Kinematika 1
Zadatak: Kojom brzinom se giba pješak ako 4 km prije�e za 35 min.
min 35 tkm 4s
==
v = ?
Jednoliko pravocrtno gibanje: s = v . t � (m/s) 9,16035
104ts
v3
=⋅
⋅==
Zadatak: Kolika je obodna brzina to�ka A koja se giba po kružnici promjera 240 cm s 60 okreta u
minuti?
d = 240 cm � r = d/2 = 120 cm = 1,20 m
n = 60 o/min � (1/s) 260
60260
n2 π=⋅π=⋅π=ω
vA = ?
(m/s) 54,7220,1rvrv
A =π⋅=ω⋅=ω⋅=
Zadatak: Po kružnici promjera 12 m giba se to�ka M obodnom brzinom 6 m/s. Koliko iznosi broj
okreta to�ke u minuti?
d = 12 m � r = d/2 = 6 m v = 6 m/s n = ?
okret/min. 6,92
160
260
n
(1/s) 166
rv
rv
260
n 60
n2
=π⋅=
πω⋅=
===ω�ω⋅=
πω⋅=�
⋅π=ω
Kinematika 2
Zadatak: Satelit se giba oko Zemlje jednoliko konstantnom brzinom od 8 km/s. Vrijeme jednog obilaska oko Zemlje iznosi 1h i 36 min. Uz pretpostavku da je putanja satelita kružnica i polumjer Zemlje 6370 km odredite visinu iznad površine Zemlje po kojoj se giba satelit.
km 968 h 6370-7338r - R h
km 7338 257608
2tv
R
tvR2stvs :gibanje kružno Jednoliko
r - R h hrR?h
km 6370rs 5760603636001min 36 ih 1t
s/km 8v
===
=π
⋅=π⋅=
⋅=π=⋅=
=�+===
=⋅+⋅===
Zadatak: Satelit se giba oko Zemlje jednoliko konstantnom brzinom od 8 km/s. Vrijeme jednog
obilaska oko Zemlje iznosi 1h i 36 min. Pretpostavljamo da je putanja satelita kružnica i polumjer Zemlje 6370 km. Koliko je puta kutna brzina satelit ve�a od kutne brzine Zemlje pri njenom okretanju oko vlastite osi.
15:5760
8640086400
2:
57602
:
s 000072685,086400
2601440
12
60n2
: Zemljebrzina Kutna
min.okr
1440
1n min 14406024h 42 :osi vlastitekoo emljaZ
s 00109,057602
60961
2
60n2
:satelita brzina Kutna
60n2
tt :gibanje kružno (Jednoliko
min.okr
961
nmin 9636601min 36 i h 1 :obilazakjedan Satelit
Zs
Zs
1-ZZ
Z
1-ss
s
=ωω
=ππ=ωω
=π=⋅π
=⋅π=ω
=�=⋅=
=π=⋅π
=⋅π
=ω
⋅π=ϕ=ω�⋅ω=ϕ
=�=+⋅=
Kinematika 3
Zadatak: Satelit se giba oko Zemlje na visini od 968 km jednoliko konstantnom brzinom od 8 km/s. Vrijeme jednog obilaska oko Zemlje iznosi 1h i 36 min. Uz pretpostavku da je putanja satelita kružnica i polumjer Zemlje 6370 km odredite ubrzanje satelita.
2222
n
t
2n
2t
m/s 72,8km/s 00872,073388
Rv
a
0a :gibanje kružno Jednoliko
aaa
?akm 73389686370hrR
km/s 8v
====
=+=
==+=+=
=
Ili preko kutne brzine:
22
32n
t
2n
2t
1-ss
s
m/s 72,857602
107338Ra
0a :gibanje kružno Jednoliko
aaa
s 00109,057602
60961
2
60n2
:satelita brzina Kutna
min.okr
961
nmin 9636601min 36 i h 1
=��
���
� π⋅⋅=ω⋅=
=+=
=π=⋅π
=⋅π
=ω
=�=+⋅=
Zadatak: Na slici je zadan s-t dijagram. Nacrtajte
v-t i a-t dijagrame i ozna�ite o kakvim se gibanjima radi.
