Download - BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

Transcript
Page 1: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

BAB II

TEORI DASAR

2.1 Teori Dasar Metode VLF Secara teoritis, dasar metode VLF menggunakan teori perambatan

gelombang elektromagnetik dari persamaan Maxwell dalam bentuk hubungan

vektor medan listrik dan medan magnetik, yaitu:

BEt

∂∇× = −

∂ (2.1)

DH Jt

∂∇× = +

∂ (2.2)

Dimana E adalah medan listrik (V/m), B adalah induksi magnetik

(Wb/m2), t adalah waktu (detik), H adalah medan magnetik (A/m), J adalah

rapat arus listrik (A/m2) dan D adalah pergeseran listrik (C/m).

Persamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan listrik timbul akibat

medan magnetik yang berubah sebagai fungsi waktu. Sedangkan persamaan (2.2)

menunjukkan bahwa medan magnetik yang terjadi dalam suatu ruang ditimbulkan

oleh aliran arus, serta medan magnetik berbanding lurus dengan arus listrik

totalnya.

Bila dalam medium homogen isotrop dimana B Hμ= , D Eε= , dan

J Eσ= , maka persamaan (2.1) dan (2.2) dapat disederhanakan menjadi:

HEt

μ⎛ ⎞∂

∇× = − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (2.3)

EH Et

σ ε⎛ ⎞∂

∇× = + ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (2.4)

Dimana μ adalah permeabilitas magnetik (H/m), ε adalah permitivitas

(F/m), σ adalah konduktivitas (ohm/meter), dan ω adalah frekuensi sudut

medan.

6

Page 2: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

Dengan menggunakan operasi curl pada persamaan (2.3) dan (2.4) serta

vektor identitas 2( ) ( )xA A∇× ∇ = ∇ ∇ −∇i A , akan didapatkan:

( )2

22

E EE Ht t

μ σμ εμ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞∇ = ∇× = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠ t

∂⎟∂ ⎠

(2.5)

( ) ( )2

22

H HH E Et t

σ ε σμ εμ⎛ ⎞ ⎛∂ ∂⎛ ⎞∇ = ∇× − ∇× = +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ t

⎞∂⎟∂ ⎠

(2.6)

Apabila fungsi waktunya dipilih sebagai fungsi sinusoidal dengan

2 fω π= , maka persamaan (2.5) dan (2.6) dapat disederhanakan menjadi: 2 E i E E2ωμσ ω εμ∇ = − (2.7)

2 H i H H2ωμσ ω εμ∇ = − (2.8)

Persamaan (2.7) dan (2.8) adalah persamaan gelombang elektromagnetik

untuk perambatan vektor medan listrik dan magnetik di dalam medium homogen

isotropik yang memiliki konduktivitas σ , permeabilitas μ dan permitivitas ε .

Jika gelombang elektromagnetik melewati benda konduktif

berkonduktivitas rendah, maka: 2 2E Eω εμ∇ ≈ − , 2 2H Hω εμ∇ ≈ − (2.9)

Dan apabila gelombang elektromagnetik melewati benda konduktif

berkonduktivitas tinggi, maka:

2 EE i Et

μσ ωμ∂∇ ≈ ≈

∂σ , 2 HH i H

tμσ ωμσ∂

≈∂

∇ ≈ (2.10)

Untuk menyelesaikan pesamaan (2.10), diasumsikan bahwa gelombang

elektromagnetik merambat pada sumbu z, sehingga,

0( , ) i t mzyH z t H e ω += (2.11)

dengan 0H merupakan kuat medan magnet primer, dan 2m iωμσ= atau:

(1 ) (1 )2

m i ωμσ= ± + = ± + i a (2.12)

dengan 2

a ωμσ= . Karena H harus terdefinisi pada z = +∞ , sehingga,

(1 ) ( )0 0

i t j az az i t azyH H e H eω − + − + −= = ω

(2.13)

7

Page 3: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

atau

0 cos( )azyH H e t azω−= − (2.14)

Persamaan (2.14) merupakan persamaaan gelombang elektromagnetik pada

bidang z (sumbu vertikal).

