.1

N s⋅m

⋅:=m1 1 kg⋅:=

Δίνονται στο SI

Παράδειγμα 2ο . Δες Άσκηση 13-30 σελ 376 H. Young. (Φθίνουσα ταλάντωση - Με δύναμη απόσβεσης - Χωρίς Εξωτερική δύναμη - Κίνηση Μεταβατική)

ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ - ΕΛΛΕΙΨΗ (ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ)

0 1 2 3 4 5 6

6

3

3

6Ταχύτητα u - Χρόνος t

Χρόνος t(s)

Ταχύτητα

u (m

/s)

uo−

uo

S 2⟨ ⟩( )

T

4

T

2

S 0⟨ ⟩( )

uo max S 2⟨ ⟩( ):=

114

Page 125: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

6 3 0 3 6

6

3

3

6ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ u ως προς x

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

S 2⟨ ⟩( )

S 1⟨ ⟩( )

D t X,( )

X1

1m1

F t( ) b X1⋅− k X0⋅−( )⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:= S rkfixed ic 0 s⋅, 3T, 5000, D,( ):=

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

6

3

3

6Απομάκρυνση x - Χρόνος t

Χρόνος t(s)

Απομάκρυνση

x (m

)

S 1⟨ ⟩( )

S 0⟨ ⟩( )

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

6

3

3

6Ταχύτητα u - Χρόνος t

Χρόνος t(s)

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

S 2⟨ ⟩( )

S 0⟨ ⟩( )

Δεξιόστροφη διαγραφή ⇒

Σημείο εκκίνησης της τροχιάς το (0, uo). Σημείο σύγκλισης της τροχιάς το (0, 0).

Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΛΛΕΙΨΗ (ΑΣΤΑΘΕΙΑ)

115

Page 126: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

4

2

2

4

6Ταχύτητα u - Χρόνος t

Χρόνος t(s)

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

S 2⟨ ⟩( )

S 0⟨ ⟩( )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

2

2

4Απομάκρυνση x - Χρόνος t

Χρόνος t(s)

Απομάκρυνση

x (m

)

S 1⟨ ⟩( )

10

S 0⟨ ⟩( )

Μετά το 10ο s παλινδρομεί αμείωτα

Μετά το 10ο s παλινδρομεί αμείωτα

Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι το έμβολο μετά το 10ο s παλινδρομεί αμείωτα. Γιατί;

S rkfixed ic 0 s⋅, 40 s⋅, 5000, D,( ):=

D t X,( )

X1

1m1

F t( ) b t( ) X1⋅− k X0⋅−( )⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:=b t( ) bo t0⋅ 0 s⋅ t≤ 10 s⋅≤if

0 otherwise

:=

F t( ) 0 N⋅:=icx0

υ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=ms

υ0 5:=

mx0 0:=k 1Nm⋅:=bo 0.5

N s⋅m

⋅:=m1 1 kg⋅:=

Δίνονται στο SI

Παράδειγμα 3ο (Φθίνουσα ταλάντωση αρχικά - Με δύναμη απόσβεσης χρονικά εξαρτώμενη - Χωρίς Εξωτερική δύναμη)

116

Page 127: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

2 0.5 1 2.5 4

3

0.75

1.5

3.75

6Ταχύτητα u - Απομάκρυνση x

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

S 2⟨ ⟩( )

S 1⟨ ⟩( )

To2 π⋅

ωo=Ιδιοπερίοδος Το:fo

ωo2 π⋅

=Ιδιοσυχνότητα fο:

ωok

m1=Κυκλική ιδιοσυχνότητα ωο:

Αν η ταλάντωση ήταν αμείωτη θα ίσχυαν:

Λb

2 m1⋅=Με σταθερά Λ:

A Ao eΛ t⋅⋅=όπου το πλάτος Α αυξάνεται χρονικά:

x Ao eΛ t⋅⋅ cos ω t⋅( )⋅=

Η αναλυτική λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης δίνει τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης x:

m1 2txd

d

2⋅ b

txd

d⋅− k x⋅+ 0=Ο δεύτερος νόμος Newton δίνει:

Fαb btxd

d⋅=Η δύναμη Fαb είναι:

Η πασίγνωστη κατάρρευση της κρεμαστής γέφυρας Tacoma Narrows που συνέβη το 1940 μπορεί να ερμηνευτεί με τις παρακάτω δύο διατυπώσεις.

Η ροή του αέρα καθώς περνούσε από τη γέφυρα ήταν τυρβώδης και σχηματίζονταν στρόβιλοι με •κανονική συχνότητα που εξαρτιόταν από την ταχύτητα της ροής. Είναι πιθανόν αυτή η συχνότητα να συντονίσθηκε με τη φυσική συχνότητα της γέφυρας με τελική κατάληξη την καταστροφή της. Η καταστροφή της γέφυρας πιθανόν να οφείλεται στο φαινόμενο της αυτοδιεγειρόμενης •ταλάντωσης. Οι αεροδυναμικές δυνάμεις που έδρασαν στη γέφυρα από ένα σταθερό άνεμο έτειναν να τη μετατοπίσουν μακρύτερα από τη θέση ισορροπίας όταν ήδη είχε απομακρυνθεί από αυτή. Είναι σα να υπήρχε μια δύναμη Fαb αντίθετη της έως τώρα γνωστής δύναμης απόσβεσης Fb. Αντί η Fαb να απορροφήσει μηχανική ενέργεια από το σύστημα του προσέφερε ενισχύοντας έτσι την ταλάντωση, ώσπου τα πλάτη έφτασαν σε καταστροφικές τιμές.

Μια προσέγγιση για την καταστροφή της γέφυρας Tacoma Narrows

Μετά το 10ο s παλινδρομεί αμείωτα

Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ ΤΕΛΙΚΑ ΕΛΛΕΙΨΗ (ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ)

117

Page 128: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Επειδή η ταλάντωση είναι αύξουσα:

Σταθερά b: b 2Nm

s

⋅:=

Κυκλική συχνότητα ω: ω ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−:= ω 12.527

rads

= ωo 12.566rads

=

Συχνότητα f: fω

2 π⋅:= f 1.994 Hz= fo 2 Hz=

Παρατηρείστε την μικρή αύξηση της

περιόδου!!Περίοδος Τ: T

1f

:= T 0.502 s= To 0.5 s=

Ο δεύτερος νόμος Newton δίνει: m1 2tx t( )d

d

2⋅ b

tx t( )d

d⋅− k x t( )⋅+ 0=

Ακολουθεί η αναλυτική λύση της διαφορικής εξίσωσης: Λb

2 m1⋅:=

Απομάκρυνση: x t( ) Ao eΛ t⋅⋅ cos ω t⋅( )⋅:= Πλάτος: A t( ) Ao eΛ t⋅

⋅:=

Επειδή η ταλάντωση είναι αύξουσα ισχύουν:

Κυκλική συχνότητα ω: ω ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−=

Συχνότητα f: fω

2 π⋅= Περίοδος Τ: T

1f

=

Εφαρμογή

Για ένα απλό αρμονικό ταλαντωτή δίνονται τα παρακάτω στοιχεία. Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI.

Μάζα m1: m1 1 kg⋅:=

Σκληρότητα ελατηρίου k: k 16 π2

⋅Nm⋅:=

Αρχικό πλάτος ταλάντωσης : Ao 0.01 m⋅:=

Αν η ταλάντωση ήταν αμείωτη:

Κυκλική ιδιοσυχνότητας ωο: ωok

m1:= ωo 12.566

rads

=

Ιδιοσυχνότητα fο: foωo2 π⋅

:= fo 2 Hz=

Ιδιοπερίοδος Το: To2 π⋅

ωo:= To 0.5 s=

118

Page 129: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0.15

0.1

0.05

0.05

0.1

0.15

Αύξουσα ταλάντωση με σταθερή περίοδο ΤΕκθετική συνάρτηση γνησίως αύξουσαΕκθετική συνάρτηση γνησίως φθίνουσαΜέγιστες θετικές απομακρύνσεις ανά άρτιο πλήθος ημιπεριόδωνΜέγιστες αρνητικές απομακρύνσ. ανά περιτ. πλήθος ημιπεριόδων

Αύξουσα Ταλάντωση

Ao−Ao

T3T

2

a 0 s⋅:= b 5T:= t a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=

Εκθετική αύξηση του πλάτους.

t1 0 T, 5 T⋅..:= A1 t1( ) Ao eΛ t1⋅⋅:=

t2T2

3T2

,9T2

..:= A2 t2( ) Ao− eΛ t2⋅⋅:=

Μέγιστες θετικές απομακρύνσεις ανά άρτιο πλήθος ημιπεριόδων

Εκθετική συνάρτηση γνησίως αύξουσα

Εκθετική συνάρτηση γνησίως φθίνουσα

x t( ) Ao eΛ t⋅⋅ cos ω t⋅( )⋅=

Μέγιστες αρνητικές απομακρύνσεις ανά περιττό πλήθος ημιπεριόδων

A t( ) Ao eΛ t⋅⋅=

119

Page 130: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

uo max S 2⟨ ⟩( ):=Η μέγιστη ταχύτητα είναι uο:

Ao max S 1⟨ ⟩( ):=Η μέγιστη απομάκρυνση είναι Αο:

S rkfixed ic 0 s⋅, 5 T⋅, 5000, D,( ):=

Ο πίνακας (2x1) δύο γραμμών μιας στήλης είναι το διάνυσμα των Αρχικών συνθηκών (αρχική θέση x0 και αρχική ταχύτητα υ0).

D t X,( )

X1

1m1

F t( ) b t( ) X1⋅− k X0⋅−( )⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:=m1 2txd

d

2⋅ b

txd

d⋅+ k x⋅+ F t( )=

Η συνάρτηση της παραγώγου είναι:Ο δεύτερος νόμος Newton δίνει:

icx0

υ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=ω 1rads

=T 6.283 s=ωk

m1:=T 2 π⋅

m1k

⋅:=F t( ) 0 N⋅:=

ms

υ0 5:=mx0 0:=k 1Nm⋅:=b t( ) 0

N s⋅m

⋅:=m1 1 kg⋅:=

Δίνονται στο SI

Παράδειγμα 1ο (Ελεύθερη ταλάντωση - Χωρίς δύναμη απόσβεσης)

Χώρος των φάσεων: Ονομάζουμε ένα σύστημα συντεταγμένων με την απομάκρυνση x στον οριζόντιο άξονα και την •ταχύτητα u στον κατακόρυφο άξονα. Ένα σημείο της καμπύλης των φάσεων αντιπροσωπεύει τη στιγμιαία θέση και ταχύτητα του •κινητού.

Κατά το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα οι φυσικοί και άλλοι επιστήμονες άρχισαν να μελετούν •δυναμικά συστήματα που είναι μεν αιτιοκρατικά αλλά παρουσιάζουν συμπεριφορά μη προβλέψιμη ή χαοτική. Η έννοια του χάους είναι πολύ παρεξηγημένη και συνεχίζει να είναι αμφιλεγόμενη.•Ένα χαρακτηριστικό του χάους στα μηχανικά συστήματα είναι η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Παρατηρείται μια τρομερή αστάθεια των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης που περιγράφει την εξέλιξη ενός φαινομένου, εξαιτίας απειροελάχιστων αλλαγών στις αρχικές συνθήκες του προβλήματος. Μια πολύ μικρή αλλαγή στις αρχικές συνθήκες μπορεί να προκαλέσει μια μεγάλη αλλαγή στη λύση, δηλαδή στο αποτέλεσμα. Και επειδή στον πραγματικό κόσμο οι αρχικές συνθήκες μόνο κατά προσέγγιση - έστω και μεγάλη προσέγγιση - είναι γνωστές, μια ενδεχόμενη υπερευαισθησία των εξισώσεών μας ως προς τις αρχικές συνθήκες, κάνει πρακτικά αδύνατη κάθε οποιαδήποτε πρόβλεψη. "Το πέταγμα μιας πεταλούδας στην Αθήνα, μπορεί να προκαλέσει καταιγίδα στο Ηράκλειο της Κρήτης" σύμφωνα με μια εκδοχή της περίφημης ρήσης που συνοψίζει την κλασική πλέον αστάθεια των μετεωρολογικών μοντέλων έναντι μικρών αλλαγών στις αρχικές συνθήκες που καθορίζουν τον καιρό (δες "Mathematica και εφαρμογές" του Στέφανου Τραχανά, ΠΕΚ, Ηράκλειο 2001).Ένα άλλο χαρακτηριστικό του χάους εμφανίζεται στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Αν η δύναμη •του ελατηρίου δεν είναι γραμμική συνάρτηση της μετατόπισης (δηλαδή αν η συμπεριφορά της δύναμης του ελατήριου είναι πιο περίπλοκη από την F = -kx), τότε υπό την επίδραση μιας διεγείρουσας δύναμης ημιτονοειδούς μορφής μπορεί να προκύψει κίνηση του κινητού που να μη έχει καμιά σχέση με τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης (δες τελευταία εφαρμογή).

Αιτιοκρατικό Σύστημα: Ονομάζουμε οποιοδήποτε σύστημα του οποίου μπορούμε να προβλέψουμε πλήρως την κίνηση εφόσον γνωρίζουμε τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες.

13-9. ΧΑΟΣ: Μελέτη ενός ειδικού θέματος στη δυναμική ανάλυση

120

Page 131: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

6 3 0 3 6

6

3

3

6ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ u ως προς x

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s)

uo−

uo

S 2⟨ ⟩( )

Ao− Ao

S 1⟨ ⟩( )

ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ. Διάγραμμα ταχύτητας u ως προς την απομάκρυνση x.Κάθε σημείο της καμπύλης αντιπροσωπεύει τη θέση και την ταχύτητα του κινητού σε κάποια •χρονική στιγμή (από 0 έως 5Τ). Η διαγραφή γίνεται δεξιόστροφα (φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού). •Το σημείο στο χώρο των φάσεων ΔΕΝ διατρέχει συνεχώς την ίδια διαδρομή ανά περίοδο αλλά •περιελίσσεται πλησιάζοντας προς την αρχή των αξόνων. Αρχικές συνθήκες: x = 2.5m και uo = 5m/s [Σημείο εκκίνησης της τροχιάς το (2.5m, 5m/s)]. •Σημείο σύγκλισης της τροχιάς το (0, 0).•Αιτιοκρατικό Σύστημα•

S rkfixed ic 0 s⋅, 5 T⋅, 5000, D,( ):=D t X,( )

X1

1m1

F t( ) b X1⋅− k X0⋅−( )⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:=

T 6.291 s=T1f

:=f 0.159 Hz=fω

2 π⋅:=

ω 0.999rads

=ω ωo2 b

2 m1⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2−:=ωo

km1

:=icx0

υ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=F t( ) 0 N⋅:=

ms

υ0 5:=mx0 2.5:=k 1Nm⋅:=b 0.1

N s⋅m

⋅:=m1 1 kg⋅:=

Δίνονται στο SI

Παράδειγμα 2ο(Φθίνουσα ταλάντωση - Με δύναμη απόσβεσης - Χωρίς Εξωτερική δύναμη - Κίνηση Μεταβατική)

Αιτιοκρατικό ΣύστημαΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ - ΕΛΛΕΙΨΗ (ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ)

Σημείο εκκίνησης

ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ. Διάγραμμα ταχύτητας u ως προς την απομάκρυνση x. Αιτιοκρατικό Σύστημα

Κάθε σημείο της έλλειψης αντιπροσωπεύει τη θέση και την ταχύτητα του κινητού σε κάποια •χρονική στιγμή (από 0 έως 5Τ). Η διαγραφή γίνεται δεξιόστροφα (φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού). •Το σημείο στο χώρο των φάσεων διατρέχει συνεχώς την ίδια διαδρομή ανά περίοδο. •Αρχικές συνθήκες: x = 0m και uo = 5m/s (μέγιστη). •

121

Page 132: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

2 1 0 1 2 3 4 5

4

1

6Ταχύτητα u - Απομάκρυνση x

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

S 2⟨ ⟩( )

S 1⟨ ⟩( )

6 3 0 3 6

6

3

3

6ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ u ως προς x

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

S 2⟨ ⟩( )

x0

S 1⟨ ⟩( )

ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ. Διάγραμμα ταχύτητας u ως προς την απομάκρυνση x.Κάθε σημείο της καμπύλης αντιπροσωπεύει τη θέση και την ταχύτητα του κινητού σε κάποια •χρονική στιγμή (από 0 έως 5Τ). Η διαγραφή γίνεται δεξιόστροφα (φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού). •Αρχικά το σημείο στο χώρο των φάσεων ΔΕΝ διατρέχει συνεχώς την ίδια διαδρομή αλλά •περιελίσσεται πλησιάζοντας προς την αρχή των αξόνων.

Αρχικές συνθήκες:(0m, 5m/s)

Σημείο εκκίνησης

S rkfixed ic 0 s⋅, 40 s⋅, 5000, D,( ):=

D t X,( )

X1

1m1

F t( ) b t( ) X1⋅− k X0⋅−( )⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:=b t( ) bo t0⋅ 0 s⋅ t≤ 10 s⋅≤if

0 otherwise

:=

F t( ) 0 N⋅:=icx0

υ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=ms

υ0 5:=mx0 0:=k 1Nm⋅:=bo 0.5

N s⋅m

⋅:=m1 1 kg⋅:=

Δίνονται στο SI

Παράδειγμα 3ο (Φθίνουσα ταλάντωση αρχικά - Με δύναμη απόσβεσης χρονικά εξαρτώμενη - Χωρίς Εξωτερική δύναμη - Ελεύθερη ταλάντωση τελικά)

Αιτιοκρατικό Σύστημα

Αρχικές συνθήκες:

(2.5m, 5m/s)

Σημείο εκκίνησης

122

Page 133: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

15 10 5 0 5 10 15

2

2

4

6Ταχύτητα u - Απομάκρυνση x

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s) υ0

S 2⟨ ⟩( )

x0

S 1⟨ ⟩( ) Αιτιοκρατικό Σύστημα

Αρχικές συνθήκες:(2m, 3m/s)

Σημείοεκκίνησης

ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ. Διάγραμμα ταχύτητας u ως προς την απομάκρυνση x.Κάθε σημείο της καμπύλης αντιπροσωπεύει τη θέση και την ταχύτητα του κινητού σε κάποια •χρονική στιγμή (από 0 έως 5Τ). Η διαγραφή γίνεται δεξιόστροφα (φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού). •Το σημείο στο χώρο των φάσεων ΔΕΝ διατρέχει συνεχώς την ίδια διαδρομή αλλά περιελίσσεται •πλησιάζοντας προς την αρχή των αξόνων. Αρχικές συνθήκες: x = 2m και uo = 3m/s [Σημείο εκκίνησης της τροχιάς το (2m, 3m/s)]. •Δεν υπάρχει σημείο σύγκλισης. Η τροχιά μεταπίπτει τελικά σε έλλειψη (οριακός κύκλος) και η •ταλάντωση είναι εξαναγκασμένη με κυκλική συχνότητα ωd όση της διεγείρουσας δύναμης.Αν μεταβάλλουμε το διάνυσμα των αρχικών συνθηκών θα παρατηρήσουμε αρχικά να •μεταβάλλεται ο χώρος των φάσεων ωστόσο όμως τελικά ο οριακός κύκλος παραμένει αμετάβλητος. Δηλαδή ίδια μόνιμη κατάσταση. Αιτιοκρατικό Σύστημα•

S rkfixed ic 0 s⋅, 5 T⋅, 5000, D,( ):=D t X,( )

X1

1m1

F t( ) b X1⋅− k X0⋅−( )⋅

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:=F t( ) Fmax cos ωd t⋅( )⋅:=

icx0

υ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=T 62.832 s=T2 π⋅

ωd:=ωd 0.1

rads

⋅:=Fmax 10 N⋅:=

ms

υ0 3:=mx0 2:=k 1Nm⋅:=b 0.8

N s⋅m

⋅:=m1 1 kg⋅:=

Δίνονται στο SI

Παράδειγμα 4ο (Εξαναγκασμένη ταλάντωση - Με δύναμη απόσβεσης χρονικά ανεξάρτητη- Με Εξωτερική δύναμη συνημιτονοειδούς μορφής)

Αρχικές συνθήκες: x = 0m και uo = 5m/s [Σημείο εκκίνησης της τροχιάς το (0m, •5m/s)]. Η τροχιά μεταπίπτει τελικά σε έλλειψη μετά το 10οs (ελεύθερη ταλάντωση).•Αιτιοκρατικό Σύστημα•

123

Page 134: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Θέσεις x01 και x03: Τοπικά ευσταθείς.

Άρα υπάρχουν τρεις θέσεις x01, x02 και x03 που αποτελούν τοπικά ακρότατα.

Find x( ) 0 L12

L⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

→k− x⋅ 1xL

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅ k x2

1xL

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

L⋅+ 0=Given

Αναζητούμε θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας). Προσδιορίζουμε για ποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της Δυναμικής Ενέργειας U(x, k, L).

F x k, L,( ) k− x L−( )⋅=Για x ≈ L:Δες Άσκηση

13-31 σελ 376 H. Young

F x k, L,( ) k− x⋅=Για x << L:

F x k, L,( ) k− x⋅ 1xL

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 12 x⋅L

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅=

F x k, L,( )xU x k, L,( )d

d−=Η δύναμη F(x) είναι:U x k, L,( )

12

k⋅ x2⋅ 1

xL

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅:=

2. Επίσης δίνεται η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας U(x, k, L) την οποία παράγει η δύναμη F(x). Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI:

U1 x k, L,( )12

k⋅ x2⋅:=

1. Δίνεται η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας U1(x, k, L)

Παράδειγμα 5ο Πηγάδι (Φρέαρ) Δυναμικού. Χαοτικό (μη Αιτιοκρατικό) Σύστημα.

Αιτιοκρατικό Σύστημα

Αρχικές συνθήκες:(4m, 5m/s)

Σημείοεκκίνησης

124

Page 135: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0.001 5 .10 4 0 5 .10 4 0.001 0.0015 0.002 0.0025

5 .10 8

1 .10 7

1.5 .10 7

Ενέργειες ως προς την Απομάκρυνση

U1 x k, L,( )

U x k, L,( )

x02 x03

x

F k− x⋅ 1xL

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 12 x⋅L

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅=

0.001 5 .10 4 0 5 .10 4 0.001 0.0015 0.002 0.0025

0.002

0.002

Δύναμη (N) ως προς την Απομάκρυνση (m)

F x k, L,( )

x02 x03

x

F x k, L,( ) k− x⋅ 1xL

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 12 x⋅L

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=Η συνάρτηση της Δυναμικής Ενέργειας U(x, k, L) παράγει τη δύναμη F(x). Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI:

U112

k⋅ x2⋅=

U12

k⋅ x2⋅ 1

xL

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅=

Δες Άσκηση 13-31 σελ 376 H. Young

x a ac a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, c..:=c 1.5 L⋅:=a 0.5− L⋅:=

x03 L:=x0212

L⋅:=x01 0:=Επιλύοντας προκύπτουν οι πραγματικές λύσεις:

L 2 10 3−× m⋅:=k 1Nm⋅:= Δίνονται:

Θέση x02: Τοπικά ασταθής.

125

Page 136: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

0 5 10 15 20 25 30

2

2Ταχύτητα u - Χρόνος t

Χρόνος t

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

S 2⟨ ⟩( )2

S 0⟨ ⟩( )

0 5 10 15 20 25 30

1

1

2

3Απομάκρυνση x - Χρόνος t

Χρόνος t (s)

Απομάκρυνση

x (m

)

S 1⟨ ⟩( )

S 0⟨ ⟩( )

S rkfixed ic 0 s⋅, 2 T⋅, 5000, D,( ):=

D t X,( )

X1

1m1

F t( ) b X1⋅−( ) k X0( )⋅ 1X0( )L

−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅ 12 X0( )⋅

L−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅−⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:=

F t( ) Fmax cos ωd t⋅( )⋅:=icx0

υ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=T 12.566 s=T2 π⋅

ωd:=

ms

υ0 1:=x0 0 L⋅:=ωd 0.5

rads

⋅:=Fmax 1 N⋅:=

mL 1:=k 1Nm⋅:=b 0.01

N s⋅m

⋅:=m1 1 kg⋅:=

m1 2txd

d

2⋅ b

txd

d⋅+ k x⋅ 1

xL

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ 12 x⋅L

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅+ F t( )=Ο δεύτερος νόμος Newton δίνει:

126

Page 137: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

2

1

1

2Ταχύτητα u - Απομάκρυνση x

Απομάκρυνση x (m)

Ταχύτητα

u (m

/s)

υ0

S 2⟨ ⟩( )

Lx0

S 1⟨ ⟩( )

Σημείο εκκίνησης

Ενεργό Διάγραμμα

Αρχικές συνθήκες:(0L, 1m/s)

Χαοτικό (μη Αιτιοκρατικό) Σύστημα

Σημείο εκκίνησης

Αρχικές συνθήκες:(0.1L, 1) Χαοτικό (μη Αιτιοκρατικό)

Σύστημα

ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΦΑΣΕΩΝ. Διάγραμμα ταχύτητας u ως προς την απομάκρυνση x.Κάθε σημείο της καμπύλης αντιπροσωπεύει τη θέση και την ταχύτητα του κινητού σε κάποια •χρονική στιγμή (από 0 έως 2Τ). Η διαγραφή γίνεται δεξιόστροφα (φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού). •Το σημείο στο χώρο των φάσεων ΔΕΝ διατρέχει συνεχώς την ίδια διαδρομή αλλά κινείται •χαοτικά.Αρχικές συνθήκες: x = 0L και uo = 1m/s [Σημείο εκκίνησης της τροχιάς το (0m, 1m/s)]. •Δεν υπάρχει σημείο σύγκλισης. Η τροχιά δεν μεταπίπτει τελικά σε οριακό κύκλο. Η κίνηση •είναι εξαναγκασμένη αλλά όχι ταλάντωση.Αν μεταβάλλουμε το διάνυσμα των αρχικών συνθηκών θα παρατηρήσουμε πολύ σύντομα μια •διαφορετική κίνηση (ευαισθησία στις αρχικές τιμές ) χαρακτηριστικό των χαοτικών δυναμικών συστημάτων.Το δυναμικό σύστημα ΔΕΝ καταλήγει στην ίδια μόνιμη κατάσταση! •Χαοτικό (μη Αιτιοκρατικό) Σύστημα.•

127

Page 138: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 13 ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

128

Page 139: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 15 ΘΕΡΜ/ΣΙΑ Τ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Q

n ο αριθμός (πλήθος) των mol της καθαρής ουσίας από την οποία αποτελείται το σώμα.

dQ C n⋅ dT⋅=Θεμελιώδης νόμος της Θερμιδομετρίας

M η γραμμομοριακή μάζα (molar) της καθαρής ουσίας από την οποία αποτελείται το σώμα.

C c M⋅=Γραμμομοριακή ειδική θερμότητα C ή Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα

k c m⋅=Το γινόμενο της μάζας m με την ειδική θερμότητας c ονομάζεται θερμοχωρητικότητα k του σώματος.

dQ το στοιχειώδες ποσό θερμότητας που αντάλλαξε το σώμα μάζας m με το περιβάλλον,c η ειδική θερμότητα του υλικού του σώματος εξαρτώμενη από τη θερμοκρασία.Μονάδα μέτρησης ειδικής θερμότητας: J/Kg.Co. Για το νερό στους 14,5 οC είναι περίπου: cνερού = 1cal/Kg.Co = 4186 J/Kg.Co.Στα προβλήματα και τα παραδείγματα συνήθως αγνοούμε τη μεταβολή της ειδικής θερμότητας c.Η θερμότητα Q που προστίθεται σε ένα σώμα θεωρείται θετική.

dQ c m⋅ dT⋅=Θεμελιώδης νόμος της Θερμιδομετρίας

(Μέσο κλιματιστικό)12000BTUhr

⋅ 3516.85 W=

Μονάδες Θερμότητας (εκτός SI): 1 cal = 4,186 J, 1Btu = 1055 J.

15-5. ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Εσωτερική ενέργεια U: Θεωρείστε ορισμένη ποσότητα ενός αερίου σε σταθερές συνθήκες. Τα μόρια του αερίου βρίσκονται σε διαρκή άτακτη κίνηση διαθέτοντας κινητική ενέργεια. Επειδή το αέριο είναι πραγματικό τα μόρια διαθέτουν και δυναμική ενέργεια. Μη ξεχνάτε ότι τα μόρια του αερίου αποτελούνται από άτομα. Τα άτομα από πυρήνες και περιφερόμενα περί τον πυρήνα και ιδιοπεριστρεφόμενα ηλεκτρόνια. Το άθροισμα όλων των μορφών ενέργειας των ηλεκτρονίων, των πυρήνων, των ατόμων και των μορίων αποτελούν την εσωτερική ενέργεια αυτής της ποσότητας του αερίου. Μας ενδιαφέρουν οι μεταβολές της εσωτερική ενέργειας ενός σώματος. Θερμοκρασία Τ: Είναι το μονόμετρο φυσικό μέγεθος που εκφράζει τη θερμική κατάσταση ενός σώματος (πόσο ζεστό ή κρύο είναι το σώμα). Μετράται με θερμόμετρα σε βαθμούς Kelvin ή σε βαθμούς Celsius. Για ένα συγκεκριμένο αέριο από τη θερμοκρασία εξαρτάται η ενεργός ταχύτητα των μορίων του urms.

Θερμότητα Q: Είναι το ενεργειακό μέγεθος στο οποίο οφείλονται οι μεταβολές της εσωτερικής ενέργειας ενός σώματος.

Αν προσφερθεί θερμότητα σε ένα σώμα αυξάνεται η εσωτερική του ενέργεια καθώς επίσης και η •θερμοκρασία του.Αν ένα σώμα προσφέρει θερμότητα σε ένα άλλο ή στο περιβάλλον του τότε μειώνεται η •εσωτερική του ενέργεια καθώς επίσης και η θερμοκρασία του.

Θερμική Ισορροπία: Δύο σώματα ή συστήματα σε επαφή ή όχι, βρίσκονται σε θερμική ισορροπία αν έχουν την ίδια θερμοκρασία (όχι την ίδια εσωτερική ενέργεια). Τότε θεωρούμε ότι δε μεταφέρεται θερμότητα από το ένα στο άλλο.

Μηδενικός Θερμοδυναμικός Νόμος: Αν δύο συστήματα Α και Β βρίσκονται σε θερμική ισορροπία με ένα άλλο σύστημα Γ, τότε και τα Α και Β βρίσκονται σε θερμική ισορροπία.

15-1. ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΚΑΙ ΘΕΡΜΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ

ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15

129

Page 140: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 15 ΘΕΡΜ/ΣΙΑ Τ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Q

0 10 20 30 40 50 60 700.01

0.1

1

10

100

C T( )

18.886J

mole K⋅⋅

Cmean

0.087J

mole K⋅⋅

10 K⋅ 60 K⋅

T

1. Αγωγή2. Μεταφορά3. Ακτινοβολία

15-7. ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα - Θερμοκρασία

T 10 K⋅ 15 K⋅, 60 K⋅..:=

C T2( ) 18.886J

mole K⋅=C T1( ) 0.087

Jmole K⋅

=γ) Η πραγματική τιμή της γραμμομοριακής θερμοχωρητικότητας στους 10.0 K και στους 60.0 Κ αντίστοιχα είναι:

Cmean 5.661J

mole K⋅=Cmean

Qn T2 T1−( )⋅

:=β) Η μέση γραμμομοριακή θερμοχωρητικότηταστην περιοχή αυτή είναι:

Q 566.138 J=QT1

T2TC T( ) n⋅

⌠⎮⎮⌡

d:=Η θερμότητα που απαιτείται είναι:

C T( ) kT3

Θ3

⋅:=dQ C T( ) n⋅ dT⋅=T2 60 K⋅:=T1 10 K⋅:=n 2 mole⋅:=α) Δίνονται:

α) Πόση θερμότητα απαιτείται για να αυξηθεί η θερμοκρασία 2.00 mole NaCl από τους 10.0 Κ στους 60.0 Κ;β) Ποια είναι η μέση γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα στην περιοχή αυτή;γ) Ποια είναι η πραγματική τιμή της γραμμομοριακής θερμοχωρητικότητας στους 10.0 K και στους 60.0 Κ;

Θ 281 K⋅:=k 1940J

mol K⋅⋅:=όπου:

C kT3

Θ3

⋅=

Εφαρμογή στο νόμο του Debye.Σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες η γραμμομοριακή (molar) θερμοχωρητικότητα του NaCl μεταβάλλεται με τη θερμοκρασία σύμφωνα με το νόμο του Debye:

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2ΑΣΚΗΣΗ 15-71 / ΣΕΛ 447 H. YOUNG

130

Page 141: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 15 ΘΕΡΜ/ΣΙΑ Τ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Q

2. Μεταφορά: Είναι η διάδοση θερμότητας λόγω μετακίνησης μάζας ενός ρευστού από μια περιοχή του χώρου

σε μία άλλη. Παίζει σημαντικό ρόλο στη διαμόρφωση καιρικών καταστάσεων (μεταφορά θερμών αέριων μαζών ή υγρών). Είναι πολύπλοκο φαινόμενο και δεν περιγράφεται από συγκεκριμένη εξίσωση.

2α. Εξαναγκασμένη μεταφορά: Το ρευστό ανακυκλώνεται με τη βοήθεια μιας αντλίας (πχ το αίμα από την καρδιά, το θερμό νερό από τον κυκλοφορητή σε μια εγκατάσταση καλοριφέρ).

2α. Φυσική ή ελεύθερη μεταφορά: Το ρευστό κυκλοφορεί λόγω διαφοροποίησης της πυκνότητας (πχ η ανύψωση του θερμού αέρα μέσα σε ένα δωμάτιο).

RLk

=Θερμική Αντίσταση R ( m2K / W ).

Θερμοβαθμίδα dT/dx ονομάζουμε τη μεταβολή της θερμοκρασίας ανά μονάδα μήκους (K /m).

kξύλου 0.05W

m K⋅⋅=kαέρα 0.024

Wm K⋅⋅=

kStyrofoam 0.01W

m K⋅⋅=Αφρώδες διογκομένο πολυστυρένιο (Styrofoam)

Θερμική αγωγιμότητα k μονωτών:

kPb 34.7W

m K⋅⋅=

kFe 50.2W

m K⋅⋅=

kAl 205.0W

m K⋅⋅=

Θερμική αγωγιμότητα k αγωγών:

Θερμικό Ρεύμα

Θερμομονωτικό

Θερμομονωτικό

TH Α

L

Α TC

ΘερμόΆκρο

ΨυχρόΆκρο

Αγωγή σε ομογενή ράβδο

Θερμική αγωγιμότητα k: Eξαρτάται από το υλικό και μετράται σε W/mK. Οι αγωγοί της θερμότητας έχουν μεγάλες τιμές k, ενώ οι μονωτές θερμότητας έχουν μικρό k.

H k A⋅TH TC−

L⋅=H

tQd

d=Θερμικό Ρεύμα H (J/s ή W):

1. Αγωγή: Είναι η διάδοση της μηχανικής ενέργειας των μορίων μέσα στο υλικό χωρίς να μετακινείται η μάζα του υλικού.

Θεωρούμε μια κυλινδρική μεταλλική ράβδο μήκους L, διατομής Α με θερμική αγωγιμότητα k, με θερμό το ένα άκρο [ΤΗ] και ψυχρό το άλλο [ΤC]. Θερμότητα διαδίδεται με αγωγή από το θερμό προς το ψυχρό άκρο.

Τα άτομα του μετάλλου του θερμού άκρου διαθέτουν κατά μέσο όρο μεγαλύτερη κινητική •ενέργεια από την κινητική ενέργεια των ατόμων του ψυχρού άκρου. Έτσι προσδίδουν μέρος της ενέργειάς τους στα άτομα του ψυχρού άκρου. Προφανώς τα άτομα του μετάλλου δεν μετακινούνται από περιοχή σε περιοχή.Επειδή όμως η ράβδος είναι μεταλλική διαθέτει μεγάλο αριθμό ελεύθερων ηλεκτρονίων. Αυτά τα •ελεύθερα ηλεκτρόνια μεταφέρουν ενέργεια από το θερμό στο ψυχρό άκρο.