I. t0 = 0 s0 =0
t1 = 4 s s1 =100 m Jednoliko gibanje: s = v . t
m/s 254
100ts
ttss
v01
01.sr I ==
∆∆=
−−
=
II. t1 = 4 s s1 =100 m t2 = 10 s s2 =100 m
stajanje m/s 060
ts
ttss
v12
12.sr II ==
∆∆=
−−
=
II. t2 = 10 s s2 = 100 m
t3 = 15 s s3 = 0
smjeru suprotnomu gibanje jednoliko
m/s 2051000
ts
ttss
v23
23.sr III −=−=
∆∆=
−−
=
Brzine su konstante što zna�i da nema ubrzanja (a = 0) Na
Kinematika 4
Zadatak: Dva automobila gibaju se jednoliko po
pravcu brzinama od 80 km/h i 50 km/h. Oba automobila po�inju se gibati istovremeno s tim da razmak izme�u prvog i drugog automobila iznosi 2 km. Odredite vrijeme T kada �e prvi automobil susti�i drugi.
v1 = 80 km/h v2 = 50 km/h � s0 = 2 km T = ? Jednoliko pravocrtno gibanje:
( )
( ) ( ) [ ]
s 2403600151
T
h 151
5080
2vv
st
stvv
tvstv tvss
ss tvs
21
0
021
201202
2111
=⋅=
=−
=−
=
=⋅−
⋅+=⋅⋅+==⋅=
Zadatak: �ovjek baci željeznu kuglicu A u bunar. Nakon 1 s baci i drugu kuglicu B ali ovaj pata s po�etnom brzinom od 15 m/s prema dole. a) Koliko �e vremena trebati drugoj kuglici (ra�unaju�i od
trenutka kada je ba�ena) da sustigne prvu? b) Na kojoj �e se udaljenosti od polazne to�ke to dogoditi
(pravac gibanja orijentirati prema dole)?
Kuglica B
( ) ( )( )
( ) m 43,1894,1g21
s1tg21
ss isto
m 43,1894,09,494.015t9,4t15ss b)
s 94,0 t m/s 9,8g
4,9t 5,2 :pad Slobodni1t2t9,4t9,4t15 ? s )b
1t2t8,921
1tg21
s :A Kuglica ?t )a
t9,4t15tg21
tvs :B Kuglica m/s) 15vv
ss a) s 1tt
2A
2A
22B
2
22
22A
220B)B(00
AB)B(
=⋅==+⋅==
=⋅+⋅=⋅+⋅==
==
=⋅++⋅=⋅+⋅=
++⋅=+⋅==
⋅+⋅=⋅+⋅===
===
1 2
Kinematika 5
Zadatak: Olovna kuglica slobodno pada i projuri pokraj prvog promatra�a koji se nalazi na tornju na visini od 300 m iznad tla. Nakon dvije sekunde projuri pokraj drugog promatra�a koji se nalazi na visini od 200 m iznad tla vertikalno ispod prvog promatra�a. Otpor zraka zanemarujemo. Odredite: a) s koje je visine kuglica po�ela padati b) kada �e pasti na tlo c) kojom �e brzinom kuglica udariti na tlo (g = 9,8 m/s2).
