Download - Asset Pricing Undergrad

Transcript

Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Τμήμα Χρηματοοικονομικής και Τραπεζικής

∆ιοικητικής

Αποτίμηση Αξιογράφων

Νοέμβριος 2007

©∆ημήτρης Μαλλιαρόπουλος

Καθηγητής e-mail: [email protected]

Περιεχόμενα:

Εισαγωγή: Το DNA των υποδειγμάτων αποτίμησης αξιογράφων ............................3 Ο καθορισμός του προεξοφλητικού επιτοκίου ............................................................7 Τιμή, απόδοση και προεξοφλητικό επιτόκιο ...............................................................11 Τιμολόγηση Μετοχών .................................................................................................... 15 Το υπόδειγμα καταναλωτή και ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης ......... 41 Το βασικό υπόδειγμα αποτίμησης ............................................................................... 43 Οριακός λόγος υποκατάστασης και στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης ... 45 Υπόδειγμα παρούσας αξίας με στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης................ 50 Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου ................................................................................. 52 ∆ιόρθωση τιμολόγησης για κίνδυνο............................................................................ 55 Στατιστικά δεδομένα και χαρακτηριστικά του στοχαστικού συντελεστή προεξόφλησης ................................................................................................................. 61 Αναμενόμενες αποδόσεις και beta............................................................................. 66 Το αποδοτικό όριο των επενδυτικών δυνατοτήτων της οικονομίας ..................... 68 Τι μας λένε τα δεδομένα της υπερβάλλουσας απόδοσης μετοχών για το μέσο και τη διακύμανση του Μ; ........................................................................................................ 72 Το παζλ του ασφάλιστρου κινδύνου των μετοχών ................................................... 73 Το παζλ του μηδενικού επιτοκίου κινδύνου.............................................................. 74 Είναι οι αποδόσεις προβλέψιμες; ................................................................................. 81 Γενίκευση: Άπειρος επενδυτικός ορίζοντας……………………………………………………………84 Στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης και πολυπαραγοντικά υποδείγματα αποτίμησης ..................................................................................................................... 86 Υποδείγματα με ετερογένεια…………………………………………………………………………………….101 ∆εσμευμένα και αδέσμευτα υποδείγματα αποτίμησης ............................................105 Υποδείγματα με συνάρτηση χρησιμότητας Epstein-Zin……………………………………….109 Βιβλιογραφία: ................................................................................................................ 119

Εισαγωγή: Το DNA των υποδειγμάτων αποτίμησης αξιογράφων

Η αποτίμηση αξιογράφων είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα αντικείμενα της

χρηματοοικονομικής. Ποιοι παράγοντες καθορίζουν τις τιμές και τις αποδόσεις

μετοχών, ομολόγων, εντόκων γραμματίων του δημοσίου και άλλων αξιογράφων;

Πως αλλάζουν τιμές και αποδόσεις στη διάρκεια του οικονομικού κύκλου; Γιατί

κάποια αξιόγραφα δίνουν μεγαλύτερες αποδόσεις από άλλα; Αυτά είναι μερικά

από τα ερωτήματα στα οποία η θεωρία αποτίμησης αξιογράφων προσπαθεί να

δώσει απαντήσεις.

Τα θεωρητικά υποδείγματα αποτίμησης είναι αρκετά και τα εφαρμοσμένα

υποδείγματα είναι ακόμη περισσότερα: CAPM, ICAPM, APT και παραγοντικά

υποδείγματα είναι μερικά από αυτά. Οι διαφορές μεταξύ των υποδειγμάτων αυτών

είναι σημαντικές τόσο όσον αφορά τις βασικές υποθέσεις πάνω στις οποίες

στηρίζονται όσο και όσον αφορά τους παράγοντες κινδύνου τους οποίους

θεωρούν σημαντικούς για την αποτίμηση αξιογράφων. Πέρα από τις διαφορές

τους όμως, το κεντρικό συμπέρασμα της βιβλιογραφίας των τελευταίων 10-15

ετών είναι ότι όλα αυτά τα υποδείγματα είναι διαφορετικές εκδόσεις ενός βασικού

υποδείγματος αποτίμησης, του υποδείγματος αποτίμησης αξιογράφων του

καταναλωτή (Consumption Capital Asset Pricing Model, C-CAPM). Το υπόδειγμα

αυτό είναι μια επέκταση του βασικού υποδείγματος της επιλογής κατανάλωσης

και αποταμίευσης σε δυο περιόδους της μικροοικονομικής θεωρίας. Στο

υπόδειγμα αυτό η αξία ενός τίτλου καθορίζεται από την οριακή χρησιμότητα του

καταναλωτή από την κατανάλωση των αναμενόμενων πληρωμών του τίτλου. Ο

συντελεστής προεξόφλησης των μελλοντικών πληρωμών είναι στοχαστικός

καθώς εξαρτάται από την οριακή χρησιμότητα του καταναλωτή η οποία αλλάζει

κατά τη διάρκεια του οικονομικού κύκλου. Όλα τα γνωστά υποδείγματα

αποτίμησης μπορούν να αναχθούν σε ειδικές περιπτώσεις αυτού του βασικού

υποδείγματος.

Η σημασία αυτής της πρότασης είναι πολλαπλή. Πρώτον, διότι όλα αυτά τα

υποδείγματα αποτίμησης δένουν μεταξύ τους πάνω σε μια συμπαγή θεωρητική

βάση. Ως αποτέλεσμα, η επιλογή των παραγόντων κινδύνου που καθορίζουν τις

αποδόσεις δεν είναι αυθαίρετη, αλλά συνδέεται με την οριακή χρησιμότητα,

δηλαδή τις προτιμήσεις του καταναλωτή.

Πέραν τούτου όμως, η οριακή χρησιμότητα και κατά συνέπεια ο στοχαστικός

συντελεστής προεξόφλησης αλλάζει στο χρόνο ως συνάρτηση μιας σειράς

παραγόντων που καθορίζονται από την τεχνολογία της οικονομίας και την

αβεβαιότητα όσον αφορά το οικονομικό περιβάλλον.

Συγκεκριμένα, η τεχνολογία της οικονομίας καθορίζει το μέσο ρυθμό μεταβολής

του δυνητικού προϊόντος και της κατανάλωσης στο χρόνο, επομένως και τη μέση

μεταβολή της οριακής χρησιμότητας, ενώ η διακύμανση της οικονομικής

δραστηριότητας γύρω από το μέσο ρυθμό δυνητικής ανάπτυξης καθορίζει τις

διακυμάνσεις της μεταβολής της οριακής χρησιμότητας γύρω από το μέσο της.

Τέλος, η αβεβαιότητα όσον αφορά την ένταση των οικονομικών διακυμάνσεων

οδηγεί τους επενδυτές στη δημιουργία επιπλέον αποταμιεύσεων για να

αντιμετωπίσουν μια πιθανή μελλοντική μείωση του εισοδήματός τους και

επηρεάζει τις απαιτούμενες αποδόσεις των αξιογράφων.

∆εύτερον, διότι δείχνει ότι όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης έχουν

κληρονομήσει το DNA του CCAPM. Κατά συνέπεια, δεν μπορεί κανείς να

απορρίψει εμπειρικά το CCAPM χωρίς να απορρίψει και όλα τα υποδείγματα που

βασίζονται σε αυτό. Αυτό μας οδηγεί σε μια νέα θεώρηση της εμπειρικής έρευνας

στα υποδείγματα αποτίμησης. Σύμφωνα με την άποψη πολλών ερευνητών, το

CAPM είναι σε θέση να εξηγήσει καλύτερα τις παρατηρούμενες αποδόσεις

μετοχών και μετοχικών χαρτοφυλακίων από το CCAPM. Το συμπέρασμα αυτό

είναι προφανώς λανθασμένο καθώς απόρριψη του CCAPM συνεπάγεται αυτόματα

και απόρριψη του CAPM ως μια ειδική περίπτωση του CCAPM. Το σωστό

συμπέρασμα είναι ότι ένα ειδικό υπόδειγμα αποτίμησης μπορεί να είναι καλύτερο

από το CCAPM διότι έχει κληρονομήσει τα καλύτερα χαρακτηριστικά του όπως

και τα παιδιά μπορεί να είναι πιο χαρισματικά από τους γονείς τους διότι έχουν

κληρονομήσει μόνο τα καλά τους χαρακτηριστικά.

Όλη η θεωρία αποτίμησης βασίζεται σε μια μοναδική αρχή:

Τιμή = προεξοφλημένη αξία μελλοντικών πληρωμών

Όλα τα υπόλοιπα είναι υποθέσεις όσον αφορά τον συντελεστή προεξόφλησης και

μαθηματικοί μετασχηματισμοί.

Μπορούμε να συνοψίσουμε όλη την θεωρία αποτίμησης σε δύο εξισώσεις:

),()(

μετροιπαρναδεδομ άέfMXMEP

ttt

όπου P: τιμή αξιόγραφου, X: πληρωμή, Μ: στοχαστικός συντελεστής

προεξόφλησης.

Κάθε ειδικό υπόδειγμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια υπόθεση σχετικά με την

συνάρτηση f(.). Όπως θα δούμε, όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης είναι

γραμμικά:

11 ++ += tt bFaM

όπου F είναι ένας παράγοντας (ή ένα σετ παραγόντων) κινδύνου. Τα επιμέρους

υποδείγματα διαφοροποιούνται ως προς το F. Έτσι για παράδειγμα,

το CCAPM υποθέτει ότι: F = ρυθμός μεταβολής κατανάλωσης, ∆c,

το CAPM υποθέτει ότι: F = απόδοση χαρτοφυλακίου πλούτου,

το ICAPM υποθέτει ότι: F = ∆c + μεταβλητές κατάστασης.

Στις σημειώσεις αυτού του μαθήματος θα βρείτε μια συστηματική παρουσίαση

των θεωρητικών βάσεων της αποτίμησης αξιογράφων. Σκοπός της παρουσίασης

είναι να συνδεθούν όλα τα γνωστά υποδείγματα αποτίμησης μεταξύ τους για να

γίνουν καλύτερα αντιληπτές οι διαφορές τους αλλά και οι περιορισμοί τους. Για το

σκοπό αυτό θα ξεκινήσουμε με το απλούστερο υπόδειγμα τιμολόγησης, το γνωστό

υπόδειγμα παρούσας αξίας με σταθερούς συντελεστές προεξόφλησης. Μετά θα

παρουσιάσουμε το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές

προεξόφλησης και στη συνέχεια στο υπόδειγμα του καταναλωτή με στοχαστικό

συντελεστή προεξόφλησης. Με βάση το υπόδειγμα αυτό θα ορίσουμε στη συνέχεια

τα πιο γνωστά υποδείγματα αποτίμησης ως ειδικές περιπτώσεις.

∆ημήτρης Μαλλιαρόπουλος

Ο καθορισμός του προεξοφλητικού επιτοκίου

Η τιμή του χρόνου και του κινδύνου

• Όταν ένα άτομο κάνει μια επένδυση σε ένα τίτλο, θυσιάζει ένα ποσό σήμερα

το (οποίο θα μπορούσε να είχε χρησιμοποιήσει για κατανάλωση ) για ένα συχνά

αβέβαιο ποσό στο μέλλον. Γενικά, η επένδυση είναι μια θυσία βέβαιης σημερινής

κατανάλωσης για μια συχνά αβέβαιη μελλοντική κατανάλωση.

• Ο επενδυτής θα απαιτήσει μια αποζημίωση

ο Για τον χρόνο αναμονής μέχρι την πώληση του τίτλου και

ο Για τον κίνδυνο που υπάρχει κατά τη διάρκεια του χρόνου αυτού.

• Αν επικεντρώσουμε την προσοχή μας σε επενδύσεις σε τίτλους στην αγορά

χρήματος και ομολόγων, μπορούμε να αναλύσουμε το ονομαστικό επιτόκιο

(απόδοση στη λήξη) στα εξής συστατικά του:

zr +++= λπρ

• Ονομαστικό επιτόκιο =)(r

Αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο (ρ)

+ αναμενόμενος πληθωρισμός )(π

+ αναμενόμενο ασφάλιστρο ρευστότητας ( )λ

+ αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου ( )z

Η φόρμουλα αυτή μπορεί να γενικευθεί σε άλλα είδη επενδύσεων (π.χ.

μετοχές) όπου αντί επιτοκίου έχουμε απόδοση.

Το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο

Σε μια οικονομία χωρίς πληθωρισμό και κίνδυνο το αναμενόμενο πραγματικό

επιτόκιο είναι το επιτόκιο που εξισώνει την προσφορά πόρων ατόμων που

επιθυμούν να δανείσουν (αποταμίευση) με την ζήτηση πόρων ατόμων που

επιθυμούν να δανειστούν.

• Τι καθορίζει ποια άτομα θέλουν να δανείσουν και ποια άτομα θέλουν να

δανειστούν; Η απάντηση έγκειται στο γεγονός ότι τα άτομα αξιολογούν

διαφορετικά μελλοντική κατανάλωση.

• Σε πιο τεχνικούς όρους, τα άτομα έχουν διαφορετικό λόγο υποκατάστασης

μεταξύ παρούσας και μελλοντικής κατανάλωσης (marginal rate of substitution

(MRS) ή elasticity of intertemporal substitution (EIS) ή rate of time

preference).

• Ο λόγος υποκατάστασης μεταξύ παρούσας και μελλοντικής κατανάλωσης

ονομάζεται επίσης υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης και

χρησιμοποιείται για την μετατροπή μελλοντικών εσόδων σε σημερινή αξία.

ο Αν ο υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης ενός ατόμου είναι 10% το

χρόνο (0,10), αυτό σημαίνει ότι για να προτρέψουμε αυτό το άτομο να θυσιάσει 1

EUR σήμερα, θα πρέπει να το ανταμείψουμε με ένα 1+0,10 EUR σε ένα χρόνο.

• Το πραγματικό επιτόκιο εξισορροπεί την αγορά προσφοράς και ζήτησης

αποταμιεύσεων (βλέπε ∆ιάγραμμα 1)

Figure 1: Determination of real interest rate

Period 2Period 2

Period 1 Period 1

Individual 1 Individual 2

I1 I2

C1 C1

1+r 1+r

Borrowing Lending

Ο αναμενόμενος Πληθωρισμός

• Το αναμενόμενο πραγματικό επιτόκιο είναι το επιτόκιο που ισχύει σε μια

οικονομία χωρίς πληθωρισμό.

• ∆εδομένου ότι το άτομο ενδιαφέρεται για την πραγματική αξία μιας

επένδυσης, δηλαδή για την ποσότητα αγαθών που μπορεί να αγοράσει στο μέλλον

με την ονομαστική απόδοση της επένδυσης, απαιτεί μια χρηματική αποζημίωση

για τον αναμενόμενο πληθωρισμό )(π

• Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα :

πρ +=r

Το αναμενόμενο ασφάλιστρο ρευστότητας

• Αν ο επενδυτής επιθυμεί ρευστότητα τότε προτιμά να δανείσει μόνο για μικρά

χρονικά διαστήματα.

• Για να έχει κίνητρο να επενδύσει σε τίτλους μεγάλης διάρκειας, πρέπει να

αποζημιωθεί με ένα ασφάλιστρο ρευστότητας ( )λ .

• Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα :

λπρ ++=r

Βλέπε ∆ιάγραμμα 2.

Real interest rate (ρ)

Expected inflation (π)

Liquidity premium (λ)

Term to maturity

Nominal interest rate (r)

Figure 2: Decomposition of nominal interest rate

Το αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου

• Το τελευταίο συστατικό του ονομαστικού επιτοκίου είναι το αναμενόμενο

ασφάλιστρο κινδύνου.

• Το ασφάλιστρο κινδύνου διαφέρει μεταξύ διαφόρων επενδύσεων. Ο

καθορισμός των παραγόντων που διέπουν το ασφάλιστρο κινδύνου είναι μια από

τις πιο βασικές επιδιώξεις της θεωρίας αποτίμησης και των επιμέρους

υποδειγμάτων της (CAPM, CCAPM, ICAPM, APT κλπ.).

ο Μετοχές : συστηματικός κίνδυνος

ο Ομόλογα : κίνδυνος αλλαγής επιτοκίων.

• Το ονομαστικό επιτόκιο γίνεται τώρα :

zr +++= λπρ

Βλέπε ∆ιάγραμμα 3.

Real interest rate (ρ)

Expected inflation (π)

Liquidity premium (λ)

Term to maturity

Nominal interest rate (r)

Figure 3: Decomposition of nominal interest rate

Risk premium

Τιμή, απόδοση και προεξοφλητικό

επιτόκιο

Η έννοια της μελλοντικής αξίας

• Η μελλοντική αξία F ενός χρηματικού ποσού P με σταθερή αναμενόμενη

απόδοση r είναι συνάρτηση της διάρκειας T και της συχνότητας ανατοκισμού .m

• Η μελλοντική αξία F με ανατοκισμό μια φορά ανά περίοδο (έτος) ορίζεται ως

ο TrPF )1( +=

ο Παράδειγμα : Αν 1000=P ,EUR 10,0=r %),10( =T 2 χρόνια

1210)1,01(1000 2 =+=F EUR

• Η μελλοντική αξία F με ανατοκισμό m φορές ανά περίοδο ορίζεται ως :

ο mTmrPF )1( +=

ο Παράδειγμα: 10,0=r %),10( 2=T χρόνια, 2=m

51,1215)2/1,01(1000 4 =+=F EUR

• Η συχνότητα ανατοκισμού αυξάνει την ετησιοποιημένη απόδοση

• Η επίδραση της συχνότητας ανατοκισμού στην ετησιοποιημένη απόδοση

φαίνεται στο εξής παράδειγμα :

• 1,0=r (10%)

• Ετησιοποιημένος επιτοκιακός συντελεστής = ( )mmr+1

Πίνακας 1: Συχνότητα ανατοκισμού και μελλοντική αξία

Συχνότητα Επιτοκιακός F

ανατοκισμού Συντελεστής

Ετήσια )1( r+ 1,100000

Εξαμηνιαία ( )221 r+ 1,102500

Τριμηνιαία ( )441 r+ 1,103813

Μηνιαία ( )12121 r+ 1,104713

Ημερήσια ( )3653651 r+ 1,105156

• Το όριο της φόρμουλας mTmrPF )1( += όταν ο ανατοκισμός είναι συνεχής

( )∞→m είναι

rTPeF =

• Όπου ( ) .71828,21lim //1 =+=

∞→

rmrmm

• Στο παραπάνω παράδειγμα, ο ετησιοποιημένος επιτοκιακός συντελεστής με

συνεχή ανατοκισμό είναι 105171,1)71828.2( 1,0 ==re

Η έννοια της παρούσας αξίας

• Αν ένα ποσό F αναμένεται να εισπραχθεί σε T περιόδους, η παρούσα αξία

του είναι ίση με ένα ποσό P το οποίο αν επενδυθεί σήμερα θα δώσει

ανατοκισμένο ποσό F σε T περιόδους.

• Η διαδικασία της εύρεσης της παρούσας αξίας μιας μελλοντικής είσπραξης

καλείται προεξόφληση και είναι το αντίθετο του ανατοκισμού.

Προεξόφληση μια φορά ανά περίοδο (έτος)

Η παρούσα αξία Pενός ποσού F το οποίο αναμένεται να εισπραχθεί σε T χρόνια

είναι:

• TrF rFP T

−+

+== )1()1(

• Παράδειγμα : Η παρούσα αξία ενός ομολόγου zero coupon σταθερού

επιτοκίου 10% με λήξη 5 έτη και ονομαστική τιμή 1000 EUR είναι

92,620)1,01(1000)1( 5 =+=+= −−TrFP EUR

• Ο συντελεστής Tr −+ )1( καλείται συντελεστής προεξόφλησης

Προεξόφληση περισσότερες φορές ανά περίοδο

Όταν η προεξόφληση γίνεται m φορές το χρόνο, η παρούσα αξία P ενός ποσού F

το οποίο αναμένεται να εισπραχθεί σε T χρόνια είναι :

• mTmrF FP mT

−+

+== )1()1(

• Όταν ο ανατοκισμός είναι συνεχής ( )∞→m , το όριο της φόρμουλας mT

mrF FP mT

−+

+== )1()1(

είναι

rTFeP −=

• Γενικά, όταν αναμένονται εισροές td για τις χρονικές περιόδους Tt ,...,1= ,

και ο συντελεστής προεξόφλησης )1(1r+ είναι σταθερός στο χρόνο, η παρούσα αξία

είναι

• ( ) tt

tdP )1(

10 +

=∑=

• Παράδειγμα: Η παρούσα αξία ενός ομολόγου διάρκειας Τ περιόδων, το οποίο

πληρώνει κουπόνια td για τις περιόδους ,,...,1 Tt = έχει ονομαστική αξία F και

επιτόκιο στη λήξη r , είναι:

( ) Tt

trFdP −

++∑= )1()1(1

• Το επιτόκιο στη λήξη r είναι το επιτόκιο το οποίο εξισώνει την παρούσα αξία

(τιμή αγοράς του ομολόγου) με το άθροισμα των προεξοφλημένων κουπονιών και

την προεξοφλημένη τελική πληρωμή (ονομαστική αξία F).

Τιμολόγηση Μετοχών Ορολογία:

P : Τιμή μετοχής

d : Μέρισμα

r : Απαιτούμενη (αναμενόμενη) πραγματική απόδοση

:11r+=β (υποκειμενικός) συντελεστής προεξόφλησης

• Προσοχή: Όλες οι μεταβλητές είναι εκφρασμένες σε πραγματικούς όρους

(σταθερές τιμές), δηλαδή αποπληθωρισμένες με τον Γενικό ∆είκτη Τιμών

Καταναλωτή.

• Για λόγους απλούστευσης θα ασχοληθούμε κατ’ αρχήν με τα πιο απλά

υποδείγματα με σταθερό συντελεστή προεξόφλησης.

Σταθερός διαχρονικά συντελεστής προεξόφλησης Το υπόδειγμα υποθέτει ότι η αναμενόμενη πραγματική απόδοση της μετοχής,

Ε(r), είναι σταθερή διαχρονικά, Ε(r)=r. Το r αποτελείται από δύο μέρη:

zr += ρ , όπου

ο :ρ πραγματικό επιτόκιο μηδενικού κινδύνου

ο :z ασφάλιστρο κινδύνου

Υποθέσεις :

• Το μέρισμα d καταβάλλεται μια φορά το χρόνο (στο τέλος του έτους)

• Το r είναι σταθερό διαχρονικά

• Ερώτηση: Ποια είναι η τιμή που είναι διατεθειμένος να πληρώσει ο

επενδυτής σήμερα για την μετοχή (fair price);

ο Η απάντηση εξαρτάται από τον επενδυτικό ορίζοντα

Επενδυτικός ορίζοντας = 1 περίοδος (έτος)

Η τιμή (fair price) την οποία είναι διατεθειμένος να πληρώσει ένας επενδυτής

σήμερα για μια μετοχή που σκοπεύει να κρατήσει μια περίοδο είναι:

rPE

rdEP

1)(

1)( 11

0 (1)

⇓

↓↑↑↑

rdEPPE

)(όταν )(

• Ο όρος r+11

καλείται συντελεστής προεξόφλησης. Ο ρόλος του έγκειται στο

να μεταφράζει μελλοντικά έσοδα σε σημερινές τιμές.

• Σύμφωνα με την (1), η τιμή στην οποία ένας επενδυτής είναι διατεθειμένος

να πληρώσει σήμερα για μια μετοχή ισούται με το άθροισμα του μερίσματος και

της αναμενόμενης τιμής πώλησης, μεταφρασμένα σε σημερινές τιμές με ένα

σταθερό συντελεστή προεξόφλησης.

Επενδυτικός ορίζοντας = 2 περίοδοι (έτη)

Από την )1(

(2)

)2( στην ⇒)1(

(3)

rPE

rdEP

1)(

1)( 22

221

0 )1()(

)1()(

1)(

rPE

rdE

rdEP

Επενδυτικός ορίζοντας = T περίοδοι (έτη)

Αυξάνοντας τον επενδυτικό ορίζοντα μέχρι Τ

(4)

Η (4) εκφράζει τη τιμή ισορροπίας ως το άθροισμα των προεξοφλημένων

αναμενόμενων μερισμάτων (πρώτος όρος) και της προεξοφλημένης αναμενόμενης

μελλοντικής αξίας της μετοχής (δεύτερος όρος). Ο τελευταίος όρος ονομάζεται

συχνά κερδοσκοπική φούσκα.