2.2 Prinsip Dasar Metode VLF Medan elektromagnetik primer sebuah pemancar radio, memiliki

komponen medan listrik vertikal PzE dan komponen medan magnetik horizontal

PyH tegak lurus terhadap arah perambatan sumbu x. Medan elektromagnetik yang

dipancarkan antena pemancar selanjutnya akan diterima stasiun penerima dalam

empat macam perambatan gelombang, yaitu: gelombang langit, gelombang

langsung, gelombang pantul dan gelombang terperangkap. Yang paling sering

ditemui pada daerah survey adalah gelombang langit.

Pada jarak yang cukup jauh dari antena pemancar, komponen medan

elektromagnetik primer dapat dianggap sebagai gelombang yang berjalan secara

horizontal. Jika di bawah permukaan terdapat suatu medium yang konduktif,

maka komponen medan magnetik dari gelombang elektromagnetik primer akan

menginduksi medium tersebut sehingga akan menimbulkan arus induksi (Eddy

Current), SxE .

Arus Eddy akan menimbulkan medan elektromagnetik baru yang disebut

medan elektromagnetik sekunder, SH , yang mempunyai komponen horizontal

dan komponen vertikal. Medan magnetik ini mempunyai bagian yang sefase (in-

phase) dan berbeda fase (out-of-phase) dengan medan primer. Adapun besar

medan elektromagnetik sekunder sangat tergantung dari sifat konduktivitas

benda di bawah permukaan.

8

Page 4: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

Gambar 2.1 Distribusi medan elektromagnetik untuk metode VLF dalam polarisasi listrik dengan sinyal di atas sebuah dike konduktif vertikal (diambil dan digambar ulang dari Bosch dan Muler, 2001)

2.2.1 Metode Very Low Frequency-Electromagnetic (VLF-EM)

Gelombang EM yang terdeteksi oleh antena penerima merupakan nilai

medan magnetik total RH dari medan primer PH yang langsung menjalar

melalui udara ataupun yang dipantulkan oleh ionosfer bumi, dan medan sekunder

SH hasil induksi elektromagnetik pada konduktor, dimana PH > SH . Sehingga

besar SH dan RH bergantung pada ruang, waktu dan frekuensi. Dikarenakan

kondisi medan jauh, besar pH tidak tergantung terhadap ruang. Respon EM

yang terukur pada penerima akan memiliki beda fase yang berbeda antara medan

primer dan medan sekunder, secara matematis dapat ditulis:

)( ϕωω −+=

+=ti

Sti

PR

SPR

eHeHH

HHH (2.15)

dengan frekuensi pemancar ( )πω 2/=f dan pergesaran fase (ϕ ) antara

komponen medan magnetik primer dan sekunder. Informasi ini dapat diolah

untuk menentukan ukuran dan nilai konduktivitas dari suatu konduktor yang

terdapat dibawah permukaan bumi.

9

Page 5: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

Adapun ungkapan dalam bentuk vektor, komponen-komponen medan

magnetik mempunyai bentuk :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

+⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

Sz

SyPy

Rz

Ry

H

HH

H

H0

0

00

(2.16)

Hasil dari pengukuran metode VLF–EM adalah inphase dan quadrature yang

merupakan rasio dari /Rz RyH H dan merefleksikan perubahan distribusi

resistivitas di bawah permukaan

2.2.2 Metode Very Low Frequency-Electromagnetic-vertical Gradient

(VLF-EM-vGRAD)

Dikarenakan medannya yang terletak jauh, medan magnetik primer tidak

tergantung terhadap ketinggian z:

)(zfH Py ≠ (2.17)

Sehingga medan magnetik primer menghasilkan perbedaan komponen

medan magnetik resultan horizontal RyH pada 2 ketinggian yang berbeda:

)()( 12 zHzHH RyRyRy −=Δ (2.18)

dengan )()( 21 zHzH RyRy < ketika 21 zz <

Melalui persamaan 2.16 kita peroleh:

)()(

))(())((

12

12

zHzHH

zHHzHHH

SySyRy

SyPySyPyRy

−=Δ

+−+=Δ (2.19)

Berdasarkan persamaan (2.19) kita mengetahui bahwa RyHΔ hanya

ditentukan oleh medan magnetik sekunder yang disebabkan oleh benda

konduktif di bawah permukaan.