? vc)? t b)
h300 Hs ?H )a m 100200300h
s 2ttt
1
12
==
+====−=∆
=−=∆
( )g2v v
g2tgttgv v
tgv
tg v.1
12
1212
22
11
⋅=−⋅=∆⋅=−⋅=−
⋅=⋅=
100v v
2 2
vv100
2vv
v tvsh .2
21
21
21.sr.sr
=+
⋅+=
+=∆⋅=∆=∆
m/s 57,8645,8239,82H2g v:Brzina c)
s 83,89,8
45,3822gH2
gs2
T :pada vrijeme Ukupno )b
m 45,38245,82300h 300Hs :pada visina Ukupnaa)
m/s 45,82g22,40
g2v
h hg2 v
m/s 2,40v100 v
m/s 8,59 v
6,119v2
100v v2 .ad
6,19g2v v1 .ad
1
221
111
21
2
2
21
12
=⋅⋅=⋅=
=⋅=⋅=⋅=
=+=+==
===�⋅=
=−=
==⋅
=+=⋅=−
gs2
t tg21
s
tg v:pad Slobodni
2 =�⋅=
⋅=
Kinematika 6
Zadatak: To�ka A na obodu kota�a giba se brzinom od 2 m/s, dok se to�ka B, koja je udaljena od to�ke A 20 cm, giba brzinom od 0,5 m/s. a) Koliko iznosi promjer kota�a? b) Kojom kutnom brzinom rotira kota�? vA = 2 (m/s) vB = 0,5 (m/s) AB = 20 cm � 0,20 m a) d = ? b) ω = ?
a)
( )( )
( )
m 0,54 2r d
m 27,05,02
20,02vv20,0v
r
20,0vvvr
rv20,0v rv
rv20,0rv
20,0r:rv:v
BA
A
ABA
BAA
BA
BA
==
=−⋅=
−⋅
=
⋅=−⋅⋅=⋅−⋅
⋅=−⋅−=
b) (1/s) 5,7
27,02
rv
rv
A
A
===ω
⋅ω=
Zadatak: Odredite koju je po�etnu brzinu imao automobil ako se pri jednolikom promjenljivom gibanju duž kružnice polumjera 100 m, njegova brzina smanjila na 18 km/h, a ubrzanje do 0,8 m/s2 za vrijeme od 40 sekundi.
?vs 40tm/s 0,8a
m/s 53600
1018 h/km 18v
m 100r
0
2
3
1
===
=⋅�=
=
s/m 4,35 v
s/m 4,354076,05tavv tavv v1 ad.
m/s 0,7625,08,0 aa a 2 .ad
m/s 25,01005
rv
a 3 ad.
rv
a 3.
aaa 2.
tav v1. :gibanje usporeno Jednoliko
0
t10t01
2222n
2t
222
n
2
n
2n
2t
t0
==⋅+=⋅+=�⋅−==
=−=−=
===
=
+=
⋅−=
Kinematika 7
Zadatak: Po zavoju polumjera 1000 m giba se vlak jednoliko usporeno. Njegova brzina u po�etku
gibanja po zavoju iznosila je 54 km/h. Nakon što je vlak prošao put od 500 m brzina mu se je smanjila na 36 km/h. Odredite ubrzanje vlaka: a) na po�etku gibanja b) na kraju gibanja.
?a
m/s 103600
1036v h/km 36v
m 500s
m/s 153600
1054v h/km 54v
m 1000r
3
11
3
00
=
=⋅=�=
=
=⋅=�=
=
Jednoliko usporeno gibanje: tavv .2
ta21
tvss .1
t0
2t00
⋅−=
⋅−⋅+=
3. Ukupno ubrzanje: r
va aaa
2
n2n
2t =+=
1. Tangencijalno „ubrzanje“ - retardacija:
2t
2
tt
2t
m/s 125,0405
t5
a s 40 t
500t 12,5
tt5
21
-t15500 1 .ad
t5
t1015
a ta-15 10 2 .ad
ta21
-t 150500 1 .ad
===�=
=⋅
⋅⋅=
=−=�⋅=
⋅⋅+=
Tangencijalno usporavanje – retardacija at = 0,125 m/s2 jer se radi o jednoliko usporenom gibanju je konstantno.