Κερδοσκοπική φούσκα :

Η τιμή ανεβαίνει σήμερα όταν οι επενδυτές προσδοκούν άνοδο της τιμής στο

μέλλον :

↑0P Αν ,)1(

)( ↑+ TT

rPE ↑)( TPE ή ↓r

• Παράδειγμα 1: ΧΑΑ 1998-1999, NASDAQ 1998-2000.

ο Προσδοκίες περαιτέρω αύξησης των τιμών οδήγησαν σε κερδοσκοπική

φούσκα.

ο Η άνοδος των τιμών των μετοχών στο ΧΑΑ υποστηρίχθηκε και από τη

σύγκλιση των πραγματικών επιτοκίων στα επίπεδα της ΟΝΕ. Όπως φαίνεται

στην (4), η πτώση του r oδήγησε σε άνοδο του P.

ο Το επιτόκιο προεξόφλησης μειώθηκε κατά το τέλος της δεκαετίας του 90 για

μια σειρά από λόγους οι οποίοι είχαν να κάνουν κυρίως με τη σύγκλιση της

Ελληνικής οικονομίας προς την ΟΝΕ.

o Τα μακροπρόθεσμα ονομαστικά επιτόκια και ο πληθωρισμός συγκλίνανε στα

επίπεδα των τριών καλυτέρων χωρών της ΟΝΕ. Κατά συνέπεια, και το

t rPE

rdE

P)1()(

)1()(

10 +

==∑

πραγματικό επιτόκιο μειώθηκε σημαντικά (από περίπου 7,5% σε 3%).

o Ο συναλλαγματικός κίνδυνος μειώθηκε σημαντικά λόγω της σκληρής

νομισματικής και συναλλαγματικής πολιτικής. Κατά συνέπεια, το ασφάλιστρο

κινδύνου μειώθηκε και αυτό.

• Για να εξαλείψουμε την κερδοσκοπική φούσκα, αφήνουμε το Τ να πάει στο

άπειρο, T .∞→

Από την :)4(

(5)

(6)

( ) .0lim)1(

)( =+∞→

rPE

Tάνε

• Η κερδοσκοπική φούσκα εξαφανίζεται υπό την προϋπόθεση ότι

,)(lim ∞<∞→ TT

PE δηλαδή η αναμενόμενη τιμή δεν τείνει στο άπειρο.

• Προσέξτε ότι ο όρος Tr)1( + τείνει στο άπειρο όταν ,∞→T εφόσον .0>r

• Η σχέση )6( εκφράζει την τιμή της μετοχής ως την παρούσα αξία όλων των

αναμενόμενων μερισμάτων με προεξοφλητικό επιτόκιο r .

• Η παρούσα άξια της μετοχής (τιμή) είναι αρνητική συνάρτηση του επιτοκίου

προεξόφλησης.

ο Ο λόγος είναι ότι ένα υψηλότερο επιτόκιο προεξόφλησης σηματοδοτεί ότι οι

επενδυτές προσδίδουν μικρότερη αξία στα μελλοντικά έσοδα τους σε σύγκρισή με

έσοδα σήμερα .

• Καθώς ,zr += ρ η τιμή μιας μετοχής είναι τόσο μικρότερη, όσο υψηλότερο

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=∞→

∞

=∑ T

Ttt

t rPE

rdEP

)1()(lim

)1()(

t rdEP

)1()(

10 +=

∞

=∑

είναι το πραγματικό επιτόκιο ρ κι όσο υψηλότερο είναι το ασφάλιστρο κινδύνου z.

Σημείωση 1 : Η αξία της μετοχής καθορίζεται αποκλειστικά από την ικανότητα

της να πληρώνει μερίσματα. Αν υποθέσουμε στην (5) ,0)( =tdE ,,...1 ∞=t τότε

.00 =P

ο Γενικά: Η αξία κάθε τίτλου καθορίζεται αποκλειστικά από την ικανότητά του

να δημιουργεί εισόδημα στο μέλλον.

Σημείωση 2: Ο συντελεστής προεξόφλησης r στο παραπάνω υπόδειγμα

θεωρείται σταθερός διαχρονικά.

ο Η υπόθεση αυτή είναι μη ρεαλιστική καθώς υπάρχουν εμπειρικές ενδείξεις

ότι τόσο το πραγματικό επιτόκιο ρ όσο και το ασφάλιστρο κινδύνου αλλάζουν στο

χρόνο.

ο Αργότερα θα γνωρίσουμε υποδείγματα αποτίμησης τα οποία προσπαθούν να

εξηγήσουν την μεταβλητότητα του συντελεστή προεξόφλησης στο χρόνο.

ο Προς το παρόν, όμως, θα συνεχίσουμε να θεωρούμε το r σταθερό.

• Πρακτικά η σχέση (6) δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό της

σημερινής τιμής ισορροπίας 0P καθώς περιέχει προσδοκίες μελλοντικών

μερισμάτων.

• Για να καθορίσουμε το ,0P πρέπει να εξαλείψουμε τις προσδοκίες

μελλοντικών μερισμάτων. Για το σκοπό αυτό πρέπει να κάνουμε μια υπόθεση

σχετικά με την στοχαστική διαδικασία td .

Στοχαστική διαδικασία μερίσματος

1. Τυχαίος περίπατος

Ας υποθέσουμε ότι το μέρισμα ακολουθεί την στοχαστική διαδικασία ενός τυχαίου

περίπατου (random walk):

(7)

όπου :ε τυχαία διατάραξη με μαθηματική ελπίδα =0 και σταθερή διακύμανση .

Τότε το αναμενόμενο μέρισμα για κάθε μελλοντικό χρόνο (δεδομένης της

σημερινής πληροφόρησης ( 0I ) είναι ίσο με το σημερινό μέρισμα.

Αυτό ισχύει διότι :

001001 )/()/( dIdEIdE =+= ε

0021001102 )/()/()/( dIdEIdEIdE =++=+= εεε

...

00210

010

)/......()/()/(

dIdEIdEIdE

TTT

=+++=+= −

εεεε

Καθώς ,0)/( 01 =IE ε ,0)/( 02 =IE ε ,...,0)/( 03 =IE ε .0)/( 0 =IE Tε

Από την (6) και την (7) προκύπτει:

tt r

dP)1(

10 +=

∞

=∑

tt r

d)1(

0 +=

∞

=∑

ttt dd ε+= −1

tt rr

d)1(

1)1(

0 ++=

∞

=∑

...))1(

1)1(

11()1(

120 +

rrrd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=+rr

10 11

)1(1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

rd 1

)1(1

(8)

• Καθώς το μέρισμα είναι σταθερό, η τιμή είναι η παρούσα αξία του σημερινού

μερίσματος, δηλαδή μια σταθερά.

• Με άλλα λόγια, η μερισματική απόδοση της μετοχής ισούται με το πραγματικό

επιτόκιο προεξόφλησης r.

Στοχαστική διαδικασία της τιμής της μετοχής

• Τι προκύπτει από την (7) σχετικά με την στοχαστική διαδικασία που

ακολουθεί η τιμή ;tP

• Από (1) )./()1()/( 101 oo IdEPrIPE −+=⇒ Αλλά από την (7)

01 )/( dIdE o =⇒ και

Από την (8) .00 Prd ⋅=

P 00 =⇒

Επομένως :

0001 )1()/( PrPPrIPE o =−+=

• Γενικά ισχύει 0)/( PIPE ot = , δηλαδή η τιμή ακολουθεί και αυτή μια

στοχαστική διαδικασία τυχαίου περίπατου, όπως και το μέρισμα. Η καλύτερη

πρόβλεψη της μελλοντικής τιμής είναι ότι θα μείνει σταθερά στα σημερινά

επίπεδα.

2. Τυχαίος περίπατος με τάση: το υπόδειγμα Gordon

Ας υποθέσουμε ότι ο αναμενόμενος ρυθμός αύξησης του μερίσματος είναι

σταθερός (αυτό αντιστοιχεί σε μια στοχαστική διαδικασία τυχαίου περίπατου με

τάση -- random walk with drift-- στον λογάριθμο του td ):

1)1()( −+= tt dgdE (9)

0)1()( dgdE tt +=

Αντικαθιστώντας στην (6) →

t rgdP)1()1(

100 +

∞

=∑

d δ∞

=∑=

όπου )1()1(rg

++=δ . Επομένως,

1(...)1( 02

00 δδδδδ

−=+++= ddP

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

++rgr

gd110 1

111

grgdP

−+

00 (10)

Η σχέση (10) είναι το υπόδειγμα του Gordon.

• Σύμφωνα με την ),10( η τιμή μιας μετοχής είναι θετική συνάρτηση του

μερίσματος και του αναμενόμενου ρυθμού αύξησης του μερίσματος και αρνητική

συνάρτηση της απαιτούμενης πραγματικής απόδοσης.

Εφαρμογές

Το παρακάτω γράφημα δείχνει τον

1. Real Stock Price: αποπληθωρισμένος δείκτης τιμών του χρηματιστηρίου

των ΗΠΑ (S&P 500), ο οποίος ορίζεται ως P(t)*(CPI(2003)/CPI(t),

2. PDV constant discount rate: παρούσα αξία των μελλοντικών μερισμάτων

με σταθερό συντελεστή προεξόφλησης. Η αξία αυτή ορίζεται ως

PV(t)=RealD(t)+(PV(t+1)/(1+mean(R))),

όπου RealD(t)=D(t)* (CPI(2003)/CPI(t) το αποπληθωρισμένο μέρισμα και

mean(R)=exp(mean(ln(1+R(t))) η μέση αποπληθωρισμένη λογαριθμική

απόδοση του S&P 500. Η αξία του δείκτη το 2003 (τελική παρατήρηση)

ορίζεται σύμφωνα με το υπόδειγμα Gordon ως Α*D(2003)*(1+g)/(g-r), Α

σταθερά (=1.25).

3. PDV interest rates: παρούσα αξία των μελλοντικών μερισμάτων με

συντελεστή προεξόφλησης ίσο με το παρόν πραγματικό επιτόκιο μηδενικού

κινδύνου συν το μέσο ιστορικό ασφάλιστρο κινδύνου. Η αξία αυτή ορίζεται

ως PV1(t)=RealD(t)+(PV1(t+1)/(1+rf(t)+(mean(R)-mean(rf))),

όπου RealD(t)=D(t)* (CPI(2003)/CPI(t) το αποπληθωρισμένο μέρισμα, rf

το πραγματικό επιτόκιο μηδενικού κινδύνου, mean(R)=exp(mean(ln(1+R(t)))

η μέση αποπληθωρισμένη λογαριθμική απόδοση του S&P 500 και

mean(rf)=mean(1+Rf(t)) το μέσο πραγματικό επιτόκιο μηδενικού κινδύνου.

Η αξία του δείκτη το 2003 (τελική παρατήρηση) ορίζεται σύμφωνα με το

υπόδειγμα Gordon ως Α*D(2003)*(1+g)/(g-r), Α σταθερά (=1.25).

100

1000

10000

1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

Year

Pric

Real Stock Price (S&P 500)

PDV, Constant Discount Rate

PDV, Interest Rates

Υπόδειγμα Gordon με βάση τα κέρδη Συχνά το υπόδειγμα Gordon ορίζεται με βάση τα κέρδη (e ) των εταιρειών και όχι

με βάση τα μερίσματα. Ο λόγος είναι ότι τα κέρδη αντικατοπτρίζουν καλύτερα την

ικανότητα των εταιρειών να προσδίδουν μελλοντική αξία στις μετοχές τους.

Το υπόδειγμα (10) μπορεί να μεταφραστεί εύκολα σε όρους e , αν υποθέσουμε

ότι το μέρισμα είναι ένα σταθερό ποσοστό ,τ των κερδών ( :τ payout ratio).

(11)

Αντικαθιστώντας την (11) στην (10) :

grgeP

−+

00 τ (12)

• Σύμφωνα με την (12), εταιρείες που έχουν υψηλά seP )/( ′ πρέπει να έχουν

υψηλούς αναμενόμενους ρυθμούς ανόδου των κερδών τους (για σταθερό r και τ

Στοχαστική διαδικασία της τιμής

Τι συνεπάγεται η υπόθεση ενός σταθερού ρυθμού ανόδου των μερισμάτων για την

στοχαστική διαδικασία που ακολουθούν οι τιμές των μετοχών ;

Από την (1) )./()1()/( 101 oo IdEPrIPE −+=⇒

Αλλά από την (9) .)1()/( 01 dgIdE o +=⇒

tt ed τ=

Επομένως :

001 )1()1()/( dgPrIPE o +−+=

Από την (10) έχουμε : .100 gr

gdP −+= Επομένως :

.)1()()1()/( 0001 PgPgrPrIPE o +=−−+=

Γενικά, .)1()/( 0PgIPE tot +=

• Η τιμή ακολουθεί επίσης έναν τυχαίο περίπατο με τάση σε λογάριθμους,

.)log())/(log( 0 tgPIPE ot +=

ο Οι τιμές βραχυχρόνια δεν είναι προβλέψιμες .

ο Μακροχρόνια όμως αναμένεται να αυξάνονται με ρυθμό .g

Κυμαινόμενος συντελεστής προεξόφλησης Ας υποθέσουμε ότι οι επενδυτές απαιτούν μια διαφορετική απόδοση σε κάθε

μελλοντικό χρονικό σημείο για να είναι διατεθειμένοι να κρατήσουν μια μετοχή:

ttt zr += ρ

trt += 1

1β

Επενδυτικός ορίζοντας = 1 περίοδος (έτος).

Η τιμή (fair value) την οποία είναι διατεθειμένος να πληρώσει ένας επενδυτής

σήμερα για μια μετοχή που σκοπεύει να κρατήσει μια περίοδο είναι:

))()(( 1111)(

1)(

1+++++ +=+=

+tttr

PErdE

t PEdEPt

t β

Επενδυτικός ορίζοντας = 2 περίοδοι (έτη).

))()(( 1111)(

1)(

1+++++ +=+=

+tttr

PErdE

t PEdEPt

t β

))()(( 2221)(

1)(

1 2

2++++++ +=+=

+tttr

PErdE

t PEdEPt

t β

))()(()( 222111 ++++++ ++= ttttttt PEdEdEP βββ

Άπειρός επενδυτικός ορίζοντας

Αυξάνοντας τον επενδυτικό ορίζοντα μέχρι το άπειρο και παραβλέποντας την

κερδοσκοπική φούσκα

)()( 22111 +++++ += tttttt dEdEP βββ

...)( 3321 ++ ++++ tttt dEβββ

)(11

jtit

ijt dEP ++

∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∏∑ β

• Για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί το υπόδειγμα προεξόφλησης για τον

καθορισμό της τιμής, πρέπει να προβλεφθούν τόσο τα μελλοντικά μερίσματα όσο

και οι μελλοντικοί συντελεστές προεξόφλησης.

• Σκοπός των υποδειγμάτων αποτίμησης (''asset pricing models ''), όπως

CAPM, Intertemporal CAPM, Consumption CAPM, APT κλπ είναι να

«ανακαλύψουν» τους παράγοντες που καθορίζουν τις αναμενόμενες αποδόσεις,

δηλ. τους συντελεστές προεξόφλησης τόσο μεταξύ διαφορετικών κεφαλαιακών

στοιχείων όσο και στο χρόνο.

Γραμμική προσέγγιση του υποδείγματος παρούσας

αξίας με κυμαινόμενο συντελεστή προεξόφλησης

Οι Campbel και Shiller (1988) προτείνουν μια γραμμική προσέγγιση του

υποδείγματος παρούσας αξίας, η οποία βασίζεται πάνω στην γραμμική προσέγγιση

της λογαριθμικής απόδοσης.

Η απόδοση μιας μετοχής ορίζεται ως:

Rt1 Pt1 Dt1

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα:

1 Rt1−1 Rt1 Rt1

−1 Pt1 Dt1Pt

και πολλαπλασιάζοντας και τις δυο πλευρές με :/ tt DP

PtDt

Rt1−1 1 Pt1

Dt1

Dt1Dt

Παίρνουμε λογαρίθμους (που συμβολίζονται με μικρά γράμματα):

pt − dt −rt1 Δdt1 ln1 ep t1−d t1

Προσεγγίζουμε γραμμικά τον τελευταίο όρο χρησιμοποιώντας μια προσέγγιση

Taylor πρώτου βαθμού γύρω από το σημείο dpeDP −=/ . Το σημείο αυτό μπορεί

να είναι ο δειγματικός μέσος της μερισματικής απόδοσης.

Σημείωση: Μια προσέγγιση Taylor γύρω από ένα σημείο 0x γράφεται:

fx t fx 0 f ′x 0x t − x 0 όροι 2ου βαθμού.

Για )1ln()ln( txt ey += , η προσέγγιση είναι

DPDPxxx eexeyy /1

/000 ])][1/(1[]/][/)ln([ 000

+=+=ϑϑϑϑ .

Κατά συνέπεια, η προσέγγιση 1ου βαθμού γύρω από το μέσο δειγματικό p-d είναι:

pt − dt −rt1 Δdt1 P/D

1 P/Dpt1 − dt1 − p − d

−rt1 Δdt1 pt1 − dt1 k

όπου DPDP/1

/+=ρ είναι ένας σταθερός συντελεστής προεξόφλησης και k μια

σταθερά.

Λύνοντας προς τα εμπρός, παίρνουμε:

pt − dt const.∑j1

jΔdtj − rtj

Υπό την προϋπόθεση ότι η φούσκα εξαφανίζεται μακροπρόθεσμα, δηλαδή

j→lim jptj − dtj 0.

Αυτή η ταυτότητα ισχύει ex-post και ex-ante. Η ex-ante εκδοχή είναι:

pt − dt const.Et∑j1

jΔdtj − rtj

Η εξίσωση αυτή είναι το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους

συντελεστές προεξόφλησης (πραγματικές αποδόσεις). Πριν προσπαθήσουμε να

την επεξηγήσουμε, ας θυμηθούμε ότι η προσέγγιση Taylor έγινε γύρω από το

μέσο της μερισματικής απόδοσης. Ο μέσος της μερισματικής απόδοσης

περιλαμβάνεται στη σταθερά της τελευταίας εξίσωσης. Επομένως, σύμφωνα με

την τελευταία εξίσωση, όταν ο λόγος της τιμής προς μέρισμα είναι πάνω από το

μέσο του, η αγορά αναμένει ότι η μετοχή θα έχει στο μέλλον υψηλούς ρυθμούς

μεταβολής των μερισμάτων ή χαμηλές αποδόσεις ή και τα δύο.

Σύμφωνα με το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές

προεξόφλησης:

• Αν αποδόσεις και μεταβολές των μερισμάτων είναι μη προβλέψιμες (τιμές και

μερίσματα είναι τυχαίοι περίπατοι), τότε ο λόγος τιμής προς μέρισμα είναι

σταθερός.

• Αν ο λόγος τιμής προς μέρισμα είναι κυμαινόμενος στο χρόνο, τότε

ο Ή οι αποδόσεις είναι προβλέψιμες,

ο Ή τα μερίσματα είναι προβλέψιμα,

Σημείωση: Μια τρίτη εκδοχή είναι ότι η διακύμανση του λόγου τιμής προς μέρισμα

οφείλεται σε κερδοσκοπικές προσδοκίες μελλοντικής αλλαγής της τιμής (φούσκα).

Εμπειρικός έλεγχος:

Σύμφωνα με το υπόδειγμα παρούσας αξίας με κυμαινόμενους συντελεστές

προεξόφλησης, ο λόγος τιμής προς μέρισμα έχει προβλεπτική ικανότητα για τις

μελλοντικές αποδόσεις ή/και για τους μελλοντικούς ρυθμούς μεταβολής των

μερισμάτων. Η προβλεπτική ικανότητα του λόγου τιμής προς μέρισμα μπορεί να

ελεγχθεί με τις παρακάτω παλινδρομήσεις:

∑j1

jΔdtj ad bddt − pt

∑j1

jrtj ar brdt − pt

Για .,...,1 Kk = Καθώς το ρ είναι λίγο μικρότερο από τη μονάδα (αλλά κοντά

στη μονάδα), οι ανεξάρτητες μεταβλητές μπορούν να προσεγγιστούν με την

αλλαγή του μερίσματος και της τιμής μεταξύ t και kt + :

∑j1k jΔdtj ∑j1

k Δdtj dtk − dt,

∑j1k jrtj ∑j1

k rtj ptk − pt.

• Τα αποτελέσματα εμπειρικών ερευνών δείχνουν ότι ο λόγος τιμής προς

μέρισμα έχει μακροπρόθεσμα προβλεπτική ικανότητα για τις τιμές και όχι για τα

μερίσματα.

• Τα 2R της παλινδρόμησης των σωρευτικών αποδόσεων αυξάνουν με τον

ορίζοντα και τα rb είναι θετικά (όπως αναμένεται από τη θεωρία) και στατιστικά

σημαντικά.

• Τα 2R της παλινδρόμησης των σωρευτικών μεταβολών των μερισμάτων είναι

μικρά, δεν αυξάνουν με τον ορίζοντα και τα db είναι αρνητικά (αντίθετα από τη

θεωρία) και στατιστικά μη σημαντικά.

• Ως αποτέλεσμα, καταλήγουμε στους εξής κανόνες, οι οποίοι

χρησιμοποιούνται από πλήθος αναλυτών: όταν ο λόγος τιμής προς μέρισμα είναι

μεγαλύτερος από το μακροπρόθεσμο μέσο του, τότε οι τιμές αναμένεται να

υποχωρήσουν (και αντίθετα).

• Σημείωση: Οι παραπάνω παλινδρομήσεις παρουσιάζουν σημαντικά στατιστικά

προβλήματα καθώς ο λόγος τιμής προς μέρισμα είναι μια μεταβλητή με μεγάλη

εμμονή (persistence), ή με άλλα λόγια μια μεταβλητή με χαρακτηριστικά τυχαίου

περίπατου. Κατά συνέπεια, οι συντελεστές της παλινδρόμησης δεν ακολουθούν

κανονική κατανομή και οι συνήθεις έλεγχοι σημαντικότητας δεν μπορούν να

εφαρμοσθούν. Ακόμη χειρότερα, η τυπική απόκλιση των συντελεστών της

παλινδρόμησης είναι υψηλότερη από αυτήν του εκτιμητή ελαχίστων τετραγώνων

και το αντίθετο συμβαίνει με το 2R . Ο Valkanov (2003), Journal of Empirical

Finance, μεταξύ άλλων, προτείνει διορθωμένες στατιστικές t για τον έλεγχο

σημαντικότητας αυτών των παλινδρομήσεων.

• Η μεταβλητότητα του λόγου τιμής προς μέρισμα οφείλεται κατά κύριο λόγο σε

αλλαγές των προσδοκιών της αγοράς για τις μελλοντικές αποδόσεις.

• Καθώς η μεταβλητότητα της τιμής είναι πολύ μεγαλύτερη από την

μεταβλητότητα του μερίσματος, η διακύμανση της τιμής οφείλεται κατά κύριο λόγο

σε αλλαγές των προσδοκιών της αγοράς για τις μελλοντικές αποδόσεις.

• Καθώς οι αναμενόμενες πραγματικές αποδόσεις είναι το άθροισμα του

αναμενόμενου πραγματικού επιτοκίου μηδενικού κινδύνου και του ασφάλιστρου

κινδύνου, η διακύμανση του λόγου τιμής προς μέρισμα αντανακλά αλλαγές των

προσδοκιών της αγοράς είτε για τα επιτόκια (νομισματική πολιτική, πληθωρισμός)

είτε για τα ασφάλιστρα κινδύνου.

• Αυτό το ερώτημα έχει μελετηθεί εμπειρικά από μια σειρά αναλυτές [βλέπε,

μεταξύ άλλων, Campbell and Ammer (1993), EJ για τις ΗΠΑ, Malliaropulos

(1998), European Financial Management για μια σειρά ευρωπαϊκών αγορών]. Τα

αποτελέσματα αυτών των μελετών είναι:

• Το μεγαλύτερο μέρος της διακύμανσης του λόγου τιμής προς μέρισμα

οφείλεται σε διακύμανση των αναμενόμενων ασφάλιστρων κινδύνου.