131

Page 142: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 15 ΘΕΡΜ/ΣΙΑ Τ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Q

Φυσική μεταφορά

Φυσική μεταφορά

3. Ακτινοβολία:Είναι η διάδοση ενέργειας με ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (όχι αναγκαστικά στην ορατή

περιοχή). Θεωρούμε επιφάνεια με εμβαδό Α (m2) σε θερμοκρασία Τ. Για το Θερμικό Ρεύμα H (σε J/s ή σε W) ισχύει ο νόμος Stefan-Boltzmann.

132

Page 143: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 15 ΘΕΡΜ/ΣΙΑ Τ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Q

Αυτή η τιμή ισχύος λειτουργίας είναι ικανοποιητική για πολλές τυπικές εφαρμογές των IC, αντίθετα με τα chip που χρησιμοποιούνται σε εφαρμογές ταχύτατων υπολογιστών όπου συχνά οι απαιτούμενες ισχείς είναι σημαντικά μεγαλύτερες.

P98

W= ή P 1.125 W=PTc Tπ−

rth:=

rth 40KW⋅:=Tπ 75 273+( ) K⋅:=Tc 120 273+( ) K⋅:=Δίνονται:

Ένα IC σαράντα ακίδων σε κεραμικό περίβλημα έχει θερμική αντίσταση 40 Κ/W. Αν η μέγιστη επιτρεπτή θερμοκρασία του κυκλώματος είναι 120 οC, ποια είναι η μέγιστη επιτρεπτή ισχύς λειτουργίας P του συστήματος σε ένα περιβάλλον όπου επικρατεί θερμοκρασία 75 οC;

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3ΑΣΚΗΣΗ 15-17 / ΣΕΛ 440 H. YOUNG

Tc Tπ rth P⋅+=Άρα η τελική θερμοκρασία είναι:

H P=Αφού η θερμοκρασία του chip είναι τελική θα ισχύει:

HTc Tπ−

rth=Ο ρυθμός θερμικής απώλειας Η του chip είναι:

Θεωρούμε ένα chip με τελική θερμοκρασία Tc να απορροφά ηλεκτρική ισχύ P και να λειτουργεί σε περιβάλλον σταθερής θερμοκρασίας Tπ. Το chip έχει θερμική αντίσταση rth που εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθός του.

15-8. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ (IC)

Hτελ A e⋅ σ⋅ T4 Tπερ4

−⎛⎝

⎞⎠⋅=

Όταν ένα σώμα Σ σε θερμοκρασία Τ περιβάλλεται από κάποιο άλλο υλικό που βρίσκεται σε θερμοκρασία Τπ, το τελικό θερμικό ρεύμα από το Σ προς το περιβάλλον είναι:

όπου e ο συντελεστής εκπομπής που εξαρτάται από τη φύση της επιφάνειας που ακτινοβολεί και ως ένα βαθμό από τη θερμοκρασία. Είναι καθαρός αριθμός. Κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και ένα και έχει μεγαλύτερη τιμή για σκούρο παρά για ανοιχτό χρώμα. Μέλαν ή μελανό σώμα. Είναι η ιδανική επιφάνεια που απορροφά πλήρως την ακτινοβολία που δέχεται.Ο συντελεστής εκπομπής του μέλανος σώματος είναι: e = 1!

σ 5.67 10 8−⋅W

m2 K4⋅

⋅=όπου σ η σταθερά Stefan-Boltzmann:

H A e⋅ σ⋅ T4⋅=Νόμος Stefan-Boltzmann

133

Page 144: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 15 ΘΕΡΜ/ΣΙΑ Τ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Q

134

Page 145: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔ. ΑΞΙΩΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

17-1. ΕΝΕΡΓΕΙΑ, ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ

Σύστημα ονομάζουμε κάποιο κομμάτι ύλης που απομονώνουμε νοερά από το περιβάλλον.

Περιβάλλον ονομάζουμε οτιδήποτε έξω από το σύστημα και το οποίο μπορεί να έχει άμεση επίδραση πάνω στη συμπεριφορά του συστήματος.

Θερμοδυναμικό Σύστημα ονομάζουμε το σύστημα που όταν αλληλεπιδρά με το περιβάλλον ανταλλάσσει με αυτό ενέργεια είτε μέσω έργου W είτε μέσω θερμότητας Q. Το απλούστερο θερμοδυναμικό σύστημα είναι μια ποσότητα αερίου εγκλωβισμένη με τη βοήθεια ενός εμβόλου μέσα σε ένα κύλινδρο.

Θερμοδυναμικές μεταβλητές ενός συστήματος ονομάζουμε τις κατάλληλες φυσικές ποσότητες που επιλέγουμε για να περιγράψουμε την κατάσταση ενός θερμοδυναμικού συστήματος. Στην περίπτωση ενός αερίου οι θερμοδυναμικές μεταβλητές οι οποίες και μπορούν να μετρηθούν είναι: α) η Πίεση p (Pa = N/m2), β) ο Όγκος V (m3) και γ) η Θερμοκρασία Τ (K).Αν το αέριο είναι Ιδανικό (Τέλειο) ακολουθεί την Καταστατική Εξίσωση: pV = nRT

Θερμοδυναμική Ισορροπία ή απλά Ισορροπία ονομάζουμε την κατάσταση στην οποία έχει φτάσει ένα θερμοδυναμικό σύστημα όπου καθεμιά από τις θερμοδυναμικές του μεταβλητές έχει την ίδια τιμή σε όλη την έκταση του συστήματος.Στην περίπτωση ενός αερίου θερμοδυναμική ισορροπία επιτυγχάνεται όταν η πίεση p, η πυκνότητα ρ και η θερμοκρασία Τ έχουν η καθεμιά ξεχωριστά την ίδια τιμή σε όλη την έκταση του αερίου.

Σήμανση προσήμων1. Αέριο παίρνει Q; τότε: Q > 02. Αέριο δίνει Q; τότε: Q < 0

3. Αέριο παίρνει W; τότε: W < 0 Συμπίεση (Μείωση όγκου)4. Αέριο δίνει W; τότε: W > 0 Εκτόνωση (Αύξηση όγκου)

ΣΥΣΤΗΜΑ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Q > 0 W > 0

ΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΡΡΟΦΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ: Q > 0ΚΑΙ ΑΠΟΔΙΔΕΙ ΕΡΓΟ: W > 0

ΣΥΣΤΗΜΑ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

Q < 0W < 0

ΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟΡΡΟΦΑ ΕΡΓΟ ΑΠΟ ΤΟ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ: W < 0ΚΑΙ ΑΠΟΔΙΔΕΙ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ: Q < 0

17-2. ΕΡΓΟ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΟΓΚΟΥ ή ΕΡΓΟ ΟΓΚΟΜΕΤΑΒΟΛΗΣΘεωρούμε μια ποσότητα αερίου εγκλωβισμένη με τη βοήθεια ενός εμβόλου μέσα σε ένα κύλινδρο. Υποβάλλουμε το αέριο σε αντιστρεπτή μεταβολή από μια κατάσταση θερμοδυναμική ισορροπίας (p1, V1) σε μια άλλη (p2, V2). Είναι γνωστό ότι το έργο που δίνει ή παίρνει το αέριο για απειροστή μεταβολή είναι:

135

Page 146: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔ. ΑΞΙΩΜΑ

p1 3 105⋅ Pa⋅:= p2 1 105⋅ Pa⋅:=

Η παγκόσμια σταθερά R των ιδανικών αερίων είναι: R 8.314J

mole K⋅⋅:=

1. Επειδή το αερίο είναι ιδανικό: V1 n R⋅ T⋅1p1⋅:= V1 8.314 10 3−× m3=

Επειδή το αερίο μεταβάλλεται ισοθερμοκρασικώς (Νόμος Boyle):

V2p1 V1⋅

p2:= V2 2.494 104× cm3

=

Στην εκτόνωσηV2 > V1

το W θετικό2. Το έργο W είναι: W

V1

V2V

n R⋅ T⋅V

⌠⎮⎮⌡

d:= W 2.74 103× J=

Διαφορετικά το έργο W είναι: W n R⋅ T⋅ lnV2V1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅:= W 2.74 103× J=

3. Η ισοθερμοκρασιακή μεταβολή σε διάγραμμα p-V: V V1 1.01 V1⋅, V2..:= p V( ) n R⋅ T⋅1V⋅:=

Το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν εκφράζει το έργο που αποδίδει (εκτόνωση) το αέριο στο •περιβάλλον. Το έργο δεν είναι καταστατικό μέγεθος και εξαρτάται όχι μόνο από την αρχική και τελική •κατάσταση αλλά και από τις διαδοχικές καταστάσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας ή διαφορετικά από τη διαδρομή.

dW p dV⋅=

Ενώ για πεπερασμένη από (p1, V1) σε (p2, V2) είναι: WV1

V2Vp

⌠⎮⎮⌡

d=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1ΑΣΚΗΣΗ 17-1 / ΣΕΛ 485 H. YOUNG

Εφαρμογή στην ισοθερμοκρασιακή (ισόθερμη) μεταβολή.Ποσότητα ιδανικού αερίου εκτονώνεται ισοθερμοκρασικώς από την κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας 1 (p1, V1) στην 2 (p2, V2). Να υπολογισθεί το έργο W που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον.

Στην εκτόνωσηV2 > V1

το W θετικότο έργο W είναι: W

V1

V2V

n R⋅ T⋅V

⌠⎮⎮⌡

d= ή W n R⋅ T⋅ lnV2V1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅= 1( )

Επειδή το αερίο μεταβάλλεται ισοθερμοκρασικώς (Νόμος Boyle): V2V1

p1p2

= 2( )

Στην εκτόνωσηp1 > p2

το W θετικόη (1) και (2) δίνουν: W n R⋅ T⋅ ln

p1p2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=

Αριθμητική Εφαρμογή:

n 1 mole⋅:= Θ = 27 οC T 300 K⋅:=

136

Page 147: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔ. ΑΞΙΩΜΑ

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

1 .105

2 .105

3 .105

ΙΣΟΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ

Όγκος V (κυβ. μέτρα)

Πίεση

p (P

a)

p2

p1

p V( )

V1 V2

V

p n R⋅ T⋅1V⋅=

1 (p1, V1)

Το γραμμοσκιασμένο εμβαδό εκφράζει

το έργο W

W

V1

V2V

n R⋅ T⋅V

⌠⎮⎮⌡

d= 2 (p2, V2)

W n R⋅ T⋅ lnV2V1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=

17-3. ΔΙΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΟΓΚΟΥΘερμότητα είναι η μορφή ενέργειας που διαδίδεται από ένα σύστημα Α σε ένα άλλο σύστημα Β •όταν η θερμοκρασία του Α είναι μεγαλύτερη της θερμοκρασίας του Β. Όπως το έργο έτσι και η θερμότητα δεν είναι καταστατικό μέγεθος και εξαρτάται όχι μόνο από •την αρχική και τελική κατάσταση αλλά και από τις διαδοχικές καταστάσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας ή διαφορετικά από τη διαδρομή.

17-4. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U ΚΑΙ ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑΘεωρείστε ορισμένη ποσότητα ενός πραγματικού αερίου σε σταθερές συνθήκες.

Τα μόρια του αερίου βρίσκονται σε διαρκεί άτακτη κίνηση διαθέτοντας κινητική ενέργεια. Επειδή •το αέριο είναι πραγματικό τα μόρια διαθέτουν και δυναμική ενέργεια. Μη ξεχνάτε ότι τα μόρια του αερίου αποτελούνται από άτομα. Τα άτομα από πυρήνες και από •ηλεκτρόνια που όχι μόνο περιφέρονται γύρω από τους πυρήνες αλλά και ιδιοπεριστρέφονται. Το άθροισμα όλων των μορφών ενέργειας των ηλεκτρονίων, των πυρήνων, των ατόμων και των •μορίων αποτελούν την εσωτερική ενέργεια αυτής της ποσότητας του αερίου. Αν το αέριο είναι ιδανικό η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν. Έτσι απομένουν όλες οι άλλες μορφές •ενέργειας για να αποτελέσουν την εσωτερική ενέργεια.Τώρα προσέξτε. Η εσωτερική ενέργεια U είναι καταστατικό μέγεθος και εξαρτάται από την •αρχική και τελική κατάσταση και όχι από τις διαδοχικές καταστάσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας ή διαφορετικά από τη διαδρομή.Στη θερμοδυναμική μεταβολή ενός ιδανικού αερίου μας ενδιαφέρει η μεταβολή ΔU της •εσωτερικής ενέργειας γιατί αυτή υπεισέρχεται στο πρώτο θερμοδυναμικό αξίωμα και όχι η ακριβής τιμή της U.

Πρώτο Θερμοδυναμικό Αξίωμα (ΠΘΑ)Παριστάνει μια γενίκευση της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Q ΔU W+=

Είναι γνωστό από τη Λυκειακή Φυσική ότι για το μονοατομικό ιδανικό αέριο με τρεις (3) βαθμούς ελευθερίας ισχύει: ΔU

32

n⋅ Cv⋅ ΔT⋅=

Σε ένα απομονωμένο σύστημα ισχύει: W = 0 και Q = 0. Έτσι η εσωτερική ενέργεια U παραμένει σταθερή και είναι αποκλειστικά και μόνο συνάρτηση της απόλυτης θερμοκρασίας του.

137

Page 148: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔ. ΑΞΙΩΜΑ

0.008 0.01 0.012 0.014 0.0160

1 .105

2 .105

3 .105

ΑΔΙΑΒΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ

Όγκος V (κυβ. μέτρα)

Πίεση

p (P

a)

p V( )

Vα Vτ

V

Vτ 0.016 m3= Tτ 193.314 K=

ΔTατ Tτ Tα−:= ΔUατ n Cv⋅ ΔTατ⋅:= ΔUατ 1.33− 103× J=

Wατ

pτ Vτ⋅ pα Vα⋅−

1 γ−:= Wατ 1.33 103× J= Qατ ΔUατ Wατ+:= Qατ 0 J=

V Vα 1.001 Vα⋅, Vτ..:= p V( ) pα Vαγ

⋅⎛⎝

⎞⎠ V γ−⋅:= Το εμβαδόν του τοπίου κάτω της καμπύλης

εκφράζει το έργο που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον.Διάγραμμα p-V:

Νόμος Poisson

p pα Vαγ

⋅⎛⎝

⎞⎠ V γ−⋅=

Wατ n− Cv⋅ ΔTατ⋅=

Wατ

V1

V2V

n R⋅ T⋅V

⌠⎮⎮⌡

d=Wατ

pτ Vτ⋅ pα Vα⋅−

1 γ−=

ii. Ισοθερμοκρασιακή Μεταβολή (Νόμος Boyle) ΔΤ = 0Ισχύουν οι σχέσεις:

pτ Vτ⋅ pα Vα⋅= p V⋅ n R⋅ T⋅= Tα Tτ= ΔTατ 0= ΔUατ 0= ΔSατ 0≠

17-5. ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ

i. Αδιαβατική Μεταβολή (Νόμος Poisson) Q = 0Ισχύουν οι σχέσεις:

pτ Vτγ

⋅ pα Vαγ

⋅= Tτ Vτγ 1−( )

⋅ Tα Vαγ 1−( )

⋅= Tτγ− pτ

γ 1−( )⋅ Tα

γ− pαγ 1−( )

⋅= p V⋅ n R⋅ T⋅=

ΔTατ Tτ Tα−= ΔUατ n Cv⋅ ΔTατ⋅= Qατ 0= Wατ

pτ Vτ⋅ pα Vα⋅−

1 γ−= ΔSατ 0=

ΔUατ Wατ−= γCpCv

= Cp Cv R+=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

n 1 mole⋅:= Cv 12.47J

mole K⋅⋅:= R 8.314

Jmole K⋅⋅:= Cp Cv R+:= γ

CpCv

:=

pα 3 105⋅ Pa⋅:= Tα 300 K⋅:= Vαn R⋅ T⋅

pα:= Vα 0.008 m3

=

pτ 1 105⋅ Pa⋅:= Vτ Vαpαpτ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1

γ

⋅:= Tτ TαVαVτ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

γ 1−( )

⋅:=

138

Page 149: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔ. ΑΞΙΩΜΑ

0.01 0.015 0.02 0.0250

1 .105

2 .105

3 .105

ΙΣΟΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ

Όγκος V (κυβ. μέτρα)

Πίεση

p (P

a)

p V( )

Vα Vτ

V

Wατ n R⋅ Tα⋅ lnpαpτ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅:= Wατ 2.74 103× J= Qατ ΔUατ Wατ+:= Qατ 2.74 103× J=

Διάγραμμα p-V: Το εμβαδόν του τοπίου κάτω της καμπύλης εκφράζει το έργο που ανταλλάσσει το αέριο με

το περιβάλλον.V Vα 1.001 Vα⋅, Vτ..:= p V( ) pα Vα⋅( ) V 1−⋅:=

Νόμος Boyle

p n R⋅ Tα⋅1V⋅=

Wατ

V1

V2

Vn R⋅ Tα⋅

V

⌠⎮⎮⌡

d=Wατ n R⋅ Tα⋅ ln

V2V1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=

iii. Ισόογκη ή Ισόχωρη Μεταβολή (Νόμος Charles) ΔV = 0Ισχύουν οι σχέσεις:

pτTτ

pαTα

= p V⋅ n R⋅ T⋅= Vα Vτ= ΔVατ 0= Wατ 0= ΔSατ 0≠

Qατ ΔUατ= ΔUατ n Cv⋅ ΔTατ⋅=

Qατ Wατ= Wατ n R⋅ Tα⋅ lnVτVα

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅= Wατ n R⋅ Tα⋅ lnpαpτ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3

n 1 mole⋅:= R 8.314J

mole K⋅⋅:=

pα 3 105⋅ Pa⋅:= Tα 300 K⋅:= Vαn R⋅ T⋅

pα:= Vα 0.008 m3

=

pτ 1 105⋅ Pa⋅:= Vτ Vαpαpτ

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅:= Tτ Tα:= Vτ 0.025 m3= Tτ 300 K=

ΔTατ Tτ Tα−:= ΔUατ n Cv⋅ ΔTατ⋅:= ΔUατ 0 J=

Wατ n R⋅ Tα⋅ lnVτVα

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅:= Wατ 2.74 103× J= Qατ ΔUατ Wατ+:= Qατ 2.74 103× J=

Διαφορετικά:

139

Page 150: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔ. ΑΞΙΩΜΑ

0 50 100 150 200 250 3000

1 .105

2 .105

3 .105

4 .105 ΙΣΟΟΓΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ

Θερμοκρασία Τ (Κ)

Πίεση

p (P

a)

p T( )

Tα Tτ

T

Το εμβαδόν ΔΕΝ εκφράζει έργο

iv. Ισόθλιπτη ή Ισοβαρής Μεταβολή (Νόμος Gay-Lussac) Δp = 0Ισχύουν οι σχέσεις:

VτTτ

VαTα

= p V⋅ n R⋅ T⋅= pα pτ= Δpατ 0= ΔSατ 0≠

Qατ ΔUατ Wατ+= ΔUατ n Cv⋅ ΔTατ⋅= Wατ pα ΔVατ⋅= Qατ n Cp⋅ ΔTατ⋅=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5

n 1 mole⋅:= R 8.314J

mole K⋅⋅:=

pα 3 105⋅ Pa⋅:= Tα 300 K⋅:= Vαn R⋅ Tα⋅

pα:= Vα 0.008 m3

=

pτ pα:= Tτ 2 Tα⋅:= VτTτTα

Vα⋅:= Vτ 0.017 m3= Tτ 600 K= ΔVατ Vτ Vα−:=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4

n 1 mole⋅:= R 8.314J

mole K⋅⋅:=

pα 1 105⋅ Pa⋅:= Tα 100 K⋅:= Vαn R⋅ Tα⋅

pα:= Vα 0.008 m3

=

pτ 3 105⋅ Pa⋅:= Vτ Vα:= Tτpτpα

Tα⋅:= Vτ 0.008 m3= Tτ 300 K=

ΔTατ Tτ Tα−:= ΔUατ n Cv⋅ ΔTατ⋅:= ΔUατ 2.494 103× J=

Wατ 0:= Wατ 0= Qατ ΔUατ:= Qατ 2.494 103× J=

Διάγραμμα p-T: Το εμβαδόν του τοπίου κάτω της ευθείας ΔΕΝ εκφράζει το έργο που ανταλλάσσει το αέριο με

το περιβάλλον.T Tα 1.001 Tα⋅, Tτ..:= p T( )

pαTα

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

T⋅:=

Νόμος Charles

ppαTα

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

T⋅=

140

Page 151: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟΔ. ΑΞΙΩΜΑ

0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0180

1 .105

2 .105

3 .105

ΙΣΟΘΛΙΠΤΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ

Όγκος V (κυβ. μέτρα)

Πίεση

p (P

a)

p V( )

Vα Vτ

V

ΔTατ Tτ Tα−:= ΔUατ n Cv⋅ ΔTατ⋅:= ΔUατ 3.741 103× J=

Wατ pα ΔVατ⋅:= Wατ 2.494 103× J= Qατ n Cp⋅ ΔTατ⋅:= Qατ 6.235 103× J=

Διάγραμμα p-V: Το εμβαδόν του τοπίου κάτω της ευθείας εκφράζει το έργο που ανταλλάσσει το αέριο με

το περιβάλλον.V Vα 1.001 Vα⋅, Vτ..:= p V( ) pα V0⋅:=

Νόμος Gay-Lussac

p pα V0⋅=

Wατ

V1

V2

Vn R⋅ Tα⋅

V

⌠⎮⎮⌡

d= Wατ pα ΔVατ⋅=

141

Page 152: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 17 ΠΡΩΤΟ ΘΕΡΜΟ∆. ΑΞΙΩΜΑ

142

Page 153: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΔΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

18-1. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΙΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ

Αντιστρεπτές μεταβολές.Η διαθήκη του Σουλτάνου του Θερμομπουρμπουλομάν.Λίγο πριν αφήσει τα πλούσια εγκόσμιά του και περάσει στη χώρα του τραχανά, μάζεψε τη πολυμελή φαμίλια του, το χαρέμι, τα παιδιά, τα εγγόνια και τα δισεγγόνια του και τους άφησε προφορικές και γραπτές εντολές για να έχουν δικαίωμα στην αμύθητη περιουσία του. Τους είπε λοιπόν:...............Δυστυχώς η διαδικασία που ακολουθήθηκε δεν ήταν ακριβώς αντιστρεπτή.Κάθε Αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ αποτελείται από μια ακολουθία διαδοχικών καταστάσεων θερμοδυναμικής ισορροπίας. Μπορεί να διαγραφεί και κατά τις δύο φορές. Είτε από την κατάσταση Α προς την κατάσταση Β ή αντίστροφα. Ένας ακριβέστερος ορισμός της αντιστρεπτής μεταβολής ορίζει ότι, είναι μια διεργασία που, με μια διαφορική μεταβολή του περιβάλλοντος μπορεί να αντιστραφεί και ξαναδιαγράψει την τροχιά της.Μια αντιστρεπτή μεταβολή ΑΒ μπορεί να παρασταθεί σε διάγραμμα p-V, σε αντίθεση με μια μη αντιστρεπτή μεταβολή που δεν μπορεί να παρασταθεί σε διάγραμμα p-V παρά μόνο η αρχική και τελική κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας ως δύο τελείες.Η αντιστρεπτή διαδικασία είναι μια εξιδανίκευση που δεν μπορεί ποτέ να πραγματοποιηθεί.Ωστόσο έχουμε ήδη μελετήσει τις τέσσερις περιπτώσεις απλών αντιστρεπτών μεταβολών.

18-5. ΤΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Διατύπωση "θερμικής μηχανής" των Kelvin - PlankΔεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ιδανική θερμική μηχανή που να υποβάλλει ένα ρευστό εργασίας σε κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή, μετατρέποντας τη θερμότητα που απορροφά από δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας πλήρως σε μηχανικό έργο, δηλαδή να έχει απόδοση 100%.

Τότε τι είναι δυνατόν;Είναι δυνατόν να κατασκευαστεί πραγματική θερμική μηχανή που να υποβάλλει ένα ρευστό εργασίας σε κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή μετατρέποντας μέρος μόνο της θερμότητας που απορροφά από δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας σε μηχανικό έργο, δηλαδή να έχει απόδοση μικρότερη από 100%.

Διατύπωση "ψυκτικής μηχανής" του ClausiusΕίναι αδύνατον να κατασκευαστεί (ιδανική) ψυκτική μηχανή που να υποβάλλει ένα ρευστό εργασίας σε κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή, μεταφέροντας τη θερμότητα που απορροφά από δεξαμενή χαμηλής θερμοκρασίας σε δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας χωρίς να προσφερθεί μηχανικό έργο από το εξωτερικό περιβάλλον.Περισσότερο χαλαρά: Είναι αδύνατο να μεταφερθεί θερμότητα από ένα ψυχρό σε ένα θερμό σώμα χωρίς την κατανάλωση μηχανικού έργου.

143

Page 154: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

ΔUαb 0 J=ΔUαb n Cv⋅ ΔTαb⋅:=ΔTαb Tb Tα−:=

Tb 400 K=Vb 1.33 10 3−× m3=pb 5 105× Pa=Tb Tυ:=pbn R⋅ Tυ⋅

Vb:=Vb 2 Vα⋅:=

Tα Tυ:=Vα 6.65 10 4−× m3=Vαn R⋅ Tυ⋅

pα:=pα 10 105⋅ Pa⋅:=

1. Ισοθερμοκρασιακή εκτόνωση αb υπό υψηλή θερμοκρασία Tυ:

α) Να μελετηθεί κάθε μεταβολή ξεχωριστά.

Tχ 300 K⋅:=Tυ 400 K⋅:=

γCpCv

:=Cp Cv R+:=R 8.314J

mole K⋅⋅:=Cv 20.76

Jmole K⋅⋅:=n 0.2 mole⋅:=

Για ένα ιδανικό μονοατομικό αέριο που υποβάλλεται σε κύκλο Carnot (αbcdα) δίνονται:

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1ΑΣΚΗΣΗ 18-3 / ΣΕΛ 518 / H. YOUNG

Είναι, ο γνωστός από τη Λυκειακή Φυσική, ιδανικός, θεωρητικός (όχι πραγματικός) κύκλος αποτελούμενος από τις τέσσερις διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές:

Ισοθερμοκρασιακή εκτόνωση.•Αδιαβατική εκτόνωση.•Ισοθερμοκρασιακή συμπίεση.•Αδιαβατική συμπίεση.•

18-6. ΚΥΚΛΟΣ CARNOT (1796-1832)

Εύκολα αποδεικνύεται ότι οι δυο προτάσεις είναι ισοδύναμες. Δηλαδή αφού δεν υπάρχει ιδανική •θερμική μηχανή δεν υπάρχει και ιδανικό ψυγείο.Το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα δεν αποτελεί μόνο μια δήλωση αδυνατότητας (ποιοτική •διατύπωση) αλλά μπορεί να διατυπωθεί και ποσοτικά χρησιμοποιώντας την έννοια της εντροπίας S.Ο δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος αποτελεί μια αρχή που δικαιολογείται από το ότι αυτή και οι •προβλέψεις της έχουν την πειραματική μαρτυρία. Έχει τη μεγαλύτερη γενικότητα από οποιαδήποτε αρχή στην επιστήμη. Είναι ίσως ο πλέον μη ανακλήσιμος νόμος!

Τότε τι είναι δυνατόν;Είναι δυνατόν να κατασκευαστεί πραγματική ψυκτική μηχανή που με τη βοήθεια μηχανικού έργου από το περιβάλλον, να υποβάλλει ένα ρευστό εργασίας σε κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή μεταφέροντας θερμότητα από ένα ψυχρό σε ένα θερμό σώμα.

144

Page 155: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

pd 3.657 105× Pa= Vd 1.364 10 3−× m3=

ΔTcd Td Tc−:= ΔUcd n Cv⋅ ΔTcd⋅:= ΔUcd 0 J=

Wcd n R⋅ Tχ⋅ lnVdVc

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅:= Wcd 345.77− J=

Qcd ΔUcd Wcd+:= Qαb 461.026 J=

4. Αδιαβατική συμπίεση dα:

Tα Tυ:= Vd VαTαTd

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1

γ 1−( )

⋅:= pdn R⋅ Td⋅

Vd:= pd 3.657 105× Pa= Vd 1.364 10 3−× m3=

ΔTdα Tα Td−:= ΔUdα n Cv⋅ ΔTdα⋅:= ΔUdα 415.2 J=

Wdαpα Vα⋅ pd Vd⋅−

1 γ−:= Wdα 415.2− J=

Qdα 0:= Qdα 0=

Wαb n R⋅ Tυ⋅ lnVbVα

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅:= Wαb 461.026 J=

Qαb ΔUαb Wαb+:= Qαb 461.026 J=

2. Αδιαβατική εκτόνωση bc:

Tc Tχ:= Vc VbTbTc

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1

γ 1−( )

⋅:= pcn R⋅ Tc⋅

Vc:= pc 1.828 105× Pa= Vc 2.728 10 3−× m3=

ΔTbc Tc Tb−:= ΔUbc n Cv⋅ ΔTbc⋅:= ΔUbc 415.2− J=

Wbcpc Vc⋅ pb Vb⋅−

1 γ−:= Wbc 415.2 J=

Qbc 0:= Qbc 0=

3. Ισοθερμοκρασιακή συμπίεση cd υπό χαμηλή θερμοκρασία T χ:

Από την αδιαβατική συμπίεση dα προθύστερα υπολογίζουμε:

Td Tχ:= Vd VαTαTd

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1

γ 1−( )

⋅:= pdn R⋅ Td⋅

Vd:=

145

Page 156: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003

2 .105

4 .105

6 .105

8 .105

1 .106

1.2 .106 ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

Όγκος V (κυβ. μέτρα)

Πίεση

p (P

a)

pd

pb

Vα Vc

4. Αδ. συμ. dα 2. Αδιαβ. εκτόν. bc

dc3. Ισοθερμ. συμπ. cd

Το εμβαδόν του τοπίου του κύκλου εκφράζει το έργο που ανταλλάσσει το αέριο με το περιβάλλον ανά κύκλο λειτουργίας.

β) Να υπολογίσετε:το ποσό θερμότητας Qh που απορρόφησε το εργαζόμενο ιδανικό ρευστό από τη δεξαμενή •υψηλής θερμοκρασίας.Το μηχανικό έργο Wωφ που αποδίδει η μηχανή ανά κύκλο.•Τη θεωρητική απόδοση e του κύκλου.•Αν η μηχανή λειτουργεί στις 3600 στροφές ανά min πόση ισχύ P αποδίδει; •

Qh Qαb:= Qh 461.026 J=

Wωφ Wαb Wbc+ Wcd+ Wdα+:= Wωφ 115.257 J=

eενερWωφ

Qh:= eενερ 0.25= Διαφορετικά: eθερμ 1

TχTυ

−:= eθερμ 0.25=

b

1. Ισοθερμ. εκτόν. αb

α

Vdα Vα 1.1 Vα⋅, Vd..:=pdα Vdα( ) pdVd

Vdα

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

γ

⋅:=4. Αδιαβατική συμπίεση dα

Vcd Vd 1.1 Vd⋅, Vc..:=pcd Vcd( )n R⋅ Tχ⋅

Vcd:=3. Ισοθερμοκρασιακή συμπίεση cd

Vbc Vb 1.1 Vb⋅, Vc..:=pbc Vbc( ) pbVbVbc

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

γ

⋅:=2. Αδιαβατική εκτόνωση bc

Vαb Vα 1.1 Vα⋅, Vb..:=pαb Vαb( )n R⋅ Tυ⋅

Vαb:=1. Ισοθερμοκρασιακή εκτόνωση αb

Διάγραμμα p-V:

146

Page 157: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Αδιαβατική εκτόνωση bc: Wbcpc Vc⋅ pb Vb⋅−

1 γ−:=

Αδιαβατική συμπίεση dα: Wdαpα Vα⋅ pd Vd⋅−

1 γ−:=

Wbc Wdα+1

1 γ−( )pc Vc⋅ pb Vb⋅−( ) pα Vα⋅ pd Vd⋅−( )+⎡⎣ ⎤⎦⋅=

Νόμος BoyleWbc Wdα+

11 γ−( )

pα Vα⋅ pb Vb⋅−( ) pc Vc⋅ pd Vd⋅−( )+⎡⎣ ⎤⎦⋅=⇒

Wbc Wdα+1

1 γ−( )0 0+( )⋅= ⇒ Wbc Wdα+ 0=

Προσέξτε:Αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει μηχανή που να είναι περισσότερο αποδοτική από την υποθετική •μηχανή (!) Carnot. Η μόνη πραγματική μηχανή που είναι εξίσου αποδοτική είναι η μηχανή Stirling. Στο διάγραμμα p-V δεξιόστροφη διαγραφή αντιστοιχεί σε θερμικό κύκλο ενώ αριστερόστροφη σε •ψυκτικό.

18-7. ΕΝΤΡΟΠΙΑ

Θεωρούμε μια απειροστή ισοθερμοκρασιακή αντιστρεπτή μεταβολή ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου. Ορίζουμε ως απειροστή μεταβολή dS της εντροπίας S του ιδανικού αερίου το πηλίκο της θερμότητας dQ που αντάλλαξε το ιδανικό αέριο με το περιβάλλον προς τη σταθερή θερμοκρασία του Τ.

dSdQT

= (Απειροστή Ισοθερμοκρασιακή αντιστρεπτή μεταβολή)

ω3600 2⋅ π⋅

60rads

⋅:= Tπεριοδ.2 π⋅

ω:= Tπεριοδ. 0.017 s= P

Wωφ

Tπεριοδ.:= P 6.915 103× W=

γ) Με αφετηρία τη σχέση που δίνει τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ΔU να δείξετε ότι το έργο W που καταναλώνει ή αποδίδει το εργαζόμενο ρευστό σε μια αδιαβατική μεταβολή είναι:

Wpτελ Vτελ⋅ pαρχ Vαρχ⋅−

1 γ−=

W ΔU−= ⇒ W n− Cv⋅ Tτ Tα−( )⋅= ⇒ W n− Cv⋅pτελ Vτελ⋅

n R⋅

pαρχ Vαρχ⋅

n R⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅= ⇒

WCvR

− pτελ Vτελ⋅ pαρχ Vαρχ⋅−( )⋅= ⇒ Wpτελ Vτελ⋅ pαρχ Vαρχ⋅−

1 γ−=

δ) Με τη βοήθεια της προηγούμενης σχέσης να δείξετε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των έργων στις δύο αδιαβατικές μεταβολές σε ένα κύκλο Carnot ισούται με μηδέν.

147

Page 158: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Όταν η θερμοκρασία ενός συστήματος αυξάνει τότε αυξάνει και η αταξία των μορίων ως προς την •κίνηση αφού η κατανομή των ταχυτήτων των μορίων μετατοπίζεται προς τις μεγαλύτερες τιμές (αυξάνει η ενεργός ταχύτητα urms), δηλαδή αυξάνει το πλήθος των ταχυτήτων.

(1, 2 Αντιστρεπτή μεταβολή) ΔS

1

2

Q1T

⌠⎮⎮⌡

d=

Μεταβολή εντροπίας ΔS για οποιαδήποτε αντιστρεπτή μεταβολήΘεωρούμε μια αντιστρεπτή μεταβολή 1, 2 (αρχική κατάσταση 1, τελική κατάσταση 2) την οποία χωρίζουμε σε μεγάλο πλήθος από απειροστές αντιστρεπτές μεταβολές. Κατά τη διάρκεια κάθε απειροστού βήματος το σύστημα ανταλλάσσει με το περιβάλλον απειροστό ποσό θερμότητας dQ υπό απόλυτη θερμοκρασία Τ. Η μεταβολή ΔS της εντροπίας S του συστήματος είναι:

Η εντροπία S αυξήθηκε γιατί τα μόρια του νερού μεταβαίνουν από μια διατεταγμένη κατάσταση •κρυσταλλικού στερεού (πάγος) στην περισσότερο άτακτη κατάσταση του υγρού. Όταν η ίδια ποσότητα του νερού 0 οC παγώσει στην ίδια θερμοκρασία τότε η εντροπία S θα •μειωθεί εξίσου.

