APLICAÇÕES DE LT

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Aplicações de LT

Resposta ao Impulso Sistema com 1 pólo real

Aplicações de LT

Resposta ao Impulso Sistema com 2 pólos complexos conjugados

Influência de α e Ωc

2c

2)s(

s)s(H

)t(u)tcos(e)t(h ct

Aplicações de LT

Resposta ao Impulso Sistema com 2 pólos complexos conjugados

Aplicações de LT

Resposta ao Impulso Sistema com 2 pólos complexos conjugados

Aplicações de LT

Resposta ao Impulso Pólos reais negativos

Decaimento de h(t), t∞ Pólos reais positivos

Ampliação de h(t), t∞ Proximidade com σ = zero

Redução do fator de crescimento/decaimento de h(t)

Aplicações de LT

Resposta ao Impulso Re{pólos} < zero

Decaimento de h(t), t∞ Re{pólos} > zero

Crescimento de h(t), t∞ Re{pólos} = zero

h(t) estacionário, t∞

Proximidade de Re{pólos} em relação a σ = zero Redução da taxa de decaimento/crescimento

de h(t)

Aplicações de LT

Resposta ao Impulso Consideração de pares de pólos complexos

Conjugados complexos

Proximidade de Im{pólos} em relação a Ω = zero Redução da taxa de decaimento/crescimento

de h(t)

Aplicações de LT

Resposta ao Impulso Um sistema LTI é estável se todos os seus

pólos se localizarem no semiplano esquerdo aberto do plano complexo s Re{sp}<0

Aplicações de LT

Efeitos de zeros em LTI Na freqüência

Alteração da resposta em freqüência Exemplo: passa-alta para passa-baixa

No tempo Presença de discontinuidades da forma δ(t)

Inclui derivadas de δ(t)

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sabemos que h(t) ocorre quando x(t) = δ(t)

Na prática, não conseguimos produzir tal sinal

Podemos encontrar h-1(t) com base em h(t) Resposta ao degrau unitário Ação de chave liga-desliga

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário

Transitório N-1(s)/D(s) Assumindo pólos no semiplano esquerdo

real

Regime permanente H(0)/s H(0)u(t)

s

)0(H

)s(D

)s(N)s(H

)s(D

)s(N)s(H 1

1

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 1 pólo real

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados

Influência de ζ (zeta) e Ωn

2nn

2

2n

s2s)s(H

1)t(u1112

e

112

e)t(h

22

t1

22

t1

1

2n

2n

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados

Influência de ζ (zeta) e Ωn

2nn

2

2n

s2s)s(H

1e)t1(1

1e)t1(1)t(u)t(h

tn

tn

1n

n

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados

Variação de ζ

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados

Variação de Ωn

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 1 pólo real

H(s) = 1 / (1 – s/p)

Magnitude do pólo Influência do transitório

Constante de tempo do sistema (τ = – 1/p)

Exemplo: filtro RC τ = – 1/RC

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados

Ωn (≠ Ωc) controla a taxa de oscilação do transitório

Manutenção da amplitude da n-ésima oscilação.

ζ<0 Sistema instável Pólos no semiplano direito aberto do plano s

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados

ζ<0 Sistema instável Pólos no semiplano direito aberto do plano s

Aplicações de LT

Resposta ao Degrau Unitário Sistema com 2 pólos complexos conjugados

0<ζ<1 Pólos complexos (conjugados simétricos) Sistema estável e subamortecido

ζ>1 Pólos reais distintos Sistema estável e sobreamortecido

ζ=1 Pólos reais iguais Sistema estável e amortecido criticamente

Aplicações de LT

Resposta a Sinal Senoidal Se x(t) = cos(Ω0t)

Regime permanente

20

20

020

20

01

20

20

s)}j(HIm{

s

s)}j(HRe{

)s(D

)s(N

s

s

)s(D

)s(N)s(Y

)j(Htcos)j(H)t(y 000

Aplicações de LT

Resposta a Sinal Senoidal Se x(t) = cos(Ω0t) Regime permanente

Sistema h(t) altera apenas amplitude e fase da componente Ωo

Não sua freqüência.

)j(Htcos)j(H)t(y 000

Aplicações de LT

Resposta a Sinal Genérico

Transitório N-1(s)/D(s) Assumindo pólos no semiplano esquerdo

real Sistema BIBO

Regime permanente ILT{Nx-1

(s)/Dx(s)} é estacionário

)S(D

)s(N

)s(D

)s(N)s(H)s(X

)s(D

)s(N)s(Y

x

x11

1

Aplicações de LT

Relação entre LT e FT Avaliação de H(s) para s = σ + jΩ = zero +

jΩ Exemplo:

Quais os zeros e pólos?

104s4s

17s2s)s(H

2

2

Aplicações de LT

Relação entre LT e FT H(s) é “tridimensional”

Aplicações de LT

Relação entre LT e FT H(s) é “tridimensional”

Aplicações de LT

Relação entre LT e FT H(s) é “tridimensional”

Aplicações de LT

Diagrama de Blocos Lembrando

Integração (no tempo) 1/s no domínio de Laplace

Aplicações de LT

Diagrama de Blocos Forma direta II

+

+

+

+bn

bn-1

bn-2

b1

b0

Y(s)

1/s

1/s

1/s

1/an

an-1

an-2

a1

a0

X(s)

+

+

+

+–

Aplicações de LT

Diagrama de Blocos Decomposição de H(s) em pólos e zeros

N1MM

M

1

1

ps

1

ps

1

ps

zs

ps

zsA)s(H

+

+

zk

Yk(s)

1/s-pk

Xk(s)

+

+– –

Aplicações de LT

Diagrama de Blocos Decomposição de H(s) em pólos e zeros

Yk(s)

1/s-pk

Xk(s)

+

+–

N1MM

M

1

1

ps

1

ps

1

ps

zs

ps

zsA)s(H

Aplicações de LT

Diagrama de Blocos Decomposição de H(s) em pólos e zeros

Cascateamento de sub-blocos Paralelismo de sub-blocos

Para pólos complexos em pares conjugados Diagramas de segunda ordem