• Η διακύμανση των αναμενόμενων ασφάλιστρων κινδύνου οφείλεται σε

αλλαγές των προσδοκιών της αγοράς για τα ασφάλιστρα αυτά.

Η σύνδεση των μη αναμενόμενων αλλαγών στις αποδόσεις με τις αλλαγές στις

προσδοκίες της αγοράς γίνεται στο επόμενο κεφάλαιο.

∆είκτες τιμής προς μερίσματα και τιμής προς κέρδη ΗΠΑ 1948-1996

Παλινδρομήσεις αποδόσεων και μεταβολής μερισμάτων στο δείκτη τιμής προς

μερίσματα

Προβλέψεις ετησίων αποδόσεων του υποδείγματος με βάση τη τιμή προς μέρισμα

Προβλέψεις πενταετών αποδόσεων του υποδείγματος με βάση τη τιμή προς μέρισμα

Αποδόσεις και προσδοκίες της αγοράς

Για να σπάσουμε τις μη προβλέψιμες αλλαγές των αποδόσεων σε αλλαγές

προσδοκιών της αγοράς για μελλοντικές αποδόσεις και μερίσματα, γράφουμε το

υπόδειγμα παρούσας αξίας μια περίοδο πίσω:

pt−1 − dt−1 const.Et∑j0

jΔdtj − rtj

Παίρνουμε αλλαγές στις προσδοκίες μεταξύ t και t-1 (innovations):

Et − Et−1pt−1 − dt−1 Et − Et−1∑j0

jΔdtj − rtj

Η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι =0. Άρα:

0 Et − Et−1∑j0

jΔdtj − rtj

Μεταφέροντας τον όρο ttt rEE )( 1−− στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε για τις μη

αναμενόμενες αποδόσεις:

unexpected return

rt − Et−1rt

news about future dividends

Et − Et−1 ∑j0

jΔdtj −

news about future returns

Et − Et−1 ∑j1

jrtj

Ένα θετικό σοκ στις αποδόσεις (δηλαδή μια πραγματοποίηση πάνω από τις

προσδοκίες) οφείλεται

• Είτε σε μια αλλαγή προς τα πάνω των αναμενόμενων ρυθμών μεταβολής των

μερισμάτων,

• Είτε σε μια αλλαγή προς τα κάτω των αναμενόμενων αποδόσεων, είτε και στα

δύο.

Καθώς η πραγματική απόδοση είναι το άθροισμα του αναμενόμενου πραγματικού

επιτοκίου μηδενικού κινδύνου και του ασφάλιστρου κινδύνου, μη αναμενόμενες

αλλαγές των αποδόσεων μπορούν να σπάσουν σε

• Νέα πληροφόρηση για μελλοντικά επιτόκια μηδενικού κινδύνου και

• Νέα πληροφόρηση για μελλοντικά ασφάλιστρα κινδύνου:

Et − Et−1 ∑j1 jrtj Et − Et−1 ∑j1

jrtjf Et − Et−1 ∑ j1

jrtje ,

Όπου rtf είναι το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου και rte είναι το ασφάλιστρο

κινδύνου.

Στο προηγούμενο κεφάλαιο υποστηρίξαμε ότι, σύμφωνα με τα εμπειρικά

αποτελέσματα της βιβλιογραφίας, το μεγαλύτερο μέρος της διακύμανσης των

τιμών οφείλεται στη διακύμανση των αναμενόμενων αποδόσεων. Τώρα μπορούμε

να απαντήσουμε στο πιο συγκεκριμένο ερώτημα αν η διακύμανση των τιμών

οφείλεται στη διακύμανση των αναμενόμενων επιτοκίων ή στη διακύμανση των

αναμενόμενων ασφάλιστρων κινδύνου.

• Οι Campbell (1991) EJ, Campbell και Ammer (1993), EJ, και Malliaropulos

(1998), European Financial Management, μεταξύ άλλων, βρίσκουν ότι το

μεγαλύτερο μέρος της διακύμανσης του λόγου τιμής προς μέρισμα οφείλεται σε

διακύμανση των αναμενόμενων ασφάλιστρων κινδύνου και όχι σε διακύμανση των

μερισμάτων ή σε διακύμανση των πραγματικών επιτοκίων.

Σημείωση: Τα ευρήματα αυτά της βιβλιογραφίας είναι σε αντίθεση με την

πρακτική των αγορών. Στις αγορές ο ρόλος που αποδίδεται στα αναμενόμενα

κέρδη και τα επιτόκια είναι σημαντικός. Το πρόβλημα μάλλον βρίσκεται στην

αδυναμία των εμπειρικών υποδειγμάτων. Τα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα που

χρησιμοποιούνται στην ακαδημαϊκή βιβλιογραφία για την πρόβλεψη των

αποδόσεων στηρίζονται στην υπόθεση ότι οι αποδόσεις είναι προβλέψιμες με

βάση υπάρχουσα πληροφόρηση. Με βάση τις προβλέψεις του υποδείγματος, οι

αναθεωρήσεις των προβλέψεων σχετικά με τα μερίσματα προκύπτουν ως το

κατάλοιπο.

Θεωρία Aποτίμησης Κεφαλαιακών

Στοιχείων

Το υπόδειγμα καταναλωτή και ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης

• Στο βασικό υπόδειγμα καταναλωτή (Consumption Capital Asset Pricing

Model, CCAPM), οι τιμές (και κατά συνέπεια οι αποδόσεις ) κεφαλαιακών

στοιχείων καθορίζονται ως η λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης της

χρησιμότητας ενός καταναλωτή- επενδυτή.

• Η κεντρική εξίσωση αποτίμησης ορίζει την τιμή ενός κεφαλαιακού στοιχείου

ως την αναμενόμενη μελλοντική αξία, με συντελεστή προεξόφλησης την οριακή

χρησιμότητα της κατανάλωσης.

• Ο καταναλωτής μπορεί να καταναλώσει όλο του το εισόδημα ή να

καταναλώσει λίγο λιγότερο, να επενδύσει ένα ποσοστό του εισοδήματος σε ένα

κεφαλαιακό στοιχείο και να καταναλώσει το πόσο της επένδυσης συν την απόδοση

(payoff) στο μέλλον.

• Η τιμή ισορροπίας ενός κεφαλαιακού στοιχείου καθορίζεται από της εξής

συνθήκη: η μείωση της οριακής χρησιμότητας από την αγορά μιας επιπλέον

μονάδας κεφαλαιακού στοιχείου πρέπει να είναι ίση με την αναμενόμενη αύξηση

προεξοφλημένης χρησιμότητας από την μελλοντική κατανάλωση του payoff.

• Αν η τιμή δεν ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη, τότε ο καταναλωτής πρέπει να

συνεχίζει να αγοράζει ή να πουλάει το κεφαλαιακό στοιχείο μέχρι να την

ικανοποιήσει.

• Σκοπός του καταναλωτή είναι να εξασφαλίσει ένα σταθερό ποσό

κατανάλωσης στο χρόνο, με άλλα λόγια, να μειώσει την διακύμανση της

κατανάλωσης (υπόθεση ισόβιου εισοδήματος, permanent income hypothesis).

• Αυτό μπορεί να το πετύχει κρατώντας ένα κεφαλαιακό στοιχείο του οποίου οι

αποδόσεις παρουσιάζουν αρνητική συσχέτιση με την κατανάλωση (= εισόδημα ή

ΑΕΠ σε όρους της μακροοικονομίας).

• Με τον τρόπο αυτό, ο επενδυτής μπορεί να αύξηση την κατανάλωση όταν το

εισόδημα του πέφτει λόγω μιας μη προβλέψιμης οικονομικής ύφεσης.

• Ο κεντρικός ρόλος των κεφαλαιακών στοιχείων έγκειται στο ότι, υπό τις

παραπάνω συνθήκες, σταθεροποιούν την κατανάλωση διαχρονικά. Με άλλα λόγια,

λειτουργούν ως ασφάλεια για περιπτώσεις ανάγκης στις οποίες το εισόδημα μας

μειώνεται απρόβλεπτα λόγω εξωγενών παραγόντων.

• ∆εδομένου ότι τα κεφαλαιακά στοιχεία έχουν υψηλές αποδόσεις σε κάποιες

φάσεις του οικονομικού κύκλου και χαμηλές αποδόσεις σε κάποιες άλλες, θα

θέλαμε να κρατάμε επενδύσεις οι οποίες έχουν υψηλές αποδόσεις όταν το

εισόδημα μας (και κατά συνέπεια, η κατανάλωση μας) είναι υψηλό(ή).

• Για το λόγο αυτό είμαστε διατεθειμένοι να πληρώσουμε μια υψηλότερη τιμή

για μια επένδυση της οποίας η αναμενόμενη απόδοση έχει αρνητική συσχέτιση με

την κατανάλωση (εισόδημα).

• Κατά συνέπεια, το ασφάλιστρο κινδύνου ενός αξιογράφου πάνω από το

επιτόκιο μηδενικού κινδύνου καθορίζεται από την συσχέτιση της απόδοσης του

αξιογράφου με τον ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης. Συγκεκριμένα, το

ασφάλιστρο κινδύνου είναι θετική συνάρτηση αυτής της συσχέτισης.

Το βασικό υπόδειγμα αποτίμησης • Ποια είναι η αξία της μελλοντικής πληρωμής, 1+tX , ενός τίτλου τον οποίο

αγοράζει ο επενδυτής κατά την περίοδο t με σκοπό να τον ρευστοποιήσει την

περίοδο t+1;

ο Αν, για παράδειγμα, ο τίτλος αυτός είναι μια μετοχή, τότε η πληρωμή

(payoff) του τίτλου την επόμενη περίοδο είναι το μέρισμα 1+tD συν η τιμή, 1+tP ,

στην οποία ρευστοποιείται η μετοχή:

+= ++ 11 tt PX 1+tD

ο Το 1+tX είναι μια τυχαία μεταβλητή, δηλ. υπάρχει αβεβαιότητα ως προς την

μελλοντική αξία του τίτλου.

• Για να υπολογίσουμε την αξία 1+tX ενός τίτλου για τον επενδυτή πρέπει να

ορίσουμε το πρόβλημα του επενδυτή.

• Η συνάρτηση χρησιμότητας ενός επενδυτή, U, εξαρτάται από την σημερινή

και μελλοντική του κατανάλωση, C:

)]([)(),( 11 ++ += ttttt CuECuCCU β

όπου 10 << β είναι ο υποκειμενικός συντελεστής προεξόφλησης του επενδυτή

και )(uEt είναι η δεσμευμένη μαθηματική ελπίδα του u δεδομένης της

πληροφόρησης έως την περίοδο .t

• Η χρησιμότητα (.)u είναι θετική αλλά φθίνουσα συνάρτηση της

κατανάλωσης, δηλαδή ,0>′u .0<′′u

• Η μελλοντική κατανάλωση έχει μικρότερη χρησιμότητα από την σημερινή, για

αυτό και προεξοφλείται σε όρους σημερινής χρησιμότητας με συντελεστή .1<β

• Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο επενδυτής :

ο Έχει εξωγενές εισόδημα tY and .1+tY

ο Μπορεί να αγοράσει ή να πουλήσει έναν τίτλο στην τιμή tP ο οποίος του

δίνει ένα payoff ,)1( 111 +++ =+= ttttt RPrPX όπου 1+tR είναι η απόδοση του τίτλου.

• Τι ποσότητα ξ του τίτλου θα αγοράσει ή (θα πουλήσει);

Το πρόβλημα έχει την εξής μαθηματική δομή:

[ ]

ξξ

βξ

111

)]([)(max

+++

+=−=

ttt

XYCPYCts

CuECuU

Αντικαθιστώντας τους περιορισμούς και θέτοντας oτην παράγωγο της U ως

προς το ξ ίση με το μηδέν, βρίσκουμε τη συνθήκη άριστης κατανάλωσης :

(1)

• :)( tt CuP ′ οριακή μείωση χρησιμότητας από την αγορά μιας επιπλέον μονάδας

τίτλων.

• :)([ 11 ++′ ttt XCuE β οριακή αύξηση (αναμενόμενης, προεξοφλημένης)

χρησιμότητας από το payoff του τίτλου.

Η σχέση (1) μπορεί να γραφεί ως :

])([)( 11 ++′=′ ttttt XCuECuP β

(2)

• Η σχέση (2) είναι η κεντρική φόρμουλα αποτίμησης .

• ∆εδομένου του payoff, του συντελεστή προεξόφλησης και της οριακής

χρησιμότητας, η σχέση (2) καθορίζει την τιμή την οποία ο επενδυτής είναι

διατεθειμένος να πληρώσει για τον τίτλο.

Οριακός λόγος υποκατάστασης και στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης Ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης (stochastic discount factor, SDF)

μπορεί να οριστεί ως εξής :

(3)

Σύμφωνα με την (3), στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης είναι ίσος με τον

οριακό λόγο υποκατάστασης μεταξύ παρούσας και μελλοντικής κατανάλωσης.

Η κεντρική φόρμουλα αποτίμησης μπορεί να γραφτεί:

)( 11 ++= tttt XMEP (4)

Σημείωση 1: Ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης SDF είναι μια σταθερά

])()([ 1

′′

= tt

ttt X

CuCuEP β

)()( 1

tt Cu

CuM′′

= ++ β

β όταν η χρησιμότητα είναι γραμμική συνάρτηση της κατανάλωσης γιατί τότε η

οριακή χρησιμότητα είναι σταθερή. Για παράδειγμα, εάν tt bCau += , τότε

aCuCu tt =′=′ + )()( 1 και .)()(

11 βββ === ′

′+

+aa

CuCu

t t

tM Κατά συνέπεια, στην περίπτωση

αυτή, το υπόδειγμα του καταναλωτή περιορίζεται στο γνωστό υπόδειγμα

παρούσας αξίας με σταθερό συντελεστή προεξόφλησης, )( 1+= ttt XEP β .

Για να ορίσουμε την tP πιο συγκεκριμένα, πρέπει να συγκεκριμενοποιήσουμε την

συνάρτηση χρησιμότητας.

Συχνά χρησιμοποιούμε εκθετική χρησιμότητα (power utility):

)1(

)1(1)( γ

γ−

−= tt CCu (5)

με γ τον σταθερό συντελεστή σχετικής αποστροφής κινδύνου του καταναλωτή-

επενδυτή (CRRA: constant relative risk aversion). Παίρνοντας την παράγωγο

της (5), η οριακή χρησιμότητα είναι .)( γ−=′ tt CCu Επομένως, γ−′′ ++ = )( 11

)()(

tCC

CuCu και

από την (3) έχουμε :

Σημείωση :

∆ιαιρώντας την (4) με την τιμή ,tP και ορίζοντας την απόδοση του τίτλου ως:

=+1tR ,1

tPX +

η κεντρική φόρμουλα αποτίμησης μπορεί να γραφτεί σε όρους αποδόσεων αντί

τιμών:

γβ −++ = )( 11

tt C

)(1 11 ++= ttt RME (6)

• Σύμφωνα με την (6), η παρούσα αξία ενός ευρώ που επενδύουμε σήμερα σε

ένα αξιόγραφο ισούται με την αναμενόμενη απόδοση του προεξοφλημένη με τον

στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης 1+tM .

• Με άλλα λόγια, όταν ο καταναλωτής έχει κάνει τις επενδυτικές του επιλογές

και βρίσκεται σε ισορροπία, η αξία ενός ευρώ που καταναλώνεται σήμερα (=1

EUR) πρέπει να είναι ίση με την αξία ενός ευρώ που αποταμιεύεται και

καταναλώνεται στο μέλλον.

• Αν η χρησιμότητα είναι γραμμική συνάρτηση της κατανάλωσης, τότε, όπως

δείξαμε στη Σημείωση 1, ,β=M και η (6) γίνεται ,1)(

11 RRE tt==

+β η οποία είναι ο

γνωστός ορισμός του σταθερού συντελεστή προεξόφλησης. Στην περίπτωση

αυτή, η αναμενόμενη απόδοση του τίτλου είναι σταθερά.

Το πρόβλημα του καταναλωτή με δεδομένο

αρχικό πλούτο

Στο προηγούμενο υπόδειγμα υποθέσαμε ότι ο καταναλωτής έχει ένα εξωγενές

εισόδημα το οποίο κατανέμει μεταξύ κατανάλωσης και αποταμίευσης με σκοπό την

μεγιστοποίηση της χρησιμότητάς του. Εναλλακτικά μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο

επενδυτής γεννιέται με πλούτο 0W και δεν έχει εισόδημα από εργασία. Κατά

συνέπεια, καταναλώνει στη διάρκεια της ζωής του τον πλούτο που έχει

κληρονομήσει. Ο επενδυτής καταναλώνει τη περίοδο t ένα ποσό tC του πλούτου

του και επενδύει τον εναπομένοντα πλούτο σε ένα αξιόγραφο (το χαρτοφυλάκιο

πλούτου). Κατά συνέπεια, ο πλούτος τη περίοδο 1+t είναι: )(11 ttwtt CWRW −= ++ ,

όπου wtR 1+ είναι η απόδοση του χαρτοφυλακίου πλούτου.

Υποθέτουμε ότι ο επενδυτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα του σε 2 περιόδους με

τον διαχρονικό περιορισμό του πλούτου:

)(:..

)()()(max

1, 1

ttwtt

tttcc

CWRWts

CuECuCUtt

−=

Την τελευταία περίοδο, ο καταναλωτής καταναλώνει το υπόλοιπο του πλούτου του,

11 ++ = tt WC . Αντικαθιστώντας τον περιορισμό του πλούτου στην συνάρτηση

χρησιμότητας, μετατρέπουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης σε

[ ] .))(()(maxmax 1 ttwtttcc

CWRuECuUtt

−+= +β

Η συνθήκη πρώτης τάξης του προβλήματος αυτού είναι:

.0))('()( 11 =+′− ++wtttt RCuECu β

∆ιασκευάζοντας την τελευταία εξίσωση, παίρνουμε για το χαρτοφυλάκιο πλούτου:

.1)()(

11 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

++ w

tt R

CuCu

E β

Η εξίσωση αυτή πρέπει να ισχύει για κάθε αξιόγραφο i. Κατά συνέπεια:

.1)()(

11 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

++ i

tt R

CuCu

E β

Επίσης, η συνθήκη αυτή πρέπει να ισχύει για όλα τα αξιόγραφα. Έτσι, για ένα σετ

Κ αξιόγραφων με (K x 1) διάνυσμα αποδόσεων 1+tR :

ktt

tt iR

CuCu

E =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

)()(

όπου ki το (K x 1) μοναδιαίο διάνυσμα.

Υπόδειγμα παρούσας αξίας με στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης

Για να συνδέσουμε τη φόρμουλα αυτή με το υπόδειγμα παρούσας αξίας του

προηγούμενου κεφαλαίου, αρκεί να θυμηθούμε τον ορισμό του payoff ως:

111 +++ += ttt DPX . Αντικαθιστώντας στη (2), έχουμε μια διαφορική συνάρτηση

πρώτου βαθμού ως προς το P:

)]([ 111 +++ += ttttt DPMEP

όπου )()( 1

tt Cu

CuM

′′

= ++ β ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης.

Λύνοντας την εξίσωση έχουμε

( ) ( ))(lim110

TtTttTjtjttj

t PMEDMEP ++∞→++++

∞

+= ∑

η οποία είναι το γνωστό υπόδειγμα παρούσας αξίας. Ο συντελεστής

προεξόφλησης μελλοντικών μερισμάτων είναι στοχαστικός και εξαρτάται από την

αλλαγή της οριακής χρησιμότητας του καταναλωτή.

To παρακάτω διάγραμμα δείχνει την παρούσα αξία του χρηματιστηριακού δείκτη

των ΗΠΑ από το 1871 έως το 2003 σύμφωνα με το υπόδειγμα του καταναλωτή

με εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας και γ=3, δηλ. 311 )( −++ =

tt C

CM και την

συγκρίνει με την παρούσα αξία του κλασσικού υποδείγματος μελλοντικών

μερισμάτων με (1) σταθερό και (2) κυμαινόμενο συντελεστή προεξόφλησης

(=πραγματικό επιτόκιο στο t + μέσο ιστορικό ασφάλιστρο κινδύνου).

100

1000

10000

1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

Year

Pric

Real Stock Price (S&P 500)

PDV, Constant Discount Rate

PD, Interest Rates

PDV, Consumption

Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου Πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κεντρική φόρμουλα αποτίμησης (4) για

να καθορίσουμε την απόδοση ενός τίτλου μηδενικού κινδύνου;

• Ας υποθέσουμε ότι ο τίτλος κοστίζει 1 ευρώ και υπόσχεται ένα σίγουρο

payoff ft

ft rR 11 1 ++ += στο ,1+t όπου f

tr 1+ είναι το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου.

ο "Μηδενικού κινδύνου " επειδή είναι γνωστό στην περίοδο ,t κατά συνέπεια

δεν υπάρχει αβεβαιότητα ως προς την απόδοση του τίτλου. .

• Τότε, από την )( 11 ++= tttt XMEP προκύπτει :

⇒== ++++ftt

ftt RMERME 1111 )()(1

)(1

++ =

ft MER

∆ιακρίνουμε δύο περιπτώσεις :

1. ∆εν υπάρχει αβεβαιότητα όσον αφορά τη μελλοντική κατανάλωση.

• Χρησιμοποιώντας εκθετική χρησιμότητα και , κατά συνέπεια, την (6) για να

αντικαταστήσουμε το ,1+tM έχουμε:

β)(1 1

ft C

CER +

+ = (7)

• Ορίζω :

ο )/ln( 11 ttt CCc ++ =Δ και ft

ft Rr 11 ln ++ =

ο Παίρνω λογάριθμους της (7) :

(7΄)

ο Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου είναι υψηλό όταν οι καταναλωτές-επενδυτές

είναι ανυπόμονοι, δηλ. το β είναι χαμηλό.

ο Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου είναι υψηλό όταν ο ρυθμός ανόδου της

κατανάλωσης είναι υψηλός.

ο Με υψηλά επιτόκια οι καταναλωτές προτιμούν να αποταμιεύσουν με σκοπό να

αυξήσουν τη μελλοντική κατανάλωση. Επομένως, η κατανάλωση σήμερα, tC , θα

είναι χαμηλή και η μελλοντική κατανάλωση, 1+tC , θα είναι υψηλή, δηλ. ο ρυθμός

αύξησης της κατανάλωσης θα είναι υψηλός.

2. Υπάρχει αβεβαιότητα όσον αφορά την μελλοντική κατανάλωση.

Για να λύσουμε ως προς το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου υποθέτουμε ότι ο

ρυθμός μεταβολής της κατανάλωσης και το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου

ακολουθούν από κοινού μια λογαριθμική κανονική κατανομή.

• Γνωρίζουμε ότι αν ,(μNz ∼ ),2σ τότε .)(2

21σμ+= eeE z Τότε:

11 2ln tctt

ft cEr Δ++ −Δ+−= σγγβ (8)

όπου 1+Δ tt cE είναι ο αναμενόμενος ρυθμός μεταβολής της κατανάλωσης και 2,tcΔσ

η αναμενόμενη διακύμανση της κατανάλωσης, δεδομένης της πληροφόρησης την

περίοδο t.

• Η σχέση (8) διαφέρει από την σχέση (7΄) μόνο ως προς τον όρο 2,2

tcΔ− σγ .

Ο όρος αυτός περιγράφει την επίδραση της αβεβαιότητας στο επιτόκιο μηδενικού

κινδύνου.

1ln +Δ+−= ttft cEr γβ

• Όταν η διακύμανση κατανάλωσης και (κατά συνέπεια η

αβεβαιότητα) αυξάνει, οι καταναλωτές αυξάνουν τις αποταμιεύσεις

τους για να αντιμετωπίσουν περιόδους χαμηλού εισοδήματος.

• Κατά συνέπεια, το επιτόκιο μειώνεται λόγω αύξησης της

προσφοράς πόρων.

