Bases MatemáticasLimites Infinitos, Limites no Infinito, Assíntotas

Rodrigo Hausen

v. 2016-8-17 1/19

Limites infinitos

Definição. Dizemos que limx→a

f (x) = +∞ se, para todo M > 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) > M

Definição. Dizemos que limx→a

f (x) = −∞ se, para todo M < 0,existe δ > 0 tal que 0 < ∣x − a∣ < δ ⇒ f (x) < M

v. 2016-8-17 2/19

Regras para limites infinitos

Podemos demonstrar pela definição:Regra 1. Se lim

x→af (x) = +∞ ou lim

x→af (x) = −∞, então lim

x→a

1f (x)

= 0

Regra 2.1 Se limx→a

f (x) = 0 e além disto f (x) > 0 para todo x ,

então limx→a

1f (x)

= +∞

Regra 2.2 Se limx→a

f (x) = 0 e além disto f (x) < 0 para todo x ,

então limx→a

1f (x)

= −∞

(além do limite ser igual a 0, as condições f (x) > 0 e f (x) < 0 sãoessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)

v. 2016-8-17 3/19

Regras para limites infinitos

Podemos demonstrar pela definição:Regra 1. Se lim

x→af (x) = +∞ ou lim

x→af (x) = −∞, então lim

x→a

1f (x)

= 0

Regra 2.1 Se limx→a

f (x) = 0 e além disto f (x) > 0 para todo x ,

então limx→a

1f (x)

= +∞

Regra 2.2 Se limx→a

f (x) = 0 e além disto f (x) < 0 para todo x ,

então limx→a

1f (x)

= −∞

(além do limite ser igual a 0, as condições f (x) > 0 e f (x) < 0 sãoessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)

v. 2016-8-17 3/19

Regras para limites infinitos

Podemos demonstrar pela definição:Regra 1. Se lim

x→af (x) = +∞ ou lim

x→af (x) = −∞, então lim

x→a

1f (x)

= 0

Regra 2.1 Se limx→a

f (x) = 0 e além disto f (x) > 0 para todo x ,

então limx→a

1f (x)

= +∞

Regra 2.2 Se limx→a

f (x) = 0 e além disto f (x) < 0 para todo x ,

então limx→a

1f (x)

= −∞

(além do limite ser igual a 0, as condições f (x) > 0 e f (x) < 0 sãoessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)

v. 2016-8-17 3/19

Regras para limites infinitos

Podemos demonstrar pela definição:Regra 1. Se lim

x→af (x) = +∞ ou lim

x→af (x) = −∞, então lim

x→a

1f (x)

= 0

Regra 2.1 Se limx→a

f (x) = 0 e além disto f (x) > 0 para todo x ,

então limx→a

1f (x)

= +∞

Regra 2.2 Se limx→a

f (x) = 0 e além disto f (x) < 0 para todo x ,

então limx→a

1f (x)

= −∞

(além do limite ser igual a 0, as condições f (x) > 0 e f (x) < 0 sãoessenciais para podermos usar 2.1 e 2.2)

v. 2016-8-17 3/19

Regras para limites infinitos

Regra 3. Se limx→a

f (x) = +∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x) + g(x) = +∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

Regra 4. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = −∞,então lim

x→af (x) + g(x) = −∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

(cuidado com a mudança de sinal no produto!)

Regra 5. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x)g(x) = −∞

(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a

f (x) + g(x)?Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)

v. 2016-8-17 4/19

Regras para limites infinitos

Regra 3. Se limx→a

f (x) = +∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x) + g(x) = +∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

Regra 4. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = −∞,então lim

x→af (x) + g(x) = −∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

(cuidado com a mudança de sinal no produto!)

Regra 5. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x)g(x) = −∞

(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a

f (x) + g(x)?Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)

v. 2016-8-17 4/19

Regras para limites infinitos

Regra 3. Se limx→a

f (x) = +∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x) + g(x) = +∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

Regra 4. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = −∞,então lim

x→af (x) + g(x) = −∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

(cuidado com a mudança de sinal no produto!)