ΔS 1.223 103×JK

=ΔSQTw

:=Η μεταβολή ΔS της εντροπίας S είναι:

Q 3.34 105× J=Q Lf mw⋅:=Το σύστημα απορρόφησε θερμότητα Q υπό σταθερή θερμοκρασία Τ:

Tw 273 K⋅:=Θερμοκρασία Τ του νερού σταθερή:

mw 1 kg⋅:=Μάζα mw του νερού:

Lf 3.34 105⋅Jkg⋅:=Θερμότητα τήξης Lf του νερού ή λανθάνουσα θερμότητα:

Δίνoνται:

Ένα χιλιόγραμμο πάγου σε 0 οC τήκεται και μετατρέπεται σε νερό της ίδιας θερμοκρασίας. Υπολογίστε τη μεταβολή της εντροπίας του.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2ΑΣΚΗΣΗ 18-5 / ΣΕΛ 521 / H. YOUNG

Αν η ισοθερμοκρασιακή αντιστρεπτή μεταβολή είναι εκτόνωση παρατηρούμε αύξηση της •αταξίας των μορίων του αερίου ως προς τις θέσεις (αύξηση όγκου).Αν η ισοθερμοκρασιακή αντιστρεπτή μεταβολή είναι συμπίεση παρατηρούμε μείωση της •αταξίας των μορίων του αερίου ως προς τις θέσεις (μείωση όγκου).Όμως και στις δύο παραπάνω αντιστρεπτές μεταβολές δεν άλλαξε η θερμοκρασία του ιδανικού •αερίου, δηλαδή δεν άλλαξε η κατανομή των ταχυτήτων των μορίων του, ούτε η ενεργός ταχύτητα urms και συνεπώς δεν άλλαξε η αταξία ως προς την κίνηση. Αυτό θα συνέβαινε αν άλλαζε η θερμοκρασία Τ.Μονάδα εντροπίας στο SI έιναι το J/K. •

(Ισοθερμοκρασιακή αντιστρεπτή μεταβολή) S2 S1−QT

=ΔSQT

=

Θεωρούμε τώρα μια μη απειροστή ισοθερμοκρασιακή αντιστρεπτή μεταβολή και πάλι της ίδιας ποσότητας του ιδανικού αερίου. Η μεταβολή ΔS της εντροπίας S του ιδανικού αερίου ισούται με το πηλίκο της θερμότητας ΔQ που αντάλλαξε το ιδανικό αέριο με το περιβάλλον προς τη σταθερή θερμοκρασία του Τ.

148

Page 159: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

ΔStotal 1.308 103×JK⋅ 1.223 103×

JK⋅+:= ΔStotal 2.531 103×

JK

=

Η μεταβολή της εντροπίας σε κύκλο Carnot

Σε κάθε κύκλο Carnot η μεταβολή τη εντροπίας είναι μηδέν. Πράγματι:

ΔSCarnot ΔSισοθ.εκτ. ΔSαδ.εκτ.+ ΔSισοθ.συμπ.+ ΔSαδ.συμπ.+= ⇒

Να δειχθεί ως άσκηση.ΔSCarnot

Tυ0+

Tχ+ 0+= Αλλά σε κάθε κύκλο Carnot ισχύει:

Tχ+ 0=

Άρα σε κάθε κύκλο Carnot ισχύει: ΔSCarnot 0=

Η μεταβολή της εντροπίας σε αντιστρεπτό κύκλο

Κάθε αντιστρεπτός κύκλος μπορεί να προσεγγισθεί με ένα πολύ μεγάλο σμήνος κύκλων Carnot. Έτσι η μεταβολή της εντροπίας σε κάθε αντιστρεπτό κύκλο ισούται με μηδέν.

Η μεταβολή της εντροπίας σε αντιστρεπτή μεταβολή aba

Σε κάθε αντιστρεπτή μεταβολή aba, η μεταβολή •της εντροπίας ισούται με μηδέν. Η μεταβολή τη εντροπίας στην αντιστρεπτή •μεταβολή ab είναι αντίθετη της μεταβολής της εντροπίας στην αντιστρεπτή μεταβολή ba.

ΔSαbα 0= ΔSαb ΔSbα−=

Όταν ο όγκος ενός συστήματος αυξάνει τότε αυξάνει και η αταξία των μορίων ως προς τις θέσεις, •δηλαδή αυξάνει το πλήθος των συντεταγμένων των θέσεων.Στην αδιαβατική ή ισεντροπική εκτόνωση όπου η εντροπία παραμένει σταθερή παρατηρούμε •τόση αύξηση της αταξίας ως προς τις θέσεις (αύξηση όγκου) όση μείωση της αταξίας ως προς την κίνηση (μείωση θερμοκρασίας). Αντίστοιχα στην αδιαβατική ή ισεντροπική συμπίεση όπου η εντροπία παραμένει σταθερή •παρατηρούμε τόση μείωση της αταξίας ως προς τις θέσεις (μείωση όγκου) όση αύξηση της αταξίας ως προς την κίνηση (αύξηση θερμοκρασίας).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3ΑΣΚΗΣΗ 18-6 / ΣΕΛ 521 / H. YOUNG

Ένα χιλιόγραμμο νερού σε 0 οC θερμαίνεται στους 100 οC. Υπολογίστε τη μεταβολή της εντροπίας του. Δίνoνται:

Ειδική Θερμότητα cw του νερού : cw 4190J

kg K⋅⋅:=

Μάζα mw του νερού: mw 1 kg⋅:=

Όρια θερμοκρασιών του νερού: T1 273 K⋅:= T2 373 K⋅:=

Η μεταβολή ΔS της εντροπίας S είναι:

ΔS

1

2

Q1T

⌠⎮⎮⌡

d= ⇒ ΔS

T1

T2

Tcw mw⋅

T

⌠⎮⎮⌡

d:= ⇒ ΔS 1.308 103×JK

= (Αύξηση)

Αναφερόμαστε στο προηγούμενο παράδειγμα 18-5 με το 1 kg πάγο. Η συνολική μεταβολή της εντροπίας του συστήματος από την κατάσταση του πάγου 0 οC στην κατάσταση του νερού 100 οC είναι:

149

Page 160: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

Σημαντικές παρατηρήσεις για ένα τόσο σπουδαίο φυσικό μέγεθος όπως είναι η εντροπία.Η εντροπία είναι καταστατικό μέγεθος. Η μεταβολή της εντροπίας ενός συστήματος από μια •κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας α σε μια άλλη κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας b δεν εξαρτάται από τις διαδοχικές (ενδιάμεσες καταστάσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας) αλλά αποκλειστικά και μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση.Σε κάθε φυσική (μη αντιστρεπτή) μεταβολή παρατηρείται αύξηση της εντροπίας εφόσον •συμπεριλαμβάνονται όλα τα συστήματα που συμμετέχουν στη μεταβολή. Η φυσική ανάμειξη δύο υγρών οδηγεί σε μια κατάσταση αυξημένης εντροπίας. Το ανακάτεμα μιας τράπουλας που αρχικά ήταν ταξινομημένη οδηγεί σε κατάσταση αυξημένης εντροπίας.

ΔS 0>⇒ΔS n R⋅ lnVτVα

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=⇒ΔS

n R⋅ T⋅ lnVτVα

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

T=⇒ΔS

Qισοθερ.μεταβ.T

=

pτ Vτ, Tτ,Τελική κατάσταση: pα Vα, Tα,Αρχική κατάσταση:

Υπολογισμός μεταβολής εντροπίας στην ελεύθερη εκτόνωση.Η ελεύθερη εκτόνωση είναι μη αντιστρεπτή μεταβολή. Ωστόσο η θερμοκρασία παραμένει σταθερή. Προσεγγίζουμε την αρχική και τελική κατάσταση της ελεύθερης εκτόνωσης με μια ισοθερμοκρασιακή. Αλλά η εντροπία είναι καταστατικό μέγεθος. Άρα η μεταβολή της εξαρτάται από την αρχική και τελική κατάσταση.

Ο πρώτος •θερμοδυναμικός νόμος επιτρέπει και τις δύο καταστάσεις. Ωστόσο ο δεύτερο •επιβάλλει την περισσότερο πιθανή δηλαδή τη δεύτερη, όπου το σύστημα (το αέριο) έχει μεγαλύτερη εντροπία.

Α ΔVαpαTα

VαpαTα

Vτ > Vαpτ < pαTτ = Tα

ΚΕΝΟΔΙΑΜ /ΜΑ

ΚΕΝΟΔΙΑΜ /ΣΜΑ

Θερμομονωτικό υλικό

ΑΠΙΘΑΝΗΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΠΙΘΑΝΗΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Ελεύθερη εκτόνωσηΘεωρούμε ένα δοχείο με ανένδοτα και αδιαβατικά τοιχώματα που χωρίζεται με διάφραγμα σε δύο διαμερίσματα. Το αριστερό διαμέρισμα έχει όγκο Vα πίεση pα και θερμοκρασία Τα. Το δεξί είναι κενό. Αφαιρούμε το διάφραγμα και το αέριο καταλαμβάνει ολόκληρο το δοχείο (πιθανή κατάσταση). Η μεταβολή αυτή ονομάζεται ελεύθερη εκτόνωση (Q = 0, W = 0, ΔU = 0, T = σταθ.)

S K ln P( )⋅=

Εντροπία και θερμοδυναμική πιθανότηταΥπάρχει ποσοτική σχέση μεταξύ της εντροπίας ενός συστήματος και της θερμοδυναμικής πιθανότητας Ρ, που σχετίζεται με την αταξία S. H θερμοδυναμική πιθανότητα Ρ καθορίζει ποσοτικά την αταξία των μορίων. Αν Κ η σταθερά του Boltzmann, η παρακάτω σχέση αποτελεί στατιστικό ορισμό της εντροπίας S:

150

Page 161: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

5( )V3 V2T2T1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1

γ 1−( )

⋅=

Οι (3) και (4) δίνουν:

4( )p2 V2⋅

Τ2

p3 V3⋅

Τ1=

Ενώ ο συνδυαστικός νόμος για τις καταστάσεις 2 και 3 δίνει:

3( )p2 V2γ

⋅ p3 V3γ

⋅=

Ο νόμος Poisson για τις καταστάσεις 2 και 3 δίνει:

2( )ΔS32 0=p

V0

1

2

3

T1

T2

T1 > T2

p2

p1

p3

V1 V3 V2

1( )ΔU32p1 V1⋅

γ 1−( )

T2T1

1−⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=⇒ΔU32

p1 V1⋅

γ 1−( ) T1⋅T2 T1−( )⋅=

⇒ΔU32 nR

γ 1−( )⋅ T2 T1−( )⋅=⇒ΔU32 n cv⋅ T2 T1−( )⋅=

Αδιαβατική μεταβολή 3, 2:

ΛΥΣΗΗ δοσμένη μεταβολή 1, 2 μπορεί πάντα να προσεγγισθεί με τη βοήθεια δύο διαδοχικών αντιστρεπτών μεταβολών. Μιας ισοθερμοκρασιακής 1, 3 και μιας αδιαβατικής 3, 2. Επειδή η εσωτερική ενέργεια U και η εντροπία S είναι καταστατικά μεγέθη οι μεταβολές τους εξαρτώνται μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4Ποσότητα ιδανικού αερίου μεταβαίνει από την κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας (p1, V1, T1) στην κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας (p2, V2, T2). Να υπολογισθεί η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ΔU και της εντροπίας ΔS.

Εντροπία και Δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμαΌταν συμπεριληφθούν όλα τα συστήματα που συμμετέχουν σε μια φυσική μεταβολή η εντροπία ή παραμένει σταθερή ή αυξάνεται.

Στην ελεύθερη εκτόνωση (μη αντιστρεπτή μεταβολή) όπου η θερμοκρασία του αερίου παραμένει •σταθερή (θερμομονωμένα τοιχώματα) έχουμε αύξηση της εντροπίας αφού αυξάνει η αταξία ως προς τις θέσεις.Η εντροπία ενός θερμικά μονωμένου συστήματος μπορεί να αυξηθεί αλλά ποτέ δεν μπορεί να •μειωθεί.Όταν ένα σύστημα αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του, τότε η εντροπία του συστήματος και του •περιβάλλοντος δεν μπορεί ποτέ να μειωθεί.Η εντροπία του σύμπαντος αυξάνει από τη στιγμή της μεγάλης έκρηξης και μετά. •

151

Page 162: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 18 ΔΕΥΤEΡΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΞΙΩΜΑ

ΔSισοχωρηp1 V1⋅

T1

1γ 1−( )

⋅ lnT2T1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=Αν η μεταβολή 1, 2 είναι ισόχωρη (ισόογκη)εύκολα αποδεικνύεται ότι:

ΔSισοβ.p1 V1⋅

T1

γ

γ 1−( )⋅ ln

V2V1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=Αν η μεταβολή 1, 2 είναι ισοβαρής (ισόθλιπτη)εύκολα αποδεικνύεται ότι:

8( )

ΔU12p1 V1⋅

γ 1−( )

T2T1

1−⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=⇒ΔU12 ΔU13 ΔU32+=

1( )

7( )

ΔS12p1 V1⋅

T1ln

V2V1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1γ 1−( )

lnT2T1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅+⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅=⇒ΔS12 ΔS13 ΔS32+=

2( )

Μεταβολή 1, 2:

8( )ΔU13 0=

Κ.Ε.7( )ΔS13

p1 V1⋅

T1ln

V2V1

T2T1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1

γ 1−( )⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⋅=⇒6( )ΔS13 n R⋅ lnV3V1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=

5( )

Ισοθερμοκρασιακή μεταβολή 1, 3 με T1 = T3:

152

Page 163: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

2( )k2 π⋅

λ=

Ορίζουμε ως κυματαριθμό ή σταθερά διαδοσης k:

1( )y x t,( ) A sin 2 π⋅tT

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅=⇒y x t,( ) A sin 2 π⋅tT

xυ T⋅

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅=

⇒y x t,( ) A sin 2 π⋅t τ−( )

T⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅=Η εξίσωση κίνησης του Σ είναι:

τxυ

=Το ΥΣ Σ έχει τη χρονική στιγμή t τόση απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, όση η πηγή τη χρονική στιγμή (t-τ) όπου τ:

yΠ t( ) A sin 2 π⋅tT⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅=Η εξίσωση κίνησης της πηγής Π είναι:

Θεωρούμε υλικό σημείο Σ μονοδιάστατου ελαστικού μέσου (πχ ελαστική χορδή) που απέχει •απόσταση x από την πηγή Π εκπομπής των αρμονικών κυμάτων.Το πλάτος Α της ταλάντωσης των ΥΣ είναι σταθερό και ανεξάρτητο της απόστασης από την •πηγή (μονοδιάστατο ελαστικό μέσο).

y x t,( ) A sin 2 π⋅tT

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅=yΠ t( ) A sin 2 π⋅tT⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅=

Π Σ

ΚατεύθυνσηΔιάδοσηςΚύματοςx

19-3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΥΜΑΤΟΣ

υ λ f⋅=Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής για τα αρμονικά κύματα:

19-2. ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

α) ΜΗΧΑΝΙΚΑ ή ΥΛΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΜΕΣΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΥΜΑΤΟΣ (Φασική ταχύτητα) υ ΜΗΚΟΣ ΚΥΜΑΤΟΣ λ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f

ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΡΟΠΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ : i) ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΚΥΜΑΤΑ (Ελαστικότητα σχήματος) ii) ΔΙΑΜΗΚΗ ΚΥΜΑΤΑ (Ελαστικότητα όγκου)ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ ΤΟ ΜΕΣΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ: i) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ii) ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ iii) ΧΩΡΟΥ

β) ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑγ) ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΑΤΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟ-ΑΤΟΜΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ

19-1. ΤΥΠΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19

153

Page 164: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

5( )

Με δεύτερη μερική παραγώγιση ως προς το χρόνο t προκύπει η εγκάρσια επιτάχυνση του ΥΣ στη θέση x, η αy:

αy∂υ x t,( )

∂t= ⇒

∂2 y x t,( )

∂2t

ω2

− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅= 6( )

Η κυματοσυνάρτηση (4), με συγκεκριμένη τιμή του t δίνει τη μορφή του ελαστικού μέσου (της χορδής), καθώς κατά μήκος του διαδίδεται το εγκάρσιο αρμονικό κύμα (στιγμιότυπο κύματος).

Η πρώτη μερική παράγωγος ως προς τη θέση x εκφράζει χρονικά την κλίση της χορδής σε κάθε σημείο της που απέχει κατά x από την πηγή εκπομπής των αρμονικών κυμάτων:

∂y x t,( )∂x

k− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅−( )⋅= 7( )

Η δεύτερη μερική παράγωγος ως προς τη θέση x είναι:∂

2 y x t,( )

∂2x

k2− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅= 8( )

3( )

Από τις (6) και (8) με διαίρεση κατά μέλη έχουμε:∂

2 y x t,( )

∂2t

ω2

k2

∂2 y x t,( )

∂2x

⋅= ⇒

Η κυματική εξίσωση είναι μια από τις πιο σημαντικές εξισώσεις σε όλη τη Φυσική. Όποτε παρουσιάζεται, γνωρίζουμε ότι η διαταραχή που περιγράφεται από τη συνάρτηση y(x, t) διαδίδεται ως κύμα διάμηκες ή εγκάρσιο (όχι αναγκαστικά αρμονικό!) κατά μήκος του άξονα x με φασική ταχύτητα υ.

Με τη βοήθεια της (2) η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής γράφεται: υ

2 π⋅

kf⋅= ⇒ υ

ω

k= ⇒ ω υ k⋅= 3( )

Η κυματοσυνάρτηση (1) ξαναγράφεται με τη βοήθεια της (3):

y x t,( ) A sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅= 4( )

Παρατηρήσεις πάνω στην κυματοσυνάρτησηΓια δοσμένο x οι (1) και (4) δίνουν την απομάκρυνση του ΥΣ Σ από τη θέση ισορροπίας του σαν •συνάρτηση του χρόνου t (εξίσωση κίνησης του ΥΣ). Δηλαδή βιντεοσκοπούμε το ΥΣ Σ και παρατηρούμε την κίνησή του διαχρονικά.Για δοσμένο t οι (1) και (4) δίνουν τις απομακρύνσεις των ΥΣ του ελαστικού μέσου (της χορδής) •από τη θέση ισορροπίας τους, σαν συνάρτηση της θέσης τους x (στιγμιότυπο κύματος). Δηλαδή φωτογραφίζουμε το ελαστικό μέσο και παρατηρούμε τις απομακρύνσεις των ΥΣ του ελαστικού μέσου μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Θεωρούμε μια ελαστική χορδή κατά μήκος της οποίας διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Πάνω στη χορδή σχηματίζονται λόφοι και κοιλάδες. Τα ΥΣ του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Στο φαινόμενο αυτό παρατηρούμε δύο ταχύτητες:

την ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής , δηλαδή του αρμονικού κύματος που είναι η •ταχύτητα με την οποία διαδίδονται οι φάσεις και που λέγεται φασική ταχύτητα. Αυτή ικανοποιεί όχι μόνο τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής αλλά και την κυματική εξίσωση.την ταχύτητα με την οποία ταλαντώνεται κάθε ΥΣ του ελαστικού μέσου κάθετα στη •διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Την ταχύτητα αυτή ονομάζουμε ωκύτητα. (Ωκύπους Αχιλλεύς - Ομήρου Ιλιάδα - Ιωνία 8ος π.Χ. αιών).

Αν η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ληφθεί ως ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, τότε η ωκύτης είναι συνημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, ενώ η επιτάχυνση μείον ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου.

Από την κυματοσυνάρτηση (3): y x t,( ) A sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅=

Με μερική παραγώγιση ως προς το χρόνο t προκύπει η εγκάρσια ταχύτητα του ΥΣ στη θέση x, η ωκύτης υy:

υy∂y x t,( )

∂t= ⇒ υy ω A⋅ cos ω t⋅ k x⋅−( )⋅=

154

Page 165: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

∂2 y x t,( )

∂2x

1

υ2

∂2 y x t,( )

∂2t

⋅= 9( )

Κυματοσυνάρτηση και κατεύθυνση διάδοσης αρμονικού κύματοςΘεωρούμε:Γραμμικό ελαστικό μέσο (πχ ελαστική χορδή) κατά μήκος της οποίας διαδίδεται αρμονικό κύμα.Τη χρονική στιγμή μηδέν μέτρησης του χρόνου η διαταραχή φθάνει στο ΥΣ Ο και η φάση του αρχίζει να αυξάνει γραμμικά ως προς το χρόνο από την τιμή μηδέν rad. Η διαταραχή θα καθυστερήσει να φθάσει στο σημείο Σ. Από τη στιγμή όμως που θα φθάσει θα αρχίσει να αυξάνει και η φάση του Σ θα είναι όμως συνεχώς μικρότερη από τη φάση του Ο.

Ο Σ

ΚατεύθυνσηΔιάδοσηςΚύματος

(ΚΔΚ)x

(ΚΔΚ) (ΚΔΚ)

k

ΟΣ

ΚατεύθυνσηΔιάδοσηςΚύματος

(ΚΔΚ) x

(ΚΔΚ) (ΚΔΚ)

k

yO t( ) A sin 2 π⋅tT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅= yO t( ) A sin ω t⋅( )⋅=

Οι εξισώσεις κίνησης του Ο και του Σ θα είναι:

yΣ t( ) A sin 2 π⋅tT

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅= yΣ t( ) A sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅=

Θεωρούμε τώρα ότι:H διαταραχή διέρχεται πρώτα από το ΥΣ Σ και στη συνέχεια από το ΥΣ Ο. •Τη χρονική στιγμή μηδέν μέτρησης του χρόνου η διαταραχή φθάνει στο Ο και η φάση του αρχίζει •να αυξάνει γραμμικά ως προς το χρόνο από την τιμή μηδέν rad. Ήδη όμως το Σ είχε τεθεί σε ταλάντωση και η φάση του τη χρονική στιγμή μηδέν είναι θετική και •συνεχώς μεγαλύτερη από τη φάση του Ο.

ΟΣ

ΚατεύθυνσηΔιάδοσηςΚύματος

(ΚΔΚ)x

(ΚΔΚ) (ΚΔΚ)

k

Ο Σ

ΚατεύθυνσηΔιάδοσηςΚύματος

(ΚΔΚ)x

(ΚΔΚ) (ΚΔΚ)

k

155

Page 166: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

λ 2 m⋅:=

Φασική ταχύτητα: υλ

T:= υ 4

ms

=

Απόσταση του (Σ) από το σημείο (Ο): x 0 m⋅ 0.001 m⋅, 2 λ⋅..:=

Χρονική στιγμή t (Μηδέν είναι η χρονική στιγμή έναρξης ταλάντωσης του Ο οπότε η φάση του αρχίζει να αυξάνει):

t 0 s⋅ 0.001 s⋅, 2 T⋅..:=

Εξίσωση τρέχοντος κύματος (κυματοσυνάρτηση): y x t,( ) A sin 2 π⋅tT

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

Εξισώσεις φάσεων φΟ του (Ο),φΣ του (Σ) σε απόσταση xΣ δεξιά από το (Ο)

και φP του (P) σε απόσταση z = xΡ αριστερά από το (Ο):

xΡλ

2m⋅:= φΡ xΡ t,( ) 2 π⋅

tT

xΡλ

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

xΟ 0 m⋅:= φΟ xΟ t,( ) 2 π⋅tT

xΟλ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

xΣλ

2:= φΣ xΣ t,( ) 0

tT

xΣλ

≤if

2 π⋅tT

xΣλ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ otherwise

:=

yO t( ) A sin 2 π⋅tT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅= yO t( ) A sin ω t⋅( )⋅=Τώρα οι εξισώσεις κίνησης του Ο και του Σ θα είναι:

yΣ t( ) A sin 2 π⋅tT

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅= yΣ t( ) A sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

Γενικά

Ο Σ

ΚατεύθυνσηΔιάδοσηςΚύματος

(ΚΔΚ)x

(ΚΔΚ)

k

P z

yΡ t( ) A sin 2 π⋅tT

+⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅= yO t( ) A sin 2 π⋅tT

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅= yΣ t( ) A sin 2 π⋅tT

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Δίνονται:

Πλάτος ταλάντωσης: A 0.01 m⋅:=

Περίοδος: T 0.5 s⋅:=

Μήκος κύματος:

156

Page 167: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

0 0.25 0.5 0.75 1

3.14

3.14

6.28

9.42

12.57

ΦΑΣΗ (Ρ)ΦΑΣΗ (Π)ΦΑΣΗ (Σ)

ΦΑΣΕΙΣ (rad) - ΧΡΟΝΟΣ t (s)

π

2 π⋅φΡ xΡ t,( )φΟ xΟ t,( )φΣ xΣ t,( )

TT

2

t

Εξισώσεις απομακρύνσεωνyΟ του (Ο),yΣ του (Σ) σε απόσταση xΣ δεξιά από το (Ο)

και yP του (P) σε απόσταση z = xΡ αριστερά από το (Ο):

yΡ xΡ t,( ) A sin φΡ xΡ t,( )( )⋅:=

yΟ xΟ t,( ) A sin φΟ xΟ t,( )( )⋅:=

yΣ xΣ t,( ) 0tT

xΣλ

≤if

A sin φΣ xΣ t,( )( )⋅ otherwise

:=

0 0.25 0.5 0.75 1

0.02

0.01

0.01

0.02

Απομάκρυνση σε (m) του (Ρ) ως προς το χρόνο σε (s)Απομάκρυνση σε (m) του (Ο) ως προς το χρόνο σε (s)Απομάκρυνση σε (m) του (Σ) ως προς το χρόνο σε (s)

ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΕΙΣ (m) - ΧΡΟΝΟΣ t (s)

yΡ xΡ t,( )yΟ xΟ t,( )yΣ xΣ t,( )

T

2T

t

Τα (Ρ) και (Σ) συμφασικά, αλλάαντιφασικά ως προς το (Ο).

157

Page 168: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

x 0λ

1000, 2 λ⋅..:=t 2 T⋅:=

0 2 4 6

0.01

0.005

0.005

0.01

z x( )

λ

x

0 2 4 6

0.01

0.005

0.005

0.01

y x( )

λ 2 λ⋅

x

z x( ) A sin 2 π⋅tT

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅π

2+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅ 0 x≤ 2 λ⋅≤if

0 otherwise

:=y x( ) A sin 2 π⋅tT

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅ 0 x≤ 2 λ⋅≤if

0 otherwise

:=

x 0λ

1000, 3 λ⋅..:=t 2 T⋅:=ω 12.566

rads

=ω2 π⋅

T:=λ 2 m⋅:=T 0.5 s⋅:=A 0.01m:=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

Κυκλικά πολωμένο κύμαΘεωρούμε ένα υλικό σημείο Π τρισδιάστατου ελαστικού μέσου που συμμετέχει συγχρόνως σε δύο ημιτονοειδείς αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται σε κάθετες διευθύνσεις (πχ στον άξονα y και στον άξονα z), με ίσα πλάτη, ίσες συχνότητες και διαφορά φάσης π/2. Το υλικό σημείο Π κινείται σε κυκλική τροχιά ενώ το κύμα που διαδίδεται στο ελαστικό μέσο κατά τον άξονα x είναι κυκλικά πολωμένο.

Πόλωση εγκαρσίων κυμάτωνΤα εγκάρσια κύματα πολώνονται σε αντίθεση με τα διαμήκη. Οι διατάξεις που χρησιμοποιούνται ονομάζονται πολωτές.

υ 10ms

=υFμ

:=Φασική ταχύτητα:μ 0.25kgm⋅:=F 25 N⋅:=Απλή εφαρμογή:

υFμ

=F ελαστική ιδιότητα που περιγράφει τη δύναμη επαναφοράς, •μ αδρανειακή ιδιότητα του μέσου,•Η σχέση αυτή ισχύει όχι μόνο για αρμονικά αλλά και για περιοδικά εγκάρσια κύματα.•

Ταχύτητα κύματος σε χορδήΘεωρούμε ελαστική χορδή γραμμικής πυκνότητας (μάζα ανά μονάδα μήκους) μ, η οποία τεντώνεται από τα άκρα της με δύναμη F. Η φασική ταχύτητα υ των εγκαρσίων κυμάτων που είναι δυνατόν να διαδοθούν κατά μήκος της χορδής δίνεται από την ακόλουθη σχέση.(Για την απόδειξη δες H. Young σελ. 544-556 ή Halliday - Resnick Συμπλήρωμα σελ. 8 ή Παρ. Ευθυμίου "Ειδικά Κεφάλαια" σελ. 69).

19-4. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΕΓΚΑΡΣΙΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

158

Page 169: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

BΔpΔV

Vo

−=Παρατήρηση: Tο μέτρο ελαστικότητας όγκου Β είναι:

όπου: Δp η αύξηση της πίεσης και ΔV/Vo η ανηγμένη μεταβολή του όγκου. Το πρόσημο μείον (-) δηλώνει ότι αύξηση της πίεσης προκαλεί μείωση του όγκου.

υBρ

=B ελαστική ιδιότητα του μέσου, •ρ αδρανειακή ιδιότητα του μέσου,•Η σχέση αυτή ισχύει όχι μόνο για αρμονικά αλλά και για περιοδικά διαμήκη κύματα.•

Ταχύτητα κύματος σε ρευστόΘεωρούμε ρευστό (υγρό ή αέριο) πυκνότητας (μάζα ανά μονάδα όγκου) ρ με μέτρο ελαστικότητας όγκου Β. Η φασική ταχύτητα υ των διαμήκωνν κυμάτων που είναι δυνατόν να διαδοθούν μέσα στο ρευστό δίνεται από την ακόλουθη σχέση.(Για την απόδειξη δες H. Young σελ. 549-550 ή Παρ. Ευθυμίου "Ειδικά Κεφάλαια" σελ. 79-83).

19-5. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΜΗΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΚΥΚΛΙΚΑ ΠΟΛΩΜΕΝΟ ΚΥΜΑ

C CreateSpace H x0, x1, xgrid,( ):=xgrid 200:=Αριθμός σημείων πλέγματος:

x1 3 λ⋅:=Ανώτερη τιμή:x0 0:=Κατώτερη τιμή:H x( )

y x( )

z x( )

x

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

:=

0.01 0.005 0 0.005 0.01

0.005

0.005

Το ΥΣ Π κινείται σε κυκλική τροχιά

z x( )

y x( )

159

Page 170: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

T 0.02 s=T

2 π⋅

ω:=k

2 π⋅ rad⋅

λ:=

λ 20 m⋅:=ω 100 π⋅rads

⋅:=A 10 3− m⋅:=Με:

y x t,( ) 10 3− cos 100 π⋅ t⋅2 π⋅

20x⋅+

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3Να δείξετε ότι η παρακάτω συνημιτονοειδής εξίσωση ικανοποιεί την κυματική εξίσωση και άρα•

περιγράφει διαταραχή που διαδίδεται ως κύμα κατά μήκος του άξονα x. Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI.

∂2 y x t,( )

∂2x

1

υ2

∂2 y x t,( )

∂2t

⋅=∂

2 y x t,( )

∂2t

ω

k⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2∂

2 y x t,( )

∂2x

⋅=

∂2 y x t,( )

∂2x

k2− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

∂y x t,( )∂x

k− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

∂2 y x t,( )

∂2t

ω2

− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=∂y x t,( )

∂tω− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

y x t,( ) A cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2ΑΣΚΗΣΗ 19-29 / ΣΕΛ 561 H. YOUNGΝα δείξετε ότι η παρακάτω συνημιτονοειδής εξίσωση y(x, t) ικανοποιεί την κυματική εξίσωση και άρα περιγράφει διαταραχή που διαδίδεται ως κύμα κατά μήκος του άξονα x με φασική ταχύτητα υ = ω/k.

Y

Fκάθετη

Α

Δl

lo

=

Παρατήρηση: το μέτρο Young Υ της ράβδου είναι:

όπου: Α η διατομή της πρισματικής ράβδου μήκους lο, Δl η επιμήκυνση (κατά τον εφελκυσμό) και Fκάθετη η κάθετη στη διατομή δύναμη. Αύξηση της εφαρμοζόμενης Fκάθετη προκαλεί αύξηση της ανηγμένης επιμήκυνσης της ράβδου Δl/lo.

Στο ίδιο στερεό και στις ίδιες συνθήκες η ταχύτητα των διαμήκων είναι μεγαλύτερη από την •ταχύτητα των εγκαρσίων.

υYρ

=Y ελαστική ιδιότητα του μέσου, •ρ αδρανειακή ιδιότητα του μέσου,•Η σχέση αυτή ισχύει όχι μόνο για αρμονικά αλλά και για περιοδικά διαμήκη κύματα.•

Ταχύτητα κύματος σε στερεά ράβδοΘεωρούμε στερεά ράβδο πυκνότητας (μάζα ανά μονάδα όγκου) ρ με μέτρο Young Υ. Η φασική ταχύτητα υ των διαμήκων κυμάτων που είναι δυνατόν να διαδοθούν μέσα στο ρευστό δίνεται από την ακόλουθη σχέση.(Για την απόδειξη δες H. Young σελ. 549-550 ή Παρ. Ευθυμίου "Ειδικά Κεφάλαια" σελ. 79-83).

160

Page 171: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

0 0.01 0.02 0.03 0.04

0.001

5 .10 4

5 .10 4

0.001

y xo t,( )

TT

4

t

y xo t,( ) A cos ω t⋅ k xo⋅+( )⋅:=

Να παρασταθεί γραφικά ως προς το χρόνο t η απομάκρυνση y του σημείου Σ ( m = 10 -6 kg) του •ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση xο = 2.5m για χρόνο δύο (2) περιόδων.

φ xo t,( ) ω t⋅ k xo⋅+=

0 0.01 0.02 0.03 0.04

5

10

φο

φ xo t,( )φο

T

t

t a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=b 2 T⋅:=a 0 s⋅:=

π

4ήφο 0.785 rad=φο φ xo 0 s⋅,( ):=Η αρχική φάση του Σ (με t = 0) είναι:

φ xo t,( ) ω t⋅ k xo⋅+:=Η φάση του Σ είναι:

xo 2.5 m⋅:=Το Σ βρίσκεται στη θέση:

Να παρασταθεί γραφικά ως προς το χρόνο t η φάση του σημείου Σ ( m = 10-6 kg) του ελαστικού •μέσου που βρίσκεται στη θέση xο = 2.5m για χρόνο δύο (2) περιόδων.

η οποία αποδείχθηκε ότι περιγράφει διαταραχή που διαδίδεται ως κύμα κατά μήκος του άξονα x.

y x t,( ) A cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=η παραπάνω συνημιτονοειδής εξίσωση παίρνει τη μορφή:

161

Page 172: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

γ) Η ολική ενέργεια, η κινητική και η δυναμική ενέργεια τη χρονική στιγμή τ.Η ολική ενέργεια του ΥΣ Σ ισούται με τη μέγιστη κινητική ενέργεια.

Απομάκρυνση (m), ωκύτης (m/s) και εγκάρσια επιτάχυνση (m/s2) - Χρόνος (s)

υy10-3 αy

103 y

0 0.01 0.02 0.03 0.04

1

0.5

0.5

1

τT

4

αy xo τ,( ) 98.696−m

s2=υy xo τ,( ) 0

ms

=

y xo τ,( ) 1 10 3−× m=φ xo τ,( ) 6.283 rad=

τ 0.0175 s⋅:=Τη χρονική στιγμή:

αy xo τo,( ) 69.789−m

s2=υy xo τo,( ) 0.222−

ms

=

y xo τo,( ) 7.071 10 4−× m=φ xo τo,( ) 0.785 rad=

τo 0 s⋅:=Τη χρονική στιγμή:

αy x t,( ) ω2

− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅:=⇒αy∂υ x t,( )

∂t=

β) Με δεύτερη μερική παραγώγιση ως προς το χρόνο t προκύπει η εγκάρσια επιτάχυνση του ΥΣ στη θέση x, η αy:

υy x t,( ) ω− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅:=⇒υy∂y x t,( )

∂t=y x t,( ) A cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅:=

α) Με μερική παραγώγιση της κυματοσυνάρτησης ως προς το χρόνο t προκύπει η εγκάρσια ταχύτητα του ΥΣ στη θέση x, η ωκύτης υy:

Να παρασταθεί γραφικά ως προς το χρόνο t η ταχύτητα υy (ωκύτης) και η επιτάχυνση α του •σημείου Σ ( m = 10-6kg) του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση xο = 2.5m για χρόνο δύο (2) περιόδων. Τη χρονική στιγμή τ = 0.0175s , να υπολογιστούν του σημείου Σ: α) η ωκύτης, β) η εγκάρσια επιτάχυνση γ) η κινητική, η δυναμική και η ολική ενέργεια.