Εφαρμογή της φόρμουλας αποτίμησης όταν 1+tM και 1+tR ακολουθούν την λογαριθμοκανονική κατανομή: Οι αναμενόμενες αποδόσεις των αξιόγραφων καθορίζονται από την συνθήκη

( ) 0log 1,1 =++ titt RME

Γνωρίζουμε ότι για μια τυχαία μεταβλητή Χ η οποία ακολουθεί την

λογαριθμοκανονική κατανομή, ( ) )(21)(log 111 +++ += tttttt xVarxEXE , όπου

)log( 11 ++ = tt Xx . Κατά συνέπεια, αν 1+tM και 1, +tiR ακολουθούν μια από κοινού

λογαριθμοκανονική κατανομή,

( ) ( ) 021log 1,11,11,1 =+++= ++++++ tittittttitt rmVarrEmERME

• Αντικαθιστώντας την 11 )log( ++ Δ−= tt cm γβ στην εξίσωση και λύνοντας ως

προς την αναμενόμενη απόδοση του αξιόγραφου, καταλήγουμε στο υπόδειγμα

αποτίμησης.

∆ιόρθωση τιμολόγησης για κίνδυνο

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνδιακύμανσης :

)()()(),cov( XEMEMXEXM −= (9)

μπορούμε να γράψουμε την κεντρική φόρμουλα αποτίμησης (2):

][ 11 ++= tttt XMEP

ως

),(cov)()( 1111 ++++ += tttttttt XMXEMEP

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του επιτοκίου μηδενικού κινδύνου ,)(1

1 1+=+ tt ME

ftR

έχουμε:

),(cov)(11

1++

+ += tttft

ttt XM

RXEP (10)

Απόδειξη της (8):

Αν 1+tM και ftR 1+ ακολουθούν μια από κοινού λογαριθμοκανονική κατανομή,

( ) ( ) 021log 111111 =+++= ++++++

fttt

ftttt

fttt rmVarrEmERME

Το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου είναι γνωστό στο t και κατά συνέπεια ft

ftt rrE 11 ++ =

και ( ) 01 =+ftt rVar . Αντικαθιστώντας την 11 )log( ++ Δ−= tt cm γβ στην εξίσωση και

λύνοντας ως προς το ftr 1+ , καταλήγουμε στην (8).

• Ο πρώτος όρος της (10) είναι η συνήθης φόρμουλα προεξόφλησης. Μας δίνει

τη τιμή του τίτλου σε ένα κόσμο χωρίς κίνδυνο (π.χ. όταν η χρησιμότητα είναι

γραμμική συνάρτηση της κατανάλωσης, ή η κατανάλωση είναι σταθερή και η

χρησιμότητα μη γραμμική και κατά συνέπεια οι επενδυτές είναι ουδέτεροι στον

κίνδυνο).

• Ο δεύτερος όρος της (10) είναι η διόρθωση της τιμής για την ύπαρξη

κινδύνου. Ένας τίτλος του οποίου το payoff παρουσιάζει θετική συνδιακύμανση

με τον στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης SDF έχει υψηλότερη τιμή από έναν

τίτλο του οποίου το payoff παρουσιάζει αρνητική συνδιακύμανση με τον

στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης SDF.

• Για να γίνει αντιληπτή η οικονομική σημασία της διόρθωσης κινδύνου, πρέπει

να θυμηθούμε τι αντιπροσωπεύει ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης

(SDF). Από τον ορισμό του SDF όταν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι εκθετική:

και από την (10), προκύπτει:

(11)

• Η οριακή χρησιμότητα μειώνεται όταν αυξάνεται η κατανάλωση. Για τον λόγο

αυτό, η τιμή ενός τίτλου μειώνεται όταν το payoff συσχετίζεται θετικά με τον

ρυθμό ανόδου της κατανάλωσης. Αντίθετα η τιμή ενός τίτλου αυξάνεται όταν το

payoff συσχετίζεται αρνητικά με τον ρυθμό ανόδου της κατανάλωσης.

• Ο λόγος είναι ότι οι καταναλωτές επιθυμούν να μειώσουν τη διακύμανση της

γβ −++ = )( 1

tt C

),)(cov()(

111

+−++ += t

tft

tt X

RXE

P γβ

κατανάλωσης διαχρονικά.

ο Ένας τίτλος του οποίου το payoff συσχετίζεται θετικά με τον ρυθμό

ανόδου της κατανάλωσης, αυξάνει το εισόδημά του καταναλωτή όταν αυτό είναι

ήδη υψηλό και το μειώνει όταν αυτό είναι ήδη χαμηλό. Κατά συνέπεια ο

καταναλωτής είναι διατεθειμένος να τον αγοράσει μόνο σε μία χαμηλή τιμή.

ο Αντίθετα, ο καταναλωτής είναι διαθετημένος να αγοράσει έναν τίτλο με

αρνητική συσχέτιση με την κατανάλωση σε μια υψηλότερη τιμή διότι το εισόδημα

από αυτόν τον τίτλο μειώνει την διακύμανση της κατανάλωσης.

• Ένα παράδειγμα της αρχής αυτής είναι η ασφάλιση. Η ασφάλεια αποζημιώνει

ακριβώς όταν την έχουμε ανάγκη, π.χ. όταν καεί το σπίτι μας. Για το λόγο αυτό

πληρώνουμε ευχαρίστως τα ασφάλιστρα, παρότι

ο η στατιστική πιθανότητα να καεί το σπίτι μας μπορεί να είναι μικρή, και

ο η τιμή της ασφάλισης για το μέσο ασφαλιζόμενο είναι υψηλότερη από την

αναμενόμενη αποζημίωση προεξοφλημένη με το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου.

Χρησιμοποιώντας την απεικόνιση της κεντρικής φόρμουλας αποτίμησης σε όρους

αποδόσεων, έχουμε

)(1 11 ++= ttt RME (6)

όπου t

tPX

tR 11

+=+ είναι η απόδοση ενός τίτλου.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της συνδιακύμανσης

)()()(),cov( 111111 ++++++ −= tttttt REMERMERM

μπορούμε να γράψουμε την (6) ως :

(12)

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του επιτοκίου μηδενικού κινδύνου , ,)(1

1 1+=+ tME

ftR

έχουμε:

),cov()( 1111 +++++ −=− ttft

ftt RMRRRE (13)

),)()(

cov()( 11

111 ++

+++ ′′

−=− tt

tft

ftt R

CuCu

RRRE β (14)

• Η απόδοση ενός τίτλου είναι ίση με το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου συν ένα

ασφάλιστρο κινδύνου, το οποίο εξαρτάται από την συνδιακύμανση μεταξύ της

απόδοσης του τίτλου και του λόγου υποκατάστασης παρούσας με μελλοντική

κατανάλωση.

Αν υποθέσουμε μια συγκεκριμένη συνάρτηση χρησιμότητας, π.χ. εκθετική

χρησιμότητα, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την οριακή χρησιμότητα με την

κατανάλωση. Από την σχέση (14) προκύπτει:

),(cov)( 111ittt

it RcRRE +++ Δ=− γ (15)

• Το ασφάλιστρο κινδύνου είναι γραμμική συνάρτηση της συνδιακύμανσης

μεταξύ της απόδοσης του τίτλου και του ρυθμού ανόδου της κατανάλωσης.

• Τίτλοι, των οποίων οι αποδόσεις παρουσιάζουν θετική (αρνητική) συσχέτιση

με την κατανάλωση, έχουν θετικό (αρνητικό) ασφάλιστρο κινδύνου.

),cov()()(1 1111 ++++ += tttt RMREME

ο Σε οικονομικούς όρους, οι επενδυτές πρέπει να προσδοκούν απόδοση

μεγαλύτερη από το επιτόκιο μηδενικού κίνδυνου για να κρατήσουν ένα τίτλο ο

οποίος αυξάνει την διακύμανση της κατανάλωσης (κίνδυνος).

ο Αντίθετα, οι επενδυτές είναι διατεθειμένοι να κρατήσουν έναν τίτλο ο οποίος

μειώνει την διακύμανση της κατανάλωσης, έστω εάν έχει αναμενόμενη απόδοση

μικρότερη από το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου.

ο Γενικά, η αναμενόμενη απόδοση ενός τίτλου είναι θετική συνάρτηση του

κινδύνου. ∆ιαφορετικά κανείς επενδυτής δε θα κρατούσαν τίτλους υψηλού

κινδύνου.

ο Σημείωση: Όπως προκύπτει από τον ορισμό της αναμενόμενης απόδοσης

ttttt PXERE /)()( 11 ++ = , με δεδομένο το αναμενόμενο payoff, τίτλοι με χαμηλή

(υψηλή) τιμή έχουν υψηλή (χαμηλή) αναμενόμενη απόδοση.

Λήμμα του Stein:

Έστω tx , ty και tf τυχαίες μεταβλητές και ).( tt fgy = Εάν tx και tf

ακολουθούν την διμεταβλητή κανονική κατανομή, η g είναι παραγωγίσημη και

,)( ∞<′gEt τότε

cov tx t1 ,gf t1 Etg′cov tx t1 , f t1

Απόδειξη της (15)

Για την απόδειξη της (15) ξεκινάμε από την (13) με

( ) .111 )(ln)/(ln)(ln1

+++ Δ−−−

+ === ttt

t cCCCC

t eeeM γβγβγβ

Εφαρμόζοντας το λήμμα του Stein:

( )( ) ).,(cov)(,cov),cov( 1111111 i

tttttitC

itt RcMERRM

t++++

−

++ Δ−== + γβγ Αντικαθιστώντας

στην )(),cov(

1 1

11)(+

++−=−+ t

itt

MERMf

tit RRE , έχουμε: ).,(cov)( 111

ittt

it RcRRE +++ Δ=− γ

Στατιστικά δεδομένα και χαρακτηριστικά

του στοχαστικού συντελεστή

προεξόφλησης

Πίνακας 2: Ονομαστικές αποδόσεις στις ΗΠΑ

1871-1999 1926-1999

Μέσος Τυπ. Απ. Μέσος Τυπ. Απ.

)1ln( R+ 0.090 0.167 0.105 0.182

)1ln( fr+ 0.047 0.026 0.046 0.033

)1ln( π+ 0.018 0.075 0.030 0.044

R 0.109 0.177 0.129 0.192

rf 0.049 0.028 0.048 0.035

0.021 0.075 0.031 0.045

Σημείωση: :R Απόδοση μετοχών , :fr ονομαστικό επιτόκιο μηδενικού

κινδύνου, :π πληθωρισμός.

Πίνακας 3: Πραγματική υπερβάλλουσα απόδοση μετοχών ΗΠΑ

1871-1999 Re

Μέσος 0.057

Τυπ. Απ. 0.181

1926-1999 Re

Μέσος 0.079

Τυπ. Απ 0.195

Αποδόσεις χρηματιστηρίου και ΕΓΕ∆ στις ΗΠΑ 1927-2002.

Αποδόσεις και κίνδυνος (τυπική απόκλιση) 1947-1996

Πραγματικές (αποπληθωρισμένες) αποδόσεις και κίνδυνος 1927-2002

Ομόλογα Μετοχές-Ομόλογα

Μέση ετήσια απόδοση 1.1 7.7

Τυπική απόκλιση 8.6 20.8

Αξία ενός δολαρίου το 2002 το οποίο επενδύθηκε το 1927:

Στο χρηματιστήριο: 1 x (1+0.07+0.011)(2004-1927) = 574 δολάρια

Σε ομόλογα: 1 x (1+0.011)(2004-1927) = 2.3 δολάρια

Πίνακας 4: Πραγματικό επιτόκιο μηδενικού κινδύνου ΗΠΑ και SDF

1871-1999 fr+11

Μέσος 0.974

Τυπ. Απ. 0.076

1926-1999 1

1rf

Μέσος 0.985

Τυπ. Απ. 0.046

Σημείωση: fr+11 είναι η αποπληθωρισμένη τιμή ενός ετήσιου ομολόγου.

Τι μας λένε τα δεδομένα των επιτοκίων μηδενικού κινδύνου για τον μέσο και την

διακύμανση του Μ;

⇔= )(1 fMRE

1 EMERf

covM,Rf

,974.0)()()(11

1 ≈=⇔=+ fr

f EMEMRE .076.0)var()var(1

1 ≈=+ fr

Αναμενόμενες αποδόσεις και beta

Το ασφάλιστρο κινδύνου ενός τίτλου είναι το γινόμενο δυο παραγόντων: της

ποσότητας του κινδύνου και της τιμής του κινδύνου. Αυτό φαίνεται εύκολα από

την (13), η οποία μπορεί να αναλυθεί ως εξής :

( )( )m

itt

MEM

MRMf

tit RRE

λβ4342143421 )(

)var()var(

),cov(1 1

11)(+

++−=+

mmift

it RRE λβ ,1 )( −=+ (16)

όπου mi,β είναι ο συντελεστής παλινδρόμησης του itR 1+ στο .1+tM

• Η σχέση (16) είναι ένα υπόδειγμά αποτίμησης beta (beta pricing model).

• Σύμφωνα με την (16), οι αναμενόμενες αποδόσεις τίτλων ,,...,1 Ni = είναι

ανάλογες των beta (συστηματικός κίνδυνος) των τίτλων .

• Τα beta αντιπροσωπεύουν την ποσότητα κινδύνου, ενώ mλ είναι η τιμή του

κινδύνου, και είναι κοινό για όλους τους τίτλους.

Με εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας, γβ −++ = )/( 11 ttt CCM , και η σχέση (16)

γίνεται:

(16’)

• Σύμφωνα με την απεικόνιση (16’), οι αποδόσεις είναι γραμμική συνάρτηση

)var(),cov(

),var(

)(

11,

++Δ

+Δ

ΔΔ+

ΔΔ

Δ=

tit

ccift

ccR

RRE

γλ

λβ

των beta με τον ρυθμό ανόδου της κατανάλωσης.

• Η τιμή του κινδύνου είναι θετική συνάρτηση του βαθμού αποστροφής του

κινδύνου, ,γ και της διακύμανσης της κατανάλωσης.

• Όσο λιγότερο ριψοκίνδυνοι είναι οι επενδυτές, (μεγαλύτερο )γ και όσο πιο

επικίνδυνο είναι το οικονομικό περιβάλλον (υψηλή διακύμανση του ( ))cΔ τόσο

μεγαλύτερο το απαιτούμενο ασφάλιστρο κινδύνου.

Το αποδοτικό όριο των επενδυτικών

δυνατοτήτων της οικονομίας

• Το σύνολο των επενδυτικών δυνατοτήτων μιας οικονομία (mean variance

frontier) καθορίζεται από την διακύμανση του στοχαστικού συντελεστή

προεξόφλησης.

• Για τον υπολογισμό του αποδοτικού ορίου, ξεκινάμε από την κεντρική

φόρμουλα αποτίμησης:

⇒+== ++++++ ),cov()()()(1 111111itt

itt

ittt RMREMERME

⇒+= ++++ )()()()(1 11,11ittRM

itt RMREME σσρ ι

)()()()( 1

1,1

tRM

it R

MEMRRE +

++ −=− σ

σρ ι (17)

Λόγω του ότι ο συντελεστής συσχέτισης ,11,

≤≤− ιρRM

όλοι οι τίτλοι πρέπει να

έχουν αναμενόμενη υπερβάλλουσα απόδοση:

)()()(|)(| 1

tft

it R

MEMRRE +

++ ≤− σσ (18)

• Η σχέση (18) ορίζει το σύνολο των πιθανών συνδυασμών μεταξύ απόδοσης

και κινδύνου μιας οικονομίας.

• Όλοι οι συνδυασμοί )()( 11it

it RRE ++ −σ πρέπει να βρίσκονται στην περιοχή Ω

του διαγράμματος 4.

σ(R)

Ε(R)

Figure 4: Mean-variance frontier

Tangency portfolio

Mean variance frontierof risky assets

• Το όριο του συνόλου των επενδυτικών δυνατοτήτων BAR f είναι το

αποδοτικό όριο, το οποίο υπολογίζεται από την (17) θέτοντας .1,

=− ιρRM

• Όλες οι αποδόσεις πάνω στο όριο BAR f παρουσιάζουν τέλεια συσχέτιση με

τον συντελεστή προεξόφλησης.

ο Αποδόσεις πάνω στο fAR παρουσιάζουν τέλεια αρνητική συσχέτιση με τον

συντελεστή προεξόφλησης, δηλ. τέλεια θετική συσχέτιση με την κατανάλωση.

Επομένως έχουν τον υψηλότερο κίνδυνο και κατά συνέπεια την υψηλότερη

απόδοση.

ο Αποδόσεις πάνω στο BR f παρουσιάζουν τέλεια θετική συσχέτιση με τον

συντελεστή προεξόφλησης, δηλ. τέλεια αρνητική συσχέτιση με την κατανάλωση.

Επομένως έχουν τον χαμηλότερο κίνδυνο και κατά συνέπεια την χαμηλότερη

απόδοση.

• Όλες οι αποδόσεις πάνω στο όριο παρουσιάζουν τέλεια συσχέτιση μεταξύ

τους καθώς έχουν τέλεια συσχέτιση με τον συντελεστή προεξόφλησης. Κατά

συνέπεια μπορούμε να αναπαράγουμε κάθε απόδοση mvR πάνω στο όριο BAR f

ως γραμμικό συνδυασμό δυο άλλων αποδόσεων που βρίσκονται επίσης πάνω στο

όριο, π.χ.

)( fmfmv RRaRR −+=

για κάποια σταθερά .a

Η μέγιστη υπερβάλλουσα απόδοση ανά μονάδα κινδύνου (μέγιστο Sharpe ratio)

που προσφέρει μια οικονομία καθορίζεται από τον βαθμό αποστροφής του

κινδύνου και την διακύμανση της κατανάλωσης.

Ο λόγος υπερβάλλουσας απόδοσης προς κίνδυνο είναι γνωστό ως Sharpe ratio:

Sharpeit

ftt

RRRE =

+ −

)()(

σ ratio

Η κλίση του mean-variance frontier είναι το μέγιστο Sharpe ratio που μπορεί

να μας προσφέρει μια οικονομία . Η κλίση αυτή είναι:

ftt

tit

ftt RM

MEM

RRRE )(

)()(

+ ==− σσ

σ (19)

Σύμφωνά με την ),19( το μέγιστο Sharpe ratio μιας οικονομίας είναι θετική

συνάρτηση της διακύμανσης του στοχαστικού συντελεστή αποτίμησης και του

επιτοκίου μηδενικού κινδύνου.

Για να προσδιορίσουμε με μεγαλύτερη ακρίβεια τις οικονομικές μεταβλητές που

καθορίζουν το μέγιστο Sharpe ratio μπορούμε να υποθέσουμε εκθετική

χρησιμότητα. Οπότε : .)/( 11γβ −

++ = ttt CCM Στη περίπτωση αυτή η (19)

γίνεται:

)()()(

)()(

+ Δ≈=−

tit

ftt c

MEM

RRRE γσσ

σ (20)

• Το μέγιστο Sharpe ratio μιας οικονομία είναι θετική συνάρτηση του βαθμού

αποστροφής κινδύνου και της διακύμανσης της κατανάλωσης.

ο Όσο περισσότερο αποστρέφεται τον κίνδυνο ο επενδυτής, τόσο υψηλότερο το

απαιτούμενο ασφάλιστρο για κάθε μονάδα κινδύνου.

ο Όσο πιο επικίνδυνο είναι το οικονομικό περιβάλλον (υψηλή διακύμανση του

cΔ ), τόσο μεγαλύτερο το απαιτούμενο ασφάλιστρο για κάθε μονάδα κινδύνου.

Τι μας λένε τα δεδομένα της

υπερβάλλουσας απόδοσης μετοχών για το

μέσο και τη διακύμανση του Μ;

⇔= )(0 eMRE

0 EMERe

≠0

covM,Re

⇔−=−= )()()(),(

)(),cov()( ME

RMRMMERMe eee

RE σσρ

⇔−= )()(

)()( ),( ME

MeRRE RMe

e σσ

⇔≤×→≤ )(974.0

181.0057.0

)()(

)()( M

ratioSharpe

MEM

RREe

σσσ

)(305.0313.0974.0 Mσ≤=×

Ελάχιστη τυπική απόκλιση M = 0.305

Ελάχιστη διακύμανση M = (0.305 2) = 0.093.

Το παζλ του ασφάλιστρου κινδύνου των

μετοχών

Αν το υπόδειγμα CCAPM έχει εμπειρική ισχύ, τότε το Sharpe ratio μιας αγοράς

έχει ένα ανώτατο όριο. Από την σχέση (10) και (20)

)()(

)(1

+ Δ≤−

tit

ftt c

RRRE γσ

σ (21)

• Το ανώτατο όριο του Sharpe ratio είναι ).( 1+Δ tcγσ

• Για να ισχύει η σχέση (21), τογ πρέπει να είναι πολύ υψηλό.

ο Για παράδειγμα , στις ΗΠΑ κατά τα τελευταία 50 χρόνια η πραγματική

απόδοση του χρηματιστηρίου ήταν 9%, το πραγματικό επιτόκιο εντόκων

γραμματίων του ∆ημοσίου ήταν 1% και η τυπική απόκλιση των αποδόσεων του

Χρηματιστηριακού ∆είκτη ήταν 16%. Κατά συνέπεια, .5.016.001.009.0

)()(

1 == −−

+it

ftt

RRRE

ο Από την άλλη μεριά, η τυπική απόκλιση του ρυθμού ανόδου της κατανάλωσης

ήταν 1%.

ο Για να ισχύει η ανισότητα (21), ο βαθμός αποστροφής κινδύνου των

επενδυτών, ,γ θα έπρεπε να είναι μεγαλύτερος από 50.

Το παραπάνω πρόβλημα πήρε την ονομασία equity premium puzzle από τους

Mehra και Prescott (1985).

Το παζλ του μηδενικού επιτοκίου κινδύνου

Από την άλλη μεριά, ακόμη και αν ήμασταν διατεθειμένοι να αποδεχτούμε ένα

τόσο υψηλό βαθμό αποστροφής κινδύνου για τους επενδυτές, το υπόδειγμα θα

μπορούσε να εξηγήσει το υψηλό ασφάλιστρο κινδύνου των μετοχών, αλλά όχι το

μέσο επιτόκιο μηδενικού κινδύνου. Το παζλ αυτό ονομάστηκε το παζλ του

μηδενικού επιτοκίου κινδύνου.

Για να γίνει κατανοητή αυτή η πρόταση, ας θυμηθούμε τη κεντρική φόρμουλα του

καθορισμού του επιτοκίου μηδενικού κινδύνου

11 2ln σγγβ −Δ+−= ++ tt

ft cEr (8)

Τα εμπειρικά δεδομένα για τη περίοδο 1948-2002 είναι

(όλα τα στοιχεία σε ποσοστιαίες μονάδες, δηλ. x 100, εκτός από Corr(∆c,r) και

Cov(∆c,r))

Ε(∆c) σ(∆c) Ε(r-rf) σ(R) Ε(rf) Corr(∆c,r) Cov(∆c,r)

1.31 1.93 7.21 18.0 1.0 0.40 0.14

Κατά συνέπεια, με γ=50 προκύπτει από την (8)

204.0ln1 =++ βftr

∆ύο είναι οι πιθανές εξηγήσεις

1. Αν υποθέσουμε μια λογική τιμή για το συντελεστή προεξόφλησης

μικρότερη της μονάδας, π.χ. β=0.97, τότε ln(0.97)=-0.03. Κατά συνέπεια,

το πραγματικό επιτόκιο μηδενικού κινδύνου θα έπρεπε να είναι 17%

(=0.20-0.03). Το ονομαστικό επιτόκιο θα πρέπει να είναι 17% +

πληθωρισμός. Επομένως, το υπόδειγμα δεν είναι σε θέση να εξηγήσει το

μέσο επιτόκιο της οικονομίας.

2. Για να εξηγήσουμε το μέσο πραγματικό επιτόκιο (1%), θα πρέπει να

υποθέσουμε β=1.17 (=exp(0.204-0.01), πράγμα που σημαίνει ότι οι

καταναλωτές είναι διατεθειμένοι να πληρώσουν ένα επιτόκιο 17% για να

αποταμιεύσουν για μια περίοδο. Αυτό όμως αντιβαίνει κάθε οικονομική

λογική.