Regra 5. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x)g(x) = −∞

(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a

f (x) + g(x)?Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)

v. 2016-8-17 4/19

Regras para limites infinitos

Regra 3. Se limx→a

f (x) = +∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x) + g(x) = +∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

Regra 4. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = −∞,então lim

x→af (x) + g(x) = −∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

(cuidado com a mudança de sinal no produto!)

Regra 5. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x)g(x) = −∞

(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a

f (x) + g(x)?

Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)

v. 2016-8-17 4/19

Regras para limites infinitos

Regra 3. Se limx→a

f (x) = +∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x) + g(x) = +∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

Regra 4. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = −∞,então lim

x→af (x) + g(x) = −∞ e lim

x→af (x)g(x) = +∞

(cuidado com a mudança de sinal no produto!)

Regra 5. Se limx→a

f (x) = −∞ e limx→a

g(x) = +∞,então lim

x→af (x)g(x) = −∞

(neste caso, o que podemos dizer sobre limx→a

f (x) + g(x)?Nada, a não ser que analisemos por outra regra!)

v. 2016-8-17 4/19

Regras para limites infinitos

Regra 6. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = +∞, então:

6.1. limx→a

f (x) + g(x) = +∞

6.2. (a) Se L > 0, limx→a

f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim

x→af (x)g(x) = −∞

6.3. (a) Se L > 0, limx→a

g(x)f (x)

= +∞. (b) Se L < 0, limx→a

g(x)f (x)

= −∞

6.5. limx→a

f (x)g(x)

= 0

(Se limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a

g(x)f (x)

?

Nada, a menos que usemos outro método!)

Regra 7. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = −∞, então. . .

Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

v. 2016-8-17 5/19

Regras para limites infinitos

Regra 6. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = +∞, então:

6.1. limx→a

f (x) + g(x) = +∞

6.2. (a) Se L > 0, limx→a

f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim

x→af (x)g(x) = −∞

6.3. (a) Se L > 0, limx→a

g(x)f (x)

= +∞. (b) Se L < 0, limx→a

g(x)f (x)

= −∞

6.5. limx→a

f (x)g(x)

= 0

(Se limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a

g(x)f (x)

?

Nada, a menos que usemos outro método!)

Regra 7. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = −∞, então. . .

Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

v. 2016-8-17 5/19

Regras para limites infinitos

Regra 6. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = +∞, então:

6.1. limx→a

f (x) + g(x) = +∞

6.2. (a) Se L > 0, limx→a

f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim

x→af (x)g(x) = −∞

6.3. (a) Se L > 0, limx→a

g(x)f (x)

= +∞. (b) Se L < 0, limx→a

g(x)f (x)

= −∞

6.5. limx→a

f (x)g(x)

= 0

(Se limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a

g(x)f (x)

?

Nada, a menos que usemos outro método!)

Regra 7. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = −∞, então. . .

Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

v. 2016-8-17 5/19

Regras para limites infinitos

Regra 6. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = +∞, então:

6.1. limx→a

f (x) + g(x) = +∞

6.2. (a) Se L > 0, limx→a

f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim

x→af (x)g(x) = −∞

6.3. (a) Se L > 0, limx→a

g(x)f (x)

= +∞. (b) Se L < 0, limx→a

g(x)f (x)

= −∞

6.5. limx→a

f (x)g(x)

= 0

(Se limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a

g(x)f (x)

?

Nada, a menos que usemos outro método!)

Regra 7. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = −∞, então. . .

Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

v. 2016-8-17 5/19

Regras para limites infinitos

Regra 6. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = +∞, então:

6.1. limx→a

f (x) + g(x) = +∞

6.2. (a) Se L > 0, limx→a

f (x)g(x) = +∞(b) Se L < 0, lim

x→af (x)g(x) = −∞

6.3. (a) Se L > 0, limx→a

g(x)f (x)

= +∞. (b) Se L < 0, limx→a

g(x)f (x)

= −∞

6.5. limx→a

f (x)g(x)

= 0

(Se limx→a

f (x) = 0 e limx→a

g(x) = +∞, que podemos afirmar sobre limx→a

g(x)f (x)

?

Nada, a menos que usemos outro método!)

Regra 7. Se limx→a

f (x) = L e limx→a

g(x) = −∞, então. . .

Estas regras podem ser demonstradas usando-se apenas definições delimite definido e limite infinito. Experimente demonstrar algumas.

v. 2016-8-17 5/19

Limites laterais infinitos

Note que não podemos afirmar que limx→0

1x

é +∞ nem −∞

-3

-2

-1

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

Porém, note que o valor de 1/x cresce arbitrariamente à medidaque x se aproxima de 0 pela direita, e decresce arbitrariamente àmedida que x se aproxima de 0 pela esquerda.

v. 2016-8-17 6/19

Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim

x→a+f (x) = +∞ se para

todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M

● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−

f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que

0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim

x→a+f (x) = −∞ se para

todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M

● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−

f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que

0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M

v. 2016-8-17 7/19

Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim

x→a+f (x) = +∞ se para

todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M

● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−

f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que

0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M

● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que limx→a+

f (x) = −∞ se paratodo M < 0 existe δ > 0 tal que

0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que lim

x→a−f (x) = −∞ se

para todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M

v. 2016-8-17 7/19

Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim

x→a+f (x) = +∞ se para

todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M

● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−

f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que

0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim

x→a+f (x) = −∞ se para

todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M

● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−

f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que

0 < a − x < δ ⇒ f (x) < M

v. 2016-8-17 7/19

Limites laterais infinitosDados a,b, c,d números reais e f ,g ,h, j funções reais. . .● (limite +∞ pela direita) . . . dizemos que lim

x→a+f (x) = +∞ se para

todo M > 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) > M

● (limite +∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−

f (x) = +∞ separa todo M > 0 existe δ > 0 tal que

0 < a − x < δ ⇒ f (x) > M● (limite −∞ pela direita) . . . dizemos que lim

x→a+f (x) = −∞ se para

todo M < 0 existe δ > 0 tal que0 < x − a < δ ⇒ f (x) < M

● (limite −∞ pela esquerda) . . . dizemos que limx→a−

f (x) = −∞ separa todo M < 0 existe δ > 0 tal que

0 < a − x < δ ⇒ f (x) < Mv. 2016-8-17 7/19

Limites laterais infinitos

Veja que limx→0+

1x= +∞ e que lim

x→0−1x= −∞.

-3

-2

-1

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

Para casa: demonstre formalmente (usando a definição).

v. 2016-8-17 8/19

Limites no infinitoO conceito de limites pode ser expandido para descrevermosmelhor o comportamento de funções e gráficos.

Exemplo. f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. Qual o comportamento da

função quando x se torna muito grande (positivo)? E quando setorna muito pequeno (negativo)?

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

v. 2016-8-17 9/19

Limites no infinitoO conceito de limites pode ser expandido para descrevermosmelhor o comportamento de funções e gráficos.

Exemplo. f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. Qual o comportamento da

função quando x se torna muito grande (positivo)? E quando setorna muito pequeno (negativo)?

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

v. 2016-8-17 9/19

Limites no infinitoO conceito de limites pode ser expandido para descrevermosmelhor o comportamento de funções e gráficos.

Exemplo. f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. Qual o comportamento da

função quando x se torna muito grande (positivo)? E quando setorna muito pequeno (negativo)?

-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.533.544.555.566.57

-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

v. 2016-8-17 9/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,04975186

10 1,35355339100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,49751859

1000 1,4999750010000 1,49999975

105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975

105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814

-10 0,64644661-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140

-1000 0,50002499-10000 0,50000024

-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024

-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito

Comportamento de f (x) = x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

. . .