162

Page 173: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΜέγιστηU xo τ,( ) 4.935 10 8−× J=

Ακραία θέσηK xo τ,( ) 0 J=Τη χρονική στιγμή τ:

U xo t,( ) 12

mΣ ω2

⋅⎛⎝

⎞⎠⋅ y xo t,( )( )2⋅:=Η δυναμική ενέργεια είναι:

K xo t,( ) 12

mΣ⋅ υy xo t,( )2⋅:=Η κινητική ενέργεια είναι:

Η μέγιστη δυναμική ενέργεια είναι: Umax Kmax:=

E 4.935 10 8−× J=E Kmax:=Η ολική ενέργεια είναι:

Kmax12

mΣ⋅ υmax2

⋅:=Η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι:

υmax 0.314ms

=υmax ω A⋅:=υy x t,( ) ω− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅:=

y x t,( ) A cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅:=mΣ 10 6− kg⋅:=

163

Page 174: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

164

Page 175: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 20 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΝ. ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

u 10ms

⋅:=Φασική ταχύτητα u των αρμονικών κυμάτων:

yΠ t( ) A sin 2 π⋅tT⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=Εξισώσεις κίνησης των δύο συγχρόνων πηγών Π1 και Π2:

T 0.1 s=T1f

:=Περίοδος ταλάντωσης Π1 και Π2:

f 10 Hz⋅:=Συχνότητα ταλάντωσης Π1 και Π2:

A 0.001 m⋅:=Πλάτος ταλάντωσης Π1 και Π2:

Συμβολή με τυχαία διαφορά δρόμου

Π1 Π2

Σ

x1

x2

y Σ t( ) 2 A⋅ cos 2 π⋅x 1 x 2−( )

2 λ⋅⋅

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅ sin 2 π⋅tT

x 1 x 2+

2 λ⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

y Π2 t( ) A sin 2 π⋅tT⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅y Π1 t( ) A sin 2 π⋅tT⋅⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

y 1 t( ) A sin 2 π⋅tT

x 1λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

y 2 t( ) A sin 2 π⋅tT

x 2λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΣΥΜΦΩΝΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝΈνα υλικό σημείο Σ ελαστικού μέσου συμμετέχει συγχρόνως σε δύο ΑΑΤ λόγω διάδοσης δύο αρμονικών κυμάτων. Θεωρούμε ότι:α) Οι δύο σύγχρονες πηγές εκπομπής (σύμφωνες με διαφορά φάσης μηδέν) των κυμάτων Π1 και Π2 και το Σ ορίζουν τρίγωνο μέσα στο δισδιάστατο ή τρισδιάστατο ελαστικό μέσο. β) Ισχύει η αρχή της επαλληλίας (δηλαδή η μαθηματική σχέση που συνδέει την παραμόρφωση και τη δύναμη επαναφοράς είναι σχέση απλής αναλογίας). γ) Το πλάτος ταλάντωσης είναι σταθερό και ανεξάρτητο της απόστασης από τις δύο πηγές αν και η ενέργεια διασκορπίζεται στο ελαστικό μέσο.

ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣΈνα υλικό σημείο Σ ελαστικού μέσου συμμετέχει συγχρόνως σε δύο ΑΑΤ λόγω διάδοσης δύο αρμονικών κυμάτων. Η απομάκρυνση του Σ κάθε χρονική στιγμή ισούται με το διανυσματικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα προκαλούσαν τα δύο αυτά αρμονικά κύματα ξεχωριστά. Αυτή η διαδικασία της διανυσματικής πρόσθεσης των απομακρύνσεων του Σ λέγεται επαλληλία. Η αρχή της επαλληλίας φαίνεται τόσο προφανής ώστε αξίζει να επισημανθεί ότι ΔΕΝ ισχύει πάντα. Η επαλληλία αποτυγχάνει όταν οι εξισώσεις που διέπουν την κυματική κίνηση δεν είναι γραμμικές. Για παράδειγμα πέρα από το όριο ελαστικότητας ο νόμος του Hooke παύει να ισχύει.

20-0. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΜΒΟΛΗΣ ΔΥΟ ΣΥΜΦΩΝΩΝ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20

165

Page 176: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 20 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΝ. ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

y2 t( ) A sin 2 π⋅tT

x2λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

Διάφορα:

Η διαφορά δρόμου δd του Σ από τις δύο πηγές είναι: δd x1 x2−:= δd 0.75− m=

Εξίσωση κίνησης του (Σ) (εξίσωση συμβολής): y t( ) 2 A⋅ cos 2 π⋅δd2 λ⋅⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ sin 2 π⋅tT

x1 x2+

2 λ⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

Πλάτος Αs της συνισταμένης κίνησης του (Σ)(της εξίσωσης της συμβολής):

As 2 A⋅ cos 2 π⋅δd2 λ⋅⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

Κλίμακα χρόνου: a 0 s⋅:= b τ2 2T+( ):= t a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=

y1 t( ) 0 t τ1<if

y1 t( ) otherwise

:= y2 t( ) 0 t τ2<if

y2 t( ) otherwise

:= y t( ) 0 t τ1<if

y1 t( ) τ1 t≤ τ2≤if

y t( ) otherwise

:=

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.001

0.001

Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω του τρέχ. κύματ. από την Π1Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω του τρέχ. κύματ. από την Π2Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω Συμβολής

Συμβολή με τυχαία διαφορά δρόμου

A−

As

y1 t( )

y2 t( )

y t( )

τ1 τ2

t

Μήκος κύματος λ των αρμονικών κυμάτων: λuf

:= λ 1 m=

Απόσταση x1 του σημείου Σ από την Π1: x1 0.5 λ⋅:=

Χρονική στιγμή άφιξης κύματος από την Π1 στο σημείο Σ: τ1x1u

:= τ1 0.05 s=

y1 t( ) A sin 2 π⋅tT

x1λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=Εξίσωση τρέχοντος κύματος από την πηγή Π1:

Συμβολή με τυχαίαδιαφορά δρόμου Απόσταση x2 του σημείου Σ από την Π2: x2 x1 1.5

λ2⋅+:=

Χρονική στιγμή άφιξης κύματος από την Π2 στο σημείο Σ: τ2x2u

:= τ2 0.125 s=

Εξίσωση τρέχοντος κύματος από την πηγή Π2:

166

Page 177: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 20 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΝ. ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

Κλίμακα χρόνου: a 0 s⋅:= b τ2 2T+( ):= t a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=

y1 t( ) 0 t τ1<if

y1 t( ) otherwise

:= y2 t( ) 0 t τ2<if

y2 t( ) otherwise

:= y t( ) 0 t τ1<if

y1 t( ) τ1 t≤ τ2≤if

y t( ) otherwise

:=

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.002

0.002

Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω του τρέχ. κύματ. από την Π1Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω του τρέχ. κύματ. από την Π2Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω Συμβολής

Συμβολή με ενίσχυση

A−

As

τ1 τ2

Συμβολή με απόσβεση

Απόσταση x2 του σημείου Σ από την Π2: x2 x1 1λ2

+:= Συμβολή με απόσβεση

Χρονική στιγμή άφιξης κύματος από την Π2 στο σημείο Σ: τ2x2u

:= τ2 0.1 s=

Εξίσωση τρέχοντος κύματος από την πηγή Π2: y2 t( ) A sin 2 π⋅tT

x2λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

Συμβολή με ενίσχυση

Απόσταση x2 του σημείου Σ από την Π2: x2 x1 2λ2

+:= Συμβολή με ενίσχυση

Χρονική στιγμή άφιξης κύματος από την Π2 στο σημείο Σ: τ2x2u

:= τ2 0.15 s=

Εξίσωση τρέχοντος κύματος από την πηγή Π2: y2 t( ) A sin 2 π⋅tT

x2λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

Διάφορα:

Η διαφορά δρόμου δd του Σ από τις δύο πηγές είναι: δd x1 x2−:= δd 1− m=

Εξίσωση κίνησης του (Σ) (εξίσωση συμβολής): y t( ) 2 A⋅ cos 2 π⋅δd2 λ⋅⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ sin 2 π⋅tT

x1 x2+

2 λ⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

Πλάτος Αs της συνισταμένης κίνησης του (Σ)(της εξίσωσης της συμβολής):

As 2 A⋅ cos 2 π⋅δd2 λ⋅⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

167

Page 178: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 20 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΝ. ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

20-1. ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΧΟΡΔΗΔιάδοση εγκάρσιου παλμού κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδήςα) Θεωρούμε μια τεντωμένη χορδή με σταθερό το ένα άκρο της. Δημιουργούμε στο άλλο άκρο ένα εγκάρσιο παλμό ο οποίος διαδίδεται κατά μήκος της χορδής. Όταν φτάσει στο σταθερό άκρο ο παλμός ανακλάται αντεστραμμένος δηλαδή παρουσιάζει διαφορά φάσης κατά π. β) Θεωρούμε τώρα και πάλι μια τεντωμένη χορδή αλλά το σταθερό άκρο αντικαθίσταται από μεταθετό με τη βοήθεια ενός μικρού αβαρούς κρίκου. Όταν ο παλμός φτάσει στο μεταθετό άκρο ανακλάται χωρίς να αντιστραφεί (παντελής απουσία εγκάρσιας δύναμης) δηλαδή παρουσιάζει διαφορά φάσης μηδέν. Συνοριακές ΣυνθήκεςΟι φυσικές συνθήκες στο άκρο της χορδής:i. Ακινητοποίηση του άκρου, ii. Παντελής απουσία εγκάρσιας δύναμης, ονομάζονται Συνοριακές Συνθήκες.

0 0.13 0.25

0.0011

0.0011

Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω του τρέχ. κύματ. από την Π1Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω του τρέχ. κύματ. από την Π2Εξισώση κίνησης του (Σ) λόγω Συμβολής

Συμβολή με απόσβεση

A−

As

τ1 τ2

y t( ) 0 t τ1<if

y1 t( ) τ1 t≤ τ2≤if

y t( ) otherwise

:=y2 t( ) 0 t τ2<if

y2 t( ) otherwise

:=y1 t( ) 0 t τ1<if

y1 t( ) otherwise

:=

t a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=b τ2 2T+( ):=a 0 s⋅:=Κλίμακα χρόνου:

As 2 A⋅ cos 2 π⋅δd2 λ⋅⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=Πλάτος Αs της συνισταμένης κίνησης του (Σ)(της εξίσωσης της συμβολής):

y t( ) 2 A⋅ cos 2 π⋅δd2 λ⋅⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ sin 2 π⋅tT

x1 x2+

2 λ⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=Εξίσωση κίνησης του (Σ) (εξίσωση συμβολής):

δd 0.5− m=δd x1 x2−:=Η διαφορά δρόμου δd του Σ από τις δύο πηγές είναι:

Διάφορα:

168

Page 179: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 20 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΝ. ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

τ1x1u

:= τ1 0.3 s=

y1 t( ) A sin 2 π⋅tT

x1λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=Εξίσωση τρέχοντος κύματος από την πηγή Π1:

Απόσταση x2 του σημείου Σ από την Π2: x2 d x1−:=

Χρονική στιγμή άφιξης κύματος από την Π2 στο σημείο Σ: τ2x2u

:= τ2 0.7 s=

Εξίσωση τρέχοντος κύματος από την πηγή Π2: y2 t( ) A sin 2 π⋅tT

x2λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

Η διαφορά δρόμου δd του Σ από τις δύο πηγές είναι: δd x1 x2−:= δd 4 m=

Εξίσωση κίνησης (Σ) (εξίσωση συμβολής): y t( ) 2 A⋅ cos 2 π⋅δd2 λ⋅⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ sin 2 π⋅tT

x1 x2+

2 λ⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

y t( ) 0 t τ1<if

y1 t( ) τ1 t≤ τ2<if

y1 t( ) y2 t( )+ t τ2≥if

:=

a 0 s⋅:= b τ2 2T+( ):= t a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=

20-2. ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ [ΙΔΙΟΜΟΡΦΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΤΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ]Ένα υλικό σημείο Σ ελαστικού μέσου συμμετέχει συγχρόνως σε δύο ΑΑΤ λόγω διάδοσης δύο αρμονικών κυμάτων. Θεωρούμε ότι:α) το Σ του δισδιάστατου ή τρισδιάστατου ελαστικού μέσου βρίσκεται στην ευθεία που ενώνει τις δύο σύγχρονες πηγές εκπομπής των κυμάτων Π1 και Π2 .β) Ισχύει η αρχή της επαλληλίας (δηλαδή η μαθηματική σχέση που συνδέει την παραμόρφωση και τη δύναμη επαναφοράς είναι σχέση απλής αναλογίας). γ) Το πλάτος ταλάντωσης είναι σταθερό και ανεξάρτητο της απόστασης από τις δύο πηγές αν και η ενέργεια διασκορπίζεται στο ελαστικό μέσο.Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI. Δίνονται τα παρακάτω στοιχεία:

ΣΥΜΒΟΛΗ ΜΕ ΕΝΙΣΧΥΣΗ - ΚΟΙΛΙΑ ΚΙΝΗΣΗΣ. Διαφορά δρόμου: Δd = 2k.λ/2, Διαφορά χρόνου: Δt = 2k.T/2

Στοιχεία ταλάντωσεων πηγής Π1 και Π2 καθώς και των εκπεμπόμενων αρμονικών κυμάτων:

Πλάτος ταλάντωσης Π1 και Π2: A 0.001 m⋅:=

Συχνότητα ταλάντωσης Π1 και Π2: f 10 Hz⋅:=

Περίοδος ταλάντωσης Π1 και Π2: T1f

:= T 0.1 s=

Εξισώσεις κίνησης των δύο συγχρόνων πηγών Π1 και Π2: yΠ t( ) A sin 2 π⋅tT⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

Φασική ταχύτητα u των αρμονικών κυμάτων: u 10ms

⋅:=

Μήκος κύματος λ των αρμονικών κυμάτων: λuf

:=

Απόσταση d μεταξύ των δύο συγχρόνων πηγών Π1 και Π2: d 10 λ⋅:=

Απόσταση x1 του σημείου Σ από την Π1: x1 3 λ⋅:=

Χρονική στιγμή άφιξης κύματος από την Π1 στο σημείο Σ:

169

Page 180: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 20 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΝ. ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.001

0.001

Εξισώσεις κίνησης των δύο συγχρόνων πηγών Π1 και Π2Εξίσωση κίνησης (Σ)

ΣΥΜΒΟΛΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ: Δd = (2k+1) λ/2

A−

τ1 τ2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.002

0.002

Εξισώσεις κίνησης των δύο συγχρόνων πηγών Π1 και Π2Εξίσωση κίνησης (Σ)

ΣΥΜΒΟΛΗ ΜΕ ΕΝΙΣΧΥΣΗ: Δd = 2k λ/2

A−

2 A⋅ cos 2 π⋅δd

2 λ⋅⋅⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

τ1 τ2

ΔΕΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

y t( ) 0 t τ1<if

y1 t( ) τ1 t≤ τ2<if

y1 t( ) y2 t( )+ t τ2≥if

:=

y t( ) 2 A⋅ cos 2 π⋅δd2 λ⋅⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅ sin 2 π⋅tT

x1 x2+

2 λ⋅−

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=δd 2.5 m=δd x1 x2−:=

y2 t( ) A sin 2 π⋅tT

x2λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=y1 t( ) A sin 2 π⋅tT

x1λ

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅:=

τ2 0.625 s=τ2x2u

:=x2 d x1−:=τ1 0.375 s=τ1x1u

:=x1 3.75 λ⋅:=

ΣΥΜΒΟΛΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ - ΔΕΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Διαφορά δρόμου: Δd = (2k+1).λ/2, Διαφορά χρόνου: Δt = (2k+1).T/2

ΚΟΙΛΙΑ ΚΙΝΗΣΗΣ

170

Page 181: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 20 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΝ. ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.0015

0.001

5 .10 4

5 .10 4

0.001

0.0015

A−

A

y1 x( )

y3 x( )

y5 x( )

y x( )

λ

2

x

A 0.001 m⋅:= f 10 Hz⋅:= T1f

:= T 0.1 s= υ 10ms

⋅:= λυ

f:= k

2 π⋅

λ:=

Οι τρεις πρώτες αρμονικές είναι:

y1 x( ) A sin k x⋅( )⋅:= y3 x( )A

32− sin 3k x⋅( )⋅:= y5 x( )

A

52sin 5 k⋅ x⋅( )⋅:=

Η περιοδική κίνηση είναι: y x( ) y1 x( ) y3 x( )+ y5 x( )+:=

L 1λ:= x 0 0.001 L⋅, L..:=

Το άθροισμα των ημιτονοειδών συναρτήσεων αναπαριστά μια περιοδική κίνηση. Η ανάλυσή της στις αρμονικές της λέγεται

Ανάλυση Fourier.

20-3. ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΧΟΡΔΗΣΘεωρούμε ελαστική χορδή, μήκους L, τεντωμένη με ακλόνητα τα δυο της άκρα. Η χορδή διεγείρεται οπότε σχηματίζεται εγκάρσιο στάσιμο κύμα με τα δύο της άκρα να αποτελούν δεσμούς κίνησης (κόμβοι). Είναι γνωστό ότι το μήκος του στάσιμου δηλαδή η απόσταση δυο διαδοχικών κοιλιών ή δυο διαδοχικών δεσμών (κόμβων) ισούται με το μισό του μήκους κύματος λ των δυο αντιθέτως οδευόντων αρμονικών κυμάτων που συμβάλλοντας σχηματίζουν το στάσιμο. Ωστόσο το μήκος L της τεντωμένης ελαστικής χορδής θα πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ /2.

L nλ

2⋅=

Οι δυνατές τιμές του μήκους κύματος για να δημιουργηθεί στάσιμο είναι:

λn2 L⋅n

= Με: n 1= 2, 3, ....,

Τότε οι δυνατές τιμές συχνότητας είναι: fn nυ

2 L⋅⋅= Με: n 1= 2, 3, ....,

Αυτή είναι και η πρώτη μορφή κβάντωσης φυσικού μεγέθους που συναντάμε στη Μηχανική !

Όπου υ η φασική ταχύτα καιf1 η θεμελειώδης συχνότητα: f1

υ

2 L⋅= ή: f1

12 L⋅

⋅=

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Κάθε δυνατή ταλάντωση μιας χορδής είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί ως επαλληλία κανονικών τρόπων ταλάντωσης. Στο παράδειγμα που ακολουθεί η περιοδική ταλάντωση της χορδής αποτελείται απο τρεις αρμονικές.

171

Page 182: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 20 ΑΡΧΗ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΝ. ΤΡΟΠΟΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

0 0.005 0.01 0.015 0.021.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

ΧΡΟΝΟΣ t ΣΕ s

ΑΠΟΣΤ

ΑΣΗ

ΣΕ

m

1.5m

2.5m

l t( )

T

4

2 T⋅

4

t

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

KΚΟΙΛΙΑ

K πάνω

K κάτω

ΔΔΕΣΜΟΣ

λ/4

l(t)Σ

ΚΣ = y

Να βρεθεί η χρονική σχέση που δίνει την απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιλίας σε ένα στάσιμο εγκάρσιο κύμα. Να παρασταθεί γραφικά η απόσταση αυτή για χρόνο μιας περιόδου.

Δίνονται

A 1 m⋅:= T150

s⋅:= λ 6 m⋅:=

t 0 s⋅ 0.0001 T⋅, T..:=

l t( ) ΚΣ( )2ΚΔ( )2

+=

l t( ) 4 A2⋅ sin 2 π⋅

tT⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2⋅

λ2

16+:=

lT4

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2.5 m= l3T4

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2.5 m=

l2T4

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1.5 m= l4T4

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

1.5 m=

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΚΟΙΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΧΙΚΟΥ

ΔΕΣΜΟΥ

172

Page 183: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΗΧΟΣ

21-1. ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΑΚΟΥΣΤΑ, ΥΠΕΡΗΧΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΥΠΟΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑΤα ηχητικά κύματα είναι διαμήκη μηχανικά κύματα. Διαδίδονται στα στερεά τα υγρά και τα αέρια.ΥΠΟΗΧΟΙ: Έχουν συχνότητα μικρότερη από 20 Hz και δεν είναι ακουστοί από τον άνθρωπο. Συνήθως παράγονται από μεγάλες πηγές. Τέτοια είναι τα σεισμικά κύματα. ΗΧΟΙ: Έχουν συχνότητα από 20 Hz έως 20 kHz και είναι ακουστοί από τον άνθρωπο (Ακουστική περιοχή). Τέτοια κύματα παράγονται από μουσικά όργανα.ΥΠΕΡΗΧΟΙ: Έχουν συχνότητα μεγαλύτερη από 20 kHz και δεν είναι ακουστοί από τον άνθρωπο.

Με το πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο μπορούν να παραχθούν υπέρηχοι με συχνότητα έως 600 ΜHz, •δηλαδή με μήκος κύματος 5x10-5 cm, όσο το μήκος κύματος της ορατής περιοχής!

ΑΠΛΟΙ ΗΧΟΙ, ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΗΧΟΙ, ΘΟΡΥΒΟΙ, ΚΡΟΤΟΙ Τα ηχητικά κύματα στον αέρα είναι διαμήκη οπότε η πίεση μεταβάλλεται (πάνω-κάτω) περί την ατμοσφαιρική. Ανάλογα με τον τρόπο μεταβολής της πίεσης του αέρα διακρίνουμε τους ήχους σε:

ΑΠΛΟΙ ΗΧΟΙ: Σε συγκεκριμένο σημείο του ελαστικού μέσου (του αέρα), η μεταβολή της πίεσης p είναι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου t.

Αποδεικνύεται τότε ότι η απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας είναι συνημιτονοειδής •συνάρτηση του χρόνου t. Έτσι ο απλός ήχος μπορεί να θεωρηθεί είτε ως ένα κύμα απομάκρυνσης χρονικά συνημιτονοειδούς μορφής είτε ως ένα κύμα πίεσης χρονικά ημιτονοειδούς μορφής. Απλούς ήχους παράγουν τα παλλόμενα διαπασών. •Αντικειμενικά χαρακτηριστικά των απλών ήχων είναι η συχνότητα και έντασή του που εξαρτάται •από το τετράγωνο του πλάτους μεταβολής της πίεσης.

ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΗΧΟΙ: Σε συγκεκριμένο σημείο του ελαστικού μέσου (του αέρα), η μεταβολή της πίεσης p είναι περιοδική αλλά όχι ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου t.

Σύνθετους ήχους παράγουν τα μουσικά όργανα.•Επειδή η πίεση είναι περιοδική συνάρτηση του χρόνου, αναλύεται κατά Fourier σε πλήθος •αρμονικών με συχνότητες που είναι ακέραια πολλαπλάσια της συχνότητας της θεμελιώδους.Αντικειμενικά χαρακτηριστικά των σύνθετων ήχων είναι οι συχνότητες και οι εντάσεις όχι μόνο της •θεμελιώδους αλλά και των ανωτέρων αρμονικών.

ΘΟΡΥΒΟΙ: Σε συγκεκριμένο σημείο του ελαστικού μέσου (του αέρα), η μεταβολή της πίεσης p είναι μη περιοδική συνάρτηση του χρόνου t. Θόρυβος παράγεται από το θρόισμα των φύλων.

ΚΡΟΤΟΙ: Σε συγκεκριμένο σημείο του ελαστικού μέσου (του αέρα), η μεταβολή της πίεσης p είναι απότομη. Κρότος παράγεται από την έκρηξη μιας βόμβας.

ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΗΧΩΝΤα ηχητικά κύματα είναι διαμήκη μηχανικά κύματα. Διαδίδονται στα στερεά τα υγρά και τα αέρια.

Το ύψος. Η έννοια του ύψους είναι εμπειρική. Όσο αυξάνει η συχνότητα τόσο αυξάνει και το 1.ύψος. Δηλαδή ο ήχος φαίνεται οξύτερος.Η ακουστότητα. Είναι η ένταση του υποκειμενικού αισθήματος και εξαρτάται από την ένταση 2.του ήχου. Δύο ήχοι της ίδιας συχνότητας, άρα και ύψους, αλλά διαφορετικής έντασης έχουν διαφορετική ακουστότητα.Χροιά. Δύο σύνθετοι ήχοι που δίνουν σε παρατηρητή το ίδιο αίσθημα ύψους και ακουστότητας 3.αλλά προέρχονται από δύο διαφορετικά μουσικά όργανα έχουν διαφορετική χροιά. Αυτή οφείλεται στο λόγο του πλάτους αi κάθε ανώτερης αρμονικής προς το πλάτος αθ της θεμελιώδους.

ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΠΙΕΣΗΣΘεωρούμε απλό ήχο (διάμηκες αρμονικό κύμα) στον αέρα (ελαστικό μέσο) ο οποίος βρίσκεται ακίνητος σε σταθερές συνθήκες.

173

Page 184: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

p dS⋅( ) uy⋅

Επομένως η ισχύς ανά μονάδα εμβαδού που μεταφέρεται από το ηχητικό κύμα ισούται με το γινόμενο της περίσσειας της πίεσης p (δύναμη ανά μονάδα εμβαδού) επί τη σωματειακή ταχύτητα υy.

p dS⋅( ) uy⋅ k B⋅ A2⋅ ω⋅ cos ω t⋅ k x⋅−( )( )2⋅= 9( )

5( )

Η ένταση Ι είναι η μέση τιμή της ποσότητας στο α μέλος της (9). Ωστόσο η μέση τιμή της περιοδικής συνάρτησης cos2(θ) σε ένα πλήρη κύκλο είναι 0.5:

12π 0

θcos θ( )( )2⌠⎮⌡

d⋅ 0.5= 10( )

Η ένταση Ι είναι: I12ω⋅ k B⋅⋅ A2

⋅= 11( )

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1ΑΣΚΗΣΗ 21-5 / ΣΕΛ 602 H. YOUNG

Η (11) γράφεται: I12ω⋅

ω

υ⋅ B⋅ A2

⋅= ⇒ I12ω

2⋅

1

⋅ B⋅ A2⋅= ⇒ I

12

ρ B⋅⋅ ω2

⋅ A2⋅= 12( )

Η (12) με τη βοήθεια της (6) γράφεται: I

12ω

2⋅ ρ B⋅⋅

pmaxk B⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

⋅= ⇒ I12ω⋅ υ⋅ k⋅ ρ B⋅⋅

pmaxk B⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

⋅= ⇒

I12ω⋅ υ⋅ k⋅ ρ B⋅⋅

pmax2

k B⋅( )2⋅= ⇒ I υ

ρ B⋅B

⋅ω pmax

2⋅

2 k⋅ B⋅⋅= ⇒ I υ

ρ

B⋅

ω pmax2

2 k⋅ B⋅⋅= ⇒

Η μετατόπιση ενός ΥΣ του ελαστικού μέσου δίνεται από τη σχέση: y A sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅= 1( )

Είναι συνήθως βολικότερο να ασχολούμαστε με μεταβολές της πίεσης παρά με πραγματικές απομακρύνσεις των ΥΣ του ελαστικού μέσου. Ας συμβολίσουμε με p τη μεταβολή της πίεσης γύρω από την τιμή της ατμοσφαιρικής. Από τον ορισμό του μέτρου ελαστικότητας Β του αέρα έχουμε:

p B−dVV

⋅= 2( )

Επειδή η απομάκρυνση y είναι συνάρτηση όχι μόνο της θέσης x αλλά και του χρόνου t τον οποίο θεωρούμε σταθερό, εύκολα αποδεικνύεται ότι:

dVV

∂y∂x

= 3( )

Η (2) με τη βοήθεια της (3) δίνει: p B−∂y∂x⋅= 4( )

Η (4) με τη βοήθεια της (1) δίνει: p k B⋅ A⋅ cos ω t⋅ k x⋅−( )⋅= 5( )

Η (5) δίνει το πλάτος μεταβολής της πίεσης: pmax k B⋅ A⋅= ή pmax2 π⋅

λB⋅ A⋅= 6( )

Άρα το πλάτος μεταβολής της πίεσης είναι ανάλογο του πλάτους Α της μετατόπισης και αντιστρόφως ανάλογο του μήκους κύματος λ του απλού ήχου.

21-2. ΕΝΤΑΣΗ

Ορίζουμε ως ένταση Ι ενός κύματος το μέσο χρονικό ρυθμό με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια από το κύμα ανά μονάδα εμβαδού μιας επιφάνειας η οποία είναι κάθετη στην κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Δηλαδή η ένταση Ι είναι η μέση μεταφερόμενη ισχύς ανά μονάδα εμβαδού.

Η μετατόπιση ενός ΥΣ του ελαστικού μέσου δίνεται από τη σχέση:

y A sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅= 7( )

Η στιγμιαία ταχύτητα είναι: uy ω A⋅ cos ω t⋅ k x⋅−( )⋅= 8( )

Μέσα από επιφάνεια dS που είναι κάθετη στην κατεύθυνση διάδοσης του κύματος περνά ισχύς:

174

Page 185: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

όσο περίπου είναι το κατώφλι της ανθρώπινης ακοής στα 1 kHz. Οι στάθμες έντασης εκφράζονται σε decibel (db).

Io 10 12− W

m2⋅=Ιο είναι μια ένταση αναφοράς, επιλεγμένη να έχει την τιμή:

β 10dB( ) logIIo

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅=

Επειδή το αισθητήριο όργανο του ανθρώπου είναι ευαίσθητο σε εκτεταμένη περιοχή εντάσεων, γι' αυτό χρησιμοποιούμε συνήθως τη λογαριθμική κλίμακα έντασης. Η στάθμη έντασης β ενός ηχητικού κύματος ορίζεται από την εξίσωση:

Κλίμακα decibel (dB)

Δηλαδή η ένταση των ηχητικών αλλά και φωτεινών κυμάτων ακολουθεί το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου.

I1I2

r22

r12

=Άρα:IP

4 π⋅ r2⋅=

Θεωρούμε σημειακή πηγή Π ισχύος P μέσα σε απεριόριστο τρισδιάστατο ελαστικό μέσο. Η μέση ένταση I που περνά από μια σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r της οποίας το κέντρο συμπίπτει με την Π είναι:

Π

Διεύθυνσηδιάδοσης κύματος[ r1, I1 ]

[ r2, I2 ]Διεύθυνσηδιάδοσης κύματος

Διεύθυνσηδιάδοσης κύματος

Εξάρτηση της έντασης από την απόσταση

ΠαρατηρήσειςΗ μέση ολική ηχητική ισχύς που εκπέμπει ένας ομιλητής σε τόνους μιας ήπιας ομιλίας είναι 1.περίπου 10-5 W.Μια ισχυρή κραυγή αντιστοιχεί περίπου σε 3x10-2 W. Αν όλοι οι κάτοικοι της Ελλάδας μιλούσαν 2.ταυτόχρονα, η συνολική ηχητική ισχύς θα ήταν περίπου 100 W, δηλαδή ισοδύναμη με την ηλεκτρική ισχύ που καταναλώνει ένας μετρίου μεγέθους λαμπτήρας πυρακτώσεως.

16( )Ipmax

2

2 ρ B⋅⋅=⇒15( )I

pmax2

2 υ⋅ ρ⋅=⇒I

υ pmax2

2 υ2

⋅ ρ⋅=

⇒14( )Iυ pmax

2⋅

2 B⋅=⇒13( )I

ω pmax2

2 k⋅ B⋅=⇒I υ

1υ⋅

ω pmax2

2 k⋅ B⋅⋅=⇒

υBρ

=

175

Page 186: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

σε dB a 10 12− W

m2⋅:= b 1

W

m2⋅:= I a a

b a( )−

10+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=

1 .10 121 .10 111 .10 101 .10 9 1 .10 8 1 .10 7 1 .10 6 1 .10 5 1 .10 4 1 .10 3 0.01 0.1 10

50

100

150

Ένταση I (W/m^2)

Στάθμη

έντασ

ης β

(dB

)

70

20

β I( )

120

10 5− W

m2⋅10 10− W

m2⋅

I

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2ΑΣΚΗΣΗ 21-6 / ΣΕΛ 591 H. YOUNG

β1 10 logI1Io

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅= (-)β2 β1− 10 log

I2I1

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=⇒

⇒ β2 β1− 10 logr1r2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

⋅= ⇒

β2 10 logI2Io

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅= Αλλά:I2I1

r1r2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

=

β2 β1− 20 logr1r2

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

⋅=

Με n θετικό αριθμό, θεωρούμε αποστάσεις:

r2 n r1⋅= Η μεταβολή Δβ (σε dB) της Στάθμης έντασης β είναι: Δβ n( ) 20 log

1n

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:= Δβ 1( ) 0=

Στάθμες έντασης ήχου από διάφορες πηγές (Αντιπροσωπευτικές τιμές)

Πηγή ήχου Στάθμη έντασης β (dB)

Ένταση I (W/m2)

Κατώφλι πόνου 120 1

Κυκλοφορία σε πολυσύχναστο δρόμο 70 10-5

Αθόρυβο αυτοκίνητο 50 10-7

Μέσος ψίθυρος 20 10-10

Θρόισμα φύλλων 10 10-11

Κατώφλι ακοής (στα 1 kHz) 0 10-12

Io 10 12− W

m2⋅:= β I( ) 10 log

IIo

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

176

Page 187: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 420

0

20

40

Λόγος αποστάσεων n

Μεταβολή Στάθμης ένταση

ς β

(dB

)

Δβ1

2⎛⎜⎝⎞⎟⎠

Δβ 2( )

Δβ n( )

Δβ 1( )

21

2

n 1,

x1 t( ) A sin 2 π⋅ f1⋅ t⋅( )⋅:=

Στοιχεία δεύτερης ταλάντωσης:

Διαφορά φάσης φ μεταξύ των δύο ΑΑΤ: φ 0:=

Πλάτος: A 0.01 m⋅:= Συχνότητα: f2 6 Hz⋅:=

Περίοδος: T21f2

:= T2 0.167 s= Κυκλική συχνότητα: ω2 2 π⋅ f2⋅:= ω2 37.699 Hz=

Εξίσωση απομάκρυνσης ταλάντωσης: x2 t( ) A sin 2 π⋅ f2⋅ t⋅ φ+( )⋅:=

Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης x είναι: x t( ) A sin 2 π⋅ f1⋅ t⋅( )⋅ A sin 2 π⋅ f2⋅ t⋅ φ+( )⋅+:= ⇒

x t( ) 2 A⋅ cosω1 ω2−

2t⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

sinω1 ω2+

2t⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

Δες Παρ. 21-6 σελ. 591 Η. Young

Με n = 2 η Ένταση Ι (σε W/m2) υποτετραπλασιάζεται ενώ η Στάθμης έντασης β μειώνεται κατά 6.021 dB.

Δβ 2( ) 6.021−= dB

Με n = 1/2 η Ένταση Ι (σε W/m2) τετραπλασιάζεται ενώ η Στάθμης έντασης β αυξάνεται κατά 6.021 dB. Δβ

12

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

6.021= dB

21-3. ΔΙΑΚΡΟΤΗΜΑ

Ένας απλός αρμονικός μηχανικός ταλαντωτής συμμετέχει συγχρόνως σε δύο ΑΑΤ ίδιας διεύθυνσης, ιδίου πλάτους, παραπλήσιας συχνότητας και του ιδίου σημείου ισορροπίας. Δίνονται τα παρακάτω στοιχεία: Σύστημα μονάδων μέτρησης το SI.