10

Page 6: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

2.3 Fase dan Polarisasi Ellips Pada saat gelombang primer masuk kedalam medium, gaya gerak listrik

(ggl) se , akan muncul dengan frekuensi yang sama, tetapi fasenya tertinggal 900

Gambar 2.2 menunjukkan diagram vektor antara medan primer P dan ggl

induksinya.

Gambar 2.2 Hubungan amplitudo dan fase gelombang sekunder S dan gelombang primer P (Kaikonen, 1979).

Andaikan Z R i Lω= + adalah impedansi efektif sebuah konduktor dengan

tahanan R dan induktans L, maka arus induksi (Eddy current) akan menjalar

dalam medium dan menghasilkan medan sekunder S. Medan S tersebut memiliki

fase yang tertingal sebesar φ yang besarnya tergantung dari sifat kelistrikan

medium:

tan /L Rφ ω= (2.20)

Total beda fase antara medan P dan S akan menjadi 900 + tan /L Rφ ω= .

Berdasarkan hal ini dapat dikatakan bahwa, jika terdapat medium yang

sangat konduktif, maka beda fasenya akan mendekati 1800 , dan jika medium

sangat resistif, maka beda fasenya mendekati 900.

Kombinasi antara P dan S akan membentuk resultan R. Komponen R

yang sefase dengan komponen P ( cosR α ) disebut sebagai komponen real (in-

phase) dan komponen yang tegak lurus P ( Rsinα ) disebut sebagai komponen

imajiner (out-of phase/quadrature). Perbandingan antara komponen real dan

imajiner dinyatakan dalam persamaan:

11

Page 7: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

Re tan /Im

L Rφ ω= = (2.21)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa jika semakin besar perbandingan

Re/Im, semakin besar sudut fasenya, maka konduktor tersebut semakin baik, dan

sebaliknya jika semakin kecil perbandingan Re/Im, semakin kecil sudut fasenya,

maka konduktor tersebut semakin buruk.

Gambar 2.3 Polarisasi ellips akibat kehadiran benda konduktif pada bidang medan electromagnetic (Sacit,1981)

Jika medan magnet horizontal adalah Hx dan medan magnetik vertikalnya

adalah Hz, maka besarnya sudut tilt dapat ditunjukkan seperti pada Gambar 2.3,

yang besarnya sebagai berikut :

12

2( / ) cos1/ 2 tan1 ( / )

z x

z x

H HH H

φα − ⎡ ⎤Δ= ± ⎢ ⎥−⎣ ⎦

x100% (2.22)

dan ellipsitasnya diberikan sebagai:

2

1

HH

ε =

atau:

12

Page 8: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

21

sin 100%( )

z xH HH

φε Δ= × (2.23)

dan

z xφ φ φΔ = −

dimana zH dan xH adalah resultan komponen medan horizontal, H1 dan H2

adalah sumbu mayor dan minor dari polasarisasi elips, dan zφ dan xφ adalah fase

komponen medan magnetik horizontal dan vertikal.

Pada penelitian ini data yang terukur pada alat VLF adalah : inphase,

quadrature, tilt-angle dan total-field. Kontras anomali yang terukur dapat

disebabkan oleh adanya batuan terisi air yang lebih konduktif atau adanya batuan

berongga terisi udara yang lebih resistif dari lingkungan kars. Dengan parameter

tersebut diharapkan anomali akibat aliran sungai bawah permukaan dapat

diperlihatkan dengan jelas.