. . . para x “muito grande:”

x ,f (x)1 1,0497518610 1,35355339

100 1,497518591000 1,49997500

10000 1,49999975105 1,49999999

. . . para x “muito pequeno:”

x ,f (x)-1 0,95024814-10 0,64644661

-100 0,50248140-1000 0,50002499

-10000 0,50000024-105 0,50000001

Parece que:● quando x tende a números muito grandes, f (x) tende a 1,5● quando x tende a números muito pequenos, f (x) tende a 0,5

v. 2016-8-17 10/19

Limites no infinito: definição

Definição. Dizemos que limx→+∞ f (x) = L se:

para todo ε > 0 existe N > 0 tal que vale a implicação

x > N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε

Definição. Dizemos que limx→−∞ f (x) = L se:

para todo ε > 0 existe N < 0 tal que vale a implicação

x < N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε

Limites fundamentais. Das definições, temos

limx→−∞

1x= 0 e lim

x→+∞1x= 0

Regras algébricas. Similares às regras para limites em um ponto.

v. 2016-8-17 11/19

Limites no infinito: definição

Definição. Dizemos que limx→+∞ f (x) = L se:

para todo ε > 0 existe N > 0 tal que vale a implicação

x > N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε

Definição. Dizemos que limx→−∞ f (x) = L se:

para todo ε > 0 existe N < 0 tal que vale a implicação

x < N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε

Limites fundamentais. Das definições, temos

limx→−∞

1x= 0 e lim

x→+∞1x= 0

Regras algébricas. Similares às regras para limites em um ponto.

v. 2016-8-17 11/19

Limites no infinito: definição

Definição. Dizemos que limx→+∞ f (x) = L se:

para todo ε > 0 existe N > 0 tal que vale a implicação

x > N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε

Definição. Dizemos que limx→−∞ f (x) = L se:

para todo ε > 0 existe N < 0 tal que vale a implicação

x < N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε

Limites fundamentais. Das definições, temos

limx→−∞

1x= 0 e lim

x→+∞1x= 0

Regras algébricas. Similares às regras para limites em um ponto.

v. 2016-8-17 11/19

Limites no infinito: definição

Definição. Dizemos que limx→+∞ f (x) = L se:

para todo ε > 0 existe N > 0 tal que vale a implicação

x > N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε

Definição. Dizemos que limx→−∞ f (x) = L se:

para todo ε > 0 existe N < 0 tal que vale a implicação

x < N ⇒ ∣f (x) − L∣ < ε

Limites fundamentais. Das definições, temos

limx→−∞

1x= 0 e lim

x→+∞1x= 0

Regras algébricas. Similares às regras para limites em um ponto.

v. 2016-8-17 11/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

=

limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=

12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Limites infinitos: exemplo

Exemplo. Calcule limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

.

Observe que no caso x → −∞ consideramos apenas x < 0.

limx→−∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

= limx→−∞

x +√

x2 (4 + 400x2 )

√

x2 (4 + 400x2 )

=

= limx→−∞

x + ∣x ∣√

4 + 400x2

∣x ∣√

4 + 400x2

= limx→−∞

x − x√

4 + 400x2

−x√

4 + 400x2

= limx→−∞

1 −√

4 + 400x2

−√

4 + 400x2

=1 −√4 + 0

−√4 + 0

=1 − 2−2

=12

∎

Para casa. Calcule limx→+∞

x +√4x2 + 400

√4x2 + 400

v. 2016-8-17 12/19

Assíntotas verticais e horizontaisUma assíntota de um gráfico é uma reta do plano para onde ográfico se aproxima à medida que nos afastamos da origem.

Exemplo: assíntotas de f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

v. 2016-8-17 13/19

Assíntotas verticais e horizontaisUma assíntota de um gráfico é uma reta do plano para onde ográfico se aproxima à medida que nos afastamos da origem.