Στοιχεία πρώτης ταλάντωσης:

Πλάτος: A 0.01 m⋅:= Συχνότητα: f1 5 Hz⋅:=

Περίοδος: T11f1

:= T1 0.2 s= Κυκλική συχνότητα: ω1 2 π⋅ f1⋅:= ω1 31.416 Hz=

Εξίσωση απομάκρυνσης ταλάντωσης:

177

Page 188: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

4( )

Tδ t2 t1−=

Tδ1

ω12 π⋅

ω22 π⋅

= ⇒ Tδ1

f1 f2−= ⇒ fδ f1 f2−:= Συχνότητα

διακροτήματος:fδ 1 Hz=

Περίοδος διακροτήματος Τδ : Tδ1fδ

:= ⇒ Tδ 1 s=

Ακολουθεί το γράφημα της απομάκρυνσης x ως προς το χρόνο t και για χρονική διάρκεια μιας περιόδου Τδ .

Κλίμακα γραφήματος: a 0 s⋅:= b Tδ:= t a ab a( )−

1000+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

, b..:=

0 0.5 1

0.02

0.01

0.01

0.02Διακρότημα: Απομάκρυνση - Χρόνος

A

2− A⋅

x1 t( )

x2 t( )

x t( )

2

t

όπου το "πλάτος" Αδ του διακροτήματος το οποίο μεταβάλλεται αργά με το χρόνο είναι: Aδ t( ) 2 A⋅ cos

ω1 ω2−

2t⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅:=

Υπολογισμός της συχνότητας του διακροτήματος

Ως περίοδο του διακροτήματος Τδ εννοούμε το χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του "πλάτους" Αδ . Τότε:

cosω1 ω2−

2t⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

0= ⇒ω1 ω2−

2t⋅ 2 k⋅ 1+( )

π

2⋅=

Για δύο διαδοχικές χρονικές στιγμές t1 και t2 μηδενισμού του "πλάτους" Αδ του διακροτήματος, ισχύουν:

ω1 ω2−

2t1⋅

π

2= ⇒ t1

π

ω1 ω2−= 3( )

⇒ Tδ2 π⋅

ω1 ω2−= ⇒

ω1 ω2−

2t2⋅

3 π⋅

2= ⇒ t2

3 π⋅

ω1 ω2−=

178

Page 189: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 3000

250

500

750

1000

fL υL( )

υL

υL 0 0.1ms

⋅, 300ms

⋅..:=υS 0:=fL υL( )υ υL−

υfS⋅:=

β. ΑΚΙΝΗΤΗ ΠΗΓΗ S - ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ L ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΕΤΑΙ

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 3001000

1250

1500

1750

2000

fL υL( )

υL

υL 0 0.1ms

⋅, 300ms

⋅..:=υS 0:=fL υL( )υ υL+

υfS⋅:=

α. ΑΚΙΝΗΤΗ ΠΗΓΗ S - ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ L ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ

υ 340ms

⋅:=fS 1000 Hz⋅:=Απλές Εφαρμογές

Συμβολισμός: Τα πάνω πρόσημα όταν πλησιάζει, τα κάτω όταν απομακρύνεται.

fLυ±υL

υ ±υS( )−fS⋅=

Φαινόμενο Doppler είναι η μετατόπιση προς μεγαλύτερες ή μικρότερες τιμές της συχνότητας που αντιλαμβάνεται ένας Ακροατής (Listener) L όταν υπάρχει σχετική κίνηση μεταξύ ηχητικής πηγής S και L. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ακίνητο ελαστικό μέσο διάδοσης (αέρα), πηγή S (fS, υS) και ακροατή L (fL, υL). Παίρνουμε την απλή περίπτωση όπου οι ταχύτητες πηγής και ακροατή βρίσκονται στον ίδιο φορέα. Αν η φασική ταχύτητα είναι υ, τότε αποδεικνύεται ότι γενικά ισχύει η σχέση:

ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΓΙΑ ΤΟΝ ΗΧΟ

21-3. ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

179

Page 190: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

γ. ΠΗΓΗ S ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ L ΑΚΙΝΗΤΟΣ

fL υS( ) υ

υ υS−fS⋅:= υL 0:= υS 0 0.1

ms

⋅, 300ms

⋅..:=

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 3000

2500

5000

7500

1 .104

fL υS( )

υS

δ. ΠΗΓΗ S ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΕΤΑΙ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ L ΑΚΙΝΗΤΟΣ

fL υS( ) υ

υ υS+fS⋅:= υL 0:= υS 0 0.1

ms

⋅, 300ms

⋅..:=

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300400

550

700

850

1000

fL υS( )

υS

ε. ΠΗΓΗ S ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ L ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ

fL υS( )υ υL+

υ υS−fS⋅:= υL 30

ms

⋅:= υS 0 0.1ms

⋅, 300ms

⋅..:=

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 3000

2500

5000

7500

1 .104

fL υS( )

υS

180

Page 191: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

στ. ΠΗΓΗ S - ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ L ΠΛΗΣΙΑΖΟΥΝ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΟΝΤΑΙ

υL 30ms

⋅:= υS 30ms

⋅:= d 1000 m⋅:= x d− d..:=

fAA x( )υ υL+

υ υS−fS⋅:= fAB x( )

υ υL−

υ υS+fS⋅:=

f x( ) fAA x( ) d− x≤ 0<if

fAB x( ) otherwise

:=

1000 500 0 500 1000600

800

1000

1200

1400

f x( )

x

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3

Αεροσκάφος S πετά σε ύψος h = 80m με σταθερή οριζόντια ταχύτητα υS = 100m/s, εκπέμποντας ήχο συχνότητας fs = 1000Hz. Ένας παρατηρητής L βρίσκεται ακίνητος στο έδαφος και δέχεται τον εκπεμπόμενο από το αεροσκάφος ήχο. Αρχικά η απόσταση του αεροσκάφους S από την κατακόρυφη που διέρχεται από τον παρατηρητή L είναι d = 120m. Να παρασταθεί γραφικά ως προς το χρόνο t η συχνότητα fL του ήχου που αντιλαμβάνεται ο L από την αρχική χρονική στιγμή έως ότου το αεροσκάφος φθάσει στη συμμετρική θέση ως προς την αρχική του. Δίνεται η ταχύτητα του ήχου ως προς τον ακίνητο αέρα υ = 340m/s.

hfs fs

(d-x) (x-d)υS

υS

fL

L

181

Page 192: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

fL fS 1 β2

−⋅=Φαινόμενο Doppler με την κίνηση του παρατηρητή εγκάρσια στη δ.δ. του φωτός.

1. Ο παρατηρητής κινείται σε φορέα κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας.

βυ

c=Ορίζουμε:

ΤΟ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΓΙΑ ΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑTo φαινόμενο Doppler στην περιοχή των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι διαφορετικό από ότι στην ακουστική. Η συχνότητα του φωτός που φαίνεται από ένα παρατηρητή εξαρτάται από την κατεύθυνση και την ταχύτητα της κίνησης του παρατηρητή ως προς την κίνηση της πηγής. Για το φως, σε αντίθεση με τον ήχο, δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ κίνησης της πηγής και κίνησης του παρατηρητή. Μόνο η σχετική ταχύτητα των δύο είναι σημαντική. Διακρίνουμε δύο απλές περιπτώσεις χωρίς απόδειξη:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3600

800

1000

1200

1400

fs

fL t( )

1.324 103× Hz⋅

803.393Hz

d

υs2

d

υs⋅

t

fL 2dυs⋅

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

803.393 Hz=fL 0 s⋅( ) 1.324 103× Hz=

ΠΗΓΗ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΕΤΑΙΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ ΑΚΙΝΗΤΟΣ

ΠΗΓΗ ΠΛΗΣΙΑΖΕΙ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΣ ΑΚΙΝΗΤΟΣ

fL t( )υ

υ υs cos1 t( )⋅−fs⋅ 0 s⋅ t≤

dυs

<if

fs tdυs

=if

υ

υ υs cos2 t( )⋅+fs⋅

dυs

t< 2dυs⋅≤if

:=

cos1 t( )d x t( )−

d x t( )−( )2 h2+

:=cos2 t( )

x t( ) d−

x t( ) d−( )2 h2+

:=

t 0 s⋅ 0.001dυs⋅, 2

dυs

..:=x t( ) υs t⋅:=

fs 1000 Hz⋅:=d 120 m⋅:=h 80 m⋅:=υs 100ms

⋅:=υ 340ms

⋅:=

182

Page 193: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

Πλησιάζουνυ 1.8 108×ms

=β 0.6=υ β c⋅:=

β

fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

1−

fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

1+

:=⇒βfLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

1+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

1−=⇒1 β+ 1 β−( )fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

⋅=

⇒1 β+

1 β−

fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

=⇒fL fS1 β+

1 β−⋅=fL 2 fS⋅:=

a. Παρατηρητής και πηγή πλησιάζουν:

c 3 108⋅ms

⋅:=fS 5.08 1014⋅ Hz⋅:=

Παρατηρούμε την ακτινοβολία ατόμων Νατρίου που κινούνται ως προς εμάς. Η συχνότητα στο σύστημα ηρεμίας των ατόμων είναι fo = 5.08x1014 Hz. Η συχνότητα που παρατηρούμε είναι: a) Διπλάσια. b) Η μισή. Με τι ταχύτητα πλησιάζουν ή απομακρύνονται τα άτομα;

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4

Μια γνώριμη εφαρμογή του φαινομένου Doppler με ραδιοκύματα είναι η μέτρηση της ταχύτητας •των οχημάτων από απόσταση. Μια συσκευή Σ εκπέμπει ραδιοκύματα συγκεκριμένης συχνότητας τα οποία ανακλώνται πάνω σε κινούμενο όχημα Ο που πλησιάζει τη Σ. Το Ο παίζει επίσης ρόλο κινούμενης πηγής. Τα απευθείας και τα από ανάκλαση κύματα έχουν ολίγον διαφέρουσες συχνότητες και έτσι σχηματίζουν διακρότημα, από την συχνότητα του οποίου υπολογίζεται η ταχύτητα της πηγής Ο. Παρόμοιες τεχνικές χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση της ταχύτητας των ανέμων στην •ατμόσφαιρα.Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται για την παρακολούθηση δορυφόρων και διαστημικών •οχημάτων. Καθώς ο δορυφόρος Δ περιφέρεται περί τη Γη αρχικά πλησιάζει και στη συνέχεια απομακρύνεται από επίγεια βάση (δέκτη). Άρα ο δέκτης συλλαμβάνει σήμα μεταβλητής συχνότητας. Το φαινόμενο Doppler έχει μεγάλη σημασία στην Αστροφυσική. Γίνεται σύγκριση της συχνότητας •που δέχονται επίγειοι σταθμοί από συγκεκριμένο στοιχείο (πχ Νa) που εκπέμπει καθώς βρίσκεται σε απομακρυσμένο αστέρα Α σε σχέση με τη συχνότητα που εκπέμπει το ίδιο αυτό στοιχείο στο επίγειο εργαστήριο. Έτσι βρίσκεται αν ο Α πλησιάζει ή απομακρύνεται από τη Γη και με πόση ταχύτητα. ΤΟ ΔΙΑΣΤΕΛΛΟΜΕΝΟ ΣΥΜΠΑΝ. Το φως που προέρχεται από τους περισσότερους γαλαξίες •είναι μετατοπισμένο προς τα μεγαλύτερα μήκη κύματος, δηλαδή προς το ερυθρό του ορατού φάσματος. Το φαινόμενο λέγεται "μετατόπιση προς το ερυθρό" (μετατόπιση Doppler) και οφείλεται στην απομάκρυνση των γαλαξιών. Το φαινόμενο αντιμετωπίζεται ορθότερα με τη βοήθεια της γενικής θεωρίας της σχετικότητας.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ DOPPLER ΜΕ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

fL fS1 β−

1 β+⋅=2β. Παρατηρητής και πηγή απομακρύνονται:

Φαινόμενο Doppler με την κίνηση του παρατηρητή κατά μήκος της δ.δ. του

φωτός.

fL fS1 β+

1 β−⋅=2α. Παρατηρητής και πηγή πλησιάζουν:

2. Ο παρατηρητής κινείται σε φορέα που συμπίπτει με τη διεύθυνση διάδοσης της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας.

183

Page 194: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 21 ΗΧΟΣ

Έχουν ήδη αναφερθεί τα υποκειμενικά χαρακτηριστικά των ήχων. Οι μουσικοί τόνοι είναι σύνθετοι ήχοι με Ύψος ή οξύτητα, Χροιά και Ακουστότητα.

Έτσι η οξύτητα ενός μουσικού τόνου εξαρτάται κυρίως από τη θεμελιώδη συχνότητα.•Η χροιά από το περιεχόμενό του σε ανώτερες αρμονικές καθώς και από τα χαρακτηριστικά •έναρξης και κατάληξής του. Η μουσική αρμονία καθορίζεται από τους λόγους συχνοτήτων των τόνων.•Ο μέσος φθόγγος (τόνος) ντο (C) στο πιάνο έχει συχνότητα 262 Hz. •Το μουσικό διάστημα μιας οκτάβας αντιστοιχεί σε διπλασιασμό της συχνότητας. Ο φθόγγος ντο, •που βρίσκεται μια οκτάβα πάνω από το μέσο ντο, έχει συχνότητα 2x262 Hz = 524 Hz.

21-6. ΜΟΥΣΙΚΟΙ ΤΟΝΟΙ

Να λυθεί η άσκηση 21-25 σελ. 604.

Απομακρύνονταιυ 1.8 108×ms

=β 0.6=υ β c⋅:=

β

1fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

1+

:=⇒βfLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

1+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

1+=⇒1 β− 1 β+( )fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

⋅=

⇒fL fS1 β−

1 β+⋅= ⇒

1 β−

1 β+

fLfS

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2

=fL 0.5 fS⋅:=

b. Παρατηρητής και πηγή απομακρύνονται:

184

Page 195: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 22 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Σημειώσατε ένα Σ, αριστερά της αρίθμησης, σε όσες από τις παρακάτω προτάσεις νομίζετε ότι είναι σωστές:

ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΑΤα Θεμελιώδη Μεγέθη στο S. I. είναι: Χρόνος, Μήκος, Μάζα, Ηλεκτρικό Ρεύμα, Θερμοκρασία, Φωτεινή 1.Ένταση, Ποσότητα Ύλης, ενώ τα Συμπληρωματικά: Επίπεδη γωνία, Στερεά γωνία. Η διάμετρος του ατόμου του Υδρογόνου έχει διάσταση περίπου 10 -15 m, ενώ ο πυρήνας του περίπου 2.10-10 m. Ισορροπία ενός Σωματίου σημαίνει ότι η ταχύτητά του είναι μηδέν.3.Το έργο είναι διανυσματικό μέγεθος, ενώ η ισχύς μονόμετρο.4.Πάνω σε υλικό σημείο Σ σταθερής μάζας m που αρχικά ακινητεί, ασκείται τη χρονική στιγμή μηδέν 5.δύναμη F σταθερής διεύθυνσης, της οποίας η αλγεβρική τιμή ακολουθεί την εξίσωση F = bt, με b θετική σταθερά. Η κίνηση του Σ είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη.Αναφερόμαστε στην προηγούμενη ερώτηση. Η μετατόπιση του Σ είναι τρίτου βαθμού ως προς το χρόνο.6.Αναφερόμαστε στο Απλό ή Μαθηματικό εκκρεμές το οποίο εκτρέπουμε από την κατακόρυφη κατά 90 ο 7.και το αφήνουμε ελεύθερο από την οριζόντια θέση με το νήμα τεντωμένο. Όταν το σφαιρίδιο περνά από την κατώτερη θέση, η συνολική δύναμη που δέχεται είναι μηδέν.

ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ. ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣΈνας υδροηλεκτρικός σταθμός μετατρέπει τη βαρυτική ενέργεια του νερού τελικά σε ηλεκτρική ενέργεια.1.Το βάρος ενός σώματος, η δύναμη Coulomb, η άνωση και η δύναμη Hooke είναι συντηρητικές ή 2.διατηρητικές δυνάμεις.Για τις Διατηρητικές ή Συντηρητικές δυνάμεις δεν έχει νόημα το δυναμικό.3.Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σωματίου, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων 4.των διατηρητικών δυνάμεων σταθερών ή μεταβλητών που ενεργούν πάνω του.Κατά την περιφορά σε κυκλική τροχιά ενός τεχνητού δορυφόρου της Γης, η ενέργεια μέσω έργου του 5.βάρους του είναι ανά περίοδο θετική.Κάθε κεντρική δύναμη είναι συντηρητική ή διατηρητική. 6.Το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (ΘΜΚΕ) είναι ισοδύναμο με το Θεώρημα Διατήρησης 7.της Μηχανικής Ενέργειας (ΘΔΜΕ).Η ισχύς μιας δύναμης είναι διανυσματικό μέγεθος αφού είναι αποτέλεσμα δυο διανυσματικών μεγεθών, 8.της δύναμης και της μετατόπισης.Η ισχύς της ροπής μιας δύναμης είναι μονόμετρο μέγεθος αφού είναι αποτέλεσμα δυο μονόμετρων 9.μεγεθών, της ροπής και της γωνίας.Στην κυκλική ομαλή κίνηση ενός σωματίου, η ισχύς της κεντρομόλου είναι συνεχώς μηδέν και γι' αυτό η 10.κινητική ενέργεια διατηρείται, σε αντίθεση με την ορμή που αλλάζει.'Ενα σωμάτιο σταθερής μάζας κινείται σε μονοδιάστατο πεδίο στο οποίο δίνεται η συνάρτηση της 11.Δυναμικής του Ενέργειας U(x). Αναζητώντας θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας), προσδιορίζουμε για ποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της Δυναμικής Ενέργειας U(x). Για να προσδιορίσουμε το είδος της ισορροπίας στις θέσεις των τοπικών ακρότατων, ελέγχουμε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της U(x) στις θέσεις των τοπικών ακρότατων. Αν είναι θετική, τότε η U(x) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναι αρνητική, τότε η U(x) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

185

Page 196: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 22 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΚΡΟΥΣΗO γενικευμένος 2ος νόμος του Newton για τη μεταφορική κίνηση διατυπώνεται ως εξής: 1." Το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται πάνω σε ένα σωμάτιο Σ, ισούται με το (χρονικό) ρυθμό μεταβολής της ορμής του". Η Αρχή Διατήρησης Ορμής (ΑΔΟ) για ένα Σύστημα σωματίων διατυπώνεται ως εξής: 2."Αν η ολική εξωτερική δύναμη που ενεργεί σε ένα Σύστημα σωματίων είναι μηδέν, τότε η ορμή του συστήματος διατηρείται καθώς επίσης και η ορμή κάθε μέλους του Συστήματος". Σε κάθε κεντρική κρούση οι πριν και μετά ταχύτητες των δύο συγκρουόμενων σωμάτων βρίσκονται 3.σε κάθετες διευθύνσεις.Σε κάθε πλάγια κρούση οι πριν ταχύτητες των δύο συγκρουόμενων σωμάτων βρίσκονται στην ίδια 4.ευθεία. Κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με ίσες μάζες γίνεται ανταλλαγή ταχυτήτων, 5.ορμών και ενεργειών.Στη μη μετωπική ελαστική κρούση δύο σφαιρών η ολική κινητική ενέργεια δε διατηρείται.6.Κατά την κεντρική πλαστική κρούση δύο σφαιρών η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος 7.μειώνεται.Αναφερόμαστε στην κεντρική ελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών από τις οποίες η μια αρχικά 8.είναι ακίνητη (στόχος). Αν οι μάζες των σφαιρών είναι ίσες, τότε η ταχύτητα, ενέργεια και ορμή του βλήματος μεταφέρεται στο αρχικά ακίνητο στόχο. Αναφερόμαστε στην κεντρική ελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών από τις οποίες η μια αρχικά 9.ακίνητη (στόχος). Αν η μάζα του βλήματος είναι πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα του αρχικά ακίνητου στόχου, τότε πρακτικά η τελική ταχύτητα του στόχου είναι η μέγιστη δυνατή και μάλιστα διπλάσια της αρχικής ταχύτητας του βλήματος. Αναφερόμαστε στην κεντρική ελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών από τις οποίες η μια αρχικά 10.είναι ακίνητη (στόχος). Αν η μάζα του βλήματος είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα του αρχικά ακίνητου στόχου, τότε πρακτικά η τελική ορμή του στόχου είναι η μέγιστη δυνατή και μάλιστα διπλάσια της αρχικής ορμής του βλήματος. Αναφερόμαστε στην κεντρική πλαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών από τις οποίες η μια αρχικά 11.είναι ακίνητη (στόχος). Αν η μάζα του βλήματος είναι πολύ μικρότερη από τη μάζα του αρχικά ακίνητου στόχου, τότε η τελική ορμή του δημιουργούμενου συσσωματώματος είναι πρακτικά όσο η αρχική ορμή του βλήματος. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος είναι ασήμαντη.Το κέντρο μάζας (CM) ενός σώματος είναι δυνατόν να μην ανήκει στο σώμα.12.Το κέντρο μάζας (CM) ενός συστήματος σωματίων εξαρτάται από τις μάζες των σωματίων και τις 13.σχετικές θέσεις των σωματίων μεταξύ τους.Πρέπει να υπάρχει αναγκαστικά μάζα στο κέντρο μάζας (CM) ενός συστήματος.14.Ένα στερεό σώμα Σ δεν μπορεί να έχει κινητική ενέργεια αν δεν έχει ορμή.15.Ένα σύστημα σωματίων μπορεί να έχει κινητική ενέργεια χωρίς να διαθέτει ορμή.16.

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Η κινητική ενέργεια ενός στερεού λόγω περιστροφής περί σταθερό άξονα εξαρτάται από τη γωνιακή 1.ταχύτητα περιστροφής, τη μάζα και την κατανομή της μάζας περί τον άξονα περιστροφής.Στην περιστροφική κίνηση η ροπή είναι το αίτιο και η γωνιακή ταχύτητα το αποτέλεσμα.2.Στην περιστροφική κίνηση η ροπή είναι το αίτιο και η γωνιακή επιτάχυνση το αποτέλεσμα. 3.Η στροφορμή L στην περιστροφική κίνηση είναι ότι η ορμή p για τη γραμμική κίνηση.4.Η κινητική ενέργεια ενός στερεού λόγω περιστροφής περί σταθερό άξονα πάντα αυξάνει όταν πάνω του 5.δρα ροπή.Αναφερόμαστε στην περιστροφική κίνηση στερεού γύρω από σταθερό άξονα xx΄. Μια δοσμένη χρονική 6.στιγμή όλα τα υλικά σημεία του στερεού έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον άξονα περιστροφής xx΄. Τα μέτρα των γραμμικών ταχυτήτων των υλικών σημείων του στερεού είναι ανάλογα των αποστάσεών τους από τον σταθερό άξονα περιστροφής.Θεωρούμε τη στροφική κίνηση ενός στερεού γύρω από σταθερό άξονα z. Η αρχική γωνιακή μετατόπιση 7.ισούται με μηδέν. Δίνεται η γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το χρόνο: ω = bt2, με b = 2rad/s3. Τη χρονική στιγμή t = 1s η γωνιακή μετατόπιση, θα είναι (2/3)rad.

186

Page 197: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 22 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΒΑΡΥΤΗΤΑΟ νόμος του Newton για τη βαρύτητα ακολουθεί το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης 1.μεταξύ των σημειακών μαζών (σωματίων).Όσο μεγαλύτερη είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς R ενός δορυφόρου της Γης, τόσο μικρότερο είναι 2.το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας u και τόσο μεγαλύτερη η περίοδος περιφοράς Τ.Οι σύγχρονοι ή γεωστάσιμοι δορυφόροι έχουν γωνιακή ταχύτητα περιφοράς ακριβώς διπλάσια από 3.τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης.Αναφερόμαστε στην κυκλική ομαλή κίνηση ενός τεχνητού δορυφόρου Δ της Γης. Το μέτρο της 4.ταχύτητας u και της γραμμικής ορμής p του Δ παραμένει χρονικά σταθερό, αλλά τα αντίστοιχα διανύσματα αλλάζουν αφού ασκείται πάνω του η έλξη της Γης. Η στροφορμή L του Δ παραμένει συνεχώς μηδέν αφού μηδενική είναι και η ροπή τ του βάρους του.Θεωρούμε τη Γη πλήρη, ομογενή και ακίνητη σφαίρα χωρίς ατμόσφαιρα. Σε ύψος μηδέν 5.επιτυγχάνεται ταχύτητα του τεχνητού δορυφόρου Δ με το μικρότερο μέτρο, που ονομάζεται πρώτη κοσμική ταχύτητα. Ο 2ος Νόμος του Kepler μας πληροφορεί: "Η ευθεία που ενώνει τον Ήλιο με έναν πλανήτη, σαρώνει 6.σε ίσους χρόνους ισεμβαδικές επιφάνειες". Οι τροχιές των πλανητών του Ήλιου μας είναι σχεδόν κυκλικές, αφού οι εκκεντρότητες e είναι πολύ 7.μικρές. Έτσι οι δύο εστίες βρίσκονται πολύ κοντά στο σημείο τομής των αξόνων. Η εκκεντρότητα της ελλειπτικής τροχιάς Γης είναι περίπου 0.017! Όταν οι Ευρωπαίοι γιορτάζουν τα Χριστούγεννα η Γη βρίσκεται περίπου στη μεγαλύτερη δυνατή απόσταση από τον Ήλιο.Η ταχύτητας διαφυγής από ένα πλανήτη είναι πάντα μικρότερη από την πρώτη κοσμική ταχύτητά του 8.(ταχύτητα περιφοράς σε ύψος μηδέν).Οι μαύρες τρύπες δεν υπάρχουν παρά μόνο στη φαντασία των ανθρώπων.9.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣΗ ταλάντωση είναι ένα καθαρώς ενεργειακό φαινόμενο.1.Σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση ισχύει η σχέση: υ2 = ω2(Α2 -x2) και ο ταλαντωτής περνά από την 2.ίδια θέση δύο φορές ανά περίοδο με αντίθετες ταχύτητες. Αυτό δεν ισχύει μόνο για τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσης από όπου ο ταλαντωτής περνά μια φορά ανά περίοδο. Αναφερόμαστε στην απλή αρμονική ταλάντωση. Αν παρασταθεί γραφικά η αλγεβρική τιμή της 3.επιτάχυνση α ως προς την αλγεβρική τιμή της ταχύτητας, προκύπτει έλλειψη.Η περίοδος ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή (Ιδανικό ελατήριο - Σώμα) είναι ίδια είτε ο ταλαντωτής 4.αναρτηθεί από ακίνητη οροφή είτε στηριχθεί πάνω σε ακίνητο δάπεδο.Η περίοδος ενός απλού ή μαθηματικού εκκρεμούς είναι ίδια είτε το εκκρεμές ταλαντώνεται στο 5.Πασαλιμάνι είτε στο καταφύγιο της Πάρνηθας.Κατά το συντονισμό ενός μηχανικού ταλαντωτή η διεγείρουσα δύναμη αναπληρώνει ανά περίοδο τη 6.χαμένη ενέργεια λόγω ύπαρξης δύναμης απόσβεσης. Τότε η συχνότητα ταλάντωσης του μηχανικού ταλαντωτή είναι περίπου όσο η φυσική του συχνότητα (ιδιοσυχνότητα).Στη Γωνιακή ή Στροφική Αρμονική Ταλάντωση ενός Στροφικού Αρμονικού Ταλαντωτή (ΣΑΤ) η συνολική 7.ροπή τ είναι αντιθέτως ανάλογη της γωνιακής του εκτροπής θ.Τα πραγματικά ταλαντούμενα συστήματα έχουν πάντα κάποια μικρή ή μεγάλη τριβή οπότε χάνοντας 8.συνεχώς ενέργεια μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης εκτός αν βρεθεί τρόπος να αναπληρωθεί η χαμένη ανά περίοδο ενέργεια του ταλαντωτή. Στις απλούστερες των περιπτώσεων η δύναμη της απόσβεσης είναι αντιθέτως ανάλογη της ταχύτητας του ταλαντωτή (-bu) όπου b η σταθερά απόσβεσης. Σε μια αποσβενόμενη ταλάντωση με σταθερή b, παρατηρείται σταθερή περίοδος Τ αλλά πάντα μεγαλύτερη από την ιδιοπερίοδο Το. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ο μηχανικός ταλαντωτής ταλαντώνεται με την συχνότητα που του 9.επιβάλει ο διεγέρτης. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεγιστοποιείται όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει περίπου ίση με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Τότε ο ταλαντωτής απορροφά τη μέγιστη δυνατή ενέργεια από το διεγέρτη και το φαινόμενο λέγεται "απόσβεση". Τα χαοτικά συστήματα είναι πολύ ευαίσθητα στις αρχικές συνθήκες. 10.

187

Page 198: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 22 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΚΥΜΑΤΙΚΗΤα μηχανικά κύματα ανάλογα με τον τρόπο διάδοσης διακρίνονται σε γραμμικά, επιφανειακά και 1.χώρου.Για δοσμένο x η κυματοσυνάρτηση δίνει την απομάκρυνση του Υλικού Σημείου (ΥΣ) Σ από τη θέση 2.ισορροπίας του σαν συνάρτηση του χρόνου t (εξίσωση κίνησης του ΥΣ). Δηλαδή βιντεοσκοπούμε το ΥΣ Σ και παρατηρούμε την κίνησή του διαχρονικά.Για δοσμένο t η κυματοσυνάρτηση δίνει τις απομακρύνσεις των ΥΣ του ελαστικού μέσου (π.χ. της 3.χορδής) από τη θέση ισορροπίας τους, σαν συνάρτηση της θέσης τους x (στιγμιότυπο κύματος). Δηλαδή φωτογραφίζουμε το ελαστικό μέσο και παρατηρούμε τις απομακρύνσεις των ΥΣ του ελαστικού μέσου μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή.Η κυματική εξίσωση είναι μια από τις πιο σημαντικές εξισώσεις σε όλη τη Φυσική. Όποτε 4.παρουσιάζεται, γνωρίζουμε ότι η διαταραχή που περιγράφεται από τη συνάρτηση y(x, t) διαδίδεται ως κύμα διάμηκες ή εγκάρσιο (όχι αναγκαστικά αρμονικό !!) κατά μήκος του άξονα x με φασική ταχύτητα υ.Η αρχή της επαλληλίας ΔΕΝ ισχύει πάντα. Η επαλληλία αποτυγχάνει όταν οι εξισώσεις που 5.διέπουν την κυματική κίνηση δεν είναι γραμμικές. Για παράδειγμα πέρα από το όριο ελαστικότητας ο νόμος του Hooke παύει να ισχύει.Αν η διαφορά δρόμου ενός σημείου Σ του ελαστικού μέσου από δύο σύγχρονες πηγές Π 1 και Π2 6.είναι άρτιο πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, τότε παρατηρείται το φαινόμενο της συμβολής με απόσβεση. Όταν ένας Ακροατής πλησιάζει μια ακίνητη πηγή αντιλαμβάνεται οξύτερο ήχο από αυτόν που στην 7.πραγματικότητα εκπέμπει η πηγή. Είναι πάντοτε αληθινό, ότι: "η ηχώ δε λέει ποτέ ψέματα"; Δηλαδή ένας ήχος από ανάκλαση έχει 8.πάντα το ίδιο ύψος με τον αρχικό; Να εξηγήσετε.

ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΗ θερμοκρασία είναι ενεργειακό μέγεθος.1.Η γραμμομοριακή ειδική θερμότητα μετράται σε: J/mol.K2.Οι μηχανισμοί διάδοσης της θερμότητας είναι: α) με Αγωγή, β) με Μεταφορά και γ) με Ακτινοβολία.3.Κατά την ισοθερμοκρασιακή (ισόθερμη) εκτόνωση ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου αν και δεν 4.μεταβάλλεται η εσωτερική του ενέργεια, η εντροπία του αυξάνει, αφού αυξάνει η αταξία των μορίων του ως προς τις θέσεις.Κατά την αδιαβατική συμπίεση ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου αν και αυξάνεται η εσωτερική 5.του ενέργεια, η εντροπία του δε μεταβάλλεται αφού, όσο αυξάνεται η αταξία των μορίων του ως προς την κίνηση (αύξηση της θερμοκρασίας), τόσο μειώνεται η αταξία των μορίων του ως προς τις θέσεις (μείωση όγκου).Ο πρώτος Θερμοδυναμικός Νόμος υποστηρίζει: 6."Δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ιδανική θερμική μηχανή που να υποβάλλει ένα ρευστό εργασίας σε κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή, μετατρέποντας τη θερμότητα που απορροφά από δεξαμενή υψηλής θερμοκρασίας πλήρως σε μηχανικό έργο, δηλαδή να έχει απόδοση 100%". Ο κύκλος Carnot αποτελείται από τις τέσσερις διαδοχικές αντιστρεπτές μεταβολές: Ισοθερμοκρασιακή 7.εκτόνωση, Αδιαβατική εκτόνωση, Ισοθερμοκρασιακή συμπίεση, Ισόογκη θέρμανση. Σε κάθε ελεύθερη εκτόνωση ισχύουν: Q = 0, W = 0, ΔU = 0, T = σταθ., ΔS > 0 και δεν μπορεί να 8.παρασταθεί σε διάγραμμα p-V. Η εντροπία είναι καταστατικό μέγεθος. Η μεταβολή της εντροπίας ενός συστήματος από μια 9.κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας α σε μια άλλη κατάσταση θερμοδυναμικής ισορροπίας b δεν εξαρτάται από τις διαδοχικές (ενδιάμεσες καταστάσεις θερμοδυναμικής ισορροπίας) αλλά αποκλειστικά και μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση. Σε κάθε φυσική (μη αντιστρεπτή) μεταβολή παρατηρείται αύξηση της εντροπίας εφόσον 10.συμπεριλαμβάνονται όλα τα συστήματα που συμμετέχουν στη μεταβολή. Η φυσική ανάμειξη δύο υγρών οδηγεί σε μια κατάσταση αυξημένης εντροπίας. 11. Στην ελεύθερη εκτόνωση (μη αντιστρεπτή μεταβολή) όπου η θερμοκρασία του αερίου παραμένει 12.σταθερή (θερμομονωμένα τοιχώματα) έχουμε αύξηση της εντροπίας αφού αυξάνει η αταξία ως προς τις θέσεις. Η εντροπία ενός θερμικά μονωμένου συστήματος μπορεί να αυξηθεί αλλά ποτέ δεν μπορεί να μειωθεί.13. Όταν ένα σύστημα αλληλεπιδρά με το περιβάλλον του, τότε η εντροπία του συστήματος και του 14.περιβάλλοντος δεν μπορεί ποτέ να μειωθεί. Η εντροπία του σύμπαντος μειώνεται από τη στιγμή της μεγάλης έκρηξης και μετά. 15.

188

Page 199: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

F t1( ) 6 N=tpd

d6

kg m⋅s

⋅= Ρυθµός µεταβολής της ορµής.

Αφού δε δέχεται ροπή ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής dL/dt του Σ κάθε χρονική στιγµή είναι µηδέν.

Η αρχική ταχύτητα uo είναι: uo 0ms

⋅:=

Η τελική ταχύτητα u είναι: u t( ) uo

0 s⋅

t

tF t( )mΣ

⌠⌡

d+:= ⇒ u t1( ) 103

ms

=

Η ισχύς τη χρονική στιγµή t = 2s είναι: P t1( ) F t1( ) u t1( )⋅ cos 0 deg⋅( )⋅:= ⇒ P t1( ) 20 W=

Η µέση ισχύς είναι: Pmean1t1

12

mΣ⋅ u t1( )( )2⋅

0−

⋅:= ⇒ Pmean 5.556 W=

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΗ 1Πάνω σε σωµατίδιο Σ (υλικό σηµείο µε ασήµαντες διαστάσεις) σταθερής µάζας mΣ = 2Kg, που αρχικά ακινητεί (θέση Α, uo = 0), ασκείται τη χρονική στιγµή µηδέν και για χρόνο 15s, δύναµη F σταθερής διεύθυνσης, της οποίας η αλγεβρική τιµή ακολουθεί την εξίσωση (σε µονάδες SI).