2.4 Gangguan Terhadap Sinyal VLF Sumber gangguan utama pada proses pengukuran VLF adalah adanya

radiasi medan elektromagnetik akibat kilat baik ditempat yang dekat maupun di

tempat yang jauh dari daerah pengukuran. Pada frekuensi VLF, radiasi medan ini

dapat melemahkan sinyal yang dipancarkan oleh pemancar. Gangguan ini

dicirikan dengan naiknya kuat medan listrik vertikal dan medan horizontal secara

tiba tiba.

Gangguan kedua adalah variasi harian medan elektromagnetik bumi,

dimana terjadi pergerakan badai dari arah timur ke barat yang terjadi pada siang

hingga sore hari menjelang malam. Untuk daerah sekitar Australia, gangguan

minimum terjadi pada bulan Mei-Juli, dan gangguan maksimum terjadi pada

jam 08.00 waktu lokal, kemudian merambat naik hingga maksimum pada jam

16.00 waktu lokal (McNeill, 1991).

13

Page 9: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

2.5 Tahapan Pengolahan Data VLF Agar data VLF lebih mudah diinterpretasi, data lapangan hasil pengukuran

harus diolah terlebih dahulu. Pada pengukuran metode VLF, topogarafi dan

gangguan (noise) di lapangan dapat mempengaruhi nilai VLF yang terukur.

Sehingga diperlukan koreksi agar data yang diolah dapat benar-benar

menggambarkan anomali akibat benda konduktif di lapangan.

2.5.1 Koreksi Topografi

Pengukuran VLF pada penelitian ini dilakukan pada daerah kars Gunung

Sewu, Gunung Kidul yang memiliki topografi relatif bervariasi. Topografi

tersebut dicirikan oleh puluhan ribu bukit batu gamping berketinggian antara 20-

50 meter yang didominasi oleh bangun kerucut. Puncak kerucut bisa membulat

atau lancip, tergantung keadaan stratigrafinya.

Jika topografi daerah penyelidikan tidak datar, maka ada 2 hal yang

mempengaruhi hasil pengukuran data VLF:

1. Pada bidang miring medan sekunder akan sejajar dengan bidang miring

tersebut, sedangkan medan primer akan tetap horizontal. Akibatnya

resultan kedua medan tersebut akan mengikuti kemiringan topografi

(Baker dan Myers, 1980).

2. Peristiwa pemantulan medan primer oleh bidang miring, pantulan ini akan

bersuperposisi dengan medan primer semula.

Efek topografi tersebut diperlihatkan pada Gambar 2.4.

Pada penelitian ini data VLF dikoreksi topografi dengan cara Baker dan

Myers. Koreksi ini berdasarkan studi model laboratorium, yaitu dengan

meletakan posisi benda konduktif pada kemiringan topografi yang bervariasi,

pengaruh topogarafi berbanding lurus terhadap kemiringannya. Sehingga

hubungan antara kemiringan dengan besarnya koreksi topografi dapat

diperlihatkan pada Gambar 2.5.

14

Page 10: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

Gambar 2.4 Efek topografi pada aliran arus VLF dan medan magnetik: (a) Polarisasi medan listrik , (b) Polarisasi medan magnetik (McNeil dan Labson, 1987)

Gambar 2.5 Hubungan antara kemiringan lereng dengan besarnya koreksi topografi (Baker dan Myers, 1980)

15

Page 11: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

Adapun prosedur koreksi tofografi dari Baker dan Myers tersebut adalah

sebagai berikut: komponen real dan imajiner hasil pembacaan dirata-ratakan dan

hasilnya diletakan pada posisi tengahnya. Kemudian koreksi topografi yang

sesuai dengan kemiringannya ditambahkan pada hasil perata-rataan sebelumnya.