Exemplo: assíntotas de f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

y = 3/2

y = −1/2

x = 1

x = 0

v. 2016-8-17 13/19

Assíntotas verticais e horizontaisLimites no infinito e assíntotas horizontais:

f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

limx→+∞ f (x) = 3

2

y = 3/2

v. 2016-8-17 14/19

Assíntotas verticais e horizontaisLimites no infinito e assíntotas horizontais:

f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

limx→−∞ f (x) = −1

2

y = −1/2

v. 2016-8-17 15/19

Assíntotas verticais e horizontaisLimites laterais infinitos e assíntotas verticais:

f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

limx→1+

f (x) = +∞

x = 1

v. 2016-8-17 16/19

Assíntotas verticais e horizontaisLimites laterais infinitos e assíntotas verticais:

f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

limx→0−

f (x) = −∞

x = 0

v. 2016-8-17 17/19

Assíntotas verticais e horizontais

Um gráfico pode ter 0, 1 ou 2 assíntotas horizontais.

Um gráfico pode ter 0, 1 ou mais assíntotas verticais.Um gráfico pode ter assíntotas que não são nem horizontais,nem verticais, p. ex. sen(x)

x + x

Para casa: Seja f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

. Demonstre que:

limx→+∞ f (x) = 3

2

limx→−∞ f (x) = −1

2lim

x→1+f (x) = +∞

limx→0−

f (x) = −∞

Discuta: no gráfico de f (x), é possível haver mais algumaassíntota vertical além das retas x = 0 e x = 1? Por que não?

v. 2016-8-17 18/19

Assíntotas verticais e horizontais

Um gráfico pode ter 0, 1 ou 2 assíntotas horizontais.Um gráfico pode ter 0, 1 ou mais assíntotas verticais.

Um gráfico pode ter assíntotas que não são nem horizontais,nem verticais, p. ex. sen(x)

x + x

Para casa: Seja f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

. Demonstre que:

limx→+∞ f (x) = 3

2

limx→−∞ f (x) = −1

2lim

x→1+f (x) = +∞

limx→0−

f (x) = −∞

Discuta: no gráfico de f (x), é possível haver mais algumaassíntota vertical além das retas x = 0 e x = 1? Por que não?

v. 2016-8-17 18/19

Assíntotas verticais e horizontais

Um gráfico pode ter 0, 1 ou 2 assíntotas horizontais.Um gráfico pode ter 0, 1 ou mais assíntotas verticais.Um gráfico pode ter assíntotas que não são nem horizontais,nem verticais, p. ex. sen(x)

x + x

Para casa: Seja f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

. Demonstre que:

limx→+∞ f (x) = 3

2

limx→−∞ f (x) = −1

2lim

x→1+f (x) = +∞

limx→0−

f (x) = −∞

Discuta: no gráfico de f (x), é possível haver mais algumaassíntota vertical além das retas x = 0 e x = 1? Por que não?

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Assíntotas verticais e horizontais

Um gráfico pode ter 0, 1 ou 2 assíntotas horizontais.Um gráfico pode ter 0, 1 ou mais assíntotas verticais.Um gráfico pode ter assíntotas que não são nem horizontais,nem verticais, p. ex. sen(x)

x + x

Para casa: Seja f (x) = 4x − 2 +√4x2 − 4x

2√4x2 − 4x

. Demonstre que:

limx→+∞ f (x) = 3

2

limx→−∞ f (x) = −1

2lim

x→1+f (x) = +∞

limx→0−

f (x) = −∞

Discuta: no gráfico de f (x), é possível haver mais algumaassíntota vertical além das retas x = 0 e x = 1? Por que não?

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Para casa

Stewart: Seções 2.1, 2.3, 2.4, 2.5 e 2.6, com especial atençãopara os limites no infinito e os limites infinitos.Exercícios: lista 10, todos exceto questões 4 e 10.

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