2. Normalno ubrzanje:
a) na po�etku gibanja 222
0)0(n m/s 225,0
100015
rv
a ===
b) na kraju gibanja 222
1)1(n m/s 100,0
100010
rv
a ===
a) Ukupno ubrzanje na po�etku gibanja:
2222)0(n
2t m/s 0,258225,0125,0aaa =+=+=
b) Ukupno ubrzanje na kraju gibanja: 2222)1(n
2t m/s 0,16100,0125,0aaa =+=+=
0s 0t za 0 ==−
Kinematika 8
Zadatak: Treba odrediti jednadžbu gibanja to�ke A i njezinu putanju. To�ka A nalazi se štapu BC, �iji se krajevi mogu gibati u pravcima dviju me�usobno okomitih osi x i y. Kut ϕ mijenja proporcionalno vremenu t.
t3 ⋅=ϕ
a) Zakon gibanja: x = f1(t); y = f2 (t) �? b) Putanja: y = f(x) �?
t3sinby t3cosa x
t3sinb sinBAy
t3cosacosCA x
gibanja Zakon )a
⋅=⋅=
⋅=ϕ⋅=
⋅=ϕ⋅=
b) Putanja – eliminiranje parametra t
1by
ax
/ t3sinby
/ t3cosax
t3sinby t3cosa x
2
2
2
2
2
2
=+
+=
=
⋅=⋅=
Putanja to�ke A je elipsa s poluosima a i b. Promjenom položaja to�ke A na štapu BC mijenja se i oblik elipse.
Kinematika 9
Zadatak: Gibanje to�ke zadano je jednadžbama: (m) t3sin2y(m) t3cos4x
⋅=⋅=
.
a) Nacrtajte putanju to�ke A. b) Odredite ubrzanje to�aka A1 i A2 koje se nalaze na pozitivnim odsje�cima koordinatnih osi x i y.
a) Putanja - eliminiranje parametra t
m 2b m 4a :elipse poluosi
1by
ax
: elipsa 14
y16x
t3sint3cos4
y16x
/t3sin2y
/t3cos4x
t3sin2yt3cos4x
2
2
2
222
2222
2
2
==
=+=+
+=+
+=
=
⋅=⋅=
b) Ubrzanje 2y
2x aaa +=
( )
( )
t3sin18a t3cos36a
t3sin36 ydt
yda t3osc312 x
dtxd
a
t3osc32 ydtdy
v 3tsin -34 xdtdx
v
t3sin2y t3cos4x
yx
2
2
y2
2
x
yx
−=−=
−⋅⋅===⋅⋅−===
⋅⋅===⋅⋅===
⋅=⋅=
••••
••
To�ka A1 – na pozitivnoj strani osi x
[ ]
)(m/s 36aaa 0a
)(m/s 36a
)0;4(A 4x t3cos4x 0t 0 t3sin 0y t3sin2y
22y
2x11,y
21,x
1
=+==
−=
=�⋅===�=⋅=
To�ka A2 – na pozitivnoj strani osi y
[ ]
)(m/s 18aaa )(m/s 18a
0a
)2;0(A 2y t3sin2y 2/3t 2/3t 0 t3cos 0x t3cos4x
22y
2x2
22,y
2,x
1
=+=−=
==�⋅=
π=π==�=⋅=
c) Odredite ubrzanje to�aka A3 i A4 koje se nalaze na negativnim odsje�cima koordinatnih osi x i y (doma�a
zada�a).
Kinematika 10
Zadatak: Jednadžbom: ��
���
� π+⋅=6
tsin3x zadano je gibanje materijalne to�ke. Izra�unajte amplitudu i
period osciliranja te nacrtajte dijagrame puta, brzine i ubrzanja u zavisnosti o vremenu.