Secara matematis dituilis sebagai berikut :

TCRRR ±+

= )2

%%( 21)2,1( (2.24)

dimana: R1 adalah pembacaan data VLF pada stasiun 1 (%)

R2 adalah pembacaan data VLF pada stasiun 2 (%)

TC (topograhic correction) adalah koreksi topografi(%)

2.5.2 Filter Moving Average

Metode filter moving average digunakan untuk memisahkan data yang

mengandung frekuensi tinggi dan rendah. Data yang mengandung frekuensi tinggi

diasumsikan sebagai sinyal, sedangkan data berfrekuensi rendah diasumsikan

sebagai gangguan (noise). Metode ini dilakukan dengan cara merata-ratakan nilai

anomalinya dibagi dengan jumlah jendela yang digunakan. Atau secara matematis

dapat ditulis sebagai berikut: ^ 1 i k

iij i k

yN

+

= −

= y∑ (2.25)

dengan 12

Nk −= ,

dimana: k adalah jumlah pengurangan data yang hilang akibat dilakukan filtering

dan N adalah panjang interval smoothing atau lebar jendela.

2.5.3 Filter Fraser

Titik dimana tilt-angle mengalami persilangan dari polaritas positif

menjadi negatif diinterpreatasi sebagai posisi konduktor yang menyebabkan

anomali. Dalam satu profil, persilangan ini terlihat cukup jelas, namun ketika

diplot kedalam bentuk peta, letak dari semua titik nol (inflection point) tidak dapat

diidentifikasi dengan mudah. Salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah

16

Page 12: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

dengan menggunakan filter yang ditemukan oleh Fraser (1969) yang dinamakan

filter Fraser. Filter ini didesain untuk membagi data tilt angle dengan 900,

sehingga persilangan menjadi maksimum (peak). Filter ini juga melemahkan

panjang gelombang yang terlalu besar untuk mengurangi efek topografi. Selain

itu, filter ini mengurangi efek pelemahan dari variasi temporal kuat sinyal

pemancar.

Prinsip dasar dari filter Fraser adalah menggunakan 4 buah titik yang

berurutan, dengan cara mengurangkan jumlah dari nilai data ke-3 dan ke-4

terhadap jumlah dari nilai data ke-1 dan ke-2. Kemudian diplot pada titik tengah

antara data ke-2 dan data ke-3. Atau secara matematis filter Fraser dapat

dilakukan sebagai berikut:

)()( 132 +++ +−+= nnnnn MMMMF (2.26)

Contoh penerapan filter Fraser dapat dilihat pada Gambar 2.6.

Gambar 2.6 Respon pengukuran dari model sintetik dengan mengaplikasian filter Fraser. Titik-titik hijau memperlihatkan posisi benda pada sumbu–x, untuk : a) Data sintetik VLF-EM, terdiri dari data real (merah) dan imaginer (biru), b) Data terfilter Fraser dan (c) Model benda resistivitas dengan harga 100 ohm-m.

17

Page 13: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

2.5.4 Filter Karous-Hjelt

Filter Karous-Hjelt merupakan filter yang dikembangkan dari konsep

medan magnetik yang berhubungan dengan aliran arus listrik. Filter ini

dikembangkan dari filter statistika linear berdasarkan atas filter Fraser dan teori

medan linear dari Bendat dan Piersol. Filter ini menghasilkan profil kedalaman

dari rapat arus yang diturunkan dari nilai komponen vertikal medan magnetik

pada setiap titik pengukuran. Adapun profil kedalaman dapat dihitung dengan

menggunakan persamaan:

3n2n1n1-n2-n3-nn M 0.102M 0.059-0.561M 0.561M- M 0.059 -0.102MKH +++ +++= (2.27)

Dimana Mn = Hz / Hx adalah nilai yang terukur pada alat.

Filter Karous-Hjelt menghitung sumber arus akivalen pada kedalaman

tertentu yang umumnya dikenal sebagai rapat arus. Posisi rapat arus ini dapat

menjadi alat untuk menginterpreatasi lebar dan kemiringan sebuah benda

anomali dengan kedalaman tertentu. Contoh penerapan filter Karous-Hjelt dapat

dilihat pada Gambar 2.7.

Gambar 2.7 Rapat arus ekivalen yang dihitung dengan menggunakan filter Karous-Hjelt: (a) inphase dan (b) quadrature. Kotak bergaris hitam adalah posisi benda anomali sebenarnya.