Κατά συνέπεια, το υπόδειγμα δεν είναι σε θέση να εξηγήσει το επιτόκιο μηδενικού

κινδύνου με υψηλή αποστροφή στο κίνδυνο. Όμως ακόμη και αν ήταν σε θέση να

εξηγήσει το μέσο επιτόκιο, ένα γ=50 θα σήμαινε ότι μια αύξηση του αναμενόμενου

ρυθμού ανόδου της κατανάλωσης κατά μια μονάδα θα οδηγούσε σε μια άνοδο του

επιτοκίου κατά 50 ποσοστιαίες μονάδες (από 17% σε 67%), κάτι που δεν

παρατηρείται στη πραγματικότητα.

Τα εμπειρικά δεδομένα μπορούν να εξηγηθούν με τρεις τρόπους :

1) Οι υψηλές χρηματιστηριακές αποδόσεις του παρελθόντος είναι τυχαίες.

2) Υπάρχει μια θετική επιλεκτική μεροληψία στις μετρήσεις των μέσων

αποδόσεων.

3) Οι επενδυτές προσδοκούσαν ένα κραχ στα χρηματιστήρια το οποίο ποτέ δεν

συνέβη («πρόβλημα peso»).

4) Το υπόδειγμα CCAPM στην βασική (απλοϊκή) μορφή του είναι λάθος.

Εξήγηση 1. Το επιχείρημα αυτό σημαίνει ότι η αγορά ακολουθούσε συνεχώς μια

κερδοσκοπική φούσκα. Αυτό όμως δεν είναι μια ικανοποιητική εξήγηση.

Εξήγηση 2. Οι αποδόσεις του χρηματιστηριακού δείκτη δεν είναι

αντιπροσωπευτικές των αποδόσεων του συνόλου των εταιριών καθώς στο

χρηματιστηριακό δείκτη συμπεριλαμβάνονται μόνο οι εταιρίες που επέζησαν (και όχι

αυτές οι οποίες έκλεισαν). Κατά συνέπεια, οι αποδόσεις του δείκτη είναι

μεγαλύτερες από τις πραγματικές ιστορικές αποδόσεις του συνόλου των εταιριών.

Με άλλα λόγια, τα εμπειρικά δεδομένα πάνω στα οποία στηρίζεται το παζλ είναι

παραπλανητικά. Επιπλέον, οι ακαδημαϊκές μελέτες επικεντρώνονται στις Η.Π.Α.

όπου παρατηρούνται οι υψηλότερες ιστορικά αποδόσεις. Άλλα χρηματιστήρια δεν

παρουσιάζουν την ίδια εικόνα με αποτέλεσμα να υπάρχει μια θετική επιλεκτική

μεροληψία στις μετρήσεις των μέσων αποδόσεων (Brown, Goetzmann and Ross,

1995). Παρότι αρκετά άλλα ανεπτυγμένα χρηματιστήρια προσέφεραν αποδόσεις

συγκρίσιμες με τις Η.Π.Α. στη μεταπολεμική περίοδο, οι Jorion και Goetzmann

(1999) δείχνουν ότι οι αποδόσεις σε πολλά από τα χρηματιστήρια αυτά ήταν

χαμηλές στις αρχές του 20ου αιώνα.

Εξήγηση 3. Πολλοί ερευνητές ισχυρίζονται ότι τα Αμερικάνικα δεδομένα είναι

παραπλανητικά για διαφορετικό λόγο. Οι επενδυτές μπορεί να περίμεναν την

πιθανότητα ενός καταστροφικού γεγονότος που δεν έχει ακόμη συμβεί. Αυτό το

‘peso problem’ υπονοεί ότι η δειγματική μεταβλητότητα υποτιμά τον πραγματικό

κίνδυνο επένδυσης σε μετοχές. Έστω λοιπόν ότι ένα καταστροφικό γεγονός μπορεί

να οδηγήσει σε πολύ μεγάλες απώλειες των μετοχών (μεγάλες αρνητικές

αποδόσεις) και μεγάλη διακύμανση (κίνδυνο). Αν οι επενδυτές θεωρούν ότι υπάρχει

έστω και μια μικρή πιθανότητα ενός καταστροφικού συμβάντος, τότε η αναμενόμενη

απόδοση των μετοχών μπορεί να είναι πολύ μικρότερη από την δειγματική.

Συγκεκριμένα, αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν δυο καταστάσεις (1 και 2, όπου) και οι

επενδυτές προσδοκούν ότι στη κατάσταση 1 (2) η αναμενόμενη απόδοση πάνω από

το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου είναι Ε(R1) (Ε(R2)) και η τυπική απόκλιση σ(1) (σ(2))

και η δεσμευμένη πιθανότητα τη περίοδο t να βρίσκεται η αγορά την επόμενη

περίοδο στη κατάσταση 1 (2) είναι π (1-π), τότε η αναμενόμενη απόδοση είναι

)()1()()( 211 RRRE tt Ε−+Ε=+ ππ

Mε π=90% και Ε(R1)=8%, Ε(R2)=-30%, η αναμενόμενη απόδοση είναι 5.2%

(0.9*8+0.1*(-30)). Η κατάσταση 2 σπάνια συνέβη, και κατά συνέπεια η μέση

απόδοση της αγοράς ιστορικά ήταν 8%, η απόδοση στη καλή κατάσταση του κόσμου.

Παρόλαυτα, οι επενδυτές περίμεναν αποδόσεις χαμηλότερες από τον ιστορικό

αδέσμευτο μέσο, δηλ. 5.2%, επειδή προεξοφλούσαν την πιθανότητα ενός κραχ.

Επίσης, και η αναμενόμενη διακύμανση των αποδόσεων μπορεί να είναι πολύ

μεγαλύτερη από τη δειγματική διακύμανση.

222

122

12 )1()( σπσπσ −+=+ttE

Για παράδειγμα, με π=90% και σ1=18%, και σ2=70%, ο αναμενόμενος κίνδυνος

(τυπική απόκλιση) είναι 23.2% (0.9*18+0.1*70). Επειδή η κατάσταση 2 σπάνια

συνέβη, η τυπική απόκλιση των αποδόσεων της αγοράς ιστορικά ήταν 18%, ο

κίνδυνος στη καλή κατάσταση του κόσμου. Επειδή όμως οι επενδυτές

προεξοφλούσαν την πιθανότητα ενός κραχ, ο αναμενόμενος κίνδυνος ήταν

μεγαλύτερος, 23.2% έναντι 18%.

Κατά συνέπεια, η αναμενόμενη (δεσμευμένη) υπερβάλλουσα απόδοση ανά μονάδα

κινδύνου (Sharpe ratio) είναι μικρότερη από την δειγματική (αδέσμευτη) και το

παζλ δεν υφίσταται. To μέσο δεσμευμένο Sharpe ratio (δηλ. το Sharpe ratio που οι

επενδυτές προσδοκούσαν κατά μέσο όρο) είναι 0.22 (=5.2%/23.2%) και όχι 0.44

(8%/18%)

Μια δυσκολία στο επιχείρημα αυτό είναι ότι απαιτείται όχι μόνο μια πιθανή

καταστροφή αλλά μια που να επηρεάσει τους επενδυτές στο χρηματιστήριο

περισσότερο από τους επενδυτές στις εκδόσεις βραχυπρόθεσμου χρέους. Πολλές

χώρες που έχουν υποστεί κάποια πολιτική αναταραχή ή ήττα σε πόλεμο είδαν

μικρές αποδόσεις και στις μετοχές αλλά και στους τίτλους βραχυπρόθεσμου

κυβερνητικού χρέους. Ένα «peso problem» που επηρεάζει ισοδύναμα τις αποδόσεις

και των δύο αυτών τύπων αξιογράφων, δεν θα επηρεάσει απαραίτητα την

εκτιμώμενη μεταβλητότητα του SDF. Το καλύτερο παράδειγμα καταστροφής για

τους κατόχους μετοχών που όμως δεν επηρέασε τους ομολογιούχους είναι η μεγάλη

ύφεση της δεκαετίας 1930, αλλά βέβαια το γεγονός αυτό συμπεριλαμβάνεται ήδη

στα μακροπρόθεσμα δεδομένα για τις Η.Π.Α.

Εξήγηση 4. Το υπόδειγμα CCAPM είναι αναμφίβολα μια πολύ απλουστευμένη

περιγραφή της πραγματικότητας. Αν υποθέσουμε ότι κατά βάση το υπόδειγμα είναι

σωστό αλλά αδυνατεί να εξηγήσει τα εμπειρικά δεδομένα λόγω υπερβολικά

περιοριστικών υποθέσεων, τότε μπορούμε να χαλαρώσουμε κάποιες υποθέσεις του.

Στη κατεύθυνση αυτή έχει κινηθεί η βιβλιογραφία τα τελευταία 20 χρόνια. Οι

επεκτάσεις του βασικού υποδείγματος CCAPM είναι πολλές. Γενικά όμως, μπορούμε

να τις κατατάξουμε σε τρεις κατηγορίες.

1. Υποδείγματα με άλλες μορφές συνάρτησης χρησιμότητας και ειδικότερα με μη

διασπασιμότητα (non-separability) της κατανάλωσης στη συνάρτηση

χρησιμότητας. Στα υποδείγματα αυτά η οριακή χρησιμότητα της κατανάλωσης

είναι συνάρτηση κάποιων μεταβλητών κατάστασης. Κατά συνέπεια, το

ασφάλιστρο κινδύνου είναι συνάρτηση της συνδιακύμανσης των αποδόσεων με

την κατανάλωση και της συνδιακύμανσης των αποδόσεων με τις μεταβλητές

κατάστασης. Αν η τελευταία είναι οικονομικά σημαντική, μπορούμε να

εξηγήσουμε το ασφάλιστρο κινδύνου χωρίς να χρειαστεί να υποθέσουμε μια

υψηλή τιμή για το γ, βλέπε Campbell και Cochrane (2000) ως ένα

αντιπροσωπευτικό παράδειγμα αυτού του είδους.

2. Υποδείγματα με ετερογενείς καταναλωτές – Constantinides και Duffie

(1996). Η ετερογένεια έγκειται στο οι καταναλωτές έχουν εισόδημα από

εργασία το οποίο υπόκειται σε ένα ιδιοσυγκρατικό σοκ, δηλ. ο καταναλωτής

αντιμετωπίζει εκτός από τον κίνδυνο να μειωθεί η αξία του αξιογράφου του

(κοινός για όλους) και τον κίνδυνο να μειωθεί το εισόδημά του γιατί σε μια

ύφεση μπορεί να χάσει την εργασία του. Αν ο κίνδυνος αυτός συσχετίζεται

αρνητικά με τις αποδόσεις (επειδή για παράδειγμα, η πιθανότητα να μείνει

κανείς άνεργος είναι μεγαλύτερη σε μια ύφεση όταν και οι αποδόσεις είναι

χαμηλές), το ασφάλιστρο κινδύνου εξαρτάται από την εισοδηματική ανισότητα.

Όσο μεγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση του εισοδήματος μεταξύ των

καταναλωτών, τόσο μεγαλύτερο και το απαιτούμενο ασφάλιστρο κινδύνου.

3. Υποδείγματα με παραγωγή (production economy) – Cochrane (1991). Στη πιο

απλή μορφή τους τα υποδείγματα αυτά ορίζουν τη απαιτούμενη απόδοση στα

πλαίσια ενός προβλήματος μεγιστοποίησης του κέρδους της εταιρίας αντί της

χρησιμότητας του καταναλωτή.

Τα υποδείγματα αυτά θα τα περιγράψουμε αργότερα με μεγαλύτερη λεπτομέρεια. Για

μια συνοπτική συζήτηση των προσπαθειών αυτών, βλέπε Cochrane (1997).

Απόδειξη της (20) :

Επαναλαμβάνουμε την (20):

)()()(

)()(

+ Δ≈=−

tit

ftt c

MEM

RRRE γσσ

Για την απόδειξη της (20) ξεκινάμε από την βασική φόρμουλα του καθορισμού

του ασφάλιστρου κινδύνου σύμφωνα με το υπόδειγμα του καταναλωτή:

.)( )(),cov(

1 1

++−=−+ t

itt

MERMf

tit RRE Με εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας,

( ) .111 )(ln)/(ln)(ln1

+++ Δ−−−

+ === ttt

t cCCCC

t eeeeM γβγβγβ

Χρησιμοποιούμε το λήμμα του Stein:

Λήμμα του Stein:

Έστω tx , ty και tf τυχαίες μεταβλητές και ).( tt fgy = Εάν tx και tf

ακολουθούν την διμεταβλητή κανονική κατανομή, η g είναι παραγωγίσημη και

,)( ∞<′gEt τότε

cov tx t1 ,gf t1 Etg ′cov tx t1 , f t1

Εφαρμόζοντας το λήμμα του Stein:

( )( ) ).,(cov)(,cov),cov( 1111111 i

tttttitC

itt RcMERRM

t++++

−

++ Δ−== + γβγ Αντικαθιστώντας

στην )(),cov(

1 1

11)(+

++−=−+ t

itt

MERMf

tit RRE , έχουμε: ).,(cov)( 111

ittt

it RcRRE +++ Δ=− γ

Καθώς ),()(),(),(cov 1111itt

ittt RcRcRc ++++ ΔΔ=Δ σσρ προκύπτει:

).(),( 1)()(

− ΔΔ=+

+tR

RRE cRcit

it σγρ

σ Άρα, για ⇒±=Δ 1),( Rcρ

)( 1)()(

− Δ≈+

+tR

RRE cit

ftt γσ

σ.

Είναι οι αποδόσεις προβλέψιμες;

Τι συνεπάγεται η κεντρική φόρμουλα αποτίμησης σχετικά με την στοχαστική

διαδικασία των τιμών των τίτλων και, κατά συνέπεια, σχετικά με την

προβλεψιμότητα των αποδόσεων;

Από την κεντρική φόρμουλα αποτίμησης (1):

])([)( 11 ++′=′ ttttt XCuECuP β

και υπό την προϋπόθεση ότι:

1) το payoff του τίτλου είναι η μελλοντική τιμή, 11 ++ = tt PX (ισχύει όταν το

μέρισμα είναι μηδέν αν πρόκειται για μια μετοχή),

2) Οι επενδυτές είναι risk neutral, δηλ. η χρησιμότητα , ),(Cu είναι γραμμική

συνάρτηση της κατανάλωσης ή η κατανάλωση είναι σταθερή ( ),][ 1 ttt CCE =+

3) Το χρονικό διάστημα μεταξύ t και 1+t είναι μικρό, δηλ. β =1

συνεπάγεται ότι :

][ 1+= ttt PEP (22)

Σύμφωνά με την σχέση (22), οι αποδόσεις είναι μη προβλέψιμες. Η τιμή είναι ένα

martingale, δηλαδή η καλύτερη πρόβλεψη της μελλοντικής τιμής είναι η σημερινή

τιμή.

Μια ειδική περίπτωση ενός martingale είναι ένα random walk.

11 ++ += ttt PP ε (23)

όπου ,0)( =εE =)var(ε .2σ

Η στοχαστική διαδικασία (23) χαρακτηρίζει κερδοσκοπικές τιμές σε

βραχυχρόνιους ορίζοντες.

Σε μακροχρόνιους ορίζοντες, οι συνθήκες 1-3 δεν ισχύουν (η κατανάλωση

παρουσιάζει διακύμανση και ).1<β Τότε:

it RRE −+ )( 1 )(

),(cov1

++−=t

ittt

MERM

),()( 111)()(

1++++

+= tttttMEM RMRtt

tt ρσσ

),()()( 1111 ++++ ΔΔ= tttttttt RcRc ρσσγ

Το ασφάλιστρο κινδύνου μεταβάλλεται διαχρονικά όταν μεταβάλλεται:

1) Ο βαθμός αποστροφής κινδύνου των επενδυτών ( tγ ),

2) Η διακύμανση της κατανάλωσης ( )( 1+Δ tt cσ ),

3) Η διακύμανση των αποδόσεων ( )( 1+tt Rσ ),

4) Ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των αποδόσεων και του ρυθμού μεταβολής

της κατανάλωσης ( ),( 11 ++Δ ttt Rcρ ).

• Στο βαθμό που το ασφάλιστρο κινδύνου μεταβάλλεται διαχρονικά κατά τη

διάρκεια του οικονομικού κύκλου, οι αποδόσεις είναι προβλέψιμες υπό την

προϋπόθεση ότι είμαστε σε θέση να κατασκευάσουμε οικονομετρικά υποδείγματα

που έχουν προβλεπτική ικανότητα για τον οικονομικό κύκλο.

Γενίκευση του βασικού υποδείγματος

αποτίμησης: Άπειρος επενδυτικός

ορίζοντας

Όταν ο επενδυτικός ορίζοντας είναι άπειρος η συνάρτηση χρησιμότητας του

καταναλωτή είναι:

)()(0

jtj

jt CuECU +

∞

=∑= β

Ο καταναλωτής έχει την δυνατότητα να επενδύσει σε ένα τίτλο με τιμή Pt ο

οποίος του υπόσχεται ένα εισόδημα jtD + σε κάθε μελλοντική περίοδο jt + .

Όμοια με το υπόδειγμα δυο περιόδων, η συνθήκη άριστης κατανάλωσης είναι :

jtjtj

jtt

jtj

jtt

DME

DCuCu

∞

∑

′

′=

1 )()(

β (24)

Γνωρίζοντας ότι από τον ορισμό της συνδιακύμανσης :

),,(cov)()()( jtjttjttjttjtjtt DMDEMEDME ++++++ +=

μπορούμε να γράψουμε την σχέση (24) ως :

)(cov ,0,0

jtjttj

fjtt

jtt

jt MD

RDE

P ++

∞

+∞

=∑∑ += (25)

όπου 1, )( −

++ = jttf

jtt MER

Η σχέση (25) εκφράζει την σημερινή τιμή ως το άθροισμα:

1) Της παρούσας αξίας όλων των μελλοντικών μερισμάτων με συντελεστή

προεξόφλησης το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου με διάρκεια j περιόδους :

0 fjtt

jtt

DEj

+∞=Σ

Ο όρος αυτός μας δίνει την τιμή του τίτλου σε έναν κόσμο χωρίς κίνδυνο

(σταθερή κατανάλωση ή ουδετερότητα των επενδυτών στον κίνδυνο).

2) Της διόρθωσης της τιμής για την ύπαρξη του κινδύνου: ).(cov ,0 jtjttj MD ++∞=Σ

Ένας τίτλος του οποίου το payoff παρουσιάζει θετική συνδιακύμανση με τον

στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης έχει υψηλότερη τιμή από έναν τίτλο του

οποίου το payoff παρουσιάζει αρνητική συνδιακύμανση.

Στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης

και πολυπαραγοντικά υποδείγματα

αποτίμησης

∆είξαμε ήδη ότι η κεντρική φόρμουλα αποτίμησης, ),(MXEP = είναι ισοδύναμη

με ένα μονοπαραγοντικό υπόδειγμα αποτίμησης:

MMift

it RRE λβ ,1 )( −=+ (35)

όπου Mi,β (beta) είναι ο συντελεστής παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων του

itR 1+ στο .1+tM

Το Mi ,β αντιπροσωπεύει την ποσότητα κινδύνου και διαφέρει μεταξύ διαφόρων

αξιογράφων ανάλογα με την έκθεση του κάθε αξιογράφου στον κίνδυνο. Το Mλ

αντιπροσωπεύει την τιμή του κινδύνου (αναμενόμενο ασφάλιστρο ανά μονάδα

κινδύνου) και είναι κοινό για όλα τα αξιόγραφα.

Κατά συνέπεια, το υπόδειγμα του στοχαστικού συντελεστή προεξόφλησης μπορεί

να εκφραστεί ως ένα παραγοντικό υπόδειγμα αποτίμησης στο οποίο ο παράγοντας

κινδύνου που καθορίζει την αναμενόμενη υπερβάλλουσα απόδοση κάθε τίτλου

είναι το beta της απόδοσης του τίτλου με τον στοχαστικό συντελεστή

προεξόφλησης.

Μπορούμε να πούμε αντίστροφα ότι κάθε παραγοντικό υπόδειγμα αποτίμησης

κρύβει μέσα του μια υπόθεση σχετικά με τους παράγοντες που καθορίζουν το

στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης;

Στο κεφάλαιο αυτό θα απαντήσουμε ακριβώς σ’ αυτή την ερώτηση. Θα δείξουμε

ότι πίσω από κάθε γνωστό υπόδειγμα αποτίμησης της χρηματοοικονομικής όπως

το CAPM, ICAPM, APT κλπ. κρύβεται ένα υπόδειγμα του στοχαστικού

συντελεστή προεξόφλησης και συγκεκριμένα ένα υπόδειγμα όπου ο στοχαστικός

συντελεστής προεξόφλησης είναι μια γραμμική συνάρτηση των παραγόντων που

υποθέτει το κάθε υπόδειγμα αποτίμησης.

Το αποτέλεσμα αυτό είναι σημαντικό για διάφορους λόγους.

Πρώτον, δείχνει ότι τα διάφορα υποδείγματα αποτίμησης της

χρηματοοικονομικής μπορούν να συνδεθούν με το βασικό υπόδειγμα αποτίμησης

του καταναλωτή, το υπόδειγμα Consumption-CAPM, και να προκύψουν ως

υποπεριπτώσεις αυτού του υποδείγματος. Αυτό είναι πολύ σημαντικό τόσο γιατί

καθιερώνει το C-CAPM ως το κεντρικό υπόδειγμα της χρηματοοικονομικής όσο

και γιατί επιτρέπει να κατανοήσουμε καλύτερα τις βασικές υποθέσεις του κάθε

επιμέρους υποδείγματος.

∆εύτερον, συνδέει τα εμπειρικά παραγοντικά υποδείγματα με τη θεωρία

αποτίμησης καθώς δείχνει ότι οι παράγοντες κινδύνου που τιμολογεί η αγορά

συνδέονται με την οριακή χρησιμότητα του καταναλωτή. Συγκεκριμένα, δείχνει

ότι οι παράγοντες αυτοί πρέπει να έχουν προβλεπτική ικανότητα για την αλλαγή

της μελλοντικής χρησιμότητας.

Θεώρημα 1

Έστω το υπόδειγμα στοχαστικού συντελεστή προεξόφλησης:

M a bf ; Ef 0, 0 EMRe

όπου f είναι μια τυχαία μεταβλητή (παράγοντας, factor) και ,α b

είναι σταθερές, τότε το ασφάλιστρο κινδύνου eR )( fie RRR −=

ακολουθεί ένα παραγοντικό υπόδειγμα (factor model):

ERe

όπου )var(/),cov( fRf e=β είναι ο συντελεστής beta μιας

παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων του eR στο f και

).var( fab−=λ

Απόδειξη:

Από την κεντρική φόρμουλα αποτίμησης έχουμε:

0 EMRe EMERe covM,Re

aERe bcovf,Re

ERe − ba covf,Re.

Ορίζοντας το β ως )var(/),cov( fRf e=β έχουμε

βλβλ

=−===

)()var()( )var(),cov(

32143421 fRf

abe e

fRE

Το θεώρημα 1 μπορεί να γενικευθεί σε ένα πολυπαραγοντικό υπόδειγμα

αποτίμησης.

Θεώρημα 2

Έστω το υπόδειγμα στοχαστικού συντελεστή προεξόφλησης:

)(0 )];([1 eMREfEfbM =−′+=

όπου f είναι ένα διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών (παραγόντων) με

,0)( =fE και b ένα διάνυσμα σταθερών, τότε το ασφάλιστρο κινδύνου eR

)( fie RRR −= ακολουθεί ένα πολυπαραγοντικό υπόδειγμα (multi-factor

model):

ERe ′

όπου β είναι το διάνυσμα των συντελεστών beta μιας παλινδρόμησης

ελαχίστων τετραγώνων του eR στο f και λ είναι το διάνυσμα των

τιμών κινδύνου.

