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  • Mecnica CunticaProblemas. Grupos B

    Ao 2015

    Tema 1. Postulados de la Mecnica Cuntica

    1. Considrese un sistema fsico cuyo hamiltoniano slo tiene espectro puntual. El sistema se halla en unestado puro |. Sea Ei el autovalor del hamiltoniano ms prximo al valor medio del hamiltoniano, H.Demostrar que

    |H Ei| H .

    2. Dados dos operadores acotados A y B en un espacio de Hilbert, probar que

    iAB BA AA+ BB .

    3. Considrese un sistema cuntico cuyo espacio de Hilbert tiene dimensin 3. Se consideran los operadoresA, B y C, que en cierta base ortonormal se representan:

    A =

    0 1 01 0 00 0 1

    , B =1 0 00 1 0

    0 0 1

    , C =1 1 11 1 1

    1 1 1

    .Determnese cules de los conjuntos {A}, {A,B}, {A,C} son CCOC.Determnese, si lo hay, algn estado libre de dispersin para A y C simultneamente.

    Hay en este sistema algn par de variables cannicamente conjugadas?

    4. En un sistema con espn 12 se define el operador A = ~n ~S, donde ~S es el operador de momento angular deespn (~S = ~~/2) y ~n = (sen cos, sen sen, cos ). Escribir las matrices densidad correspondientes a losautovectores de A. Construir la matriz semisuma de las matrices anteriores y comprobar que corresponde auna matriz densidad de un estado mezcla.

    5. Un sistema con espn 1 se halla en el estado puro

    | = 13|+ 1+ 1

    3|0+ 1

    3| 1 ,

    donde |m es un autoestado de Sz con autovalor m~. Se realiza una medida filtrante de Sz que seleccionalos valores no nulos. Cul es el estado final del sistema? Comprese con la matriz densidad correspondienteal estado

    | = 12|+1+ e

    i

    2| 1 .

    Calcular en ambos casos la probabilidad de que al medir Sx se obtenga el valor 0. (sese que Sx(|+1|1 =0).

    6. Se define la entropa de un estado cuyo operador densidad es como:

    s() Tr( ln ) .

    Demostrar que satisface s() 0 y que es cero si y slo si representa a un estado puro. Si la dimensin delespacio de Hilbert es finita, encontrar la matriz densidad que maximiza la entropa.

  • 7. Dado el operador sobre el espacio de Hilbert C3, representado en una base ortonormal por la matriz1/4 0 z20 z1/4 0z3 0 1/4

    ,qu condiciones han de sastisfacer los nmeros complejos z1, z2 y z3 para que defina una matriz densidadnormalizada? Hallar una base ortonormal de estados {|k} y unos pesos {pk} tales que =

    k pk|kk|.

    Qu han de cumplir z1, z2 y z3 para que represente un estado puro?

    8. Sea ~n = (1, 1, 0)/

    2, ~S el operador de espn de una partcula de espn 12 y la matriz

    =2

    3

    (1 z1z2 z3

    ).

    Determinar los nmeros complejos zi para que represente la matriz densidad normalizada de un estadopuro tal que ~n ~S = 0. Hallar las condiciones que deben cumplir los zi para que represente una matrizdensidad de un estado mezcla tal que ~n ~S = 0.

    9. Un dispositivo experimental consta de una secuencia de imanes del tipo Stern-Gerlach orientados, res-pectivamente, en las direcciones ~nA = (0, 0, 1), ~nB = (sen, 0, cos) y ~nC = (sen cos , sen sen , cos).Cuando pasa un haz de electrones por uno de los Stern-Gerlach se separa en dos haces, uno correspondienteal autovalor positivo y otro al negativo del operador Si = ~S ~ni. Considrese que se selecciona el haz corres-pondiente al autovalor positivo de SA. Se asume que si hay dos haces procedentes del segundo Stern-Gerlachse combinan en uno solo antes de entrar en el ltimo. Se pide calcular la probabilidad de que al medir SC seobtenga un valor positivo en cada uno de los casos siguientes.

    Si al medir SB se selecciona el haz correspondiente al autovalor positivo.

    Si se mide SB , pero se dejan pasar ambos haces.

    Si no se hace ninguna medida de SB .

    10. En un oscilador armnico de pulsacin se considera un estado mezcla que en el instante t = 0 tiene laforma:

    (0) =1

    2|00|+ 1

    2|| ,

    donde | = 12|0 + i

    2|1 y H|n = ~(n + 12 )|n. Comprobar explcitamente que Tr(0) = 1 y que

    (0) 0. Encontrar, para un tiempo arbitrario t, el operador estado (t). Calcular la derivada temporal de(t) y compararla con el conmutador de (t) con el hamiltoniano H.

    11. Supngase un sistema cuntico, cuyo espacio de Hilbert asociado es bidimensional. Sea una base orto-normal {|1, |2} en este espacio. Si en el instante t = 0 el sistema se halla en el estado |1, determnenselas amplitudes de probabilidad de hallar el sistema en los estados |1 y |2 al cabo de un tiempo t, supuestocomo hamiltoniano de evolucin en la base mencionada:

    H =

    (E0 + z

    z E0 ).

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    Hoja 2: temas 3 y 4

    2.1 Considrese en un tiempo ti

  • IndiceTema 1 - Postulados de la Mecnica CunticaEspacios VectorialesEspacio DualTeorema de RieszEspacio de Hilbert

    Operadores LinealesRecorrido de un operador, suma y producto de operadoresOperadores sobre espacios de funcionesOperador Adjunto en notacion de DiracOperador AutoadjuntoCriterio de HermiticidadProblema de AutovaloresClasificacion del espectro de un operadorPropiedades de operadores HermiticosPropiedades de Bases OrtonormalesTeorema espectralEspacios de Hilbert Equipados

    Postulados Mecanica Cuantica1er PostuladoEstado y preparacion del sistemaEstados puros y estados mezclaTipos de medidasPreparacion maximal y observables fisicos compatibles

    2 PostuladoProyector espectral sobre un subconjunto del Operador

    3er PostuladoInterpretacion probabilistica Valor medio o esperadoDispersion cuadratica mediaRelaciones de indeterminacion de HeisenbergConjunto completo de observables CompatiblesMatriz densidad y estados mezclaPropiedades del operador densidadRepresentacion del operador densidad en una B.O de autovectoresOperador densidad en otras B.ORepresentacion de estados puros mediante operadores densidadResultados de las medidas sobre un estado descrito por un operador densidad

    4 Postulado5 Postulado6 Postulado

    Tema 2 - SimetrasTema 3 - Perturbaciones dependientes del tiempoTema 4 - Colisiones y dispersionProblemas Tema 1Soluciones Tema 112345679

    Problemas Temas 3 y 4Soluciones Temas 3 y 4