Σ(m1) u FA B

x

F t( ) β γ t2⋅+= mΣ 2 kg⋅= β 2 N⋅= γ 1N

s2⋅=

α) Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της ορµής dp/dt και της στροφορµής dL/dt του Σ τη χρονική στιγµή 2s.

β) Να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας του Σ τη χρονική στιγµή 2s. γ) Να βρεθεί η ισχύς της δύναµης F τη χρονική στιγµή 2s. δ) Να βρεθεί η µέση ισχύς της δύναµης F στο χρονικό διάστηµα από µηδέν έως και 2s.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) mΣ 2 kg⋅:= β 2 N⋅:= γ 1N

s2⋅:= t 0 5 s⋅..:= F t( ) β γ t2⋅+:=

t1 2 s⋅:=tpd

dF t( )=

189

Page 200: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Απορρίπτεται

F x( ) a b x2⋅+:= WF

0 m⋅

xoxF x( )

⌠⌡

d:= ⇒ WF 7.333 J=

β)12

mΣ⋅ u2⋅

12

k⋅ xo2

⋅+ WF= ⇒

∆εκτή

⇒ uoα1

mΣmΣ− k xo

2⋅ 2 WF⋅−

1

2⋅:= ⇒ uoα 3.559

ms

=1mΣ

mΣ− k xo2

⋅ 2 WF⋅−

1

2⋅

1−mΣ

mΣ− k xo2

⋅ 2 WF⋅−

1

2⋅

Απορρίπτεται

⇒ uoβ1−

mΣmΣ− k xo

2⋅ 2 WF⋅−

1

2⋅:= ⇒ uoβ 3.559−

ms

=

ΑΣΚΗΣΗ 2Το σώµα Σ µάζας mΣ = 1kg βρίσκεται ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το ελατήριο σκληρότητας k = 200Ν/m έχει το φυσικό του µήκος. Μία οριζόντια δύναµη F ενεργεί στο Σ µέσω νήµατος του οποίου η αντοχή (µέγιστη δύναµη την οποία µπορεί να δεχθεί) είναι Strmax = 100Ν. Την χρονική στιγµή µηδέν αρχίζει η δράση της δύναµης, το µέτρο της οποίας ακολουθεί τη σχέση: F(x) = a +bx2, όπου: a = 60Ν, b = 4.000N/s και x η έκταση του ελατηρίου.α) Πόση είναι η ενέργεια µέσω έργου WF της µεταβλητής δύναµης F όταν σπάει το νήµα. β) Πόση είναι τότε η ταχύτητα u του Σ;γ) Πόσο είναι το πλάτος Α της ταλάντωσης την οποία τελικά εκτελεί το Σ;

Σ(mΣ)

F

x

Ελατήριο (k)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) a 60N:= b 4000N

m2⋅:= Strmax 100 N⋅:= mΣ 1 kg⋅:= k 200

Nm⋅:=

F x( ) a b x2⋅+= ⇒ a b x2

⋅+ Strmax− 0= ⇒

⇒ xo1b

b− a Strmax−( )⋅

1

2⋅:= xo 0.1 m= ∆εκτή1

bb− a Strmax−( )⋅

1

2⋅

1−b

b− a Strmax−( )⋅

1

2⋅

1−b

b− a Strmax−( )⋅

1

2⋅ 0.1− m=

190

Page 201: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

⇒r→

α cos ω t⋅( )⋅ xµ→⋅ β sin ω t⋅( )⋅ yµ

→⋅+=α) Από το διάνυσµα θέσης προκύπτει:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της τροχιάς παριστάνει έλλειψη σε καρτεσιανές συντεταγµένες (x, y).β) Με εκκίνηση τη χρονική σχέση που δίνει το διάνυσµα θέσης να βρεθούν οι χρονικές εκφράσεις της ταχύτητας υ και της επιτάχυνσης a.γ) Να βρεθεί η χρονική έκφραση της γραµµικής ορµής και εκκινώντας από τον ορισµό της στροφορµής (στροφικής ορµής) ως προς την αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι είναι χρονικώς ανεξάρτητη. δ) Να βρεθεί η χρονική έκφραση της δύναµης F και να δείξετε ότι είναι κεντρική άρα και συντηρητική. Να υπολογίσετε τη ροπή τ και από το αποτέλεσµα να επιβεβαιώσετε ότι η στροφορµή διατηρείται.

τα µοναδιαία διανύσµατα στους άξονες x και y αντίστοιχα.yµ→

καιxµ→όπου: α, β, ω, θετικές σταθερές, t ο χρόνος,

r→

α cos ω t⋅( )⋅ xµ→⋅ β sin ω t⋅( )⋅ yµ

→⋅+=

ΑΣΚΗΣΗ 3Σωµατίδιο Σ µάζας m κινείται σε πεδίο δυνάµεων και η θέση του δίνεται από το διάνυσµα θέσης:

Ενέργεια µέσω έργου της µεταβλητής δύναµης F όταν σπάει το νήµα

WF0 m⋅

xoxF x( )

⌠⌡

d=

F x( ) a b x2⋅+=

0 0.02 0.04 0.06 0.0860

80

100

120∆ΥΝΑΜΗ F(N) - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ x (m)

100N

F x( )

xo

x

u0α2

ω2 xo

2⋅+

1

2

ω

u0α2

ω2 xo

2⋅+

1

2−

ω

A 0.271 m=Auoα

2 xo2

⋅+

1

2

ω:=⇒

⇒u0α2

ω2 B2 x0

2−

⋅=ω 14.142

rads

=ωk

mΣ:=γ)

191

Page 202: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

L→

r→

p→×= ⇒ L

→m r→⋅ υ

→×= ⇒ L

→m

xµ→

α cos ω t⋅( )⋅

α− ω⋅ sin ω t⋅( )⋅

yµ→

β sin ω t⋅( )⋅

β ω⋅ cos ω t⋅( )⋅

zµ→

0

0

⋅= ⇒

L→

m 0 xµ→⋅ 0 yµ

→⋅+ α β⋅ ω⋅ zµ

→⋅+

⋅= ⇒

Lx→

0= Ly→

0= Lz→

m α β⋅ ω⋅⋅ zµ→⋅= χρονικώς ανεξάρτητη Στροφορµή

δ) F→

m a→⋅= ⇒ F

→m− ω

2⋅ r

→⋅= ∆ύναµη κεντρική

τ→

r→

F→×= ⇒ τ

→r

→m− ω

2⋅ r

→⋅( )×= ⇒ τ

→m− ω

2⋅ r

→r

→×( )⋅= ⇒ τ

→0= ⇒

tL→d

d0= ⇒ L

→σταθερή=

Ο χρονικός ρυθµός της στροφορµής του σωµατίδιο ισούται µε την ροπή της συνολικής δύναµης •που δρα πάνω του.Η συνολική ροπή που δέχεται το σωµατίδιο είναι µηδέν και γι' αυτό η στροφορµή του L = mur •παραµένει σταθερή. Όταν το σωµατίδιο πλησιάζει προς το κέντρο έλξης του, η ακτίνα r µειώνεται και η γραµµική ορµή •p αυξάνει.

L→

r→

m× u→⋅= L m u⋅ r⋅ sinθ⋅=

x α cos ω t⋅( )⋅=xα

cos ω t⋅( )=xα

2cos ω t⋅( )( )2=

⇒ ⇒ ⇒

y β sin ω t⋅( )⋅=yβ

sin ω t⋅( )=yβ

2sin ω t⋅( )( )2=

που παριστάνει έλλειψη µε κέντρο το (0, 0). Mήκος αξόνων 2α (xx') και 2β (yy').

x2

α2

y2

β2

+ 1=

β) Από το διάνυσµα θέσης προκύπτει: r→

α cos ω t⋅( )⋅ xµ→⋅ β sin ω t⋅( )⋅ yµ

→⋅+=

υ→

tr

→dd

= ⇒ υ→

α− ω⋅ sin ω t⋅( )⋅ xµ→⋅ β ω⋅ cos ω t⋅( )⋅ yµ

→⋅+= χρονική έκφραση της ταχύτητας

a→

tυ→d

d= ⇒ a

→α− ω

2⋅ cos ω t⋅( )⋅ xµ

→⋅ β ω

2⋅ sin ω t⋅( )⋅ yµ

→⋅−= ⇒

a→

ω2

− r→⋅= χρονική έκφραση της επιτάχυνσης

γ) p→

m υ→⋅= ⇒ p

→m ω α− sin ω t⋅( )⋅ xµ

→⋅ β cos ω t⋅( )⋅ yµ

→⋅+

⋅= χρονική έκφραση της γραµµικής ορµής

192

Page 203: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

τ→

r rµον.→

⋅ F× rµον.→

⋅= ⇒ τ→

0=

Αλλά: τ→

tL→d

d= ⇒ L

→σταθερή=

γ) U r Uo, ro,( ) Uo−ror

2

−ror

3

+

⋅:= ⇒rU r Uo, ro,( )d

dUo− 2

ro2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅→

D1 r( )rU r Uo, ro,( )d

d= Απαιτούµε: Uo− 2

ro2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅ 0= ⇒ r01

32

ro⋅=

Άρα υπάρχει µία θέσεις r01 που αποτελεί τοπικό ακρότατο.

ΑΣΚΗΣΗ 4'Ενα σωµατίδιο µάζας mΣ κινείται σε µονοδιάστατο πεδίο στο οποίο η συνάρτηση της ∆υναµικής Ενέργειας U(r) (µε r > 0) δίνεται από την:

U r( ) Uoror

2

−ror

3

+

−=

όπου Uo και ro είναι θετικές σταθερές και r > 0 είναι η απόσταση του σωµατιδίου από ένα ακίνητο κέντρο Ο. α) Να βρεθεί η έκφραση της δύναµης F(r). Να δείξετε ότι είναι κεντρική άρα και συντηρητική.β) Να δείξετε ότι η στροφορµή του σωµατιδίου διατηρείται. γ) Να βρεθούν οι θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας). Να προσδιορισθούν οι τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής r για τις οποίες µηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της ∆υναµικής Ενέργειας U(r).δ) Να προσδιορίσετε το είδος της ισορροπίας στις θέσεις των τοπικών ακρότατων.ε) Αναζητείται το µέτρο και το είδος της δύναµης (ελκτική ή απωστική) στις θέσεις r o, 1.5ro και 2ro ως προς το ακίνητο κέντρο Ο µε r = 0. στ) Να παρασταθούν γραφικά στο ίδιο διάγραµµα µε ελεύθερη εκτίµηση και µε χρήση χαρακτηριστικών σηµείων, η δυναµική ενέργεια και η δύναµη.ζ) Τη χρονική στιγµή µηδέν το σωµατίδιο µάζας mΣ = 1kg βάλλεται κατά µήκος του άξονα από τη θέση Α (r = ro). Ποιά πρέπει να είναι η ελάχιστη αρχική ταχύτητα του σωµατιδίου ώστε να φτάσει στη θέση Γ (r = 2ro). Πόση είναι τότε η ταχύτητα διέλευσης από τη θέση Γ;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) U r Uo, ro,( ) Uo−ror

2

−ror

3

+

⋅:= ⇒ F r Uo, ro,( )rU r Uo, ro,( )d

d

−:= ⇒

F r Uo, ro,( ) Uo 2ro

2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅→ ⇒ F r( ) Uo 2

ro2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅= ⇒ F

→F r( ) r

→⋅=

Άρα η δύναµη είναι κεντρική και συντηρητική.

β) Η ροπή της δύναµης F(r) είναι:

τ→

r→

F→×= ⇒

193

Page 204: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

∆ύναµη αρνητική. Έλξη προς το κέντρο Ο.

r0132

ro⋅= F r01( ) Uo 2ro

2

32

ro⋅

3⋅ 3

ro3

32

ro⋅

4⋅−

⋅=Για:

F r01( ) 0= Θέση ασταθούς ισορροπίας, ακρότατο.

Για: r02 2 ro⋅= F r02( ) Uo 2ro

2

2 ro⋅( )3⋅ 3

ro3

2 ro⋅( )4⋅−

⋅= ⇒ F r02( ) 116

Uoro

⋅=

F r02( ) 0> ∆ύναµη θετική. Άπωση από το κέντρο Ο.

στ) Να παρασταθούν γραφικά στο ίδιο διάγραµµα η δυναµική ενέργεια και η δύναµη (προαιρετικό ερώτηµα).

ro 10 m⋅:= Uo 20 J⋅:= a 0.8 ro⋅:= b 3 ro⋅:= r a ab a( )−

1000+

, b..:=

δ) Αν η δεύτερη παράγωγος της U(r) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι: i) θετική, τότε η U(r) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιii) αρνητική, τότε η U(r) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

rUo− 2

ro2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

dd

Uo− 6−ro

2

r4⋅ 12

ro3

r5⋅+

⋅→

D232

ro⋅

Uo− 6−ro

2

32

ro⋅

4⋅ 12

ro3

32

ro⋅

5⋅+

⋅= ⇒ D232

ro⋅

32−

81

Uo

ro2

⋅= ⇒ D232

ro⋅

0<

Αφού η δεύτερη παράγωγος της U(r) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι αρνητική, τότε η U(r) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι τοπικά ασταθής.

ε) Αναζητούµε το µέτρο και το είδος της δύναµης (ελκτική ή απωστική) σε µια δοσµένη θέση ως προς το ακίνητο κέντρο Ο µε r = 0.

F r Uo, ro,( )rU r Uo, ro,( )d

d

−:= ⇒ F r Uo, ro,( ) Uo 2ro

2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅→ ⇒

F r( ) Uo 2ro

2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅=

Για: r00 ro= F r00( ) Uo 2ro

2

ro( )3⋅ 3

ro3

ro( )4⋅−

⋅= ⇒ F r00( )Uo−

ro=

F r00( ) 0<

194

Page 205: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

⇒12

mΣ⋅ uA2

⋅ Uororo

2

−roro

3

+

+12

mΣ⋅ uΓ2

⋅ Uoro

2 ro⋅

2

−ro

2 ro⋅

3

+

+=

⇒KA UA+ KΓ UΓ+=

Αρχή ∆ιατήρησης Μηχανικής Ενέργειας από τη θέση Α στη θέση Γ.

uA827

UomΣ⋅=⇒

12

mΣ⋅ uA2

⋅427

Uo⋅=⇒12

mΣ⋅ uA2

⋅ Uo1

1.5

2−

11.5

3+

=

⇒12

mΣ⋅ uA2

⋅ Uoro

1.5 ro⋅

2

−ro

1.5 ro⋅

3

+

Uororo

2

−roro

3

+

−=

⇒12

mΣ⋅ uA2

⋅ Uororo

2

−roro

3

+

+12

mΣ⋅ 02⋅ Uoro

1.5 ro⋅

2

−ro

1.5 ro⋅

3

+

+=

⇒KA UA+ KB UB+=

Αρχή ∆ιατήρησης Μηχανικής Ενέργειας από τη θέση Α στη θέση Β.

ζ) Το σωµατίδιο πρέπει να βληθεί από τη θέση Α, κατά µήκος του άξονα r και αποµακρυνόµενο από την αρχή Ο. Θα πρέπει να έχει µια ελάχιστη κινητική ενέργεια έτσι ώστε να φθάσει τουλάχιστον στη θέση B (r = 1.5ro) όπου η δυναµική ενέργεια παρουσιάζει max.

5 10 15 20 25 30

4

2

2

4

U r( )

F r( )

ro3

2ro⋅

r

F r( ) Uo 2ro

2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅:=U r( ) Uo−

ror

2

−ror

3

+

⋅:=

195

Page 206: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Άρα υπάρχει µία θέσεις z1 που αποτελεί τοπικό ακρότατο.

z1 λo( ) 0:=z1 λo( ) 0=Φυσικώς παραδεκτή λύση είναι η:

Find z( ) 0→Uο 2− λo⋅ exp 2− λo⋅ z⋅( )⋅ 2 λo⋅ exp λo− z⋅( )⋅+( )⋅ 0=Given

D1 z λo, Uο,( ) Uο 2− λo⋅ exp 2− λo⋅ z⋅( )⋅ 2 λo⋅ exp λo− z⋅( )⋅+( )⋅→

D1 z λo, Uο,( )z

U z λo, Uο,( )dd

:=

β) Για τις θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας).

zo λo( ) ln 2( )−

λo=Φυσικώς παραδεκτή λύση είναι η:

Find z( )ln 2( )−

λo→Uο e

2− λo⋅ z⋅2 e

λo− z⋅⋅−

⋅ 0=Givenα)

12

mΣ⋅ uΓ2

⋅12

mΣ⋅ uA2

⋅ Uororo

2

−roro

3

+

+ Uoro

2 ro⋅

2

−ro

2 ro⋅

3

+

−= ⇒

12

mΣ⋅ uΓ2

⋅12

mΣ⋅ uA2

⋅ Uo− 0( )⋅ + Uo18

−= ⇒

12

mΣ⋅ uΓ2

⋅12

mΣ⋅827⋅

UomΣ⋅

Uo8

−= ⇒

uΓ2 8

27

UomΣ⋅

2 Uo⋅

8 mΣ⋅−= ⇒ uΓ

2 827

UomΣ⋅

Uo4 mΣ⋅

−= ⇒

uΓ2 32

108

UomΣ⋅

27 Uo⋅

108 mΣ⋅−= ⇒ uΓ

5108

UomΣ⋅=

ΑΣΚΗΣΗ 5Η συνάρτηση δυναµικής ενέργειας U(x) την οποία παράγει η δύναµη F(x) µεταξύ δύο ατόµων σε ένα µόριο είναι (Μοριακό ∆υναµικό Morse - δες Στέφανος Τραχανάς "Κβαντοµηχανική Ι" σελ. 376):

U z λo, Uo,( ) Uo e2− λo⋅ z⋅

2 eλo− z⋅

⋅−

⋅:=

όπου λo , Uo θετικές σταθερές και z η απόσταση. Σύστηµα µονάδων µέτρησης το SI.α) Να βρεθούν οι θέσεις για τις οποίες µηδενίζεται η δυναµική ενέργεια U(z).β) Να βρεθούν οι θέσεις τοπικών ακρότατων (ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας).γ) Να προσδιορίσετε το είδος της ισορροπίας στη θέση του τοπικού ακρότατου.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

196

Page 207: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 1 0 1 2 3 4 5 6 75 .10 5

0

5 .10 5

1 .10 4

1.5 .10 4

2 .10 4

0

U x λ, Vo,( )F x λ, Vo,( )

x0 λ( ) 0

x

x a ab a( )−

1000+

, b..:=b 10 x0 λ( )⋅( )−:=a 1.8 x0 λ( )⋅:=

x0 λ( ) 0.693−=λ 1:=Vo 10 5−:=x0 λ( )ln 2( )−

λ:=

F x λ, Vo,( ) Vo 2− λ⋅ exp 2− λ⋅ x⋅( )⋅ 2 λ⋅ exp λ− x⋅( )⋅+( )⋅ −:=

U x λ, Vo,( ) Vo e 2− λ⋅ x⋅ 2 e λ− x⋅⋅−( )⋅:=

Αφού η δεύτερη παράγωγος της U(z) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι θετική, τότε η U(z) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι τοπικά ευσταθής.

D2 z1 λo, Uο,( ) 0>⇒D2 z1 λo, Uο,( ) Uο 2⋅ λo2

⋅=

D2 z1 λo, Uο,( ) Uο 4 λo2

⋅ 1⋅ 2 λo2

⋅ 1⋅−

⋅=

D2 z1 λo, Uο,( ) Uο 4 λo2

⋅ exp 2− λo⋅ 0⋅( )⋅ 2 λo2

⋅ exp λo− 0⋅( )⋅−

⋅=

z1 λo( ) 0=Αλλά:D2 z1 λo, Uο,( ) Uο 4 λo2

⋅ exp 2− λo⋅ z1⋅( )⋅ 2 λo2

⋅ exp λo− z1⋅( )⋅−

⋅=

zD1 z λo, Uο,( )( )d

dUο 4 λo

2⋅ exp 2− λo⋅ z⋅( )⋅ 2 λo

2⋅ exp λo− z⋅( )⋅−

⋅→

γ) Για τον προσδιορισµό του είδους της ισορροπίας στη θέση του τοπικού ακρότατου. Αν η δεύτερη παράγωγος της U(z) στη θέση του τοπικού ακρότατου είναι: a) θετική, τότε η U(z) παρουσιάζει min και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ευσταθής ενώ αν είναιb) αρνητική, τότε η U(z) παρουσιάζει max και η ισορροπία στη θέση αυτή είναι ασταθής.

197

Page 208: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

γ) Εκατέρωθεν του µηδενός.

V 2( ) 16 J⋅=Τοπικό max:V 0( ) 0 J⋅=V 4( ) 0 J⋅=Τοπικά min:β) Τα τοπικά ακρότατα είναι :

F x( ) 4− x3⋅ 24 x2

⋅+ 32 x⋅−=α) Η δύναµη F(x) είναι :

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) Να βρεθεί η δύναµη F(x) που ασκεί το πεδίο στο Σ. Να σχεδιάσετε πρόχειρα µε ελεύθερη εκτίµηση τη συνάρτηση V(x), αφού βρεθούν τα χαρακτηριστικά της σηµεία. β) Να βρεθούν τα σηµεία ισορροπίας του Σ και να προσδιορίσετε το είδος της ισορροπίας.γ) Αν το Σ διαθέτει ενέργεια Ε = 8J, να σχεδιάσετε προσεγγιστικά στο διάγραµµα V(x) τα όρια των τιµών του x ανάµεσα στα οποία µπορεί να κινηθεί το Σ (δεν απαιτούνται αριθµητικές τιµές).δ) Αν κάποια χρονική στιγµή το Σ βρίσκεται στη θέση x = 0, ποια είναι η ελάχιστη αρχική ταχύτητα που πρέπει να του προσδοθεί ώστε να περάσει από το σηµείο x = 4m.

V x( ) x2 x 4−( )2⋅=

ΑΣΚΗΣΗ 7Σώµα Σ µάζας m = 2kg, κινείται πάνω στον άξονα x διαθέντοτας δυναµική ενέργεια (σε µονάδες του S.I.):

γ) Μικρές ταλαντώσεις γύρω από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας x = 2α.

F x( ) C 6−α

6

x7⋅ 12

α12

x13⋅+

⋅=β) Έκφραση της δύναµης:

∞xV x( )lim

→0=α4)

xC4

−=µε:minV x( ) 6 2 α⋅=α3)

V α( ) 0=α2)

0xV x( )lim

+→

∞=α1)

α) Χαρακτηριστικά σηµεία:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

όπου α και C είναι θετικές σταθερές και x είναι η απόσταση ανάµεσα στα δύο άτοµα. Η µάζα του ατόµου Α είναι ίση µε m ενώ η µάζα του ατόµου Β είναι πολύ µεγαλύτερη ώστε αυτό να µπορεί να θεωρηθεί πρακτικά ακίνητο. Το άτοµο Α κινείται πάνω στο άξονα +x.α) Να σχεδιάσετε πρόχειρα µε ελεύθερη εκτίµηση τη συνάρτηση V(x).β) Να βρείτε την έκφραση της δύναµης που ασκείται πάνω στο άτοµο Α, ως συνάρτηση της x.γ) Τι είδους κίνηση θα ακολουθήσει αν το άτοµο Α αφεθεί χωρίς ταχύτητα στη θέση x = 2α;

V x( ) C−α

x

x

12−

⋅=

ΑΣΚΗΣΗ 6Η δυναµική ενέργεια για τη δύναµη µεταξύ των δύο ατόµων Α και Β ενός διατοµικού µορίου δίνεται προσεγγιστικά από τη σχέση:

198

Page 209: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

V xo( ) D−=α) Τοπικό min (θέση ευσταθούς ισορροπίας):

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

όπου xo, D και α θετικές σταθερές.α) Ποια η ελάχιστη τιµή δυναµικής ενέργειας και σε ποια θέση συµβαίνει; β) Να βρείτε τις οριακές τιµές της V(x) του x τείνοντος στο (- ∝) και στο (+∝) και να τη σχεδιάσετε πρόχειρα µε ελεύθερη εκτίµηση.γ) Για ποιες τιµές της ολικής ενέργειας Ε το Σ θα παραµείνει φραγµένο σε µια περιοχή του χώρου; Να σχεδιάσετε την αντίστοιχη περιοχή σε µια τυπική περίπτωση.δ) Για ποιες τιµές της ολικής ενέργειας το Σ διαφεύγει στο άπειρο; Να υπολογίσετε την οριακή ταχύτητα που τότε θα αποκτήσει χρησιµοποιώντας είτε το ΘΜΚΕ είτε το Θεώρηµα ∆ιατήρησης της Ενέργειας.

V x( ) D e2− α x xo−( )⋅

⋅ 2 eα x xo−( )−

⋅−=

ΑΣΚΗΣΗ 9Σωµατίδιο Σ µάζας m, κινείται πάνω στον άξονα x διαθέντοτας δυναµική ενέργεια:

γ) Μικρές ταλαντώσεις γύρω από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας x = 0.

F 1( ) 1− N⋅=min:F 2( ) 0 N⋅=F 0( ) 0 N⋅=παραβολή µε τα κοίλα πάνω:F x( ) 2− x x2+=

β) Η έκφραση της δύναµης F(x) είναι:

V 3( ) 0 J⋅=V 0( ) 0 J⋅=Η δυναµική ενέργεια µηδενίζετε στα σηµεία:

V 2( )43

J⋅=Τοπικό max (θέση ασταθούς ισορροπίας):

V 0( ) 0 J⋅=Τοπικό min (θέση ευσταθούς ισορροπίας):

α) Τα σηµεία ισορροπίας της V(x) είναι:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) Να βρεθούν τα σηµεία ισορροπίας της V(x) και να προσδιορίσετε το είδος της ισορροπίας. Σε ποια σηµεία µηδενίζετε η δυναµική ενέργεια; β) Να βρείτε την έκφραση της δύναµης F(x) που ασκείται πάνω στο Σ και να τη σχεδιάσετε πρόχειρα µε ελεύθερη εκτίµηση.γ) Αν το Σ βληθεί από τη θέση x = 1m µε αρχική ταχύτητα u = -1m/s (δηλαδή κινούµενο προς τα αριστερά), τι είδους κίνηση θα εκτελέσει;

k213

N

m2⋅=και:k1 1

Nm⋅=όπου:

V x( ) k1 x2⋅ k2 x3

⋅−=

ΑΣΚΗΣΗ 8Σώµα Σ µάζας m = 1kg, κινείται πάνω στον άξονα x διαθέντοτας δυναµική ενέργεια:

u 4ms

⋅=δ) Η ελάχιστη αρχική ταχύτητα θα πρέπει να έχει µέτρο:

199

Page 210: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

m gH⋅ mu2

R H+( )⋅= και gH gο

R2

R H+( )2⋅= ⇒ gο

R2

R H+( )2⋅

u2

R H+( )= ⇒

gοR2

R H+( )⋅ u2= ⇒ u R

gοR H+( )

⋅= ⇒ p m R⋅gο

R H+( )⋅=

β)Tο

2 π⋅ R⋅R

R

GmE

R2⋅

⋅= ⇒ Tο 2 π⋅R3

G ρ⋅43⋅ π⋅ R3

⋅= ⇒ Tο3 π⋅

G ρ⋅=

γ) Γιατί δέχεται δύναµη (βάρος) που ισούται µε το ρυθµό µεταβολής της ορµής του αλλά δεν δέχεται ροπή άρα δεν υπάρχει ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του.

ΑΣΚΗΣΗ 11∆ίνεται πλήρης, λεπτή κυλινδρική ράβδος, µήκους L, εγκάρσιας διατοµής Α, της οποίας η πυκνότητα είναι εξάρτηση της θέσης x, δηλαδή: ρ = ρο + αx µε ρο (σε kg/m3 ) και α (σε kg/m4) σταθερές. Να βρεθεί η θέση του κέντρου µάζας (CM).

β) Να βρείτε τις οριακές τιµές της V(x) του x τείνοντος στο (- ∝) και στο (+∝) και να τη σχεδιάσετε πρόχειρα µε ελεύθερη εκτίµηση.

∞xV x( )lim

−→

∞= V 0( ) exo D e2

⋅ 2−( )= V xo1α

ln 2( )⋅−

0=∞x

V x( )lim+

→0=

Η κίνηση του Σ είναι φραγµένη σε µια περιοχή γύρω από τη θέση ευσταθούς ισορροπίας xo. γ) Με: D− E≤ 0≤

δ) Το Σ διαφεύγει στο άπειρο για: Ε 0≥

Με: Ε 0= ⇒ uορ 0=

ΑΣΚΗΣΗ 10Θεωρούµε τη Γη ως πλήρη, οµογενή (πυκνότητας ρ), ακίνητη σφαίρα (ακτίνας R), χωρίς ατµόσφαιρα και ως ουράνιο σώµα πάρα πολύ µακριά από οποιοδήποτε άλλο στο σύµπαν. Στην πιο απλή περίπτωση η κίνηση ενός τεχνητού δορυφόρου ∆ της Γης, µάζας m που περιφέρεται σε ύψος H πάνω από την επιφάνεια µπορεί να θεωρηθεί ως κυκλική οµαλή. Η ένταση στην επιφάνεια της Γης είναι go. ∆ίνεται η σταθερά της παγκόσµιας έλξης G.α) Να δείξετε ότι το µέτρο της ορµής p του ∆ δίνεται από τη σχέση:

p m R⋅gο

R H+( )⋅=

β) Να δείξετε ότι για Η = 0, η περίοδος Το του ∆ εξαρτάται µόνο από την πυκνότητα ρ του υλικού της Γης. γ) Γιατί υπάρχει ρυθµός µεταβολής της ορµής του ∆ αλλά δεν υπάρχει ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α)

200

Page 211: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Η µάζα της ράβδου είναι:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

O

L

x

y

x

dx

A

ΑΣΚΗΣΗ 12∆ίνεται πλήρης, λεπτή κυλινδρική ράβδος, µήκους L, της οποίας η πυκνότητα είναι εξάρτηση της θέσης x, δηλαδή: ρ = ρο (1+x/L).

µε ρο (σε kg/m3 ). Να βρεθεί η θέση του κέντρου µάζας (CM).

xcm13

L⋅2 α⋅ L⋅ 3 ρo⋅+( )2 ρo⋅ α L⋅+( )⋅=⇒Find xcm( ) 1

3L⋅

2 L⋅ α⋅ 3 ρo⋅+

2 ρo⋅ L α⋅+⋅→

xcm1

Α L⋅ ρo12

L⋅ α⋅+

⋅ 0

Lxx ρo α x⋅+( )⋅ Α⋅

⌠⌡

d⋅=Given

xcm1M 0

Lmx

⌠⌡

d⋅=Η θέση του κέντρου µάζας είναι:

M Α L⋅ ρo12

L⋅ α⋅+

⋅=

⇒Find M( ) Α ρo⋅ L⋅12Α⋅ α⋅ L2

⋅+→M0

Lxρo α x⋅+( ) Α⋅

⌠⌡

d=Given

Η µάζα της ράβδου είναι:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

O

L

x

y

x

dx

A

201

Page 212: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Given ωo β t2⋅− 0= Find t( ) 5 s⋅ 5− s⋅( )→ ∆εκτή to 5 s⋅:=

Για τη γωνιακή µετατόπιση θ του στροβίλου τη χρονική στιγµή to:•

θ

0 s⋅

5 s⋅

tωo β t2⋅−

⌠⌡

d= ⇒ θ t( ) ωo t⋅β t3⋅

3−:= ⇒ θ to( ) 3.333 104× rad=

β) I 2 kg⋅ m2⋅:=

Για τη στροφορµή L τη χρονική στιγµή to/2:•

L t( ) I ω t( )⋅:= ⇒ Lto2

1.5 104×

kg m2

s=

Για τη γωνιακή επιτάχυνση α τη χρονική στιγµή to/2:•

Given M

0

L

xρo ρoxL⋅+

Α⋅

⌠⌡

d= Find M( )32Α⋅ ρo⋅ L⋅→ ⇒ M

32Α⋅ ρo⋅ L⋅=

Η θέση του κέντρου µάζας είναι: xcm1M 0

Lmx

⌠⌡

d⋅=

Given xcm1

32Α⋅ ρo⋅ L⋅ 0

L

xx ρo ρoxL⋅+

⋅ Α⋅⌠⌡

d⋅=

Find xcm( ) 59

L⋅→ ⇒ xcm59

L⋅=

ΑΣΚΗΣΗ 13Ο στρόβιλος µιας τουρµπίνας αεριωθούµενου αεροπλάνου έχει ροπή αδράνειας Ι = 2.5 kgm 2 ως προς τον άξονα περιστροφής του. Η γωνιακή ταχύτητα ω ως συνάρτηση του χρόνου είναι ω = ωο - βt2 όπου: ωο = 1000π rad/s, α = 400 rad/s3. Να υπολογίσετε:α) το χρονικό διάστηµα to περιστροφής του στροβίλου έως ότου σταµατήσει και τη γωνιακή µετατόπιση θ του στροβίλου τη χρονική στιγµή to.β) τη στροφορµή L, τη γωνιακή επιτάχυνση α, τη ροπή τ, το ρυθµό µεταβολής της στροφορµής dL/dt, την κινητική ενέργεια Kn, το ρυθµό αύξησης της κινητικής ενέργειας dKn/dt του στροβίλου τη χρονική στιγµή to/2.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) β 400rad

s3⋅:= ωo 10000

rads

⋅:= ω t( ) ωo β t2⋅−:=

Για το χρονικό διάστηµα to περιστροφής του στροβίλου έως ότου σταµατήσει:•

202

Page 213: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Kn' t( )tKn t( )d

d:= ⇒ Kn' t( )

tKn t( )d

d:= ⇒ Kn' t( ) τ t( ) ω t( )⋅:= ⇒ Kn'

to2

3 107× W=

∆ιαφορετικά: Kn t( )12

I⋅ ωo β t2⋅−

2⋅:=

Kn' t( )tKn t( )d

d:= ⇒ Kn' t( ) 2 I⋅ ωo β t2⋅−

⋅ β⋅ t⋅:= ⇒ Kn'

to2

3 107× W=

θ t( ) ωo t⋅β t3⋅

3−:= ω t( ) ωo β t2⋅−:= α t( ) 2 β⋅ t⋅:= t 0 s⋅ 0.01 s⋅, to..:=

ω ωo β t2⋅−= και αtω

dd

= ⇒ α t( ) 2 β⋅ t⋅:= ⇒ αto2

2 103×

rad

s2=

Για τη ροπή τ τη χρονική στιγµή to/2:•

τ t( ) I 2⋅ β⋅ t⋅:= ⇒ τto2

4 103× N m⋅=

Για το ρυθµό µεταβολής της στροφορµής dL/dt τη χρονική στιγµή to/2:•

tL t( )d

dτ t( )= ⇒

tL

to2

dd

4 103× N⋅ m⋅=

Για την κινητική ενέργεια Kn και το ρυθµό αύξησης της κινητικής ενέργειας dKn/dt τη χρονική •στιγµή to/2:

Kn t( )12

I⋅ ω t( )2⋅:= ⇒ Kn

to2

5.625 107× J=

203

Page 214: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

0 1 2 3 4 5 6

1 .104

2 .104

3 .104

4 .104

θ t( )

ω t( ) 4⋅

α t( ) 10⋅

t

ΑΣΚΗΣΗ 14 * * Ένα σώµα µε σχήµα δακτυλίου ακτίνας α και κέντρου Ο, έχει µάζα Μ. α) Να υπολογίσετε την ένταση του βαρυτικό πεδίο σε ένα σηµείο Ρ που απέχει απόσταση x από το κέντρο Ο και βρίσκεται πάνω στον άξονα που περνά από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου. β) Σε ποια θέση η ένταση γίνεται µέγιστη;γ) Αν ένα σωµάτιο Σ µάζας mΣ << M, αφεθεί ελεύθερο σε µια θέση Κ που βρίσκεται πάνω στον άξονα που περνά από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου έτσι ώστε (ΟΚ)<<α, να δείξετε ότι θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση γύρω από τη θέση Ο.δ) Είναι γνωστό ότι η Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση είναι µια "καθαρά ενεργειακή υπόθεση". Ποια είναι η θέση για την οποία η δυναµική ενέργεια του Σ είναι ελάχιστη; Πόση είναι αυτή η ενέργεια; Πόση είναι η δύναµη που δέχεται το Σ από το δακτύλιο στη θέση όπου η δυναµική ενέργεια ελαχιστοποιείται;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

204

Page 215: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Συµµετρικά ως προς το Ο.x2

2α⋅

22

− α⋅,

=Η ένταση γίνεται µέγιστη όταν:

x2α

2+( )

3

2−

x32

⋅ x2α

2+( )

5

2−

⋅ 2⋅ x⋅+ 0= Απαιτούµε:

g'x x( ) G− M⋅( ) x2α

2+( )

3

2−

x32

⋅ x2α

2+( )

5

2−

⋅ 2⋅ x⋅+

=⇒gx x( ) G− M⋅x

x2α

2+( )

3

2

⋅=

β) Για τη θέση µέγιστης έντασης:

gx G− M⋅x

x2α

2+( )

3

2

⋅=Βαρυτικό πεδίο σε ένα σηµείο Ρ:

Προφανώς οι οριζόντιες συνιστώσες ∆gy εξουδετερώνονται αµοιβαία.