Επιλογή παραγόντων Το μεγάλο προτέρημα των παραγοντικών υποδειγμάτων σε σύγκριση με το βασικό

υπόδειγμα του καταναλωτή 1)( =MRE έγκειται στο ότι οι παράγοντες είναι

συχνά μετρήσιμοι ενώ ο οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) δεν είναι.

Παρόλαυτα, το βασικό ερώτημα που προκύπτει κατά την χρήση τέτοιων

υποδειγμάτων είναι ποιοι παράγοντες ανήκουν σε ένα υπόδειγμα αποτίμησης και

ποια είναι η οικονομική ερμηνεία τους. Σε πολλά εμπειρικά πολυπαραγοντικά

υποδείγματα αποτίμησης οι παράγοντες επιλέγονται αυθαίρετα. Στο σημείο αυτό

γίνεται εμφανής η χρησιμότητα των θεωρημάτων 1 και 2 του προηγούμενου

κεφαλαίου γιατί συνδέουν το στοχαστικό συντελεστή προεξόφλησης με τους

παράγοντες κινδύνου. Γενικά, αν το M αποτιμά τα αξιόγραφα σωστά, τότε κάθε

παράγοντας που έχει υψηλή συσχέτιση με το Μ θα αποτιμήσει εξίσου καλά τα

αξιόγραφα. Άρα το γραμμικό υπόδειγμα,

1 )()(

+ +=′′

== tt

tt bfa

CuCuMRSM β (36)

το οποίο κρύβεται πίσω από ένα παραγοντικό υπόδειγμα αποτίμησης υποθέτει ότι

ο οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) είναι μια γραμμική συνάρτηση του f.

Τα παραγοντικά υποδείγματα μπορούν να συνδεθούν με τη θεωρία αποτίμησης

του καταναλωτή. Πολλά από τα υποδείγματα αυτά είναι παραλλαγές του βασικού

υποδείγματος αποτίμησης κάτω από συγκεκριμένους περιορισμούς. Γενικά, τα

παραγοντικά υποδείγματα αποτίμησης αντικαθιστούν τον οριακό λόγο

υποκατάστασης με ένα σετ οικονομικών μεταβλητών όπως αποδόσεις

χαρτοφυλακίων, επιτόκια, την κλίση της καμπύλης επιτοκίων, διαφορές απόδοσης

εταιρικών ομολόγων από ομόλογα του δημοσίου κλπ. Τα οποία έχουν υψηλή

συσχέτιση με τον οριακό λόγο υποκατάστασης του καταναλωτή.

Για να μπορέσουμε να συνδέσουμε τα παραγοντικά υποδείγματα αποτίμησης με τη

θεωρία του καταναλωτή, χρειαζόμαστε μια θεωρία που να συνδέει το MRS με

ένα σετ μετρήσιμων οικονομικών μεταβλητών οι οποίες είναι σε θέση να

προσεγγίσουν τη μεταβολή του MRS στο χρόνο. Θεωρητικά υποδείγματα τέτοιου

τύπου είναι τα υποδείγματα γενικής ισορροπίας. Σε αυτά τα υποδείγματα, ο

ρυθμός μεταβολής της κατανάλωσης καθορίζεται ως συνάρτηση ενός σετ

εξωγενών μεταβλητών, )( 11 ++ =Δ tt fgc , οι οποίες σε γενικές γραμμές περιγράφουν

την τεχνολογία της οικονομίας και τις προτιμήσεις των καταναλωτών. Πώς

μπορούμε από αυτή τη σχέση να φτάσουμε σε ένα παραγοντικό υπόδειγμα

αποτίμησης;

Ας θυμηθούμε ότι η βασική φόρμουλα αποτίμησης του υποδείγματος του

καταναλωτή είναι

EtRt1i − Rt

f − covtMt1,Rt1i

EtMt1.

Υποθέτοντας εκθετική συνάρτηση χρησιμότητας, ( ) ,11

γβ

−

++=t

tCC

tM και )( 11 ++ =Δ tt fgc

έχουμε: ( )( )))()exp(ln(

)),()exp(ln(cov1 1

11)(+

−−

+ −=−tt

ittt

fgERfgf

titt RRE γβ

γβ

Χρησιμοποιώντας το λήμμα του Stein:

cov tFf t1,Rt1i EtF ′cov tRt1

i , f t1

με ))()exp(ln( 1+−= tfgF γβ

παίρνουμε:

EtRt1i − Rt

f −Etg ′cov tRt1i , f t1

Κατά συνέπεια, παίρνουμε ένα παραγοντικό υπόδειγμα αποτίμησης:

EtRt1i − Rt

f f i,f

στο οποίο το ασφάλιστρο ανά μονάδα κινδύνου είναι ),(var)( fgE ttf ′−= γλ και η

ποσότητα έκθεσης στον κίνδυνο είναι ).(var/),(cov 11, ffR ttittfi ++=β

Το Υπόδειγμα Αποτίμησης Κεφαλαιακών Στοιχείων

(CAPM) Το CAPM προβλέπει ότι οι αναμενόμενες αποδόσεις σχετίζονται γραμμικά με την

απόδοση του χαρτοφυλακίου πλούτου:

twitf

titt RRE ,,11 )( βλ+= ++ (37)

Όπου tλ είναι η τιμή του κινδύνου (κοινή σε όλα τα αξιόγραφα) και

)var(/),cov( 111,,wt

ittwi RRR +++=β είναι η ποσότητα κινδύνου (ο συντελεστής μιας

γραμμικής παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων της απόδοσης στην απόδοση

του χαρτοφυλακίου πλούτου).

Σε όρους του SDF, το CAPM μπορεί να γραφεί ως:

wtt bRaM 11 ++ −= (38)

Όπου α και b είναι δυο σταθερές.

Απόδειξη:

Από την 1)( 11 =++ titt MRE ).,(cov)( 111 +++ −=−⇒ t

itt

ffitt MRRRRE Αντικαθιστώντας

το 1+tM από την (38) και υπολογίζοντας την συνδιακύμανση:

).,(cov)( 111wt

itt

ffitt RRbRRRE +++ =− Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας τη δεξιά

πλευρά με :)var( 1wtR + wi

fitt RRE ,1 )( λβ+=+ , όπου )var( 1

f RbR +=λ και

).var(/),cov( 111,wt

itwi RRR +++=β

Στην παραπάνω προσέγγιση υποθέσαμε ότι οι σταθερές α και b είναι δεδομένες

εξωγενώς. Αυτό δεν σημαίνει ότι οι σταθερές αυτές μπορούν να καθοριστούν

αυθαίρετα. Το υπόδειγμα CAPM θέτει κάποιους περιορισμούς με τη βοήθεια των

οποίων μπορούμε να καθορίσουμε αυτές τις σταθερές. Οι τιμές τις οποίες πρέπει

να πάρουν οι σταθερές α και b μπορούν να βρεθούν από το γεγονός ότι αν το

υπόδειγμα είναι σωστό, τότε θα πρέπει να τιμολογεί δυο αξιόγραφα όπως ένα

αξιόγραφο μηδενικού κινδύνου και το χαρτοφυλάκιο πλούτου. Με άλλα λόγια,

1)(

twtt

ftt

MRE

RME (39)

Αντικαθιστώντας την (38) στην (39) και λύνοντας ως προς τις σταθερές,

παίρνουμε:

)var()(

)(1

fwtt

wttf

RRRRE

RbER

−=

Υπό την προϋπόθεση ότι το ασφάλιστρο κινδύνου του χαρτοφυλακίου πλούτου, fw

tt RRE −+ )( 1 , είναι θετικό, οι σταθερές α και b είναι θετικές.

Όπως είπαμε παραπάνω, το υπόδειγμα CAPM, όπως και μια σειρά άλλα πολύ

γνωστά υποδείγματα αποτίμησης στη χρηματοοικονομική, μπορεί να αναχθεί σε

μια υποπερίπτωση του γενικού υποδείγματος του καταναλωτή (CCAPM), κάτω

από κάποιους περιορισμούς. Συγκεκριμένα, μπορούμε να δείξουμε ότι το CAPM

προκύπτει από το CCAPM κάτω από τις ακόλουθες εναλλακτικές υποθέσεις:

Τετραγωνική χρησιμότητα με δύο περιόδους

Γενική συνάρτηση χρησιμότητας και κανονικές αποδόσεις με δύο

περιόδους

Λογαριθμική χρησιμότητα με άπειρο ορίζοντα

Τετραγωνική χρησιμότητα με δύο περιόδους

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση χρησιμότητας είναι

[ ]21

21 )(

21)(

21),( ∗

+∗

+ −−−−= CCECCCCu ttttt β (40)

όπου ∗C είναι ένα επίπεδο στόχος για την κατανάλωση.

Η τετραγωνική συνάρτηση χρησιμότητας εκφράζει την επιθυμία των

καταναλωτών να ελαχιστοποιήσουν την διακύμανση της κατανάλωσης γύρω από

το επίπεδο στόχο.

Ο οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) μπορεί να υπολογιστεί εύκολα ως:

Mt1 u ′Ct1u ′Ct

Ct1 − C∗Ct − C∗

Επιπλέον, υποθέτουμε ότι ο καταναλωτής-επενδυτής γεννιέται με αρχικό πλούτο

tW και δεν έχει εισόδημα από εργασία. Κατά την περίοδο t ο καταναλωτής

καταναλώνει ένα ποσό tC του πλούτου και επενδύει το υπόλοιπο στο

χαρτοφυλάκιο πλούτου. Κατά συνέπεια, ο πλούτος την επόμενη περίοδο, 1+t ,

είναι: )(11 ttwtt CWRW −= ++ , όπου w

tR 1+ είναι η απόδοση του χαρτοφυλακίου

πλούτου. Κατά την τελική περίοδο, ,1+t ο επενδυτής καταναλώνει όλο τον

εναπομένοντα πλούτο: .11 ++ = tt WC

Με τις υποθέσεις αυτές, ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι:

wttt

ttwt

Rba

RCCCW

CCC

CCCCWR

CCCCM

111

)()(

)(

)()(

+∗∗

∗

∗+

∗

∗+

−=

−−

+−

−=

−−−

=−−

ββ

(41)

όπου ,)( ∗

∗

−−=

CCC

a β .)()(

∗−

−−=CCCW

ttb β

Γενική συνάρτηση χρησιμότητας και κανονικές αποδόσεις με δύο περιόδους

Η υπόθεση τετραγωνικής χρησιμότητας είναι περιοριστική. Απορρίπτουμε αυτή

την υπόθεση και υποθέτουμε ότι η συνάρτηση χρησιμότητας είναι γενικής μορφής

με τα κοινώς αποδεκτά χαρακτηριστικά καμπυλότητας και κυρτότητας. Οι

υπόλοιπες υποθέσεις του προηγούμενου κεφαλαίου συνεχίζουν να ισχύουν. Ο

οριακός λόγος υποκατάστασης είναι:

)()(

))(()()(

111

1wt

ttwt

tt Rg

CuCWRu

CuCuM +

+++ =

′−′

=′′

= ββ (42)

και το ασφάλιστρο κινδύνου είναι:

)(),(cov)(

111

+++ −=−

itttf

titt ME

RMRRE (43)

Υπό την προϋπόθεση ότι οι αποδόσεις του αξιογράφου και του χαρτοφυλακίου

πλούτου ακολουθούν την κανονική κατανομή, μπορούμε να εφαρμόσουμε το λήμμα

του Stein για να υπολογίσουμε την ),,(cov 11ittt RM ++ όπου )( 11

wtt RgM ++ = :

[ ]

),(cov)()(

),(cov)(

)()(

),(cov)(

))(()(

),(cov)),((cov),(cov

111

11111

itttttt

itt

tttt

itt

ttwttt

itt

wtt

ittt

RRMECW

RRCuCuECW

RRCu

CWRuCWE

RRgERRgRM

+++

+++++

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′

−′−=

′==

(44)

Αντικαθιστώντας την (44) στην (43) παίρνουμε το CAPM:

twit

itttt

itt RRCWRRE

111 ),(cov)()(βλ=

−−=− +++

όπου ),var()( 1wtttt RCW +−−=λ ).var(/),cov( 111,,

ittwi RRR +++=β

Λογαριθμική χρησιμότητα με άπειρο ορίζοντα

Υποθέτουμε ότι η χρησιμότητα είναι λογαριθμική, ),ln()( tt CCu = και οι

καταναλωτές μεγιστοποιούν χρησιμότητα για κάθε χρονική περίοδο μέχρι το

απώτερο μέλλον:

UC Et

j0∑ juCtj

Ο καταναλωτής μπορεί να επενδύσει στο χαρτοφυλάκιο πλούτου σε μια τιμή wtP

ανά μονάδα πλούτου. Κάθε μονάδα πλούτου υπόσχεται στον καταναλωτή ένα

μέρισμα jtD + για κάθε μελλοντική περίοδο jt + . Όλα τα μερίσματα

καταναλώνονται, δηλ. .jtjt CD ++ = Εξισώνοντας την οριακή απώλεια

χρησιμότητας από την αγορά μιας μονάδας πλούτου με την προεξοφλημένη

μελλοντική χρησιμότητα από την κατανάλωση του μερίσματος, παίρνουμε:

jtt

jtj

wt C

CuCu

EP ++

∞

= ′

′= ∑ )(

)(

Επειδή με λογαριθμική χρησιμότητα, ,/1)( tt CCu =′ παίρνουμε από την

παραπάνω εξίσωση:

tjtjt

wt CC

EPβ

ββ−

== ++

∞

=∑ 11

(45)

Σύμφωνα με την (45), η τιμή του χαρτοφυλακίου πλούτου είναι γραμμική

συνάρτηση της κατανάλωσης.

Για να βρούμε τη σχέση μεταξύ απόδοσης και κατανάλωσης, χρησιμοποιούμε τον

ορισμό της απόδοσης: .111 w

twt

PCPw

tR ++ ++ = Στη συνέχεια αντικαθιστούμε τα Ptw και

wtP 1+ από την (45) και έχουμε:

Rt1w 1

Ct1Ct

1u ′Ctu ′Ct1

Mt1−1

Ο SDF είναι:

Mt1 1Rt1w

Για να πάρουμε από τη σχέση αυτή το CAPM, μπορούμε να εφαρμόσουμε μια

προσέγγιση Taylor πρώτου βαθμού γύρω από τη μέση απόδοση :)( wRE

Mt1 1ERw

− 1ERw2 Rt1

w − ERw

2ERw

− 1ERw2 Rt1

a − bRt1w

∆ιαχρονικό CAPM (ICAPM) Το διαχρονικό (Intertemporal) CAPM του Merton προκύπτει από το βασικό

υπόδειγμα CCAPM κάτω από την πρόσθετη υπόθεση ότι η δεσμευμένη κατανομή

των αποδόσεων είναι συνάρτηση ενός σετ μεταβλητών (state variables), tz , οι

οποίες σχετίζονται με μελλοντικές αλλαγές του σετ επενδυτικών ευκαιριών. Με

άλλα λόγια, οι μεταβλητές αυτές έχουν προβλεπτική ικανότητα για τις

μελλοντικές αποδόσεις. Καθώς η κατανάλωση καθορίζεται από τον πλούτο και οι

μεταβλητές tz προβλέπουν την απόδοση του χαρτοφυλακίου πλούτου, άρα και την

μελλοντική κατανάλωση, η συνάρτηση χρησιμότητας εξαρτάται από τον πλούτο

και τις μεταβλητές tz . Κατά συνέπεια, η value function είναι:

VWt, zt ct

max uCt Etct1,...,c

max Et1

∑ juCtj

max uCt EtVWt1 , zt1

Ο στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης από το πρόβλημα αυτό είναι:

),(),( 11

1ttW

ttWt zWV

zWVM +++ = β (46)

όπου εφαρμόσαμε το envelope condition ),()( ttWt zWVCu =′ για να

αντικαταστήσουμε την οριακή χρησιμότητα της κατανάλωσης με την οριακή

χρησιμότητα του πλούτου.

Για να πάρουμε ένα παραγοντικό υπόδειγμα, μπορούμε να προσεγγίσουμε

100

γραμμικά την (46):

Mt1 a b1Rt1w b2Δzt1

και να γράψουμε το παραγοντικό υπόδειγμα:

ziwift

itt RRE ,2,11)( βλβλ ++=+ (47)

Η (47) είναι το διαχρονικό CAPM του Merton. Σύμφωνα με την (47), το

ασφάλιστρο κινδύνου είναι πέρα από τον κίνδυνο αγοράς συνάρτηση μιας σειράς

άλλων κινδύνων οι οποίοι σχετίζονται με την μη προβλέψιμη αλλαγή των

παραγόντων tz .

101

Υποδείγματα CCAPM με ετερογένεια

Για την επίλυση του equity premium puzzle έχουν προταθεί στη

βιβλιογραφία μια σειρά εξηγήσεις οι οποίες βασίζονται στην ετερογένεια των

καταναλωτών/επενδυτών. Οι προτάσεις αυτές χαλαρώνουν την υπόθεση της

ύπαρξης ενός αντιπροσωπευτικού καταναλωτή στο υπόδειγμα CCAPM και την

αντικαθιστούν με την υπόθεση ενός αριθμού ετερογενών καταναλωτών. Η

ετερογένεια μπορεί να πάρει διάφορες μορφές, όπως για παράδειγμα (α) ύπαρξη

εισοδηματικών περιορισμών σε ένα μόνο μέρος των καταναλωτών, (β) διαφορετικό

επίπεδο εισοδήματος από εργασία ή (γ) διαφορετική αποστροφή στο κίνδυνο μεταξύ

των επενδυτών. Ανεξάρτητα από το είδος ετερογένειας που υποθέτουν, όλα τα

υποδείγματα αυτού του τύπου έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό: εξαιτίας της

ετερογένειας, η συνολική κατανάλωση δεν είναι επαρκώς αντιπροσωπευτική της

κατανάλωσης των επενδυτών.

Ετερογένεια στον εισοδηματικό περιορισμό

Μια απλή εξήγηση της διαφοράς μεταξύ των δύο μεγεθών μέτρησης της

κατανάλωσης είναι ότι υπάρχουν δύο τύποι καταναλωτών στην οικονομία: οι

«περιορισμένοι» που κάθε περίοδο καταναλώνουν όλο το εισόδημά τους και οι «μη

περιορισμένοι». Η κατανάλωση των «περιορισμένων» καταναλωτών δεν επηρεάζει

τον καθορισμό των τιμών ισορροπίας των περιουσιακών στοιχείων, αλλά μπορεί να

αποτελεί μεγάλο μέρος της συνολικής κατανάλωσης. Ενώ οι Campbell και Mankiw

102

αποδίδουν σημαντικό ρόλο στους «περιορισμένους» καταναλωτές, οι Brav,

Constantinides και Geczy, υποστηρίζουν ότι η κατανάλωση των κατόχων μετοχών

είναι πιο ευμετάβλητη και συσχετίζεται περισσότερο με το χρηματιστήριο από την

κατανάλωση αυτών που δεν κατέχουν μετοχές. Τέλος οι Heaton και Lucas

κατασκευάζουν γενικά υποδείγματα ισορροπίας, στα οποία ένα μικρό μέρος του

πληθυσμού επενδύει σε μετοχές.

Σύμφωνα με τα αποτελέσματα αυτής της βιβλιογραφίας καταλήγουμε σε ένα

υπόδειγμα αποτίμησης περιουσιακών στοιχείων όπου ένας αντιπροσωπευτικός

επενδυτής που κατέχει το τυπικό χαρτοφυλάκιο της αγοράς δεν καταναλώνει την

μέση κατανάλωση. Η κατανάλωση του αντιπροσωπευτικού επενδυτή (σε αντίθεση με

την συνολική κατανάλωση όλων των καταναλωτών, επενδυτών και μη επενδυτών)

δεν μπορεί να παρατηρηθεί και πρέπει να υποκατασταθεί από ένα διαχρονικό

μοντέλο, όπως το ΙCAPM του Merton.

Ετερογένεια στη κατανάλωση

Είναι πολύ πιθανό πως οι επενδυτές που προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν τη

χρησιμότητά τους, είναι σημαντικά ετερογενείς. Αν το εισόδημα των επενδυτών από

την εργασία τους χαρακτηρίζεται από ρίσκο, το οποίο μπορούν να μειώσουν μόνο

έμμεσα με την διακράτηση περιουσιακών στοιχείων όπως μετοχές και Τ-Bills, τότε

η δική τους κατανάλωση μπορεί να είναι πιο ευμετάβλητη σε σχέση με τη συνολική

κατανάλωση. Ακόμη και αν μεμονωμένοι επενδυτές έχουν την ίδια συνάρτηση

οριακής χρησιμότητας έτσι ώστε ο ρυθμός αύξησης της κατανάλωσης ενός επενδυτή

103

υψωμένη στη γ να είναι έγκυρος στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης, ο ρυθμός

αύξησης της συνολικής κατανάλωσης υψωμένος στη γ δεν θα είναι έγκυρος.

Αυτό το πρόβλημα είναι ένα παράδειγμα της ανισότητας Jensen. Επειδή η οριακή

χρησιμότητα είναι μη γραμμική, η μέση οριακή χρησιμότητα της κατανάλωσης δεν

είναι ίδια με την οριακή χρησιμότητα της μέσης κατανάλωσης. Το πρόβλημα αυτό

εξαφανίζεται στις τέλειες αγορές καθώς και σε μοντέλα συνεχούς χρόνου υπό

κάποιες προϋποθέσεις.

Για να καταλάβουμε τα αποτελέσματα της ετερογένειας υποθέτουμε σύμφωνα με

τους Constαntinides και Duffie πως σε μια οικονομία υπάρχουν k επενδυτές με

διαφορετικά επίπεδα κατανάλωσης Ckt . Η διαστρωματική κατανομή της ατομικής

κατανάλωσης είναι λογαριθμοκανονική και η μεταβολή στην ατομική

λογαριθμοκανονική κατανάλωση από το χρόνο t στο χρόνο t+1 είναι ασυσχέτιστη με

το επίπεδό της στον χρόνο t. Όλοι οι επενδυτές έχουν την ίδια συνάρτηση

χρησιμότητας με σταθερό συντελεστή προεξόφλησης β και συντελεστή αποστροφής

κινδύνου γ.

Σ’ αυτήν την οικονομία ο διαχρονικός οριακός λόγος υποκατάστασης κάθε επενδυτή

είναι έγκυρος στοχαστικός συντελεστής προεξόφλησης. Οπότε ο διαστρωματικός

μέσος των διαχρονικών οριακών λόγων υποκατάστασης των επενδυτών *1+tM είναι

έγκυρος SDF. Παρόλα αυτά, η οριακή χρησιμότητα του διαστρωματικού μέσου της

κατανάλωσης των επενδυτών RAt 1+Μ δεν είναι έγκυρος συντελεστής προεξόφλησης

όταν η οριακή χρησιμότητα είναι μη γραμμική.

Η διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων των δύο μεταβλητών είναι:

m *1+t - m RA

t 1+ = 2

)1( +γγ Var *1+t ∆c 1, +tk

Όπου Var *1+t είναι η διαστρωματική διακύμανση στο χρόνο t+1.

104

Το ερώτημα που τίθεται είναι εάν η ετερογένεια που μετράμε έχει τα

χαρακτηριστικά που χρειάζονται για να απαντήσουμε στο πρόβλημα της αποτίμησης

των περιουσιακών στοιχείων. Στο μοντέλο των Constantinides και Duffie η

ετερογένεια πρέπει να είναι μεγάλη για να επιδρά στο στοχαστικό συντελεστή

προεξόφλησης. Για παράδειγμα μια διαστρωματική τυπική απόκλιση της

λογαριθμικής αύξησης της κατανάλωσης ίση με 20%, σημαίνει διαστρωματική

διακύμανση μόνο 0,04 και είναι η διακύμανση αυτού του μεγέθους στη διάρκεια του

χρόνου που χρειάζεται για να εξηγήσουμε το equity premium puzzle. Ενδιαφέρον

είναι το ότι τα αποτελέσματα της ετερογένειας αυξάνονται σημαντικά στην

αποστροφή κινδύνου γιατί το Var *1+t ∆c 1, +tk πολλαπλασιάζεται με

2)1( +γγ . Αυτό

δείχνει πως η ετερογένεια μπορεί να συμπληρώσει την υψηλή αποστροφή κινδύνου,

αλλά δεν μπορεί να την αντικαταστήσει σαν εξήγηση για το equity premium puzzle.