18

Page 14: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

2.6 Pemodelan Pemodelan ke depan (forward modelling) dan ke belakang (inverse

modelling) adalah adalah proses yang saling berkebalikan satu sama lain.

Pemodelan ke depan menggambarkan respon penyebaran gelombang dari

model yang kita buat. Pemodelan ke belakang mencoba mengembalikan

pengaruh dari perambatan gelombang untuk menghasilkan suatu gambaran

bawah permukaan bumi.

Pada penelitian ini baik pemodelan ke depan, maupun pemodelan ke

belakang dilakukan dengan algoritma elemen hingga (finite element). Finite

elemen adalah suatu cara untuk menyusun solusi pendekatan dari masalah nilai

batas. Ide dasarnya adalah memperoleh solusi pendekatan suatu masalah yang

kompleks dengan mengubahnya menjadi masalah yang sederhana terlebih

dahulu. Dengan ide ini dimungkinkan untuk melakukan perubahan bentuk

persamaan model dari bentuk persamaan differensial ke bentuk persamaan linear,

dengan kata lain mengubah suatu masalah dengan derajat kebebasan tak hinggga

menjadi masalah yang memiliki derajat kebebasan berhingga (Burhan, 2005).

Pada metode finite elemen, daerah pengamatan dibentuk menjadi sebuah

matriks yang dibagi menjadi elemen-elemen berbentuk kotak. Oleh karena itu

nilai spasi pada arah vertikal dan horisontal dan pembagian blok dari zona

interest harus ditetapkan (Gambar 2.8). Pada daerah yang memiliki perubahan

konduktivitas dilakukan diskretisasi yang tinggi karena disekitar daerah ini

terjadi variasi nilai medan yang besar.

19

Page 15: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

Gambar 2.8 Mesh finite elemen (garis biru ) untuk pengukuran dari 0-460. Pada daerah konduktif (kotak bergaris merah) dilakukan pendiskretisasian yang lebih rapat karena disekitar ini terjadi variasi nilai medan yang besar.

2.6.1 Pemodelan ke Depan

Untuk menggambarkan gelombang bidang, difusi dan medan

elektromagnetik harmonik, dapat diungkapkan dengan menggunakan persamaan

Maxwell : 2 2

2 2 2 2y y

y

E Ei E

x zωμσ

∂ ∂+ =

∂ ∂ (2.28)

1 1y yy

H Hi E

x x z zωμσ

σ σ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.29)

dimana: Ey adalah komponen y dari medan listrik dan Hy adalah komponen y

dari medan magnetik yang menunjukkan arah srike, sedangkan i , ω , μ , dan σ

secara berurutan adalah frekuensi angular, permeabilitas magnetik, dan

konduktivitas listrik. Untuk menyelesaikan medan yang tak diketahui syarat

batas ketidakhomegenan Dirichlet diaplikasikan untuk menetapkan nilai medan

layer horisontal half space terhadap nilai batas.

Penentuan komponen medan xH , zH untuk polarisasi medan listrik

(polarisasi-E) , xE dan zE untuk polarisasi medan magnetik (polarisasi-H) dapat

ditentukkan dengan:

20

Page 16: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

1 yx

EH

iωμ z∂

=∂ , dan

1 yz

EH

iωμ x∂

= −∂ (2.30

1 yx

HE

zσ∂

= −∂

, dan 1 y

x

HE

xσ∂

=∂

(2.31)

Nilai resistivitas semu aρ dan fase φ untuk polarisasi-E dan polarisasi-H dapat

dihitung dengan menggunakan rumus: 2

1 ya

x

EH

ρωμ

= , 1 ( / )

tan( / )

y x

y x

imag E Hreal E H

φ −⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟ (2.32)

21 x

ay

EH

ρωμ

= , 1 ( / )

tan( / )

x y

x y

imag E Hreal E H

φ −⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ ⎠

⎟⎟ (2.33)