∆gxG ∆M⋅

x2α

2+( )

3

2

− x⋅=⇒∆gxG ∆M⋅

x2α

2+

−x

x2α

2+

⋅=⇒∆gx ∆g− cos φ( )⋅=

∆gG ∆M⋅

x2α

2+

=⇒∆gG ∆M⋅

r2=cos φ( )

x

x2α

2+

=r x2α

2+=

α) Υπολογισµός του βαρυτικού πεδίου σε ένα σηµείο Ρ.

r x2α

2+=

∆m

Ο

Ρ

α

x∆g ∆gx

∆gy

φ

x

y

205

Page 216: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

x

x2α

2+( )

3

2

∆ιαφορετικά αναπτύσσουµε σε σειρά την ποσότητα:

gx x( ) G− M⋅x

α3

⋅:=Με x << α προκύπτει:

gx x( ) G− M⋅x

x2α

2+( )

3

2

⋅:=Η ένταση είναι:

γ) Αν το Σ µάζας mΣ << M, αφεθεί ελεύθερο σε µια θέση Κ που βρίσκεται πάνω στον άξονα που περνά από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου έτσι ώστε (ΟΚ) << α, θα δείξουµε ότι θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση.

Ένταση βαρυτικού πεδίου του ∆ακτύλιου σε δοσµένη

διεύθυνση

gx x( )

g'x(x)gx(x)

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

8 .10 8

6 .10 8

4 .10 8

2 .10 8

2 .10 8

Ένταση βαρυτικού πεδίου του ∆ακτύλιου gx

1

2− 2⋅ m⋅

gx1

22⋅ m⋅

gx x( )

g'x x( )

1

2− 2⋅ m⋅

1

22⋅ m⋅

x

g'x x( ) G− M⋅( ) x2α

2+( )

3

2−

x32

⋅ x2α

2+( )

5

2−

⋅ 2⋅ x⋅+

:=gx x( ) G− M⋅x

x2α

2+( )

3

2

⋅:=

x 2− α⋅ 1.99− α⋅, 2 α⋅..:=α 1 m⋅:=G 6.67259 10 11−⋅N m2⋅

kg2⋅:=M 103 kg⋅:=

Αριθµητική εφαρµογή

206

Page 217: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Με (ΟΚ) = A << α, η χρονική εξίσωση της αποµάκρυνσης είναι: x A sinG M⋅

α3

t⋅π

2+

⋅=

Αριθµητική εφαρµογή

Έστω: mΣ 10 6− M⋅:= A α 10 4−⋅:= F x( )G M⋅ mΣ⋅

α3

− x⋅:= ⇒ F A( ) 6.673− 10 15−× N=

DG M⋅ mΣ⋅

α3

:= ⇒ D 6.673 10 11−×Nm

= ωD

mΣ:= ⇒ ω 2.583 10 4−×

rads

=

2 π⋅:= ⇒ f 4.11 10 5−× Hz= Τ

1f

:= ⇒ Τ 2.432 104× s=

( )

1

α2( )

3

2

x⋅ O x3( )+και λαµβάνοντας υπόψη τους τρεις πρώτους όρους έχουµε:

∆ηλαδή: gx x( ) G− M⋅x

α3

⋅:= Οπότε: F x( ) gx x( ) mΣ⋅= F x( )G M⋅ mΣ⋅

α3

− x⋅= Ι. Α. Σ.

Με σταθερά επαναφοράς: DG M⋅ mΣ⋅

α3

=

Κυκλική ιδιοσυχνότητα ω: ωD

mΣ= ⇒ ω

G M⋅

α3

=

Ιδιοσυχνότητα f: fω

2 π⋅= ⇒ f

12 π⋅

G M⋅

α3

⋅=

Ιδιοπερίοδο Τ: Τ1f

= ⇒ Τ 2 π⋅α

3

G M⋅⋅=

207

Page 218: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5 .10 5 0 5 .10 5

5 .10 15

5 .10 15

∆ΥΝΑΜΗ (Ν) - ΑΠΟΣΤΑΣΗ x (m)

F α 10 4−⋅( )

F α− 10 4−⋅( )

F x( )

α− 10 4−⋅ α 10 4−⋅

x

FG M⋅ mΣ⋅

α3

− x⋅=

Το σωµάτιο εκτελεί Απλή Αρµονική Ταλάντωση

x t( ) A sinG M⋅

α3

t⋅π

2+

⋅:= t 0 s⋅ Τ..:=

0 1.22 .104 2.43 .104

1 .10 4

5 .10 5

5 .10 5

1 .10 4 ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ x( m) - ΧΡΟΝΟΣ t (s)

A−

A

x t( )

Τ

43Τ

4⋅

t

x A sinG M⋅

α3

t⋅π

2+

⋅=

ΑΣΚΗΣΗ 15 * *Αναφερόµαστε στη προηγούµενη άσκηση.Θεωρείστε οµοιόµορφα θετικά φορτισµένο µε φορτίο Q το δακτύλιο, ακτίνας α και κέντρου Ο. α) Να υπολογίσετε την ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου σε ένα σηµείο Ρ που απέχει απόσταση x από το κέντρο Ο και βρίσκεται πάνω στον άξονα που περνά από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου. β) Σε ποια θέση η ένταση γίνεται µέγιστη;γ) Αν ένα αρνητικά φορτισµένο σωµάτιο Σ µε φορτίο qΣ << Q, αφεθεί ελεύθερο σε µια θέση Κ που βρίσκεται πάνω στον άξονα που περνά από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου έτσι ώστε (ΟΚ) << α, να δείξετε ότι θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση γύρω από τη θέση Ο. Να θεωρήσετε ασήµαντη την βαρυτική έλξη σε σχέση µε την ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση.δ) Είναι γνωστό ότι η Γραµµική Αρµονική Ταλάντωση είναι µια "καθαρά ενεργειακή υπόθεση". Ποια είναι η θέση για την οποία η ηλεκτρική ενέργεια του Σ είναι ελάχιστη; Πόση είναι αυτή η ενέργεια; Πόση είναι η ηλεκτροστατική δύναµη που δέχεται το Σ από το δακτύλιο στη θέση όπου η δυναµική ενέργεια ελαχιστοποιείται; ε) Ο δακτύλιος αντικαθίσταται από δύο σηµειακά, ίσα ηλεκτρικά, θετικά φορτία Q. Να επαναληφθούν τα προηγούµενα ερωτήµατα.

208

Page 219: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 19α) Να δείξετε ότι η παρακάτω συνηµιτονοειδής εξίσωση y(x, t) ικανοποιεί την κυµατική εξίσωση και άρα περιγράφει διαταραχή που διαδίδεται ως κύµα κατά µήκος του άξονα x µε φασική ταχύτητα υ=ω/k.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΚΥΜΑΤΙΚΗ

λ i λj⋅ 1=⇒λ i λ j−( ) 1 λ i λj⋅−( )⋅ 0=⇒λ i λ j−( ) λ i λ j−( ) λ i⋅ λj⋅− 0=

⇒λ i λ j−( ) λ i λj2⋅+ λ j λi2⋅− 0=⇒λ i λ i λj2⋅+ λ j λ j λi2⋅+=

⇒λ i 2 λ i⋅ λj⋅+ λ i λj2⋅+ λ j 2 λ i⋅ λj⋅+ λ j λi2⋅+=⇒λ i 1 2 λj⋅+ λj2+( )⋅ λ j 1 2 λi⋅+ λi2+( )⋅=

ΑΣΚΗΣΗ 16Θεωρούµε λεπτό οµογενή κυκλικό δίσκο ∆ ακτίνας R και κέντρου Ο. Από αυτόν αποκόπτουµε ένα κυκλικό δίσκο δ ακτίνας R/2, του οποίου το κέντρο Ο' βρίσκεται πάνω στην ακτίνα του ∆ και σε απόσταση R/2 από το Ο. Ποια η θέση του κέντρου µάζας του σώµατος που αποµένει;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ xR6

=

ΑΣΚΗΣΗ 17Θεωρούµε χαλύβδινη οµογενή πλήρη σφαίρα Σ µάζας Μ, ακτίνας R και κέντρου Ο. Από αυτήν αποκόπτουµε µια µικρότερη σφαίρα σ ακτίνας R/2, τής οποίας το κέντρο Ο' βρίσκεται πάνω στην ακτίνα της Σ και σε απόσταση R/2 από το Ο. Έτσι δηµιουργείται µια σφαιρική κοιλότητα στη αρχική χαλύβδινη σφαίρα. Ένα σωµάτιο Κ µάζας m ασήµαντων διαστάσεων, βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο και στην προέκταση της ΟΟ'. Ισχύει η σχέση d > R. Να υπολογισθεί η Νευτώνεια αλληλεπίδραση µεταξύ των δύο σωµάτων. ∆ίνεται η σταθερά της παγκόσµιας έλξης G.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ x G M⋅ m⋅7 d2⋅ 8 d⋅ R⋅− 2 R2

⋅+

8 d2⋅ d

R2

2

⋅=

ΑΣΚΗΣΗ 18Αναφερόµαστε στην κεντρική ελαστική κρούση µεταξύ δύο σφαιρών Σ1 και Σ2. Η Σ1 είναι κινούµενο βλήµα µάζας m και κινητικής ενέργειας k1, ενώ η Σ2 ακίνητος στόχος µάζας λm, όπου λ πραγµατικός αριθµός. Να δείξετε ότι:α) Μετά την ελαστική κρούση η κινητική ενέργεια K2 της Σ2 δίνεται από τη σχέση:

K2 k1 λ⋅2

1 λ+( )

2⋅=

β) Για δύο διαφορετικές τιµές του λ, τις λ i και λj όπου: λiλj = 1, η κινητική ενέργεια K2 της Σ2, έχει την ίδια τιµή.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

λ i2

1 λi+( )

2⋅ λ j

21 λj+( )

2⋅= ⇒ λ i

11 λi+

2⋅ λ j

11 λj+

2⋅= ⇒

λ i 1 λj+( )2⋅ λ j 1 λi+( )2

⋅= ⇒ λ i 1 2 λj⋅+ λj2+( )⋅ λ j 1 2 λi⋅+ λi2+( )⋅=

209

Page 220: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

υ t( ) 0.01 m⋅( )π

10rads

⋅ cosπ

10rads

⋅ t⋅π

2rad⋅+

⋅:=Ταχύτητα υ:

όπου Α το πλάτος, ω η κυκλική συχνότητα, υ η ταχύτητα και α η επιτάχυνση.β) Να παρασταθεί γραφικά η αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης α ως προς την ταχύτητα υ.γ) Η έκφραση της ταχύτητας σωµατιδίου Σ που εκτελεί Απλή Αρµονική Ταλάντωση δίνεται από την ακόλουθη σχέση (Σύστηµα Μονάδων Μέτρησης το SI):

υ2

A ω⋅( )2

α2

A ω2

⋅( )2+ 1=

ΑΣΚΗΣΗ 20α) Να δείξετε ότι σε κάθε Απλή Αρµονική Ταλάντωση ασχέτως της αρχικής φάσης ισχύει η σχέση:

l4T4

1.5 m=l2T4

1.5 m=

l3T4

2.5 m=lT4

2.5 m=

l t( ) 4 A2⋅ sin 2 π⋅

tT⋅

2⋅

λ2

16+:=

t 0 s⋅ 0.0001 T⋅, T..:=

λ 6 m⋅:=T150

s⋅:=A 1 m⋅:=

∆ίνονται για εφαρµογή

l t( ) 4 A2⋅ sin 2 π⋅

tT⋅

2⋅

λ2

16+=

l t( ) ΚΣ( )2Κ∆( )2

+=β)

KΚΟΙΛΙΑ

K πάνω

K κάτω

∆∆ΕΣΜΟΣ

λ/4

l(t)Σ

ΚΣ = y

∂2 y x t,( )

∂2t

1

υ2

∂2 y x t,( )

∂2x

⋅=∂

2 y x t,( )

∂2t

ω

k

2∂

2 y x t,( )

∂2x

⋅=

∂2 y x t,( )

∂2x

k2− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

∂y x t,( )∂x

k− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

∂2 y x t,( )

∂2t

ω2

− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=∂y x t,( )

∂tω− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅=α)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

β) Να βρεθεί η χρονική σχέση που δίνει την απόσταση µεταξύ ενός δεσµού και της αµέσως επόµενης κοιλίας σε ένα στάσιµο εγκάρσιο κύµα.

y x t,( ) A cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

210

Page 221: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

x 0.01− m=x

t1

t2tυ t( )

⌠⌡

d:=t2 2T4

:=t1T4

:=

T 20 s=T2 π⋅

ω:=ω

π

10rads

⋅:=φοπ

2:=A 0.01 m⋅:=

γ) Υπολογισµός της αλγεβρικής τιµής της µετατόπιση x του Σ από τη χρονική στιγµή t1 = T/4 έως τη χρονική στιγµή t2 = 2T/4:

0.004 0.002 0 0.002 0.004

0.001

0.001

Επιτάχυνσης α ως προς την Ταχύτητα υ

tυ t( )d

d

υ t( )

t 0 0.01 s⋅, 20 s⋅..:=β) Η αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης α ως προς την ταχύτητα υ παριστά έλλειψη.

⇒α2

A ω2

⋅( )2sin ω t⋅ φο+( )( )2=

3( )

⇒υ

2

A ω⋅( )2

α2

A ω2

⋅( )2+ 1=

⇒υ

2

A ω⋅( )2cos ω t⋅ φο+( )( )2=

2( )

3( )α A− ω2

⋅ sin ω t⋅ φο+( )⋅=2( )υ A ω⋅ cos ω t⋅ φο+( )⋅=

Η χρονική έκφραση της ταχύτητας υ και της επιτάχυνσης α αντιστοίχως είναι:

1( )x A sin ω t⋅ φο+( )⋅=α) Θεωρούµε Απλή Αρµονική Ταλάντωση µε αποµάκρυνση:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Να υπολογίσετε την αλγεβρική τιµή της µετατόπιση του Σ από τη χρονική στιγµή t 1 = T/4 έως τη χρονική στιγµή t2 = 2T/4.

211

Page 222: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

dB∆β12

6.021=Με n = 1/2 η Ένταση Ι (σε W/m2) τετραπλασιάζεται ενώ η Στάθµης έντασης β αυξάνεται κατά 6.021 dB.

dB∆β 2( ) 6.021−=Με n = 2 η Ένταση Ι (σε W/m2) υποτετραπλασιάζεται ενώ η Στάθµης έντασης β µειώνεται κατά 6.021 dB.

∆β 1( ) 0=⇒∆β n( ) 20 log1n

⋅:=Η µεταβολή ∆β (σε dB) της Στάθµης Έντασης β είναι:

r2 n r1⋅=Με n θετικό αριθµό, θεωρούµε αποστάσεις:

β2 β1− 20 logr1r2

⋅=⇒β2 β1− 10 log

r1r2

2

⋅=

I2I1

r1r2

2

=Αλλά:

β2 10 logI2Io

⋅=

β2 β1− 10 logI2I1

⋅=⇒β1 10 log

I1Io

⋅=

(-)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 21Θεωρούµε σηµειακή ηχητική πηγή Π που εκπέµπει µε σταθερή ισχύ P. Η ένταση Ι είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης r από την Π. Κατά πόσα dB ελαττώνεται η στάθµη του ήχου όταν αποµακρυνόµαστε σε διπλάσια απόσταση από την Π;Παράδειγµα 21-6 σελ. 591 Η. Young.

x t2( ) x t1( )− 0.01− m=x t( ) A sin ω t⋅ φο+( )⋅:=∆ιαφορετικά:

x 0 5 10 15 20

0.004

0.002

0.002

0.004ΕΛΛΗΝΙΚΑ

A ω⋅

A− ω⋅

υ t( )

t1 t2

t

212

Page 223: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

fL 0.5 fS⋅:= fL fS1 β−

1 β+⋅= ⇒

1 β−

1 β+

fLfS

2

= ⇒ 1 β− 1 β+( )fLfS

2

⋅= ⇒

βfLfS

2

1+

⋅fLfS

2

1+= ⇒ β

1fLfS

2

fLfS

2

1+

:=

υ β c⋅:= β 0.6= υ 1.8 108×ms

= Αποµακρύνονται

ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΗ 23Σε πολύ χαµηλές θερµοκρασίες η γραµµοµοριακή (molar) θερµοχωρητικότητα του NaCl µεταβάλλεται µε τη θερµοκρασία σύµφωνα µε το νόµο του Debye:

C kT3

Θ3

⋅= όπου: k 1940J

mol K⋅⋅:= Θ 281 K⋅:=

ΑΣΚΗΣΗ 22Παρατηρούµε την ακτινοβολία ατόµων Ψ που κινούνται ως προς εµάς. Η συχνότητα στο σύστηµα ηρεµίας των ατόµων του Ψ είναι fo = 5x1014 Hz. Η συχνότητα που παρατηρούµε είναι: a) ∆ιπλάσια. b) Η µισή. Με τι ταχύτητα πλησιάζουν ή αποµακρύνονται τα άτοµα στις δύο αυτές περιπτώσεις; ∆ίνεται: c = 300.000km/s.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

fS 5 1014⋅ Hz⋅:= c 3 108⋅ms

⋅:=

a) Παρατηρητής και πηγή πλησιάζουν:

fL 2 fS⋅:= fL fS1 β+

1 β−⋅= ⇒

1 β+

1 β−

fLfS

2

= ⇒ 1 β+ 1 β−( )fLfS

2

⋅= ⇒

βfLfS

2

1+

⋅fLfS

2

1−= ⇒ β

fLfS

2

1−

fLfS

2

1+

:=

υ β c⋅:= β 0.6= υ 1.8 108×ms

= Πλησιάζουν

b) Παρατηρητής και πηγή αποµακρύνονται:

213

Page 224: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

⇒ W n− Cv⋅ Tτ Tα−( )⋅= ⇒ W n− Cv⋅pτελ Vτελ⋅

n R⋅

pαρχ Vαρχ⋅

n R⋅−

⋅=

⇒ WCvR

− pτελ Vτελ⋅ pαρχ Vαρχ⋅−( )⋅= ⇒ Wpτελ Vτελ⋅ pαρχ Vαρχ⋅−

1 γ−=

Αδιαβατική εκτόνωση bc: Wbcpc Vc⋅ pb Vb⋅−

1 γ−=

Αδιαβατική συµπίεση dα: Wdαpα Vα⋅ pd Vd⋅−

1 γ−=

Wbc Wdα+1

1 γ−( )pc Vc⋅ pb Vb⋅−( ) pα Vα⋅ pd Vd⋅−( )+ ⋅= ⇒

(Νόµος Boyle)

Wbc Wdα+1

1 γ−( )pα Vα⋅ pb Vb⋅−( ) pc Vc⋅ pd Vd⋅−( )+ ⋅= ⇒

Wbc Wdα+1

1 γ−( )0 0+( )⋅= ⇒ Wbc Wdα+ 0=

α) Ποια είναι η πραγµατική τιµή της γραµµοµοριακής θερµοχωρητικότητας στους 10.0 K και στους 60.0 Κ; β) Πόση θερµότητα απαιτείται για να αυξηθεί η θερµοκρασία 2.00 mole NaCl από τους 10.0 Κ στους 60.0 Κ;γ) Ποια είναι η µέση γραµµοµοριακή θερµοχωρητικότητα στην περιοχή αυτή;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) n 2 mole⋅:= T1 10 K⋅:= T2 60 K⋅:= dQ C T( ) n⋅ dT⋅=

C T( ) kT3

Θ3

⋅:= C T1( ) 0.087J

mole K⋅= C T2( ) 18.886

Jmole K⋅

=

QT1

T2TC T( ) n⋅

⌠⌡

d:= Q 566.138 J=β)

γ) CmeanQ

n T2 T1−( )⋅:= Cmean 5.661

Jmole K⋅

=

ΑΣΚΗΣΗ 24α) Με αφετηρία τη σχέση που δίνει τη µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ∆U = ncv∆T να δείξετε ότι το έργο W που καταναλώνει ή αποδίδει το εργαζόµενο ρευστό σε µια αδιαβατική µεταβολή είναι:

Wpτελ Vτελ⋅ pαρχ Vαρχ⋅−

1 γ−=

β) Με τη βοήθεια της προηγούµενης σχέσης να δείξετε ότι το αλγεβρικό άθροισµα των έργων στις δύο αδιαβατικές µεταβολές σε ένα κύκλο Carnot ισούται µε µηδέν.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

W ∆U−=

214

Page 225: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Εφόσον:Oι κύλινδροι είναι πλήρεις και οµογενείς και•Υποθέτουµε αµελητέα την απώλεια θερµότητας από τις κυλινδρικές επιφάνειες,•

Τότε η πτώση της θερµοκρασίας κατά µήκος των κυλίνδρων είναι γραµµική. Η απόλυτη θερµοκρασία T της επιφάνειας επαφής υπολογίζεται αν εξισώσουµε τα θερµικά ρεύµατα µέσα από δύο εγκάρσιες διατοµές των δύο επιµέρους κυλίνδρων:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΤΓ = σταθ. T = σταθ. ΤΑ = σταθ.

Γ A LL

ΑΣΚΗΣΗ 26∆ύο πλήρεις, οµογενείς και µε ακριβώς όµοιες διαστάσεις κύλινδροι Α και Γ τοποθετούνται οµοαξονικά και διαδοχικά ώστε να αποκτήσουν µία κοινή βάση Β.

Η θερµοχωρητικότητα του Α (cAmA) µετρούµενη σε J/Co είναι διπλάσια της θερµοχωρητικότητας •του Γ: cA mA= 2cΓ mΓ.

Η θερµική αγωγιµότητα του Γ, kΓ µετρούµενη σε W/mK είναι η διπλάσια της θερµικής •αγωγιµότητας του Α: kΓ = kA.

Η µια βάση του συστήµατος θερµαίνεται και η άλλη ψύχεται, ενώ οι θερµοκρασίες του διατηρούνται σταθερές. Εξαρτάται το ποσό της θερµότητας που περνά µέσα από τον κύλινδρο από το αν θερµαίνεται το άκρο Α και ψύχεται το Γ ή αντίθετα;α) Υποθέτουµε αµελητέα την απώλεια θερµότητας από τις κυλινδρικές επιφάνειες.β) Η πτώση της θερµοκρασίας κατά µήκος των κυλίνδρων είναι γραµµική.

οCT253

=⇒kFe S⋅ T2 T−( )⋅

L

kAg S⋅ T T1−( )⋅

L=

Τα θερµικά ρεύµατα (ή θερµικές παροχές σε W/s) είναι ίσα:

kAg 11 kFe⋅=

Β2 (T2 = 100οC) Β (T = xοC) Β1 (T1 = 0οC)

Fe Ag LL

ΑΣΚΗΣΗ 25∆ύο πλήρεις και οµογενείς κύλινδροι ο ένας από Άργυρο (Ag) και ο άλλος από σίδηρο (Fe) µε ακριβώς όµοιες διαστάσεις τοποθετούνται οµοαξονικά και διαδοχικά ώστε να αποκτήσουν µία κοινή βάση Β. Η θερµοκρασία της βάσης Β1 του Ag διατηρείται σταθερή στους 0οC ενώ του σιδήρου σταθερή τους 100οC. Ο Ag έχει θερµική αγωγιµότητα ενδεκαπλάσια εκείνης του σιδήρου(kAg = 11kFe). Υποθέτουµε αµελητέα την απώλεια θερµότητας από τις κυλινδρικές επιφάνειες. Να δείξετε ότι η θερµοκρασία της κοινής επιφάνειας επαφής Β των δύο κυλίνδρων είναι (25/3) οC.

215

Page 226: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΚΕΦ. 23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΗΑ ΗΓ= ⇒ kΑ S⋅TA T−

L⋅ kΓ S⋅

T TΓ−

L⋅= ⇒ Τ

kΑ TA⋅ kΓ TΓ⋅+

kΑ TΓ+= (1)

Η πτώση της θερµοκρασίας κατά µήκος των κυλίνδρων είναι γραµµική. Η µέση θερµοκρασία για τον κύλινδρο Α είναι: (ΤΑ+Τ)/2 , ενώ για τον Γ: (Τ+ΤΓ)/2.Το ολικό ποσό θερµότητας Q που διέρχεται µέσα από τους κυλίνδρους είναι:

(1)Q cA TA T+( )⋅ cΓ T TΓ+( )⋅+= ⇒

Q1

2 kΑ kΒ+( ) 2 kA⋅ cΑ⋅ kΑ cΓ⋅+ kΓ cΑ⋅+( ) ΤΑ⋅ 2 kΓ⋅ cΓ⋅ kΑ cΓ⋅+ kΓ cΑ⋅+( ) ΤΓ⋅+ ⋅=

Οι συντελεστές των θερµοκρασιών ΤΑ και ΤΓ δεν είναι ίσοι. Άρα το Q εξαρτάται από το ποιο είναι 1.το θερµό και ποιο το ψυχρό άκρο του συστήµατος. Οι συντελεστές των θερµοκρασιών ΤΑ και ΤΓ διαφέρουν µόνο στις τιµές των µονώνυµων kΑcΑ και 2.kΓcΓ. Το ποσό της θερµότητας είναι µεγαλύτερο όταν θερµανθεί το άκρο για το οποίο το γινόµενο της θερµοχωρητικότητας και του συντελεστή θερµικής αγωγιµότητας είναι µεγαλύτερο. Αυτό είναι απολύτως φυσικό αφού αφενός ο ρόλος της θερµοχωρητικότητας είναι προφανής αφετέρου όσο µεγαλύτερη είναι η θερµική αγωγιµότητα, τόσο µικρότερη είναι η θερµική αντίσταση R άρα και η πτώση της θερµοκρασίας κατά µήκος των κυλίνδρων και άρα υψηλότερη η θερµοκρασία σε όλα τα σηµεία.Αν kΑcΑ = kΓcΓ τότε το ποσό της θερµότητας Q είναι ανεξάρτητη από το αν το θερµό άκρο είναι 3.το Α ή το Γ.

216

Page 227: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Electron

Electron mass me 9.1093897 10 31−⋅ kg⋅:=

Electron specific charge (electron charge to mass ratio) 1.75881962− 1011⋅

coulkg

Electron Compton wavelength 2.42631058 10 12−⋅ m⋅

Classical electron radius re 2.81794092 10 15−⋅ m⋅:=

Electron magnetic moment 928.47701 10 26−⋅jouletesla⋅

Muon

Muon mass mµ 1.8835327 10 28−⋅ kg⋅:=

Proton

Proton mass mp 1.6726231 10 27−⋅ kg⋅:=

Ratio of proton mass to electron mass 1836.152701

Proton Compton wavelength 1.32141002 10 15−⋅ m⋅

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ1. ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΕΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΣΤΑΘΕΡΕΣ

Universal Constants

Velocity of light in vacuum c 299792458m

sec⋅:=

Permeability of vacuum µ0 4 π⋅ 10 7−⋅newton

amp2⋅:=

Permittivity of vacuum ε0 8.854187817 10 12−⋅farad

m⋅:=

Newtonian constant of gravitation G 6.67259 10 11−⋅m3

kg sec2⋅

⋅:=

Planck's constant (h) h 6.6260755 10 34−⋅ joule⋅ sec⋅:=

Electromagnetic Constants

Elementary charge e 1.60217733 10 19−⋅ coul⋅:=

Magnetic flux quantum Φ0 2.06783461 10 15−⋅ weber⋅:=

Bohr magneton 9.2740154 10 24−⋅jouletesla⋅

Nuclear magneton 5.0507866 10 27−⋅jouletesla⋅

217

Page 228: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

22.41410litermole⋅

Stefan-Boltzmann constant σ 5.67051 10 8−⋅watt

m2 K4⋅

⋅:=

First radiation constant 3.7417749 10 16−⋅ watt⋅ m2⋅

Second radiation constant 0.01438769 m⋅ K⋅

2. ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Motion in One Dimension

Position ∆r→

rf→

ri→−=

Average velocity ∆v→ ∆r

∆t=

Velocity v→

0∆t∆v→

lim→

=

Speed v→

Average acceleration ∆a→ ∆v

∆t=

Acceleration a→

0∆t∆a→

lim→

=

Proton magnetic moment 1.41060761 10 26−⋅jouletesla⋅

Proton gyromagnetic ratio 26751.5255 104⋅rad

sec tesla⋅⋅

Neutron

Neutron mass mn 1.6749286 10 27−⋅ kg⋅:=

Neutron Compton wavelength 1.31959110 10 15−⋅ m⋅

Physico-Chemical Constants

Avogadro constant NA 6.0221367 1023⋅ mole 1−⋅:=

Atomic mass constant AMU 1.6605402 10 27−⋅ kg⋅:=

Faraday constant 96485.309coulmole⋅

Molar gas constant 8.314510joule

mole K⋅⋅

Boltzmann's constant kb 1.380658 10 23−⋅joule

K⋅:=

Molar volume of ideal gas at STP

218

Page 229: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Newton's Laws of Motion

Second law F→

m a→⋅=

Third law Fab→

Fba→

−=

Gravitational force on Earth Fe

→m g→⋅=

Weight on Earth Fw m g'⋅= g' is the object's free-fall acceleration

Centripetal force ΣFm v2⋅

R=

Newton's Law of Universal Gravitation F

G− m1⋅ m2⋅

r2=

Velocity of an Earth satellite vG me⋅

r=

Work and Energy

Work Wi

flF

⌠⌡

d=

Hooke's Law Fx k− x⋅= k is the spring's constant

Assuming Constant Acceleration (EOEK):

Position x t( ) x0 v0 t⋅+12

a⋅ t2⋅+=

Velocity v t( ) v0 a t⋅+= v2 v02 2a x x0−( )⋅+=

Motion in Two Dimensions

Position vector r→

x i→⋅ y j

→⋅+=

Velocity vector v→

txd

d

i→⋅

tyd

d

j→⋅+=

Acceleration vector a→

tvx

dd

i→⋅

tvy

dd

j→⋅+=

a0 0= ay g−=Projectile motion

vx v0 cos θ0( )⋅= vy v0 sin θ0( )⋅ g t⋅−=

x x0 v0 cos θ0( )⋅ t⋅+= y y0 v0 sin θ0( )⋅ t⋅+12

g⋅ t2⋅−=

Centripetal acceleration acv2

R=

219

Page 230: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

acmΣ mi ai

M=

Momentum p m v⋅=

Impulse Jti

tftF

⌠⌡

d=

Torque τ→

r→

F→×= τ r F⋅ sin θ( )⋅=

Rotation

Angular velocity ωz tθ

dd

=

Angular acceleration αz tω

dd

=2tθ

d

d

2=

Moment of inertia I Σ mi Ri( )2=

Angular momentum of a particle l r p×= όπου p m v⋅=

Work done by a torqueW

θi

θfθτz

⌠⌡

d=

Power to a rotating (rigid) object P tz ωz⋅=

Kinetic Energy K12

m⋅ v2⋅=

Power PtWd

d= P F

→v→⋅= P F v⋅ cos F

→v→,( )⋅=

Potential Energy

Gravitational U m g⋅ y⋅=

Elastic U12

k⋅ x2⋅=

Gravitational between two objects UG− M⋅ m⋅

r=

Energy E K U+=

MomentumCenter of mass

position rcmΣ mi ri

M=

velocity vcmΣ mi vi

M=

acceleration

220

Page 231: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Lanthanide Series

Actinide Series

°C

Fahrenheit (°F) scale: TF 3295

TC⋅+= °F

Absolute temperature (Rankine): TR TF 459.67+( ) R⋅= TR95

TK⋅

R⋅=

4. ΠΕΡΙΟ∆ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Inert GasesAlkali Metals

Alkaline Earth Metals Nonmetals Halogens

Simple Harmonic Motion

X - coordinate (position) x A cos ω t⋅ φ+( )⋅=

Velocity vx ω− A sin ω t⋅ φ+( )⋅=

Acceleration ax ω2

− A cos ω t⋅ φ+( )⋅=

Angular frequency ω 2πv=2πT

= v is the frequency, T is the period

ωkm

= k is the spring constant, m is the mass

Potential energy U12

k A2⋅ cos ω t⋅ φ+( )( )2=

Kinetic energy K12

m ω2

⋅ A2 sin ω t⋅ φ+( )( )2=

3. ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΩΝ

Celsius (°C) scale: TC T 273.15−=

Transition Elements (Heavy Metals)

221

Page 232: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

xaxd

dax ln a( )⋅= a 0>

xln x( )d

d

1x

=xexd

dex=

Παράγωγοι αντιστρόφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων

xasin x( )d

d

1

1 x2−

=xacos x( )d

d

1

1 x2−

−=xatan x( )d

d

1

1 x2+

=

6. ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΥΠΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

xxn⌠⌡

dxn 1+

n 1+C+= n 1−≠ xa

⌠⌡

d a x⋅ C+= x1x

⌠⌡

d ln x( ) C+=

xf x( ) g x( )+( )⌠⌡

d xf x( )⌠⌡

d xg x( )⌠⌡

d+= xsin x( )⌠⌡

d cos x( )− C+=

xcos x( )⌠⌡

d sin x( ) C+= xtan x( )⌠⌡

d ln sec x( )( ) C+=

5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΥΠΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

xc f x( )⋅

dd

cxf x( )d

d⋅=

xxnd

dn xn 1−⋅=

xf x( ) g x( )⋅( )d

df x( )

xg x( )d

d⋅

xf x( ) g x( )⋅

dd

+=

xf x( ) g x( )+( )d

d xf x( )d

d xg x( )d

d+=

x

f x( )g x( )

dd

g x( )xf x( )d

d⋅ f x( )

xg x( )d

d⋅−

g x( )2=

y f u( )= u g x( )=xf u( )d

d uf u( )

xg x( )d

d⋅

dd

=

Παράγωγοι τριγωνοµετρικών συναρτήσεων

xsin x( )d

dcos x( )=

xcos x( )d

dsin x( )−=

xtan x( )d

dsec x( )2=

xcot x( )d

dcsc x( )2−=

xsec x( )d

dsec x( ) tan x( )⋅=

xcsc x( )d

dcsc x( )− cot x( )⋅=

Παράγωγοι λογαριθµικών και εκθετικών συναρτήσεων

222

Page 233: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

11.0Tin20.6Lead18Thorium9.7Iron12.4Tantalum5.3Iridium

4.2Sodium2.35Gold1.59Silver1.673Copper

100000Silicon

13Niobium5.92Zinc6.85Nickel

25Vanadium5.2Molybdenum30Uranium98.4Mercury

5.65Tungsten185Manganese43Titanium4.45Magnesium

9Osmium2.655Aluminum

ΜΕΤΑΛΛΟΜΕΤΑΛΛΟΕΙ∆ΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

(x 10-6·ohm·cm)

ΕΙ∆ΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

(x 10-6·ohm·cm)

7. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΙ∆ΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ

xa2 x2−

⌠⌡

dx2

a2 x2−⋅

a2

2asin

xa

⋅+ C+= x1

a2 x2−

⌠⌡

d1

2 a⋅ln

x a+

x a−

⋅ C+=

x1

a2 x2−

⌠⌡

d asinxa

C+=x1

a2 x2+

⌠⌡

d1a

atanxa

⋅ C+=

a 1≠a 0>xax⌠⌡

dax

ln a( )C+= xex

⌠⌡

d ex C+=

xcot x( )⌠⌡

d ln sin x( )( ) C+= vu⌠⌡

d u v⋅ uv⌠⌡

d−=

xsec x( )⌠⌡

d ln sec x( ) tan x( )+( ) C+= xcsc x( )⌠⌡

d ln csc x( ) cot x( )−( ) C+=

9Cobalt12.0Selenium13Chromium

4.6Rhodium7.4Cadmium7.01Potassium115Bismuth

141.4Plutonium4.0Beryllium10.5Platinum41.8Antimony

223

Page 234: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Bismuth 544 Potassium 336.5

Cadmium 594 Rhodium 2238

Chromium 2133 Selenium 490

Cobalt 1768 Silicon 1684

Copper 1357 Silver

0.0039

9. ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΞΕΩΣ (ΣΕ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΠΙΕΣΗ)

ΜΕΤΑΛΛΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΞΕΩΣ (K) ΜΕΤΑΛΛΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΞΕΩΣ (K)

Aluminum 933 Osmium 3298

Antimony 903 Platinum 2043

Beryllium 1558 Plutonium 913

1943

Manganese 1517 Tungsten 3673

Mercury 234.29 Uranium 1405

Molybdenum 2893 Vanadium 2173

Nickel 1726 Zinc 692.7

Niobium 2740

1234

Gold 1336 Sodium 370.98

Iridium 2723 Tantalum 3253

Iron 1809 Thorium 2023

Lead 600.7 Tin 505

Magnesium 923 Titanium

0.0045

Beryllium 0.025 Lead 0.004 Silver 0.0038

Bismuth 0.004 Lithium 0.005 Tantalum 0.0035

Cadmium 0.004 Magnesium 0.003 Thorium 0.003

8. ΘΕΡΜΙΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΕΙ∆ΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΑΛΛΟ α (grad oC)-1 ΜΕΤΑΛΛΟ α (grad oC)-1 ΜΕΤΑΛΛΟ α (grad oC)-1

Aluminum 0.004 Iridium 0.0039 Rhenium 0.004

Antimony 0.0036 Iron 0.006 Rhodium

Niobium 0.004 Vanadium 0.003

Gold 0.0035 Osmium 0.004 Zinc 0.004

Hafnium 0.004 Palladium 0.0035 Zirconium 0.0044

Indium 0.005 Platinum

Cerium 0.0009 Mercury 0.0009 Tin 0.00045

Chromium 0.003 Molybdenum 0.004 Titanium 0.0035

Cobalt 0.006 Nickel 0.006 Tungsten 0.0045

Copper 0.004

224

Page 235: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Fl refrigerant R-1232.6Alcohol, methyl37.7Ethylene glycol24.3Alcohol, ethyl

4.3Ether20.7Acetone2.0Decane6.15Acetic acid

ΥΓΡΟΥΓΡΟ ∆ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ

∆ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ

11. ∆ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ ΥΓΡΩΝ ΣΕ ΠΙΕΣΗ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ 25 oC

997.1Water1476Fl refrigerant R-11868.2Turpentine1097Ethylene glycol862.3

a The dielectric constant of water near the freezing point is 87.8; it decreases with increase in temperature to about 55.6 near the boiling point.