105

∆εσμευμένα και αδέσμευτα υποδείγματα

αποτίμησης Όλα τα υποδείγματα αποτίμησης που εξετάσαμε ως τώρα είναι δεσμευμένα υπό

την έννοια ότι καθορίζουν το αναμενόμενο ασφάλιστρο κινδύνου των αξιογράφων

στο χρόνο t+1 δεδομένης της πληροφόρησης των επενδυτών στο χρόνο t.

Για παράδειγμα, το CAPM προβλέπει ότι το ασφάλιστρο κινδύνου ενός

αξιόγραφου i, ft

itt RRE 11 )( ++ − , σχετίζεται γραμμικά με το ασφάλιστρο κινδύνου του

χαρτοφυλακίου πλούτου, ft

wtt RRE 11 )( ++ − :

))(()( 11,,11f

twtttwi

itt RRERRE ++++ −=− β (37)

Όπου )var(/),cov( 111,,wt

ittwi RRR +++=β είναι το beta του αξιογράφου, δηλ. ο

συντελεστής μιας γραμμικής παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων της

αναμενόμενης υπερβάλλουσας απόδοσης του αξιογράφου στην αναμενόμενη

υπερβάλλουσα απόδοση του χαρτοφυλακίου πλούτου.

Το πρόβλημα με την οικονομετρική εκτίμηση του δεσμευμένου υποδείγματος (37)

είναι ότι οι αναμενόμενες αποδόσεις τόσο του αξιογράφου όσο και του

χαρτοφυλακίου πλούτου δεν είναι παρατηρήσιμες. Για το λόγο αυτό, μεγάλος

αριθμός εμπειρικών ερευνών έχει επικεντρωθεί στην εκτίμηση του αδέσμευτου

υποδείγματος

wetwi

iet

wtwi

RRERRE,1,

11,11 ))(()(

++++

⇒−=−

β (37’)

106

όπου ietR

,1+ και we

tR,1+ είναι οι μέσες δειγματικές υπερβάλλουσες αποδόσεις του

αξιογράφου και του χαρτοφυλακίου πλούτου αντίστοιχα και το

)var(/),cov( ,1

,1,

wet

ietwi RRR +++=β είναι το μέσο δειγματικό beta, δηλ. ο λόγος της

αδέσμευτης συνδιακύμανσης προς την αδέσμευτη διακύμανση.

Το πρόβλημα που προκύπτει είναι προφανώς ότι η επεξηγηματική ικανότητα του

αδέσμευτου υποδείγματος (37’) είναι ανεπαρκής παρότι το δεσμευμένο υπόδειγμα

μπορεί να είναι το αληθινό υπόδειγμα σύμφωνα με το οποίο οι επενδυτές

εκτιμούσαν τα ασφάλιστρα κινδύνου.

Ο λόγος είναι ότι στην πραγματικότητα (δηλ. στην αδέσμευτη μορφή (37) του

υποδείγματος) το ασφάλιστρο κινδύνου των αξιογράφων είναι κυμαινόμενα στο

χρόνο καθώς τόσο το beta όσο και το ασφάλιστρο κινδύνου του χαρτοφυλακίου

πλούτου είναι κυμαινόμενα, ενώ στην αδέσμευτη μορφή (37’) η διακύμανση αυτή

στο χρόνο χάνεται καθώς παίρνουμε τους αδέσμευτους αριθμητικούς μέσους.

Πιο συγκεκριμένα, αν η διακύμανση του beta στο χρόνο είναι συνάρτηση κάποιου

παράγοντα κινδύνου z, τότε το αδέσμευτο υπόδειγμα (37’) είναι λάθος διότι δεν

συμπεριλαμβάνει στη δεξιά πλευρά την συνδιακύμανση του ασφάλιστρου κινδύνου

του χαρτοφυλακίου πλούτου με το z.

Για να το δείξουμε αυτό, έστω ότι το αληθινό υπόδειγμα αποτίμησης είναι το

μονοπαραγοντικό υπόδειγμα CAPM (37) και έστω ότι

)(,, titwi zf=β (52)

όπου το zt είναι ένας παράγοντας κινδύνου της συνολικής αγοράς ο οποίος

107

συσχετίζεται με το ασφάλιστρο κινδύνου του χαρτοφυλακίου πλούτου, δηλ.

0),cov( 1 ≠+wtt Rz . Τέτοιες μεταβλητές μπορεί να είναι μεταβλητές που σχετίζονται

με τον οικονομικό κύκλο όπως η κλίση της καμπύλης επιτοκίων, το ασφάλιστρο

κινδύνου εταιρικών ομολόγων, η διακύμανση της αγοράς κλπ. Η (52) υποθέτει

ότι το η έκθεση στο κίνδυνο της αγοράς του αξιογράφου i (beta) είναι συνάρτηση

ενός παράγοντα z. Για παράδειγμα, μετοχές με μεγάλη μόχλευση μπορεί να είναι

πιο ευαίσθητες σε αλλαγές των επιτοκίων από ότι μετοχές με μικρή μόχλευση,

μετοχές εταιριών καταναλωτικών αγαθών μπορεί να είναι πιο ευαίσθητες σε

αλλαγές του ρυθμού μεταβολής του ΑΕΠ από μετοχές εταιριών με μικρότερη

εξάρτηση από τον οικονομικό κύκλο κλπ.

Αντικαθιστώντας την (52) στην (37) και παίρνοντας τον αδέσμευτο μέσο, έχουμε

))(( ,1

,1,

wetti

wetwi

iet RzfERR +++ += β (53)

Εφαρμόζοντας το λήμμα του Stein για να υπολογίσουμε το ))(( ,1we

tti RzfE + ,

καταλήγουμε στο εξής αδέσμευτο υπόδειγμα με δύο παράγοντες κινδύνου

iwzwe

twiie

t RR λββ ,,1,

,1 += ++ (54)

όπου )var(/),cov( ,1

,1,

wet

wettwz RRz ++=β το beta του ασφάλιστρου κινδύνου του

χαρτοφυλακίου πλούτου με το zt, το οποίο είναι κοινό για όλα τα αξιόγραφα, και

)var())('( ,1we

ttii RzfE +=λ η τιμή του κινδύνου z, η οποία είναι διαφορετική για κάθε

αξιόγραφο και εξαρτάται από το βαθμό έκθεσης του αξιόγραφο στο συγκεκριμένο

κίνδυνο.

Γενικότερα, αν υποθέσουμε ότι οι παράγοντες κινδύνου είναι k τότε το zt είναι

ένα διάνυσμα (kx1) και κατά συνέπεια το μονοπαραγοντικό δεσμευμένο υπόδειγμα

108

(37) ισοδυναμεί με ένα αδέσμευτο k+1 παραγοντικό υπόδειγμα

λββ wzwe

twiie

t RR ,',

1,,1 += ++ (55)

όπου wz ,β ένα διάνυσμα (kx1) των betas του ασφάλιστρου κινδύνου με τους k

παράγοντες και λ ένα διάνυσμα (kx1) των ασφάλιστρων κινδύνου των

παραγόντων.

109

Το γενικό υπόδειγμα αποτίμησης με

συνάρτηση χρησιμότητας Epstein-Zin Ένα σοβαρό μειονέκτημα της εκθετικής συνάρτησης χρησιμότητας είναι ότι δεν είναι

σε θέση να διαχωρίσει τον βαθμό αποστροφής κινδύνου γ από τον οριακό λόγο

υποκατάστασης παρούσας με μελλοντική κατανάλωση, ψ, καθώς υποθέτει ότι γ=1/ψ.

Οι Epstein και Zin (1989) και ο Weil (1989) προτείνουν μια συνάρτηση

χρησιμότητας (recursive utility) η οποία διαχωρίζει αυτές τις δύο παραμέτρους. Η

συνάρτηση αυτή είναι:

Ut 1−Ct1− EtUt1

1−1

1−

όπου

γθ11

−

−= , με 0≥γ τον βαθμό αποστροφής κινδύνου και 0≥ψ τον οριακό

λόγο υποκατάστασης παρούσας και μελλοντικής κατανάλωσης. Το πρόσημο του θ

εξαρτάται από το ύψος των γ και ψ ( 01,1 <⇒>> θγψ ).

Σημείωση: Για θ=1, η συνάρτηση χρησιμότητας Epstein-Zin είναι η εκθετική

συνάρτηση χρησιμότητας (γ=1/ψ). Αν επιπλέον γ=1/ψ=1, η συνάρτηση χρησιμότητας

είναι λογαριθμική.

Η συνθήκη πρώτου βαθμού για την μεγιστοποίηση της χρησιμότητας είναι σύμφωνα

με τους Epstein και Zin (1989):

110

11,)1(

1,1 =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−+

−

+titw

tt RR

E θψθ

θδ

και ο λογάριθμος του στοχαστικού συντελεστή προεξόφλησης είναι:

1,11 )1()log( +++ −+Δ−= twtt rcm θψθδθ

όπου όλες οι μεταβλητές που συμβολίζονται με μικρά γράμματα είναι σε

λογαρίθμους.

Οι αναμενόμενες αποδόσεις των αξιόγραφων καθορίζονται από την συνθήκη

( ) 0log 1,1 =++ titt RME

Γνωρίζουμε ότι για μια τυχαία μεταβλητή Χ η οποία ακολουθεί την

λογαριθμοκανονική κατανομή, ( ) )(21)(log 111 +++ += tttttt xVarxEXE , όπου

)log( 11 ++ = tt Xx . Κατά συνέπεια, αν 1+tM και 1, +tiR ακολουθούν μια από κοινού

λογαριθμοκανονική κατανομή,

( ) ( ) 021log 1,11,11,1 =+++= ++++++ tittittttitt rmVarrEmERME

Αντικαθιστώντας την 1,11 )1()log( +++ −+Δ−= twtt rcm θψθδθ στην εξίσωση και λύνοντας

ως προς την αναμενόμενη απόδοση του αξιόγραφου, καταλήγουμε στο υπόδειγμα

αποτίμησης:

( ) ( ) ( )

( ) ( )1,1,11,1,2

1,11,1,

,)1(,)()1()(

)1()log(21

++++++

++++

−+Δ+−+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+Δ+=+

twtitttittwttt

twtttittit

rrCovcrCovrVarcVar

rcErVarrE

θψθθ

ψθ

θψθδθ

όπου ( ) ( )111111 ,, ++++++ −−= tttttttttt yEyxExCovyxCov η δεσμευμένη συνδιακύμανση.

111

Tο επιτόκιο μηδενικού κινδύνου είναι γνωστό στο t και κατά συνέπεια δεν έχει

δεσμευμένη συσχέτιση με μεταβλητές στο t+1:

( ) ( ) )()1()()1()log( 1,2

1,11 +++++ −+Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+Δ+= twtttwttt

ft rVarcVarrcErE τθ

ψθθ

ψθδθ

Αφαιρώντας το επιτόκιο μηδενικού κινδύνου από την απόδοση του αξιόγραφου με

κίνδυνο, παίρνουμε για τα ασφάλιστρα κινδύνου:

( ) ( ) ( ) ( )1,1,11,1,1, ,)1(,21

++++++ −+Δ=+ twtitttittitetit rrCovcrCovrVarrE θ

ψθ

όπου etir 1, + η υπερβάλλουσα απόδοση του αξιόγραφου i με πάνω από το επιτόκιο

μηδενικού κινδύνου.

Σημείωση 1:

Ο όρος ( )1,21

+tit rVar στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι μια διόρθωση της

αναμενόμενης λογαριθμικής απόδοσης που ονομάζεται όρος του Jensen. Η

ανισότητα του Jensen προέρχεται από το γεγονός ότι για μια τυχαία μεταβλητή Χ

η οποία ακολουθεί την λογαριθμοκανονική κατανομή,

( ) )(21)(log 111 +++ += ttttt xVarxEXE , όπου )log( 11 ++ = tt Xx . Καθώς η διακύμανση είναι

πάντα θετική, η ανισότητα του Jensen ισχυρίζεται ( ) )(log 11 ++ > tttt xEXE .

112

Η τελευταία εξίσωση καθορίζει τα ασφάλιστρα κινδύνου ενός αξιόγραφου ως

γραμμική συνάρτηση δύο συσχετίσεωv: της συσχέτισης των αποδόσεων του

αξιόγραφου με τον ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης και της συσχέτισης των

αποδόσεων του αξιόγραφου με την απόδοση του χαρτοφυλακίου πλούτου (αγοράς).

Το υπόδειγμα του καταναλωτή με συνάρτηση χρησιμότητας Epstein-Zin καταλήγει

σε ένα γενικό υπόδειγμα αποτίμησης μεταξύ CCAPM και CAPM.

Το υπόδειγμα αυτό το συναντούμε σε διάφορες μορφές στην σύγχρονη βιβλιογραφία.

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τα πλέον σημαντικά από αυτά τα νέα υποδείγματα. Τα

υποδείγματα αυτά χωρίζονται σε δύο κατηγορίες:

(1) Υποδείγματα του καταναλωτή (CCAPM) χωρίς δεδομένα κατανάλωσης.

Τα υποδείγματα αυτά εξαλείφουν τον όρο της κατανάλωσης από το

γενικό υπόδειγμα και καταλήγουν σε ένα γενικευμένο CAPM με έναν

επιπλέον όρο στο ασφάλιστρο κινδύνου (πέρα από τον κίνδυνο αγοράς)

που καθορίζεται από τον κίνδυνο αλλαγής των επενδυτικών

δυνατοτήτων στο μέλλον.

(2) Υποδείγματα του καταναλωτή με μακροχρόνιους κινδύνους. Οι

κίνδυνοι αυτοί προέρχονται από μη προβλέψιμες μακροχρόνιες

μεταβολές της κατανάλωσης. Τα υποδείγματα αυτά καταλήγουν σε

γενικευμένες μορφές του CCAPM όπου πέρα από την συνδιακύμανση

Σημείωση 2: Για θ=1, το υπόδειγμα μετατρέπεται στο CCAPM.

113

με βραχυχρόνιες αλλαγές της κατανάλωσης, τα ασφάλιστρα κινδύνου

καθορίζονται και από την συνδιακύμανση των αποδόσεων με

μακροχρόνιες αλλαγές της κατανάλωσης.

Και τα δύο υποδείγματα βασίζονται στην ιδέα του διαχρονικού CCAPM του Merton

(1973) και επιβάλλουν περιοριστικούς ελέγχους στα δεδομένα, καθώς οι τιμές των

κινδύνων είναι συναρτήσεις των παραμέτρων του θεωρητικού υποδείγματος

(βαθμός αποστροφής κινδύνου, λόγος υποκατάστασης κατανάλωσης κλπ.). Και τα

δυο υποδείγματα χαλαρώνουν την υπόθεση της μη προβλεψιμότητας των αποδόσεων

και της κατανάλωσης.

Το υπόδειγμα του καταναλωτή χωρίς δεδομένα

κατανάλωσης -- Campbell (1993, 1996)

Ο Campbell (1993, 1996) εξαλείφει την κατανάλωση από το υπόδειγμα

αντικαθιστώντας την με το άθροισμα των προεξοφλημένων μελλοντικών αποδόσεων

του χαρτοφυλακίου πλούτου. Η αντικατάσταση προκύπτει από τον διαχρονικό

περιορισμό του πλούτου )(11 ttwtt CWRW −= ++ . Από αυτή τη διαφορική εξίσωση

προκύπτει ∑∞

=++++ −++=Δ

11,1,1 )1(

jjtw

jtwt rrkc ρψ όπου k είναι μια σταθερά χωρίς

ιδιαίτερη σημασία και ρ είναι μια σταθερά μικρότερη αλλά κοντά στην μονάδα. Η

παραπάνω εξίσωση λέει ότι η μεταβολή της κατανάλωσης αντικατοπτρίζει

μελλοντικές αποδόσεις του χαρτοφυλακίου πλούτου.

114

Η εξίσωση αυτή ισχύει και σε όρους προσδοκιών και διαταράξεων. Κατά συνέπεια,

οι διαταράξεις της κατανάλωσης, 11 )( ++ Δ− ttt cEE , δίδονται ως

∑∞

=+++++++ −−+−=Δ−

11,11,111 ))(1()()(

jjtw

jtttwttttt rEErEEcEE ρψ

Θετικές εκπλήξεις στην κατανάλωση, 0)( 11 >Δ− ++ ttt cEE , οφείλονται είτε σε θετικές

εκπλήξεις στην απόδοση του χαρτοφυλακίου πλούτου, 0)( 1,1 >− ++ twtt rEE , είτε σε

αναθεωρήσεις ρος τα πάνω στις προσδοκίες για τις μελλοντικές αποδόσεις του

χαρτοφυλακίου πλούτου, ∑∞

=+++ −

11,1 )(

jjtw

jtt rEE ρ

Αντικαθιστώντας στο γενικό υπόδειγμα ασφαλίστρων, προκύπτει το

διαφοροποιημένο CCAPM χωρίς τον όρο της κατανάλωσης (Consumption CAPM

without consumption data).

( ) ( ) ( ) ( )11,1,1,1,1, ,)1(,)1(21

++++++ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=+ ttittwtit

etit

etit hrCovrrCovrVarrE ψ

ψθθ

ψθ

όπου ∑∞

=++++ −=

11,11 )(

jjtw

jttt rEEh ρ είναι η αναθεώρηση των προσδοκιών των

επενδυτών μεταξύ του χρόνου t και t+1 για τις μελλοντικές αποδόσεις της αγοράς.

Το ασφάλιστρο κινδύνου εξαρτάται από δύο όρους: (α) την συνδιακύμανση με την

απόδοση της αγοράς και (β) την συνδιακύμανση με τις μελλοντικές αποδόσεις της

αγοράς (για την ακρίβεια, την συνδιακύμανση με τις αναθεωρήσεις στις προσδοκίες

για τις μελλοντικές αποδόσεις της αγοράς). Ο τελευταίος όρος είναι το ασφάλιστρο

αντιστάθμισης μελλοντικών αλλαγών του σετ επενδυτικών δυνατοτήτων του Merton

(1973).

115

Όπως έδειξαν ο Campbell και άλλοι συγγραφείς σε μια σειρά εργασίες, ο όρος

∑∞

=++++ −=

11,11 )(

jjtw

jttt rEEh ρ μπορεί να εκτιμηθεί από ένα VAR που περιλαμβάνει την

απόδοση της αγοράς και ένα σετ μεταβλητών που έχουν προβλεπτική ικανότητα για

την αγορά.

Το υπόδειγμα του καταναλωτή με μακροχρόνιους

κινδύνους – Bansal και Yaron (2004)

Το βασικό υπόδειγμα CCAPM υποθέτει ότι η κατανάλωση ακολουθεί έναν τυχαίο

περίπατο, δηλ. είναι μη προβλέψιμη. Οι Bansal και Yaron (2004) χαλαρώνουν αυτή

την υπόθεση και υποθέτουν ότι η κατανάλωση είναι σε κάποιο βαθμό προβλέψιμη. Η

υπόθεση αυτή είναι σύμφωνη με εμπειρικές μελέτες που δείχνουν ότι η κατανάλωση

ακολουθεί μια διαδικασία ARIMA(1,1). Η υπόθεση αυτή είναι μια σημαντική

υπέρβαση στην θεωρία αποτίμησης. Πέρασαν τρεις δεκαετίες από τον ορισμό της

αποτελεσματικότητας της αγοράς του Fama για να αντιληφθούμε ότι οι αποδόσεις

μπορεί να είναι προβλέψιμες σε μια αποτελεσματική αγορά. Χρειαστήκαμε το ίδιο

διάστημα για να ξεπεράσουμε την υπόθεση του ισόβιου εισοδήματος (permanent

income hypothesis) και να αντιληφθούμε ότι η κατανάλωση μπορεί να είναι σε

κάποιον βαθμό προβλέψιμη σε μακροχρόνιους ορίζοντες.

Οι Bansal και Yaron (2004) δείχνουν ότι αν η κατανάλωση είναι σε κάποιο βαθμό

προβλέψιμη μακροχρόνια, τότε αλλαγές στις προσδοκίες σχετικά με τον

116

μακροχρόνιο ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης αποτελούν μια πηγή κινδύνου πέρα

από άμεσες μεταβολές της κατανάλωσης. Μικρές μεταβολές του μακροχρόνιου

ρυθμού κατανάλωσης μπορεί να οδηγήσουν σε μεγάλες μεταβολές στις τιμές των

αξιόγραφων. Κατά συνέπεια, το ασφάλιστρο κινδύνου των αξιόγραφων είναι

συνάρτηση της συνδιακύμανσης των αποδόσεων με διαταραχές στον μακροχρόνιο

ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης πέρα από την συνδιακύμανση των αποδόσεων με

διαταραχές στον βραχυχρόνιο ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης.

Οι Bansal και Yaron (2004) υποθέτουν ότι η κατανάλωση ακολουθεί την στοχαστική

διαδικασία

+=+=Δ

ttt

uxxxc

ρε

όπου tx είναι μια μεταβλητή κατάστασης η οποία έχει προβλεπτική ικανότητα για

την κατανάλωση. Οι συγγραφείς υποθέτουν ότι η tx είναι μη παρατηρήσιμη, όμως

αξίζει να σημειωθεί ότι σε εμπειρικές εφαρμογές μπορεί να αντικατασταθεί με

οποιαδήποτε μακροοικονομική μεταβλητή η οποία έχει προβλεπτική ικανότητα για

την κατανάλωση.

Για να αντιληφθούμε την έννοια του μακροχρόνιου κινδύνου στο υπόδειγμα των

Bansal και Yaron (2004), αντικαθιστούμε την στοχαστική διαδικασία της x στην

στοχαστική διαδικασία της ∆c:

...1 2

21111 ++++=

−+=Δ −−+++ tttt

ttt uuu

c ρρερ

117

Ας υποθέσουμε ότι στο t η x μεταβάλλεται κατά 1 μονάδα, 1=tu , ενώ 0=tu pτ . Η

αναμενόμενη μεταβολή της κατανάλωσης θα είναι:

jjtt

cEcE

=Δ

=Δ=Δ

...

Η σωρευτική αναμενόμενη μεταβολή της κατανάλωσης θα είναι:

ρρρ

−=+++=Δ∑

∞

=++ 1

1...1 2

jjtt cE

Αν 1pρ , αλλά κοντά στην μονάδα, η σωρευτική μεταβολή της κατανάλωσης είναι

πολύ μεγάλη. Με άλλα λόγια, μια μικρή μεταβολή στην x μπορεί να προκαλέσει

μακροχρόνια πολύ μεγάλη μεταβολή στην κατανάλωση αν η x χαρακτηρίζεται από

εμμονή (persistence). Η μεταβολή της κατανάλωσης είναι προβλέψιμη δεδομένης

της πληροφόρησης έως το χρόνο t. Ο μακροχρόνιος κίνδυνος προέρχεται από μη

προβλέψιμες μεταβολές της x στον χρόνο t+1, οι οποίες μπορεί να προκαλέσουν

μακροχρόνιες μεταβολές στην κατανάλωση.

Για τον καθορισμό του ασφάλιστρου κινδύνου

1. αντικαθιστούμε στο 1,11 )1()log( +++ −+Δ−= twtt rcm θψθδθ το

1+Δ tc ,

2. χρησιμοποιούμε την γραμμική προσέγγιση της απόδοσης της

αγοράς 11101, +++ Δ+−+= ttttw czzr κκ , όπου tz ο λογάριθμος

του λόγου τιμής προς μέρισμα (το οποίο είναι ίσον με την

κατανάλωση καθώς σύμφωνα με το υπόδειγμα, το μέρισμα

118

είναι το μόνο εισόδημα του καταναλωτή), 0κ μια σταθερά

χωρίς ιδιαίτερη σημασία για το ασφάλιστρο κινδύνου και 1κ

μια σταθερά μικρότερη από αλλά κοντά στην μονάδα,

3. υποθέτουμε ότι tt xAAz 10 += ,

4. αντικαθιστούμε στην έκφραση για το mt+1 και υπολογίζουμε

το 0)( 1,1 =+ ++ twtt rmE .