��
���
� π+⋅−===π=ωπ==ω=
��
���
� π+⋅==��
���
� π+⋅=
⋅⋅⋅
⋅
6tsin3xva 2
2T 1 3r
6tcos3xv
6tsin3x
t 0 2�/6 5�/6 8�/6 11�/6 12�/6 t+�/6 �/6 3�/6 6�/6 9�/6 12�/6 13�/6
sin(t+�/6) 1/2 1 0 -1 0 1/2 x = 3 sin(t+�/6) 3/2 3 0 -3 0 3/2
cos(t+�/6) 2/3 0 -1 0 1 2/3 v = 3 cos(t+�/6) 2/33 0 -3 0 3 2/33 a = - 3sin(t+�/6) -3/2 -3 0 3 0 -3/2
Kinematika 11
Zadatak: Bubanj promjera D = 400 mm uvodi
se u rotaciju pomo�u tereta obješenog na užetu preba�enom oko bubnja. Teret se po�inje gibati bez po�etne brzine, s ubrzanjem a = 2 m/s2. Treba odrediti:
a) Kutnu brzinu i kutno ubrzanje bubnja (ω = ?, ε = ?) b) Ukupno ubrzanje to�ke na obodu bubnja u trenutku t.
a)
I. Teret a = 2 m/s2 jednoliko ubrzano gibanje - spuštanje v0 = 0 v = v0 + a . t v = 2 . t (m/s)
II. Bubanj D = 400 mm = 0,40 m � r = D/2 = 0,20 m
ω0 = 0
(rad/s) t100,20
t2rv
rv ⋅=⋅==ω�ω⋅=
Pri jednolikom spuštanju tereta bubanj �e se gibati jednoliko ubrzano ε = konst. ; ε > 0
)(rad/s 10
tt10
t t
t
2
0
=⋅=ω=ε�⋅ε=ω
⋅ε+ω=ω
Kinematika 12
b)
( )
( )
( ) 22
22n
t
442
242
222
nt
2n
2t
t101
t10
10tg
rr
aa
tg
1t1002t101020,0a
)(rad/s 10 )(rad/s t10 ra
rr
rr
va ra
aaa
⋅=
⋅=α
ωε=
ω⋅ε⋅==α
+⋅=⋅+=
=ε⋅=ωω+ε=
��
�
�
��
�
�ω⋅=ω⋅==ε⋅=
+=
Zadatak: Kolotura se okre�e 120 okr./min. Ako
brzina užeta iznosi 30 m/s. 0dredite promjer koloture? n = 120 okr./min. v = 30 m/s d = ? � d = 2 . r
m 4,78r2d
m 39,2430v
r
(rad/s) 460
120260
n2
vr rv
=⋅=
=π
=ω
=
π=⋅π=⋅π=ω
ω=�ω⋅=
Zadatak: Izra�unajte ubrzanje materijalne to�ke koja se giba po kružnici radijusa 1000 m brzinom
od 90 km/h. v = 90 km/h = 25 m/s r = 1000 m a = ?
222
n
t
2n
2t
m/s 625,0100025
rv
a a
konst. v0a
aaa
====
==
+=
Kinematika 13
Zadatak: Materijalna to�ka giba se po kružnici radijusa r = 1000 m ubrzavaju�i se u tangencijalnom smjeru ubrzanjem od 1 m/s2. Izra�unajte ukupno ubrzanje to�ke u trenutku kada brzina iznosi 90 km/h.
r = 1000m v = 90 km/h = 25 m/s at = 1 m/s2 a = ?
2222n
2t
222
n
2n
2t
m/s 18,1625,01aaa
m/s 625,0100025
rv
a
aaa
=+=+=
===
+=
Zadatak: Koliko je vremena potrebno da brzina od 90 km/h poraste na 120 km/h iz prethodnog
zadatka. v1 = 90 km/h = 25 m/s
v2 = 120 km/h = 33,3 m/s r = 1000m at = 1 m/s2 ∆ t = ? Jednoliko ubrzano gibanje: v = a . t
s 33,81
253,33a
vva
vt tav
t
12
tt =−=
−=∆=∆�∆⋅=∆
Top Related