78.54Watera4.8Chloroform2.4Toluene2.23Carbon tetrachloride1.27Propane2.64Carbon disulfide9.8Phenol3.20Bromine

11Iodine2.2Benzene1.92Heptane16.9Ammonia (aqua)

40Glycerine20.1Alcohol, propyl2.0

820.1Kerosene823.5Ammonia (aqua)654.8Hexane800.0Alcohol, propyl679.5Heptane786.5Alcohol, methyl1259Glycerine785.1Alcohol, ethyl1194Fl refrigerant R-22784.6Acetone1311Fl refrigerant R-121049Acetic acid

ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΥΓΡΟΠΥΚΝΟΤΗΤΑΥΓΡΟ

10. ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΥΓΡΩΝ (kg/m3) ΣΕ ΠΙΕΣΗ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ 300 Κ

Toluene713.5Ether1025Sea water754.6Dodecane965.3Propylene glycol726.3Decane514.4Propylene1465Chloroform493.5Propane956.1Castor oil1072Phenol1584Carbon tetrachloride698.6Octane1261Carbon disulfide929.1Linseed oil873.8Benzene

225

Page 236: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Polypropylene2.53Beeswax, yellow

2.35Polyethylene2.58Asphalt

4.1to 2.8Polyester, cast resin, rigid3.1Asbestos fiber

3.02Polycarbonate8.80Aluminum oxide

ΥΛΙΚΟΥΛΙΚΟ

ΣΧΕΤΙΚΗ ∆ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ

ΣΧΕΤΙΚΗ ∆ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ

εasphalt 2.284 10 11−×coul2

newton m2⋅

=εasphalt 2.58 ε0⋅:=ε0 8.854187817 10 12−⋅farad

m⋅:=

2.88Vinylite QYNA2.76Plexiglass

6.0Urea-formaldehyde3.33Nylon 66

2.1Teflon FEP6.26Neoprene

3.47Shellac, natural5.4Mica, ruby

2.7to 2.4Rubber, modified, isomerized9.65Magnesium oxide

5.08Porcelain (dry process)2.63Lucite

2.25

1450Mercury1205Alcohol, propyl1320Kerosene1103Alcohol, methyl1203Hexane1144Alcohol, ethyl1138Heptane1174Acetone1909Glycerine1584Acetic acid (50°C)

ΥΓΡΟΥΓΡΟΤΑΧΥΤΗΤΑ

ΗΧΟΥΤΑΧΥΤΗΤΑ

ΗΧΟΥ

12. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΗΧΟΥ (m/s) ΣΤΑ ΥΓΡΑ ΣΕ ΠΙΕΣΗ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ 25 oC (ΕΚΤΟΣ ΑΝ ∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΝΕΤΑΙ)

13. ΣΧΕΤΙΚΗ ∆ΙΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ∆ΩΜΑΤΙΟΥ ΚΑΙ ΣΕ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ (ΣΤΟ 1 Mz)

1644Ethylene glycol1498Water985Ether1240Turpentine995Chloroform1275Toluene (30°C)1474Castor oil1535Seawater924Carbon tetrachloride1274Phenol (100°C)1149Carbon disulfide1171Octane1298Benzene

226

Page 237: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

ΑΕΡΙΟΑΕΡΙΟ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΗΧΟΥ

ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΗΧΟΥ

15. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΗΧΟΥ (m/s) ΣΤΑ ΑΕΡΙΑ ΣΕ ΠΙΕΣΗ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ 25 oC (ΕΚΤΟΣ ΑΝ ∆ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΝΕΤΑΙ)

4.53Xenon (Xe)0.138Helium (He)

2.21Sulfur dioxide (SO2)1.31Fluorine (F2)

1.45Propylene (C3H6)0.969Ethylene (ethene) C2H4

1.52Propane (C3H8)2.23Ethyl chloride (C2H5Cl)

1.66Ozone (O3)1.04Ethane (C2H6)

251Methyl chloride (CH3Cl)216n-Butane (C4H10)

446Methane (CH4)226Butadiene (C4H6)

223Krypton (Kr)322Argon (Ar)

302Hydrogen sulfide (H2S)415Ammonia (NH3)

310Hydrogen chloride (HCl)346Air (mixture)

1315Hydrogen (H2)343Acetylene

Methane (CH4)1.87Butadiene (C4H6)

2.89Krypton (Kr)1.38Argon (Ar)

1.18Hydrogen sulfide (H2S)0.59Ammonia (NH3)

1.26Hydrogen chloride (HCl)1.00Air (mixture)

0.070Hydrogen (H2)0.90Acetylene

ΑΕΡΙΟΑΕΡΙΟ ΕΙ∆ΙΚΟ ΒΑΡΟΣ

ΕΙ∆ΙΚΟ ΒΑΡΟΣ

14. ΕΙ∆ΙΚΟ ΒΑΡΟΣ ΑΕΡΙΩΝ (ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟΝ ΑΕΡΑ)

1.105Oxygen (O2)0.070Deuterium (D2)

1.52Nitrous oxide (N2O)2.45Chlorine (Cl2)

0.967Nitrogen (N2)0.967Carbon monoxide (CO)

1.04Nitric oxide (NO)1.52Carbon dioxide (CO2)

0.697Neon (Ne)1.941-Butene (butylene) C4H8

1.74Methyl chloride (CH3Cl)2.07n-Butane (C4H10)

0.554

227

Page 238: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Propylene (C3H6) 261

Ethylene (Ethene) C2H4 331 Sulfur dioxide (SO2) 220

Fluorine (F2) 290 Xenon (Xe) 177

Helium (He) 1015

16. ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΕΣ

16.1 ΜΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΠΛΑΚΕΣ

C ε εο⋅Ad⋅=

16.2 ΜΕ ΟΜΟΑΞΟΝΙΚΟΥΣ ΚΥΛΙΝ∆ΡΟΥΣ

C ε εο⋅2 π⋅ d⋅

lnr2r1

⋅=

16.3 ΑΠΟΜΟΝΩΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ

C 4 π⋅ ε⋅ εο⋅ r⋅=

1-Butene (butylene) C4H8 222 Neon (Ne) 454

Carbon dioxide (CO2) 270 Nitric oxide (NO) 341

Carbon monoxide (CO) 352 Nitrogen (N2) 353

Chlorine (Cl2) 215 Nitrous oxide (N2O) 268

Deuterium (D2) 930 Oxygen (O2) 329

Ethane (C2H6) 316 Propane (C3H8) 253

Ethyl chloride (C2H5Cl) 204

228

Page 239: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

ωο

C1 C2+

L C1⋅ C2⋅=

AvC2C1

≥Gain requirement:

17.3 Colpitts

ωο1

L1 C1⋅=

Av M≤Gain requirement:

17.2 Tuned Output

ωο1

6 R⋅ C⋅=

Av5 ωο R⋅ C⋅( )2−

ωο R⋅ C⋅( )2≥ 29−≥Gain requirement:

17.1 RC Phase Shift

17. ΤΑΛΑΝΤΩΤΕΣ. ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ωο ΣΕ rad/s.

C ε εο⋅4 π⋅

1r1

1r2

⋅=

16.4 ΟΜΟΚΕΝΤΡΕΣ ΣΦΑΙΡΕΣ

229

Page 240: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Mathad 2001 Professional

ωο1

L C⋅=

Av 1≥Gain requirement:

17.6 Pierce

ωο1

L1 L2+ 2 M⋅+( ) C⋅=

AvL1 L2+ 2 M⋅+

L2≥Gain requirement:

17.5 Hartley

ωο1

L C3⋅=

AvC2C1

≥Gain requirement:

17.4 Clapp

230

Page 241: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΕΤΩΝ

231

Page 242: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Ε.Κ.Π.Α.

ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2006

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ∆ΟΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 2006ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ - ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ)

ΕΠΩΝΥΜΟ:...............................................................ONOMA:..........................................

ΑΜ:.............................................................................ΕΞΑΜΗΝΟ:.....................................

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:..............................................

ΘΕΜΑ 1οΣηµειώσατε Σ, αριστερά της αρίθµησης, σε όσες από τις παρακάτω προτάσεις νοµίζετε ότι είναι σωστές:

Η ροπή είναι το αίτιο και η γωνιακή ταχύτητα το αποτέλεσµα. 1.Οι σύγχρονοι ή γεωστάσιµοι δορυφόροι έχουν γωνιακή ταχύτητα περιφοράς ακριβώς 2.διπλάσια από τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης. Ο κύκλος Carnot αποτελείται από τις τέσσερις διαδοχικές αντιστρεπτές µεταβολές: 3.i) Ισοθερµοκρασιακή εκτόνωση, ii) Αδιαβατική εκτόνωση, iii) Ισοθερµοκρασιακή συµπίεση, iv) Ισόογκη θέρµανση. Η εντροπία είναι καταστατικό µέγεθος. Η µεταβολή της εντροπίας ενός συστήµατος από 4.µια κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας α σε µια άλλη κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας b δεν εξαρτάται από τις διαδοχικές (ενδιάµεσες καταστάσεις θερµοδυναµικής ισορροπίας) αλλά αποκλειστικά και µόνο από την αρχική και τελική κατάσταση. Ένας ακροατής Α κινείται σε κυκλική τροχιά µε την ακίνητη ηχητική πηγή στο κέντρο Κ 5.του κύκλου. Ο ακροατής Α αντιλαµβάνεται οξύτερο ήχο από αυτόν που στην πραγµατικότητα εκπέµπει η πηγή. Μονάδες: 5 x 0.2 = 1)

ΘΕΜΑ 2ο Πάνω σε σωµατίδιο Σ σταθερής µάζας m1 = 2Kg, που αρχικά ακινητεί (θέση Α, uo = 0), ασκείται τη χρονική στιγµή µηδέν και για χρόνο 15s, δύναµη F σταθερής διεύθυνσης, της οποίας η αλγεβρική τιµή ακολουθεί την εξίσωση (σε µονάδες SI):

Σ(m1) u FA B

xF c t⋅= c 2

Ns

⋅=

Τη χρονική στιγµή 5s, να βρεθούν: α) το µέτρο της ταχύτητας u του Σ,β) ο ρυθµός παροχής ενέργειας στο Σ.

(Μονάδες:1 + 0.5 = 1.5)

232

Page 243: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΘΕΜΑ 3οα) Να δείξετε ότι η παρακάτω συνηµιτονοειδής εξίσωση y(x, t) ικανοποιεί την κυµατική εξίσωση και άρα περιγράφει διαταραχή που διαδίδεται ως κύµα κατά µήκος του άξονα x µε φασική ταχύτητα υ = ω/k.

y x t,( ) A cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅= (Μονάδες: 1.5)

ΘΕΜΑ 4οΤο ∆υναµικό Yukawa δίνει µια αρκετά ακριβή περιγραφή της αλληλεπίδρασης µεταξύ των νουκλεονίων του πυρήνα. Οι σταθερές ro και Uo δε δίνονται για χρήση.

U r( )r0r

− U0⋅ e

rr0

⋅= r0 1.5 10 15−⋅ m⋅= U0 50 MeV⋅= eV 1.6 10 19−⋅ J⋅=

α) Να βρεθεί η έκφραση της δύναµης F(r). β) Να βρεθεί το είδος της δύναµης (ελκτική ή απωστική). (Μονάδες: 0.7 + 0.3 = 1)

ΘΕΜΑ 5οΘεωρούµε τη Γη ως πλήρη, οµογενή (πυκνότητας ρ), ακίνητη σφαίρα (ακτίνας R), χωρίς ατµόσφαιρα και ως ουράνιο σώµα πάρα πολύ µακριά από οποιοδήποτε άλλο στο σύµπαν. Στην πιο απλή περίπτωση η κίνηση ενός τεχνητού δορυφόρου ∆ της Γης, µάζας m που περιφέρεται σε ύψος H πάνω από την επιφάνεια µπορεί να θεωρηθεί ως κυκλική οµαλή. Η ένταση στην επιφάνεια της Γης είναι go. ∆ίνεται η σταθερά της παγκόσµιας έλξης G.α) Να υπολογίσετε το µέτρο της ορµής p του ∆.β) Να δείξετε ότι για Η = 0, η περίοδος Το του ∆ εξαρτάται µόνο από την πυκνότητα ρ του υλικού της Γης. (Μονάδες: 0.5 + 0.5 = 1)

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

233

Page 244: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

⇒∂

2 y x t,( )

∂2x

1

υ2

∂2 y x t,( )

∂2t

⋅=

ΘΕΜΑ 4ο

F r( ) U0r0 r+( )

r2⋅ exp

r−r0

−= ∆ύναµη µε αρνητική αλγεβρική τιµή, άρα ελκτική

ΘΕΜΑ 5ο

α) m gH⋅ mu2

R H+( )⋅= και gH gο

R2

R H+( )2⋅= ⇒ gο

R2

R H+( )2⋅

u2

R H+( )= ⇒

gοR2

R H+( )⋅ u2= ⇒ u R

gοR H+( )

⋅= ⇒ p m R⋅gο

R H+( )⋅=

β) Tο2 π⋅ R⋅

RR

GmE

R2⋅

⋅= ⇒ Tο 2 π⋅R3

G ρ⋅43⋅ π⋅ R3⋅

⋅= ⇒ Tο3 π⋅

G ρ⋅=

ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο4 - Σ

ΘΕΜΑ 2ο

Από το δεύτερο νόµο του Newton για στεθερή µάζα έχουµε:

c 2Ns

⋅:= m1 2 kg⋅:= F t( ) c t⋅:= a t( )c

m1t⋅:= uo 0

ms

⋅:=

Η τελική ταχύτητα u είναι: u t( ) uo ta t( )⌠⌡

d+= u t( )c

2 m1⋅t2⋅ uo+:= u 5 s⋅( ) 12.5

ms

=

Ο ρυθµός παροχής ενέργειας στο Σ είναι: P t( ) F t( ) u t( )⋅ cos 0 deg⋅( )⋅:= P 5 s⋅( ) 125 W=

ΘΕΜΑ 3ο

∂y x t,( )∂t

ω− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅= ⇒∂

2 y x t,( )

∂2t

ω2

− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

∂y x t,( )∂x

k− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅+( )⋅= ⇒∂

2 y x t,( )

∂2x

k2− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅+( )⋅=

∂2 y x t,( )

∂2t

ωk

2∂

2 y x t,( )

∂2x

⋅=

234

Page 245: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Ε.Κ.Π.Α.

ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2006

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ∆ΟΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2006ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ - ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ)

ΕΠΩΝΥΜΟ:...............................................................ONOMA:..........................................

ΑΜ:.............................................................................ΕΞΑΜΗΝΟ:.....................................

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ 2006

ΘΕΜΑ 1οΣηµειώσατε Σ, αριστερά της αρίθµησης, σε όσες από τις παρακάτω προτάσεις νοµίζετε ότι είναι σωστές:

Η θερµοκρασία είναι ενεργειακό µέγεθος.1.Κάθε κεντρική δύναµη είναι συντηρητική ή διατηρητική. 2.Κατά την κεντρική πλαστική κρούση δύο σφαιρών η ορµή και η κινητική ενέργεια του 3.συστήµατος µειώνεται.Αναφερόµαστε στην περιστροφική κίνηση στερεού γύρω από σταθερό άξονα xx΄. Μια 4.δοσµένη χρονική στιγµή όλα τα υλικά σηµεία του στερεού έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από τον άξονα περιστροφής xx΄. Τα µέτρα των γραµµικών ταχυτήτων των υλικών σηµείων του στερεού είναι αντιστρόφως ανάλογα των αποστάσεών τους από τον σταθερό άξονα περιστροφής.Ο 2ος Νόµος του Kepler µας πληροφορεί: "Η ευθεία που ενώνει τον Ήλιο µε έναν πλανήτη, 5.σαρώνει σε ίσους χρόνους ισεµβαδικές επιφάνειες".

(Μονάδες: 0.2 x 5 = 1)

ΘΕΜΑ 2οΑναφερόµαστε στην περιστροφική κίνηση ενός σωµάτιου (Υλικού Σηµείου) Σ (m, r, u) γύρω από άξονα xx'. Με αφετηρία την εξίσωση ορισµού της στροφορµής του:

L→

r→

m× u→⋅=

Να δείξετε ότι: "Ο χρονικός ρυθµός της στροφορµής L του σωµάτιου Σ ισούται µε την ροπή τ της συνολικής δύναµης που δρα πάνω του". (Μονάδες: 1)

ΘΕΜΑ 3οΣε πολύ χαµηλές θερµοκρασίες η γραµµοµοριακή (molar) θερµοχωρητικότητα του NaCl µεταβάλλεται µε τη θερµοκρασία σύµφωνα µε το νόµο του Debye:

C kT3

Θ3

⋅= όπου: k 1940J

mol K⋅⋅:= Θ 281 K⋅:=

α) Ποια είναι η πραγµατική τιµή της γραµµοµοριακής θερµοχωρητικότητας στους 10.0 K και στους 60.0 Κ; β) Πόση θερµότητα απαιτείται για να αυξηθεί η θερµοκρασία 2.00 mole NaCl από τους 10.0 Κ στους 60.0 Κ;γ) Ποια είναι η µέση γραµµοµοριακή θερµοχωρητικότητα στην περιοχή αυτή;

(Μονάδες: 0.4 + 0.4 + 0.2 = 1)

235

Page 246: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΘΕΜΑ 4ο∆ίνεται πλήρης, λεπτή κυλινδρική ράβδος, µήκους L, εγκάρσιας διατοµής Α, της οποίας η πυκνότητα είναι εξάρτηση της θέσης x, δηλαδή: ρ = ρο + αx , µε ρο (σε kg/m3 ) και α (σε kg/m4) σταθερές. Να βρεθεί α) η µάζα της ράβδου και β) η θέση του κέντρου µάζας (CM).

(Μονάδες: 0.7 + 0.8 = 1.5)

O

L

x

y

x

dx

A

ΘΕΜΑ 5ο Το σώµα Σ µάζας mΣ = 1kg βρίσκεται ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το ελατήριο σκληρότητας k = 200Ν/m έχει το φυσικό του µήκος. Μία οριζόντια δύναµη F ενεργεί στο Σ µέσω νήµατος του οποίου η αντοχή (µέγιστη δύναµη την οποία µπορεί να δεχθεί) είναι Strmax = 100Ν. Την χρονική στιγµή µηδέν αρχίζει η δράση της δύναµης F, το µέτρο της οποίας ακολουθεί τη σχέση: F(x) = a +bx2, όπου: a = 60Ν, b = 4.000N/m2 και x η έκταση του ελατηρίου.α) Να βρεθεί τη χρονική στιγµή µηδέν ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας.β) Να βρεθεί η ενέργεια µέσω έργου WF, της µεταβλητής δύναµης F, από τη χρονική στιγµή µηδέν έως τη χρονική στιγµή που σπάει το νήµα. (Μονάδες: 0.5 + 1 = 1.5)

Σ(mΣ)

F

x

Ελατήριο (k)

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

236

Page 247: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

T1 10 K⋅:= T2 60 K⋅:= dQ C T( ) n⋅ dT⋅=

C T( ) kT3

Θ3

⋅:= C T1( ) 0.087J

mole K⋅= C T2( ) 18.886

Jmole K⋅

=

QT1

T2TC T( ) n⋅

⌠⌡

d:= Q 566.138 J=β)

γ) CmeanQ

n T2 T1−( )⋅:= Cmean 5.661

Jmole K⋅

=

ΘΕΜΑ 4οΗ µάζα της ράβδου είναι:

Given M0

Lxρo α x⋅+( ) Α⋅⌠

d= Find M( ) Α ρo⋅ L⋅12Α⋅ α⋅ L2⋅+→ ⇒ M Α L⋅ ρo

12

L⋅ α⋅+

⋅=

Η θέση του κέντρου µάζας είναι: xcm1M 0

Lmx

⌠⌡

d⋅=

Given xcm1

Α L⋅ ρo12

L⋅ α⋅+

⋅ 0

Lxx ρo α x⋅+( )⋅ Α⋅

⌠⌡

d⋅=

Find xcm( ) 13

L⋅2 L⋅ α⋅ 3 ρo⋅+

2 ρo⋅ L α⋅+⋅→ ⇒ xcm

13

L⋅2 α⋅ L⋅ 3 ρo⋅+( )2 ρo⋅ α L⋅+( )⋅=

ΛΥΣΕΙΣΘΕΜΑ 1ο2, 5 - Σ

ΘΕΜΑ 2ο

Η Στροφορµή L ενός σωµάτιου ορίζεται ως: L→

r→

p→×= ή L

→r

→m× u→⋅= 1( )

Παραγωγίζουµε την (1) ως προς το χρόνο για να βρούµε το χρονικό ρυθµό µεταβολής της στροφορµής :

L→

r→

m× u→⋅= ⇒

tL→d

d tr

→m× u→⋅d

d

r→

m×tu→d

d⋅

+= ⇒tL→d

dm u→

u→×( )⋅ r

→m×

tu→d

d⋅+=

Αλλά: u→

u→× 0= Άρα:

tL→d

dr

→m× α lin

→⋅= ⇒

tL→d

dr

→F→×= ⇒

tL→d

dτ→

= 2( )

"Ο χρονικός ρυθµός της στροφορµής L ενός σωµάτιου ισούται µε την ροπή τ της συνολικής δύναµης που δρα πάνω του".

ΘΕΜΑ 3οα) n 2 mole⋅:=

237

Page 248: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

WF223

J=⇒WF0 m⋅

xoxF x( )

⌠⌡

d:=F x( ) a b x2⋅+:=

Απορρίπτεται1−

bb− a Strmax−( )⋅

12⋅ 0.1− m=⇒

1b

b− a Strmax−( )⋅

12⋅

1−b

b− a Strmax−( )⋅

12⋅

∆εκτήxo 0.1 m=xo1b

b− a Strmax−( )⋅

12⋅:=⇒

⇒a b x2⋅+ Strmax− 0=⇒F x( ) a b x2⋅+=β)

α 60m

s2=⇒α

amΣ

:=

Τη χρονική στιγµή µηδέν το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος και η δύναµη Hooke είναι µηδέν. Έτσι η συνολική δύναµη στον οριζόντιο άξονα είναι: F = 60N. Η επιτάχυνση είναι:

k 200Nm⋅:=mΣ 1 kg⋅:=Strmax 100 N⋅:=b 4000

N

m2⋅:=a 60N:=α)

ΘΕΜΑ 5ο

xcm12

L⋅=Με α = 0, προκύπτει:

238

Page 249: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Ε.Κ.Π.Α.

ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2006

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ∆ΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2006ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ - ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΗ)

ΕΠΩΝΥΜΟ:...............................................................ONOMA:..........................................

ΑΜ:.............................................................................ΕΞΑΜΗΝΟ:.....................................

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.............................................. ΘΕΣΗ:...............................................

ΘΕΜΑ 1οΣηµειώσατε Σ, αριστερά της αρίθµησης, σε όσες από τις παρακάτω προτάσεις νοµίζετε ότι είναι σωστές:

Η φυσική ανάµειξη δύο υγρών οδηγεί σε µια κατάσταση αυξηµένης εντροπίας. 1.Για τις ∆ιατηρητικές (ή Συντηρητικές) δυνάµεις δεν έχει νόηµα το δυναµικό.2.Τα χαοτικά συστήµατα είναι πολύ ευαίσθητα στις αρχικές συνθήκες.3.Πάνω σε υλικό σηµείο Σ σταθερής µάζας m που αρχικά ακινητεί, ασκείται τη χρονική 4.στιγµή µηδέν, δύναµη F σταθερής διεύθυνσης, της οποίας η αλγεβρική τιµή ακολουθεί την εξίσωση F = bt, µε b θετική σταθερά. Η κίνηση του Σ είναι ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη.Στην κυκλική οµαλή κίνηση ενός σωµατίου, η ισχύς της κεντροµόλου δυνάµεως είναι 5.συνεχώς µηδέν και γι' αυτό η κινητική ενέργεια διατηρείται. Το διάνυσµα της ορµής αλλάζει αλλά το µέτρο διατηρείται.

(Μονάδες: 0.2 x 5 = 1)

ΘΕΜΑ 2οΣωµατίδιο Σ µάζας m κινείται σε πεδίο δυνάµεων και η θέση του δίνεται από το διάνυσµα θέσης:

r→

α cos ω t⋅( )⋅ xµ→⋅ β sin ω t⋅( )⋅ yµ

→⋅+=

όπου: α, β, ω, θετικές σταθερές, t ο χρόνος,

xµ→

και yµ→

τα µοναδιαία διανύσµατα στους άξονες x και y αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι η εξίσωση της τροχιάς παριστάνει έλλειψη σε καρτεσιανές συντεταγµένες (x, y).

(Μονάδες: 1)

ΘΕΜΑ 3οΝα δείξετε ότι η παρακάτω ηµιτονοειδής εξίσωση y(x, t) ικανοποιεί την κυµατική εξίσωση και άρα περιγράφει διαταραχή που διαδίδεται ως κύµα κατά µήκος του άξονα x µε φασική ταχύτητα υ = ω/k.

y x t,( ) A sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅= (Μονάδες: 2)

239

Page 250: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

(Μονάδες: 1)

όπου Uo και ro είναι θετικές σταθερές και r > 0 είναι η απόσταση του σωµατίδιου από ένα ακίνητο κέντρο Ο.Να βρεθεί η έκφραση της δύναµης F(r).

U r( ) Uoror

2

−ror

3

+

−='Ενα σωµατίδιο µάζας m κινείται σε µονοδιάστατο πεδίο στο οποίο η συνάρτηση της ∆υναµικής Ενέργειας U(r) (µε r > 0) δίνεται από τη συνάρτηση:

ΘΕΜΑ 5ο

(Μονάδες: 1)Β2 (T2 = 100οC) Β (T = xοC) Β1 (T1 = 0οC)

Fe Ag LL

ΘΕΜΑ 4ο∆ύο πλήρεις και οµογενείς κύλινδροι ο ένας από Άργυρο (Ag) και ο άλλος από σίδηρο (Fe) µε ακριβώς όµοιες διαστάσεις τοποθετούνται οµοαξονικά και διαδοχικά ώστε να αποκτήσουν µία κοινή βάση Β. Η θερµοκρασία της βάσης Β1 του Ag διατηρείται σταθερή στους 0οC ενώ του σιδήρου σταθερή τους 100οC. Ο Ag έχει θερµική αγωγιµότητα ενδεκαπλάσια εκείνης του σιδήρου (kAg = 11kFe). Υποθέτουµε αµελητέα την απώλεια θερµότητας από τις κυλινδρικές επιφάνειες. Να δείξετε ότι η θερµοκρασία της κοινής επιφάνειας επαφής Β των δύο κυλίνδρων είναι (25/3)οC.

240

Page 251: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

⇒ υy ω A⋅ cos ω t⋅ k x⋅−( )⋅=

αy∂υ x t,( )

∂t= ⇒

∂2 y x t,( )

∂2t

ω2

− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅=

∂y x t,( )∂x

k− A⋅ cos ω t⋅ k x⋅−( )⋅=∂

2 y x t,( )

∂2x

k2− A⋅ sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅=

µε διαίρεση κατά µέλη έχουµε: ∂2 y x t,( )

∂2t

ω2

k2∂

2 y x t,( )

∂2x

⋅= ⇒∂

2 y x t,( )

∂2x

1

υ2

∂2 y x t,( )

∂2t

⋅=

ΘΕΜΑ 4οkAg 11 kFe⋅=

Τα θερµικά ρεύµατα (ή θερµικές παροχές σε W/s) είναι ίσα:

kFe S⋅ T2 T−( )⋅

L

kAg S⋅ T T1−( )⋅

L= ⇒ T

253

= οC

ΘΕΜΑ 5ο

U r Uo, ro,( ) Uo−ror

2

−ror

3

+

⋅:= F r Uo, ro,( )rU r Uo, ro,( )d

d

−:=

F r Uo, ro,( ) Uo 2ro

2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅→ F r( ) Uo 2

ro2

r3⋅ 3

ro3

r4⋅−

⋅=

ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο1, 3, 5 - Σ

ΘΕΜΑ 2ο

α) Από το διάνυσµα θέσης προκύπτει: r→

α cos ω t⋅( )⋅ xµ→⋅ β sin ω t⋅( )⋅ yµ

→⋅+= ⇒

x α cos ω t⋅( )⋅=xα

cos ω t⋅( )=xα

2cos ω t⋅( )( )2=

⇒ ⇒ ⇒

y β sin ω t⋅( )⋅=yβ

sin ω t⋅( )=yβ

2sin ω t⋅( )( )2=

που παριστάνει έλλειψη µε κέντρο το (0, 0). Mήκος αξόνων 2α (xx') και 2β (yy').

x2

α2

y2

β2

+ 1=

ΘΕΜΑ 3οy x t,( ) A sin ω t⋅ k x⋅−( )⋅= υy

∂y x t,( )∂t

=

241

Page 252: Biblio Mhxanikhs n a Borbila

242

ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. H. Young, “Physics”, Part 1 and 2, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., USA, 1992.

2. R. Resnick and D. Halliday, “Physics”, Part 1 and 2, J. Wiley & Sons, Inc., New York, 1966.

3. M. Alonso and E. J. Finn, “University Physics”, Μετάφραση: Λ. Κ. Ρεσβάνης, Τ. Α. Φίλιππας,

Addison-Wesley, 1967.

4. M. Nelkon and P. Parker, “Advanced Level Physics”, Heinemann Educational, 1990.

5. R. A. Serway, “Physics”, Part 1, 2 and 3, Απόδοση στα Ελληνικά: Λ. Κ. Ρεσβάνης, Αθήνα, 1991.

6. Κ. ∆. Αλεξόπουλος, “Γενική Φυσική”, Τόµοι τέσσερις, Αθήνα, 1960.

7. Π. Κ. Ευθυµίου, “Μαθήµατα Φυσικής - Ειδικά Κεφάλαια”, Τεύχος I και II, Αθήνα, 1970.

8. ∆. Ε. Παναγιωτουνάκος και Γ. Α. Παπαδόπουλος, “Θεωρητική Μηχανική”, Εκδόσεις Γρηγ.

Φούντας, Αθήνα, 1996.

9. Κ. Ψαρράκος, ∆. Κουφογιάννης, Ε. Μολυβά, Α. Σιούντας, Α. Γκοτζαµάνη, “Ιατρική Φυσική”

Τόµος Α΄ και Β΄, Θεσσαλονίκη 2005.

10. M. Zemansky, “Heat and Thermodynamics”, 5th ed., McCraw-Hill, 1968.

11. F. P. Incropera and D. P. De Witt, “Fundamentals of Heat and Mass Transfer”, J. Wiley & Sons,

New York, 1996.

12. M. M. Abbot and H. C. Van Ness, “Θερµοδυναµική“, McGraw-Hill, N. York, ΕΣΠΙ, Scaum 9,

Μετάφραση Κ. Παττάς και Ν. Κυριάκης, Αθήνα, 1983.

13. J. O. Hirschfelder and C. F. Curtiss, “Molecular Theory of Gases and Liquids“, J. Wiley & Sons,

Inc., New York, 1964.

14. Enrico Fermi, “Θερµοδυναµική”, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 2002.

15. R. Bronson, “Differential Equations”, McGraw-Hill, New York, 1973.

16. M. P. Shaskolskaya and I. A. Eltsin, “Επιλογή Προβληµάτων Φυσικής µε απαντήσεις”, Εκδόσεις

Γ. Α. Πνευµατικός, Αθήνα.

17. Π. Φ. Μοίρας, “Θέµατα Φυσικής Ι - Μηχανική”, Εκδόσεις ΑΡΝΟΣ, Αθήνα, 2003.

18. M. R. Spiegel, “Μαθηµατικό Τυπολόγιο”, Mc Graw-Hill, New York, Μετάφραση: Περσίδης Σ.,

Αθήνα, 1976.

19. Β. Ξανθόπουλου, “Περί Αστέρων και Συµπάντων”, Πανεπ. Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1999.

20. Αρχ. Αστερ. Σ. Χατζηνικολάου “Αρχή και Τέλος του κόσµου”, Έκδοση Τρίτη, Αθήνα, 2003.

21. R. Feynman, “Ο Χαρακτήρας του Φυσικού Νόµου”, Πανεπ. Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1990.

22. A. B. Arons, “A guide to introductory physics teaching”, J. Wiley & Sons, Inc., New York, 1990.

23. Α. Βεργανελάκη, “Παιδιά και Φυσική“, ΟΛΚΟΣ, Αθήνα, 1977.

24. Χ. Π. Φράγκου, “Η Σύγχρονη ∆ιδασκαλία“, Gutenberg, Αθήνα, 1986.

25. Mathcad 2000, “Reference Manual” and “User’s Guide”, MathSoft, Inc., USA, 2000.

26. Ν. Α. Μπορµπιλά, “Εισαγωγή στο Mathcad µε εφαρµογές στις θετικές επιστήµες”, Αθήνα, 2005.

27. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html