Bagian real dan imaginer dari fungsi transfer magnetik pada VLF dapat dihitung

dengan rumus:

Re 100%z

x

HrealH

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.34)

Im 100%z

x

HimagH

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.35)

2.6.2 Pemodelan ke Belakang

Pemodelan ke belakang pada penelitian ini dilakukan dengan metode

damped least-squares dengan tujuan untuk meminimalkan fungsi, dengan

menggunakan rumus:

( ) ( ) ( )20

T Td S p d S p p p pψ λ= Δ − Δ Δ − Δ + Δ Δ − (2.36)

dimana dΔ adalah obs cald d− menerangkan ketidakcocokan antara data observasi

dan data yang dihitung, sedangkan S dan p secara berurutan menunjukkan

sensitivitas matriks dan parameter model yang diperbaharui. Parameter Langrange

λ dimasukan untuk menentukan parameter model yang diperbaharui terhadap

jumlah batas 0p . Turunan parsial / jpψ∂ ∂Δ dikehendaki menjadi nol untuk

21

Page 17: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

semua sell model j agar memperoleh fungsi minimum dari ψ . Hasil persamaan

normalnya adalah :

( )TS S I p S dλ T+ Δ = Δ (2.37)

dimana I adalah matriks identitas. Persamaan ini diselesaikan dengan cara

mengaplikasikan penyelesaian langsung untuk setiap tahap iterasi kedalam

persamaan 2.28 dan 2.32. Untuk mendapatkan penyelesaian yang cepat,

parameter Langrange diturunkan menjadi lebih kecil dengan faktor yang lebih

kecil dari 1.

Error root mean square 2χ dapat dihitung dengan persamaan :

2

1

1 n

ii

RMS dn =

= Δ∑ (2.38)

2

22

1

1 ni

i i

dn

χε=

Δ= ∑ (2.39)

dimana iε adalah standar deviasi dan n adalah jumlah data. Iterasi akan

dihentikan jika memenuhi kriteria-kriteria berikut: (1) Iterasi mencapai jumlah

yang kita tetapkan (2) ketika error RMS tidak mengalami perubahan. Gambar 2.9

memperlihatkan contoh hasil pemodelan ke belakang dari akibat benda konduktif.

2.6.3 Perhitungan Sensitivitas

Element Sij dari matriks sensivitas S untuk pengamatan ke-i dan

parameter model ke-j dihitung menggunakan metode persamaan sensitivitas,

untuk perhitungan pemodelan.

( ) ( )( )

1

lni i

ij T Ti i j

K Ma bS K Ma u b u uσ

−⎛ ⎞∂ +⎛ ⎞⎜= − + −⎜ ⎟ ⎜ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟⎟ (2.40)

dimana ia dan ib adalah vektor kolom untuk menghitung medan listrik dan

medan magnetik dalam kasus Polarisasi-E dan H-polasisasi untuk datum ke–i dari

u. Nilai ai dibentuk dari penyederhanaan yang bernilai 1 pada posisi datum ke 1

22

Page 18: BAB II TEORI DASAR 2.1 Teori Dasar Metode · PDF filePersamaan (2.1) mempunyai arti fisis bahwa medan ... dan ω adalah frekuensi sudut medan. 6. Dengan menggunakan ... 2.2.1 Metode

dan 0 untuk node yang lainnya. Jika observasi tidak diletakan secara tepat pada

node grid , maka nilai medan diinterpolasi berdasarkan 2 node terdekatnya.

Gambar 2.9 Model resistivitas yang diperoleh dengan pemodelan ke belakang dari model sintetik. Kotak bergaris hijau adalah model yang digunakan untuk menghasilkan data sintetik.

Dalam melakukan pemodelan hendaknya parameter yang dimasukan

disesuaikan dengan kondisi real lapangan, karena adakalanya hasil yang diperoleh

dari pemodelan secara analitik memiliki error yang kecil, tetapi tidak sesuai

dengan keadaan geologi sebenarnya, sehingga diperlukan data pendukung lainnya

untuk memasukan parameter yang cocok.

23