5. Καθώς η παραπάνω έκφραση πρέπει να είναι = 0 για όλα τα

tx , μαζεύουμε όλες τις εκφράσεις που περιλαμβάνουν το tx

και τις θέτουμε = 0 για να βρούμε τα 10 , AA .

6. Τέλος, υπολογίζουμε το 0)( 1,1 =+ ++ titt rmE και παίρνουμε

( ) ( ) ( ) ( )11,211,11,1, ,,21

++++++ +=+ ttitttittittie

t urCovBrCovBrVarrE ε

όπου οι τιμές του κινδύνου 1B και 2B είναι συναρτήσεις των παραμέτρων του

θεωρητικού υποδείγματος, γ, ψ. Τα ασφάλιστρα κινδύνου στο υπόδειγμα αυτό είναι

δύο: (α) ένα ασφάλιστρο για τον κίνδυνο μιας βραχυπρόθεσμης αλλαγής της

κατανάλωσης, ( )11, , ++ ttit rCov ε , και (β) ένα ασφάλιστρο για τον κίνδυνο μιας

μακροπρόθεσμης αλλαγής της κατανάλωσης, ( )11, , ++ ttit urCov .

119

Βιβλιογραφία • Ang, Andrew, Bob Hodrick, Yuhang Xing and Xiaoyan Zhang (2004), The

cross-section of volatility and expected returns, forthcoming Journal of

Finance.

• Bakshi, Gurdip and Zhiwu Chen (2005), Cash Flow risk, discounting risk and

the equity premium puzzle, forthcoming Handbook of Investments: Equity

Premium, Rajnish Mehra ed.

• Bansal, Ravi, Robert Dittmar and Christian Lundblad (2005), Consumption,

dividends, and the cross-section of equity returns, forthcoming Journal of

Finance.

• Bansal, Ravi and Amir Yaron, 2004, Risks for the long run: A potential

resolution of asset pricing puzzles, Journal of Finance 59, 1481--1509.

• Campbell John (1991), A variance decomposition of stock returns, Economic

Journal, 101, 157-159.

• Campbell, John (1993), Intertemporal asset pricing without consumption

data, American Economic Review 83, 487-512.

• Campbell John (1996), Understanding risk and return, Journal of Political

Economy, 104, 298-345.

• Campbell John (2003), Consumption based asset pricing, unpublished paper,

forthcoming in Handbook of the Economics of Finance, George

Constantinides, Milton Harris, and Rene Stulz eds., North-Holland,

Amsterdam.

• Campbell, John, Christopher Polk and Tuomo Vuolteenaho (2005), Growth or

glamour, unpublished paper, NBER working paper, no. 11389.

120

• Campbell, John and Robert Shiller (1988a), The dividend-price ratio and

expectations about future dividends and discount factors, Review of

Financial Studies 1, 195-228

• Campbell, John and Robert Shiller (1988b), Stock prices, earnings and

expected dividends, Journal of Finance, 43, 661-676.

• Campbell, John and Robert Shiller (1998), Valuation ratios and the long-run

stock market outlook, Journal of Portfolio Management 24 (2), 11-26.

• Campbell, John and Tuomo Vuolteenaho (2004), Bad beta good beta,

American Economic Review 94, issue 5, 1249-1275.

• Chako, George and Luis Viceira (1999), Dynamic consumption and portfolio

choice with stochastic volatility in incomplete markets, NBER working paper

no. 7377.

• Chen, Joe (2003), Intertemporal CAPM and the cross-section of stock

returns, unpublished paper, University of Southern California.

• Cochrane, John (2001), Asset Pricing, Princeton University Press, Princeton

NJ.

• Cochrane, John (2005), Financial markets and the real economy. NBER

Working Paper no. 11193.

• Daniel, Kent and Sheridan Titman (1997), Evidence on the characteristics of

cross-sectional variation in stock returns, Journal of Finance 52, 1-33.

• Daniel, Kent and Sheridan Titman (2005), Testing factor-model explanations

of market anomalies, unpublished paper, Northwestern University.

• Davis, James, Eugene Fama and Kenneth French (2000), Characteristics,

covariances and average returns: 1929-1997, Journal of Finance 55, 389-

406.

121

• Dimson, Elroy (1979), Risk measurement when shares are subject to

infrequent trading, Journal of Financial Economics 7, 197-226.

• Eleswarapu, Venkat and Marc Reinganum (2004), The predictability of

aggregate stock market returns: evidence based on glamour stocks, Journal

of Business 77 (2), 275-294.

• Epstein, Lawrence and Stanley Zin (1989), Substitution, risk aversion and

the temporal behavior of consumption and asset returns: a theoretical

framework, Econometrica 57, 937-969.

• Epstein, Lawrence and Stanley Zin (1991), Substitution, risk aversion and the

temporal behavior of consumption and asset returns: an empirical

investigation, Journal of Political Economy 99, 263-286.

• Fama, Eugene and Kenneth French (1988), Dividend yields and expected

stock returns, Journal of Financial Economics 22, 3-27.

• Fama, Eugene and Kenneth French (1989), Business conditions and expected

returns on stocks and bonds, Journal of Financial Economics 25, 23-49.

• Fama, Eugene and Kenneth French (1992), The cross-section of expected

stock returns, Journal of Finance 2, 427-465.

• Fama, Eugene and Kenneth French (1993), Common risk factors in the

returns on stocks and bonds, Journal of Financial Economics 33, 3-56.

• Fama, Eugene and Kenneth French (2004), The Capital Asset Pricing Model:

Theory and Evidence, unpublished paper, University of Chicago.

• Guo, Hui (2005), Time-varying risk premia and the cross-section of stock

returns, forthcoming Journal of Banking and Finance.

• Hansen and Singleton (1983), Stochastic Consumption, Risk Aversion and the

Temporal Behavior of Asset Returns, Journal of Political Economy 91, 249-

268.

122

• Hardouvelis, G., D. Malliaropulos and R. Priestley (2006): EMU and European

Stock Market Integration, Journal of Business, vol 79, No. 1, January 2006,

pp. 365-392.

• Koubouros, M., D. Malliaropulos and E. Panopoulou (2005α): Long-Run Cash-

Flow and Discount-Rate Risks in the Cross-Section of US Returns.

Unpublished Working Paper.

• Koubouros, M., D. Malliaropulos and E. Panopoulou (2005b): Temporary and

Permanent Market Risks: Some Further Evidence. Forthcoming in

Mathematical and Computer Modelling.

• Lintner, John (1965), The valuation of risky assets and the selection of risky

investments in stock portfolios and capital budgets, Review of Economics and

Statistics 47, 13-37.

• Liu, Naiping and Lu Zhangy (2005), The value spread as a predictor of

returns, unpublished paper, NBER working paper, no. 11326.

• McQueen, Grant, Michael Pinegar and Steven Thorley (1996), Delayed

reaction to good news and the cross-autocorrelation of portfolio returns,

Journal of Finance 51, 889-919

• Mehra, Rajnish and Edward Prescott (1985), The equity premium: A puzzle,

Journal of Monetary Economics 15, 145-161 .

• Merton, Robert (1973), An intertemporal capital asset pricing model,

Econometrica 41, 867-887.

• Parker, Jonathan and Christian Julliard (2005), Consumption risk and the

cross-section of expecetd returns, forthcoming Journal of Political Economy.

• Peterson James and Gary Sanger (1995), Cross-autocorrelations, systematic

risk and the period of listing, unpublished paper, University of Notre Dame.

123

• Petkova, Ralitsa (2005), Do do the Fama-French factors proxy for

innovations in predictive variables?, forthcoming Journal of Finance.

• Rozeff (1984), Dividend Yields are Equity Risk Premiums, Journal of

Portfolio Management 10, 68-75

• Santos, Tano and Pietro Veronesi (2005), Cash-flow Risk, discount risk, and

the value premium, NBER working paper, no. 11816.

• Scholes , Myron and Joseph Williams (1977), Estimating betas from

nonsynchronous data, Journal of Financial Economics 5, 309-327.

• Sharpe, William (1964), Capital asset prices: a theory of market equilibrium

under conditions of risk, Journal of Finance 19, 425-442

• Shiller, Robert (2000), Irrational Exuberance, Princeton University Press,

Princeton, N.J.

Annual Data on US Stock Market

Available from Robert Shiller, http://www.econ.yale.edu/~shiller/data. Στο site αυτό μπορείτε να βρείτε τα στοιχεία μέχρι το 2003.

Prices, Dividends, Earnings, 1871-present with Associated Interest Rate, Price Level and Consumption Data

The Following is Chapter 26 (Data Appendix) from Robert J. Shiller, "Market Volatility," MIT Press, Cambridge MA, 1989, with most series updated:

26. Data Series

Tables 26.1 and 26.2. Basic Data

Year Series 1 Stock Prices

January

Series 2 Dividends

Series 3Earnings

Series 4Interest

Series 5PPI

1982=100January

Series 6PPI

1967=100Annual Avg.

Series 7 PPI

1967=100

Series 8Con-

sumptionDeflator

Series 9Real Con-sumption

1871 1872 1873 1874 1875 1876

4.44 4.86 5.11 4.66 4.54 4.46

0.26 0.30 0.33 0.33 0.30 0.30

0.400.430.460.460.360.28

6.357.818.356.864.965.33

15.3915.6215.9815.2714.2113.39

44.1045.7045.4043.4040.6037.60

44.10 45.70 45.40 43.40 40.60 37.60

124

1877 1878 1879 1880 1881 1882 1883 1884 1885 1886 1887 1888 1889 1890 1891 1892 1893 1894 1895 1896 1897 1898 1899 1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937

3.55 3.25 3.58 5.11 6.19 5.92 5.81 5.18 4.24 5.20 5.58 5.31 5.24 5.38 4.84 5.51 5.61 4.32 4.25 4.27 4.22 4.88 6.08 6.10 7.07 8.12 8.46 6.68 8.43 9.87 9.56 6.85 9.06

10.08 9.27 9.12 9.30 8.37 7.48 9.33 9.57 7.21 7.85 8.83 7.11 7.30 8.90 8.83

10.58 12.65 13.40 17.53 24.86 21.71 15.98 8.30 7.09

10.54 9.26

13.76 17.59

0.19 0.18 0.20 0.26 0.32 0.32 0.33 0.31 0.24 0.22 0.25 0.23 0.22 0.22 0.22 0.24 0.25 0.21 0.19 0.18 0.18 0.20 0.21 0.30 0.32 0.33 0.35 0.31 0.33 0.40 0.44 0.40 0.44 0.47 0.47 0.48 0.48 0.42 0.43 0.56 0.69 0.57 0.53 0.51 0.46 0.51 0.53 0.55 0.60 0.69 0.77 0.85 0.97 0.98 0.82 0.50 0.44 0.45 0.47 0.72 0.80

0.300.310.380.490.440.430.400.310.270.330.360.260.300.290.340.370.260.160.250.210.310.350.480.480.500.630.530.490.670.760.660.580.760.730.590.700.630.520.881.531.280.990.930.800.290.690.980.931.251.241.111.381.610.970.610.410.440.490.761.021.13

5.034.904.255.104.795.265.355.654.224.266.115.024.685.415.973.938.523.323.095.763.443.553.364.644.304.725.504.344.175.476.235.323.655.264.004.355.654.643.653.644.255.985.567.307.444.584.964.343.874.284.264.646.014.152.433.361.461.010.750.750.88

13.5111.4010.2212.3311.6312.5712.3311.4010.229.879.87

10.349.879.409.639.059.758.468.118.227.998.228.349.759.529.75

10.6910.2210.4610.4610.9310.6911.0412.2211.4011.2812.1011.8011.8013.3017.6021.6023.2027.2019.6015.7017.6017.2017.7017.8016.4016.6016.5015.9013.5011.6010.5012.4013.6013.9014.80

36.7033.2031.8035.5034.4035.0033.1030.1027.8027.3027.5028.3027.3026.7026.3024.7025.3022.7023.0022.0022.0023.0024.7026.8026.0026.5027.9027.2027.4029.0030.7030.2029.8031.9031.0031.4033.9033.2033.2038.3051.9062.4067.5079.0057.7046.8052.9051.6053.5053.6050.0049.7050.2048.1039.8034.8031.6037.4040.8041.7044.40

36.70 33.20 31.80 35.50 34.40 35.00 33.10 30.10 27.80 27.30 27.50 28.30 27.30 26.70 26.30 24.70 25.30 22.70 23.00 22.00 22.00 23.00 24.70 26.70 26.00 27.60 28.30 29.00 28.30 29.30 30.90 29.60 31.90 33.20 30.60 32.60 32.90 32.30 33.30 41.80 58.30 63.90 67.80 74.40 48.40 49.10 50.70 49.40 52.20 50.40 48.10 48.70 48.00 43.50 36.80 32.70 33.20 37.80 40.30 40.70 43.50

19.3019.0318.4818.1118.2417.2016.8916.2016.4816.6817.0117.8317.5518.4018.3218.7819.0719.2320.1320.0820.9221.5121.2022.1922.0722.4423.2126.0832.5937.2437.1741.4735.8234.3035.1534.8335.7136.1735.0335.3635.0934.2630.9927.6126.4728.5829.3629.6730.74

0.730.710.740.760.760.730.800.780.820.830.900.901.000.981.031.021.051.141.151.071.151.151.191.201.221.181.141.211.161.191.201.241.331.331.401.481.391.481.501.521.591.491.431.301.271.301.361.461.51

125

1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

11.31 12.50 12.30 10.55 8.93

10.09 11.85 13.49 18.02 15.21 14.83 15.36 16.88 21.21 24.19 26.18 25.46 35.60 44.15 45.43 41.12 55.62 58.03 59.72 69.07 65.06 76.45 86.12 93.32 84.45 95.04

102.04 90.31 93.49

103.30 118.42

96.11 72.56 96.86

103.81 90.25 99.71

110.87 132.97 117.28 144.27 166.39 171.61 208.19 264.51 250.48 285.41 339.97

325.5 416.08 435.23 472.99 465.25 614.42 766.22 963.36

0.51 0.62 0.67 0.71 0.59 0.61 0.64 0.66 0.71 0.84 0.93 1.14 1.47 1.41 1.41 1.45 1.54 1.64 1.74 1.79 1.75 1.83 1.95 2.02 2.13 2.28 2.50 2.72 2.87 2.92 3.07 3.16 3.14 3.07 3.15 3.38 3.60 3.68 4.05 4.67 5.07 5.65 6.16 6.63 6.87 7.09 7.53 7.90 8.28 8.81 9.73

11.05 12.10 12.20 12.38 12.58 13.18 13.79 14.90 15.50 16.2

0.640.901.051.161.030.940.93

10.961.061.612.292.322.842.442.402.512.773.623.413.372.893.393.273.193.674.024.555.195.555.335.765.785.135.706.428.168.897.969.91

10.8912.3314.8614.8215.3612.6414.0316.6414.61

114.4817.5023.7622.8721.3415.9119.0921.8830.6033.9638.7339.7237.71

0.880.560.560.530.630.690.720.750.761.011.351.581.322.122.392.581.801.813.213.862.543.744.282.913.393.504.094.465.445.556.178.059.115.664.627.93

11.037.245.705.287.78

10.8811.3717.6314.609.37

11.118.357.316.257.639.298.436.923.913.444.356.455.685.785.85

14.0013.3013.7013.9016.5017.5017.8018.1018.4024.5027.7027.3025.9030.5030.0029.1029.4029.2029.7031.0031.5031.7031.6031.8031.7031.6031.8031.8032.9033.4033.8034.8036.5037.3038.8041.6049.0057.4059.9062.8066.8073.8085.2095.2099.70

100.20102.90103.40103.20100.50104.60110.5114.9119.0115.6118.0119.1122.9126.3129.7125.4

41.9039.8041.1041.8049.7052.7053.4054.3055.4073.2082.9081.6077.6091.2089.7087.2088.0087.4088.8092.7094.3094.8094.7095.2095.0094.7095.2095.2098.60

100.10101.10104.30109.30111.80116.30124.50146.60171.80179.40188.10200.10220.80254.90284.80298.30299.90308.00309.50308.90300.90

39.60 38.90 39.60 44.00 49.80 52.00 52.40 53.30 61.00 76.50 82.80 78.70 81.80 91.10 88.60 87.40 87.60 87.80 90.70 93.30 94.60 94.80 94.90 94.50 94.80 94.50 94.70 96.60 99.80

100.00 102.50 106.50 110.40 113.90 119.10 134.70 160.10 174.90 183.00 194.20 209.30 235.60 268.80 293.40 299.30 303.10 310.30 308.70 299.80 307.70

30.2129.9730.3032.4136.2539.6741.9143.4546.4451.3254.3754.0054.7658.9360.8462.2463.4163.8565.1867.2769.0870.1671.6972.6173.6974.8576.1177.8080.5782.7486.3490.3995.0899.23

103.26110.20121.88131.60138.95147.68158.38172.72190.51206.93218.52227.74236.55250.42

1.481.541.581.641.671.711.751.831.951.911.911.901.941.951.982.012.012.072.112.122.132.192.222.242.292.332.412.502.582.632.722.792.842.882.983.053.043.093.203.303.403.473.493.523.543.633.733.71

126

1999 2000 2001

1248.77 16.69 48.17 5.45 122.9128.3138.8

Notes on Data

An annual series of January values of the Standard and Poor Composite Stock Price Index starting in 1871 was used as the basis of empirical work in Chapters 1, 3, 5, 6, 8, 16 and 21. This series, Table 26.1 Series 1, was taken from Standard and Poor's Statistical Service Security Price Index Record, various issues, from Tables entitled "Monthly Stock Price Indexes — Long Term."

The dividend and earnings series that correspond to this stock price series are spliced together from two sources. Starting in 1926, the nominal dividend series are dividends per share, 12 months moving total adjusted to index for the last quarter of the year. Starting in 1926, the nominal earnings series are earnings per share, adjusted to index, 4 quarter total, fourth quarter. These are from a table entitled "Earnings, Dividends and Price–Earnings Ratio — Quarterly." of Standard and Poor's Statistical Service Security Price Index Record.

Standard and Poor's does not publish dividend or earnings series before 1926, however, their source for the Standard and Poor Index before 1926, a volume by Cowles [1939], gives a dividend series corresponding to the index, series Da-1, pp 388–389, which I multiplied by the ratio of the series in 1926 to adjust for change in base year.

A problem Cowles faced was absence of earnings data for many of the stocks in the Standard and Poor Composite Index. He thus presented series PEA-1 — "prices of stocks for which Earnings Data are available, all stocks," a series of earnings E-1 on these stocks, and the ratio R-1 of these series, the "earnings-price ratio." We computed the Standard and Poor Composite Earnings series for years before 1926 as series R-1 (Cowles [1939] pages 404–405) times the annual average Standard and Poor Composite Index for the year. The spliced dividend and earnings series appear in Table 24.1 as series 2 and 3.

The absence of earnings data for some stocks is of some importance for the accuracy of the earnings series. One indication of the potential importance of their omission can be found by comparing the series P-1 (the Cowles index for all stocks) and the series PEA-1 (the Cowles series prices of stocks for which earnings data are available.) The ratio of P-1 to PEA-1 1871–1925 ranged from 0.98 to 1.27, the biggest discrepancies occuring in the earliest years of the sample. Another suggestion of the importance of the omissions is in Cowles list ([1939], Appendix II, pp. 456–475) of the companies in the index and the years for which the companies' earnings are available. Typically, lack of data on earnings comes for isolated years (as if earnings reports were occasionally missing) or for single years near the begin or end of the inclusion of the company in the index.

Wilson and Jones [1987] have recently examined the Cowles data for accuracy. They found some apparent errors in Cowles' monthly series of cumulated returns (Cowles data implied negative dividends for some months) and produced an alternative monthly return series that attempted to correct these errors. They concluded that "the overall impact of these revisions as compared to the original Cowles Commission data is minimal." The Cowles monthly data that they criticise is not used here, returns are computed on a January to January basis assuming dividends are not reinvested during the year.

The nominal interest rate series, Table 26.1, Series 4 is the total return to investing for six months in January at the January 4–6 month prime commercial paper rate (six month starting January 1980) and for another six months at the July 4–6 month prime commercial paper rate (six month starting July 1980). (Starting 1998, 6-month commercial paper rate is replaced here by the 6-month certificate of deposit rate, secondary market.) It is computed as 100[1/((1–Rjan/200)(1–Rjul/200)) – 1]. Data starting 1938 are from the Federal Reserve Bulletin. Data before 1938 are from Macaulay [1938], Table 10, pp. A142–A160.

127

The U.S. Bureau of Labor Statistics has been emphasizing the Finished Goods Producer Price Index, rather than the All Commodities Producer Price Index ever since the Producer Price Index replaced the Wholesale Price Index in 1978 (see Early [1978]). The Finished Goods Producer Price Index is supposed to be superior since it is not affected by the double counting of intermediate and final goods that infects the All Commodities Producer Price Index. Unfortunately, the Finished Goods Producer Price Index is available only back to 1947. Any earlier series that might be spliced to it would be comparable to the All Commodities Producers Price Index. It was decided, therefore, to continue to use the All Commodities Index shown here, which the BLS makes available on a monthly basis back to 1913.

Starting with January, 1988 the BLS changed the reference base year for the producer price index from 1967 = 100 to 1982 = 100 (see "Producer Price Indexes — January 1988," News, Bureau of Labor Statistics, Feburary 12, 1988). Table 24.2, Series 5 is the January Producer Price Index – All Commodities with the 1982 base year starting with 1913. [Current data are available as series WPU00000000 on the Bureau of Labor Statistics web site: (http://stats.bls.gov:80/cgi-bin/surveymost?wp).]; Data from before 1913 are from the January figures from the Warren and Pearson Index [1935], Chapter 1, Table 1, pp. 11–14 divided by the ratio of the series in 1913.

Previously published papers in this volume use earlier producer price index series with 1967 = 100, Table 24.2, Series 6 and 7. These series are built up of component series, by multiplying the earlier series by the ratio of the indexes at the date of the first observation of the succeeding series.

Series 6 is the Producer Price Index for January. For 1947 to the end of the sample the series is the January Producer Price Index all commodities 1967 = 100 from the Survey of Current Business. For 1924 to 1946 the series used is January Wholesale Price Index (WPI) all commodities 1926 = 100 from the Federal Reserve Bulletin, divided by 1.933. For 1914 to 1923 the series used is January WPI all commodities 1913 = 100 from the Federal Reserve Bulletin, divided by 2.949. For 1900 to 1913 the series used is January WPI All Commodities 1890-1899 = 100 from Wholesale Prices, BLS Bulletin #149, Government Printing Office, Washington, 1914, divided by 4.1613. For 1871 to 1899 the series is the same as series 8 below.

The annual average producer price index Series 7 is, for 1947 the end of the sample, the annual average Producer Price Index all commodities 1967 = 100 from the Survey of Current Business. For 1924 to 1946 the series used is annual average WPI all commodities 1926 = 100 from the Federal Reserve Bulletin, divided by 1.9843. For 1914 to 1923 the series used is annual average WPI all commodities 1913 = 100 from the Federal Reserve Bulletin, divided by 3.038. For 1891 to 1913 the series used is annual average WPI all commodities 1913 = 100 from Wholesale Prices, BLS Bulletin #320, Government Printing Office, Washington, divided by 3.0395. For 1871 to 1890 the series used is annual average WPI 1890-99 = 100, from Appendix I of BLS Bulletin #114, divided by 4.1613.

The consumption deflator, 1972 = 100, (Table 24.2, Series 8) and real per capita consumption (Table 24.2, Series 9), both for nondurables and services, were used in Chapter 16 and 21, as well as Shiller [1982] and Campbell and Shiller [1988]. The data sources are given in Shiller [1982].

References

Campbell, John Y. and Robert J. Shiller. 1986. "The Dividend-Price Ratio and Expectations of Future Dividends and Discount Factors," Review of Financial Studies 1: 196–228.

Cowles, Alfred, III and Associates. 1939. Common Stock Indexes, 2nd Edition, Bloomington, IN: Principia Press.

Early, John F. 1978. "Improving the Measurement of Producer Price Change," Monthly Labor Review 101: 7–15.

Macaulay, Frederic. 1938. Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields, and Stock Prices in the United States Since 1856, New York, National Bureau of Economic Research.